20/11/2010
2-POLYNOMES (Troisième partie : Fonctions Polynômes- Polynômes sur R et C)
2-POLYNOMES (Troisième partie : Fonctions Polynômes- Polynômes sur R et C)
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Les étudiants trouveront des notes détaillées sur le web, correspondant au cours LM125 du premier semestre.
Liens : http://www.edu.upmc.fr/maths/math1/lm125/prive/UeL/mathem...
(Nous suivons mot à mot le chapitre :http://www.edu.upmc.fr/maths/math1/lm125/prive/UeL/mathem...)
Fonctions Polynômes
Plan du cours :
A- Fonctions Polynômes
Introduction, notion de fonction polynôme
Racines d’un polynôme
Multiplicité
Polynômes scindés
Méthode de Horner
---------------------------------
B- Polynômes à coefficients réels ou complexes
Degré du polynôme dérivé
Formule de Taylor pour un polynôme à coefficients réels ou complexes
Ordre de multiplicité d'une racine
Existence de racines : Théorème de d'Alembert
Polynômes irréductibles dans C[X]
Polynômes irréductibles dans R[X]
Formule d'interpolation de Lagrange
Introduction
Les fonctions numériques de la forme
, où k est un entier positif ou nul et 
des nombres réels, sont bien connues ainsi que toutes leurs propriétés. C'est un exemple d'une situation générale qui va être exposée dans cette ressource.
Definition
Contexte :
Pour l'étude de la notion de fonction polynôme, on se place dans le contexte suivant : on considère un corps K et l’ensemble des polynômes à une indéterminée K[X]
|
Définition d'une fonction polynôme, associée à un polynôme P appartenant à K[X] Soit . x |
L'expression 
a bien un sens et est bien un élément de K.
En effet, x étant un élément de K, 
en est aussi un (le produit est une loi interne dans l'anneau K), ainsi que 
.
Exemple
Par exemple soit 
appartenant à
.
Alors
.
Racine d’un polynôme
Définitions et exemples
|
Théorème - définition : Racine d'un polynôme de Soit a un élément de K et P un élément de i. ii. Le polynôme Si l'une de ces conditions est vérifiée, on dit que a est racine de P (ou est un "zéro" de P). |
Preuve de l'équivalence : i. 
ii. :
Soit a un élément de K ; la division euclidienne dans 
de P par le polynôme 
donne :
, 
avec 
ou 
Ces deux conditions sur le reste R se traduisent par le fait que ce reste est un polynôme constant ; on note r cette constante qui est un élément de K. D'après les règles de calcul sur les fonctions polynômes, on obtient l'égalité : 
.
D'où 
. L'équivalence est alors immédiate.
Conséquence immédiate :
Il résulte clairement de la définition que tout polynôme de degré 1 admet une racine (et une seule).
Exemples :
1. Soit le polynôme de , 
. En utilisant l'une ou l'autre des conditions du théorème, il est immédiat que les réels 3 et 
sont les racines de P.
2. Soit le polynôme de , 
. Visiblement, on peut mettre X en facteur dans le polynôme P, et par conséquent le réel 0 est une racine de P.
D'autre part, un simple calcul prouve que 
. Donc 1 est une racine de P. Le polynôme P est donc divisible par 
.
Comme les polynômes X et sont premiers entre eux, le polynôme P est divisible
par 
.
|
Théorème : Si un polynôme est divisible par deux polynômes premiers entre eux, il est divisible par leur produit. La démonstration de cette propriété est basée sur la propriété de Bézout.
|
On a donc 
.
Comme le polynôme 
n'a pas de racines réelles, on a toutes les racines de P dans R.
Remarque importante
La terminologie " racine dans le corps K " est essentielle. En effet, le corps K joue un rôle fondamental. Soit par exemple le polynôme :
- Considéré comme élément de , il n'a pas de racines. Sinon il existerait un réel a tel que
, ce qui est contraire à la structure de corps ordonné de R. - Considéré comme élément de
, il a deux racines : i et 
.
On peut introduire le vocabulaire suivant :
|
Définition : Racine d'un polynôme dans un sur-corps du corps de ses coefficients Soient K et M deux corps tels que M contienne K. Soit P un élément de Si a est un élément de M tel que |
Si l'on reprend l'exemple précédent en introduisant ce vocabulaire, on peut dire que le polynôme n'a pas de racines dans R mais qu'il a deux racines dans C.
Ordre de multiplicité d’une racine
Sur les deux exemples précédents, il est possible de faire la remarque suivante : on sait d'avance que si a est une racine dans K d'un polynôme P de , le polynôme Pest divisible par , mais il peut être divisible par une puissance de strictement supérieure à 1.
C'est le cas dans l'exemple 1 mais pas dans l'exemple 2.
Cela nous conduit à l'introduction de la notion d'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme.
|
Définition de l'ordre de multiplicité d'une racine Soit a une racine dans K de P, où P est un polynôme non nul de |
Un tel entier existe bien car l'ensemble des entiers k tels que divise P est non vide ; il contient l'entier 1 puisque a est racine de P (théorème précédent), et cet ensemble est fini car majoré par le degré de P. Donc il a un plus grand élément (propriété de N).
On peut traduire cette définition de la manière suivante :
|
Corollaire Un entier n est l'ordre de multiplicité de la racine a d'un polynôme P si et seulement si il existe un polynôme Q appartenant à |
et 
.
Vocabulaire : Une racine d'ordre 1, est dite aussi racine simple.
Une racine d'ordre 2 (respectivement 3), est dite aussi racine double (respectivement racine triple).
Exemples :
· Si l'on reprend le polynôme de l'exemple 1, ,
on observe que est une racine réelle d'ordre 1, et que 3 une racine réelle d'ordre 2.
· Si l'on reprend le polynôme de l'exemple 2, 
,
on voit que 0 et 1 sont toutes les deux des racines simples de P dans R.
Il résulte du corollaire la proposition suivante :
|
Proposition Soit P un polynôme non nul de Alors il existe un polynôme Q, élément de
|
Preuve : elle est immédiate, à partir des définitions ou propriétés suivantes :
· Définition d'une racine et de son ordre de multiplicité
· Les polynômes de la forme 
et 
avec a et b distincts, k et l étant des entiers positifs, sont premiers entre eux.
· Un polynôme, divisible par des polynômes premiers entre eux deux à deux, est divisible par leur produit.
|
Corollaire (très important) Un polynôme non nul, de degré n, a au plus n racines (si l'on convient de compter une racine d'ordre r comme l'équivalent de r racines simples). |
Ceci est une conséquence immédiate de la proposition et des propriétés du degré du produit des polynômes.
Illustration : Pour un polynôme du troisième degré dans , les possibilités de racines dans K sont les suivantes :
aucune racine (par exemple 
dans 
)
une racine simple (par exemple 
dans )
trois racines simples (par exemple 
dans )
une racine simple et une racine double (par exemple 
dans )
une racine triple (par exemple 
dans )
Remarque : la démonstration du premier exemple est basée sur le fait que 
n'appartient pas à Q. La justification est tout à fait semblable à celle que l'on fait pour montrer que 
n'appartient pas à Q.
Polynômes scindés
Le cas particulier où le polynôme P satisfait à la condition de la proposition, avec un polynôme Q constant, est très intéressant. Il est abordé dans cette partie.
|
Définition : Polynôme scindé dans un corps K. Un polynôme P non nul appartenant à où |
Il est clair que le rôle joué par le corps est très important.
Par exemple, le polynôme est scindé dans R.
Quant au polynôme , il n'est pas scindé dans R mais il l'est dans C.
On a très facilement la propriété suivante :
|
Proposition Deux polynômes P et Q de |
Relations entre coefficients et racines d'un polynôme de K[X] scindé sur K
On peut trouver des relations entre les coefficients d'un polynôme scindé et ses racines.
Par exemple si l'on a un polynôme de degré 2 scindé dans , on peut l'écrire
où 
et 
sont les racines de P non nécessairement distinctes.
Alors, en effectuant les calculs on obtient : 
.
D'où les relations :
Ceci est un exemple de la situation générale qui est explicitée dans le théorème suivant.
|
Théorème : Relations entre coefficients et racines Soit
(en écrivant r fois chaque racine multiple d'ordre r). Alors pour tout p,
En particulier : |
,
Exemple : Dans le cas d'un polynôme de degré 3, scindé sur K, en notant 
ses trois racines distinctes ou non, on a :
, et
Nous ne donnerons pas la démonstration dans le cas général, Nous avons déjà vu le cas d'un polynôme de degré 2. Les formules, dans le cas d'un polynôme de degré 3 se démontrent de la même façon. Nous pouvons donner le résultat.
Si 
, on a :
Remarques sur les sommes 
La notation 
peut paraître complexe. En fait on peut l'expliciter. On prend tous les produits possibles de p racines (on note 
un tel produit en les ordonnant dans l'ordre croissant de leurs indices) et on fait la somme de tous ces produits.
Pour être sûr d'avoir tous " les produits possibles " il est nécessaire d'écrire ces produits en suivant un classement.
La méthode est explicitée sur l'exemple suivant : 
. Pour écrire 
il faut écrire tous les produits 
, avec 
. Ils sont présentés dans le tableau suivant :
La somme est obtenue en faisant la somme de tous les produits de la colonne de droite.
Les sommes sont appelées les fonctions symétriques élémentaires des racines.
Intérêt : Toute fonction symétrique des racines s'exprime à l'aide des donc des coefficients du polynôme. C'est la base de la théorie de Galois.
Fonction symétrique des racines
Soit 
une expression polynômiale par rapport aux n variables 
.
On dit que c'est une fonction symétrique si pour toute permutation s de l'ensemble 
(s est donc une bijection de dans lui-même) l'égalité suivante est satisfaite :
Exemple : 
Il ne peut être question ici de dépasser cette définition quasi intuitive car cela nécessiterait des outils mathématiques hors du cadre de cette ressource.
(ce paragraphe n’est pas au programme car nécessite la connaissance des Espaces Vectoriels –On admettra le résultat)
|
Proposition : Etude de Soit K un corps infini. Soit P est un polynôme de
Alors P est le polynôme nul. Cela signifie que l'application |
Preuve : Elle est basée sur la remarque précédente et se fait grâce à un raisonnement par l'absurde.
Supposons que le polynôme P ne soit pas nul. On peut alors considérer son degré, soit n.
Il résulte de ce qui précède que P a au plus n racines.
Or l'hypothèse faite signifie que tout élément de K est racine de P. Si K est infini, P aurait une infinité de racines, d'où la contradiction.
Comme l'application 
est linéaire, cela signifie que son noyau est réduit à zéro, et donc qu'elle est injective.
Autrement dit, lorsque K est infini, l'égalité des fonctions polynômes associées à deux polynômes équivaut à l'égalité des deux polynômes.
Conséquence sur les notations
Cela permet alors de simplifier les notations. La fonction polynôme 
peut être notée 
sans aucune ambiguïté.
C'est en particulier le cas lorsque le corps K est égal à R ou C.
Remarque : Le cas des polynômes à coefficients dans R ou dans C n'est pas étudié en détail dans cette ressource qui est consacrée aux propriétés générales.
Attention, cette propriété est fausse si le corps K n'est pas fini comme le prouve l'exemple suivant.
Soit le corps 
.
|
|
|
On a le résultat général suivant : Soit n un entier supérieur ou égal à 2. L'anneau quotient Comme 2 est un nombre premier, cela donne le résultat. |
Le corps a deux éléments qui sont notés 
et 
.
Soit P le polynôme de 
défini par : 
.
Alors 
et 
. Donc : 
. Donc la fonction polynôme est nulle ce qui n'est évidemment pas le cas du polynôme P.
Méthodes de Horner
Pour calculer la valeur prise par une fonction polynôme en un point x de K, il y a plusieurs méthodes.
Une méthode très "performante" est la méthode de Hörner.
Elle consiste à calculer 
, avec 
, en utilisant la forme suivante :
,
ce qui nécessite n multiplications et n additions, nombre d'opérations très inférieur à celui obtenu en faisant les calculs comme ils se présentent.
Pour s'en convaincre, on peut considérer l'exemple suivant :
Soit l'élément 
de et x un nombre réel.
On écrit sous la forme : 
.
Pour calculer , avec x élément de R, on a donc besoin de 3 multiplications et de 3 additions par la méthode de Hörner, mais de 5 multiplications et de 3 additions en calculant directement.
De plus, cette méthode est très facilement programmable.
Deuxième Partie : Polynômes coefficients réels ou complexes
Degré du polynôme dérivé
|
Proposition : Degré du polynôme dérivé d'un polynôme à coefficients réels ou complexes Soit P un polynôme non nul de degré n, · Si · Si |
, 
,
Cela est immédiat à partir de la définition du degré d'un polynôme et du polynôme dérivé.
Remarque importante :
La considération des degrés permet de démontrer grâce à une récurrence que si P est un polynôme de degré n, 
est le polynôme nul. On aura un résultat plus général dans la proposition suivante
Formule de Taylor pour un polynôme à coefficients réels ou complexes
Rappel sur la notation des fonctions polynômes :
On sait que dans le cas de polynômes à coefficients dans un corps infini, la fonction polynôme de K dans K, 
, est entièrement déterminée par le polynôme P. Cela permet de simplifier les notations et en particulier lorsque l'on considère des polynômes à coefficients réels ou complexes, elle pourra être notée sans aucune ambiguïté.
La formule de Taylor pour les polynômes est démontrée ici uniquement par des moyens algébriques. Elle est extrêmement utile dans l'étude des racines d'un polynôme.
|
Proposition : Formule de Taylor pour les polynômes Soit i. Si ii. Pour tout h de K, on a :
|
.
Démonstration :
i. Une démonstration par récurrence immédiate justifie la propriété.
ii. si 
est un élément de 
, l'opération de substitution d'un polynôme dans un autre permet d'écrire :
On obtient ainsi un élément de . Il existe donc des éléments 
de 
tels que 
. Soit k, 
. En dérivant k fois le polynôme 
sous la forme 
, on obtient (par une récurrence simple) 
et par conséquent, en prenant la valeur en 0 de la fonction polynôme associée, on a 
.
La formule peut aussi être formulée de la manière suivante :
Si a est un élément de K, on a 
.
Il suffit de prendre 
et de substituer à X dans l'égalité
pour obtenir ce résultat
Ordre de multiplicité d'une racine
Ce théorème permet de donner une caractérisation, très intéressante dans la pratique, de l'ordre de multiplicité d'une racine.
Rappel ordre de multiplicité
On va donner une caractérisation de l'ordre de multiplicité d'une racine, à l'aide des polynômes dérivés.
|
Théorème : Caractérisation de l'ordre de multiplicité d'une racine, à l'aide des polynômes dérivés Un élément a de K est racine d'ordre k d'un polynôme
|
La démonstration est basée sur la formule suivante déduite de la formule de Taylor pour les polynômes :
Existence de racines : Théorème de d'Alembert
Un des problèmes qui se pose concernant les racines d'un polynôme est celui de l'existence de racines. C'est un problème difficile.
Pour les polynômes à coefficients dans C, le théorème de d'Alembert répond entièrement à la question. Il est fondamental, mais sa démonstration n'est pas élémentaire.
Il en existe plusieurs, utilisant soit des propriétés d'analyse soit des propriétés algébriques, dans les deux cas puissantes et nécessitant des notions qui sont hors du niveau où est placé ce cours.
Nous l'admettrons donc.
Il va permettre de caractériser tous les polynômes irréductibles de et de .
|
Théorème de d'Alembert-Gauss Tout polynôme non constant de |
Remarque historique : Ce résultat a d'abord été énoncé par d'Alembert puis démontré beaucoup plus tard par Gauss.
|
Définition d'un corps algébriquement clos On dit qu'un corps K est algébriquement clos si et seulement si tout polynôme non constant à coefficients dans K admet au moins une racine dans K. |
Il résulte du théorème de d'Alembert que le corps C est algébriquement clos. Par contre, le corps R ne l'est pas. Revoir l'exemple de 
pour s'en convaincre.
Polynômes irréductibles dans C[X]
On suppose connues les propriétés générales des polynômes irréductibles de où K est un corps quelconque. Il n'y a pas, dans le cas général, de caractérisation des polynômes irréductibles. L'objet des deux paragraphes qui suivent est d'étudier ce problème dans les cas particuliers de et de .
Le théorème suivant résulte immédiatement du théorème de d'Alembert :
|
Théorème : Caractérisation des polynômes irréductibles dans Les polynômes irréductibles de |
En effet, soit P un polynôme à coefficients complexes de degré supérieur ou égal à 2. Il est donc non constant et, d'après le théorème de d'Alembert, il admet au moins une racine complexe a. D'après la caractérisation des racines, cela signifie qu'il est divisible par le polynôme . Il n'est donc pas irréductible.
En intégrant ce résultat dans le théorème général de factorisation des polynômes en produit de polynômes irréductibles, on obtient :
|
Théorème : Factorisation en éléments irréductibles dans Tout polynôme non constant de |
Exemple : 
avec 
.
Polynômes irréductibles dans R[X]
Le résultat de l'étude précédente permet d'obtenir la caractérisation des polynômes irréductibles sur .
L'outil essentiel, pour ce faire, est l'inclusion évidente :
En préliminaire, on établit la propriété suivante, très utile dans la pratique.
|
Proposition : Racine complexe d'un polynôme à coefficients réels Soit P un polynôme non constant à coefficients réels. On suppose que ce polynôme, considéré comme élément de Alors |
Preuve : Il est clair, comme les coefficients de P sont réels et compte tenu des propriétés de la conjugaison dans C, que pour tout x complexe
Alors la caractérisation des racines d'un polynôme et de leur ordre de multiplicité à l'aide des dérivées de ce polynôme prouve le résultat.
|
Corollaire 1 : Description des racines d'un élément de Soit P un polynôme à coefficients réels. Ses racines, dans C, sont · soit réelles · soit non réelles, conjuguées deux à deux, une racine et sa conjuguée ayant le même ordre de multiplicité. |
On en déduit un résultat très pratique :
|
Corollaire 2 Tout polynôme à coefficients réels de degré impair a au moins une racine réelle. |
Ici, il est justifié par des propriétés purement algébriques. On peut aussi le démontrer avec des outils d'analyse en étudiant les variations de la fonction polynôme associée.
Cela conduit au théorème suivant :
|
Théorème : Factorisation en facteurs irréductibles dans Soit P un polynôme non constant appartenant à où les polynômes
Une telle décomposition est unique. |
Preuve
D'après le résultat du corollaire, la décomposition en facteurs irréductibles de P, considéré comme un élément de , est de la forme
où les 
sont des nombres réels et les 
des nombres complexes non réels.
Or : 
.
On a 
; on obtient donc un nombre réel. De même, on a 
qui est aussi un nombre réel.
Donc le polynôme 
s'écrit 
avec 
et 
réels. De plus ce polynôme n'a pas de racines réelles ce que l'on peut caractériser en disant que son discriminant 
est négatif.
Ce polynôme est donc un polynôme irréductible dans (sinon il serait divisible par un polynôme de degré 1 ce qui équivaudrait à l'existence d'une racine réelle).
On obtient donc une décomposition de P en un produit de polynômes à coefficient réels, irréductibles dans :
A cause de l'unicité d'une telle décomposition, c'est la décomposition en facteurs irréductibles dans de P.
Remarque : on a l'égalité : 
.
Exemple :
Soit le polynôme 
et cherchons sa décomposition en facteurs irréductibles dans . Si on le considère comme un polynôme à coefficients complexes, il vient que i est racine de P d'ordre de multiplicité égal à 2. En effet,
, d'où 
, d'où 
Donc 
est aussi racine d'ordre 2 de 
dans C. Donc est divisible
dans par 
. Il existe donc 
dans 
tel que :
(considération de degré).
On calcule 
, soit par la méthode des coefficients indéterminés, soit par division euclidienne de par 
, et l'on obtient :
Le polynôme 
est irréductible dans (son discriminant est 
, donc strictement négatif), donc est la décomposition de en facteurs irréductibles dans .
Remarque : La décomposition en facteurs irréductibles de dans est
.
Ce théorème permet d'obtenir une description complète des polynômes irréductibles
dans :
|
Théorème : Caractérisation des polynômes irréductibles dans Les polynômes irréductibles de |
Remarque : Attention ! Une conséquence immédiate de ce résultat est qu'un polynôme à coefficients réels qui n'a pas de racine n'est pas forcément irréductible.
L'exemple suivant en est une illustration.
Exemple : Soit 
.
· Ce polynôme n'a pas de racines réelles : en effet s'il en avait une, soit a, ce réel vérifierait l'égalité 
, ce qui est absurde dans R.
· Mais ce polynôme n'est pas irréductible puisqu'il n'est pas de l'un des deux types précédents.
Donc on sait d'avance que ce polynôme est le produit de deux polynômes de degré égal à 2, sans racines réelles.
· Pour trouver sa factorisation en facteurs irréductibles, on a (au moins) trois méthodes possibles :
On peut utiliser la remarque qui vient d'être faite, l'écrire sous la forme du produit de deux polynômes de degré égal à 2 avec des coefficients indéterminés, développer et identifier les coefficients. Cela aboutit à un système linéaire qu'il faut résoudre. Cette méthode est efficace, mais lourde du point de vue des calculs.
On pourrait aussi chercher sa décomposition dans , puis regrouper les termes correspondant à des racines conjuguées (en suivant le principe de la démonstration théorique).
On peut aussi procéder de la manière suivante : on considère que c'est le début du développement du carré de la somme 
, le double produit manquant.
Alors : 
, soit 
.
C'est la décomposition cherchée.
Remarque : La décomposition en facteurs irréductibles est unique, donc tous les moyens mathématiquement corrects sont bons pour la déterminer.
Formule d'interpolation de Lagrange
Pour terminer cette ressource, nous allons donner la formule d'interpolation de Lagrange qui permet de caractériser un polynôme par la valeur de la fonction polynôme qui lui est associée en un certain nombre de points. (très utile en mathématiques appliquées pour les calculs et les approximations).
On suppose que le corps K est égal à R ou C.
|
Théorème : Formule d'interpolation de Lagrange Etant donnés n points
|
Preuve : elle se décompose en deux parties : l'unicité et l'existence.
· Unicité : S'il existait deux polynômes 
et 
satisfaisant au problème donné,
avec 
, le polynôme non nul 
, serait de degré strictement inférieur à n et aurait au moins n racines, les 
, ce qui serait absurde.
· Existence : On vérifie que le polynôme
est solution du problème posé.
Exemple : Si l'on considère le cas 
et 
, on retrouve le résultat (bien connu) que par deux points distincts il passe une et une seule droite.
Remarque :
Si tous les 
sont nuls, le seul polynôme tel que pour tout k, 
, 
est le polynôme nul (cf. la démonstration de l'unicité).
Source : http://www.ann.jussieu.fr/~berco/LM125/LM125-Lecon-4.htm
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