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Pour commencer...

Une fractale, qu'est-ce que c'est ?

Fractal est un mot inventé par Benoît Mandelbrot en 1974 sur la racine latine fractus qui signifie brisé. Fractal était au départ un adjectif : les objets fractals. On nomme fractale (nom féminin) une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques*.

Les fractales sont des objets qui se répètent récursivement à l'intérieur d'eux-même à plus ou moins grande échelle, et cela de façon infinie. Ces objets peuvent être obtenus à partir d'éléments simples, par des courbes ou des ensembles de points.

 

« Les fractales possèdent une curieuse propriété mathématique : elles présentent essentiellement la même structure à toutes les échelles. »

Field, Michael et Golubitsky, Martin,
La symétrie du chaos,
InterÉditions, 1993, p. 160.

* Le calcul stochastique est l’étude des phénomènes aléatoires dépendants du temps. À ce titre, il est une extension de la théorie des probabilités. Le domaine d’application du calcul stochastique comprend la mécanique quantique, la chimie, les mathématiques financières, et même la musique. 

 

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Le dada des scientifiques

Mathématiciens et physiciens utilisent des fonctions élaborées pour décrire des systèmes très complexes. Le vivant génère des fractales tout autour de nous : par exemple les branches des arbres ou les alvéoles du poumon.

Ces fractales peuvent être réparties en trois grandes catégories :

1. Les systèmes itérés de fonctions. Ceux-ci ont une règle de remplacement géométrique fixe (l'ensemble de Cantor, le tapis de Sierpinski, le triangle de Sierpinski, la courbe de Peano, le flocon de Koch).
2. Les fractales définies par une relation de récurrence en chaque point dans un espace (tel que le plan complexe).Des exemples de ce type sont les ensembles de Mandelbrot et le fractal de Lyapunov.
3. Les fractales aléatoires, générées par des processus stochastiques et non déterministes, par exemples les paysages fractals.

Les mathématiciens utilisent l'informatique pour calculer et visualiser des objets fractals. Fascinés par le résultat esthétique de ces réalisations, certains ont créé des logiciels permettant de générer des images fractales du plus bel effet.

«Depuis l'invention de Mandelbrot, les algorithmes fractals ont servi à produire des images d'une grande beauté. Peut-on parler d'art ? Les maths étant considérés comme une science, une polémique est née dans les milieux artistiques qui soutiennent que l'art doit être réservé à la créativité de l'esprit. Mais la beauté troublante des fractales, qui sont capables de produire des images décrivant une nouvelle géométrie de la nature, ouvre des perspetives et des sources de réflexion d'un nouveau type.»

Helen Kemiktsis,
http://users.hol.gr/~helen/index.files/fractales/fractales.htm

 

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En savoir plus

• http://fr.wikipedia.org/wiki/Fractale
• http://gjoly.free.fr/fractales
• http://science-univers.qc.ca/cosmologie/fractale.htm#s01

Source : http://1000fractales.free.fr/site.htm