Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_des_noyaux

Lemme des noyaux

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En algèbre linéaire, le lemme des noyaux est un résultat sur la réduction des endomorphismes. Dans un espace vectoriel E sur un corps K, si un opérateur u de E est annulé par un polynôme P(X) à coefficients dans K, alors ce lemme prévoit une décomposition de E comme somme directe de sous-espaces vectoriels stables par u. Ces derniers se définissent comme noyaux de polynômes en u, les projecteurs associés étant eux-mêmes des polynômes en u.

La démonstration traduit l'identité de Bezout portant sur les polynômes à des sous-espaces vectoriels. Résultat fondamental, le lemme des noyaux conduit à la décomposition de Dunford puis à la décomposition de Jordan. Plus modestement, le lemme des noyaux montre qu'un opérateur u est diagonalisable s'il est annulé par un polynôme à racines simples.

Sommaire

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• 1 Enoncé
  • 1.1 Démonstration
    • 1.1.1 Réduction au cas n = 2
    • 1.1.2 Le cas n = 2
• 2 Applications

Enoncé [modifier]

Lemme des noyaux — Soit E un espace vectoriel sur un corps K et soit f un endomorphisme de E. Si  (avec ) sont premiers entre eux deux à deux, alors les sous-espaces vectoriels V_i = ker(P_i(f)) (où ) sont en somme directe et

De plus, la projection sur V_i parallèlement à  est Q_i(f) pour un polynôme Q_i.

Démonstration [modifier]

Réduction au cas n = 2 [modifier]

On montre d'abord par récurrence sur n que si le lemme est vrai pour n = 2, il est vrai pour tout n. Il n'y a rien à montrer pour le cas n = 1 (la projection mentionnée est l'identité, qui estQ(f) avec Q le polynôme constant 1). Si n > 2 on pose  alors  et Q est premier avec P_n (car d'après le théorème de Bachet-Bézoutchacun des facteurs P_i de Q est inversible modulo P_n, et leur produit Q l'est donc aussi). Alors le cas n = 2 dit que , avec les projections correspondantes données par des polynômes en l'endomorphisme f; l'hypothèse de récurrence permet de décomposer  commer somme directe des pour , et les projections de  sur ces facteurs se composent avec celle sur  pour donner des projections requises .

Le cas n = 2 [modifier]

On voit sans problème que l'espace V = ker(P₁P₂)(f) contient les espaces  pour i = 1,2, et donc aussi leur somme; il s'agit de montrer que la somme V₁ + V₂ est directe et égale à V tout entier (avec des projections polynômes en ). D'après le théorème de Bachet-Bézout, il existe  tel que P₁Q₁ + P₂Q₂ = 1, et par conséquent (P₁Q₁ + P₂Q₂)(f) = id_E (l'application identité de E). Notons

,

donc  et .

Pour voir que la somme V₁ + V₂ est directe, on considère . On a , et la somme est directe.

Pour voir que V₁ + V₂ = V on considère . On a  avec  car

,

et on a  pour des raisons similaires. On conclut que  et donc V = V₁ + V₂.

Finalement, les projections de  sur les facteurs sont  et : on a déjà vu que l'image de  est contenue dans V_i, et qu'il s'annule sur l'autre facteur, donc il reste à voir que  est l'identité sur V_i. Pour  on a , donc c'est vérifié.

Applications [modifier]

Le lemme des noyaux sert pour la réduction des endomorphismes. Par exemple :

Réduction à une forme diagonale par blocs — Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K et soit f un endomorphisme de E. Soit  unpolynôme annulateur de f (par exemple son polynôme minimal, ou son polynôme caractéristique d'après le théorème de Cayley-Hamilton) et  la factorisation de Pavec les polynômes P_i irréductibles et distincts. Alors il existe une base  de E et des matrices  telles que

où  (en fait la partie de  correspondant au bloc A_i est une base de ), et .

[Enrouler]

Démonstration

Par hypothèse kerP(f) = E, donc, d'après le lemme des noyaux :

Chaque sous-espace  est stable par f, donc la matrice de f dans n'importe quelle base de E adaptée à la décomposition précédente en sous-espaces stables, est diagonale par blocs comme souhaité.