Nombres premiers et décomposition en produit de facteurs premiers

Nombres premiers et décomposition en produit de facteurs premiers

 

Théorie des nombres -- Nombres premiers
Théorie des nombres -- Factorisation

 

 

  Un nombre entier p positif supérieur strict à 1 est dit premier s'il n'admet que 2 diviseurs positifs : 1 et p (remarquons que 1 n'est pas premier). Dans le cas contraire, cet entier est dit composé.
Ex : 7 est premier. 24 est composé : 2 divise 24.

  Tout entier positif n>1 s'écrit comme produit de nombres premiers, et cette écriture est unique : on dit que l'on réalise ainsi sa décomposition en produit de facteurs premiers.
Ex : 24=2³×3.

 

  C'est à Euclide que l'on doit la première démonstration de l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers : s'il en existait juste un nombre fini p₁,...,p_r, on pose m=p₁...p_r+1, et q un facteur premier de m. Alors q n'est pas égal à un des p_i, car si p_i divise m, alors, puisque p_i divise le produit p₁...p_r, p_i divise 1, ce qui est absurde. Donc q est un nombre premier différent de p₁,...,p_r, ce qui contredit qu'il n'en existe qu'un nombre fini. Par le crible d'Erathostène, on peut écrire tous les nombres premiers inférieurs à une certaine quantité.

 

  Les nombres premiers sont redevenus récemment un sujet fort à la mode, en particulier pour leur utilisation dans la cryptographie RSA.

Consulter aussi...

    •Biographie de Euclide

 

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Nombres p-adiques

Nombres p-adiques

Théorie des nombres
Algèbre -- Anneaux
Algèbre -- Corps
Analyse -- Topologie -- Vocabulaire général

  Comme les nombres réels sont construits à partir des nombres rationnels en complétant Q pour la topologie induite par la valeur absolue, les nombres p-adiques sont obtenus en complétant Q, mais pour une topologie différente, celle induite par la distance p-adique.  On fixe donc un premier p et on définit la norme p-adique de la façon suivante :

• Si n est un entier, la valuation p-adique de n, notée v_p(n), est l'exposant de p dans la décomposition en produit de facteurs premiers de n.
• Si r=a/b est un rationnel, on pose v_p(r)=v_p(a)-v_p(b). Ceci ne dépend pas du représentant a/b choisi pour la fraction r.
• On pose aussi v_p(0)=0.
• La norme p-adique d'un rationnel r est alors défini par :

|.|_p est une norme sur Q, avec des propriétés très différentes de la valeur absolue. Par exemple,

• Plus |r|_p est petit, plus une grande puissance de p divise r. Ainsi, un rationnel peut avoir une très grande valeur absolue, et une très petite distance p-adique. Ainsi :
• La distance p-adique définie sur Q par d_p(x,y)=|x-y|_p est une distance ultra-métrique :

Définition : Le corps des nombres p-adiques, noté Q_p, est le complété de Q pour la norme p-adique.

  On peut encore décrire autrement les nombres p-adiques. Si n est un entier positif, il s'écrit de façon unique sous la formeLa suite (a_i) est définie par

• a₀ est l'entier de {0,...,p-1} qui est congru à n modulo p;
• a_j+1 est l'entier de {0,...,p-1} qui est congru àmodulo p.

Les nombres p-adiques sont ceux qui s'écriventCette série est convergente pour la distance p-adique. L'écriture précédente s'appelle décomposition de Hensel de r.  Finalement, l'ensemble des entiers p-adiques, noté Z_p, est l'ensemble des r de Q_p s'écrivantC'est un sous-anneau de Q_p.Les nombres p-adiques ont été introduits par Hensel en 1897. Son idée était de pouvoir utiliser la théorie des séries entières en arithmétique. Depuis, toute une branche des mathématiques, l'analyse p-adique, s'est développée sur ses idées.

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Adhérence (mathématiques)

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 Pour les articles homonymes, voir Adhérence.

En topologie, l'adhérence d'une partie d'un espace topologique est le plus petit ensemble fermé contenant cette partie. On retrouve cette notion particulièrement dans la convergence de suites dans les espaces métriques avec la notion de valeur d'adhérence.

Sommaire

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• 1 Définitions
• 2 Caractérisations
  • 2.1 Ensemble des points adhérents
  • 2.2 Espaces métriques et suites
• 3 Exemples
• 4 Densité
• 5 Pièges
  • 5.1 Boules ouvertes et boules fermées
  • 5.2 Un point c'est petit
• 6 Voir aussi

Définitions [modifier]

En topologie, l'adhérence d'une partie X d'un espace topologique E est le plus petit ensemble fermé de E qui contienne X.

L'existence d'un tel fermé est claire : il existe au moins un fermé contenant X, à savoir l'espace E lui-même ; d'autre part, l'intersection de tous les fermés contenant X est un fermé contenant X, et est le plus petit ayant cette propriété.

L'adhérence de X est aussi appelée fermeture de X et se note souvent .

On dit d'un point x de E qu'il est adhérent à X lorsque tout voisinage de x rencontre X.

Caractérisations [modifier]

Ensemble des points adhérents [modifier]

Article détaillé : point adhérent.

L'adhérence de X est égale à l'ensemble des points qui lui sont adhérents.

En effet :

1. Si le point x de E est adhérent à X, il ne peut appartenir à l'ouvert , car celui-ci serait alors un voisinage de x ne rencontrant pas X ; donc il appartient à .
2. Si le point x de E n'est pas adhérent à X, il existe un voisinage de x qui ne rencontre pas X ; ce voisinage contient un ouvert U qui contient x et ne rencontre pas X. Il s'ensuit que le complémentaire de U dans E est un fermé qui contient X, et donc qui contient . Puisque x est dans U, x n'est pas dans .

Intuitivement, l'adhérence d'une partie X contient tous les points de l'espace qui sont dans X ou qui sont trop près de X pour que l'on puisse y « bricoler » localement sans toucher à X.

Espaces métriques et suites [modifier]

Dans un espace métrique (la topologie est issue d'une distance sur l'espace considéré), l'adhérence d'un ensemble X de E est l'ensemble contenant toutes les limites de suitesconvergentes dans E et formées des éléments de X.

Exemples [modifier]

Caractère archimédien de  : l'ensemble des réels  est l'adhérence de l'ensemble des rationnels . En effet, tout ouvert contenant un irrationnel contient un rationnel. Tout irrationnel est donc dans l'adhérence de .

L'adhérence d'un intervalle de , c'est l'intervalle fermé de mêmes bornes : l'adhérence de  est l'intervalle .

Assez souvent on parle de  comme adhérence de , mais cette notion veut simplement dire qu'on étend la notion de convergence aux valeurs infinies : ainsi la suite des entiers converge dans  vers . Cela permet de donner un sens différent à la notion de divergence : ce qui diverge n'admet pas de limite, fût elle infinie. C'est le concept de droite réelle achevée.

Densité [modifier]

Article détaillé : Densité (mathématiques).

On dit qu'une partie X d'un espace topologique E est dense lorsque son adhérence est l'espace E tout entier. Une telle partie se caractérise donc par le fait que tout ouvert non vide en contient un point.

Ainsi, le caractère archimédien de  fait que  est dense dans .

Un point x de X est dense si {x} est dense. On l'appelle parfois aussi point générique.

Intuitivement, les parties denses d'un espace sont donc des parties qui sont très grosses : on ne peut pas les éviter.

Pièges [modifier]

Boules ouvertes et boules fermées [modifier]

Dans un espace métrique, on définit des boules ouvertes et des boules fermées, et la tentation est grande d'utiliser  dans ce cadre. Il est vrai que dans un certain nombre de cas, cela marche bien, notamment les  avec la distance usuelle, et plus généralement pour la distance  dans un espace vectoriel normé...

Néanmoins, c'est faux en général ; voyons l'exemple le plus simple : soit un ensemble E, avec au moins deux éléments. On définit une métrique dessus ainsi : la distance entre deux points distincts est 1. La boule ouverte de rayon 1 centrée en un point est donc ce point. La boule fermée de rayon 1 centrée en un point est donc l'espace entier. L'adhérence de la boule ouverte de rayon 1 centrée en un point est le point.

Si dans le cadre d'espaces vectoriels sur  ou  normés de dimension finie, les propriétés de l'adhérence restent assez intuitives, il faut aussi se méfier des caractéristiques des espaces de dimension infinie.

Un point c'est petit [modifier]

Considérons l'ensemble  des entiers naturels. On y définit une topologie (via des fermés) de la façon suivante :

• un ensemble fini d'entiers non nuls est fermé ;
• l'espace entier est fermé.

Dans ce cas, l'adhérence de {0} est l'espace  tout entier, ce qui signifie qu'on ne peut pas mettre le point 0 de côté pour travailler au voisinage d'un autre point. C'est un point dense/générique.

NB : en géométrie algébrique, ce genre de situation est très courant, car l'espace de base, le spectre d'anneau, vérifie souvent ce genre de propriétés ; en fait, cet exemple esthoméomorphe à  par simple substitution des nombres premiers aux entiers non nuls.

Voir aussi [modifier]

• Point adhérent (les divers types de points de l'adhérence)
• Intérieur (notion duale de celle d'adhérence)
• Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe (le cas particulier des convexes)
• Valeur d'adhérence

•  Portail des mathématiques

Catégorie : Topologie générale | [+]

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Glossaire de topologie

(Redirigé depuis Glossaire topologique)

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Ceci est un glossaire de quelques termes utilisés en topologie.

Ce glossaire est divisé en deux parties. La première traite des concepts généraux, et la seconde liste différents types d'espaces topologiques. Dans ce glossaire, tous les espaces sont supposés topologiques.

Sommaire

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• 1 Généralités
  • 1.1 A
  • 1.2 B
  • 1.3 C
  • 1.4 D
  • 1.5 E
  • 1.6 F
  • 1.7 G
  • 1.8 H
  • 1.9 I
  • 1.10 K
  • 1.11 L
  • 1.12 M
  • 1.13 N
  • 1.14 O
  • 1.15 P
  • 1.16 Q
  • 1.17 R
  • 1.18 S
  • 1.19 T
  • 1.20 U
  • 1.21 V
• 2 Propriétés d'espaces topologiques
  • 2.1 Axiomes de séparation
  • 2.2 Axiomes de recouvrement
  • 2.3 Connexité

Généralités [modifier]

A [modifier]

Accessible : voir l'axiome de séparation T₁.

Adhérence

L'adhérence ou fermeture d'une partie d'un espace topologique est le plus petit fermé contenant celle-ci. Un point est dit adhérent à une partie s'il appartient à son adhérence.

Voir aussi Valeur d'adhérence.

B [modifier]

Base ou base d'ouverts

Une base d'un espace topologique est un ensemble d'ouverts dont les réunions sont tous les ouverts de la topologie. En particulier, une base d'ouverts est une base de voisinages.

Un espace est dit à base dénombrable s'il admet une base d'ouverts dénombrable.

Base de voisinages : voir Système fondamental de voisinages.

Boule

Dans un espace métrique, la boule ouverte (respectivement fermée) de centre x et de rayon r (réel strictement positif) est l'ensemble des points situés à une distance de xstrictement inférieure (respectivement inférieure ou égale) à r.

Dans un espace vectoriel normé, la boule unité (ouverte ou fermée) est la boule (ouverte ou fermée) de centre 0 et de rayon 1.

C [modifier]

Cauchy : voir Suite de Cauchy.

Compact : voir les axiomes de recouvrement.

Complet

Un espace métrique est dit complet si toute suite de Cauchy est convergente.

Complètement de Hausdorff : voir l'axiome de séparation T_2½.

Complètement normal : voir l'axiome de séparation T₅.

Complètement régulier : voir l'axiome de séparation T_3½.

Composante connexe

La composante connexe d'un point est la plus grande partie connexe de l'espace contenant ce point. C'est l'union de toutes les parties connexes contenant ce point.

Connexe, connexe par arcs : voir les notions de connexité.

Continu

Une application entre espaces topologiques est dite continue lorsque l'image réciproque de chaque ouvert est un ouvert.

Contractile : voir les notions de connexité.

Convergent

Une suite dans un espace séparé est dite convergente s'il existe un point (appelé limite de la suite) dont chaque voisinage contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

D [modifier]

Dense

Une partie dense d'un espace topologique est une partie dont l'adhérence est l'espace tout entier.

Dérivé

L'ensemble dérivé P' d'un partie P d'un espace topologique est l'ensemble de ses points d'accumulation.

Discontinu

Une application entre espaces topologiques est dite discontinue si elle n'est pas continue.

Voir aussi Totalement discontinu.

Discret

Un espace topologique est dit discret si toutes ses parties sont des ouverts. En particulier, il est totalement discontinu.

Distance

Une distance sur un ensemble E est une application  satisfaisant les propriétés suivantes :

1. la symétrie : pour tout couple (x, y) d'éléments de E, d(x,y) = d(y,x) ;
2. la séparation : pour tout couple (x, y) d'éléments de E, d(x,y) = 0 si et seulement si x = y ;
3. l'inégalité triangulaire : pour tout triplet (x, y, z) d'éléments de E, .

E [modifier]

Engendrée : voir Topologie engendrée.

Espace de Fréchet

1. Un espace de Fréchet est un espace topologique satisfaisant l'axiome de séparation T₁.
2. Certains espaces vectoriels topologiques sont aussi dits de Fréchet.

Espace de Hausdorff : voir l'axiome de séparation T₂.

Espace de Kolmogorov : voir l'axiome de séparation T₀.

Espace de Tychonoff : voir l'axiome de séparation T_3½.

Espace métrique

Un espace métrique est un couple (E,d), où E est un ensemble, et d une distance sur E. Voir aussi métrisable.

Espace polonais

Un espace polonais est un espace séparable et métrisable par une distance pour laquelle il est complet.

Espace topologique

Un espace topologique est un ensemble E muni d'une topologie.

F [modifier]

Faiblement normal : voir les axiomes de séparation.

Fermé

1. Une partie d'un espace topologique est dite fermée lorsque son complémentaire est un ouvert.
   L'ensemble vide et l'espace sont donc des fermés. L'union de deux fermés est un fermé et l'intersection d'une famille quelconque de fermés est un fermé.
2. En géométrie, une courbe est dite fermée lorsqu'elle est périodique.

Fermeture : voir Adhérence.

Filtre : Un filtre sur un ensemble E est un ensemble non vide de parties non vides de E qui est stable par sur-parties et intersections finies. Dans un espace topologique, les voisinages d'un point forment un filtre.

Fin

Une topologie est plus fine qu'une autre sur le même ensemble si tout ouvert pour la deuxième est ouvert pour la première.

Fonctionnellement séparés

Deux parties A et B d'un espace topologique X sont dites fonctionnellement séparées lorsqu'il existe une fonction continue f : X → [0,1] telle que f_|A=0 et f_|B = 1.

Fréchet : voir l'axiome de séparation T₁, ou le type d'espace vectoriel topologique dit de Fréchet.

Frontière

La frontière d'une partie d'un espace topologique est le complémentaire de son intérieur dans son adhérence, autrement dit l'ensemble des points qui sont adhérents à la fois à cette partie et à son complémentaire. C'est un fermé.

Fσ : Une partie d'un espace topologique est un Fσ si c'est une réunion dénombrables de fermés.

G [modifier]

G_δ : Une partie d'un espace topologique est un G_δ si c'est une intersection dénombrables d'ouverts.

Grossière : voir Topologie grossière.

H [modifier]

Hausdorff : : voir l'axiome de séparation T₂ ou Séparé.

Homéomorphisme

Un homéomorphisme entre deux espaces est une bijection continue à réciproque continue. Deux espaces entre lesquels il existe un homéomorphisme sont dits homéomorphes.

Homogène

Un espace est dit homogène si le groupe des automorphismes agit transitivement, autrement dit si pour tout couple de points il existe un homéomorphisme de l'espace sur lui-même qui envoie le premier point sur le deuxième. Tous les groupes topologiques, en particulier les espaces vectoriels topologiques, sont des espaces homogènes.

Homotopie

Une homotopie entre deux applications continues  est une application continue  telle que . Les applications f et g sont alors dites homotopes.

I [modifier]

Induite : voir Topologie induite.

Intérieur

L'intérieur d'une partie d'un espace topologique est la réunion de tous les ouverts contenus dans cette partie. C'est donc le plus grand ouvert contenu dans cette partie, ou le complémentaire de l'adhérence de son complémentaire. Un point est intérieur à une partie si et seulement si cette partie est un voisinage du point.

Isolé : voir Point isolé.

K [modifier]

Kolmogorov : voir l'axiome de séparation T₀ ou Espace de Kolmogorov.

L [modifier]

Limite

La limite d'une suite convergente est son unique valeur d'adhérence.

Lindelöf : voir l'axiome de recouvrement Espace de Lindelöf.

Localement : voir Propriété locale.

• Localement compact : voir les axiomes de recouvrement.
• Localement connexe ou localement connexe par arcs : voir les notions de connexité.
• Localement fini

Une famille de parties d'un espace topologique est dite localement finie lorsque chaque point possède un voisinage qui ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments de la famille. Une famille dénombrablement localement finie est une union dénombrable de familles localement finies.

• Localement métrisable

Un espace est dit localement métrisable lorsque chaque point admet un voisinage métrisable.

M [modifier]

Maigre

Une partie d'un espace topologique est dite maigre lorsqu'elle est contenue dans une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide.

Métrique : voir Espace métrique.

Métrisable

Un espace est dit métrisable lorsqu'il peut être muni d'une distance dont les boules forment une base d'ouverts. Un espace métrisable est nécessairement paracompact etparfaitement normal. Voir les conditions de métrisabilité.

Moins fine : voir Topologie moins fine.

N [modifier]

Normal : voir les axiomes de séparation.

O [modifier]

Ouvert

Un ouvert est un élément d'une topologie.

Un recouvrement est dit ouvert lorsque tous ses éléments sont des ouverts.

Une application entre espaces topologiques est dite ouverte lorsque l'image de chaque ouvert est un ouvert.

P [modifier]

Paracompact : voir les axiomes de recouvrement.

Parfait

Un ensemble parfait d'un espace topologique est une partie fermée sans point isolé.

Parfaitement normal : voir les axiomes de séparation.

Partition de l'unité

Une partition de l'unité sur un espace topologique est un ensemble de fonctions continues à valeurs dans [0,1] tel que chaque point possède un voisinage sur lequel seul un nombre fini de ces fonctions ne sont pas constamment nulles et la somme des restrictions de celles-ci est constante égale à 1.

Plus fine : voir Topologie plus fine.

Point d'accumulation

Si A est une partie d'un espace topologique, un point d'accumulation de A est un point x dont tout voisinage contient un point de A distinct de x. Autrement dit, un point x est un point d'accumulation de A si et seulement s'il est adhérent à A − {x}.

Point isolé

Dans un espace séparé, un point isolé d'une partie A est un point x de A pour lequel il existe un voisinage qui ne rencontre A qu'au point x. Autrement dit, c'est un point de A qui n'est pas point d'accumulation de A.

Polonais : voir Espace polonais.

Prébase

Une prébase d'une topologie est un ensemble d'ouverts dont l'ensemble des intersections finies constitue une base.

Produit : voir Topologie produit.

Q [modifier]

Quasi-compact : voir les axiomes de recouvrement.

Quotient

Voir Topologie quotient.

R [modifier]

Raffinement

Un raffinement d'un recouvrement  est un recouvrement dont chaque élément est inclus dans un élément de .

Rare

Une partie d'un espace topologique est dite rare ou nulle part dense lorsque son adhérence est d'intérieur vide, c'est-à-dire lorsque le complémentaire de son adhérence est dense.

Recouvrement

Un recouvrement d'un espace topologique est une famille de parties dont l'union est l'espace tout entier. Un recouvrement est dit ouvert lorsque tous ses éléments sont des ouverts.

Relativement compact

Une partie d'un espace topologique est dite relativement compacte lorsque son adhérence est compacte.

Régulier : voir l'axiome de séparation T₃.

S [modifier]

Séparable

Un espace séparable est un espace qui admet une partie dense dénombrable.

Un espace séparé n'est pas nécessairement séparable et réciproquement.

Séparant

Une famille d'applications continues entre deux espaces topologiques X et Y est dite séparante si tout couple de points distincts dans X a des images séparées dans Y par au moins l'une de ces applications.

L'espace X est alors nécessairement séparé.

Séparé : voir l'axiome de séparation T₂.

Simplement connexe : voir les notions de connexité.

Sous-recouvrement

Un sous-recouvrement d'un recouvrement K est une partie de K qui est aussi un recouvrement.

Système fondamental de voisinages

Un système fondamental de voisinages d'un point est un ensemble  de voisinages de ce point tel que tout autre voisinage de ce point contient un élément de .

Suite de Cauchy

Dans un espace métrique, une suite de Cauchy est une suite de points telle que pour tout réel strictement positif a il existe un rang de la suite à partir duquel la distance entre deux images quelconques de la suite est toujours inférieure à a.

T [modifier]

T₀, T₁, T₂, T_2½, T₃, T_3½, T₄, T₅ : voir les axiomes de séparation.

Topologie

Une topologie sur un ensemble E est un ensemble T de parties de E tel que :

1. l'ensemble E lui-même et l'ensemble vide sont des éléments de T ;
2. la réunion de toute famille d'éléments de T est un élément de T ;
3. l'intersection de deux éléments de T est un élément de T.

Les éléments de T sont appelés les ouverts de cette topologie.

Topologie discrète

La topologie discrète sur un ensemble E est la topologie dont les ouverts sont toutes les parties de E. C'est la plus fine de toutes les topologies sur E.

Topologie engendrée

La topologie engendrée par un ensemble  de parties d'un ensemble est celle dont les ouverts sont les réunions quelconques d'intersections finies d'éléments de . L'ensemble constitue une prébase de la topologie engendrée.

Topologie grossière

La topologie grossière sur un ensemble E est la topologie dont les seuls ouverts sont l'ensemble vide et l'ensemble E. C'est la moins fine de toutes les topologies sur E.

Topologie induite

La topologie induite sur une partie A d'un espace topologique E est l'ensemble des intersections de A avec les ouverts de E. C'est la topologie la moins fine sur A rendant continue l'injection canonique de A dans E.

Topologie moins fine

Soient T, T' deux topologies sur le même ensemble E. La topologie T est moins fine que la topologie T' si tout ouvert de T est ouvert de T'. Cela équivaut à la continuité de l'application identique de (E,T') dans (E,T).

Topologie plus fine

Soient T, T' deux topologies sur le même ensemble E. La topologie T est plus fine que la topologie T' si tout ouvert de T' est ouvert de T. Cela équivaut à la continuité de l'application identique de (E,T) dans (E,T').

Topologie produit

La topologie produit sur un produit quelconque d'espaces topologiques  est la topologie engendrée par les  où un nombre fini d'éléments U_i sont des ouverts des espaces topologiques correspondants et les autres sont les espaces E_i correspondants.

C'est la topologie la moins fine rendant continues toutes les projections .

Topologie quotient

Si E est un espace topologique et  une relation d'équivalence sur E, la topologie quotient sur l'ensemble quotient  est l'ensemble des parties de  dont lespréimages sont des ouverts de E. C'est la topologie la plus fine rendant continue la projection canonique, qui à tout élément de E associe sa classe d'équivalence..

Topologique : voir Espace topologique.

Totalement discontinu : voir les notions de connexité.

Tychonoff : voir l'axiome de séparation T_3½ ou Complètement régulier.

U [modifier]

Uniformisable : dont la topologie est induite par une structure d'espace uniforme ; voir l'axiome de séparation T_3½ ou Complètement régulier.

V [modifier]

Valeur d'adhérence

Une valeur d'adhérence d'une suite de points d'un espace topologique est un point dont tout voisinage contient une infinité de termes de la suite. Si tout point admet une base dénombrable de voisinages, une valeur d'adhérence est la limite d'une sous-suite.

Voisinage

Un voisinage d'une partie A d'un espace topologique est un ensemble contenant un ouvert contenant lui-même A. En particulier, un voisinage ouvert de A est simplement un ouvert contenant A. Un voisinage d'un point p est un voisinage du singleton {p}.

Propriétés d'espaces topologiques [modifier]

Les espaces topologiques peuvent être qualifiés de différentes manières en termes de séparation, de recouvrements ou de connexité.

Axiomes de séparation [modifier]

Article détaillé : Axiome de séparation (topologie).

Certains des termes employés ici peuvent avoir été définis autrement dans la littérature ancienne (voir l'histoire des axiomes de séparation).

T₀ ou de Kolmogorov : dans lequel pour tout couple de points distincts, il existe un voisinage de l'un qui ne contient pas l'autre.

T₁ ou accessible ou de Fréchet : dont tous les singletons sont fermés.

T₂ ou de Hausdorff ou séparé : dans lequel deux points distincts admettent toujours des voisinages disjoints.

T_2½ ou complètement de Hausdorff : dans lequel deux points distincts admettent toujours des voisinage fermés disjoints.

Régulier : séparé et dont tout point admet une base de voisinages fermés.

Complètement régulier ou de Tychonoff : séparé et uniformisable, ou encore : sous-espace d'un compact.

Faiblement normal : complètement régulier et dans lequel deux ouverts disjoints quelconques ont deux voisinages fermés disjoints dont l'un est à base dénombrable.

Normal : séparé et dans lequel deux fermés disjoints quelconques possèdent toujours des voisinages disjoints. Le lemme d'Urysohn garantit alors que ces deux fermés sontfonctionnellement séparés.

Complètement normal : dont tout sous-espace est normal.

Parfaitement normal : séparé et dont tout fermé est le lieu d'annulation d'une fonction continue réelle.

Axiomes de recouvrement [modifier]

Les axiomes de recouvrement traitent de l'existence de raffinements ou de sous-recouvrements particuliers pour un recouvrement quelconque de l'espace considéré.

Paracompact : espace séparé dont tout recouvrement ouvert admet un raffinement localement fini.

Lindelöf : dont tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement dénombrable.

Quasi-compact : dont tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini.

Compact : quasi-compact et séparé.

Le terme compact est utilisé en anglais pour décrire un quasi-compact. Le risque de confusion peut alors amener à préciser « compact Hausdorff » pour désigner l'acception française.

Voir aussi Relativement compact.

σ-compact ou sigma-compact : recouvert par une famille dénombrable de parties compactes.

Localement compact : séparé, et dont chaque point admet un système fondamental de voisinages compacts.

Séquentiellement compact : dans lequel toute suite admet au moins une valeur d'adhérence.

Connexité [modifier]

Les hypothèses de connexité décrivent la cohésion de l'espace ou de certains voisinages, ou l'existence de déformations (homotopies) entre certaines applications continues vers l'espace considéré.

Connexe : qui n'est pas l'union disjointe de deux ouverts non vides.

Voir aussi Composante connexe.

Localement connexe : dont chaque point admet un système fondamental de voisinages connexes.

Totalement discontinu : dont les seules parties connexes sont les singletons.

Connexe par arcs : dont tout couple de points (x,y) est relié par un chemin (ou arc), c'est-à-dire une application continue  telle que p(0) = x et p(1) = y.

Un espace connexe par arcs est connexe.

Localement connexe par arcs : dont chaque point admet un système fondamental de voisinages connexes par arcs.

Un espace localement connexe par arcs est connexe si et seulement s’il est connexe par arcs.

Simplement connexe : connexe par arcs et dans lequel toute application continue  est homotope à une application constante.

Contractile : pour lequel l'application identité de X est homotope à une application constante.

Les espaces contractiles sont toujours simplement connexes.

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Transformation géométrique

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* Transformation géométrique A Affinité (mathématiques) Antidéplacement Antirotation Application affine Application projective Autosimilaire C Chiralité D Dilatation (géométrie) Dispositif de Peaucellier Déplacement (géométrie) F Fonction homographique G Groupe diédral H Homologie (transformation géométrique) Homothétie

H (suite) Homothétie (mathématiques élémentaires) I Inversion (géométrie) Isométrie Isométrie affine M Mouvement hélicoïdal P Pipeline 3D Q Quaternions et rotation dans l'espace R Rastérisation Réflexion (mathématiques) Rotation affine Rotation dans l'espace Rotation impropre Rotation plane Rotation vectorielle Roto-inversion

R (suite) Roto-réflexion Réflexion glissée S Similitude (géométrie) Symétrie Symétrie (transformation géométrique) Symétrie axiale Symétrie centrale Symétrisation de Steiner T Transformation conforme Transformation de Möbius Transformation par polaires réciproques Translation (géométrie) Transvection Triangles semblables V Vissage

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Transformation géométrique

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On appelle transformation géométrique, toute bijection d'une partie d'un ensemble géométrique dans lui-même.

On peut tenter une ou des classifications de ces transformations.

D'abord selon la dimension de l'ensemble géométrique ; on distinguera donc principalement les transformations planes et les transformations dans l'espace.

On peut aussi classer les transformations d'après leurs éléments conservés :

• les déplacements, conservant les distances et les angles orientés
• les isométries, conservant les distances, et les angles
• les similitudes, conservant les rapports de distances
• les transformations affines, conservant le parallélisme
• les transformations homographiques, conservant les droites

Chacune de ces classes contient la précédente.

• les inversions, conservant l'ensemble des droites et des cercles dans le cas plan, ou transformations de Moebius, conservant l'ensemble des plans et des sphères, en dimension 3.

image de départ	isométrie	similitude

transformation affine	transformation homographique	inversions

• les transformations bidifférentiables ou difféomorphismes sont les transformations qui sont affines au premier ordre ; elles contiennent les précédentes comme cas particuliers, mais aussi :

• les transformations conformes ou anticonformes, conservant les angles, qui sont, au premier ordre, des similitudes

• les transformations équivalentes ou équiaréales, conservant les aires dans le cas plan, ou les volumes dans le cas 3D, qui sont, au premier ordre, des transformations affines de déterminant 1

Et enfin, englobant les précédentes :

• les transformations bicontinues ou homéomorphismes, conservant les voisinages des points

transformation conforme	transformation équivalente	difféomorphisme	homéomorphisme

On crée alors des groupes et des sous-groupes de transformations.

L'étude de la géométrie est en grande partie l'étude de ces transformations.

Classification non exhaustive des transformations selon leur degré de complexité [modifier]

• Les réflexions selon une droite (dans le plan ou l'espace) ou selon un plan (dans l'espace)
• Les symétries centrales
• les translations
• les rotations de centre C (dans le plan) ou d'axe (D) dans l'espace

Les réflexions, symétries, translations, rotations sont des exemples d'isométries du plan ou de l'espace. Certaines conservent les angles orientés et sont alors appelées desdéplacements. L'ensemble des déplacements forme un groupe.

• les homothéties

Les homothéties et les isométries sont des exemples de similitudes du plan ou de l'espace. On démontre même que ces transformations engendrent l'ensemble des similitudes. Les similitudes conservant les angles orientés forment un groupe appelé le groupe des similitudes directes.

• les affinités

Les affinités et les similitudes sont des exemples de transformations affines du plan ou de l'espace. On démontre même que ces transformations engendrent l'ensemble des transformations affines.

Il existe aussi des transformations qui ne sont pas définies dans le plan ou l'espace tout entier. Parmi celles-ci on peut citer les inversions, les homologies qui sont des transformations homographiques

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Groupe diédral

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Symétrie bidimensionnelle D₄

En mathématiques, le groupe diédral noté D_n, pour , ou parfois D_2n, est un groupe d'ordre 2n qui s'interprète notamment comme le groupe des isométries du plan conservant un polygone régulier à n côtés. Le groupe est constitué de n éléments correspondant aux rotationset n autres correspondant aux réflexions. Le groupe D₁ est le groupe cyclique d'ordre 2, noté C₂ ; le groupe D₂ est le groupe de Klein à quatre éléments. Parmi les groupes diédraux D_n, ce sont les deux seuls à être abéliens.

Sommaire

 [masquer]

• 1 Présentation et définitions équivalentes
• 2 Interprétation géométrique
• 3 Graphe de cycle
• 4 Propriétés
• 5 Représentations
• 6 Groupe diédral infini
• 7 Groupe diédral généralisé
• 8 Bibliographie
• 9 Notes et références

Présentation et définitions équivalentes [modifier]

Le groupe D_n peut être défini par la suite exacte scindée suivante :

où C_n est un groupe cyclique d'ordre n, C₂ est cyclique d'ordre 2, la section étant donnée par l'action d'un relevé σ du générateur de C₂, sur un générateur τ du groupe cyclique d'ordre n :

στσ ^{− 1} = τ ^{− 1}

Ce groupe est donc produit semi-direct de C_n par C₂ suivant le morphisme ψ, où l'unité de C₂ agit sur C_n comme l'application identique et l'autre élément de C₂ agit sur C_n par inversion. Explicitement:

.

Une présentation est alors :

Plus explicitement les générateurs sont des σ, τ et les relations qu'ils vérifient sont de la forme :

.

On peut ainsi dresser une liste complète des éléments du groupe :

Une présentation alternative, où μ = τσ dans le système de générateurs de la présentation précédente, est :

Plus explicitement les générateurs sont des σ, μ et les relations qu'ils vérifient sont de la forme :

.

On voit ainsi que le groupe diédral admet un système de deux générateurs distincts tous deux d'ordre 2. Les groupes diédraux sont les seuls groupes finis possédant cette propriété¹.

Le groupe diédral d'ordre 2n peut aussi être vu comme le groupe d'automorphisme du graphe constitué seulement d'un cycle avec n sommets (si n ≥ 3).

Interprétation géométrique [modifier]

On peut définir de la façon suivante une représentation du groupe diédral D_n :

avec  et . Cette représentation est en fait à valeurs dans le groupe .

On reconnaît que la matrice φ(τ) est une matrice de rotation d'angle , et la matrice φ(σ) une matrice de réflexion. Ces transformations laissent effectivement invariant le polygone régulier centré en l'origine à n côtés.

Graphe de cycle [modifier]

Les graphes de cycles de groupes diédraux sont constitués d'un cycle à n éléments et de cycles à 2 éléments. Le sommet sombre dans les graphes de cycle ci-dessous de divers groupes diédraux représente l'élément identité, et les autres sommets sont les autres éléments du groupe. Un cycle est constitué des puissances successives de l'un ou l'autre élément connecté à l'élément identité.

 

D2	D3	D4	D5	D6	D7

Propriétés [modifier]

Le sous-ensemble des rotations  est un sous-groupe normal.

Certaines propriétés des groupes diédraux D_n avec n ≥ 3 dépendent de la parité de n. Elles peuvent souvent facilement être déduites de la représentation géométrique de ce groupe.

• Le centre de D_n est constitué seulement de l'identité si n est impair, mais si n est pair le centre a deux éléments : l'identité et l'élément τ^{n / 2}.
• Pour n impair, le groupe D_2n est isomorphe au produit direct de D_n et d'un groupe cyclique d'ordre 2. Cet isomorphisme est donné par :

où D_2n est l'ensemble de départ D_n*C₂ celui d'arrivée, h et ε étant définis modulo 2, et k modulo n. Les générateurs des groupes diédraux sont choisis comme dans la première partie de l'article.

• Toutes les réflexions sont conjuguées les unes les autres dans le cas où n est impair, mais elles sont contenues dans deux classes de conjugaison si n est pair.
• Si m divise n, alors D_n a n / m sous-groupes de type D_m, et un sous-groupe cyclique C_m. Par conséquent, le nombre total de sous-groupes de D_n (n ≥ 1), est égal à d (n) + σ (n), oùd (n) est le nombre de diviseurs positifs de n et σ (n) est la somme des diviseurs positifs de n (voir liste des petits groupes pour les cas n ≤ 8)

Représentations [modifier]

Si n est impair, le groupe D_n admet 2 représentations irréductibles complexes de degré 1 :

En revanche, si n est pair, il existe 4 représentations irréductibles de degré 1 :

Les autres représentations irréductibles sont toutes de degré 2 ; elles sont en nombre  si n est impair, respectivement  si n est pair. On peut les définir comme suit :

où ω désigne une racine primitive n^e de l'unité, et h parcourt les entiers compris entre 1 et n-1. On peut vérifier que deux telles représentations sont isomorphes seulement pour h₁ et h₂vérifiant h₁+h₂=n. On obtient alors le nombre annoncé de représentations irréductibles de degré 2 non isomorphes, et donc toutes les représentations irréductible du groupe diédral, par la formule liant le nombre de représentations irréductibles à l'ordre du groupe.

Groupe diédral infini [modifier]

En plus des groupes diédraux finis, on trouve le groupe diédral infini D_∞.

Tout groupe diédral est généré par une rotation r et une réflexion. Si la rotation est un multiple rationnel d’une rotation totale, alors il existe un entier n tel que rⁿ soit l’identité, et on est en présence d’un groupe diédral fini d’ordre 2n. Mais si la rotation n’est pas un multiple rationnel d’une rotation totale, alors il n’existe pas de tel n et le groupe résultant a un nombre infinid’éléments ; on le note D_∞. Il admet pour présentation

et est isomorphe au produit semi-direct de Z par C₂, ainsi qu’au produit libre C₂ * C₂. Il s’agit de l’automorphisme de groupes du graphe constitué d’un chemin infini vers les deux extrémités. De façon équivalente, il s’agit du groupe des isométries de Z.

Groupe diédral généralisé [modifier]

Pour tout groupe abélien H, le groupe diédral généralisé de H, noté Dih(H), est le produit semi-direct de H par C₂, l'action de C₂ sur H étant l'inversion, i.e.

où φ(0) est l'application identité et φ(1) l'inversion des éléments.

On obtient ainsi, si H et C₂ sont tous deux notés additivement :

(h₁, 0) * (h₂, t₂) = (h₁ + h₂, t₂)

(h₁, 1) * (h₂, t₂) = (h₁ − h₂, 1 + t₂)

pour tous h₁, h₂ dans H et t₂ dans C₂.

(Si C₂ est noté multiplicativement, ces deux formules se résument en (h₁, t₁) * (h₂, t₂) = (h₁ + t₁h₂, t₁t₂) .)

Le sous-groupe de Dih(H) constitué des éléments de la forme (h, 0) est un sous-groupe normal d'indice 2, isomorphe à H. Quant aux éléments de la forme (h, 1), chacun est son propre inverse.

Les classes de conjugaison sont

• les ensembles {(h,0 ), (−h,0 )}
• les ensembles {(h + k + k, 1) | k dans H }

Ainsi, pour tout sous-groupe M de H, les éléments correspondants (m,0) forment aussi un sous-groupe normal de Dih(H) isomorphe à M, et l'on a :

Dih(H) / M = Dih ( H / M )

Exemples :

• D_n = Dih(C_n).
  • Si n est pair il y a deux ensembles de la forme {(h + k + k, 1) | k dans H }, et chacun d'eux engendre un sous-groupe normal isomorphe à D_n/2. Ce sont deux sous-groupes du groupe des isométries d'un n-gone régulier, isomorphes mais distincts : tous deux contiennent les mêmes rotations, mais dans l'un des deux sous-groupes, chaque réflexion fixe deux des sommets, tandis que dans l'autre, les réflexions ne fixent aucun sommet.
  • Si n est impair il n'y a qu'un ensemble de la forme {(h + k + k, 1) | k dans H }.
• D_∞ = Dih(Z) ; il y a deux ensembles de la forme {(h + k + k, 1) | k dans H }, et chacun d'eux engendre un sous-groupe isomorphe à D_∞. Ce sont deux sous-groupes du groupe des isométries de Z, isomorphes mais distincts : tous deux contiennent les mêmes translations (par les entiers pairs), mais dans l'un des deux sous-groupes, chaque réflexion a un point fixe entier (son centre), tandis que dans l'autre, les réflexions sont sans point fixe entier (leurs centres sont des demi-entiers).
• Dih(S¹) est isomorphe au groupe orthogonal O(2,R) des isométries du plan euclidien qui fixent l'origine ou de façon équivalente, au groupe des isométries du cercle. Les rotations forment le groupe SO(2,R), isomorphe au groupe additif R/Z, et également isomorphe au groupe multiplicatif S¹ égal au cercle unité (constitué des nombres complexes de module 1). Dans ce dernier cas, l'une des réflexions (qui, avec les rotations, engendre tout le groupe), est la conjugaison complexe. Les sous-groupes normaux propres ne contiennent que des rotations. Les sous-groupes normaux discrets sont, pour chaque entier n, un sous-groupe cyclique d'ordre n, et les quotients sont isomorphes au même groupe Dih(S¹).
• Dih(Rⁿ ) est le groupe des translations et symétries centrales de Rⁿ (qui, si n > 1 n'épuisent pas toutes les isométries).
• Dih(H) pour n'importe quel sous-groupe de Rⁿ, par exemple un groupe discret ; dans ce cas, s'il agit dans les n directions, c'est un réseau.
  • Les sous-groupes discrets de Dih(R² ) qui contiennent des translations dans une seule direction sont les groupes de frise de types ∞∞ et 22∞.
  • Ceux qui contiennent des translations dans deux directions sont les groupes de papier peint (en) de types p1 et p2.
  • Les sous-groupes discrets de Dih(R³ ) qui contiennent des translations dans trois directions sont les groupes d'espace de systèmes réticulaires tricliniques.

Dih(H) est abélien si et seulement si le produit semi-direct est direct, c'est-à-dire si et seulement si chaque élément de H est son propre inverse, i.e. H est un 2-groupe abélien élémentaire : Dih(C₂^k) = C₂^k+1.

Bibliographie [modifier]

• Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions]
• Algèbre générale, Bernard Charles et denis Allouch, PUF, Paris 1984

Notes et références [modifier]

1. ↑ J. J. Rotman, An introduction to the Theory of Groups, 4^e éd., tirage de 1999, théor. 3.32, p. 68.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dihedral group » (voir la liste des auteurs)

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_di%C3%A9dral

Groupe de Weyl

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En mathématiques, et en particulier dans la théorie des algèbres de Lie, le groupe de Weyl d'un système de racines  est le sous-groupe du groupe d'isométries du système de racines engendré par les réflexions orthogonales par rapport aux hyperplans orthogonaux aux racines.

Exemple [modifier]

Le système de racines de  est constitué des sommets d'un hexagone régulier centré à l'origine. Le groupe complet des symétries de ce système de racines est par conséquent legroupe diédral d'ordre 12. Le groupe de Weyl est engendré par les réflexions à travers les droites bissectant les paires de côtés opposés de l'hexagone ; c'est le groupe diédral d'ordre 6.

Le groupe de Weyl d'un groupe de Lie semi-simple, d'une algèbre de Lie semi-simple, d'un groupe algébrique linéaire semi-simple, etc. est le groupe de Weyl du système de racines de ce groupe ou de cette algèbre.

Les chambres de Weyl [modifier]

Enlever les hyperplans définis par les racines de  découpe l'espace euclidien en un nombre fini de régions ouvertes, appelées les chambres de Weyl. Celles-ci sont permutées par l'action sur le groupe de Weyl, et un théorème établit que cette action est simplement transitive. En particulier, le nombre de chambres de Weyl est égal à l'ordre du groupe de Weyl. Tout vecteur v différent de zéro divise l'espace euclidien en deux demi-espaces bordant l'hyperplan  orthogonal à v, nommés  et . Si v appartient à une certaine chambre de Weyl, aucune racine ne se trouve dans , donc chaque racine se trouve dans  ou , et si  se trouve dans l'un d'eux, alors  se trouve dans l'autre. Ainsi,  constitué d'exactement la moitié des racines de . Bien sûr,  dépend de v, mais il ne change pas si v reste dans la même chambre de Weyl.

La base du système de racine qui respecte le choix de  est l'ensemble des racines simples dans , i.e., les racines qui ne peuvent pas être écrites comme une somme de deux racines dans . Ainsi, les chambres de Weyl, l'ensemble  et la base en déterminent un autre, et le groupe de Weyl agit simplement transitivement dans chaque cas. L'illustration suivante montre les six chambres de Weyl d'un système de racines , un choix de v, l'hyperplan  (indiqué par une droite en pointillé) et les racines positives , , et . La base dans ce cas est (}.

Les groupes de Coxeter [modifier]

Les groupes de Weyl sont des exemples des groupes de Coxeter. Ceci signifie qu'ils ont une sorte particulière de présentation dans laquelle chaque générateur  est d'ordre deux, et les relations autres que  sont de la forme . Les générateurs sont les réflexions données par les racines simples et  est 2, 3, 4 ou 6 dépendant si les racines i et jfont un angle de 90, 120, 135 ou 150 degrés, i.e., si dans le Diagramme de Dynkin, elles ne sont pas connectées, connectées avec une arête simple, connectées par une double arête ou connectées par une triple arête. La longueur d'un élément du groupe de Weyl est la longueur du mot le plus court représentant cet élément en termes de ces générateurs standards.

Si G est un groupe algébrique linéaire semisimple sur un corps algébriquement clos (plus généralement un groupe déployé), et T est un tore maximal, le normalisateur N de T contient Tcomme sous-groupe d'indice fini et le groupe de Weyl W de G est isomorphe à N/T. Si B est un sous-groupe de Borel de G, i.e. un sous-groupe connexe résoluble maximal choisi pour contenir T, alors nous obtenons une décomposition de Bruhat

ce qui provoque la décomposition de la variété de drapeaux G/B en cellules de Schubert (voir Grassmannienne).

•  Portail des mathématiques

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Weyl

Forme de Killing

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Dans la théorie des algèbres de Lie, la forme de Killing est une forme bilinéaire symétrique naturellement associée à toute algèbre de Lie. Elle reflète un certain nombre de propriétés des algèbres de Lie (semi-simplicité, résolubilité…).

Définition [modifier]

Soit g une K-algèbre de Lie, où K désigne un corps (commutatif). La représentation adjointe définit pour tout vecteur x de g un endomorphisme K-linéaire ad(x) du K-espace vectoriel g :

ad(x)(y) = [x,y]

Si g est de dimension finie, il existe une forme bilinéaire symétrique B définie par :

où Tr désigne l'opérateur trace. Cette forme est appelée forme de Killing de g.

La forme de Killing est l'unique forme bilinéaire symétrique sur g, invariante sous l'action des automorphismes de la K-algèbre de Lie g et vérifiant l'identité remarquable :

.

Curieusement, la forme de Killing a été définie par Henri Cartan, tandis que la matrice de Cartan a été définie par Wilhelm Killing (en).

Voir aussi [modifier]

Tenseur de Killing

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Forme_de_Killing

Algèbre enveloppante

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Cet article est une ébauche concernant l'algèbre. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En mathématiques, on peut construire l'algèbre enveloppante U(L) d'une algèbre de Lie L. Il s'agit une algèbre associative unitaire qui permet de rendre compte de la plupart des propriétés de L.

Si A est une algèbre associative sur un corps K, on peut facilement la munir d'une structure d'algèbre de Lie, en posant [x,y]=xy-yx. On note l'algèbre de Lie ainsi obtenue A_L.

La construction d'une algèbre enveloppante répond au problème réciproque : à partir d'une algèbre de Lie, on construit une algèbre associative dont le commutateur correspond au crochet dont on était parti.

Construction [modifier]

Soit L une algèbre de Lie sur un corps K. Soit T(L) l'algèbre tensorielle de L. On construit U(L) à partir de T(L) en imposant les relations .

Plus formellement, on note I l'idéal bilatère engendré par les . U(L) est alors le quotient de T(L) par l'idéal I. L'injection canonique de L dans T(L) fournit alors un morphisme .

Propriété universelle [modifier]

On peut caractériser l'algèbre enveloppante de L par la propriété universelle suivante : U(L) est l'unique algèbre assocative telle que pour toute K-algèbre associative A et tout morphisme d'algèbre de Lie , il existe un unique morphisme d'algèbre associative  tel que .

Autres propriétés [modifier]

• L'intérêt premier de la construction de l'algèbre enveloppante est que toute représentation d'une algèbre de Lie L peut être vue comme un module sur U(L). Formellement, il y a uneéquivalence de catégories entre les représentations de L et les U(L)-modules.

• Le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt permet de mieux comprendre la structure de l'algèbre enveloppante. Un corollaire important de ce théorème est que l'application ι définie ci-dessus est injective.

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_enveloppante

Crochet de Lie

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Le crochet de Lie est une loi de composition interne [,] sur un espace vectoriel V, qui lui confère une structure d'algèbre de Lie. Le commutateur [u,v]=uv-vu de deux endomorphismesen constitue un des exemples les plus simples.

Le nom de crochet de Lie, ou simplement crochet, est souvent employé pour le crochet de Lie de deux champs de vecteurs sur une variété différentielle.

Sommaire

 [masquer]

• 1 Définition générale
• 2 Crochet de Lie de deux champs de vecteurs
• 3 Bibliographie
• 4 Voir aussi

Définition générale [modifier]

Article détaillé : algèbre de Lie.

Soit un espace vectoriel V sur un corps . Un crochet de Lie est une loi de composition interne sur V (c'est-à-dire que le crochet de Lie de deux vecteurs est encore un vecteur : ), vérifiant les propriétés suivantes :

1. Bilinéarité :
   • 
   • .
2. L'application bilinéaire [.,.] est alternée : 
3. Identité de Jacobi : .

Remarques

Un crochet de Lie vérifie :

• l'antisymétrie : .

L'antisymétrie implique [x,x] = 0 pour tout corps pour lequel  (corps de caractéristique différente de deux).

Si on combine la bilinéarité avec l'antisymétrie [λx + x',y] = − [y,λx + x'] on peut ne vérifier la linéarité que sur une seule composante:[λx + x',y] = λ[x,y] + [x',y].

Muni d'un crochet de Lie, un espace vectoriel devient une algèbre de Lie.

Crochet de Lie de deux champs de vecteurs [modifier]

Article détaillé : dérivée de Lie.

Soit V une variété différentielle et X et Y deux champs de vecteurs sur V. On note X . f la dérivée de la fonction f dans la direction du champ X. Le crochet de Lie de X et Y est l'unique champ de vecteur, noté [X,Y], tel que, pour toute fonction f indéfiniment dérivable,

On montre en effet qu'un champ de vecteurs Z peut être caractérisé par la façon dont il dérive les applications. On vérifie en outre que l'application [,] définit bien un crochet de Lie sur les champs de vecteurs. Voir pour les démonstrations l'article dérivée de Lie.

Lorsque deux champs de vecteurs ont un crochet nul, on dit qu'ils commutent.

Bibliographie [modifier]

• Alain Bouvier, Michel George, François Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, Presses Universitaires de France, 1979.

Voir aussi [modifier]

• Algèbre de Lie
• Groupe de Lie

[Dérouler]

v · d · m

Opérations binaires

•  Portail des mathématiques

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Crochet_de_Lie

Classification de Bianchi

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La classification de Bianchi est une classification des algèbres de Lie réelles de dimension 3, donnée par Luigi Bianchi.

Classification de Bianchi [modifier]

Type	Description	Exemple	Groupe de Lie	Matrice
Type I	Abélienne	R³, muni d'un crochet nul	R³ comme groupe additif	M = 0
Type II	Nilpotente et unimodulaire	H³, l'algèbre de Heisenberg	Le Groupe de Heisenberg de dimension 3	M nilpotente non nulle
Type III	Résoluble et pas unimodulaire	Rx...	RxG : Produit direct du groupe additif R et du groupe G des matrices triangulaires supérieures de déterminant 1	M a une unique valeur propre nulle
Type IV	Résoluble et pas unimodulaire	M est une matrice non semi-simple possédant une unique valeur propre, qui est non nulle.
Type V	Résoluble et non unimodulaire	M est une matrice semi-simple possédant une unique valeur propre.
Type VI	Résoluble et non unimodulaire	M a deux valeurs propres réelles distinctes non nulles et de somme non nulle.
Type VI0	Résoluble et unimodulaire	so(1,1)	SO(1,1)	M possède deux valeurs propres réelles distinctes de somme nulle.
Type VII	Résoluble et unimodulaire	M a des valeurs propres non réelles et non imaginaires pures.
Type VII0	Résoluble et unimodulaire	Groupe des isométries directes du plan euclidien	M ne possède que des valeurs propres imaginaires pures non nulles.
Type VIII	Semisimple et unimodulaire	sl2(R)	SL2(R)	Irréalisable
Type IX	Semisimple et unimodulaire	o3(R) ou su2(C)	SO3(R) ou SU2(C)	Irréalisable

Intérêt pour la cosmologie [modifier]

En cosmologie, cette classification est utilisée pour les espace-temps homogènes de dimension 3+1. L'univers de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker est isotrope, ce qui est un cas particulier du type I, V et IX décrit ci-dessus. Le cas général correspond à univers homogène, mais dont l'expansion est anisotrope, c'est-à-dire dont le taux d'expansion est différent suivant trois directions orthogonales . Le type IX de la classification de Bianchi (la Métrique de Kasner est un cas particulier) révèle une dynamique particulièrement complexe de l'expansion. Celle-ci se faisant par la succession d'époques de type expansion anisotrope (avec deux directions en expansion, une en contraction) qui sont séparées par des périodes où les taux d'expansion dans les trois directions changent de façon brutale et relativement chaotique.

Références [modifier]

• Voir (en) Robert M. Wald, General Relativity, University of Chicago Press, 1984, 498 pages (ISBN 0226870332), chapitre 7.2, pages 168 à 179.

[Enrouler]

v · d · m

Quelques modèles cosmologiques

Atome primitif • Big Bang • Big Crunch • Big Rip • Classification de Bianchi • Cosmologie branaire • Cosmologie cordiste • Dimensions supplémentaires • Espace anti de Sitter • Espace de Sitter • Espace de Taub-NUT • Inflation cosmique • Modèle ΛCDM • Modèle cyclique • Modèle OCDM • Modèle SCDM • Modèle standard de la cosmologie • Pré Big Bang • Théorie de l'état stationnaire • Univers d'Einstein • Univers de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker • Univers de Gödel • Univers de Milne • Univers de de Sitter • Univers ekpyrotique • Univers en tore bidimensionnel • Univers fractal • Univers hésitant • Univers mixmaster • Univers phénix

•  Portail de la cosmologie

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Classification_de_Bianchi

Bialgèbre de Lie

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Cet article est une ébauche concernant les mathématiques. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En mathématiques, une bialgèbre de Lie est une algèbre de Lie munie d'une application

(appelée coproduit ou cocommutateur) telle que l'application duale δ ^* soit un crochet de Lie, et telle que δ soit un cocycle :

Remarque importante : Une bialgèbre de Lie n'est pas a proprement parler une bialgèbre. En effet, on exige en général d'une bialgèbre que son algèbre sous-jacente soit unitaire etassociative.

•  Portail des mathématiques

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Bialg%C3%A8bre_de_Lie

Algèbre de Lie

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En mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien Sophus Lie, est un espace vectoriel qui est muni d'un crochet de Lie, c'est-à-dire d'une loi de composition interne bilinéaire, antisymétrique et qui vérifie l'identité de Jacobi. Une algèbre de Lie est un cas particulier d'algèbre sur un corps.

Sommaire

 [masquer]

• 1 Définitions, exemples et premières propriétés
  • 1.1 Définition
  • 1.2 Quelques exemples classiques d'algèbres de Lie
  • 1.3 Morphismes et idéaux
• 2 Relation avec les groupes de Lie et les groupes algébriques
• 3 Classification
  • 3.1 Algèbres de Lie nilpotentes
  • 3.2 Algèbres de Lie résolubles
  • 3.3 Algèbres de Lie semi-simples et réductives
  • 3.4 Dimension infinie
• 4 Généralisation
• 5 Références
• 6 Voir aussi

Définitions, exemples et premières propriétés [modifier]

Définition [modifier]

Soit  un corps.

Une algèbre de Lie sur  est un espace vectoriel  sur  muni d'une application bilinéaire  de  dans  qui vérifie les propriétés suivantes:

1. ;
2. 

Le produit [x,y] est appelé crochet de Lie (ou simplement crochet) de x et y. Puisque le crochet est une fonction bilinéaire alternée de x,y, on a aussi l'identité [x,y] = − [y,x] pour tousx,y dans . L'identité (2) ci-dessus est appelée l'identité de Jacobi.

Une sous-algèbre de Lie de  est un sous-espace vectoriel de  stable pour le crochet de Lie. Toute sous-algèbre de Lie de  est munie de manière évidente d'une structure d'algèbre de Lie sur .

Remarque : contrairement aux algèbres tensorielles (et aux algèbres de Clifford, dont les algèbres extérieures), les algèbres de Lie ne sont pas unitaires, ni associatives.

Quelques exemples classiques d'algèbres de Lie [modifier]

• Tout espace vectoriel E peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie, en posant . Une telle algèbre de Lie, où le crochet de Lie est identiquement nul, est appelée abélienne.
• On peut, à partir de (A, * ), une algèbre associative sur un corps, construire une algèbre de Lie, de la façon suivante : on pose  (c'est lecommutateur des deux éléments x et y). Il est facile de vérifier que l'on définit ainsi sur A une structure d'algèbre de Lie.

  Inversement, toute algèbre de Lie  est contenue dans une algèbre associative, appelée algèbre enveloppante, dans laquelle le crochet de Lie coïncide avec le crochet définit ci-dessus. L'algèbre enveloppante est beaucoup plus grande que l'algèbre de départ.

• Comme exemple concret de la situation ci-dessus, considérons , l'espace des matrices  à coefficients dans . C'est une algèbre associative pour le produit matriciel usuel. On peut donc également lui donner une structure d'algèbre de Lie, avec le crochet [A,B] = AB − BA. On note  cette algèbre, lorsque l'on considère sa structure d'algèbre de Lie.
• Bien évidemment, tout sous-espace vectoriel de  stable par le crochet est une algèbre de Lie. Ainsi, on peut vérifier que l'ensemble des matrices de trace nulle est une algèbre de Lie, que l'on note .

  En fait, le théorème d'Ado montre que toute algèbre de Lie de dimension finie peut être vue comme une sous-algèbre de .

• Un autre exemple fondamental, plus géométrique, est le suivant. Soit M une variété différentielle. Alors l'espace vectoriel formé par les champs de vecteurs sur M possède une structure naturelle d'algèbre de Lie, sans être une algèbre.
• En particulier, l'ensemble des vecteurs de Killing d'une variété forme une algèbre de Lie, qui correspond au groupe d'isométries de la variété considérée.
• L'espace euclidien tri-dimensionnel  avec le produit vectoriel comme crochet de Lie est une algèbre de Lie.

Morphismes et idéaux [modifier]

Un morphisme d'algèbre de Lie  est une application linéaire φ qui respecte le crochet de Lie, c'est-à-dire telle que

.

Un idéal de  est un sous-espace vectoriel  tel que . C'est en particulier une sous-algèbre de Lie. Si une algèbre de Lie n'admet pas d'idéal non trivial, elle est dite simple.

Si  est un idéal de , on peut former le quotient de  par  : c'est l'espace vectoriel quotient , muni du crochet défini par . La projection est alors un morphisme d'algèbres de Lie.

Une représentation d'une algèbre de Lie  est un morphisme . Autrement dit, c'est une application linéaire telle que φ([g,h]) = φ(g)φ(h) − φ(h)φ(g).

Le morphisme  défini par ad(g)(h) = [g,h] définit une représentation de , appelée représentation adjointe. L'identité de Jacobi exprime précisément le fait que ad respecte le crochet. Le noyau de cette représentation est le centre  de l'algèbre de Lie .

Relation avec les groupes de Lie et les groupes algébriques [modifier]

Les algèbres de Lie sont naturellement associées aux groupes de Lie. Si G est un groupe de Lie et 1 son élément neutre, alors l'espace tangent en 1 à G est une algèbre de Lie ; la construction exacte de cette algèbre est détaillée dans la section correspondante de l'article Groupe de Lie. La même construction est valable pour les groupes algébriques. On note en général en petites lettres gothiques l'algèbre de Lie associée à un groupe de Lie, ou à un groupe algébrique. Ainsi, comme on l'a déjà vu,  désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n et  désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n de trace nulle. De la même façon,  désigne l'ensemble des matrices carrées A de taille n antisymétriques, etc. Dans tous ces exemples, le crochet de Lie n'est rien d'autre que le commutateur : [A,B]=AB-BA.

Si φ est un morphisme de groupes entre deux groupes de Lie G et H, et si l'on suppose φ différentiable, alors sa différentielle en l'identité sera un morphisme entre les algèbres de Lie et  de G et H. En particulier, à une représentation de G différentiable, on associe une représentation de .

La classification des algèbres de Lie est utilisée de façon cruciale pour l'étude des groupes de Lie, des groupes algébriques et de leurs représentations.

Classification [modifier]

Si  et  sont deux sous-algèbres de Lie d'une algèbre de Lie , notons  le sous-espace vectoriel engendré par les éléments de la forme [a,b] pour  et .

Algèbres de Lie nilpotentes [modifier]

Une algèbre de Lie est dite nilpotente lorsque toute suite de commutateurs  finit par être nulle, lorsque n devient suffisamment grand.

Plus précisément, définissons C_i par  et .

S'il existe un i tel que C_i=0, on dit que  est nilpotente. Cette notion est à mettre en parallèle avec celle de groupe nilpotent. Il est facile de voir que toute algèbre de Lie abélienne est nilpotente.

L'algèbre des matrices triangulaires strictes, c'est-à-dire de la forme  fournit un exemple d'algèbre de Lie nilpotente.

Le théorème d'Engel affirme que toute sous-algèbre nilpotente de  est en fait simultanément trigonalisable et donc conjuguée à une sous-algèbre de .

Algèbres de Lie résolubles [modifier]

Définissons par récurrence D_i par  et D_{i + 1} = [D_i,D_i]

S'il existe un i tel que D_i=0, on dit que  est résoluble. Comme dans le cas des algèbres nilpotentes, cette notion correspond à celle de groupe résoluble. Il est facile de voir que toute algèbre de Lie nilpotente est résoluble.

Un exemple d'algèbre de Lie résoluble est donné par l'algèbre  des matrices triangulaires supérieures dans .

Le théorème de Lie montre que, si  est algébriquement clos et de caractéristique nulle, alors toute sous-algèbre de Lie résoluble de  est conjuguée à une sous-algèbre de 

Algèbres de Lie semi-simples et réductives [modifier]

Article détaillé : algèbre semi-simple.

On dit qu'une algèbre de Lie  est semi-simple lorsqu'elle ne contient pas d'idéal résoluble non trivial.  est dite réductive lorsque sa représentation adjointe est semi-simple.

Lorsque  est de caractéristique nulle, et que  est de dimension finie, la semi-simplicité de  est équivalente à la non-dégénerescence de la forme de Killing K(x,y) définie par K(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), où tr désigne la trace. Par ailleurs,  est réductive si et seulement si  est semi-simple.

On peut montrer que, sous les mêmes hypothèses, toute algèbre de Lie semi-simple est en fait une somme directe d'algèbres de Lie simples.

Les algèbres de Lie simples de dimension finie sur le corps  des nombres complexes sont classifiées par les diagrammes de Dynkin. Il y a donc 4 familles d'algèbres de Lie simples (ou 3 si on considère B_n et D_n comme une même famille) et 5 algèbres de Lie exceptionnelles, correspondant chacune à un diagramme de Dynkin différent.

• À un diagramme de Dynkin de type  correspond l'algèbre de Lie .

• À un diagramme de Dynkin de type  correspond l'algèbre de Lie .

• À un diagramme de Dynkin de type  correspond l'algèbre de Lie .

• À un diagramme de Dynkin de type  correspond l'algèbre de Lie .

• Les algèbres de Lie exceptionnelles, correspondant aux diagrammes de Dynkin restants (de type E₆, E₇, E₈, F₄ et G₂) n'ont pas d'interprétation aussi simple.

L'algèbre de Lie  est, elle, réductive et son algèbre de Lie dérivée est .

Les algèbres de Lie semi-simples de dimension finie sur le corps  des nombres réels sont classifiées par les involutions d'algèbres de Lie complexe ou, de façon équivalente, par lesinvolutions de systèmes de racines. Ceci correspond à la notion d'algèbre de Lie symétrique. Comme classe d'algèbre de Lie simple réelle, on peut citer:

• Les algèbres de Lie compactes. Ce sont les algèbres de Lie de groupes compacts. Il y en a exactement une qui correspond à chaque algèbre de Lie complexe.

• Les algèbres de Lie complexes vues comme algèbres de Lie réelles.

• Les autres peuvent être classées en familles AI, AII, AIII, BI, CI, CII, DI, DIII et en algèbres exeptionelles

EI, EII, EIII, EIV (de type E₆) EV, EVI, EVII (de type E₇) EVIII, EIX (de type E₈) FI, FII (de type F₄) et GI (de type G₂) suivant la notation d'Helgason¹)

 

Dimension infinie [modifier]

Il n'y a pas de classification générale des algèbres de Lie de dimension infinie mais plusieurs classes de telles algèbres ont été étudiées.

• Une algèbre de Kac-Moody est une algèbre de Lie définie abstraitement en termes de générateurs et relations codés par une matrice de Cartan généralisée non nécessairement définie positive. Elles peuvent donc être de dimension infinie. Leur classification générale est encore hors de portée mais plusieurs sous-types sont connus
  • Une algèbre de Kac-Moody affine possède la propriété que tous les sous-diagrammes de Dynkin de son diagramme de Dynkin correspondent à des sous-algèbres de Lie de dimension finie. Sa matrice de Cartan généralisée est alors de corang 1. Les algèbres de Kac-Moody affines ont été classifiées par Victor G. Kac. Elles sont très utilisées enphysique théorique dans l'étude des théories conformes des champs et en particulier dans l'étude des modèles WZW.
  • Une algèbre de Kac-Moody hyperbolique possède un diagramme de Dynkin connexe avec la propriété que si on lui retire une racine, on obtient une algèbre de Lie semi-simple de dimension finie ou bien une algèbre de Kac-Moody affine. Elles ont été également classifiées et sont de rang 10 au maximum. Leur matrice de Cartan généralisée est non dégénérée et de signature Lorentzienne (c’est-à-dire avec exactement une direction négative).
• algèbre de Kac-Moody généralisée ou algèbre de Borcherds: c'est un type d'algèbre de Lie généralisant le concept d'algèbre de Kac-Moody dont la matrice de Cartan généralisée peut posséder des racines simples nommées imaginaires pour lesquelles l'élément diagonal de la matrice de Cartan généralisée est négatif. Elles ont été introduite par Richard Ewen Borcherds dans le cadre de l'étude de la conjecture monstrous moonshine.

Généralisation [modifier]

Il existe différentes sortes de généralisations des algèbres de Lie, on citera les superalgèbres de Lie, les groupes quantiques, les algèbres de Leibniz, les algèbres pré-Lie.

Références [modifier]

• Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie
• Dixmier, Jacques Algèbres enveloppantes Éditions Jacques Gabay, Paris, 1996. ISBN 2-87647-014-4
• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
• Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4

1. ↑ S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces [archive]

Voir aussi [modifier]

• Groupe de Lie

[Enrouler] v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan •Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale •Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable •Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan •Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

•  Portail des mathématiques

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ABSTRACT ALGEBRA ON LINE

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REFERENCES

Abstract Algebra, Second Edition, by John A. Beachy and William D. Blair 
ISBN 0-88133-866-4, © 1996, 427 pages 
Waveland Press, P.O. Box 400, Prospect Heights, Illinois, 60070, Tel. 847 / 634-0081

Abstract Algebra II 
This set of lecture notes was expanded into the following text.

Introductory Lectures on Rings and Modules, by John A. Beachy 
ISBN 0-521-64407-0, © 1999, 238 pages 
Cambridge University Press, London Mathematical Society Student Texts #47

 

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TABLE OF CONTENTS

 

 Integers

 

 Functions

 

 Groups

 Basic group theory

 Factor groups and homomorphisms

 Some group multiplication tables

 

 Polynomials

 

 Rings

 Commutative rings; integral domains

 Localization, noncommutative examples

 

 Fields

 

 Structure of Groups

 Sylow theorems; abelian groups; solvable groups

 Nilpotent groups; groups of small order

 

 Galois Theory

 

 Unique Factorization

 

 Modules

 Sums and products; chain conditions

 Composition series; tensor products; modules over a PID

 

 Structure of Noncommutative Rings

 

 Ideal Theory of Commutative Rings

 

 

INDEX

 Index of Definitions

 Index of Theorems

 List of Theorems

 

---

Index of Definitions

 

abelian group

action, of a group

algebraic element

algebraic extension

algebraic numbers

alternating group

annihilator, of a module

Artinian module

Artinian ring

ascending central series

associated prime ideal

automorphism, of a group

automorphism, of a ring

bicommutator, of a module

bilinear function

bimodule

center of a group

centralizer, of an element

characteristic, of a ring

codomain, of a function

commutative ring

commutator

completely reducible module

composite number

composition, of functions

composition series, for a group

composition series, for a module

congruence class of integers

congruence, modulo n

congruence, of polynomials

conjugate, of a group element

constructible number

coset

cycle of length k

cyclic group

cyclic module

cyclic subgroup

cyclotomic polynomial

Dedekind domain

degree of a polynomial

degree of an algebraic element

degree of an extension field

derived subgroup

dense subring

dihedral group

disjoint cycles

division ring

divisor, of a polynomial

divisor, of an integer

divisor, of zero

direct product, of groups

direct product, of modules

direct sum, of modules

direct sum, of rings

domain, of a function

equivalence class

equivalence classes defined by a function

equivalence relation

essential submodule

Euclidean domain

Euler's phi-function

even permutation

extension field

factor, of a polynomial

factor, of an integer

factor group

factor ring

faithful module

field

finite extension field

finite group

finitely generated module

fixed subfield

formal derivative

fractional ideal

free module

Frobenius automorphism

function

Galois field

Galois group of a polynomial

general linear group

generator, of a cyclic group

greatest common divisor, of integers

greatest common divisor, of polynomials

greatest common divisor, in a principal ideal domain

group

abelian

alternating

cyclic

dihedral

finite

general linear

nilpotent

of permutations

of quaternions

order of

projective special linear

simple

solvable

special linear

symmetric

transitive

group algebra

group ring

holomorph (of the integers mod n)

homomorphism, of groups

homomorphism, of modules

homomorphism, of rings

ideal

idempotent element, of a ring

image, of a function

index of a subgroup

injective module

inner automorphism, of a group

integer

integral closure

integral domain

integral extension

integrally closed domain

invariant subfield

inverse function

invertible element, in a ring

irreducible element, in a ring

irreducible polynomial

isomorphism, of groups

isomorphism, of rings

Jacobson radical, of a module

kernel, of a group homomorphism

kernel, of a ring homomorphism

Krull dimension

leading coefficient

least common multiple, of integers

left ideal

Legendre symbol

linear action

localization at a prime ideal

maximal ideal

maximal submodule

minimal polynomial

minimal submodule

module

Moebius function

monic polynomial

multiple, of an integer

multiplicity, of a root

nil ideal

nil radical

nilpotent element, of a ring

nilpotent ideal

Noetherian module

Noetherian ring

normal extension

normal subgroup

normalizer, of a subgroup

one-to-one function

onto function

odd permutation

orbit

order of a group

order of a permutation

p-group

partition of a set

perfect extension

permutation

permutation group

primary ideal

primitive polynomial

principal left ideal

product, of polynomials

projective module

polynomial

prime ideal, of a commutative ring

prime ideal, of a noncommutative ring

prime module

prime number

prime ring

primitive ideal

primitive ring

principal ideal

principal ideal domain

quadratic residue

quaternions

radical, for modules

radical, of an ideal

radical extension

regular element

relatively prime integers

right ideal

ring

ring of differential operators

root of a polynomial

root of unity

semidirect product

semiprime ideal

semiprime ring

semiprimitive ring

semisimple Artinian ring

simple extension

semisimple module

separable polynomial

separable extension

simple group

simple ring

simple extension

simple module

skew field

small submodule

socle of a module

solvable by radicals

split homomorphism

splitting field

stabilizer

subfield

subgroup

subring

Sylow subgroup

symmetric group

tensor product

torsion module

torsionfree module

transcendental element

transposition

unique factorization domain

unit, of a ring

von Neumann regular ring

well-ordering principle

zero divisor

Index of Theorems

 

An algebraic extension of an algebraic extension is algebraic(6.2.10)

Artin-Wedderburn theorem(11.3.2)

Artin's lemma(8.3.4)

Baer's criterion for injectivity(10.5.9)

Burnside's theorem(7.2.8)

Cauchy's theorem(7.2.10)

Cayley's theorem(3.6.2)

Characteristic of an integral domain(5.2.10)

Characterization of completely reducible modules(10.2.9)

Characterization of completely reducible rings(10.5.6)

Characterization of constructible numbers(6.3.6)

Characterization of Dedekind domains(12.1.6)

Characterization of equations solvable by radicals(8.4.6)

Characterization of finite fields(6.5.2)

Characterization of finite normal separable extensions(8.3.6)

Characterization of free modules(10.2.3)

Characterization of integral elements(12.2.2)

Characterization of internal direct products(7.1.3)

Characterization of invertible functions(2.1.8)

Characterization of the Jacobson radical(11.2.10)

Characterization of linear actions(7.9.5)

Characterization of nilpotent groups(7.8.4)

Characterization of Noetherian modules(10.3.3)

Characterization of normal subgroups(3.8.7)

Characterization of projective modules(10.2.11)

Characterization of semisimple Artinian rings(11.3.4)

Characterization of prime ideals(11.1.3)

Characterization of semidirect products(7.9.6)

Characterization of semiprime ideals(11.1.7)

Characterization of semisimple modules(10.5.3)

Characterization of subgroups(3.2.2)

Characterization of subrings(5.1.3)

Chinese remainder theorem, for integers(1.3.6)

Chinese remainder theorem, for rings(5.7.9)

Class equation(7.2.6)

Class equation (generalized)(7.3.6)

Classification of cyclic groups(3.5.2)

Classification of groups of order less than sixteen

Classification of groups of order pq(7.4.6)

Cohen's theorem(12.4.1)

Computation of Euler's phi-function(1.4.8)

Construction of extension fields(4.4.8)

Correspondence between roots and linear factors(4.1.11)

Dedekind's theorem on reduction modulo p

Properties of Dedekind domains(12.1.4)

Degree of a tower of finite extensions(6.2.4)

DeMoivre's theorem(A.5.2)

The direct product of nilpotent groups is nilpotent(7.8.2)

Disjoint cycles commute(2.3.4)

Division algorithm for integers(1.1.3)

Division algorithm for polynomials(4.2.1)

Eisenstein's irreducibility criterion(4.3.6)

Endomorphisms of indecomposable modules(10.4.6)

Existence of finite fields(6.5.7)

Existence of greatest common divisors (for integers)(1.1.6)

Existence of greatest common divisors (for polynomials)(4.2.4)

Existence of greatest common divisors, in a principal ideal domain(9.1.6)

Existence of irreducible polynomials(6.5.12)

Existence of maximal submodules(10.1.8)

Existence of quotient fields(5.4.4)

Existence of splitting fields(6.4.2)

Existence of tensor products(10.6.3)

Euclidean algorithm for integers

Euclidean algorithm for polynomials(Example 4.2.3)

Euclid's lemma characterizing primes(1.2.5)

Euclid's theorem on the infinitude of primes(1.2.7)

Euler's theorem(1.4.11)

Euler's theorem(Example 3.2.12)

Euler's criterion(6.7.2)

Every Euclidean domain is a principal ideal domain(9.1.2)

Every field of characteristic zero is perfect(8.2.6)

Every finite extension is algebraic(6.2.9)

Every finite separable extension is a simple extension(8.2.8)

Every finite field is perfect(8.2.7)

Every PID is a UFD(9.1.12)

Finite integral domains are fields(5.1.8)

Every finite p-group is solvable(7.6.3)

Finitely generated torsion modules over a PID(10.3.9)

Finitely generated torsionfree modules over a PID(10.7.5)

First isomorphism theorem(7.1.1)

Fitting's lemma for modules(10.4.5)

Frattini's argument(7.8.5)

Fundamental theorem of algebra(8.3.10)

Fundamental theorem of arithmetic(1.2.6)

Fundamental theorem of finitely generated modules over a PID(10.7.5)

Fundamental theorem of Galois theory(8.3.8)

Fundamental theorem of finite abelian groups(7.5.4)

Fundamental homomorphism theorem for groups(3.8.8)

Fundamental homomorphism theorem for rings(5.2.6)

F[x] is a principal ideal domain(4.2.2)

On Galois groups(8.4.3, 8.4.4)

Galois groups of cyclotomic polynomials(8.5.4)

Galois groups over finite fields(8.1.7)

Galois groups and permutations of roots(8.1.4)

Gauss's lemma(4.3.4)

When the group of units modulo n is cyclic(7.5.11)

Hilbert basis theorem(10.3.7)

Hilbert's nullstellensatz(12.4.9)

Hopkin's theorem(11.3.5)

Ideals in the localization of an integral domain(5.8.11)

Impossibility of trisecting an angle(6.3.9)

Incomparability, lying-over, and going up(12.2.9)

Insolvability of the quintic(8.4.8)

Irreducibility of cyclotomic polynomials(8.5.3)

Irreducible ideals are primary(12.3.6)

Irreducible polynomials over R(A.5.7)

Jacobson density theorem(11.3.7)

Jordan-Holder theorem for groups(7.6.10)

Jordan-Holder theorem for modules(10.4.2)

Kronecker's theorem(4.4.8)

Krull's theorem(12.4.6)

Krull-Schmidt theorem(10.4.9)

Lagrange's theorem(3.2.10)

Lasker-Noether decomposition theorem(12.3.10)

Maschke's theorem(10.5.8)

Maximal subgroups in nilpotent groups(7.8.5)

Moebius inversion formula(6.6.6)

The multiplicative group of a finite field is cyclic(6.5.10)

Nakayama's lemma(11.2.8)

The nil radical is nilpotent (in Noetherian rings)(12.4.3)

Number of irreducible polynomials over a finite field(6.6.9)

Number of roots of a polynomial(4.1.12)

Order of a permutation(2.3.8)

Order of the Galois group of a polynomial(8.1.6)

Partial fractions(Example 4204)

Every p-group is abelian(7.2.9)

Every permutation is a product of disjoint cycles(2.3.5)

The polynomial ring over a UFD is a UFD(9.2.6)

The ring of power series is Noetherian(12.4.2)

Prime and maximal ideals(5.3.9)

Prime ideals in a principal ideal domain(5.3.10)

Generalized principal ideal theorem(12.4.7)

Quadratic reciprocity law(6.7.3)

Rational roots(4.3.1)

Remainder theorem(4.1.9)

Schur's lemma(10.1.11)

Second isomorphism theorem(7.1.2)

Simplicity of PSL(2,F)(7.7.9)

Simplicity of the alternating group(7.7.4)

The smallest nonabelian simple group(7.10.7)

On solvable groups(7.6.7, 7.6.8)

Splitting fields are unique(6.4.5)

Structure of simple extensions(6.1.6)

Subgroups of cyclic groups(3.5.1)

Sylow's theorems(7.4.1, 7.4.4)

When the symmetric group is solvable(7.7.2)

Unique factorization of integers(1.2.6)

Unique factorization of polynomials(4.2.9)

Wedderburn's theorem(8.5.6)

Source : 

http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/contents.html#index

GALOIS THEORY

GALOIS THEORY

Excerpted from Beachy/Blair, Abstract Algebra, 2nd Ed., © 1996

Chapter 8

8.1 The Galois group of a polynomial

8.2 Multiplicity of roots

8.3 The fundamental theorem of Galois theory

8.4 Solvability by radicals

8.5 Cyclotomic polynomials

8.6 Computing Galois groups

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The Galois group of a polynomial

To study solvability by radicals of a polynomial equation f(x) = 0, we let K be the field generated by the coefficients of f(x), and let F be a splitting field for f(x) over K. Galois considered permutations of the roots that leave the coefficient field fixed. The modern approach is to consider the automorphisms determined by these permutations. We note that any automorphism of a field F must leave its prime subfield fixed.

8.1.1. Proposition. Let F be an extension field of K. The set of all automorphisms  : F -> F such that  (a) = a for all a in K is a group under composition of functions.

8.1.2. Definition. Let F be an extension field of K. The set

{   Aut(F) |  (a) = a for all a  K }

is called the Galois group of F over K, denoted by Gal(F/K).

8.1.3. Definition. Let K be a field, let f(x)  K[x], and let F be a splitting field for f(x) over K. Then Gal(F/K) is called the Galois group of f(x) over K, or the Galois group of the equation f(x) = 0 over K.

8.1.4. Proposition. Let F be an extension field of K, and let f(x)  K[x]. Then any element of Gal(F/K) defines a permutation of the roots of f(x) that lie in F.

8.1.5. Lemma. Let f(x)  K[x] be a polynomial with no repeated roots and let F be a splitting field for f(x) over K. If  : K -> L is a field isomorphism that maps f(x) to g(x)  L[x] and E is a splitting field for g(x) over L, then there exist exactly [F:K] isomorphisms  : F -> E such that  (a) =  (a) for all a in K.

8.1.6. Theorem. Let K be a field, let f(x)  K[x], and let F be a splitting field for f(x) over K. If f(x) has no repeated roots, then |Gal(F/K)| = [F:K].

8.1.7. Corollary. Let K be a finite field and let F be an extension of K with [F:K] = m. Then Gal(F/K) is a cyclic group of order m.

Multiplicity of roots

8.2.1. Definition. Let f(x) be a polynomial in K[x], and let F be a splitting field for f(x) over K. If f(x) has the factorization

f(x) = (x - r₁)^m₁ (x - r₂)^m₂ · · · (x - r_t)^m_t

over F, then we say that the root r_i has multiplicity m_i. 
If m_i=1, then r_i is called a simple root.

8.2.2. Definition. Let f(x)  K[x], with f(x) =   a_k x^k. The formal derivative f'(x) of f(x) is defined by the formula

f'(x) =   k a_k x^k-1,

where k a_k denotes the sum of a_k added to itself k times.

8.2.3. Proposition. The polynomial f(x) in K[x] has no multiple roots if and only if gcd(f(x),f'(x)) = 1.

8.2.4. Proposition. Let f(x) be an irreducible polynomial over the field K. Then f(x) has no multiple roots unless chr(K) = p  0 and f(x) has the form

f(x) = a₀ + a₁ x^p + a₂ x^2p + · · · + a_n x^np.

8.2.5. Definition. A polynomial f(x) over the field K is called separable if its irreducible factors have only simple roots. 
An algebraic extension field F of K is called separable over K if the minimal polynomial of each element of F is separable. 
The field F is called perfect if every polynomial over F is separable.

8.2.6. Theorem. Any field of characteristic zero is perfect. A field of characteristic p>0 is perfect if and only if each of its elements has a pth root.

8.2.7. Corollary. Any finite field is perfect.

8.2.8. Theorem. Let F be a finite extension of the field K. If F is separable over K, then it is a simple extension of K.

The fundamental theorem of Galois theory

8.3.1. Proposition. Let F be a field, and let G be a subgroup of Aut(F). Then

{ a  F |  (a) = a for all   G }

is a subfield of F.

8.3.2. Definition. Let F be a field, and let G be a subgroup of Aut (F). Then

{ a  F |  (a) = a for all   G }

is called the G-fixed subfield of F, or the G-invariant subfield of F, and is denoted by F^G.

8.3.3. Proposition. If F is the splitting field over K of a separable polynomial and G = Gal(F/K), then F^G = K.

8.3.4. Lemma. [Artin] Let G be a finite group of automorphisms of the field F, and let K = F^G. Then

[F:K]  | G |.

8.3.5. Definition. Let F be an algebraic extension of the field K. Then F is said to be a normal extension of K if every irreducible polynomial in K[x] that contains a root in F is a product of linear factors in F[x].

8.3.6. Theorem. The following conditions are equivalent for an extension field F of K:

(1) F is the splitting field over K of a separable polynomial;

 

(2) K = F^G for some finite group G of automorphisms of F;

 

(3) F is a finite, normal, separable extension of K.

8.3.7. Corollary. If F is an extension field of K such that K = F^G for some finite group G of automorphisms of F, then G = Gal(F/K).

Example. 8.3.1. The Galois group of GF(pⁿ) over GF(p) is cyclic of order n, generated by the automorphism  defined by  (x) = x^p, for all x in GF(pⁿ). This automorphism is usually known as theFrobenius automorphism of GF(pⁿ).

8.3.8. Theorem. [Fundamental Theorem of Galois Theory] Let F be the splitting field of a separable polynomial over the field K, and let G = Gal(F/K).

(a) There is a one-to-one order-reversing correspondence between subgroups of G and subfields of F that contain K:

 

(i) If H is a subgroup of G, then the corresponding subfield is F^H, and

H = Gal(F/F^H).

(ii) If E is a subfield of F that contains K, then the corresponding subgroup of G is H = Gal(F/E), and

E = F^H.

 

(b) For any subgroup H of G, we have

[F:F^H] = | H | and [F^H:K] = [G:H].

(c) Under the above correspondence, the subgroup H is normal if and only if the subfield E = F^H is a normal extension of K. In this case,

Gal(E/K)  Gal(F/K) / Gal(F/E).

In the statement of the fundamental theorem we could have simply said that normal subgroups correspond to normal extensions. In the proof we noted that if E is a normal extension of K, then  (E)  E for all in Gal(F/K). In the context of the fundamental theorem, we say that two intermediate subfields E₁ and E₂ are conjugate if there exists   Gal(F/K) such that  ( E₁ ) = E₂. We now show that the subfields conjugate to an intermediate subfield E correspond to the subgroups conjugate to Gal(F/E). Thus E is a normal extension if and only if it is conjugate only to itself.

8.3.9. Proposition. Let F be the splitting field of a separable polynomial over the field K, and let E be a subfield such that K  E  F, with H = Gal(F/E). If   Gal(F/K), then

Gal(F/(E)) =  H ^-1.

8.3.10. Theorem. [Fundamental Theorem of Algebra] Any polynomial in C[x] has a root in C.

Solvability by radicals

In most results in this section we will assume that the fields have characteristic zero, in order to guarantee that no irreducible polynomial has multiple roots. When we say that a polynomial equation is solvable by radicals, we mean that the solutions can be obtained from the coefficients in a finite sequence of steps, each of which may involve addition, subtraction, multiplication, division, or taking nth roots. Only the extraction of an nth root leads to a larger field, and so our formal definition is phrased in terms of subfields and adjunction of roots of xⁿ-a for suitable elements a.

8.4.1. Definition. An extension field F of K is called a radical extension of K if there exist elements u₁, u₂, ... , u_m in F such that

(i) F = K (u₁, u₂, ... , u_m), and

(ii) u₁^n₁  K and u_i^n_i  K ( u₁, ... , u_i-1 ) for i = 2, ... , m and n₁, n₂, ... , n_m  Z.

For f(x)  K[x], the polynomial equation f(x) = 0 is said to be solvable by radicals if there exists a radical extension F of K that contains all roots of f(x).

8.4.2. Proposition. Let F be the splitting field of xⁿ - 1 over a field K of characteristic zero. Then Gal(F/K) is an abelian group.

8.4.3. Theorem. Let K be a field of characteristic zero that contains all nth roots of unity, let a  K, and let F be the splitting field of xⁿ-a over K. Then Gal(F/K) is a cyclic group whose order is a divisor of n.

8.4.4. Theorem. Let p be a prime number, let K be a field that contains all pth roots of unity, and let F be an extension of K. If [F:K] = |Gal(F/K)| = p, then F = K(u) for some u  F such that u^p  K.

8.4.5. Lemma. Let K be a field of characteristic zero, and let E be a radical extension of K. Then there exists an extension F of E that is a normal radical extension of K.

8.4.6. Theorem. Let f(x) be a polynomial over a field K of characteristic zero. The equation f(x) = 0 is solvable by radicals if and only if the Galois group of f(x) over K is solvable.

Theorem 7.7.2 shows that S_n is not solvable for n  5, and so to give an example of a polynomial equation of degree n that is not solvable by radicals, we only need to find a polynomial of degree n whose Galois group over Q is S_n.

8.4.7. Lemma. Any subgroup of S₅ that contains both a transposition and a cycle of length 5 must be equal to S₅ itself.

8.4.8. Theorem. There exists a polynomial of degree 5 with rational coefficients that is not solvable by radicals.

Cyclotomic polynomials

8.5.1. Definition. Let n be a positive integer, and let  be the complex number  = cos  + i sin  , where  = 2  / n. The polynomial

_n (x) = _k (x - ^k),

where k belongs to the set of positive integers less than n and relatively prime to n, is called the nth cyclotomic polynomial.

8.5.2. Proposition. Let n be a positive integer, and let _n(x) be the nth cyclotomic polynomial. The following conditions hold:

(a) deg ( _n (x)) =  (n);

(b) xⁿ - 1 = _{d | n d} (x);

(c) _n (x) is monic, with integer coefficients.

8.5.3. Theorem. The nth cyclotomic polynomial _n(x) is irreducible over Q, for every positive integer n.

8.5.4. Theorem. For every positive integer n, the Galois group of the nth cyclotomic polynomial _n(x) over Q is isomorphic to Z_n^×.

Example. 8.5.2. A regular n-gon is constructible if and only if  (n) is a power of 2. If p is an odd prime, and  (p) is a power of 2, then p must have the form p = 2^k + 1, where k is a power of 2. Such primes are called Fermat primes. The only known examples are 3, 5, 17, 257, and 65537. This implies, for example, that a regular 17-gon is constructible.

A set that satisfies all the axioms of a field except for commutativity of multiplication is called a division ring or skew field.

8.5.6. Theorem. [Wedderburn] Any finite division ring is a field.

Computing Galois groups

8.6.1. Definition. Let G be a group acting on a set S. We say that G acts transitively on S if for each pair of elements x,y in S there exist an element g in G such that y = gx. 
If G is a subgroup of the symmetric group S_n, then G is called a transitive group if it acts transitively on the set { 1, 2, ... , n }.

8.6.2. Proposition. Let f(x) be a separable polynomial over the field K, with roots r₁ , ... , r_n in its splitting field F. Then f(x) is irreducible over K if and only if Gal(F/K) acts transitively on the roots of f(x).

8.6.3. Lemma. Let p be a prime number, and let G be a transitive subgroup of S_p. Then any nontrivial normal subgroup of G is also transitive.

8.6.4. Lemma. Let p be a prime number, and let G be a solvable, transitive subgroup of S_p. Then G contains a cycle of length p.

8.6.5. Proposition. Let p be a prime number, and let G be a solvable, transitive subgroup of S_p. Then G is a subgroup of the normalizer in S_p of a cyclic subgroup of order p.

Let f(x) be a polynomial of degree n over the field K, and assume that f(x) has roots r₁, r₂, ... , r_n in its splitting field F. The element  of F defined by

 =  (r_i - r_j)²,

where the product is taken over all i,j with 1  i < j  n, is called the discriminant of f(x).

It can be shown that the discriminant of any polynomial f(x) can be expressed as a polynomial in the coefficients of f(x), with integer coefficients. This requires use of elementary symmetric functions, and lies beyond the scope of what we have chosen to cover in the book. 
We have the following properties of the discriminant:

(i)   0 if and only if f(x) has distinct roots;

(ii)   K;

(iii) If   0, then a permutation   S_n is even if and only if it leaves unchanged the sign of

  (r_i-r_j) .

8.6.6. Proposition. Let f(x) be a separable polynomial over the field K, with discriminant , and let F be its splitting field over K. Then every permutation in Gal(F/K) is even if and only if  is the square of some element in K.

We now restrict our attention to polynomials with rational coefficients. The next lemma shows that in computing Galois groups it is enough to consider polynomials with integer coefficients. Then a powerful technique is to reduce the integer coefficients modulo a prime and consider the Galois group of the reduced equation over the field GF(p).

8.6.7. Lemma. Let f(x) = xⁿ + a_n-1 x^n-1 + · · · + a₁ x + a₀  Q[x], and assume that 
a_i = b_i / d for d, b₀, b₁, ... , b_n-1  Z. 
Then dⁿ f(x/d) is monic with integer coefficients, and has the same splitting field over Q as f(x).

If p is a prime number, we have the natural mapping  : Z[x] -> Z_p[x] which reduces each coefficient modulo p. We will use the notation ( f(x) ) = f_p(x).

Theorem [Dedekind]. Let f(x) be a monic polynomial of degree n, with integer coefficients and Galois group G over Q, and let p be a prime such that f_p(x) has distinct roots. If f_p(x) factors in Z_p[x] as a product of irreducible factors of degrees n₁, n₂, ... , n_k, then G contains a permutation with the cycle decomposition

(1,2, ... ,n₁) (n₁+1, n₁+2, ... , n₁+n₂) · · · (n-n_k+1, ... ,n),

relative to a suitable ordering of the roots.

Source : http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html