D	L	M	M	J	V	S
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31

Classe de première ES-S

Année 2006-2007

Sujets de contrôle

Option n°6	Bilan sur tout le programme (2 heures, 16 mai 2007)
Option n° 5	Matrices (1 heure 30, 11 avril 2007)
Option n°4	Espace (1 heure 30, 21 février 2007)
Option n°3	Interpolation linéaire, espace (1 heure 30, 13 décembre 2006)
Option n°2	Interpolation linéaire (1 heure 30, interpolation linéaire, espace, 22 novembre 2006)
Option n°1	Fonctions affines par morceaux (1 heure 30, 11 octobre 2006)
Devoir n°9	Suites (1 heure, 11 mai 2007)
Devoir n°8	Fonctions(1 heure, 29 mars 2007)
Devoir n°6	Dérivation, fonctions(1 heure, 19 février 2007)
Devoir n°5	Second degré(1 heure, 26 janvier 2007)
Devoir n°4	Systèmes, second degré(1 heure 30, 21 décembre 2006)
Devoir n°3	Statistiques, systèmes(2 heures, 21 novembre 2006)
Devoir n°2	Statistiques(1 heure, 21 octobre 2006)
Devoir n°1	Pourcentages, (2 heures, 28 septembre 2006)

Corrigés divers

Le manuel que j'utilise en classe est le PHARE 5^ème (Hachette, Edition 2006).
Dans les documents ci-dessous, tous les numéros de pages sont donc relatifs à cet ouvrage.

Source : http://tfontanet.free.fr/cinquieme/index.html

Pdf Progression d'année ( avec Open Office )

Pdf Liste des propriétés de géométrie utiles en 5^ème ( avec Open Office )

Pdf Comment rédiger une démonstration de géométrie ? ( avec Open Office )

Pdf Comment rédiger un problème concret ? ( avec Open Office )

Html Travail à faire sur WIMS (réservé à mes élèves)

Html Travail à faire sur Mathenpoche (réservé à mes élèves)

Html Exercices corrigés récemment

Enchaînement d'opérations :

Pdf Cours du chapitre ( avec Open Office )

Pdf Feuille d'exercices ( avec Open Office )

Html Exercices interactifs avec Wims : Enchaînements d'opérations

Symétrie centrale :

Pdf Cours du chapitre ( avec Open Office )

Pdf Feuille d'exercices : constructions ( avec Open Office )

Pdf Feuille d'exercices : démonstrations ( avec Open Office )

Html Démonstrations à faire avec Exogeo :

Pdf Exemples de démonstrations rédigées utilisant les propriétés du chapitre ( avec Open Office )

Pdf Enoncés complets de DS déjà donnés ( Corrigés )

Calcul littéral :

Pdf Cours du chapitre ( avec Open Office )

Pdf Feuille d'exercices : développer, réduire, factoriser,... ( avec Open Office )

Pdf Feuille d'exercices : problèmes concrets ( avec Open Office )

Pdf Chercher les solutions d'une équation à l'aide d'un tableur ( avec Open Office )

Html Exercices interactifs avec Wims : Simplifier l'écriture, Factoriser, Développer

Pdf Enoncés complets de DS déjà donnés ( Corrigés )

Triangles :

Pdf Cours du chapitre ( avec Open Office )

Html Activité sur les droites remarquables du triangle avec Sketchpad Java

Pdf Exemples de démonstrations rédigées utilisant les propriétés du chapitre ( avec Open Office )

Pdf Feuille d'exercices : Démonstrations de certaines des propriétés du cours ( avec Open Office )

Pdf Enoncé complet de DS déjà donné ( Corrigé )

Fractions :

Pdf Cours du chapitre ( avec Open Office )

Pdf Feuille d'exercices : additions et multiplications avec des fractions ( avec Open Office )

Pdf Feuille d'exercices : problèmes concrets avec des fractions ( avec Open Office )

Pdf Exemple de problème concret rédigé avec des fractions ( avec Open Office )

Html Exercices interactifs avec Wims : Simplifier une fraction, Additions et soustractions de fractions, Multiplications de fractions

Pdf Enoncés complets de DS déjà donnés ( Corrigés )

Angles :

Pdf Cours du chapitre ( avec Open Office )

Pdf Exemples de démonstrations rédigées utilisant les propriétés du chapitre ( avec Open Office )

Pdf Enoncés complets de DS déjà donnés ( Corrigés )

Nombres relatifs :

Pdf Cours du chapitre ( avec Open Office )

Pdf Feuille d'exercices ( avec Open Office )

Html Exercices interactifs avec Wims : Additions et soustractions de deux nombres relatifs, Sommes algébriques

Pdf Enoncé complet de DS déjà donné ( Corrigé )

Parallélogrammes :

Pdf Cours du chapitre ( avec Open Office )

Html Activité sur les propriétés et caractérisations du parallélogramme avec Geogebra

Pdf Exemples de démonstrations rédigées utilisant les propriétés du chapitre ( avec Open Office )

Pdf Feuille d'exercices ( avec Open Office )

Proportionnalité :

Pdf Cours du chapitre ( avec Open Office )

Pdf Feuille d'exercices : problèmes concrets utilisant la proportionnalité ( avec Open Office )

Pdf Enoncé complet de DS déjà donné ( Corrigé )

Parallélogrammes particuliers :

Pdf Cours du chapitre ( avec Open Office )

Pdf Organigramme récapitulatif des quadrilatères rencontrés ( avec Open Office )

Pdf Exemples de démonstrations rédigées utilisant les propriétés du chapitre ( avec Open Office )

Pdf Enoncés complets de DS déjà donnés ( Corrigés )

Statistiques :

Pdf Cours du chapitre ( avec Open Office )

Aires :

Pdf Cours du chapitre ( avec Open Office )

Pdf Activité sur l'aire d'un parallélogramme et d'un triangle ( avec Open Office )

Html Activité sur l'aire d'un disque avec Flash Flash

Prismes droits - Cylindres de révolution :

Pdf Cours du chapitre ( avec Open Office )

Configurations du plan

Source : http://mathadoc.sesamath.net/chapitre.php?chap=390

Karl Vansimaeys

Généralités

Chapitre complet

41ko

n°4714

18/04/2003

Activités

Activité

21ko

50ko

transformation

n°4385

29/01/2003

4ko

34ko

Cercle des 9 points d’un triangle (Cercle d'Euler).

n°6228

15/05/2004

Evaluation

Devoir en temps libre

7ko

85ko

transformation - rotation - reflexion

n°4386

29/01/2003

57ko

41ko

Devoir (avec correction) de début d'année sur plusieurs points du programme de géométrie de troisième

n°6886

12/01/2005

8ko

77ko

transformation - rotation - reflexion

n°4387

29/01/2003

Devoir surveillé (+corr.)

46ko

29ko

1 exercice de factorisation et 3 exercices de géométrie.

n°6892

12/01/2005

Cours, exercices et activités pour la Seconde

Le contenu ci-dessous, incomplet pour le moment, va s’enrichir dans les mois qui viennent.

A venir : cliquez sur l’icône W pour obtenir le document source au format Word + MathType.

Source : http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/Lycee_fichi...

Travaux numériques

Cours sur les différents types de nombres (PDF 8 pages, 66 Ko) W

Exercices sur les nombres (PDF 3 pages, 29 Ko) W

QCM sur les nombres (PDF 2 pages, 29 Ko) W

Exercices sur les systèmes (PDF 2 pages, 21 Ko) W

Fiche sur la factorisation (PDF 1 page, 15 Ko) W

Cours sur les équations et les inéquations (PDF 6 pages, 49 Ko) W

Exercices sur les équations et les inéquations (PDF 5 pages, 32 Ko) W

Exercices sur le calcul numérique et littéral (PDF 3 pages, 25 Ko) W

Cours sur la valeur absolue (PDF 5 pages, 49 Ko) W – Le cours de F. Demoulin sur la page contributions

Fonctions

Cours sur les fonctions (PDF 10 pages, 85 Ko) W – Le cours de F. Demoulin sur la page contributions

Fiches d'étude des fonctions usuelles (PDF 6 pages, 45 Ko) W

Exercices sur les fonctions et QCMs (PDF 12 pages, 176 Ko) W

Petit problème de synthèse sur les fonctions (PDF 2 pages, 27 Ko) W

Travailler les fonctions avec le logiciel MathEnPoche

Travaux géométriques

Exercices sur les vecteurs (PDF 5 pages, 28 Ko) W

QCM sur les vecteurs (PDF 1 page, 24 Ko) W

Différentes unités de mesure des angles (PDF 2 pages, 24 Ko) W

Cours sur la trigonométrie (PDF 3 pages, 113 Ko) W

Exercices de trigonométrie (PDF 2 pages, 22 Ko) W

Exercices de géométrie analytique (PDF 4 pages, 28 Ko) W

Exercices sur les transformations du plan (PDF 4 pages, 30 Ko) W

Activité : la duplication du sinus (PDF 2 pages, 46 Ko) W

Cours de géométrie dans l'espace (partie 1) (PDF 4 pages, 30 Ko) W

Positions relatives dans l'espace (PDF 3 pages, 23 Ko) W

QCM sur la vision dans l’espace (PDF 2 pages, 24 Ko) W

Exercices de géométrie dans l'espace (PDF 2 pages, 23 Ko) W

Une démonstration du théorème de Thalès (PDF 2 pages, 16 Ko) W

Statistiques

Simulation avec un tableur (activité) (PDF 1 page, 20 Ko) W

Exercices sur les statistiques (livret à compléter) (PDF 7 pages, 44 Ko) W

Cours sur les pourcentages (PDF 4 pages, 35 Ko) W

Exercices sur les pourcentages (PDF 5 pages, 27 Ko) W

Cours sur les moyennes (PDF 5 pages, 45 Ko) W

Les ensembles de nombres

maths-cours

05/08/2007 - 11:32

Définition

NN = {0; 1; 2; 3; 4; 5; . . . } est l'ensemble des entiers naturels.

Remarque

On emploie le signe .. in .. pour indiquer qu'un nombre appartient à un ensemble. On écrira par exemple: 2 in NN et 2/3 !in NN .

Définition

ZZ = {. . .; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; . . . } est l'ensemble des entiers relatifs.

Définition

est l'ensemble des nombres décimaux. Les nombres décimaux peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (1; 10; 100; 1 000; ...). Ils peuvent aussi s'écrire sous forme décimale dont le nombre de chiffres après la virgule est fini.

Remarques

"fini" signifie ici "qui n'est pas infini".
Les calculatrices les plus simples ne manipulent que des nombres décimaux pour effectuer les calculs. Certaines permettent des opérations sur les fractions. Quelques modèles plus avancés (effectuant du "calcul formel") peuvent également effectuer des calculs avec des nombres irrationnels.

Définition

est l'ensemble des nombres rationnels. Les nombres rationnels peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers relatifs.

Définition

est l'ensemble des nombres réels. Les nombres réels sont tous les nombres connus (en Seconde...).

Remarque

Les nombres réels qui ne sont pas rationnels (comme ou sqrt(2) ) sont appelés des nombresirrationnels.

Propriété

NN inc ZZ inc DD inc QQ inc RR

Remarques

Le symbole se lit "inclus dans".
La proposition précédente signifie que tous les entiers naturels sont aussi des entiers relatifs qui sont eux-même des nombres décimaux qui sont des nombres rationnels qui sont des nombres réels.
Un même nombre admet plusieurs écritures différentes. Par exemple le nombre 2 peut aussi s'écrire 2,0 (écriture décimale) ou etc. (écriture fractionnaire) (écriture avec un radical) et même (aussi curieux que cela puisse vous paraitre) 1,999999.... (écriture décimale illimitée).

Source : http://www.maths-cours.fr/seconde/nombres/ensembles-nombres

I. Les nombres entiers

1. Vocabulaire

On écrit les nombres à l'aide des dix chiffres :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Exemples :
Le nombre 4 s'écrit avec le chiffre 4.
Le nombre 421 s'écrit avec le chiffres 1, 2, et 4.

Afin de faciliter la lecture des grands nombres entiers, on peut grouper les chiffres par 3 en partant de la fin.

Exemple :
31 415 926

2. Orthographe

Les mots servant à écrire les nombres sont en général invariables.

Cent et vingt prennent un "s" s'ils sont multipliés et s'ils ne sont pas suivis par un autre nombre.

Millions et milliards sont des noms : ils s'accordent donc au pluriel.

On relie par un trait d'union deux nombres inférieurs à 100 non séparés par un "et".

Exemples :
Trois mille francs suisses.
Les cinq sens.
Quatre-vingts mètres de haut.
Quatre-vingt-cinq mètres de haut.
Cinq millions six cent mille kilomètres.

II. Les nombres décimaux

1. L'écriture décimale

L'écriture décimale d'un nombre décimal se compose :

d'une partie entière

d'une partie décimale
séparées par une virgule (",") qui est le séparateur décimal.

cours sur les nombres entiers et décimaux - sixieme : image 1

La partie décimale d'un nombre décimal comporte toujours un nombre fini de chiffres non nuls.
Tous les nombres "à virgule" ne sont pas des nombres décimaux.

Un nombre décimal reste inchangé si on ajoute ou si on retire

des 0 avant la partie entière,

des 0 après la partie décimale.

Exemples :
7 = 007
1,2000 = 1,20 = 1,2
0841,065 = 841,0650

Un nombre entier est un nombre décimal dont la partie décimale est nulle.
(par exemple 12 peut aussi s'écrire 12,00000)

2. Rang des chiffres d'un nombre décimal

passez la souris sur les pour connaître les rangs de chacun des chiffres.

partie entière

partie décimale

milliards

millions

milliers

unités

C

D

U

C

D

U

C

D

U

C

D

U

,

1

2

3

4

,

5

6

7

Source : http://www.ilemaths.net/maths_6-nombres-decimaux-cours.php

Définitions :

$mathbb{N}$ contient les nombres 0, 1, 2, 3 ...
C'est l'ensemble des entiers naturels.

$mathbb{Z}$ contient les nombres précédents ainsi que -1, -2, -3, ...
C'est l'ensemble des entiers relatifs.

$mathbb{D}$ contient les nombres précédents ainsi que les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $dfrac{text{a}}{10^{text{n}}}$ avec a un entier relatif et n un entier naturel.
par exemple : 48,9 ; 54,698 ...
C'est l'ensemble des nombres décimaux.

$mathbb{Q}$ contient les nombres précédents ainsi que toutes les fractions $left(dfrac{3}{2}, dfrac{10}{3}, dfrac{562}{2158} ...right)$
C'est l'ensemble des rationnels.

$mathbb{R}$ contient les nombres précédents ainsi que $pi$ , $sqrt{2}$ ...
C'est l'ensemble des nombres réels.

$mathbb{C}$ contient les nombres précédents ainsi que les nombres imaginaires (ex : i tel que i² = -1)
C'est l'ensemble des nombres complexes. (étudié en T^ale)

Illustration :

un cours sur les ensembles mathématiques - seconde : image 1

Nous avons donc les inclusions suivantes : $mathbb{N} subset mathbb{Z} subset mathbb{D} subset mathbb{Q} subset mathbb{R}$

Source : http://www.ilemaths.net/maths_2_ensembles_mathematiques_c...

Troncature

²

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En mathématiques, la troncature est un terme utilisé pour couper le développement décimal d'un nombre à un certain nombre de chiffres après la virgule, ou le développement limitéd'une fonction à un certain ordre.

Sommaire

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Troncature d'un nombre [modifier]

Par exemple, considérons les nombres réels:

5,6341432543653654

32,438191288

6,3444444444444

Pour tronquer ces nombres à quatre décimales, seuls sont gardés les quatre chiffres après la virgule.

Le résultat serait:

5,6341

32,4381

6,3444

Remarquons que dans certains cas, la troncature donne le même résultat qu'un arrondi, mais ne correspond pas à un arrondissage par excès; elle découpe simplement les décimales à une position précise (du moins pour les nombres positifs). L'erreur de troncature ne peut excéder deux fois l'erreur maximale d'un arrondi.

On peut s'interroger sur l'existence de la troncature d'un nombre négatif $a$ , car alors la disparition des chiffres de $a$ à partir d'un certain rang ne se fait pas grâce à la partie entière de $a$ , mais grâce à la partie entière de - $a$ .

Troncature et fonction partie entière [modifier]

La troncature peut être effectuée en utilisant la fonction partie entière. Soit $x in mathbb{R}_+$ un nombre à tronquer et $n in mathbb{N}^{*}$ , le nombre de chiffres à garder après la virgule, la troncature de $x$ à $n$ décimales est égale à:

$frac{left[ 10^n cdot x right]}{10^n},$

où $[a]$ désigne la partie entière de $a$ .

Généralisation de la troncature [modifier]

La troncature peut être généralisée à d'autres systèmes que le système de base dix. Par exemple, on peut vouloir tronquer une longueur exprimée en centimètres au pouce près (c'est du pouce du système impérial anglo-saxon dont il s'agit ici). Le résultat sera un nombre de centimètres qui sera un multiple de l'équivalent en centimètre du pouce. Il sera inférieure à la valeur non tronquée et l'erreur de troncature devra être inférieure strictement à la valeur du pouce en centimètres. Pour cela, il existe une formule qui généralise la formule de troncature décimale :

$left[frac{x}{a}right] cdot a$

où $[x]$ désigne la partie entière de $x$ . Et où $a$ désigne l'unité de troncature. Dans l'exemple de la troncature au pouce près, $a$ vaut 2,54 (un pouce vaut 2,54 centimètres).

Avec cette formule, tronquer un nombre à deux décimales (ou à $10 - 2$ près) reviendra à prendre $10 - 2$ pour valeur de $a$ .

Et l'on peut constater facilement, si l'on pose $a$ = 1, que la troncature à l'unité près correspond bien à la partie entière.

Voir aussi [modifier]

Troncature d'un développement limité [modifier]

Lien externe [modifier]

Applette papier peint

Catégories : Analyse numérique | Analyse | [+]

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Troncature

Eudoxe de Cnide

Pour les articles homonymes, voir Eudoxe.

Eudoxe de Cnide

Naissance	-408 Cnide Anatolie
Décès	-355
Champ(s)	Astronomie,géographie,mathématiques,médecine,philosophie
Célèbre pour	Théorie dite des Sphères homocentriques

Eudoxe de Cnide (-408 — -355 ou -395 — -342) était un astronome, géomètre, médecin et philosophe grec. Contemporain de Platon, il tenta le premier de formuler une théorie sur le mouvement des planètes. Ses travaux nous sont connus par Archimède. Lasserre propose une autre chronologie : -395/-342. Il n'est ni vraiment pythagoricien ni vraiment platonicien, c'est "un penseur original" (W. Burkert).

Sommaire

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Biographie [modifier]

Né à Cnide, en Carie (Asie Mineure), il était fort pauvre. Il a appris la géométrie auprès du pythagoricien Archytas (vers -390), la médecine auprès de Philistion de Sicile. A 23 ans, il se rendit à Athènes, peut-être chez les cyrénaïques dont il partageait les idées morales (Aristippe identifie le souverain bien au plaisir du moment). Eudoxe voyagea peut-être en Perse, sous Agesilaos II de Sparte, roi de -400 à -360. Il séjourna ensuite pendant plus d'un an en Égypte (peut-être en compagnie de Platonmais plus tôt, en -392). Puis il alla à Halicarnasse, auprès de Mausole, satrape de Carie de -377 à -353. Il retourna à Athènes, comme disciple ou assistant de Platon, vers -370, à l'Académie. Il fonda une école à Cnide vers -360, qui concurrençait Platon. Il mourut à 53 ans (-355).

Astronomie [modifier]

Il est principalement connu pour sa théorie dite des "sphères homocentriques". L'ébauche de cette théorie est probablement une création de Pythagore que Platon a reprise dans sonTimée. Pour Eudoxe, les astres tournent tous autour de la Terre, qui est immobile : le Soleil, la Lune et toutes les planètes alors connues (Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne). Les mouvements de chaque astre sont commandés par un groupe de sphères qui lui sont propres. Le nombre de sphères dépend de l'astre considéré (3 pour la Lune, autant pour le Soleil, 4 pour chacune des planètes) ; mais le principe est le même à chaque fois.

Chaque astre est enchâssé dans une sphère qui est centrée sur la Terre et animée d'un mouvement circulaire autour d'un de ses diamètres. Les deux extrémités de ce diamètre sont elles-mêmes fixées à une seconde sphère, également centrée sur la Terre et animée d'un mouvement circulaire autour d'un de ses diamètres (différent bien sûr du précédent). Cette seconde sphère elle-même, etc. Chaque sphère tourne à vitesse constante autour de son axe, mais les vitesses peuvent varier selon les sphères.

Les étoiles bougent elles aussi selon Eudoxe, puisque pour lui la Terre est immobile. Elles sont fichées dans une sphère tournant d'Est en Ouest en 24 heures autour de l'axe des pôles de la Terre. Au total "27 sphères sont nécessaires, dont 1 pour l'ensemble des étoiles, 3 pour la Lune, 3 pour le Soleil et 4 pour chacune des 5 planètes"¹.

Ce système permet à Eudoxe de modéliser (au moins qualitativement) le mouvement de rétrogradation des planètes ; ce que Platon, se cantonnant à deux sphères par astre, ne savait pas faire. Il sera enrichi plus tard par Calippe et Aristote (qui en conservent scrupuleusement le principe tout en augmentant le nombre de sphères de chaque planète). Mais il contient un vice de conception qu'aucun de ses avatars ne peut corriger : il place chaque planète à une distance fixe de la Terre, or - il semble qu'on s'en soit aperçu du vivant même d'Eudoxe - la différence de luminosité de certaines planètes (Vénus ou Mercure notamment) ne peut s'expliquer que si elles s'éloignent et se rapprochent au cours du temps, de même l'inégalité des saisons. Les modèles à base de cercles excentriques ou d'épicycles, celui d'Hipparque (-IIe siècle av. J.-C.) et surtout de Ptolémée (IIe siècle ap. J.-C.) ), qui ne souffrent pas de ces défauts, rendront caduc celui d'Eudoxe - dont l'ingéniosité et l'adoption par Aristote lui vaudront cependant de conserver longtemps des adeptes dans la science arabe² puis scolastique.

Eudoxe fut le premier à calculer la durée de rotation de l'année terrienne. Il l'évalua à 365 jours 1/4. Ce résultat, très proche de la valeur connue de nos jours, a été amélioré par Clavius à la demande de Grégoire XIII pour la création du calendrier grégorien. Cependant, en raison des erreurs de sa théorie, il s'est trompé sur la distance de la Terre au Soleil et sur la dimension de cet astre dont il évalua le diamètre à neuf fois celui de la Lune.

Il inventa un nouveau cadran solaire (l'araignée), trouva en géométrie plusieurs théorèmes nouveaux, avança la théorie des sections coniques, et composa plusieurs ouvrages qui ne nous sont point parvenus.

Cependant son traité des Phénomènes se retrouve presque tout entier dans le poème d'Aratos.

Le premier en Grèce, Eudoxe a institué une correspondance entre les douze signes zodiacaux et les douze mois attiques, depuis le Bélier, à l'équinoxe de printemps (élaphèbolion = mars), jusqu'aux Poissons (anthestèrion = février). D'autre part, ce même Eudoxe a institué une correspondance entre ces mois et les Douze Dieux de la religion officielle. Dès lors, chaque mois se trouvait bénéficier d'une double tutelle : il était sous la présidence d'un signe zodiacal et il était sous la protection de l'un des grands dieux. Eudoxe a emprunté ces doctrines à la Chaldée" (André-Jean Festugière, Études de philosophie grecque, Vrin, 1971, p. 52). Bélier = Athéna, Taureau = Aphrodite, Gémeaux = Apollon, Cancer = Hermès, Lion = Zeus, Vierge = Déméter, Balance = Héphaistos, Scorpion = Arès, Sagittaire = Artémis, Capricorne = Hestia, Verseau = Héra, Poissons = Poséidon.

On doit à Eudoxe le grand principe méthodologique des astronomes de l'Antiquité : "sauver les phénomènes" (sôzein ta phainomena).³ Il s'agit d'avancer des explications qui rendent compte de ce qui apparaît dans le ciel : les mouvements des astres.

Ludwig Ideler et Antoine Jean Letronne (1841) ont écrit sur les travaux d'Eudoxe.

Mathématiques [modifier]

On lui attribue la méthode d'exhaustion, qui permet de rapprocher autant que possible deux quantités inégales par épuisement de leur différences. Il se serait occupé des questions relatives aux coniques.

Philosophie [modifier]

Il aurait fondé l'hédonisme en affirmant l'identité du plaisir et du bien (Aristote, Ethique à Nicomaque, I, 12, 1101 b 27).

Notes et références [modifier]

↑ Ludwik Marian Celnikier, Histoire de l'astronomie, Technique et documentation-Lavoisier, Paris, 1986
↑ cf. le chapitre Critique du ptolémaïsme et nouvelles écoles (1025-1450) dans Astronomie arabe
↑ Jürgen Mittelstrass, Die Rettung der Phänomene, 1962, p. 16.

Bibliographie [modifier]

Fragments [modifier]

fragments astronomiques dans Aratos (III^e s. av. J.-C.), Les phénomènes, trad., Paris, Les Belles Lettres, 1998, 2 t.
fragments mathématiques dans Archimède, dans le livre IV des Éléments d'Euclide
fragments traduits par Antoine-Jean Letronne, Œuvres choisies, 1883.
fragments traduits par F. Lasserre, Eudoxe de Cnide, Berlin, 1987.

Études [modifier]

Michel Onfray, Les sagesses antiques, contre-histoire de la philosophie, tome I, Grasset (2006), ISBN 2-246-64791-6, p.159-164.
Paul Tannery, La géométrie grecque, 1887.
F. Lasserre, Eudoxe de Cnide, Berlin, 1987.

Sources [modifier]

Aratos de Soles, Les phénomènes (III^e s. av. J.-C.), trad., Paris, Les Belles Lettres, 1998, 2 t.
Diogène Laërce, Vies et doctrines des philosophes illustres (vers 200), VIII, 86-91.

[Enrouler] v · d · m Astronomes de la Grèce antique
Astronomes	Acoreus • Aglaonice • Agrippa • Apollonius • Aristarque • Aristylle • Calippe • Cléomède • Cléostrate • Conon • Ératosthène • Eudoxe • Geminos • Hipparque •Hypsiclès • Ménélaüs • Méton • Ptolémée • Sosigène • Théodose • Théon d'Alexandrie • Timocharis
Travaux	Almageste • Des grandeurs et des distances du Soleil et de la Lune
Instruments	Astrolabe • Machine d'Anticythère • Sphère armillaire
Théories	Anti-Terre • Cycle métonique • Épicycle • Géocentrisme • Héliocentrisme

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Eudoxe_de_Cnide

Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide traduction de D. Henrion, 1632

http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k68013g.image.f171.p...

Livre V des Éléments d'Euclide

Le livre V des Éléments d'Euclide est attribué à Eudoxe de Cnide. Il est remarquable par son abstraction et la puissance des outils qu'il développe. Il permet de traiter les rapports de quantités irrationnelles, en se ramenant à des comparaisons de rapports de quantités rationnelles. Il permettra par exemple dans le livre VI de comparer les aires de figures, alors même que ces figures ne possèdent pas de côtés comparables rationnellement. Par certains aspects, il évoque la définition des nombres réels que Dedekind donnera 2000 ans plus tard, au moyen de coupures de rationnels.

Il comporte :

20 définitions
25 propositions

Sommaire

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Les définitions [modifier]

Le livre V permet de comparer deux grandeurs de même nature entre elles (deux longueurs, deux aires planes, ...). En aucun cas, il n'est permis de faire le rapport de deux grandeurs de nature différente (une longueur divisée par une aire). La déf.3 définit ce qu'est la raison de deux telles grandeurs : une raison est une certaine manière d'être de deux grandeurs homogènes entre elles, suivant la quantité. Sous forme algébrique moderne, nous aurions tendance à voir une raison comme le nombre réel égal au quotient des deux grandeurs, mais c'est ici une vision totalement anachronique. Au temps d'Euclide, la raison n'est pas conçue comme un nombre, mais comme une certaine relation permettant de comparer deux grandeurs. Là où nous dirions $a = sqrt{5}b$ , un exemple typique de formulation chez Euclide consiste à dire : le carré de a est au carré de b ce que 5 est à 1. D'où la déf.4 : une proportion est une identité de raisons. On trouve de telles formulations jusqu'au XVII^e ou XVIII^e siècle. Ainsi Pascal écrit-il, dans son Traité sur la pesanteur de l'air : « J'ai supposé que le diamètre est à la circonférence, comme 7 à 22 ».

Pour définir la raison entre deux grandeurs, elles doivent pouvoir se surpasser l'une l'autre, autrement dit, on suppose que l'axiome d'Archimède s'applique à elles (déf.5).

On compare alors les raisons entre elles de la façon suivante (déf.6) : des grandeurs sont dites être en même raison, la première à la seconde, et la troisième à la quatrième, lorsque des équimultiples quelconques de la première et de la troisième, et d'autres équimultiples quelconques de la seconde et de la quatrième sont tels que les premiers équimultiples surpassent, chacun à chacun, les seconds équimultiples, ou leur sont égaux à la fois, ou plus petits à la fois. Ainsi, soit la raison a/b à comparer à la raison c/d. n et m étant des entiers quelconques, on dira que les deux raisons sont les mêmes si na > mb équivaut à nc > md. Nous dirions aujourd'hui que a/b = c/d si et seulement si, pour tout rationnel m/n, a/b > m/néquivaut à c/d > m/n. Mais Euclide parvient à un type de comparaison analogue, sans faire appel à des notions numériques, qui n'existent pas à l'époque.

De même, Euclide dit (déf.8) que la raison a/b est plus grande que la raison c/d s'il existe deux entiers n et m tels que na > mb, alors que nc < md. Nous dirions que a/b > m/n > c/d, mais là aussi, cette vision moderne est anachronique.

Les dernières définitions sont relatives à des manipulations sur les raisons (raison alterne (déf.14), raison inverse (déf.15), etc...)

Les propositions [modifier]

Bien que les raisonnements d'Euclide soient purement géométriques, nous aurons recours à des notations algébriques permettant d'abréger les formulations des énoncés. Les lettres a,b, c... désigneront des grandeurs, les lettres n, m des entiers. Rappelons que cette notation algébrique n'est qu'un accommodement que nous adoptons et qui n'est pas utilisé par Euclide. Les propositions traitent des questions suivantes :

distributivité du produit par rapport à la somme. La prop.1 énonce essentiellement que $k a 1 + k a 2 + ... + k a n = k (a 1 + ... + a n)$ . On peut l'interpréter comme une règle de distributivité du produit par rapport à la somme, à rapprocher de la même règle de la prop.1 du Livre II des Éléments d'Euclide, mais les règles sont de nature différente, bien qu'algébriquement semblables. Dans le livre II, le produit se traduit sous forme d'aire de rectangles, autrement dit, on ne traite que les longueurs, alors qu'ici, il s'agit de multiples entiers de grandeurs quelconques (longueurs, aires, volumes...). La prop.2 traite le cas d'une somme d'entiers multipliée par des grandeurs. Les prop.5 et 6 énoncent des résultats comparables en ce qui concerne la différence. La prop.3 énonce essentiellement que m(na) = (mn)a.

Propriétés de l'égalité des raisons. Un certain nombre de règles relatives à la comparaison des raisons sont prouvées : si a/b est la même raison que c/d, alors pour tout entier n etm, na/mb a même raison que nc/md (prop.4 et 15). a/b a même raison que c/b si et seulement si a = c, et de même, a/b = a/c si et seulement si b = c (prop.7, 9). Si a est supérieur à b, alors a/c est plus grande que b/c (prop.8 et 10) et réciproquement, ce que nous pourrions appeler, compatibilité de l'inégalité des raisons avec l'inégalité des grandeurs. Les prop.11, 13, 14, 20, 21, 22, 23 énoncent diverses propriétés de transitivité relatives à l'égalité ou l'inégalité des raisons. La prop.12 énonce que, si $a 1 / b 1$ , $a 2 / b 2$ , ..., $a n / b n$ sont des raisons égales, alors cette raison est égale à la raison de $frac{a_1+cdots+a_n}{b_1+cdots+b_n}$ , des variantes étant données par la prop.24.

Manipulation sur les raisons. Si a/b = c/d, alors a/c = b/c (prop.16). Si a/b = c/d, alors (a-b)/b = (c-d)/d (prop.17) et de même avec une somme (prop.18 et 19). Si a/b = c/d, avec a la plus grande des grandeurs, et d la plus petite, alors a+d est plus grand que b+c (prop.25).

Bibliographie [modifier]

Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris (1819), nouveau tirage par Jean Itard, Éditions Albert Blanchard (1993)
Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac [détail des éditions]

Lien externe [modifier]

Document en ligne sur le site Gallica de la BNF

Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide traduction de D. Henrion, 1632

Éléments d'Euclide

Livre I ~ Livre II ~ Livre III ~ Livre IV ~ Livre V ~ Livre VI
Livre VII ~ Livre VIII ~ Livre IX ~ Livre X ~ Livre XI ~ Livre XII ~ Livre XIII

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Méthode d'exhaustion

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En mathématiques, la méthode d'exhaustion est un procédé ancien de calcul d'aires, de volumes et de longueurs de figures géométriques complexes. La quadrature est la recherche de l'aire d'une surface, la rectification est celle de la longueur d'une courbe.

Dans le cas du calcul de l'aire d'une figure plane, par exemple, le principe est de calculer les aires de polygones inscrits et circonscrits à la figure. L'encadrement fournit une approximation d'autant meilleure que le nombre de côtés utilisé est grand. Lus par les modernes, les calculs d'exhaustion permettent d'arriver à la valeur exacte de l'aire A de la figure par passage à la limite. Il s'agit pourtant d'une étape qui ne fut pas franchie par les Anciens qui utilisaient un double raisonnement par l'absurde : on suppose que l'aire est plus grande que Aet on obtient une contradiction, puis on suppose que l'aire est plus petite que A et on obtient une autre contradiction, d'où l'on conclut que l'aire vaut A.

On attribue à Eudoxe de Cnide la paternité de ce procédé, mais c'est Archimède qui en fit une méthode d'encadrement précise et systématique, en faisant grand usage de l'axiome qui porte son nom. Celle-ci connut de nombreux succès pendant plusieurs siècles, avant d'être rendue obsolète par l'apparition de la méthode des indivisibles au début du xvii^e siècle, elle-même surpassée quelques décennies plus tard par le calcul infinitésimal.

Sommaire

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Exhaustion et quadrature [modifier]

La méthode d'exhaustion fut utilisée dans les problèmes suivants :

Quadrature du cercle [modifier]

La proposition 2 du livre XII des Eléments d'Euclide prouve que l'aire d'un disque est proportionnelle au carré du diamètre. Elle repose sur une propriété analogue portant sur les polygones inscrits dans un cercle et précédemment prouvée par Euclide. Le principe de la méthode d'exhaustion est le suivant. Soit un disque de diamètre D et d'aire A, et un deuxième disque de diamètre D' et d'aire A'. Il s'agit de montrer que A/A' = D²/D'². Supposons que ce ne soit pas le cas et que A/A' soit plus grand. Soit B une aire telle que B/A' = D²/D'². On a donc A > B. Inscrivons dans le disque d'aire A un polygone d'aire C tel que A > C > B et dans le disque d'aire A' un polygone d'aire C' semblable au polygone d'aire C. D'après la proposition montrée sur les polygones, on a C/C' = D²/D'² = B/A'. Or C' < A'. Donc C < B, ce qui est absurde. On ne peut donc avoir A/A' supérieur à D²/D'². On procède de même si A/A' est inférieur à D²/D'². On a donc A/A' = D²/D'².

Archimède prouva ensuite par cette même méthode qu'un cercle délimite une aire égale à celle d'un triangle rectangle dont un des côtés est égal au rayon de ce cercle, et dont l'autre côté de l'angle droit est égal à la circonférence de ce même cercle.

Article détaillé : Pi.

Quadrature de la parabole [modifier]

Article détaillé : quadrature de la parabole.

La quadrature de la parabole consiste à déterminer l'aire de la surface comprise entre une corde et une portion de parabole. Elle fut entreprise par Eudoxe, qui proposa une méthode d'obtention d'une suite de bornes inférieures. Archimède compléta le calcul en proposant une suite de bornées supérieures.

Archimède démontre qu'à chaque étape de son calcul, l'amplitude de l'encadrement obtenu est réduit de plus de la moitié et qu'en continuant le processus les valeurs seront aussi proches qu'on le souhaite de l'aire cherchée.

Exhaustion et volume [modifier]

Volume de la pyramide et du cône [modifier]

La proposition 6 du livre XII des Eléments d'Euclide prouve que les pyramides qui ont même hauteur et des bases de même aire ont même volume. Euclide en déduit ensuite que le volume de la pyramide est le tiers de la base par la hauteur. La preuve de cette dernière propriété, énoncée par Démocrite, est due à Eudoxe de Cnide¹.

Les démonstrations ultérieures de cette formule font toutes appel à des méthodes relevant de près ou de loin à un calcul intégral et aucune démonstration géométrique plus simple ne put être trouvée. Cette difficulté conduisit Hilbert en 1900 à faire figurer cette question en troisième place dans sa liste de problèmes.

Dans la proposition 10 du livre XII, le résultat précédent est étendu aux cônes, tiers du cylindre de même base et de même hauteur.

Volume de la sphère [modifier]

En approchant une sphère par des polyèdres inscrits, il est montré, dans la proposition 18 du livre XII des Eléments d'Euclide, que le volume d'une sphère est proportionnel au cube du diamètre. C'est Archimède qui déterminera ensuite la formule du volume de la sphère.

Notes et références [modifier]

↑ Morris Kline, Mathematical from ancient to modern times, Oxford University Press, (1972), p.37

Bibliographie [modifier]

A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, 1986 [détail des éditions]
Bernard Vitrac, « Les géomètres de la Grèce antique -- 7. Archimède », dans CultureMath, 2004 [ texte intégral ]
(en) Hans Niels Jahnke (Editor), A history of analysis, AMS Bookstore, 2003 (ISBN 978 0 82182623 2), « 1 Antiquity (Rüdiger Thiele) »

Articles liés [modifier]

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Gottfried Wilhelm Leibniz

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Gottfried Wilhelm Leibniz
Philosophe et scientifique allemand
Époque moderne


Naissance	1^er juillet 1646 (Leipzig)
Décès	14 novembre 1716 (Hanovre)
École/tradition	Rationalisme
Principaux intérêts	Métaphysique, théologie,épistémologie, logique,mathématiques, physique,linguistique, jurisprudence,politique
Idées remarquables	Monade, harmonie préétablie, langage binaire, caractéristique,théodicée
Œuvres principales	Discours de métaphysique,Nouveaux Essais sur l'entendement humain, Essais de Théodicée, Monadologie
Influencé par	Platon, Aristote, Augustin d'Hippone, Proclos, Scolastique(Lulle, Thomas d'Aquin, Duns Scot), Nicolas de Cues, Pic de la Mirandole, Suárez, Descartes,Grotius, Pascal, Thomasius,Hobbes, Gassendi, Huygens,Stensen, Malebranche, Bayle,Locke, philosophie chinoise
A influencé	Famille Bernoulli, Wolff,Maupertuis, Vico, Diderot, Bonnet,Boscovich, Kant, Bonald, Frege,Tarde, Bergson, Whitehead,Russell, Gödel, Deleuze, Serres
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Gottfried Wilhelm Leibniz (prononcer [ˈlaɪbnɪts]; parfois von Leibniz; anciennement francisé en Leibnitz); (Leipzig, 1^er juillet 1646 - Hanovre, 14 novembre 1716) est un philosophe, scientifique, mathématicien, diplomate, bibliothécaire et homme de loi allemand qui a écrit en latin, français et allemand.

Biographie [modifier]

Statue de Gottfried Wilhelm Leibniz à Leipzig (Allemagne)

Orphelin de père à 6 ans, il est suivi par son professeur de philosophie morale à l’Université de Leipzig. Celui-ci lui apprend à lire, mais Leibniz, enfant précoce, affirma avoir appris par lui-même le latin. En 1663, il obtient son baccalauréat en philosophie ancienne, puis entre à l’université de droit de Leipzig. En 1666, il devient docteur en droit à Nuremberg¹ et refuse peu après un poste de professeur. Il s’affilie à une société alchimique, peut-être rattachée à laRose Croix, dont il sera secrétaire pendant deux ans. La nature exacte de son obédience est encore fort discutée par les historiens.

En 1669, il devient conseiller à la Chancellerie de l'électorat de Mayence, auprès du baronJohann Christian von Boyneburg. Leibniz réside à Mayence au Hôtel de Boyneburg.² Il prépare le projet d'une grande réforme du droit „Nova methodus discendae docendaeque jurisprudentiae“. Il travaille alors sur plusieurs ouvrages concernant des thèmes politiques (Modèle de démonstrations politiques pour l’élection du roi de Pologne) ou scientifiques (Nouvelles Hypothèse physiques, 1671).

Il est envoyé en 1672 à Paris, en mission diplomatique dit-on, pour convaincre Louis XIV de porter ses conquêtes vers l’Égypte plutôt que l’Allemagne. Il y reste jusqu’en 1676 et y rencontre les grands savants de l’époque : Huygens et Malebranche, entre autres. Il se consacre aux mathématiques et laisse à Paris son manuscrit sur la quadrature arithmétique du cercle. Il travaille également sur ce qui sera le calcul infinitésimal. Il conçoit en 1673 une machine à calculer qui permet d'effectuer les quatre opérations, et qui inspirera bien des machines à calculer du XIX^e et XX^esiècle (Arithmomètre, Curta). Avant de rejoindre Hanovre, il se rend à Londres étudier certains écrits d’Isaac Newton, jetant, tous les deux, les bases du calcul intégral et différentiel. Il passe également par La Haye où il rencontre Baruch Spinoza.

En 1676, à la mort de son protecteur, le baron von Boyneburg, le duc de Brunswick le nomme bibliothécaire du Hanovre. Il reste à ce poste au service des ducs de Hanovre pendant près de 40 ans. Il s’occupe aussi de mathématique, de physique, de religion et de diplomatie. Dans les années 1680 à 1686, il fait de nombreux voyages dans le Harz pour s'occuper de l'exploitation des mines³. En 1684, il publie dans les Acta Eruditorum son article sur les différentielles et en 1686 celui sur les intégrales. En 1686, il publie en français ses Discours de métaphysique. En 1687, il se lance dans une Histoire de la maison de Brunswick, pour lequel il parcourt l’Italie en quête de documentations. En 1691, il publie à Paris, dans le Journal des savants, un Essai de dynamique où il introduit les termes énergie et action⁴. En 1700, il fonde à Berlin une académie qui ne sera inaugurée qu’en 1711. En 1710, il publie sesEssais de Théodicée, résultats de discussions avec le philosophe Pierre Bayle.

Reconnu comme le plus grand intellectuel d’Europe, et pensionné par plusieurs grandes cours (Pierre Le Grand en Russie, Charles VI en Autriche qui le fait baron), correspondant des souverains et souveraines - notamment de Sophie-Charlotte de Hanovre - il meurt le 14 novembre 1716.

Comme philosophe, il s’est intéressé fort tôt à la scolastique et à la syllogistique. Il a conçu le projet d’une encyclopédie ou « bibliothèque universelle » :

« Il importe à la félicité du genre humain que soit fondée une Encyclopédie, c’est-à-dire une collection ordonnée de vérités suffisant, autant que faire se peut, à la déduction de toutes choses utiles. » Initia et specimina scientiae generalis, 1679-1680.

Comme mathématicien, il a fait entrer les sciences dans la nouvelle ère de l’analyse intégro-différentielle.

Philosophie [modifier]

La Monadologie [modifier]

Page manuscrite
de la Monadologie

Rédigée en français en 1714 et non publiée du vivant de l’auteur, la Monadologie représente une des dernières étapes de la pensée de Leibniz. En dépit de ressemblances apparentes avec des textes antérieurs, la Monadologie se distingue assez fortement d’ouvrages comme le Discours de métaphysique ou le Système nouveau de la nature et de la communication des substances. La notion de substance individuelle présente dans leDiscours de métaphysique ne doit en effet pas être confondue avec celle de monade.

La force [modifier]

Pour Leibniz, la physique a sa raison dans la métaphysique. Si la physique étudie les mouvements de la nature, quelle réalité est ce mouvement ? Et quelle cause a-t-il ? Le mouvement est relatif, c'est-à-dire qu'une chose se meut selon la perspective d’où nous la regardons. Le mouvement n’est donc pas la réalité elle-même ; la réalité est la force qui subsiste en dehors de tout mouvement et qui en est la cause : la force subsiste, le repos et le mouvement étant des différences phénoménales relatives.

Leibniz définit la force comme « ce qu’il y a dans l’état présent, qui porte avec soi un changement pour l’avenir. » Cette théorie entraîne un rejet de l’atomisme ; en effet, si l’atome est une réalité absolument rigide, alors il ne peut perdre de force dans les chocs. Il faut donc que ce que l’on nomme atome soit, en réalité, composé et élastique. L’idée d’atome absolu est contradictoire :

« Les atomes ne sont que l’effet de la faiblesse de notre imagination, qui aime à se reposer et à se hâter à venir dans les sous divisions ou analyses. »

Ainsi la force est-elle la réalité : la force est substance, et toute substance est force. La force est dans un état, et cet état se modifie suivant des lois du changement. Cette succession d’états changeants possède un ordre régulier, c.-à-d. que chaque état a une raison (cf. principe de raison suffisante) : chaque état s’explique par celui qui précède, il y trouve sa raison. À cette notion de loi se rattache également l’idée d’individualité : l’individualité est pour Leibniz une série de changements, série qui se présente comme une formule :

« La loi du changement fait l’individualité de chaque substance particulière. »

La monade [modifier]

Toute substance se développe ainsi suivant des lois intérieures, en suivant sa propre tendance : chacune a donc sa loi propre. Ainsi, si nous connaissons la nature de l’individu, pouvons-nous en dériver tous les états changeants. Cette loi de l’individualité implique des passages à des états non seulement nouveaux, mais aussi plus parfaits.

Ce qui existe est donc pour Leibniz l’individuel ; il n’existe que des unités. Ni les mouvements, ni même les corps n’ont cette substantialité : la substance étendue cartésienne suppose en effet quelque chose d’étendu, elle est seulement un composé, un agrégat qui ne possède pas par lui-même la réalité. Ainsi, sans substance absolument simple et indivisible, n’y aurait-il aucune réalité. Leibniz nomme monade cette réalité. La monade est conçue selon le modèle de notre âme :

« l’unité substantielle demande un être accompli, indivisible et naturellement indestructible, puisque sa notion enveloppe tout ce qui lui doit arriver, ce qu’on ne saurait trouver ni dans la figure ni dans le mouvement… Mais bien dans une âme ou forme substantielle, à l’exemple de ce que l’on appelle moi. »

Nous faisons l’observation de nos états internes, et ces états (sensations, pensées, sentiments) sont en un perpétuel changement : notre âme est une monade, et c’est d’après son modèle que nous pouvons concevoir la réalité des choses, car il y a sans doute dans la nature d’autres monades qui nous sont analogues. Par la loi de l’analogie (loi qui se formule « tout comme ceci»), nous concevons toute existence comme n’étant qu’une différence de degré relativement à nous. Ainsi, par exemple, il y a des degrés inférieurs de conscience, des formes obscures de la vie psychique : il y a des monades à tous les degrés de clarté et d’obscurité. Il y a une continuité de toutes les existences, continuité qui trouve son fondement dans le principe de raison.

Dès lors, puisqu’il n’existe que des êtres doués de représentations plus ou moins claires, dont l’essence est dans cette activité représentative, la matière se trouve réduite à l’état dephénomène. La naissance et la mort sont également des phénomènes dans lesquels les monades s’obscurcissent ou s’éclaircissent. Ces phénomènes ont de la réalité dans la mesure où ils sont reliés par des lois, mais le monde, d’une manière générale, n’existe qu’en tant que représentation.

Ces monades, en se développant selon une loi interne, ne reçoivent aucune influence de l’extérieur :

« 7. II n’y a pas moyen aussi d’expliquer comment une Monade puisse être altérée ou changée dans son intérieur par quelque autre créature, puisqu’on n’y saurait rien transposer, ni concevoir en elle aucun mouvement interne qui puisse être excité, dirigé, augmenté ou diminué là-dedans, comme cela se peut dans les composés ou il y a du changement entre les parties. Les Monades n’ont point de fenêtres par lesquelles quelque chose y puisse entrer ou sortir. » (Monadologie)

Ajoutons que le concept de monade a été influencé par la philosophie de Pierre Gassendi⁵, lequel reprend la tradition atomiste incarnée par Démocrite, Épicure et Lucrèce. En effet l'atome, du grec "atomon" (indivisible) est l'élément simple dont tout est composé. La différence majeure avec la monade étant que celle-ci est d'essence spirituelle alors que l'atome est d'essence matérielle, et donc l'âme, qui est une monade chez Leibniz, est composée d'atomes chez Lucrèce.

L’harmonie préétablie [modifier]

Dès lors, comment expliquer que tout se passe dans le monde comme si les monades s’influençaient réellement mutuellement ? Leibniz explique cette concordance par une harmonieuniverselle entre tous les êtres, et par un créateur commun de cette harmonie :

« Aussi Dieu seul fait la liaison et la communication des substances, et c’est par lui que les phénomènes des uns se rencontrent et s’accordent avec ceux des autres, et par conséquent qu’il y a de la réalité dans nos perceptions. » (Discours de métaphysique)

Si les monades semblent tenir compte les unes des autres, c’est parce que Dieu les a créées pour qu’il en soit ainsi. C’est par Dieu que les monades sont créées d’un coup parfulguration, à l’état d’individualité qui les fait être comme de petits dieux. Chacune possède un point de vue singulier sur le monde, une vue de l’univers en miniature, et toutes ses perspectives ont ensemble une cohérence interne, tandis que Dieu possède l’infinité des points de vue qu’il crée sous la forme de ces substances individuelles. La force et la pensée intimes des monades sont donc une force et une pensée divines. Et l’harmonie est dès l’origine dans l’esprit de Dieu, c'est-à-dire elle est préétablie.

Si certains commentateurs (par exemple Alain Renaut, 1989) ont voulu voir dans l'harmonie préétablie un schème abstrait qui rétablit, seulement après coup, la communication entre les monades, monades qui seraient alors les signes d'une fragmentation du réel en unités indépendantes, cette interprétation a été rejetée par l'un des commentaires les plus importants de l'œuvre de Leibniz, celui de Dietrich Mahnke, intitulé La synthèse de la Mathématique universelle et de la Métaphysique de l'individu (1925). Inspirant celui de Michel Fichant, Mahnke souligne que l'harmonie universelle précède la monade: le choix de chaque monade se fait non pas par des volontés particulières de Dieu, mais par une volonté primitive, qui choisit l'ensemble des monades : chaque notion complète d'une monade individuée est ainsi enveloppée dans le choix primitif du monde. Aussi, « l'universalité harmonique (...) est inscrite dans la constitution interne primitive de chaque individu. » ⁶.

Il ressort enfin de cette idée de la monade que l’univers n’existe pas en dehors de la monade, mais qu’il est l’ensemble de toutes les perspectives. Ces perspectives naissent de Dieu. Tous les problèmes de la philosophie sont ainsi déplacés dans la théologie.

Cette transposition pose des problèmes qui ne sont pas vraiment résolus par Leibniz :

comment une substance absolue peut-elle naître ?
comment Dieu peut-il avoir une infinité de perspectives et en faire des substances au sein d’une harmonie préétablie ?

Malebranche résumera tous ces problèmes en une formule : Dieu ne crée pas des dieux.

L’union de l’âme et du corps [modifier]

Sa théorie de l’union de l’âme et du corps suit naturellement de son idée de la monade. Le corps est un agrégat de monades, dont les rapports avec l’âme sont réglés dès le départ comme deux horloges que l’on aurait synchronisées. Leibniz décrit ainsi la représentation du corps (c.-à-d. du multiple) par l’âme :

« Les âmes sont des unités et les corps sont des multitudes. Mais les unités, quoiqu’elles soient indivisibles, et sans partie, ne laissent de représenter des multitudes, à peu près comme toutes les lignes de la circonférence se réunissent dans le centre. »

Théodicée [modifier]

Le terme de « théodicée » signifie étymologiquement « justice de Dieu » (du grec théos, Dieu, et dikè, justice), c’est un discours se proposant de « justifier la bonté de Dieu par la réfutation des arguments tirés de l’existence du mal dans ce monde, et par suite la réfutation des doctrines athées ou dualistes qui s'appuient sur ces arguments »⁷. Il est essentiel de souligner le principal enjeu de la théodicée leibnizienne. La question est d’abord : comment accorder l’existence du mal avec l’idée de la perfection générale de l’univers ? Mais, par delà les difficultés internes à la métaphysique leibnizienne, on trouve le problème suivant : comment accorder l’idée de la responsabilité ou de la culpabilité de l’homme dans le mal avec le sentiment que cet homme agit de la seule manière dont il était possible qu’il agît. La réponse de Leibniz au conflit entre nécessité et liberté est originale.

L’exemple de Judas le traître, tel qu’il est analysé dans la section 30 du Discours de Métaphysique est éclairant : certes, il était prévisible de toute éternité que ce Judas-là dont Dieu a laissé l’essence venir à l’existence, pècherait comme il a péché, mais il n’empêche que c’est bien lui qui pèche. Le fait que cet être limité, imparfait (comme toute créature) entre dans le plan général de la création, et donc tire en un sens son existence de Dieu, ne le lave pas en lui-même de son imperfection. C’est bien lui qui est imparfait, de même que la roue dentée, dans une montre, n’est rien d’autre qu’une roue dentée : le fait que l’horloger l’utilise pour fabriquer une montre ne rend pas cet horloger responsable du fait que cette roue dentée n’est rien d’autre, rien de mieux qu’une roue dentée.

Le principe de raison suffisante, parfois nommé principe de « la raison déterminante » ou le « grand principe du pourquoi », est le principe fondamental qui a guidé Leibniz dans ses recherches : rien n’est sans une raison qui explique pourquoi il est plutôt qu’il n’est pas, et pourquoi il est ainsi plutôt qu’autrement. Leibniz ne nie pas que le mal existe. Il affirme toutefois que tous les maux ne peuvent pas être moindres : ces maux trouvent leur explication et leur justification dans l’ensemble, dans l’harmonie du tableau de l’univers. « Les défauts apparents du monde entier, ces taches d’un soleil dont le nôtre n’est qu’un rayon, relèvent sa beauté bien loin de la diminuer ». (Théodicée, 1710 - parution en 1747).

Répondant à Bayle, il établit la démonstration suivante: si Dieu existe, il est parfait et unique. Or, si Dieu est parfait, il est « nécessairement » tout-puissant, toute bonté et toute justice, toute sagesse. Ainsi, si Dieu existe, il a, par nécessité, pu, voulu et su créer le moins imparfait de tous les mondes imparfaits; le monde le mieux adapté aux fins suprêmes.

En 1759, dans le conte philosophique Candide, Voltaire fait de son personnage Pangloss le porte-parole du providentialisme de Leibniz. Il y déforme volontairement sa doctrine en la réduisant à la formule: « tout est au mieux dans le meilleur des mondes possibles ». Cette formule ne se trouve pas dans l’œuvre leibnizienne. Jean-Jacques Rousseau rappellera à Voltaire l’aspect contraignant de la démonstration de Leibniz : « Ces questions se rapportent toutes à l’existence de Dieu. (…) Si l’on m’accorde la première proposition, jamais on n’ébranlera les suivantes; si on la nie, il ne faut pas discuter sur ses conséquences. » (Lettre du 18 août 1756)

Toutefois le texte de Voltaire ne s'oppose pas à Leibniz sur un plan théologique ni métaphysique : le conte de Candide trouve son origine dans l'opposition entre Voltaire et Rousseau, et son contenu cherche à montrer que ce ne sont pas les raisonnements des métaphysiciens qui mettront fin à nos maux, faisant l'apologie d'une philosophie volontariste invitant les hommes à organiser eux-mêmes la vie terrestre et où le travail est présenté comme source de progrès matériels et moraux qui rendront les hommes plus heureux.⁸

Nouveaux essais sur l’entendement humain [modifier]

Les Nouveaux essais sur l'entendement humain, rédigés en français, sont la réponse de Leibniz à l’Essai sur l’entendement humain de John Locke. Le philosophe anglais défend une position empiriste, selon laquelle toutes nos idées nous viennent de l’expérience. Leibniz, sous la forme d’un dialogue imaginaire entre Philalèthe, qui cite les passages du livre de Locke, et Théophile, qui lui oppose les arguments leibniziens, défend une position innéiste : certaines idées sont en notre esprit dès la naissance. Ce sont des idées qui sont constitutives de notre entendement même, comme celle de causalité. Les idées innées peuvent être activées par l'expérience, mais il a fallu pour cela qu’elles existent d’abord potentiellement dans notre entendement.

Les Nouveaux essais sont achevés en 1705. Mais la mort de Locke convainc Leibniz de reporter à plus tard leur publication. Ils ne paraîtront finalement qu’en 1765.

Mathématiques [modifier]

Les travaux mathématiques de Leibniz se trouvent dans le Journal des savants de Paris, les Acta Eruditorum de Leipzig (qu’il a contribué à fonder) ainsi que dans son abondante correspondance avec Huygens, les frères Bernoulli, l’Hospital, Varignon, etc.

Le « nouveau calcul » [modifier]

L’algorithme différentio-intégral achève une recherche débutée avec la codification de l’algèbre par Viète et l’algébrisation de la géométrie par Descartes. Tout le xvii^e siècle étudie l’indivisible et l’infiniment petit. Comme Newton, Leibniz domine tôt les indéterminations dans le calcul des dérivées. De plus il développe un algorithme qui est l’outil majeur pour l’analyse d’un tout et de ses parties, fondé sur l’idée que toute chose intègre des petits éléments dont les variations concourent à l’unité. Ses travaux sur ce qu’il appelait la « spécieuse supérieure » seront poursuivis par les frères Bernoulli, le marquis de l’Hospital, Euler et Lagrange.

Notation de Leibniz [modifier]

Article détaillé : notation de Leibniz.

Leibniz développe une symbolique mathématique qu’il tente d’intégrer dans une notion plus générale qu’il appelle sa caractéristique universelle qu’il voulait pouvoir appliquer à tous les domaines.

Il est à l’origine du terme de « fonction » (1692, de functio : exécution), de celui de « coordonnées », de la notation du produit de a par b sous la forme a.b ou ab, d’une définition logique de l’égalité, du terme de « différentielle » (qu’Isaac Newton appelle « fluxion »), de la notation différentielle $partial{x}$ , du symbole $int_{t=x_0}^{x}f(t).partial{t}$ pour l’intégrale.

Calcul infinitésimal : Newton ou Leibniz ? [modifier]

Dans l’histoire du calcul infinitésimal, le procès de Newton contre Leibniz est resté célèbre. Newton et Leibniz avaient trouvé l’art de lever les indéterminations dans le calcul des tangentes ou dérivées. Mais Newton a publié tard (son procès intervient en 1713, presque 30 ans après les publications de Leibniz: 1684 et 1686) et, surtout, Newton n’a ni l’algorithme différentio-intégral fondé sur l’idée que les choses sont constituées de petits éléments, ni l’approche arithmétique nécessaire à des différentielles conçues comme « petites différences finies ».

Autres travaux [modifier]

Leibniz s’intéresse aux systèmes d’équations et pressent l’usage des déterminants. Dans son traité sur l’art combinatoire, science générale de la forme et des formules, il développe des techniques de substitution pour la résolution d’équation. Il travaille sur la convergence des séries, le développement en série entière des fonctions comme l’exponentielle, lelogarithme, les fonctions trigonométriques (1673). Il découvre la courbe brachistochrone et s’intéresse à la rectification des courbes (calcul de leur longueur). Il a étudié le traité des coniques de Pascal et écrit sur le sujet. Il est le premier à créer la fonction $x mapsto a^x$ (conspectus calculi). Il étudie les enveloppes de courbes et la recherche d’extremum pour une fonction (Nova methodus pro maximis et minimis 1684). Il conçoit une machine arithmétique inspirée de la Pascaline. Il tente aussi une incursion dans la théorie des graphes et latopologie (analysis situs).

Pour l’anecdote, on trouve dans le Compte Rendu de l’Académie des Sciences (Paris, 1703, p. 85-89 des Mémoires) un article de Leibniz intitulé Explication de l’arithmétique binaire, qui se sert des seuls caractères 0 & 1, (…). Reconnaissant cette manière de représenter les nombres comme étant un héritage très lointain du fondateur de l’Empire Chinois « Fohy », Leibniz s’interroge longuement sur l’utilité des concepts qu’il vient de présenter, notamment en ce qui concerne les règles arithmétiques qu’il développe. Finalement il semble conclure que la seule utilité qu’il voit dans tout ceci est une sorte de beauté essentielle, qui révèle la nature intrinsèque des nombres et de leurs liens mutuels. C’est un quart de millénaire avant l’apparition de l’informatique…

Physique [modifier]

Leibniz était aussi physicien comme de nombreux mathématiciens de son temps. Il a très tôt été mécaniste et l'est resté toute sa vie, mais une différence profonde le sépare d'Isaac Newton : si Newton considère que « la physique se garde de la métaphysique » et cherche à prévoir les phénomènes par sa physique, Leibniz cherche à découvrir l'essence cachée des choses et du monde, sans réussir (ni vouloir ?) à obtenir des calculs précis à propos de phénomènes quelconques, d'ailleurs jamais il n'employa son calcul infinitésimal pour expliquer les lois de la nature. Il en est venu ainsi à reprocher à René Descartes et à Newton de ne pas savoir se passer d'un Deus ex machina (une raison divine cachée) dans leurs physiques car celles-ci n'expliquaient pas tout ce qui est, ce qui est possible et ce qui n'est pas.⁹

Concept	Apports de Leibniz
Énergie cinétique (1/2)mv²	Invention du concept, sous le nom de « force vive ». L’énergie potentielle comme différentielle de l’énergie cinétique. Théorème des forces vives.^{[réf. nécessaire]} — A l’origine est l'idée de Descartes, que la quantité de mouvement se conserve dans les chocs. Mais Leibniz écrivit « Il se trouve par la raison et par l’expérience que c’est la force vive absolue [mv²] qui se conserve et nullement la quantité de mouvement » (Essai de dynamique, 1691).
Loi de conservation	A enrichi la notion de conservation introduite par Descartes de plusieurs lois de conservation importantes.^{[réf. nécessaire]}
Action	« l’Action… est comme le produit de la masse par l’espace et la vitesse, ou du temps par l’énergie ». — L’énergie est une différentielle par le temps de la grandeur universelle existante qui est l’action : « au fond l’exercice de l’énergie ou l’énergie appliquée pendant une durée est l’action, parce que la nature abstraite de l’énergie ne consiste qu’en cela ».^{[réf. nécessaire]}
Principe de la moindre action	Le principe de la moindre action a été découvert en 1740 par Maupertuis. En 1751 Samuel König affirma avoir une lettre de Leibniz, datée de 1707, dans laquelle il énonçait ce même principe, donc bien avant Maupertuis. L'Académie de Berlin chargea Leonhard Euler de se pencher sur le problème de l'authenticité de cette lettre. Euler fit un rapport, en 1752, où il conclut à un faux¹⁰ : König aurait inventé l'existence de cette lettre de Leibniz. Ce qui n'empêche pas Leibniz d'avoir énoncé (mais pas formalisé mathématiquement), vers 1682, un principe semblable à celui de Fermat.
Loi de continuité	La continuité n’est que limite, la tendance des choses à changer par petites différences finies (différentielles), aussi petites que possibles (en physique) ou aussi petites qu’on voudra (en mathématique) mais variables et non nulles^{[réf. nécessaire]}.
Définitions de l’espace et du temps	Leibniz s'opposa à Isaac Newton au sujet de l'espace absolu que définit ce dernier. « J’ai marqué plus d’une fois que je tenais l’espace pour quelque chose de purement relatif, comme le temps ; pour un ordre de coexistences comme le temps est un ordre de successions… Je ne crois pas qu’il y ait aucun espace sans matière. Les expériences qu’on appelle du vide, n’excluent qu’une matière grossière »¹¹

Logique [modifier]

La logique que développa Leibniz fut sans doute une des plus importantes depuis l’invention de la syllogistique aristotélicienne.

Les deux grandes caractéristiques de la logique de Leibniz consistent d’une part dans le fait qu’il a voulu constituer un langage universel (la lingua caracteristica universalis) prenant en compte non seulement les connaissances mathématiques, mais aussi la jurisprudence (il établit les correspondances à la base de la déontique), l’ontologie (Leibniz critiqua la définition que René Descartes donnait de la substance) voire la musique.

A côté de cette langue universelle, Leibniz a rêvé d’une logique qui serait calcul algorithmique et donc mécaniquement décidable (calculus ratiocinator). Leibniz annonce ainsi la langue artificielle et purement formelle développée par Frege.

Il a en même temps eu conscience des limites de la logique formelle en affirmant que toute modélisation, pour être correcte, nécessite d'être faite strictement en analogie d'avec le phénomène modélisé.

Notes et références [modifier]

↑ Plus précisément, à l'Université Altdorf (ou Altdorfina, ou encore Academia Norica) à Altdorf bei Nürnberg
↑ Gottfried Wilhelm Leibniz, Jacob Thomasius, Richard Bodéüs , Correspondance, 1663-1672 , Vrin, 1993, ISBN 978-2-7116-1145-4, p. 53
↑ Leibniz a consacré l'équivalent de trois années au métier d'ingénieur des mines. Il s'occupa principalement de mettre au point des dispositifs d'extraction des eaux des mines grâce à des moulins à vent. Il entra en conflit avec les exploitants qui n'acceptaient pas ses nouvelles idées. Cela le conduisit à se poser des questions sur l'origine des fossiles, qu'il attribuait initialement à l'effet du hasard, mais dont il reconnut plus tard l'origine vivante. Son livre Protogaea ne sera publié qu'après sa mort, car les théories qu'il y développe sur l'histoire de la terre pouvaient déplaire aux autorités religieuses.
↑ André Robinet , Architectonique disjonctive, automates systémiques et idéalité transcendantale dans l'œuvre de G. W. Leibniz, Vrin, 1986, ISBN 978-2-7116-0914-7, p. 79 [1] [archive]
↑ Michel Fichant, « La réception de Gassendi dans l’œuvre de la maturité de Leibniz », dans Gassendi et l’Europe Vrin, Paris, 1996 [2] [archive].
↑ Michel Fichant, Science et métaphysique chez Descartes et Leibniz, PUF, 1998, chap. V, p.134
↑ Mot Théodicée dans Vocabulaire technique et critique de la philosophie par André Lalande, éditions PUF, 1980, ISBN 2-13-036474-8.
↑ Lagarde et Michard, tome XVIII^e siècle, chapitre Voltaire, § Voltaire et la Providence et § Candide.
↑ « Histoire de la philosophie » par Émile Bréhier, Tomes I à III, Éditeur PUF, 1931, réédité en 1994 (7ème édition), ISBN 213 044378 8. Tome II, chapitre VIII Leibniz, §V Mécanisme et dynamisme.
↑ Histoire du principe de moindre action par F Martin-Robine, 2006, Vuibert, p97-98.
↑ Troisième écrit de M. Leibniz ou réponse à seconde réplique de M. Clarke, 27 février 1716, trad. L. Prenant. Voir aussi l'extrait de la Troisième lettre de Leibniz à Clarke du 25 février 1716 dans l'article Principe de relativité

Bibliographie [modifier]

Éditions des oeuvres de Leibniz [modifier]

G. W. Leibniz, Die Mathematische Schriften, sous la dir. de G. Gerhardt, Berlin, 1850-1853, reprint Georg Olms Verlag, 1962
G. W. Leibniz, Die Philosophischen Schriften, sous la dir. de G. Gerhardt, Berlin, 1875-1890, reprint Georg Olms Verlag, 1978
G. W. Leibniz, Sämtliche Schriften und Briefe, sous la direction de la Deutschen Akamedie der Wissenschaften de Berlin
G. W. Leibniz, Opuscules et fragments inédits, extraits des manuscrits de la bibliothèque de Hanovre, édi. par L. Couturat, 1903, reprint Georg Olms Verlag, 1988.

Œuvres de Leibniz [modifier]

Voir « Gottfried Wilhelm Leibniz » sur Wikisource.

Voir aussi sur Wikiquote lescitations « Gottfried Wilhelm Leibniz ».

L’œuvre de Leibniz a été écrite pour moitié en latin et pour un tiers en français.

Disputation métaphysique sur le principe d'individuation (1663, traduite en français par Jeannine Quillet, Les Études philosophiques, 1979, 1, p. 79-105)
De arte combinatoria (1666)
Nouvelle méthode pour l’étude du droit (1668)
Théorie du mouvement concret et du mouvement abstrait (1670)
Quadrature arithmétique du cercle, de l’ellipse et de l’hyperbole (vers 1674)
Calcul différentiel : Nouvelle méthode pour les maxima et minima, ainsi que les tangentes, qui ne bute ni sur les fractions ni sur les irrationnelles, avec un mode original de calcul (en latin, Acta Eruditorum, 1684)
Intégrales : De la géométrie supérieure et analyse des indivisibles comme des infinis (en latin, Acta Eruditorum, 1686)
Discours de métaphysique (1686)
Dissertation sur l’art combinatoire (1690)
Essai de dynamique (Journal des Savants, 1691)
Protogaea, écrit entre 1690 et 1693 mais publié seulement après sa mort, connu en France sous le nom de Protogée, ou de la formation et des Révolutions du globe
Système nouveau de la nature et de la communication des substances (1695)
Nouveaux essais sur L’entendement humain (1705)
Essais de théodicée (1710)
Monadologie (1714)
Discours touchant la méthode de la certitude et l’art d’inventer pour finir les disputes et faire en peu de temps de grands progrès (1688-1690)
Correspondance avec Arnauld, in Discours de métaphysique, Pocket, 1993.

Traductions en français d’œuvres mathématiques :

Quadrature arithmétique du cercle, de l’ellipse et de l’hyperbole et la trigonométrie sans tables trigonométriques qui en est le corollaire ; introd., trad. et notes de Marc Parmentier ; texte latin édité par Eberhard Knobloch. Paris : J. Vrin, 2004. (Mathesis). (ISBN 2-7116-1635-5).
L’estime des apparences. 21 manuscrits de Leibniz sur les probabilités, la théorie des jeux, l’espérance de vie ; texte établi, trad., introd. et annoté par Marc Parmentier. Paris : J. Vrin, 1995. (Mathesis). (ISBN 2-7116-1229-5).
La caractéristique géométrique ; texte établi et annoté par Javier Echeverría ; traduit, annoté par Marc Parmentier. Paris : J. Vrin, 1995. (Mathesis). (ISBN 2-7116-1228-7).
La Naissance du calcul différentiel. 26 articles des Acta Eruditorum ; introd., trad. et notes par Marc Parmentier. Préface de Michel Serres. Paris : J. Vrin, 1989. (Mathesis). (ISBN 2-7116-0997-9).

Études sur Leibniz [modifier]

Yvon Belaval, Leibniz, initiation à sa philosophie, Vrin, 2005 (1969).
Yvon Belaval, Leibniz, critique de Descartes, Gallimard, « Tel », 1960.
Yvon Belaval, Études leibniziennes, de Leibniz à Hegel, Gallimard, « Tel », 1993.
Fernand Brunner, Études sur la signification historique de la philosophie de Leibniz, Vrin, Paris, 1950
Louis Couturat, La logique de Leibniz, rééd. Olms, 1969.
Martial Gueroult, Leibniz, Dynamique et métaphysique, rééd. Aubier, 1967.
Michel Fichant, L’invention métaphysique (introduction à l’édition Folio de la Monadologie), Folio, 2004
Jacques Bouveresse, Jean Itard, Émile Sallé, Histoire des mathématiques [détail des éditions]

Michel Serfati, La révolution symbolique [détail des éditions]

Michel Serres, Le système de Leibniz et ses modèles mathématiques, Paris, PUF, 1968 ; rééd. en 1 vol.
Jacques Chazaud : Leibniz pour les psy, Ed. : Les empêcheurs de penser en rond, 1997, (ISBN 2908602938)
Massimo Mugnai, Leibniz, le penseur de l’universel, Les génies de la science, août 2006 n^o 28
Bertrand Russell, La philosophie de Leibniz, Éditions des archives contemporaines - EAC (1^er janvier 2000)
Gilles Deleuze, Le Pli – Leibniz et le baroque, Les éditions de Minuit (coll. « Critique »), Paris, 1988, 191 p.
Claire Fauvergue, Diderot, lecteur et interprète de Leibniz, Honoré Champion, 2006.
Gabriel Tarde, Monadologie et sociologie, 1893, Les empêcheurs de penser en rond, 1999.

Voir aussi [modifier]

Articles connexes [modifier]

En philosophie

En mathématiques

Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes, premier ouvrage en français traitant du calcul différentiel de Leibniz.
Formules de Leibniz : pour la dérivée nième d’un produit, pour le calcul de $π$ , pour le calcul du déterminant
Fonction vectorielle et fonction scalaire de Leibniz dans les barycentres ainsi que le théorème de Leibniz dans ce même domaine
Critère de Leibniz pour la convergence d’une série alternée
Mathématiques en Europe au XVIIe siècle

Communauté scientique Leibniz, WGL

Réseau allemand d'instituts de recherches scientifiques (Leibniz-Gemeinschaft)

Autres [modifier]

Les célèbres biscuits allemands « Choco Leibniz » et le Petit beurre allemand Leibniz Keks, fabriqués depuis 1891, ont été nommés en l’honneur du philosophe de Hanovre par la biscuiterie Bahlsen, fondée dans cette même ville.

Liens externes [modifier]

Wikimedia Commons propose des documents multimédia libres sur Gottfried Wilhelm von Leibniz.

Ouvrages de Leibniz numérisés par le SCD de l’ Université Louis Pasteur de Strasbourg
Texte de Leibniz sur la chaînette, en ligne et commenté sur le site BibNum.
Texte de Leibniz sur sa machine à calculer, en ligne et commenté sur le site BibNum.
Les vendredis de la philosophie, 23 avril 2004, lien audio
Œuvres de Leibniz sur Gallica
Cours de Gilles Deleuze sur Leibniz
La Monadologie [3]
La Monadologie (audiolivre)
Leibniz et Pascal : l’histoire d’une relation féconde entre deux mathématiciens philosophes
La Monadologie: textes avec concordances et liste de fréquence
Explication de l’arithmétique binaire, par Leibniz, sur le site web de Laurent Bloch.
Série de 12 cours donnés par Jacques Bouveresse au Collège de France début 2009 : "Dans le labyrinthe : nécessité, contingence et liberté chez Leibniz". [4] également disponible en podcast : [5]

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Leibniz

Ermel - Geometrie Cycle 3, Materiel CollectifErmel+inrp

broché. Paru en 08/2007

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