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08/12/2010

Théorème de Pappus

Théorème de Pappus

 

Sommaire

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Introduction [modifier]

Le théorème de Pappus est un résultat de géométrie présentant deux particularités :

D'abord, parmi tous les théorèmes de géométrie, c'est celui qui demande les hypothèses minimales. Il porte sur deux triplets de points arbitraires respectivement pris sur deux droites coplanaires quelconques. Il ne demande donc comme connaissance que celle de l'alignement de trois points et ne nécessite par exemple ni métrique, ni orthogonalité… On dit qu'il est un théorème de géométrie projective.

Ensuite, ce théorème est le générateur de tous les théorèmes de géométrie euclidienne par l'enchaînement suivant

D'après un résultat obtenu par D. Hilbert, le théorème de Pappus permet de démontrer le théorème des triangles homologiques.
Dans Leçons de géométrie projective du célèbre géomètre F. Enriqués, on lit : …en se servant du théorème des triangles homologiques […] on pourrait déduire tous les théorèmes de géométrie projective plane. (voir page 46 de son livre)
Enfin la géométrie projective contient la géométrie euclidienne comme cas particulier.

On trouvera tous les détails sur ces développements dans les références données en fin d'article. Cette particularité remarquable explique que certains auteurs aient conféré le statut d'axiome à ce théorème, voir axiomes de plans projectifs.

Énoncé du théorème [modifier]

Théorème de Pappus

Dans un plan, soient A1B1C1 trois points distincts alignés sur une droite (d) , et soient A2B2C2 trois autres points distincts alignés sur une autre droite (d^prime) alors les points

  • A intersection de (B2C1) avec (C2B1)
  • B intersection de (A2C1) avec (C2A1)
  • C intersection de (A2B1) avec (B2A1)

sont alignés.

Il s'agit d'un théorème de géométrie projective donc les points considérés peuvent être propres ou impropres. Dans le cas où tous les points sont propres, on obtient une configuration du type ci-contre.

 


Remarques :

si l'on note (Δ) la droite portant les points A,B,C alors les assertions suivantes sont équivalentes (en géométrie projective) :

-- les trois droites (d)(d^prime) et (Δ) sont concourantes ;

-- les trois droites (A1A2) (B1B2) (C1C2) sont concourantes ;

-- les six droites « croisillons » (B2C1) (C2B1) (A2C1) (C2A1) (A2B1) (B2A1) sont tangentes à une même conique.

-- Les deux droites (d) et (d^prime) peuvent être considérées comme une conique dégénérée : pour l'hexagramme A1B2C1A2B1C2, le théorème de Pappus-Pascal affirme l'alignement des points AB et C.


Démonstration à l'aide des applications projectives [modifier]

Démonstration du théorème

On construit les points O intersection de (d) et (d'), D intersection de (A1B2) et (A2C1) et E intersection de (A1C2) et (C1B2)

On considère la projection centrale p de la droite (A1B2) sur la droite (d) de centre A2

  • A1 a pour image A1
  • C a pour image B1
  • D a pour image C1
  • B2 a pour image O

On considère la projection centrale q de la droite (d) sur la droite (B2C1) de centre C2

  • A1 a pour image E
  • B1 a pour image A
  • C1 pour image C1
  • O a pour image B2

Par l'application projective q o p de la droite (A1B2) sur la droite (B2C1)

  • A1 a pour image E
  • C a pour image A
  • D a pour image C1
  • B2 a pour image B2

Si on regarde maintenant la projection centrale r de la droite (A1B2) sur la droite (B2C1) de centre B

  • A1 a pour image E
  • D a pour image C1
  • B2 a pour image B2

Or, une application projective d'une droite sur une autre est entièrement déterminée par l'image de trois points distincts. Les transformations q o p et r coïncident sur A1D et B2. Elles sont donc égales et r(C) = A. Les points AB et C sont donc alignés.

 

Démonstration à l'aide du théorème de Ménélaüs [modifier]

Démonstration du théorème de Pappus à l'aide de Ménélaüs

Dans le cas où aucun point n'est impropre et à condition qu'il existe un triangle de référence, dont les côtés soient interceptés par cinq droites du problème, on peut caractériser l'alignement de cinq triplets de points grâce au théorème de Ménélaüs et en déduire simplement que les trois points ABet C sont alignés. Deux triangles de référence peuvent être choisis à cette fin :

  • le triangle J1K1L1 (en bleu sur la figure) dont les sommets sont les intersections des droites (A2B1)(B2C1) et (A1C2),
  • le triangle J2K2L2 (en rouge sur la figure) dont les sommets sont les intersections des droites (A1B2)(B1C2) et (A2C1).

Dans le triangle J1K1L1 (s'il existe) :

  • la droite (A1C1) intercepte les trois côtés en A1B1C1
  • la droite (A2C2) intercepte les trois côtés en A2B2C2
  • la droite (B1C2) intercepte les trois côtés en B1AC2
  • la droite (A2C1) intercepte les trois côtés en A2BC1
  • la droite (A1B2) intercepte les trois côtés en A1CB2

D'après Ménélaüs, ces alignements se traduisent par les égalités suivantes :

frac{overline{A_1K_1}}{overline{A_1L_1}}times frac{overline{B_1J_1}}{overline{B_1K_1}} times frac{overline{C_1L_1}}{overline{C_1J_1}} = 1
frac{overline{A_2J_1}}{overline{A_2K_1}}times frac{overline{B_2L_1}}{overline{B_2J_1}} times frac{overline{C_2K_1}}{overline{C_2L_1}} = 1
frac{overline{B_1K_1}}{overline{B_1J_1}}times frac{overline{AJ_1}}{overline{AL_1}} times frac{overline{C_2L_1}}{overline{C_2K_1}} = 1
frac{overline{A_2K_1}}{overline{A_2J_1}}times frac{overline{BL_1}}{overline{BK_1}} times frac{overline{C_1J_1}}{overline{C_1L_1}} = 1
frac{overline{A_1L_1}}{overline{A_1K_1}}times frac{overline{CK_1}}{overline{CJ_1}} times frac{overline{B_2J_1}}{overline{B_2L_1}} = 1


En multipliant membre à membre ces cinq égalités, il reste après simplification :

frac{overline{AJ_1}}{overline{AL_1}}times frac{overline{BL_1}}{overline{BK_1}} times frac{overline{CK_1}}{overline{CJ_1}} = 1

ce qui prouve d'après la réciproque de Ménélaüs l'alignement des trois points AB et C.

Une démonstration analogue peut être faite dans le triangle J2K2L2. Dans ce cas, les trois droites (B1C2)(A2C1) et (A1B2) (en rouge sur la figure) échangent leur rôle avec les trois droites (B2C1)(A1C2) et (A2B1) (en bleu sur la figure). Cette fois-ci, les trois premières droites délimitent le triangle de référence tandis que les trois dernières interceptent les côtés du triangle de référence. Les droites (A1C1) et (A2C2) (en vert sur la figure) sont conservées pour intercepter le triangle.

Il existe un moyen pratique de trouver les deux triangles de référence. On peut représenter la ligne brisée A1B2C1A2B1 et C2 sous la forme d'un circuit hexagonal. Les côtés opposés de ce circuit hexagonal ont pour intersection les 3 points ABC et les deux triangles de référence sont les deux triangles bâtis sur l'hexagone.

Circuit hexagonal et triangles de référence

On peut illustrer sur une autre configuration, avec quelle facilité le circuit hexagonal permet de trouver les deux triangles de référence. Définissons cette fois-ci :

  • A comme l'intersection de (A1B2) avec (C1C2)
  • B comme l'intersection de (A1A2) avec (B1C2)
  • C comme l'intersection de (C1A2) avec (B1B2)

Le circuit hexagonal est alors A1A2C1C2B1 et B2 et les deux triangles de référence sont alors :

  • le triangle J1K1L1 (en bleu sur la figure) dont les sommets sont les intersections des droites (A1B2)(B1C2) et (A2C1),
  • le triangle J2K2L2 (en rouge sur la figure) dont les sommets sont les intersections des droites (A2B1)(B2C1) et (A1C2).
Circuit hexagonal et triangles de référence d'une autre configuration
Démonstration du théorème de Pappus à l'aide de Ménélaüs sur une autre configuration

Notions connexes [modifier]

Théorème ou axiome? [modifier]

Tout dépend dans quelle géométrie on se situe. Si on travaille dans un contexte de géométrie euclidienne, cette propriété n'est qu'un théorème découlant d'axiomes plus puissants.

En revanche, dans un contexte de géométrie projective, si on travaille dans un plan projectif pappusien, c'est un de nos axiomes de construction de ce plan. Si on travaille dans un plan projectif homogène, c'est un théorème qui découle d'un autre ensemble d'axiomes.

Sources [modifier]

  • Leçons de géométrie projective de F. Enriqués
  • Petite encyclopédie de mathématiques Ed. Didier
  • Enfin un site où sont donnés de nombreux développements sur le Thèorème de Pappus:Merveilleux Pappus

 

Articles de géométrie projective ou voisins à consulter. [modifier]
Hexagramme de Pascal • Axiomes de plans projectifs • Théorème de Pappus • Théorème de Desargues • Dualité • Axiomes de plans projectifs/Suite des axiomes  • Axiomes de plans projectifs/homogènes • Axiomes de plans projectifs/barycentriques • Plan affine • Théorème d'Hessenberg • Traité projectif des coniques • Traité projectif des coniques/Dans un plan pappusien • Conique • Octonions • Relation d'équivalence • Structure de corps • Construction d'un cercle point par point • Construction d'une parabole tangente par tangente • Plan de Fano • Portail:Géométrie • Géométrie analytique • Géométrie synthétique • Géométrie • Géométrie projective • Géométrie non euclidienne • Division harmonique • Rapport anharmonique • Application projective •Fonction homographique • Perspective • Perspective conique • Infini • Droite (mathématiques) 

 

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