20/11/2010
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Édition du 30/08/2010
Gérard Villemin
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Théorie des nombres
Théorie des nombres
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Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers, qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs, et contient beaucoup de problèmes ouverts qu'il est facile de comprendre, même par les non mathématiciens. Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres occupe une place particulière en mathématiques, à la fois par ses connexions avec de nombreux autres domaines, et par la fascination qu'exercent ses énoncés. Ainsi, la citation suivante, de Jürgen Neukirch : Le terme « arithmétique » est aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres. C'est un terme assez ancien, qui n'est plus aussi populaire que par le passé. Néanmoins, le terme reste répandu — c’est-à-dire dans les noms des champs mathématiques (géométrie algébrique arithmétique, l'arithmétique des courbes et surfaces elliptiques). Ce sens du terme arithmétique ne doit pas être confondu avec la branche de logique qui étudie l'arithmétique dans le sens des systèmes formels. La théorie des nombres peut être divisée en plusieurs champs d'étude en fonction des méthodes utilisées et des questions traitées.
Sommaire[masquer] |
Dans ce domaine, les entiers sont étudiés sans utiliser de techniques d'autres domaines des mathématiques. Les questions de divisibilité, l'algorithme d'Euclide pour calculer le plus grand commun diviseur (PGCD), la factorisation des entiers en nombres premiers, la recherche des nombres parfaits et des congruences appartiennent à ce domaine. Les affirmations typiques sont le petit théorème de Fermat et le théorème d'Euler, et par extension le théorème des restes chinois et la loi de réciprocité quadratique. Les propriétés des fonctions multiplicatives comme la fonction de Möbius et la fonction φ d'Euler sont étudiées ; ainsi que les suites d'entiers comme les factorielles et les nombres de Fibonacci. Beaucoup de questions en théorie élémentaire des nombres apparaissent simples mais requièrent de très profondes considérations et de nouvelles approches, tels les exemples suivants : La théorie des équations diophantiennes a même été montrée comme étant indécidable. La théorie analytique des nombres emploie l'outillage du calcul infinitésimal et de l'analyse complexe pour traiter des questions sur les entiers. Le théorème des nombres premiers et l'hypothèse de Riemann qui lui est reliée en sont des exemples. Le problème de Waring (c’est-à-dire : pour un nombre donné, est-il la somme de carrés, de cubes, etc.), la conjecture des nombres premiers jumeaux (trouver une infinité de paires de nombres premiers dont la différence est 2) et la conjecture de Goldbach (écrire les entiers pairs comme somme de deux nombres premiers) sont attaqués avec les méthodes d'analyse avec succès. Les preuves de la transcendance des constantes mathématiques, comme π ou e, sont aussi classées comme faisant partie de la théorie analytique des nombres. Tandis que les résultats à propos des nombres transcendants semblent être enlevés de l'étude des entiers, ils étudient réellement les valeurs possibles de polynômes à coefficients entiers évalué à, disons, e; ils sont aussi reliés fermement au champ de l'approximation diophantienne, qui recherche « de quelle façon correcte » un nombre réel donné peut être approché par un nombre rationnel. Dans la théorie algébrique des nombres, le concept de nombre est étendu aux nombres algébriques qui sont les racines des polynômes avec des coefficients rationnels. Ces domaines contiennent des éléments analogues aux entiers, connus sous le nom entiers algébriques. Avec ces règles, les propriétés familières des entiers (c’est-à-dire la factorisation unique) ne sont plus les mêmes. Les vertus de l'outillage employé -- théorie de Galois, corps cohomologique, théorie des corps de classes, représentation des groupes et les fonctions L -- sont telles qu'elles permettent de retrouver un ordre partiel pour ces nouvelles classes de nombres. Beaucoup de questions théoriques sur les nombres sont attaquées avec succès par leur étude modulo p pour tous les nombres premiers p. Ceci mène à la construction des nombres p-adiques ; ce champ d'étude est appelé analyse locale et résulte de la théorie algébrique des nombres. Traditionnellement appelée géométrie des nombres, la théorie géométrique des nombres incorpore toutes les formes de la géométrie. Elle commence avec le théorème de Minkowski à propos de réseaux de points (treillis) dans les ensembles convexes et de recherches sur les empilement de sphères. La géométrie algébrique, et spécialement la théorie des courbes elliptiques, peuvent aussi être employées. Le célèbre Dernier théorème de Fermat fut prouvé avec ces techniques. La théorie combinatoire des nombres s'occupe des problèmes de théorie des nombres qui impliquent les idées combinatoires dans leurs formulations ou leurs solutions. Paul Erdősest le principal fondateur de cette branche de la théorie des nombres. Les sujets caractéristiques incluent le système de couverture, les problèmes à somme zéro, diverses sommes d'ensembles restreintes et des progressions arithmétiques dans l'ensemble des entiers. Les méthodes algébriques ou analytiques sont puissantes dans ce champ d'étude. Ce domaine étudie plus particulièrement les algorithmes appropriés pour la théorie des nombres. Les algorithmes déterministes et probabilistes pour les tests de primalité des nombres supposés premiers et les décompositions en produit de facteurs premiers de nombres à plusieurs centaines de chiffres ont d'importantes applications en cryptographie et est, de fait, un sujet très sensible. Les mathématiciens de l'Inde se sont intéressés à la recherche de solutions intégrales d'équations diophantiennes depuis la période védique. L'usage géométrique le plus ancien des équations diophantiennes peut être retracé dans les Sulba Sutras, qui ont été écrits entre le viiie et le vie siècle av. J.-C. Baudhayana (env. 800 avant J.-C.) trouva deux ensembles de solutions intégrales positives à un système d'équations diophantiennes, et utilisa aussi les systèmes d'équations diophantiennes à quatre inconnues. Apastamba (env. 600 avant J.-C.) utilisa les systèmes d'équations diophantiennes à cinq inconnues. En Inde, les mathématiciens de l'époque jaïna développèrent une théorie des nombres systématique du ive siècle av. J.-C. jusqu'au iie siècle av. J.-C. Le texte Surya Prajinapti (env. 400 avant J.-C.) classe tous les nombres en trois ensembles : énumérables, non énumérables et infini. Chacun de ces trois ensembles était divisé plus avant en trois ordres :Les diverses branches de la théorie des nombres [modifier]
La théorie élémentaire des nombres [modifier]
La théorie analytique des nombres [modifier]
La théorie algébrique des nombres [modifier]
La théorie géométrique des nombres [modifier]
La théorie combinatoire des nombres [modifier]
La théorie calculatoire des nombres [modifier]
Histoire de la théorie des nombres [modifier]
Civilisation védique [modifier]
Époque jaïna [modifier]
Ensembles | Définitions |
---|---|
Énumérables | le plus bas, intermédiaire et le plus haut. |
Non énumérable | non énumérable proche, vraiment non énumérable et non énumérablement non énumérable. |
Infini | infini proche, vraiment infini, infiniment infini. |
Les mathématiciens de l'époque jaïna furent les premiers à écarter l'idée que tous les infinis sont les mêmes ou égaux. Ils reconnurent cinq types différents d'infini : infini dans une ou deux directions (une dimension), infini en surface (deux dimensions), infini partout (trois dimensions), et infini perpétuellement (dans un nombre infini de dimensions). Le nombre énumérable le plus haut N des ouvrages jaïnas correspond au concept moderne de aleph-zéro (le nombre cardinal de l'ensemble infini des entiers 1, 2, ...), le plus petitnombre transfini cardinal. Les mathématiciens de cette époque ont défini aussi un système entier de nombres cardinaux transfinis, dans lequel notre est le plus petit. Dans le travail sur la théorie des ensembles, deux types de nombres transfinis de base ont été distingués. Pour des raisons à la fois physiques et ontologiques, une distinction fut faite entre asmkhyata et ananata, entre infini rigidement lié et infini pauvrement lié. La théorie des nombres fut une étude favorite parmi les mathématiciens grecs d'Alexandrie, Égypte à partir du iiie siècle av. J.-C., qui eurent conscience du concept d'équation diophantienne dans de nombreux cas particuliers. Le premier mathématicien hellène à étudier ces équations fut Diophante. Diophante a également recherché une méthode pour trouver les solution entières pour les équations indéterminées linéaires, équations pour lesquelles il manque une information suffisante pour produire un ensemble unique de réponses discrètes. L'équation est une telle équation. Diophante a découvert que beaucoup d'équations indéterminées peuvent être ramenées à une forme où une certaine catégorie de solutions est connue alors qu'une solution spécifique ne l'est pas. Les équations diophantiennes furent étudiées de manière intensive par les mathématiciens indiens de la période médiévale, qui furent les premiers à chercher systématiquement des méthodes pour la détermination de solutions intégrales d'équations diophantiennes. Aryabhata (en 499) donna la première description explicite de la solution intégrale générale de l'équation diophantienne linéaire , qui apparaît dans son texte Aryabhatiya. Cet algorithme kuttaka est considéré comme étant l'une des contributions les plus significatives d'Aryabhata en mathématiques pures, qui trouva les solutions d'équations diophantiennes en termes de fractions continues. La technique fut appliquée par Aryabhata pour donner les solutions intégrales d'un système d'équations diophantiennes linéaires, un problème avec d'importantes applications en astronomie. Il trouva aussi la solution générale de l'équation linéaire indéterminée en utilisant cette méthode. Brahmagupta en 628 manipula des équations diophantiennes plus difficiles. Il utilisa la méthode chakravala pour résoudre les équations diophantiennes quadratiques, incluant des formes de l'équation de Pell-Fermat, telle que . Son Brahma Sphuta Siddhanta fut traduit en arabe en 773 et fut traduit plus tard en Latin en 1126. L'équation fut plus tard posée comme un problème en 1657 par le mathématicien français Pierre de Fermat. La solution générale de cette forme particulière d'équation de Pell-Fermat fut trouvée plus de 70 ans plus tard par Leonhard Euler, tandis que la solution générale de l'équation de Pell-Fermat fut trouvée plus de 100 ans plus tard par Joseph Louis Lagrange en 1767. En attendant, il y a beaucoup de siècles de cela, la solution générale de l'équation de Pell-Fermat fut enregistrée par Bhaskara II en 1150, utilisant une version modifiée de la méthode chakravala de Brahmagupta, qu'il utilisa aussi pour trouver la solution générale d'autres équations quadratiques intermédiaires indéterminées et des équations diophantiennes quadratiques. La méthode chakravala de Bhaskara pour trouver la solution générale de l'équation de Pell-Fermat était plus simple que la méthode utilisée par Lagrange 600 ans plus tard. Bhaskara trouva aussi des solutions pour d'autres équations indéterminées quadratiques, cubique, quartique et des équations polynômiales de degré plus élevés. Narayana Panditperfectionna encore la méthode chakravala et trouva plus de solutions générales pour les autres indéterminées quadratiques ainsi que pour les équations polynômiales de degré plus élevés. À partir du ixe siècle, les mathématiciens islamiques portèrent un vif intérêt a la théorie des nombres. Le premier de ces mathématiciens fut le mathématicien arabe Thabit ibn Qurra, qui découvrit un théorème qui permettait de trouver des paires de nombres amiables, c’est-à-dire deux nombres qui sont chacun la somme des diviseurs propres de l'autre. Au xe siècle, Al-Baghdadi découvrit une légère variante du théorème de Thabit ibn Qurra. Al-Haitham semble avoir été le premier à tenter de classer tous les nombres parfaits pairs (nombres égaux à la somme de leurs diviseurs propres) comme ceux de la forme où est premier. Al-Haytham est aussi la première personne à avoir établi lethéorème de Wilson, concrètement que si p est premier alors est divisible par . Le fait n'est pas éclairci s'il savait comment démontrer ce résultat. Ce théorème porte le nom de théorème de Wilson à cause d'un commentaire fait par Edward Waring en 1770 dont John Wilson avait noté le résultat. John Wilson indique à Waring qu'il ne sait pas démontrer ce résultat, Waring ne trouve pas non plus de preuve. Pourtant la première démonstration connue provient de Leibniz, qui ne juge pas utile de la publier, et Euler en avait publié une preuve. Les nombres amiables ont joué un grand rôle dans les mathématiques islamiques. Au xiiie siècle, le mathématicien perse Al-Farisi donna une nouvelle démonstration du théorème de Thabit ibn Qurra, introduisant de nouvelles idées concernant la décomposition et les méthodes combinatoires. Il donna aussi la paire de nombre amiables 17 296, 18 416 qui ont été attribués à Euler, mais nous savons que ceux-ci étaient connus plus tôt que Al-Farisi, peut-être même par Thabit ibn Qurra lui-même. Au xviie siècle, Muhammad Baqir Yazdi donna la paire de nombres amiables 9 363 584 et 9 437 056 toujours bien avant la contribution d'Euler. La théorie des nombres en Europe commence aux XVIe et XVIIe siècles par les travaux de Viète, Bachet de Méziriac et surtout Fermat. Au xviiie siècle, Euler et Lagrange contribuèrent à la théorie, vers la fin du siècle, le sujet commence à prendre une forme scientifique à travers les grands travaux de Legendre (1798) et Gauss (1801). Avec ce dernier et son ouvrage, les Disquisitiones arithmeticae (1801), on peut dire que la théorie moderne des nombres commence. Tchebychev (1850) donna des limites très utilisées pour les nombres premiers entre deux nombres donnés. Riemann (1859) conjectura que la limite de la densité des nombres premiers n'excède pas une fonction donnée (le théorème des nombres premiers), introduisit l'analyse complexe dans la théorie de la fonction ζ de Riemann, et en déduisit la formule des nombres premiers à partir de ses zéros. L'arithmétique modulaire a réellement débuté avec les Disquisitiones arithmeticae de Gauss. Il introduisit le symbolisme suivant : et explora la plus grande partie de ce domaine. Il généralise la théorie à d'autres anneaux de celui des entiers relatifs et découvre le premier ensemble d'entiers algébriques : les entiers de Gauss. Tchebychev publia en 1847 un travail en russe sur le sujet, et en France Serret le popularisa. A côté du travail résumé précédemment, Legendre établit les premiers cas d'application loi de réciprocité quadratique. Cette loi, découverte par induction et énoncée par Euler, fut prouvée en premier par Legendre dans sa Théorie des Nombres (1798) pour des cas exceptionnels. Indépendamment d'Euler et Legendre, Gauss découvrit la loi vers 1795, et fut le premier à en donner une preuve générale. Au sujet contribuèrent aussi : Cauchy ; Dirichlet son Vorlesungen über Zahlentheorie est un classique ; Jacobi, qui introduisit le symbole de Jacobi ; Liouville, Zeller (?), Eisenstein, Kummer, et Kronecker. La théorie s'étendit pour inclure la réciprocité biquadratique et cubique, (Gauss, Jacobi qui fut le premier à prouver la loi deréciprocité cubique, et Kummer). On doit aussi à Gauss la représentation des nombres par des formes quadratiques binaires. Cauchy, Poinsot (1845), Lebesgue (?) (1859, 1868), et notablement Hermite ont contribué à ce sujet. Dans la théorie des formes ternaires, Eisenstein a été un chef de file, et grâce à lui et aussi à H. J. S. Smith, on doit une avancée remarquable dans la théorie des formes en général. Smith donna une classification complète des formes quadratiques ternaires, et étendit les recherches de Gauss concernant les formes quadratiques réelles vers les formes complexes. Les recherches concernant la représentation des nombres par la somme de 4, 5, 6, 7, 8 carrés furent approfondies par Eisenstein et la théorie fut complétée par Smith. Dans l'histoire de la théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat joue un rôle à part, en raison des efforts considérables, étalés sur plus de trois cents ans, des mathématiciens du monde entier pour en apporter la preuve (ou la négation). Ce théorème affirme que pour n > 2, il n'existe pas d'entiers non nuls x, y et z vérifiant : Pierre de Fermat lui-même en apporta la preuve dans le cas particulier n = 4. Euler, en 1753, le démontra presque pour n = 3, introduisant dans sa preuve les nombres imaginaires. En1825, Dirichlet et Legendre démontrent le cas n = 5, en utilisant une avancée décisive de la française Sophie Germain (cf Démonstrations du dernier théorème de Fermat). Lamé résout le cas n = 7 en 1839. Ces différents cas sont résolus à l'aide de structure d'anneaux euclidien de la même nature que les entiers de Gauss, ce sont les anneau d'entiers d'Eisenstein et d'entiers de Dirichlet. Kummer en 1847 prouve le théorème lorsque l'exposant n est un nombre premier régulier, et ouvre la théorie de idéaux. À la fin du xixe et au début du xxe siècle, les mathématiciens délaissent le grand théorème de Fermat pour se consacrer aux fondements des mathématiques. En 1955, le japonais Taniyama émet l'hypothèse d'un lien profond entre les courbes elliptiques rationnelles et les formes modulaires, deux domaines a priori très éloignés des mathématiques. Ribet, prouvant une conjecture de Serre, montre que cetteconjecture de Shimura-Taniyama-Weil a pour conséquence le grand théorème de Fermat. C'est Andrew Wiles qui prouvera une portion suffisante de cette conjecture en 1994, avec l'aide de Richard Taylor, et apportera une réponse définitive au célèbre problème. Parmi les derniers auteurs français se trouvent Borel, Poincaré (leurs mémoires sont nombreux et de grande valeur), Tannery, et Stieltjes. Parmi les plus grands contributeurs enAllemagne se trouvent Kronecker, Kummer, Schering, Bachmann, et Dedekind. En Autriche, le travail de Stolz Vorlesungen über allgemeine Arithmetik (1885-1886), et en AngleterreGeorge B. Mathews, sa 'Théorie des nombres (Part I, 1892)' est l'un des plus érudits des travaux généraux. Genocchi, Sylvester, et Glaisher ont aussi participé à la théorie. La mathématique est la reine des sciences et la théorie des nombres est la reine des mathématiques. GaussCivilisation grecque [modifier]
L'époque classique en Inde [modifier]
La civilisation islamique [modifier]
Début de la théorie des nombres en Europe [modifier]
Citation [modifier]
Bibliographie [modifier]
Références [modifier]
Voir aussi [modifier]
Liens externes [modifier]
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Zero, One, two, Three...Infinity
Zero, One, two, Three...Infinity
The concept of zero originated in India. The concept of a number system with basis 10 was prevalent during Vedic times itself. Consider the following hymn from Atharvaveda.
Atharvaveda 5.15
(1) eka cha me dasha cha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.
(2) dve cha me vinshatishcha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.
(3) tistramcha me trinshachcha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.
(4) Chatasrashcha me chatvarinshachcha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.
(5) pancha cha me panchashachcha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.
(6) sat cha me sastishcha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.
(7) sapta cha me saptatishcha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.
(8) asta cha me ashitishcha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.
(9) nava cha me navatishcha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.
(10) dasha cha me shatam cha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.
(11) shatam cha me sahasram chapavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.
Translation:
Atharvaveda 5.15
(1) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be one and ten.
(2) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be two and twenty.
(3) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be three and thirty.
(4) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be four and forty.
(5) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be five and fifty.
(6) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be six and sixty.
(7) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be seven and seventy.
(8) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be eight and eighty.
(9) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be nine and ninety.
(10) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be ten and hundred.
(11) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be hundred and thousand.
Following words are used for numerals in this hymn:
Eka |
One |
Vinshati |
Twenty |
Dva |
Two |
Trinshat |
Thirty |
Tisra |
Three |
Chatvarinshat |
Forty |
Chatasra |
Four |
Panchashat |
Fifty |
Pancha |
Five |
Sasti |
Sixty |
Sat |
Six |
Saptati |
Seventy |
Sapta |
Seven |
Ashiti |
Eighty |
Asta |
Eight |
Navati |
Ninty |
Nava |
Nine |
Shata |
Hundred |
Dasha |
Ten |
Sahasra |
Thousand |
A mantra from Yajurveda describes numbers increasing by a factor of ten up to a trillion.
"Ima me agna istaka dhenavah santveka cha dasha cha dasha cha shatam cha shatam cha sahasram cha sahasram chayutam chayutam cha niyutam cha niyutam cha prayutam charbudam cha nyarbudam cha samudrashcha madhyam chantashcha parardhashchaita me agna ishtaka dhenavah santvamutramusminlloke." Yajurveda 17.2
"O Agni! May these bricks be cows for me. One and ten, and ten and hundred, and hundred and thousand, and thousand and ten thousand, and ten thousand and hundred thousand, and hundred thousand and million, and ten million, and hundred million, and billion, and ten billion, and hundred billion, and trillion, O Agni, may these bricks be cows for me in this world and in the other world." Yajurveda 17.2
Following words are used for numerals in this mantra:
eka = one
dasha = ten
shatam = hundred
sahasra = thousand
ayuta = ten thousand
niyuta = hundred thousand
prayuta = million
arbuda = ten million
nyarbuda = hundred million
samudra = billion
madhya = ten billion
anta = hundred billion
parardha = trillion
Our Vedic ancestors didn't stop there, but took the concept of large numbers to all the way to infinity, as evidenced by the following mantra from Yajurveda.
"Purnamadah Purnamidam Purnatpurnamudachyate.
Purnasya Purnamadaya Purnamevavashisyate." Yajurveda, Shanti Mantra
meaning,
"That is Purna, this is Purna, Purna comes out of Purna.
If Purna is subtracted from Purna, still Purna is left." Yajurveda, Peace Mantra, Chapter 40
Purna is derived from root "Pri" meaning to fill. Thus Purna means full or complete. In this verse, Purna can also be interpreted to mean infinity. Second line then yields that the result of subtracting infinity from infinity is still infinity.
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Mathématiques indiennes
La chronologie des mathématiques indiennes s'étend de la civilisation de la vallée de l'Indus (-3300 à -1500) jusqu'à l'Inde moderne. Parmi les impressionnantes contributions des mathématiciens indiens au développement de la discipline, la plus féconde est certainement la numération décimale de position, appuyée sur des chiffres arabo-indiens, et qui se sont imposés dans le monde entier. Mais les Indiens ont également maîtrisé le zéro1 , les nombres négatifs, les fonctions trigonométriques1. Les concepts mathématiques indiens ont diffusé et ont trouvé un écho en Chineet dans les mathématiques arabes, avant de parvenir en Europe. Les mathématiciens indiens ont également découvert les fondements de l'analyse : calcul différentiel et intégral, limites et séries, bien avant leur redécouverte en Occident.Mathématiques indiennes
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La civilisation de la vallée de l'Indus, remontant aux environs de l'an -3300, apporte les premiers témoignages d'une activité mathématique, sur le sous-continent indien. Les fouilles deHarappa, Mohenjo-daro et de la zone environnante ont permis de découvrir un système de poids et mesures d'une grande précision et de caractère décimal, une technologie de la briquerépondant à des recherches de proportion précises, et une sensibilité aux formes géométriques. Les poids sont mesurés dans un système décimal, puisque le poids unité (de 28 grammes environ) se décline selon les facteurs 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, et 500. Les longueurs sont mesurées à l'aide de règles d'une grande précision. Une règle d'ivoire trouvée à Lothal porte ainsi des divisions espacées de 1,7 mm. La confection de briques s'appuie sur des proportions fixes 4:2:1, d'une grande efficacité pratique. L'utilisation des règles pour choisir les dimensions des briques est attestée par la correspondance, sur les mêmes lieux, entre les divisions des règles, et les longueurs des briques qui en sont des multiples entiers. Les poids de référence sont fréquemment de forme cubique, mais peuvent prendre d'autres formes géométriques : tonneaux, cônes, cylindres. On trouve également des dessins géométriques gravés qui témoignent d'une certaine familiarité avec les cercles1. À Lothal, un instrument de mesure des angles a également été découvert. Il avait probablement pour utilité de diviser le ciel en 8 ou 12 sections. L'articulation entre la civilisation de la vallée de l'Indus et la civilisation védique est mal connue. La théorie de l'invasion aryenne y voyait initialement le résultat d'une invasion violente et subite. La grande majorité des historiens lui préfère maintenant la théorie d'une migration progressive des Aryens en provenance d'Asie centrale. Quelques-uns (souvent indiens) soutiennent en revanche le caractère autochtone des aryens et identifient les deux civilisations. Les textes védiques sont des textes religieux écrits en sanskrit réglementant la taille des autels de sacrifice. Les mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstrations, et s'accompagnent de considérations relevant de l'astronomie et ayant également un caractère religieux. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Vedas contiennent quelques considérations mathématiques, mais la plupart sont regroupées dans les sulba-sutras, ouvrages de géométrie servant d'appendices aux Vedas. Les Indiens de cette époque utilisent des formes polygonales simples, connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. Ils connaissent les opérations arithmétiques et considèrent des équations simples. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π (exactes jusqu'à la première, voire la deuxième décimale) et de la racine carrée de deux (jusqu'à la cinquième décimale)1. Vers la fin de cette période, on voit se mettre en place les neuf chiffres du système décimal. La fascination, d'origine religieuse, pour ces chiffres gigantesques, explique sans doute que les Indiens ont eu plus de facilité à appréhender l'idée d'infinité (purna, la plénitude), parallèlement à celle de zéro (śūnya, le vide), qu'ils commencent à faire entrer dans leurs opérations : ainsi dans le Yajur-Veda, quand on soustrait purna de purna il reste toujours purna 2. Fondée en Inde au vie siècle av. J.-C., le jaïnisme est une religion et une philosophie. La vision cosmologique a fortement motivé les mathématiques indiennes, et en particulier la conception de l'infini. Le monde était divisé par une limite en deçà de laquelle agissaient les êtres vivants, les dieux et les démons. Le monde supérieur était divisé en deux parties. Ces divisions se retrouvent dans les nombres : dénombrables, indénombrables et infinis. Les mathématiques jaïnistes réfèrent à la période s'étendant jusqu'au ve siècle, période sous laquelle la religion jaïniste était dominante. Peu de résultats scientifiques de cette période ont été conservés, mais ils sont d'une grande originalité. L'étude des mathématiques n'est plus dans un but uniquement pratique ou religieux, mais se justifie par elle-même. Les jaïnistes introduisent les premiers concepts de cardinalité et de nombres transfinis, persuadés que tous les infinis ne sont pas égaux. En particulier, ils introduisirent un plus grand nombre dénombrable (N) qui aujourd'hui a donné aleph-zéro, le plus petit cardinal transfini. Pingala, une école de jaïnistes, introduit le calcul matriciel et le système binaire, et utilise la suite de Fibonacci et le triangle de Pascal, autant de résultats qui seront redécouverts. Le zéro est noté par un point. Bien que les explications données en astronomie étaient de nature religieuse (interventions systématiques de démons), leurs observations étaient précises. Dans Surya Prajnapti (400 avant notre ère) est calculée la période orbitale de la lune de 29.5161290 jours, soit une erreur de 20 minutes. La période classique est souvent considérée comme l'âge d'or des mathématiques indiennes. Avec des mathématiciens tels que Aryabhata1, Varahamihira, Brahmagupta, Mahavira etBhaskara1, elle fut une période d'intense rayonnement en direction de l'Orient et du monde islamique. Les avancées durant cette période eurent lieu dans le domaine des systèmes d'équations linéaires et quadratiques, de la trigonométrie, avec l'apparition des fonctions trigonométriques et des tables permettant de les calculer. De nombreux travaux portent sur des équations polynomiales de degrés divers, ou sur des problèmes d'astronomie tels que les calculs d'éclipses. Avec Brahmagupta1 (598-668) et son ouvrage célèbre, le Brahmasphutasiddhanta, les différentes facettes du zéro, chiffre et nombre, sont parfaitement comprises et la construction dusystème de numération décimal parachevée. Les nombres négatifs sont également introduits, ainsi que les racines carrées. La période s'achève avec le mathématicien Bhaskara Acharya3 (1114-1185) qui écrivit plusieurs traités importants. On y trouve des équations polynomiales, des formules de trigonométrie, dont les formules d'addition. Certains auteurs font de Bhaskara un des pères de l'analyse puisqu'il introduisit plusieurs éléments relevant du calcul différentiel : nombre dérivé, différentiation et application aux extrema, et même une première forme du théorème de Rolle.[réf. nécessaire] Ces percées seront reprises et amplifiées par les mathématiciens de l'école du Kerala. Une école de mathématiciens-astronomes prospéra pendant trois siècles dans la région du Kerala, dans le sud de l'Inde. Le fondateur en est Madhava de Sangamagrama (v. 1340-1425), qui partage avec Bhaskara la primauté dans l'introduction des concepts de l'analyse moderne. Les travaux de Madhava nous sont surtout connus à travers ceux de ses successeurs, mais ils montrent que le geste fondamental de l'analyse, le passage à la limite, s'est opéré. On trouve notamment dans le Yuktibhasa, rédigé par Jyesthadeva, des développements de fonctions sous forme de séries, des approximations par séries de Taylor, des tests de convergence pour des séries numériques, des intégrations terme à terme. En conséquence, l'école du Kerala disposera d'approximations très précises de pi (onze décimales), de tables trigonométriques à neuf décimales. L'usage de la langue locale (le malayalam) fut un obstacle à la diffusion des idées de l'école du Kerala. Il est vraisemblable que la redécouverte des bases de l'analyse en Occident se produisit sans influence indienne mais par le truchement des arabes, même si certains historiens, défendent la théorie d'une transmission par les missionnaires jésuites, eux-mêmes souvent versés en mathématiques et astronomie.La civilisation de la vallée de l'Indus [modifier]
Mathématiques de l'époque védique (-1500 à -400) [modifier]
Mathématiques de l'époque jaïniste (-400 à 200) [modifier]
Période classique (400 à 1200) [modifier]
L'école du Kerala (1300 à 1600) [modifier]
Notes et références [modifier]
Voir aussi [modifier]
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Méthode de Monte-Carlo
Le terme méthode de Monte-Carlo, ou méthode Monte-Carlo, désigne toute méthode visant à calculer une valeur numérique en utilisant des procédés aléatoires, c'est-à-dire des techniques probabilistes. Le nom de ces méthodes, qui fait allusion aux jeux de hasard pratiqués à Monte-Carlo, a été inventé en 1947 par Nicholas Metropolis1, et publié pour la première fois en 1949 dans un article co-écrit avec Stanislas Ulam2. Les méthodes de Monte-Carlo sont particulièrement utilisées pour calculer des intégrales en dimensions plus grandes que 1 (en particulier, pour calculer des surfaces et des volumes). Elles sont également couramment utilisées en physique des particules, où des simulations probabilistes permettent d'estimer la forme d'un signal ou la sensibilité d'un détecteur. La comparaison des données mesurées à ces simulations peut permettre de mettre en évidence des caractéristiques inattendues, par exemple de nouvelles particules. La méthode de simulation de Monte-Carlo permet aussi d'introduire une approche statistique du risque dans une décision financière. Elle consiste à isoler un certain nombre de variables-clés du projet, tels que le chiffre d'affaires ou la marge, et à leur affecter une distribution de probabilités. Pour chacun de ces facteurs, un grand nombre de tirages aléatoires est effectué dans les distributions de probabilité déterminées précédemment, afin de trouver la probabilité d'occurrence de chacun des résultats. Le véritable développement des méthodes de Monte-Carlo s'est effectué sous l'impulsion de John von Neumann et Stanislas Ulam notamment, lors de la Seconde Guerre mondiale et des recherches sur la fabrication de la bombe atomique. Notamment, ils ont utilisé ces méthodes probabilistes pour résoudre des équations aux dérivées partielles dans le cadre de la Monte-Carlo N-Particle transport (MCNP).Méthode de Monte-Carlo
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Nous disposons de l'expression de l'espérance mathématique d'une fonction g de variable aléatoire X, résultant du théorème de transfert, selon lequel où fX est une fonction de densité sur le support [a;b]. Il est fréquent de prendre une distribution uniforme sur [a;b]: Ceci peut être étendu aux probabilités discrètes en sommant grâce à une mesure ν discrète, de type Dirac. L'idée est de produire un échantillon (x1,x2,...,xN) de la loi X (donc d'après la densité fX) sur le support [a;b], et de calculer un nouvel estimateur dit de Monte-Carlo, à partir de cet échantillon. La loi des grands nombres suggère de construire cet estimateur à partir de la moyenne empirique : qui se trouve être, par ailleurs, un estimateur sans biais de l'espérance. Ceci est l'estimateur de Monte-Carlo. Nous voyons bien qu'en remplaçant l'échantillon par un ensemble de valeurs prises dans le support d'une intégrale, et de la fonction à intégrer, nous pouvons donc construire une approximation de sa valeur, construite statistiquement. Cette estimation est sans-biais, dans le sens où Il faut aussi quantifier la précision de cette estimation, via la variance de Si l'échantillon est supposé iid, cette variance est estimée à l'aide de la variance empirique avec qui est centrée et réduite, suit approximativement la loi normale centrée réduite, ou loi de Gauss. Il est alors possible de construire des intervalles de confiance, ce qui permet d'encadrer l'erreur commise en remplaçant G par . Si cette erreur est dénotée en, alors pour un niveau de risque α donné, on a: avec probabilité 1 − α. Le réel z1 − α / 2 est le quantile de la loi normale centrée réduite. Par exemple, au niveau de risque , on trouve dans les tables z1 − α / 2 = 1,96 et l'erreur est majorée par . Cette méthode permet donc de quantifier l'erreur commise, à condition d'estimer σg par sa contre-partie empirique On voit ainsi que l'erreur est de l'ordre de N − 1 / 2: par exemple, multiplier la taille de l'échantillon par 100 permet de diviser par 10 l'erreur d'estimation. Il est à noter qu'en pratique, n'est pas connu et doit être estimé ; comme précisé plus-haut, on peut utiliser sa contre-partie empirique. Diverses méthodes, dites techniques deréduction de la variance, permettent d'améliorer la précision — ou de diminuer le temps de calcul — en remplaçant g(X) par une autre variable aléatoire. Ces techniques rentrent en général dans l'une des classes suivantes : l'échantillonnage préférentiel, les variable de contrôle, la variable antithétique, la stratification (Monte-Carlo) et le conditionnement (Monte-Carlo). La résolution du problème du voyageur de commerce est difficile, du fait de la complexité du problème, l'emploi de méthodes d'optimisation probabilistes peut s'avérer efficace pour obtenir une approximation de la meilleure solution, en un temps plus court que pour des méthodes déterministes. Cette méthode est proche de l'expérience de l'aiguille de Buffon. Soit un point de coordonnées , où et . On tire aléatoirement les valeurs de et . Si alors le point appartient au disque de centre de rayon 1. La probabilité que le point appartienne au disque est π/4. En faisant le rapport du nombre de points dans le disque par rapport au nombre de tirages on obtient une approximation du nombre π/4 si le nombre de tirages est grand. Cet exemple est un classique en vulgarisation de la méthode de Monte-Carlo. Soit une zone rectangulaire ou carrée dont les côtés sont de longueur connue. Au sein de cette aire se trouve un lac dont la superficie est inconnue. Grâce aux mesures des côtés de la zone, on connaît l'aire du rectangle. Pour trouver l'aire du lac, on demande à une armée de tirer X coups de canon de manière aléatoire sur cette zone. On compte ensuite le nombre N de boulets qui sont restés sur le terrain ; on peut ainsi déterminer le nombre de boulets qui sont tombés dans le lac : X-N. Il suffit ensuite d'établir un rapport entre les valeurs : Par exemple, si le terrain fait 1000 m2, que l'armée tire 500 boulets et que 100 projectiles sont tombés dans le lac, alors une estimation de la superficie du plan d'eau est de : 100*1000/500 = 200 m2. La qualité de l'estimation s'améliore en augmentant le nombre de tirs et en s'assurant que les artilleurs ne visent pas toujours le même endroit mais couvrent bien la zone. Cette dernière remarque est à mettre en parallèle avec la qualité du générateur aléatoire qui est primordiale pour avoir de bons résultats dans la méthode de Monte-Carlo. Un générateur biaisé est comme un canon qui tire toujours au même endroit : les informations qu'il apporte sont réduites. Aux Échecs, il est facile de mesurer la valeur d'une position, et donc d'un coup y menant, en comptant le nombre de pièces sur l'échiquier, en les pondérant (1 point par pion, 5 par tour...), et en ajustant la valeur trouvée par les libertés, les protections des pièces... Cela n'est pas possible au go. On a alors recours à une analyse de Monte-Carlo : on joue "au hasard" un grand nombre de parties, et on comptabilise la proportion que l'on en gagne. Cette estimation statistique peut s'affiner en biaisant le hasard en évitant les coups stupides. Voir l'article dédié.Théorie [modifier]
Par le théorème de la limite centrale, on sait que la variable :
Exemples [modifier]
Résolution du Problème du voyageur de commerce [modifier]
Détermination de la valeur de π (pi) [modifier]
Détermination de la superficie d'un lac [modifier]
Application au modèle d'Ising [modifier]
Estimation de la valeur d'un coup au Go [modifier]
Notes et références [modifier]
Voir aussi [modifier]
Bibliographie [modifier]
Articles connexes [modifier]
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Histoire des mathématiques
L’histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses régions du globe allant de la Chine à l’Amérique centrale. Jusqu'au xviie siècle, le développement des connaissances mathématiques s’effectue essentiellement de façon cloisonnée dans divers endroits du globe. À partir du xixe et surtout au xxe siècle, le foisonnement des travaux de recherche et la mondialisation des connaissances mènent plutôt à un découpage de cette histoire en fonction des domaines de mathématiques.Histoire des mathématiques
L'os d'Ishango datant de plus de 20 000 ans avant notre ère est généralement cité pour être la première preuve de la connaissance des premiers nombres premiers et de la multiplication[réf. nécessaire], mais cette interprétation reste sujette à discussions[réf. nécessaire]. Il est dit que les mégalithes en Égypte au Ve millénaire avant notre ère ou en Angleterre au IIIe millénaire incorporeraient des idées géométriques comme les cercles, les ellipses et les triplets pythagoriciens[réf. nécessaire]. En 2 600 avant notre ère, les constructions égyptiennes attestent d'une connaissance précise et réfléchie de la géométrie[réf. nécessaire]. L'ethnomathématiques est un domaine de recherche à la frontière de l'anthropologie, de l'ethnologie et des mathématiques qui vise entre autres à comprendre l'essor des mathématiques dans les premières civilisations à partir des objets, instruments, peintures, et autres documents retrouvés. On attribue généralement le début de l'écriture à Sumer, dans le bassin du Tigre et de l'Euphrate ou Mésopotamie. Cette écriture, dite cunéiforme, naît du besoin d'organiser l'irrigation 1et le commerce. Conjointement à la naissance de l'écriture naissent les premières mathématiques utilitaires (économie, calculs de surface). Le premier système numérique positionnel apparaît : le système sexagésimal. Pendant près de deux mille ans, les mathématiques vont se développer dans la région de Sumer, Akkad puis Babylone. Les tablettes datant de cette période sont constituées de tables numériques et de modes d'emploi. C'est ainsi qu'à Nippur (à une centaine de kilomètres de Bagdad), ont été découvertes au xixe siècle des tablettes scolaires datant de l'époque paléo-Babylonienne (2000 av. J.-C.)2. On sait donc qu'ils connaissaient les quatre opérations mais se sont lancés dans des calculs plus complexes avec une très grande précision, comme des algorithmes d'extraction de racines carrées3, racines cubiques, la résolution d'équations du second degré. Comme ils faisaient les divisions par multiplication par l'inverse, les tables d'inverse jouaient un grand rôle. On en a retrouvé avec des inverses pour des nombres à six chiffres sexagésimaux, ce qui indique une très grande précision 4. On a également retrouvé des tablettes sur lesquelles figurent des listes de carrés d'entier, des listes de cubes et une liste souvent interprétée comme celle de triplets pythagoriciens5 suggérant qu'ils connaissaient la propriété des triangles rectangles plus de 1 000 ans avant Pythagore. Des tablettes ont aussi été retrouvées décrivant des algorithmes pour résoudre des problèmes complexes 6. Ils étaient capables d'utiliser des interpolations linéaires pour les calculs des valeurs intermédiaires ne figurant pas dans leurs tableaux. La période la plus riche concernant ces mathématiques est la période de Hammurabi (xviiie siècle av. J.-C.). Vers 1000 av. J.-C., on observe un développement du calcul vers l'astronomie mathématique7. Les meilleures sources sur les connaissances mathématiques en Égypte antique sont le Papyrus Rhind (seconde période intermédiaire, xxe siècle av. J.-C.) qui développe de nombreux problèmes de géométrie, et le Papyrus de Moscou (1850 avant J.-C.) et le rouleau de cuir. À ces documents s'ajoutent trois autres papyrus et deux tablettes de bois ; le manque de documents ne permet pas d'attester ces connaissances8. Les Égyptiens ont utilisé les mathématiques principalement pour le calcul des salaires, la gestion des récoltes, les calculs de surface et de volume et dans leurs travaux d'irrigation et de construction (voir Sciences Égyptiennes). Ils utilisaient un système d'écriture des nombres additionnel (numération égyptienne). Ils connaissaient les quatre opérations, étaient familiers du calcul fractionnaire (basé uniquement sur les inverses d'entiers naturels) et étaient capables de résoudre des équations du premier degré par la méthode de la fausse position. Ils utilisaient une approximation fractionnaire de π9. Les équations ne sont pas écrites, mais elles sous-tendent les explications données. La source principale la plus ancienne de nos connaissances sur les mathématiques chinoises provient du manuscrit de Zhoubi Suanjing ou Les neuf chapitres sur l'art mathématique, daté du ier siècle, mais regroupant des résultats probablement plus anciens. On y découvre que les Chinois avaient développé des méthodes de calcul et de démonstration qui leur étaient propres : arithmétique, fractions, extraction des racines carrées et cubiques, mode de calcul de l'aire du disque, volume de la pyramide et méthode du pivot de Gauss. Leur développement des algorithmes de calcul est remarquablement moderne. Mais on trouve aussi, sur des os de moutons et de bœufs, des gravures prouvant qu'ils utilisaient un système décimal positionnel (numération chinoise). Ils sont aussi à l'origine d'abaques les aidant à calculer. Les mathématiques chinoises avant notre ère sont principalement tournées vers les calculs utilitaires. Elles se développent ensuite de manière propre entre le ier et le viie siècle après J.-C. puis entre le xe et le xiiie siècle. La civilisation maya s'étend de 2600 avant J.-C. jusqu'à 1500 ans après J.-C. avec un apogée à l'époque classique du iiie siècle au ixe siècle. Les mathématiques sont principalement numériques et tournées vers le comput calendaire et l'astronomie. Les Mayas utilisent un système de numération positionnel de base vingt (numération maya). Les sources mayas sont issues principalement des codex (écrits autour duxiiie siècle). Mais ceux-ci ont été en grande majorité détruits par l'Inquisition et il ne reste de nos jours que quatre codex (celui de Dresde, deParis, de Madrid et Grolier) dont le dernier est peut-être un faux. La civilisation Inca (1400-1530) a développé un système de numération positionnel en base 10 (donc similaire à celui utilisé aujourd'hui). Ne connaissant pas l'écriture10, ils utilisaient des quipus pour « écrire » les statistiques de l'État. Un quipu est un encordage dont les cordes présentent trois types de nœuds symbolisant respectivement l'unité, la dizaine et la centaine11. Un agencement des nœuds sur une corde donne un nombre entre 1 et 999 ; les ajouts de cordes permettant de passer au millier, au million, etc. La civilisation de la vallée de l'Indus développa un usage essentiellement pratique des mathématiques : système décimal de poids et mesures et régularité des proportions dans la confection de briques. Les sources écrites les plus anciennes concernant les mathématiques indiennes sont les sulba-sutras (de 800 av. J.-C. jusqu'à 200). Ce sont des textes religieux écrits en sanscrit réglementant la taille des autels de sacrifice. Les mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstration. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Indiens connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π et de racine carrée de deux. Vers la fin de cette période, on voit se mettre en place les neuf chiffres du système décimal. Il faut ensuite attendre l'époque jaïniste (ve siècle après J.-C.) pour voir naître de nouveaux textes mathématiques. Les mathématiciens de cette époque commencent une réflexion sur l'infini, développent des calculs sur des nombres de la forme qu'ils nomment première racine carrée, seconde racine carrée, troisième racine carrée. De cette époque, datent l'Aryabhata (499), du nom de son auteur, écrit en sanscrit et en vers, et les traités d'astronomie et de mathématiques de Brahmagupta (598-670) . Dans le premier, on y trouve des calculs de volume et d'aire, des calculs de sinus qui donne la valeur de la demi-corde soutenue par un arc, la série des entiers, des carrés d'entiers, des cubes d'entiers. Une grande partie de ces mathématiques sont orientées vers l'astronomie. Mais on trouve aussi des calculs de dettes et recettes où l'on voit apparaître les premières règles d'addition et de soustraction sur les nombres négatifs. Mais c'est à Brahmagupta semble-t-il que l'on doit les règles opératoires sur le zéro en tant que nombre et la règle des signes. À la différences des mathématiques égyptiennes et mésopotamiennes connues par des papyrus ou des tablettes d'argiles antiques remarquablement bien conservées, les mathématiques grecques ne sont pas parvenues jusqu'à nous grâce à des traces archéologiques. On les connait grâce aux copies, traductions et commentaires de leurs successeurs. La grande nouveauté des mathématiques grecques est qu'elles quittent le domaine de l'utilitaire pour rentrer dans celui de l'abstraction. Les mathématiques deviennent une branche de la philosophie. De l'argumentation philosophique découle l'argumentation mathématique. Il ne suffit plus d'appliquer, il faut prouver et convaincre : c'est la naissance de la démonstration. L'autre aspect de ces nouvelles mathématiques concerne leur objet d'étude. Au lieu de travailler sur des méthodes, les mathématiques étudient des objets, des représentations imparfaites d'objets parfaits, on ne travaille pas sur un cercle mais sur l'idée d'un cercle. Les grandes figures de ces nouvelles mathématiques sont Thalès (-625 – -547), Pythagore (-580 – -490) et l'école pythagoricienne, Hippocrate(-470 – -410) et l'école de Chios, Eudoxe de Cnide (-408 – -355) et l'école de Cnide, Théétète d'Athènes (-415 – -369) puis Euclide. Il est probable que cette école grecque des mathématiques ait été influencée par les apports mésopotamiens et égyptiens. Ainsi Thalèsvoyagea en Égypte, et il a pu rapporter en Grèce des connaissances en géométrie. Il travailla sur les triangles isocèles et les triangles inscrits dans un cercle. Selon l'école pythagoricienne, « tout est nombre ». Les deux branches d'étude privilégiées sont l'arithmétique et la géométrie. La recherche d'objets parfaits conduit les Grecs à n'accepter d'abord comme nombres que les nombres rationnels matérialisés par la notion de longueurs commensurables : deux longueurs sont commensurables s'il existe une unité dans laquelle ces deux longueurs sont entières. L'échec de cette sélection matérialisée par l'irrationalité de la racine carrée de deux les conduit à n'accepter que les nombres constructibles à la règle et au compas. Ils se heurtent alors aux trois problèmes qui vont traverser l'histoire : la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube. En arithmétique, ils mettent en place la notion de nombre pair, impair, parfait et figuré. Cet idéalisation des nombres et le souci de les relier à des considérations géométriques est probablement lié au système de numération grecque assez peu pratique : si le système est décimal, il est additif et se prête donc assez peu facilement aux calculs numériques. En géométrie, ils étudient les polygones réguliers avec un penchant pour le pentagone régulier. Hippocrate de Chios cherchant à résoudre le problème mis en place par Pythagore découvre la quadrature des lunules et perfectionne le principe de la démonstration en introduisant la notion de problèmes équivalents. Eudoxe de Cnide travaille sur la théorie des proportions acceptant ainsi de manipuler des rapports de nombres irrationnels. Il est probablement à l'origine de la formalisation de laméthode d'exhaustion pour le calcul par approximations successives d'aires et de volumes. Théétète travaille sur les polyèdres réguliers. La synthèse la plus importante des mathématiques grecques vient des Éléments d’Euclide. Les objets géométriques doivent être définis : il ne s'agit plus d'objets imparfaits mais de l'idée parfaite des objets. Dans ses Éléments, Euclide se lance dans la première formalisation de la pensée mathématique. Il définit les objets géométriques (droites, cercles, angles), il définit l'espace par une série d'axiomes, il démontre par implication les propriétés qui en découlent et fait le lien formel entre nombre et longueur. Cet ouvrage restera dans le cursus mathématique universitaire européen jusqu'au xixe siècle. Après Euclide, d'autres grands noms éclairent les mathématiques grecques. Archimède qui perfectionne les méthodes d'Eudoxe, et Apollonius de Perge dont le traité sur les coniquesest considéré comme un classique de la géométrie grecque. Dans l'antiquité tardive, les mathématiques sont représentées par l'école d'Alexandrie. Diophante étudiera les équations dites diophantiennes, et sera appelé le "père de l'algèbre". Durant la période allant de 800 à 1500 après J.C., c'est dans les régions conquises par les musulmans que se développent le plus les mathématiques. La langue arabe devient langue officielle des pays conquis. Un vaste effort de recueils et de commentaires de textes est entrepris. S'appuyant d'une part sur les mathématiques grecques, d'autre part sur les mathématiques indiennes et chinoises que leur relations commerciales leur permettent de connaître, les mathématiciens musulmans vont considérablement enrichir les mathématiques, développant l'embryon de ce qui deviendra l'algèbre, répandant le système décimal indien avec les chiffres improprement appelés chiffres arabes et développant des algorithmes de calculs. Parmi les nombreux mathématiciens musulmans, on peut citer Al-Khwarizmi et son ouvrage al-jabr. On assiste à un développement important de l'astronomie et de la trigonométrie. Le rôle du Moyen Âge fut essentiel pour l'extension du domaine des nombres. C'est durant le Moyen Âge que l'application de l'algèbre au commerce amena en Orient l'usage courant des nombres irrationnels, un usage qui se transmettra ensuite à l'Europe. C'est aussi durant le Moyen Âge, mais en Europe, que pour la première fois des solutions négatives furent acceptées dans des problèmes. C'est enfin peu après la fin du Moyen Âge que l'on considéra les quantités imaginaires, qui permettaient de mettre en évidence des solutions réelles de certaines équations du troisième degré. Dès le xiie siècle est entreprise en Italie une traduction des textes arabes et, par là-même, la redécouverte des textes grecs12. Tolède, ancien centre culturel de l'Espagne musulmane, devient, suite à la Reconquista, l'un des principaux centres de traduction, grâce au travail d'intellectuels comme Gérard de Crémone ou Adélard de Bath. L'essor économique et commercial que connaît alors l'Europe, avec l'ouverture de nouvelles routes commerciales notamment vers l'Orient musulman, permet également aux milieux marchands de se familiariser avec les techniques transmises par les Arabes. Ainsi, Léonard de Pise, avec son Liber abaci en 1202, contribue largement à faire redécouvrir les mathématiques à l'Europe. Parallèlement au développement des sciences, se concentre une activité mathématique en Allemagne, en Italie et en Pologne aux xive siècle et xve siècle. On assiste à un développement important de l'école italienne avec Scipione del Ferro, Tartaglia, Cardan, Ferrari, Bombelli, école principalement tournée vers la résolution des équations. Cette tendance est fortement liée au développement dans les villes italiennes de l'enseignement des mathématiques non plus dans un but purement théorique tel qu'il pouvait l'être dans le Quadriviummais à des fins pratiques, notamment destinée aux marchands. Cet enseignement se diffuse dans des botteghe d'abbaco ou « écoles d'abbaques » où des maestri enseignent l'arithmétique, la géométrie et les méthodes calculatoires à de futurs marchands à travers des problèmes récréatifs, connus grâce à plusieurs « traités d'abbaque » que ces maîtres nous ont laissés13. Les nombres complexes apparaissent lors des travaux de Scipione del Ferro, à l'occasion de la résolution des équations de degrés trois. Repris par Tartaglia, et publiés par Cardan, ils trouvent une première forme avec Bombelli. Ferrari résout les équations du quatrième degré. Jusqu'à la fin du xvie siècle, la résolution de problèmes demeure cependant rhétorique. Le calcul symbolique apparaît en 1591 lors de la publication de l’Isagoge de François Viète avec l'introduction de notations spécifiques pour les constantes et les variables (ce travail popularisé et enrichi par Harriot, Fermat et Descartes modifiera entièrement le travail algébrique en Europe). Les mathématiques portent leur regard sur des aspects physiques et techniques. Fils de deux pères, Isaac Newton et Gottfried Leibniz, le calcul infinitésimal fait entrer les mathématiques dans l'ère de l'analyse (dérivée, intégrale, équation différentielle). L'univers mathématiques du début du xviiie siècle est dominé par la figure de Leonhard Euler 14 et par ses apports tant sur les fonctions que sur la théorie des nombres, tandis que Joseph-Louis Lagrange éclaire la seconde moitié de ce siècle. Le siècle précédent avait vu la mise en place du calcul infinitésimal ouvrant la voie au développement d'un nouveau domaine mathématique : l'analyse algébrique dans laquelle, aux opérations algébriques classiques, viennent s'ajouter deux opérations nouvelles, la différentiation et l'intégration (introductio in analysin infinitorum - Euler-1748). Le calcul infinitésimal se développe et s'applique aussi bien aux domaines physiques (mécanique, mécanique céleste, optique, cordes vibrantes) qu'aux domaines géométriques (étude de courbes et de surfaces).Leonhard Euler, dans Calculi différentialis (1755) et Institutiones calculi integralis (1770) essaie de mettre au point les règles d'utilisation des infiniment petits et développe des méthodes d'intégration et de résolution d'équations différentielles. Jean le Rond d'Alembert puis Joseph-Louis Lagrange lui emboîtent le pas. En 1797, Sylvestre-François Lacroix publie Traité du calcul différentiel et intégral qui se veut une synthèse des travaux d'analyse du xviiie siècle. La famille Bernoulli contribue au développement de la résolution des équations différentielles. La fonction devient un objet d'étude à part entière. On s'en sert dans des problèmes d'optimisation. On la développe en séries entières ou asymptotiques(Taylor, Stirling, Euler, Maclaurin, Lagrange), mais sans se préoccuper de leur convergence. Leonhard Euler élabore une classification des fonctions. On tente de les appliquer à des réels négatifs ou à des complexes 15. Le théorème fondamental de l'algèbre (existence de racines éventuellement complexes à tout polynôme) resté sous forme de conjecture depuis deux siècles est remis en avant dans l'utilisation de la décomposition des fractions en éléments simples nécessaire pour le calcul intégral. Successivement, Euler (1749), le chevalier de Foncenex (1759) et Lagrange (1771) tentent des démonstrations algébriques mais se heurtent à la partie transcendante du problème (tout polynôme de degré impair sur R possède une racine réelle) qui nécessiterait l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires16.. La démonstration de D'Alembert, publiée en 1746 dans les annales de l'académie de Berlin, est la plus achevée mais présente encore quelques trous et des obscurités. Gauss, en 1799, qui critique D'Alembert sur ces points n'est d'ailleurs pas exempté des mêmes reproches. Il faut à un moment faire intervenir un résultat d'analyse fort que le siècle ne connaît pas. De plus, l'obstacle se situe dans la question des points de branchement: on retrouve ici une question déjà débattue lors de la polémique sur les logarithmes des nombres négatifs que tranchera Euler. La seconde et la troisième démonstration de Gauss ne souffrent pas de ces reproches mais on n'est plus au xviiie siècle... En arithmétique, Euler démontre le petit théorème de Fermat et en donne une version élargie aux nombres composés (1736-1760). Il infirme la conjecture de Fermat sur la primalité des nombres de la forme (nombre de Fermat)17. Il s'intéresse à la répartition des nombres premiers et prouve que la série des inverses des nombres premiers est divergente18. Laconjecture de Bachet (tout nombre est somme de 4 carrés au plus) est démontrée par Lagrange en 1770. C'est aussi Lagrange qui démontre en 1771 le théorème de Wilson (si p est premier, il divise (p-1)! + 1). Il développe la technique de décomposition en fractions continues et démontre l'infinité des solutions de l'équation de Pell-Fermat19. Legendre publie en 1798 sa Théorie des nombres qui rassemble un grand nombre de résultats d'arithmétique20.La loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler et Legendre ne sera démontrée que le siècle suivant. Durant ce siècle, les mathématiciens continuent de s'intéresser aux résolutions algébriques des équations. Le premier essai systématique sur la résolution des équations algébriques était l'œuvre de Tschirnhaus en 1683. Euler lui-même, dans deux essais, ne va pas au-delà de son devancier et en 1762, Bezout introduit la notion de racine de l'unité. Entre 1770 et 1772, on peut citer trois grands mémoires plus originaux : celui de Waring, celui d'Alexandre-Théophile Vandermonde (1771) sur la résolubilité par radicaux des équations xn − 1 = 0(équation cyclotomique) qui est un précurseur dans l'utilisation des permutations des racines21 et celui de Lagrange (1770) qui rassemble toutes les méthodes de résolutions déjà tentées mais va introduire les résolvantes de Lagrange et démontrer, dans un langage où la notion de groupe n'existe pas encore, le théorème de Lagrange: l'ordre d'un sous-groupe d'un groupe fini divise l'ordre du groupe. Ces deux derniers mathématiciens mettent en évidence l'importance des racines et de leurs permutations mais il faut attendre le siècle suivant pour voir naitre la notion de groupe de permutations. La géométrie analytique se développe et s'étend de l'étude des courbes à celle des surfaces. Euler étudie l'équation générale du second degré à trois variables et présente une classification des solutions. Alexis Clairaut étudie les courbes gauches (1729). Gabriel Cramer publie en 1750 un traité sur les courbes algébriques. La grande figure de la géométrie du XVIIIe reste Gaspard Monge22. Celui-ci développe la géométrie différentielle avec l'étude des tangentes et crée une nouvelle discipline: la géométrie descriptive. Leonhard Euler développe le calcul trigonométrique, met en place les formules de calcul de la géométrie sphérique et replace les fonctions circulaires dans l'ensemble général des fonctions, les développant en séries entières ou en produits infinis et découvrant une relation entre les fonctions circulaires et les fonctions exponentielles Le siècle voit l'apparition de quelques théoriciens de la logique. Leonhard Euler met au point une méthode de représentation figurée des déductions syllogistiques (diagramme d'Euler), Jean-Henri Lambert travaille sur la logique des relations 22. C'est aussi le siècle qui s'attaque aux premiers exemples de ce qui va devenir la théorie des graphes. Euler résout en 1736 le problème des ponts de Königsberg, et, en 1766, énonce le théorème des circuits eulériens: un p-graphe admet un circuit eulérien si et seulement si le nombre de ses sommets de degré impair est 0 ou 2. Il s'attaque au problème du cavalier en 1759 mais ne publie rien jusqu'en 1766. Il s'agit d'un cas particulier de graphes hamiltoniens. Le problème du cavalier est connu depuis fort longtemps. Vers 840, al-Adli ar-Rumi en donne une solution. Le poête Rudrata en parlait aussi dans le Kavyalankara, un texte indou. Mais le siècle est fécond aussi en conjectures qui resteront des énigmes pendant plus d'un siècle : le problème de Goldbach, le problème de Waring23, ... Le siècle voit aussi Legendre s'échiner pendant des années sur les intégrales elliptiques. Malheureusement pour lui, même s'il fait l'admiration d'Euler en ce domaine, la solution de la question allait lui échapper au profit d'Abel. Le xviiie siècle est aussi celui de l'encyclopédie dans laquelle Jean le Rond d'Alembert fait un état des lieux des mathématiques de ce siècle. Durant la période Edo (1603 - 1887), au Japon, se développe une mathématique sans influence de la mathématique occidentale mais inspirée de la mathématique chinoise, travaillant sur des problèmes d'essence géométrique. Des énigmes géométriques sont posées et résolues sur des tablettes en bois appelées Sangaku. L'histoire mathématique du xixe siècle est riche. Trop riche pour qu'en un essai de taille raisonnable on puisse couvrir la totalité des travaux de ce siècle. Aussi ne doit-on attendre de cette partie que les points saillants des travaux de ce siècle. Le xixe siècle vit apparaître plusieurs théories nouvelles et l'accomplissement des travaux entrepris au siècle précédent. Le siècle est dominé par la question de la rigueur. Celle-ci se manifeste en analyse avec Cauchy et la sommation des séries. Elle réapparaît à propos de la géométrie. Elle ne cesse de se manifester en théorie des fonctions et particulièrement sur les bases du calcul différentiel et intégral au point de voir disparaître totalement ces infiniments petits qui avaient pourtant fait le bonheur du siècle précédent. Mais plus encore, le siècle marque la fin de l'amateurisme mathématique: les mathématiques étaient jusque là surtout le fait de quelques particuliers suffisamment fortunés soit pour étudier eux-mêmes soit pour entretenir quelques génies. Au xixe siècle, tout cela prend fin : Les mathématiciens deviennent des professionnels appointés. Le nombre de ces professionnels ne cesse de croître et avec ce nombre, les mathématiques prennent une importance jamais atteinte, comme si la société tout entière prenait enfin conscience du formidable outil. Les applications, en germe dans le siècle précédent, se développent rapidement dans tous les domaines, laissant croire que la science peut tout. D'ailleurs, certains succès sont là pour en attester. N'a-t-on pas découvert une nouvelle planète uniquement par le calcul ? N'a-t-on pas expliqué la création du système solaire ? Le domaine de la physique, science expérimentale par excellence est complètement envahi par les mathématiques: la chaleur, l'électricité, le magnétisme, la mécanique des fluides, la résistance des matériaux et l'élasticité, la cinétique chimique sont à leur tour mathématisés au point que le bon vieux cabinet de curiosité du xviiie siècle finissant est remplacé par un tableau noir. Et le vaste champ de la science s'étend encore et encore. Certes, on ne dit plus ce presque lieu commun du xviiie siècle que les sciences mathématiques seront bientôt achevées et qu'il faudra "fermer la mine", à la place on se met à rêver à la machine de Leibniz qui répondrait à toutes les questions. On va même jusqu'à quantifier le hasard ou l'incertain, histoire de se rassurer. Cournot veut appliquer le calcul des probabilités en matière judiciaire pour arriver à cette stupéfiante, et combien rassurante, conclusion qu'il y a moins de deux pour cent d'erreurs judiciaires ! Les mathématiques s'insinuent jusqu'à la structure intime de la matière: plusieurs théories de la lumière et les prémisses de la théorie de la relativité chez Lorentz qui complète la théorie électromagnétique de Maxwell. La tendance à la rigueur, commencée au début du xixe siècle, ne verra son accomplissement qu'au début du xxe siècle par la remise en cause de bien des a priori.Préhistoire [modifier]
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Le xviiie siècle [modifier]
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xixe siècle [modifier]
Gottlob Frege.jpg
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Euler, dont on a commencé la publication des travaux (prévus sur cinquante ans !), s'était déjà attaqué à bien des domaines : acoustique, optique, résistance des matériaux, mécanique des fluides, élasticité, mais ces domaines étaient encore naissants. C'est Fourier, dont le premier mémoire est refusé par l'Académie des sciences de Paris, qui attaque le premier la théorie de la chaleur faisant usage de ce qui va devenir les séries de Fourier. Vers la même époque, les années 1820, Fresnel s'occupe d'optique ainsi que Bessel qui va introduire lesfonctions de Bessel. La mécanique des fluides, qui en était quasiment au stade laissé par Euler et d'Alembert, le stade des fluides parfaits, fait des progrès avec Henri Navier et George Gabriel Stokes qui s'attaquent aux fluides incompressibles puis compressibles introduisant la viscosité. L'électricité, fait ses débuts sous l'influence de Gauss, d'Ohm, de Biot, de Savartet d'Ampère mais c'est surtout le génie de Maxwell qui va embrasser la théorie dans l'une des plus belles théories du siècle, la théorie électromagnétique, qui prétend unifier l'ensemble des travaux sur l'électricité, l'optique et le magnétisme. En résistance des matériaux, les progrès sont plus modestes. On peut citer notamment Barré de Saint-Venant, Yvon Villarceau,Aimé-Henry Résal et son fils Jean Résal mais il faudra attendre le siècle suivant pour que l'élasticité fasse de décisifs progrès, d'autant qu'on ignore encore bien des propriétés du béton et plus encore le béton armé. Vers la fin du siècle, on en connaît suffisamment pour que certains se lancent dans des réalisations monumentales en acier, tels Eiffel. Trois grands problèmes éclaireront le siècle : la loi de réciprocité quadratique, la répartition des nombres premiers et le grand théorème de Fermat. Le xixe siècle offre des progrès considérables sur ses trois questions grâce aux développements d'une véritable théorie prenant le nom d'arithmétique ou de théorie des nombres et s'appuyant sur des outils abstraits et sophistiqués. sous la seule justification du développement en série de Taylor de 1/(1+x). Les mathématiciens croient encore, pour peu de temps, que la somme infinie de fonctions continues est continue, et (pour plus longtemps) que toute fonction continue admet une dérivée... Mais déjà le siècle est écoulé et, au congrès international de mathématique qui se tient, en cette année 1900, à Paris, David Hilbert présente une liste de 23 problèmes non résolus de première importance pour le siècle d'après. Ces problèmes couvrent une grande partie des mathématiques et vont prendre une part importante dans l'histoire mathématique du xxe siècle. Ce paragraphe donne un ensemble de livres de première importance, soit par leur contenu historiquement important soit pour la synthèse qu'ils constituent sur un domaine donné. L'ordre choisi est alphabétique sur le nom des auteurs. Le xxe siècle aura été un siècle extraodinairement fécond du point de vue mathématique. Trois grands théorèmes dominent tous les autres : d'une part le théorème de Gödel ; d'autre part la démonstration de la conjecture de Tanyama-Shimura qui entraîna la démonstration du grand théorème de Fermat ; enfin la démonstration des conjectures de Weil par Pierre Deligne. De nouveaux domaines de recherche sont nés ou se sont développés : les systèmes dynamiques, suite aux travaux de Poincaré, les probabilités, la topologie, la géométrie différentielle, la logique, la géométrie algébrique, suite aux travaux de Grothendieck, ...Revues de mathématiques [modifier]
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MULTIPLICATIONS PAR 9 ET PAR 11 SANS CHRONO
MULTIPLICATIONS PAR 9 ET PAR 11 SANS CHRONO
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Source : http://www.neroucheffmichel.be/html/X9X11SChrono/x11x9.html
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A KAHUN MATHEMATICAL FRAGMENT
A KAHUN MATHEMATICAL FRAGMENTJohn A.R. Legon[Based on the author's article in Discussions in Egyptology 24 (1992), p.21-24] |
The significance of the numbers written in hieratic in column 12 of the fragment (see fig. 1) was in fact first recognised by Moritz Cantor [4], who noticed that |
To explain why only ten terms in the series were actually recorded, when there was enough space on the papyrus for the scribe to write down several more terms if he had wanted to, Gillings wrote: "we may surmise that he was checking his progression totals, and when he reached 100, he thought he had finished at 110. Or he may just have got tired of the interminable subtractions" [5]. In support of his theory, Gillings believed that the working in the adjacent column 11 of the text was a check multiplication for the thirteenth term of the series, and a stumbling block to the view that the series was intended to contain only ten terms. But in fact, the working is exactly of the form that we should expect for the Egyptian method of computing an arithmetical progression, when ten terms are required. This is proven by the other surviving example of a calculation of this type, in problem 64 in the Rhind Papyrus [6]. Since Cantor also failed to explain the significance of column 11, however, it is now necessary to describe how the calculation was carried out. Given a quantity of 100 which has to be divided into ten shares in arithmetical progression, these shares will have nine differences between them, and the interval between the smallest and largest of the shares will equal nine times the common difference. The largest share can be found by adding half the total interval to the average share. This calculation was performed by the scribe by multiplying half the common difference by the number of differences; and hence in column 11 of Kahun IV.3, for the common difference of "3 '6, the scribe multiplies '3 '12 by 9 with a result of 3 "3 '12. This is added to the average share which is simply 100/10 equals 10; and hence as shown at the top of column 12, the largest share will be Now to explain why the common difference of "3 '6 was selected, it will be noted that the smallest share is about equal to half the largest share; and it seems very likely that an approximation to this simple relationship was the scribe's objective. The problem was thus to distribute a quantity of 100 into 10 shares in arithmetical progression, such that the smallest share should be equal to half the largest share. The scribe seems to have realized that the smallest and largest shares then had to represent one-third and two-thirds of their sum, which should amount to twice the average share, or just 20; and that the correct values for these shares was therefore 6 "3 and 13 '3. But in this case, the common difference between the shares had to equal one-ninth of 6 "3 or "3 '18 '54, which was an awkward quantity to deal with. The calculation was made easier by rounding up the common difference to "3 '6, with slight error so far as any practical distribution was concerned. In problem 64 of the Rhind Papyrus, by way of comparison, it was required to divide 10 hekat of barley between ten men with a common difference equal to the Horus-eye fraction of '8 hekat. The largest share which resulted thus arbitrarily amounted to more than three times the smallest share. Problem 40 in the Rhind Papyrus deals with the distribution of loaves in arithmetical progression such that the two smallest shares amount to 1/7 of the three largest shares - a requirement which was apparently devised to make use of the chance property of a previously constructed progression. The Kahun fragment provides the only existing example where a distribution of shares in arithmetical progression appears to have been determined by a specific relationship between the smallest and largest shares. |
[1]. F.Ll. Griffith, Hieratic Papyri from Kahun and Gurob, 2 vols. (London, 1897). Vol.1, 16; vol.2, pl.VIII. [2]. H. Schack-Schackenburg, ZÄS 37 (1899), 78-9; ZÄS 38 (1900), 138-9. [3]. R.J. Gillings, Mathematics in the Time of the Pharaohs, (Cambridge, Mass., 1972), 176-180. [4]. M. Cantor, 'Die mathematischen Papyrusfragmente von Kahun',Orientalistische Litteratur-Zeitung vol.1 no.10 (1898), 306-8. [5]. Gillings op.cit., 80. [6]. T.E. Peet, The Rhind Mathematical Papyrus (Liverpool, 1923), 107-8. See also G. Robins and C.C.D. Shute, The Rhind Mathematical Papyrus (London, 1987), 42-3.
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Papyrus Kahun
Papyrus Kahun
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Cet article est une ébauche concernant le mobilier archéologique et les monuments d’Égypte antique et lamédecine.
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Les papyrus de Kahun auraient été écrits vers la fin de la XIIe dynastie égyptienne. Ils reproduisent des traités plus anciens et comprennent, entre autres, un traité de gynécologie et untraité de mathématiques.
Bibliographie [modifier]
- Le livre de Sylvia Couchoud, Mathématiques Égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique (éditions Le Léopard d’Or, 1993), a peu à dire sur le contenu arithmétique des papyrus de Kahun en tant que tel ; de même celui, plus solide, de Caveing cité infra. On consultera beaucoup plus profitablement l'analyse de Annette Imhausen, Ägyptische Algorithmen. Eine Untersuchung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten (Wiesbaden, Harrassowitz, 2003), p. 33-175.
- Le tome 2 de Collier & Quirke (p. 72-96) présente la transcription, la traduction et une analyse succincte de ces papyrus mathématiques, aux soins d'A. Imhausen et James ("Jim") Ritter. A leur bibliographie p. 96, ajouter Maurice Caveing, Essai sur le savoir mathématique dans la Mésopotamie et l'Égypte ancienne (s.l., Presses Universitaires de Lille, 1993), p. 370-372.
- F. L. Griffith, Hieratic Papyri from Kahun and Gurob (Principally of the Middle Kingdom), I-II, Quaritch, London, 1898
Présentation et traduction dans le tome 1, fac-similé des textes hiéroglyphiques et copies autographes dans le tome 2
- Mark Collier, Stephen Quirke, The UCL Lahun Papyri, I-III, Archeopress, Oxford, 2002, 2004 et 2006
Lettres dans le tome 1, textes de contenu littéraire et mathématique dans le 2, documents divers dans le 3 ; textes hiéroglyphiques, transcription et traduction, avec reproduction complète des papyrus dans le CD-ROM attaché à chaque tome
- Richard Gillings, Mathematics in the Time of the Pharaohs, pages 176-180, MIT, Cambridge, Mass, 1972, (ISBN 0-486-24315-X)
- John Legon, A Kahun mathematical fragment, in Discussions in Egyptology 24 (1992), p.21-24.
- Gay Robins, Charles Shute, The Rhind Mathematical Papyrus, pages 41-43, British Museum, Dover reprint, 1987, (ISBN 0-486-26407-6).
Liens externes [modifier]
- John Legon: A Kahun Mathematic Fragment
- Math-History-List
- MathOrigins.com
- History of Egyptian fractions
- Medical Papyrus, UCL wbsite
- The Kahun Gynaecological Papyrus
- Planetmath
- Source :
09:44 Publié dans Papyrus Kahun | Lien permanent | Commentaires (0) | | del.icio.us | | Digg | Facebook
Egyptian fraction
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(view preamble | get metadata)
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Cross-references: link, connected, theory, translation, point, products, even, bodies, entire, subtraction, addition, clear, implication, algorithm, lifting, consequence, group, simple, key,Arabic numerals, Liber Abaci, Fibonacci, base, region, place, Calculus, infinite, parabola, geometric series, minor, Greek letter, alphabets, mapping, AD, order, Egyptian Mathematical Leather Roll, Hultsch-Bruins method, project, code, multiples, production, Rhind Mathematical Papyrus, algebra, degree, variable, remainder arithmetic, efficiency, Reisner Papyrus,geometry, area, length, proof, partitions, expression, integer, quotients and remainders, multiplication, division, primary, denominators, aliquot part, numerators, sides, additive, arithmetic,operations, contained, right, unit fractions, line, sound, onto, numbers, least common multiple, classes, scaling, solution, divisor, remainders, quotients, unity, foundations, closed, open,egyptian fraction, volume, series, measures, weights, numeration system, finite, term, binary, units, fractions
There are 74 references to this entry.
This is version 159 of Egyptian fraction, born on 2007-12-02, modified 2010-11-05.
Object id is 10080, canonical name is EgyptianFraction2.
Accessed 15189 times total.
Classification:
AMS MSC: | 01A16 (History and biography :: History of mathematics and mathematicians :: Egyptian) |
01A20 (History and biography :: History of mathematics and mathematicians :: Greek, Roman) | |
01A30 (History and biography :: History of mathematics and mathematicians :: Islam ) | |
01A35 (History and biography :: History of mathematics and mathematicians :: Medieval)
Source : http://planetmath.org/encyclopedia/EgyptianFraction2.html |
09:42 Publié dans Egyptian fraction | Lien permanent | Commentaires (0) | | del.icio.us | | Digg | Facebook
The Rhind Mathematical Papyrus
AN366139001 © The Trustees of the British Museum Department: Ancient Egypt & Sudan Registration number: 1865,0218.3 BM/Big number: 10058 Additional IDs Bibliographic reference Object types Title (series) Description Acquisition date Exhibition History Noticed a mistake? Have some extra information about this object? Please contact us To bookmark this page select "Bookmark this page" or "Add to favourites" from the web browser menu. Source : http://www.britishmuseum.org/research/search_the_collecti...The Rhind Mathematical Papyrus
BS.10058
Strudwick N 2006 p.118
papyrus (scope note | all objects)
The Rhind Mathematical Papyrus
Materials
papyrus (scope note | all objects)
Place (findspot)
Found/Acquired Thebes, According to Budge’s original introduction to the facsimile of the papyrus, from a chamber in the ruins of a building near the Ramesseum. (all objects)
Period/Culture
Second Intermediate (all objects)
Papyrus; Hieratic text: "Rhind Mathematical Papyrus".
Inscriptions
Inscription Type: inscription
Inscription Script: hieratic
Inscription Position: both sides
Inscription Language:
Dimensions
Length: 216 centimetres (frame)
Width: 43 centimetres (frame)
Length: 199.5 centimetres (Papyrus)
Width: 32 centimetres (Papyrus)
Condition
Papyrus Survey: Condition Details: Papyrus Black ink Red ink Checked for loan to Vienna 1994 Checked for loan to Paris 1997 Checked for loan to Japan Star Objects 2004 Checked for loan to Cornwall 2008 Mount Details: Sandwich: glass Sandwich: board Frame: wood Object Priority: A Mount Priority: A Overall Condition: A Curatorial condition comment: fair
Curator's comments
Strudwick N 2006
Several documents have survived that yield some insights into the ancient Egyptians' approach to mathematics. The best-known and longest is the Rhind Mathematical Papyrus, acquired by the Scottish lawyer A.H. Rhind in Thebes in about 1858. Budge's original introduction to the facsimile of the papyrus indicates that these fragments were found in a chamber of a ruined building near the Ramesseum. The two sections in the British Museum were linked by a now missing section about 18 cm long; the original may have been cut in half by modern robbers to increase its sale value. Fragments which partly fill this gap were identified in 1922, in the collection of the New York Historical Society, which had acquired them from Edwin Smith. Smith also acquired a surgical papyrus of about the same date as the Rhind Papyrus, suggesting that these two documents could have come from a cache of early New Kingdom manuscripts.
The papyrus is probably a mathematics textbook, used by scribes (the principal literate section of the populace) to learn to solve particular mathematical problems by writing down appropriate examples. The text includes eighty-four problems: tables of divisions, multiplications, and handling of fractions; geometry, including volumes and areas; and miscellaneous problems.
The papyrus is extremely important as a historical document, since the scribe, Ahmose, dated it in year 33 of Apophis, the penultimate king of the Hyksos Fifteenth Dynasty. The other side of the papyrus mentions 'year 11' without a king's name, but with a reference to the capture of the city of Heliopolis. The late Second Intermediate Period context suggests this may refer to conflict between the Egyptians and the Hyksos before the beginning of the New Kingdom. Most scholars believe this refers to year 11 of the Theban ruler Ahmose, which would add to the evidence that Ahmose did not campaign against the Hyksos rulers until the middle or later parts of his reign.
Published: G. Robins and C. Shute, The Rhind Mathematical Papyrus : an ancient Egyptian text (BM press 1987).
A. B. Chace, The Rhind mathematical papyrus : free translation and commentary with selected photographs, transcriptions, transliterations, and literal translations (National Council of Teachers of Mathematics 1979 [reprint]).
A. Imhausen, Ägyptische Algorithmen : eine Untersuchung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten (Harrassowitz, 2003).
Pharaonen Und Fremde Catalogue (Vienna 1994): No.134
Nicholson and Shaw, Ancient Egyptian Materials and Technology (Cambridge 2000), p. 240;
N. Strudwick, Masterpieces of Ancient Egypt, London 2006, pp. 118-9.
1865
Acquisition name
Purchased from David Bremner (biographical details | all objects)
Previous owner/ex-collection Alexander Henry Rhind (all objects)
Exhibited:
21 Aug-11 Oct 2008. Truro, Royal Museum of Cornwall, 'Masters of Mathematics'.
January to May in BM as part of History of the World objects
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Papyrus de Moscou
Papyrus de Moscou
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Le papyrus de Moscou, aussi appelé papyrus Golenischev d'après le nom de son découvreur, Golenishchev, est un papyrus contenant des résultats mathématiques. Avec le papyrus Rhind, c'est un des deux fameux papyrus mathématiques égyptiens. Le papyrus mathématique de Moscou est le plus ancien, tandis que le papyrus Rhind est le plus grand. Au xxie siècle, il fait partie de la collection du musée des Beaux-Arts Pouchkine de Moscou.
D’environ 5,40 m de long et d’une largeur qui varie entre 4 et 7 cm, il comporte, selon l’étude faite en 1930 par l'orientaliste soviétique Vassili Vassilievitch Struve, 25 problèmes avec leurs solutions, dont les plus intéressants sont ceux traitant de la surface d'une demi-sphère et du volume d'une pyramide tronquée (voir géométrie dans l'Égypte antique). La paléographie du texte hiératique permet de le dater probablement de la XIe dynastie (vers -2000).
Le Papyrus de Moscou offre un exemple historique d'une étude mathématique où le système unaire a été utilisé[réf. nécessaire].
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Papyrus Rhind
Le papyrus Rhind est un célèbre papyrus de la deuxième période intermédiaire qui aurait été écrit par le scribe Ahmès. Son nom vient de l'Écossais Henry Rhind qui l'acheta en 1858 à Louxor, mais aurait été découvert sur le site de la ville de Thèbes. Au xxie siècle, il est conservé au British Museum ( à Londres). Avec le Papyrus de Moscou, il est une des sources les plus importantes concernant les mathématiques dans l'Égypte antique. Ahmès indique que son papyrus est, en partie, une copie de résultats plus anciens remontant au Moyen Empire (vers -2000). Il contient 87 problèmes résolus d'arithmétique, d'algèbre, de géométrie et d'arpentage, sur plus de 5 m de longueur et 32 cm de large. Il est rédigé enécriture hiératique.Papyrus Rhind
Sommaire[masquer] |
Ces problèmes permettent de comprendre les techniques de multiplication et de division chez les Égyptiens. Voir Mathématiques dans l'Égypte antique#Résolutions d'équations L'arpentage, mesures des distances et les problèmes géométriques qui lui sont liés sont également abordés : aires planes (du trapèze en particulier), volumes de greniers à grains, calcul de pyramides. Les sections R57, R58, R59a et R59b, sont consacrées aux problèmes relatifs à la pente, inclinaison (terme égyptien "skd" avec un point sous le "k") d'une pyramide. Cette inclinaison, qui concerne la ligne de plus grande pente des faces, est exprimée en palmes, unité de longueur qui vaut le septième d'une coudée (voir Mathématiques dans l'Égypte antique). L'examen du contenu de ces sections montre qu'il s'agit, en palmes , de 7 fois la cotangente de l'angle que forme la ligne de plus grande pente avec l'horizontale. Pour le triangle égyptien, elle vaut (3 / 4) x 7 = 21/4 = 5 + 1/4 palmes. Comme ces quatre sections du papyrus, illustrées par un dessin de pyramide, concernent toutes la valeur de 5 + 1/4 palmes, elles attestent qu'il s'agit du triangle égyptien 3, 4, 5 dans ces problèmes de pyramides1. Le papyrus Rhind atteste donc, de façon indirecte par l'inclinaison mais incontestable par la valeur numérique donnée, que la géométrie de la pyramide utilise le triangle égyptien. La pyramide de Khéphren est construite ainsi (voir Mathématiques dans l'Égypte antique). Dans les problèmes 48 et 50, Ahmes étudie le rapport liant l'aire d'un disque à son diamètre en cherchant à ramener l'aire de la circonférence à celle d'un carré équivalent : le papyrus Rhind précise en effet une première approche de la quadrature du cercle (construction d'un carré de même aire qu'un cercle donné) : c'est le carré de côté 8d/9 où d est le diamètre du cercle. En d'autres termes, l'aire d'un cercle de diamètre 9 unités est sensiblement égal à l'aire d'un carré de 8 unités de côté. Cette égalité se traduit par : donc . Ainsi, notre actuel nombre π serait le carré de 16/9, soit : π = 256/81 = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 = 3,160. Cette approximation par la quadrature du cercle permit donc aux égyptiens de se passer de la constante π, constante qu'ils connurent seulement à laBasse époque et offrant des résultats moins justes qu'au problème du papyrus Rhind décrit ci-dessus.Algorithmes de multiplication et division (problèmes 1 à 23) [modifier]
Résolution d'équations par la méthode de fausse position (problèmes 24 à 34) [modifier]
Les problèmes d'arpentage (problèmes 41 à 60) [modifier]
Notes [modifier]
Bibliographie [modifier]
Voir aussi [modifier]
Articles connexes [modifier]
Liens externes [modifier]
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Mathématiques dans l'Égypte antique
Les mathématiques en Égypte antique étaient fondées sur un système décimal. Chaque puissance de dix était représentée par un hiéroglyphe particulier. Le zéro était inconnu. Toutes les opérations étaient ramenées à des additions. Pour exprimer des valeurs inférieures à leur étalon, les Égyptiens utilisaient un système simple de fractions unitaires. Pour déterminer la longueur d'un champ, sa surface ou encore mesurer un butin, les Égyptiens utilisaient trois systèmes de mesure différents, mais tous obéissaient aux règles décrites ci-dessus. Les rares documents mathématiques découverts à ce jour ne donnent qu'une vague idée de l'étendue des connaissances des anciens Égyptiens dans ce domaine. Toutefois, il est certain qu'ils parvenaient à proposer des résolutions de problèmes apparentés à des équations du premier et du second degré. Ils connaissaient les suites numériques et le calcul de volumes et de surfaces avait également atteint un certain degré de complexité.Mathématiques dans l'Égypte antique
Si l'on a souvent sous-estimé les connaissances scientifiques des anciens Égyptiens, c'est sans doute à cause du peu de documents dont nous disposons. Les plus anciens sont les inscriptions contenues sur les murs de quelques temples ou tombes, comme celles de la tombe de Metjen (IVe dynastie) qui montrent que les Égyptiens savaient à cette époque calculer correctement la surface d'un rectangle. Les ostraca1 apportent également quelques témoignages de l'art des mathématiques égyptiennes. Le plus remarquable est sans doute celui retrouvé à Saqqarah sur lequel figure une courbe avec abscisse et ordonnée. Daté de 2750 ans avant notre ère, il montre que dès cette première génération de bâtisseurs, les Égyptiens avaient suffisamment de connaissances mathématiques pour élaborer ce type de problème. Enfin viennent les papyri. Plus fragiles, ils ont moins résisté au temps et ceux qui sont parvenus jusqu'à nous sont, de fait, postérieur aux pyramides. Seule une poignée d'entre eux traite de mathématiques. Citons par exemple le papyrus de Berlin ou celui de Moscou, découvert en 1893 par l'égyptologue russe Vladimir Golenischev et conservé au musée des Beaux-Artsde Moscou. Daté de la fin du Moyen Empire (1850 ans av. J.-C.) et rédigé en écriture hiéroglyphique, il contient vingt-cinq problèmes mathématiques. Mais le papyrus mathématique le mieux conservé, le plus complet et le plus prestigieux est sans nul doute le papyrus Rhind, du nom de son premier propriétaire l'Écossais Alexander Henry Rhind, qui l'acheta peu après sa découverte à Thèbes en 1857. Rédigé en écriture hiératique et daté du début du xvie siècle , c'est une copie d'un document plus ancien. Il présente une suite de quatre-vingt-sept problèmes mathématiques, accompagnés de leurs solutions. Les Égyptiens de l'Antiquité utilisaient un système de numération décimal, mais dans lequel le zéro n'existait pas. Chaque ordre de grandeur (unités, dizaines, centaines, etc.) possédait un signe répété le nombre de fois nécessaire. C'était donc un système additionnel. Plusieurs systèmes coexistaient selon le type de mesure désirée. Pour mesurer des longueurs, il existait deux systèmes. Le premier était basé sur la grande coudée ou coudée royale (meh ni-sout). Cette coudée représentait la distance entre le bout du majeur et la pointe du coude et mesurait à peu près 0,5 mètre. Cette unité était très utilisée pour mesurer les largeurs, longueurs de pièces d'une construction ou des salles d'un temple, mais aussi la hauteur d'une crue. Cent coudées constituent un khet. Le deuxième système, le système oncial, était lui basé sur la coudée sacrée (meh djeser). Elle mesurait à peu près 0,7 mètre. Elle était principalement utilisée dans la décoration des tombes, temples et palais. Pour les surfaces, l'unité de mesure était l'aroure. Elle représentait un carré de 1 khet (100 coudées) de côté. On nommait coudée de terre (meh) une bande d'une coudée sur cent. L'aroure était utilisée pour mesurer des terres, et construire un cadastre précis après chaque crue. Pour mesurer des volumes, l'unité de mesure était l'hekat. Les mesures s'effectuaient grâce à un sac de cuir de vingt hekat. Les Égyptiens avaient réussi à établir une correspondance de ce système avec celui des longueurs : il y avait équivalence entre le cube de la coudée royale et trente hekat. L'hekat était utilisé pour mesurer les récoltes de grain. Pour mesurer un poids, l'unité de mesure était le deben. À l'Ancien Empire, son poids variait selon le type du produit pesé (or, cuivre...), mais au Nouvel Empire, ce système se simplifia et ne garda qu'un étalon unique (d'environ 91 grammes). De petits cylindres en pierre servaient à la mesure et matérialisaient cet étalon. Cette unité servait à mesurer l'importance d'un butin ou d'un poids de métaux précieux utilisés pour une décoration. Les scribes se servaient des premières fractions dyadiques, à savoir 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 et 1/64 pour faire des calculs. Celles-ci étaient représentées par l'Œil d'Horus, une représentation de l'œil gauche d'Horus perdu puis retrouvé. Seth le lui ôta par jalousie et le découpa en plusieurs morceaux, Thot en retrouva six morceaux (représentant les six fractions donc) mais il manquait 1/64 pour faire l'unité. Thot y ajouta alors « le liant magique » permettant à l'œil de recouvrer son unité. Les scribes opéraient donc leurs calculs en approximant 63/64 à 1. La composition de deux fractions susnommées leur permettait d'en créer de nouvelles (par exemple 1/2 et 1/4 pour avoir 3/4). Les parties du dessin, stylisées, sont utilisées comme hiéroglyphes pour noter, dans les textes sur les volumes de grains, les fractions correspondantes (voir Œil Oudjat). Dans les papyrus mathématiques, les fractions sont notées en écrivant les nombres explicitement, mais, dans les sections R37 et R38 du papyrus Rhind, qui comportent chacune des vérifications différentes, les deux dernières de R37 et la dernière de R38 sont proposées sous forme de volumes de grains en hekat et écrites dans la notation de l'œil Oudjat, de même que le calcul de R64 2. Les Égyptiens connaissaient les quatre opérations, pratiquaient le calcul fractionnaire, étaient capables de résoudre des équations du premier degré par la méthode de la fausse position et de résoudre certaines équations du second degré. Le papyrus Rhind explique comment calculer l'aire d'un cercle en utilisant une approximation fractionnaire de pi : 4x(8/9)x(8/9)=3,16. Le papyrus de Moscou, quant à lui, explique entre autres comment calculer le volume d'une pyramide tronquée et la surface d'une demi-sphère, montrant que les anciens Égyptiens avaient de bonnes connaissances en géométrie. Bien qu'aucune explication ne soit fournie par les papyrus mathématiques, le système additionnel de la numération égyptienne rend toutes naturelles les opérations d'addition et de soustraction. L'addition de deux nombres consistait à compter le nombre de symboles total correspondant à une même grandeur. Si le nombre de cette grandeur dépassait dix, le scribe remplaçait ces dix symboles par le symbole de la grandeur supérieure.Brève histoire des mathématiques dans l'Égypte antique [modifier]
Numération égyptienne [modifier]
Les unités de mesure [modifier]
Les fractions [modifier]
L'Œil d'Horus ou Œil Oudjat [modifier]
Connaissances arithmétiques [modifier]
Addition et soustraction [modifier]
|
+
|
nous donne
|
Soit :
|
Finalement, le résultat est :
|
La technique de multiplication en Égypte antique reposait sur la décomposition d'un des nombres (généralement le plus petit) en une somme et la création d'une table de puissance pour l'autre nombre. Très souvent, cette décomposition s'effectuait suivant les puissances de deux. Mais celle-ci pouvait varier en fonction de la complexité de l'opération. Le plus petit nombre pouvait ainsi être décomposé alternativement suivant les puissances de deux, les dizaines et les fractions fondamentales telles que 2/3, 1/3, 1/10 etc. La technique de division en Égypte antique reposait sur le même principe que la multiplication, en ce sens où des tables constituées de puissances de deux successives, de fractions fondamentales et de dizaines étaient utilisées pour résoudre le problème. Le carré d'une valeur appliqué au calcul d'une surface peut sans aucun problème être assimilé à une simple multiplication. Par contre, les racines carrées, dont il est assuré qu'elles furent connues des anciens Égyptiens, n'ont laissé aucun document nous permettant de comprendre la technique d'extraction opérée par eux. L'énoncé du problème mathématique du papyrus 6619 de Berlin (voir § Équations du second degré) contient la racine carrée de 1 + 1/2 + 1/16, soit 1 + 1/4 ; ainsi que la racine carrée de 100, c'est-à-dire 10. À en juger par les exemples connus d'extraction d'une racine carrée, il semble que le scribe ne connaissait que les radicaux simples, résultant en entiers ou en peu de fractions. Toutefois, l'absence d'opérations dans les problèmes traités indique que le scribe devait avoir à sa disposition des tables contenant le résultat des racines carrées usuelles. Le papyrus Kahun et le papyrus de Moscou contiennent des applications aux racines carrées, mais il est notable que le plus important papyrus mathématique, le papyrus Rhind, n'en contient aucune. Si la réputation des scribes en matière de mathématiques est, d'ordre général, inférieure à celle des Babyloniens ou des Grecs, la géométrie, au regard des prouesses techniques réalisées très tôt dans leur histoire, fut leur domaine de prédilection et il ne fait aucun doute aujourd'hui que cette science associée à l'architecture, fit la grande réputation des Égyptiens. C'est l'une des raisons pour lesquelles leur pays accueillit en pèlerinage les savants de la Grèce antique. Les égyptiens réussirent ainsi à calculer la surface d'un disque sans connaitre le nombre pi, avec une erreur de seulement 0,6%. Ils pouvaient calculer les volumes de pyramides et de cylindres et l'aire d'une sphère. certains problèmes figurant sur les papyrimathématiques du Moyen Empire préfigurent même les théorèmes de Thalès et de Pythagore. Le papyrus Rhind et le papyrus de Moscou contiennent différents problèmes que de nombreux auteurs ont assimilé à des problèmes algébriques de résolutions d'équations à une inconnue (voire deux inconnues), du premier et du second degré. Loin de faire l'unanimité, ce rapprochement met au moins l'accent sur une méthode efficace de résolution présageant l'utilisation de variables et d'inconnues. Le scribe égyptien ne pose jamais les problèmes sous forme d'équations algébriques (il ne connait pas d'opérateurs mathématiques tels que +, -, x ou %, ni la notion d'inconnue posée par une lettre telle que x). Cependant, la technique utilisée pour résoudre ces problèmes s'apparentent bien souvent aux méthodes de résolution modernes d'équations. L'inconnue dont la valeur est à déterminer est toujours désignée par la quantité ‘ḥ‘ (‘ḥ‘w au pluriel).Multiplication [modifier]
Division [modifier]
Carré et racine carrée [modifier]
Connaissances géométriques [modifier]
Résolutions d'équations [modifier]
Recherches d'une quantité (les problèmes ‘ḥ‘w) [modifier]
Problème ‘ḥ‘ posé par le scribe | Transcription du problème en langage algébrique moderne |
Calcul d'une quantité (‘ḥ‘) à déterminer telle que | |
si elle est traitée 2 fois avec elle-même, il en vient 9 | X + 2X = 9 |
Quelle est donc la quantité qui s'exprime ainsi ? | que vaut X ? |
Tu dois faire en sorte de calculer le total de cette quantité | |
avec sa deuxième (quantité). Le résultat est 3. | X + 2X = 3X |
Avec ces 3 tu dois trouver 9. | 3X = 9 |
Le résultat est 3 fois. | 9/3 = 3 |
Vois c'est 3 qui s'exprime ainsi. | X = 3 |
Tu trouveras cela correct | Vérification de l'énoncé avec le résultat. 3 + 2x3 = 9 |
Une seconde technique consistait à résoudre les problèmes par la méthode de la fausse position. C'est-à-dire que l'on attribuait à la quantité inconnue une valeur quelconque. Le résultat donné par cette valeur était évidemment faux, mais pouvait être corrigé par la règle de proportionnalité inhérente aux équations linéaires. C'est bien cette propriété, fondée sur une méthode empirique, qui fut utilisée ici. Une quantité (‘ḥ‘) à laquelle on ajoute ses 1/4 devient 15 (Soit X + 1/4X = 15). Première étape : une valeur aléatoire est donnée à cette quantité, en l'occurrence 4. Le scribe calcule donc 4 + 1/4x4, dont le résultat ne sera évidemment pas 15 :
✔ | 1 | 4 |
✔ | 1/4 | 1 |
|
||
1 + 1/4 | 5 |
Le résultat est 5. Deuxième étape : le résultat n'est pas 15 mais 5. Quel est donc le rapport entre ces deux résultats ?
✔ | 1 | 5 |
✔ | 2 | 10 |
|
||
3 | 15 |
Le rapport vaut 3. Par conséquent la relation entre notre valeur aléatoire 4 et la quantité ‘ḥ‘ vérifiant l'égalité posée dans le problème est 4x3 = ‘ḥ‘. Troisième étape : calcul de 4x3
1 | 3 | |
2 | 6 | |
✔ | 4 | 12 |
|
||
4 | 12 |
Le résultat est 12. Quatrième étape : le scribe vérifie l'exactitude de sa solution par la vérification de l'égalité (soit 12 + 1/4x12 = 15)
✔ | 1 | 12 |
✔ | 1/4 | 3 |
|
||
1 + 1/4 | 15 |
La quantité ‘ḥ‘ vaut bien 12 et ses 1/4 ajoutés à elle-même font un total de 15. Certains énoncés posent le problème de la recherche d'une ou plusieurs quantités dont la somme des carrés est connue. Le papyrus 6619 de Berlin offre un très bon exemple du type de résolution par fausse position proposé par les anciens Égyptiens, sous la forme d'un système équivalent à deux équations à deux inconnues. Le problème est de trouver les aires de deux carrés différents dont la somme est égale à l'aire d'un carré de 100 coudées², le rapport des côtés de ces deux carrés étant de 1 pour (1/2 + 1/4). Posons X la longueur du côté du petit carré, et Y la longueur du côté du grand carré. Par conséquent, l'énoncé serait traduit en langage algébrique moderne par X² + Y² = 100 et X/Y = 1/2 + 1/4. Le scribe ne différencie pas deux variables. Les côtés des deux carrés étant liés par la relation 1 pour 1/2 + 1/4, il décide d'affecter la valeur 1 au côté du plus grand carré, et 1/2 + 1/4 au côté du plus petit. C'est la méthode de la fausse position déjà étudiée ci-dessus. Il calcule donc les aires des deux carrés : (1/2 + 1/4) ² et 1². Il obtient un total de 1 + 1/2 + 1/16. L'aire totale des deux carrés est donc de 1 + 1/2 + 1/16. Il en déduit le côté du carré équivalent à cette surface en extrayant la racine carrée de 1 + 1/2 + 1/16. Il vient 1 + 1/4. Or le côté du carré de départ est 10 (racine carrée de 100 effectuée par le scribe). Le rapport de 10 sur (1 + 1/4) est de 8. Ce ratio va nous permettre de réajuster les valeurs prises par fausse position : 1 x 8 et (1/2 + 1/4) x 8, soit 8 et 6. nous avons bien 6² + 8² = 100. La surface d'un carré de 10 coudées de côté est donc équivalente à la surface totale de deux carrés dont les côtés sont respectivement de 6 et de 8 coudées. Les rares papyrus mathématiques découverts jusqu'à présent ont révélé que les Égyptiens avaient de très bonnes notions sur les suites et qu'ils savaient résoudre des problèmes à l'aide des suites arithmétiques ou géométriques. Une suite arithmétique est une suite de nombres dont chacun des termes s'obtient à partir du précédent en lui additionnant (ou en lui soustrayant) toujours la même valeur. Cette valeur est appelée en langage mathématique moderne, la raison. Par exemple, la suite {1; 3; 5; 7; 9} est une suite arithmétique de cinq termes dont la raison est 2.Équations du second degré [modifier]
Suites arithmétiques et géométriques [modifier]
Suites arithmétiques [modifier]
1 1/2 1/16 | ||
1 1/4 1/8 1/16 | ||
1 1/4 1/16 | ||
1 1/8 1/16 | ||
1 1/16 | ||
1/2 1/4 1/8 1/16 | ||
1/2 1/4 1/16 | ||
1/2 1/8 1/16 | ||
1/2 1/16 | ||
1/4 1/8 1/16 | ||
|
||
10 |
Le problème consiste à partager 10 héqat de blé entre 10 hommes. On peut désigner leurs parts respectives par H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 et H10. Les 10 héqat de blé représentent le total des parts à distribuer. Nommons le S. Soit N le nombre de parts. Chaque homme ne possèdera pas la même quantité d'héqat. Pris dans l'ordre, chacun obtiendra 1/8 d'héqat de plus que son prédécesseur. Soit H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8 et ainsi de suite, le dernier individu ayant la plus grande part. 1/8 représente la raison de la suite donc R = 1/8. Le scribe détermine en premier lieu la valeur moyenne de héqat que l'on distribuera à chaque homme, soit S/N = 10/10 = 1. Ensuite, il calcule le nombre de différences effectuées sur l'ensemble des 10 individus. Il y en a N-1 = 10-1, soit 9. Il vient R/2 = 1/16, puis R/2 * (N-1) = 1/16 * 9 = 1/2 + 1/16. Le plus grand terme est donné par R/2 * (N-1) + S/N = 1/2 + 1/16 + 1. On a donc les dix parts suivantes :
H10 = 1 + 1/2 + 1/16. | ||
H9 = H10 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/8 + 1/16 | ||
H8 = H9 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/16 | ||
H7 = H8 - 1/8 = 1 + 1/8 + 1/16 | ||
H6 = H7 - 1/8 = 1 + 1/16 | ||
H5 = H6 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 | ||
H4 = H5 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/16 | ||
H3 = H4 - 1/8 = 1/2 + 1/8 + 1/16 | ||
H2 = H3 - 1/8 = 1/2 + 1/16 | ||
H1 = H2 - 1/8 = 1/4 + 1/8 + 1/16 | ||
|
||
Total = 10 |
Par une méthode empirique, le scribe a donc retrouvé la propriété des suites arithmétiques et appliqué les formules suivantes : puis Une suite géométrique est une suite de nombres dont chacun des termes s'obtient à partir du précédent en le multipliant toujours par la même valeur. Par exemple, la suite {1; 3; 9; 27; 81} est une suite géométrique de cinq termes dont la raison est 3. Ce type de suite fut usité, mais les documents manquent et il est impossible de se faire une idée précise quant aux connaissances que pouvaient en avoir le scribe. Les méthodes demultiplication et de division employées par les Égyptiens sont fondées sur les puissances de deux, autrement dit une suite géométrique de raison 2, et sur les fractions 1/2, 1/4, 1/8 ... c'est-à-dire une suite géométrique de raison 1/2. Par ailleurs, le papyrus Rhind nous fournit l'unique exemple de problème basé sur l'application des suites géométriques. Somme d'une suite géométrique de cinq termes, tels que le premier terme vaut 7 et le multiplicateur de chaque terme (la raison) vaut 7. Application à l'inventaire d'une maison :Suites géométriques [modifier]
✔ | 1 | 2801 |
✔ | 2 | 5602 |
✔ | 4 | 11204 |
|
||
7 | 19607 |
Maisons | 7 | |
Chats | 49 | |
Souris | 343 | |
Malt | 2401 (le scribe a noté 2301 par erreur) | |
Héqat | 16807 | |
|
||
19607 |
Index des termes mathématiques égyptiens [modifier]
Notes [modifier]
Sources [modifier]
Liens internes [modifier]
Liens externes [modifier]
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2-POLYNOMES (Troisième partie : Fonctions Polynômes- Polynômes sur R et C)
2-POLYNOMES (Troisième partie : Fonctions Polynômes- Polynômes sur R et C)
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Les étudiants trouveront des notes détaillées sur le web, correspondant au cours LM125 du premier semestre.
Liens : http://www.edu.upmc.fr/maths/math1/lm125/prive/UeL/mathem...
(Nous suivons mot à mot le chapitre :http://www.edu.upmc.fr/maths/math1/lm125/prive/UeL/mathem...)
Fonctions Polynômes
Plan du cours :
A- Fonctions Polynômes
Introduction, notion de fonction polynôme
Racines d’un polynôme
Multiplicité
Polynômes scindés
Méthode de Horner
---------------------------------
B- Polynômes à coefficients réels ou complexes
Degré du polynôme dérivé
Formule de Taylor pour un polynôme à coefficients réels ou complexes
Ordre de multiplicité d'une racine
Existence de racines : Théorème de d'Alembert
Polynômes irréductibles dans C[X]
Polynômes irréductibles dans R[X]
Formule d'interpolation de Lagrange
Introduction
Les fonctions numériques de la forme, où k est un entier positif ou nul et des nombres réels, sont bien connues ainsi que toutes leurs propriétés. C'est un exemple d'une situation générale qui va être exposée dans cette ressource.
Definition
Contexte :
Pour l'étude de la notion de fonction polynôme, on se place dans le contexte suivant : on considère un corps K et l’ensemble des polynômes à une indéterminée K[X]
Définition d'une fonction polynôme, associée à un polynôme P appartenant à K[X] Soit un polynôme à coefficients dans K. . x K, P~( x)= |
L'expression a bien un sens et est bien un élément de K.
En effet, x étant un élément de K, en est aussi un (le produit est une loi interne dans l'anneau K), ainsi que .
Exemple
Par exemple soit appartenant à.
Alors.
Racine d’un polynôme
Définitions et exemples
Théorème - définition : Racine d'un polynôme de dans K. Soit a un élément de K et P un élément de . Les deux conditions suivantes sont équivalentes : i. ii. Le polynôme divise P dans Si l'une de ces conditions est vérifiée, on dit que a est racine de P (ou est un "zéro" de P). |
Preuve de l'équivalence : i. ii. :
Soit a un élément de K ; la division euclidienne dans de P par le polynôme donne :
, avec ou
Ces deux conditions sur le reste R se traduisent par le fait que ce reste est un polynôme constant ; on note r cette constante qui est un élément de K. D'après les règles de calcul sur les fonctions polynômes, on obtient l'égalité : .
D'où . L'équivalence est alors immédiate.
Conséquence immédiate :
Il résulte clairement de la définition que tout polynôme de degré 1 admet une racine (et une seule).
Exemples :
1. Soit le polynôme de , . En utilisant l'une ou l'autre des conditions du théorème, il est immédiat que les réels 3 et sont les racines de P.
2. Soit le polynôme de , . Visiblement, on peut mettre X en facteur dans le polynôme P, et par conséquent le réel 0 est une racine de P.
D'autre part, un simple calcul prouve que . Donc 1 est une racine de P. Le polynôme P est donc divisible par .
Comme les polynômes X et sont premiers entre eux, le polynôme P est divisible
par .
Théorème : Si un polynôme est divisible par deux polynômes premiers entre eux, il est divisible par leur produit. La démonstration de cette propriété est basée sur la propriété de Bézout.
|
On a donc .
Comme le polynôme n'a pas de racines réelles, on a toutes les racines de P dans R.
Remarque importante
La terminologie " racine dans le corps K " est essentielle. En effet, le corps K joue un rôle fondamental. Soit par exemple le polynôme :
- Considéré comme élément de , il n'a pas de racines. Sinon il existerait un réel a tel que , ce qui est contraire à la structure de corps ordonné de R.
- Considéré comme élément de , il a deux racines : i et .
On peut introduire le vocabulaire suivant :
Définition : Racine d'un polynôme dans un sur-corps du corps de ses coefficients Soient K et M deux corps tels que M contienne K. Soit P un élément de . Si a est un élément de M tel que , on dit que a est une racine de P dans M. |
Si l'on reprend l'exemple précédent en introduisant ce vocabulaire, on peut dire que le polynôme n'a pas de racines dans R mais qu'il a deux racines dans C.
Ordre de multiplicité d’une racine
Sur les deux exemples précédents, il est possible de faire la remarque suivante : on sait d'avance que si a est une racine dans K d'un polynôme P de , le polynôme Pest divisible par , mais il peut être divisible par une puissance de strictement supérieure à 1.
C'est le cas dans l'exemple 1 mais pas dans l'exemple 2.
Cela nous conduit à l'introduction de la notion d'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme.
Définition de l'ordre de multiplicité d'une racine Soit a une racine dans K de P, où P est un polynôme non nul de . |
Un tel entier existe bien car l'ensemble des entiers k tels que divise P est non vide ; il contient l'entier 1 puisque a est racine de P (théorème précédent), et cet ensemble est fini car majoré par le degré de P. Donc il a un plus grand élément (propriété de N).
On peut traduire cette définition de la manière suivante :
Corollaire Un entier n est l'ordre de multiplicité de la racine a d'un polynôme P si et seulement si il existe un polynôme Q appartenant à , vérifiant les propriétés suivantes : et . |
Vocabulaire : Une racine d'ordre 1, est dite aussi racine simple.
Une racine d'ordre 2 (respectivement 3), est dite aussi racine double (respectivement racine triple).
Exemples :
· Si l'on reprend le polynôme de l'exemple 1, ,
on observe que est une racine réelle d'ordre 1, et que 3 une racine réelle d'ordre 2.
· Si l'on reprend le polynôme de l'exemple 2, ,
on voit que 0 et 1 sont toutes les deux des racines simples de P dans R.
Il résulte du corollaire la proposition suivante :
Proposition Soit P un polynôme non nul de et soient , m racines distinctes de P, d'ordre de multiplicité respectif . Alors il existe un polynôme Q, élément de , n'admettant aucun des comme racines, vérifiant l'égalité :
|
Preuve : elle est immédiate, à partir des définitions ou propriétés suivantes :
· Définition d'une racine et de son ordre de multiplicité
· Les polynômes de la forme et avec a et b distincts, k et l étant des entiers positifs, sont premiers entre eux.
· Un polynôme, divisible par des polynômes premiers entre eux deux à deux, est divisible par leur produit.
Corollaire (très important) Un polynôme non nul, de degré n, a au plus n racines (si l'on convient de compter une racine d'ordre r comme l'équivalent de r racines simples). |
Ceci est une conséquence immédiate de la proposition et des propriétés du degré du produit des polynômes.
Illustration : Pour un polynôme du troisième degré dans , les possibilités de racines dans K sont les suivantes :
aucune racine (par exemple dans )
une racine simple (par exemple dans )
trois racines simples (par exemple dans )
une racine simple et une racine double (par exemple dans )
une racine triple (par exemple dans )
Remarque : la démonstration du premier exemple est basée sur le fait que n'appartient pas à Q. La justification est tout à fait semblable à celle que l'on fait pour montrer que n'appartient pas à Q.
Polynômes scindés
Le cas particulier où le polynôme P satisfait à la condition de la proposition, avec un polynôme Q constant, est très intéressant. Il est abordé dans cette partie.
Définition : Polynôme scindé dans un corps K. Un polynôme P non nul appartenant à est dit scindé dans K (ou sur K) si on peut l'écrire sous la forme
où est le coefficient dominant de P, des éléments de K et des éléments de tels que avec n degré de P. |
Il est clair que le rôle joué par le corps est très important.
Par exemple, le polynôme est scindé dans R.
Quant au polynôme , il n'est pas scindé dans R mais il l'est dans C.
On a très facilement la propriété suivante :
Proposition Deux polynômes P et Q de , scindés sur K, sont premiers entre eux si et seulement si ils n'ont aucune racine commune. |
Relations entre coefficients et racines d'un polynôme de K[X] scindé sur K
On peut trouver des relations entre les coefficients d'un polynôme scindé et ses racines.
Par exemple si l'on a un polynôme de degré 2 scindé dans , on peut l'écrire
où et sont les racines de P non nécessairement distinctes.
Alors, en effectuant les calculs on obtient : .
D'où les relations :
Ceci est un exemple de la situation générale qui est explicitée dans le théorème suivant.
Théorème : Relations entre coefficients et racines Soit un élément de , avec non nul.
(en écrivant r fois chaque racine multiple d'ordre r). Alors pour tout p, ,
En particulier :
|
Exemple : Dans le cas d'un polynôme de degré 3, scindé sur K, en notant ses trois racines distinctes ou non, on a :
, et
Nous ne donnerons pas la démonstration dans le cas général, Nous avons déjà vu le cas d'un polynôme de degré 2. Les formules, dans le cas d'un polynôme de degré 3 se démontrent de la même façon. Nous pouvons donner le résultat.
Si , on a :
Remarques sur les sommes
La notation peut paraître complexe. En fait on peut l'expliciter. On prend tous les produits possibles de p racines (on note un tel produit en les ordonnant dans l'ordre croissant de leurs indices) et on fait la somme de tous ces produits.
Pour être sûr d'avoir tous " les produits possibles " il est nécessaire d'écrire ces produits en suivant un classement.
La méthode est explicitée sur l'exemple suivant : . Pour écrire il faut écrire tous les produits , avec . Ils sont présentés dans le tableau suivant :
La somme est obtenue en faisant la somme de tous les produits de la colonne de droite.
Les sommes sont appelées les fonctions symétriques élémentaires des racines.
Intérêt : Toute fonction symétrique des racines s'exprime à l'aide des donc des coefficients du polynôme. C'est la base de la théorie de Galois.
Fonction symétrique des racines
Soit une expression polynômiale par rapport aux n variables .
On dit que c'est une fonction symétrique si pour toute permutation s de l'ensemble (s est donc une bijection de dans lui-même) l'égalité suivante est satisfaite :
Exemple :
Il ne peut être question ici de dépasser cette définition quasi intuitive car cela nécessiterait des outils mathématiques hors du cadre de cette ressource.
(ce paragraphe n’est pas au programme car nécessite la connaissance des Espaces Vectoriels –On admettra le résultat)
Proposition : Etude de lorsque K est infini Soit K un corps infini. Soit P est un polynôme de tel que :
Alors P est le polynôme nul. Cela signifie que l'application est injective |
Preuve : Elle est basée sur la remarque précédente et se fait grâce à un raisonnement par l'absurde.
Supposons que le polynôme P ne soit pas nul. On peut alors considérer son degré, soit n.
Il résulte de ce qui précède que P a au plus n racines.
Or l'hypothèse faite signifie que tout élément de K est racine de P. Si K est infini, P aurait une infinité de racines, d'où la contradiction.
Comme l'application est linéaire, cela signifie que son noyau est réduit à zéro, et donc qu'elle est injective.
Autrement dit, lorsque K est infini, l'égalité des fonctions polynômes associées à deux polynômes équivaut à l'égalité des deux polynômes.
Conséquence sur les notations
Cela permet alors de simplifier les notations. La fonction polynôme peut être notée sans aucune ambiguïté.
C'est en particulier le cas lorsque le corps K est égal à R ou C.
Remarque : Le cas des polynômes à coefficients dans R ou dans C n'est pas étudié en détail dans cette ressource qui est consacrée aux propriétés générales.
Attention, cette propriété est fausse si le corps K n'est pas fini comme le prouve l'exemple suivant.
Soit le corps .
|
On a le résultat général suivant : Soit n un entier supérieur ou égal à 2. L'anneau quotient est un corps si et seulement si l'entier n est un nombre premier. Comme 2 est un nombre premier, cela donne le résultat. |
Le corps a deux éléments qui sont notés et .
Soit P le polynôme de défini par : .
Alors et . Donc : . Donc la fonction polynôme est nulle ce qui n'est évidemment pas le cas du polynôme P.
Méthodes de Horner
Pour calculer la valeur prise par une fonction polynôme en un point x de K, il y a plusieurs méthodes.
Une méthode très "performante" est la méthode de Hörner.
Elle consiste à calculer , avec , en utilisant la forme suivante :
,
ce qui nécessite n multiplications et n additions, nombre d'opérations très inférieur à celui obtenu en faisant les calculs comme ils se présentent.
Pour s'en convaincre, on peut considérer l'exemple suivant :
Soit l'élément de et x un nombre réel.
On écrit sous la forme : .
Pour calculer , avec x élément de R, on a donc besoin de 3 multiplications et de 3 additions par la méthode de Hörner, mais de 5 multiplications et de 3 additions en calculant directement.
De plus, cette méthode est très facilement programmable.
Deuxième Partie : Polynômes coefficients réels ou complexes
Degré du polynôme dérivé
Proposition : Degré du polynôme dérivé d'un polynôme à coefficients réels ou complexes Soit P un polynôme non nul de degré n, · Si , , · Si , le degré de est égal à . |
Cela est immédiat à partir de la définition du degré d'un polynôme et du polynôme dérivé.
Remarque importante :
La considération des degrés permet de démontrer grâce à une récurrence que si P est un polynôme de degré n, est le polynôme nul. On aura un résultat plus général dans la proposition suivante
Formule de Taylor pour un polynôme à coefficients réels ou complexes
Rappel sur la notation des fonctions polynômes :
On sait que dans le cas de polynômes à coefficients dans un corps infini, la fonction polynôme de K dans K, , est entièrement déterminée par le polynôme P. Cela permet de simplifier les notations et en particulier lorsque l'on considère des polynômes à coefficients réels ou complexes, elle pourra être notée sans aucune ambiguïté.
La formule de Taylor pour les polynômes est démontrée ici uniquement par des moyens algébriques. Elle est extrêmement utile dans l'étude des racines d'un polynôme.
Proposition : Formule de Taylor pour les polynômes Soit un élément non nul de ( ou ), de degré n. Alors : i. Si est un polynôme de degré . ii. Pour tout h de K, on a :
|
Démonstration :
i. Une démonstration par récurrence immédiate justifie la propriété.
ii. si est un élément de , l'opération de substitution d'un polynôme dans un autre permet d'écrire :
On obtient ainsi un élément de . Il existe donc des éléments de tels que . Soit k, . En dérivant k fois le polynôme sous la forme , on obtient (par une récurrence simple) et par conséquent, en prenant la valeur en 0 de la fonction polynôme associée, on a .
La formule peut aussi être formulée de la manière suivante :
Si a est un élément de K, on a .
Il suffit de prendre et de substituer à X dans l'égalité
pour obtenir ce résultat
Ordre de multiplicité d'une racine
Ce théorème permet de donner une caractérisation, très intéressante dans la pratique, de l'ordre de multiplicité d'une racine.
Rappel ordre de multiplicité
On va donner une caractérisation de l'ordre de multiplicité d'une racine, à l'aide des polynômes dérivés.
Théorème : Caractérisation de l'ordre de multiplicité d'une racine, à l'aide des polynômes dérivés Un élément a de K est racine d'ordre k d'un polynôme appartenant à
|
La démonstration est basée sur la formule suivante déduite de la formule de Taylor pour les polynômes :
Existence de racines : Théorème de d'Alembert
Un des problèmes qui se pose concernant les racines d'un polynôme est celui de l'existence de racines. C'est un problème difficile.
Pour les polynômes à coefficients dans C, le théorème de d'Alembert répond entièrement à la question. Il est fondamental, mais sa démonstration n'est pas élémentaire.
Il en existe plusieurs, utilisant soit des propriétés d'analyse soit des propriétés algébriques, dans les deux cas puissantes et nécessitant des notions qui sont hors du niveau où est placé ce cours.
Nous l'admettrons donc.
Il va permettre de caractériser tous les polynômes irréductibles de et de .
Théorème de d'Alembert-Gauss Tout polynôme non constant de admet au moins une racine dans C. |
Remarque historique : Ce résultat a d'abord été énoncé par d'Alembert puis démontré beaucoup plus tard par Gauss.
Définition d'un corps algébriquement clos On dit qu'un corps K est algébriquement clos si et seulement si tout polynôme non constant à coefficients dans K admet au moins une racine dans K. |
Il résulte du théorème de d'Alembert que le corps C est algébriquement clos. Par contre, le corps R ne l'est pas. Revoir l'exemple de pour s'en convaincre.
Polynômes irréductibles dans C[X]
On suppose connues les propriétés générales des polynômes irréductibles de où K est un corps quelconque. Il n'y a pas, dans le cas général, de caractérisation des polynômes irréductibles. L'objet des deux paragraphes qui suivent est d'étudier ce problème dans les cas particuliers de et de .
Le théorème suivant résulte immédiatement du théorème de d'Alembert :
Théorème : Caractérisation des polynômes irréductibles dans Les polynômes irréductibles de sont les polynômes du premier degré. |
En effet, soit P un polynôme à coefficients complexes de degré supérieur ou égal à 2. Il est donc non constant et, d'après le théorème de d'Alembert, il admet au moins une racine complexe a. D'après la caractérisation des racines, cela signifie qu'il est divisible par le polynôme . Il n'est donc pas irréductible.
En intégrant ce résultat dans le théorème général de factorisation des polynômes en produit de polynômes irréductibles, on obtient :
Théorème : Factorisation en éléments irréductibles dans Tout polynôme non constant de s'écrit d'une manière unique sous la forme |
Exemple : avec .
Polynômes irréductibles dans R[X]
Le résultat de l'étude précédente permet d'obtenir la caractérisation des polynômes irréductibles sur .
L'outil essentiel, pour ce faire, est l'inclusion évidente :
En préliminaire, on établit la propriété suivante, très utile dans la pratique.
Proposition : Racine complexe d'un polynôme à coefficients réels Soit P un polynôme non constant à coefficients réels. On suppose que ce polynôme, considéré comme élément de , admet une racine a complexe et non réelle. Alors est aussi racine de P, avec le même ordre de multiplicité. |
Preuve : Il est clair, comme les coefficients de P sont réels et compte tenu des propriétés de la conjugaison dans C, que pour tout x complexe
Alors la caractérisation des racines d'un polynôme et de leur ordre de multiplicité à l'aide des dérivées de ce polynôme prouve le résultat.
Corollaire 1 : Description des racines d'un élément de Soit P un polynôme à coefficients réels. Ses racines, dans C, sont · soit réelles · soit non réelles, conjuguées deux à deux, une racine et sa conjuguée ayant le même ordre de multiplicité. |
On en déduit un résultat très pratique :
Corollaire 2 Tout polynôme à coefficients réels de degré impair a au moins une racine réelle. |
Ici, il est justifié par des propriétés purement algébriques. On peut aussi le démontrer avec des outils d'analyse en étudiant les variations de la fonction polynôme associée.
Cela conduit au théorème suivant :
Théorème : Factorisation en facteurs irréductibles dans Soit P un polynôme non constant appartenant à . Alors il existe des entiers strictement positifs r et s, et pour tout k compris entre 1 et r et tout l compris entre 1 et s, des réels , et et des entiers et tels que :
où les polynômes sont sans racine réelle, autrement dit tels que
Une telle décomposition est unique. |
Preuve
D'après le résultat du corollaire, la décomposition en facteurs irréductibles de P, considéré comme un élément de , est de la forme
où les sont des nombres réels et les des nombres complexes non réels.
Or : .
On a ; on obtient donc un nombre réel. De même, on a qui est aussi un nombre réel.
Donc le polynôme s'écrit avec et réels. De plus ce polynôme n'a pas de racines réelles ce que l'on peut caractériser en disant que son discriminant est négatif.
Ce polynôme est donc un polynôme irréductible dans (sinon il serait divisible par un polynôme de degré 1 ce qui équivaudrait à l'existence d'une racine réelle).
On obtient donc une décomposition de P en un produit de polynômes à coefficient réels, irréductibles dans :
A cause de l'unicité d'une telle décomposition, c'est la décomposition en facteurs irréductibles dans de P.
Remarque : on a l'égalité : .
Exemple :
Soit le polynôme et cherchons sa décomposition en facteurs irréductibles dans . Si on le considère comme un polynôme à coefficients complexes, il vient que i est racine de P d'ordre de multiplicité égal à 2. En effet,
, d'où
, d'où
Donc est aussi racine d'ordre 2 de dans C. Donc est divisible
dans par . Il existe donc dans tel que :
(considération de degré).
On calcule , soit par la méthode des coefficients indéterminés, soit par division euclidienne de par , et l'on obtient :
Le polynôme est irréductible dans (son discriminant est , donc strictement négatif), donc est la décomposition de en facteurs irréductibles dans .
Remarque : La décomposition en facteurs irréductibles de dans est
.
Ce théorème permet d'obtenir une description complète des polynômes irréductibles
dans :
Théorème : Caractérisation des polynômes irréductibles dans Les polynômes irréductibles de sont les polynômes du premier degré et les polynômes de deuxième degré sans racine réelle, autrement dit de la forme |
Remarque : Attention ! Une conséquence immédiate de ce résultat est qu'un polynôme à coefficients réels qui n'a pas de racine n'est pas forcément irréductible.
L'exemple suivant en est une illustration.
Exemple : Soit .
· Ce polynôme n'a pas de racines réelles : en effet s'il en avait une, soit a, ce réel vérifierait l'égalité , ce qui est absurde dans R.
· Mais ce polynôme n'est pas irréductible puisqu'il n'est pas de l'un des deux types précédents.
Donc on sait d'avance que ce polynôme est le produit de deux polynômes de degré égal à 2, sans racines réelles.
· Pour trouver sa factorisation en facteurs irréductibles, on a (au moins) trois méthodes possibles :
On peut utiliser la remarque qui vient d'être faite, l'écrire sous la forme du produit de deux polynômes de degré égal à 2 avec des coefficients indéterminés, développer et identifier les coefficients. Cela aboutit à un système linéaire qu'il faut résoudre. Cette méthode est efficace, mais lourde du point de vue des calculs.
On pourrait aussi chercher sa décomposition dans , puis regrouper les termes correspondant à des racines conjuguées (en suivant le principe de la démonstration théorique).
On peut aussi procéder de la manière suivante : on considère que c'est le début du développement du carré de la somme , le double produit manquant.
Alors : , soit .
C'est la décomposition cherchée.
Remarque : La décomposition en facteurs irréductibles est unique, donc tous les moyens mathématiquement corrects sont bons pour la déterminer.
Formule d'interpolation de Lagrange
Pour terminer cette ressource, nous allons donner la formule d'interpolation de Lagrange qui permet de caractériser un polynôme par la valeur de la fonction polynôme qui lui est associée en un certain nombre de points. (très utile en mathématiques appliquées pour les calculs et les approximations).
On suppose que le corps K est égal à R ou C.
Théorème : Formule d'interpolation de Lagrange Etant donnés n points les étant tous distincts et les non tous nuls, il existe un seul polynôme , de degré strictement inférieur à n, tel que :
|
Preuve : elle se décompose en deux parties : l'unicité et l'existence.
· Unicité : S'il existait deux polynômes et satisfaisant au problème donné,
avec , le polynôme non nul , serait de degré strictement inférieur à n et aurait au moins n racines, les , ce qui serait absurde.
· Existence : On vérifie que le polynôme
est solution du problème posé.
Exemple : Si l'on considère le cas et , on retrouve le résultat (bien connu) que par deux points distincts il passe une et une seule droite.
Remarque :
Si tous les sont nuls, le seul polynôme tel que pour tout k, , est le polynôme nul (cf. la démonstration de l'unicité).
Source : http://www.ann.jussieu.fr/~berco/LM125/LM125-Lecon-4.htm
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Algorithme d'Euclide
L'algorithme d'Euclide est un algorithme permettant de déterminer le plus grand commun diviseur (P.G.C.D.) de deux entiers dont on ne connaît pas la factorisation. Il est déjà décrit dans le livre VII des Éléments d'Euclide. Dans la tradition grecque, en comprenant un nombre entier comme une longueur, un couple d'entiers comme un rectangle, leur PGCD est la longueur du côté du plus grand carré permettant de carreler entièrement ce rectangle. L'algorithme décompose ce rectangle en carrés, de plus en plus petits, par divisions euclidiennes successives, de la longueur par la largeur, puis de la largeur par le reste, jusqu'à un reste nul. Dans le rectangle de dimensions L=21 par l=15 ci-dessous, par exemple, on peut glisser un carré de côté 15 mais il reste un rectangle de côtés 15 et 6, dans lequel on peut glisser deux carrés de côté 6 mais il reste un rectangle de côtés 6 et 3 que l'on peut carreler entièrement de carrés de côté 3. Les carrés de côté 6 ou 15 peuvent aussi se carreler en carrés de côté 3. Le rectangle entier peut se carreler en carrés de côté 3. Il n'existe pas de carré plus grand permettant un tel carrelage. Cet algorithme repose sur la structure d'anneau euclidien de l'anneau des entiers relatifs, plus particulièrement sur la propriété de division euclidienne. Il se généralise donc à bien d'autres anneaux, en particulier les anneaux de polynômes à coefficients dans un corps. L'algorithme se généralise pour permettre le calcul des coefficients de Bezout. L'algorithme est effectif à condition de disposer d'un algorithme effectif de division euclidienne. La possibilité de disposer d'un tel algorithme rend de nombreux autres calculs effectifs, notamment, en algèbre linéaire, le calcul de facteurs invariants.Algorithme d'Euclide
Sommaire[masquer] |
Puisque l'algorithme a pour objet le calcul d'un PGCD, il est possible de se restreindre aux entiers positifs, un PGCD de deux entiers relatifs étant égal au PGCD de leurs valeurs absolues. Soient deux entiers naturels a et b, dont on cherche le PGCD. Le cas où a ou b est nul ne nécessite aucun algorithme ; on l'exclut. Une suite d'entiers (an)n est définie par récurrence de pas 2, plus précisément par divisions euclidiennes successives ; la suite est initialisée par a0 = a, a1 = b, puis propagée par la règle de récurrence : tant que an+1 est non nul, an+2 est défini comme le reste de la division euclidienne de an par an+1. On commence donc par calculer le reste de la division de a par b, qu'on note r ; puis on remplace a par b, puis b par r, et on réapplique le procédé depuis le début. On obtient ainsi une suite, qui vaut 0 à un certain rang ; le PGCD cherché est le terme précédent de la suite. Il est intéressant de noter que si a < b, la première itération de la boucle a pour effet de "permuter a et b". Plus précisément : dans ce cas, la division euclidienne de a par b s'écrit a = b.0 + a donc a2 = a, si bien que la suite produite par l'algorithme appliqué au couple (a, b) commence par a, suivie de la suite produite par l'algorithme appliqué au couple (b, a). Calculons, par exemple, le PGCD de 1071 et de 1029 à l'aide de l'algorithme d'Euclide : 1071 = 1029 × 1 + 42 1029 = 42 × 24 + 21 42 = 21 × 2 + 0 Il faut prendre le dernier reste avant le zéro, donc PGCD(1071 ; 1029) = 21 Voici différents exemples d'implémentations de l'algorithme d'Euclide en programmation. Fonction PGCD(a:nombre, b:nombre):nombre ou sous forme condensée: ou en utilisant une boucle, sans rappeler la fonction dans elle-même (algorithme ressemblant plus à l'organigramme à flèche présent sur l'article): Au début, Euclide a formulé le problème de façon géométrique : comment trouver une « unité de mesure » commune pour deux longueurs de segments. Il procède par soustractions répétées de la longueur du plus court segment sur la longueur du plus long. Cela correspond à une adaptation de la méthode naïve de calcul de la division euclidienne, telle que décrite dans l'article consacré. La définition même de la suite (an) par division euclidienne montre que, pour tout n tel que an + 1 est non nul, il existe un entier qn + 2 tel que : avec de plus . La suite d'entiers naturels (an) est donc strictement décroissante à partir du rang 1, et donc vaut 0 à un certain rang. L'existence d'un dernier reste non nul est ainsi établie. Soit N + 1 l'indice de ce dernier reste non nul. Il faut montrer que aN + 1 est bien le PGCD cherché. La relation précédente s'écrit donc ici , qui montre que aN+ 1 divise aN. Écrivant ensuite , on en déduit que aN + 1 divise aussi aN − 1 ; puis, de même, et par récurrence, que aN + 1 divise tous les termes de la suite an ; en particulier les premiers termes a et b. aN + 1 est donc bien un diviseur commun de a et b. Réciproquement, tout diviseur commun de a et b divisera aussi , et à nouveau par récurrence, divisera tous les termes de la suite (an) ; donc en particulier aN + 1. aN + 1 est donc un diviseur commun de a et b que divise tout autre diviseur commun ; c'est bien le PGCD. Le théorème de Lamé stipule que le nombre d'étape de l'algorithme d'Euclide exécuté sur deux entiers est borné (supérieurement) par cinq fois le nombre de chiffres nécessaire à écrire (en base 10) le plus petit de ces deux entiers. On peut en fait être légèrement plus précis : le nombre d'étapes de l'algorithme d'Euclide exécuté sur deux entiers a et b, avec , est borné par la partie entière de , où ln désigne le logarithme naturel et est le nombre d'or. Comme le nombre de chiffres de l'écriture de b en base 10 est ln(b) / ln(10) et que la quantité est inférieure à 5 (elle vaut environ 4,78497), on retrouve bien le théorème de Lamé. De plus, cette majoration est la meilleure possible, puisqu'elle est atteinte quand a et b sont deux nombres de Fibonacci consécutifs. L'identité de Bézout assure l'existence de deux entiers u et v tels que : au + bv = aN + 1 = PGCD(a,b). L'algorithme d'Euclide convenablement adapté permet de calculer de tels coefficients. Pour cela, on introduit deux suites (un) et (vn) telles que pour tout n, on ait la relation : aun + bvn = an. Si de telles suites existent, les termes uN + 1,vN + 1 constitueront une paire de coefficients de Bezout pour a et b. On peut choisir u0 = 1,v0 = 0 puis u1 = 0,v1 = 1, puis la relation de récurrence de pas 2 entre les an montre : an + 2 = an − qn + 2an + 1 = aun + bvn − qn + 2(aun + 1 + bvn + 1) = a(un − qn + 2un + 1) + b(vn − qn + 2vn + 1) On peut ainsi définir (un) par la relation de récurrence de pas 2 : un + 2 = un − qn + 2un + 1 et l'initialisation précédente, et (vn) par vn + 2 = vn − qn + 2vn + 1 et l'initialisation précédente ; et on obtient bien la relation annoncée pour tout n. L'algorithme étendu s'implémente comme l'algorithme classique ; il suffit de rajouter des variables correspondant aux coefficients u et v à calculer, et de faire une multiplication et une soustraction supplémentaires, pour calculer chacun des deux nouveaux coefficients, à chaque étape. Les quotients successifs qui apparaissent quand l'algorithme d'Euclide est appliqué aux données a et b, sont précisément les nombres qui apparaissent dans la représentation sous forme de fraction continue de a/b. Considérons l'exemple de a = 1071 et b = 1029 utilisé ci-dessus. Voici le calcul avec les quotients soulignés (successivement 1, 24 et 2): De cela on tire : Dans l'égalité précédente, le second membre s'appelle la fraction continue ou continuée du quotient 1071/1029. On peut en déduire les 3 approximations suivantes de la fraction, classées par ordre de précision croissante : Cette méthode peut également être utilisée pour des nombres réels a et b ; comme dans le cas de deux entiers, la suite de quotients calculés représente la « décomposition en fraction continue » de a/b et fournit une suite d'approximations successives, de qualité croissante, du quotient a/b. Dans le cas où ce quotient est irrationnel, l'algorithme d'Euclide ne se termine pas et la suite des approximations obtenues est donc elle-même infinie ! nota : La décomposition en fraction continuée (et la série d'approximations successives correspondante) peut être appliquée, non seulement à un nombre réel quelconque, mais également à une fonction : cette démarche consiste à rechercher les approximants de Padé, dont on peut définir le principe comme suit : Au voisinage d'un point, le développement ensérie de Taylor d'une fonction donnée fournit un polynôme qui réalise une approximation de la fonction. Mais on peut également chercher une fraction rationnelle qui satisfasse les mêmes conditions que la partie polynomiale du développement de Taylor : l'égalité des dérivées de la fonction et de son approximation, jusqu'à un certain ordre donné. La comparaison de ces deux types de développements permet de très intéressants développements, comme la démonstration de l'irrationalité de ζ(3).Remarque préliminaire [modifier]
Description de l'algorithme [modifier]
Exemple [modifier]
Exemples d'implémentations [modifier]
Pseudocode [modifier]
Si b=0 alors
| Retourner a
Sinon
| r egal au reste de la division entière (modulo) de a par b
| Retourner PGCD(b, r)
Python [modifier]
def PGCD(a, b):
if b == 0:
return a
else:
return PGCD(b, a % b)
C [modifier]
int PGCD(int a, int b)
{
if (b == 0)
return a;
else
return PGCD(b, a % b);
}
int PGCD(int a, int b)
{
return (b) ? PGCD(b, a%b) : a;
}
int PGCD(int a, int b)
{
int r;
while ((r = a % b) != 0)
{
a = b;
b = r;
}
return b;
}
Remarque historique [modifier]
Démonstration de sa finitude et de son exactitude [modifier]
Le théorème de Lamé [modifier]
Algorithme étendu aux coefficients de Bézout [modifier]
Description [modifier]
Commentaires [modifier]
Fractions continues [modifier]
Voir aussi [modifier]
Liens externes [modifier]
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Mathématiques sur diffusion.ens.fr
mathématiques
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Probabilité dans les jeux
Les probabilités et les jeux concernent à la fois le jeu de hasard pur et le jeu de hasard raisonné. Le mathématicien Pascal est très connu pour avoir théorisé les jeux mais par la suite von Neumann (théorie des jeux) et Kolmogorov apportèrent des éléments beaucoup plus importants. En informatique, Tesauro utilisa l'observation de nombreuses parties de backgammon afin de développer un logiciel d'auto apprentissage basé sur ce jeu. Probabilité dans les jeux
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