Nombre de Bell : Mathématique

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05/12/2010

Nombre de Bell

Pour les articles homonymes, voir Bell.

En mathématiques, le n-ième nombre de Bell, qui porte le nom de Eric Temple Bell, est le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments ou, ce qui revient au même, le nombre derelations d'équivalence sur un tel ensemble.

Sommaire

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Premières propriétés [modifier]

Ces nombres forment la suite A000110 de l’OEIS, dont on peut calculer à la main les premiers termes :

$B_0=1,quad B_1=1,quad B_2=2,quad B_3=5,quad B_4=15,quad B_5=52,quad B_6=203,quadldots$

Pour le premier, on se convainc qu'il existe exactement une partition de l'ensemble vide : la partition vide, formée d'aucune partie. En effet ses éléments (puisqu'il n'y en a aucun) sont bien non vides et disjoints deux à deux, et de réunion vide.

Les nombres de Bell peuvent aussi se calculer de proche en proche par la relation de récurrence suivante :

$B_{n+1}=sum_{k=0}^{n}{n choose k} B_k~,$

qui peut se démontrer ainsi : ayant fixé un élément x dans un ensemble à n+1 éléments, on trie les partitions suivant le nombre k d'éléments hors de la partie contenant x. Pour chaque valeur de k de 0 à n, il faut donc choisir k éléments parmi les n éléments différents de x, puis s'en donner une partition.

Série génératrice [modifier]

Pour manipuler tous les nombres de Bell, on peut s'intéresser aux séries génératrice et génératrice exponentielle associées, qui sont respectivement :

$G(X)=sum_n B_nX^nqquadtext{et}qquad E(X)=sum_n frac{B_n}{n!}X^n=1+X+2 frac{X^2}{2!}+5 frac{X^3}{3!} + 15 frac{X^4}{4!} + ldots$

La première est par exemple¹ utilisée pour étudier les classes de congruence des $B n$ . Quant à la seconde série formelle, elle satisfait l'équation différentielle $E'(X) = e X E (X)$ : on le constate en écrivant la formule de récurrence sous la forme

$(n+1)frac{B_{n+1}}{(n+1)!}=sum_{k+l=n}frac{1}{k!}frac{B_l}{l!}~.$

On en déduit qu'elle est égale à $e^{e^X}$ à une constante multiplicative près (qu'on trouve par identification du terme constant) :

$E(X)=e^{e^X-1}~.$

L'identification des coefficients conduit à la formule de Dobinski :

$B_n=frac{1}{e}sum_{k=0}^infty frac{k^n}{k!}$

qui est le moment d'ordre n d'une loi de Poisson de paramètre 1.

D'autres propriétés [modifier]

Ils satisfont également à la congruence de Touchard : si p est un nombre premier quelconque alors

$B_{p+n}equiv B_n+B_{n+1}mod p.$

C'est une relation de congruence modulo p.

Chaque nombre de Bell est une somme des nombres de Stirling de deuxième espèce

$B_n=sum_{k=1}^n S (n, k)=sum_{k=1}^n left{begin{matrix} n k end{matrix}right}.$

Plusieurs formules asymptotiques pour les nombres de Bell sont connues ; l'une d'elles est

$B_n sim frac{1}{{sqrt n }}left[ {frac{n}{W(n)}} right]^{n + frac{1}{2}} e^{frac{n}{W(n)} - n - 1},$

où W est la fonction W de Lambert ; on obtient une approximation moins précise, mais plus commode d'emploi, à l'aide de l'encadrement $ln x - lnln x < W (x) < ln x$ ; on pourra également remarquer la similitude de l'approximation précédente avec la formule de Stirling².

Voir Aussi [modifier]

Partition d'un entier qui correspond au nombre de partitions d'un ensemble à n éléments indiscernables.

Notes et références [modifier]

↑ Daniel Barsky et Bénali Benzaghou, « Nombres de Bell et somme de factorielles », dans Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, vol. 16, 2004, p. 1-17 [ [pdf]texte intégral [archive] (page consultée le 1^er octobre 2010) ]
↑ On trouvera d'autres approximations de $B n$ sur (en) Eric W. Weisstein, Bell Numer [archive], MathWorld..