Théorème de Lagrange sur les polynômes : Mathématique

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19/11/2010

Théorème de Lagrange sur les polynômes

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Il s'agit d'un résultat trouvé par le mathématicien Joseph-Louis Lagrange^{[réf. souhaitée]} concernant les polynômes. Soit P un polynôme tel que:

$P(x) = x^n+sum_{i=0}^{n-1}{a_i x^i}$

où les $a i$ sont réels.

Alors si a est une racine de P, a vérifie

$|a| leq 1+max(|a_0|,ldots,|a_{n-1}|).$

Ce théorème reste vrai si les $a i$ et $a$ sont complexes et l'inégalité est même stricte. Mieux : par le théorème de Rouché, le polynôme P admet n racines (comptées avec leurs multiplicités) dans le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon $1+max(|a_0|,ldots,|a_{n-1}|)$ , ce qui fournit une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss en plus de la majoration annoncée.