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06/01/2010

Construction de Z à partir de N

 


En supposant connues les propriétés élémentaires de l'ensemble $ {mbox{bf N}}$ et de l'addition des entiers naturels, nous allons donner une construction rigoureuse de $ {mbox{bf Z}}$ et de l'addition des entiers relatifs. Dans cette construction, $ {mbox{bf Z}}$ apparaîtra sous forme d'un quotient de $ {mbox{bf N}}times{mbox{bf N}}$ par une relation d'équivalence. Ce paragraphe est aussi l'occasion de rappeler les notions de relation d'équivalence et d'ensemble quotient, notions centrales pour le reste du cours.

Définition Soit $ X$ un ensemble. Une relation sur $ X$ est un ensemble $ Rsubset Xtimes X$ de couples d'éléments de $ X$. On écrit $ x R x'$ au lieu de $ (x,x')in R$. Une relation$ R$ est une relation d'équivalence si elle est

a)
réflexive (i.e. pour tout $ xin X$, on a $ x R x$)
b)
symétrique (i.e. on a équivalence entre $ x R x'$ et $ x' R x$ quels que soient $ x,x'in X$)
c)
transitive (i.e. les conditions $ x R x'$ et $ x' R x''$ impliquent que $ x R x''$ quels que soient $ x,x',x''in X$)

 

 

Exemples 1 [1)] Soit $ V$ l'ensemble des villes de France. On définit une relation $ R$ sur $ V$ en déclarant que $ v R v'$ signifie que $ v$ et $ v'$ se trouvent dans la même région. Il est facile de vérifier qu'il s'agit d'une relation d'équivalence.

[2)] Soit $ X={mbox{bf N}}times {mbox{bf N}}$ et définissons $ R$ par

 

$displaystyle (x,y) R (x',y') Leftrightarrow x+y'= y+x'. $

 

Par exemple, on a $ (0,1) R (1,2)$ et $ (1,2) R (2,3)$. La réflexivité et la symétrie de $ R$ résultent de la commutativité de l'addition des entiers positifs. Montrons que $ R$ est transitive. En effet, par définition, les conditions $ (x,y) R (x',y')$ et $ (x',y') R (x'',y'')$ équivalent aux équations 
$displaystyle x+y'$ $displaystyle =$ $displaystyle y + x'$
$displaystyle x' + y''$ $displaystyle =$ $displaystyle y' + x''$

En rajoutant la première à la seconde on obtient

 

$displaystyle x+y'+x'+y'' = y+x'+y'+x'' $

 

ou encore

 

$displaystyle x+y''+(x'+y') = x'' + y + (x'+y'). $

 

Or on sait que la loi d'addition sur $ {mbox{bf N}}$ est régulière c'est-à-dire qu'une égalité $ a+c=b+c$ implique $ a=b$ quels que soient $ a,b,cin{mbox{bf N}}$. Il s'ensuit que$ x+y''=x''+y$ c'est-à-dire que $ (x,y) R (x'',y'')$. Notons que dans cette démonstration, nous avons utilisé l'associativité, la commutativité et la régularité des entiers naturels.

 

Définition Soit $ X$ un ensemble et $ R$ une relation d'équivalence sur $ X$. Pour $ xin X$, on pose

 

$displaystyle ^Roverline {x} = { x'in X ;vert ; x R x' ; } subset X $

 

et on appelle classe d'équivalence de $ x$ par rapport à $ R$ cette partie de $ X$. Par définition, l'ensemble $ X/R$ est formé des classes   $ ^Roverline {x}$ d'éléments $ xin X$. On appelle$ X/R$ le quotient de $ X$ par la relation d'équivalence $ R$. On définit l'application quotient (=la projection canonique) $ q : X rightarrow X/R$ par $ q(x)=$ $ ^Roverline {x}$. Une partie de $ X$est un système de représentants pour $ R$ si elle contient un élément de chaque classe d'équivalence et un seul.

 

 

Exemples 2 [1)] Dans l'exemple des villes de France (voir ci-dessus) la classe d'équivalence d'une ville $ v$ est formée de toutes les villes qui se trouvent dans la même région que $ v$. En particulier deux classes $ overline {v}$ et $ overline {v'}$ sont égales ssi $ v$ et $ v'$ se trouvent dans la même région. Les éléments de $ V/R$ sont des ensembles de villes, deux villes étant regroupé dans un même ensemble ssi elles se trouvent dans la même région. On a donc une bijection

 

$displaystyle X/R stackrel{_sim}{rightarrow}{$régions de France$displaystyle }: , ; overline {v} mapsto$ la région où se trouve v$displaystyle . $

 

Il existe beaucoup de systèmes de représentants. Par exemple, l'ensemble $ V_0$ formé des capitales des régions en est un. L'ensemble $ V_1$ formé des villes les plus éloignées de la capitale dans leur région en est un autre.

[2)] Dans le cas de l'exemple $ X={mbox{bf N}}times {mbox{bf N}}$ et de la relation $ R$ introduite ci-dessus on vérifie que $ (x,y) R (x',y')$ si et seulement si l'une des deux conditions suivantes est remplie

  • il existe $ din{mbox{bf N}}$ tel que $ x'=x+d$ et $ y'=y+d$
  • il existe $ din{mbox{bf N}}$ tel que $ x=x'+d$ et $ y=y'+d$.
Ainsi, deux éléments appartiennent à une même classe d'équivalence si on peut passer de l'un à l'autre en ajoutant un même entier naturel aux deux coordonnées. Les classes sont donc des `parties diagonales' du plan $ {mbox{bf N}}times{mbox{bf N}}$ :

 

includegraphics[width=10.0cm height=10.0cm]{classesNN.eps}

 

Il y a beaucoup de systèmes de représentants. Par exemple

 

$displaystyle X_0 = {0}times{mbox{bf N}}cup {mbox{bf N}}times{0} = { ldots, (0,3), (0,2), (0,1), (0,0), (1,0), (2,0), ldots } $

 

en est un. On définit l'ensemble $ {mbox{bf Z}}_{ax}$ ( $ {mbox{bf Z}}$ axiomatique) comme étant l'ensemble quotient $ ({mbox{bf N}}times{mbox{bf N}}) / R$.

 

Lemme [Propriété universelle de $ X/R$] Soit $ X$ un ensemble, $ R$ une relation d'équivalence sur $ X$ et $ f:X rightarrow Y$ une application constante sur les classes d'équivalence par rapport à $ R$ (c'est-á-dire qu'on a $ f(x)=f(x')$ à chaque fois que $ x R x'$). Alors il existe une application $ g: X/R rightarrow Y$ et une seule telle que$ f=gcirc q$. Réciproquement, toute application de la forme $ gcirc q$ est constante sur les classes d'équivalence.

 

 


begin{picture}(14,8)(0,0) % multiput(0,0)(1,0){15}{ line(0,1){8}} % multi... ...3.5){makebox(0,0)[tl]{$ ;g $}} put(6,6.2){makebox(2,2){$ f $}} end{picture}

 

 

Remarque 3 Le lemme signifie que la règle $ g(overline {x})=f(x)$ définit une application $ g: X/R rightarrow Y$ si et seulement si on a $ f(x)=f(x')$ quels que soient $ x,x'in X$ vérifiant $ x R x'$.

 

 

 


Démonstration. On pose $ g(overline {x})=f(x)$. Il s'agit de vérifier que $ f(x)$ est indépendant du représantant $ x$ de la classe $ overline {x}$. Or si $ x'$ en est un autre, c'est-à-dire que$ overline {x}=overline {x'}$, alors par définition, on a $ x R x'$ et donc $ f(x)=f(x')$. $ surd$

 

 

Exemple 4 Il existe une application $ g: {mbox{bf Z}}_{ax} rightarrow {mbox{bf Z}}$ et une seule telle que $ g(overline {(x,y)})=x-y$. En effet, si $ (x,y) R (x',y')$ alors $ x+y'=y+x'$ et donc $ x-y=x'-y'$. L'application $ g$ est bijective : En effet, elle est surjective car si $ nin{mbox{bf Z}}$, on a $ n=g(overline {(n,0)})$ si $ ngeq 0$ et $ n=g(overline {(0,-n)})$ si $ n<0$. Elle est injective car si on a $ x-y=x'-y'$, alors $ x+y'=x'+y$ c'est-à-dire que $ (x,y) R (x',y')$ et que $ overline {(x,y)}=overline {(x',y')}$.

 

Lemme [Addition sur $ {mbox{bf Z}}_{ax}$] Il existe une application

 

$displaystyle {mbox{bf Z}}_{ax} times {mbox{bf Z}}_{ax} rightarrow {mbox{bf Z}}_{ax} $

 

et une seule telle que

 

$displaystyle overline {(a,b)} + overline {(c,d)} = overline {(a+c, b+d)}. $

 

 

 


Démonstration. Il s'agit de montrer que $ overline {(a+c, b+d)}=overline {(a'+c', b'+d')}$ si $ (a,b) R (a',b')$ et $ (c,d) R (c',d')$. Nous laissons au lecteur le soin de cette vérification.$ surd$

Définition Un groupe est un couple $ (G, star)$ formé d'un ensemble $ G$ et d'une application

 

$displaystyle star : Gtimes G rightarrow G : , ;(g,h) mapsto gstar h $

 

appelée la loi du groupe telle que

a)
la loi $ star$ est associative (i.e. on a $ (xstar y)star z= xstar(ystar z)$ quels que soient $ x,y,zin G$)
b)
la loi $ star$ admet un élément neutre (i.e. il existe $ ein G$ tel que $ xstar e = estar x=x$ quel que soit $ xin G$)
c)
tout élément $ x$ de $ G$ admet un inverse $ x'$ pour la loi $ star$ (i.e. on a $ xstar x'= e = x'star x$)

Un groupe $ (G, star)$ est commutatif si on a $ xstar y = y star x$ quels que soient $ x,yin G$.

 

 

Exemple 5 [1)] Si les conditons a) et b) sont vérifiées, alors l'élément neutre $ e$ est unique. En effet, soient $ e$ et $ e'$ deux éléments neutres. Alors on a $ e=estar e'$ (car $ e'$est neutre) et $ estar e'=e'$ (car $ e$ est neutre) et donc $ e=e'$.

[2)] Si les conditions a), b) et c) sont vérifiées, l'élément inverse $ x'$ de la conditon c) est unique. En effet, supposons que $ x'$ et $ x''$ sont deux éléments inverses à $ x$. Alors on a

 

$displaystyle x'=x'star e=x'star(xstar x'')= (x'star x)star x'' = estar x''=x''. $

 

On note $ x^{-1}$ l'élement inverse de $ x$.

 

 

 

Exemple 6 [1)] Le couple $ ({mbox{bf N}}, +)$ vérifie a) et b) (pour $ e=0$) mais non pas c) car l'équation $ n+n'=0$ n'admet pas de solution $ n'in{mbox{bf N}}$ si $ n>0$.

[2)] Le couple $ ({mbox{bf Z}}_{ax}, +)$ est un groupe. En effet, on vérifie facilement l'associativité. L'élément neutre est la classe de $ (0,0)$. L'inverse de la classe de $ (a,b)$ est la classe de $ (b,a)$ ! En effet, nous avons

 

$displaystyle overline {(a,b)}+overline {(b,a)} = overline {(a+b, a+b)} = overline {(0,0)}. $

 

 

Lemme [Propriété universelle de $ {mbox{bf Z}}_{ax}$] Soit $ iota$ l'application

 

$displaystyle iota :{mbox{bf N}}rightarrow {mbox{bf Z}}_{ax}: , ;n rightarrow overline {(n,0)}. $

 

On a $ iota(n+n')=iota(n)+iota(n')$ et si $ phi : {mbox{bf N}}rightarrow G$ est une autre application de $ {mbox{bf N}}$ vers un groupe $ G$ telle que $ phi(n+n')=phi(n)star phi(n')$, alors il existe une application $ psi: {mbox{bf Z}}_{ax}rightarrow G$ et une seule telle que a) $ psicirc iota = phi$ et b) $ psi(x+x')=psi(x)star psi(x')$ quels que soient $ x,x'in {mbox{bf Z}}_{ax}$.

 

 

Remarque 7 On peut interpréter ce lemme en disant que $ {mbox{bf Z}}_{ax}$ (et donc $ {mbox{bf Z}}$) est le groupe universel contenant $ {mbox{bf N}}$.

 

 

 


Démonstration. Il est immédiat que $ iota$ est additive. Supposons donnée une application $ phi$ comme dans l'énoncé. Définissons $ f: {mbox{bf N}}times{mbox{bf N}}rightarrow G$ par$ f((a,b))=phi(a)starphi(b)^{-1}$. Montrons que $ f$ induit une application $ {mbox{bf Z}}_{ax}rightarrow G$, Supposons que $ (a,b) R (a',b')$ et donc que $ a+b'=b+a'$. Alors pour montrer que

 

$displaystyle phi(a)phi(b)^{-1} = phi(a') phi(b')^{-1} $

 

il suffit de montrer que

 

$displaystyle phi(a)phi(b)^{-1} phi(b) phi(b') = phi(a') phi(b')^{-1} phi(b) phi(b'). $

 

En utilisant que $ phi(b)phi(b')=phi(b+b')=phi(b')phi(b)$ nous sommes ramenés à montrer que

 

$displaystyle phi(a)phi(b')=phi(a')phi(b) $

 

ce qui est clair car $ phi(a)phi(b')=phi(a+b')$ et $ phi(a')phi(b)=phi(a'+b)$. Montrons l'unicité de $ psi$. En effet, si $ psi$ et $ psi'$ vérifient les hypothèses, nous avons

 

$displaystyle psi(overline {(n,0)})=psicirciota(n)= phi(n)=psi'circiota(n)= psi'(overline {(n,0)}). $

 

En outre, si $ x'=overline {(0,n)}$, alors $ psi(x')$ et $ psi'(x')$ sont tous les deux inverses de $ psi(x)=psi'(x)$ où $ x=overline {(n,0)}$. Donc $ psi(x')=psi'(x')$. Comme les $ (0,n)$ et les $ (n,0)$, $ nin{mbox{bf N}}$, forment un système de représentants des classes d'équivalence par rapport à $ R$, il s'ensuit que $ psi=psi'$. $ surd$

Source : http://www.les-mathematiques.net/b/a/d/node2.php3

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