23/01/2011
Calculs d'aires par découpage
Classe de cinquième Source : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/college/aire_... Calculs d'aires par découpage
1. Aire du parallélogramme
6. Aire d'une Couronne
Extrait du programme de géométrie de 6e (2004)
Extrait du programme de géométrie de 5e (2009)
Sommaire1. Aire du parallélogramme Extraits des programmes de géométrie de 6e et 5e Les paragraphes sur les lunules ont été déplacés dans la page calcul d'aire en seconde Les exercices sur le triangle ont été déplacés dans la page : aires et triangles Les exercices sur les quadrilatères ont été déplacés dans la page : aires du parallélogramme et du trapèze |
Démonstrations avec la méthode des aires : Aire d'un quadrilatère non convexe : prenons de la hauteur Calcul d'aire minimum : minimum-maximum Problèmes de partage Aires dans un rectangle : aire en seconde Aire formée par deux segments circulaires Aire de quadrilatère orthodiagonal et de cerf-volant Page no 68, réalisée le 30/5/2004, modifiée le 20/11/2009 |
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Index |
Faire de lagéométrie |
Problèmes de construction |
Triangle inscrit |
Les méthodes de découpages et recollement de figures pour des calculs d'aires peuvent être considérées comme des démonstrations mathématiques : le découpage et le recollement correspondent à l'application d'un déplacement ou d'un antidéplacement et ces deux types d'applications du plan dans le plan conservent les aires. Activités et outils pour la classe de cinquième - Réunion de Manosque |
Classe de cinquième L'aire d'un parallélogramme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur. Soit ABCD un parallélogramme, E et F les projections orthogonales de C et D sur (AB). Le rectangle FECD a même aire que le parallélogramme, car les triangles rectangles ADF et BCE sont isométriques. Aire(ABCD) = AB × DF = a × h où a = AB = CD et h = DF = CE. Télécharger la figure GéoPlan air_para.g2w Voir : aire du parallélogramme 2. Aire du trapèzeClasse de 5ème La surface d'un trapèze a pour mesure le produit de la moyenne des bases par sa hauteur : b = AB, b’ = CD, h = HE : Aire(ABCD) = × h. Soit ABCD un trapèze de grande base [AB], et de petite base [CD] parallèle à (AB). Le rectangle EFGH a même aire que le trapèze ABCD, car les triangles rectangles Télécharger la figure GéoPlan aire_trapeze.g2w Voir : aire du trapèze 3. Aire du triangleClasse de 5e L'aire d'un triangle a pour mesure le demi-produit d'un côté par la hauteur perpendiculaire à ce côté. Le rectangle BCED a une aire double de celle du triangle ABC Au lycée, voir la formule de Héron d'Alexandrie dans l'article relations métriques du triangle Télécharger la figure GéoPlan aire_triangle1.g2w Voir : aires et triangles 4.a. Transformation d'un polygone convexe en triangleClasse de troisième Exemple : transformation d'un quadrilatère ABCD en triangle AB’D avec la propriété du trapèze Il est toujours possible de transformer un polygone convexe de n côtés (n > 3) en un polygone de Télécharger la figure GéoPlan aire_quadrilatere.g2w b. Aire d'un pentagone convexe (papillons)Transformation du pentagone convexe ABCDE en triangle APQ en utilisant deux fois le théorème du papillon. Soit ABCDE un pentagone (convexe). L'aire du pentagone est égale à l'aire du triangle APQ. Indications : l'aire du pentagone est égale à la somme des aires des trois triangles ABC, ACD et ADE. Solution : les triangles ABC et APC ont même base AC et la même hauteur, de longueur égale à la distance entre les droites (AC) et (PC) ; ils ont donc même aire. Remarque : Il a été enlevé du pentagone les triangles ABI et AEJ, que l'on a remplacés par les triangles CPI et DQJ d'aires équivalentes (théorème du papillon). Technique GéoPlan : dans le logiciel il n'existe pas fonction permettant de calculer l'aire a d'un pentagone. Télécharger la figure GéoPlan aire_pentagone.g2w 5. Aire du pentagone régulierClasse de troisième Dans le cas du pentagone régulier ABCDE, il existe un découpage en quatre pièces. En déplaçant le triangle ABE en EDF, on obtient un trapèze BCDF d'aire équivalente à celle du pentagone. Par symétrie par rapport au milieu I de [DF] on remplace le triangle CDI par GFI. L'aire du pentagone est égale à l'aire du triangle BCG. Télécharger la figure GéoPlan aire_pentagone_regulier.g2w
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Transformation du pentagone régulier en parallélogrammeM est le milieu de la diagonale [BD]. Le triangle BMN est isocèle (triangle d'or d'angles 36° et 72°). À partir de ce puzzle de trois pièces, il est possible de reconstituer un parallélogramme. Télécharger la figure GéoPlan pentagone_vers_parallelogramme.g2w
Bibliographie : groupe « Jeux » de l'Association des Professeurs de Mathématiques - Comment se jouer de la Géométrie - 2009 |
Transformation du pentagone régulier en carréReprenons la figure ci-contre pour transformer le parallélogramme DEFK en carré. En choisissant un point I sur le demi-cercle de diamètre [FE], nous pouvons découper le triangle FEI et le translater en FJL, avec un sommet en J, intersection de (EI) avec (CD). [FI] et [IL] sont les côtés d'un rectangle de même aire que celle du pentagone. Côté du carré de même airePour tracer un carré, nous utiliserons la méthode de la moyenne proportionnelle : l'aire du parallélogramme DEFK est égale au produit de base FE par la hauteur FH. Pour cette hauteur, rabattre le point H en Q sur (FE). La droite (FH) coupe le cercle de diamètre (QE) en U. Dans le triangle rectangle QEU, le carré de la hauteur FU issue de l'angle droit U est égal au produit des segments QF et FE découpés sur l'hypoténuse (Construction d'Euclide reprise par Descartes). Le cercle de centre F passant par U coupe le cercle de diamètre [FE] en I. Le quadrilatère BEIR est translaté en BJLV. Le triangle EJD est translaté en FPK. Les six pièces du pentagone permettent de reconstituer un carré. Remarques : FH est aussi la distance de F à la droite (MN). Télécharger la figure GéoPlan pentagone_vers_carre.g2w |
Classes de 4e - 3e Dans la figure ci-contre, on ne connaît pas les rayons r = OM et R = OA des cercles (c1) et (c2) de centre O. On sait seulement que la corde [AB] mesure a = 3 cm et qu'elle est tangente au cercle intérieur (c1). On demande cependant de trouver l'aire s de la couronne circulaire comprise entre (c1) et (c2). Indications : la tangente (AB) au cercle (c1) en M est perpendiculaire au rayon [OM]. Cas particulier : Si AB est égal au diamètre du cercle (c1), r = a, alors le triangle AMO est rectangle isocèle et R = r . Voir : Haha ou l'éclair de la compréhension mathématique - Martin Gardner - Pour la science - Belin - 1979 Télécharger la figure GéoPlan couronne.g2w |
Activité B2i |
Domaine B2i |
Item collège validable |
Aire en 5ème ou en 4èmeAire du parallélogramme |
1 – S'approprier un environnement informatique de travail. |
1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification. 1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail. |
2 – Adopter une attitude responsable pour les élèves venant en aide. |
2.7 – Je mets mes compétences informatiques au service d'une production collective. |
Contenu |
Compétences exigibles |
Commentaires |
4.3 Aires : mesure, comparaison et calcul d'aires |
– Comparer des aires. – Différencier périmètre et aire. – Connaître et utiliser la formule donnant l'aire d'un rectangle |
Poursuivant le travail effectué à l'école élémentaire, les élèves sont confrontés à des problèmes dans lesquels il faut : Certaines activités proposées conduisent les élèves à comprendre notamment que leurs sens de variation ne sont pas toujours similaires. Au cycle 3 de l'école élémentaire, les élèves ont calculé l'aire d'un rectangle dont l'un des côtés au moins était de dimension entière. En sixième, le résultat est généralisé au cas de rectangles dont les dimensions sont des décimaux. |
– Calculer l'aire d'un triangle rectangle. – Effectuer pour les aires des changements d'unités de mesure. |
Des manipulations permettent aux élèves de comprendre le passage du rectangle au triangle rectangle. À partir de là, ils peuvent être confrontés au calcul d'aires de figures décomposables en rectangles et triangles rectangles. Comme pour les longueurs, l'utilisation des équivalences entre diverses unités est préférée à celle systématique d'un tableau de conversion. |
Contenus |
Compétences |
Exemples d'activités, commentaires |
4.3 Aires parallélogramme, triangle, disque. |
– Calculer l'aire d'un parallélogramme. – Calculer l'aire d'un triangle connaissant un côté et la hauteur associée.
– Calculer l'aire d'un disque de rayon donné. – Calculer l'aire d'une surface plane ou celle d'un solide, par décomposition en surfaces dont les aires sont facilement calculables. |
La formule de l'aire du parallélogramme est déduite de celle de l'aire du rectangle. La formule de l'aire du triangle est déduite de celles de l'aire du parallélogramme, du triangle rectangle ou du rectangle. Dans le cadre du socle, les élèves peuvent calculer ainsi l'aire d'un parallélogramme. |
Triangle |
GéoPlan 5e |
GéoPlan |
GéoSpace 6e |
GéoPlan 3e |
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Sommaire1. Aire du parallélogramme Extraits des programmes de géométrie de 6e et 5e Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan |
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09:42 Publié dans 5ème, Calculs d'aires par découpage | Lien permanent | Commentaires (0) | | del.icio.us | | Digg | Facebook
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