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02/12/2010

Transformation géométrique

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Transformation géométrique

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Transformation.

On appelle transformation géométrique, toute bijection d'une partie d'un ensemble géométrique dans lui-même.

On peut tenter une ou des classifications de ces transformations.

D'abord selon la dimension de l'ensemble géométrique ; on distinguera donc principalement les transformations planes et les transformations dans l'espace.

On peut aussi classer les transformations d'après leurs éléments conservés :

Chacune de ces classes contient la précédente.

  • les inversions, conservant l'ensemble des droites et des cercles dans le cas plan, ou transformations de Moebius, conservant l'ensemble des plans et des sphères, en dimension 3.

France identique.gif
France par rotation.gif
France par similitude.gif
image de départ isométrie similitude
France affine (1).gif France homographie.gif France circ.gif
transformation affine transformation homographique inversions

  • les transformations bidifférentiables ou difféomorphismes sont les transformations qui sont affines au premier ordre ; elles contiennent les précédentes comme cas particuliers, mais aussi :

Et enfin, englobant les précédentes :

Fconf.gif France aire.gif France diff.gif France homothetie.gif
transformation conforme transformation équivalente difféomorphisme homéomorphisme

On crée alors des groupes et des sous-groupes de transformations.

L'étude de la géométrie est en grande partie l'étude de ces transformations.

Classification non exhaustive des transformations selon leur degré de complexité [modifier]

  • Les réflexions selon une droite (dans le plan ou l'espace) ou selon un plan (dans l'espace)
  • Les symétries centrales
  • les translations
  • les rotations de centre C (dans le plan) ou d'axe (D) dans l'espace
Les réflexions, symétries, translations, rotations sont des exemples d'isométries du plan ou de l'espace. Certaines conservent les angles orientés et sont alors appelées desdéplacements. L'ensemble des déplacements forme un groupe.
  • les homothéties
Les homothéties et les isométries sont des exemples de similitudes du plan ou de l'espace. On démontre même que ces transformations engendrent l'ensemble des similitudes. Les similitudes conservant les angles orientés forment un groupe appelé le groupe des similitudes directes.
  • les affinités
Les affinités et les similitudes sont des exemples de transformations affines du plan ou de l'espace. On démontre même que ces transformations engendrent l'ensemble des transformations affines.

Il existe aussi des transformations qui ne sont pas définies dans le plan ou l'espace tout entier. Parmi celles-ci on peut citer les inversions, les homologies qui sont des transformations homographiques

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