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08/01/2010

Mathématiques Financières : l’essentiel

Mathématiques Financières : l’essentiel

    • Les 10 formules incontournables
      (Fin de période)

Marc ROMANO
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Sommaire

Rappels d'algèbre

Taux proportionnel - Taux équivalent

Taux proportionnel
Taux équivalent

Capitalisation - Actualisation

Valeur acquise par un capital placé pendant n périodes au taux i
Valeur actuelle d'un capital futur actualisé sur n périodes au taux i

Emprunts indivis - Annuités

Valeur future d'une suite d'annuités constantes
Annuité de constitution d'un capital futur
Valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes
Annuité de remboursement d'un capital
Calcul du premier amortissement d'un emprunt
Calcul de l'amortissement d'un empruny, connaissant le précédent ou le suivant
Montant du capital remboursé après une annuité quelconque
Montant du capital restant à rembourser après une annuité quelconque


Rappels d’algèbre

Taux proportionnel - Taux équivalent

Capitalisation - Actualisation

      • Valeur acquise par un capital de 10.000 F placé pendant 5 ans au taux annuel de 7 % :

        Même calcul, mais intérêts composés trimestriellement.

        Etape 1 : Détermination du taux trimestriel équivalent à 7% annuel

        Etape 2 : calcul de la valeur acquise d’un capital de 10000 F placé pendant 20 périodes (5 années de 4 trimestres) au taux de 1.706%

        On constate que, les taux étant équivalents, les valeurs futures sont strictement identiques, quelle que soit la période de composition choisie.

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        Combien faudrait-il placer aujourd’hui, sur un livret de Caisse d’Epargne à 4% par an, pour disposer de 100.000 F dans 8 ans ?

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      • Valeur acquise Vn par un capital Vo placé pendant n périodes à un taux i

        (1)

        Valeur actuelle Vo (actualisation) d’une valeur future Vn actualisée sur n périodes à un taux i

        (2)

Emprunts indivis - Annuités (fin de période)

        • Versement d’un capital unique de 500.000 F
        • Versement d’une rente annuelle de 50.000 F pendant 12 ans
      • En considérant un indice du coût de la vie de 2 % par an, laquelle des deux formules est la plus intéressante ?

        Il faut calculer la valeur actuelle des 12 versements annuels de 50.000 F. en appliquant la formule d’actualisation des annuités constantes :

        Il est donc beaucoup plus intéressant de choisir la rente annuelle pendant 12 ans (à condition que le bénéficiaire survive, lui).

        Prenons le même problème, mais avec un taux d’inflation de 8 %. Le calcul d’actualisation donne dans ce cas une Vo de 376.803,90 F. On aura donc intérêt à préférer le versement immédiat.

        Un ami vous demande de lui prêter 10.000 F, qu’il se propose de vous rembourser en 12 mensualités. Quel montant de mensualité devez-vous lui demander pour vous assurer un taux de 5 % ?

        Calcul du taux proportionnel mensuel à 5 % annuel :

        Calcul de l’annuité : 

        Ce n’est pas encore de l’usure !

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        Soit un emprunt de 100.000 F remboursable en 10 annuités à 5 %, Calculez :

      • Problème corollaire : montant de l’annuité a connaissant Vo, le taux et la durée (problème de l’annuité de remboursement de crédit).

        (6)

        Calcul du premier amortissement d’un emprunt

        Rappel : une annuité de remboursement (a) comprend une partie d’amortissement du capital emprunté (A) et une partie d’intérêts sur le capital.

        (7)

        1. Le montant de l’annuité constante a
        2. Le montant de l’amortissement A1 compris dans la première annuité
        3. Vérifiez que a - A1 (autrement dit, la part des intérêts compris dans la première annuité) est égal à 5 % du capital emprunté.
      • Calcul de l’annuité constante a

        soit 

        Calcul de la part en capital de la première annuité :

        Part des intérêts : soit très exactement 5 % du capital emprunté, ce qui est normal : dans la première annuité, la totalité du capital produit des intérêts pendant toute la première période.

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        Dans le même exemple que ci-dessus, quel est la répartition entre capital et intérêt des 2ème, 3ème et 4ème annuités ?

        Connaissant A1, on applique la formule : A2=A1(1+0,05), etc. Le montant des intérêts se déduit simplement en retranchant du montant de l’annuité l’amortissement du capital.

      • Calcul d’un amortissement connaissant le précédent ou le suivant

        (8)

Annuité

Part en Capital

Intérêts

A2

8.347,98

4.602,48

A3

8.765,38

4.184,64

A4

9.203,65

3.748,81

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