Descartes et Pappus

Source : http://debart.pagesperso-orange.fr/geometrie/figures_de_p...

Extraits et commentaires des textes de « La Géométrie » de René Descartes sur le problème de Pappus, permettant de retrouver une démarche historique dans l'enseignement des mathématiques.

Le problème de Pappus, solution neuve (en 1637) pour un problème ancien, va permettre à Descartes d'expliciter ses théories sur les solutions « à la règle et au compas » et « la nature des courbes planes ».

1. Le problème de Pappus

Le problème de Pappus est la recherche du lieu géométrique d'un point C tel que le produit des distances de C à deux d'entre elles soit égal au produit des distances de C aux deux autres droites pour le problème avec quatre droites ;
tel que le produit des distances de C à deux d'entre elles soit égal au carré du produit des distances de C à la troisième droite pour le problème avec trois droites.

Descartes utilise des rapports de similitude plutôt que des distances et cherche le lieu du point C dont les segments menés de ce point à chacune des droites suivant des directions données ont des produits égaux.

2. Géométrie cartésienne - Repère

Un lieu de Pappus « à quatre droites » est l'ensemble des points C tel que CB × CF = CD × CH.
En liaison avec la notion moderne de « distance d'un point à une droite donnée par son équation », Descartes calcule CB = y, CF = ax + by + c, CD = dx + ey et CH = fx + gy + h.
La relation donne une équation du second degré y × (ax + by + c) = (dx + ey) × (fx + gy + h) qui est celle d'une conique.

(Voir la note sur le Problème de Pappus de Paul Tannery.)

Utiliser un repère d'origine A, l'axe des abscisses étant la droite horizontale (AG) ; l'axe des ordonnées dans la direction (BC) faisant un angle de 60° avec l'horizontale, orienté vers le bas.

Sur la droite horizontale G est placé à 5 cm : l = AG = 5 et E à 3 cm : k = EA = 3.
Le point variable C est repéré par ses coordonnées x et y telles que AB = x et CB = y.
Les paramètres b à g indiquent les proportions des côtés des triangles déterminés par les angles de la figure.

Par exemple, dans le triangle ARB on a  d'où . La variable z est introduite, pour respecter la règle des homogènes de Viète.
Dans les calculs, s'en affranchir en choisissant z = 1. Dans les exemples choisir un triangle où b = 1.

La droite (ES) fait un angle de 30° avec l'horizontale : on a d =  = .
Dans l'autre sens, la droite (GT) fait un angle de 30° avec l'horizontale : le triangle BGT a donc deux angles de 30°. Soit le paramètre f =  = 1.

Cas général

Les figures seront faites avec les valeurs par défaut des paramètres suivantes :
z = 1 ; b = 1 ; d =  ; f = 1 ; k = 3 et l = 5.

Les calculs des longueurs en fonction des coordonnées x et y sont donc :
CB = y,
CF = e CS = e(y + dk + dx) = e(y +  + ),
CD = c CR = c (y + bx) = c (y + x),
CH= g CT = g (y + fl fx) = g (y + 5 - x).

De l'égalité CB × CF = CD × CH se déduit l'équation :
e y (y +  + ) = c g (y + x) (y + 5 - x).

On trouve bien l'équation du second degré d'une conique :

cg x² +  xy + (e - cg) y² - 5 cg x + (e - 5 cg) y = 0.

Descartes trouve l'équation fonctionnelle y = m -  x + .
Dans son repère y est égal à BC ; longueur qu'il décompose en trois parties BK, KL et LC : il place sur (BC) les points K tel que BK = m et L tel que KL = nx, LC est alors égal à .

Il complète la construction avec IK parallèle et égal à AB.

Le paramètre a est défini par la proportion , soit IL = ax.

Si la conique n'est pas une parabole, son centre M est situé sur la droite (IL) tel que : IM = .
La droite (IL) coupe la conique en N.

La moitié du rayon traversant est alors MN = .

L'excentricité est égale à  - cg(e - cg). Si elle positive il s'agit d'une hyperbole, si elle nulle d'une parabole et enfin d'une ellipse si elle est négative.

Nouveaux repères

 Télécharger la figure GéoPlan pap_rep.g2w

Le point C(x, y) de coordonnées x et y dans le repère de Descartes est tel que  = x  + y

Dans un repère orthonormé direct d'origine A ce même point C(X, Y) de nouvelles coordonnées X et Y vérifie la relation  = X  + Y
avec  =   -  ,

d'où  =   -  .

Les expressions du vecteur  sont dans l'ancien et le nouveau repère :
 = x  + y  = x  + y(  -  ) = (x +  y) -  ,

 = X  + Y= X  + Y(  - ) = (X +  Y)  -  Y .

En identifiant les coordonnées, on obtient le changement de variable :
.

L'équation de la conique dans le repère orthonormé direct d'origine A est  :

cg X² +  XY + (e -cg) Y² - 5 cg X + (5 cg - 3e)  = 0.

Cette conique passe par les quatre points A, G, P et Q d'intersection des droites données.
P et Q de coordonnées P(, ) et Q(3, -3) dans le repère oblique s'écrivent P(1, ) et Q(, ) dans le repère orthonormé.

Axes principaux

Un deuxième changement de repère permet d'obtenir l'équation par rapport aux directions principales.

Les deux axes AX’ et AY’ de la conique forment le repère (A, ’, ’), faisant un angle α avec les axes AX et AY du repère précédent.

Les directions de la conique sont donc :
’ =  cos α + sin α,

’ = −  sin α +  cos α.

Les expressions du vecteur  sont dans les repères orthonormés :
 = X  + Y
 = X’’ + Y’’ = X’( cos α +  sinα) + Y’(-  sin α +  cos α)

Par identification, on trouve :
.

Les axes sont les directions principales si le coefficient du produit X’Y’ est nul.

Les termes de second degré sont : cg X² +  XY + (e - cg) Y².

Avec les nouvelles variables on a alors :
cg (X’ cos α - Y’ sin α)² +  (X’cos α - Y’ sin α)(X’ sin α + Y’ cos α) + (e - cg) (X’ sin α + Y’ cos α)²

Le coefficient de X’Y’ est :
- 2cg cos α sin α +  (cos²α - sin²α) + (e - cg) sin α cos α =
(cos² α-sin²α - 2  sin α cos α) = (1 - tan²α - 2  tan α).

Ce coefficient est nul si tan α est égal à 2 -  ou à - 2 - , ce qui correspond à des angles de 15° et de -75°.

Choisir α = 15°. Le calcul des fonctions trigonométriques permet d'obtenir le changement de variable :

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3. Cercle

 Télécharger la figure GéoPlan pap_cerc.g2w

En plus des valeurs par défaut z = 1 ; b = 1 ; d =  ; f=1 ; k = 3 et l = 5, prendre comme exemple les paramètres c = , e = 2 et g = .

On a alors CF = e CS = 2(y +  + ) = 2y + 3 + x et c g = 1,
l'égalité CB × CF = CD × CH donne : y(2y + 3 + x) = (y + x) (y + 5 - x).

d'où l'équation x² + xy + y² - 5x - 2y = 0.

y² + xy - 2y est le début du carré de (y +  x - 1).

L'équation peut alors s'écrire : (y +  x - 1)² +  x² - 4x - 1 = 0.

D'où (y +  x - 1)² = −  x² + 4x + 1

y +  x - 1 = .

On a finalement l'expression fonctionnelle de Descartes :
y = 1 -  x 

Par identification on a les quatre paramètres m = 1, o = 4, p =  et n = .

Descartes place sur (BC) les points K tel que BK = m = 1 et L tel que KL = nx =  x, puis IK parallèle et égal à AB.

Le triangle ILK est rectangle avec un angle de 30°. n en est le sinus égal à  ; le cosinus est donc a =  = .

On trouve IM =  =  et le rayon MN =  = .

Dans le repère orthonormé le changement de coordonnées donne l'équation :
X² + Y² - 5X -  Y = 0
qui est bien l'équation du cercle de centre M(, ) et de rayon .

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4. Ellipse

Comme Descartes le propose : « et on peut facilement examiner tous les autres cas en même sorte ».

 Télécharger la figure GéoPlan pap_elip.g2w

Gardons les mêmes paramètres initiaux que pour le cercle :
valeurs par défaut z = 1 ; b = 1 ; d =  ;  f = 1 ; k = 3 et l = 5, paramètres c = , e = 2 et modifions g = 1.

On a alors : CF = e CS = 2(y +  + ) = 2y + 3 + x,
l'égalité CB × CF = CD × CH donne : y (2y + 3 + x) = (y + x) (y + 5 - x).

D'où en multipliant par 2 l'équation : 3x² + 2xy + y² - 15x - 9y = 0.
y2 + 2xy - 9y est le début du carré de (y + x - ).

L'équation peut alors s'écrire : (y + x - )² + 2x² - 6x -  = 0.

d'où l'expression y = - x .

Par identification on a les quatre paramètres : m = , o = 6, p = 9 et n =1.

Placer sur (BC) les points K tel que BK = m =  et L tel que KL = nx = x, puis tracer le segment IK parallèle et égal à AB.

Le triangle ILK est ici équilatéral et le paramètre a est égal à 1.

Le centre M de l'ellipse est situé sur la droite (IL) tel que IM =  = .

La droite (IL) coupe la conique en N et N’.

La moitié du rayon traversant est alors MN =  = .

 

Dans le repère orthonormé le changement de variables donne l'équation :

3X² + 2  XY + Y² - 15X +  Y = 0.

On trouve alors (Y + X + )² +  = 0,

d'où les équations Y = − X -  .

Dans ce repère les coordonnées de M et I sont M(3, - ) et I(,).

Dans le repère ayant comme directions les axes principaux l'ellipse a pour équation :

Ce que l'on peut réduire sous la forme : .

X’_M et Y’_M sont les coordonnées du centre M de l'ellipse :
.

Les rayons A et B de l'ellipse obtenus à partir de l'équation : .

Ils sont donc égaux à :
A =  ≈ 5,411
B =  ≈ 2,8.

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5. Hyperbole

 Télécharger la figure GéoPlan pap_hype.g2w

Valeurs par défaut z = 1 ; b = 1 ; d = ;  f = 1 ; k = 3 et l = 5, paramètres c = , e = 1 et g = 2 donc le point F est en S.

On a alors cg = 3.

Le segment CF mesure CF = y +  + ,

l'égalité CB ×CF = CD × CH donne : y (y +  + ) = (y + x) × 2 (y + 5 - x).

D'où l'équation 3x² +  xy- 2 y² - 15x - y = 0.

En divisant par 2, on obtient y² - xy + y = x² - x ; qui est le début du carré de (y - x + ).

L'équation peut alors s'écrire : (y - x + )² = x² - x + ,

d'où l'expression : y =  x - ±.

Par identification on a les quatre paramètres : m = − , o = − , p =  et n = − .

Placer sur (BC) les points K tel que BK = −m =  et L tel que KL = nx = x, puis tracer le segment IK parallèle et égal à AB.

Dans le triangle ILK le paramètre a est égal à 1,068.

Le centre M de la conique est situé sur la droite (IL) tel que IM =  ≈ 2,939.

La droite (IL) coupe l'hyperbole en N et N’.

La moitié du rayon traversant est alors MN =  ≈ 0,264.

Dans le repère orthonormé le changement de variables donne l'équation :

3X² + XY - 2Y² - 15X + 4  Y = 0.

En divisant par 2, on trouve : (Y - X - )² = ,
d'où les équations Y = X +  .

On peut remarquer une erreur de directions principales dans le dessin de l'hyperbole.

Dans le repère ayant comme directions les axes principaux l'hyperbole a pour équation :
.

Que l'on peut réduire sous la forme :
.

X’_M et Y’_M sont les coordonnées du centre M de l'hyperbole :
.

Les rayons A et B de l'hyperbole peuvent être obtenus à partir de l'équation :

.

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6. Parabole

La conique d'équation :

cg x² +  xy + (e - cg) y² - 5 cg x + (e - 5 cg) y = 0

est une parabole si son excentricité  - cg (e - cg) est nulle.

En choisissant cg = 1 le paramètre e d'une parabole satisfait à l'équation :  - e + 1 = 0
qui admet deux solutions 4(2 + ) et 4(2 - ).

 Télécharger la figure GéoPlan pap_para.g2w

Étudions le cas e = 4(2 - ) avec les valeurs par défaut z = 1 ; b = 1 ; d =  ; f = 1 ; k = 3 et l = 5 ; les autres paramètres étant c =1 et g = 1.
La distance CF est égale à : CF = 4(2 - ) (y +  + ) = 2(2 - ) (2y + 3 + x),
L'égalité CB × CF = CD × CH donne : 2(2 - ) y (2y + 3 + x) = (y + x) (y + 5 - x).
Le coefficient de y² est : e - cg = 7 - 4  = (2 - )².
D'où l'équation : x² + 2(2 - ) xy + (2 - )² y² - 5x + (7 - 6) y = 0.
Le développement du début du carré donne : [(2 - )y + x - (2 + )]² = (1 - 5)x + (2 + )².

(2 - ) y = − x + (2 + ) ± .

En divisant par 2 - , on obtient :

y = − (2 + ) x +  + 7  ± 

Par identification on obtient les quatre paramètres : m =  + 7 , o = − 53 - 31  et n = (2 + ).
Placer sur (BC) les points K tel que BK = m et L tel que KL = nx, puis tracer le segment IK parallèle et égal à AB.
Dans le triangle ILK le paramètre a est égal à 3,346.
Dans le repère orthonormé d'origine A le changement de variables donne l'équation :

X² + 2(2 - ) XY + (7 - 4) Y² - 5X + (12 - )Y = 0.

En utilisant le début du carré  :
[(2 - )Y + X + ()]² = ,

(2 - )Y = − X - () ± 

Y = (2 + )[- X + () ± ]

D'où les équations Y = − (2 + ) X -  ± .

Dans le repère ayant comme directions les axes principaux, un deuxième changement de repère permet d'obtenir l'équation :

.

Cette équation peut être réduite sous la forme :

Si X’_M et Y’_M sont les coordonnées du sommet M de la parabole, l'équation de la conique est alors :

avec 

7. Conclusion de Descartes

Correspondance des diverses éditions de La Géométrie

 

Œuvre mathématique de René Descartes	La Géométrie Livre premier	La Géométrie Livre deuxième	Note sur le Problème de Pappus
Le problème de Pappus Les coniques comme lieux de points (niveau bac + 2) 1. La méthode de Descartes :  2. La mise en équation du problème :  3. La solution de Descartes :  4. 5. 6. Trois exemples d'autres solutions :		Le problème de Pappus figures classiques : 1. Le problème de Pappus 2. Géométrie cartésienne 3. Cercle 4. Ellipse 5. Hyperbole 6. Parabole
Accueil  Descartes et les Mathématiques	Faire de l'histoire … avec GéoPlan	Les Éléments d'Euclide	Les coniques du problème de Pappus avec GeoGebra

Exemple tiré de Pappus. Et on peut le voir aussi fort clairement de ce que Pappus a mis au commencement de son septième livre, où après s'être arrêté quelque temps à dénombrer tout ce qui avait été écrit en géométrie par ceux qui l'avaient précédé, il parle enfin d'une question qu'il dit que ni Euclide, ni Apollonius, ni aucun autre, n'avaient su entièrement résoudre ; et voici ses mots : Je cite plutôt la version latine que le texte grec, afin que chacun l'entende plus aisément Mais ce lieu à 3 et 4 lignes, dont Apollonius dit, à propos de son livre III, qu'Euclide ne l'a pas complètement traité, lui-même, pas plus qu'aucun autre, n'aurait pu l'achever, ni même rien ajouter à ce qu'Euclide en a écrit, du moins en s'en tenant exclusivement aux Éléments des Coniques déjà démontrés au temps d'Euclide, etc. Et un peu après il explique ainsi quelle est cette question : Voici quel est ce lieu à 3 et 4 lignes, à propos duquel Apollonius se décerne de grands éloges pour ses additions et dont il aurait dû savoir gré au premier qui en a écrit. [...]
La question donc qui avait été commencée à résoudre par Euclide et poursuivie par Apollonius, sans avoir été achevée par personne, était telle : Ayant trois ou quatre, ou un plus grand nombre de lignes droites données par position(droites parallèles à une direction – position – donnée) ; premièrement on demande un point, duquel on puisse tirer autant d'autres lignes droites, une sur chacune des données, qui fassent avec elles des angles donnés, et que le rectangle (produit des distances de ce point aux deux droites) contenu en deux de celles qui seront tirées d'un même point, ait la proportion donnée avec le rectangle des deux autres s'il y en a quatre. [...] Page 307 [...] Puis à cause qu'il y a toujours une infinité de divers points qui peuvent satisfaire à ce qui est ici demandé, il est aussi requis de connaître et de tracer la ligne dans laquelle ils doivent tous se trouver. Et Pappus dit que lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes droites données, c'est en une des trois sections coniques ; mais il n'entreprend point de la déterminer ni de la décrire, non plus que d'expliquer celles où tous ces points se doivent trouver, lorsque la question est proposée en un plus grand nombre de lignes. Seulement il ajoute que les Anciens en avaient imaginé une qu'ils montraient y être utile, mais qui semblait la plus manifeste, et qui n'était pas toutefois la première. Ce qui m'a donné occasion d'essayer si, par la méthode dont je me sers, on peut aller aussi loin qu'ils ont été. Réponse à la question de Pappus Et premièrement j'ai connu que cette question n'étant proposée qu'en trois, ou quatre, ou cinq lignes, on peut toujours trouver les points cherchés par la géométrie simple, c'est-à-dire en ne se servant que de la règle et du compas, ni ne faisant autre chose que ce qui a déjà été dit ; Puis j'ai trouvé aussi que lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes données, les points cherchés se rencontrent tous, non seulement en l'une des trois sections coniques, mais quelquefois aussi en la circonférence d'un cercle ou en une ligne droite ;
[...] Au reste, la première et la plus simple de toutes, après les sections coniques, est celle qu'on peut décrire par l'intersection d'une parabole et d'une ligne droite, en la façon qui sera tantôt expliquée. En sorte que je pense avoir entièrement satisfait à ce que Pappus nous dit avoir été cherché en ceci par les Anciens ; et je tâcherai d'en mettre la démonstration en peu de mots, car il m'ennuie déjà d'en tant écrire. Soient AB, AD, EF, GH, etc., plusieurs lignes données par position, et qu'il faille trouver un point, comme C, duquel ayant tiré d'autres lignes droites sur les données, comme CB, CD, CF et CH, en sorte que les angles CBA, CDA, CFE, CHG, etc., soient donnés,
et que ce qui est produit par la multiplication d'une partie de ces ligues soit égal à ce qui est produit par la multiplication des autres, ou bien qu'ils aient quelque autre proportion donnée, car cela ne rend point la question plus difficile. Ici le problème de Pappus, étant donné les quatre droites AB, AD, EF, GH, est de trouver le lieu géométrique des points C dont les segments (en pointillés) menés de ce point C à chacune des droites suivant des directions données ont des produits égaux, ici CB × CF = CD × CH. Dans le livre premier, Descartes exprime les longueurs des segments en fonction de deux inconnues x et y pour aboutir à la conclusion du bas ce chapitre : « les quantités x et y qui se trouvent n'auront jamais plus de deux dimensions en ce qui ne sera produit que par la multiplication de deux lignes ». Pour cette figure, ce n'est que dans le livre second qu'il fera le calcul des équations des coniques solutions. Comment on doit poser les termes pour venir à l'équation en cet exemple. Premièrement, je suppose la chose comme déjà faite, et pour me démêler de la confusion de toutes ces lignes je considère l'une des données, et l'une de celles qu'il faut trouver, par exemple AB et CE, comme les principales et auxquelles je tâche de rapporter ainsi toutes les autres. Texte fondamental, où Descartes introduit, tout naturellement, les coordonnées x et y. Coordonnées dans un repère d'origine A, d'axes (AG) et la parallèle à RB, avec x = AB et y = BC. Que le segment de la ligne AB, qui est entre les points A et B, soit nommé x ; et que BC soit nommé y ; et que toutes les autres lignes données soient prolongées jusqu' à ce qu'elles coupent ces deux aussi prolongées, s'il est besoin, et si elles ne leur sont point parallèles ; comme vous voyez ici qu'elles coupent la ligne AB aux points A, E, G, et BC aux points R, S, T. Puis à cause que tous les angles du triangle ARB sont donnés, la proportion qui est entre les côtés AB et BR est aussi donnée, et je la pose comme de z à b, de façon que AB étant x, RB sera , et la toute CR sera  à cause que le point B tombe entre C et R ; car si R tombait entre C et B, CR serait  ; et si C tombait entre B et R, CR serait . Tout de même les trois angles du triangle DRC sont donnés, et par conséquent aussi la proportion qui est entre les côtés CR et CD, que je pose comme de z à c, de façon que CR étant ,
CD sera . Après cela, pourceque (locution synonyme de parce que, utilisée par Descartes pour marquer la raison, la cause) les lignes AB, AD et EF sont données par position (droite donnée par position : droite parallèle à une direction – position – donnée), la distance qui est entre les points A et E est aussi donnée, et si on la nomme k, on aura EB égal à k + x ; mais ce serait k - x si le point B tombait entre E et A ; et -k + x si E tombait entre A et B. Et pourceque les angles du triangle ESB sont tous donnés, la proportion de BE à BS est aussi donnée, et je la pose comme de z à d, si bien que BS est , et la toute CS est ; mais ce serait  si le point S tombait entre B et C ; et ce serait  si C tombait entre B et S. De plus les trois angles du triangle FSC sont donnés, et ensuite la
proportion de CS à CF, qui soit comme de z à e, et la toute CF sera . En même façon AG, que je nomme l, est donnée, et BG est l - x et à cause du triangle BGT, la proportion de BG à BT est aussi donnée, qui soit comme de z à f, et BT sera , et CT = . Puis derechef la proportion de CT à CH est donnée à cause du triangle TCH, et la posant comme de z à g, on aura CH = . Et ainsi vous voyez qu'en tel nombre de lignes données par position qu'on puisse avoir toutes les lignes tirées dessus du point C à angles donnés, suivant la teneur de la question, se peuvent toujours exprimer chacune par trois termes, dont l'un est composé de la quantité inconnue y, multipliée ou divisée par quelque autre connue ; et l'autre de la quantité inconnue x, aussi multipliée ou divisée par quelque autre connue ; et le troisième d'une quantité toute connue ; excepté seulement si elles sont parallèles, ou bien à la ligne AB, auquel cas le terme composé de la quantité x sera nul ; ou bien à la ligne CB, auquel cas celui qui est composé de la quantité y sera nul ; ainsi qu'il est trop manifeste pour que je m'arrête à l'expliquer. Et pour les signes + et - qui se joignent à ces termes, ils peuvent être changés en toutes les façons imaginables. Puis vous voyez aussi que, multipliant plusieurs de ces lignes l'une par l'autre, les quantitésx et y qui se trouvent dans le produit n'y peuvent avoir que chacune autant de dimensions qu'il y a eu de lignes à l'explication desquelles
elles servent, qui ont été ainsi multipliées ; en sorte qu'elles n'auront jamais plus de deux dimensions en ce qui ne sera produit que par la multiplication de deux lignes ; ni plus de trois, en ce qui ne sera produit que pair la multiplication de trois, et ainsi à l'infini. Comment on trouve que ce problème est plan lorsqu'il n'est point proposé en plus de cinq lignes De plus, à cause que pour déterminer le point C, il n'y a qu'une seule condition qui soit requise, à savoir que ce qui est produit par la multiplication d'un certain nombre de ces lignes soit égal, ou, ce qui n'est de rien plus malaisé, ait la proportion donnée à ce qui est produit par la multiplication des autres ; on peut prendre à discrétion l'une des deux quantités inconnues x ou y, et chercher l'autre par cette équation, en laquelle il est évident que, lorsque la question n'est point posée en plus de cinq lignes, la quantité x, qui ne sert point à l'expression de la première, peut toujours n'y avoir que deux dimensions ; de façon que, prenant une quantité connue pour y, il ne restera que x2 = + ou - ax + ou - b2 ; et ainsi on pourra trouver la quantité x avec la règle et le compas, en la façon tantôt expliquée. Ici, une des découvertes fondamentales de Descartes, et vraiment novatrice : la notion de fonction : Même, prenant successivement infinies diverses grandeurs pour la ligne y, on en trouvera aussi infinies pour la ligne x, et ainsi on aura une infinité de divers points, tels que celui qui est marqué C, par le moyen desquels on décrira la ligne courbe demandée. Il se peut faire aussi, la question étant proposée en six ou plus grand nombre de lignes, s'il y en a entre les données qui soient parallèles à BA ou BC, que l'une des deux quantités x ou y n'ait que deux dimensions en... Sommaire Accueil Descartes et les Mathématiques

Quels sont les lieux plans et solides, et la façon de les trouver. Au reste, à cause que les équations qui ne montent que jusqu'au carré sont toutes comprises en ce que je viens d'expliquer ; non seulement le problème des Anciens en trois et quatre lignes est ici entièrement achevé, mais aussi tout ce qui appartient à ce qu'ils nommaient la composition des lieux solides, et par conséquent aussi à celle des lieux plans, à cause qu'ils sont compris dans les solides car ces lieux ne sont autre chose, sinon que, lorsqu'il est question de trouver quelque point auquel il manque une condition pour être entièrement déterminé, ainsi qu'il arrive en cet exemple, tous les points d'une même ligne peuvent être pris pour celui qui est demandé. Et si cette ligne est droite ou circulaire on la nomme un lieu plan. Mais si c'est une parabole, une hyperbole, ou une ellipse, on la nomme lieu solide. Et toutefois et quand cela est, on peut venir à une équation qui contient deux quantités inconnues, et est pareille à quelques-unes de celles que je viens de résoudre.

	édition 1637	Victor Cousin	Adam et Tannery
Le problème de Pappus	304	321	377
Suite de l'explication de la question de Pappus	323	341	396
Conclusion de Descartes sur le problème de Pappus	334	351	406
Lieu à cinq droites	335	353	407
Tables	Table II	539	511

Note sur le Problème de Pappus	Édition interactive avec GeoGebra	Édition interactive avec GéoPlan	Œuvre mathématique de René Descartes	La Géométrie Livre premier	La Géométrie Livre deuxième
Le problème de Pappus Les coniques comme lieux de points (niveau bac + 2) 1. La méthode de Descartes :  2. La mise en équation du problème :  3. La solution de Descartes :  4. 5. 6. Trois exemples d'autres solutions :			1. Le problème de Pappus 2. Géométrie cartésienne 3. Cercle 4. Ellipse 5. Hyperbole 6. Parabole
Théorème de Pappus : plan projectif Parallélogramme de Pappus : homothétie Figure de Pappus : Thalès Démonstration de Pappus : Pythagore Autres problèmes de Pappus Problème de Pappus - échelle contre un mur Problème de Pappus - cercles tangents en chaîne			« Descartes et les Mathématiques » Accueil : http://debart.pagesperso-orange.fr   Suggestions, remarques, problèmes : me contacter. Page no 23, réalisée le 2/11/2002 - mise à jour le 27/10/2010
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			Publimath : problème de Pappus

La Géométrie de Descartes - Livre premier
Les opérations algébriques

Source : http://debart.pagesperso-orange.fr/geometrie/geom_descart...

Textes choisis de « La Géométrie » de René Descartes et commentaires sur les opérations algébriques, le théorème de Thalès,
et l'équation du second degré, permettant de retrouver une démarche historique dans l'enseignement des mathématiques.

1. La Géométrie - Introduction

La Géométrie de Descartes demeure aujourd'hui, comme au moment de sa parution, un livre de lecture difficile.

En La Géométrie dit-il, «  je tâche à donner une façon générale pour résoudre tous les problèmes qui ne l'on encore jamais été. »
Il demande qu'on prenne la peine de lire « La Géométrie » la plume à la main en suivant tous les calculs qui peuvent sembler d'abord difficile ; mais on devrait s'y habituer en peu de jours.
Il conseille de passer du premier au « troisième livre, avant de lire le second. »

Descartes impatient expose l'essentiel d'une solution neuve dans l'ordre de l'invention et il répugne à passer du temps pour la démontrer.
La méthode de Descartes est de traiter tout problème de géométrie par le calcul. Il l'applique ici aux calculs algébriques et aux équations du second degré.

Advertissement.

« Jusqu'ici (dans le discours de la méthode) j'ai taché de me rendre intelligible à tout le monde, mais pour ce traité je crains, qu'il ne pourra être lu que par ceux, qui savent déjà ce qui est dans les livres de Géométrie. Car d'autant qu'ils contiennent plusieurs vérités fort bien démontrées, j'ai cru qu'il serait superflu de les répéter, et n'ai pas laissé pour cela de m'en servir. »

Dès cette introduction, Descartes paraît ainsi se faire l'adepte des méthodes actives. Tout au long de son traité, il ne cessera de réaffirmer cette position :

« Au reste j'ay omis icy les demonstrations de la plus part de ce que jay dit a cause qu'elles m'ont semblé si faciles, que pourvûque vous preniés la peine d'examiner methodiquement si jay failly, elles se presenteront a vous d'elles mesme : et il sera plus utile de les apprendre en cete façon, qu'en les lisant. » (livre troisiesme, page 389)

Avec un certain humour, ce parti pris de l'auteur rend l'ouvrage exploitable au lycée.

Voici des exemples extraits d'une part du Livre Premier où sont exposées des méthodes analytiques, d'autre part du Livre Troisième où l'on découvre une résolution de problème avec une équation (du quatrième degré) et le calcul de la racine cubique à l'aide d'une parabole, puis la trisection de l'angle.

2. « La Géométrie » - Livre premier

3. Le théorème de Thalès

Descartes commence sa Géométrie en introduisant l'unité dans une configuration du théorème de Thalès.

 

4. L'Extraction de la racine quarrée.

5. L'équation du second degré

Les Babyloniens, au deuxième millénaire avant J.-C., savaient trouver les solutions positives des équations du second degré avec la formule algébrique.
Ces formules ont été ignorées par les Égyptiens et les Grecs et réintroduites par Diophante au IV^e siècle et transmises à l'Occident par le mathématicien Al-Harizmi au IX^e siècle.

Commentaires : Équations z² = a z + b² et z² = - a z + b² ayant une seule racine positive

Descartes fait une seule figure pour résoudre les deux types d'équations : z² = ± a z + b². Le coefficient constant b² est élevé au carré pour rendre l'équation homogène.

Les calculs utilisent la puissance d'un point par rapport à un cercle, notion élémentaire disparue de l'enseignement français au lycée.
La puissance d'un point M, par rapport au cercle de centre N et de rayon NO =  a, est le produit MO × MP, où une sécante issue de M coupe le cercle en O et P.
Cette puissance est constante lorsque la droite varie. Elle est égale au carré b² de la longueur b d'une tangente ML au cercle, issue de M.
La puissance est aussi égale à la différence du carré de la distance du point au centre du cercle moins le carré du rayon.

La méthode de Descartes ne lui fait chercher que la « vraye » racine positive de ces équations z (z ± a) = b² (la « fausse » solution négative ne l'intéresse pas).

On montre facilement que MO × MP = (MN + NO).(MN - NO) = MN² - NO² = LM² = b².
MO et MP = MO - a sont respectivement les solutions positives des équations z² - a z = b² et z² + az = b².

Équation z² = a z + b²

Vérifions que z = MO est la racine de la première équation. En effet MP = MO - a. Comme MO × MP = b², on a z(z-a) = b² et on trouve la solution de z² - a z = b².

Calculons cette racine MO. On a : MO = MN + ON = MN +  a, donc MN = z -  a.
Le théorème de Pythagore, dans le triangle rectangle LMN, d'hypoténuse MN et de petits côtés NL =  a et LM = b, permet d'écrire :
MN² = NL² + LM² =  + b², soit MN = z -  a = , le segment MO de longueur  représente bien la racine positive de l'équation z² = a z + b².

Équation z² = - a z + b²

Vérifions de même que z = MP est la racine de la deuxième équation. En effet MO = MP + a. Comme MO × MP = b², on a (z+a)z = b² et on trouve la solution de z² + a z = b².
Calculons MP = MN - NP, donc MN = z +  a, soit MN = z +  a = , le segment MP de longueur  représente la racine positive de l'équation z² = - a z + b².

Équation ayant deux racines positives : z² = az - b²

Correspondance des diverses éditions de La Géométrie

 

Œuvre mathématique de René Descartes	La Géométrie d'après l'édition de 1637	Faire de l'histoire … avec GéoPlan	Descartes et les Mathématiques
Sommaire Livre premier 1. La Géométrie - Introduction 2. La Géométrie de la règle et du compas 3. Le théorème de Thalès 4. La racine carrée 5. L'équation du second degré Le Problème de Pappus Les coniques du problème de Pappus avec GeoGebra Note sur le Problème de Pappus Livre second De la nature des lignes courbes La méthode des tangentes Premier ovale de Descartes		Livre troisième Les équations La racine cubique   On distingue en arrière-plan, au-dessus du 90c, deux ouvrages dont « La Géométrie ». Page no 10, réalisée le 9/3/2001 - mise à jour le 29/9/2010

Des problèmes qu'on peut construire sans y employer que des cercles et des lignes droites. C'est-à-dire à la règle et au compas.   « Tous les Problèmes de Géométrie se peuvent facilement réduire à tels termes, qu'il n'est besoin par après que de connaître la longueur de quelques lignes droites, pour les construire. » Tous les problèmes de géométrie peuvent se réduire à des calculs sur des nombres. C'est la pensée fondamentale de Descartes qui fonde la géométrie analytique.   Comment le calcul d'Arithmétique se rapporte aux opérations de Géométrie. En géométrie, l'introduction d'un segment unité permet de réaliser toutes les opérations arithmétiques. « Et comme toute l'Arithmétique n'est composée, que de quatre ou cinq opérations, qui sont l'Addition, la Soustraction, la Multiplication, la Division, et l'Extraction des racines, qu'on peut prendre pour une espèce de Division : Ainsi n'a-t-on autre chose à faire en Géométrie touchant les lignes qu'on cherche, pour les préparer à être connues, que leur en ajouter d'autres, ou en ôter, ou bien en ayant une, que je nommerai l'unité pour la rapporter d'autant mieux aux nombres, et qui peut ordinairement être prise à discrétion, puis en ayant encore deux autres, en trouver une quatrième, qui soit à l'une de ces deux, comme l'autre est à l'unité, ce qui est le même que la Multiplication ; ou bien en trouver une quatrième qui soit à l'une de ces deux, comme l'unité est à l'autre, ce qui est le même que la Division ; ou enfin trouver une, ou deux, ou plusieurs moyennes proportionnelles entre l'unité, et quelque autre ligne ; ce qui est le même que tirer la racine carrée, ou cubique, etc. Et je ne craindrai pas d'introduire ces termes d'Arithmétique en la Géométrie, afin de me rendre plus intelligible. »   Descartes traduit les opérations par une figure géométrique (triangles de Thalès) mettant en valeur les proportions. Une de ces grandes innovations sera de prendre une unité. Avec C = 1, on a les proportions suivantes, pour   – la multiplication x de a par b : ,   – la division x de a par b : ,   – la racine x de a : ,   – les moyennes proportionnelles x et y pour la racine cubique de a :  (Livre troisième). Sommaire Accueil Descartes et les Mathématiques

La Multiplication « Soit par exemple AB l'unité, et qu'il faille multiplier BD par BC, je n'ai qu'a joindre les points A et C, puis tirer DE parallèle à CA, et BE est le produit de cette Multiplication. » La Division « Ou bien s'il faut diviser BE par BD, ayant joint les points E et D, je tire AC parallèle à DE, et BC est le produit de cette division. »

La multiplication de 2 par 3  Télécharger la figure GéoPlan thales_m.g2w  Télécharger la figure Cabri Thales_m.fig

La division de 5 par 3  Télécharger la figure GéoPlan thales_d.g2w  Télécharger la figure Cabri Thales_d.fig

Ou s'il faut tirer la racine carrée de GH, je lui ajoute en ligne droite FG, qui est l'unité, et divisant FH en deux parties égales au point K, du centre K je tire le cercle FIH, puis élevant du point G une ligne droite jusqu'à I, à angles droits sur FH, c'est GI la racine cherchée… Le carré de la hauteur issue de l'angle droit d'un triangle rectangle est égal au produit des longueurs des segments découpés sur l'hypoténuse.
La démonstration de cette propriété se fait dès la classe de troisième en remarquant que le triangle FIH, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle en I. Les tangentes des angles H et Î des triangles rectangles semblables IHG et FIG sont égales. tan H = , tan Î =  ; d'où l'égalité des rapports  = . Le produit des « extrêmes » est égal au produit des « moyens » : GI2 = FG × GH = 1 × GH = GH. GI est la moyenne géométrique de FG et GH : GI = . Cette construction, due à Euclide, était connue, avant Descartes, par exemple de Bombelli (1526-1572) qui la cite dans son algebra publiée en 1572.	Télécharger la figure GéoPlan cerc_rac.g2w
Comment on peut user de chiffres en géométrie « Mais souvent on n'a pas besoin de tracer ainsi ces lignes sur le papier, et il suffit de les désigner par quelques lettres, chacune par une seule. Comme pour ajouter la ligne BD à GH, je nomme l'une a et l'autre b, et écris a + b ; et a - b pour soustraire b de a ; et ab pour les multiplier l'une par l'autre... » À la fin du paragraphe, Descartes fait de la pédagogie : Au reste, afin de ne pas manquer à se souvenir des noms de ces lignes, il en faut toujours faire un registre séparé à mesure qu'on les pose ou qu'on les change, écrivant par exemple : AB  1, c'est-à-dire AB égal à 1, en utilisant comme symbole de l'égalité le signe , déformation de la diphtongue de ce mot en latin : æquare. GH  a. BD  b, etc. Avec Descartes, les « lignes géométriques » prennent le statut de « variables réelles ».
Comment il faut venir aux équations qui servent à résoudre les problèmes. Avec pédagogie, Descartes expose sa méthode :   – « nommer » les différentes lignes d'une figure,   – les classer en connues et inconnues,   – mettre en équation et résoudre ces équations. Ainsi, voulant résoudre quelque problème, on doit d'abord le considérer comme déjà fait, et donner des noms à toutes les lignes qui semblent nécessaires pour le construire, aussi bien à celles qui sont inconnues qu'aux autres. Descartes utilisera le premier les lettres du début de l'alphabet a, b, c, d… pour les lignes connues et celles de la fin pour les lignes inconnues x, y, z. Puis, sans considérer aucune différence entre ces lignes connues et inconnues, on doit parcourir la difficulté selon l'ordre qui montre le plus naturellement de tous en quelle sorte elles dépendent mutuellement les unes des autres, jusqu'à ce qu'on ait trouvé moyen d'exprimer une même quantité en deux façons, ce qui se nomme une équation ; car les termes de l'une de ces deux façons sont égaux à ceux de l'autre. Une des nouveautés de Descartes : Et on doit trouver autant de telles équations, qu'on a supposé de lignes, qui étaient inconnues. [...]
Et on peut toujours réduire ainsi toutes les quantités inconnues à une seule, lorsque le problème se peut construire par des cercles et des lignes droites, ou aussi par des sections coniques, ou même par quelque autre ligne qui ne soit que d'un ou deux degrés plus composée. Humour de Descartes : Je n'explique pas, pour ne pas vous ôter le plaisir d'apprendre ! Mais je ne m'arrête point à expliquer ceci plus en détail, à cause que je vous ôterais le plaisir de l'apprendre de vous-même, et l'utilité de cultiver votre esprit en vous y exerçant, qui est à mon avis la principale qu'on puisse tirer Page 302 de cette science. Aussi que je n'y remarque rien de si difficile que ceux qui seront un peu versés en la géométrie commune et en l'algèbre, ait qui prendront garde à tout ce qui est en ce traité, ne puissent trouver. Dans sa lettre à Mersenne du 20 avril 1646, Descartes se justifie : Seulement y ai-je omis (dans la géométrie) quantité de choses, qui auraient pu servir à la rendre plus claire, ce que j'ai fait à dessein, et je ne voudrais pas y avoir manqué. Son dessein est que ses ennemis (comme Roberval) ne puisse pas profiter de ses explications. Sommaire Accueil Descartes et les Mathématiques

Quels sont les problèmes plans. Et que si elle peut être résolue par la géométrie ordinaire, c'est-à-dire en ne se servant que de lignes droites et circulaires tracées sur une superficie plate, lorsque la dernière équation aura été entièrement démêlée, il n'y restera tout au plus qu'un carré inconnu, égal à ce qui se produit de l'addition ou soustraction de sa racine multipliée par quelque quantité connue, et de quelque autre quantité aussi connue. Les problèmes plans se ramènent à la résolution d'une équation du deuxième degré, que Descartes réduit à la forme : z2 = ± a z ±  b2, a et b étant positifs. Il en représente les solutions positives par un segment. Comment ils se résolvent. Et lors cette racine, ou ligne inconnue, se trouve aisément. Équation z2 = a z + b2 Car si j'ai par exemple z2 = az + b2 je fais le triangle rectangle NLM, dont le côté LM est égal à b, racine carrée de la quantité connue b2, et l'autre LN est  a, la moitié de l'autre quantité connue qui était multipliée parz, que je suppose être la ligne inconnue ; puis prolongeant MN, la base de ce triangle, Page 303 (ci-dessous) jusqu'à O, en sorte qu'NO soit égale à NL, la toute OM est z la ligne cherchée. Et elle s'exprime en cette sorte : .   Télécharger la figure GéoPlan eq_2de_1.g2w

Équation z2 = 10 z - 32  Télécharger la figure GéoPlan eq_2de_2.g2w

Lorsque b ≤ a, nous utilisons encore la puissance du point M par rapport au cercle de centre N et de rayon  a, qui est ML2 = MQ × MR. Cette propriété se démontre en introduisant le milieu I de QR et en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle NIR. MQ × MR = (MI - IR) × (MI + IR) = MI2 - IR2 = NR2 - IR2 = NI2 = ML2 = b2. Or MQ + MR = a, donc si z est une des longueurs, l'autre est a - z, on a bien MQ × MR = z(a-z) = b2 et z est une des solutions de l'équation az - z2 = b2. Dans le triangle rectangle NIR on a : IR2 = NR2 - NI2 =  - b2 = . Première solution Si z = MR on a IR = MR - IM = z -  a donc  IR2 = (z -  a)2 = , finalement z -  a = , d'où  est bien une des solutions de l'équation z2 = az - b2. Deuxième solution De même, si z = MQ on a IQ = IM - MQ =  a - z et IQ2 = ( a - z)2 = IR2 = . Finalement  a - z =  et  est l'autre solution.

Équation y2 = - ay + b2 Que si j'ai y2 = - ay + b2, et qu'y soit la quantité qu'il faut trouver, je fais le même triangle rectangle NLM, et de sa base MN j'ôte NP égale à NL, et le reste PM est y la racine cherchée. De façon que j'ai Équation x4 = - ax2 + b2 et tout de même si j'avais x4 = - ax2 + b2. PM serait x2 et j'aurais  ; et ainsi des autres.   Équation y2 = ay - b2 Enfin si j'ai z2 = az - b2 : je fais NL égale à  a, et LM égale à b comme devant, puis, au lieu de joindre les points M N je tire MQR parallèle à LN. Et du centre N par L ayant décrit un cercle qui la coupe aux points Q et R, la ligne cherchée z est MQ, ou bien MR, car en ce cas elle s'exprime en deux façons, à savoir  et .   Et si le cercle, qui ayant son centre au point N, passe par le point L, ne coupe ni ne touche la ligne droite MQR, il n'y a aucune racine en l'Équation, de façon qu'on peut assurer que la construction du problème proposé est impossible.

Au reste, ces mêmes racines se peuvent trouver par une infinité d'autres moyens, et j'ai seulement voulu mettre ceux-ci, comme fort simples, afin de faire voir qu'on peut construire tous les Problèmes de la Géométrie ordinaire sans faire autre chose que le peu qui est compris dans les quatre figures que j'ai expliquées. Les coniques et nombre de leurs propriétés souvent subtiles étaient connues des Grecs. La« vraie méthode » de Descartes remplace la géométrie métrique par une équation du second degré et permet aux mathématiques de faire un progrès décisif. Ce que je ne crois pas que les Anciens aient remarqué ; car autrement ils n'eussent pas pris la peine d'en écrire tant de gros livres où le seul ordre de leurs propositions nous fait connaître qu'ils n'ont point eu la vraie méthode pour les trouver toutes, mais qu'ils ont seulement ramassé celles qu'ils ont rencontrées.

	édition 1637	Victor Cousin	Adam et Tannery
« La Géométrie » - Livre premier	297	313	369
L'équation du second degré	302	318	374
Tables	Table I	539	511

Descartes Philosophe et Mathématicien	La Géométrie : figures interactives	Les Éléments d'Euclide	Faire de l'histoire … avec GéoPlan
Sommaire - Livre Premier 1. La Géométrie - Introduction 2. La Géométrie de la règle et du compas 3. Le théorème de Thalès 4. La racine carrée 5. L'équation du second degré		Le Problème de Pappus Note sur le Problème de Pappus La Géométrie d'après l'édition de 1637 : Scan (du domaine public) : The geometry of Rene Descartes de David Eugene Smith et Marcia L. Latham- 1925 - Réédition Dover - New York, 1954.
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