D	L	M	M	J	V	S
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31

11/12/2010

L'indicatrice de Carmichael

Définition Soit un entier . On définit comme le maximum des ordres des éléments du groupe $({mbox{bf Z}}/n{mbox{bf Z}})^*$ . On appelle indicatrice de Carmichaell'expression .

Exemple 55 Si

est premier, on a

car le groupe $({mbox{bf Z}}/p{mbox{bf Z}})^*$ est cyclique d'ordre

Lemme [Théorème de Carmichael] On a $a^{lambda(n)}equiv 1; (n)$ pour tout entier premier à . Réciproquement, si vérifie pour tout entier premier à , alors est multiple de .

Démonstration. Soit $ain({mbox{bf Z}}/n{mbox{bf Z}})^*$ un élément d'ordre et $bin({mbox{bf Z}}/n{mbox{bf Z}})^*$ un élément d'ordre . Nous allons montrer que $({mbox{bf Z}}/n{mbox{bf Z}})^*$ contient un élément dont l'ordre est PPCM . Il s'ensuivra que PPCM et donc que divise .

Pour cela, écrivons PPCM , où divise , divise et , sont premiers entre eux. Alors $a^{u/u'}$ est d'ordre , $b^{v/v'}$ est d'ordre et donc leur produit est d'ordre PPCM d'après le lemme .

La deuxième affirmation est claire.

Lemme

a): On a , et $lambda(2^k)=2^{k-2}$ pour tout .
b): Si est un nombre premier impair, on a $lambda(p^k)= phi(p^k)= (p-1)p^{k-1}$ .
c): Si où et sont premiers entre eux, on a PPCM .

Remarque 56 Ce lemme permet de calculer l'indicatrice de Carmichael de tout nombre dont on connaît la décomposition en facteurs premiers. Par exemple, on a

PPCM

En particulier, comme

divise

, nous avons

$displaystyle a^{560}equiv 1 ; (561)$

pour tout

premier à 561 (comme dans le petit théorème de Fermat). Un nombre

tel que $a^{n-1} equiv 1;(n)$ pour tout entier

premier à

s'appelle un nombre de Carmichael. Voici le tableau des premiers

nombres de Carmichael non premiers.

		décomposition

Démonstration. Les parties a) et b) résultent du théorème . Pour c), nous avons l'isomorphisme de groupes

$displaystyle ({mbox{bf Z}}/n{mbox{bf Z}})^* stackrel{_sim}{rightarrow}({mbox{bf Z}}/r{mbox{bf Z}})^* times ({mbox{bf Z}}/s{mbox{bf Z}})^*$

donné par le lemme chinois. L'ordre d'un couple $(a,b)in({mbox{bf Z}}/r{mbox{bf Z}})^*times({mbox{bf Z}}/s{mbox{bf Z}})^*$ est clairement égal au PPCM des ordres des deux composantes. Ceci implique que l'ordre maximal d'un couple sera le PPCM des ordres maximaux atteints dans chaque composante.

suivant: Résidus quadratiques monter: bad précédent: Structure du groupe des Table des matières

Bernhard_Keller

Source : http://www.les-mathematiques.net/b/a/d/node21.php3

Interprétation géométrique

Nous considérons le plan ${mbox{bf R}}^2$ et nous appelons points entiers les points $(x,y)in{mbox{bf R}}^2$ à coordonnées entières . Soient tels que. Notons la droite dans ${mbox{bf R}}^2$ formée des points $(xi,eta)in{mbox{bf R}}^2$ tels que . Alors l'ensemble des solutions $(x,y)in{mbox{bf Z}}^2$ de l'équation de Bézout s'identifie à l'ensemble des points entiers de la droite .

includegraphics[width=12.0cm height=8.0cm]{droites.eps}

D'après les théorèmes cités ci-dessus, deux cas seulement sont possibles

soit la droite ne contient aucun point entier
soit la droite contient une infinité de points entiers.

Dans le deuxième cas, l'ensemble des points entiers est obtenu en rajoutant un multiple entier d'un vecteur

à un point entier

fixé de la droite. Le vecteur

peut être identifié avec un point entier de distance minimale à l'origine sur la droite

. Notons que cette droite contient exactement deux tels points (à savoir

Bernhard_Keller

Source : http://www.les-mathematiques.net/b/a/d/node9.php3

Éléments d'analyse

Les Éléments d'analyse sont une série de 9 volumes écrits par le mathématicien français Jean Dieudonné. À l'origine, seul le premier volume, Foundations of Modern Analysis, publié en 1960, était prévu. J. Dieudonné l'écrit suite à une série de cours dispensés à l'université du Michigan. Dans ce premier volume, l'auteur souhaite présenter les connaissances minimales en analyse que doit acquérir un étudiant en mathématiques ou en physique.

Plus tard, ce premier tome sera traduit en français sous le titre Fondements de l'Analyse moderne. Dieudonné y ajoutera 8 volumes supplémentaires écrits directement en français.

Sommaire

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Plan de l'ouvrage [modifier]

Tome I : Fondements de l'Analyse moderne [modifier]

Tome I¹

I - Éléments de la théorie des ensembles.

1. Éléments et ensembles.
2. Calcul booléen.
3. Produit de deux ensembles.
4. Applications.
5. Images directes et réciproques.
6. Applications surjectives,injectives, bijectives.
7. Compositions d'applications.
8. Familles d'éléments. Réunion et intersection de famille d'ensembles.
9. Ensembles dénombrables.

II - Nombres réels.

1. Axiomes des nombres réels.
2. Structure d'ordre des nombres réels.
3. Borne supérieure et borne inférieure.

III - Espaces métriques.

1. Distances et espaces métriques.
2. Exemplesde distances.
3. Isométries.
4. Boules, sphères, diamètre.
5. Ensembles ouverts.
6. Voisinages.
7. Intérieur d'un ensemble.
8. Ensembles fermés, points adhérents, adhérence d'un ensemble.
9. Parties denses, espaces séparables.
10. Sous-espaces d'un espace métrique.
11. Applications continues.
12. Homéomorphismes. Distances équivalentes.
13. Limites.
14. Suites de Cauchy, espaces complets.
15. Théorèmes élémentaires de prolongement.
16. Espaces compacts.
17. Ensembles compacts.
18. Espaces localement compacts.
19. Espaces connexes et ensembles connexes.
20. Produit de deux espaces métriques.

IV - Propriétés particulières à la droite réelle.

1. Continuité des opérations algébriques.
2. Fonctions monotones.
3. Logarithmes et exponentielles.
4. Les nombres complexes.
5. Le théorème de prolongement de Tietze-Urysohn.

V - Espaces normés.

1. Espaces normés et espaces de Banach.
2. Séries dans un espace normé.
3. Séries absolument convergentes.
4. Sous-espaces et produits finis d'espaces normés.
5. Condition de continuité d"une application multilinéaire.
6. Normes équivalentes.
7. Espaces d'applications multilinéaires continues.
8. Hyperplans fermés et formes linéiares continues.
9. Espaces normés de dimension finie.
10. Espaces normés séparables.

VI - Espaces de Hilbert.

1. Formes hermitiennes.
2. Formes hermitiennes positives.
3. Projection orthogonale sur un sous-espace complet.
4. Somme hilbertienne d'espaces de Hilbert.
5. Systèmes orthonormaux.
6. Orthonormalisation.

VII - Espaces de fonctions continues.

1. Espaces de fonctions bornées.
2. Espaces de fonctions continues bornées.
3. Le théorème d'approximation de Stone-Weierstrass.
4. Application.
5. Ensembles équicontinus.
6. Fonctions réglées.

VIII - Calcul différentiel.

1. Dérivée d'une application continue.
2. Règles formelles de dérivation.
3. Dérivées dans des espaces de fonctions linéaires continues.
4. Dérivées des fonctions d'une variable.
5. Le théorème de la moyenne.
6. Applications du théorème de la moyenne.
7. Primitives et intégrales.
8. Application : le nombre e.
9. Dérivées partielles.
10. Jacobiens.
11. Dérivée d'une intégral dépendant d'un paramètre.
12. Dérivées d'ordre supérieur.
13. Opérateurs différentiels.
14. Formule de Taylor.

IX - Fonctions analytiques.

1. Séries entières.
2. Substitution de séries entières dans une série entière.
3. Fonctions analytiques.
4. Le principe de prolongement analytique.
5. Exemples de fonctions analytiques; la fonction exponentielle; le nombre $p i$ .
6. Intégration le long d'une route.
7. Primitive d'une fonction analytique dans un domaine simplement connexe.
8. Indice d'un point par rapport à une circuit.
9. La formule de Cauchy.
10. Caractérisation des fonctions analytiques de variables complexes.
11. Le théorème de Liouville.
12. Suites convergentes de fonctions analytiques.
13. Ensembles équicontinus de fonctions analytiques.
14. La série de Laurent.
15. Points singuliers isolés; pôles; zéros; résidus.
13. Le théorème des résidus.
14. Fonctions méromorphes.

Appendice au Chapitre IX. - Application des fonctions analytiques à la topologie plane.

1. Indice d'un point par rapport à un lacet.
2. Applications essentielles dans le cercle unité.
3. Coupures du plan.
4. Arcs simples et courbes fermées simples.

X - Théorèmes d'existence.

1. La méthode des approximations successives.
2. Fonctions implicites.
3. Le théorème du rang.
4. Équations différentielles.
5. Comparaison des solutions d'équations différentielles.
6. Équations différentielles linéaires.
7. Dépendance des paramètres.
8. Dépendance des conditions initiales.
9. Le théorème de Frobenius.

XI - Théorie spectrale élémentaire.

1. Spectre d'un opérateur continu.
2. Opérateurs compacts.
3. La théorie de F. Riesz.
4. Spectre d'un opérateur compact.
5. Opérateurs compacts dans les espaces de Hilbert.
6. L'équation intégrale de Fredholm.
7. Le problème de Sturm-Liouville.

Annexe - Éléments d'algèbre linéaire.

1. Espaces vectoriels.
2. Applications linéaires.
3. Sommes directes de sous-espaces.
4. Bases. Dimensions et codimension.
5. Matrices.
6. Applications multilinéaires. Déterminants.

BIBLIOGRAPHIE
INDEX

Tome II [modifier]

Tome II²

XII - Compléments de topologie et d'algèbre topologique.

1. Espaces topologiques.
2. Notions topologiques.
3. Espaces séparés.
4. Espaces uniformisables.
5. Produits d'espaces uniformisables.
6. Recouvrements localement finis et partitions de l'unité.
7. Fonctions semi-continues.
8. Groupes topologiques.
9. Groupes métrisables.
10. Espaces à opérateurs et espaces d'orbites.
11. Espaces homogènes.
12. Groupes quotients.
13. Espaces vectoriels topologiques.
14. Espaces localement convexes.
15. Topologies faibles.
16. Le théorème de Baire et ses conséquences.

XIII - Intégration.

1. Définition d'une mesure.
2. Mesures réelles.
3. Mesures positives. Valeur absolue d'une mesure.
4. Topologie vague.
5. Intégrales supérieure et inférieure par rapport à une mesure positive.
6. Fonctions et ensembles négligeables. Fonctions et ensembles intégrables.
7. Les théorèmes de convergence de Lebesgue.
8. Fonctions mesurables.
9. Intégrales de fonctions vectorielles.
10. Les espaces $L 1$ et $L 2$ .
11. Intégration par rapport à une mesure positive.
12. Le théorème de Lebesgue-Nikodym.
13. Applications : I. Intégration par rapport à une mesure complexe.
14. Applications : II. Dual de $L 1$ .
15. Décompositions canoniques d'une mesure.
16. Support d'une mesure. Mesures à support compact.
17. Mesures bornées.
18. Produit de mesures.

XIV - Intégration dans les groupes localement compacts.

1. Existence et unicité d'une mesure de Haar.
2. Cas particuliers et exemples.
3. Fonction module sur un groupe ; module d'un automorphisme.
4. Mesure de Haar sur un groupe quotient.
5. Convolution de mesures sur un groupe localement compact.
6. Exemples et cas particuliers de convolutions de mesures.
7. Propriétés algébriques de la convolution.
8. Convolution d'une mesure et d'une fonction.
9. Exemples de convolutions de mesures et de fonctions.
10. Convolution de deux fonctions.
11. Régularisation.

XV - Algèbres normées et théorie spectrale.

1. Algèbres normées.
2. Spectre d'un élément d'une algèbre normée.
3. Caractères et spectre d'une algèbre de Banach commutative. Transformation de Gelfand..
4. Algèbres de Banach involutives et algèbres stellaires.
5. Représentations des algèbres involutives.
6. Formes linéaires positives et représentations; formes hilbertiennes positives.
7. Traces, bitraces et algèbres hilbertiennes.
8. Algèbres hilbertiennes complètes.
9. Le théorème de Plancherel-Godement.
10. Représentations des algèbres de fonctions continues
11. La théorie spectrale de Hilbert.
12. Opérateurs normaux non bornés.
13. Prolongements des opérateurs hermitiens non bornés.

Tome III [modifier]

Tome III³

XVI -Variétés différentielles.

1. Cartes, atlas, variétés.
2. Exemples de variétés différentielles. Difféomorphismes.
3. Applications différentiables.
4. Partitions différentiables de l'unité.
5. Espaces tangents; applications linéaires tangentes; rang.
6. Produits de variétés.
7. Immersions, submersions, subimmersions.
8. Sous-variétés.
9. Groupes de Lie.
10. Espaces d'orbites; espaces homogènes.
11. Exemples: groupes unitaires, variétés de Stiefel, grassmaniennes, espaces projectifs.
12. Fibrations.
13. Définition de fibrations par des cartes.
14. Espaces fibrés principaux.
15. Espaces fibrés vectoriels.
16. Opérations sur les fibrés vectoriels.
17. Suites exactes, sous-fibrés et fibrés quotients.
18. Morphismes canoniques de fibrés vectoriels.
19. Image réciproque d'un fibré vectoriel.
20. Formes différentielles.
21. Variétés orientables et orientations.
22. Changements de variables dans les intégrales multiples et mesures lebesguiennes.
23. Le théorème de Sard.
24. Intégrale d'une n-forme différentielle sur une variété pure orientée de dimension n.
25. Théorèmes de plongement et d'approximation. Voisinages tubulaires.
26. Homotopies et isotopies différentiables.
27. Groupe fondamental d'une variété connexe.
28. Revêtements et groupe fondamental.
29. Revêtement universel d'une variété différentielle.
30. Revêtements d'un groupe de Lie.

XVII - Calcul différentiel sur une variété différentielle.

I. Distributions et opérateurs différentiels.

1. Les espaces $mathcal{E}^{(r)}(U)$ (U ouvert dans $mathbb{R}^n$ ).
2. Espaces de sections $C^infty$ (resp. $C r$ ) de fibrés vectoriels.
3. Courants et distributions.
4. Définition locale d'un courant. Support d'un courant.
5. Courants sur une variété orientée. Distributions sur $mathbb{R}^n$ .
6. Distributions réelles. Distributions positives.
7. Distributions à support compact. Distributions ponctuelles.
8. Topologie faible sur les espaces de distributions.
9. Exemple : parties finies d'intégrales divergentes.
10. Produit tensoriel de distributions.
11. Convolution des distributions sur un groupe de Lie.
12. Régularisation des distributions.
13. Opérateurs différentiels et champs de distributions ponctuelles.
14. Champs de vecteurs comme opérateurs différentiels.
15. Différentielle extérieure d'une p-forme différentielle.
16. Connexions sur un fibré vectoriel.
17. Opérateurs différentiels associés à une connexion.
18. Connexions sur une variété différentielle.
19. Différentielle extérieure covariante.
20. Courbure et torsion d'une connexion.

Annexe -Compléments d'algèbre (suite).
BIBLIOGRAPHIE
INDEX

Tome IV [modifier]

Tome IV⁴

XVIII - Calcul différentiel sur une variété différentielle.
II.Théorie globale élémentaire des équations différentielles du premier et du second ordre.
Théorie locale élémentaire des systèmes différentiels.

1. Équations différentielles du premier ordre sur une variété différentielle.
2. Coulée d'un champ de vecteurs.
3. Équations différentielles du second ordre sur une variété.
4. Champs isochrones et équations du second ordre isochrones.
5. Propriétés de convexité des équations différentielles isochrones.
6. Géodésiques d'une connexion.
7. Familles de géodésiques à un paramètre et champs de Jacobi.
8. Champs de p-directions, systèmes de Pfaff et systèmes d'équations aux dérivées partielles.
9. Systèmes différentiels.
10. Éléments intégraux d'un système différentiel.
11. Position du problème d'intégration.
12. Le théorème de Cauchy-Kowalewska.
13. Le théorème de Cartan-Kähler.
14. Systèmes de Pfaff complètement intégrables.
15. Variétés intégrales singulières; variétés caractéristiques.
16. Caractéristiques de Cauchy.
17. Exemples : I. Équations aux dérivées partielles du premier ordre.
18. Exemples : II. Équations aux dérivées partielles du second ordre.

XIX - Groupe de Lie et algèbres de Lie.
XX - Connexions principales et géométrie riemannienne.
Annexe -Compléments d'algèbre (suite).
BIBLIOGRAPHIE
INDEX

Tome V : Groupes de Lie compacts et groupes de Lie semi-simples [modifier]

XXI -Groupes de Lie compacts et groupes de Lie semi-simples.⁵

1. Représentations unitaires continues de groupes localement compacts.
2. L'algèbre hilbertienne d'un groupe compact.
3. Caractères d'un groupe compact.
4. Représentations unitaires continues des groupes compacts.
5. Formes bilinéaires invariantes; formes de Killing.
6. Groupes de Lie semi-simples; critères de semi-simplicité d'un groupe de Lie compact.
7. Tores maximaux des groupes de Lie compacts connexes.
8. Racines et sous-groupes presque simples de rang un.
9. Représentation linéaire de SU(2).
10. Propriétés des racines d'un groupe compact semi-simple.
11. Bases d'un système de racines.
12. Exemples : groupes compacts classiques.
13. Représentations linéaires des groupes de Lie compacts connexes.
14. Éléments anti-invariants.
15 Les formules de H. Weyl.
16. Centre, groupe fondamental et représentations irréductibles des groupes compacts connexes semi-simples.
17. Complexifiés des groupes compacts connexes semi-simples.
18. Formes réelles des complexifiés des groupes compacts connexes semi-simples et espaces symétriques.
19. Racines d'une algèbre de Lie semi-simple complexe.
20. Bases de Weyl.
21. La décomposition d' Iwasawa.
22. Critère de résolubilité de E. Cartan.
23. Le théorème de E. E. Levi.

Annexe -Compléments d'algèbre (suite).
BIBLIOGRAPHIE
INDEX

Tome VI : Analyse harmonique [modifier]

XXII - Analyse harmonique.⁶

1. Fonctions continues de type positif.
2. Mesures de type positif.
3. Représentations induites.
4. Représentations induites et restrictions de représentations à des sous-groupes.
5. Traces partielles et représentations induites dans les groupes compacts.
6. Groupes de Gelfand et fonctions sphériques.
7. Transformation de Plancherel et transformation de Fourier.
8. Les espaces P(G) et P'( $mathbb{Z}$ ).
9. Fonctions sphériques de type positif et représentations irréductibles.
10. Analyse harmonique commutative et dualité de Pontrjagin.
11. Dual d'un sous-groupe et d'un groupe quotient.
12. Formule de Poisson.
13. Dual d'un produit.
14. Exemples de dualité.
15. Représentations unitaires continues des groupes commutatifs localement compacts.
16. Fonctions déclinantes sur $mathbb{R}^{n}$ .
17. Distributions tempérées.
18. Convolution des distributions tempérées et théorème de Paley-Wiener.
19. Distributions périodiques et séries de Fourier.
20. Les espaces de Sobolev.

Tome VII : Équations fonctionnelles linéaires, Première partie : Opérateurs pseudo-différentiels [modifier]

XXIII - Équations fonctionnelles linéaires.⁷

Première partie - Opérateurs pseudo-différentiels

1. Opérateurs intégraux.
2. Opérateurs intégraux de type propre.
3. Opérateurs intégraux sur les fibrés vectoriels.
4. Fibré des densités et sections noyaux.
5. Sections bornées.
6. Opérateurs de Volterra.
7. Opérateurs de Carleman.
8. Fonctions propres généralisées.
9. Distributions noyaux.
10. Distributions noyaux régulières.
11. Opérateurs régularisants et composition des opérateurs.
12. Microsupport singulier d'une distribution.
13. Équations de convolution.
14. Solutions élémentaires.
15. Problèmes d'existence et d'unicité pour les systèmes d'équations linéaires aux dérivées partielles.
16. Symboles d'opérateurs.
17. Intégrales oscillantes.
18. Opérateurs de Lax-Maslov.
19. Opérateurs pseudo-différentiels.
20. Symbole d'un opérateur pseudo-différentiel de type propre
21. Opérateurs pseudo-différentiels matriciels.
22. Paramétrix des opérateurs elliptiques sur un ouvert de $mathbb{R}^{n}$ .
23. Opérateurs pseudo-différentiels dans les espaces $H^{n}_0(X)$ .
24. Problème de Dirichlet classique et problèmes de Dirichlet grossiers.
25. L'opérateur de Green.
26. Opérateurs pseudo-différentiels sur une variété.
27. Adjoint d'un opérateur pseudo-différentiel sur une variété. Composé de deux opérateurs pseudo-différentiels sur une variété.
28. Extension des opérateurs pseudo-différentiels aux sections distributions.
29. Symboles principaux.
30. Paramétrix des opérateurs elliptiques : cas des variétés.
31. Théorie spectrale des opérateurs elliptiques hermitiens : I. Prolongements autoadjoints et conditions aux limites.
32. Théorie spectrale des opérateurs elliptiques hermitiens : II. Fonctions propres généralisées.
33. Opérateurs pseudo-différentiels essentiellement autoadjoints : I. Opérateurs de convolution hermitien sur $mathbb{R}^{n}$ .
34. Opérateurs pseudo-différentiels essentiellement autoadjoints : II. Spectres atomiques.
35. Opérateurs pseudo-différentiels essentiellement autoadjoints : III. Opérateurs elliptiques sur une variété compacte.
36. Opérateurs différentiels invariants.
37. Propriétés différentielles des fonctions sphériques.
38. Exemple : harmoniques sphériques.

BIBLIOGRAPHIE
INDEX

Tome VIII : Équations fonctionnelles linéaires, Deuxième partie : problèmes aux limites [modifier]

XXIII - Équations fonctionnelles linéaires.⁸

Deuxième partie - Problèmes aux limites

39. La théorie de Weyl-Kodeira : I. Opérateurs différentiels elliptiques dans un intervalle de $mathbb{R}$ .
40. La théorie de Weyl-Kodeira : II. Conditions aux limites.
41. La théorie de Weyl-Kodeira : III. Opérateurs autoadjoints associés à une équation différentielle linéaire.
42. La théorie de Weyl-Kodeira : IV. Fonction de Green et spectre.
43. La théorie de Weyl-Kodeira : V. Le cas des équations du second ordre.
44. La théorie de Weyl-Kodeira : VI. Exemple : équations du second ordre à coefficients périodiques.
45. La théorie de Weyl-Kodeira : VII. Exemple : équations de Gelfand-Levitan.
46. Potentiels multicouches : I. Symboles de type rationnel.
47. Potentiels multicouches : II. Cas des multicouches hyperplanes.
48. Potentiels multicouches : III. Cas général.
49. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : I. L'opérateur de Calderon.
50. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : II. Problèmes aux limites elliptiques.
51. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : III. Critères d'ellipticité.
52. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : IV. Les espaces $H s, r (U +)$ .
53. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : V. Les espaces $H s, r$ et P-potentiels.
54. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : VI. La régularité à la frontière.
55. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : VII. Problèmes coercitifs.
56. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : VIII. Formules de Green généralisées.
57. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : IX. Problèmes fins associés aux problèmes coercitifs.
58. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : X. Exemples.
59. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : XI. Extension à certains opérateurs non hermitiens.
60. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : XII. Cas des opérateurs du second ordre; problème de Neumann.
61. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : XIII. Le principe du maximum.
62. Équations paraboliques : I. Construction d'une résolvante unilatérale locale.
63. Équations paraboliques : II. Le problème de Cauchy généralisé.
64. Équations paraboliques : III. Traces et valeurs propres.
65. Distributions évolutives.
66. L'équation des ondes : I. Le problème de Cauchy généralisé.
67. L'équation des ondes : II. Propagation et domaine d'influence.
68. L'équation des ondes : III. Signaux, ondes et rayons.
69. Équations strictement hyperboliques : I. Résultats préliminaires.
70. Équations strictement hyperboliques : II. Construction d'une résolvante approchée locale.
71. Équations strictement hyperboliques : III. Exemples et variantes.
72. Équations strictement hyperboliques : IV. Le problème de Cauchy pour les opérateurs différentiels strictement hyperboliques; existence et unicité locales.
73. Équations strictement hyperboliques : V. Problèmes globaux.
74. Équations strictement hyperboliques : VI. Extension aux variétés.
75. Application au spectre d'un opérateur elliptique hermitien.

BIBLIOGRAPHIE
INDEX

Tome IX : Topologie algébrique et topologie différentielle élémentaire [modifier]

XXIV - Topologie algébrique et topologie différentielle élémentaire⁹

1. Cohomologie et cohomologie à supports compacts d'une variété différentielle.
2. La formule d'homotopie.
3. Les suites de Mayer-Vietoris.
4. Cohomologie des sphères.
5. Le théorème de Künneth.
6. La dualité de Poincaré.
7. Cohomologie d'une sous-variété compacte;
8. Les degrés de Brouwer.
9. Degré d'une application.
10. Homologie des courants.
11. Homologie des courants sur une variété orientée.
12. Régularisation des courants.
13. L'anneau d'intersection.
14. La formule de Stokes.
15. Applications : I. Nombre de racines d'une équation.
16. Applications : II. Intersections de courbes algébriques sur une surface algébrique.
17. Homologie des courants cellulaires.
18. Subdivisions cellulaires et simpliciales.
19. Bords des courants simpliciaux.
20. Chaînes simpliciales formelles et homologie singulière.
21. Lemmes de subdivision.
22. Propriétés de l'homologie singulière.
23. Les théorèmes de de Rham : I. Courants associés à une subdivision simpliciale.
24. Les théorèmes de de Rham : II. Approximation d'un courant par les courants d'une subdivision simpliciale.
25. Les théorèmes de de Rham : III. Prolongement de p-formes.
26. Les théorèmes de de Rham : IV. Fin de la démonstration.
27. Structure des modules d'homologie.
28. Homologie des complexes simpliciaux euclidiens compacts.
29. La cohomologie singulière.
30. Structure des groupes d'homologie.
31. L'anneau de cohomologie singulière.
32. Cohomologie singulière des complexes simpliciaux euclidiens compacts.
33. Cohomologie singulière d'une variété différentielle.
34. La cohomologie singulière à supports compacts.
35. Homologie et cohomologie singulière relatives.
36. Cohomologie relative et cohomologie à supports compacts.
37. Excision et suites de Mayer-Vietoris relatives.
38. Cohomologie des produits de variétés et des espaces fibrés.
39. Suite de Gysin et classe d'Euler.
40. Cohomologie des grassmanniennes.
41. Classes de Chern.
42. Propriétés des classes de Chern.
43. Classes de Pontrjagin.
44. Compléments sur les formes différentielles vectorielles et les connexions principales.
45. L'homomorphisme de Weil.
46. Courbure et classes caractéristiques.
47. Classes de Stiefel-Whitney.
48. La théorie de Hodge.
49. La formule de Atiyah-Bott-Lefschetz.
50. Applications : I. La formule de Hopf pour les champs de vecteurs.
51. Applications : II. Formules de Bott pour les classes caractéristiques.
52. Cohomologie des groupes de Lie.
53. Éléments primitifs.

BIBLIOGRAPHIE
INDEX

Références [modifier]

↑ Jean Dieudonné, éléments d'analyse, vol. 1, Gauthier-Villars, Paris, 1965, 372 p.
↑ Jean Dieudonné, éléments d'analyse, vol. 2, Gauthier-Villars, Paris, 1968, 408 p.
↑ Jean Dieudonné, éléments d'analyse, vol. 3, Gauthier-Villars, Paris, 1970, 366 p.
↑ Jean Dieudonné, éléments d'analyse, vol. 4, Gauthier-Villars, Paris, 1971, 411 p.
↑ Jean Dieudonné, éléments d'analyse : Groupes de Lie compacts et groupes de Lie semi-simples, vol. 5, Gauthier-Villars, Paris, 1975, 208 p. (ISBN 2-04-000932-9)
↑ Jean Dieudonné, éléments d'analyse
Source vol. 6, Gauthier-Villars, Paris, 1975, 197 p. (ISBN 2-04-001127-7)
↑ Jean Dieudonné, éléments d'analyse : Équations fonctionnelles linéaires, vol. 7, Gauthier-Villars, Paris, 1978, 296 p. (ISBN 2-04-010082-2)
↑ Jean Dieudonné, éléments d'analyse : Équations fonctionnelles linéaires, vol. 8, Gauthier-Villars, Paris, 1978, 330 p. (ISBN 2-04-010273-6)
↑ Jean Dieudonné, éléments d'analyse : Topologie algébrique et topologie différentielle élémentaire, vol. 9, Gauthier-Villars, Paris, 1982, 380 p. (ISBN 2-04-011499-8)

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Jean Dieudonné

Jean Dieudonné.

Jean Alexandre Eugène Dieudonné est un mathématicien français né le 1^er juillet 1906 à Lille et mort le 29 novembre 1992 à Paris.

Sommaire

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Biographie [modifier]

Jean Dieudonné est né à Lille en 1906. En 1915, sa famille fuit l'occupation de Lille par l'Allemagne durant la Première Guerre mondiale et s'installe à Paris en 1916. Sa famille l'envoie en Angleterre en 1919 pour une année scolaire. Il obtient le premier prix au concours général de mathématiques en 1923.

En 1924, il intègre l'École normale supérieure à l'âge de 18 ans. Il est reçu cacique à l'agrégation en 1927. Il obtient une bourse de l'Université de Princeton, puis une de la fondation Rockefeller. Il soutient sa thèse intitulée Recherche sur quelques problèmes relatifs aux polynômes et aux fonctions bornées en 1931.

En décembre 1934, il participe à la fondation du groupe Bourbaki, dont il sera un des moteurs pendant de nombreuses années.

Il fut maître de conférences à Nancy en 1937, puis à Clermont-Ferrand durant l'occupation, où était repliée l'université de Strasbourg, avant de partir pour le continent américain. Il fut d'abord professeur à l'université de São Paulo au Brésil de 1946 à 1948, puis aux États-Unis en 1952 à l'université du Michigan, pour revenir en France en 1959 à l'IHES. Il finira sa carrière à l'université de Nice où il obtient un poste en 1964. Il sera également le doyen de cette université.

Le 24 juin 1968 il est élu membre non résidant de l'Académie des sciences.

Avec Laurent Schwartz, il supervisa les premières recherches d'Alexandre Grothendieck à l'université de Nancy, posant de nouvelles bases à la géométrie algébrique.

Recevant le grand prix de l'Académie des sciences en 1944, il en deviendra membre en 1968.

Travaux [modifier]

En algèbre, on lui doit des travaux sur la théorie de Galois des anneaux d'Artin, et l'algébrisation des travaux de Sophus Lie.
En topologie, il mit au point les notions de partition d'unité et d'espace paracompact. Il travailla également sur les espaces vectoriels topologiques.

Publications [modifier]

Outre ses publications au sein de Bourbaki, on lui doit notamment :

Les 9 volumes de son traité Éléments d'analyse (1979-82), éd. Gauthier-Villars
Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal [détail des éditions] (1968), éd. Hermann
Sur les groupes classiques (1973), éd. Hermann
Les Éléments de géométrie algébrique qu'il a corédigés avec Alexandre Grothendieck
L'Abrégé d'histoire des mathématiques, dont il a dirigé la rédaction
Pour l'honneur de l'esprit humain - les mathématiques aujourd'hui, éd. Hachette, coll. Histoire et phil. des sc. (1987) (pour grand public)
Des articles de mathématiques pour l'Encyclopaedia Universalis.

Remarque [modifier]

L'Euro-Institut d'Actuariat (EURIA) à Brest porte aujourd'hui son nom ainsi que le Laboratoire de Mathématiques (Unité Mixte de Recherche CNRS - UMR 6621) de l'Université de Nice Sophia-Antipolis.

Voir aussi [modifier]

Nicolas Bourbaki

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Jean_Dieudonn%C3%A9

Abrégé d'histoire des mathématiques

L'Abrégé d'histoire des mathématiques a été écrit par un groupe de mathématiciens sous la direction de Jean Dieudonné et est publié aux éditions Hermann. Ce livre a la vocation de donner un aperçu de l'évolution des concepts mathématiques sur la période 1700-1900. Les auteurs reconnaissent que l'histoire mathématique à partir de 1900 est très riche mais ils estimaient ne pas avoir assez de recul pour en parler. Une caractéristique de cet écrit réside dans le fait qu'il a été écrit par des mathématiciens et non par des historiens ; les auteurs apportent leur regard technique sur la rigueur des premières preuves, indiquent les erreurs importantes commises par les mathématiciens de cette période.

Sommaire

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Introduction [modifier]

Cette partie a été écrite par Jean Dieudonné.

L'analyse mathématique au xviii^e siècle [modifier]

Cette partie a été écrite par Jean Dieudonné.

L'algèbre et la géométrie jusqu'en 1840 [modifier]

Cette partie a été écrite par Jean Dieudonné et Jean Guérindon.

L'algèbre et la géométrie depuis 1840 [modifier]

Cette partie a été écrite par Jean Dieudonné et Jean Guérindon.

Les fonctions analytiques [modifier]

Cette partie a été écrite par Jean-Luc Verley.

Théorie des nombres [modifier]

Cette partie a été écrite par William et Fern Ellison.

Fondements de l'analyse [modifier]

Cette partie est l'œuvre de Pierre Dugac (de).

Fonctions elliptiques et intégrales abéliennes [modifier]

Ceci est dû à Christian Houzel.

L'analyse fonctionnelle [modifier]

Ce chapitre a été rédigé par Jean Dieudonné.

Géométrie différentielle [modifier]

Ce chapitre est dû à Paulette Libermann (de).

Topologie [modifier]

L'auteur de cette partie est Guy Hirsch.

Axiomatique et logique [modifier]

Cela est l'œuvre de Marcel Guillaume.

Référence [modifier]

Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900 [détail des éditions]

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Abr%C3%A9g%C3%A9_d'histoire_...

Anneau (mathématiques)

Pour les articles homonymes, voir Anneau.

En algèbre générale, un anneau est une structure algébrique sur laquelle deux opérations satisfont certaines des propriétés de l'addition et la multiplication des nombres.

Sommaire

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Aspect historique [modifier]

Article détaillé : Théorie des anneaux.

L'étude des corps et des anneaux trouve son origine dans l'école allemande du XIX^e siècle. Elle est développée par les mathématiciens Kummer, Dedekind, Kronecker et Hilbert. Elle naît de l'étude des équations algébriques, des nombres algébriques et de la recherche d'une démonstration du grand théorème de Fermat. Elle conduira à un développement important de l'algèbre générale et de la géométrie algébrique.

Dans le X^e Supplément de sa seconde édition des Leçons sur la théorie des nombres de Dirichlet, en 1871, Dedekind considère, à côté de la notion de corps (Körper), l'anneau des entiers d'un corps de nombres algébriques ; il introduira un peu plus tard d'autres anneaux qu'il appelle ordres (Ordnung). Mais c'est David Hilbert qui emploie le terme d'anneau (Ring) pour définir ce qui est toujours à l'époque un anneau commutatif unitaire, dans son Rapport sur les nombres (Zahlbericht) de 1897 pour la Deutsche Mathematiker-Vereinigung¹.

Définitions [modifier]

Un anneau est un triplet (A, +, ∙) tel que :

A est un ensemble ;
+ est une loi de composition interne telle que (A, +) soit un groupe commutatif ; ce qui signifie que
- la loi + est associative ;
- A contient au moins un élément : l'élément neutre pour la loi +, noté 0 ;
- tout élément a de A a un opposé, noté −a ;
- la loi + est commutative (a+b = b+a) ;
∙ est une loi de composition interne associative et distributive par rapport à + ;

Depuis les années 1960, Nicolas Bourbaki² et de nombreux auteurs³ imposent dans leur définition à un anneau d'être unifère (on dit aussi unitaire), c'est-à-dire que la loi associative . admet un élément neutre noté 1 ou $1 A$ qui vérifie :

1.x = x.1 = x
Anneau unitaire : un anneau est dit unitaire si la loi ∙ dispose d'un élément neutre, noté 1.

En terminologie universitaire française⁴ et en terminologie anglaise⁵ les anneaux sont souvent considérés par défaut comme unitaires. Dans le cas contraire, si la loi ∙ ne dispose pas d'élément neutre, on dit que A est un pseudo-anneau ou une algèbre associative. Cependant, comme les auteurs pour qui un anneau n'est pas nécessairement unitaire restent nombreux, il convient d'une part de toujours s'assurer de la définition concrètement utilisée, et il n'est pas inutile d'ajouter l'adjectif "unitaire" même si ce seraitredondant. Si A est un pseudo-anneau non unitaire, on peut construire un anneau unitaire A' qui contient A comme sous-anneau non unitaire⁶.

Les auteurs qui supposent les anneaux unitaires imposent aux sous-anneaux de contenir l'unité de l'anneau et aux morphismes d'anneaux : A $to$ B, de transformer l'unité de A en l'unité de B. Cette définition (les anneaux sont supposés unitaires) est récente et n'était pas adoptée à l'origine.

Un morphisme d'anneaux est une application entre deux anneaux A et B, compatible avec les lois de ces anneaux, c'est-à-dire qui vérifie :

f(a+b)=f(a)+f(b)

f(a.b)=f(a).f(b)

Si on suppose dans la définition que les anneaux sont unitaires, l'application f doit transformer l'unité de l'anneau unitaire A en l'unité de B.

f (1 A) = 1 B

Si f est une bijection, on dit que f est un isomorphisme d'anneaux.

On dit que deux anneaux A et B sont isomorphes si il existe un isomorphisme de A sur B.

Opérations sur les éléments d'un anneau [modifier]

Puissances dans un anneau [modifier]

Soit n un entier naturel supérieur à 1, x un élément de l'anneau A, on note xⁿ pour désigner l’élément de A défini par récurrence à partir de :

x 1 = x

et $x^{n+1}=x^n cdot x$ .

On a :

$x^{m} cdot x^{n}=x^{m+n}$ .

Pour tout entier naturel non nul n, xⁿ résulte de n-1 associations de la seconde loi de composition interne associative ·, en utilisant n valeurs successives toutes égales à x (l’ordre de ces compositions est sans importance car elles sont associatives)

$x^n=underbrace{x cdot x cdot cdots cdot x}_{n text{ fois}}$ .

Si l'anneau A est unitaire, on pose habituellement $x 0 = 1 A$ .

Eléments permutables dans un anneau et anneaux commutatifs [modifier]

Si xy=yx, on dit que x et y sont permutables et alors $(xy)^{n}=x^n cdot y^n$ .

Anneau commutatif : un anneau est commutatif si sa seconde loi est aussi commutative, c'est-à-dire si tous ses éléments sont permutables.

Voir article détaillé : Anneau commutatif

Convention : Le terme « anneau » est souvent employé pour désigner un anneau commutatif unitaire. Il faut donc prêter garde au contexte dans lequel ce terme est employé.

Multiplication par un entier relatif [modifier]

Précisons tout de suite que cette multiplication ne fait pas partie de la structure de l'anneau, mais elle apparaît de façon naturelle pour tout anneau. Il s'agit tout simplement de la multiplication par un entier appliquée au groupe additif de l'anneau. L'élément na est défini par

si $n > 0, na = a + a + cdots + a$ avec n termes a
si $n = 0, na = 0$
si $n < 0, na = - |n|a$

De plus, cette loi externe est compatible avec la multiplication de l'anneau :

$forall n in Z, forall (a,b) in A times A, (na) cdot b=a cdot(nb)= n(a cdot b)$

Cela confère alors à l'anneau une structure de $Z$ -algèbre associative. En particulier, si l'anneau est unitaire, on peut multiplier son unité par tout entier, et cela définit une application de Zdans A . Il est clair, d'après sa définition, que cette application est le seul morphisme d'anneaux unitaires de Z vers A. On peut alors définir la caractéristique de l'anneau comme l'entier naturel n qui engendre le noyau de ce morphisme. En effet, le noyau de ce morphisme est un idéal de Z et s'écrit alors nZ.

Cette structure additionnelle est très utilisée pour les différentes théories de cohomologie.

Formule du binôme [modifier]

Voir Formule du binôme de Newton.

Cette formule est applicable à tout couple d'éléments permutables.

Elle se généralise à toute famille finie d'éléments permutables deux à deux : Formule du multinôme.

Exemples [modifier]

L'ensemble des entiers relatifs, $mathbb Z$ muni de l'addition (la loi +) et de la multiplication (la loi ∙) est un anneau commutatif unitaire.

L'ensemble des entiers congruents modulo un nombre entier donné p est un anneau commutatif unitaire pour la loi provenant la congruence ; il est noté $mathbb Z/pmathbb Z$ .

Article détaillé : Anneau Z/nZ.

Ainsi pour les lois + et * est un anneau à deux éléments. 0 correspond aux nombres pairs et 1 aux nombres impairs. On retrouve alors les résultats suivants :
- Un pair plus un pair est pair (0+0=0).
- Un impair plus un pair est impair (0+1=1+0=1).
- Un impair plus un impair est pair (1+1=0).
- Un pair fois un entier quelconque est pair (0*x=0).
- Un impair fois un impair est impair (1*1=1).

Un corps est un cas particulier d'anneau (unitaire) pour lequel tous les éléments non nuls sont inversibles pour la loi (.).
- En particulier, l'ensemble des nombres rationnels, $mathbb Q$ , l'ensemble des nombres réels, $mathbb R$ , l'ensemble des nombres complexes, $mathbb C$ , munis de l'addition et de la multiplication usuelles sont des anneaux (unitaires) commutatifs.
- L'ensemble des nombres décimaux, $mathbb D$ , munis de l'addition et de la multiplication usuelles est un anneau (unitaire) commutatif qui n'est pas un corps.
- L'ensemble des réels s'écrivant $a + bsqrt{2}$ , où a et b sont des entiers relatifs, muni de l'addition et de la multiplication usuelles est un anneau commutatif, mais pas un corps.

Les endomorphismes d'un espace vectoriel (applications linéaires de l'espace vers lui-même) forment un anneau, avec l'addition de fonction pour la loi +, et la composition pour la loi ∙. L'identité est un élément neutre pour ∙, donc c'est un anneau unitaire. Il n'est pas commutatif en général. C'est une grande source de contre-exemples à des affirmations fausses sur les anneaux.
- Plus généralement les endomorphismes d'un groupe abélien forment un anneau.
L'ensemble des matrices 2 × 2, à coefficients réels, muni de l'addition et de la multiplication est aussi un anneau non commutatif unitaire, isomorphe à l'anneau des endomorphismes de l'espace vectoriel $mathbb R^2$ .

L'ensemble des polynômes à coefficients dans un anneau commutatif est aussi un anneau commutatif.

L'ensemble des applications d'un ensemble X à valeurs dans un anneau, muni des lois héritées de l'anneau (c'est-à-dire (f+g)(x)=f(x)+g(x) et (f*g)(x)=f(x)*g(x)) forme un anneau noté $A X$ .

Anneau nul [modifier]

L'ensemble à un seul élément {0} muni des opérations 0+0=0 et 0.0=0 est un anneau, appelé anneau nul.

La notion de pseudo-anneau de carré nul est plus intéressante : on dit qu'un pseudo-anneau A est de carré nul⁷ si le produit de deux éléments de A est toujours nul. Si le pseudo-anneau est unitaire, il est alors réduit à 0 car pour tout élément x de A, on a : x=1.x=0. Tout groupe abélien (A, +) peut être muni d'une structure de pseudo-anneau nul en posant x.y=0.

Anneau opposé [modifier]

L'anneau opposé A^op d'un anneau A possède le même groupe additif sous-jacent que A et sa multiplication est effectuée dans l'ordre opposé : si l'on note $cdot_A$ et $cdot_{A^{op}}$ les multiplications respectives de A et A^op, on a

$acdot_{A^{op}} b = bcdot_A a$

Il est clair que si A est commutatif, A = A^op.

Éléments remarquables d'un anneau [modifier]

Élément inversible : un élément a ∈ A d'un anneau unitaire est dit inversible lorsqu'il existe un élément b de l'anneau tels que

a∙b = b∙a = 1. On appelle parfois les éléments inversibles les éléments unités (ou simplement unités). On note l'ensemble des inversibles : A^*.

Voir article détaillé : Élément inversible

Les éléments inversibles de Z sont -1 et 1

Élément régulier : un élément a ∈ A est dit régulier à droite (resp. à gauche) si et seulement si le seul élément x de A tel que x∙a = 0 (resp. a∙x=0) est x = 0; on note l'ensemble des réguliers : A^×

Un élément inversible est nécessairement régulier mais la réciproque est fausse.

Diviseur de zéro : un élément non nul a ∈ A est un diviseur de 0 à droite (resp. à gauche) s'il existe un élément b de A non nul et tel que b∙a = 0 (resp. a∙b = 0). Si un anneau commutatif est sans diviseur de 0, on dit qu'il est intègre.

L'ensemble des éléments réguliers et des diviseurs de zéro forment une partition de A {0}

Voir article détaillé : Diviseur de zéro

Élément nilpotent : un élément a ∈ A est dit nilpotent d'ordre n s'il existe un entier n non nul tel que aⁿ=0 et que pour tout k appartenant à {0;n-1} $a^kneq 0$ . Si un anneau est sans élément nilpotent, on dit qu'il est réduit.

Un élément nilpotent non nul est un diviseur de zéro.

2 est nilpotent dans tous les anneaux $mathbb Z /2^n mathbb Z$ où n≥2.

Si a est nilpotent (et l'anneau est unitaire), (1-a) est inversible

Élément central : un élément qui commute (pour la multiplication) avec tout autre élément de A.

Élément idempotent ou projecteur : un élément a ∈ A est appelé projecteur ou idempotent lorsque a∙a = a² = a.

Toute projection sur un sous-espace vectoriel est un projecteur dans l'anneau des endomorphismes décrit ci-dessus.

Diviseur : si a ∈ A est non nul, et d ∈ A. On dit que d est un diviseur de a à droite (resp. à gauche) si et seulement s'il existe b ∈ A tel que a = b∙d (resp. a = d∙b). Si l'anneau est commutatif, on parle simplement de diviseur.

Divisibilité dans un anneau commutatif [modifier]

Éléments associés : dans un anneau commutatif unitaire, deux éléments a et b sont associés si il existe un élément inversible u tel que a = u∙b, ce qui équivaut, si l'anneau est intègre, à : a divise b et b divise a.

Élément irréductible : Dans un anneau commutatif unitaire, un élément a ∈ A non inversible est irréductible si et seulement si ses seuls diviseurs dans A sont les éléments inversibles u ou les éléments s'écrivant a∙u (éléments associés à u).

Élément premier : Dans un anneau commutatif unitaire, un élément p ∈ A est dit premier si, pour tous éléments a et b de A, si p divise a∙b et si p ne divise pas a alors p divise b

Dans un anneau commutatif unitaire intègre, un élément premier est irréductible, mais la réciproque n'est pas toujours vraie.

Élément extrémal : Dans un anneau commutatif unitaire, un élément non inversible p ∈ A est dit extrémal si tout élément a de A, non divisible par p, est étranger avec p, c'est-à-dire que il existe deux éléments de A : u et v, tels que au+pv=1. En termes d'idéaux (voir plus loin), cela signifie que l'idéal des multiples de p : (p) est un idéal maximal de A (ce qui équivaut à l'importante propriété : "A / (p) est un corps".)

Dans un anneau commutatif unitaire intègre, un élément maximal est premier, mais la réciproque n'est pas toujours vraie.

Éléments premiers entre eux : dans un anneau commutatif unitaire intègre, deux éléments a et b sont premiers entre eux si et seulement si, pour tout d de A, si d divise a et ddivise b alors d est un élément inversible.

Anneaux remarquables [modifier]

Anneaux de Boole [modifier]

Un anneau de Boole, noté $mathcal B$ , est un anneau unitaire dans lequel tout élément est idempotent pour la multiplication i.e. $forall x in mathcal B, x.x = x$

Quelques propriétés des anneaux de Boole :

$mathcal B$ est de caractéristique 2, i.e. $forall x in mathcal B, x + x = 0$

$mathcal B$ est un anneau commutatif.

$mathcal B$ n'est pas intègre, sauf s'il est réduit à un ou à deux éléments.

Exemple : l'ensemble des parties $mathcal{P}(E)$ d'un ensemble $E$ muni de la différence symétrique considérée comme addition i.e. $X + Y = (X cup Y) - (X cap Y)$ et de l'intersection considérée comme multiplication i.e. $X cdot Y = X cap Y$ est un anneau de Boole. Tout anneau de Boole fini est de cette forme⁸.

Les notions d'anneau de Boole et d'algèbre de Boole sont intimement liées (voir l'article Algèbre de Boole (structure)).

Anneaux intègres, réduits, factoriels et euclidiens [modifier]

Anneau intègre : anneau dans lequel tout élément non nul est régulier i.e. qu'aucun élément n'est un diviseur de zéro. Par définition, tout anneau intègre est unitaire et/ou commutatif.

Article détaillé : Anneau intègre.

Anneau réduit : un anneau est dit réduit si et seulement si son élément nul est le seul élément nilpotent.

Exemple : $mathbb Z / 6 mathbb Z$ est un anneau réduit mais non intègre car 2 et 3 sont des diviseurs de zéro dans cet anneau.

Corps : un corps est un anneau unitaire dont tous les éléments non nuls sont inversibles.

Article détaillé : corps (mathématiques).

Tout anneau intègre fini est nécessairement un corps.

- Corps des fractions d'un anneau intègre

Article détaillé : Corps des fractions.

Un anneau commutatif unitaire intègre (ou domaine d'intégrité) est presque un corps mais certains éléments ne sont pas toujours inversibles. On démontre que l'on peut plonger tout anneau commutatif intègre dans un corps appelé corps des fractions de A.

Remarque : il n'est pas nécessaire que l'anneau soit unitaire, car l'élément neutre apparaît de toute façon dans la construction du corps des fractions.

Anneau factoriel : anneau commutatif unitaire intègre dans lequel tous les éléments se décomposent de manière unique (aux inversibles près) en produit d'éléments irréductibles.

plus exactement pour tout a de A, il existe n éléments irréductibles

p 1

p 2

, ...,

p n

tels que

a = p 1 p 2 ... p n

. Cette décomposition est unique à l'ordre des

p i

près et au produit par des éléments inversibles près.

Article détaillé : Anneau factoriel.

Anneau euclidien : anneau commutatif unitaire intègre dans lequel on peut définir une division euclidienne.

Plus précisément, il existe une application v (appelé stathme euclidien) de A{0} dans N telle que pour tout a et b de A, b non nul, il existe un couple (q, r) de A² tel que a = bq + r avec r nul ou v(r) < v(b)

Article détaillé : Anneau euclidien.

$mathbb Z[i]$ est un anneau euclidien dans lequel le couple (q,r) n'est pas unique

L'anneau $mathbb Z$ des entiers relatifs est un anneau euclidien pour v = valeur absolue

Si $mathbb K$ est un corps commutatif, l'anneau $mathbb K[X]$ est un anneau euclidien pour v = degré du polynôme.

Sous-anneaux [modifier]

Une partie B d'un anneau A est un sous-anneau de (A, +, .) si :

(B, +) est un sous-groupe de (A,+)
B est stable pour la loi .
S'il est requis que les anneaux soient unitaires (cela dépendant de la définition utilisée), alors le sous anneau doit lui être aussi unitaire et son 1 doit provenir du 1 de l'anneau initial ( $1 A = 1 B$ ), ce qui équivaut à $1_Ain B$ .

Un sous-anneau B est un anneau pour les opérations + et . restreintes à B.

Exemples [modifier]

Dans le cas unitaire [modifier]

Dans l'anneau commutatif (unitaire) Z, 2 Z est un idéal, qui n'a pas d'élément unité, ce n'est donc pas un anneau et encore moins un sous-anneau de Z.
Dans l'ensemble des matrices carrées $M 2$ (à coefficients dans R par exemple), anneau non-commutatif unitaire, l'ensemble des matrices de la forme :

$begin{bmatrix} x&0\ 0&0 end{bmatrix} (xin R)$ est un anneau unitaire dont l'élément neutre pour la multiplication $begin{bmatrix} 1&0\ 0&0 end{bmatrix}$ est différent de la matrice identité $begin{bmatrix} 1&0\ 0&1 end{bmatrix}$ Ce n'est donc pas un sous-anneau de

M 2

, ni de l'anneau des matrices diagonales.

Dans le cas non-unitaire [modifier]

2 Z est cette fois-ci un (pseudo-)anneau et c'est bien un sous anneau de Z.
$A=Z ^ {2}$ est un anneau unitaire, et l'ensemble B des couples (0 ; n) ayant la première composante nulle est un sous anneau qui a la particularité d'être unitaire mais de ne pas avoir la même unité que l'anneau $A=Z ^ 2$ . Ce dernier a $1 A = (1;1)$ comme unité et le sous anneau a pour unité $1 B = (0;1)$ .

Construction de sous-anneaux [modifier]

Éléments entiers sur un sous-anneau B : dans un anneau commutatif unitaire intègre A contenant un sous-anneau B, un élément x ∈ A est entier sur B si et seulement si x est solution d'une équation P(x) = 0 où P est un polynôme unitaire à coefficient dans B.

L'anneau Z des entiers relatifs est un sous-anneau de l'anneau Q des rationnels. Les seuls éléments de Q entiers sur Z sont les entiers relatifs.

L'anneau Z des entiers relatifs est un sous-anneau de l'anneau Q[i] des complexes s'écrivant a + ib, a et b étant des rationnels . Les éléments de Q[i] entiers sur Z sont les complexes s'écrivant a + ib, a et b étant des entiers relatifs.

Fermeture intégrale d'un sous-anneau B : dans un anneau commutatif unitaire intègre A contenant un sous-anneau B, la fermeture intégrale de B dans A est l'ensemble des éléments de A entiers sur B. C'est un sous-anneau de A contenant B comme sous-anneau.

Un anneau intégralement clos est un anneau commutatif unitaire intègre égal à sa fermeture intégrale dans son corps des fractions.

L'anneau des entiers relatifs est intégralement clos.

Plus généralement : un anneau factoriel est intégralement clos.

Le centre Z(A) d'un anneau A est par définition Z(A)={x∈A / ∀y∈A, x.y=y.x}, c’est-à-dire l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les autres pour la loi ".". C'est un sous-anneau.

L'intersection de deux sous-anneaux d'un même anneau, est un sous-anneau.

L'image d'un anneau par un homomorphisme d'anneau est un sous-anneau de l'anneau d'arrivée. (Si les anneaux sont unitaires, on impose aux morphismes de transformer unité en unité.)

Cependant, la structure de sous-anneau (excepté le cas d'un anneau dans son corps des fractions) est moins riche en résultats que celle d'idéal ou de module sur un anneau.

Idéaux d'un anneau [modifier]

Article détaillé : Idéal.

Plus intéressante que la structure de sous-anneau, la structure d'idéal s'apparente à celle de sous-groupe distingué dans un groupe.

Un idéal I (à droite ou à gauche) est un sous-groupe additif de A vérifiant

pour tout x de I et tout a de A, ax ∈ I pour un idéal à droite
pour tout x de I et tout a de A, xa ∈ I pour un idéal à gauche

Un idéal à droite et à gauche est appelé idéal bilatère.

Exemples [modifier]

{0} est un idéal bilatère de tout anneau, l'idéal nul.
A est un idéal bilatère de A.
Si a a un élément de l'anneau A, l'ensemble des multiples à droite de a (les éléments de la forme ax) est un idéal à droite de A. Il est noté (a).
L'intersection de deux idéaux (resp. à gauche, resp. à droite) de A est un idéal de A (resp. à gauche, resp. à droite).

Anneaux quotients [modifier]

Un idéal bilatère permet de créer un anneau quotient : le groupe quotient commutatif A/I peut être muni d'une multiplication associative et distributive par rapport à l'addtion, et donc d'une structure d'anneau.

Anneaux commutatifs définis par une propriété de leurs idéaux [modifier]

Selon les propriétés des idéaux d'un anneau A, on distingue des familles d'anneaux particuliers:

Anneau principal : anneau commutatif unitaire intègre dont tous les idéaux sont principaux.

Voir article détaillé : Anneau principal

Un anneau euclidien est principal

Un anneau principal est factoriel

Anneau noethérien : anneau commutatif unitaire dont les idéaux sont engendrés par un nombre fini d'éléments

Voir article détaillé : Anneau noethérien

Anneau artinien : anneau commutatif unitaire dont toute suite d'idéaux décroissante (pour l'inclusion) est stationnaire.

Voir article détaillé : Anneau artinien

Anneau local : anneau commutatif unitaire dans lequel il n'existe qu'un seul idéal maximal.

Anneau de Bézout : Anneau commutatif unitaire intègre dans lequel tout idéal de type fini est principal

Anneau de Dedekind : Anneau noethérien intégralement clos dans lequel tout idéal premier non nul est maximal.

Voir article détaillé : Anneau de Dedekind

Modules sur un anneau [modifier]

Article détaillé : Module sur un anneau.

Dérivation [modifier]

Une dérivation d'un anneau A à valeurs dans un $A$ -module $M$ est une application additive de $A$ dans $M$ $mathrm D : A mapsto M$ vérifiant l'identité de Leibniz :

$forall (a,b) in A times A, mathrm{D}(a cdot b) = a cdot mathrm{D}(b)+ mathrm{D}(a)cdot b$

Cette notion est en particulier vérifiée par la dérivée d'une fonction (de variable réelle, par exemple); elle en est une généralisation utilisée en géométrie algébrique et en calcul différentielsur les variétés (par exemple pour définir le crochet de Lie). Toute application de dérivation vérifie la formule de Leibniz.

Classification des anneaux remarquables [modifier]

La théorie des anneaux étant une branche très riche de l'algèbre, il est difficile de se repérer dans la jungle des anneaux particuliers. Le schéma ci-dessous donne une illustration partielle de leur hiérarchie - une flèche fait passer du général au particulier.

On peut remarquer que l'anneau qui se détache de cette hiérarchie est l'anneau euclidien : c'est celui qui va posséder le plus de propriétés.

Sources [modifier]

Références [modifier]

↑ Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900 [détail des éditions] , vol. 1, p. 111-112, 201-203, et D. Hilbert, Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der DMV 4, (1897), p. 175-546, §31.
↑ N. Bourbaki, Algèbre, chapitre 1
↑ Serge Lang Algebra,
Nathan Jacobson Basic Algebra,
Michael Artin Algebra,
Frank Anderson et Kent Fuller Rings and categories of modules,
Matsumara et Reid Commutative Ring Theory
↑ Bourbaki, Algèbre, chapitre 1 ; Ramis, Deschamp, Odoux, Cours de mathématiques spéciales
↑ voir wikipedia anglophone : en:Ring(mathematics)
↑ N. Bourbaki, Algèbre, chapitre 2 (ed. de 1970), Appendice
↑ N. Bourbaki, Algèbre, chapitre I, page 97
↑ Pour une étude plus approfondie, cf Des anneaux de Boole [archive] par Giordano Favi (2005) Journal de l'IMA.

S. Mac Lane & G. Birkhoff ; Algèbre [détail des éditions]

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_(math%C3%A9matiques)

Nombre surréel et pseudo-réel

Ne doit pas être confondu avec surréalisme.

En mathématiques, les nombres surréels sont les éléments d'un corps¹ qui inclut tous les nombres réels, ainsi que tous les ordinaux transfinis et leurs inverses, respectivement plus grands et plus petits que n'importe quel nombre réel positif.

Les nombres surréels ont été introduits par John Conway et popularisés par Donald Knuth en 1974 dans son livre Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness (Les nombres surréels : comment deux ex-étudiants se mirent aux mathématiques pures et trouvèrent le bonheur total)².

Les nombres pseudo-réels, également introduits par Knuth, sont une sur-classe des nombres surréels, construit avec des conditions plus faibles que ces derniers.

Sommaire

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Nombres surréels [modifier]

Présentation [modifier]

La construction des nombres surréels est similaire à la construction des nombres réels via les coupures de Dedekind, mais utilise le concept de récurrence transfinie. Elle repose sur la construction de nouveaux nombres représentés grâce à deux ensembles de nombres déjà construits, $L$ et $R$ (pour left et right, gauche et droite), éventuellement vides. Le nouveau nombre ainsi construit, noté $left { L | R right }$ , sera plus grand que tout nombre de $L$ et plus petit que tout nombre de $R$ , selon un ordre qui sera défini plus loin. Pour que cela soit possible, on impose une restriction sur $L$ et $R$ : il faut que chaque nombre de $L$ soit plus petit que chaque nombre de $R$ .

Définition [modifier]

Soient $L$ et $R$ deux ensembles de nombres surréels tels que :

pour tout $x in L$ et tout $y in R$ , $x le y$
$L$ et $R$ sont bien fondés

Alors, $left { L | R right }$ est un nombre surréel.

Étant donné un nombre surréel $X = left { X_L | X_R right }$ , on appelle $X L$ et $X R$ l'ensemble de gauche et l'ensemble de droite de $X$ , respectivement.

Pour éviter l'inflation d'accolades, on abrégera $left{ left{X_{L_1}, X_{L_2}, cdots right} | left{ X_{R_1},X_{R_2}, cdots right} right}$ en $left{ X_{L_1},X_{L_2},cdots | X_{R_1},X_{R_2},cdots right}$ , $left{ left{ X_L right} | emptyset right}$ en $left{ X_L | right}$ et $left{ emptyset | left{ X_R right} right}$ en $left{ | X_R right}$ .

On constate qu'il s'agit d'une définition récurrente ; ce point sera explicité plus tard.

Ordre [modifier]

Pour que la définition ci-dessus ait un sens, il est nécessaire de définir une relation binaire (notée ≤) sur les nombres surréels.

Soient deux nombres surréels $X = left { X_L | X_R right }$ et $Y = left { Y_L | Y_R right }$ . $Xle Y$ si et seulement si pour tout $xin X_L$ , on ne rencontre jamais $Yle x$ et si pour tout $yin Y_R$ , on n'a jamais $yle X$ .

Là encore, cette définition est récurrente.

Cette relation ne définit qu'un pré-ordre car elle n'est pas antisymétrique (on peut avoir $Xle Y$ et $Yle X$ sans que $X = Y$ , c'est le cas par exemple avec $left{ | right}$ et $left{ -1|1 right}$ ). Pour contourner ce problème, on définit une nouvelle relation sur les nombres surréels :

$X == Y Leftrightarrow X le Y wedge Y le X$ .

Il s'agit d'une relation d'équivalence et l'ordre induit par $le$ sur les classes d'équivalences est un ordre total, une classe d'équivalence pouvant alors être considérée comme un nombre unique.

Opérations [modifier]

On définit l'addition de deux nombres surréels par :

$X+Y = left{ X_L+Y cup X+Y_L | X_R+Y cup X+Y_R right}$

avec $A+Y = left{ a+Y / ain A right}$ et $X+B = left{ X+b / bin B right}$ .

La négation :

$-X = left{ -X_R | -X_L right}$

avec $-A = left{ -a / ain A right}$ .

Quant à la multiplication de deux nombres surréels :

$begin{matrix} XY = & left{ (X_LY+XY_L-X_LY_L) cup (X_RY+XY_R-X_RY_R) right. \ & | left. (X_LY+XY_R-X_LY_R) cup (X_RY+XY_L-X_RY_L) right} end{matrix}$

avec $AB = left{ ab / ain A wedge bin B right}$ .

Il est possible de montrer que ces opérations sont bien définies sur les nombres surréels. On peut les généraliser sans ambiguïté aux classes d'équivalence définie plus haut par :

Si $[X] = [X']$ et $[Y] = [Y']$ , alors $[X + Y] = [X' + Y']$ ,
$[ - X] = [ - X']$ et
$[X Y] = [X' Y']$ .

Finalement, on peut montrer que ces opérations sur les classes d'équivalence définissent un corps ordonné, avec la mention qu'elles ne forment pas un ensemble, mais une classe propre. Il est possible de montrer qu'il s'agit du plus grand corps ordonné, c'est-à-dire que tout corps ordonné peut y être plongé ; en particulier, ce corps est réel clos.

À partir de maintenant, on ne fera plus la distinction entre un nombre surréel et sa classe d'équivalence et on appellera directement cette dernière nombre surréel.

Construction [modifier]

On l'a vu, les deux définitions précédentes utilisent le principe de récurrence. Il est possible d'utiliser la récurrence ordinaire, mais il est plus intéressant de prendre en compte larécurrence transfinie.

Il est également nécessaire de créer un nombre surréel afin d'initier la récurrence ; $left{ | right}$ peut être défini grâce à l'ensemble vide et répond à cette fonction.

Désignons par $N n$ , pour un ordinal $n$ , l'ensemble des nombres surréels créés à l'étape $n$ de la récurrence, en prenant $N_0=left{ | right}$ . On appelle date de naissance d'un nombre surréel $X$ le plus petit ordinal $n$ tel que $X in N_n$ .

Les nombres surréels créés en un nombre fini d'étapes (par un raisonnement de récurrence ordinaire, donc) sont assimilés aux rationnels dyadiques (c'est-à-dire les nombres $p / 2 n$ où p et n sont entiers).

Exemples [modifier]

On définit de proche en proche :

Les entiers :

$0 = left{ | right}$

$1 = left{ 0 | right}$ et $-1 = left{ | 0 right}$

$2 = 1+1 = left{ left{0,1right} | right}=left{ 1 | right}$ et $-2 = left{ | -1 right}$

$cdots$

$n+1 = left{ left{0,1,cdots,nright} | right} = left{ n | right}$ .

Les nombres dyadiques :

${1 over 2} = left{ 0 | 1 right}$

${3 over 2} = left{ 1 | 2 right}$

${1 over 4} = left{ 0 | {1 over 2 } right}$

$cdots$

Les autres nombres rationnels, comme coupures entre deux ensembles de nombres dyadiques, de la même façon que les nombres irrationnels sont définis comme coupures entre rationnels.

Les infiniments grands :

$omega = left{ left{0,1,2,3,cdotsright} | right} = left{ mathbb N | right}$ qui est plus grand que n'importe quel nombre entier

$omega + 1 = left{ omega | right}$

$omega^2 = left{ left{omega, 2omega, 3omega, cdots right} | right}$

$omega^omega = left{ left{omega, omega^2, omega^3, cdots right} | right}$

Mais aussi de nouveaux objets qui ne sont pas des ordinaux, comme

$omega - 1 = left{left{0,1,2,3,cdotsright} | omega right}$

$omega - 2 = left{left{0,1,2,3,cdotsright} | omega-1 right}$

$omega/2 = left{left{0,1,2,3,cdotsright} | left{omega,omega-1,omega-2,cdots right}right}$

Les infiniments petits :

$epsilon = left{ 0 | left{1, {1 over 2}, {1 over 3}, cdots right} right}$ qui est strictement positif mais inférieur à tout $1 over n$ , pour

n

entier positif.

On peut montrer que $epsilon times omega = 1$ .

Nombres pseudo-réels [modifier]

On obtient les nombres pseudo-réels (pseudo-real numbers selon la terminologie de Knuth) au lieu des nombres surréels si on enlève la condition qu'aucun élément de l'ensemble de droite ne peut être inférieur où égal à un élément quelconque de l'ensemble de gauche. Les nombres surréels forment un sous-ensemble des nombres pseudo-réels.

Ces nombres pseudo-réels peuvent s'interpréter comme les valeurs de certains jeux. Ils sont à la base de la théorie des jeux combinatoires initiée par John Conway.

Voir aussi [modifier]

Liens externes [modifier]

(fr) Les nombres surréels - traduction en français du livre de Donald Knuth (fichier PDF)
(fr) Surréalisme mathématique Revue Pour la Science N°372 - octobre 2008 .

Bibliographie [modifier]

(en) Donald Ervin Knuth, Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness : A Mathematical Novelette, Addison-Wesley Professional (1974) - ISBN 0201038129
(en) John Horton Conway, On Numbers and Games, deuxième édition, AK Peters (2001) - ISBN 1-56881-127-6.

Notes et références [modifier]

↑ Ou plutôt d'un Corps ; l'usage de la majuscule vient de ce que ces nombres forment une classe propre (la classe des ordinaux n'est déjà pas un ensemble)
↑ Donald Ervin Knuth, Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness : A Mathematical Novelette, Addison-Wesley Professional (1974) - ISBN 0201038129

[Enrouler] v · d · m Notion de nombre
Ensembles usuels	$mathbb{N}$ Entier naturel • $mathbb{Z}$ Entier relatif • $mathbb{D}$ Nombre décimal • $mathbb{Q}$ Nombre rationnel • $mathbb{R}$ Nombre réel • $mathbb{C}$ Nombre complexe
Extensions	$mathbb{H}$ Quaternion • $mathbb{O}$ Octonion • $mathbb{S}$ Sédénion • Nombre complexe fendu • Tessarine • $mathbb{C}otimesmathbb{C},$ Nombre bicomplexe • $mathbb{MC}_n$ Nombre multicomplexe • Biquaternion • Coquaternion • Octonion fendu • Nombre hypercomplexe • $mathbb{Q}_p$ Nombre p-adique •Nombre hyperréel • Nombre superréel • Nombre dual • Droite réelle achevée • Nombre cardinal • Nombre ordinal •Nombre surréel et pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité • Nombre premier • Nombre composé • Carré parfait • Nombre parfait • Nombre positif • Nombre négatif • Fraction dyadique •Nombre irrationnel • Nombre algébrique • Nombre transcendant • Nombre imaginaire pur • Nombre de Liouville • Nombre normal •Nombre univers • Nombre constructible • Nombre réel calculable • Nombre transfini • Infiniment petit • Infiniment grand
Exemples d’importance historique	π Pi • √2 Racine carrée de deux • φ Nombre d’or • 0 Zéro • $i$ Unité imaginaire • $e$ Constante de Neper • ℵ₀ Aleph-zéro •Table de constantes mathématiques
Notions connexes	Chiffre • Numération • Fraction • Opération • Calcul • Algèbre • Arithmétique • Suite d’entiers • ∞ Infini • Chiffre significatif

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_surr%C3%A9el_et_pseud...

08/12/2010

Les métamorphoses du calcul , Une étonnante histoire de mathématiques

Les métamorphoses du calcul , Une étonnante histoire de mathématiquesGilles Dowek

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Socle même de la méthode mathématique depuis l'Antiquité grecque, la notion de démonstration s'est profondément transformée depuis le début des années soixante-dix. Plusieurs avancées mathématiques importantes, non toujours connectées les unes aux autres, remettent ainsi progressivement en cause la prééminence du raisonnement sur le calcul, pour proposer une vision plus équilibrée, dans laquelle l'un et l'autre jouent des rôles complémentaires.
Cette véritable révolution nous amène à repenser le dialogue des mathématiques avec les sciences de la nature. Elle éclaire d'une lumière nouvelle certains concepts philosophiques, comme ceux de jugement analytique et synthétique. Elle nous amène aussi à nous interroger sur les liens entre les mathématiques et l'informatique, et sur la singularité des mathématiques qui est longtemps restée l'unique science à ne pas utiliser d'instruments. Enfin, et c'est certainement le plus prometteur, elle nous laisse entrevoir de nouvelles manières de résoudre des problèmes mathématiques, qui s'affranchissent de certaines limites arbitraires que la technologie du passé a imposé à la taille des démonstrations : les mathématiques sont peut-être en train de partir à la conquête d'espaces jusqu'alors inaccessibles.

Mathématicien, logicien et informaticien, Gilles Dowek est chercheur et professeur à l'Ecole polytechnique. Auteur de plusieurs ouvrages de vulgarisation dont, au Pommier, deux «Petites Pommes du savoir» et un volume de la collection «le collège de la cité», il a obtenu en 2000 le Prix d'Alembert des lycéens de la Société Mathématique de France.
De la préhistoire des mathématiques aux mathématiques grecques

Le récit de l'histoire des mathématiques commence souvent en Grèce au Ve siècle avant notre ère, quand Pythagore, d'un côté, Thaïes et Anaximandre, de l'autre, ont fondé les deux principales branches des mathématiques antiques : l'arithmétique et la géométrie. La fondation de l'arithmétique et de la géométrie constitue, certes, une révolution majeure dans l'histoire des mathématiques. Cependant, le récit ainsi commencé occulte une période importante que l'on peut appeler la «préhistoire» des mathématiques. Les hommes n'ont, en effet, pas attendu le Ve siècle avant notre ère pour tenter de résoudre les problèmes mathématiques, surtout les problèmes mathématiques concrets, qui se posaient à eux.

Les comptables et les arpenteurs

L'une des plus anciennes traces d'activité «mathématique» consiste en une tablette trouvée en Mésopotamie qui date de 2500 avant notre ère. Elle présente le calcul du nombre de per sonnes auxquelles on peut donner 7 mesures de grain, en puisant dans un grenier qui en contient 1152000. Sans surprise, le résultat, 164571 personnes, s'obtient en divisant 1152000 par 7. Les comptables mésopotamiens savaient donc faire des divi sions, bien avant la «naissance» de l'arithmétique. Il est même vraisemblable, quoiqu'il soit difficile d'avoir des certitudes en ce domaine, que l'écriture ait été inventée précisément pour tenir des livres de comptes et que les chiffres soient, de ce fait, anté rieurs aux lettres. Même si certains ont du mal à l'admettre, nous devons probablement l'ensemble de la culture écrite à la bien peu romantique profession de comptable.

Extrait du livre :
Deux mille ans de calcul

Après l'adoption de la méthode axiomatique, le raisonnement a souvent été présenté comme l'unique outil à utiliser pour résoudre un problème mathématique. Dans le discours qu'ils ont tenu sur leur science, les mathématiciens n'ont quasiment plus accordé de place au calcul. Le calcul n'a pourtant pas disparu de la pratique mathématique : à toutes les époques, les mathématiciens ont proposé de nouveaux algorithmes pour résoudre systématiquement certains types de problèmes. L'histoire des mathématiques a donc sa part lumineuse, celle des conjectures, des théorèmes et des démonstrations, et sa part d'ombre, celle des algorithmes.

Ce chapitre est consacré à trois moments de cette histoire. Ces trois moments, qui se situent à des époques différentes, nous amèneront à discuter différentes questions.

Le premier nous amènera à nous interroger sur la manière dont peut se résoudre l'apparente contradiction entre le discours sur les mathématiques, qui accorde peu de place au calcul, et la pratique mathématique, qui lui en donne une si grande, ainsi que sur la façon dont la transition entre la préhistoire des mathématiques et les mathématiques grecques a pu s'opérer. Le deuxième nous amènera à nous interroger sur la part relative des héritages mésopotamiens et grecs dans les mathématiques médiévales. Le dernier, enfin, nous fera réfléchir sur la raison pour laquelle, alors que la géométrie de l'Antiquité était centrée sur un petit nombre de figures géométriques - le triangle, le cercle, la parabole... -, de nombreuses nouvelles figures géométriques - la chaînette, la roulette... - sont apparues au XVIIe siècle.

Dans la jungle des nombres premiers

Dans la jungle des nombres premiersJ. Derbyshire

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En 1859, le jeune mathématicien Bernhard Riemann utilise une hypothèse lui permettant de déterminer la quantité des nombres premiers inférieurs à une certaine valeur. Cette «hypothèse de Riemann» deviendra l'une des plus grandes énigmes mathématiques de tous les temps. Des bataillons de mathématiciens s'y sont attelés depuis, d'autant que l'Institut Clay, aux Etats-Unis, offre un million de dollars à qui démontrera sa validité (ou à qui la réfutera). Cet ouvrage passionnant, à la fois distrayant et sérieux, décrit le contexte historique (dans les chapitres pairs) et fournit les outils mathématiques (les chapitres impairs) pour comprendre la nature de l'hypothèse de Riemann et les enjeux de sa résolution : c'est ainsi que les systèmes de cryptographie moderne sont fondés sur l'hypothèse de Riemann, ainsi que certaines propriétés physiques du noyau atomique ! Une véritable plongée dans l'enfer des nombres premiers pour tous les passionnés des mathématiques.

Histoire des nombres

Histoire des nombresCollectif

Essai (broché). Paru en 08/2007

Qu’est-ce qu’un nombre ?Une quantité ?Dans quelles conditions et pourquoi sont-ils apparus ?Nombres entiers, premiers, réels, imaginaires, ils structurent le quotidien des hommes et répondent au désir profondément humain de rationaliser le réel. Qu’il s’agisse du négoce des marchands vénitiens ou des sondages politiques dans les campagnes présidentielles, le nombre a été et reste au centre de l’activité humaine.Du rôle des scribes mésopotamiens dans la naissance du concept de nombre à la révolution arithmétique du Moyen Âge, du théorème de Fermat à l’avènement de la technologique numérique, l’Histoire des nombres est avant tout l’histoire des hommes.

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La beauté des mathématiques

La beauté des mathématiquesDavid Ruelle

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Depuis l’Antiquité, et aujourd’hui encore, les mathématiques sont, à bien des égards, essentielles pour qui veut comprendre la nature des choses.

Est-il possible de pénétrer le monde mathématique sans études longues et arides ? Oui. Car ce qui importe, ce n’est pas de maîtriser cette science en profondeur, mais de comprendre comment l’esprit humain, et plus particulièrement le cerveau du mathématicien, se mesure à la réalité mathématique.

Un livre à la fois impertinent et distrayant, qui offre un voyage au cœur du monde des mathématiques et donne des aperçus très personnels sur quelques-uns des penseurs qui l’ont exploré.

David Ruelle, auteur de Hasard et Chaos, est membre de l’Académie des sciences et professeur de physique théorique à l’Institut des hautes études scientifiques de Bures-sur-Yvette. Ses travaux en physique mathématique, sur la théorie du chaos et sur les systèmes dynamiques lui ont valu une notoriété internationale.

Nicolas Bourbaki : histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existé

Nicolas Bourbaki : histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existéAmir D. Aczel

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Le 10 décembre 1934 à midi, dans un café situé au 63 boulevard Saint- Germain à Paris, là où aujourd’hui est installé un fast-food, André Weil, l’un des plus talentueux mathématiciens de cette époque a rassemblé cinq collègues aussi passionnés que lui. A eux six, ils représentent les universités de Strasbourg, Nancy, Rennes et Clermont- Ferrand, à eux six, ils viennent de créer le groupe Nicolas Bourbaki dont les publications vont donner un formidable coup de modernité aux mathématiques et un immense élan à l’école française.
C’est à peu près dix ans auparavant que Raoul Husson, élève à l’Ecole Normale Supérieure, invente le personnage de Nicolas Bourbaki en s’inspirant du grand Charles Bourbaki qui servit en Crimée, en Algérie, en Italie avant de devenir gouverneur militaire de Lyon.
Le premier groupe de cette société secrète est composé outre d’André Weil, d’Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, René de Possel. La guerre les séparera. Dans les années quarante le groupe s’enrichira de l’arrivée de la future médaille Field, Laurent Schwartz et du génie Alexandre Grothendieck qui dans les années 90 partit vivre en ermite dans les forêts pyrénéennes.
Et aujourd’hui encore, bien que moins rayonnant, le groupe continue à se réunir avec de nouveaux membres. Bourbaki n’a pas seulement fait progresser les mathématiques mais a aidé Lévi-Strauss à formaliser le structuralisme et a même inspiré les membres de l’Oulipo dans leur recherche. Voici son étonnante et passionnante histoire.

Hasard et complexité en mathématiques : la quête d'oméga

Hasard et complexité en mathématiques : la quête d'omégaGrégory Chaitin

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Que diriez-vous d'une balade mathématique au fin fond d'une forêt de chiffres, mêlant histoire et philosophie, physique et biologie, et qui mènerait au plus fascinant de tous, le nombre Oméga, «sorte de cauchemar pour la raison pure» ? Concentré des propriétés les plus étranges que peuvent avoir certains nombres réels, Ω est définissable, mais non calculable, incompressible et aléatoire. D'une certaine manière, il réunit les propriétés les plus extrêmes que peut posséder un réel définissable !

C'est dans les années 1970 que les mathématiques se sont enrichies de ce nombre étrange. Gregory Chaitin, son découvreur, entreprend ici de nous familiariser avec sa surprenante complexité, tout en la resituant dans l'histoire des mathématiques. Éclairant d'un jour nouveau les fameux théorèmes de Godel sur l'incomplétude des mathématiques, Ω et les théorèmes associés à la complexité algorithmique font désormais partie du bagage de tout mathématicien, logicien, informaticien ou philosophe des sciences.

Trouver un nombre non calculable qui ait une définition naturelle n'est pas un exercice facile, l'expliquer en le vulgarisant l'est encore moins. C'est là le grand mérite de cet ouvrage, unique en son genre, dont l'ambition est de rendre accessible les mathématiques pures.

GREGORY CHAITIN est un mathématicien et informaticien américain d'origine argentine. Figure internationale dans le monde des sciences, docteur honoris causa en 1995 de l'université du Maine et professeur honoraire depuis 2002 de l'université de Buenos Aires, il travaille à New York pour l'IBM Thomas J. Watson Research Center.

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Mathématiques et physique

Mathématiques et physiqueBernard Diu

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« Le livre de la nature est écrit dans la langue mathématique, et ses caractères sont des triangles, des cercles et autres figures géométriques, sans lesquels il est humainement impossible d’en comprendre le moindre mot. » Ce célèbre aphorisme de Galilée a scellé l’alliance des mathématiques et de la physique. Et pourtant, trois siècles plus tard, Einstein se montrait plus sceptique.

Dans ce livre, Bernard Diu montre que, en effet, si les mathématiques sont un instrument indispensable de la physique, elles n’en constituent pas le fondement. En multipliant les exemples, il marque la différence entre la mathématique du mathématicien et celle du physicien.

Un livre de nature à remettre en question l’enseignement de la physique dans nos écoles et des sciences en général, soumis à l’hégémonie des mathématiques.

Bernard Diu est professeur émérite à l’université Denis-Diderot-Paris-VII et chercheur au laboratoire de physique théorique des hautes énergies du Campus Jussieu. Il a publié Les atomes existent-ils vraiment ?, Traité de physique à l’usage des profanes, Les théories meurent aussi, et, avec Bénédicte Leclercq, La Physique mot à mot.

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