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19/11/2010

Théorème de Lagrange sur les polynômes

Théorème de Lagrange sur les polynômes
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème de Lagrange.

Il s'agit d'un résultat trouvé par le mathématicien Joseph-Louis Lagrange[réf. souhaitée] concernant les polynômes. Soit P un polynôme tel que:

P(x) = x^n+sum_{i=0}^{n-1}{a_i x^i}

où les ai sont réels.

Alors si a est une racine de P, a vérifie

|a| leq 1+max(|a_0|,ldots,|a_{n-1}|).

Ce théorème reste vrai si les ai et a sont complexes et l'inégalité est même stricte. Mieux : par le théorème de Rouché, le polynôme P admet n racines (comptées avec leurs multiplicités) dans le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon 1+max(|a_0|,ldots,|a_{n-1}|), ce qui fournit une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss en plus de la majoration annoncée.

Pour un panorama sur ce type de résultats, voir l'article Théorie des équations (mathématiques).

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Théorème de Lagrange sur les groupes

Théorème de Lagrange sur les groupes

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème de Lagrange.
Joseph-Louis Lagrange

En mathématiques, le théorème de Lagrange en théorie des groupes énonce un résultat élémentaire fournissant des informations combinatoiressur les groupes finis.

Sommaire

 [masquer]

Énoncé [modifier]

Théorème de Lagrange — Pour un groupe G fini, et pour tout sous-groupe H de G, le cardinal (encore appelé l'ordre) de H divise le cardinal de G :

mbox{card}(H) mid mbox{card} (G).

Démonstration [modifier]

L'indice [G:H] de H dans G est par définition le cardinal de l'ensemble G/H des classes à gauche suivant H des éléments de G. Or ces classes forment une partition de G, et chacune d'entre elles a même cardinal que H. Par le principe des bergers, on en déduit :

mbox{card}(G)= mbox{card} (H)times[G:H],.

Remarquons que cette formule reste vraie quand les trois cardinaux qu'elle relie sont infinis, et qu'elle est un cas particulier de la formule des indices.

Applications [modifier]

  • L'ordre d'un élément x d'un groupe fini peut se définir comme le cardinal du sous-groupe qu'il engendre. (C'est aussi le plus petit entier n>0 vérifiant : xn = e.) Par le théorème de Lagrange, cet ordre divise l'ordre du groupe.
  • Un groupe G d'ordre premier p est cyclique et simple. En effet, tout élément non neutre x de G est d'ordre strictement supérieur à 1 et par ce qui précède un diviseur de p. Comme pest premier, l'ordre de x est p ; autrement dit, x engendre un groupe cyclique d'ordre p, nécessairement égal à G.
  • Ce théorème peut servir à démontrer le petit théorème de Fermat et sa généralisation, le théorème d'Euler.

Réciproques partielles [modifier]

Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !
Voir le paragraphe correspondant de l'article en anglais

Un groupe fini dont l'ordre est divisible par d n'admet pas toujours de sous-groupe d'ordre d. Le plus petit contre-exemple est le groupe alterné A4, qui est d'ordre 12 mais n'a pas de sous-groupe d'ordre 6.

Le théorème de Cauchy, les théorèmes de Sylow, le théorème prouvé par Hall sur les sous-groupes de Hall, forment des réciproques partielles du théorème de Lagrange.

Historique [modifier]

Le mathématicien français Joseph-Louis Lagrange a démontré1 que, par permutation des n indéterminées d'une expression polynômiale, le nombre d'expressions obtenues est un diviseur de n!. L'ensemble des permutations est vu aujourd'hui comme un groupe à n! éléments, agissant sur les polynômes à n variables. Le travail de Lagrange se réinterprète comme le calcul du cardinal d'une orbite de cette action : il apparait ainsi comme précurseur de l'émergence de la notion de groupe, dont la définition formelle n'a été donnée qu'à la fin du XIXesiècle.

Notes et références [modifier]

  1. ↑ J.-L. Lagrange, « Réflexions sur la résolution algébrique des équations, II », dans Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, 1771, p. 138-254 (spéc. p. 202-203), réédité dans Œuvres de Lagrange, t. 3, Paris, 1869, p. 305-421, consultable en ligne [archive] (spéc. p. 369-370 [archive])

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Arithmétique des polynômes

Section : Cours 
Avant : Anneau des polynômes 
Après : Racines des polynômes 

 

Arithmétique des polynômes

Il s'agit de répéter pour les polynômes des résultats similaires à ceux qui ont été énoncés pour les entiers.

 

Premier point à observer : l'arithmétique sur les polynômes est tout à fait analogue à celle sur les entiers à condition de travailler sur des polynômes sur un corps commutatif. Sur un anneau commutatif quelconque (même intègre) se glissent quelques bizarreries.

 

Second point à observer : les énoncés donnés sur les entiers l'ont été sur des entiers positifs. Ils se modifient sans trop de mal pour des entiers de $ mathbb{Z}$ mais parfois en s'alourdissant un peu ; ainsi dans $ mathbb{Z}$ on ne peut plus affirmer l'existence d'un entier $ d$ unique tel que $ n$ divise $ 10$ et $ 6$ si et seulement si $ n$ divise $ d$ (le pgcd de $ 10$ et $ 6$ ) : il en existe toujours un, mais il n'est plus unique, on peut prendre $ d=2$ mais aussi $ d=-2$ . Les polynômes unitaires joueront un rôle analogue aux entiers positifs mais ils sont légèrement moins confortables, dans la mesure où la somme de deux entiers positifs est positive alors que la somme de deux polynômes unitaires n'est pas nécessairement unitaire. Attention à ces petits détails donc, en apprenant les énoncés.

Commençons par donner une définition, à partir de laquelle on ne montrera guère de théorèmes que dans $ mathbb{K}[X]$ mais que ça ne coûte pas plus cher de donner sur un anneau commutatif quelconque.

 

 

Définition 9   Soit $ A$ un anneau commutatif. On dit qu'un polynôme $ P$ dans $ A[X]$ est un multiple d'un polynôme $ S$ dans $ A[X]$ , ou, de manière équivalente, que $ S$est un diviseur de $ P$ , lorsqu'il existe un polynôme $ T$ dans $ A[X]$ tel que $ P=ST$ .

 

Comme pour les entiers, tout repose sur la division euclidienne.

 

 

Théorème 1   Soit $ mathbb{K}$ un corps commutatif, $ A$ un polynôme de $ mathbb{K}[X]$ et $ B$ un polynôme non nul de $ mathbb{K}[X]$ . Il existe un couple $ (Q,R)$ unique de polynômes vérifiant la double condition :

 

$displaystyle A=QB+Rqquad{rm et}qquad deg R < deg B. $

 

 

 


Démonstration : On prouvera successivement l'existence et l'unicité de $ (Q,R)$ .

 

Existence de $ (Q,R)$

 

La preuve est significativement différente de celle utilisée pour les entiers. Elle est toujours basée sur une maximisation/minimisation, mais les polynômes n'étant pas totalement ordonnés, cette maximisation est un peu plus technique.

Dans le cas stupide où $ B$ divise $ A$ , prenons $ R=0$ et $ Q$ tel que $ A=BQ$ . Sinon, considérons l'ensemble

 

$displaystyle {mathcal R}={A-QB mid Qinmathbb{K}[X]}, $

 

qui est donc un ensemble non vide de polynômes non nuls ; puis l'ensemble

 

$displaystyle E={deg R mid Rin{cal R}}, $

 

qui est un ensemble d'entiers positifs non vide. Cet ensemble $ E$ possède donc un plus petit élément $ d$  ; prenons un $ R$ dans $ cal R$ dont le degré soit $ d$ et enfin un $ Q$ tel que $ A-QB=R$ .

Nous devons vérifier que ces choix conviennent ; l'identité entre $ A$ , $ B$ , $ Q$ et $ R$ est claire, reste l'inégalité concernant les degrés. Vérifions-la par l'absurde, en supposant que $ deg Bledeg R$  ; notons $ e$ le degré de $ B$ et

 

$displaystyle B=b_eX^e+b_{e-1}X^{e-1}+cdots+b_0,quad R=r_dX^d+r_{d-1}X^{d-1}+cdots+r_0. $

 

Posons

 

$displaystyle Q_1=Q+frac{r_d}{b_e}X^{d-e}. $

 

Remarquons qu'en écrivant cette définition, on utilise l'hypothèse $ deg Bledeg R$ , qui justifie que $ X^{d-e}$ ait un sens, et simultanément le fait qu'on travaille dans un corps, qui justifie la possibilité de diviser par $ b_e$ .

Considérons alors

 

$displaystyle R_1=A-Q_1B=A-QB-left(frac{r_d}{b_e}X^{d-e}right)B, $

 

donc

 

$displaystyle R_{1}= R-left(b_eX^e+b_{e-1}X^{e-1}+cdots+b_0right) left(frac{r_d}{b_e}X^{d-e}right). $

 

Dans cette dernière écriture, on voit se simplifier les termes en $ X^d$ de $ R$ et du produit qu'on lui a soustrait, et on constate donc avoir obtenu un polynôme $ R_1$ de degré strictement plus petit que celui de $ R$ . Mais alors le degré de $ R_1$ est dans $ E$ et contredit l'hypothèse de minimisation qui a fait choisir $ d$ . Contradiction !

 

Unicité de $ (Q,R)$

 

Soient $ (Q_1,R_1)$ et $ (Q_2,R_2)$ deux couples vérifiant les deux conditions exigées dans l'énoncé du théorème.

On déduit de $ A=Q_1B+R_1=Q_2B+R_2$ que $ (Q_2-Q_1)B=R_1-R_2$ . Ainsi, $ R_1-R_2$ est un multiple de $ B$ . Des conditions $ deg R_1<deg B$ et$ deg R_2<deg B$ , on déduit que $ deg(R_1-R_2)<deg B$ .

Ainsi $ R_1-R_2$ est un multiple de $ B$ de degré strictement plus petit. La seule possibilité est que $ R_1-R_2$ soit nul. On en déduit $ R_1=R_2$ , puis, en allant reprendre l'égalité $ (Q_2-Q_1)B=R_1-R_2$ , que $ Q_1=Q_2$ .$ square$

 

 

Remarque : On a choisi d'énoncer ce théorème sur un corps commutatif pour faciliter sa mémorisation et parce que l'on n'aura presque jamais besoin d'un énoncé plus général. On aura toutefois besoin une fois de l'utiliser pour des polynômes sur un anneau ; remarquons donc que la démonstration montre que le résultat reste vrai sur un anneau commutatif quelconque à condition de supposer non seulement que $ B$ est non nul, mais même que son coefficient dominant est inversible : le seul endroit où on a utilisé qu'on s'était placé dans un corps commutatif a en effet été une division par ce coefficient dominant.

 

 

Exemple 2   Concrètement, on disposera les divisions euclidiennes de polynômes comme les divisions de nombres entiers. Par exemple, pour diviser $ P=X^2+X+1$ par $ Q=X-1$ , on écrit :

 

begin{displaymath} begin{array}{lvert l} begin{array}{l} X^2+X+1\ X^2-X ... ...ray}{l} X-1\ hline X+2\ \ \ \ end{array}end{array}end{displaymath}

 

Ce qui fournit la division euclidienne :

 

$displaystyle P=(X+2)Q-1. $

 

 

Nous définissons ensuite le pgcd. On ne donnera pas ici d'énoncés concernant le $ mathrm{ppcm}$ , non qu'il n'y en ait pas (ce sont là aussi les mêmes qu'en arithmétique des entiers) mais parce qu'ils ne semblent pas très importants. Les étudiants curieux les reconstitueront eux-mêmes.

 

 

Théorème 2   Soit $ mathbb{K}$ un corps commutatif. Soient $ A$ et $ B$ deux polynômes de $ mathbb{K}[X]$ . Il existe un unique polynôme unitaire $ D$ de $ mathbb{K}[X]$ tel que pour tout polynôme $ P$de $ mathbb{K}[X]$ , $ P$ divise $ A$ et $ B$ si et seulement si $ P$ divise $ D$ .

De plus il existe deux polynômes $ S$ et $ T$ de $ mathbb{K}[X]$ tels que $ D=SA+TB$ (identité de Bézout).

 

Et tant qu'on y est avant de passer aux démonstrations :

 

 

Définition 10   Le plus grand commun diviseur de deux polynômes $ A$ et $ B$ est le polynôme unitaire $ D$ apparaissant dans l'énoncé du théorème précédent.

 

 

 

Notation 7   Le plus grand commun diviseur de $ A$ et $ B$ sera noté $ mathrm{pgcd}(A,B)$ .

 

Comme pour les entiers, plusieurs démonstrations sont possibles ; on ne donne que celle basée sur l'algorithme d'Euclide.

 


Démonstration : La démonstration est une récurrence sur le degré de $ B$ .

Merveilles du copier-coller, voici de nouveau un «résumé de la preuve»  sous forme de programme informatique récursif (le même que pour l'arithmétique des entiers) :

 

Début du programme

* Pour $ B=0$ , $ mathrm{pgcd}(A,0)=A/{}$ coefficient dominant de $ A$ .

* Soit $ R$ le reste de la division euclidienne de $ A$ par $ B$ .

Les diviseurs communs de $ A$ et $ B$ sont ceux de $ B$ et $ R$ .

D'où : $ mathrm{pgcd}(A,B)=mathrm{pgcd}(B,R)$ .

Fin du programme

 

Et voici, toujours par les vertus du copier-coller, la preuve récurrente formelle. On va démontrer par «récurrence forte»  sur le degré $ d$ de $ B$ l'hypothèse $ (H_d)$ suivante :

$ (H_{d})$ Pour tout polynôme $ A$ et tout polynôme $ B$ de degré $ d$ , il existe deux polynômes $ S$ et $ T$ tels que, pour tout polynôme $ P$ , $ P$ divise $ A$ et $ B$ si et seulement si $ P$ divise $ SA+TB$ .

Vérifions $ (H_{-infty})$ .

Il s'agit donc de traiter le cas où $ B=0$ . Soit $ A$ un polynôme ; tout polynôme $ P$ qui divise $ A$ divise aussi $ B=0$ puisque $ 0P=0$ . Pour tout $ P$ , $ P$ divise $ A$ et 0 si et seulement si $ P$ divise $ A$ . Prenons alors $ S=1$ et $ T=0$  : on a donc bien pour tout $ P$  : $ P$ divise $ A$ et 0 si et seulement si $ P$ divise $ SA+Ttimes 0$ .

 

Soit $ d$ un entier fixé. Supposons la propriété $ (H_c)$ vraie pour tout $ c$ strictement inférieur à $ d$ et montrons $ (H_d)$ .

Soient $ A$ un polynôme et $ B$ un polynôme de degré $ d$ . Notons $ A=BQ+R$ la division euclidienne de $ A$ par $ B$ (qu'on peut réaliser puisque $ Bnot=0$ ).

Vérifions l'affirmation intermédiaire suivante : pour tout $ P$ , $ P$ est un diviseur commun de $ A$ et $ B$ si et seulement si $ P$ est un diviseur commun de $ B$ et $ R$ . (Avec des mots peut-être plus lisibles : «les diviseurs communs de $ A$ et $ B$ sont les mêmes que ceux de $ B$ et $ R$ »).

Soit $ P$ un diviseur commun de $ A$ et $ B$ , alors $ P$ divise aussi $ R=A-BQ$  ; réciproquement soit $ P$ un diviseur commun de $ B$ et $ R$ , alors $ P$ divise aussi $ A=BQ+R$ .

L'affirmation intermédiaire est donc démontrée.

 

On peut alors appliquer l'hypothèse de récurrence $ (H_{deg R})$ (puisque précisément $ deg R < deg B$ ) en l'appliquant au polynôme $ B$ .

On en déduit qu'il existe deux polynômes $ S_1$ et $ T_1$ tels que pour tout $ P$ , $ P$ divise $ B$ et $ R$ si et seulement si $ P$ divise $ S_1 B+T_1 R$ .

Remarquons enfin que $ S_1 B+T_1R=S_1 B+T_1(A-BQ)=T_A A+(S_1-Q)B$ , et qu'ainsi, si on pose $ S=T_A$ et $ T=S_1-Q$ on a bien prouvé que, pour tout $ P$, $ P$ divise $ Q$ et $ B$ si et seulement si $ P$ divise $ SA+TB$ .

$ (H_d)$ est donc démontrée.

 

On a donc bien prouvé $ (H_d)$ pour tout $ dinmathbb{N}cup{-infty}$ .

 

Une fois qu'on en est arrivé là, il ne reste donc plus qu'à montrer que pour un polynôme $ P$ (le polynôme $ SA+TB$ ) il existe un unique $ D$ unitaire tel que $ Q$ divise $ P$ si et seulement si $ Q$ divise $ D$ . L'existence est claire : comme le résumé le suggère, on divise $ P$ par son coefficient dominant et on obtient un polynôme $ D$ unitaire ayant les mêmes diviseurs que $ P$ . Pour ce qui est de l'unicité, elle est évidente pour $ P$ nul ; on supposera $ P$ non nul. Soit maintenant $ D_1$ un polynôme unitaire ayant exactement les mêmes diviseurs que $ P$ . Alors comme $ P$ divise $ P$ , $ P$ divise $ D_1$ , et comme $ D_1$ divise $ D_1$ , $ D_1$ divise $ P$ . Les polynômes $ P$ et $ D_1$ se divisent donc mutuellement ; soit $ Q_1$ et $ Q_2$ les quotients respectifs de $ P$ par $ D_1$ et de $ D_1$ par $ P$ . En utilisant la formule calculant le degré d'un produit, on voit que forcément, $ P$ a même degré que $ D_1$ et que les polynômes $ Q_1$ et $ Q_2$ sont de degré nul, donc des constantes $ lambda_1$ et $ lambda_2$ . Soit $ a_d$ le coefficient dominant de $ P$  ; le coefficient dominant de $ Q_1D_1=P$ vaut$ lambda_1cdot 1$ donc $ lambda_1=a_d$ et $ D_1$ est égal à $ P/$ (coefficient dominant de $ P$ ), donc à $ D$ , ce qui prouve l'unicité.$ square$

 

Nous allons ensuite définir le pgcd d'un nombre fini de polynômes. En arithmétique des entiers, cette notion n'est pas primordiale ; en revanche dans les applications des raisonnements arithmétiques à des polynômes, on est souvent dans des cas où on s'intéresse à des pgcds de plus de deux polynômes à la fois.

L'énoncé donné ci-dessus pour deux polynômes se généralise à un nombre fini, par récurrence sur ce nombre.

 

 

Proposition 9   Soit $ mathbb{K}$ un corps commutatif, $ nge1$ un entier et $ A_{1}$ , $ A_{2}$ , ..., $ A_{n}$ des polynômes de $ mathbb{K}[X]$ . Il existe un unique polynôme unitaire $ D$ de $ mathbb{K}[X]$ tel que pour tout $ P$ dans $ mathbb{K}[X]$ , $ P$ divise tous les $ A_{i}$ de $ i=1$ à $ i=n$ si et seulement si $ P$ divise $ D$ .

De plus il existe $ n$ polynômes $ S_1,ldots,S_n$ tels que

 

$displaystyle D=S_1A_1+S_2A_2+cdots+S_nA_n $

 

(identité de Bézout).

 

 


Démonstration : C'est une récurrence facile sur $ n$ . Le cas $ n=2$ est l'objet du théorème précédent (et le cas $ n=1$ a été traité dans sa démonstration, ou on peut le ramener fictivement à $ n=2$ en disant que les diviseurs de $ A_1$ sont les diviseurs communs de $ A_1$ et de 0 ).

Soit $ nge 2$ fixé, supposons la proposition vraie pour tout ensemble de $ n$ polynômes. Prenons $ n+1$ polynômes $ A_1,A_2,ldots,A_{n+1}$ . Notons $ B$ le pgcd des $ n$ premiers, qui existe par l'hypothèse de récurrence. Alors les diviseurs communs de $ A_1$ , $ A_2$ , $ ldots$ , $ A_{n+1}$ sont les diviseurs communs de $ B$ et de $ A_{n+1}$  ; donc prendre$ D=mathrm{pgcd}(B,A_{n+1})$ répond à la question. L'unicité est claire : si $ D_1$ répondait aussi à la question, les diviseurs de $ D_1$ seraient exactement les mêmes que ceux de $ D$avec $ D$ et $ D_1$ tous deux unitaires, et comme dans la preuve du théorème précédent (ou en appliquant le théorème précédent à $ D$ et 0 ), on conclut que $ D=D_1$ . La relation de Bézout est aussi le résultat d'une récurrence immédiate : il existe $ S_1,S_2,ldots,S_n$ tels que $ B=S_1A_1+S_2A_2+cdots+S_nA_n$ et $ T_1$ et $ T_2$ tels que$ D=T_1B+T_2A_{n+1}$ donc

 

$displaystyle D=(T_1S_1)A_1+(T_1S_2)A_2+cdots+(T_1S_n)A_n+T_2A_{n+1}. $

 

$ square$

 

 

 

Définition 11   Soit $ mathbb{K}$ un corps commutatif et $ nge1$ un entier. On dira que $ n$ polynômes de $ mathbb{K}[X]$ sont premiers entre eux lorsque leurs seuls diviseurs communs sont constants (en d'autres termes, quand leur $ mathrm{pgcd}$ est $ 1$ ).

 

On prendra garde à ne pas confondre «premiers entre eux»  (on dit parfois «premiers entre eux dans leur ensemble») et «deux à deux premiers entre eux»  : dans $ mathbb{R}[X]$ , les polynômes

 

$displaystyle (X-1)(X-2);,quad(X-1)(X-3);,quad (X-2)(X-3) $

 

sont premiers entre eux (dans leur ensemble) mais ils ne sont pas deux à deux premiers entre eux.

Les polynômes irréductibles sont les analogues des nombres premiers. Toutefois les usages étant ce qu'ils sont, il y a une petite nuance de vocabulaire un peu désagréable : alors que le mot «nombre premier»  est réservé à des entiers positifs, le mot «polynôme irréductible»  n'est pas réservé à des polynômes unitaires. On se méfiera de cette peu perceptible nuance qui crée de légères discordances entre énoncés analogues portant les uns sur les polynômes et les autres sur les entiers.

 

 

Définition 12   Soit $ mathbb{K}$ un corps commutatif. On dira qu'un polynôme $ P$ dans $ mathbb{K}[X]$ est irréductible lorsqu'il possède exactement deux diviseurs unitaires.

 

On remarquera tout de suite que ces deux diviseurs unitaires sont alors forcément les polynômes $ 1$ et $ P/$ (coefficient dominant de $ P$ ).

La proposition suivante est évidente, mais donne un exemple fondamental de polynômes irréductibles :

 

 

Proposition 10   Soit $ mathbb{K}$ un corps commutatif. Dans $ mathbb{K}[X]$ , les polynômes du premier degré sont irréductibles.

 

 


Démonstration : Soit $ P=aX+b$ avec $ anot=0$ un polynôme du premier degré dans $ mathbb{K}[X]$ . Cherchons ses diviseurs unitaires. Un diviseur de $ P$ doit avoir un degré inférieur ou égal à celui de $ P$ . Le seul diviseur unitaire constant de $ P$ est le seul polynôme constant unitaire : la constante $ 1$ . Cherchons les diviseurs unitaires de la forme $ X+c$ de $ P$ . Si $ X+c$ divise $ P$ , il existe un polynôme $ Q$ tel que $ P=(X+c)Q$ et en comparant les degrés, $ Q$ est nécessairement constant. En comparant les coefficients dominants, nécessairement $ Q=a$ donc $ c=displaystylefrac{b}{a}$ . Ainsi $ P$ possède exactement un diviseur unitaire du premier degré, le polynôme $ X+displaystylefrac{b}{a}$ . Le polynôme $ P$est donc irréductible.$ square$

 

Sur un corps quelconque, déterminer quels polynômes sont irréductibles et lesquels ne le sont pas est un problème très sérieux ; dans quelques pages, nous verrons que ce problème a une solution simple dans les cas particuliers des polynômes à coefficients complexes ou réels.

 

Le résultat fondamental est, comme en arithmétique entière, l'existence et unicité de la décomposition en facteurs irréductibles. Elle repose là encore sur le «lemme de Gauss». On ne réécrit pas les démonstrations pour deux raisons totalement contradictoires : d'abord parce que ce sont exactement les mêmes, et ensuite parce que ce ne sont pas exactement les mêmes -une petite difficulté se pose pour énoncer l'unicité de la décomposition en facteurs irréductibles d'un polynôme. Pour des entiers, on a convenu de classer les facteurs dans l'ordre croissant : ainsi $ 6$ se décompose en $ 2cdot 3$ et non en $ 3cdot 2$ . Une telle convention ne peut être appliquée pour décomposer des polynômes, aucun ordre «raisonnable»  n'étant à notre disposition sur l'ensemble des polynômes irréductibles ; ainsi dans $ mathbb{C}[X]$ peut-on écrire selon la fantaisie du moment$ X^2+1=(X-mathrm{i})(X+mathrm{i})$ ou $ X^2+1=(X+mathrm{i})(X-mathrm{i})$ . Quand on énonce ci-dessous que la décomposition est «unique»  on sous-entend donc qu'on considère les deux exemples qui précèdent comme la même décomposition, ce qui peut s'énoncer rigoureusement mais lourdement. Voulant glisser sur ce détail, on se condamne à rester un peu vaseux.

 

Voici donc le lemme de Gauss.

 

 

Lemme 2   Soit $ mathbb{K}$ un corps commutatif. Soient $ A$ , $ B$ et $ C$ trois polynômes de $ mathbb{K}[X]$ . Si $ A$ divise $ BC$ et est premier avec $ C$ , alors $ A$ divise $ B$ .

 

 


Démonstration : La même que pour les entiers, avec des majuscules.$ square$

 

Et voici le théorème de décomposition en facteurs irréductibles.

 

 

Théorème 3 (Énoncé moyennement précis)   Soit $ mathbb{K}$ un corps commutatif. 
Tout polynôme $ P$ non nul de $ mathbb{K}[X]$ peut s'écrire de façon «unique»  en produit :

 

$displaystyle P=lambda P_1^{alpha_1}P_2^{alpha_2}cdots P_k^{alpha_k}, $

 

dans lequel $ lambda$ est le coefficient dominant de $ P$ , les $ P_i$ pour $ 1le ile k$ sont des polynômes irréductibles unitaires deux à deux distincts, et les $ alpha_i$ sont des entiers strictement positifs.

 

 


Démonstration : À peu près la même que pour les entiers, avec un peu plus de soin pour l'unicité.$ square$

 

 




Section : Cours 
Avant : Anneau des polynômes 
Après : Racines des polynômes 


          © UJF Grenoble, 2007  

Source : http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/pf/node4.html

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Idéal maximal

Idéal maximal

Richard Dedekind 1831-1916 formalisateur du concept d'idéal

Un idéal maximal est un concept associé à la théorie des anneaux en mathématiques et plus précisément en algèbre.

Un idéal d'un anneau est dit maximal si, et seulement si, il n'est contenu que dans exactement deux idéaux, lui-même et l'anneau tout entier. L'existence d'idéaux maximaux est assurée par le théorème de Krull.

Cette définition permet de généraliser la notion d'élément irréductible à des anneaux différents de celui des entiers relatifs. Certains de ces anneaux ont un rôle important en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique.

Sommaire

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Motivations [modifier]

L'arithmétique demande parfois de travailler sur des anneaux complexes comme certains parmi les entiers algébriques. Les théorèmes habituellement utilisés pour bâtir la théorie, comme celui de la décomposition en facteurs premiers, n'est plus entièrement vérifié. Dans ce cas, l'unicité de la décomposition (à l'ordre et aux éléments inversibles près) n'est pas exacte.

Pour néanmoins pouvoir construire la théorie, un autre concept reste opérationnel : celui des idéaux. Les définitions valables pour les éléments, comme irréductible, premier, premiers entre eux dans leur ensemble, pgcd ou encore Plus petit commun multiple ont souvent des définitions équivalentes pour les anneaux.

La notion d'idéal maximal correspond à celle d'éléments irréductibles, largement utilisée dans la théorie des polynômes.

Définitions [modifier]

  • Un idéal maximal est un idéal tel qu'il existe exactement deux idéaux le contenant, lui-même et l'anneau entier.
  • Un élément irréductible est un élément non nul dont l'idéal engendré est maximal parmi les idéaux principaux propres.

La dernière définition est équivalente à la suivante:

  • Un élément irréductible est un élément tel que toute décomposition en deux facteurs contient un et un seul élément inversible.

Les anneaux ne possédant qu'un unique idéal maximal sont d'une importance particulière : ce sont les anneaux locaux. Ils sont en général obtenu après un processus de localisation qui consiste à rendre inversibles suffisamment d'éléments pour qu'il ne reste qu'un idéal maximal.

Exemples [modifier]

  • Les idéaux maximaux de l'anneau (euclidien, donc principal) mathbb{Z} des entiers relatifs sont les idéaux de la forme pmathbb{Z}, pour p un nombre premier. Localiser cet anneau permet de définir les anneaux d'entiers p-adiques.
  • Si K est un corps commutatif, les idéaux maximaux de l'anneau (euclidien, donc principal) K[X] sont les idéaux engendrés par les polynômes irréductibles. Dans le cas où le corps est algébriquement clos (par exemple pour le corps des nombres complexes), ce sont les polynômes de degré 1. Localiser ces anneaux amène aux anneaux de séries formelles.
  • Dans le cas de l'anneau des polynômes à coefficients dans l'anneau des entiers relatifs, un polynôme irréductible n'engendre pas forcément un idéal maximal : l'idéal engendré par Xest strictement inclus dans celui engendré par 2 et X.

Propriétés [modifier]

Anneau quotient [modifier]

  • Un idéal I d'un anneau commutatif A est maximal si, et seulement si, l'anneau quotient A/ I est un corps.

En conséquence, tout idéal maximal est premier.

Cette propriété est largement utilisée en théorie de Galois, elle permet de définir des extensions algébriques.

Supposons que I soit maximal.

Montrons que tout élément x non nul de A / I est inversible. Un tel élément x du quotient est la classe d'un élément a de A qui n'appartient pas à I. Comme A est commutatif, I +a.A est un idéal. Comme cet idéal contient strictement I, il est égal à A. Cela signifie qu'il existe un élément i de I et un élément b de A tels que i + a.b = 1. Cette égalité montre que la classe x de a est inversible, d'inverse la classe de b. En conséquence, A / I est bien un corps.

Réciproquement, supposons que A / I soit un corps.

Montrons que tout idéal J de A contenant strictement I est égal à A. Un tel J contient un a n'appartenant pas à I. La classe de a est un élément inversible donc il existe un élément b de A et un élément i de I tels que i + a.b = 1. Cette égalité montre que 1 est élément de J et donc J est égal à A. En conséquence, I est bien maximal.

Anneau principal [modifier]

Dans le cas d'un anneau principal, les notions d'irréductibilité et de primalité sont confondues. Le théorème suivant s'applique:

  • Si A est principal les propositions suivantes sont équivalentes :
  • (i) I est un idéal premier
  • (ii) I est engendré par un élément p différent d'une unité et qui, s'il divise un produit a.b, divise soit a soit b.
  • (iii) I est engendré par un élément p différent d'une unité et qui n'a d'autres diviseurs que lui-même et 1 aux éléments inversibles près
  • (iv) I est maximal

La démonstration est donné dans l'article sur Idéal premier et anneau principal.

Théorème de Krull et éléments inversibles [modifier]

Dans un anneau commutatif, le théorème de Krull assure que tout idéal propre (c'est-à-dire différent de l'anneau tout entier) est inclus dans au moins un idéal maximal.

En conséquence, un élément de l'anneau est inversible si et seulement s'il n'appartient à aucun idéal maximal.

(En effet, un élément est non inversible si et seulement si l'idéal qu'il engendre est propre.)

 

Voir aussi [modifier]

Liens externes [modifier]

Références [modifier]

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Primalité dans un anneau

Primalité dans un anneau

En algèbre commutative, dans un anneau intègre, un élément p est dit irréductible s'il n'est ni nul, ni inversible, ni produit de deux éléments non inversibles. Il est dit premier s'il n'est ni nul ni inversible et si, pour tout produit ab divisible par p, l'un des deux facteurs a ou b est divisible par p. Tout élément premier est irréductible. Dans un anneau factoriel (comme l'anneau des entiers ou l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps), ces deux notions sont équivalentes.

Deux éléments a et b sont dits premiers entre eux si tout diviseur commun à a et b est inversible.

Sommaire

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Introduction [modifier]

Dans l'anneau des entiers, il existe différentes caractérisations des nombres premiers et des nombres premiers entre eux qui, dans un anneau quelconque, conduisent à trois couples de notions différentes. Dans la suite, A est un anneau commutatif unifère intègre et a, b, p sont des éléments de A. Un idéal de A est dit propre s'il est différent de A. La notation (a)désigne l'idéal principal engendré par a (c'est-à-dire l'ensemble des multiples de a).

Éléments premiers entre eux et élément irréductible [modifier]

  • On dit que a et b sont premiers entre eux ou que a est premier avec b si tout diviseur commun à a et b est inversible.

Conditions équivalentes :

  1. le PGCD de a et b (existe et) est égal à 1
  2. L'idéal (a)+(b)~ n’est inclus dans aucun idéal principal propre de A~.

Probablement par influence des polynômes, la notion suivante n'est pas baptisée "élément premier", mais "élément irréductible" :

  • On dit que p~ est irréductible s'il n'est ni nul ni inversible et s'il est premier avec tout élément qu'il ne divise pas.

Conditions équivalentes :

  1. p~ n'est ni nul, ni inversible, ni produit de deux éléments non inversibles
  2. p~ n'est ni nul ni inversible, et ses seuls diviseurs sont les inversibles ou les éléments associés à p~
  3. (p)~ est non nul, et maximal dans l’ensemble des idéaux principaux propres de A~.

Éléments indissolubles entre eux et élément premier [modifier]

  • On dit que a et b sont indissolubles entre eux (ou "premiers entre eux au sens de Gauss") si pour tout élément x de A,
si a divise bx alors a divise x.

Conditions équivalentes (d'après les deux dernières, cette notion est donc symétrique en a et b) :

  1. b est simplifiable (ou : non diviseur de 0) dans l'anneau quotient A/(a)
  2. tout multiple de a et b est multiple de ab
  3. le PPCM de a et b (existe et) est égal au produit ab.

La définition correspondante est alors :

  • p est dit premier (ou indissoluble) s'il est non nul, non inversible, et indissoluble avec tout élément qu'il ne divise pas.

Conditions équivalentes :

  1. p est non nul, non inversible, et pour tout produit ab divisible par p, l'un des facteurs a ou b est divisible par p
  2. p est non nul et A / (p) est intègre
  3. (p) est un idéal premier non nul de A.

Éléments étrangers et élément extrémal [modifier]

La notion d'éléments étrangers correspond à la caractérisation des nombres premiers entre eux par le théorème de Bachet-Bézout.

  • On dit que a et b sont étrangers s'il existe des éléments u et v de A tels que au+bv=1, condition qui s'écrit aussi sous la forme (a)+(b)=A.

La définition correspondante est alors :

  • On dit que p est extrémal s'il est non nul, non inversible, et étranger à tout élément qu'il ne divise pas.

Conditions équivalentes :

  1. p est non nul et non inversible, et tout élément de A non multiple de p est inversible modulo p
  2. (p) est un idéal maximal non nul de A
  3. p est non nul et A/(p) est un corps.

Liens entre ces trois notions [modifier]

Dans les contre-exemples ci-dessous, K désigne un corps et A le sous-anneau de K[X,Y] formé des polynômes dont chaque monôme est de degré total pair.

  • étrangers => indissolubles entre eux => premiers entre eux.
    Les réciproques sont fausses :
    Dans K[X,Y]~, X~ et Y~ sont indissolubles entre eux mais pas étrangers.
    Dans A~, XY~ et X^2~ sont premiers entre eux mais pas indissolubles entre eux (car XY~ divise X^2Y^2~ mais pas Y^2~).
  • extrémal => premier => irréductible.
    Les réciproques sont fausses :
    Dans K[X,Y]~, X~ est premier non extrémal.
    Dans A~, XY~ est irréductible mais non premier (il divise X^2Y^2~ mais ni X^2~, ni Y^2~).
  • Dans un anneau de Gauss (anneau où tout couple d'éléments possède un PGCD), et donc en particulier dans un anneau factoriel, premiers entre eux équivaut à indissolubles entre eux (donc irréductible équivaut à premier).
  • Dans un anneau de Bézout (anneau commutatif unitaire intègre dans lequel tout idéal de type fini est principal), et donc en particulier dans un anneau principal (comme mathbb{Z}~ ou K[X]~), les trois notions (étrangers, indissolubles entre eux, premiers entre eux) sont équivalentes (donc irréductible équivaut à premier équivaut à extrémal).

Bibliographie [modifier]

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]

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Arithmétique des polynômes

Arithmétique des polynômes

(Redirigé depuis Polynôme irréductible)

En algèbre, l'arithmétique des polynômes décrit les propriétés des polynômes qui peuvent se déduire de l'arithmétique et qui sont un peu analogues à celles des nombres entiers. Par exemple, l'anneau des polynômes K[X] à une indéterminée X et à coefficients dans un corps commutatif K dispose d'une division euclidienne. Si le lecteur n'est pas familier avec les structures de corps et d'anneau, il peut considérer K comme une lettre symbolisant l'ensemble des nombres réels ou complexes. La division euclidienne est à l'origine des théorèmes clés de l'arithmétique élémentaire. Il en est de même pour l'arithmétique des polynômes. On démontre de la même manière l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide ou un équivalent duthéorème fondamental de l'arithmétique, les polynômes irréductibles et unitaires prenant alors la place des nombres premiers.

Ces résultats ne s'appliquent plus de la même manière si les coefficients sont choisis dans un ensemble A comme celui des nombres entiers, où les éléments ne sont pas toujours inversibles pour la multiplication. L'étude de cette configuration demande l'usage d'un attirail d'outils mathématiques plus puissants. Ils permettent de montrer que si l'identité de Bézout n'est plus vérifiée, un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique reste encore valable. Cette propriété reste vraie si l'anneau comporte plusieurs indéterminées. Autrement dit, si A est un anneau factoriel, l'anneau des polynômes à coefficients dans A est aussi factoriel, quel que soit le nombre d'indéterminées. Dans certains cas, l'anneau A n'est pas factoriel mais juste noethérien. À condition que l'anneau des polynômes ne contienne qu'un nombre fini d'indéterminées, il est aussi noethérien.

Ces différents résultats sont à l'origine de théorèmes fondateurs de diverses branches de l'algèbre. La théorie de Galois s'appuie sur la structure euclidienne de K[X], la théorie algébrique des nombres fait usage du caractère factoriel et noethérien d'un anneau de polynômes à une ou plusieurs indéterminées sur un anneau factoriel. Enfin, des théorèmes comme celui de la base de Hilbert ou le Nullstellensatz, essentiels en géométrie algébrique, sont des conséquences directes de l'arithmétique des polynômes.

Sommaire

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Corps commutatif [modifier]

Dans le reste de l'article K désigne un corps commutatif. Ce corps peut être égal à Q celui des nombres rationnels, R celui des réels ou C pour les complexes, ou encore un corps fini. Dans ce paragraphe tous les polynômes sont en une indéterminée et à coefficients dans K, l'anneau de ces polynômes est noté K[X]. L'anneau K[X] possède une division euclidienne (cf l'article Division d'un polynôme) et comme pour tout anneau euclidien, les conséquences sont multiples. Elles sont exactement semblables à celle traitées dans l'article arithmétique élémentaire, qui traite de l'arithmétique des nombres entiers.

Il est possible d'exprimer ces résultats sous deux formes, la première et la plus simple est celle utilisé dans l'article arithmétique élémentaire. La deuxième, emploie le vocabulaire de lathéorie des anneaux, c'est-à-dire des termes comme idéal, idéal principal, premier ou encore maximal. L'article explicite les résultats dans les deux langages.

Identité de Bézout [modifier]

Suivre le plan de l'article Arithmétique élémentaire, suppose dans une premier temps de s'intéresser aux sous-ensembles de K[X] non vide et stable pour l'addition et la soustraction. Pour que les conséquences soient aussi riche que dans l'article sur les entiers, il est nécessaire d'ajouter la stabilité de l'ensemble par multiplication par un polynôme quelconque. On obtient le résultat suivant :

Sous-ensemble stable — Un sous-ensemble M non vide de K[X] est stable par addition, soustraction et multiplication par un polynôme quelconque si, et seulement si, il existe un polynôme m tel que M soit l'ensemble des multiples de m.

En termes de théorie des anneaux, ce résultat indique que K[X] est un anneau principal, ce qui est le cas de tout anneau euclidien. La démonstration se trouve dans l'article Anneau euclidien.

La conséquence directe est :

Identité de Bézout — Soit P et Q deux polynômes, P et Q sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux polynômes M et N tel que :

Pcdot M + Qcdot N = 1

Il devient nécessaire de définir l'expression polynômes premiers entre eux. Deux polynômes sont premiers entre eux lorsque les seuls polynômes qui les divisent tous les deux sont les polynômes constants non nuls. Cette définition est très proche de celle des entiers qui sont premiers entre eux lorsque les seuls diviseurs communs sont 1 et -1, c'est-à-dire les éléments inversibles de l'anneau.

Dans le vocabulaire des anneaux, l'identité se traduit un peu différemment. Soit A et B deux idéaux de K[X], si l'intersection de A et de B est égal au produit des idéaux A.B (ce qui est l'équivalent de l'expression premiers entre eux), alors l'idéal A + B est égal à K[X].

Polynôme irréductible [modifier]

Continuer l'analogie avec l'arithmétique élémentaire demande à ce niveau de disposer d'un équivalent des nombres premiers. Dans Z, un nombre premier n'est divisible que par 1, -1 ou le produit d'un de ces deux éléments et de lui-même. Cependant ces nombres ne sont que qualifiés d'irréductibles. Pour qu'ils soient déclarés premiers il faut en plus qu'ils soient positifs. Ce qui caractérise un nombre premier, ce sont ces multiples, or 2 et -2 ont le même ensemble de multiples, ce qui forme une classe d'équivalence dont la relation R est définie par : a et équivalent à b lorsque a et b possèdent le même ensemble de multiples. Dans le cas général, deux éléments d'un anneau a et b sont équivalents, ou encore ont le même ensemble de multiples, s'il existe un élément c inversible pour la multiplication, tel que a.c = b. Dans Z, les deux seuls éléments inversibles sont 1 et -1. On dit qu'ils sont éléments du groupe des unités et les éléments inversibles sont dits des unités. La relation d'équivalence est étudiée dans l'article Groupe des unités. Dans le cas des polynômes :

Groupe des unités de K[X] — Le groupe des unités de K[X] est formé par les polynômes constants non nuls.

On en déduit une définition pour les polynômes, presque équivalente à celle des nombres premiers :

Polynôme irréductible — Un polynôme est dit irréductible lorsqu'il n'est pas inversible et que ses diviseurs sont, soit des polynômes constants inversibles, soit le produit de lui-même par un polynôme constant.

On dispose, par exemple de la proposition :

Polynôme du premier degré — Un polynôme du premier degré est toujours irréductible.

Pour exprimer l'équivalent théorème fondamental de l'arithmétique, il est important de choisir un unique nombre premier dans chaque classe d'équivalence, pour la relation R, de nombres irréductibles. Dans Z, il suffit d'indiquer qu'un nombre irréductible est dit premier s'il est positif, car chaque classe d'équivalence contient deux éléments : a et son opposé -a. La même relation d'équivalence dans K[X] existe et la classe d'équivalence d'un polynôme P est l'ensemble des polynômes k.P si k décrit tous les éléments de K non nuls. Pour exprimer l'équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique, on choisit généralement l'élément de la classe qui est unitaire, c'est-à-dire celui dont le coefficient du monôme dominant (celui du plus haut degré) est égal à 1. Dans chaque classe d'équivalence de polynôme irréductible, il n'existe en effet qu'un unique polynôme unitaire.

Théorème fondamental de l'arithmétique [modifier]

Article détaillé : théorème fondamental de l'arithmétique.

Avant d'énoncer le théorème fondamental, un premier lemme est utile :

Lemme d'Euclide — Soit P un polynôme irréductible et A, B deux polynômes. Si le produit des deux polynômes A.B est un multiple de P, alors soit A soit B est un multiple de P.

En termes d'anneau, ce résultat s'exprime comme par : Si un idéal premier I contient le produit de deux idéaux A et B il est contient soit A soit B , proposition toujours vraie dans unanneau principal (cf l'article Idéal premier).

On obtient finalement le théorème suivant :

Décomposition en facteurs irréductibles — Un polynôme non nul se décompose de manière unique, à l'ordre près, en un produit comportant un polynôme constant et des polynômes unitaires irréductibles.

Autrement dit, en termes d'anneau, K[X] est factoriel, car tout anneau principal est factoriel (cf l'article Anneau factoriel).

Arithmétique modulaire [modifier]

Article détaillé : Arithmétique modulaire.

Une structure digne d'intérêt sur les entiers est celle du quotient Z/nZ. Un élément de ce quotient est représenté par un reste de division euclidienne d'un entier quelconque par n, on trouve toujours un représentant unique d'une congruence modulo n dans les entiers positifs strictement plus petit que n. Si p est un entier irréductible (c'est-à-dire un nombre premier ou son opposé), la structure Z/pZ est un corps, autrement dit, tout élément non nul de Z/pZ est inversible.

Soit P un polynôme irréductible, il est tentant de considérer les polynômes de K[X] modulo P. On obtient une structure avec une addition et une multiplication, qui vérifie toutes les propriétés d'un anneau commutatif unitaire, exactement comme celle décrite dans l'article Congruence sur les entiers. On dispose encore de la propriété :

Congruence sur K[X] modulo un polynôme irréductible —  Si P est un polynôme irréductible de K[X], toute congruence modulo P non nul possède un inverse pour la multiplication.

Notons L la structure des congruences sur les polynômes de K[X] modulo P. Comme tout élément différent de 0 est inversible pour la multiplication, on dit que c'est un corps. Il est appelé le corps de rupture de K. Ce corps dispose d'une propriété remarquable :

Corps de congruence, vu comme un espace vectoriel — Le corps L dispose d'une structure de K espace vectoriel de dimension le degré de P.

Usages de l'arithmétique de K[X] [modifier]

Extension finie de R [modifier]

Article détaillé : Théorème fondamental de l'algèbre.

Le corps des complexes C peut être vu comme un espace vectoriel de dimension 2, sur R. On peut se demander s'il existe d'autres corps commutatifs contenant R. Il existe par exemple le corps des fractions rationnelles à coefficients dans R. Mais, à la différence de C, vu comme un espace vectoriel sur R, le corps des fractions n'est pas de dimension finie. Un corps commutatif contenant R et espace vectoriel de dimension finie est dit une extension finie de R. L'arithmétique des polynômes à coefficients dans R permet d'établir le résultat suivant :

Extension finie de R — Il n'existe que deux extensions finies de R : R et C, à un isomorphisme près.

L'expression un isomorphisme près signifie que si L est une extension finie de R, alors soit L est égal à R soit L est une copie de C et il existe une bijection φ de C dans L tel que l'image de R soit R et que l'addition et la multiplication soit respectées par φ, autrement dit :

forall a,b in mathbb C quad varphi (a+b) = varphi(a) + varphi(b) quadtext{et}quad varphi(acdot b) = varphi(a)cdot varphi(b)

Ce qui signifie que φ(a) est une autre manière de noter a, mais que les opérations restent strictement les mêmes.

Équation algébrique [modifier]

Article détaillé : Corps de décomposition.

L'arithmétique modulaire sur les polynômes apporte la structure de base d'une des branches de la théorie des équations, dont l'unique objet est la résolution des équations polynômiale. Soit P un polynôme à coefficients dans un corps K de degré supérieur ou égal à 1, on recherche un corps L contenant les racines de P.

Corps de décomposition — Il existe un corps L, contenant K dimension finie et contenant toutes les racines de P.

La plus petite extension vérifiant cette propriété est appelé corps de décomposition du polynôme P. Ce corps est un des ingrédients utilisé dans le cadre de la théorie de Galois pour déterminer exactement quelle équation polynômiale est résoluble par radicaux (cf l'article Théorème d'Abel (algèbre)).

Corps fini [modifier]

Article détaillé : corps fini.

Les congruences sur les anneaux sont la méthode principale d'étude des corps finis. Pour l'illustrer, considérons un nombre premier p strictement supérieur à 2 et recherchons un corps fini à p2 éléments. On considère dans un premier temps le corps Fp à p éléments, isomorphe à Z/pZ. Dans ce corps, la fonction polynôme, qui à x associe x2, n'est pas injective car x et -x ont la même image. Une application d'un ensemble fini dans lui-même qui n'est pas injective n'est pas surjective, et il existe une valeur a de Fp tel que le polynôme Pa égal à X2 - asoit irréductible.

Les congruences des polynômes de Fp modulo Pa forment un corps car Pa est irréductible. Si χ représente la classe de X modulo Pa, comme toute congruence possède comme représentant un polynôme de degré inférieur ou égal à 1, tout élément du corps des congruences est de la forme a + b.χ, avec a et b élément de Fp. On obtient bien un corps à p2éléments.

L'article détaillé montre qu'il n'existe pas d'autres corps à p2 éléments à un isomorphisme près. Cette méthode se généralise et permet de construire tous les corps finis.

Anneau factoriel [modifier]

Dans ce paragraphe A désigne un anneau factoriel, c'est-à-dire aussi non nul, commutatif unitaire et intègre. L'article Construction de l'anneau des polynômes montre que A[X] est toujours commutatif unitaire et intègre, cependant il n'est euclidien que si A est un corps (cf l'article Division d'un polynôme).

Lemme de Gauss [modifier]

Article détaillé : Lemme de Gauss (polynômes).

Cette fois ci, le groupe des unités de A[X] est plus restreint, il ne contient que les polynômes constants dont la constante est inversible dans A. Ainsi dans Z[X], l'anneau des polynômes à coefficients entiers les deux seuls polynômes inversibles sont 1 et -1. Dans ce cas, un polynôme constant non nul n'est pas nécessairement irréductible et le polynôme 6n'est plus irréductible car il est égal à 2x3. Pour cette raison, on dit qu'un polynôme est primitif lorsque ses coefficients sont premiers entre eux dans leur ensemble. Comme A est un anneau commutatif unitaire et intègre, il est possible de construire son corps des fractions K, de la même manière que l'on construit Q le corps des fractions des entiers naturels. Un polynôme P de A[X] peut aussi être considéré comme un polynôme à coefficients dans K.

On dispose d'une première propriété, appelée lemme de Gauss uniquement dans le cas où l'anneau est égal à Z, mais vraie dans tous les anneaux factoriels :

Lemme de Gauss — Un polynôme de A[X] est irréductible si, et seulement si, il est primitif et irréductible dans K[X].

Pour montrer qu'un polynôme est irréductible dans Z[X], il suffit de vérifier que ses différents coefficients ne comportent aucun facteur commun et qu'il est irréductible dans Q[X].

Les démonstrations sont proposées dans l'article Anneau factoriel.

Théorème [modifier]

Article détaillé : Anneau factoriel.

Une conséquence de ce lemme est le théorème :

Anneau factoriel — L'anneau A[X] est factoriel.

L'équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique est encore valable, au même titre que le lemme d'Euclide, mais l'identité de Bézout n'est plus vraie et l'anneau des polynômes n'est pas principal. Pour s'en rendre compte, on peut, par exemple considérer l'idéal engendré par l'indéterminée X et a, un élément non inversible de l'anneau A, il n'est pas principal. En conséquence, il n'existe pas de polynômes N et M de A[X] tel que N.X + a.M soit égal au polynôme constant 1, même si a et X sont deux polynômes premiers entre eux. Comme l'anneau n'est pas principal, il ne peut exister de division euclidienne.

Les démonstrations sont proposées dans l'article détaillé.

Usages de l'arithmétique de A[X] [modifier]

Ces propriétés permettent parfois d'étudier la décomposition en facteurs premiers dans Q[X]. C'est le cas pour l'étude du polynôme cyclotomique, le lemme de Gauss permet de montrer que les facteurs irréductibles sont à coefficients dans Z, il devient possible de quotienter Z, l'anneau des coefficients, par p.Z où p est un nombre premier, et de conclure sur l'expression exacte des facteurs irréductibles des polynômes de la forme Xn - 1. Le lemme de Gauss peut être aussi utilisé pour démontrer le critère d'Eisenstein sur les polynômes à coefficients dans Z.

Une autre conséquence influe sur l'étude de la géométrie algébrique. Cette branche des mathématiques porte sur l'étude des variétés définies comme intersections des racines d'une famille (Pk) de polynômes en un nombre fini d'indéterminées sur un corps K. L'anneau K[X1, X2] est isomorphe à l'anneau de polynômes en une indéterminée à coefficients dans K[X1], qui est factoriel. Il est donc factoriel et une récurrence montre que K[X1, ..., Xn] l'est aussi.

Une variété algébrique peut encore être vue comme l'ensemble des points qui s'annulent sur l'idéal engendré la famille (Pk). Le caractère factoriel de l'anneau offre immédiatement des théorèmes sur les idéaux de l'anneau, offrant ainsi deux axes d'analyse, géométrique en étudiant la variété et algébrique en étudiant l'idéal. Le théorème de la base de Hilbert et leNullstellensatz sont deux résultats géométriques sur les variétés qui découlent de l'étude de la structure des idéaux.

Voir aussi [modifier]

Liens externes [modifier]

Références [modifier]

Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808)[détail des éditions]
P. Tauvel Algèbre Agrégation, Licence 3e année Dunod (2005) (ISBN 2100494120)
D. Perrin Cours d'algèbre Ellipses Marketing (1998) (ISBN 2729855521)

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Anneau quotient

Anneau quotient

Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec Anneau de fractions.

En mathématiques, un anneau quotient est l'ensemble quotient d'un anneau donné par un de ses idéaux.

Sommaire

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Définition [modifier]

Soient A un anneau et I un idéal bilatère de A. On définit la relation d'équivalence R suivante :

forall (x,y)in A^2, xRy Leftrightarrow (x-y)in I

Deux éléments de A sont ainsi en relation si leur différence appartient à l'idéal I, c’est-à-dire si ces deux éléments sont congrus modulo I.

L'ensemble quotient A/R, que l'on note alors A/I, muni des opérations induites

(x + I) + (y + I) = x + y + I et
(x+I)times (y+I) = (xcdot y)+I

est un anneau, nommé anneau quotient de A par I.

Exemples [modifier]

  • Si I = A, A / I = A / A est l'anneau trivial {0}.
  • Si I = {0}, A / I = A / {0} est isomorphe à A.
  • Si A = Z (l'anneau des entiers) et I = n Z pour un certain entier n, l'anneau quotient A / I est l'anneau Z / n Z. Cette structure est le fondement de l'arithmétique modulaire.

Propriétés [modifier]

L'application p : A → A/I définie par p(x) = x + I est un homomorphisme surjectif d'anneau dont le noyau est l'idéal I.

Soit A un anneau commutatif :

  • Par définition, I est un idéal premier si A / I est intègre. On en déduit que I est premier si et seulement si c'est un idéal propre (i.e. différent de A) vérifiant : si un produit d'éléments deA appartient à I alors au moins l'un des facteurs appartient à I.
  • I est un idéal maximal si et seulement si A / I est un corps
  • Si f est un morphisme d'anneaux de A vers B, notons I = ker f son noyau. Alors f se factorise en un morphisme injectif bar f : A/I to B défini par bar f(x+I)=f(x).

Utilisations [modifier]

Théorie algébrique des nombres [modifier]

Les anneaux quotients sont utilisés dans de nombreuses branches des mathématiques. Les exemples sont fréquents en théorie algébrique des nombres, par exemple pour résoudre deséquations diophantiennes. C'est-à-dire des équations à coefficients dans l'anneau Z des entiers naturels dont les solutions recherchées sont entières.

L'identité de Bézout peut être vue comme une équation diophantienne de degré un, c'est-à-dire qu'elle correspond à un polynôme de degré un. Elle peut prendre la forme suivante :

acdot x + bcdot y = 1quadtext{avec}quad a,b in mathbb Z

Une solution peut être vue comme l'inverse de a dans l'anneau quotient Z / b Z. Ainsi, il existe des solutions si et seulement si la classe de a est un élément inversible de l'anneau quotient, i. e. si et seulement si a premier avec b. Les valeurs possibles de x sont éléments de l'inverse de la classe de a.

Les équations diophantiennes polynomiales d'ordre deux utilisent aussi la structure d'anneau quotient. Un exemple est un cas particulier de l'équation de Pell-Fermat :

x^2 - ncdot y^2 = pm 1;

Ici, n désigne un entier sans facteur carré. La méthode chakravala correspond à un algorithme simple de détermination d'une solution. Pour montrer sa convergence, on utilise l'anneau des nombres de la forme a + b√n où a et b désignent des entiers. Le fait de montrer que tous les anneaux quotients sont de cardinal fini est une étape clé de la démonstration.

Cette équation est analogue à la suivante :

x^2 + ncdot y^2 = p ;

Ici n est toujours un entier sans facteur carré et p désigne un nombre premier. L'usage d'un bon anneau A d'entiers quadratiques, c'est-à-dire de nombres de la forme a + b.i.√n où idésigne l'imaginaire pur et l'étude des anneaux quotients de la forme A/J où J est un idéal maximal permet de résoudre l'équation. Des exemples sont donnés dans l'article Entier quadratique.

Théorie de Galois [modifier]

La théorie de Galois fait aussi un large usage des anneaux quotients. Soient K un corps commutatif et K[X] l'anneau des polynômes à coefficients dans K. Un des nombreux objectifs de la théorie est l'étude de l'équation polynomiale P(X) = 0. Si P est un polynôme irréductible, on recherche des solutions dans une extension algébrique L de K. Un cas particulier largement utilisé est K[X]/(P), l'anneau des polynômes quotienté par l'idéal engendré par P(X). Comme P(X) est irréductible, l'idéal engendré par P(X) est maximal, l'anneau quotient est bien un corps.

Cette technique permet de construire tous les corps finis. Soit L un corps fini, il existe toujours p un nombre premier et n un entier positif tel que le cardinal de L soit égal à pn. La valeurp correspond à la caractéristique de K.

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Géométrie et Théorie des Modèles

Géométrie et Théorie des Modèles

Institutions organisatrices : Université Paris Pierre et Marie Curie / Ecole normale supérieure
Organisé par : Zoé Chatzidakis et François Loeser
Lieu habituel : ENS / IHP / Chevaleret

Site internet : http://www.logique.jussieu.fr/~zoe/GTM/

Séances à venir

Séances passées

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On the propagation of oceanic waves driven by a strong macroscopic flow

On the propagation of oceanic waves driven by a strong macroscopic flow
Isabelle Gallagher 1, Thierry Paul 2, Laure Saint-Raymond 3
(19/11/2010)
In this work we study oceanic waves in a shallow water flow subject to strong wind forcing and rotation, and linearized around a inhomogeneous (non zonal) stationary profile. This extends the study~cite{CGPS}, where the profile was assumed to be zonal only and where explicit calculations were made possible due to the 1D setting. Here the diagonalization of the system, which allows to identify Rossby and Poincaré waves, is proved by an abstract semi-classical approach. The dispersion of Poincaré waves is also obtained by a more abstract and more robust method using Mourre estimates. Only some partial results however are obtained concerning the Rossby propagation, as the two dimensional setting complicates very much the study of the dynamical system.
1 :  Institut de Mathématiques de Jussieu (IMJ)
CNRS : UMR7586 – Université Pierre et Marie Curie - Paris VI – Université Paris-Diderot - Paris VII
2 :  Centre de Mathématiques Laurent Schwartz (CMLS-EcolePolytechnique)
CNRS : UMR7640 – Polytechnique - X
3 :  Département de Mathématiques et Applications (DMA)
CNRS : UMR8553 – Ecole Normale Supérieure de Paris - ENS Paris
Domaine  :  Mathématiques/Equations aux dérivées partielles
Mots Clés : Semiclassical analysis – microlocal analysis – Mourre estimates – Geophysical flows
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http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00537772/fr/
oai:hal.archives-ouvertes.fr:hal-00537772
Contributeur : Isabelle Gallagher <Isabelle.Gallagher@math.jussieu.fr>
Soumis le : Vendredi 19 Novembre 2010, 11:42:57

Dernière modification le : Vendredi 19 Novembre 2010, 15:17:56

Source : http://hal.archives-ouvertes.fr/index.php?halsid=fle4h1gj...

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Entiers p-adiques

Entiers p-adiques

L’anneau Zp des entiers p-adiques est une sorte de limite (« limite

projective ») des Z/prZ quand r ! +1. Pr´ecis´ement :

Un entier p-adique est une suite (ai )i2N avec ai 2 Z/piZ

telle que si i  j alors aj a pour classe ai modulo pi . (La

donn´ee de chaque ai d´etermine donc tous les pr´ec´edents.)

En particulier, l’´ecriture en base p de ai comporte i chiffres

qui sont les i derniers chiffres de tous les aj ult´erieurs. On

peut donc voir un entier p-adique comme une ´ecriture en

base p « infinie `a gauche ». Les op´erations sur cette ´ecriture

se font exactement de la mˆeme fa¸con que sur les entiers.

Exemple : . . . 1100110011001101 est un entier

Source : http://www.math.ens.fr/~madore/mpri2006/mpri2006-2.pdf

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Anneau Z/nZ

Anneau Z/nZ

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, Z/nZ est un cas particulier d'anneau, correspondant au calcul modulaire sur les restes des entiers dans la division par n.

Tout anneau unitaire contient soit un sous-anneau isomorphe à Z/nZ soit à Z l'anneau des entiers.

Cet anneau joue un rôle particulier en arithmétique, il est en effet l'outil de base de l'arithmétique modulaire.

L'article Congruence sur les entiers traite le même sujet avec une approche plus didactique et moins exhaustive, tandis que l'article Arithmétique modulaire traite de l'histoire de ce concept, des outils utilisés ainsi que de ses applications.

Sommaire

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Construction de Z/nZ [modifier]

Idéaux de Z [modifier]

Article détaillé : Idéal.

La division euclidienne dans Z montre que cet ensemble est un anneau euclidien, en conséquence Z est un anneau principal. Cela signifie que pour tout idéal I de Z, il existe un entier ntel que I est égal à nZ. Comme les idéaux nZ et -nZ sont confondus, il est toujours possible de choisir n positif. Dans toute la suite de l'article n désigne un entier positif.

Anneau quotient [modifier]

Article détaillé : Anneau quotient.

La construction de Z/nZ correspond à la construction générale des anneaux quotients. Ici la relation d'équivalence correspond à la classique congruence sur les entiers. Un élément deZ/nZ est la classe des éléments ayant tous le même reste par la division euclidienne par n.

Un élément est identifié par un membre de sa classe, souvent l'entier compris entre 0 et n - 1. Il est parfois noté scriptstyledot a ou scriptstylebar a, ainsi dans Z/6Z, scriptstylebar 2 désigne la classe contenant les éléments 2, 8, 14 etc... Quand il n'existe pas d'ambigüité, on utilise simplement la lettre a.

  • Les éléments de Z/nZ sont appelés classes modulo n ou résidu.

Propriétés [modifier]

Propriétés élémentaires [modifier]

Article détaillé : Anneau (mathématiques).

La théorie des anneaux permet directement de démontrer certaines propriétés de l'anneau.

  • L'anneau Z/nZ est unitaire.

C'est une conséquence directe du fait que Z l'est.

  • L'anneau Z/nZ est principal et de Bézout.

Un anneau est principal si et seulement si tous ses ideaux sont principaux. Si un anneau est principal, son quotient par un idéal est aussi principal, or Z est un anneau principal. En pratique et comme pour Z, tous les sous-groupes additifs et tous les sous-anneaux sont aussi des idéaux principaux. Si m est un diviseur de n alors il existe un unique ideal de Z/nZisomorphe à Z/mZ, ce résultat est une conséquence directe de la troisième proposition du paragraphe Théorème fondamental de l'article groupe cyclique.

Un anneau est dit de Bézout si et seulement si pour tout élément a et b n'ayant comme diviseurs communs que les éléments inversibles, il existe deux éléments α et β tel que α.a + β.b= 1. Z/nZ est un anneau de Bézout car tout anneau principal l'est.

Si n n'est pas premier, alors l'anneau Z/nZ n'est pas intègre, il n'est donc ni euclidien ni factoriel.

Structure additive [modifier]

Article détaillé : Groupe cyclique.

La structure du groupe (Z/nZ) est celle d'un groupe monogène, c'est-à-dire engendré par un unique élément. Si n est égal à 0 on obtient un groupe isomorphe à Z et à n'importe quel groupe monogène d'ordre infini.

Si n est différent de 0, alors le groupe est cyclique, sa structure est explicitée dans l'article détaillé.

Théorème chinois [modifier]

Article détaillé : Théorème des restes chinois.

La logique du théorème chinois s'applique encore, ainsi les propriétés du paragraphe Théorème chinois de l'article Groupe cyclique s'appliquent encore. Il suffit pour les vérifier de valider que le morphisme de groupe utilisé est aussi un morphisme d'anneau.

Note : Si u et v ne sont pas premiers entre eux, alors l'anneau produit ne contient pas d'élément d'ordre supérieur au ppcm de u et de v. Cet anneau n'est donc pas isomorphe à l'anneauZ/u.vZ.

Cette proposition entraîne une décomposition unique de Z/nZ en facteurs premiers. Le théorème fondamental de l'arithmétique montre que n se décompose de la manière unique suivante:

n = prod_{i=1}^k p_i^{alpha_i};

Ou (pi) est une famille de k nombres premiers tous distincts et αi des entiers supérieurs ou égaux à un. Les puissances des nombres premiers du produit sont tous premiers entre eux. Une simple récurrence montre :

  • Z/nZ se décompose de manière unique en un produit de d'anneaux quotients de Z de cardinal une puissance d'un nombre premier.

Cas où Z/nZ est un corps [modifier]

Article détaillé : Corps (mathématiques).

En effet, cette proposition est une conséquence directe de l'identité de Bézout. Supposons n premier, alors si a est un entier premier avec n, c'est-à-dire non multiple de n, il existe deux entiers b et c tel que :

ab + nc = 1;

Ce qui signifie que la classe de a est inversible d'inverse la classe de b.

Réciproquement si n n'est pas premier, il existe deux entiers a et b différents de n et de 1 tel que leur produit est égal à n. La classe de a ainsi que la classe de b sont des diviseurs de zéro, ce qui n'existe pas dans un corps.

Caractéristique d'un anneau [modifier]

Article détaillé : Caractéristique d'un anneau.

Soit A un anneau unitaire, il existe un unique morphisme d'anneau φ de Z dans A qui à 1Z associe 1A. Soit n l'entier positif tel que le noyau de φ soit égal à nZ. La décomposition canonique de φ (cf le paragraphe Morphisme d'anneau de l'article Idéal) montre qu'il existe un sous-anneau de A isomorphe à Z/nZ.

  • L'entier n est appelé caractéristique de l'anneau A.

Ainsi, tout anneau unitaire contient un sous-anneau isomorphe soit à Z dans le cas où n est égal à 0, soit à Z/nZ. C'est une des raisons qui rend cette famille d'anneau intéressante.

Groupe des unités [modifier]

Article détaillé : Groupe des unités.

Le groupe des unités d'un anneau correspond au groupe multiplicatif formé des éléments inversibles. De tels éléments sont appelés unité.

  • Soit m un entier, sa classe est une unité si et seulement si m est premier avec n.

Si m est premier avec n alors il est inversible, sinon soit d un diviseur commun différent de un, soit k l'entier tel que d.k = n, le fait que m.k soit un multiple de n montre que m est un diviseur de zéro et donc est non inversible.

  • L'ordre du groupe des unités est égal à φ(n) si φ désigne la fonction indicatrice d'Euler.

Un élément du groupe additif Z/nZ est générateur si et seulement s'il est premier avec n, car son ordre est alors égal à n. Or le paragraphe Indicatrice d'Euler de l'article Groupe cycliquemontre que le nombre d'éléments générateurs est égal à φ(n).

Cas où n est premier [modifier]

Article détaillé : exposant d'un groupe.

Dans le cas où n est premier c'est-à-dire si l'anneau est un corps, la structure est la suivante :

  • Si n est un nombre premier, le groupe des unités du corps Z/nZ est un groupe cyclique d'ordre n - 1.

En effet, tout élément autre que celui nul est inversible, l'ordre du groupe multiplicatif est donc n - 1. Le groupe multiplicatif est naturellement fini, il admet un exposant e, l'exposant est leplus petit commun multiple des ordres des différents éléments du groupe multiplicatif. Considérons le polynôme de Z/nZ[X] suivant : Xe - 1. Il admet pour racines tous les éléments du groupe multiplicatif donc n - 1 racines différentes. Or tout polynôme à coefficients dans un corps possède un degré supérieur ou égal à son nombre de racines. On en déduit que e est supérieur ou égal à n - 1. Le théorème de Lagrange, qui a pour corollaire le fait que l'ordre d'un élément est un diviseur de l'ordre du groupe, montre que e est égal à n - 1.

Pour conclure il suffit de constater que tout groupe abélien fini possède un élément d'ordre l'exposant, cette propriété est démontrée dans l'article détaillé. Le groupe multiplicatif possède un élément d'ordre le cardinal du groupe et qui est donc primitif, ce qui montre que le groupe est cyclique et termine la démonstration.

Remarque : un raisonnement de cette nature montre que tout groupe multiplicatif fini d'un corps commutatif est aussi cyclique.

Cas où n n'est pas premier [modifier]

Dans le cas où n n'est pas premier, la structure est naturellement celle d'un groupe abélien fini elle correspond donc à un produit de groupes cycliques d'après le théorème de Kronecker. La structure est plus complexe que celle du cas précédent, plusieurs propositions sont nécessaires pour l'expliciter.

  • Soit n et m deux entiers premiers entre eux, le groupe des unités de Z/n.mZ est isomorphe au produit direct des groupes des unités de Z/nZ et de Z/mZ.

C'est une conséquence du théorème chinois.

Le théorème fondamental de l'arithmétique limite alors l'étude au cas ou n est égal à pr avec p un nombre premier et r un entier strictement positif. Deux configurations se présentent :

  • Si p est égal à deux et r supérieur ou égal à trois, le groupe des unités est le produit direct d'un groupe d'ordre deux engendré par la classe de -1 et d'un groupe cyclique engendré par la classe de 5.
  • Si p est différent de deux, alors le groupe des unités est cyclique.

Tous les cas ne sont pas traités, il reste celui ou p est égal à deux et r est égal à un ou deux. Cependant ces cas sont triviaux, le groupe contient un ou deux éléments et par conséquent est cyclique.

Voir aussi [modifier]

Liens externes [modifier]

Références [modifier]

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]

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Arithmétique modulaire

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Dernier théorème de Fermat

Dernier théorème de Fermat

(Redirigé depuis Théorème de Wiles)
Travail de Diophante traduit du grec en latin par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac. Cette édition du livre a été publiée en 1621. La page 85 contient le problème II.VIII de Diophante, et est la page sur laquelle Pierre de Fermat écrivit que la marge était trop petite pour contenir la démonstration.
Andrew Wiles

En mathématiques, le dernier théorème de Fermat, ou théorème de Fermat-Wiles, est un théorème de la théorie des nombres qui s'énonce comme suit :

Théorème — Il n'existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que :

x^n+y^n=z^n ,

dès que n est un entier strictement supérieur à 2.

Pour les valeurs de n inférieures ou égales à 2, il existe une infinité de solutions. Le cas n = 1 est évident. Le cas n = 2 admet notamment la solution classique 32 + 42 = 52. De manière générale, toutes les solutions pour n = 2 sont données par : x=2kml, y=k(m2-l2), z=k(m2+l2), où les nombres k, l et m satisfont les conditions: k entier, m>l, m et l de parités différentes. On appelle parfois ces entiers les triplets pythagoriciens. Cependant, dès que n est supérieur à deux, ce n'est plus possible.

Le théorème doit son nom à Pierre de Fermat qui écrivit en marge d'une traduction de l'Arithmetica de Diophante, à la suite de l'énoncé de ce problème1 :

« ... J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir. »

Après avoir été l'objet de fiévreuses recherches pendant près de 350 ans, n'aboutissant qu'à des résultats partiels, le théorème a finalement été démontré en 1993 par le mathématicien Andrew Wiles, en faisant appel à des outils très puissants de théorie des nombres : Wiles a prouvé un cas particulier de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, dont on savait depuis quelque temps déjà, via les travaux de Yves Hellegouarch, Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre et Ken Ribet, qu'elle impliquait le théorème. La démonstration fait appel aux formes modulaires, aux représentations galoisiennes, à la cohomologie galoisienne, aux représentations automorphes, à la formule des traces…

La plupart des mathématiciens estiment aujourd'hui que Fermat s'est probablement trompé en croyant avoir démontré saconjecture. Cependant, rien n'interdit de penser qu'il a découvert une méthode ne faisant appel qu'aux mathématiques de son époque. Certes l'espoir qu'existe une méthode de cette nature est minime ; mais certains continuent à espérer qu'on parvienne un jour à en découvrir une.

Sommaire

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Méthode de la démonstration [modifier]

La démonstration d'Andrew Wiles s'appuie sur de nombreux travaux antérieurs et peut se résumer comme suit :

  1. Associer aux solutions de l'équation de Fermat une courbe elliptique particulière (Frey, reprenant des idées d'Hellegouarch),
  2. Démontrer que la courbe de Frey-Hellegouarch ne peut pas être paramétrée par des fonctions modulaires (Ribet, démontrant une conjecture de Serre),
  3. Démontrer que toute courbe elliptique – ou une classe suffisamment importante pour contenir celle de Frey-Hellegouarch – est paramétrée par des fonctions modulaires : C'est la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, si importante en théorie des nombres.

La contradiction qui en résulte montre que l'équation de Fermat ne peut avoir de solutions.

Les courbes elliptiques [modifier]

Une courbe elliptique est une courbe d'équation de la forme :

y2 + axy + by = x3 + cx2 + dx + e

Les coefficients a, b, c, d et e sont des éléments du corps sur lequel est définie la courbe. Pour qu'une telle courbe soit effectivement une courbe elliptique, il faut que la courbe ainsi définie ne soit pas singulière, c’est-à-dire qu'elle n'ait ni point de rebroussement, ni point double. Cette dernière condition s'exprime par le fait qu'un certain polynôme sur les coefficients, analogue à un discriminant, ne s'annule pas.

Si l'on prend l'exemple du corps des réels, alors l'équation d'une courbe elliptique définie sur le corps des nombres réels peut être mise sous une forme plus simple (dite équation de Weierstrass) :

y2 = x3 + ax + b.

Le discriminant de cette courbe est δ = − 16(4a3 + 27b2). S'il est non nul, la courbe est non-singulière, et donc est vraiment une courbe elliptique.

La courbe de Frey-Hellegouarch [modifier]

En 1984, Gerhard Frey, en reprenant des idées plus anciennes de Yves Hellegouarch, démontra que les solutions de l'équation de Fermat pour n > 2, permettaient de définir des courbes elliptiques semi-stables aux propriétés étranges ; ce sont les courbes d'équation :

y2 = x(x + An)(x − Bn),

où An + Bn = Cn est un contrexemple au théorème de Fermat.

Pour conclure, il suffit de montrer que la courbe elliptique ainsi définie a des propriétés trop bizarres pour pouvoir exister.

Comme dans d'autres situations en mathématiques, le fait d'intégrer le problème de Fermat dans un cadre apparemment beaucoup plus difficile constitue quand même une avancée, parce qu'on dispose alors de tout un outillage développé pour ce cadre.

La démonstration de Kenneth Ribet [modifier]

En 1986, après pratiquement deux ans d'effort, l'Américain Kenneth Ribet réussit à démontrer une grande partie de la conjecture epsilon de Jean-Pierre Serre, dont une des conséquences est que la courbe de Frey-Hellegouarch n'est pas paramétrable par des fonctions modulaires.

Il ne restait plus qu'à démontrer la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil : « Toute courbe elliptique est paramétrable par des fonctions modulaires ».

Conjecture de Shimura-Taniyama-Weil [modifier]

La conjecture de Shimura-Taniyama-Weil précise que les courbes elliptiques peuvent toujours être associées (ou paramétrées ou dérivent) à des fonctions spéciales dites modulaires (généralisation des fonctions trigonométriques).

Pour démontrer cette conjecture, Andrew Wiles utilisa les notions mathématiques suivantes :

La démonstration complète pour les courbes elliptiques semi-stables a été publiée en 1995 dans Annals of Mathematics.

Remarques [modifier]

Ce théorème n'a aucune application en soi : c'est par les idées qu'il a fallu mettre en œuvre pour le démontrer, par les outils qui ont été mis en place pour ce faire, qu'il prend une telle valeur. L'article Démonstrations du dernier théorème de Fermat montre quelques exemples d'outils découverts et utilisés pour la résolution de ce problème.

On peut également comprendre ce théorème graphiquement en considérant la courbe d'équation : xn + yn = 1. Si n > 2, alors cette courbe ne passe par aucun point à coordonnées rationnelles non nulles.

L'usage voulant qu'on donne à un théorème le nom de celui qui en a apporté la démonstration, l'appellation de « théorème de Fermat » ne se justifie pas à proprement parler. Il faudrait parler soit d'une « conjecture de Fermat », soit du « théorème de Wiles ».

Ce théorème n'a pas vraiment de relation avec le théorème de Pythagore. L'objet du théorème de Pythagore est de donner une caractérisation géométrique des triangles pythagoriciens, c'est-à-dire dont les longueurs des côtés forment un triplet pythagoricien, ces triplets étant eux-mêmes les solutions de l'équation de Fermat dans le cas n = 2. L'analogie avec le théorème de Fermat est donc la question de l'existence de triplets pythagoriciens, et la question de leur interprétation géométrique est nettement une autre question. Néanmoins, Fermat s'est évidemment inspiré de la notion de triplet pythagoricien : sa conjecture est en effet notée en marge d'un exposé de Diophante sur les triplets pythagoriciens.

Notes [modifier]

  1. ↑ La note de Fermat est écrite en latin :
    « Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere : cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet »
    . Attention, il existe une deuxième version de ce texte, sensiblement différente, que l'on peut trouver page 61 de la réédition de 1670 de l’ARITHMETICA, réédition supervisée par le fils de Fermat :
    «  CVbum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos Ch generaliter nullam in infinitum vltra quadratum potestatem in duos eius-dem nominis fas est diuidere cuius rei demontrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. »
    La traduction en est donc forcément différente et les codes et doubles sens de l'original apparaissent.

Bibliographie [modifier]

Articles connexes [modifier]

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Théorème de Wolstenholme

Théorème de Wolstenholme
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Théorème de Wolstenholme :

Si  , p geq 5 est premier, alors le numérateur de 1 + frac {1}{2} + frac {1}{3} + ... + frac {1}{p-1} est multiple de  , p^2,

et le numérateur de 1 + frac {1}{2^2} + frac {1}{3^2} + ... + frac {1}{(p-1)^2} est multiple de  , p.

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Liste des Théorèmes

Liste des théorèmes

Liste des théorèmes par ordre alphabétique.

 

Pour l'établissement de l'ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit :

  • Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le premier nom propre cité.
  • Si le nom du théorème ne comprend pas de nom de mathématiciens ni de physiciens, on se base sur le premier substantif (nom commun ou adjectif) apparaissant en dehors du mot théorème.

 

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Mordell Curve

Mordell Curve
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An elliptic curve of the form y^2=x^3+n for n an integer. This equation has a finite number of solutions in integers for all nonzero n. If (x,y) is a solution, it therefore follows that (x,-y) is as well.

MordellCurve

Uspensky and Heaslet (1939) give elementary solutions for n=-4, -2, and 2, and then give n=-1, -5, -6, and 1 as exercises. Euler found that the only integer solutions to the particular case n=1 (a special case of Catalan's conjecture) are (x,y)=(-1,0), (0,+/-1), and (2,+/-3). This can be proved using Skolem's method, using the Thue equation x^3-2y^3=+/-1, using 2-descent to show that the elliptic curve has rank 0, and so on. It is given as exercise 6b in Uspensky and Heaslet (1939, p. 413), and proofs published by Wakulicz (1957), Mordell (1969, p. 126), Sierpiński and Schinzel (1988, pp. 75-80), and Metsaenkylae (2003).

Solutions of the Mordell curve with 0<y<10^5 are summarized in the table below for small n.

n solutions
1 (-1, 0), (0, 1), (2, 3)
2 (-1, 1)
3 (1, 2)
4 (0, 2)
5 (-1, 2)
6 none
7 none
8 (-2, 0), (1, 3), (2, 4), (46, 312)
9 (-2, 1), (0, 3), (3, 6), (6, 15), (40, 253)
10 (-1, 3)

Values of n such that the Mordell curve has no integer solutions are given by 6, 7, 11, 13, 14, 20, 21, 23, 29, 32, 34, 39, 42, ... (Sloane's A054504; Apostol 1976, p. 192).

SEE ALSO: Catalan's Conjecture, Catalan's Diophantine Problem, Elliptic Curve

REFERENCES:

Apostol, T. M. Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag, 1976.

Cohen, H. "y^2=x^3+1." 24 Nov 2003. http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0311&L....

Conrad, M. Untitled. http://emmy.math.uni-sb.de/~simath/MORDELL/MORDELL+.

Gebel, J. "Data on Mordell's Curve." http://tnt.math.metro-u.ac.jp/simath/MORDELL/.

Gebel, J.; Pethő, A.; and Zimmer, H. G. "On Mordell's Equation." Compos. Math. 110, 335-367, 1998.

Llorente, P. and Quer, J. "On the 3-Sylow Subgroup of the Class Group of Quadratic Fields." Math. Comput. 50, 321-333, 1988.

Mestre, J.-F. "Rang de courbes elliptiques d'invariant donné." C.R. Acad. Sci. Paris 314, 919-922, 1992.

Mestre, J.-F. "Rang de courbes elliptiques d'invariant nul." C.R. Acad. Sci. Paris 321, 1235-1236, 1995.

Metsaenkylae, T. "Catalan's Conjecture: Another Old Diophantine Problem Solved." Bull. Amer. Math. Soc. S 0273-0979(03)00993-5, September 5, 2003.

Mordell, L. J. Diophantine Equations. London: Academic Press, 1969.

Myerson, G. "Re: y^2=x^3+1." 24 Nov 2003. http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0311&L....

Quer, J. "Corps quadratiques de 3-rang 6 et courbes elliptiques de rang 12." C.R. Acad. Sci. Paris. Sér. 1 Math. 305, 215-218, 1987.

Sierpiński, W. and Schinzel, A. Elementary Theory of Numbers, 2nd Eng. ed. Amsterdam, Netherlands: North-Holland, 1988.

Sloane, N. J. A. Sequence A054504 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Szymiczek, K. "Re: y^2=x^3+1." 26 Nov 2003. http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0311&L....

Uspensky, J. V. and Heaslet, M. A. Elementary Number Theory. New York: McGraw-Hill, 1939.

Wakulicz, A. "On the Equation x^3+y^3=2z^3." Colloq. Math. 5, 11-15, 1957.

Womack, T. "Minimal-Known Positive and Negative k for Mordell Curves of Given Rank." http://www.maths.nott.ac.uk/personal/pmxtow/mordellc.htm.




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