19/11/2010
Théorème de Lagrange sur les groupes
En mathématiques, le théorème de Lagrange en théorie des groupes énonce un résultat élémentaire fournissant des informations combinatoiressur les groupes finis.Théorème de Lagrange sur les groupes
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Théorème de Lagrange — Pour un groupe G fini, et pour tout sous-groupe H de G, le cardinal (encore appelé l'ordre) de H divise le cardinal de G : L'indice [G:H] de H dans G est par définition le cardinal de l'ensemble G/H des classes à gauche suivant H des éléments de G. Or ces classes forment une partition de G, et chacune d'entre elles a même cardinal que H. Par le principe des bergers, on en déduit : Remarquons que cette formule reste vraie quand les trois cardinaux qu'elle relie sont infinis, et qu'elle est un cas particulier de la formule des indices. Un groupe fini dont l'ordre est divisible par d n'admet pas toujours de sous-groupe d'ordre d. Le plus petit contre-exemple est le groupe alterné A4, qui est d'ordre 12 mais n'a pas de sous-groupe d'ordre 6. Le théorème de Cauchy, les théorèmes de Sylow, le théorème prouvé par Hall sur les sous-groupes de Hall, forment des réciproques partielles du théorème de Lagrange. Le mathématicien français Joseph-Louis Lagrange a démontré1 que, par permutation des n indéterminées d'une expression polynômiale, le nombre d'expressions obtenues est un diviseur de n!. L'ensemble des permutations est vu aujourd'hui comme un groupe à n! éléments, agissant sur les polynômes à n variables. Le travail de Lagrange se réinterprète comme le calcul du cardinal d'une orbite de cette action : il apparait ainsi comme précurseur de l'émergence de la notion de groupe, dont la définition formelle n'a été donnée qu'à la fin du XIXesiècle.Énoncé [modifier]
Démonstration [modifier]
Applications [modifier]
Réciproques partielles [modifier]
Historique [modifier]
Notes et références [modifier]
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