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21/11/2010

Lemme des noyaux

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_des_noyaux

Lemme des noyaux

En algèbre linéaire, le lemme des noyaux est un résultat sur la réduction des endomorphismes. Dans un espace vectoriel E sur un corps K, si un opérateur u de E est annulé par un polynôme P(X) à coefficients dans K, alors ce lemme prévoit une décomposition de E comme somme directe de sous-espaces vectoriels stables par u. Ces derniers se définissent comme noyaux de polynômes en u, les projecteurs associés étant eux-mêmes des polynômes en u.

La démonstration traduit l'identité de Bezout portant sur les polynômes à des sous-espaces vectoriels. Résultat fondamental, le lemme des noyaux conduit à la décomposition de Dunford puis à la décomposition de Jordan. Plus modestement, le lemme des noyaux montre qu'un opérateur u est diagonalisable s'il est annulé par un polynôme à racines simples.

Sommaire

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Enoncé [modifier]

Lemme des noyaux — Soit E un espace vectoriel sur un corps K et soit f un endomorphisme de E. Si P_1,ldots,P_n in K[X] (avec  n in N^*) sont premiers entre eux deux à deux, alors les sous-espaces vectoriels Vi = ker(Pi(f)) (où 1 leq i leq n) sont en somme directe et

bigoplus_{i=1}^n ker left[ P_i(f) right] = ker left[ left( prod_{i=1}^n P_i right)(f) right].

De plus, la projection sur Vi parallèlement à bigoplus_{jneq i} V_j est Qi(f) pour un polynôme Qi.

Démonstration [modifier]

Réduction au cas n = 2 [modifier]

On montre d'abord par récurrence sur n que si le lemme est vrai pour n = 2, il est vrai pour tout n. Il n'y a rien à montrer pour le cas n = 1 (la projection mentionnée est l'identité, qui estQ(f) avec Q le polynôme constant 1). Si n > 2 on pose Q=P_1P_2cdots P_{n-1} alors textstyleprod_{i=1}^n P_i=QP_n et Q est premier avec Pn (car d'après le théorème de Bachet-Bézoutchacun des facteurs Pi de Q est inversible modulo Pn, et leur produit Q l'est donc aussi). Alors le cas n = 2 dit que ker (QP_n)(f)=ker Q(f) oplus ker P_n(f), avec les projections correspondantes données par des polynômes en l'endomorphisme f; l'hypothèse de récurrence permet de décomposer ker Q(f), commer somme directe des ker P_i(f),pour i=1,ldots,n-1, et les projections de ker Q(f), sur ces facteurs se composent avec celle sur ker Q(f), pour donner des projections requises ker (QP_n)(f)toker P_i(f).

Le cas n = 2 [modifier]

On voit sans problème que l'espace V = ker(P1P2)(f) contient les espaces V_i=ker P_i(f), pour i = 1,2, et donc aussi leur somme; il s'agit de montrer que la somme V1 + V2 est directe et égale à V tout entier (avec des projections polynômes en f,). D'après le théorème de Bachet-Bézout, il existe Q_1,Q_2 in K[X] tel que P1Q1 + P2Q2 = 1, et par conséquent (P1Q1 + P2Q2)(f) = idE (l'application identité de E). Notons

pi_i=(P_jQ_j)(f)mid_V,inmathrm{End}(V)qquad mathrm{ograve{u} }~{i,j}={1,2},

donc pi_1+pi_2=mathrm{id}_V, et pi_1(V_2)=pi_2(V_1)={0},.

Pour voir que la somme V1 + V2 est directe, on considère x in V_1 cap V_2. On a x=pi_1(x)+pi_2(x)=0,, et la somme est directe.

Pour voir que V1 + V2 = V on considère x in V. On a x=pi_1(x)+pi_2(x), avec pi_1(x)in V_1, car

P_1(f)(pi_1(x))=(P_1P_2Q_2)(f)(x)=(Q_2P_1P_2)(f)(x)=Q_2(f)(0)=0,,

et on a pi_2(x)in V_2, pour des raisons similaires. On conclut que vin V_1+V_2 et donc V = V1 + V2.

Finalement, les projections de V=V_1oplus V_2 sur les facteurs sont pi_1, et pi_2,: on a déjà vu que l'image de pi_i, est contenue dans Vi, et qu'il s'annule sur l'autre facteur, donc il reste à voir que pi_i, est l'identité sur Vi. Pour xin V_i on a x=pi_1(x)+pi_2(x)=pi_i(x),, donc c'est vérifié.

Applications [modifier]

Le lemme des noyaux sert pour la réduction des endomorphismes. Par exemple :

Réduction à une forme diagonale par blocs — Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K et soit f un endomorphisme de E. Soit Pin K[X] unpolynôme annulateur de f (par exemple son polynôme minimal, ou son polynôme caractéristique d'après le théorème de Cayley-Hamilton) et prod_{i=1}^n P_i^{m_i} la factorisation de Pavec les polynômes Pi irréductibles et distincts. Alors il existe une base mathcal{B} de E et des matrices A_i in mathbf{M}_{n_i}(K) telles que

mathrm{Mat}_mathcal{B}(f)=begin{pmatrix} A_1 & 0 & dots & 0 \ 0 & A_2 & dots & 0 \ vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & 0 & dots & A_n end{pmatrix};

où n_i=dim ker P_i^{m_i}(f) (en fait la partie de mathcal{B} correspondant au bloc Ai est une base de ker P_i^{m_i}(f)), et P_i^{m_i}(A_i)=0.

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