Tessarine : Mathématique

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20/11/2010

Tessarine

En mathématiques, les tessarines sont une idée introduite par James Cockle en 1848. La notion inclut à la fois les nombres complexes ordinaires et les nombres complexes fendus. Une tessarine t peut être décrite comme une matrice 2 x 2

$begin{pmatrix} w & z \ z & wend{pmatrix}$ ,

où w et z peuvent être des quaternions quelconques. Si w et z sont des nombres complexes, on obtient les nombres bicomplexes.

Sommaire

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Isomorphismes avec les autres systèmes de nombres [modifier]

Nombres complexes [modifier]

Lorsque z = 0, alors t correspond à un nombre complexe ordinaire, qui est w lui-même.

Nombres complexes fendus [modifier]

Lorsque w et z sont tous deux des nombres réels, alors t correspond à un nombre complexe fendu, w + j z. La tessarine particulière

$j = begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0end{pmatrix}$

possède la propriété suivante : Son produit matriciel au carré est la matrice identité. Cette propriété a conduit Cockle à appeler la tessarine j un "nouvel imaginaire en algèbre". L'importance de l'anneau commutatif et associative de toutes les tessarines semble avoir eu moins d'importance que cette tessarine particulière ainsi que le plan qu'elle crée au-delà de la ligne réelle.

Quaternions coniques, nombres bicomplexes [modifier]

Lorsque w et z sont à la fois des nombres complexes

$w =~a + ib,$

$z =~c + id,$

(a, b, c, d réels) alors l'algèbre t est isomorphe aux quaternions coniques $a + bi + c varepsilon + d i_0,$ , de base ${ 1,~i,~varepsilon ,~i_0 },$ , avec les identités suivantes :

$1 = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1end{pmatrix} qquad i =begin{pmatrix} i & 0 \ 0 & iend{pmatrix} qquad varepsilon =begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0end{pmatrix} qquad i_0 =begin{pmatrix} 0 & i \ i & 0end{pmatrix}$

Ils sont aussi isomorphes aux nombres bicomplexes (à partir des nombres multicomplexes) de base ${ 1,~i_1, i_2, j }$ si une identité :

$1 = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1end{pmatrix} qquad i_1 =begin{pmatrix} i & 0 \ 0 & iend{pmatrix} qquad i_2 =begin{pmatrix} 0 & i \ i & 0end{pmatrix} qquad j =begin{pmatrix} 0 & -1 \ -1 & 0end{pmatrix}$

À noter que j dans les nombres bicomplexes est identifié avec le signe opposé de j à partir de ci-dessus.

Octonions coniques / sédénions coniques [modifier]

Lorsque w et z sont à la fois des quaternions (de base ${ 1,~i_1,~i_2,~i_3 },$ ), alors l'algèbre t est isomorphe aux octonions coniques ; permettant les octonions pour w et z (de base ${ 1,~i_1, ..., ~i_7 },$ ), l'algèbre résultante est identique aux sédénions coniques.^{[réf. nécessaire]}

Propriétés algébriques [modifier]

Les tessarines, lorsque w et z sont des nombres complexes, forment un anneau commutatif et associatif (différent des quaternions qui ne constituent pas un anneau commutatif). Ils permettent aussi les puissances, les racines et les logarithmes de $j = varepsilon,$ , qui est une racine non réelle de 1. Ils ne forment pas un corps à cause des éléments idempotents

$begin{pmatrix} z & pm z \ pm z & z end{pmatrix} = z (1 pm j) = z (1 pm varepsilon),$

qui ont leur déterminant / module égale à 0 et par conséquent ne peuvent pas être inversés multiplicativement. De plus, l'arithmétique contient des diviseurs de zéro

$begin{pmatrix} z & z \ z & z end{pmatrix} begin{pmatrix} z & -z \ -z & z end{pmatrix} = z^2 (1 + j )(1 - j) = z^2 (1 + varepsilon )(1 - varepsilon) = 0$ .

Les quaternions forment un anneau inversible sans diviseurs de zéro, et peut aussi être représenté par des matrices de forme 2 x 2.

Références [modifier]

James Cockle dans le London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine, series 3
- 1848 On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra, 33:435-9.
- 1849 On a New Imaginary in Algebra 34:37-47.
- 1849 On the Symbols of Algebra and on the Theory of Tessarines 34:406-10.
- 1850 On Impossible Équations, on Impossible Quantities and on Tessarines 37:281-3.
- 1850 On the True Amplitude of a Tessarine 38:290-2.

[Enrouler] v · d · m Notion de nombre
Ensembles usuels	$mathbb{N}$ Entier naturel • $mathbb{Z}$ Entier relatif • $mathbb{D}$ Nombre décimal • $mathbb{Q}$ Nombre rationnel • $mathbb{R}$ Nombre réel • $mathbb{C}$ Nombre complexe
Extensions	$mathbb{H}$ Quaternion • $mathbb{O}$ Octonion • $mathbb{S}$ Sédénion • Nombre complexe fendu • Tessarine • $mathbb{C}otimesmathbb{C},$ Nombre bicomplexe • $mathbb{MC}_n$ Nombre multicomplexe • Biquaternion • Coquaternion • Octonion fendu • Nombre hypercomplexe • $mathbb{Q}_p$ Nombre p-adique •Nombre hyperréel • Nombre superréel • Nombre dual • Droite réelle achevée • Nombre cardinal • Nombre ordinal •Nombre surréel et pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité • Nombre premier • Nombre composé • Carré parfait • Nombre parfait • Nombre positif • Nombre négatif • Fraction dyadique •Nombre irrationnel • Nombre algébrique • Nombre transcendant • Nombre imaginaire pur • Nombre de Liouville • Nombre normal •Nombre univers • Nombre constructible • Nombre réel calculable • Nombre transfini • Infiniment petit • Infiniment grand
Exemples d’importance historique	π Pi • √2 Racine carrée de deux • φ Nombre d’or • 0 Zéro • $i$ Unité imaginaire • $e$ Constante de Neper • ℵ₀ Aleph-zéro •Table de constantes mathématiques
Notions connexes	Chiffre • Numération • Fraction • Opération • Calcul • Algèbre • Arithmétique • Suite d’entiers • ∞ Infini • Chiffre significatif