Intégrale de Riemann

Intégrale de Riemann

Le programme ne précise pas si la définition de l'intégrale de Riemann doit figurer dans le cours. Certains collègues commencent ce cours directement avec la définition de la primitive d'une fonction, et  Ainsi, le théorème fondamental de l'analyse, qui établit le lien entre l'intégration et la dérivation, devient trivial.

A mon avis, ce cours est quand même l'occasion ou jamais de définir l'intégrale de Riemann. Même si on passe sur les détails, on peut donner les trois définitions de ce premier chapitre et évoquer l'interprétation géométrique qui est très liée à la définition des sommes de Darboux.

 

Subdivisions et sommes de Darboux

Définition Une subdivision d'ordre  d'un intervalle  est une partie finie  telle que

 

 

On notera  l'ensemble des subdivisions de . 

Exemple [subdivision équidistante] Lorsque  avec , on parle de la subdivision équidistante d'ordre  de ; on la note parfois . Le nombre  est le pas (uniforme) de cette subdivision.

Définition La somme de Darboux inférieure resp. supérieure de  relativement à une subdivision sont définies par

 

resp.

 

où  est la longueur du  sous-intervalle . 

Les sommes de Darboux sont des réels bien définis ssi la fonction  est bornée, .

Sauf mention du contraire, dans tout ce qui suit, les fonctions considérées seront toujours bornées sur l'intervalle en question, sans que celà soit nécessairement dit explicitement.

Remarque Etudier l'interprétation géométrique des sommes de Darboux comme aire des rectangles de base , encadrant l'épigraphe de  de en-dessous resp. au-dessus.

 

 

 

Exercice Montrer qu'en ajoutant un point  (entre  et ) à , la somme de Darboux inférieure (resp. supérieure) croît (resp. décroît). En déduire qu'on a

 

et

 

Utiliser le résultat précédent et la subdivision pour montrer que

 

 

Solution .

Remarque Lorsque  pour , on dit que  est plus fine que . (C'est une relation d'ordre partiel sur .)

 

Fonctions Riemann-intégrables, intégrale de Riemann

Définition La fonction  est Riemann-intégrable sur  ssi les deux nombres

 

 

coïncident ; ce nombre est alors appellé l'intégrale de Riemann de  sur  (ou de  à ), et noté . 
L'ensemble des fonctions Riemann-intégrables sur  est noté . 

Remarque L'existence de  et  est évidente: il suffit de constater que les ensembles  et  sont non-vides (prendre ) et majorés resp. minorés d'après l'exercice précédent. On peut aussi montrer que  et  sont atteints lorsque le pas de la subdivision,  tend vers zéro. La taille de ce pas induit la structure d'une base de filtre sur , permettant de considérer la limite de et  en .

Remarque Revenir sur l'interprétation géométrique de  et , en considérant la limite de subdivisions de plus en plus fines.

Remarque La ``variable d'intégration''  dans  est une ``variable muette'', elle peut être remplacée par n'importe quelle autre variable (qui n'intervient pas déjà ailleurs dans la même formule).

Donnons encore une propsition d'ordre plutôt technique, avant d'énoncer une condition d'intégrabilité suffisante dans tous les cas que nous allons rencontrer.

Proposition (Critère d'intégrabilité de Riemann.) Une fonction  est Riemann-intégrable sur  ssi pour tout  il existe une subdivision  telle que.

Démonstration Par déf. de  et ,  et . Avec , il vient que . Donc si , on a la subdivision souhaitée. Réciproquement, si une telle subdivision existe pour tout , alors  et  coïncident évidemment.

Théorème Toute fonction monotone ou continue sur un intervalle  est Riemann-intégrable.

Démonstration Si  est monotone, le  et  est atteint au bord de chaque sous-intervalle . On a donc. Il suffit donc de choisir le pas de la subdivision assez petit, , pour que ceci soit inférieur à un  donné, d'où l'intégrabilité d'après le critère de Riemann. 
Pour une fonction continue, la démonstration est admise dans le cadre de ce cours. A titre indicatif:  est à remplacer par , où sont les points de l'intervalle fermé et borné  en lesquels la fonction continue  atteint son maximum et minimum. On utilise maintenant le fait qu'une fonction continue sur  y est uniformément continue, pour  donné il existe  (indépendant du point ) tel que. Donc, pour , on a . Ceci devient aussi petit que voulu, car on peut prendre des subdivisions équidistantes pour lesquelles , il suffit donc de prendre  assez petit. 
Pour montrer qu'une fonction continue est uniformément continue sur un intervalle borné , on peut utiliser que l'ensemble des boules ouvertes  telles que, est un recouvrement ouvert de , dont on peut extraire un recouvrement fini d'après le théorème de Heine-Borel. Le minimum de ces  correspond au  de l'uniforme continuité (au pire pour  au lieu de ). 
(Pour une démonstration du théorème de Heine-Borel, voir ailleurs...)

Corollaire De même, une fonction (bornée!) continue sauf en un nombre fini de points, ou monotone sur chaque sous-intervalle d'une partition finie de , est Riemann-intégrable. (On peut en effet utiliser l'additivité des sommes de Darboux,  pour  qui entraîne celle de  et de même pour .)

Remarque [fonction de Dirichlet] La fonction de Dirichlet,

 

 

n'est pas Riemann-intégrable, car on a

 

 

En effet, sur chaque  il existe un point irrationnel, donc , mais aussi un point rationnel, d'où . Ainsi  et est somme des longeurs des sous-intervalles et donc égale à .

Remarque Le pas uniforme des subdivisions équidistantes simplifie beaucoup l'expression des sommes de Darboux (exercice!). 
On peut montrer que pour , on a

 

 

La réciproque est vraie si  est continue.

 

Sommes de Riemann

Les sommes de Darboux ne sont pas très utiles pour le calcul effectif d'une intégrale, par exemple à l'aide d'un ordinateur, car il est en général assez difficile de trouver les inf et sup sur les sous-intervalles. On considère plutôt

 

ou 

 

Plus généralement:

Définition Si  vérifie , on appelle  une subdivision pointée et

 

 

la somme de Riemann associée à la subdivision pointée . Si on pose de plus , on a

 

 

c'est de là que vient la notation . 

Théorème Si , alors les sommes de Riemann tendent vers , independamment du choix des , lorsque la subdivision devient de plus en plus fine.

Démonstration Par définition, il est évident que . Soit  et  tel que . Alors on a aussi, quel que soit le choix des , et a fortiori pour tout . D'où le résultat.

Si  est continue,  atteint son minimum et maximum sur chaque  en un certain  et . On obtient donc les sommes de Darboux comme cas particulier des sommes de Riemann, en associant à chaque  des points  tels que .

En particulier, lorsque la fonction est monotone, par exemple croissante, sur un sous-intervalle , alors  et . Les sommes de Riemann  et  données en début de ce paragraphe coïncident donc avec les sommes de Darboux inférieure et supérieure pour une fonction croissante.

 

Source : http://www.les-mathematiques.net/a/d/a/node2.php3#SECTION...