congruence : Mathématique

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06/12/2010

Congruence

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Voir « congruence » sur leWiktionnaire.

Derrière le terme de congruence se cachent des notions semblables mais de niveaux d'abstraction différents. Historiquement, la notion de congruence sur les entiers relatifs a été introduite par Gauss vers 1801.¹

En arithmétique modulaire, on dit que deux entiers relatifs sont congrus modulo p s'ils ont même reste dans la division euclidienne par p. On peut aussi dire qu'ils sont congrus modulo p si leur différence est un multiple de p.

Dans la mesure des angles orientés, on dit que deux mesures sont congrues modulo 2π si et seulement si leur différence est un multiple de 2π. Cela caractérise deux mesures d'un même angle.
En algèbre, on parle
- de congruence modulo I dans un anneau commutatif (R, +, *) dont I est un idéal :
  x est congru à y modulo I si et seulement si x - y appartient à I.
  Cette congruence est une relation d'équivalence, compatible avec les opérations + et * et permet de définir un anneau quotient R/I.
  Les deux notions précédentes deviennent alors des cas particuliers de cette définition plus générale.
- de congruence modulo H dans un groupe G quand H est un sous-groupe de G.
  x est congru à y modulo H si et seulement si $xstar y^{-1}$ appartient à H.
  Cette relation est une relation d'équivalence permettant de construire un ensemble quotient qui, si H est un sous-groupe distingué, est un groupe quotient.
- de congruence dans un semi-groupe (G,*) pour toute relation d'équivalence compatible avec la loi *. Cette définition est alors plus large que la précédente mais on ne parle alors plus de congruence modulo ...
En géométrie riemannienne, une congruence est l'ensemble des courbes intégrales associées à un champ de vecteurs.
On trouve parfois, dans des ouvrages inspirés de la langue anglo-saxonne, le terme de congru mis à la place de semblable. Il s'agit alors d'une simple relation d'équivalence sur l'ensemble des figures planes.
En psychothérapie, congruence est le terme employé par Carl Rogers pour indiquer une correspondance exacte entre l'expérience et la prise de conscience.
En sciences humaines et sociales et notamment en géographie, la congruence est "l'adaptation réciproque".²
En anatomie, on parle de congruence des surfaces articulaires. Deux surfaces sont congruentes lorsque il y a un emboitement parfait, c'est le cas de l'articulation coxo-fémorale. Contrairement à l'articulation du genou où les surfaces articulaires sont rendues congruentes par les ménisques.
En phylogénie, on parle de congruence entre deux arbres lorsqu'ils sont symétriques et montrent une coévolution entre deux groupes (exemple hôtes/parasites).
En sémiotique, on parle de congruence lorsque des homologies partielles peuvent être établies entre différentes couches de signification, au sein d'un système pluri-isotopique. On parle, en littérature, de congruence entre isotopies ou entre schémas narratifs, ou encore de congruence énonciative ³.