Mathématiques Financières : l’essentiel

Mathématiques Financières : l’essentiel

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    Les 10 formules incontournables
    (Fin de période)

Marc ROMANO
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Sommaire

Rappels d'algèbre

Taux proportionnel - Taux équivalent

Taux proportionnel
Taux équivalent

Capitalisation - Actualisation

Valeur acquise par un capital placé pendant n périodes au taux i
Valeur actuelle d'un capital futur actualisé sur n périodes au taux i

Emprunts indivis - Annuités

Valeur future d'une suite d'annuités constantes
Annuité de constitution d'un capital futur
Valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes
Annuité de remboursement d'un capital
Calcul du premier amortissement d'un emprunt
Calcul de l'amortissement d'un empruny, connaissant le précédent ou le suivant
Montant du capital remboursé après une annuité quelconque
Montant du capital restant à rembourser après une annuité quelconque

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Rappels d’algèbre

• • 

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Taux proportionnel - Taux équivalent

• • • Exemple : taux mensuel t proportionnel à un taux annuel de 12%

      

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    • Taux Proportionnel

      

      Taux équivalent

      

      Exemple : taux t mensuel équivalent à un taux i annuel de 12%

      (ou 0.9488%)

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Capitalisation - Actualisation

• • • Valeur acquise par un capital de 10.000 F placé pendant 5 ans au taux annuel de 7 % :

      

      Même calcul, mais intérêts composés trimestriellement.

      Etape 1 : Détermination du taux trimestriel équivalent à 7% annuel

      

      Etape 2 : calcul de la valeur acquise d’un capital de 10000 F placé pendant 20 périodes (5 années de 4 trimestres) au taux de 1.706%

      

      On constate que, les taux étant équivalents, les valeurs futures sont strictement identiques, quelle que soit la période de composition choisie.

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      Combien faudrait-il placer aujourd’hui, sur un livret de Caisse d’Epargne à 4% par an, pour disposer de 100.000 F dans 8 ans ?

      

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    • Valeur acquise Vn par un capital Vo placé pendant n périodes à un taux i

      (1)

      Valeur actuelle Vo (actualisation) d’une valeur future Vn actualisée sur n périodes à un taux i

      (2)

Emprunts indivis - Annuités (fin de période)

• • • Quelle sera la valeur totale d’une série de versements de 500 F par mois, versés en fin de période pendant 8 ans au taux de 5,15% par an ?

      Etape 1 : taux mensuel équivalent à 5,15% annuel

      

      Etape 2 : calcul de la valeur future

      

      Avec les mêmes données que l’exemple précédent (taux et durée), combien aurait-il fallu verser mensuellement pour obtenir un capital de 100.000 F au terme des 8 années ?

      Le calcul est direct (nous connaissons déjà le taux mensuel équivalent).

      

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      Une assurance vie propose deux formules en cas de décès :

    • Valeur future Vn d’une suite d’annuités a placées au taux i pendant n périodes

      (3)

      Problème corollaire : montant de l’annuité a pour constituer un capital Vn

      De la formule ci-dessus, on peut facilement déduire a en supposant Vn connu :

      (4)

      Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de fin de période

      (5)

• • • • Versement d’un capital unique de 500.000 F
      • Versement d’une rente annuelle de 50.000 F pendant 12 ans

• • • En considérant un indice du coût de la vie de 2 % par an, laquelle des deux formules est la plus intéressante ?

      Il faut calculer la valeur actuelle des 12 versements annuels de 50.000 F. en appliquant la formule d’actualisation des annuités constantes :

      

      Il est donc beaucoup plus intéressant de choisir la rente annuelle pendant 12 ans (à condition que le bénéficiaire survive, lui).

      Prenons le même problème, mais avec un taux d’inflation de 8 %. Le calcul d’actualisation donne dans ce cas une Vo de 376.803,90 F. On aura donc intérêt à préférer le versement immédiat.

      Un ami vous demande de lui prêter 10.000 F, qu’il se propose de vous rembourser en 12 mensualités. Quel montant de mensualité devez-vous lui demander pour vous assurer un taux de 5 % ?

      Calcul du taux proportionnel mensuel à 5 % annuel :

      

      Calcul de l’annuité : 

      Ce n’est pas encore de l’usure !

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      Soit un emprunt de 100.000 F remboursable en 10 annuités à 5 %, Calculez :

    • Problème corollaire : montant de l’annuité a connaissant Vo, le taux et la durée (problème de l’annuité de remboursement de crédit).

      (6)

      Calcul du premier amortissement d’un emprunt

      Rappel : une annuité de remboursement (a) comprend une partie d’amortissement du capital emprunté (A) et une partie d’intérêts sur le capital.

      (7)

1. • • 1. Le montant de l’annuité constante a
       2. Le montant de l’amortissement A₁ compris dans la première annuité
       3. Vérifiez que a - A₁ (autrement dit, la part des intérêts compris dans la première annuité) est égal à 5 % du capital emprunté.

• • • Calcul de l’annuité constante a

      soit 

      Calcul de la part en capital de la première annuité :

      

      Part des intérêts : soit très exactement 5 % du capital emprunté, ce qui est normal : dans la première annuité, la totalité du capital produit des intérêts pendant toute la première période.

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      Dans le même exemple que ci-dessus, quel est la répartition entre capital et intérêt des 2^ème, 3^ème et 4^ème annuités ?

      Connaissant A₁, on applique la formule : A₂=A₁(1+0,05), etc. Le montant des intérêts se déduit simplement en retranchant du montant de l’annuité l’amortissement du capital.

    • Calcul d’un amortissement connaissant le précédent ou le suivant

      (8)

Annuité	Part en Capital	Intérêts
A2	8.347,98	4.602,48
A3	8.765,38	4.184,64
A4	9.203,65	3.748,81

• • • Toujours dans l’exemple ci-dessus, calculez le montant du capital remboursé après paiement de la 3^ème échéance.

      

      Vérification : Nous avons calculé tout à l’heure le montant des amortissements en capital des 4 premières échéances. On peut donc vérifier que la somme des amortissements des trois premières échéances est bien égale au montant calculé :

      7.950,46 + 8.347,98 + 8.765,38 =25.063,82.

      Compte tenu des arrondis successifs, l’écart d’1 centime n’est pas significatif.

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      Toujours sur le même exemple, quel est le capital restant à rembourser après paiement de la 3^ème échéance ?

      

      Vérification : Nous avons calculé le capital remboursé et le capital restant à rembourser après la troisième échéance. La somme de ces deux chiffres doit logiquement être égale au capital initial :

      74.936,20 + 25063,83 = 100.000,03

      Les centimes d’écart sont dus aux arrondis. Ils se régularisent normalement sur la dernière échéance de l’emprunt.

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      Source : http://www.ecogesam.ac-aix-marseille.fr/Resped/Gestion/mathfi/mathfin1.html#Taux Proportionnel

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      Calcul du capital remboursé R_p après paiement de la p^ème annuité

      (9)

      Connaissant le calcul de A1 en fonction de Vo, il est possible de remplacer A1 par :

      

      Cette formule peut être simplifiée, en éliminant i, et devient :

      (9bis)

      Calcul du capital V_p restant à rembourser après paiement de la p^ème annuité

      (10)