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19/11/2010

Extrema liés - Multiplicateurs de Lagrange

Extrema liés - Multiplicateurs de Lagrange

Analyse -- Fonctions de plusieurs variables

  On parle d'extrémum lié lorsqu'on cherche à maximiser ou minimiser une fonction de plusieurs variables f(x1,...,xn) lorsque ces variables sont liées par certaines relations. Un théorème général permet bien souvent de résoudre le problème de la recherche des extrema liés.

Théorème : Soient f, g1,..., gp des fonctions de classe C1 sur un ouvert U de Rn, à valeurs dans R et X l'ensemble défini par :X={x de U; g1(x)=...=gp(x)=0}.Si la restriction de f à X admet un extrémum local en a, et si les différentielles dg1(a),...,dgp(a) sont des formes linéaires indépendantes, alors il existe des réels c1,...,cp tels que :df(a)=c1dg1(a)+...+cpdgp(a)Ces réels c1,...,cp sont appelés multiplicateurs de Lagrange.


  Ce théorème a une interprétation géométrique naturelle. Prenons un arc  tracé sur X avec . La fonction (d'une variable réelle)  admet un extrémum local en 0, d'où l'on tire :Maintenant,  est un vecteur tangent à X en a, et en fait tous les vecteurs tangents à X en a s'obtiennent de cette façon. Ainsi, df(a)(v)=0 pour tout vecteur v tangent à X en a. Mais l'ensemble de ces vecteurs tangents est l'intersection des noyaux de dgi(a) et l'inclusionentraine la relation du théorème par un résultat élémentaire d'algèbre linéaire.
Exemple
  Cherchons le maximum de la fonctionsur l'ensemble défini parEn un point où le maximum est atteint, on a forcément xi>0 et on peut appliquer le théorème précédent avec g(x)=(x1+...+xn)/n-1. On obtientMaisetce qui entraîneEn particulier, on obtient que tous les ai sont égaux et qu'il sont tous égaux à 1. Ainsi, sur X, on a f(x)<=1. Par homogénéité, on obtient l'inégalité des moyennes arithmétiques et géométriques