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« Intégrale de Riemann | Page d'accueil | Construction de Z à partir de N »

06/01/2010

Propriétés de l'intégrale de Riemann

Propriétés de l'intégrale de Riemann

Proposition Pour $ fin Ri ab$, on a

 

$displaystyle forall Xin S_{a,b}: s(f,X) le int_a^b f(x),rd x le S(f,X) ~. eqno{(sIS)} $

 

En particulier, on a

 

$displaystyle (b-a)inf f([a,b]) le int_a^b f(x),rd x le (b-a) sup f([a,b]) ~. eqno{(iIs)} $

 


Démonstration L'inégalité $ (sIS)$ est conséquence immédiate de la définition de $ s_a^b$ resp. $ S_a^b$. Pour montrer $ (iIs)$, il suffit de prendre $ X=set{a,b}$.

Théorème [de Chasles] Soit $ ale cle b$. Alors,

 

$displaystyle fin Ri ab iff lr(){~ fin Ri ac land fin Ri cb ~} $

 

et on a la relation de Chasles :

 

$displaystyle int_a^b f(x)dx = int_a^c f(x)dx + int_c^b f(x)dx ~. $

 


Démonstration Pour tout $ Xin S_{a,c},~Yin S_{c,b}$, on a évidemment $ Xcup Yin S_{a,b}$ et $ s(f,Xcup Y)=s(f,X)+s(f,Y)$. Ceci entraîne$ s_a^b(f)=s_a^c(f)+s_c^b(f)$. Le même s'applique à $ S_a^b(f)$. Ainsi l'intégrabilité sur $ [a,c]$ et $ [c,b]$ implique celle sur $ [a,b]$, et la relation de Chasles. Réciproquement, tout $ Zin S_{a,b}$ qui contient $ c$ se décompose en $ Xcup Y$ avec $ Xin S_{a,c},~Yin S_{c,b}$, et on a les mêmes relations pour les sommes de Darboux. Pour passer à $ s_a^b(f)$ et $ S_a^b(f)$, on peut toujours supposer $ cin Z$, quitte à l'ajouter, sans perte de généralité. On en déduit le théorème. (Exercice: détailler cette démonstration.)

Définition Pour $ b<a$, on définit

 

$displaystyle int_a^b f(x)dx = -int_b^a f(x)dx ~, $

 

et pour $ b=a$, $ int_a^af(x)dx=0$. 

Remarque Avec ces conventions, la relation de Chasles est valable quel que soit l'ordre de $ a,b,c$ (par exemple aussi pour $ a<b<c$). C'est en effet la principale motivation pour ces définitions, ce qui laisse deviner l'utilité et importance de cette relation dans les applications. 
Il convient d'être très vigilant concernant cette généralisation lorsqu'on utilise des inégalités (telles que celles de la Prop. [*]), qui ne sont généralement valables que pour$ a<b$.

Proposition $ Ri ab$ est un sous-espace vectoriel du $ R$-espace vectoriel $ R^{[a,b]}$ des fonctions de $ [a,b]$ dans $ R$, et $ I: Ri abtoR$, $ fmapstoint_a^bf(x)dx$ est une forme linéaire sur $ Ri ab$. Autrement dit, $ oin Ri ab$ et surtout

 

$displaystyle forall f,gin Ri ab,, forall a,binR: a,f + b,gin Ri ab $

 

et

 

$displaystyle int_a^bp{a,f(x)+b,g(x)}dx = aint_a^b f(x)dx + bint_a^b g(x)dx ~. $

 


Démonstration Les sommes de Darboux ne sont pas linéaires (car $ sup$ et $ inf$ ne sont pas additives). Passons donc par les sommes de Riemann, dont la linéarité,$ S(a f+b g,X,xi)=a S(f,X,xi)+ b S(g,X,xi)$, est évidente, ce qui donne, par passage à la limite $ vert Xvertto0$, le résultat souhaité. (Exercice: détailler ceci...)

Proposition Pour $ f,gin Ri ab$, ($ a<b$), on a:

$displaystyle f ge 0$ $displaystyle impl$ $displaystyle int_a^b f(x)dx ge 0 ~,$ (1)
$displaystyle f le g$ $displaystyle impl$ $displaystyle int_a^b f(x)dx le int_a^b g(x)dx ~,$ (2)
$displaystyle vert fvertin Ri ab$ et $displaystyle lrvertvert{int_a^b f(x)dx} le int_a^b vert f(x)vert dx ~.$ (3)

 


Démonstration (1): $ fge0impl s(f,X)ge0$ et $ s(f,X)leint_a^b f(x)dx$. 
(2): $ gge fimpl g-fge0stackrel{(1)}implint(g-f)ge0 stackrel{(lin)}implint ggeint f$. 

(3): on a $ -vert fvertle f le vert fvert$, avec le (2) donc $ int fleintvert fvert$ et $ -int fleintvert fvert$.

Remarque La réciproque du (1) est évidemment fausse, $ int fge0$ n'implique pas $ fge0$. (Contre-exemple: $ sin x$ sur $ [-pi,pi]$.)

Remarque Dans le cas $ forall fin Ri ab$, $ fge0$, on a que $ int_a^b f(x)dx$ est l'aire de l'épigraphe

 

% latex2html id marker 4180 $displaystyle E = set{, (x,y)inR^2 mid xin[a,b] text{ et } 0le yle f(x) ,} ~. $

 

Théorème [de la moyenne] Soit $ fin CC([a,b])$ (fonction continue de $ [a,b]toR$). Alors

 

% latex2html id marker 4186 $displaystyle exists cin[a,b]:underbrace{ frac1{b-a}int_a^b f(x)dx }_{text{moyenne de $f$ sur $[a,b]$}} = f(c) $

 

Démonstration $ f$ étant continue, on a

 

% latex2html id marker 4190 $displaystyle exists x_i,x_sin[a,b]: f(x_i)=inf f([a,b]), f(x_s)=sup f([a,b]) ~. $

 

D'après l'éq. $ (iIs)$,

 

$displaystyle f(x_i) le frac1{b-a} int_a^b f(x)dx le f(x_s) ~. $

 

D'après le thm. des valeurs intermédiaires appliqué à $ f$ (continue) entre $ x_i$ et $ x_s$, on a % latex2html id marker 4202 $ exists cinlr][{x_i,x_s}$ (ou $ lr][{x_s,x_i}$) tel que

 

$displaystyle f(c) = frac1{b-a} int_a^b f(x)dx ~. $

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