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06/12/2010

LIVRE Math'x 2nde , Livre de l'élève grand format - Edition 2010

Math'x 2nde , Livre de l'élève grand format - Edition 2010Jean-François Chesné

POUR COMMANDER

Une collection qui donne du sens au apprentissages des mathématiques.

Assurer une bonne liaison Collège-Lycée et proposer des contenus et des méthodes permettant un travail personnel de l'élève sont 2 objectifs majeurs du manuel de 2de. L'algorithmique et la logique sont travaillées de façon progressive tout au long du parcours d'apprentissage. Des activités rapides à mener sont régulièrement présentes.

Une place importante est faite aux activités TICE : aides à la prise en main des logiciels, TP détaillés, intégration dansde nombreux exercices favorisant une autonomie progressive de l'élève.

Destiné aux élèves, la manuel constitue le coeur de l'ensemble pédagogique.

Math'X 2de est également disponible en petit format (18,8x25cm) et en Manuel Numérique.

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05/12/2010

Bell Number

Bell Number
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The number of ways a set of n elements can be partitioned into nonempty subsets is called a Bell number and is denoted B_n (not to be confused with the Bernoulli number, which is also commonly denoted B_n).

For example, there are five ways the numbers {1,2,3} can be partitioned: {{1},{2},{3}}, {{1,2},{3}}, {{1,3},{2}}, {{1},{2,3}}, and {{1,2,3}}, so B_3=5. (The explicit set partitions on {1,2,...,n} can be enumerated using SetPartitions[n] in theMathematica package Combinatorica` .)

B_0=1, and the first few Bell numbers for n=1, 2, ... are 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, ... (Sloane's A000110). The numbers of digits in B_(10^n) for n=0, 1, ... are given by 1, 6, 116, 1928, 27665, ... (Sloane's A113015).

Bell numbers are implemented in Mathematica as BellB[n].

Though Bell numbers have traditionally been attributed to E. T. Bell as a result of the general theory he developed in his 1934 paper (Bell 1934), the first systematic study of Bell numbers was made by Ramanujan in chapter 3 of his second notebook approximately 25-30 years prior to Bell's work (B. C. Berndt, pers. comm., Jan. 4 and 13, 2010).

The first few prime Bell numbers occur at indices n=2, 3, 7, 13, 42, 55, 2841, ... (Sloane's A051130), with no others less than 30447 (Weisstein, Apr. 23, 2006). These correspond to the numbers 2, 5, 877, 27644437, ... (Sloane's A051131). B_(2841) was proved prime by I. Larrosa Canestro in 2004 after 17 months of computation using the elliptic curve primality proving program PRIMO.

BellNumbers

Bell numbers are closely related to Catalan numbers. The diagram above shows the constructions giving B_3=5 and B_4=15, with line segments representing elements in the same subset and dots representing subsets containing a single element (Dickau). The integers B_n can be defined by the sum

B_n=sum_(k=0)^nS(n,k),
(1)

where S(n,k) is a Stirling number of the second kind, i.e., as the Stirling transform of the sequence 1, 1, 1, ....

The Bell numbers are given in terms of generalized hypergeometric functions by

B_n=e^(-1)_(n-1)F_(n-1)(2,...,2_()_(n-1);1,...,1_()_(n-1);1)
(2)

(K. A. Penson, pers. comm., Jan. 14, 2007).

The Bell numbers can also be generated using the sum and recurrence relation

B_n=sum_(k=0)^(n-1)B_k(n-1; k),
(3)

where (a; b) is a binomial coefficient, using the formula of Comtet (1974)

B_n=[e^(-1)sum_(m=1)^(2n)(m^n)/(m!)]
(4)

for n>0, where [x] denotes the ceiling function. Dobiński's formula gives the nth Bell number

B_n=1/esum_(k=0)^infty(k^n)/(k!).
(5)

A variation of Dobiński's formula gives

B_n = sum_(k=1)^(n)(k^n)/(k!)sum_(j=0)^(n-k)((-1)^j)/(j!)
(6)
= sum_(m=1)^(n)(m^n!(n-m))/(Gamma(m+1)Gamma(n-m+1))
(7)

where !n is a subfactorial (Pitman 1997). Another double sum is given by

B_n=sum_(k=1)^nsum_(i=1)^k((-1)^(k-i)i^n)/(k!).
(8)

The Bell numbers are given by the generating function

G(x) = 1/esum_(k=0)^(infty)1/((1-kx)k!)
(9)
= sum_(k=0)^(infty)(x^k)/((-x)^k((x-1)/x)_k)
(10)
= (_1F_1(-1/x;(x-1)/x;1))/e
(11)
= ((-1)^(1/x)[xGamma(1-x^(-1))+Gamma(-x^(-1),-1)])/(ex)
(12)
= sum_(n=0)^(infty)B_nx^n
(13)
= 1+x+2x^2+5x^3+15x^4+52x^5+...,
(14)

and the exponential generating function

e^(e^x-1)=sum_(n=0)^infty(B_n)/(n!)x^n.
(15)

An amazing integral representation for B_n was given by Cesàro (1885),

B_n = (2n!)/(pie)I[int_0^pie^(e^(e^(ntheta)))sin(ntheta)dtheta]
(16)
= (2n!)/(pie)int_0^pie^(e^(costheta)cos(sint))sin[e^(costheta)sin(sintheta)]sin(ntheta)dtheta
(17)

(Becker and Browne 1941, Callan 2005), where I[z] denotes the imaginary part of z.

The Bell number B_n is also equal to phi_n(1), where phi_n(x) is a Bell polynomial.

de Bruijn (1981) gave the asymptotic formula

(lnB_n)/n=lnn-lnlnn-1+(lnlnn)/(lnn)+1/(lnn)+1/2((lnlnn)/(lnn))^2+O[(lnlnn)/((lnn)^2)].
(18)

Lovász (1993) showed that this formula gives the asymptotic limit

B_n∼n^(-1/2)[lambda(n)]^(n+1/2)e^(lambda(n)-n-1),
(19)

where lambda(n) is given by

lambda(n)=n/(W(n)),
(20)

with W(n) the Lambert W-function (Graham et al. 1994, p. 493). Odlyzko (1995) gave

B_n∼(n!)/(sqrt(2piW^2(n)e^(W(n))))(e^(e^(W(n))-1))/(W^n(n)).
(21)

Touchard's congruence states

B_(p+k)=B_k+B_(k+1) (mod p),
(22)

when p is prime. This gives as a special case for k=0 the congruence

B_p=2 (mod p)
(23)

for n prime. It has been conjectured that

B_(n+(p^p-1)/(p-1))=B_n (mod p)
(24)

gives the minimum period of B_n (mod p). The sequence of Bell numbers {B_1,B_2,...} is periodic (Levine and Dalton 1962, Lunnon et al. 1979) with periods for moduli m=1, 2, ... given by 1, 3, 13, 12, 781, 39, 137257, 24, 39, 2343, 28531167061, 156, ... (Sloane's A054767).

The Bell numbers also have the curious property that

|B_0 B_1 B_2 ... B_n; B_1 B_2 B_3 ... B_(n+1); | | | ... |; B_n B_(n+1) B_(n+2) ... B_(2n)| = product_(i=1)^(n)i!
(25)
= G(n+2)
(26)

(Lenard 1992), where the product is simply a superfactorial and G(n) is a Barnes G-function, the first few of which for n=0, 1, 2, ... are 1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... (Sloane's A000178).

SEE ALSO: Bell Polynomial, Bell Triangle, Complementary Bell Number, Dobiński's Formula, Integer Sequence Primes, Stirling Number of the Second Kind, Touchard's Congruence

REFERENCES:

Becker, H. W. and Browne, D. E. "Problem E461 and Solution." Amer. Math. Monthly 48, 701-703, 1941.

Bell, E. T. "Exponential Numbers." Amer. Math. Monthly 41, 411-419, 1934.

Blasiak, P.; Penson, K. A.; and Solomon, A. I. "Dobiński-Type Relations and the Log-Normal Distribution." J. Phys. A: Math. Gen. 36, L273-278, 2003.

Callan, D. "Cesàro's integral formula for the Bell numbers (corrected)." Oct. 3, 2005. http://www.stat.wisc.edu/~callan/papersother/cesaro/cesar....

Cesàro, M. E. "Sur une équation aux différences mêlées." Nouv. Ann. Math. 4, 36-40, 1885.

Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1974.

Conway, J. H. and Guy, R. K. In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 91-94, 1996.

de Bruijn, N. G. Asymptotic Methods in Analysis. New York: Dover, pp. 102-109, 1981.

Dickau, R. M. "Bell Number Diagrams." http://mathforum.org/advanced/robertd/bell.html.

Dickau, R. "Visualizing Combinatorial Enumeration." Mathematica in Educ. Res. 8, 11-18, 1999.

Gardner, M. "The Tinkly Temple Bells." Ch. 2 in Fractal Music, Hypercards, and More Mathematical Recreations from Scientific American Magazine.New York: W. H. Freeman, pp. 24-38, 1992.

Gould, H. W. Bell & Catalan Numbers: Research Bibliography of Two Special Number Sequences, 6th ed. Morgantown, WV: Math Monongliae, 1985.

Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

Lenard, A. In Fractal Music, Hypercards, and More Mathematical Recreations from Scientific American Magazine. (M. Gardner). New York: W. H. Freeman, pp. 35-36, 1992.

Larrosa Canestro, I. "Bell(2841) Is Prime." Feb. 13, 2004. http://groups.yahoo.com/group/primenumbers/message/14558.

Levine, J. and Dalton, R. E. "Minimum Periods, Modulo p, of First Order Bell Exponential Integrals." Math. Comput. 16, 416-423, 1962.

Lovász, L. Combinatorial Problems and Exercises, 2nd ed. Amsterdam, Netherlands: North-Holland, 1993.

Lunnon, W. F.; Pleasants, P. A. B.; and Stephens, N. M. "Arithmetic Properties of Bell Numbers to a Composite Modulus, I." Acta Arith. 35, 1-16, 1979.

Odlyzko, A. M. "Asymptotic Enumeration Methods." In Handbook of Combinatorics, Vol. 2 (Ed. R. L. Graham, M. Grötschel, and L. Lovász). Cambridge, MA: MIT Press, pp. 1063-1229, 1995. http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/asymptotic.enum.pdf.

Penson, K. A.; Blasiak, P.; Duchamp, G.; Horzela, A.; and Solomon, A. I. "Hierarchical Dobiński-Type Relations via Substitution and the Moment Problem." 26 Dec 2003. http://www.arxiv.org/abs/quant-ph/0312202/.

Pitman, J. "Some Probabilistic Aspects of Set Partitions." Amer. Math. Monthly 104, 201-209, 1997.

Rota, G.-C. "The Number of Partitions of a Set." Amer. Math. Monthly 71, 498-504, 1964.

Sixdeniers, J.-M.; Penson, K. A.; and Solomon, A. I. "Extended Bell and Stirling Numbers from Hypergeometric Functions." J. Integer Sequences 4, No. 01.1.4, 2001. http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL4/SIXDENIERS/bell.html.

Sloane, N. J. A. Sequences A000110/M1484, A000178/M2049, A051130, A051131, A054767, and A113015 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Stanley, R. P. Enumerative Combinatorics, Vol. 1. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 33-34, 1999.

Stanley, R. P. Enumerative Combinatorics, Vol. 2. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 13, 1999.

Wilson, D. "Bell Number Question." math-fun@cs.arizona.edu mailing list. 16 Jul 2007.




CITE THIS AS:

Weisstein, Eric W. "Bell Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BellNumber.html

 

Source : http://mathworld.wolfram.com/BellNumber.html

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Nombre de Bell

Nombre de Bell

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Bell.

En mathématiques, le n-ième nombre de Bell, qui porte le nom de Eric Temple Bell, est le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments ou, ce qui revient au même, le nombre derelations d'équivalence sur un tel ensemble.

 

Sommaire

 [masquer]

Premières propriétés [modifier]

  • Ces nombres forment la suite A000110 de l’OEIS, dont on peut calculer à la main les premiers termes :
B_0=1,quad B_1=1,quad B_2=2,quad B_3=5,quad B_4=15,quad B_5=52,quad B_6=203,quadldots

Pour le premier, on se convainc qu'il existe exactement une partition de l'ensemble vide : la partition vide, formée d'aucune partie. En effet ses éléments (puisqu'il n'y en a aucun) sont bien non vides et disjoints deux à deux, et de réunion vide.

B_{n+1}=sum_{k=0}^{n}{n choose k} B_k~,

qui peut se démontrer ainsi : ayant fixé un élément x dans un ensemble à n+1 éléments, on trie les partitions suivant le nombre k d'éléments hors de la partie contenant x. Pour chaque valeur de k de 0 à n, il faut donc choisir k éléments parmi les n éléments différents de x, puis s'en donner une partition.

Série génératrice [modifier]

Pour manipuler tous les nombres de Bell, on peut s'intéresser aux séries génératrice et génératrice exponentielle associées, qui sont respectivement :

G(X)=sum_n B_nX^nqquadtext{et}qquad E(X)=sum_n frac{B_n}{n!}X^n=1+X+2 frac{X^2}{2!}+5 frac{X^3}{3!} + 15 frac{X^4}{4!} + ldots

La première est par exemple1 utilisée pour étudier les classes de congruence des Bn. Quant à la seconde série formelle, elle satisfait l'équation différentielle E'(X) = eXE(X) : on le constate en écrivant la formule de récurrence sous la forme

(n+1)frac{B_{n+1}}{(n+1)!}=sum_{k+l=n}frac{1}{k!}frac{B_l}{l!}~.

On en déduit qu'elle est égale à e^{e^X} à une constante multiplicative près (qu'on trouve par identification du terme constant) :

E(X)=e^{e^X-1}~.

L'identification des coefficients conduit à la formule de Dobinski :

B_n=frac{1}{e}sum_{k=0}^infty frac{k^n}{k!}

qui est le moment d'ordre n d'une loi de Poisson de paramètre 1.

D'autres propriétés [modifier]

Ils satisfont également à la congruence de Touchard : si p est un nombre premier quelconque alors

B_{p+n}equiv B_n+B_{n+1}mod p.

C'est une relation de congruence modulo p.

Chaque nombre de Bell est une somme des nombres de Stirling de deuxième espèce

B_n=sum_{k=1}^n S (n, k)=sum_{k=1}^n left{begin{matrix} n k end{matrix}right}.

Plusieurs formules asymptotiques pour les nombres de Bell sont connues ; l'une d'elles est

B_n sim frac{1}{{sqrt n }}left[ {frac{n}{W(n)}} right]^{n + frac{1}{2}} e^{frac{n}{W(n)} - n - 1},

où W est la fonction W de Lambert ; on obtient une approximation moins précise, mais plus commode d'emploi, à l'aide de l'encadrement lnx − lnlnx < W(x) < lnx ; on pourra également remarquer la similitude de l'approximation précédente avec la formule de Stirling2.

Voir Aussi [modifier]

  • Partition d'un entier qui correspond au nombre de partitions d'un ensemble à n éléments indiscernables.

Notes et références [modifier]

  1. ↑ Daniel Barsky et Bénali Benzaghou, « Nombres de Bell et somme de factorielles », dans Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, vol. 16, 2004, p. 1-17 [ [pdf]texte intégral [archive] (page consultée le 1er octobre 2010) ]
  2. ↑ On trouvera d'autres approximations de Bn sur (en) Eric W. Weisstein, Bell Numer [archive], MathWorld..

 

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Géométrie vivante ou L'échelle de Jacob du mathématicien

Géométrie vivante ou L'échelle de Jacob du mathématicien

Géométrie vivante ou L'échelle de Jacob du mathématicienMarcel Berger

POUR COMMANDER

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Math 2e 00 itiner+cdrom

Math 2e 00 itiner+cdromBouvier Et Alii

POUR COMMANDER

 

 

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LIVRE Business math

Business math

Business mathSteve Slavin

 

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Nombre double de Mersenne

Nombre double de Mersenne

En mathématiques, un nombre double de Mersenne est un nombre de Mersenne de la forme

M_{M_n} = 2^{2^n-1}-1

où n est un entier positif.

Les premiers petits nombres doubles de Mersenne sont :

M_{M_1} = M_1 = 1,

 

M_{M_2} = M_3 = 7,

 

M_{M_3} = M_7 = 127,

 

M_{M_4} = M_{15} = 32767 = 7 times 31 times 151,

 

M_{M_5} = M_{31} = 2147483647,

 

M_{M_6} = M_{63} = 9223372036854775807 = 7^2 times 73 times 127 times 337 times 92737 times 649657,

 

M_{M_7} = M_{127} = 170141183460469231731687303715884105727,

Un nombre double de Mersenne qui est premier est appelé un nombre premier double de Mersenne. Puisque un nombre de Mersenne M_n, ne peut être premier que si n est premier (condition necessaire mais pas suffisante), (voir nombre de Mersenne pour une démonstration de ceci), un nombre double de Mersenne M_{M_n}, est premier seulement si M_n, est premier. Les premières valeurs de n pour lesquelles ceci est vrai sont n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31. De celles-ci, M_{M_n}, est connu pour être premier pour n = 2, 3, 5, 7; pour n = 13, 17, 19, et 31, des facteurs explicites ont été trouvés. Si un autre nombre premier double de Mersenne est un jour trouvé, il serait presque certainement le plus grand nombre premier jamais connu.

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Définitions concernant les suites aliquotes

Définitions concernant les suites aliquotes
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La fonction σ

Soit n un entier naturel.
σ(n) est la somme de tous les diviseurs de n. C’est une fonction largement étudiée en théorie des nombres.
Par exemple, σ(10) = 1 + 2 + 5 + 10 = 18 

Cliquer ici pour en savoir plus sur La fonction σ.

La fonction σ'

Soit n un entier naturel.
σ'(n) est la somme des parties aliquotes de n, c'est-à-dire la somme de ses diviseurs hormis lui-même.
σ'(n) = σ(n) - n
Par exemple, σ'(10) = 1 + 2 + 5 = 8

Les suites aliquotes

Une suite aliquote s’obtient en prenant un nombre entier n de départ et en itérant à chaque étape avec la fonction σ’.
Exemple : La suite aliquote de départ 10 est la suivante : 10 → 8 → 7 → 1
En effet, σ'(10) = 8, σ'(8) = 7 et σ'(7) = 1.

Les antécédents aliquotes

Soient n et N des entiers naturels.
Si σ'(N) = n, alors N est un antécédent aliquote de n.

Deux cas sont possibles :
Soit l’entier n peut avoir 0 antécédents aliquotes : il s’agit alors d’un nombre intouchable dont Erdös a démontré qu’il en existe une infinité. Ces nombres sont référencés par Neil Sloan (suite A005114). La suite de ces nombres commence ainsi : 2, 5, 52, 88, 96, …
Soit l’entier n peut avoir un ou plusieurs antécédents aliquotes. La suite d’entiers donnant pour chaque entier naturel son nombre d’antécédents aliquotes est référencée par Neil Sloan : A048138. Elle commence ainsi : 0, 1, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2 …

Pour déterminer le nombre d’antécédents aliquotes d’un nombre entier n, il faut à priori tester des nombres entiers N compris entre 1 et (n-1)² inclus. Le lecteur comprendra pourquoi en réfléchissant 5 minutes. Mais en prenant quelques précautions, on peut se contenter de tester des entiers entre 1 et n3/2/2.5. Cela représente un gain de temps inestimable. Nous présentons ici cette méthode de détermination du nombre d’antécédents aliquotes de chaque entier naturel compris entre 1 et le n désiré, méthode qui est pour l'instant la plus rapide que nous ayons trouvée.

Remonter une suite aliquote à l’envers :

Nous avons fait quelques tentatives pour remonter des suites aliquotes à l’envers. Cela est très intéressant, surtout dans le cas particulier des nombres impairs. En effet : si la conjecture de Goldbach est vraie, alors une des conséquences est qu'on peut remonter une suite aliquote à l'envers d’autant d’étapes que l’on veut et de manière strictement monotone ! Pour en savoir plus, cliquer ici : remonter une suite aliquote à l'envers.

Signalons encore que notre intuition nous fait sentir que les suites aliquotes qui démarrent sur un nombre intouchable semblent fondamentales, car elles ne peuvent être des parties de suites aliquotes plus longues !

Dernière modification : Septembre 2010

Source : http://www.aliquotes.com/definitions.htm

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Suite aliquote

Suite aliquote

En arithmétique, une suite aliquote est une suite d'entiers dans laquelle chaque nombre est la somme des diviseurs propres1 de son prédécesseur. Quand la suite atteint 1, elle s'arrête car 1 ne possède pas de diviseur propre.

Ainsi la suite commençant à 10 se comporte de la manière suivante :

u0 = 10
les diviseurs propres de 10 sont 1, 2 et 5.
u1 = 1 + 2 + 5 = 8
les diviseurs propres de 8 sont 1, 2 et 4
u2 = 1 + 2 + 4 = 7
7 ne possède qu'un diviseur propre 1
u3 = 1

 

Sommaire

 [masquer]

Cas particuliers [modifier]

L'étude des suites aliquotes met en évidence les cas particuliers suivants

  • si u0 est un nombre premier alors u1 = 1 et la suite s'arrête.
  • si u0 est un nombre parfait alors la suite est constante
  • si u0 est un nombre amical, alors u1 est son nombre amical associé et la suite boucle sur ces deux valeurs
  • si u0 est un nombre sociable alors la suite boucle sur tous les nombres sociables associés à u0

Relation de récurrence [modifier]

La suite est définie par la relation de récurrence suivante : pour tout entier n, si un est différent de 1

un + 1 = f(un)

où f est définie de la manière suivante : si N est un entier différent de 1 dont la décomposition en facteurs premiers est

N= prod_{i=1}^kp_i^{alpha_i}
f(N)=prod_{i=1}^kfrac{p_i^{alpha_i+1}-1}{p_i-1} - N

On remarque que f est définie par

f(N) = s(N) − N

où s est la fonction diviseur d'ordre 1

Observations et conjectures [modifier]

Toutes les suites aliquotes dont le premier terme est un nombre inférieur ou égal à 100 ont été étudiées et s'arrêtent à 1, sauf les suites constantes commençant par les nombres parfaits 6 et 28. La suite la plus longue est alors obtenue pour un premier terme égal à 30.

Une conjecture importante, due à Catalan, stipule qu'une suite aliquote, ou bien se termine à 1, ou bien finit par être constante sur un nombre parfait, ou périodique sur une famille denombres sociables.

Cette conjecture ne fait pas l'unanimité. En effet, parmi les suites dont le premier terme est un nombre inférieur ou égal à 1000, 5 suites n'ont toujours pas pu être explorées jusqu'à leur terme. Ce sont les suites commençant par 276, 552, 564, 660 et 966. Ces nombres sont appelés les«  cinq de Lehmer »2. Il existe de même 12 nombres (les douze de Godwin) compris entre 1000 et 2000 pour lesquels les suites aliquotes associées ne sont pas connues.

Il existe des suites aliquotes atteignant des termes astronomiques comme la suite démarrant à 3630 atteignant un nombre à 100 chiffres pour se terminer plus tard à 13. Hendrick Lenstra a démontré que l'on pouvait toujours trouver une suite aliquote croissante sur n termes consécutifs, quelle que soit la valeur de n.

La quantité frac{u_{n+1}}{u_n} a, elle aussi, été étudiée. La famille des  frac{f(N)}{N} n'est pas bornée mais Jean-Luc Garambois conjecture que la moyenne des frac{f(N)}{N} converge vers(π2 − 6) / 6.

On peut prouver, grâce à la relation de récurrence, que la suite ne change de parité que si l'un des termes s'écrit a2 ou 2a2.

Bibliographie [modifier]

  • Jean-Paul Delahaye, Les inattendus mathématiques, Nombres amiables et suites aliquotes

Sites internet [modifier]

Notes et références [modifier]

  1. ↑ Les diviseurs propres de l'entier naturel n non nul, sont les diviseurs positifs de n strictement inférieurs à n
  2. ↑ Jean-Paul Delahaye, Les inattendus mathématiques, Nombres amiables et suites aliquotes. (ISBN 2842450736)
  3. ↑ (en) Manuel Benito, Wolfgang Creyaufmüller, Juan Varona et Paul Zimmermann , Aliquot sequence 3630 ends after reaching 100 digits [archive]

 

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Séminaire Institut de Recherche Mathématique Avancée

Séminaire Quantique - Lundi 06-12-2010 (11:00) - Salle de séminaires IRMA
Hidekazu Furusho (Nagoya U) : Tree Hopf algebra and motivic Hopf algebra

 


Séminaire GT3 - Lundi 06-12-2010 (14:00) - Salle de séminaires IRMA
Albert Marden (Minnesota) : Holomorphic plumbing coordinates for Teichmüller and compactified moduli space.

ABSTRACT: Start with one or two Riemann surfaces which have
hyperbolic metrics of finite area: finitely punctured surfaces.
Classical plumbing is to choose (i) a pair of the punctures p,q, (ii) small neighborhoods 
of them, and then (iii) cut the neighborhoods out and join their boundaries together, 
thus creating either a handle, or
joining two surfaces together. When this process is done precisely, it depends on an 
analytic parameter t. I will describe how this classical
construction has an analytic extension to become global coordinates of Teichmueller 
space. And how an analytic compatification of the quotient moduli space follows. I will 
show why, to carry out the proofs, one is forced to enter the seemingly unrelated world 
of hyperbolic 3-manifolds.
The exposition covers part of ongoing joint work with Cliff Earle.


Séminaire Arithmétique et géométrie algébrique - Lundi 06-12-2010 (14:00) - Salle de séminaires 309
G. Christol (Jussieu) : la fonction rayon de convergence : un exemple éclairant

Le but de l'exposé est d'illustrer une conjecture récente de Baldassarri

disant que la fonction rayon de convergence d'une équation différentielle p-adique

est entièrement déterminée par ses valeurs sur un sous arbre. 




Séminaire Géométrie symplectique et applications - Lundi 06-12-2010 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
Klaus Niederkruger (Université Paul Sabatier, Toulouse) : Remplissages faibles en géométrie de contact (collaboration avec P. Ghiggini et P. Massot)

De façon intuitive il faut penser à des variétés de contact comme des bords de variétés
symplectiques. Il y a plusieurs options pour les conditions de compatibilité demandées
entre la structure sur le bord et la structure à l'intérieur et on obtient en dimension
3/4 une hiérarchie des définitions :

remplissage faible, remplissage fort, remplissage exact, remplissage de Stein,

où les conditions deviennent de plus en plus restrictives.
En grandes dimensions, il semblait que la remplissabilité faible et forte étaient
équivalentes, mais c'était dû à une fausse généralisation des idées en dimension trois. 
On propose une définition alternative est on montre
(1) Il y a en toute dimension des variétés de contact qui sont faiblement mais pas
fortement remplissables.
(2) Toute structure de contact peut être modifieée localement pour qu'elle ne soit même
plus faiblement remplissable.


Séminaire Calcul stochastique - Mercredi 08-12-2010 (11:00) - Salle de séminaires IRMA
Pierre Patie (Bruxelles) : Quelques résultats sur la fonctionnelle exponentielle des processus de Lévy.

La fonctionnelle exponentielle des processus de Lévy joue un rôle prépondérant dans de nombreux champs des mathématiques appliquées et a suscité un vif intérêt ces deux dernières décennies. Nous commencerons par un survol des résultats connus sur la loi de cette variable aléatoire. Ensuite, nous montrerons que, lorsque le processus de Lévy est spectralement négatif, la loi la fonctionnelle exponentielle est absolument continue avec une densité indéfiniment différentiable qui s’exprime à l'aide d’une série entière.


Séminaire Doctorants - Jeudi 09-12-2010 (16:00) - Salle de séminaires IRMA
Jean Gutt : Profondeur

 


Séminaire Calcul stochastique - Vendredi 10-12-2010 (11:15) - Salle de séminaires IRMA
Christian Selinger (Luxembourg) : Regularized Laplacian on smooth Wasserstein space above the unit circle.

The space of probability measures on Riemannian manifolds endowed with the Wasserstein distance has recently been identified as an infinite-dimensional Riemannian manifold. Furthermore geodesic equations and second order calculus on this space have been developed. In continuity of these ideas we propose a Zeta function regularized Laplacian for the space of smooth positive densities on the unit circle and show links to the Wasserstein diffusion constructed by Sturm/von Renesse.


Groupe de travail Arithmétique et géométrie algébrique - Vendredi 10-12-2010 (13:30) - Salle de séminaires 309
Auguste Hoang Duc (IRMA) : Représentations attachées aux formes modulaires

 


Séminaire Quantique - Lundi 13-12-2010 (11:00) - Salle de séminaires IRMA
Greg Kuperberg (U.C. Davis) : Buildings, spiders, and geometric Satake

Louis Kauffman is a special description of the Jones polynomial
and the representation theory of $U_q(mathfrak{sl}(2))$ in which each
skein space has a basis of planar matchings. There is a similar calculus
(discovered independently by myself and the late François Jaeger) for
each of the three rank 2 simple Lie algebras $A_2$, $B_2$, and $G_2$.
These skein theories, called ``spiders", can also be viewed as Gr"obner-type
presentations of pivotal categories. In each of the four cases (optionally
also including the semisimple case $A_1 times A_1$), the Gr"obner basis
property yields a basis of skein diagrams called ``webs". The basis webs
are defined by an interesting non-positive curvature condition.

I will discuss a new connection between these spiders and the geometric
Satake correspondence, which relates the representation category of a
simple Lie algebra to an affine building of the Langlands dual algebra.
In particular, any such building is $CAT(0)$, which seems to explain the
non-positive curvature of basis webs.

(Joint work with Joel Kamnitzer and Bruce Fontaine.)


Séminaire Equations aux dérivées partielles - Lundi 13-12-2010 (14:00) - A confirmer
Pierre Morel (Statistical and Plasma Physics Laboratory, Bruxelles) : turbulence girocinétique : diagnostiques et modèles pour sa description numérique

Attention, jour inhabituel
Seule la salle reste a etre confirmee


Séminaire Géométrie symplectique et applications - Lundi 13-12-2010 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
Juan-Carlos Alvarez-Paiva (Lille) : Inégalités isosystoliques en géométrie de contact et une question de Viterbo.

Il y a dix ans C. Viterbo demanda si le volume d'un corps convexe
$K$ dans $R^{2n}$ de capacité $pi$ est toujours supérieur ou
égal à $pi^n / n!$, le volume de la boule unitaire. Si nous prenons la capacité
de Hofer-Zehnder, le problème se réduit à estimer supérieurement l'action
d'une caractéristique fermée sur le bord $partial K$ en termes du volume
de $K$.

Le but de cet exposé est de présenter trois résultats partiels, obtenus
conjointement avec Florent Balacheff, autour de cette question.

Le premier résultat implique que la question de Viterbo a une solution
affirmative infinitésimalement :

Théorème 1. Soit $K$ un corps convexe à bord lisse dont toutes les
caractéristiques sur $partial K$ sont fermées et ont la même action. Si
$K(s)$ est une déformation lisse de $K$ telle que la capacité de
Hofer-Zehnder reste constante, alors $s = 0$ est un point critique de la
fonction volume $s mapsto {rm vol}(K(s)$.

Le deuxième résultat (beaucoup plus facile) montre que si l'estimation
entre capacité et volume est optimale pour un corps convexe $K$ à bord
lisse, alors le corps doit être très semblable à l'image symplectique
d'une boule :

Théorème 2. Si les caractéristiques de $partial K$ ne sont pas toutes
fermées avec la même action, alors on peut trouver une déformation lisse
$K(s)$ telle que la capacité de Hofer-Zehnder reste constante et pour
laquelle la dérivée de ${rm vol}(K(s))$ est négative au point $s = 0$.

Finalement, nous montrerons que pour les corps convexes dans
$mathbb{R}^4$ qui ont quelques symétries la question de Viterbo a une
réponse positive:

Théorème 3. Identifions $mathbb{R}^4$ avec l'algèbre de quaternions
$mathbb{H}$. Si un corps convexe $K subset mathbb{H}$ de capacité $pi$
est invariant par multiplication (à droite) par les quaternions unitaires
$i$ et $j$ (et donc par le groupe fini ${pm 1, pm i, pm j, pm k }$),
alors le volume de $K$ est supérieur ou égal à $pi^2/2$. En plus, si on a
l'égalité et le bord de $K$ est lisse, alors toutes les caractéristiques
sur $partial K$ sont fermées et ont la même action.


Séminaire Statistiques - Mardi 14-12-2010 (14:00) - Salle de séminaire 418
Christian Derquenne (EDF) : Analyse factorielle et classification automatique en présence de données manquantes

 


Séminaire Calcul stochastique - Vendredi 17-12-2010 (11:15) - Salle de séminaires IRMA
Alano Ancona (Orsay) : Critères de régularité fine (à la Dynkin) pour des opérateurs de Schrödinger.

 


Séminaire GT3 - Lundi 03-01-2011 (14:00) - Salle de séminaires IRMA
Constantin Vernicos (Montpellier) : Géométrie de Hilbert des polytopes convexes

 


Séminaire Géométrie symplectique et applications - Lundi 10-01-2011 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
Alexandru Oancea (IRMA) : A préciser

 


Séminaire Statistiques - Mardi 11-01-2011 (14:00) - Salle de séminaire 418
Bruno Lecoutre (Université de Rouen) : à préciser

 


Séminaire Equations aux dérivées partielles - Mardi 11-01-2011 (14:00) - Salle de séminaires 309
Victorita Dolean (Laboratoire Dieudonné, Université de Nice) : Methodes de preconditionnement pour des systemes d'EDPs en utilisant des outils algebriques


Le but est l'utilisation de méthodes algébriques telles que les formes
normales de Smith et les bases de Gröbner dans le
développement de nouvelles méthodes numériques pour l’étude de systèmes
d’équations aux dérivées partielles. Cet étude a pour but la combinaison des
méthodes d’algèbre constructive, de calcul formel et d'analyse numérique dans
l’étude de problèmes tels que les méthodes de décomposition de domaine (e.g.,
développement de nouveaux algorithmes symboliques-numériques et de
logiciels dédiés).


Séminaire Théorie des représentations et analyse harmonique - Jeudi 13-01-2011 (14:00) - Salle de séminaires 309
Tilmann Wurzbacher (Université de Bochum) : Paires de Howe symplectiques

Résumé: Une paire d'actions hamiltoniennes est appelée
"paire de Howe" si les fonctions collectives d'une action
forment le centralisateur des fonctions collectives de l'autre
action. Nous expliquons dans cet exposé les résultats sur la
géometrie et sur la "quantification" de telles paires.


Séminaire Calcul stochastique - Vendredi 14-01-2011 (11:15) - Salle de séminaires IRMA
Peter Imkeller (Université Humboldt, Berlin) : Titre annoncé ultérieurement.

 


Colloquium Mathématique - Vendredi 14-01-2011 (16:30) - Salle de conférences IRMA
Patrick Popescu-Pampu (Université de Lille) : Le zoo des singularités de surfaces complexes

Nous nous promènerons dans le zoo des singularités
de surfaces complexes, en regardant les espèces les plus
ubiquitaires, ainsi que certaines plus rares. Nous décrirons
suivant quelles visions sont rangées actuellement les espèces
dans leurs enclos, ainsi que certains aspects discrets ou continus
de leurs anatomies. L'exposé se voudra accessible aux néophytes.


Séminaire Géométrie symplectique et applications - Lundi 17-01-2011 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
Ana Rechtman (Northwestern University) : A préciser

 


Séminaire Statistiques - Mardi 18-01-2011 (14:00) - Salle de séminaire 418
Astrid Jullion (Arlenda, Belgique) : Adaptatifs Bayésiens P-splines modèles : application à des données provenant d’études de pharmacocinétique et de tomographie par émission de positrons

Au cours d’essais cliniques, l’évolution de la concentration d’un produit dans un organe au cours du temps fait souvent l’objet d’analyse. Différents produits et organes peuvent être considérés : on peut par exemple analyser l’évolution de la concentration d’un médicament dans le plasma au cours du temps ou encore observer l’évolution du niveau de radioactivité dans différentes régions du cerveau lors d’un scanner TEP (tomographie par émission de positrons). L’objectif de cette présentation est la modélisation de telles évolutions qui sont appelées, de façon générique, des courbes pharmacocinétiques (courbe PC).

Certaines mesures d’intérêt peuvent être dérivées de ces courbes PC. Par exemple, si l’on s’intéresse à l’évolution de la concentration d’un médicament dans le plasma, des paramètres de pharmacocinétique tels que la concentration maximale (Cmax) et l’aire sous la courbe (AUC) sont souvent analysés. Dans une étude TEP, l’occupation des récepteurs par le médicament (RO) peut être mesurée dans différentes régions du cerveau. Ces mesures cliniques peuvent être mal estimées si les courbes PC sont bruitées. Notre objectif est dès lors de fournir des outils statistiques permettant d’obtenir de meilleures estimations des mesures cliniques, à partir de courbes PC lissées. 

Beaucoup d’articles traitent le problème de l’estimation des courbes PC à partir de modèles paramétriques. Dans ce cas, un modèle à compartiments est souvent utilisé pour décrire la cinétique du produit étudié. Cependant, l’utilisation de modèles paramétriques peut être problématique dans certains cas. Tout d’abord, la procédure d’estimation se base sur des algorithmes dont la convergence peut être difficile à atteindre, si l’on dispose de peu de données et/ou de données bruitées. Deuxièmement, choisir le modèle à compartiments sous-jacent peut être difficile, surtout si un nouveau médicament est à l’étude et sa cinétique encore peu connue. 

La méthode proposée pour estimer les courbes PC se base sur des splines pénalisés (P-splines) en approche Bayésienne : cette méthode fournit de bons résultats en termes d’estimations de courbes PC et de mesures cliniques. De plus, cette méthode évite le choix du modèle à compartiments et s’avère plus robuste que les modèles paramétriques aux petites tailles d’échantillons et aux données bruitées. 

Travailler avec une approche Bayesienne fournit également plusieurs avantages : les informations dont on dispose a priori peuvent être injectées dans les modèles et ceux-ci peuvent être généralisés et étendus à des modèles hiérarchiques. Enfin, l’incertitude des mesures cliniques peut être facilement dérivée grâce aux intervalles de crédibilité obtenus à partir des méthodes Markov Chains Monte Carlo (MCMC). 


Groupe de travail IREM - Mardi 18-01-2011 (14:00) - Salle de conférences IRMA
Thomas Catherine (IREM) : Formation de formateurs

 


Conférence IREM - Mercredi 19-01-2011 (15:00) - Salle de conférences IRMA
Rutger Noot (IRMA) : titre non communiqué à ce jour

 


Séminaire Calcul stochastique - Vendredi 21-01-2011 (11:15) - Salle de séminaires IRMA
Jérémie Unterberger (Institut Élie Cartan, Nancy) : Chemins rugueux, algèbres de Hopf et renormalisation: une approche physico-algébrique du calcul stochastique fractionnaire.

L'article fondateur de L. Coutin et Z. Qian (2002) a montré la difficulté de définir l'aire de Lévy, et partant -- suivant la théorie de l'intégration due à T. Lyons, dite théorie des chemins rugueux ou rough paths -- un calcul stochastique pour le brownien fractionnaire d'indice de Hurst inférieur à 1/4. De manière générale, le problème consiste à définir les intégrales itérées de chemins -- déterministes ou aléatoires -- de faible régularité Hölder. Nous apportons en un certain sens une réponse générale à cette question grâce à une algorithmique algébrique. Nous apportons également des constructions explicites dans le cas du brownien fractionnaire, montrant que le problème s'interprète en réalité comme un problème de théorie quantique des champs et se résout en tant que tel. Celles-ci permettront sans doute en retour d'attaquer des problèmes ouverts liés au calcul stochastique et aux équations différentielles stochastiques.


Séminaire GT3 - Lundi 24-01-2011 (14:00) - Salle de séminaires IRMA
Suhyoung Choi (KAIST- Seoul) : Convex real projective n-orbifolds with radial ends and their deformations

Abstract .--- A real projective orbifold is an n-dimensional orbifold modeled on
RP^n with the group PGL(n+1, R)-action.
We concentrate on an orbifold with a compact codimension 0 submanifold
whose complement is a union of neighborhoods of ends,
diffeomorphic to (n-1)-dimensional orbifolds times intervals.
A real projective orbifold has radial ends if each of its ends is
foliated by projective geodesics concurrent to one another.
It is said to be convex if any path can be homotoped to a projective
geodesic with endpoints fixed.
A real projective structure on such an orbifold sometimes admits
deformations to parameters of inequivalent real projective structures.
We will prove the local homeomorphism between the deformation space of
real projective structures on such an orbifold
with radial ends with various conditions and the PGL(n+1, R)-character
space of the fundamental group with corresponding conditions.
We will also talk about the classification of ends, which we have not
accomplished so far.


Séminaire Géométrie symplectique et applications - Lundi 24-01-2011 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
V. Zvonilov : A préciser

 


Séminaire Statistiques - Mardi 25-01-2011 (13:30) - Salle de séminaire 418
Jean Pierre Gauchi (INRA) : La X-optimalité : un critère de plans d'expériences pour des modèles de régression non linéaire.

Attention, l'heure n'est pas habituelle


Séminaire Equations aux dérivées partielles - Mardi 25-01-2011 (14:00) - Salle de séminaires 309
Claus Dieter Munz (IAG, Université de Stuttgart) : A confirmer

 


Séminaire GT3 - Lundi 31-01-2011 (14:00) - Salle de séminaires IRMA
Gwenael Massuyeau : Invariants des variétés de dimension trois et groupe de Torelli d'une surface

Il s'agira d'un exposé de survol sur ce thème.


Séminaire Géométrie symplectique et applications - Lundi 31-01-2011 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
Cédric Bounya (IRMA) : A préciser

 


Séminaire Statistiques - Mardi 01-02-2011 (14:00) - Salle de séminaire 418
Abdallah Elamine (IRMA) : Régression linéaire locale pour des données fonctionnelles

Dans ce travail, on s'intéresse à la régression non paramétrique locale pour des données fonctionnelles. Tout d'abord, on propose un estimateur de l'opérateur de régression. La
construction de cet estimateur est liée à la résolution d'un problème inverse linéaire. On établit des bornes de l'erreur quadratique moyenne (EQM) de l'estimateur proposé en utilisant une méthode de décomposition classique. Cette EQM dépend de la fonction
de petite boule de probabilité du régresseur au sujet de laquelle des hypothèses de type Gamma variation sont posées.


Colloquium Mathématique - Vendredi 04-02-2011 (16:00) - Salle de conférences IRMA
Pierre Parent (Bordeaux) : à préciser

 


Séminaire Quantique - Lundi 07-02-2011 (11:00) - Salle de séminaires IRMA
Takuya Sakasai (Tokyo Institute of Technology) : Homology cylinders in knot theory

This is a joint work with Hiroshi Goda (Tokyo University of Agriculture and Technology).
Sutured manifolds defined by Gabai are useful objects to study knots and 3-manifolds. Homology cylinders are in an important position in the recent theory of mapping class groups of surfaces and finite-type invariants of 3-manifolds. We observe a relationship between them by focusing on sutured manifolds associated with a special class of knots which we call homologically fibered knots. Then we discuss the (non-)fiberedness problem of homologically fibered knots by using Johnson homomorphisms and clasper surgery theory.


Séminaire GT3 - Lundi 07-02-2011 (14:00) - Salle de séminaires IRMA
Chloé Perin : TBA

 


Séminaire Géométrie symplectique et applications - Lundi 07-02-2011 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
Lev Birbrair (Fortaleza) : Metric Properties of Complex Algebraic Surfaces

 


Séminaire Statistiques - Mardi 08-02-2011 (14:00) - Salle de séminaire 418
Cédric Heuchenne (HEC-Management School of the University of Liège) : à préciser

 


Séminaire GT3 - Lundi 14-02-2011 (14:00) - Salle de séminaires IRMA
Takuya Sakasai (Tokyo) : Lagrangian mapping class groups from group homological point of view

Abstract:
We focus on two kinds of infinite index subgroups of the mapping class
group of a surface associated with a Lagrangian submodule of the first
homology of a surface. These subgroups, called Lagrangian mapping class
groups, are known to play important roles in the interaction between
the mapping class group and finite-type invariants of
3-manifolds. We discuss these groups from group (co)homological point of view.
The results include the determination of their abelianizations,
lower bounds of the second homology and remarks on the (co)homology of higher degrees.
We also determine the second homology
of the mapping class group of a surface of genus 3.


Séminaire GT3 - Lundi 28-02-2011 (14:00) - Salle de séminaires IRMA
Yukio Matsumoto (Tokyo) : TBA

 


Séminaire Statistiques - Samedi 05-03-2011 (14:00) - Salle de séminaire 418
Stéphane Loisel (ISFA - Université de Lyon) : à préciser

 


Séminaire Géométrie symplectique et applications - Lundi 07-03-2011 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
Sheila Margherita Sandon (Université de Nantes) : A préciser

 


Séminaire Statistiques - Mardi 08-03-2011 (14:00) - Salle de séminaire 418
Laurent Gardes (INRIA - Université de Grenoble) : Méthode SIR Régularisée et étude d'images hyperspectrales

 


Cours Géométrie symplectique et applications - Lundi 14-03-2011 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
Stéphane Guillermou (Institut Fourier, Grenoble) : A préciser

 


Séminaire Statistiques - Mardi 22-03-2011 (14:00) - Salle de séminaire 418
Yuri Goegebeur (University of Southern Denmark) : à préciser

 


Séminaire Géométrie symplectique et applications - Lundi 28-03-2011 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
Alexander Ritter (Cambridge University) : A préciser

 

Dernière mise à jour le 8-04-2010

Source : http://www-irma.u-strasbg.fr/article286.html

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CM2 La division

CM2 - Calcul

Cours de CM2

1 - La division

Poser une division

Nous avons vu comment additionner, soustraire, ou multiplier des grands nombres. Voyons maintenant la division et prenons l'exemple de la division de 1458 par 6. On place d'abord les deux nombres dans un dessin comme ci dessous.

poser une division


Avec le premier chiffre du nombre à gauche, on compte : "en 1 combien de fois 6?". Si le résultat est plus grand que 1, on divise le résultat par 6. Sinon, on se repose la même question mais en utilisant les 2 premiers chiffres du nombre à gauche, ce qui donne : "en 14 combien de 6? ". On effectue cette petite division.

poser une division


En 14 il y a 2 fois 6 donc on écrit 2 dans la case de droite puis on effectue la multiplication avec le 6, on écrit le résultat sous le 14 et on effectue une soustraction.

poser une division


Ensuite on abaisse le chiffre à droite du 14 et on effectue la même opération avec le nombre obtenu (25). En 25 combien de fois 6? 4 fois, 4 fois 6 = 24 et 25 - 24 = 1. 

poser une division


On effectue ensuite les mêmes opérations après avoir abaissé le 8. 

poser une division


Lorsqu'il n'y a plus de chiffre à abaisser, on peut alors lire dans la case de droite le quotient de la division et en bas dans la case de gauche le reste. Ici le quotient vaut 243 et le reste est nul.

Poser une division avec résultat décimal

Lorsque le reste de la division n'est pas nul, on peut continuer la division afin d'obtenir un résultat décimal avec autant de chiffres que l'on veut après la virgule. Par exemple pour la division suivante on trouve un quotient de 176 et un reste de 2. 

poser une division


Pour continuer le calcul on ajoute un zéro après le premier nombre, et on l'abaisse. On place également une virgule à droite du résultat. 

poser une division


Ensuite on continue le calcul aussi longtemps que l'on veut en ajoutant à chaque fois un zéro supplémentaire et en l'abaissant.

poser une division



Poser une division avec des grands nombres

Il n'a pas pas de différence lorsque l'on divise par un grand nombre. Les calculs sont juste un petit peu plus difficiles à effectuer.

poser une division


La division au CM2

exercices

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Problèmes : CM2

Problèmes : CM2

(Exercice de maths (mathématiques) n°12602 - merci de citer ce numéro dans toute correspondance) 
Autres exercices de maths (mathématiques) sur le même thème

Problèmes : CM2






 Débutants
Exercice de maths (mathématiques) 'Problèmes : CM2' créé le 11-11-2006 par bridg avec Le générateur de tests - créez votre propre test!
Voir les statistiques de réussite de ce test de maths (mathématiques)


Je dispose d'une somme. Je calcule que pour m'acheter 4 livres il me manque 5€50. Sachant que chaque livre coûte 14€50, calculez la somme que j'ai en poche.€ 

Le chargement d'un camion est composé de 35 caisses pesant chacune 54,5Kg et de 40 caisses pesant 35Kg. Quelle masse peut-on ajouter pour que la charge de ce camion atteigne 5 tonnes?  tonne 

Pour l'achat à crédit d'un meuble valant 10 600€, il faut verser 3850€ à la commande et payer le reste en 15 mensualités. Quel est le montant d'une mensualité? € 

Un instituteur achète 25 livres de grammaire et 12 dictionnaires à 22,50€ l'un. Il dépense 482,50€. Combien coûte un livre de grammaire?  € 

Une secrétaire va à la poste, elle achète 36 timbres à 2€70, 28 timbres à 4,50€ et 14 timbres à un autre tarif. Elle paye 317€. Quel est le prix de chacun des 14 timbres?  € 

Quelle est la largeur d'un terrain rectangulaire de basket dont la surface est de 312,50m² et la longueur 25m ?  m 

Combien remplira t-on de verres de 8cL chacun avec 6 packs de 3 bouteilles, chaque bouteille contenant 75cL ?  verres (par défaut) 

Combien vais-je payer un billet d'avion coûtant 412€ si je bénéficie d'une réduction de 25%?  € 






Source : http://www.mathematiquesfaciles.com/problemes-cm2_2_12602...

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Freemat

Home

FreeMat is a free environment for rapid engineering and scientific prototyping and data processing. It is similar to commercial systems such as MATLAB from Mathworks, and IDL from Research Systems, but is Open Source. FreeMat is available under the GPL license.

Screen Download

Latest News - 2009-10-09 - FreeMat 4.0 Released

We are pleased to announce the release of FreeMat 4.0 . This version brings major feature improvements and changes to the internals of FreeMat. Here is a list of changes:

  • Improved Editor with integrated debugger
  • Improved Main Application UI with dockable workspace browser and command history
  • Just In Time compiler (enabled by default)
  • Greatly improved compatibility with Matlab (over 366 compatibility tests pass)
  • Dynamic linking with BLAS (users can use custom optimized BLAS libraries)
  • Vectorized fprintf, sprintf, fscanf, sscanf functions
  • Added patch handle graphics object
  • Much faster figure drawing
  • Ability to handle huge arrays (more than 2GB) when compiled under 64 bit OS
  • Code profiler

Internal changes:

  • New array class implementation
  • Compatible type handling
  • JIT compiler
  • CMake build system 

Source : http://freemat.sourceforge.net/

10:37 Publié dans FreeMat | Lien permanent | Commentaires (0) | |  del.icio.us | | Digg! Digg |  Facebook

FreeMat

FreeMat

FreeMat
FreeMat icon
Développeur Samit Basu
Dernière version v4.0 (9 octobre 2009) [+/−]
Environnement Multiplate-forme (Linux, Mac OS X,Windows)
Langue anglais
Type Calcul numérique
Licence GNU GPL
Site Web freemat.sourceforge.net
modifier Consultez la documentation du modèle

FreeMat est un environnement de calcul informatisé et un langage de programmation, sous forme d'un logiciel libre, relativement compatible au niveau des sources avec MATLAB et GNU Octave. Il supporte nombre des fonctions de MATLAB et quelques fonctionnalités d'IDL. Il s'interface facilement avec du code externe en C, C++, et Fortran, offre la possibilité de développement d'algorithmes distribués parallèles (via MPI). Et il possède quelques capacités de rendu volumique et de visualisation 3D.

Liens externes [modifier]

10:35 Publié dans FreeMat | Lien permanent | Commentaires (0) | |  del.icio.us | | Digg! Digg |  Facebook

Manuel Maxima

Node:Top, Next:, Previous:(dir), Up:(dir) 

MAXIMA est un programme de calcul formel assez complet.

Il a été réalisé en COMMON LISP par William F. Schelter, à partir de la version originale de Macsyma réalisée au MIT et qui fut distribuée par le Department of Energy. Le DOE ayant accordé la permission à W. Schelter d'en faire des copies dérivées, et en particulier de le distribuer sous license publique GNU (voyez le fichier COPYING inclus dans la distribution), les fichiers de MAXIMA peuvent désormais être redistribués selon les termes de la licence publique GNU.

Traduction française : André Jaccomard, Armand Osselet, Daniel Duparc et Michel Lavaud. 
Dernière mise à jour : 1er mai 2003. La version la plus récente de ce document peut être obtenue sur le site web de l'association AsTeX, http://www.univ-orleans.fr/EXT/ASTEX

Infrastructure de MAXIMA

 

Node:Introduction à MAXIMA, Next:, Previous:Top, Up:Top 

Source : http://www.univ-orleans.fr/EXT/ASTEX/astex/doc/fr/maxima/...

10:21 Publié dans Manuel Maxima | Lien permanent | Commentaires (0) | |  del.icio.us | | Digg! Digg |  Facebook

Documentation Maxima

    Nouveau: Vincent Obaton propose un aide-mémoire très pratique pour maxima.

 

Documents

Langue

Auteur

Version

Format

Action

Aide-Mémoire pour Maxima

Français

Vincent Obaton

août 2009

pdf

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Aide-Mémoire de Maxima

Français

Yves Lemaire

26/01/2003

pdf

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Découverte de Maxima

Français

 ?

1.0

pdf

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html

Consulter en ligne

tm ( texmacs )

Télécharger

Introduction à Maxima

Français

H Hand, traduction de M Gosse

1.1

pdf

Télécharger

html

Consulter en ligne

tm ( texmacs )

Télécharger

FAQ de Maxima

Français

Michel Gosse

0.93

pdf

Télécharger

tm ( texmacs)

Télécharger

html

Consulter en ligne

Manuel de Maxima

Français

A Jaccomard,
A Osselet,
D Duparc,
M Lavaud

3/05/2003

pdf

Télécharger

ps.tgz

Télécharger

html

Consulter en ligne

Manuel de Maxima

Anglais

W Schleter

1.0

pdf

Télécharger

ps.tgz

Télécharger

html

Consulter en ligne

The Maxima Book

Anglais

De Souza, Fateman, Moses, Yapp

10/02/2003

pdf

Télécharger

Introduction à  Maxima

Français

Marc Gilg

0.1.0

pdf

Télécharger

tm ( texmacs) (tar.gz)

Télécharger

html

Consulter en ligne
A Maxima Guide for Calculus students Anglais Moses Glasner
 2/01/2004 pdf Télécharger

SommaireSource : http://michel.gosse.free.fr/documentation/index.html

 

10:20 Publié dans Documentation Maxima | Lien permanent | Commentaires (0) | |  del.icio.us | | Digg! Digg |  Facebook

Maxima, a Computer Algebra System

Maxima is a system for the manipulation of symbolic and numerical expressions, including differentiation, integration, Taylor series, Laplace transforms, ordinary differential equations, systems of linear equations, polynomials, and sets, lists, vectors, matrices, and tensors. Maxima yields high precision numeric results by using exact fractions, arbitrary precision integers, and variable precision floating point numbers. Maxima can plot functions and data in two and three dimensions.

The Maxima source code can be compiled on many systems, including Windows, Linux, and MacOS X. The source code for all systems and precompiled binaries for Windows and Linux are available at the SourceForge file manager.

Maxima is a descendant of Macsyma, the legendary computer algebra system developed in the late 1960s at the Massachusetts Institute of Technology. It is the only system based on that effort still publicly available and with an active user community, thanks to its open source nature. Macsyma was revolutionary in its day, and many later systems, such as Maple and Mathematica, were inspired by it.

The Maxima branch of Macsyma was maintained by William Schelter from 1982 until he passed away in 2001. In 1998 he obtainedpermission to release the source code under the GNU General Public License (GPL). It was his efforts and skill which have made the survival of Maxima possible, and we are very grateful to him for volunteering his time and expert knowledge to keep the original DOE Macsyma code alive and well. Since his passing a group of users and developers has formed to bring Maxima to a wider audience.

We are constantly updating Maxima, to fix bugs and improve the code and the documentation. We welcome suggestions and contributions from the community of Maxima users. Most discussion is conducted on the Maxima mailing list.

News RSS

  • April 26, 2009: Maxima 5.18.1.
  • December 26, 2008: Maxima 5.17.0.
  • August 29, 2008: Maxima 5.16.3.
  • April 22, 2008: Maxima 5.15.0.
  • December 23, 2007: Maxima 5.14.0.
  • August 28, 2007: Maxima 5.13.0.
  • May 2, 2007: Maxima 5.12.0.
  • December 21, 2006: Maxima 5.11.0.

Source : http://maxima.sourceforge.net/

10:18 Publié dans Maxima, a Computer Algebra System | Lien permanent | Commentaires (0) | |  del.icio.us | | Digg! Digg |  Facebook

Maxima

Maxima

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Maxima (homonymie).
Maxima
Maximalogo.png
WxMaxima 0.7.1 screenshot.png
wxMaxima
Développeur William Schelter et coll.
Dernière version 5.20.1 (14 décembre 2009) [+/-]
Environnement GNU/Linux, Mac OS X, Windows
Type Logiciel de calcul formel
Licence GNU GPL
Site Web maxima.sf.net
modifier Consultez la documentation du modèle
Maxima pilote Gnuplot

Maxima est un logiciel libre de calcul formel, descendant sous licence GNU GPL du package Macsyma, le logiciel de calcul symbolique développé à l’origine pour les besoins du Département de l'Énergie américain.

Sommaire

 [masquer]

Fonctionnalités [modifier]

Cette descendance fut initialisée par William Schelter en 1982 qui le maintint jusqu'à sa mort, en 2001. Depuis cette année, une communauté de développeurs tient régulièrement le programme à jour. En 1998, elle réussit à appliquer la licence GNU GPL pour libérer le code du programme et lui permettre de continuer son développement.

Maxima permet de faire du calcul sur les polynômes, les matrices, de l’intégration, de la dérivation, du calcul de séries, de limites, résolutions de systèmes, d’équations différentielles, etc. En plus du Macsyma distribué officiellement, il comporte le module SYM de manipulations de fonctions symétriques et de calculs de résolvantes écrit par Annick Valibouze. Ce module n'a pas son équivalent dans les autres systèmes de calcul formel (Magma, Mathematica, Maple, ...)

Les possibilités d'extension de Maxima sont très riches.

Son langage de programmation est inspiré de LISP, son langage sous-jacent. Il est ainsi recommandable pour l'enseignement de la programmation à des scientifiques utilisateurs potentiels du calcul formel. Il est aussi possible de développer dans son LISP sous-jacent utilisable sous Maxima en interprété (pour le débuggage) mais aussi, et c'est ce qui en fait l'intérêt, en compilable. L'interfaçage avec Maxima est très aisé.

Ses possibilités graphiques sont plus limitées que celles de Mathematica et de Maple, mais ses capacités dans le domaine du calcul symbolique sont les plus étendues du monde du logiciel libre, et n’ont pas à rougir face aux logiciels commerciaux.

Pour des besoins de publication, il peut formater ses formules en TeX et il existe un mode Emacs pour un affichage impeccable des formules.

Calculs numériques [modifier]

Comme tous les programmes de calcul formel, Maxima est spécialisé dans les manipulations de symboles. Cependant, il sait également produire des résultats numériques sous forme d'entiers et de fractions de taille variable, seulement limités par la taille de la mémoire centrale de l'ordinateur hôte, ou bien encore de réels à virgule flottante de précision arbitrairement grande (bfloat pour big floats).

Pour les calculs utilisant intensivement les nombres à virgule flottante et les grands tableaux, Maxima peut générer le code correspondant dans d'autres langages de programmation, tels Fortran, code qui s'exécutera d'autant plus efficacement.

Voir aussi [modifier]

Articles connexes [modifier]

  • Mathematica et Maple : deux concurrents propriétaires
  • Yacas : autre logiciel libre de calcul formel

Liens externes [modifier]

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Maple

Maple

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Maple (homonymie).
Wiktfavicon en.svg Cet article a pour sujet le logiciel de calcul formel Maple. Pour une définition du mot « maple », voir l’article maple du Wiktionnaire.

Maple
Maple logo.gif
Développeur Waterloo Maple Inc. (Maplesoft)
Dernière version 14.00 (avril 2010) [+/−]
Environnement Multi-plate-forme
Type Logiciel de calcul formel
Licence Propriétaire
Site Web www.maplesoft.com/products/maple/
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Maple est un logiciel propriétaire de calcul formel édité par la société canadienne Maplesoft. La dernière version est la version 14, disponible depuis le 29 avril 20101.

Sommaire

 [masquer]

Principe [modifier]

Maple a été initialement développé au sein du Symbolic Computation Group de l'Université de Waterloo en Ontario (Canada) à partir de 1981. La première version publique date de 1985 (version 3.3).

Le logiciel permet aussi bien de travailler sur des quantités numériques (entières, réelles, complexes) qu'avec des polynômes, fonctions, séries. Maple réalise des dérivations, intégrations, résolutions de systèmes d'équations linéaires, inversions de matrices, développements asymptotiques et résolutions d'équations différentielles sous forme symbolique, c'est-à-dire en gardant des inconnues dans la résolution. Le système Maple offre aussi de nombreuses fonctionnalités en arithmétique des nombres et en combinatoire.

Maple est un système interprété, c'est-à-dire que l'utilisateur tape une ligne de commande suivie d'un terminateur, ce qui provoque une évaluation (calcul ou résolution) et le système retourne un résultat. Maple représente les objets sous la forme d'un graphe acyclique orienté. Il est cependant également possible d'écrire des programmes (dans un langage très proche de celui des lignes de commandes) qui ne seront pas compilés, mais interprétés à leur appel, et d'enrichir ainsi le système avec de nouvelles commandes.

Il est ensuite possible de :

  • Copier et coller les formules mathématiques correspondantes dans un traitement de texte ;
  • Tracer des courbes ou des surfaces (en aspect 3D) ;
  • Générer les programmes de calcul numérique correspondants (par exemple en C).

Maple offre un mode console et un mode graphique. Il est disponible sur la majorité des systèmes d'exploitation (GNU/Linux, Macintosh, Windows).

En France, Maple est le logiciel de calcul formel le plus utilisé dans l'enseignement[réf. nécessaire], notamment dans les classes préparatoires aux grandes écoles[réf. nécessaire].

Exemple d'instruction [modifier]

Le code suivant donne la solution de l'équation différentielle du second ordre y'' − 3y = x vérifiant les conditions initiales y(0) = 1 et y'(0) = 2 :

dsolve({diff(y(x),x,x)-3*y(x)=x,y(0)=1,D(y)(0)=2},y(x));

Notes et références [modifier]

Voir aussi [modifier]

Sur les autres projets Wikimédia :

Articles connexes [modifier]

Liens externes [modifier]

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04/12/2010

Mathematica

Mathematica

Mathematica
Mathematica Icon.png
Développeur Wolfram Research
Dernière version 7 (18 novembre 2008) [+/−]
Environnements Multiplate-forme (liste détaillée)
Type Logiciel de calcul formel
Licence Propriétaire
Site Web Page d'accueil de Mathematica
modifier Consultez la documentation du modèle

Mathematica est un logiciel propriétaire de calcul formel édité par Wolfram Research, la société de Stephen Wolfram.

Wolfram commence à travailler sur le logiciel en 1986 et en sort la première version en 1988. Il est disponible sur de nombreuses plateformes et supporte un large choix d'opérations.

Le système de Mathematica est formé d'un noyau, qui réalise les calculs et peut être exécuté sur une autre machine que celle de l'utilisateur, et d'une interface interactive pour entrer les données. Celle-ci attend des entrées de l'utilisateur exprimées dans le langage de Mathematica, selon une syntaxe définie, et affiche le résultat des calculs sous forme de texte simple, de formules, ou d'images.

En France et en Suisse, le logiciel est avec Maple présent dans l'enseignement supérieur.

L'entreprise a mis en service en site internet dit intelligent, basé entre autres sur Mathematica: Wolfram|Alpha. Il est ainsi possible d'utiliser les ressources de Mathematica gratuitement.

Voir aussi [modifier]

Articles connexes [modifier]

  • Maple, un logiciel propriétaire concurrent
  • Maxima, un logiciel libre concurrent

Liens externes [modifier]

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