06/01/2010
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Propriétés de l'intégrale de Riemann
En particulier, on a
Démonstration L'inégalité est conséquence immédiate de la définition de resp. . Pour montrer , il suffit de prendre .
Théorème [de Chasles] Soit . Alors,
et on a la relation de Chasles :
Démonstration Pour tout , on a évidemment et . Ceci entraîne. Le même s'applique à . Ainsi l'intégrabilité sur et implique celle sur , et la relation de Chasles. Réciproquement, tout qui contient se décompose en avec , et on a les mêmes relations pour les sommes de Darboux. Pour passer à et , on peut toujours supposer , quitte à l'ajouter, sans perte de généralité. On en déduit le théorème. (Exercice: détailler cette démonstration.)
et pour , .
Remarque Avec ces conventions, la relation de Chasles est valable quel que soit l'ordre de (par exemple aussi pour ). C'est en effet la principale motivation pour ces définitions, ce qui laisse deviner l'utilité et importance de cette relation dans les applications.
Il convient d'être très vigilant concernant cette généralisation lorsqu'on utilise des inégalités (telles que celles de la Prop. ), qui ne sont généralement valables que pour.
Proposition est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel des fonctions de dans , et , est une forme linéaire sur . Autrement dit, et surtout
et
Démonstration Les sommes de Darboux ne sont pas linéaires (car et ne sont pas additives). Passons donc par les sommes de Riemann, dont la linéarité,, est évidente, ce qui donne, par passage à la limite , le résultat souhaité. (Exercice: détailler ceci...)
Démonstration (1): et .
(2): .
(3): on a , avec le (2) donc et .
Remarque La réciproque du (1) est évidemment fausse, n'implique pas . (Contre-exemple: sur .)
Remarque Dans le cas , , on a que est l'aire de l'épigraphe
Théorème [de la moyenne] Soit (fonction continue de ). Alors
Démonstration étant continue, on a
D'après l'éq. ,
D'après le thm. des valeurs intermédiaires appliqué à (continue) entre et , on a (ou ) tel que
15:36 Publié dans Propriétés de l'intégrale de Riemann | Lien permanent | Commentaires (0) | Tags : propriétés de l'intégrale de riemann, riemann | | del.icio.us | | Digg | Facebook