La Géométrie de Descartes - Livre premier
Les opérations algébriques

Source : http://debart.pagesperso-orange.fr/geometrie/geom_descart...

Textes choisis de « La Géométrie » de René Descartes et commentaires sur les opérations algébriques, le théorème de Thalès,
et l'équation du second degré, permettant de retrouver une démarche historique dans l'enseignement des mathématiques.

1. La Géométrie - Introduction

La Géométrie de Descartes demeure aujourd'hui, comme au moment de sa parution, un livre de lecture difficile.

En La Géométrie dit-il, «  je tâche à donner une façon générale pour résoudre tous les problèmes qui ne l'on encore jamais été. »
Il demande qu'on prenne la peine de lire « La Géométrie » la plume à la main en suivant tous les calculs qui peuvent sembler d'abord difficile ; mais on devrait s'y habituer en peu de jours.
Il conseille de passer du premier au « troisième livre, avant de lire le second. »

Descartes impatient expose l'essentiel d'une solution neuve dans l'ordre de l'invention et il répugne à passer du temps pour la démontrer.
La méthode de Descartes est de traiter tout problème de géométrie par le calcul. Il l'applique ici aux calculs algébriques et aux équations du second degré.

Advertissement.

« Jusqu'ici (dans le discours de la méthode) j'ai taché de me rendre intelligible à tout le monde, mais pour ce traité je crains, qu'il ne pourra être lu que par ceux, qui savent déjà ce qui est dans les livres de Géométrie. Car d'autant qu'ils contiennent plusieurs vérités fort bien démontrées, j'ai cru qu'il serait superflu de les répéter, et n'ai pas laissé pour cela de m'en servir. »

Dès cette introduction, Descartes paraît ainsi se faire l'adepte des méthodes actives. Tout au long de son traité, il ne cessera de réaffirmer cette position :

« Au reste j'ay omis icy les demonstrations de la plus part de ce que jay dit a cause qu'elles m'ont semblé si faciles, que pourvûque vous preniés la peine d'examiner methodiquement si jay failly, elles se presenteront a vous d'elles mesme : et il sera plus utile de les apprendre en cete façon, qu'en les lisant. » (livre troisiesme, page 389)

Avec un certain humour, ce parti pris de l'auteur rend l'ouvrage exploitable au lycée.

Voici des exemples extraits d'une part du Livre Premier où sont exposées des méthodes analytiques, d'autre part du Livre Troisième où l'on découvre une résolution de problème avec une équation (du quatrième degré) et le calcul de la racine cubique à l'aide d'une parabole, puis la trisection de l'angle.

2. « La Géométrie » - Livre premier

3. Le théorème de Thalès

Descartes commence sa Géométrie en introduisant l'unité dans une configuration du théorème de Thalès.

 

4. L'Extraction de la racine quarrée.

5. L'équation du second degré

Les Babyloniens, au deuxième millénaire avant J.-C., savaient trouver les solutions positives des équations du second degré avec la formule algébrique.
Ces formules ont été ignorées par les Égyptiens et les Grecs et réintroduites par Diophante au IV^e siècle et transmises à l'Occident par le mathématicien Al-Harizmi au IX^e siècle.

Commentaires : Équations z² = a z + b² et z² = - a z + b² ayant une seule racine positive

Descartes fait une seule figure pour résoudre les deux types d'équations : z² = ± a z + b². Le coefficient constant b² est élevé au carré pour rendre l'équation homogène.

Les calculs utilisent la puissance d'un point par rapport à un cercle, notion élémentaire disparue de l'enseignement français au lycée.
La puissance d'un point M, par rapport au cercle de centre N et de rayon NO =  a, est le produit MO × MP, où une sécante issue de M coupe le cercle en O et P.
Cette puissance est constante lorsque la droite varie. Elle est égale au carré b² de la longueur b d'une tangente ML au cercle, issue de M.
La puissance est aussi égale à la différence du carré de la distance du point au centre du cercle moins le carré du rayon.

La méthode de Descartes ne lui fait chercher que la « vraye » racine positive de ces équations z (z ± a) = b² (la « fausse » solution négative ne l'intéresse pas).

On montre facilement que MO × MP = (MN + NO).(MN - NO) = MN² - NO² = LM² = b².
MO et MP = MO - a sont respectivement les solutions positives des équations z² - a z = b² et z² + az = b².

Équation z² = a z + b²

Vérifions que z = MO est la racine de la première équation. En effet MP = MO - a. Comme MO × MP = b², on a z(z-a) = b² et on trouve la solution de z² - a z = b².

Calculons cette racine MO. On a : MO = MN + ON = MN +  a, donc MN = z -  a.
Le théorème de Pythagore, dans le triangle rectangle LMN, d'hypoténuse MN et de petits côtés NL =  a et LM = b, permet d'écrire :
MN² = NL² + LM² =  + b², soit MN = z -  a = , le segment MO de longueur  représente bien la racine positive de l'équation z² = a z + b².

Équation z² = - a z + b²

Vérifions de même que z = MP est la racine de la deuxième équation. En effet MO = MP + a. Comme MO × MP = b², on a (z+a)z = b² et on trouve la solution de z² + a z = b².
Calculons MP = MN - NP, donc MN = z +  a, soit MN = z +  a = , le segment MP de longueur  représente la racine positive de l'équation z² = - a z + b².

Équation ayant deux racines positives : z² = az - b²

Correspondance des diverses éditions de La Géométrie

 

Œuvre mathématique de René Descartes	La Géométrie d'après l'édition de 1637	Faire de l'histoire … avec GéoPlan	Descartes et les Mathématiques
Sommaire Livre premier 1. La Géométrie - Introduction 2. La Géométrie de la règle et du compas 3. Le théorème de Thalès 4. La racine carrée 5. L'équation du second degré Le Problème de Pappus Les coniques du problème de Pappus avec GeoGebra Note sur le Problème de Pappus Livre second De la nature des lignes courbes La méthode des tangentes Premier ovale de Descartes		Livre troisième Les équations La racine cubique   On distingue en arrière-plan, au-dessus du 90c, deux ouvrages dont « La Géométrie ». Page no 10, réalisée le 9/3/2001 - mise à jour le 29/9/2010

Des problèmes qu'on peut construire sans y employer que des cercles et des lignes droites. C'est-à-dire à la règle et au compas.   « Tous les Problèmes de Géométrie se peuvent facilement réduire à tels termes, qu'il n'est besoin par après que de connaître la longueur de quelques lignes droites, pour les construire. » Tous les problèmes de géométrie peuvent se réduire à des calculs sur des nombres. C'est la pensée fondamentale de Descartes qui fonde la géométrie analytique.   Comment le calcul d'Arithmétique se rapporte aux opérations de Géométrie. En géométrie, l'introduction d'un segment unité permet de réaliser toutes les opérations arithmétiques. « Et comme toute l'Arithmétique n'est composée, que de quatre ou cinq opérations, qui sont l'Addition, la Soustraction, la Multiplication, la Division, et l'Extraction des racines, qu'on peut prendre pour une espèce de Division : Ainsi n'a-t-on autre chose à faire en Géométrie touchant les lignes qu'on cherche, pour les préparer à être connues, que leur en ajouter d'autres, ou en ôter, ou bien en ayant une, que je nommerai l'unité pour la rapporter d'autant mieux aux nombres, et qui peut ordinairement être prise à discrétion, puis en ayant encore deux autres, en trouver une quatrième, qui soit à l'une de ces deux, comme l'autre est à l'unité, ce qui est le même que la Multiplication ; ou bien en trouver une quatrième qui soit à l'une de ces deux, comme l'unité est à l'autre, ce qui est le même que la Division ; ou enfin trouver une, ou deux, ou plusieurs moyennes proportionnelles entre l'unité, et quelque autre ligne ; ce qui est le même que tirer la racine carrée, ou cubique, etc. Et je ne craindrai pas d'introduire ces termes d'Arithmétique en la Géométrie, afin de me rendre plus intelligible. »   Descartes traduit les opérations par une figure géométrique (triangles de Thalès) mettant en valeur les proportions. Une de ces grandes innovations sera de prendre une unité. Avec C = 1, on a les proportions suivantes, pour   – la multiplication x de a par b : ,   – la division x de a par b : ,   – la racine x de a : ,   – les moyennes proportionnelles x et y pour la racine cubique de a :  (Livre troisième). Sommaire Accueil Descartes et les Mathématiques

La Multiplication « Soit par exemple AB l'unité, et qu'il faille multiplier BD par BC, je n'ai qu'a joindre les points A et C, puis tirer DE parallèle à CA, et BE est le produit de cette Multiplication. » La Division « Ou bien s'il faut diviser BE par BD, ayant joint les points E et D, je tire AC parallèle à DE, et BC est le produit de cette division. »

La multiplication de 2 par 3  Télécharger la figure GéoPlan thales_m.g2w  Télécharger la figure Cabri Thales_m.fig

La division de 5 par 3  Télécharger la figure GéoPlan thales_d.g2w  Télécharger la figure Cabri Thales_d.fig

Ou s'il faut tirer la racine carrée de GH, je lui ajoute en ligne droite FG, qui est l'unité, et divisant FH en deux parties égales au point K, du centre K je tire le cercle FIH, puis élevant du point G une ligne droite jusqu'à I, à angles droits sur FH, c'est GI la racine cherchée… Le carré de la hauteur issue de l'angle droit d'un triangle rectangle est égal au produit des longueurs des segments découpés sur l'hypoténuse.
La démonstration de cette propriété se fait dès la classe de troisième en remarquant que le triangle FIH, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle en I. Les tangentes des angles H et Î des triangles rectangles semblables IHG et FIG sont égales. tan H = , tan Î =  ; d'où l'égalité des rapports  = . Le produit des « extrêmes » est égal au produit des « moyens » : GI2 = FG × GH = 1 × GH = GH. GI est la moyenne géométrique de FG et GH : GI = . Cette construction, due à Euclide, était connue, avant Descartes, par exemple de Bombelli (1526-1572) qui la cite dans son algebra publiée en 1572.	Télécharger la figure GéoPlan cerc_rac.g2w
Comment on peut user de chiffres en géométrie « Mais souvent on n'a pas besoin de tracer ainsi ces lignes sur le papier, et il suffit de les désigner par quelques lettres, chacune par une seule. Comme pour ajouter la ligne BD à GH, je nomme l'une a et l'autre b, et écris a + b ; et a - b pour soustraire b de a ; et ab pour les multiplier l'une par l'autre... » À la fin du paragraphe, Descartes fait de la pédagogie : Au reste, afin de ne pas manquer à se souvenir des noms de ces lignes, il en faut toujours faire un registre séparé à mesure qu'on les pose ou qu'on les change, écrivant par exemple : AB  1, c'est-à-dire AB égal à 1, en utilisant comme symbole de l'égalité le signe , déformation de la diphtongue de ce mot en latin : æquare. GH  a. BD  b, etc. Avec Descartes, les « lignes géométriques » prennent le statut de « variables réelles ».
Comment il faut venir aux équations qui servent à résoudre les problèmes. Avec pédagogie, Descartes expose sa méthode :   – « nommer » les différentes lignes d'une figure,   – les classer en connues et inconnues,   – mettre en équation et résoudre ces équations. Ainsi, voulant résoudre quelque problème, on doit d'abord le considérer comme déjà fait, et donner des noms à toutes les lignes qui semblent nécessaires pour le construire, aussi bien à celles qui sont inconnues qu'aux autres. Descartes utilisera le premier les lettres du début de l'alphabet a, b, c, d… pour les lignes connues et celles de la fin pour les lignes inconnues x, y, z. Puis, sans considérer aucune différence entre ces lignes connues et inconnues, on doit parcourir la difficulté selon l'ordre qui montre le plus naturellement de tous en quelle sorte elles dépendent mutuellement les unes des autres, jusqu'à ce qu'on ait trouvé moyen d'exprimer une même quantité en deux façons, ce qui se nomme une équation ; car les termes de l'une de ces deux façons sont égaux à ceux de l'autre. Une des nouveautés de Descartes : Et on doit trouver autant de telles équations, qu'on a supposé de lignes, qui étaient inconnues. [...]
Et on peut toujours réduire ainsi toutes les quantités inconnues à une seule, lorsque le problème se peut construire par des cercles et des lignes droites, ou aussi par des sections coniques, ou même par quelque autre ligne qui ne soit que d'un ou deux degrés plus composée. Humour de Descartes : Je n'explique pas, pour ne pas vous ôter le plaisir d'apprendre ! Mais je ne m'arrête point à expliquer ceci plus en détail, à cause que je vous ôterais le plaisir de l'apprendre de vous-même, et l'utilité de cultiver votre esprit en vous y exerçant, qui est à mon avis la principale qu'on puisse tirer Page 302 de cette science. Aussi que je n'y remarque rien de si difficile que ceux qui seront un peu versés en la géométrie commune et en l'algèbre, ait qui prendront garde à tout ce qui est en ce traité, ne puissent trouver. Dans sa lettre à Mersenne du 20 avril 1646, Descartes se justifie : Seulement y ai-je omis (dans la géométrie) quantité de choses, qui auraient pu servir à la rendre plus claire, ce que j'ai fait à dessein, et je ne voudrais pas y avoir manqué. Son dessein est que ses ennemis (comme Roberval) ne puisse pas profiter de ses explications. Sommaire Accueil Descartes et les Mathématiques

Quels sont les problèmes plans. Et que si elle peut être résolue par la géométrie ordinaire, c'est-à-dire en ne se servant que de lignes droites et circulaires tracées sur une superficie plate, lorsque la dernière équation aura été entièrement démêlée, il n'y restera tout au plus qu'un carré inconnu, égal à ce qui se produit de l'addition ou soustraction de sa racine multipliée par quelque quantité connue, et de quelque autre quantité aussi connue. Les problèmes plans se ramènent à la résolution d'une équation du deuxième degré, que Descartes réduit à la forme : z2 = ± a z ±  b2, a et b étant positifs. Il en représente les solutions positives par un segment. Comment ils se résolvent. Et lors cette racine, ou ligne inconnue, se trouve aisément. Équation z2 = a z + b2 Car si j'ai par exemple z2 = az + b2 je fais le triangle rectangle NLM, dont le côté LM est égal à b, racine carrée de la quantité connue b2, et l'autre LN est  a, la moitié de l'autre quantité connue qui était multipliée parz, que je suppose être la ligne inconnue ; puis prolongeant MN, la base de ce triangle, Page 303 (ci-dessous) jusqu'à O, en sorte qu'NO soit égale à NL, la toute OM est z la ligne cherchée. Et elle s'exprime en cette sorte : .   Télécharger la figure GéoPlan eq_2de_1.g2w

Équation z2 = 10 z - 32  Télécharger la figure GéoPlan eq_2de_2.g2w

Lorsque b ≤ a, nous utilisons encore la puissance du point M par rapport au cercle de centre N et de rayon  a, qui est ML2 = MQ × MR. Cette propriété se démontre en introduisant le milieu I de QR et en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle NIR. MQ × MR = (MI - IR) × (MI + IR) = MI2 - IR2 = NR2 - IR2 = NI2 = ML2 = b2. Or MQ + MR = a, donc si z est une des longueurs, l'autre est a - z, on a bien MQ × MR = z(a-z) = b2 et z est une des solutions de l'équation az - z2 = b2. Dans le triangle rectangle NIR on a : IR2 = NR2 - NI2 =  - b2 = . Première solution Si z = MR on a IR = MR - IM = z -  a donc  IR2 = (z -  a)2 = , finalement z -  a = , d'où  est bien une des solutions de l'équation z2 = az - b2. Deuxième solution De même, si z = MQ on a IQ = IM - MQ =  a - z et IQ2 = ( a - z)2 = IR2 = . Finalement  a - z =  et  est l'autre solution.

Équation y2 = - ay + b2 Que si j'ai y2 = - ay + b2, et qu'y soit la quantité qu'il faut trouver, je fais le même triangle rectangle NLM, et de sa base MN j'ôte NP égale à NL, et le reste PM est y la racine cherchée. De façon que j'ai Équation x4 = - ax2 + b2 et tout de même si j'avais x4 = - ax2 + b2. PM serait x2 et j'aurais  ; et ainsi des autres.   Équation y2 = ay - b2 Enfin si j'ai z2 = az - b2 : je fais NL égale à  a, et LM égale à b comme devant, puis, au lieu de joindre les points M N je tire MQR parallèle à LN. Et du centre N par L ayant décrit un cercle qui la coupe aux points Q et R, la ligne cherchée z est MQ, ou bien MR, car en ce cas elle s'exprime en deux façons, à savoir  et .   Et si le cercle, qui ayant son centre au point N, passe par le point L, ne coupe ni ne touche la ligne droite MQR, il n'y a aucune racine en l'Équation, de façon qu'on peut assurer que la construction du problème proposé est impossible.

Au reste, ces mêmes racines se peuvent trouver par une infinité d'autres moyens, et j'ai seulement voulu mettre ceux-ci, comme fort simples, afin de faire voir qu'on peut construire tous les Problèmes de la Géométrie ordinaire sans faire autre chose que le peu qui est compris dans les quatre figures que j'ai expliquées. Les coniques et nombre de leurs propriétés souvent subtiles étaient connues des Grecs. La« vraie méthode » de Descartes remplace la géométrie métrique par une équation du second degré et permet aux mathématiques de faire un progrès décisif. Ce que je ne crois pas que les Anciens aient remarqué ; car autrement ils n'eussent pas pris la peine d'en écrire tant de gros livres où le seul ordre de leurs propositions nous fait connaître qu'ils n'ont point eu la vraie méthode pour les trouver toutes, mais qu'ils ont seulement ramassé celles qu'ils ont rencontrées.

	édition 1637	Victor Cousin	Adam et Tannery
« La Géométrie » - Livre premier	297	313	369
L'équation du second degré	302	318	374
Tables	Table I	539	511

Descartes Philosophe et Mathématicien	La Géométrie : figures interactives	Les Éléments d'Euclide	Faire de l'histoire … avec GéoPlan
Sommaire - Livre Premier 1. La Géométrie - Introduction 2. La Géométrie de la règle et du compas 3. Le théorème de Thalès 4. La racine carrée 5. L'équation du second degré		Le Problème de Pappus Note sur le Problème de Pappus La Géométrie d'après l'édition de 1637 : Scan (du domaine public) : The geometry of Rene Descartes de David Eugene Smith et Marcia L. Latham- 1925 - Réédition Dover - New York, 1954.
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