Parallélogrammes en seconde

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 Propriétés

  Voir : parallélogrammes au collège

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 1. Thalès et parallélogramme

ABCD est un parallélogramme.

M est un point sur la droite (DC) tel que  = x .

M’ est le point de la droite (BC) tel que  =  .

Montrer que les points A, M et M’ sont alignés.

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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

 4. Translation, orthocentre et alignement

ABCD est un rectangle. M un point du plan.

C’ est le projeté orthogonal de C sur (AM),
D’ est le projeté orthogonal de D sur (BM),
M’ est le projeté orthogonal de M sur (AB).
Les, droites (CC’) et (DD’) se coupent en I.

Montrer que les points M, M’ et I sont alignés.

Indications

Dans la translation de vecteur  :
- la droite (MM’) est globalement invariante,
- (CC’) a pour image la hauteur (BB’), issue de B, du triangle MAB,
- (DD’) a pour image la hauteur (AA’), issue de A, du triangle MAB.
Ces trois hauteurs sont concourantes en H, orthocentre de MAB.

L'image réciproque de H est I, point de concours des trois droites (CC’), (DD’) et (MM’).
Les points M, M’, H et I sont alignés.

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 5. Trisection d'un angle droit !

Construction à la règle au compas.

E et F partagent un segment [AB], de longueur 3, en trois unités.
Le point O complète le triangle équilatéral EFO.
C et D sont les deux autres sommets du rectangle ABCD de centre O.

Montrer que les droites (CA) et (CF) sont les trisectrices de l'angle DCB.

AB = BC = 3 et BC = AD = .
Vérifier que tan(DCA) et tan(FCB) sont égaux à .

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Trisection : grands problèmes de la géométrie grecque

 6. Parallélogramme et bissectrice

 

Sommaire 1. Thalès et parallélogramme 2. Projections orthogonales 3. D'un parallélogramme à l'autre 4. Translation et alignement 5. Trisection d'un angle droit ! 6. Parallélogramme et bissectrice 7. Parallélogramme avec contraintes Construire un parallélogramme dont deux sommets sont situés sur deux droites 8. Translation			Collège : parallélogrammes   Théorème de Varignon     Parallélogramme inscrit Point aligné sur une diagonale : parallélogramme de Pappus 1S : Barycentres et parallélogrammes Page no 64, réalisée le 22/2/2004, mise à jour le 28/10/2009
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2. Projections orthogonales       ABCD est un parallélogramme. I, J, K, L sont les projections orthogonales des sommets sur les diagonales. Montrer que IJKL est un parallélogramme.  Télécharger la figure GéoPlan parall_2.g2w Sommaire Faire de la géométrie dynamique

3. D'un parallélogramme à l'autre Les points P, Q, R et S sont les points d'intersection des droites perpendiculaires aux diagonales issues des sommets. Montrer que PQRS est un parallélogramme. Lorsque ABCD est un rectangle, montrer que PQRS est alors un losange.  Télécharger la figure GéoPlan parall_3.g2w

Résoudre par une méthode géométrique, dans R,
l'équation 2 |x - 1| - |x - 4| = 0.

AMEC est un parallélogramme. Une droite (d) passant par A coupe les segments [MC] et [CE] respectivement en I et B, et intercepte la droite (ME) en J.

Sachant que AI = 2 et IB = 1, calculer la longueur BJ.

Comme (AM) est parallèle à (BC), les triangles IAM et IBC sont semblables et de rapport de similitude . Donc, BC =  AM =  CE et B est le milieu de [EC].
Dans le triangle JAM, EB =  AM, la droite (BE) parallèle à (AM) est la droite des milieux : B est le milieu de [AJ] et E le milieu de [MJ].

On admettra que les droites (MJ) et (MC) sont perpendiculaires.
Si F est le milieu de [MA], (BF), joignant les milieux des côtés du parallélogramme AMEC, est parallèle à (ME) ; donc perpendiculaire à (MC).
(MC) diagonale du parallélogramme est une médiane du triangle MBF, elle est aussi une médiatrice, d'où MBF admettant (MC) comme axe de symétrie est un triangle isocèle et MB = MF =  MA

Comme MA = 2 MB, M est sur (c), cercle d'Apollonius de diamètre [IJ], ensemble des points M tels que  = 2. Si M est distinct de I et J, les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle AMB.

Sur la droite (d) choisissons le repère (O, B) d'origine O milieu de [IJ]. On a alors les abscisses B(1) et A(4).
Un point M de la droite d'abscisse x est tel que MB = |x - 1| et MA = |x - 4|.

L'intersection du cercle (c) et de la droite (d) est l'ensemble des points de la droite vérifiant  = 2. C'est l'ensemble des points {I, J} dont les abscisses vérifient l'équation 2 |x - 1| - |x - 4| = 0, soit x = 2 ou x = −2. D'où les points d'abscisses I(2) et J(-2).

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7. Parallélogramme avec contraintes

Construire un parallélogramme dont deux sommets sont situés sur deux droites

On donne deux points A, B distincts et deux droites (d₁), (d₂) sécantes, et distinctes de (AB).

Existe-t-il un point C sur (d₂) et un point D sur (d₁) tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme ?

Analyse

Placer un point D variable sur (d₁) et construire le quatrième point C du parallélogramme ABCD.
Déplacer le point D jusqu'à ce que C soit sur la droite (d₂).

Solution

La trace du lieu du point C permet de réaliser que ce point est situé sur une droite parallèle à (d₁).

Il suffit donc de tracer la droite (d’), image de (d₁) par la translation de vecteur . Les droites (d₂) et (d’) sont sécantes en C.

Le point D, image de C par la translation réciproque de vecteur , est situé sur (d₁)
et  =  : le parallélogramme ABCD est la solution du problème.

 

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Sommaire
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8. Translation

Définition : dire que le point M’ est l'image du point M par la translation qui transforme A en B signifie que le quadrilatère ABM’M est un parallélogramme.

Les segments [AM’] et [BM] ont même milieu.

Si M est sur la droite (AB), ABM’M est un parallélogramme aplati.

Construire l'image d'un segment par une translation

Application : construire l'image d'un segment [MN] par la translation qui transforme A en B.

On construit les points M’ et N’ tels que ABM’M et ABN’N soient deux parallélogrammes.
Pour cela, tracer les milieux I de [BM] et J de [BN].
M’ et N’ sont les symétriques de A par rapport à I et J.

Construire l'image d'une droite par une translation

Placer deux points M et N sur une droite (d). Construire les points M’ et N’ images des points M et N par la translation qui transforme A en B.

La droite (M’N’) est l'image de (d) par la translation.

Ces deux droites sont parallèles.

Indication

I et J sont les centres des parallélogrammes ABM’M et ABN’N.

(IJ), droite des milieux de AM’N’, est parallèle à (M’N’).
(IJ), droite des milieux de BMN, est parallèle à (MN).

Les droites (MN) et (M’N’) parallèles à (IJ) sont parallèles entre elles.

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