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20/11/2010

Nombre de Liouville

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, un nombre de Liouville est un nombre réel x avec la propriété suivante : pour tout nombre entier positif n, il existe des entiers p et q avec $q > 1,$ et tels que

$0 < |x - frac{p}{q}| < frac{1}{q^n},$ .

Un nombre de Liouville peut ainsi être approché « de manière très fine » par une suite de nombres rationnels. En 1844, Joseph Liouville montra que tous les nombres vérifiant l'inégalité ci-dessus sont transcendants, établissant ainsi pour la première fois l'existence de tels nombres.

Sommaire

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Irrationalité des nombres de Liouville [modifier]

Remarquons d'abord que si x est un nombre de Liouville, pour tout nombre entier positif n, il existe alors un nombre infini de paires d'entiers (p,q) obéissant à l'inégalité ci-dessus : il suffit en effet de prendre des couples (p,q) associés à des entiers m égaux à kn , ils fournissent k couples $(pq^{i-1}, q^i)_{iin {1,cdots, k}}$ associés à n car

$0 < |x - frac{pq^{i-1}}{q^i}|= |x - frac{p}{q}|< frac{1}{q^m}, leq frac{1}{(q^i)^n},$ .

Il est relativement facile de démontrer que si x est un nombre de Liouville, alors x est un nombre irrationnel. Supposons le contraire ; alors il existe des entiers c, d avec $x = frac{c}{d},$ . Soit nun entier positif tel que $2^{n-1} > d,$ . Alors, il existerait deux entiers p et q tels que

$0 < |x - frac{p}{q}| < frac{1}{q^n},$ .

La première partie de l'inégalité prouve que $frac{p}{q} ne frac{c}{d},$ , donc

$|x - frac{p}{q}| = |frac{c}{d} - frac{p}{q}| ge frac{1}{dq} > frac{1}{2^{n-1} q} ge frac{1}{q^n},$

ce qui contredit la définition .

Constante de Liouville [modifier]

La constante de Liouville est le réel défini par

$c = sum_{j=1}^infty 10^{-j!} = 0,110001000000000000000001000....$

La constante de Liouville est un nombre de Liouville ; si nous définissons $p_n,$ et $q_n,$ comme suit :

$p_n = sum_{j=1}^n 10^{(n! - j!)}; quad q_n = 10^{n!}$

alors, pour tous les entiers positifs n, nous avons

$|c - p_n/q_n| = sum_{j=n+1}^infty 10^{-j!} = 10^{-(n+1)!} + 10^{-(n+2)!} + cdots < 10^{-(n!n)} = 1/{q_n}^n$

La constante de Liouville est le premier exemple de nombre réel dont on a prouvé la transcendance. La fraction continue est l'outil auquel pense Liouville pour construire des nombres de Liouville et donc transcendants. L'article associé présente un autre exemple de cette nature, illustrant la méthode préconisée par le mathématicien.

Mesure irrationnelle d'un réel [modifier]

La mesure irrationnelle d'un nombre réel x mesure la manière d'approcher un nombre par des rationnels. À la place de n'importe quel n permis pour la puissance de q, nous trouvons la borne supérieure de l'ensemble de nombres réels $mu,$ tels que la propriété

$0 < |x - frac{p}{q}| < frac{1}{q^{mu}},$

soit satisfaite par un nombre infini de paires d'entiers (p, q) avec q > 0. Pour toute valeur $mu,$ inférieure à cette borne supérieure, l'ensemble de tous les rationnels $frac{p}{q},$ satisfaisant l'inégalité ci-dessus est une approximation fine de x; réciproquement, si $mu,$ est plus grand que la borne supérieure, alors il n'existe pas de telles suites qui convergent finement vers x.

Les nombres de Liouville sont précisément les nombres ayant une mesure irrationnelle infinie.

Transcendance des nombres de Liouville [modifier]

En 1844, Joseph Liouville montra que les nombres avec cette propriété ne sont pas seulement irrationnels, mais sont toujours transcendants (voir la démonstration ci-dessous). Il utilisa ce résultat pour fournir le premier exemple explicite de nombre transcendant : la constante de Liouville définie plus haut.

En revanche, bien que chaque nombre de Liouville soit transcendant, tout nombre transcendant n'est pas un nombre de Liouville. Il a été démontré que $pi,$ est transcendant, mais pas un nombre de Liouville.

La démonstration procède en établissant premièrement la propriété des nombres algébriques irrationnels. Cette propriété dit essentiellement que les nombres algébriques irrationnels ne peuvent pas être approchés correctement par les nombres rationnels. Un nombre de Liouville est irrationnel mais n'a pas cette propriété, donc il ne peut pas être algébrique et doit être transcendant. Le lemme suivant est connu habituellement comme le théorème de Liouville sur l'approximation diophantienne, car il existe plusieurs autres résultats connus comme théorèmes de Liouville.

Lemme : Si $alpha,$ est un nombre irrationnel qui est la racine d'un polynôme f de degré n > 1 à coefficients entiers, alors il existe un nombre réel A > 0 tel que, pour tous les entiers p, q, avec q > 0,

$|alpha - frac{p}{q}| > frac{A}{q^n},$ .

[Dérouler]

Démonstration du lemme

Démonstration de l'assertion [modifier]

Comme conséquence de ce lemme, soit x un nombre de Liouville ; comme noté dans le texte de l'article, x est alors irrationnel. Si x est algébrique, alors par le lemme, il existe un certain entier n et un certain réel positif A tel que pour tous les p, q

$|x - frac{p}{q}| > frac{A}{q^n},$ .

Soit r un entier positif tel que $frac{1}{(2^r)} le A,$ . Soit m = r + n, alors, puisque x est un nombre de Liouville, il existe des entiers a, b > 1 tel que

$|x - frac{a}{b}| < frac{1}{b^m} = frac{1}{b^{r+n}} = frac{1}{(b^r b^n)} le frac{1}{(2^r b^n)} le frac{A}{b^n} ,$

ce qui contredit le lemme ; par conséquent x n'est pas algébrique, et est ainsi transcendant.

Théorème d'Erdös [modifier]

Paul Erdös a démontré¹ en 1962 que tout nombre réel pouvait s'écrire comme somme et comme produit de deux nombres de Liouville.

Annexes [modifier]

Notes et références [modifier]

↑ Une démonstration de ce théorème est accessible dans le projet Euclide ici [archive]

Voir aussi [modifier]

[Enrouler] v · d · m Notion de nombre
Ensembles usuels	$mathbb{N}$ Entier naturel • $mathbb{Z}$ Entier relatif • $mathbb{D}$ Nombre décimal • $mathbb{Q}$ Nombre rationnel • $mathbb{R}$ Nombre réel • $mathbb{C}$ Nombre complexe
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Exemples d’importance historique	π Pi • √2 Racine carrée de deux • φ Nombre d’or • 0 Zéro • $i$ Unité imaginaire • $e$ Constante de Neper • ℵ₀ Aleph-zéro •Table de constantes mathématiques
Notions connexes	Chiffre • Numération • Fraction • Opération • Calcul • Algèbre • Arithmétique • Suite d’entiers • ∞ Infini • Chiffre significatif

Lien externe [modifier]

Article du 13 mai 1844 de Liouville sur les nombres transcendants (accès à l'article et analyse de M. Mendès-France, mathématicien) (site BibNum)
Le commencement des nombres transcendants (en anglais)

Portail des mathématiques

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Liouville

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Suite d'entiers

En mathématiques, une suite d'entiers peut être précisée explicitement en donnant une formule pour ses n-ièmes termes, ou implicitement en donnant une relation entre ses termes. Par exemple, la suite 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... (la suite de Fibonacci) est formée en commençant avec 0 et 1, puis en additionnant deux termes consécutifs pour obtenir le suivant : c'est une définition implicite. La suite 0, 3, 8, 15, ... est formée en se fondant sur la formule $n^2-1,$ pour le n-ième terme : c'est une définition explicite.

Des suites d'entiers qui ont leurs propres noms sont :

Une suite d'entiers est une suite calculable, s'il existe un algorithme qui, pour un n donné, calcule a_n, pour tout n > 0. Une suite d'entiers est une suite définissable, s'il existe un certain énoncé P(x) qui est vrai pour cette suite d'entiers x et faux pour toutes les autres suites d'entiers. L'ensemble des suites d'entiers calculables et définissables est dénombrable, avec les suites calculables d'un sous-ensemble propre des suites définissables. L'ensemble de toutes les suites d'entiers est non-dénombrable ; ainsi, la plupart des suites d'entiers ne sont pas dénombrables et ne peuvent pas être définies.

Voir aussi [modifier]

[Enrouler] v · d · m Notion de nombre
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Liens internes [modifier]

Encyclopédie électronique des suites entières

Lien externe [modifier]

Journal des suites d'entiers (en anglais). Les articles sont disponibles librement en ligne.

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_d'entiers

Tessarine

En mathématiques, les tessarines sont une idée introduite par James Cockle en 1848. La notion inclut à la fois les nombres complexes ordinaires et les nombres complexes fendus. Une tessarine t peut être décrite comme une matrice 2 x 2

$begin{pmatrix} w & z \ z & wend{pmatrix}$ ,

où w et z peuvent être des quaternions quelconques. Si w et z sont des nombres complexes, on obtient les nombres bicomplexes.

Sommaire

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Isomorphismes avec les autres systèmes de nombres [modifier]

Nombres complexes [modifier]

Lorsque z = 0, alors t correspond à un nombre complexe ordinaire, qui est w lui-même.

Nombres complexes fendus [modifier]

Lorsque w et z sont tous deux des nombres réels, alors t correspond à un nombre complexe fendu, w + j z. La tessarine particulière

$j = begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0end{pmatrix}$

possède la propriété suivante : Son produit matriciel au carré est la matrice identité. Cette propriété a conduit Cockle à appeler la tessarine j un "nouvel imaginaire en algèbre". L'importance de l'anneau commutatif et associative de toutes les tessarines semble avoir eu moins d'importance que cette tessarine particulière ainsi que le plan qu'elle crée au-delà de la ligne réelle.

Quaternions coniques, nombres bicomplexes [modifier]

Lorsque w et z sont à la fois des nombres complexes

$w =~a + ib,$

$z =~c + id,$

(a, b, c, d réels) alors l'algèbre t est isomorphe aux quaternions coniques $a + bi + c varepsilon + d i_0,$ , de base ${ 1,~i,~varepsilon ,~i_0 },$ , avec les identités suivantes :

$1 = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1end{pmatrix} qquad i =begin{pmatrix} i & 0 \ 0 & iend{pmatrix} qquad varepsilon =begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0end{pmatrix} qquad i_0 =begin{pmatrix} 0 & i \ i & 0end{pmatrix}$

Ils sont aussi isomorphes aux nombres bicomplexes (à partir des nombres multicomplexes) de base ${ 1,~i_1, i_2, j }$ si une identité :

$1 = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1end{pmatrix} qquad i_1 =begin{pmatrix} i & 0 \ 0 & iend{pmatrix} qquad i_2 =begin{pmatrix} 0 & i \ i & 0end{pmatrix} qquad j =begin{pmatrix} 0 & -1 \ -1 & 0end{pmatrix}$

À noter que j dans les nombres bicomplexes est identifié avec le signe opposé de j à partir de ci-dessus.

Octonions coniques / sédénions coniques [modifier]

Lorsque w et z sont à la fois des quaternions (de base ${ 1,~i_1,~i_2,~i_3 },$ ), alors l'algèbre t est isomorphe aux octonions coniques ; permettant les octonions pour w et z (de base ${ 1,~i_1, ..., ~i_7 },$ ), l'algèbre résultante est identique aux sédénions coniques.^{[réf. nécessaire]}

Propriétés algébriques [modifier]

Les tessarines, lorsque w et z sont des nombres complexes, forment un anneau commutatif et associatif (différent des quaternions qui ne constituent pas un anneau commutatif). Ils permettent aussi les puissances, les racines et les logarithmes de $j = varepsilon,$ , qui est une racine non réelle de 1. Ils ne forment pas un corps à cause des éléments idempotents

$begin{pmatrix} z & pm z \ pm z & z end{pmatrix} = z (1 pm j) = z (1 pm varepsilon),$

qui ont leur déterminant / module égale à 0 et par conséquent ne peuvent pas être inversés multiplicativement. De plus, l'arithmétique contient des diviseurs de zéro

$begin{pmatrix} z & z \ z & z end{pmatrix} begin{pmatrix} z & -z \ -z & z end{pmatrix} = z^2 (1 + j )(1 - j) = z^2 (1 + varepsilon )(1 - varepsilon) = 0$ .

Les quaternions forment un anneau inversible sans diviseurs de zéro, et peut aussi être représenté par des matrices de forme 2 x 2.

Références [modifier]

James Cockle dans le London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine, series 3
- 1848 On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra, 33:435-9.
- 1849 On a New Imaginary in Algebra 34:37-47.
- 1849 On the Symbols of Algebra and on the Theory of Tessarines 34:406-10.
- 1850 On Impossible Équations, on Impossible Quantities and on Tessarines 37:281-3.
- 1850 On the True Amplitude of a Tessarine 38:290-2.

[Enrouler] v · d · m Notion de nombre
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Nombre complexe fendu

En mathématiques, les nombres complexes fendus sont une extension des nombres réels définis de manière analogue aux nombres complexes (usuels). La différence-clef entre les deux est que la multiplication des nombres complexes (usuels) respecte la norme euclidienne standard (carrée) :

$x^2 + y^2,$ sur $mathbb{R}^2,$

alors que la multiplication des nombres complexes fendus, quant à elle, respecte la norme de Minkowski ou norme lorentzienne (carrée)

$x^2 - y^2 ,$

Les nombres complexes fendus ont beaucoup d'autres noms, voir la section des synonymes ci-dessous.

Un espace vectoriel réel à deux dimensions muni du produit interne de Minkowski est appelé un espace de Minkowski de dimension 1+1, souvent noté $mathbb{R}^{1,1},$ . Tout comme la géométrie euclidienne du plan euclidien $mathbb{R}^2,$ peut être décrite avec les nombres complexes, la géométrie lorentzienne du plan de Minkowski $mathbb{R}^{1,1},$ peut être décrite avec les nombres complexes fendus.

Le nom fendu provient du fait que les signatures de la forme (p,p) sont appelées signatures fendues. En d'autre mots, les nombres complexes fendus sont similaires aux nombres complexes mais dans la signature fendue (1,1).

Sommaire

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Définition [modifier]

Un nombre complexe fendu est de la forme :

$z = x + j.y,$

où x et y sont des nombres réels et la quantité j définie par (voir les Tessarines) :

$j^2 = +1,$

L'ensemble de tous ces z est appelé le plan complexe fendu. L'addition et la multiplication des nombres complexes fendus sont définies par

$(x + j.y) + (u + j.v) = (x + u) + j.(y + v),$

$(x + j.y)(u + j.v) = (xu + yv) + j.(xv + yu),$

Cette multiplication est commutative, associative et distributive sur l'addition.

Conjugué, norme, et produit interne [modifier]

Comme pour les nombres complexes, on peut définir la notion de conjugué complexe fendu. Si

$z = x + j.y,$ ,

le conjugué de z est défini par

$z^* = x - j.y,$ .

Le conjugué satisfait les propriétés similaires du conjugué complexe usuel :

$(z + w)^* = z^* + w^*,$

$(zw)^* = z^*w^*,$

$(z^*)^* = z,$

Ces trois propriétés impliquent que le conjugué complexe fendu est un automorphisme d'ordre 2.

La norme carrée (ou forme quadratique) d'un nombre complexe fendu $z = x + j.y,$ est donnée par

$lVert z rVert = z z^* = z^* z = x^2 - y^2,$ .

Cette norme n'est pas définie positivement mais possède plutôt une métrique (1,1). Une propriété importante de cette norme est qu'elle est préservée par la multiplication complexe fendue :

$lVert z w rVert = lVert z rVert lVert w rVert$

Le produit interne associé (1,1) est donné par

$<z, w> = Re(zw^*) = Re(z^*w) = xu - yv,$

où $z = x + j.y,$ et $w = u + j.v,$ et

$lVert z rVert = langle z, z rangle$

Les nombres complexes fendus z et w sont dits orthogonaux hyperboliques si <z, w> = 0.

Un nombre complexe fendu est inversible si et seulement si sa norme est différente de zéro ( $lVert z rVert ne 0$ ). L'inverse d'un tel élément est donné par

$z^{-1} = z^* / lVert z rVert$

Les nombres complexes fendus qui ne sont pas inversibles sont appelés éléments nuls. Ceux-ci sont tous de la forme $(a pm j.a),$ pour un certain nombre réel a.

La base diagonale [modifier]

Il existe deux éléments idempotents non-triviaux donnés par $e = frac{(1 - j)}{2},$ et $e^* = frac{(1 + j)}{2},$ (c'est-à-dire que $ee = e,$ et $e^*e^* = e^*,$ ). Ces deux éléments sont nuls :

$lVert e rVert = lVert e^* rVert = e^* e = 0$

Il est souvent commode d'utiliser e et e^* comme une base alternative pour le plan complexe fendu. Cette base est appelée la base diagonale ou base nulle. Le nombre complexe fendu zpeut être écrit dans la base nulle sous la forme

$z = x + j.y = (x - y)e + (x + y)e^*,$

Si nous notons le nombre

$z = ae + be^*,$ pour les nombres réels a et b par (a,b) alors la multiplication complexe fendue est donnée par

$(a_1,b_1)(a_2,b_2) = (a_1a_2,b_1b_2),$ .

Dans cette base, il devient clair que les nombres complexes fendus sont isomorphes à la somme directe $mathbb{R} oplus mathbb{R},$ avec l'addition et la multiplication définie ci-dessus.

Le conjugué complexe fendu dans la base diagonale est donné par

$(a,b)^* = (b,a),$

et la norme par

$lVert (a,b) rVert = ab$

Géométrie [modifier]

L'ensemble des points z tels que $z : lVert z rVert = a^2,$ est une hyperbole pour tout a de $mathbb{R}$ différent de zéro. L'hyperbole est constitué d'une branche gauche et droite passant par a et - a. Le cas a = 1 est appelé l'hyperbole unité. L'hyperbole conjuguée est donnée par

$z : lVert z rVert = - a^2,$

avec une branche supérieure et inférieure passant par ja et - ja. L'hyperbole et l'hyperbole conjuguée sont séparée par deux asymptotes diagonales qui forment l'ensemble des éléments nuls :

$z : lVert z rVert = 0,$

Ces deux droites (parfois appelées le cône nul) sont perpendiculaires et ont des pentes de $pm 1,$ .

L'analogue de la formule d'Euler pour les nombres complexes fendus est

$e^{(j.theta)} = cosh(theta) + j.sinh(theta),$

Ceci peut être déduit du développement en série de puissances utilisant le fait que cosh a seulement des puissances paires tandis que sinh a des puissances impaires. Pour toutes les valeurs réelles de l'angle hyperbolique $theta,$ , le nombre complexe fendu $lambda = e^{(j.theta)},$ est de norme 1 et est lié à la branche droite de l'hyperbole unité.

Puisque $lambda,$ est de norme 1, en multipliant tout nombre complexe fendu z par $lambda,$ , la norme de z est préservée et représente une rotation hyperbolique (aussi appelée une transformation de Lorentz). En multipliant par $lambda,$ la structure géométrique est préservée, prenant les hyperboles par elles-mêmes et le cône nul par lui-même.

L'ensemble de toutes les transformations du plan complexe fendu qui préserve la norme (ou de manière équivalente, le produit interne) forme un groupe appelé le groupe orthogonal généralisé O(1,1). Ce groupe est constitué des rotations hyperboliques - qui forme un sous-groupe noté $SO^+(1,1),$ - combiné avec quatre réflexions discrètes données par

$zmapstopm z$ et $zmapstopm z^{*}$ .

L'application exponentielle

$exp : mathbb{R} rightarrow SO^+(1,1),$

qui associe $theta,$ à la rotation par $e^{(j.theta)},$ est un isomorphisme de groupe puisque la formule usuelle des exponentielles s'applique :

$e^{j(theta+phi)} = e^{jtheta}e^{jphi},$

Propriétés algébriques [modifier]

En termes d'algèbre générale, les nombres complexes fendus peuvent être décrits comme le quotient de l'anneau polynomial $mathbb{R}[x],$ par l'idéal généré par le polynôme formel $X^2 - 1,$ ,

$mathbb{R}[x]/(x^2 - 1),$ .

L'image de x dans l'ensemble-quotient est l'unité imaginaire j. Avec cette description, il est clair que les nombres complexes fendus forment un anneau commutatif de caractéristique 0. De plus, si nous définissons une multiplication scalaire de manière évidente, les nombres complexes fendus forment une algèbre associative et commutative sur les nombres réels de dimension deux. L'algèbre n'est pas un corps puisque les éléments nuls ne sont pas inversibles. En fait, tous les éléments nuls différents de zéro sont des diviseurs de zéro. Puisque l'addition et la multiplication sont des opérations continues en respectant la topologie usuelle du plan, les nombres complexes fendus forment un anneau topologique.

Les nombres complexes fendus ne forment pas une algèbre normée dans le sens usuel du mot puisque la « norme » n'est pas définie positivement. Néanmoins, si on étend la définition pour inclure les normes de signature générale, ils forment une telle algèbre. Ceci s'ensuit du fait suivant

$lVert zw rVert = lVert z rVert lVert w rVert,$

Pour un exposé sur les algèbres normées de signatures générales, voir la référence par Harvey.

Les nombres complexes fendus sont un cas particulier d'une algèbre de Clifford. Nommément, ils forment une algèbre de Clifford sur un espace vectoriel à une dimension avec une forme quadratique définie négativement. Comparer ceci avec les nombres complexes qui forment une algèbre de Clifford sur un espace vectoriel à une dimension avec une forme quadratique définie positivement. (NB : certains auteurs permutent les signes dans la définition d'une algèbre de Clifford ce qui interchangera le sens de définie positivement et de définie négativement).

Représentations matricielles [modifier]

Comme dans le cas des nombres complexes (usuels), on peut facilement représenter les nombres complexes fendus par les matrices. Le nombre complexe fendu

$z = x + j.y = 1.x + j.y,$

peut être représenté par la matrice

$z mapsto begin{bmatrix}x & y \ y & xend{bmatrix}$

car

$1 mapsto begin{bmatrix}1 & 0 \ 0 & 1end{bmatrix}$

$j mapsto begin{bmatrix}0 & 1 \ 1 & 0end{bmatrix}$

L'addition et la multiplication des nombres complexes fendus sont alors donnés par l'addition et la multiplication matricielle. La norme de z est donnée par le déterminant de la matrice correspondante. La conjugaison complexe fendue correspond à la multiplication des deux côtés par la matrice

$C = begin{bmatrix}1 & 0 \ 0 & -1end{bmatrix}$

La rotation hyperbolique par $e^{(j.theta)},$ correspond à la multiplication par la matrice

$begin{bmatrix}coshtheta & sinhtheta \ sinhtheta & coshthetaend{bmatrix}$

En travaillant dans la base diagonale, cela nous conduit à la représentation matricielle diagonale

$z mapsto begin{bmatrix}x - y & 0 \ 0 & x + yend{bmatrix}$

Les rotations hyperboliques dans cette base correspond à la multiplication par

$begin{bmatrix}e^{-theta} & 0 \ 0 & e^{theta}end{bmatrix}$

qui montre qu'elles sont des applications encadrantes.

Histoire [modifier]

L'usage des nombres complexes fendus remonte à 1848 lorsque James Cockle exposa ses Tessarines. William Kingdon Clifford utilisa les nombres complexes fendus pour représenter les sommes de spins en 1882. Clifford appela les éléments « motors ».

Dans le vingtième siècle, les nombres complexes fendus devinrent une plateforme commune pour décrire les transformations de Lorentz de la relativité restreinte, dans un espace-temps plat car un changement de vitesse entre des cadres de référence est élégamment exprimé par une rotation hyperbolique.

En 1935, J.C. Vignaux et A. Duranona y Vedia développèrent l'algèbre et la théorie des fonctions géométriques complexes fendues dans quatre articles dans Contribucion a las Ciencias Fisicas y Matematicas, Universidad Nacional de La Plata, Republica Argentina (en espagnol).

Plus récemment, le plan des nombres complexes fendus a été exploité pour exprimer des idées mathématiques, des requêtes et des fonctions. C'est un pont important entre une structure comme le plan complexe ordinaire et le caractère exotique des créations modernes.

Synonymes [modifier]

(Réel) Tessarines James Cockle 1848
(Algébrique) motors W.K. Clifford 1882
numeros complejos hiperbolicos J.C. Vignaux 1935
double nombres I.M. Yaglom 1965 et Hazewinkle 1990
anormal-complex Zahlen W. Benz 1973
nombres perplexes P. Fjelstad 1986
nombres de Lorentz F.R. Harvey 1990
nombres complexes hyperboliques G. Sobczyk 1995
nombres complexes fendus B. Rosenfeld 1997

Voir aussi [modifier]

Références et liens externes [modifier]

Benz, W. (1973)Vorlesungen uber Geometrie der Algebren, Springer
Cockle, James (1848) « A New Imaginary in Algebra », London-Edinburgh-Dublin Philosophical Magazine (3) 33:345-9.
Fjelstadt, P. (1986)"Extending Special Relativity with Perplex Numbers", American Journal of Physics 54:416.
F. Reese Harvey. Spinors and calibrations. Academic Press, San Diego. 1990. ISBN 0-12-329650-1. Contains a description of normed algebras in indefinite signature, including the Lorentz numbers.
Hazewinkle, M. (1990) editor Encyclopaedia of Mathematics Soviet/AMS/Kluyer, Dordrect.
Literature review: The Motor Plane D
Rosenfeld, B. (1997) Geometry of Lie Groups Kluwer Academic Pub.

Sobczyk, G.(1995) Hyperbolic Number Plane (PDF)

Clifford, W.K., Mathematical Works (1882) edited by A.W.Tucker, pp.392-4, « Further Notes on Biquaternions »
Vignaux, J.(1935) « Sobre el número complejo hiperbólico y su relación con la geometría de Borel », Contribución al Estudio de las Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad Nacional de la Plata, República Argentina.

[Enrouler] v · d · m Notion de nombre
Ensembles usuels	$mathbb{N}$ Entier naturel • $mathbb{Z}$ Entier relatif • $mathbb{D}$ Nombre décimal • $mathbb{Q}$ Nombre rationnel • $mathbb{R}$ Nombre réel • $mathbb{C}$ Nombre complexe
Extensions	$mathbb{H}$ Quaternion • $mathbb{O}$ Octonion • $mathbb{S}$ Sédénion • Nombre complexe fendu • Tessarine • $mathbb{C}otimesmathbb{C},$ Nombre bicomplexe • $mathbb{MC}_n$ Nombre multicomplexe • Biquaternion • Coquaternion • Octonion fendu • Nombre hypercomplexe • $mathbb{Q}_p$ Nombre p-adique •Nombre hyperréel • Nombre superréel • Nombre dual • Droite réelle achevée • Nombre cardinal • Nombre ordinal •Nombre surréel et pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité • Nombre premier • Nombre composé • Carré parfait • Nombre parfait • Nombre positif • Nombre négatif • Fraction dyadique •Nombre irrationnel • Nombre algébrique • Nombre transcendant • Nombre imaginaire pur • Nombre de Liouville • Nombre normal •Nombre univers • Nombre constructible • Nombre réel calculable • Nombre transfini • Infiniment petit • Infiniment grand
Exemples d’importance historique	π Pi • √2 Racine carrée de deux • φ Nombre d’or • 0 Zéro • $i$ Unité imaginaire • $e$ Constante de Neper • ℵ₀ Aleph-zéro •Table de constantes mathématiques
Notions connexes	Chiffre • Numération • Fraction • Opération • Calcul • Algèbre • Arithmétique • Suite d’entiers • ∞ Infini • Chiffre significatif

Portail des mathématiques

Catégorie : Nombre hypercomplexe | [+]

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe_fendu

Sédénion

En mathématiques, les sédénions, notés $mathbb S$ , forment une algèbre à 16 dimensions sur les réels. Leur nom provient du latin sedecim qui veut dire seize. Deux sortes sont actuellement connues :

Les sédénions obtenus par application de la construction de Cayley-Dickson
Les sédénions coniques (ou algèbre M).

Sommaire

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Les sédénions de la construction de Cayley-Dickson [modifier]

Arithmétique [modifier]

À l'instar des octonions, la multiplication des sedénions n'est ni commutative ni associative. De plus, par rapport aux octonions, les sédénions perdent la propriété d'être alternatifs.

Les sédénions ont un élément neutre multiplicatif 1 et des inverses pour la multiplication, mais ils ne forment pas une algèbre de division. Cela parce qu'ils ont des diviseurs de zéro.

Chaque sedénion est une combinaison linéaire, à coefficients réels, des sédénions unités 1, e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆, e₇, e₈, e₉, e₁₀, e₁₁, e₁₂, e₁₃, e₁₄ et e₁₅, qui forment la base de l'espace vectoriel des sédénions. La table de multiplication de ces sédénions unitaires est établie comme suit :

e₁

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Les sédénions coniques / algèbre M à 16-dim. [modifier]

Arithmétique [modifier]

À la différence des sédénions issus de la construction de Cayley-Dickson, qui sont construits sur l'unité (1) et 15 racines de l'unité négative (-1), les sédénions coniques sont construits sur 8 racines carrées de l'unité positive et négative. Ils partagent la non-commutativité et la non-associativité avec l'arithmétique des sédénions de Cayley-Dickson ("sédénions circulaires"), néanmoins les sédénions coniques sont modulaires, alternatifs, flexibles mais ne sont pas associatifs de puissances.

Les sédénions coniques contiennent à la fois les sous-algèbres des octonions circulaires, les octonion coniques et les octonions hyperboliques. Les octonions hyperboliques sont de manière calculatoire équivalents aux octonions fendus.

Les sédénions coniques contiennent des éléments idempotents, nilpotents et donc, des diviseurs de zéro. Avec l'exception de leurs éléments nilpotents et zéro, l'arithmétique est close avec le respect des opérations de puissance et de logarithme.

Bibliographie [modifier]

Carmody, Kevin: Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions, Applied Mathematics and Computation 28:47-72 (1988)
Carmody, Kevin: Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Further results, Applied Mathematics and Computation, 84:27-47 (1997)
Imaeda, K., Imaeda, M.: Sedenions: algebra and analysis, Applied Mathematics and Computation, 115:77-88 (2000)
Carmody, Kevin: Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Part III, Online at http://www.kevincarmody.com/math/sedenions3.pdf (2006)

Articles connexes [modifier]

nombre hypercomplexe
- quaternions
- biquaternions
- octonions
- Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9d%C3%A9nion

The Octonions

The Octonions
John C. Baez

Department of Mathematics
University of California
Riverside CA 92521

May 16, 2001

Published in Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145-205.

Errata in Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005), 213.

Also available in Postscript and PDF formats.

Abstract:

The octonions are the largest of the four normed division algebras. While somewhat neglected due to their nonassociativity, they stand at the crossroads of many interesting fields of mathematics. Here we describe them and their relation to Clifford algebras and spinors, Bott periodicity, projective and Lorentzian geometry, Jordan algebras, and the exceptional Lie groups. We also touch upon their applications in quantum logic, special relativity and supersymmetry.

$begin{figure} % latex2html id marker 263 centerline{epsfysize=1.5inepsfbox{fano.eps}}medskipend{figure}$

Table of Contents:

Introduction
1. Preliminaries
Constructing the Octonions
Octonionic Projective Geometry
1. Projective Lines
2. OP¹ and Bott Periodicity
3. OP¹ and Lorentzian Geometry
4. OP² and the Exceptional Jordan Algebra
Exceptional Lie Algebras
1. G₂
2. F₄
3. The Magic Square
4. E₆
5. E₇
6. E₈
Conclusions
1. Acknowledgements
Bibliography

This website also contains some extra stuff, namely:

Octonions Online
links to other websites containing material about the octonions.
Brougham Bridge
pictures of the bridge where Hamilton carved his definition of the quaternions.
On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic and Symmetry
my review of John Conway and Derek Smith's book.
Division algebras and supersymmetry
A paper with John Huerta.

And if all this is too hard for you, try this two-part feature in Plus Magazine:

Curious Quaternions

and

Ubiquitous Octonions

in which Helen Joyce and I have a fun nontechnical chat about the real numbers, complex numbers, quaternions and octonions.

Source : http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/octonions.html

Octonion

En mathématiques, les octonions ou octaves sont une extension non-associative des quaternions. Ils forment une algèbre à 8 dimensions sur les réels. L’algèbre des octonions est généralement notée $mathbb{O}$ .

En perdant l’importante propriété d’associativité, les octonions ont reçu moins d’attention que les quaternions. Malgré cela, les octonions gardent leur importance en algèbre et engéométrie, notamment parmi les groupes de Lie.

Sommaire

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Historique [modifier]

Les octonions ont été découverts en 1843 par John T. Graves, un ami de William Hamilton, qui les appela octaves. Ils furent découverts indépendamment par Arthur Cayley, qui publia le premier article sur le sujet en 1845. Ils sont souvent appelés octaves de Cayley ou algèbre de Cayley.

Définition [modifier]

Chaque octonion est une combinaison linéaire à coefficients réels d’octonions unitaires ${ 1, i, j, k, l, li, lj, lk }$ .

Autrement dit, chaque octonion $x$ peut être écrit sous la forme

$x = x_0 + x_1 . i + x_2 . j + x_3 . k + x_4 . l + x_5 . li + x_6 . lj + x_7 . lk$ ,

avec des coefficients réels $x_n$ . L'ensemble de ces combinaisons linéaires est un espace vectoriel noté $mathbb{O}$ , isomorphe à $mathbb{R}^8$ .

Addition [modifier]

L’addition des octonions se réalise en additionnant les coefficients correspondants, comme pour les nombres complexes et les quaternions :

$(x_0 + x_1 . i + x_2 . j + x_3 . k + x_4 . l + x_5 . li + x_6 . lj + x_7 . lk) +$

$(y_0 + y_1 . i + y_2 . j + y_3 . k + y_4 . l + y_5 . li + y_6 . lj + y_7 . lk) =$

$(x_0+y_0) + (x_1+y_1).i + (x_2+y_2).j + (x_3+y_3).k + (x_4+y_4).l + (x_5+y_5).li + (x_6+y_6).lj + (x_7+y_7).lk$ .

Propriétés [modifier]

L’addition des octonions est commutative :

$x + y = y + x$ ,

associative :

$x + (y + z) = (x + y) + z$ ,

et a un élément neutre, zéro, noté $0$ :

$x + 0 = 0 + x = x$ .

Pour tout octonion $x$ existe un octonion unique, noté $-x$ , tels que leur somme est nulle :

$x + -x = 0$ .
Cet octonion, nommé opposé, s'obtient simplement en prenant l'opposé des coefficients réels de $x$ .

Ainsi l'ensemble des octonions muni de l'addition et de l'opposé est un groupe commutatif.

Soustraction [modifier]

La soustraction des octonions est alors l'opération simplement définie par :

$x - y = x + -y$ .

Multiplication [modifier]

La multiplication des octonions est alors complètement déterminée par la propriété de distributivité à droite et à gauche :

$a . (b + c) = a . b + a . c$
$(a + b) . c = a . c + b . c$

où $a, b, c$ sont des octonions quelconques, et zéro l’élément absorbant, et par la table de multiplication des octonions unitaires ci-dessous :

$.$	$1$	$i$	$j$	$k$	$l$	$li$	$lj$	$lk$
$1$	$1$	$i$	$j$	$k$	$l$	$li$	$lj$	$lk$
$i$	$i$	$-1$	$k$	$-j$	$-li$	$l$	$-lk$	$lj$
$j$	$j$	$-k$	$-1$	$i$	$-lj$	$lk$	$l$	$-li$
$k$	$k$	$j$	$-i$	$-1$	$-lk$	$-lj$	$li$	$l$
$l$	$l$	$li$	$lj$	$lk$	$-1$	$-i$	$-j$	$-k$
$li$	$li$	$-l$	$-lk$	$lj$	$i$	$-1$	$-k$	$j$
$lj$	$lj$	$lk$	$-l$	$-li$	$j$	$k$	$-1$	$-i$
$lk$	$lk$	$-lj$	$li$	$-l$	$k$	$-j$	$i$	$-1$

Dans la table ci-dessus, l’opérande de gauche est indiqué dans la première colonne, et l’opérande de droite est dans la première rangée. Le tableau n'est pas symétrique, ce qui signifie que cette multiplication n'est pas commutative.

La table de multiplication peut être définie entièrement par l'identité remarquable :

$i^2 = j^2 = k^2 = l^2 = ijk = jki = kij = -1$ .

Plan mnémotechnique de Fano [modifier]

Plan mnémotechnique de Fano

Un moyen mnémotechnique pour se rappeler les produits des octonions unitaires est donné par le diagramme ci-contre.

Ce diagramme à 7 points et 7 droites (le cercle passant par $i$ , $j$ et $k$ est considéré comme une droite) est appelé le plan deFano. Les droites sont orientées dans ce diagramme. Les 7 points correspondent aux 7 éléments de base de $mathbb{O}$ . Chaque couple de points distincts se trouve sur une droite unique et chaque droite traverse exactement 3 points.

Soit $(a, b, c)$ un triplet ordonné de points situé sur une droite donnée avec l’ordre donné par la direction de la flèche. La multiplication est donnée par :

$a . b = c$ et

$b . a = -c$

avec des permutations cycliques. Celles-ci opèrent de la manière suivante :

$1$ est l’élément neutre pour la multiplication,
$e^2 = -1$ pour chaque point $e$ du diagramme définit complètement la structure algébrique des octonions.

Chacune des 7 droites génère une sous-algèbre de $mathbb{O}$ isomorphe aux quaternions $mathbb{H}$ .

Conjugué [modifier]

Le conjugué d'un octonion

$x = x_0 + x_1 . i + x_2 . j + x_3 . k + x_4 . l + x_5 . li + x_6 . lj + x_7 . lk$ ,

est donné par

$x^{*} = x_0 - x_1 . i - x_2 . j - x_3 . k - x_4 . l - x_5 . li - x_6 . lj - x_7 . lk$ .

La conjugaison est une involution de $mathbb{O}$ et satisfait

$(x . y)^{*} = y^{*} . x^{*}$

(notons le changement dans l’ordre de succession).

Parties réelle et imaginaire [modifier]

La partie réelle de l’octonion $x$ est définie comme suit

$Re(x) = frac{x + x^{*}}{2} = x_0$

et la partie imaginaire

$Im(x) = frac{x - x^{*}}{2} = x_1 . i + x_2 . j + x_3 . k + x_4 . l + x_5 . li + x_6 . lj + x_7 . lk$

de sorte que pour tout octonion $x$ ,

$Re(x) + Im(x) = x$ ,
$Re(x^{*}) = Re(x)$ ,
$Im(x^{*}) = -Im(x)$ .

L’ensemble de tous les octonions purement imaginaires (dont la partie réelle est nulle) forme une sous-espace à 7 dimensions sur les réels de $mathbb{O}$ , notée $Im(mathbb{O})$ , isomorphe à $mathbb{R}^7$ . Il n'est pas une sous-algèbre parce que la multiplication d'octonions purement imaginaires peut être un réel.

L’ensemble de tous les octonions purement réels (dont la partie imaginaire est nulle) forme une sous-algèbre à 1 dimension de $mathbb{O}$ , notée $Re(mathbb{O})$ , isomorphe à $mathbb{R}$ .

Norme [modifier]

La norme d’un octonion $x$ est définie comme suit

$|x| = sqrt{x . x^{*}}$

Cette racine carrée est bien un nombre réel positif :

$|x|^2 = x . x^{*} = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2$

Cette norme correspond à la norme euclidienne sur $mathbb{R}^8$ .

On a aussi:

$|x| = sqrt{[Re(x)]^2 - [Im(x)]^2}$ ,
$Re(x) = pmsqrt{[Im(x)]^2 + |x|^2}$ ,
$[Im(x)]^2 = [Re(x)]^2 - |x|^2$ (le carré de la partie imaginaire est un réel).

Inverse [modifier]

L’existence d’une norme sur $mathbb{O}$ implique l’existence d’un inverse pour chaque élément distinct de zéro dans $mathbb{O}$ . L’inverse de tout $x$ différent de zéro est donné par

$x^{-1} = |x|^{-2} . x^{*}$

Cela satisfait

$x . x^{-1} = x^{-1} . x = 1$ .

L'ensemble $mathbb{O}^{*}$ des octonions non nuls, muni de la multiplication et de l'inverse, est un magma non-commutatif et non-associatif.

Division [modifier]

La division des octonions $x$ et $y$ est alors définie par l’égalité suivante :

$frac{x}{y} = x . y^{-1} = {|y|}^{-2} . x . y^{*}$ , avec $y$ différent de zéro.

Construction de Cayley-Dickson [modifier]

A l’instar des quaternions assimilés aux couples de nombres complexes (et des nombres complexes assimilés aux couples de nombres réels), les octonions peuvent être traités sous forme de couples de quaternions.

L’addition de couples de quaternions $(a, b)$ et $(c, d)$ est définie par :

$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$

La multiplication de 2 couples de quaternions $(a, b)$ et $(c, d)$ est définie comme suit :

$(a, b) . (c, d) = (a . c - d . b^{*}, a^{*} . d + c . b)$

où $z^{*}$ est le conjugué du quaternion $z$ .

La multiplication d'un nombre réel $a$ par un couple de quaternions $(c, d)$ est définie par :

$a . (c, d) = (a, 0) . (c, d)$ , d’où
$a . (c, d) = (a . c, a . d)$

On peut alors définir l’algèbre des couples de quaternions par l'ensemble $mathbb{H}^2$ des combinaisons linéaires à coefficients réels des couples de quaternions unitaires suivants :

$(1, 0) ; (i, 0) ; (j, 0) ; (k, 0) ;$
$(0, 1) ; (0, i) ; (0, j) ; (0, k)$ .

Cet ensemble, muni des opérations ci-dessus forme une algèbre à 2 dimensions sur l'ensemble des quaternions, et à 8 dimensions sur l'ensemble des nombres réels.

Soit $I_0$ l'opération inversible qui associe à tout quaternion de coordonnées réelles $(a, b, c, d)$ l'octonion de mêmes coordonnées dans la sous-algèbre générée par les octonions unitaires ${ 1, i, j, k }$ .

On montre facilement que l’opération $I$ suivante, qui associe tout couple de quaternions $(c, d)$ de $mathbb{H}^2$ à un octonion de $mathbb{O}$ telle que :

$I(c, d) = I_0(c) + I_0(d) . l$ est bijective.

Il s'ensuit que $mathbb{H}^2$ est isomorphe à $mathbb{O}$ .

On démontre alors que les additions et multiplications d’octonions $o_1$ et $o_2$ dans $mathbb{O}$ sont équivalentes aux opérations ci-dessus de couples de quaternions $(a_1, b_1)$ et $(a_2, b_2)$ dans $mathbb{H}^2$ :

$I^{-1}(I(a_1, b_1) + I(a_2, b_2)) = (a_1, b_1) + (a_2, b_2)$ ,
$I^{-1}(I(a_1, b_1) . I(a_2, b_2)) = (a_1, b_1) . (a_2, b_2)$ ,
$I(I^{-1}(o_1) + I^{-1}(o_2)) = o_1 + o_2$ ,
$I(I^{-1}(o_1) . I^{-1}(o_2)) = o_1 . o_2$ .

Par suite, on pourra simplement définir les octonions au moyen de couples de quaternions, en incluant les quaternions dans l'ensemble des octonions munis des opérations de laconstruction de Cayley-Dickinson et des égalités suivantes :

$(1, 0) = 1 ; (i, 0) = i ; (j, 0) = j ; (k, 0) = k ;$
$(0, 1) = l ; (0, i) = il ; (0, j) = jl ; (0, k) = kl.$ .

(dans ce cas, l’isomorphisme $I$ ci-dessus qui devient une simple identité.)

Propriétés [modifier]

La multiplication des octonions n'est ni commutative :

$i . j = - j . i$

ni associative :

$(i . j) . l = -i . (j . l)$ .

Elle satisfait une forme plus faible que l’associativité : l’alternativité. Cela signifie que la sous-algèbre générée par 2 éléments quelconques $(a, b)$ est associative :

$(a . b) . b = a . (b . b)$ .

On peut montrer que la sous-algèbre générée par 2 éléments quelconques de $mathbb{O}$ est isomorphe à $mathbb{R}$ , $mathbb{C}$ , ou $mathbb{H}$ , qui sont tous associatifs.

Les octonions partagent une propriété importante avec $mathbb{R}$ , $mathbb{C}$ , et $mathbb{H}$ : la norme sur $mathbb{O}$ qui satisfait

$|x . y| = |x| . |y|$

Cela implique que les octonions forment une algèbre de division normée non-associative. Les algèbres de plus haute dimensions définies par la construction de Cayley-Dickson (par exemple les sédénions) ne satisfont pas cette propriété : elles ont toutes des diviseurs de zéro et leurs multiplications ne satisfont plus la conservation des normes.

Il s’avère que les seules algèbres de division normées sur les réels sont $mathbb{R}$ , $mathbb{C}$ , $mathbb{H}$ et $mathbb{O}$ . Ces 4 algèbres forment aussi les seules algèbres de division alternatives, de dimension finie sur les réels.

La multiplication des octonions n’étant pas associative, les éléments de $mathbb{O}$ distincts de zéro ne forment pas un groupe algébrique, ni un corps ou un anneau. Ils forment un quasigroupeou groupe additif.

Automorphismes [modifier]

Un automorphisme $A$ des octonions est une transformation linéaire inversible de $mathbb{O}$ sur lui-même qui vérifie

$A(x . y) = A(x) . A(y)$ .

L’ensemble des automorphismes de $mathbb{O}$ forme un groupe noté $mathbb{G}_2$ . Le groupe $mathbb{G}_2$ est un groupe de Lie réel simplement connexe et compact, de dimension 14. Ce groupe est le plus petit des 5 groupes de Lie exceptionnels.

Sous-algèbres particulières [modifier]

On vérifie aisément que toutes les opérations dans la sous-algèbre des octonions dont la partie imaginaire est nulle sont équivalentes aux opérations dans l’algèbre des réels. De même la sous-algèbre des octonions dont toutes les dimensions réelles sauf les 2 premières sont nulles est équivalente à l’algèbre des complexes. De même la sous-algèbre des octonionsdont toutes les dimensions réelles sauf les 4 premières sont nulles est équivalente à l’algèbre des quaternions.

Par conséquent on identifiera les nombres réels, complexes et quaternions comme des octonions particuliers, qu’on notera de la même façon : $mathbb{R} subset mathbb{C} subset mathbb{H} subset mathbb{O}$ .

Voir aussi [modifier]

Liens externes et références [modifier]

The Octonions - un article de John C. Baez
Octonion Fractals - fractales générées par l’utilisation des octonions
Dictionnaire des nombres

[Enrouler] v · d · m Notion de nombre
Ensembles usuels	$mathbb{N}$ Entier naturel • $mathbb{Z}$ Entier relatif • $mathbb{D}$ Nombre décimal • $mathbb{Q}$ Nombre rationnel • $mathbb{R}$ Nombre réel • $mathbb{C}$ Nombre complexe
Extensions	$mathbb{H}$ Quaternion • $mathbb{O}$ Octonion • $mathbb{S}$ Sédénion • Nombre complexe fendu • Tessarine • $mathbb{C}otimesmathbb{C},$ Nombre bicomplexe • $mathbb{MC}_n$ Nombre multicomplexe • Biquaternion • Coquaternion • Octonion fendu • Nombre hypercomplexe • $mathbb{Q}_p$ Nombre p-adique •Nombre hyperréel • Nombre superréel • Nombre dual • Droite réelle achevée • Nombre cardinal • Nombre ordinal •Nombre surréel et pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité • Nombre premier • Nombre composé • Carré parfait • Nombre parfait • Nombre positif • Nombre négatif • Fraction dyadique •Nombre irrationnel • Nombre algébrique • Nombre transcendant • Nombre imaginaire pur • Nombre de Liouville • Nombre normal •Nombre univers • Nombre constructible • Nombre réel calculable • Nombre transfini • Infiniment petit • Infiniment grand
Exemples d’importance historique	π Pi • √2 Racine carrée de deux • φ Nombre d’or • 0 Zéro • $i$ Unité imaginaire • $e$ Constante de Neper • ℵ₀ Aleph-zéro •Table de constantes mathématiques
Notions connexes	Chiffre • Numération • Fraction • Opération • Calcul • Algèbre • Arithmétique • Suite d’entiers • ∞ Infini • Chiffre significatif

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Octonion

Clifford Algebras, Supersymmetry and $Z_n-$symmetries: Applications in Field Theory

M. Rausch de Traubenberg

(Submitted on 20 Feb 1998)

After a short introduction on Clifford algebras of polynomials, we give a general method of constructing a matrix representation. This process of linearization leads naturally to two fundamental structures: the generalized Clifford algebra (GCA) and the generalized Grassmann algebra (GGA) which are studied. Then, it is proved that if we equip the GGA with a differential structure, we obtain the $q-$deformed Heisenberg algebra or the $q-$oscillators. Finally, it is shown that the $q-$deformed Heisenberg algebra is the basic tool to define an adapted superspace leading to the extension of supersymmetry called fractional supersymmetry of order $F$ (FSUSY), $F=2$ corresponding to the usual supersymmetry. Local FSUSY in one dimension is then contructed in the world-line formalism, and an extension of the Dirac equation is obtained. In two dimensions, it turns out that FSUSY is a conformal field theory and in addition to the stress energy tensor, a supercurrent of conformal weight $1+1/F$, which generates a symmetry between the primary fields of conformal weight $(0,1, cdots, 1-1/F$), is obtained. The algebra is explicitly constructed. We also show that in $1+2$ dimensions FSUSY is a non-trivial extension of the Poincar'e algebra which generates a symmetry among fractional spin states or anyons. Unitarity of the representation is checked. Finally, we prove that, independently of the dimension, a natural classification emerges according to the decomposition of $F$ as a product of prime numbers and that FSUSY is a symmetry which closes non-linearly, and is sustained by mathematical structures that go beyond Lie or super-Lie algebras.

Comments:	LaTex, fancyheadings.sty, epsfig.sty, floatfig.sty, 106 pages, 2 figures, Habilitation Thesis (in French)
Subjects:	High Energy Physics - Theory (hep-th)
Report number:	LPT Strasbourg 97-02
Cite as:	arXiv:hep-th/9802141v1

Submission history

From: Michel Rausch [view email]
[v1] Fri, 20 Feb 1998 10:35:31 GMT (100kb)

Source : http://arxiv.org/abs/hep-th/9802141

Nombre multicomplexe

En mathématiques, les nombres multicomplexes, dont l'ensemble est noté $mathbb{M} mathbb{C}_n$ , forment une algèbre commutative de dimension n sur le corps des nombres réels, engendrée par un élément e qui satisfait $e^n = -1,$ (avec n > 1).

Un nombre multicomplexe x peut être écrit de manière unique sous la forme

$x = sum_{i = 0}^{n-1} x_i e^i,$

avec $~x_i,$ réels.

Si n= 2, on retrouve les nombres complexes.

L'algèbre obtenue est isomorphe à l'algèbre quotient $frac{mathbf{R}[X]}{(X^n+1)}$ .

Il est possible d'écrire tout nombre multicomplexe x non nul sous la forme d'une représentation exponentielle

$x = sum_{i=0}^{n-1} x_i e^i = rho exp ( sum_{i=1}^{n-1} Theta{}_i e^i )$ .

Un cas particulier des nombres multicomplexes (pour n = 4) sont les nombres bicomplexes.

Références [modifier]

G. Baley Price, An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, Marcel Dekker Inc., New York, 1991
Michel Rausch de Traubenberg, Algèbres de Clifford, Supersymétrie et Symétries Z_n: Applications en Théorie des Champs, Habilitation, Université Louis Pasteur, Strasbourg 1997 pp. 20-29.

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Propriétés particulières	Parité • Nombre premier • Nombre composé • Carré parfait • Nombre parfait • Nombre positif • Nombre négatif • Fraction dyadique •Nombre irrationnel • Nombre algébrique • Nombre transcendant • Nombre imaginaire pur • Nombre de Liouville • Nombre normal •Nombre univers • Nombre constructible • Nombre réel calculable • Nombre transfini • Infiniment petit • Infiniment grand
Exemples d’importance historique	π Pi • √2 Racine carrée de deux • φ Nombre d’or • 0 Zéro • $i$ Unité imaginaire • $e$ Constante de Neper • ℵ₀ Aleph-zéro •Table de constantes mathématiques
Notions connexes	Chiffre • Numération • Fraction • Opération • Calcul • Algèbre • Arithmétique • Suite d’entiers • ∞ Infini • Chiffre significatif

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_multicomplexe

Benoît Mandelbrot

Benoît Mandelbrot
Benoît Mandelbrot, en 2007
Naissance	20 novembre 1924 Varsovie (Pologne)
Décès	14 octobre 2010 (à 85 ans) Cambridge, Massachusetts (États-Unis)
Nationalité	Franco-américain
Champs	Mathématiques, théorie de l'information
Institution	Université Yale International Business Machines (IBM)
Diplômé	École polytechnique California Institute of Technology
Célèbre pour	Ensemble de Mandelbrot Fractales
Distinctions	Médaille Franklin (1986) Prix Wolf (1993) Prix japonais (2003)
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Benoît Mandelbrot est un mathématicien franco-américain, né à Varsovie le 20 novembre 1924 et mort le 14 octobre 2010 àCambridge, dans le Massachusetts¹. Il a travaillé, au début de sa carrière, sur des applications originales de la théorie de l’information, puis développé ensuite une nouvelle classe d’objets mathématiques : les objets fractals, ou fractales.

Sommaire

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Biographie [modifier]

Mandelbrot est né à Varsovie, dans une famille juive d’origine lituanienne, d’un père revendeur de vêtements et d’une mère médecin. Son oncle Szolem Mandelbrojt était professeur de mathématiques au Collège de France. Sa famille a quitté la Pologne pour Paris afin de fuir la menace hitlérienne. C’est à Paris qu’il fut initié aux mathématiques par deux oncles. L’invasion allemande force la famille à se réfugier ensuite à Brive-la-Gaillarde, où il est aidé, pour la continuation de ses études, par le rabbin David Feuerwerker. Après avoir fréquenté le lycée Edmond-Perrier de Tulle, il poursuit ses études au lycée du Parc, à Lyon.

Années de jeunesse : un départ brillant [modifier]

Après avoir quitté l’École polytechnique (promotion 1944), où il a suivi les cours d’un spécialiste du calcul des probabilités (Paul Lévy), il s’intéresse aux phénomènes d’information, les idées de Claude Shannon étant alors en plein essor. Intrigué par la loi de Zipf, empirique et contestée, il la pose en termes de minimisation des coûts de stockage et d’utilisation des mots par l’esprit. Par élimination de la variable de coût entre les deux équations, se révèle une loi qui n’a, cette fois-ci, plus rien d’empirique : c’est la loi de Mandelbrot, dont celle de Zipf n’est qu’un cas particulier, et qui répond mieux qu’elle aux observations (expliquant en particulier le coude toujours observé dans les distributions, et non expliqué par la loi de Zipf). Ce travail lui vaut une notoriété immédiate, en particulier grâce à un ouvrage de Léon Brillouin : Science et théorie de l’information, qui aura d’ailleurs un succès bien plus grand dans sa traduction anglaise : Science and information theory (les conventions typographiques catastrophiques de l’ouvrage français n’y sont pas étrangères^{[réf. nécessaire]}).

La traversée de l'océan [modifier]

Il quitte alors la France une année, vers la Californie, mais y revient en 1949, jusqu’en 1958, époque où il retourne à nouveau aux États-Unis d’Amérique, attiré, d’après lui, par une plus grande liberté de créativité, non restreinte à une seule discipline précise. Il travaille comme chercheur chez IBM sur la transmission optimale dans les milieux bruités, tout en poursuivant son travail sur des objets étranges jusque-là assez négligés par les mathématiciens : les objets à complexité récursivement définie, comme la courbe de Von Koch, auxquels il pressent une unité. Le mathématicien Felix Hausdorff a d’ailleurs préparé le terrain en définissant pour ces objets une dimension non-entière, la dimension de Hausdorff. Quant au mathématicienGaston Julia, il a défini des objets qui ont un air de famille avec le tout.

Un nouveau paradigme [modifier]

Frontière de l’ensemble de Mandelbrot (détail).

Les inflorescences fractales d’un chou romanesco.

Il signe en 1973 dans une revue d’économie l’article Formes nouvelles du hasard dans les sciences². Cet article critique le manque d’intérêt des chercheurs de nombreuses disciplines pour les fluctuations aléatoires, se cantonnant trop à étudier les moyennes à long terme. Il cite des exemples pris dans son domaine à IBM, la transmission du signal, mais également dans des domaines inattendus : les crues du Nil, la forme des nuages, celle des fleuves.

Il arrive à la conclusion qu’il n’y a pas une forme de hasard, qui conduirait toujours à une égalisation par la loi des grands nombres. Il s’agit là d’une illusion due au fait que nous n’étudions que ces exemples en nous détournant des autres comme mal conditionnés, comme les mathématiciens se sont détournés du flocon de Koch qu’ils considéraient comme un objetmonstrueux : les sphères ou les triangles sont considérés comme des objets acceptables par les mathématiciens de l’époque, mais pas les nuages ni les arbres (du moins en tant qu’objets géométriques). Les mathématiques de cette époque restentmuettes sur les monstres. Pas étonnant dans ces conditions que les mathématiques existantes soient considérées comme ayant un immense pouvoir d’explication des phénomènes scientifiques, car nous ne considérons comme scientifiques que les phénomènes qu’elles permettent d’expliquer ! Nous sommes pris dans le piège d’un argument circulaire dont nous ne pouvons plus sortir.

Or, ajoute Mandelbrot, c’est l’essentiel des phénomènes de la nature qui obéissent à cet autre type de hasard où l’on ne peut appliquer la loi des grands nombres. Le modèle standard nous fait passer à côté de la plus grande partie de la réalité, et va jusqu’à nous empêcher même de la voir.

En 1967 il citait déjà comme exemple de cette nouvelle forme de hasard à étudier, dans son célèbre article How Long Is the Coast of Britain? (en), la côte de Grande-Bretagne, dont la longueur dépend de l’échelle à laquelle on la mesure, et qui possède une dimension de Hausdorff non-entière, comprise entre 1 et 2 : elle ne constitue à proprement parler ni un objet à une dimension, ni un objet à deux dimensions, et c’est en acceptant l’idée de dimension non-entière que nous allons pouvoir attaquer ces objets qui ont toujours échappé à notre étude : la théorie fractale est, dès cet article, officieusement lancée.

Les principes en seront publiés avec une très grande quantité d’exemples (hydrologie, structure du poumon, granulation des bétons, paradoxe d’Olbers, turbulences en mécanique des fluides, urbanisme des villes, et même trous de l’Appenzeller) dans un ouvrage qui fait depuis référence : Les Objets fractals - Forme, hasard et dimension en 1974. Il y présente au lecteur des objets jusqu’alors peu connus : flocon de Koch, éponge de Sierpinski (ou éponge de Menger, ou de Sierpinski-Menger), que les mathématiciens gardaient pudiquement dans leurs tiroirs. Tous ces exemples ont en commun ce que l’auteur nomme unehomothétie d’échelle et qu’il désignera quelques années plus tard sous le nom d’autosimilarité (self-similarity).

Le caractère novateur du livre (paru au départ en France) en fait un succès immédiat, mondial, et qui touche cette fois-ci le grand public. Les exemples de la première édition de cet ouvrage étaient tous en noir et blanc pour des raisons d’économie et de technologie des écrans. Par la suite, les fractales se révélant un outil efficace pour la synthèse d’images complexes, on n’en verra plus qu’en couleurs.

Mandelbrot a donné son nom à une famille de fractales (dites de Mandelbrot), définies par la relation de récurrence z_n+1 = z_n² + c, c étant un nombre complexe quelconque.

Son travail sur les fractales en tant que mathématicien à IBM lui a valu un Emeritus Fellowship au laboratoire de recherche T. J. Watson. Ses travaux y ont été repris par son collaborateur, Richard Voss. Il a été lauréat de la médaille Franklin en 1986.

En plus de la découverte des fractales en mathématiques, il a montré le grand nombre d’objets bien décrits par des fractales dans la nature, conduisant ainsi à de nouveaux terrains derecherche. Des fractales se retrouvent également dans des phénomènes étudiés en théorie du chaos.

Professeur à l’université Yale (1987), conférencier au Conservatoire national des arts et métiers (1994, 2000).

En 1991, Mandelbrot, systématiquement invité à tout hasard à chaque congrès portant sur les fractales, se rendit compte qu’il y en avait eu plus d’un par jour en moyenne cette année-là.

Le 23 novembre 1990, il est fait chevalier de la Légion d’honneur, et est promu officier le 1^er janvier 2006, une distinction qui lui est remise le 11 septembre 2006 par son camarade de promotion à l’École polytechnique, le sénateur Pierre Laffitte³.

La finance [modifier]

Analyse simplifiée d’un marché.

Benoît Mandelbrot est également à l’origine en 1961 d’un modèle d’évolution des cours de la bourse basée sur la géométrie fractale. Cette théorie financière a l’avantage de mieux détecter la survenue des variations extrêmes, ce que ne permet pas l’usage de l’analyse technique basée sur la théorie de Dow. D’abord reconnue pertinente, elle a été ensuite mise de côté pour cause de complexité, avant d’être réutilisée depuis la fin des années 1990, riches en turbulences financières.

En 1997, Mandelbrot propose un nouveau modèle plus précis en supprimant les sauts de Lévy par des processus où la discontinuité s’atténue sur le long terme et intègre l’effet de mémoire des fluctuations boursières. Il introduit un temps « multifractal » pour décrire les alternances de périodes calmes et agitées observées sur les marchés financiers : l’amplitude des variations peut rester indépendante d’un jour à l’autre tout en étant corrélée sur de très longues périodes de temps⁴

En 2004, il a publié Une approche fractale des marchés dans lequel il dénonce les outils mathématiques de la finance parce qu’il les juge inadaptés⁵. Cette même année, il avait demandé, sans succès, que les banques et les grandes institutions financières consacrent une petite partie de leur budget à la recherche fondamentale⁵.

Benoît Mandelbrot est en particulier très critique sur la théorie de Merton, Black et Scholes⁵ utilisée par les banques, parce que, selon lui, elle ne prend pas en compte les changements de prix instantanés et des informations essentielles⁵, faussant ainsi les moyennes.

Le récit [modifier]

En 1994, dans La Dramaturgie, Yves Lavandier affirme que la théorie fractale s’applique à merveille aux mécanismes du récit. La forme simple protagoniste-objectif-obstacles se retrouve à différentes échelles : la série, l’œuvre unitaire, l’acte logistique, l’acte dramatique, la séquence, la scène, jusqu’à certains dialogues. C’est la spécificité de chaque composant et la combinaison de milliers de formes simples qui donnent à chaque récit son caractère unique et son apparente originalité.

Bibliographie [modifier]

Les Objets fractals : forme, hasard, et dimension, trad., Flammarion, 1973.
Les Objets fractals, survol du langage fractal, Flammarion, 1975, 1984, 1989, 1995.
(en) The Fractal Geometry of Nature, Benoît Mandelbrot, 1982.
Fractales, hasard et finance, Flammarion, 1959, 1997.
(en) The (Mis)Behaviour of Markets, Benoît Mandelbrot, Profile Books, 2004.
Une approche fractale des marchés, Benoît Mandelbrot & Richard Hudson, éditions Odile Jacob, 2005.

Notes et références [modifier]

↑ (en)Benoit Mandelbrot, Mathematician, Dies at 85 [archive], New York Times, publié le 16 octobre 2010.
↑ Mandelbrot Benoît, Formes nouvelles du hasard dans les sciences, Économie appliquée, vol. 26, 1973, p. 307-319.
↑ PREX0508911D [archive].
↑ Jouer en Bourse, c’est vraiment risqué : « Le grand bluff des modèles financiers », Aurélien Prévost, Science et Vie, n^o 1068, septembre 2006, page 112.
↑ ^{a, b, c et d} Interview de Benoît Mandelbrot par Annie Kahn - « Benoît Mandelbrot : Il était inévitable que des choses très graves se produisent » [archive], Le Monde, 17 octobre 2009.

Voir aussi [modifier]

Sur les autres projets Wikimédia :

Benoît Mandelbrot sur Wikimedia Commons (ressources multimédia)
Benoît Mandelbrot sur Wikiquote(recueil de citations)

Liens externes [modifier]

(en) Page de B. Mandelbrot à l’université Yale
Conférence de Benoît Mandelbrot à l’université de tous les savoirs
(vidéo) Benoît Mandelbrot, « Benoît Mandelbrot: Les fractales et l'art de la rugosité. », Conférence TED, février 2010, anglais sous-titré français, 17 min 10 s.
(en) Cérémonie IgNobel 2008

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Beno%C3%AEt_Mandelbrot

1000fractales.free.fr

Pour commencer...

Une fractale, qu'est-ce que c'est ?

Fractal est un mot inventé par Benoît Mandelbrot en 1974 sur la racine latine fractus qui signifie brisé. Fractal était au départ un adjectif : les objets fractals. On nomme fractale (nom féminin) une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques*.

Les fractales sont des objets qui se répètent récursivement à l'intérieur d'eux-même à plus ou moins grande échelle, et cela de façon infinie. Ces objets peuvent être obtenus à partir d'éléments simples, par des courbes ou des ensembles de points.

« Les fractales possèdent une curieuse propriété mathématique : elles présentent essentiellement la même structure à toutes les échelles. »

Field, Michael et Golubitsky, Martin,
La symétrie du chaos,
InterÉditions, 1993, p. 160.

* Le calcul stochastique est l’étude des phénomènes aléatoires dépendants du temps. À ce titre, il est une extension de la théorie des probabilités. Le domaine d’application du calcul stochastique comprend la mécanique quantique, la chimie, les mathématiques financières, et même la musique.

Le dada des scientifiques

Mathématiciens et physiciens utilisent des fonctions élaborées pour décrire des systèmes très complexes. Le vivant génère des fractales tout autour de nous : par exemple les branches des arbres ou les alvéoles du poumon.

Ces fractales peuvent être réparties en trois grandes catégories :

Les systèmes itérés de fonctions. Ceux-ci ont une règle de remplacement géométrique fixe (l'ensemble de Cantor, le tapis de Sierpinski, le triangle de Sierpinski, la courbe de Peano, le flocon de Koch).
Les fractales définies par une relation de récurrence en chaque point dans un espace (tel que le plan complexe).Des exemples de ce type sont les ensembles de Mandelbrot et le fractal de Lyapunov.
Les fractales aléatoires, générées par des processus stochastiques et non déterministes, par exemples les paysages fractals.

Les mathématiciens utilisent l'informatique pour calculer et visualiser des objets fractals. Fascinés par le résultat esthétique de ces réalisations, certains ont créé des logiciels permettant de générer des images fractales du plus bel effet.

«Depuis l'invention de Mandelbrot, les algorithmes fractals ont servi à produire des images d'une grande beauté. Peut-on parler d'art ? Les maths étant considérés comme une science, une polémique est née dans les milieux artistiques qui soutiennent que l'art doit être réservé à la créativité de l'esprit. Mais la beauté troublante des fractales, qui sont capables de produire des images décrivant une nouvelle géométrie de la nature, ouvre des perspetives et des sources de réflexion d'un nouveau type.»

Helen Kemiktsis,
http://users.hol.gr/~helen/index.files/fractales/fractales.htm

En savoir plus

Source : http://1000fractales.free.fr/site.htm

Liste de fractales par dimension de Hausdorff

Cet article est une liste de fractales, ordonnées par dimension de Hausdorff croissante.

En mathématiques, une fractale est un ensemble dont la dimension de Hausdorff (notée δ) est strictement supérieure à la dimension topologique¹.

Sommaire

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Fractales déterministes [modifier]

δ < 1 [modifier]

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Illustration	Remarques
0 ⇒ donc pas une fractale mais dim box-counting = 1	0	Nombres rationnels	La dimension de Hausdorff des ensembles dénombrables vaut toujours zéro. Ces ensembles ne peuvent être fractals. Ajoutons que la dimension "box counting" d'un tel ensemble peut être différent s'il s'agit d'un sous-ensemble dense d'une région ouverte de R. L'ensemble des nombres rationnels a ainsi une dimension box-counting de "1" car sa clôture est R¹.
Calculé	0.538	Attracteur de Feigenbaum		L'attracteur de Feigenbaum (entre les flèches) est l'ensemble des points générés par itérations successives de la fonction logistique pour le paramètre critique $scriptstyle{lambda_infty = 3.570}$ , où le doublement de périodes est infini. Remarque : cette dimension est la même pour toute fonction différentiable et unimodale².
$textstyle{frac {ln(2)} {ln(3)}}$	0,6309	Ensemble de Cantor		Construit en retirant le tiers central à chaque itération. Nulle part denseet de mesure nulle mais indénombrable. Généralisation : L'ensemble de Cantor généralisé se construit en retirant à chaque segment et à la $n e m e$ itération, le segment central de longueur $γ m$ . Sa dimension fractale vaut alors $textstyle{-frac{log(2)}{log(frac{1-gamma}{2})}}$ et peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 1. L'ensemble de Cantor usuel est construit avec $scriptstyle{gamma=1/3}$ ³.
$textstyle{frac {log(scriptstylevarphi)}{log(2)}}$	0.6942	Ensemble de Cantorasymétrique		Remarquer que la dimension n'est plus $textstyle{frac {log(2)}{log(3)}}$ ⁴. Construit en retirant le deuxième quart à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais indénombrable. $scriptstylevarphi = (1+sqrt{5})/2$ (nombre d'or).
$textstyle{frac {log(5)}{log(10)}}$	0.69897	Nombres réels avec décimales paires		Similaire à un ensemble de Cantor¹.
$textstyle{frac {ln(5)} {ln(9)}}$	0,7325	Fractale UNU		Fractale auto-descriptive construite par itérations successives du schéma suivant : u → unu (un « u ») → unuunnunu (un « u », un « n », un « u ») → etc.

1 ≤ δ < 2 [modifier]

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Illustration	Remarques
1	1.0000	Ensemble de Smith-Volterra-Cantor		Construit en retirant le quart, puis le seizième, le 64^e… central à chaque itération. N'est nulle part dense mais est indénombrable et a pour mesure de Lebesgue 1/2. Il a donc pour dimension 1.
$textstyle{2+frac {log(1/2)} {log(2)}}$	1.0000	Courbe de Takagi ou Blanc-manger		Définie sur l'intervalle unité par $textstyle{f(x) = sum_{n=0}^infty {s(2^{n}x)over 2^n}}$ , où $s (x)$ est la fonction "dents de scie". Cas particulier de la courbe de Takahi-Landsberg: $textstyle{f(x) = sum_{n=0}^infty {w^n s(2^{n}x)}}$ avec $scriptstyle{w = 1/2}$ . La dimension de Hausdorff vaut $2 + l o g (w) / l o g (2)$ . (Hunt cité par Mandelbrot ⁵ ).
calculé	1.0812	Ensemble de Julia z² + 1/4		Ensemble de Julia pour c = 1/4⁶.
Solution s de $2 \| α \| 3 s + \| α \| 4 s = 1$	1.0933	Frontière de la Fractale de Rauzy	$Rauzy fractal.png$	Représentation géométrique du système dynamique associé à la substitution de Tribonacci: $scriptstyle{1mapsto12}$ , $scriptstyle{2mapsto13}$ et $scriptstyle{3}mapsto1$ ⁷.. $α$ est l'une des deux racines complexes conjuguées de $z 3 - z 2 - z - 1 = 0$ .
$textstyle{2frac {ln(3)} {ln(7)}}$	1,12915	Île de Gosper		Baptisée par Mandelbrot (1977)⁸. Frontière de la courbe de Gosper.
Mesuré (Box counting)	1.2	Ensemble de Julia"Dendrite"		Ensemble de Julia pour c=i
$textstyle{3frac{log(varphi)}{log left(frac{3+sqrt{13}}{2}right)}}$	1.2083	Fractale du mot de Fibonacci à 60 °		Construite à partir du Mot de Fibonacci, avec un angle à 60°. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous ⁹. Avec $scriptstylevarphi = (1+sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).
1.2107	Frontière du tame twindragon		Un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille).¹⁰
$textstyle{frac{log(3)}{log(1+sqrt{2})}}$	1.2465	Frontière de la fractale du mot de Fibonacci	$Fibonacci word fractal boundary.png$	Construite à partir du Mot de Fibonacci. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous ⁹. Avec $scriptstylevarphi = (1+sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).
1,26	Attracteur de Hénon		La carte de Hénon canonique (a = 1,4 et b = 0.3) possède δ = 1,261 ± 0,003. Différents paramètres conduisent à différentes valeurs de δ
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(3)}}$	1,2619	Courbe de Koch		En juxtaposant 3 fois cette courbe en triangle on obtient le flocon de Koch et l'anti-flocon de Koch si elle est inversée.
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(3)}}$	1,2619	Frontière de la Courbe Terdragon		L-System : similaire à la courbe du dragon avec un angle de 30°. Le Fudgeflake est construit en juxtaposant 3 segments initiaux en triangle.
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(3)}}$	1,2619	Carré de Cantor		Ensemble de Cantor en deux dimensions.
calculé	1,2683	Ensemble de Julia pour z²-1		Ensemble de Julia pour c=-1¹¹.
Mesuré (box-counting)	1,3	Fractale Beryl pour k=1	$Beryl fractal.png$	Pour k=1. La fractale Béryl est définie par f(x, y)→(k(x+y), xy) avec x et y complexes et la coupe dans le plan $ν 0 = 1$ ¹²
calculé	1,3057	Baderne d'Apollonius		Voir ¹³
calculé (box-counting)	1.328	Fractale d'inversion à 5 cercles		L'ensemble limite généré itérativement via des inversions par rapport à 5 cercles tangents. Également une baderne d'Apollonius à 4 cercles de base. Voir ¹⁴
calculé	1.3934	Lapin de Douady		Ensemble de Julia pour c=-0,123+0.745i¹⁵.
Mesuré (box counting)	1,42 +/- 0,02	Fractale de Newton	$Newton fractal.png$	Frontière triple des bassins d'attraction des 3 racines complexes de l'equation $z 3 - 1 = 0$ par la méthode de Newton.
$textstyle{frac {ln(5)} {ln(3)}}$	1,4649	Fractale de Vicsek	$Box fractal.png$	Construit en substituant itérativement chaque carré par une croix de 5 carrés.
$textstyle{frac {ln(5)} {ln(3)}}$	1,4649	Courbe de Koch quadratique(type 1)		On y retrouve le motif de la fractale box (voir ci-dessus), construit différemment.
$textstyle{frac {ln(8)} {ln(4)}}$	1,5000	Courbe de Koch quadratique(type 2)		Appelée également « saucisse de Minkowski ».
$textstyle{2 -frac{log(sqrt{2})}{log(2)}}$ (supposé exact)	1.5000	une fonction de Weierstrass: $textstyle{f(x)=sum_{k=1}^infty frac {sin(2^k x)} {sqrt{2}^k}}$		La dimension de Hausdorff de la fonction de Weierstrass $scriptstyle{f : [0,1] to mathbb{R}}$ définie par $textstyle{f(x)=sum_{k=1}^infty frac {sin(b^k x)} {a^k}}$ avec $1 < a < 2$ et $b > 1$ a pour borne supérieure $scriptstyle{2 -log(a)/log(b)}$ . Il est conjecturé qu'il s'agit de la valeur exacte. Le même résultat peut être établi en utilisant, à la place de la fonction sinus, d'autres fonctions périodiques comme cosinus¹.
$textstyle{frac{logleft(frac{1+sqrt[3]{73-6sqrt{87}}+sqrt[3]{73+6sqrt{87}}}{3}right)} {log(2)}}$	1,5236	Frontière courbe du dragon		Cf. Chang & Zhang¹⁶.
$textstyle{frac{logleft(frac{1+sqrt[3]{73-6sqrt{87}}+sqrt[3]{73+6sqrt{87}}}{3}right)} {log(2)}}$	1.5236	Frontière du twindragon		Un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille).¹⁰
$textstyle{frac {ln(3)} {ln(2)}}$	1,5849	Arbre à trois branches		Chaque branche porte trois branches (ici 90 ° et 60°). La dimension fractale de l'arbre est celle des branches terminales.
$textstyle{frac {ln(3)} {ln(2)}}$	1,5849	Triangle de Sierpiński		C'est également le triangle de Pascal modulo 2.
$textstyle{frac {ln(3)} {ln(2)}}$	1,5849	Courbe de Sierpiński en pointe de flèche		Même limite que le triangle de Sierpiński (ci-dessus), mais obtenue par itérations d'une courbe unidimensionnelle.
$textstyle{frac {ln(3)} {ln(2)}}$	1,5849	Frontière de la fractale de l'équerre (T-square)	$Boundary T-Square fractal.png$
$textstyle{frac{log{varphi}}{log{sqrt[varphi]{varphi}}}}$	1,61803 = $varphi$	un dragon d'or		Construit avec deux homothéties de rapport $r$ et $r 2$ , avec $scriptstyle{r = 1 / varphi^{1/varphi}}$ . La dimension vaut $scriptstyle{varphi}$ car $scriptstyle{({r^2})^varphi+r^varphi = 1}$ . Avec $scriptstylevarphi = (1+sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).
$1 + l o g 3 (2)$	1,6309	Triangle de Pascal modulo 3		D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est $scriptstyle 1 + log_k(frac{k+1}{2})$ (Cf.Stephen Wolfram¹⁷)
$textstyle{3frac{log(varphi)}{log (1+sqrt{2})}}$	1,6379	Fractale du mot de Fibonacci	$Fibonacci fractal F23 steps.png$	Fractale basée sur le mot de Fibonacci (ou séquence du Lapin) Sloane A005614. Illustration : Fractale après F₂₃ = 28657 segments⁹.. Avec $scriptstylevarphi = (1+sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).
Solution de $scriptstyle{(1/3)^s + (1/2)^s + (2/3)^s = 1}$	1.6402	Attracteur d'un IFS avec 3similitudes de ratios 1/3, 1/2 and 2/3		Generalisation : Supposant la condition d'ensemble ouvert satisfaite, l'attracteur d'un système de fonctions itérées à $n$ simulitudes de ratio $c n$ , a pour dimension de Hausdorff s, solution de l'équation : $scriptstyle{sum_{k=1}^n c_k^s = 1}$ ¹.
$1 + l o g 5 (3)$	1,6826	Triangle de Pascal modulo 5		D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est $scriptstyle 1 + log_k(frac{k+1}{2})$ (Cf.Stephen Wolfram¹⁷)
Mesuré (box-counting)	1.7	Attracteur d'Ikeda		Pour les valeurs de paramètres a=1, b=0.9, k=0.4 et p=6 dans le système itéré d'Ikeda $scriptstyle {z_{n+1} = a + bz_n exp[i[k - p/(1 + lfloor z_n rfloor^2)]]}$ . Dérive d'un modélisastion d'interactions d'ondes planaires dans un laser. Différents paramètres entrainent differentes valeurs. ¹⁸.
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(sqrt{5})}}$	1,7227	Fractale Pinwheel	$Pinwheel fractal.png$	Construite à partir du pavage "pinwheel" de John Conway.
$textstyle{frac {ln(7)} {ln(3)}}$	1,7712	Flocon hexagonal		Construit en substituant itérativement chaque hexagone par un flocon de 7 hexagones. Sa frontière est le flocon de Koch. Contient une infinité de flocons de Koch (en positif comme en négatif).
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(2(1+cos(85^circ))}}$	1,7848	Courbe de Koch à 85 °, fractale de Cesàro		Généralisation de la courbe de Koch basée sur un angle a choisi entre 0 et 90°. La dimension fractale vaut alors $scriptstyle frac{ln(N)}{ln(2(1+cos(a))}$ . La fractale de Cesàro est basée sur ce motif.
$textstyle{frac{log{(3^{0.63}+2^{0.63})}} {log{2}}}$	1.8272	Une fractale auto-affine		Construite itérativement à partir d'une grille $scriptstyle{p times q}$ sur un carré, avec $scriptstyle{p le q}$ . Sa dimension de Hausdorff égale $scriptstyle{frac{log{left (sum_{k=1}^p n_k^a right )}} {log{p}}}$ ¹ avec $scriptstyle{a=frac{log{ p}}{log{ q}}}$ et $n k$ le nombre d'éléments dans la colonne k. LaDimension de Minkowski–Bouligand (box counting) donne une formule différente, donc une valeur souvent différente. Contrairement aux fractales auto-similaires, la dimension de Hausdorff des fractales auto-affines dépend de la position des éléments itérés et il n'existe pas de formule simple pour le cas général.
$textstyle{frac {ln(6)} {ln(1+phi)}}$	1,8617	Flocon pentagonal(pentaflake)		Construit en substituant itérativement chaque pentagone par un flocon de 6 pentagones. Ici, $φ$ est le nombre d'or et vaut $scriptstylefrac{1+sqrt{5}}{2}$
solution de $scriptstyle{6(1/3)^s+5{(1/3sqrt{3})}^s=1}$	1.8687	L'"arbre des singes"		Cette courbe apparaît sous ce nom dans "Fractal geometry of Nature" (1983) de Benoit Mandelbrot. Elle est basée sur 6 homothéties de rapport $1 / 3$ et 5 homothéties de rapport $scriptstyle{1/{3sqrt{3}}}$ ¹⁹.
$textstyle{frac {ln(8)} {ln(3)}}$	1,8928	Tapis de Sierpiński
$textstyle{frac {ln(8)} {ln(3)}}$	1,8928	Cube de Cantor		Ensemble de Cantor en trois dimensions.
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(3)}+frac {ln(2)} {ln(3)}=frac {ln(8)} {ln(3)}}$	1,8928	Produit cartésien de laCourbe de von Koch et de l'ensemble de Cantor		Généralisation : Soit FxG, le produit cartésien de deux ensembles fractals F et G. Alors $D i m H (F x G) = D i m H (F) + D i m H (G)$ .¹
Estimé	1,9340	Frontière de la fractale de Lévy		Estimé par Duvall et Keesling (1999). La fractale de Lévy en elle-même a pour dimension de Hausdorff 2.
1,974	Pavage de Penrose		Cf. Ramachandrarao, Sinha & Sanyal²⁰

δ = 2 [modifier]

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Illustration	Remarques
$2$	2	Frontière de l'ensemble de Mandelbrot		La frontière a la même dimension que l'ensemble²¹..
$2$	2	certains ensembles de Julia		Pour des valeurs de c déterminées (sur la frontière de l'ensemble de Mandelbrot), l'ensemble de Julia a pour dimension 2²²..
$2$	2	Courbe de Sierpiński		Toute courbe remplissant l'espace possède une dimension de Hausdorff δ = 2.
$2$	2	Courbe de Hilbert		Peut être étendue à trois dimensions.
$2$	2	Courbe de Peano		et une famille de courbes de construction similaire, dont les courbes de Wunderlich.
$2$	2	Courbe de Moore		Peut être étendue à 3 dimensions.
$2$	2	Courbe de Lebesgue		Contrairement aux courbes ci-dessus, celle-ci est presque partout différentiable. Un deuxième type de courbe 2D a également été défini. Cette courbe peut être étendue en 3D avec une dimension fractale de 3²³..
$textstyle{frac {ln(2)} {ln(sqrt{2})}}$	2	Courbe du dragon		Sa frontière a une dimension fractale de 1,5236 (Cf.Chang & Zhang¹⁶)
2	Courbe "Terdragon"		L-System : F→ F+F-F ; angle=120°.
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(2)}}$	2	Courbe de Peano-Gosper		Sa frontière est l'île de Gosper.
Solution de $scriptstyle{7({1/3})^s+6({1/3sqrt{3}})^s=1}$	2	Courbe remplissant le flocon de Koch		Proposée par Mandelbrot en 1982 ²⁴, elle remplit le flocon de Koch. Elle est basée sur 7 similitudes de rapport 1/3 et 6 similitudes de rapport $scriptstyle{1/3sqrt{3}}$ .
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(2)}}$	2	Tétraèdre de Sierpinski		Conséquence de sa dimension 2, sa surface reste inchangée d'itération en itération, et ce, jusqu'à l'infini. ²⁵
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(2)}}$	2	Fractale H	$H fractal2.png$	Également, l'arbre de Mandelbrot, qui a une structure similaire.
$textstyle{frac {ln(1/2)} {ln(sqrt{2}/2)}}$	2	Arbre de Pythagore		Chaque carré génère deux carrés de côté réduit de racine(2)/2.
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(2)}}$	2	Fractale en croix grecque	$Greek cross fractal stage 4.png$	Chaque segment est substitué par une croix formée de quatre segments.

2 < δ < 3 [modifier]

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Illustration	Remarques
Mesuré	2.01 +-0.01	Attracteur de Rössler		La dimension fractale de l'attracteur de Rössler est légèrement supérieure à 2. Pour a=0,1, b=0,1, et c=14 elle est estimée entre 2,01 et 2,02. ²⁶ ²⁷.
Mesuré	2.06 +-0.01	Attracteur étrange de Lorenz		Pour les paramètres de l'attracteur: v=40, $σ$ =16 et b=4²⁸.
$textstyle{frac {ln(20)} {ln(2+phi)}}$	2,3296	Dodécaèdre fractal	$Dodecaedron fractal.jpg$	Chaque dodécaèdre est substitué par 20 dodécaèdres.²⁵
$textstyle{frac {ln(13)} {ln(3)}}$	2,33	Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 1		Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 1 (la figure illustre la deuxième itération).
2,47	Interstices des sphères d'Apollonius		Baderne d'Apollonius en trois dimensions. Modélise la mie de pain ou l'éponge. Dimension calculée par M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert²⁹.
$textstyle{frac {ln(32)} {ln(4)}}$	2,50	Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 2		Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 2 (la figure illustre la deuxième itération).
$textstyle{frac {ln(16)} {ln(3)}}$	2,5237	Hypercube de Cantor	pas de représentation possible	Ensemble de Cantor en 4 dimensions. D'une manière générale, dans un espace de dimension n, l'ensemble de Cantor a une dimension fractale égale à $scriptstyle nfrac{ln(2)}{ln(3)}$
$textstyle{frac {ln(12)} {ln(1+phi)}}$	2,5819	Icosaèdre fractal	$Icosaedron fractal.jpg$	Chaque icosaèdre est substitué par 12 icosaèdres.²⁵
$textstyle{frac {ln(6)} {ln(2)}}$	2,5849	Octaèdre fractal	$Octaedron fractal.jpg$	Chaque octaèdre est substitué par 6 octaèdres.²⁵
$textstyle{frac {log(6)} {log(2)}}$	2.5849	Surface de Koch		Chaque triangle équilatéral est remplacé par 6 triangles deux fois plus petits. Extension en 2 dimensions de la courbe de Koch.
$textstyle{frac {ln(6)} {ln(2)}}$	2,59	Fractale en croix grecque en trois dimensions		Chaque segment est substitué par une croix en trois dimensions formée de 6 segments. Extension en trois dimensions de la croix en deux dimensions.
$textstyle{frac {ln(20)} {ln(3)}}$	2,7268	Éponge de Menger		Sa surface a une dimension fractale de $scriptstyle frac{ln(12)}{ln(3)} = 2,2618$ .

δ = 3 [modifier]

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Remarques
$textstyle{frac {ln(8)} {ln(2)}}$	3	Courbe de Hilbert en trois dimensions	Courbe de Hilbert étendue à trois dimensions
$textstyle{frac {ln(8)} {ln(2)}}$	3	Courbe de Lebesgue en trois dimensions	Courbe de Lebesgue étendue à trois dimensions³⁰..
$textstyle{frac {ln(8)} {ln(2)}}$	3	Courbe de Moore en trois dimensions	Courbe de Moore étendue à trois dimensions.
$textstyle{3}$	3	Mandelbulb	Extension de l'ensemble de Mandelbrot (puissance 8) à 3 dimensions.³¹

Fractales aléatoires et naturelles [modifier]

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Illustration	Remarques
1/2	0.5	Zeros du graphe d'unefonction brownienne(Processus de Wiener)		Les zéros du graphe d'une fonction brownienne constituent un ensemble nulle part dense, de mesure de Lebesgue 0, avec une structure fractale¹³².
Solution de $E(C_1^s + C_2^s)=1$ avec $E (C 1) = 0,5$ et $E (C 2) = 0,3$	0.7499	Ensemble de Cantoraléatoire 50% / 30%		A chaque itération, la longueur de l'intervalle de gauche est définie par une variable aléatoire $C 1$ : un pourcentage variable de la longueur du segment d'origine. Idem pour l'intervalle de droite, avec pour autre variable aléatoire $C 2$ . Sa dimension de Hausdorff $s$ satisfait alors l'équation : $scriptstyle{E(C_1^s + C_2^s)=1}$ . ( $E (X)$ est l'espérance mathématique de $X$ )¹.
Mesuré	1,05	Chromosome humainn^o 22		Voir référence pour les détails de la méthode de calcul ³³.
Solution de $s + 1 = 12 * 2 - (s + 1) - 6 * 3 - (s + 1)$	1.144…	Courbe de Koch avec intervalle aléatoire		La longueur de l'intervalle médian est une variable aléatoire à distribution uniforme dans (0;1/3)¹.
mesuré	1,24	Côte de Grande-Bretagne	$Britain-fractal-coastline-combined.jpg$	Dimension fractale de la côte ouest de Grande-Bretagne, mesurée par Lewis Fry Richardson et cité par Benoît Mandelbrot³⁴.
$textstyle{frac {log(4)} {log(3)}}$	1.2619	Courbe de Koch avec orientation aléatoire		On introduit ici un élément de hasard qui n'affecte pas la dimension en choisissant aléatoirement, à chaque itération, de placer le triangle équilatéral au-dessus ou en dessous de la courbe¹.
$textstyle{frac {4}{3}}$	1,33	Frontière dumouvement brownien³⁵
$textstyle{frac {4}{3}}$	1,33	Polymère en deux dimensions	Similaire au mouvement brownien sans auto-intersection³⁶.
$textstyle{frac {4}{3}}$	1,33	Front de percolation, front de corrosion en deux dimensions		Dimension fractale du front de percolation par invasion au seuil de percolation (59,3%). C'est également la dimension fractale du front de corrosion³⁶.
1,40	Agrégat d'agrégats en deux dimensions	Des agrégats se combinent progressivement en un agrégat unique de dimension 1,4³⁶.
$textstyle{textstyle{2-frac{1}{2}}}$	1.5	Graphe d'une fonctionBrownienne(Processus de Wiener)		Graphe d'une fonction $f$ telle que, pour tout couple de réels positifs $x$ et $x + h$ , la différence de leurs images $f (x + h) - f (x)$ suit une distribution gaussienne centrée de variance = $h$ . Généralisation : Une fonction fractionnelle Brownienne d'index $α$ suit la même définition mais avec une variance = $h 2α$ , dans ce cas, la dimension de Hausdorff de son graphe = $2 - α$ ¹.
Mesuré	1,52	Côte de Norvège		Cf J. Feder ³⁷.
Mesuré	1,55	Marche aléatoire sans intersection		Marche aléatoire dans un réseau carré sans auto-intersection, avec algorithme de retour arrière pour évitement des impasses.
$textstyle{frac {5} {3}}$	1,66	Polymère en trois dimensions	Similaire au mouvement brownien dans un réseau cubique, mais sans auto-intersection³⁶.
1,70	Agrégat par diffusion en deux dimensions		En deux dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 1,70³⁶.
$textstyle{frac {log(9*0.75)} {log(3)}}$	1.7381	Percolation fractale à 75% de probabilité		Le modèle de percolation fractale est construit par le remplacement progressif de chaque carré par une grille de 3x3 dans laquelle est placée une collection aléatoire de sous-carrés, chaque sous-carré ayant une probabilité p d'être retenu. La dimension de Hausdorff "presque certaine" égale $textstyle{frac {log(9p)} {log(3)}}$ ¹.
7/4	1,75	Frontière d'un amas depercolation en deux dimensions		La frontière d'un amas de percolation peut également être simulée par une marche générant spécifiquement cette frontière ou en utilisant l'évolution de Schramm-Loewner ³⁸.
$textstyle{frac {91} {48}}$	1,8958	Amas de percolationen deux dimensions		Sous le seuil de percolation (59,3%), l'amas de percolation par invasion couvre une surface de dimension fractale 91/48³⁶,³⁹. Au-delà du seuil, l'amas est infini et 91/48 devient la dimension fractale des « clairières ».
$textstyle{frac {ln(2)} {ln(sqrt{2})}}$	2	Mouvement brownien		Modélisé par la marche aléatoire. La dimension de Hausdorff reste égale 2 dans toutes les dimensions supérieures ou égales à 2.
Mesuré	Environ 2	Distribution des amas de galaxies		Mesuré à partir des résultats 2005 du Sloan Digital Sky Survey. Voir référence ⁴⁰
$textstyle{frac {ln(13)} {ln(3)}}$	2,33	Surface du chou-fleur		Chaque branche porte environ 13 branches 3 fois plus courtes.
2,4 ± 0,2	Boule de papier froissé		Le diamètre de la boule de papier froissé, élevé à une puissance non entière comprise entre 2 et 3 est approximativement proportionnel à la surface de papier utilisé⁴¹. Les plis se forment à toutes les échelles.
2,50	Agrégat par diffusion en trois dimensions		En trois dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 2,5³⁶.
2.50	Figure de Lichtenberg		Les décharges electriques arborescentes, dites figures de Lichtenberg, croissent à la manière d'une diffusion par agrégation ³⁶.
$textstyle{3-frac{1}{2}}$	2.5	surface Brownienne		Une fonction $scriptstyle{f:mathbb{R}^2 to mathbb{R}}$ , donne l'altitude d'un point $(x, y)$ telle que, pour deux incréments positifs $h$ et $k$ , $scriptstyle{f(x+h,y+k)-f(x,y)}$ suive une distribution Gaussienne centrée de variance = $scriptstyle{sqrt{h^2+k^2}}$ . Généralisation : Une surface Brownienne fractionnelle d'index $α$ suit la même définition mais avec une variance = $scriptstyle{(h^2+k^2)^alpha}$ , dans ce cas, sadimension de Hausdorff = $3 - α$ ¹.
Mesuré	2.52	Amas de percolationen 3 dimensions		Au seuil de percolation, l'amas 3D de percolation par invasion a une dimension fractale de 2,52 environ ³⁹.
Mesuré	2.66	Brocoli⁴²
2.79	Surface du cerveauhumain⁴³
2,97	Surface pulmonaire		Le réseau d'alvéoles pulmonaires forme une surface fractale proche de 3³⁶.
Calculé	3	Corde quantique		Trajectoire d'une corde quantique dont le point représentatif dérive au hasard⁴⁴.

Voir aussi [modifier]

Références [modifier]

↑ ^{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m et n} (en) Kenneth Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Sons, Ltd., 1990 & 2003, p. (ISBN 0-470-84862-6)
↑ Dimension fractale de l'attracteur de Feigenbaum [archive]
↑ The scattering from generalized Cantor fractals [archive]
↑ Tsang, K. Y., « Dimensionality of Strange Attractors Determined Analytically [archive] », dans Phys. Rev. Lett., vol. 57, 1986, p. 1390-1393
↑ (en) Benoit Mandelbrot, Gaussian self-affinity and Fractals (ISBN 0-387-98993-5)
↑ Dimension fractale de l'ensemble de Julia pour c = 1/4 [archive]
↑ Frontière du fractal de Rauzy [archive]
↑ L'île de Gosper sur Mathworld [archive]
↑ ^a, b et c Dimension fractale de la fractale du mot de Fibonacci [archive]
↑ ^a et b On 2-reptiles in the plane, Ngai, 1999 [archive]
↑ Dimension fractale de l'ensemble de Julia z²-1 [archive]
↑ Dimension fractale de la fractale Béryl pour k=1 [archive]
↑ Dimension fractale de la baderne d'Apollonius [archive]
↑ Dimension de la fractale d'inversion à 5 cercles [archive]
↑ Dimension fractale du lapin de Douady [archive]
↑ ^a et b Dimension fractale de la courbe du dragon [archive]
↑ ^a et b Stephen Wolfram, Geometry of Binomial Coefficients (1984) [archive]
↑ Estimating Fractal dimension [archive]
↑ La courbe de l'"arbre des singes" [archive]
↑ P. Ramachandrarao, A. Sinha et D. Sanyal, On the fractal nature of Penrose tiling [1] [archive][pdf]
↑ Dimension fractale de la la frontière de l'ensemble de Mandelbrot [archive]
↑ Dimension fractale de la frontière de certains ensembles de Julia [archive]
↑ Variantes 2D et 3D de la courbe de Lebesgue [archive]
↑ "Penser les mathématiques", Editions du Seuil (1982) (ISBN 2020060612)
↑ ^{a, b, c et d} polyèdres fractals sur le site de Paul Bourke [archive]
↑ Les attracteurs étranges [archive]
↑ Fractals and the Rössler attractor [archive]
↑ The fractal dimension of the Lorenz attractor, Mc Guinness (1983) [archive]
↑ M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert, The Fractal Dimension of the Apollonian Sphere Packing[2] [archive] [pdf]
↑ Extension 3D de la courbe de Lebesgue [archive]
↑ Dimension de Haudorff du Mandelbulb [archive]
↑ Peter Mörters, Yuval Peres, Oded Schramm, "Brownian Motion", Cambridge University Press, 2010
↑ Dimension fractale du chromosome humain n°22 [archive]
↑ How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension [archive], B. Mandelbrot
↑ Gregory F. Lawler, Oded Schramm, Wendelin Werner, 2000, « The Dimension of the Planar Brownian Frontier is 4/3 [archive] », 2.
↑ ^{a, b, c, d, e, f, g, h et i} Bernard Sapoval, Universalités et fractales, Flammarion, coll. « Champs », 2001(ISBN 2-080-81466-4)
↑ Feder, J., "Fractals,", Plenum Press, New York, (1988)
↑ Hull-generating walks, Ziff, Robert M. (1989) [archive]
↑ ^a et b "Applications of percolation theory" par Muhammad Sahimi (1994) [archive]
↑ Basic properties of galaxy clustering in the light of recent results from the Sloan Digital Sky Survey [archive]
↑ (it) Filipponi, Introduzione alla fisica, 2005 (ISBN 8-808-07073-5)
↑ (en) Glenn Elert, « Fractal Dimension of Broccoli [archive] », The Physics Factbook. Consulté le 5 avril 2007
↑ Frank Grünberg, « Der Vater des Apfelmännchens [archive] », Technology Review, 2005. Consulté le 5 avril 2007
↑ Dimension de Hausdorff d'une corde quantique [archive]

Bibliographie [modifier]

Kenneth Falconer, Fractal Geometry, John Wiley & Son Ltd (mars 1990), (ISBN 0471922870)
Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman & Co (septembre 1982), (ISBN 0716711869) .
Heinz-Otto Peitgen, The Science of Fractal Images, Dietmar Saupe (éditeur), Springer Verlag (août 1988), (ISBN 0387966080)
Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann; (ISBN 0120790610)
Bernard Sapoval, Universalités et fractales, , Flammarion, collection Champs (2001), (ISBN 2080814664)

Liens internes [modifier]

Wikimedia Commons propose des documents multimédia libres sur les fractales.

Benoît Mandelbrot (biographie, et historique de sa découverte)
Art fractal
Théorie constructale
Compression fractale
Fractale
dimension de Hausdorff
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Liens externes [modifier]

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_de_fractales_par_dimen...

Ensemble de Smith-Volterra-Cantor

Après avoir retiré les intervalles noirs, les points ici en blanc forment un ensemble nulle part dense et de mesure de Lebesgue 1/2.

En mathematiques, l'ensemble de Smith–Volterra–Cantor est un exemple de points de la droite réelle qui n'est nulle part dense (en particulier qui ne contient aucun intervalle) et qui est pourtant de mesure de Lebesgue positive. L'ensemble de Smith-Volterra-Cantor est baptisé d'après les mathématiciens Henry John Stephen Smith, Vito Volterra et Georg Cantor.

Sommaire

[masquer]

Construction [modifier]

De construction similaire à l'ensemble de Cantor, l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor est construit en retirant itérativement des intervalles à l'intervalle unité [0, 1].

Le processus commence en retirant le quart médian de l'intervalle [0, 1]. L'ensemble résultat est donc

$left[0, frac{3}{8}right] cup left[frac{5}{8}, 1right].$

Les étapes suivantes consistent à retirer des sous-intervalles de longueur 1/2²ⁿ du milieu des 2ⁿ⁻¹ intervalles restant. A la deuxième étape on retire donc (5/32, 7/32) and (25/32, 27/32) et l'ensemble résultat devient :

$left[0, frac{5}{32}right] cup left[frac{7}{32}, frac{3}{8}right] cup left[frac{5}{8}, frac{25}{32}right] cup left[frac{27}{32}, 1right].$

Itérant cette règle à l'infini, l'ensemble de Smith–Volterra–Cantor est l'ensemble des points qui ne seront jamais retirés. L'image suivante illustre l'ensemble initial et cinq itérations.

Propriétés [modifier]

Par construction l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor ne contient aucun intervalle. Or, durant le processus, on retire :

$sum_{n=0}^{infty} 2^n(1/2^{2n + 2}) = frac{1}{4} + frac{1}{8} + frac{1}{16} + cdots = frac{1}{2} ,$

Prouvant que l'ensemble des points restants est de mesure non nulle et égale à 1/2.

Généralisation: En retirant r_n de chaque sous-intervalle restant à l'itération n, l'ensemble résiduel aura une mesure positive si et seulement si la somme des termes de la suite est inférieure à la mesure de l'intervalle initial.

En conséquence, et bien que d'aspect fractal, la dimension de Hausdorff d'un tel ensemble aura dans tous les cas pour valeur 1.
L'ensemble de Smith-Volterra-Cantor est utilisé dans la construction de la fonction de Volterra.
L'ensemble de Smith-Volterra-Cantor est un exemple d'ensemble compact qui n'est pas mesurable au sens de Jordan.
La fonction indicatrice de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor est un exemple de fonction bornée non intégrable au sens de Riemann sur (0,1). voir intégrale de Riemann.

Voir aussi [modifier]

Liens externes [modifier]

La fonction de Volterra, entretien avec David Marius Bressoud.

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Ensemble de Cantor

En mathématiques, l'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor.

Il s'agit d'un ensemble fermé du segment $[0,1]$ , d'intérieur vide. Il sert d'exemple pour montrer qu'il existe des ensembles infinis non dénombrables mais négligeables au sens de lamesure de Lebesgue. C'est aussi le premier exemple de fractale (bien que le terme ne soit apparu qu'un siècle plus tard), et il possède une dimension non-entière (voir plus bas).

Il admet enfin une interprétation en termes de développement des réels en base 3. Pour cette raison, il est souvent noté $K 3$ .

On le construit de manière itérative à partir du segment $[0,1]$ en enlevant le tiers central ; puis on réitère l'opération sur les deux segments restants, et ainsi de suite. On peut voir les six premières itérations du procédé sur le schéma suivant :

Sommaire

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Construction [modifier]

Construction itérative [modifier]

On dénote par $mathcal{T}$ l'opérateur « enlever le tiers central » :

$mathcal{T} : I rightarrow I_0 cup I_1 ; [a,b] mapsto left[a,a+frac{b-a}{3}right] cup left[b- frac{b-a}{3},bright].$

On note $A 0 = [0,1]$ et on définit par récurrence une suite de parties de $[0,1]$ par la relation :

$forall n in N, A_{n+1} = mathcal{T}(A_n).$

On a :

$A_1 = left[0,frac{1}{3}right] cup left[frac{2}{3},1right];$

$A_2 = left[0,frac{1}{9}right] cup left[frac{2}{9},frac{1}{3}right] cup left[frac{2}{3},frac{7}{9}right] cup left[frac{8}{9},1right];$

$A_3 = left[0,frac{1}{27}right] cup left[frac{2}{27},frac{1}{9}right] cup left[frac{2}{9},frac{7}{27}right] cup left[frac{8}{27},frac{1}{3}right] cup left[frac{2}{3},frac{19}{27}right] cup left[frac{20}{27},frac{7}{9}right] cup left[frac{8}{9},frac{25}{27}right] cup left[frac{26}{27},1right].$

Alors l'ensemble de Cantor $K 3$ est « la limite » de $A n$ quand $n$ tend vers $+infty$ :

$K = bigcap_{n in N} A_n.$

Écriture en base 3 [modifier]

On peut aussi définir l'ensemble de Cantor via l'écriture en base 3. Tout réel $x in [0,1]$ s'écrit de manière :

$x = sum_{n=1}^{infty} frac{x_n}{3^n};$

avec $x_n in { 0,1,2}$ . On écrit alors

$x = 0,x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 ldots$

Cette écriture est unique à ceci près : on peut remplacer $1000000ldots$ par $0222222ldots$ (et $2000000ldots$ par $1222222ldots$ ) à la fin d'une écriture. Si on choisit de faire cette transformation on peut alors définir $K 3$ par :

L'ensemble de Cantor est formé des réels de $[0,1]$ ayant une écriture en base 3 ne contenant que des 0 et des 2.

C'est-à-dire

$K_3 = left{ sum_{n=1}^{infty} frac{x_n}{3^n} | ,x_n in { 0,2 } right}.$

Note : donc 1/3 est dans cet ensemble, puisqu'il admet les deux écritures 0,1000… et 0,02222… en base 3. 2/3 également (0,2000… ou 0,12222…). Remarquez que parmi les nombres admettant un développement propre et un développement impropre, il n'en existe aucun dont les deux écritures vérifient la propriété demandée.

Propriétés [modifier]

L'ensemble de Cantor a de nombreuses propriétés particulières.

Mesure [modifier]

L'ensemble de Cantor est de mesure nulle, c'est-à-dire négligeable au sens de la mesure de Lebesgue.

En effet en notant $ell$ la mesure de Lebesgue sur $R$ , on a :

$ell left( [0,1] right) = 1$ ;
pour une réunion $A n$ d'intervalles : $ell left( mathcal{T}(A_n) right) = ell(A_{n+1}) = frac{2}{3} ell (A_n)$ ;

où $mathcal{T}$ est l'opérateur « ablation du tiers central » (voir premier paragraphe).

On en déduit que pour les étapes de la construction itérative ci-dessus :

$forall n in N , ell left( A_n right) = left( frac{2}{3} right)^n.$

Et comme l'ensemble de Cantor est inclus dans tous les $A n$ : $ell left( K right) = 0$ .

L'ensemble de Cantor est donc « petit » au sens de la mesure de Lebesgue.

Non-dénombrabilité [modifier]

Cependant l'ensemble de Cantor n'est pas dénombrable ; il a la puissance du continu (voir Infini).

En effet, on peut montrer que les ensembles $K 3$ et $[0,1]$ sont équipotents.

Pour cela on associe à tout élément $x=O,x_1 x_2 x_3 x_4 ldots in K_3$ écrit en base 3, l'élément $f(x)=0,x'_1 x'_2 x'_3 x'_4 ldots in [0,1]$ écrit en base 2, avec :

$x' i = 0$ si $x i = 0$ ;
$x' i = 1$ si $x i = 2$ .

Par exemple l'élément $0,0202200222000ldots$ de l'ensemble de Cantor correspondra à l'élément $0,0101100111000ldots$ du segment unité $[0,1]$ .

Il est facile de voir que cette application est surjective mais non injective (l'élément $0,1$ étant l'image de $0,0222222ldots$ comme de $0,2$ ). De l'existence d'une surjection de $K 3$ dans $[0,1]$ , par l'axiome du choix, on déduit l'existence d'une injection de $[0,1]$ dans $K 3$ , et comme l'application identité induit clairement une injection de $K 3$ dans $[0,1]$ , alors d'après lethéorème de Cantor-Bernstein, on en déduit que $K 3$ et $[0,1]$ sont équipotents. Donc l'ensemble de Cantor est aussi en bijection avec $R$ , il a la puissance du continu.

On peut aussi utiliser l'écriture en base 3. Celle-ci montre que $K 3$ est équipotent à ${0,1}^N$ .

Ainsi l'ensemble de Cantor est « grand » au sens de la théorie des ensembles.

Propriétés topologiques [modifier]

L'ensemble de Cantor est compact, et n'a que des points d'accumulation. On dit que c'est un ensemble parfait. Par ailleurs, il est d'intérieur vide,

[Dérouler]

Démonstration

L'ensemble de Cantor est également totalement discontinu c'est-à-dire que chaque singleton est sa propre composante connexe, et homéomorphe à l'espace topologique ${ 0,1 } ^{mathbb N}$ .

Enfin l'ensemble de Cantor est « universel dans la catégorie des espaces métriques compacts», autrement dit tout espace métrique compact est l'image de l'ensemble de Cantor par une application continue. Cette affirmation a des répercussions importantes en analyse fonctionnelle.

Auto-similarité [modifier]

L'image de l'ensemble de Cantor par l'homothétie h de centre 0 et de rapport 1/3 est elle-même une partie de l'ensemble de Cantor. Plus précisément

$K_3 = h left( K_3 right) cup left( h left( K_3 right) + frac{2}{3} right).$

Ainsi, $K 3$ est la réunion disjointe de deux parties qui lui sont homothétiques. C'est une manifestation de ce qu'on appelle l'auto-similarité, qui est l'une des propriétés de base desfractales.

Dimension [modifier]

En conséquence de ce qui précède, on peut calculer la dimension de Minkowski ; elle vaut log(2)/log(3), nombre réel compris entre 0 et 1. On parle parfois de dimension fractionnaire car elle n'est pas entière, même s'il ne s'agit pas davantage d'un nombre rationnel. Dans cette formule, peu importe qu'on interprète log comme logarithme naturel ou logarithme décimal. On peut aussi écrire que la dimension vaut log₃(2) (logarithme de 2 en base 3).

Cette valeur est également la dimension de Hausdorff de l'ensemble. On peut donc dire que l'ensemble de Cantor est de dimension log(2)/log(3) sans se soucier de la dimension utilisée.

Variantes [modifier]

Le carré de Cantor

Le cube de Cantor

Soit s un nombre strictement compris entre 0 et 1. Si, au lieu de couper chaque intervalle en trois et d'enlever l'intervalle central, on enlève à la n-ème étape un intervalle de longueur $s / 3 n$ au centre de chaque intervalle de la génération précédente, on obtient un ensemble de Cantor dont la mesure de Lebesgue est 1 - s. Cela permet d'obtenir un compact d'intérieur vide de mesure aussi proche de 1 que l'on veut. Le cas s = 1 redonne l'ensemble de Cantor usuel. Un procédé comparable est utilisé dans l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor.

Une autre version de l'ensemble de Cantor est le carré de Cantor. Il est construit sur le même principe général, mais basé sur un carré : on considère un carré que l'on découpe en 9 carrés de même taille, et on supprime tous les carrés n'étant pas dans un coin du carré de départ. L'ensemble est construit de façon itérative en répétant cette action sur les nouveaux carrés. Ce n'est rien d'autre que le produit cartésien $K_3 times K_3$ d'un ensemble de Cantor par lui-même.

La même construction en dimension 3 conduit au cube de Cantor, égal au produit cartésien $K_3 times K_3 times K_3$ (à ne pas confondre avec l'éponge de Menger)

Voir aussi [modifier]

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Cantor et les infinis

Cantor et les infinis

Auteur :

Georg Cantor (1845-1918) - mathématicien allemand

Auteur de l'analyse: Patrick Dehornoy

Publication :

« Sur une propriété du système de tous les nombres algébriques réels », Acta Mathematica (revue de l’Institut suédois Mittag-Leffler), Tome 2, 1883, p.305-310 ; traduction de l’article de 1874 de Cantor (« Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen) par Paul Appell, relue et corrigée par Georg Cantor ; repris dans un recueil d’articles traduits en français de Georg Cantor, 1899 ( Gallica ).

Année de publication :

1874

Nombre de pages :

Résumé :

L’article démontre la dénombrabilité des nombres algébriques et la non-dénombrabilité des nombres réels. Il ouvre l’étude de l’infini du point de vue mathématique, marque la naissance de la théorie des ensembles – en fait une théorie de l’infini –, et porte en germe l’hypothèse du continu, premier problème de Hilbert (1900) toujours objet de recherche.

Source de numérisation :

BnF-Gallica

Georg Cantor

Pour les articles homonymes, voir Cantor.

Georg Cantor
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
Naissance	3 mars 1845 Saint-Pétersbourg (Russie)
Décès	6 janvier 1918 Halle (Allemagne)
Nationalité	Empire allemand
Champs	mathématicien
Institution	université de Halle
Diplômé	École polytechnique fédérale de Zurich, université de Berlin
Célèbre pour	théorie des ensembles
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Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg – 6 janvier 1918, Halle) est un mathématicienallemand, connu pour être le créateur de la théorie des ensembles. Il établit l'importance de la bijection entre les ensembles, définit les ensembles infinis et les ensembles bien ordonnés. Il prouva également que les nombres réels sont « plus nombreux » que les entiers naturels. En fait, le théorème de Cantor implique l'existence d'une « infinité d'infinis ». Il définit les nombres cardinaux, lesnombres ordinaux et leur arithmétique. Le travail de Cantor est d'un grand intérêt philosophique (ce dont il était parfaitement conscient) et a donné lieu à maintes interprétations et à maints débats.

Cantor a été confronté à la résistance de la part des mathématiciens de son époque, en particulier Kronecker. Poincaré, bien qu'il connût et appréciât les travaux de Cantor, avait de profondes réserves sur son maniement de l'infini en tant que totalité achevée¹. Les accès de dépressions récurrents du mathématicien, de 1884 à la fin de sa vie, ont été parfois attribués à l'attitude hostile de certains de ses contemporains, mais ces accès peuvent à présent être interprétés comme des manifestations d'un probable trouble bipolaire.

Au xxi^e siècle, la valeur des travaux de Cantor n'est pas discutée par la majorité des mathématiciens qui y voient un changement deparadigme, à l'exception d'une partie du courant constructiviste qui s'inscrit à la suite de Kronecker. Dans le but de contrer les détracteurs de Cantor, David Hilbert a affirmé : « Nul ne doit nous exclure du Paradis que Cantor a créé ».

Sommaire

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Biographie [modifier]

Enfance et études [modifier]

Georg Cantor est né le 3 mars 1845 à Saint-Pétersbourg. Son père est Georg Waldemar Cantor, un homme d'affaires danois et courtier à la bourse de St Pétersbourg ; c'est un luthérienfervent. Sa mère Maria Anna Böhm, de nationalité autrichienne, est issue d'une famille de musiciens. Catholique de naissance, elle se convertit au protestantisme au moment de son mariage.

Georg Cantor, fut élevé dans la foi luthérienne, foi qu'il conserva toute sa vie. Violoniste remarquable, il avait hérité du talent artistique et musical de sa famille maternelle.

Lorsque le père de Cantor tomba malade, la famille chercha des hivers moins glaciaux qu'à Saint Pétersbourg. Elle alla s'installer en Allemagne en 1856, d'abord à Wiesbaden, ensuite àFrancfort. En 1860, Cantor obtint un diplôme avec félicitations à la Realschule de Darmstadt, où l'on remarqua ses performances exceptionnelles en mathématiques, notamment entrigonométrie. En 1862, suivant le souhait de son père, Cantor intégra l'École polytechnique fédérale de Zurich et entama des études supérieures en mathématiques.

En 1863, à la mort de son père, Cantor préféra poursuivre ses études à l'université de Berlin. Il suivit les cours de Weierstrass, Kummer et Kronecker. Il se lia d'amitié avec Hermann Schwarz, alors étudiant. Il passa l'été à l'université de Göttingen, qui devint par la suite un grand centre de la recherche mathématique. En 1867, Berlin lui accorda le titre de Philosophiæ doctor pour une thèse portant sur la Théorie des nombres, De aequationibus secundi gradus indeterminatis.

Début de carrière [modifier]

Après avoir enseigné pendant un an dans une école de filles à Berlin, Cantor accepta en 1870 un poste à l'université de Halle, où il fit toute sa carrière. Il obtint l'habilitation requise grâce à sa thèse, puis fut promu chargé de cours en 1872.

En 1872², Cantor fit la connaissance de Richard Dedekind lors d'un voyage en Suisse. Cela devait être le point de départ d'une relation suivie qui devait jouer un rôle décisif dans le développement de la théorie des ensembles de Cantor. Leur correspondance, qui s'étale de 1872 à 1889, en est un témoignage précieux.

Heine avait posé la question de l'unicité de l'écriture d'une fonction périodique d'une variable réelle comme série de fonctions trigonométriques. Intéressé par ce problème, Cantor obtint l'unicité pour les fonctions continues. En 1872, il s'attacha à définir l'ensemble des points de discontinuité de ces fonctions, ce qui présuppose de manipuler des ensembles infinis. C'est ainsi qu'il commença à s'interroger sur l'infini. En 1874, Cantor publia ses premiers travaux sur le sujet dans le journal de Crelle, où il donna la première démonstration que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable.

Toujours en 1874, Cantor épousa Vally Guttmann. Ils auront six enfants, le dernier étant né en 1886. Malgré un modeste salaire académique, Cantor était en mesure de subvenir aux besoins de sa famille grâce à l'héritage de son père^{[réf. nécessaire]}.

Hostilités entre Cantor et Kronecker [modifier]

En 1877, Cantor soumit son dernier article au Journal de Crelle, dans lequel il démontra qu'une surface est en bijection avec une droite réelle. Kronecker, mathématicien réputé, fut en désaccord avec ce qui fondait les travaux de Cantor en théorie des ensembles. Kronecker, perçu aujourd'hui comme un pionnier du constructivisme, ne pensait pas que l'on puisse envisager un ensemble infini comme une entité : « Dieu a créé les nombres entiers ; le reste est l'œuvre de l'homme ». Kronecker pensait également qu'une preuve d'existence d'un objet mathématique satisfaisant à certaines propriétés devait donner une construction explicite d'un tel objet.

En 1879, Cantor obtint une chaire à l'université de Halle. Atteindre le plus haut rang à l'âge de 34 ans était une performance notable, mais Cantor aurait préféré avoir une chaire dans une université plus prestigieuse, en particulier à Berlin où se trouvait la meilleure université allemande. Toutefois, Kronecker se trouvait à la tête du secteur de mathématiques à Berlin jusqu'à sa mort en 1891 et il ne souhaitait pas avoir Cantor comme collègue.

En 1881, la mort d'Édouard Heine, collègue de Cantor de l'université de Halle, laissa une chaire inoccupée. À la suggestion de Cantor, l'université proposa la chaire à Dedekind, Heinrich Weber et Franz Mertens (dans cet ordre), mais tous déclinèrent l'offre. Le manque d'intérêt de la part de Dedekind est surprenant, étant donné qu'il enseignait dans une école d'ingénieur de faible niveau et portait une lourde charge administrative. Cet épisode est révélateur du manque de réputation du département de mathématiques de l'université de Halle. Albert Wangerin fut finalement nommé, mais ne se rapprocha jamais de Cantor.

Dépression [modifier]

En 1884, Cantor fut frappé de son premier accès de dépression. Selon Eric Temple Bell, sa crise proviendrait d'un sentiment d'insécurité provenant d'un conflit freudien avec son père. Selon Joseph Dauben, il est plus probable que cette crise soit causée par les attaques de Kronecker.

Cette crise émotionnelle le mena à donner des cours de philosophie, plutôt que de mathématiques. Chacune des 52 lettres que Cantor a écrites à Mittag-Leffler au cours de cette année attaquait Kronecker. Cantor se remit rapidement, mais un passage de l'une de ses lettres révèle une perte de confiance en lui-même :

« ...Je ne sais pas quand je pourrai retourner à la poursuite de mes travaux scientifiques. Pour le moment, je ne peux absolument rien faire dans ce sens et je me limite au strict nécessaire, à savoir donner des cours ; combien je voudrais être actif scientifiquement et si seulement j'avais la vivacité d'esprit nécessaire. »

Bien qu'il ait produit quelques travaux de valeur après 1884, il ne retrouva pas le haut niveau de production des années 1874 à 1884. Il proposa une réconciliation avec Kronecker, qui accepta sans réticences. Malgré tout, le désaccord philosophique et les difficultés qui les séparaient persistèrent. On a dit parfois que les accès dépressifs récurrents de Cantor avaient été déclenchés par l'opposition que lui manifestait Kronecker, or quoique les difficultés relationnelles de Cantor et les troubles de sa production mathématique fussent, c'est certain, exacerbés par sa dépression, on peut douter qu'elles en fussent la cause.

En 1888, il publia ses correspondances avec plusieurs philosophes au sujet des implications philosophiques de sa théorie des ensembles. Edmund Husserl fut un de ses collègues à Halle et un ami, entre 1886 et 1901. La réputation de Husserl s'est faite en philosophie, mais à l'époque il préparait un doctorat de mathématiques dirigé par Leo Königsberger, un étudiant de Weierstrass. Cantor écrivit aussi sur les implications théologiques de ses travaux en mathématiques ; il aurait identifié l'« infini absolu », l'infini d'une classe propre comme celle de tous les cardinaux ou de tous les ordinaux, à Dieu.³

Pensant que Francis Bacon était en fait l'auteur de pièces attribuées à Shakespeare, il entama, pendant sa période de maladie, en 1884, une étude approfondie de la littératureélisabéthaine, dans le but d'étayer cette hypothèse. Cela le conduisit à publier deux articles, en 1896 et 1897, qui exposaient ses vues.

En 1890, Cantor participa à la fondation de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung. Il en organisa la première réunion à Halle en 1891 et en fut élu président. Cela montre clairement que l'attitude de Kronecker n'a pas été fatale à sa réputation. Malgré l'animosité qu'il éprouvait pour Kronecker, Cantor l'invita à prendre la parole lors de cette réunion ; Kronecker ne put le faire, car son épouse était à ce moment-là à l'article de la mort.

Après le décès de son plus jeune fils, en 1899, Cantor souffrit d'une dépression chronique, qui l'affecta jusqu'à la fin de sa vie et pour laquelle il fut dispensé d'enseignement à plusieurs reprises et enfermé de manière répétitive en sanatorium. Cependant, il n'abandonna pas complètement les mathématiques, car il donna des conférences sur les paradoxes de la Théorie des ensembles (attribués à Burali-Forti, Russell, et Cantor lui-même) lors d'une réunion de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung, en 1903 et il assista au Congrès international des Mathématiciens de Heidelberg en 1904.

En 1903, il fut lauréat de la médaille Sylvester de la Royal Society.

Cantor prit sa retraite en 1913 ; il fut confronté à la pauvreté et souffrit même de la faim au cours de la Première Guerre mondiale. La célébration publique de ses 70 ans fut annulée à cause de la guerre et quelques mois avant la fin de celle-ci, il mourut en janvier 1918 à l'hôpital où il avait passé la dernière année de sa vie.

Travaux [modifier]

Cantor fut le fondateur de la théorie des ensembles, à partir de 1874. Avant lui, le concept d'ensemble était plutôt basique, et avait été utilisé implicitement depuis les débuts des mathématiques, depuis Aristote. Personne n'avait compris que cette théorie avait des éléments non implicites. Avant Cantor, il n'y avait en fait que les ensembles finis (qui sont aisés à comprendre) et les ensembles infinis (qui étaient plutôt sujets à discussion philosophique). En prouvant qu'il y a une infinité de tailles d'ensembles infinis, Cantor a établi que les bases de cette théorie étaient non-triviales. La théorie des ensembles joue ainsi le rôle d'une théorie fondatrice pour les mathématiques modernes, parce qu'elle interprète des propositions relatives à des objets mathématiques (par exemple, nombres et fonctions) provenant de toutes les disciplines des mathématiques (comme l'algèbre, l'analyse et la topologie) en une seule théorie, et fournit un ensemble standard d'axiomes pour les prouver ou les infirmer. Les concepts de base de celle-ci sont aujourd'hui utilisés dans toutes les disciplines des mathématiques.

Dans une de ses premières publications, Cantor prouve que l'ensemble des nombres réels contient plus de nombres que l'ensemble des entiers naturels ; ce qui montre, pour la première fois, qu'il existe des ensembles infinis de tailles différentes. Il fut aussi le premier à apprécier l'importance des correspondances un pour un (les bijections) dans la théorie des ensembles. Il utilisa ce concept pour définir les ensembles finis et infinis, subdivisant ces derniers en ensembles dénombrables et non dénombrables.

Cantor introduisit des constructions fondamentales en théorie des ensembles, comme l'ensemble composé de tous les sous-ensembles possibles de A, appelé ensemble des parties de A. Il prouva plus tard que la taille de cet ensemble est strictement supérieure à celle de A, même quand A est un ensemble infini ; ce résultat fut bientôt connu sous le nom de théorème de Cantor. Cantor développa une théorie entière (une arithmétique) des ensembles infinis, appelés cardinaux et ordinaux, qui étendait l'arithmétique des nombres naturels. Il définit une notation des nombres cardinaux à l'aide de la lettre de l'alphabet hébreu א (aleph)(convenablement indicée); pour les ordinaux, il employa la lettre grecque ω (omega). Cette notation est toujours utilisée aujourd'hui.

L'hypothèse du continu, introduite par Cantor, fut présentée par David Hilbert en premier parmi une liste de 23 problèmes ouverts lors de son célèbre exposé au Congrès International des mathématiciens de 1900 de Paris. Le travail de Cantor a aussi attiré d'autres remarques favorables que l'éloge d'Hilbert. Le philosophe américain Charles Peirce prisait la théorie des ensembles de Cantor, et, à la suite des cours magistraux de Cantor au premier congrès international des mathématiciens (à Zurich en 1897), Hurwitz et Hadamard aussi exprimèrent leur admiration. A ce congrès, Cantor renouvela son amitié et sa correspondance avec Dedekind. Depuis 1905, Cantor correspondait avec son admirateur britannique et traducteur Philip Jourdain sur l'histoire de la théorie des ensembles et sur ses idées religieuses, ce qui fut publié plus tard,comme le furent nombre de ses travaux présentés aux congrès.

Certains, comme Galilée avaient déjà remarqué qu'un ensemble infini, comme les carrés des nombres entiers, pouvait être mis en correspondance avec un ensemble infini le contenant strictement, en l'occurrence tous les entiers. Il y a d'une certaine façon « autant » de carrés de nombres entiers que de nombres entiers. Cantor est le premier à donner un sens précis à cette remarque, à l'aide de la notion de bijection qu'il introduit (sous un autre nom) à l'occasion, puis à la systématiser. Par exemple Cantor montre qu'il y a autant de nombres rationnels(ceux représentés par des fractions) que de nombres entiers. Cantor va plus loin et découvre qu'il y a plusieurs infinis, au sens où ils ne peuvent être mis en correspondance entre eux par une bijection : il montre en 1874 que la droite réelle contient plus de nombres transcendants (« beaucoup plus ») que de nombres algébriques (solutions d'équations polynomiales à coefficients rationnels) ; il découvre aussi cette année-là, à sa grande surprise ("Je le vois, mais je ne le crois pas", écrit-il à Dedekind) que l'on peut mettre en bijection la droite et le plan (autrement dit , qu'il y a "autant" de points dans un petit segment que dans l'espace entier).

Cantor introduit la notion d'ensemble infini dénombrable : un ensemble qui peut être mis en bijection avec les nombres entiers, c’est-à-dire que l'on peut, d'un certaine façon, numéroter tous ses éléments par des entiers (sans répétition mais ce n'est pas essentiel). Il montre que les ensembles des nombres entiers relatifs, des nombre rationnels, et des nombres algébriques sont tous dénombrables, mais que l'ensemble des nombres réels ne l'est pas.

Il donne une preuve élégante et très courte de ce dernier résultat en 1891, où il utilise ce qui est connu maintenant comme l'argument diagonal de Cantor, et qui a été depuis très utilisé, en particulier en logique mathématique et en théorie de la calculabilité. Il utilise cet argument pour montrer que l'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble A, appeléensemble des parties de A, a strictement plus d'éléments que A, même si A est infini, c’est-à-dire que ces deux ensembles ne peuvent être mis en bijection. Cette proposition est aujourd'hui appelée Théorème de Cantor. Elle a pour conséquence, l'existence d'une hiérarchie stricte, et elle-même infinie, d'ensembles infinis.

Pour étudier l'infini, Cantor introduit deux notions de nombres et leur arithmétique particulière (somme, produit, exponentiation). La première est celle de nombre cardinal, qui caractérise une classe d'ensembles pouvant être mis en bijection. Le plus petit nombre cardinal infini est celui des entiers naturels, le dénombrable. Le cardinal des nombres réels, ou de façon équivalent de l'ensemble des sous-ensembles des entiers naturels, est la puissance du continu. Cantor introduit la lettre hébraïque א (aleph) pour désigner les cardinaux, notation toujours en usage aujourd'hui. Ainsi le cardinal de l'ensemble des entiers naturels est noté ℵ₀ (lire aleph zéro). La puissance du continu est un cardinal forcément supérieur ou égal au cardinal suivant immédiatement le dénombrable, que l'on note ℵ₁. Cantor supposait que c'était ℵ₁, c'est l'hypothèse du continu.

La seconde est celle de nombre ordinal, qui généralise les entiers en tant qu'ils sont ordonnés. Il utilise pour cela la notion de bon ordre, qu'il introduit en 1883. Cantor note les ordinaux avec des lettres grecques, le plus petit ordinal infini, celui de l'ensemble des entiers naturels, est noté ω₀ (aujourd'hui simplement ω). Pour les nombres cardinaux il utilise en fait un ordinal en indice de la lettre ℵ.

Les dix premières productions de Cantor portaient sur la Théorie des nombres, le sujet de sa thèse. Suivant la suggestion du professeur Édouard Heine, Cantor s'oriente vers l'analyse. Heine propose à Cantor de résoudre un problème dont la solution échappait à Dirichlet, Lipschitz, Bernhard Riemann et Édouard Heine lui-même : l'unicité de la représentation d'une fonction par une série de Fourier. Cantor résout ce problème difficile en 1869. Entre 1870 et 1872, Cantor publie d'autres travaux sur les séries trigonométriques, incluant une définition des nombres irrationnels comme des suites convergentes de nombres rationnels. C'est l'une des deux constructions usuelles des nombres réels. Dedekind, avec qui Cantor s'est lié d'amitié en 1872, cite ce travail dans la publication contenant sa propre construction des nombres réels, à partir de ce que l'on appelle maintenant les coupures de Dedekind.

La publication de Cantor de 1874, "Sur une propriété caractéristique de tous réels algébriques", est celle qui marque la naissance de la Théorie des ensembles. Elle a été publiée dans leJournal de Crelle, malgré l'opposition de Kronecker et grâce au soutien de Dedekind. C'est dans celle-ci qu'il montre que les nombres réels ne sont pas dénombrables, démonstration qu'il simplifiera dans un article paru en 1891, en utilisant le célèbre argument diagonal.

La publication de 1874 montre alors que les nombres algébriques, c’est-à-dire les racines d'équations polynomiales à coefficients entiers, sont dénombrables. Les nombres réels qui ne sont pas algébriques sont dits transcendants. Liouville avait établi l'existence de nombres transcendants en 1844⁴. Cantor avait également montré que la réunion de deux ensembles dénombrables doit être dénombrable. Comme l'ensemble des nombres réels est la réunion de l'ensemble des nombres algébriques, et de l'ensemble des nombres transcendants, que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable, et que l'ensemble des nombres réels n'est pas dénombrable, l'ensemble des nombres transcendants ne peut pas l'être non plus. C'est-à-dire que non seulement il existe des nombres transcendants, mais il y a en fait une infinité, et même « autant » que de nombres réels ; « presque tous » les réels doivent être transcendants. Cantor remarque qu'ainsi, il a en particulier redémontré le théorème de Liouville selon lequel tout intervalle réel contient une infinité de nombres transcendants.

Entre 1879 et 1884, Cantor publia une série de six articles dans les Mathematische Annalen qui constituent une introduction à sa théorie des ensembles. En même temps grandissait une opposition croissante à ses idées, menée par Kronecker, qui n'admettait des concepts mathématiques que s'ils pouvaient être construits en un nombre fini d'étapes à partir des entiers, qu'ils considérait comme seuls donnés intuitivement. Pour Kronecker, la hiérarchie des infinis de Cantor était inadmissible, et accepter le concept d'infini actuel ouvrirait la porte à des paradoxes qui mettraient en danger l'édifice mathématique tout entier. Cantor découvrit également l'ensemble qui porte son nom durant cette période.

Le cinquième article de cette série, "Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre" ("Fondements d'une théorie générale des agrégats") est le plus important des six, et fut aussi publié en monographie séparée. Il contenait des réponses de Cantor à ses critiques, et montrait comment les nombres transfinis formaient une extension systématique des entiers naturels. Il commence par définir les ensembles bien ordonnés ; les nombres ordinaux sont alors introduits comme types d'ordre de ces ensembles. Cantor définit ensuite l'addition et la multiplication des ordinaux. En 1885, Cantor étendit sa théorie des types d'ordre, les ordinaux en devenant simplement un cas particulier.

En 1891, il publia un article contenant son élégant "argument diagonal" pour montrer l'existence d'un ensemble non dénombrable ; il appliqua la même idée pour prouver le théorème de Cantor : le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble A est strictement plus grand que le cardinal de A. Ceci établissait la richesse de la hiérarchie des ensembles infinis et de l'arithmétique des cardinaux et des ordinaux que Cantor avait définie. L'argument diagonal joue un rôle fondamental dans la solution du problème de l'arrêt, et dans la preuve du premierthéorème d'incomplétude de Gödel

En 1895 et 1897, Cantor publia un article en deux parties dans les Mathematische Annalen (éditées par Felix Klein) ; ce furent ses dernières contributions significatives à la théorie des ensembles. Le premier article commence par définir ensembles, sous-ensembles, etc. d'une manière qui reste largement acceptable aujourd'hui ; l'arithmétique des cardinaux et des ordinaux y est réexaminée. Cantor aurait voulu que le second article contienne une preuve de l'hypothèse du continu, mais dû se contenter d'exposer sa théorie des ensembles bien ordonnés et des ordinaux. Il essaie également de démontrer que si A et B sont des ensembles tels que A est en bijection avec un sous-ensemble de B et B en bijection avec un sous-ensemble de A, alors A et B sont équipotents ; Ernst Schröder avait énoncé ce théorème un peu auparavant, mais sa preuve, tout comme celle de Cantor, présentait des lacunes ; Felix Bernstein fournit une démonstration correcte dans sa thèse de 1898, d'où le nom actuel de théorème de Cantor–Bernstein.

Notes [modifier]

↑ Ces réserves furent reprises plus tard, par Brouwer et dans une moindre mesure Weyl. Wittgenstein avait également des objections de fond.
↑ Jean Cavaillès, préface de l'édition de la correspondance Cantor-Dedekind, reprise dans Philosophie mathématique, pp 179-185
↑ §3.2, Ignacio Jané, « The role of the absolute infinite in Cantor's conception of set », dans Erkenntnis, vol. 42, n^o 3, May 1995, p. 375-402 [ lien DOI [archive] ]
↑ http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/propos-de-le... [archive]

Bibliographie [modifier]

1872 – Über die Ausdehnung eines Satzes aus der trigonometrischen Reihen, Mathematische Annalen 5, p. 123-132 (Cantor [1932 p92-102]).
1874 – Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Journal de Crelle 77, p258-262, (Cantor [1932, p115-118]).
1878 – Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, Journal de Crelle 84, p. 242-258 (Cantor [1932, p119-133]).
1879
- a – Über einen Satz aus der Theorie der stetigen Mannigfaltigkeiten. (Cantor [1932, p134-138]).
- b – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 1. (Cantor [1932 p139-145]).
1880 – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 2. (Cantor [1932 p145-148]).
1882 – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 3. (Cantor [1932 p149-157]).
1883
- a – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 4. (Cantor [1932 p157-164)].
- b – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 5. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen (Cantor [1932 p165-208]).
  - bfr – Fondements d'une théorie générale des ensembles. Leibzig, Teubner. Trad. Milner in Cahiers pour l'Analyse 10. La formalisation, pp. 35-52, le Seuil, Paris 1969.
1884 – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 6. (Cantor [1932 p210-246]).
1887-1888 – Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten. (Cantor [1932, p378-439]).
1890 – Gesammelte Abhandlungen zur Lehre vom Transfiniten, Halle, C.E.M. Pfeffer (Cantor [1932, p370-439]).
1891 – Über eine elementare Frage zur Mannigfaltigkeitslehre, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1, p.75-78 (Cantor [1932 p278-281]).
- fr - Traduction et introd. H. Sinaceur : Sur une question élémentaire de la théorie des ensembles, in Logique et fondements des mathématiques, Anthologie (1850-1914), Paris, Payot, p. 197-203.
1895-1897 – Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Mathematische Annalen 46, p. 481-512; 49, p. 207-246 (Cantor [1932, p282-356]).
- fr - Trad. Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis. Trad F. Marotte. In Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, rééd. Gabay, Paris 2000.
1905 – Ex Oriente Lux, Gespräche eines Meisters mit seinem Schüler über wesentliche Puncte des urkundlichen Christenthums. Berichtet vom Schüler selbst. Halle: C. E. M. Pfeffer.
1932 – Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts. -88mb!, éd. par Ernst Zermelo. Presque tous les écrits de Cantor (en allemand).
Correspondance Cantor-Dedekind, Trad. J. Cavaillès. in CAVAILLÈS J., Philosophie des mathématiques. Paris, Hermann, 1962, p. 179-250.

Signalons aussi le document électronique disponible sur le site de la BNF (Lire en ligne) qui rassemble la majorité des œuvres de Cantor traduites en français : [1872], [1874], [1878], [1879], [1880], [1882], [1883a], [1883b], [1884]. Cela dit, si certaines de ces traductions ont été revues par Poincaré, d’autres sont souvent mauvaises et éparses, et sont donc à consulter avec toutes les précautions nécessaires. Voir la présentation de Pierre Dugac (de) pour plus de détails.

(en) O'Connor, J. J., and Robertson, E.F. MacTutor archive.
- Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor Biographie
- A history of set theory..

Ces deux articles sont les principales sources de la version anglaise, et donc de celle-ci.

Voir aussi [modifier]

Voir aussi sur Wikiquote lescitations « Georg Cantor ».

Wikimedia Commons propose des documents multimédia libres sur Georg Cantor.

Bibliographie [modifier]

DAUBEN J.W., Georg Cantor, His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton University Press, 1979;
GARDIES J.L. Pascal entre Eudoxe et Cantor, Paris, Vrin, 1984;
CHARRAUD N., Infini et inconscient, essai sur Georg Cantor, Paris, Economica, 1994;
BELNA J.P., Cantor, Paris, Les belles lettres, 2000;
DÉCAILLOT, A.-M., Cantor et la France. Correspondance du mathématicien allemand avec les Français à la fin du XIXe siècle, Paris, Kimé, 2008

Lien externe [modifier]

L'article de 1874 de Cantor sur la non-dénombrabilité des réels en ligne et commenté sur le site BibNum.

Portail des mathématiques

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor

L'algèbre arabe Entretien avec Ahmed Djebbar

Source : http://www.math.ens.fr/culturemath/video/html/Djebbar.htm

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Entretien avec Ahmed Djebbar

Professeur d'Université, Université de Lille I
avec Marc Moyon, Centre d'histoire des sciences et d'épistémologie de Lille 1 et IREM de Lille

L'algèbre arabe

S’intéresser à l’algèbre classique, à savoir l’algèbre des équations, c’est plonger dans l’histoire fascinante d’une discipline née entre 813 et 833, à Bagdad, à la cour du calife al-Ma’mūn. La question des sources de l’algèbre arabe n’est pas simple. Pour y répondre, l’historien des mathématiques doit se positionner au carrefour de plusieurs traditions. Parmi celles-ci, Ahmed Djebbar évoque les mathématiques babyloniennes, grecques et indiennes. La naissance de cette discipline avec ses objets propres (nombre, racine, bien), ses intentions, ses procédures est officielle avec le traité d’algèbre d’al-Khwārizmī où pour la première fois le mot « al-jabr » est utilisé comme opération mathématique. A partir de ce traité, de nombreux mathématiciens de langue arabe non seulement d’Orient, mais aussi d’Occident musulmans l’utilisent, le commentent et le prolongent. Leurs innovations concernent des chapitres aussi importants que la résolution des systèmes d’équations, la naissance et le développement des polynômes, le problème de la résolution des cubiques.

Ahmed Djebbar esquisse les grandes étapes de cette histoire dans cet entretien avec Marc Moyon. L'enregistrement est divisé en huit séquences indépendantes d'une dizaine de minutes, qui peuvent être regardées séparément ou enchaînées. Pour aller plus loin, on pourra se reporter à l'ouvrage "L'algèbre arabe. Genèse d'un art", qu'Ahmed Djebbar vient de publier, et au dossier d'accompagnement ci-dessous.

Sommaire des vidéos

La transmission des traditions mathématiques anciennes aux savants de langue arabe : les héritages grec, indien, mésopotamien (17 min)

Al-Khwārizmī et ses intentions quant à son traité d’algèbre (12 min)

Le traité d’algèbre d’al-Khwārizmī : simple compilation des savoirs algébriques arabes ou traité novateurs ? (12 min)

Le développement de l’algèbre entre les 9° et 13° siècles : contemporains et successeurs d’al-Khwārizmī (7 min)

Les systèmes d’équations : Abū Kāmil et al-Karajī (9 min)

Les polynômes (11 min)

Les équations du troisième degré (10 min)

L’Occident musulman (14 min)

Voir les vidéos
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Documents d'accompagnement

Préface du livre "L'algèbre arabe, genèse d'un art", par Bernard Maitte

Carte

Index des noms propres cités dans les vidéos

Bibliographie générale

Publications d'Ahmed Djebbar

Iconographie commentée et petits problèmes

Préface du livre "L'algèbre arabe, genèse d'un art"

C’est avec un grand plaisir que j’ai accepté d’écrire la préface de ce beau livre « L’Algèbre arabe, genèse d’un art ». L’auteur, Ahmed Djebbar, possède en effet des qualités rares. C’est un chercheur rigoureux, à qui l’on doit d’avoir retrouvé et porté à notre connaissance nombre de manuscrits mathématiques de l’Occident musulman et qui, en grand professeur, anime une équipe de docteurs et de doctorants qu’il lance en pionnier à la découverte de l’histoire des mathématiques, du Maghreb et de l’Espagne musulmane principalement.

C’est aussi -et tous ceux qui ont suivi ses cours ou assisté à ses conférences peuvent en témoigner- un merveilleux conteur qui, tel un griot, captive, passionne, donne l’intelligence d’un contexte, d’une perspective, d’une idée à des publics variés, qu’ils soient composés d’élèves du secondaire ou de chercheurs réunis dans un colloque.

Ahmed Djebbar œuvre ainsi pour la dignité de sa culture première et pour la reconnaissance de la place éminente qu’elle occupe dans le patrimoine de l’humanité. Loin des thuriféraires de la splendeur passée, des dogmatiques de tous poils, il se sert de l’histoire pour contribuer à éclairer le présent et veut que se renforce une citoyenneté nourrie d’humanisme et de la rencontre de l’autre. On le comprend, ce qui caractérise le plus l’auteur de ce livre, c’est la générosité radieuse et accueillante.

Le livre précisément. En le lisant, le non-spécialiste du sujet que je suis ressent une curieuse impression, un peu analogue à celle de quelqu’un qui découvre les ruines d’une ville jadis florissante. La perception est saisissante. Les restes épars témoignent de la grandeur des bâtisseurs, de leur génie. Chaque élément particulier participe à l’ensemble. Mais quel rôle jouaient ces débris ? Comment prenaient-ils place. Pour quelle signification ? Ayant découvert des restes, il faut les observer, les analyser, les restituer avant que d’espérer reconstruire la partie de la quelle ils se sont détachés, comprendre leurs fonctions, émettre des thèses quant à leurs relations, à leur contextualisation.

Les témoins dont nous parle « L’Algèbre arabe » sont des manuscrits, infiniment peu nombreux par rapport à une production qui a, d’évidence, été riche et importante. Ces reliques montrent d’abord et surtout l’ampleur de notre méconnaissance. Parmi les textes qui ont été exhumés, il y a plus de manuels que de références, plus de sources secondaires que d’œuvres originales. C’est la grande force d’ Ahmed Djebbar que de restituer ces fragments, de les montrer, de les désigner, d’en dégager le sens, plutôt que de se livrer trop hâtivement à une improbable reconstruction. Cette méthode rigoureuse montre les acquis, énonce les questions ouvertes, les recherches à effectuer si l’on veut progresser dans la connaissance de l’algèbre arabe. Cet art ne naît pas de rien : c’est la force de la civilisation arabo musulmane que de s’être appropriée et nourrie de pratiques, de techniques, de procédés, de traditions, d’idée préexistants dans les civilisations rencontrées lors de son expansion. C’est sa richesse d’avoir pu faire évoluer -oh combien- un art qui n’avait pas encore la dignité de la géométrie ou de la théorie des nombres. C’est sa spécificité que d’avoir permis à des auteurs s’exprimant en langue arabe, et d’origines et de confessions diverses, de contribuer à l’épanouissement des sciences. C’est sa caractéristique, dans une aire géopolitique allant de l’Inde aux Pyrénées, de posséder une grande unité culturelle et scientifique et de voir son Orient jouer un rôle moteur dans la maturation de l’algèbre, son Occident maghrébo-andalou un rôle prééminent dans une partie de son développement et sa circulation vers les pays latins.

Les pays latins s’approprient, diversement, l’art de l’algèbre à partir du XII e siècle. Ils le poussent plus loin et ailleurs, lui donnent l’aspect que nous connaissons, celui d’une science. Cette phase d’appropriation et de dépassement se fait dans une filiation arabo musulmane assumée. Il faudra qu’au XV e et XVI e siècles des événements importants de la politique méditerranéenne (chute de Byzance, bataille de Lépante, …) interviennent pour qu’un regard nouveau soit porté par les latins sur le monde musulman. L’origine de l’algèbre sera alors gommée, ne restant présente que dans son nom. Aujourd’hui, ce regard n’est pas forcément renouvelé, ni chez le public occidental ni chez les sectateurs d’une grandeur passée magnifiée à l’excès.

On le comprend : ce petit livre est éclairant pour tous les hommes épris de culture, qu’ils soient ou non férus d’algèbre. Il est précieux aussi aux mathématiciens à qui il montre l’origine d’une partie de leur savoir. Il est indispensable aux chercheurs qui y trouveront les perspectives et les voies permettant d’orienter leurs investigations. Il pose enfin dans notre monde une question politique qui reste en filigrane. N’est-ce pas lorsqu’elles se constituent aux yeux de l’autre en s’appuyant sur la richesse de l’altérité que les civilisations prospèrent et s’épanouissent ? N’est-ce pas lorsqu’elles rejettent l’autre qu’elles régressent et se réifient ?

Bernard MAITTE,
Professeur d'Histoire de la Physique,
Université des Sciences et des Technologies de Lille

Carte

Crédit: Alain Huot (site Histoire)

Liste des mathématiciens arabes

Cet article propose une liste des mathématiciens arabes.

Sommaire

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Abdelhamid ibn Turk [modifier]

Thabit ibn Qurra [modifier]

Article détaillé : Thabit ibn Qurra.

Mathématicien et géomètre arabe du IX^e siècle. Son étude en théorie des nombres le conduit à des résultats sur les paires d'entiers amicaux. Il entreprit aussi un travail observationnel et théorique en astronomie.

Al-Batanni [modifier]

Article détaillé : Al-Battani.

Mathématicien et astronome arabe (868-929), Abu Abdallah Muhammad ibn Jabir al-Battani fit des observations précises. Il introduit aussi des formules trigonométriques :

$tan a = frac{sin a}{cos a}$ et $sec a = sqrt{1 + tan^2 a }$ .

Omar Khayyam [modifier]

Article détaillé : Omar Khayyam.

Catégorie : Mathématiques arabes | [+]

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_des_math%C3%A9maticien...

Mathématiques arabes

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Dans l'Histoire des mathématiques, on désigne par l'expression de mathématiques arabes une époque importante dans le développement de cette science. Il s'agit des contributions apportées par les mathématiciens du monde musulman, du début de la conquête au milieu du xvii^e siècle. Les textes sont essentiellement écrits en arabe, qui était une des langues des sciences et de la culture à cette époque, d'où le nom, mathématiques arabes.

Les sciences arabes, et en premier plan, les mathématiques, s'exercent à travers les califats islamiques, établis en Moyen-Orient, en Asie centrale, en Afrique du Nord, dans la péninsule ibérique, et au sud de la France au viii^e siècle.

Ils ont conservé l'héritage grec. De récentes recherches ont démontré que beaucoup d'idées, qu'on pensait apportées par les mathématiciens du XVI^e, XVII^e, ou XVIII^e siècle, furent en réalité développées par des mathématiciens grecs dont la traduction nous fut transmise en arabe quatre siècles auparavant ou par des mathématiciens arabes.

Les mathématiques grecques ont joué un rôle dominant dans les premiers développements des mathématiques arabes. Beaucoup de textes grecs ont survécu à travers leur traduction en arabe.

Les mathématiques persanes ont repris l'héritage grec.

Les mathématiques indiennes ont influencé le développement des mathématiques arabes.

Les mathématiques chinoises ont aussi eu une influence sur le développement des sciences arabes.

Sommaire

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Histoire [modifier]

En 476, la chute de Rome marque l'effondrement de l'Empire romain d'Occident. L'instabilité politique en Europe ne fut pas favorable à la recherche scientifique qui de toute façon n'était pas le fait de l'Empire romain. Parallèlement, l'islam connaît dès sa naissance au vii^e siècle une fulgurante progression. En un siècle, les territoires musulmans s'étendent d'Espagne jusqu'en Chine.

Le monde islamique a vu, vers la fin du huitième siècle, l'apparition de trois entités politiques concurrentes : Abbassides, Idrissides et Omeyyades. Ce qui a mené à l'apparition de deux séries différentes des chiffres:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 : utilisés à Fez et à Cordoue.

٠,١,٢,٣,٤,٥,٦,٧,٨,٩ : utilisés à Bagdad.

Fèz, la capitale culturelle et spirituelle du Maroc, abrite Quaraouiyine, l'établissement éducatif considéré de nos jours comme étant le plus ancien dans le monde.

Bagdad, ville créée par les califes abbassides pour servir de capitale de l'Empire, devint très vite un centre culturel avec notamment la création d'une Maison de la Sagesse sous le règne du calife Al-Mamun. Parmi les membres de cette maison, on compte le mathématicien persan Al-Khwarizmi. Deux de ses traités ont eu un impact considérable sur les mathématiques européennes au xii^e siècle. Le premier, dont seule la traduction latine a été conservée, transmet la numérotation décimale. Le second traité, Kitab fi'l-jabr wa'l-muqabala (Livre sur la restauration et la confrontation) traite de manipulations sur les équations. Le mot al-jabr a donné algèbre. Il y donne la résolution des équations du second degré, par une complétion en carrés. Le nom de ce mathématicien, latinisé en Algoritmi a donné un autre des mots les plus courants des mathématiques : l'algorithme. Cette appellation s'est ensuite généralisée à d'autres disciplines technologiques, notamment en informatique où l'on désigne par "algorithme" tout programme itératif s'exécutant tant qu'une condition logique est vérifiée.

L'algèbre, branche nouvelle des mathématiques, continuera de s'épanouir avec la civilisation islamique. Il faut retenir les noms de Abu Kamil qui emploie les irrationnels, Al-Karaji. Autre mathématicien arabe du ix^e siècle, Tabit ibn Qurra non seulement s'emploie à traduire les textes grecs, mais étudie de près les nombres amicaux.

L'astronome et mathématicien Al-Battani pose les bases de la trigonométrie moderne en employant le sinus et la tangente dans ses calculs d'astronomie, et en réalisant des tables pour les calculer.

Le premier déclin des sciences arabes commence au xii^e siècle suite à des conflits divisant le monde musulman.

Astronome et mathématicien perse, Al-Kashi a donné les 16 premières décimales de pi. Sa mort en 1430 sonne le glas des mathématiques arabes.

Certains attribuent la fin de l'ère des mathématiques arabes à la domination turque et son ambition d'orienter la recherche. Ce dernier avis est discutable.

Traductions [modifier]

De nombreux textes arabes ont été traduits en latin et ont joué un rôle important dans l'évolution des mathématiques européennes.

Grecques à arabes [modifier]

Les textes suivants, des mathématiques grecques ont été traduits en arabe, et souvent ensuite en latin :

Éléments d'Euclide par Al-Hajjaj (VIII^e siècle).
Révision des éléments par Thabit ibn Qurra.
Les Coniques d'Apollonius par Thabit ibn Qurra.
L’Almageste de Ptolémée par Thabit ibn Qurra.
La Sphère et le cylindre d'Archimède par Thabit ibn Qurra.
Sur les triangles d'Archimède par Sinan ibn Thabit.
Arithmetica de Diophante d'Alexandrie par Abu'l-Wáfa.
Le Traité sur les miroirs de Dioclès.
Les Travaux sur la mécanique de Pappus d'Alexandrie.

Sanskrit à Arabe [modifier]

Les textes suivants sont des textes sanskrit de mathématiques indiennes traduits en arabe.

Surya Siddhanta par Muhammad al-Fazari.
Le Brahma Sphuta Siddhanta par al-Fazari.
Khandakhayaka de Brahmagupta.
Aryabhatiya de Aryabhata.
Pancha Siddhanta de Varahamihira.
Le Lagu Bhaskariya de Bhaskara I.

Arabe à Latin [modifier]

Les textes arabes suivants ont été traduits en latin :

Introduction à l’Astronomie par Adélard de Bath (fl. 1116-1142).
les traités arithmétiques Liber ysagogarum Alchorismi et Astronomical Tables d’Al-Khwarizmi par Adélard de Bath.
Les tables arithmétiques d’Al-Khwarizmi par Adélard de Bath (1126).
Zij al-Sindhind Al-Khwarizmi (1126).
Liber alghoarismi de practica arismetrice, par Jean de Séville et Domingo Gundisalvo (fl. 1135-1153).
Secretum Secretorum par Jean de Séville and Domingo Gundisalvo.
De motu stellarum d’Al-Battani, contenant d’importants travaux de trigonométrie, par Platon de Tivoli (fl. 1134-1145).
Algebra (ou Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison) d’Al-Khwarizmi par Gérard de Crémone (fl. 1150-1185) et par Robert de Chester (1145).
Elementa astronomica de Jabir Ibn Aflah par Gérard de Crémone.

Chronologie [modifier]

Cette frise chronologique décrit l'évolution des mathématiques arabes.

Annexes [modifier]

Liens externes [modifier]

L'algèbre arabe: entretien avec Ahmed Djebbar

Catégorie : Mathématiques arabes | [+]

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques_arabes

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Nombre de Liouville

Nombre de Liouville

Sommaire

Irrationalité des nombres de Liouville [modifier]

Constante de Liouville [modifier]

Mesure irrationnelle d'un réel [modifier]

Transcendance des nombres de Liouville [modifier]

Démonstration de l'assertion [modifier]

Théorème d'Erdös [modifier]

Annexes [modifier]

Notes et références [modifier]

Voir aussi [modifier]

Lien externe [modifier]

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences™ (OEIS™)

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences™ (OEIS™)

Suite d'entiers

Suite d'entiers

Voir aussi [modifier]

Liens internes [modifier]

Lien externe [modifier]

Tessarine

Tessarine

Sommaire

Isomorphismes avec les autres systèmes de nombres [modifier]

Nombres complexes [modifier]

Nombres complexes fendus [modifier]

Quaternions coniques, nombres bicomplexes [modifier]

Octonions coniques / sédénions coniques [modifier]

Propriétés algébriques [modifier]

Références [modifier]

Nombre complexe fendu

Nombre complexe fendu

Sommaire

Définition [modifier]

Conjugué, norme, et produit interne [modifier]

La base diagonale [modifier]

Géométrie [modifier]

Propriétés algébriques [modifier]

Représentations matricielles [modifier]

Histoire [modifier]

Synonymes [modifier]

Voir aussi [modifier]

Références et liens externes [modifier]

Sédénion

Sédénion

Sommaire

Les sédénions de la construction de Cayley-Dickson [modifier]

Arithmétique [modifier]

Les sédénions coniques / algèbre M à 16-dim. [modifier]

Arithmétique [modifier]

Bibliographie [modifier]

Articles connexes [modifier]

The Octonions

Abstract:

Octonion

Octonion

Sommaire

Historique [modifier]

Définition [modifier]

Addition [modifier]

Propriétés [modifier]

Soustraction [modifier]

Multiplication [modifier]