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02/12/2010

Transformation géométrique

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Transformation géométrique

Pour les articles homonymes, voir Transformation.

On appelle transformation géométrique, toute bijection d'une partie d'un ensemble géométrique dans lui-même.

On peut tenter une ou des classifications de ces transformations.

D'abord selon la dimension de l'ensemble géométrique ; on distinguera donc principalement les transformations planes et les transformations dans l'espace.

On peut aussi classer les transformations d'après leurs éléments conservés :

les déplacements, conservant les distances et les angles orientés
les isométries, conservant les distances, et les angles
les similitudes, conservant les rapports de distances
les transformations affines, conservant le parallélisme
les transformations homographiques, conservant les droites

Chacune de ces classes contient la précédente.

les inversions, conservant l'ensemble des droites et des cercles dans le cas plan, ou transformations de Moebius, conservant l'ensemble des plans et des sphères, en dimension 3.


image de départ	isométrie	similitude


transformation affine	transformation homographique	inversions

les transformations bidifférentiables ou difféomorphismes sont les transformations qui sont affines au premier ordre ; elles contiennent les précédentes comme cas particuliers, mais aussi :

les transformations conformes ou anticonformes, conservant les angles, qui sont, au premier ordre, des similitudes

les transformations équivalentes ou équiaréales, conservant les aires dans le cas plan, ou les volumes dans le cas 3D, qui sont, au premier ordre, des transformations affines de déterminant 1

Et enfin, englobant les précédentes :

les transformations bicontinues ou homéomorphismes, conservant les voisinages des points


transformation conforme	transformation équivalente	difféomorphisme	homéomorphisme

On crée alors des groupes et des sous-groupes de transformations.

L'étude de la géométrie est en grande partie l'étude de ces transformations.

Classification non exhaustive des transformations selon leur degré de complexité [modifier]

Les réflexions selon une droite (dans le plan ou l'espace) ou selon un plan (dans l'espace)
Les symétries centrales
les translations
les rotations de centre C (dans le plan) ou d'axe (D) dans l'espace

Les réflexions, symétries, translations, rotations sont des exemples d'isométries du plan ou de l'espace. Certaines conservent les angles orientés et sont alors appelées desdéplacements. L'ensemble des déplacements forme un groupe.

les homothéties

Les homothéties et les isométries sont des exemples de similitudes du plan ou de l'espace. On démontre même que ces transformations engendrent l'ensemble des similitudes. Les similitudes conservant les angles orientés forment un groupe appelé le groupe des similitudes directes.

les affinités

Les affinités et les similitudes sont des exemples de transformations affines du plan ou de l'espace. On démontre même que ces transformations engendrent l'ensemble des transformations affines.

Il existe aussi des transformations qui ne sont pas définies dans le plan ou l'espace tout entier. Parmi celles-ci on peut citer les inversions, les homologies qui sont des transformations homographiques

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Groupe diédral

Symétrie bidimensionnelle D₄

En mathématiques, le groupe diédral noté D_n, pour $ngeq 2$ , ou parfois D_2n, est un groupe d'ordre 2n qui s'interprète notamment comme le groupe des isométries du plan conservant un polygone régulier à n côtés. Le groupe est constitué de n éléments correspondant aux rotationset n autres correspondant aux réflexions. Le groupe D₁ est le groupe cyclique d'ordre 2, noté C₂ ; le groupe D₂ est le groupe de Klein à quatre éléments. Parmi les groupes diédraux D_n, ce sont les deux seuls à être abéliens.

Sommaire

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Présentation et définitions équivalentes [modifier]

Le groupe D_n peut être défini par la suite exacte scindée suivante :

$1to C_nto D_nto C_2to 1$

où C_n est un groupe cyclique d'ordre n, C₂ est cyclique d'ordre 2, la section étant donnée par l'action d'un relevé $σ$ du générateur de C₂, sur un générateur $τ$ du groupe cyclique d'ordre n :

στσ - 1 = τ - 1

Ce groupe est donc produit semi-direct de C_n par C₂ suivant le morphisme $ψ$ , où l'unité de C₂ agit sur C_n comme l'application identique et l'autre élément de C₂ agit sur C_n par inversion. Explicitement:

$text {si }; C_n=langle tau rangle,; C_2=langle sigma rangle ;text{ alors }; psi(1)(tau^k)=tau^k, psi(sigma)(tau^k)=tau^{-k} quad forall k in {0,1,2,..., n-1}$ .

Une présentation est alors :

$leftlanglesigma,taumidsigma^2,tau^n,sigmatausigma^{-1}taurightrangle$

Plus explicitement les générateurs sont des $σ$ , $τ$ et les relations qu'ils vérifient sont de la forme :

$sigma^2=1, quad tau^n=1, quad sigmatausigma^{-1}=tau^{-1}$ .

On peut ainsi dresser une liste complète des éléments du groupe :

$1,tau,tau^2,dots,tau^{n-1},sigma,sigmatau,sigmatau^2,dots,sigmatau^{n-1}$

Une présentation alternative, où $μ = τσ$ dans le système de générateurs de la présentation précédente, est :

$leftlanglesigma,mumidsigma^2,mu^2,(musigma)^nrightrangle$

Plus explicitement les générateurs sont des $σ$ , $μ$ et les relations qu'ils vérifient sont de la forme :

$sigma^2=1, quad mu^2=1, quad (musigma)^n=1$ .

On voit ainsi que le groupe diédral admet un système de deux générateurs distincts tous deux d'ordre 2. Les groupes diédraux sont les seuls groupes finis possédant cette propriété¹.

Le groupe diédral d'ordre 2n peut aussi être vu comme le groupe d'automorphisme du graphe constitué seulement d'un cycle avec n sommets (si n ≥ 3).

Interprétation géométrique [modifier]

On peut définir de la façon suivante une représentation du groupe diédral D_n :

$varphi : D_nto mathrm{GL}_2(mathbb{R})$

avec $varphi(tau)=begin{pmatrix}cos{2pi over n} & -sin{2pi over n} \ sin{2pi over n} & cos{2pi over n}end{pmatrix}$ et $varphi(sigma)=begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & -1end{pmatrix}$ . Cette représentation est en fait à valeurs dans le groupe $O_2(mathbb{R})$ .

On reconnaît que la matrice $φ(τ)$ est une matrice de rotation d'angle $2piover n$ , et la matrice $φ(σ)$ une matrice de réflexion. Ces transformations laissent effectivement invariant le polygone régulier centré en l'origine à n côtés.

Graphe de cycle [modifier]

Les graphes de cycles de groupes diédraux sont constitués d'un cycle à n éléments et de cycles à 2 éléments. Le sommet sombre dans les graphes de cycle ci-dessous de divers groupes diédraux représente l'élément identité, et les autres sommets sont les autres éléments du groupe. Un cycle est constitué des puissances successives de l'un ou l'autre élément connecté à l'élément identité.


D₂	D₃	D₄	D₅	D₆	D₇

Propriétés [modifier]

Le sous-ensemble des rotations ${1,tau,tau^2,dots,tau^{n-1}}$ est un sous-groupe normal.

Certaines propriétés des groupes diédraux D_n avec n ≥ 3 dépendent de la parité de n. Elles peuvent souvent facilement être déduites de la représentation géométrique de ce groupe.

Le centre de D_n est constitué seulement de l'identité si n est impair, mais si n est pair le centre a deux éléments : l'identité et l'élément $τ n / 2$ .
Pour n impair, le groupe D_2n est isomorphe au produit direct de D_n et d'un groupe cyclique d'ordre 2. Cet isomorphisme est donné par :

$sigma^htau^{k+epsilon n}mapsto(sigma^htau^k,epsilon)$

où D_2n est l'ensemble de départ D_n*C₂ celui d'arrivée, h et $ε$ étant définis modulo 2, et k modulo n. Les générateurs des groupes diédraux sont choisis comme dans la première partie de l'article.

Toutes les réflexions sont conjuguées les unes les autres dans le cas où n est impair, mais elles sont contenues dans deux classes de conjugaison si n est pair.
Si m divise n, alors D_n a n / m sous-groupes de type D_m, et un sous-groupe cyclique C_m. Par conséquent, le nombre total de sous-groupes de D_n (n ≥ 1), est égal à d (n) + σ (n), oùd (n) est le nombre de diviseurs positifs de n et σ (n) est la somme des diviseurs positifs de n (voir liste des petits groupes pour les cas n ≤ 8)

Représentations [modifier]

Si n est impair, le groupe D_n admet 2 représentations irréductibles complexes de degré 1 :

$sigmamapsto (-1)^k;taumapsto 1;kin{0,1}$

En revanche, si n est pair, il existe 4 représentations irréductibles de degré 1 :

$sigmamapsto (-1)^k;taumapsto (-1)^h;kin{0,1};hin{0,1}$

Les autres représentations irréductibles sont toutes de degré 2 ; elles sont en nombre $frac{n-1}{2}$ si n est impair, respectivement $frac{n}{2}-1$ si n est pair. On peut les définir comme suit :

$taumapstobegin{pmatrix} omega^h & 0 \ 0 & omega^{-h}end{pmatrix}quadmbox{ et }quadsigmamapstobegin{pmatrix} 0 & -1 \ -1 & 0end{pmatrix}$

où $ω$ désigne une racine primitive n^e de l'unité, et h parcourt les entiers compris entre 1 et n-1. On peut vérifier que deux telles représentations sont isomorphes seulement pour h₁ et h₂vérifiant h₁+h₂=n. On obtient alors le nombre annoncé de représentations irréductibles de degré 2 non isomorphes, et donc toutes les représentations irréductible du groupe diédral, par la formule liant le nombre de représentations irréductibles à l'ordre du groupe.

Groupe diédral infini [modifier]

En plus des groupes diédraux finis, on trouve le groupe diédral infini D_∞.

Tout groupe diédral est généré par une rotation r et une réflexion. Si la rotation est un multiple rationnel d’une rotation totale, alors il existe un entier n tel que rⁿ soit l’identité, et on est en présence d’un groupe diédral fini d’ordre 2n. Mais si la rotation n’est pas un multiple rationnel d’une rotation totale, alors il n’existe pas de tel n et le groupe résultant a un nombre infinid’éléments ; on le note D_∞. Il admet pour présentation

$langle r, f mid f^2 = 1, frf = r^{-1} rangle$

$langle x, y mid x^2 = y^2 = 1 rangle$

et est isomorphe au produit semi-direct de Z par C₂, ainsi qu’au produit libre C₂ * C₂. Il s’agit de l’automorphisme de groupes du graphe constitué d’un chemin infini vers les deux extrémités. De façon équivalente, il s’agit du groupe des isométries de Z.

Groupe diédral généralisé [modifier]

Pour tout groupe abélien H, le groupe diédral généralisé de H, noté Dih(H), est le produit semi-direct de H par C₂, l'action de C₂ sur H étant l'inversion, i.e.

$mathrm{Dih}(H) = H rtimes_varphi C_2~,$

où φ(0) est l'application identité et φ(1) l'inversion des éléments.

On obtient ainsi, si H et C₂ sont tous deux notés additivement :

(h₁, 0) * (h₂, t₂) = (h₁ + h₂, t₂)

(h₁, 1) * (h₂, t₂) = (h₁ − h₂, 1 + t₂)

pour tous h₁, h₂ dans H et t₂ dans C₂.

(Si C₂ est noté multiplicativement, ces deux formules se résument en (h₁, t₁) * (h₂, t₂) = (h₁ + t₁h₂, t₁t₂) .)

Le sous-groupe de Dih(H) constitué des éléments de la forme (h, 0) est un sous-groupe normal d'indice 2, isomorphe à H. Quant aux éléments de la forme (h, 1), chacun est son propre inverse.

Les classes de conjugaison sont

les ensembles {(h,0 ), (−h,0 )}
les ensembles {(h + k + k, 1) | k dans H }

Ainsi, pour tout sous-groupe M de H, les éléments correspondants (m,0) forment aussi un sous-groupe normal de Dih(H) isomorphe à M, et l'on a :

Dih(H) / M = Dih ( H / M )

Exemples :

D_n = Dih(C_n).
- Si n est pair il y a deux ensembles de la forme {(h + k + k, 1) | k dans H }, et chacun d'eux engendre un sous-groupe normal isomorphe à D_n/2. Ce sont deux sous-groupes du groupe des isométries d'un n-gone régulier, isomorphes mais distincts : tous deux contiennent les mêmes rotations, mais dans l'un des deux sous-groupes, chaque réflexion fixe deux des sommets, tandis que dans l'autre, les réflexions ne fixent aucun sommet.
- Si n est impair il n'y a qu'un ensemble de la forme {(h + k + k, 1) | k dans H }.
D_∞ = Dih(Z) ; il y a deux ensembles de la forme {(h + k + k, 1) | k dans H }, et chacun d'eux engendre un sous-groupe isomorphe à D_∞. Ce sont deux sous-groupes du groupe des isométries de Z, isomorphes mais distincts : tous deux contiennent les mêmes translations (par les entiers pairs), mais dans l'un des deux sous-groupes, chaque réflexion a un point fixe entier (son centre), tandis que dans l'autre, les réflexions sont sans point fixe entier (leurs centres sont des demi-entiers).
Dih(S¹) est isomorphe au groupe orthogonal O(2,R) des isométries du plan euclidien qui fixent l'origine ou de façon équivalente, au groupe des isométries du cercle. Les rotations forment le groupe SO(2,R), isomorphe au groupe additif R/Z, et également isomorphe au groupe multiplicatif S¹ égal au cercle unité (constitué des nombres complexes de module 1). Dans ce dernier cas, l'une des réflexions (qui, avec les rotations, engendre tout le groupe), est la conjugaison complexe. Les sous-groupes normaux propres ne contiennent que des rotations. Les sous-groupes normaux discrets sont, pour chaque entier n, un sous-groupe cyclique d'ordre n, et les quotients sont isomorphes au même groupe Dih(S¹).
Dih(Rⁿ ) est le groupe des translations et symétries centrales de Rⁿ (qui, si n > 1 n'épuisent pas toutes les isométries).
Dih(H) pour n'importe quel sous-groupe de Rⁿ, par exemple un groupe discret ; dans ce cas, s'il agit dans les n directions, c'est un réseau.
- Les sous-groupes discrets de Dih(R² ) qui contiennent des translations dans une seule direction sont les groupes de frise de types ∞∞ et 22∞.
- Ceux qui contiennent des translations dans deux directions sont les groupes de papier peint (en) de types p1 et p2.
- Les sous-groupes discrets de Dih(R³ ) qui contiennent des translations dans trois directions sont les groupes d'espace de systèmes réticulaires tricliniques.

Dih(H) est abélien si et seulement si le produit semi-direct est direct, c'est-à-dire si et seulement si chaque élément de H est son propre inverse, i.e. H est un 2-groupe abélien élémentaire : Dih(C₂^k) = C₂^k+1.

Bibliographie [modifier]

Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions]
Algèbre générale, Bernard Charles et denis Allouch, PUF, Paris 1984

Notes et références [modifier]

↑ J. J. Rotman, An introduction to the Theory of Groups, 4^e éd., tirage de 1999, théor. 3.32, p. 68.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dihedral group » (voir la liste des auteurs)

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_di%C3%A9dral

Groupe de Weyl

En mathématiques, et en particulier dans la théorie des algèbres de Lie, le groupe de Weyl d'un système de racines $Phi,$ est le sous-groupe du groupe d'isométries du système de racines engendré par les réflexions orthogonales par rapport aux hyperplans orthogonaux aux racines.

Exemple [modifier]

Le système de racines de $A_2,$ est constitué des sommets d'un hexagone régulier centré à l'origine. Le groupe complet des symétries de ce système de racines est par conséquent legroupe diédral d'ordre 12. Le groupe de Weyl est engendré par les réflexions à travers les droites bissectant les paires de côtés opposés de l'hexagone ; c'est le groupe diédral d'ordre 6.

Le groupe de Weyl d'un groupe de Lie semi-simple, d'une algèbre de Lie semi-simple, d'un groupe algébrique linéaire semi-simple, etc. est le groupe de Weyl du système de racines de ce groupe ou de cette algèbre.

Les chambres de Weyl [modifier]

Enlever les hyperplans définis par les racines de $Phi,$ découpe l'espace euclidien en un nombre fini de régions ouvertes, appelées les chambres de Weyl. Celles-ci sont permutées par l'action sur le groupe de Weyl, et un théorème établit que cette action est simplement transitive. En particulier, le nombre de chambres de Weyl est égal à l'ordre du groupe de Weyl. Tout vecteur v différent de zéro divise l'espace euclidien en deux demi-espaces bordant l'hyperplan $v^{and},$ orthogonal à v, nommés $v^{+},$ et $v^{-},$ . Si v appartient à une certaine chambre de Weyl, aucune racine ne se trouve dans $v'^{and},$ , donc chaque racine se trouve dans $v^{+},$ ou $v^{-},$ , et si $alpha,$ se trouve dans l'un d'eux, alors $- alpha,$ se trouve dans l'autre. Ainsi, $Phi^{+} := Phi cap v^{+},$ constitué d'exactement la moitié des racines de $Phi,$ . Bien sûr, $Phi^{+},$ dépend de v, mais il ne change pas si v reste dans la même chambre de Weyl.

La base du système de racine qui respecte le choix de $Phi,$ est l'ensemble des racines simples dans $Phi^{+},$ , i.e., les racines qui ne peuvent pas être écrites comme une somme de deux racines dans $Phi^{+},$ . Ainsi, les chambres de Weyl, l'ensemble $Phi^{+},$ et la base en déterminent un autre, et le groupe de Weyl agit simplement transitivement dans chaque cas. L'illustration suivante montre les six chambres de Weyl d'un système de racines $A_2,$ , un choix de v, l'hyperplan $v^{and},$ (indiqué par une droite en pointillé) et les racines positives $alpha,$ , $beta,$ , et $gamma,$ . La base dans ce cas est ( $alpha,,gamma,$ }.

Les groupes de Coxeter [modifier]

Les groupes de Weyl sont des exemples des groupes de Coxeter. Ceci signifie qu'ils ont une sorte particulière de présentation dans laquelle chaque générateur $x_i,$ est d'ordre deux, et les relations autres que $x_i^2,$ sont de la forme $(x_i x_j)^{m_{ij}},$ . Les générateurs sont les réflexions données par les racines simples et $m_{ij},$ est 2, 3, 4 ou 6 dépendant si les racines i et jfont un angle de 90, 120, 135 ou 150 degrés, i.e., si dans le Diagramme de Dynkin, elles ne sont pas connectées, connectées avec une arête simple, connectées par une double arête ou connectées par une triple arête. La longueur d'un élément du groupe de Weyl est la longueur du mot le plus court représentant cet élément en termes de ces générateurs standards.

Si G est un groupe algébrique linéaire semisimple sur un corps algébriquement clos (plus généralement un groupe déployé), et T est un tore maximal, le normalisateur N de T contient Tcomme sous-groupe d'indice fini et le groupe de Weyl W de G est isomorphe à N/T. Si B est un sous-groupe de Borel de G, i.e. un sous-groupe connexe résoluble maximal choisi pour contenir T, alors nous obtenons une décomposition de Bruhat

$G = bigsqcup_{win W} BwB,$

ce qui provoque la décomposition de la variété de drapeaux G/B en cellules de Schubert (voir Grassmannienne).

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Weyl

Forme de Killing

Dans la théorie des algèbres de Lie, la forme de Killing est une forme bilinéaire symétrique naturellement associée à toute algèbre de Lie. Elle reflète un certain nombre de propriétés des algèbres de Lie (semi-simplicité, résolubilité…).

Définition [modifier]

Soit g une K-algèbre de Lie, où K désigne un corps (commutatif). La représentation adjointe définit pour tout vecteur x de g un endomorphisme K-linéaire ad(x) du K-espace vectoriel g :

a d (x)(y) = [x, y]

Si g est de dimension finie, il existe une forme bilinéaire symétrique B définie par :

$B(x,y)=Trleft(ad(x)circ ad(y)right)$

où Tr désigne l'opérateur trace. Cette forme est appelée forme de Killing de g.

La forme de Killing est l'unique forme bilinéaire symétrique sur g, invariante sous l'action des automorphismes de la K-algèbre de Lie g et vérifiant l'identité remarquable :

$Bleft([x,y],zright)=Bleft(x,[y,z]right)$ .

Curieusement, la forme de Killing a été définie par Henri Cartan, tandis que la matrice de Cartan a été définie par Wilhelm Killing (en).

Voir aussi [modifier]

Tenseur de Killing

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Algèbre enveloppante

Cet article est une ébauche concernant l'algèbre.

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En mathématiques, on peut construire l'algèbre enveloppante U(L) d'une algèbre de Lie L. Il s'agit une algèbre associative unitaire qui permet de rendre compte de la plupart des propriétés de L.

Si A est une algèbre associative sur un corps K, on peut facilement la munir d'une structure d'algèbre de Lie, en posant [x,y]=xy-yx. On note l'algèbre de Lie ainsi obtenue A_L.

La construction d'une algèbre enveloppante répond au problème réciproque : à partir d'une algèbre de Lie, on construit une algèbre associative dont le commutateur correspond au crochet dont on était parti.

Construction [modifier]

Soit L une algèbre de Lie sur un corps K. Soit T(L) l'algèbre tensorielle de L. On construit U(L) à partir de T(L) en imposant les relations $xotimes y-yotimes x=[x,y]$ .

Plus formellement, on note I l'idéal bilatère engendré par les $xotimes y-yotimes x-[x,y]$ . U(L) est alors le quotient de T(L) par l'idéal I. L'injection canonique de L dans T(L) fournit alors un morphisme $iota:Lto U(L)$ .

Propriété universelle [modifier]

On peut caractériser l'algèbre enveloppante de L par la propriété universelle suivante : U(L) est l'unique algèbre assocative telle que pour toute K-algèbre associative A et tout morphisme d'algèbre de Lie $phi : Lto A_L$ , il existe un unique morphisme d'algèbre associative $Phi:U(L)to A$ tel que $phi=Phicirc iota$ .

Autres propriétés [modifier]

L'intérêt premier de la construction de l'algèbre enveloppante est que toute représentation d'une algèbre de Lie L peut être vue comme un module sur U(L). Formellement, il y a uneéquivalence de catégories entre les représentations de L et les U(L)-modules.

Le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt permet de mieux comprendre la structure de l'algèbre enveloppante. Un corollaire important de ce théorème est que l'application $ι$ définie ci-dessus est injective.

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_enveloppante

Crochet de Lie

Cet article ne cite pas suffisamment ses sources (août 2007).

Si vous connaissez le thème traité, merci d'indiquer les passages à sourcer avec {{Référence souhaitée}} ou, mieux, incluez les références utiles en les liant aux notes de bas de page. (Modifier l'article)

Le crochet de Lie est une loi de composition interne $[,]$ sur un espace vectoriel $V$ , qui lui confère une structure d'algèbre de Lie. Le commutateur [u,v]=uv-vu de deux endomorphismesen constitue un des exemples les plus simples.

Le nom de crochet de Lie, ou simplement crochet, est souvent employé pour le crochet de Lie de deux champs de vecteurs sur une variété différentielle.

Sommaire

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Définition générale [modifier]

Article détaillé : algèbre de Lie.

Soit un espace vectoriel $V$ sur un corps $mathbb K$ . Un crochet de Lie est une loi de composition interne sur V (c'est-à-dire que le crochet de Lie de deux vecteurs est encore un vecteur : $forall x,yin V,quad [x,y]in V$ ), vérifiant les propriétés suivantes :

Bilinéarité :
- $forall x,x',yin V,lambda,muinmathbb K, [lambda x+mu x', y]=lambda[x,y]+mu [x',y],$
- $forall x,y,y'in V,lambda,muinmathbb K,[x,lambda y+mu y']=lambda[x,y]+mu [x,y']$ .
L'application bilinéaire [.,.] est alternée : $forall xin V,quad [x,x]=0$
Identité de Jacobi : $forall x,y,zin V, [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ .

Remarques

Un crochet de Lie vérifie :

l'antisymétrie : $forall x,yin V, [x,y]=-[y,x]$ .

L'antisymétrie implique $[x, x] = 0$ pour tout corps pour lequel $2neq 0$ (corps de caractéristique différente de deux).

Si on combine la bilinéarité avec l'antisymétrie $[λ x + x', y] = - [y,λ x + x']$ on peut ne vérifier la linéarité que sur une seule composante: $[λ x + x', y] = λ[x, y] + [x', y]$ .

Muni d'un crochet de Lie, un espace vectoriel devient une algèbre de Lie.

Crochet de Lie de deux champs de vecteurs [modifier]

Article détaillé : dérivée de Lie.

Soit V une variété différentielle et X et Y deux champs de vecteurs sur V. On note X . f la dérivée de la fonction f dans la direction du champ X. Le crochet de Lie de X et Y est l'unique champ de vecteur, noté [X,Y], tel que, pour toute fonction f indéfiniment dérivable,

$[X,Y]cdot f = Xcdot (Ycdot f) -Y cdot (Xcdot f)$

On montre en effet qu'un champ de vecteurs Z peut être caractérisé par la façon dont il dérive les applications. On vérifie en outre que l'application [,] définit bien un crochet de Lie sur les champs de vecteurs. Voir pour les démonstrations l'article dérivée de Lie.

Lorsque deux champs de vecteurs ont un crochet nul, on dit qu'ils commutent.

Bibliographie [modifier]

Alain Bouvier, Michel George, François Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, Presses Universitaires de France, 1979.

Voir aussi [modifier]

[Dérouler] v · d · m Opérations binaires

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Crochet_de_Lie

Classification de Bianchi

La classification de Bianchi est une classification des algèbres de Lie réelles de dimension 3, donnée par Luigi Bianchi.

Classification de Bianchi [modifier]

Type	Description	Exemple	Groupe de Lie	Matrice
Type I	Abélienne	R³, muni d'un crochet nul	R³ comme groupe additif	M = 0
Type II	Nilpotente et unimodulaire	H³, l'algèbre de Heisenberg	Le Groupe de Heisenberg de dimension 3	M nilpotente non nulle
Type III	Résoluble et pas unimodulaire	Rx...	RxG : Produit direct du groupe additif R et du groupe G des matrices triangulaires supérieures de déterminant 1	M a une unique valeur propre nulle
Type IV	Résoluble et pas unimodulaire	M est une matrice non semi-simple possédant une unique valeur propre, qui est non nulle.
Type V	Résoluble et non unimodulaire	M est une matrice semi-simple possédant une unique valeur propre.
Type VI	Résoluble et non unimodulaire	M a deux valeurs propres réelles distinctes non nulles et de somme non nulle.
Type VI₀	Résoluble et unimodulaire	so(1,1)	SO(1,1)	M possède deux valeurs propres réelles distinctes de somme nulle.
Type VII	Résoluble et unimodulaire	M a des valeurs propres non réelles et non imaginaires pures.
Type VII₀	Résoluble et unimodulaire	Groupe des isométries directes du plan euclidien	M ne possède que des valeurs propres imaginaires pures non nulles.
Type VIII	Semisimple et unimodulaire	sl₂(R)	SL₂(R)	Irréalisable
Type IX	Semisimple et unimodulaire	o₃(R) ou su₂(C)	SO₃(R) ou SU₂(C)	Irréalisable

Intérêt pour la cosmologie [modifier]

En cosmologie, cette classification est utilisée pour les espace-temps homogènes de dimension 3+1. L'univers de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker est isotrope, ce qui est un cas particulier du type I, V et IX décrit ci-dessus. Le cas général correspond à univers homogène, mais dont l'expansion est anisotrope, c'est-à-dire dont le taux d'expansion est différent suivant trois directions orthogonales . Le type IX de la classification de Bianchi (la Métrique de Kasner est un cas particulier) révèle une dynamique particulièrement complexe de l'expansion. Celle-ci se faisant par la succession d'époques de type expansion anisotrope (avec deux directions en expansion, une en contraction) qui sont séparées par des périodes où les taux d'expansion dans les trois directions changent de façon brutale et relativement chaotique.

Références [modifier]

Voir (en) Robert M. Wald, General Relativity, University of Chicago Press, 1984, 498 pages (ISBN 0226870332), chapitre 7.2, pages 168 à 179.

[Enrouler]

v · d · m

Quelques modèles cosmologiques

Atome primitif • Big Bang • Big Crunch • Big Rip • Classification de Bianchi • Cosmologie branaire • Cosmologie cordiste • Dimensions supplémentaires • Espace anti de Sitter • Espace de Sitter • Espace de Taub-NUT • Inflation cosmique • Modèle ΛCDM • Modèle cyclique • Modèle OCDM • Modèle SCDM • Modèle standard de la cosmologie • Pré Big Bang • Théorie de l'état stationnaire • Univers d'Einstein • Univers de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker • Univers de Gödel • Univers de Milne • Univers de de Sitter • Univers ekpyrotique • Univers en tore bidimensionnel • Univers fractal • Univers hésitant • Univers mixmaster • Univers phénix

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Bialgèbre de Lie

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En mathématiques, une bialgèbre de Lie est une algèbre de Lie munie d'une application

$delta:mathfrak{g} longrightarrow mathfrak{g} otimes mathfrak{g}$

(appelée coproduit ou cocommutateur) telle que l'application duale $δ *$ soit un crochet de Lie, et telle que $δ$ soit un cocycle :

$delta([X,Y]) = left( operatorname{ad}_X otimes 1 + 1 otimes operatorname{ad}_X right) delta(Y) - left( operatorname{ad}_Y otimes 1 + 1 otimes operatorname{ad}_Y right) delta(X)$

Remarque importante : Une bialgèbre de Lie n'est pas a proprement parler une bialgèbre. En effet, on exige en général d'une bialgèbre que son algèbre sous-jacente soit unitaire etassociative.

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Bialg%C3%A8bre_de_Lie

Algèbre de Lie

En mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien Sophus Lie, est un espace vectoriel qui est muni d'un crochet de Lie, c'est-à-dire d'une loi de composition interne bilinéaire, antisymétrique et qui vérifie l'identité de Jacobi. Une algèbre de Lie est un cas particulier d'algèbre sur un corps.

Sommaire

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Définitions, exemples et premières propriétés [modifier]

Définition [modifier]

Soit $mathbb{K}$ un corps.

Une algèbre de Lie sur $mathbb{K}$ est un espace vectoriel $mathfrak{g}$ sur $mathbb{K}$ muni d'une application bilinéaire $(x,y) mapsto [x,y]$ de $mathfrak{g}timesmathfrak{g}$ dans $mathfrak{g}$ qui vérifie les propriétés suivantes:

$forall x in mathfrak{g}, [x,x]=0$ ;
$forall x,y,z in mathfrak{g}, [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$

Le produit $[x, y]$ est appelé crochet de Lie (ou simplement crochet) de $x$ et $y$ . Puisque le crochet est une fonction bilinéaire alternée de $x, y$ , on a aussi l'identité $[x, y] = - [y, x]$ pour tous $x, y$ dans $mathfrak{g}$ . L'identité (2) ci-dessus est appelée l'identité de Jacobi.

Une sous-algèbre de Lie de $mathfrak{g}$ est un sous-espace vectoriel de $mathfrak{g}$ stable pour le crochet de Lie. Toute sous-algèbre de Lie de $mathfrak{g}$ est munie de manière évidente d'une structure d'algèbre de Lie sur $mathbb{K}$ .

Remarque : contrairement aux algèbres tensorielles (et aux algèbres de Clifford, dont les algèbres extérieures), les algèbres de Lie ne sont pas unitaires, ni associatives.

Quelques exemples classiques d'algèbres de Lie [modifier]

Tout espace vectoriel $E$ peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie, en posant $forall x,y in E, [x,y]=0$ . Une telle algèbre de Lie, où le crochet de Lie est identiquement nul, est appelée abélienne.
On peut, à partir de $(A, * )$ , une algèbre associative sur un corps, construire une algèbre de Lie, de la façon suivante : on pose $forall x,y in A, [x,y]=x*y-y*x$ (c'est lecommutateur des deux éléments x et y). Il est facile de vérifier que l'on définit ainsi sur $A$ une structure d'algèbre de Lie.
Inversement, toute algèbre de Lie $mathfrak{g}$ est contenue dans une algèbre associative, appelée algèbre enveloppante, dans laquelle le crochet de Lie coïncide avec le crochet définit ci-dessus. L'algèbre enveloppante est beaucoup plus grande que l'algèbre de départ.
Comme exemple concret de la situation ci-dessus, considérons $mathcal{M}_n(mathbb{K})$ , l'espace des matrices $n times n$ à coefficients dans $mathbb{K}$ . C'est une algèbre associative pour le produit matriciel usuel. On peut donc également lui donner une structure d'algèbre de Lie, avec le crochet $[A, B] = A B - B A$ . On note $mathfrak{gl}_n(mathbb{K})$ cette algèbre, lorsque l'on considère sa structure d'algèbre de Lie.
Bien évidemment, tout sous-espace vectoriel de $mathfrak{gl}_n(mathbb{K})$ stable par le crochet est une algèbre de Lie. Ainsi, on peut vérifier que l'ensemble des matrices de trace nulle est une algèbre de Lie, que l'on note $mathfrak{sl}_n(mathbb{K})$ .
En fait, le théorème d'Ado montre que toute algèbre de Lie de dimension finie peut être vue comme une sous-algèbre de $mathfrak{gl}_n(mathbb{K})$ .
Un autre exemple fondamental, plus géométrique, est le suivant. Soit $M$ une variété différentielle. Alors l'espace vectoriel formé par les champs de vecteurs sur $M$ possède une structure naturelle d'algèbre de Lie, sans être une algèbre.
En particulier, l'ensemble des vecteurs de Killing d'une variété forme une algèbre de Lie, qui correspond au groupe d'isométries de la variété considérée.
L'espace euclidien tri-dimensionnel $mathbb{R}^3$ avec le produit vectoriel comme crochet de Lie est une algèbre de Lie.

Morphismes et idéaux [modifier]

Un morphisme d'algèbre de Lie $mathfrak{g}$ est une application linéaire $φ$ qui respecte le crochet de Lie, c'est-à-dire telle que

$forall a,b in mathfrak{g}, phi([a,b])=[phi(a),phi(b)]$ .

Un idéal de $mathfrak{g}$ est un sous-espace vectoriel $mathfrak{h}$ tel que $forall ginmathfrak{g}, forall hin mathfrak{h}, [g,h]inmathfrak{h}$ . C'est en particulier une sous-algèbre de Lie. Si une algèbre de Lie n'admet pas d'idéal non trivial, elle est dite simple.

Si $mathfrak{h}$ est un idéal de $mathfrak{g}$ , on peut former le quotient de $mathfrak{g}$ par $mathfrak{h}$ : c'est l'espace vectoriel quotient $mathfrak{g}/mathfrak{h}$ , muni du crochet défini par $[g+mathfrak{h},g'+mathfrak{h}] = [g,g']$ . La projection $mathfrak{g}to mathfrak{g}/mathfrak{h}$ est alors un morphisme d'algèbres de Lie.

Une représentation d'une algèbre de Lie $mathfrak{g}$ est un morphisme $phi,:,mathfrak{g}to mathfrak{gl}_n(mathbb{K})$ . Autrement dit, c'est une application linéaire telle que $φ([g, h]) = φ(g)φ(h) - φ(h)φ(g)$ .

Le morphisme $ad:mathfrak{g}tomathfrak{gl(g)}$ défini par $a d (g)(h) = [g, h]$ définit une représentation de $mathfrak{g}$ , appelée représentation adjointe. L'identité de Jacobi exprime précisément le fait que ad respecte le crochet. Le noyau de cette représentation est le centre $Z(mathfrak{g})={ginmathfrak{g}forall hinmathfrak{g} [g,h]=0}$ de l'algèbre de Lie $mathfrak g$ .

Relation avec les groupes de Lie et les groupes algébriques [modifier]

Les algèbres de Lie sont naturellement associées aux groupes de Lie. Si $G$ est un groupe de Lie et 1 son élément neutre, alors l'espace tangent en 1 à $G$ est une algèbre de Lie ; la construction exacte de cette algèbre est détaillée dans la section correspondante de l'article Groupe de Lie. La même construction est valable pour les groupes algébriques. On note en général en petites lettres gothiques l'algèbre de Lie associée à un groupe de Lie, ou à un groupe algébrique. Ainsi, comme on l'a déjà vu, $mathfrak{gl_n}$ désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n et $mathfrak{sl_n}$ désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n de trace nulle. De la même façon, $mathfrak{so_n}$ désigne l'ensemble des matrices carrées A de taille n antisymétriques, etc. Dans tous ces exemples, le crochet de Lie n'est rien d'autre que le commutateur : [A,B]=AB-BA.

Si $φ$ est un morphisme de groupes entre deux groupes de Lie $G$ et $H$ , et si l'on suppose $φ$ différentiable, alors sa différentielle en l'identité sera un morphisme entre les algèbres de Lie $mathfrak{g}$ et $mathfrak{h}$ de $G$ et $H$ . En particulier, à une représentation de $G$ différentiable, on associe une représentation de $mathfrak{g}$ .

La classification des algèbres de Lie est utilisée de façon cruciale pour l'étude des groupes de Lie, des groupes algébriques et de leurs représentations.

Classification [modifier]

Si $mathfrak{a}$ et $mathfrak{b}$ sont deux sous-algèbres de Lie d'une algèbre de Lie $mathfrak{g}$ , notons $[mathfrak{a},mathfrak{b}]$ le sous-espace vectoriel engendré par les éléments de la forme $[a, b]$ pour $ainmathfrak{a}$ et $binmathfrak{b}$ .

Algèbres de Lie nilpotentes [modifier]

Une algèbre de Lie est dite nilpotente lorsque toute suite de commutateurs $[[[g_1,g_2],g_3],dots,g_n]$ finit par être nulle, lorsque n devient suffisamment grand.

Plus précisément, définissons $C i$ par $C_0=mathfrak{g}$ et $C_{i+1}=[C_i,mathfrak{g}]$ .

S'il existe un i tel que $C i$ =0, on dit que $mathfrak{g}$ est nilpotente. Cette notion est à mettre en parallèle avec celle de groupe nilpotent. Il est facile de voir que toute algèbre de Lie abélienne est nilpotente.

L'algèbre $mathfrak n$ des matrices triangulaires strictes, c'est-à-dire de la forme $left(begin{matrix} 0 & star & cdots & star \ vdots & ddots & star& vdots \ vdots & 0 & ddots & star \ 0 & cdots & cdots & 0 \ end{matrix}right)$ fournit un exemple d'algèbre de Lie nilpotente.

Le théorème d'Engel affirme que toute sous-algèbre nilpotente de $mathfrak{gl}_n(mathbb K)$ est en fait simultanément trigonalisable et donc conjuguée à une sous-algèbre de $mathfrak n$ .

Algèbres de Lie résolubles [modifier]

Définissons par récurrence $D i$ par $D_0=mathfrak{g}$ et $D i + 1 = [D i, D i]$

S'il existe un i tel que $D i$ =0, on dit que $mathfrak{g}$ est résoluble. Comme dans le cas des algèbres nilpotentes, cette notion correspond à celle de groupe résoluble. Il est facile de voir que toute algèbre de Lie nilpotente est résoluble.

Un exemple d'algèbre de Lie résoluble est donné par l'algèbre $mathfrak b$ des matrices triangulaires supérieures dans $mathfrak{gl}_n(mathbb K)$ .

Le théorème de Lie montre que, si $mathbb K$ est algébriquement clos et de caractéristique nulle, alors toute sous-algèbre de Lie résoluble de $mathfrak{gl}_n(mathbb K)$ est conjuguée à une sous-algèbre de $mathfrak b$

Algèbres de Lie semi-simples et réductives [modifier]

Article détaillé : algèbre semi-simple.

On dit qu'une algèbre de Lie $mathfrak{g}$ est semi-simple lorsqu'elle ne contient pas d'idéal résoluble non trivial. $mathfrak{g}$ est dite réductive lorsque sa représentation adjointe est semi-simple.

Lorsque $mathbb K$ est de caractéristique nulle, et que $mathfrak{g}$ est de dimension finie, la semi-simplicité de $mathfrak{g}$ est équivalente à la non-dégénerescence de la forme de Killing $K (x, y)$ définie par $K (x, y) = t r (a d (x) a d (y))$ , où tr désigne la trace. Par ailleurs, $mathfrak{g}$ est réductive si et seulement si $[mathfrak{g},mathfrak{g}]$ est semi-simple.

On peut montrer que, sous les mêmes hypothèses, toute algèbre de Lie semi-simple est en fait une somme directe d'algèbres de Lie simples.

Les algèbres de Lie simples de dimension finie sur le corps $mathbb C$ des nombres complexes sont classifiées par les diagrammes de Dynkin. Il y a donc 4 familles d'algèbres de Lie simples (ou 3 si on considère $B n$ et $D n$ comme une même famille) et 5 algèbres de Lie exceptionnelles, correspondant chacune à un diagramme de Dynkin différent.

À un diagramme de Dynkin de type $A_n (ngeq 1)$ correspond l'algèbre de Lie $mathfrak{sl}_{n+1}(mathbb{C})$ .

À un diagramme de Dynkin de type $B_n (ngeq 2)$ correspond l'algèbre de Lie $mathfrak{so}_{2n+1}(mathbb{C})$ .

À un diagramme de Dynkin de type $C_n (ngeq 3)$ correspond l'algèbre de Lie $mathfrak{sp}_{2n}(mathbb{C})$ .

À un diagramme de Dynkin de type $D_n (ngeq 4)$ correspond l'algèbre de Lie $mathfrak{so}_{2n}(mathbb{C})$ .

Les algèbres de Lie exceptionnelles, correspondant aux diagrammes de Dynkin restants (de type E₆, E₇, E₈, F₄ et G₂) n'ont pas d'interprétation aussi simple.

L'algèbre de Lie $mathfrak{gl}_{n}(mathbb{C})$ est, elle, réductive et son algèbre de Lie dérivée est $mathfrak{sl}_{n}(mathbb{C})$ .

Les algèbres de Lie semi-simples de dimension finie sur le corps $mathbb R$ des nombres réels sont classifiées par les involutions d'algèbres de Lie complexe ou, de façon équivalente, par lesinvolutions de systèmes de racines. Ceci correspond à la notion d'algèbre de Lie symétrique. Comme classe d'algèbre de Lie simple réelle, on peut citer:

Les algèbres de Lie compactes. Ce sont les algèbres de Lie de groupes compacts. Il y en a exactement une qui correspond à chaque algèbre de Lie complexe.

Les algèbres de Lie complexes vues comme algèbres de Lie réelles.

Les autres peuvent être classées en familles AI, AII, AIII, BI, CI, CII, DI, DIII et en algèbres exeptionelles

EI, EII, EIII, EIV (de type $E 6$ ) EV, EVI, EVII (de type $E 7$ ) EVIII, EIX (de type $E 8$ ) FI, FII (de type $F 4$ ) et GI (de type $G 2$ ) suivant la notation d'Helgason¹)

Dimension infinie [modifier]

Il n'y a pas de classification générale des algèbres de Lie de dimension infinie mais plusieurs classes de telles algèbres ont été étudiées.

Une algèbre de Kac-Moody est une algèbre de Lie définie abstraitement en termes de générateurs et relations codés par une matrice de Cartan généralisée non nécessairement définie positive. Elles peuvent donc être de dimension infinie. Leur classification générale est encore hors de portée mais plusieurs sous-types sont connus
- Une algèbre de Kac-Moody affine possède la propriété que tous les sous-diagrammes de Dynkin de son diagramme de Dynkin correspondent à des sous-algèbres de Lie de dimension finie. Sa matrice de Cartan généralisée est alors de corang 1. Les algèbres de Kac-Moody affines ont été classifiées par Victor G. Kac. Elles sont très utilisées enphysique théorique dans l'étude des théories conformes des champs et en particulier dans l'étude des modèles WZW.
- Une algèbre de Kac-Moody hyperbolique possède un diagramme de Dynkin connexe avec la propriété que si on lui retire une racine, on obtient une algèbre de Lie semi-simple de dimension finie ou bien une algèbre de Kac-Moody affine. Elles ont été également classifiées et sont de rang 10 au maximum. Leur matrice de Cartan généralisée est non dégénérée et de signature Lorentzienne (c’est-à-dire avec exactement une direction négative).
algèbre de Kac-Moody généralisée ou algèbre de Borcherds: c'est un type d'algèbre de Lie généralisant le concept d'algèbre de Kac-Moody dont la matrice de Cartan généralisée peut posséder des racines simples nommées imaginaires pour lesquelles l'élément diagonal de la matrice de Cartan généralisée est négatif. Elles ont été introduite par Richard Ewen Borcherds dans le cadre de l'étude de la conjecture monstrous moonshine.

Généralisation [modifier]

Il existe différentes sortes de généralisations des algèbres de Lie, on citera les superalgèbres de Lie, les groupes quantiques, les algèbres de Leibniz, les algèbres pré-Lie.

Références [modifier]

Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie
Dixmier, Jacques Algèbres enveloppantes Éditions Jacques Gabay, Paris, 1996. ISBN 2-87647-014-4
Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4

↑ S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces [archive]

Voir aussi [modifier]

Groupe de Lie

[Enrouler] v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan •Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale •Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable •Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan •Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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ABSTRACT ALGEBRA ON LINE

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REFERENCES

Abstract Algebra, Second Edition, by John A. Beachy and William D. Blair
ISBN 0-88133-866-4, © 1996, 427 pages
Waveland Press, P.O. Box 400, Prospect Heights, Illinois, 60070, Tel. 847 / 634-0081

Abstract Algebra II
This set of lecture notes was expanded into the following text.

Introductory Lectures on Rings and Modules, by John A. Beachy
ISBN 0-521-64407-0, © 1999, 238 pages
Cambridge University Press, London Mathematical Society Student Texts #47

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Integers

Functions

Groups

Basic group theory

Factor groups and homomorphisms

Some group multiplication tables

Polynomials

Rings

Commutative rings; integral domains

Localization, noncommutative examples

Fields

Structure of Groups

Sylow theorems; abelian groups; solvable groups

Nilpotent groups; groups of small order

Galois Theory

Unique Factorization

Modules

Sums and products; chain conditions

Composition series; tensor products; modules over a PID

Structure of Noncommutative Rings

Ideal Theory of Commutative Rings

INDEX

Index of Definitions

Index of Theorems

List of Theorems

Index of Definitions

annihilator, of a module

Artinian module

Artinian ring

ascending central series

associated prime ideal

automorphism, of a group

automorphism, of a ring

bicommutator, of a module

bilinear function

bimodule

center of a group

centralizer, of an element

characteristic, of a ring

codomain, of a function

commutative ring

commutator

completely reducible module

composite number

composition, of functions

composition series, for a group

composition series, for a module

congruence class of integers

congruence, modulo n

congruence, of polynomials

conjugate, of a group element

cyclotomic polynomial

Dedekind domain

degree of a polynomial

degree of an algebraic element

degree of an extension field

divisor, of a polynomial

divisor, of an integer

divisor, of zero

direct product, of groups

direct product, of modules

direct sum, of modules

direct sum, of rings

domain, of a function

equivalence class

equivalence classes defined by a function

factor, of a polynomial

factor, of an integer

finite extension field

finite group

finitely generated module

Frobenius automorphism

function

Galois field

Galois group of a polynomial

general linear group

generator, of a cyclic group

greatest common divisor, of integers

greatest common divisor, of polynomials

greatest common divisor, in a principal ideal domain

projective special linear

holomorph (of the integers mod n)

homomorphism, of groups

homomorphism, of modules

homomorphism, of rings

ideal

idempotent element, of a ring

image, of a function

index of a subgroup

injective module

inner automorphism, of a group

integrally closed domain

invariant subfield

inverse function

invertible element, in a ring

irreducible element, in a ring

irreducible polynomial

isomorphism, of groups

isomorphism, of rings

Jacobson radical, of a module

kernel, of a group homomorphism

kernel, of a ring homomorphism

Krull dimension

leading coefficient

least common multiple, of integers

left ideal

Legendre symbol

linear action

localization at a prime ideal

multiple, of an integer

multiplicity, of a root

nil ideal

nil radical

nilpotent element, of a ring

normalizer, of a subgroup

order of a permutation

product, of polynomials

projective module

polynomial

prime ideal, of a commutative ring

prime ideal, of a noncommutative ring

principal ideal domain

relatively prime integers

right ideal

ring

ring of differential operators

semisimple Artinian ring

transcendental element

transposition

unique factorization domain

unit, of a ring

von Neumann regular ring

well-ordering principle

zero divisor

Index of Theorems

An algebraic extension of an algebraic extension is algebraic(6.2.10)

Artin-Wedderburn theorem(11.3.2)

Artin's lemma(8.3.4)

Baer's criterion for injectivity(10.5.9)

Burnside's theorem(7.2.8)

Cauchy's theorem(7.2.10)

Cayley's theorem(3.6.2)

Characteristic of an integral domain(5.2.10)

Characterization of completely reducible modules(10.2.9)

Characterization of completely reducible rings(10.5.6)

Characterization of constructible numbers(6.3.6)

Characterization of Dedekind domains(12.1.6)

Characterization of equations solvable by radicals(8.4.6)

Characterization of finite fields(6.5.2)

Characterization of finite normal separable extensions(8.3.6)

Characterization of free modules(10.2.3)

Characterization of integral elements(12.2.2)

Characterization of internal direct products(7.1.3)

Characterization of invertible functions(2.1.8)

Characterization of the Jacobson radical(11.2.10)

Characterization of linear actions(7.9.5)

Characterization of nilpotent groups(7.8.4)

Characterization of Noetherian modules(10.3.3)

Characterization of normal subgroups(3.8.7)

Characterization of projective modules(10.2.11)

Characterization of semisimple Artinian rings(11.3.4)

Characterization of prime ideals(11.1.3)

Characterization of semidirect products(7.9.6)

Characterization of semiprime ideals(11.1.7)

Characterization of semisimple modules(10.5.3)

Characterization of subgroups(3.2.2)

Characterization of subrings(5.1.3)

Chinese remainder theorem, for integers(1.3.6)

Chinese remainder theorem, for rings(5.7.9)

Class equation(7.2.6)

Class equation (generalized)(7.3.6)

Classification of cyclic groups(3.5.2)

Classification of groups of order less than sixteen

Classification of groups of order pq(7.4.6)

Cohen's theorem(12.4.1)

Computation of Euler's phi-function(1.4.8)

Construction of extension fields(4.4.8)

Correspondence between roots and linear factors(4.1.11)

Dedekind's theorem on reduction modulo p

Properties of Dedekind domains(12.1.4)

Degree of a tower of finite extensions(6.2.4)

DeMoivre's theorem(A.5.2)

The direct product of nilpotent groups is nilpotent(7.8.2)

Disjoint cycles commute(2.3.4)

Division algorithm for integers(1.1.3)

Division algorithm for polynomials(4.2.1)

Eisenstein's irreducibility criterion(4.3.6)

Endomorphisms of indecomposable modules(10.4.6)

Existence of finite fields(6.5.7)

Existence of greatest common divisors (for integers)(1.1.6)

Existence of greatest common divisors (for polynomials)(4.2.4)

Existence of greatest common divisors, in a principal ideal domain(9.1.6)

Existence of irreducible polynomials(6.5.12)

Existence of maximal submodules(10.1.8)

Existence of quotient fields(5.4.4)

Existence of splitting fields(6.4.2)

Existence of tensor products(10.6.3)

Euclidean algorithm for integers

Euclidean algorithm for polynomials(Example 4.2.3)

Euclid's lemma characterizing primes(1.2.5)

Euclid's theorem on the infinitude of primes(1.2.7)

Euler's theorem(1.4.11)

Euler's theorem(Example 3.2.12)

Euler's criterion(6.7.2)

Every Euclidean domain is a principal ideal domain(9.1.2)

Every field of characteristic zero is perfect(8.2.6)

Every finite extension is algebraic(6.2.9)

Every finite separable extension is a simple extension(8.2.8)

Every finite field is perfect(8.2.7)

Every PID is a UFD(9.1.12)

Finite integral domains are fields(5.1.8)

Every finite p-group is solvable(7.6.3)

Finitely generated torsion modules over a PID(10.3.9)

Finitely generated torsionfree modules over a PID(10.7.5)

First isomorphism theorem(7.1.1)

Fitting's lemma for modules(10.4.5)

Frattini's argument(7.8.5)

Fundamental theorem of algebra(8.3.10)

Fundamental theorem of arithmetic(1.2.6)

Fundamental theorem of finitely generated modules over a PID(10.7.5)

Fundamental theorem of Galois theory(8.3.8)

Fundamental theorem of finite abelian groups(7.5.4)

Fundamental homomorphism theorem for groups(3.8.8)

Fundamental homomorphism theorem for rings(5.2.6)

F[x] is a principal ideal domain(4.2.2)

On Galois groups(8.4.3, 8.4.4)

Galois groups of cyclotomic polynomials(8.5.4)

Galois groups over finite fields(8.1.7)

Galois groups and permutations of roots(8.1.4)

Gauss's lemma(4.3.4)

When the group of units modulo n is cyclic(7.5.11)

Hilbert basis theorem(10.3.7)

Hilbert's nullstellensatz(12.4.9)

Hopkin's theorem(11.3.5)

Ideals in the localization of an integral domain(5.8.11)

Impossibility of trisecting an angle(6.3.9)

Incomparability, lying-over, and going up(12.2.9)

Insolvability of the quintic(8.4.8)

Irreducibility of cyclotomic polynomials(8.5.3)

Irreducible ideals are primary(12.3.6)

Irreducible polynomials over R(A.5.7)

Jacobson density theorem(11.3.7)

Jordan-Holder theorem for groups(7.6.10)

Jordan-Holder theorem for modules(10.4.2)

Kronecker's theorem(4.4.8)

Krull's theorem(12.4.6)

Krull-Schmidt theorem(10.4.9)

Lagrange's theorem(3.2.10)

Lasker-Noether decomposition theorem(12.3.10)

Maschke's theorem(10.5.8)

Maximal subgroups in nilpotent groups(7.8.5)

Moebius inversion formula(6.6.6)

The multiplicative group of a finite field is cyclic(6.5.10)

Nakayama's lemma(11.2.8)

The nil radical is nilpotent (in Noetherian rings)(12.4.3)

Number of irreducible polynomials over a finite field(6.6.9)

Number of roots of a polynomial(4.1.12)

Order of a permutation(2.3.8)

Order of the Galois group of a polynomial(8.1.6)

Partial fractions(Example 4204)

Every p-group is abelian(7.2.9)

Every permutation is a product of disjoint cycles(2.3.5)

The polynomial ring over a UFD is a UFD(9.2.6)

The ring of power series is Noetherian(12.4.2)

Prime and maximal ideals(5.3.9)

Prime ideals in a principal ideal domain(5.3.10)

Generalized principal ideal theorem(12.4.7)

Quadratic reciprocity law(6.7.3)

Rational roots(4.3.1)

Remainder theorem(4.1.9)

Schur's lemma(10.1.11)

Second isomorphism theorem(7.1.2)

Simplicity of PSL(2,F)(7.7.9)

Simplicity of the alternating group(7.7.4)

The smallest nonabelian simple group(7.10.7)

On solvable groups(7.6.7, 7.6.8)

Splitting fields are unique(6.4.5)

Structure of simple extensions(6.1.6)

Subgroups of cyclic groups(3.5.1)

Sylow's theorems(7.4.1, 7.4.4)

When the symmetric group is solvable(7.7.2)

Unique factorization of integers(1.2.6)

Unique factorization of polynomials(4.2.9)

Wedderburn's theorem(8.5.6)

Source :

http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/contents.html#index

GALOIS THEORY

Chapter 8

8.1 The Galois group of a polynomial

8.2 Multiplicity of roots

8.3 The fundamental theorem of Galois theory

8.4 Solvability by radicals

8.5 Cyclotomic polynomials

8.6 Computing Galois groups

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The Galois group of a polynomial

To study solvability by radicals of a polynomial equation f(x) = 0, we let K be the field generated by the coefficients of f(x), and let F be a splitting field for f(x) over K. Galois considered permutations of the roots that leave the coefficient field fixed. The modern approach is to consider the automorphisms determined by these permutations. We note that any automorphism of a field F must leave its prime subfield fixed.

8.1.1. Proposition. Let F be an extension field of K. The set of all automorphisms : F -> F such that (a) = a for all a in K is a group under composition of functions.

8.1.2. Definition. Let F be an extension field of K. The set

{ Aut(F) | (a) = a for all a K }

is called the Galois group of F over K, denoted by Gal(F/K).

8.1.3. Definition. Let K be a field, let f(x) K[x], and let F be a splitting field for f(x) over K. Then Gal(F/K) is called the Galois group of f(x) over K, or the Galois group of the equation f(x) = 0 over K.

8.1.4. Proposition. Let F be an extension field of K, and let f(x) K[x]. Then any element of Gal(F/K) defines a permutation of the roots of f(x) that lie in F.

8.1.5. Lemma. Let f(x) K[x] be a polynomial with no repeated roots and let F be a splitting field for f(x) over K. If : K -> L is a field isomorphism that maps f(x) to g(x) L[x] and E is a splitting field for g(x) over L, then there exist exactly [F:K] isomorphisms : F -> E such that (a) = (a) for all a in K.

8.1.6. Theorem. Let K be a field, let f(x) K[x], and let F be a splitting field for f(x) over K. If f(x) has no repeated roots, then |Gal(F/K)| = [F:K].

8.1.7. Corollary. Let K be a finite field and let F be an extension of K with [F:K] = m. Then Gal(F/K) is a cyclic group of order m.

Multiplicity of roots

8.2.1. Definition. Let f(x) be a polynomial in K[x], and let F be a splitting field for f(x) over K. If f(x) has the factorization

f(x) = (x - r₁)^m₁ (x - r₂)^m₂ · · · (x - r_t)^m_t

over F, then we say that the root r_i has multiplicity m_i.
If m_i=1, then r_i is called a simple root.

8.2.2. Definition. Let f(x) K[x], with f(x) = a_k x^k. The formal derivative f'(x) of f(x) is defined by the formula

f'(x) = k a_k x^k^-1,

where k a_k denotes the sum of a_k added to itself k times.

8.2.3. Proposition. The polynomial f(x) in K[x] has no multiple roots if and only if gcd(f(x),f'(x)) = 1.

8.2.4. Proposition. Let f(x) be an irreducible polynomial over the field K. Then f(x) has no multiple roots unless chr(K) = p 0 and f(x) has the form

f(x) = a₀ + a₁ x^p + a₂ x²^p + · · · + a_n xⁿ^p.

8.2.5. Definition. A polynomial f(x) over the field K is called separable if its irreducible factors have only simple roots.
An algebraic extension field F of K is called separable over K if the minimal polynomial of each element of F is separable.
The field F is called perfect if every polynomial over F is separable.

8.2.6. Theorem. Any field of characteristic zero is perfect. A field of characteristic p>0 is perfect if and only if each of its elements has a pth root.

8.2.7. Corollary. Any finite field is perfect.

8.2.8. Theorem. Let F be a finite extension of the field K. If F is separable over K, then it is a simple extension of K.

The fundamental theorem of Galois theory

8.3.1. Proposition. Let F be a field, and let G be a subgroup of Aut(F). Then

{ a F | (a) = a for all G }

is a subfield of F.

8.3.2. Definition. Let F be a field, and let G be a subgroup of Aut (F). Then

{ a F | (a) = a for all G }

is called the G-fixed subfield of F, or the G-invariant subfield of F, and is denoted by F^G.

8.3.3. Proposition. If F is the splitting field over K of a separable polynomial and G = Gal(F/K), then F^G = K.

8.3.4. Lemma. [Artin] Let G be a finite group of automorphisms of the field F, and let K = F^G. Then

[F:K] | G |.

8.3.5. Definition. Let F be an algebraic extension of the field K. Then F is said to be a normal extension of K if every irreducible polynomial in K[x] that contains a root in F is a product of linear factors in F[x].

8.3.6. Theorem. The following conditions are equivalent for an extension field F of K:

(1) F is the splitting field over K of a separable polynomial;

(2) K = F^G for some finite group G of automorphisms of F;

(3) F is a finite, normal, separable extension of K.

8.3.7. Corollary. If F is an extension field of K such that K = F^G for some finite group G of automorphisms of F, then G = Gal(F/K).

Example. 8.3.1. The Galois group of GF(pⁿ) over GF(p) is cyclic of order n, generated by the automorphism defined by (x) = x^p, for all x in GF(pⁿ). This automorphism is usually known as theFrobenius automorphism of GF(pⁿ).

8.3.8. Theorem. [Fundamental Theorem of Galois Theory] Let F be the splitting field of a separable polynomial over the field K, and let G = Gal(F/K).

(a) There is a one-to-one order-reversing correspondence between subgroups of G and subfields of F that contain K:

(i) If H is a subgroup of G, then the corresponding subfield is F^H, and

H = Gal(F/F^H).

(ii) If E is a subfield of F that contains K, then the corresponding subgroup of G is H = Gal(F/E), and

E = F^H.

(b) For any subgroup H of G, we have

[F:F^H] = | H | and [F^H:K] = [G:H].

(c) Under the above correspondence, the subgroup H is normal if and only if the subfield E = F^H is a normal extension of K. In this case,

Gal(E/K) Gal(F/K) / Gal(F/E).

In the statement of the fundamental theorem we could have simply said that normal subgroups correspond to normal extensions. In the proof we noted that if E is a normal extension of K, then

(E)

E for all

in Gal(F/K). In the context of the fundamental theorem, we say that two intermediate subfields E₁ and E₂ are conjugate if there exists

Gal(F/K) such that

( E₁ ) = E₂. We now show that the subfields conjugate to an intermediate subfield E correspond to the subgroups conjugate to Gal(F/E). Thus E is a normal extension if and only if it is conjugate only to itself.

8.3.9. Proposition. Let F be the splitting field of a separable polynomial over the field K, and let E be a subfield such that K E F, with H = Gal(F/E). If Gal(F/K), then

Gal(F/(E)) = H ^-1.

8.3.10. Theorem. [Fundamental Theorem of Algebra] Any polynomial in C[x] has a root in C.

Solvability by radicals

In most results in this section we will assume that the fields have characteristic zero, in order to guarantee that no irreducible polynomial has multiple roots. When we say that a polynomial equation is solvable by radicals, we mean that the solutions can be obtained from the coefficients in a finite sequence of steps, each of which may involve addition, subtraction, multiplication, division, or taking nth roots. Only the extraction of an nth root leads to a larger field, and so our formal definition is phrased in terms of subfields and adjunction of roots of xⁿ-a for suitable elements a.

8.4.1. Definition. An extension field F of K is called a radical extension of K if there exist elements u₁, u₂, ... , u_m in F such that

(i) F = K (u₁, u₂, ... , u_m), and

(ii) u₁^n₁ K and u_i^n_i K ( u₁, ... , u_i-1 ) for i = 2, ... , m and n₁, n₂, ... , n_m Z.

For f(x)

K[x], the polynomial equation f(x) = 0 is said to be solvable by radicals if there exists a radical extension F of K that contains all roots of f(x).

8.4.2. Proposition. Let F be the splitting field of xⁿ - 1 over a field K of characteristic zero. Then Gal(F/K) is an abelian group.

8.4.3. Theorem. Let K be a field of characteristic zero that contains all nth roots of unity, let a K, and let F be the splitting field of xⁿ-a over K. Then Gal(F/K) is a cyclic group whose order is a divisor of n.

8.4.4. Theorem. Let p be a prime number, let K be a field that contains all pth roots of unity, and let F be an extension of K. If [F:K] = |Gal(F/K)| = p, then F = K(u) for some u F such that u^p K.

8.4.5. Lemma. Let K be a field of characteristic zero, and let E be a radical extension of K. Then there exists an extension F of E that is a normal radical extension of K.

8.4.6. Theorem. Let f(x) be a polynomial over a field K of characteristic zero. The equation f(x) = 0 is solvable by radicals if and only if the Galois group of f(x) over K is solvable.

Theorem 7.7.2 shows that S_n is not solvable for n 5, and so to give an example of a polynomial equation of degree n that is not solvable by radicals, we only need to find a polynomial of degree n whose Galois group over Q is S_n.

8.4.7. Lemma. Any subgroup of S₅ that contains both a transposition and a cycle of length 5 must be equal to S₅ itself.

8.4.8. Theorem. There exists a polynomial of degree 5 with rational coefficients that is not solvable by radicals.

Cyclotomic polynomials

8.5.1. Definition. Let n be a positive integer, and let

be the complex number

= cos

+ i sin

, where

= 2

/ n. The polynomial

_n (x) = _k (x - ^k),

where k belongs to the set of positive integers less than n and relatively prime to n, is called the nth cyclotomic polynomial.

8.5.2. Proposition. Let n be a positive integer, and let _n(x) be the nth cyclotomic polynomial. The following conditions hold:

(a) deg (

_n (x)) =

(n);

(b) xⁿ - 1 = _{d | n} _d (x);

(c) _n (x) is monic, with integer coefficients.

8.5.3. Theorem. The nth cyclotomic polynomial

_n(x) is irreducible over Q, for every positive integer n.

8.5.4. Theorem. For every positive integer n, the Galois group of the nth cyclotomic polynomial _n(x) over Q is isomorphic to Z_n^×.

Example. 8.5.2. A regular n-gon is constructible if and only if (n) is a power of 2. If p is an odd prime, and (p) is a power of 2, then p must have the form p = 2^k + 1, where k is a power of 2. Such primes are called Fermat primes. The only known examples are 3, 5, 17, 257, and 65537. This implies, for example, that a regular 17-gon is constructible.

A set that satisfies all the axioms of a field except for commutativity of multiplication is called a division ring or skew field.

8.5.6. Theorem. [Wedderburn] Any finite division ring is a field.

Computing Galois groups

8.6.1. Definition. Let G be a group acting on a set S. We say that G acts transitively on S if for each pair of elements x,y in S there exist an element g in G such that y = gx.
If G is a subgroup of the symmetric group S_n, then G is called a transitive group if it acts transitively on the set { 1, 2, ... , n }.

8.6.2. Proposition. Let f(x) be a separable polynomial over the field K, with roots r₁ , ... , r_n in its splitting field F. Then f(x) is irreducible over K if and only if Gal(F/K) acts transitively on the roots of f(x).

8.6.3. Lemma. Let p be a prime number, and let G be a transitive subgroup of S_p. Then any nontrivial normal subgroup of G is also transitive.

8.6.4. Lemma. Let p be a prime number, and let G be a solvable, transitive subgroup of S_p. Then G contains a cycle of length p.

8.6.5. Proposition. Let p be a prime number, and let G be a solvable, transitive subgroup of S_p. Then G is a subgroup of the normalizer in S_p of a cyclic subgroup of order p.

Let f(x) be a polynomial of degree n over the field K, and assume that f(x) has roots r₁, r₂, ... , r_n in its splitting field F. The element of F defined by

= (r_i - r_j)²,

where the product is taken over all i,j with 1

i < j

n, is called the discriminant of f(x).

It can be shown that the discriminant of any polynomial f(x) can be expressed as a polynomial in the coefficients of f(x), with integer coefficients. This requires use of elementary symmetric functions, and lies beyond the scope of what we have chosen to cover in the book.
We have the following properties of the discriminant:

(i)

0 if and only if f(x) has distinct roots;

(ii) K;

(iii) If 0, then a permutation S_n is even if and only if it leaves unchanged the sign of

(r_i-r_j) .

8.6.6. Proposition. Let f(x) be a separable polynomial over the field K, with discriminant

, and let F be its splitting field over K. Then every permutation in Gal(F/K) is even if and only if

is the square of some element in K.

We now restrict our attention to polynomials with rational coefficients. The next lemma shows that in computing Galois groups it is enough to consider polynomials with integer coefficients. Then a powerful technique is to reduce the integer coefficients modulo a prime and consider the Galois group of the reduced equation over the field GF(p).

8.6.7. Lemma. Let f(x) = xⁿ + a_n-1 x^n-1 + · · · + a₁ x + a₀ Q[x], and assume that
a_i = b_i / d for d, b₀, b₁, ... , b_n-1 Z.
Then dⁿ f(x/d) is monic with integer coefficients, and has the same splitting field over Q as f(x).

If p is a prime number, we have the natural mapping : Z[x] -> Z_p[x] which reduces each coefficient modulo p. We will use the notation ( f(x) ) = f_p(x).

Theorem [Dedekind]. Let f(x) be a monic polynomial of degree n, with integer coefficients and Galois group G over Q, and let p be a prime such that f_p(x) has distinct roots. If f_p(x) factors in Z_p[x] as a product of irreducible factors of degrees n₁, n₂, ... , n_k, then G contains a permutation with the cycle decomposition

(1,2, ... ,n₁) (n₁+1, n₁+2, ... , n₁+n₂) · · · (n-n_k+1, ... ,n),

relative to a suitable ordering of the roots.

Source : http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html

Un cours de DEA sur la théorie de Galois

Théorie de Galois

Évariste Galois 1811-1832

En mathématiques et plus précisément en algèbre, la théorie de Galois est l'étude des extensions de corps commutatifs, par le biais d'une correspondance avec des groupes de transformations sur ces extensions, les groupes de Galois. Cette méthode féconde, qui constitue l'exemple historique, a essaimé dans bien d'autres branches des mathématiques, avec par exemple la théorie de Galois différentielle, ou la théorie de Galois des revêtements.

Cette théorie est née de l'étude par Évariste Galois des équations algébriques. L'analyse de permutations des racines permet d'expliciter une condition nécessaire et suffisante de résolubilité par radicaux. Ce résultat est connu sous le nom de théorème d'Abel-Ruffini.

Les applications sont très variées. Elles s'étendent de la résolution de vieilles conjectures comme la détermination des polygones constructibles à la règle et au compas démontrée par le théorème de Gauss-Wantzel à la géométrie algébrique à travers, par exemple, lethéorème des zéros de Hilbert.

Sommaire

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Histoire [modifier]

Genèse [modifier]

La théorie de Galois voit ses origines dans l'étude des équations algébriques. Elle se ramène à l'analyse des équations polynomiales. Une approche par des changements de variables et des substitutions a permis à des mathématiciens comme Al-Khwarizmi¹ (783 850), Tartaglia (1499 1557), Cardano² (1501 1576) ou Ferrari (1522 1565) de résoudre tous les cas jusqu'au degré quatre. Cette approche ne permet pas d'aller plus loin et deux siècles seront nécessaires pour apporter de nouvelles idées.

Gauss et les polynômes cyclotomiques [modifier]

Carl Friedrich Gauss

Paragraphe détaillé : Histoire des polynômes cyclotomiques.

Gauss (1777 1855) utilise les polynômes cyclotomiques³ pour apporter une contribution à un problème ouvert depuis l'antiquité: celui de la construction à la règle et au compas de polygones réguliers. Il construit en particulier l'heptadécagone, polygone régulier à 17 côtés. Son approche, typiquement galoisienne bien avant la découverte de la théorie, lui vaut le surnom de prince des mathématiciens.

Son travail est complété par Wantzel⁴ (1814 1848), qui donne une condition nécessaire et suffisante de constructibilité des polygones réguliers et démontre l'impossibilité de la trisection de l'angle et de la duplication du cube.

Théorème d'Abel-Ruffini [modifier]

Niels Abel 1802-1829

Paragraphe détaillé : Histoire du théorème d'Abel-Ruffini.

Dans le cas général, l'équation quintique n'admet pas de solution par radicaux. C'est la raison pour laquelle une démarche à l'aide de substitutions et changements de variables devient stérile. Lagrange⁵ (1736 1813) et Vandermonde⁶(1735 1796) utilisent la notion de permutation à la fin du xviii^e siècle et pressentent l'importance de cet outil dans le cadre de l'équation polynomiale.

Ruffini⁷ (1765 1822) est le premier à prévoir l'impossibilité de la solution générale et que la compréhension du phénomène réside dans l'étude des permutations des racines. Sa démonstration reste néanmoins peu rigoureuse et partielle. Le mathématicien norvégien Abel (1802 1829) publie une démonstration⁸ en 1824 qui finit par convaincre la communauté scientifique. Elle ne propose pas à l'époque de condition nécessaire et suffisante de résolubilité.

Évariste Galois [modifier]

Paragraphe détaillé : Histoire des groupes de Galois.

En étudiant le problème de l'équation algébrique, Galois (1811 1832) met en évidence les premiers éléments de la théorie qui porte maintenant son nom. Ses écrits sont perdus ou tombent dans l'oubli. Un mémoire⁹ est finalement retrouvé par Liouville (1809 1882) qui le présente à l'Académie des sciences en 1843. Les travaux de Galois accèdent alors in extremis à la postérité.

Galois, pour la première fois dans l'histoire des mathématiques, met en évidence une structure abstraite qu'il appelle groupe. À la différence de ses prédécesseurs, il n'étudie pas une incarnation particulière comme les permutations de Lagrange ou les groupes cycliques de Gauss, mais une structure générale définie par un ensemble et une loi.

Cette démarche, particulièrement novatrice, est à l'origine de l'algèbre moderne. Liouville en parle dans les termes suivants : « Cette méthode, vraiment digne de l'attention des géomètres, suffirait seule pour assurer à notre compatriote un rang dans le petit nombre des savants qui ont mérité le titre d'inventeur. »¹⁰

Structures algébriques [modifier]

Article détaillé : Théorie de Galois à l'origine.

L'apport majeur de Galois, c'est-à-dire l'utilisation d'une structure algébrique comme outil fondamental, est rapidement compris par la communauté mathématique. Cauchy (1789 1855)publie vingt-cinq articles sur les groupes dont un sur son célèbre théorème¹¹. Cayley (1821 1895) donne la première définition abstraite d'un groupe¹². Enfin, Jordan (1838 1922) diffuse largement les idées de Galois. Son livre¹³ de 1870 présente les travaux de Galois comme une théorie générale sur des groupes, dont le théorème sur la résolution des équations n'est qu'une application. En France, la théorie de Galois est identifiée à celle des groupes à cette époque.

D'autres structures sont mises en évidence, particulièrement en Allemagne. Indépendamment des travaux de Galois, Kummer (1810 1893) étudie¹⁴ des anneaux et découvre l'ancêtre de la notion d'idéal. Kronecker (1823 1891) et Dedekind (1831 1916) développent les prémisses de la théorie des anneaux et des corps¹⁵. Kronecker établit le pont entre les écoles française et allemande. Il donne la définition moderne de groupe de Galois à partir d'automorphismes de corps.

À la fin du xix^e siècle, Weber (1842 1913) réalise une synthèse¹⁶ des différents travaux. La théorie de Galois est alors pour la première fois identifiée avec celle des corps commutatifs.

Théories de Galois [modifier]

Icosaèdre

Un nouvel axe d'analyse enrichit la théorie de Galois. En 1872, Klein (1849 1925) se fixe comme objectif de classifier les différentes géométries de l'époque. Il dégage, dans son célèbre programme d'Erlangen, le principe général qu'une géométrie est définie par un espace et un groupe opérant sur cet espace, appelé groupe des isométries. Un pont est ainsi établi entre la théorie des groupes et la géométrie. Ces premiers groupes correspondent à des groupes de Lie et n'appartiennent pas directement à ceux de la théorie de Galois.

En 1877 Klein remarque¹⁷ que le groupe des isométries laissant invariant l'icosaèdre est isomorphe au groupe de Galois d'une équation quintique. La théorie de Galois s'étend à la géométrie algébrique. Les groupes de Galois prennent alors la forme de revêtements aussi appelés revêtement de Galois. David Hilbert (1862 1943) étudie les corps de nombres quadratiques et apporte une contribution majeure à la théorie en démontrant¹⁸ son célèbre théorème des zéros. Ce théorème possède aussi une interprétation géométrique sur les variétés algébriques. La théorie est maintenant enrichie d'une nouvelle branche: la théorie de Galois géométrique. Elle s'avère particulièrement féconde.

Les travaux de Hilbert ouvrent d'autres branches de la théorie de Galois. Le théorème des zéros permet l'étude des premiers groupes de Galois d'ordre infini. Son théorème d'irréductibilité ouvre la problématique inverse. Elle s'énonce de la manière suivante : si G est un groupe alors est-il le groupe de Galois d'une extension?

Enfin les travaux de Picard (1856 1941) et Vessiot (1865 1952) ouvrent une autre voie pour l'étude des groupes de Galois d'ordre infini, la théorie de Galois différentielle.

Apports du XX^e siècle [modifier]

Les travaux de Hilbert ont ouvert l'étude des cas où le groupe de Galois est d'ordre infini et commutatif. Ce vaste sujet prend le nom de théorie des corps de classes. Elle est maintenant achevée et est souvent considérée comme un des plus beaux succès des mathématiques du siècle.

La formalisation définitive¹⁹ de la théorie de Galois est donnée par Artin. L'adjonction de l'algèbre linéaire permet une exposition plus claire et concise. La théorie utilise maintenant toutes les grandes structures de l'algèbre, les groupes, les anneaux, les corps et les espaces vectoriels. Elle dispose maintenant de ramifications importantes en géométrie algébrique.

Elle est la base d'une quantité majeure des grandes réalisations mathématiques du xx^e siècle. L'alliance de la géométrie et de l'algèbre est presque systématiquement utilisée. On peut citer par exemple les travaux des mathématiciens Jean-Pierre Serre (Médaille Fields 1954) et Grothendieck (Médaille Fields 1966) avec une refonte de la géométrie algébrique, Faltings(Médaille Fields 1986) pour ses travaux sur les modules de Galois démontrant le théorème de Mordell ou Laurent Lafforgue (Médaille Fields 2002) sur le Programme de Langlands, une généralisation de la théorie des corps de classes.

Exemples [modifier]

Petit théorème de Fermat [modifier]

Article détaillé : Théorie algébrique des nombres.

Le petit théorème de Fermat nous indique que si a est un entier et p un nombre premier alors:

$a^pequiv a (bmod p)$

Il est possible de démontrer ce théorème en remarquant que F_p le quotient de l'ensemble des nombres entiers par son idéal engendré par p est un corps, car p est un nombre premier. (F_p^*, .) est un groupe fini de cardinal p -1. Le théorème de Lagrange assure que tout élément de ce groupe à la puissance p -1 est égal à l'unité, ce qui démontre le théorème.

Conclusion : Ce cas est particulièrement aisé car la structure du corps est simple. Il illustre néanmoins le fait qu'une structure de corps est un outil utile en théorie algébrique des nombres. D'autres théorèmes d'arithmétique modulaire comme la loi de réciprocité quadratique demandent une compréhension beaucoup plus profonde de la structure des corps. C'est la raison pour laquelle la démonstration ne put être trouvée malgré leurs efforts par Euler (1707 1783) ou Lagrange et qu'il fallut attendre Gauss et ses polynômes cyclotomiques pour conclure.

Duplication du cube [modifier]

Articles détaillés : Extension quadratique et Tour d'extension quadratique.

Une construction à la règle et au compas, celle de la duplication du cube est impossible

Soit L l'ensemble des éléments de la forme a + b.√2 où a et b sont des rationnels.

Montrons que L est un corps : L est clairement stable pour l'addition et le passage à l'opposé, et est donc un groupe additif. Il est stable pour la multiplication et le passage à l'inverse des éléments non nuls, en effet:

$forall (a,a',b,b') in mathbb{Z}^4 quad (a+bsqrt{2}).(a'+b'sqrt{2})=aa'+2bb'+(ab'+a'b)sqrt{2}$ $et quad forall (a,b) in mathbb{Z}^2 quad si; aneq 0; ou; bneq 0quad alors quad (a+bsqrt{2}).frac{a-bsqrt{2}}{a^2-2b^2}=1 quad car quad a^2-2b^2neq 0$

Ces deux dernières propositions montrent que L est un sous-corps des nombres réels. L est aussi un espace vectoriel de dimensiondeux sur les nombres rationnels, car il possède pour base 1 et √2. Un tel corps s'appelle une extension quadratique.

Montrons que L ne contient pas la racine cubique de deux : Soit l un élément de L, alors de l ² est une combinaison linéaire à coefficients rationnels de 1 et √2 car ces deux éléments forment une base et l ² est un élément de L. il existe donc deux rationnels $α$ et $β$ tel que l'égalité suivante est vraie:

$l^2-alpha l -beta = 0 ;$

Et pour tout élément l de L il existe un polynôme de degré inférieur ou égal à deux ayant pour racine l. Or, le plus petit degré du polynôme non nul à coefficients rationnels qui annule la racine cubique de deux est trois, et la proposition est démontrée.

Conclusion : Wantzel a démontré que les nombres constructibles à la règle et au compas sont soit dans une extension quadratique, soit dans une extension quadratique dont les coefficients sont pris dans une extension quadratique et ainsi de suite. On parle alors de tour d'extension quadratique. Il est possible de démontrer par un raisonnement analogue à celui présenté ici que la racine cubique de deux n'est pas élément d'une tour d'extension quadratique. Voilà pourquoi la duplication du cube est impossible. Le choix judicieux de corps particuliers est la clé de la résolution de cette antique conjecture.

Équation cubique [modifier]

Article détaillé : Théorème d'Abel-Ruffini.

Ars Magna de Girolamo Cardano 1545

Considérons un exemple d'équation du troisième degré :

$P[X]=0 quad avec quad P[X]=X^3-3X+1;$

Détermination d'un élément du groupe de Galois : Le polynôme P[X] est un polynôme irréductible à coefficients rationnels. La théorie de Galois nous indique qu'il existe un corps L qui est une extension des rationnels contenant toutes les racines deP[X]. Cette extension est de dimension six. De plus, il existe un sous-corps K de L tel que L est de dimension trois sur K et j la première racine cubique de l'unité est élément de K. Le groupe de Galois de L sur K est l'ensemble des automorphismes de corps de L laissant invariant tout élément de K. La théorie de Galois nous indique que ce groupe a trois éléments, soit g un élément du groupe différent de l'identité.

Diagonalisation de g : Le théorème de Lagrange nous assure que g³ est égal à l'identité. Si l est un élément non nul de L, alors l, g(l) et g²(l) forment une base de L sur K. Considérant g comme opérateur linéaire, son polynôme caractéristique est X³ - 1 et ses valeurs propres sont 1, j et j². Il existe une base (u, v, w) de L sur K constituée de vecteurs propres, car le nombre de valeurs propres est égal à la dimension de L sur K. On a donc g(u)=j·u, g(v)=j²·v et g(w)=w. De plus, 1 + j + j² = 0.

Détermination de l'image des racines par g : Soit x₁, une racine de P[X]. L'image d'une racine par g est une racine, en effet:

$Pleft(g(x_1)right)=g(x_1)^3-3g(x_1)+1=g(x_1^3-3x_1+1)=g(P(x_1))=g(0)=0$

On en déduit que x₁, g(x₁) et g²(x₁) sont les trois racines de P. On peut repésenter x₁ comme somme de vecteurs propres de g:x₁ = u + v + w (léger abus de notation: w sera en l'occurrence 0, ne formant plus une base comme ci-dessus). Les trois égalités suivantes sont alors vérifiées:

$x_1=u+v+wquad ,quad g(x_1)=jcdot u+j^2cdot v+wquad et quad g^2(x_1)=j^2cdot u+jcdot v+w$

Calcul des valeurs des racines : Il suffit d'utiliser les relations entre coefficients et racines pour montrer que :

$x_1+g(x_1)+g^2(x_1)=(1+j+j^2)u+(1+j+j^2)v+3w=0 quad$ , donc $quad w=0;$

$x_1cdot g(x_1)+g(x_1)cdot g^2(x_1)+g^2(x_1)cdot x_1=(u+v)(ju+j^2v)+(ju+j^2v)(j^2u+jv)+(j^2u+jv)(u+v)=-uv=-3 quad$ , donc $quad u^3v^3=1;$

$x_1cdot g(x_1)cdot g^2(x_1)=(u+v)(ju+j^2v)(j^2u+jv)=-1 quad$ , donc $quad u^3+v^3=-1 ;$

On en déduit que u ³ et v ³ vérifient l'équation X² + X + 1 = 0. Ce qui permet de conclure que x₁ est égal à 2 cos(2 $π$ /9), 2 cos(8 $π$ /9) ou 2 cos(14 $π$ /9).

Conclusion : Le groupe de Galois, permet la résolution de l'équation cubique par une diagonalisation d'un endomorphisme. La méthode est généralisable si et seulement si le groupe de Galois possède de bonnes propriétés, en fait s'il est résoluble.

Synthèse [modifier]

Ces exemples ont un point commun, ce sont les propriétés des structures algébriques qui permettent de trouver les solutions. Pour le premier exemple, la propriété démontrée par Lagrange sur les groupes (et donc les groupes multiplicatifs des corps) finis permet de conclure. Dans le deuxième exemple, ce sont les propriétés associées sur la dimension d'un l'espace vectoriel qui sont utilisées. Dans le troisième cas, sont utilisés les propriétés des corps et de leurs extensions, des groupes avec le théorème de Lagrange et celle des espaces vectoriels avec les propriétés de réduction d'endomorphisme dans le cas où le polynôme minimal est scindé.

La théorie de Galois offre une richesse dans les structures algébriques permettant de résoudre nombre de cas très différents et dans des domaines éloignés.

Applications [modifier]

Théorie algébrique des nombres [modifier]

La théorie algébrique des nombres est l'étude des nombres racines d'un polynôme à coefficients entiers, appelés nombres algébriques.

La théorie de Galois est ici essentielle car elle offre la structure la plus adéquate d'analyse, à savoir l'extension finie la plus petite contenant les nombres étudiés. Un sous-ensemble joue un rôle particulier : celui des entiers algébriques, ils correspondent à la généralisation des entiers dans l'extension. L'étude de cet ensemble ajoute à la théorie de Galois de nombreuses propriétés issues de la théorie des anneaux. Les entiers algébriques jouent un rôle important pour la résolution d'équations d'arithmétique modulaire ou diophantiennes.

On peut citer comme application de la théorie de Galois à ce domaine, le théorème de Gauss-Wantzel qui détermine tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas. La Théorie de Kummer s'applique aux équations diophantiennes et permet de valider le grand théorème de Fermat pour presque tous les entiers inférieurs à cent. Enfin, dans le cadre de l'arithmétique modulaire, la loi de réciprocité d'Artin généralise la loi de réciprocité quadratique de Gauss et résout le neuvième problème de Hilbert.

Cryptographie [modifier]

La machine Lorenz utilisée par les Allemands durant la Seconde Guerre mondiale

La cryptographie est la discipline qui s'attache à protéger un message. Le cadre théorique maintenant le plus utilisé consiste à définir unalgorithme qui, associé à une clef permet de créer un nouveau message dit cryptogramme signifiant qu'il est chiffré. Le message chiffré est simple à déchiffrer, c'est-à-dire simple à transformer en message d'origine avec une clef et difficile sans celle-ci pour la personne qui s'efforce alors de le décrypter.

Dans une partie des théories modernes de cryptographie, les lettres du message sont choisies dans un corps fini. Le cadre est donc celui de la théorie de Galois.

Il est naturel que les outils associés soient ceux de la théorie. L'arithmétique modulaire (cf par exemple l'algorithme RSA) est très largement employée. Si les techniques simples reposent sur des résultats élémentaires comme le théorème de Bézout, le théorème des restes chinoisou l'exponentiation modulaire, les développements actuels utilisent des outils plus subtils comme les courbes elliptiques (cf une clé privée inviolable ?).

Théorie des équations algébriques [modifier]

La problématique de la théorie des équations algébriques est celle qui donna naissance à la théorie de Galois. Elle complète le théorème d'Abel-Ruffini en proposant une condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une expression par radicaux des racines d'un polynôme.

Elle permet néanmoins d'aller plus loin. Le théorème de Kronecker-Weber explicite précisément la structure des extensions rationnelles associées aux polynômes ayant des racines s'exprimant par radicaux. Il devient alors possible de résoudre explicitement toutes les équations de cette nature.

Elle possède pour champs d'application tous les corps, offrant un outil puissant à l'arithmétique modulaire. Beaucoup de lois de réciprocité, de même nature que celle démontrée par Gauss dans le cas quadratique sont ainsi démontrables grâce à la théorie de Galois.

Abel puis Hermite (1822 1902) ont travaillé sur une autre approche : les fonctions elliptiques. Elles permettent, par exemple, d'exprimer les racines de toute équation polynomiale. La théorie géométrique de Galois intégre cette notion à travers les courbes elliptiques. Le grand théorème de Fermat a été démontré à l'aide de méthodes de cette nature.

Il existe une théorie de Galois un peu particulière traitant des équations différentielles polynomiales. Cette théorie prend le nom de théorie de Galois différentielle. Elle étudie une famille particulière de corps appelée extension différentielle. Ces corps possèdent des groupes de Galois. La résolution d'une équation algébrique correspond aussi à l'analyse du groupe associé et permet la résolution d'une équation différentielle.

Géométrie algébrique [modifier]

Les structures utilisées [modifier]

Corps commutatifs [modifier]

Articles détaillés : corps (mathématiques) et extension de corps.

Le corps commutatif est l'objet de la théorie de Galois. C'est donc naturellement la structure centrale de la théorie.

La technique la plus importante de construction correspond à l'extension, c'est-à-dire à un corps qui contient le corps d'origine. À partir d'un corps de base, souvent le plus petit, celui engendré par l'unité, qui est un corps cyclique (construit à partir d'un groupe cyclique d'ordre un nombre premier) ou celui des rationnels une nouvelle structure est créée.

Cette méthode permet la création d'une zoologie décrivant les différentes propriétés de la structure. Un corps peut ainsi être par exemple algébrique, simple, parfait, quadratique,séparable, cyclotomique ou algébriquement clos.

Il existe des théorèmes importants, comme celui de l'élément primitif ou celui de Wedderburn qui assurent que tout corps fini est commutatif.

Espace vectoriel [modifier]

Article détaillé : Extension finie.

Une extension possède une structure d'espace vectoriel sur son corps de base. Cette structure est importante à deux titres:

Elle permet de classifier l'étude des différents corps, ceux de dimension finie dit encore extension finie et les autres. De même qu'en algèbre linaire, le premier cas est infiniment plus simple que l'autre.

Elle est ensuite un outil qui permet la démonstration de nombreuses propriétés en adjoignant à la théorie les théorèmes d'algèbres linéaires. On peut citer par exemple le théorème de Gauss-Wantzel dont la démonstration se trouve dans le paragraphe applications des tours d'extension quadratique ou le théorème d'Abel-Ruffini qui utilise une diagonalisationd'endomorphisme.

Le cas de dimension infinie est largement plus complexe, il est partiellement traité dans la théorie des corps de classe.

Anneau [modifier]

Article détaillé : Extension algébrique.

Un outil important de la théorie est le polynôme formel. Et la structure d'anneau est celle de l'ensemble des polynômes. Il est utilisé par exemple pour construire des extensions. Une extension est ainsi souvent le quotient de l'anneau des polynômes par un idéal engendré par un polynôme irréductible.

Un polynôme joue un rôle particulier dans la théorie: le polynôme minimal qui est le polynôme unitaire de plus petit degré qui possède pour racine un élément donné. Ainsi, une extension est algébrique si tous les éléments possèdent un polynôme minimal, quadratique si le polynôme minimal de tout élément est de degré inférieur ou égal à deux, séparable si aucun polynôme minimal n'a de racine multiple, cyclotomique si l'extension est engendrée par une racine d'un polynôme cyclotomique. Un corps est parfait si toute extension est séparable.

La théorie algébrique des nombres utilise aussi souvent des sous-ensembles d'une extension ne disposant que d'une structure d'anneau, comme par exemple les entiers algébriques.

Groupe [modifier]

Articles détaillés : Groupe de Galois et Théorème fondamental de la théorie de Galois.

Cette structure est l'apport majeur du mathématicien portant le nom de la théorie.

Le groupe de Galois est le groupe des automorphismes d'une extension laissant invariant le corps de base. Sous certaines conditions relativement générales, le corps est entièrement caractérisé par son groupe de Galois. Une extension satisfaisant ces conditions est dite galoisienne. En particulier, si la structure d'espace vectoriel est de dimension finie, alors le groupe d'une extension abélienne a pour ordre la dimension du groupe.

Comme il est largement plus simple d'étudier un groupe fini qu'une structure de corps, l'analyse du groupe est une puissante méthode pour comprendre le corps. Le groupe de Galois est à l'origine de nombreux théorèmes. On peut citer le théorème fondamental de la théorie, le théorème d'Abel-Ruffini ou celui de Kronecker-Weber.

Topologie [modifier]

Théories de Galois [modifier]

Théorie classique [modifier]

Le terme de classique est largement utilisé, même s'il ne possède pas de définition précise. On le trouve par exemple, sur la page de présentation d'un membre de l'Académie des sciences : Jean-Pierre Ramis. Il est aussi utilisé largement par Daniel Bertrand professeur à l'université de Paris VI.

Il désigne en général la théorie recouvrant les extensions algébriques finies et séparables. la théorie traite essentiellement des extensions normales et donc galoisiennes. Les résultats principaux sont le théorème de l'élément primitif et le théorème fondamental de la théorie de Galois. Ce cadre permet par exemple la démonstration du théorème d'Abel-Ruffini de Gauss-Wantzel ou de Kronecker-Weber, il est utilisé dans la classification des corps finis.

L'étendue de cette théorie couvre l'état de la science à l'époque de Weber c'est-à-dire la fin du xix^e siècle, même si maintenant elle est très généralement présenté avec le formalisme d'Artin. Cela correspond un peu au cas de la dimension finie pour l'algèbre linéaire.

Théorie de Galois infinie [modifier]

La théorie de Galois classique traite le cas des extensions algébriques finies. Toutefois, elle ne s'avère pas assez puissante pour traiter aussi celui des extensions algébriques infinies. Pour cela une étude algébrique ne s'avère pas suffisante, il faut y ajouter l'utilisation de propriétés topologiques.

Une extension algébrique est dite galoisienne si elle est séparable et normale. Son groupe de Galois peut alors être défini comme dans le cas classique, mais on y ajoute une topologie qui en fait un groupe topologique compact. Dans le cas d'une extension finie, cette topologie est discrète, de sorte que la seule information contenue dans le groupe de Galois est de nature algébrique.

Dans ce cadre, il existe un analogue au théorème fondamental de la théorie de Galois, qui donne une correspondance entre les sous-groupes fermés du groupe de Galois et les extensions intermédiaires de corps.

Théorie géométrique [modifier]

Théorie inverse [modifier]

Il est en général difficile de déterminer le groupe de Galois d'une extension donnée, mais la question réciproque est tout aussi intéressante: soit un groupe donné, y a-t-il une extension sur un corps donné qui possède ce groupe comme groupe de Galois? Si oui la ou les préciser. C'est à cette question que la théorie inverse cherche à répondre.

Dans le cas des groupes finis, un premier résultat montre que si n est un entier strictement positif alors il existe une extension du corps des rationnels ayant pour groupe de Galois legroupe symétrique d'ordre n. Par exemple, le corps de décomposition du polynôme rationnel Xⁿ - X - 1 admet pour groupe de Galois le groupe symétrique d'ordre n. Le théorème de Cayley et le théorème fondamental de la théorie de Galois permet d'en déduire que, pour tout groupe fini G, il existe une extension d'un corps de nombres (c'est-à-dire une extension finiedes nombres rationnels) ayant G pour groupe de Galois.

De façon plus précise la théorie inverse cherche à répondre à trois questions :

Soit un groupe G et un corps K, existe-t-il une extension de K ayant G pour groupe de Galois ?
Soit un groupe fini G, existe-t-il une extension normale des rationnels ayant G pour groupe de Galois ?
Soit un groupe fini G et un corps K, existe-t-il une extension normale de K ayant G pour groupe de Galois ?

Malgré d'importants progrès durant les trente dernières années du xx^e siècle, en 2006 les trois questions restent très largement ouvertes.

Théorie différentielle [modifier]

Certaines fonctions obtenues par addition, multiplication, division et composition de fonctions élémentaires (polynômes, exponentielle et logarithme par exemple) n'admettent aucuneprimitive qui puisse s'obtenir de la même manière. C'est le cas par exemple de la fonction gaussienne d'expression $x$ ↦ exp(− $x$ ²/2).

Ce fait est généralisé par la théorie de Galois différentielle, qui permet de déterminer, dans un ensemble des fonctions élémentaires, celles qui admettent une primitive élémentaire. Cette théorie étudie des corps particuliers appelés corps différentiels. Ce sont les corps K munis d'une dérivation $δ$ , c'est-à-dire d'une application vérifiant la propriété suivante :

$forall a,b in K quad delta (a+b) = delta (a)+delta(b)quad et quad delta (a.b) = delta (a).b + a.delta( b) ;$

Cette branche traite d'une famille de corps, il est donc naturel de la considérer comme un cas particulier de la théorie de Galois. Cependant l'analogie va plus loin et à bien des égards, cette théorie ressemble à la théorie classique. La différence principale est que, dans ce contexte, le groupe de Galois n'est plus un groupe fini mais en général un groupe algébrique.

Théorie des corps de classes [modifier]

Article détaillé : Théorie des corps de classes.

Notes et références [modifier]

↑ Al-Khwarizmi La transposition et la réduction 850
↑ Girolamo Cardano Ars magna, seu de regulis algebrse 1554
↑ Carl Friedrich Gauss Disquisitiones arithmeticae 1801
↑ Pierre-Laurent Wantzel Recherches sur les moyens de reconnaitre si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas 1837
↑ Joseph-Louis Lagrange Réflexions sur la résolution algébrique des équations 1770
↑ Alexandre-Théophile Vandermonde Mémoire sur la résolution des équations 1771
↑ Paolo Ruffini Théorie générale des équation, où il est montré que la résolution de l'équation algébrique général de degré supérieur à quatre est impossible 1799
↑ Niels Henrik Abel Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré 1824
↑ Evariste Galois sur les conditions de résolubilité des équations algébriques 1846 Journal de Liouville
↑ Joseph Liouville Œuvres Mathématiques d'Évariste Galois Suivie d'un avertissement de Liouville1846 Journal des Mathématiques pures et appliquées Vol. XI
↑ Augustin Louis Cauchy Sur le nombre de valeurs égale ou inégales que peut acquérir une fonction de n variables indépendantes, quand on permute ces variables entre elles d'une manière quelconque 1845
↑ Arthur Cayley Sur la théorie des groupes comme dépendance de l'équation symbolique $θ n = 1$ .1854
↑ Camille Jordan Traité des substitutions et des équations algébriques 1870
↑ Ernst Kummer Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren 1847
↑ Richard Dedekind Sur la théorie des nombres entiers algébriques 1871
↑ Heinrich Weber Théorie de Galois 1893
↑ Klein Conférences sur l'icosaèdre et les solutions de l'équation du cinquième degré 1877
↑ David Hilbert Sur la théorie des corps de nombres quadratiques 1888
↑ Emil Artin Théorie de Galois 1942

Voir aussi [modifier]

Bibliographie [modifier]

Adrien Douady et Régine Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions]
Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail des éditions]
E. Galois Écrits et Mémoires Mathématiques d'Évariste Galois Gauthier-Villars Paris, 1962
G. Verriest Œuvres Mathématiques d'Évariste Galois Gauthier-Villars Paris, 1951
J.C. Carrega Théorie des corps Hermann, 1989
Emil Artin et Arthur Milgram (en), Galois Theory, Dover, 1998, (ISBN 9780486623429)
J. Bewersdorff Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective, AMS 2006
Charles Robert Hadlock, Field theory and its classical problems, Collection : The Carus mathematical monographs 19, The Mathematical Association of America, 2000 (agréable à lire, les prérequis sont très modestes)
Ivan Gozard, Théorie de Galois, 2^e éd., Paris, Ellipses, 2009

Liens externes [modifier]

Évariste Galois, Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, 1830 (texte et analyse sur le site BibNum)
Bernard Bychan, Les archives de Évariste Galois
Alain Kraus, Un cours de DEA sur la théorie de Galois [pdf] (université Paris 6, 1998)
Colas Bardavid, Théorie de Galois élémentaire [pdf]
(en) Résumé de la théorie de Galois extraits de Beachy et Blair, Abstract Algebra, 2nd Ed

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois

Corps (mathématiques)

Pour les articles homonymes, voir Corps.

En mathématiques, et plus précisément en algèbre, un corps est une structure algébrique. De manière informelle, un corps est un ensemble dans lequel il est possible d'effectuer des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions.

Des exemples élémentaires de corps sont le corps des nombres rationnels (noté $mathbb{Q}$ ), le corps des nombres réels (noté $mathbb{R}$ ), le corps des nombres complexes (noté $mathbb{C}$ ) et le corps $mathbb{F}_p$ des congruences modulo p où p est un nombre premier. L'exemple le plus simple de corps non commutatif (parfois appelés anneau à division, suivant l'anglais) est celui des quaternions.

La théorie des corps est appelée, par certains, théorie de Galois^{[réf. nécessaire]} ; cependant, la théorie de Galois désigne en général une méthode d'étude qui s'applique en particulier aux corps commutatifs et aux extensions de corps, qui forment l'exemple historique, mais s'étend aussi à bien d'autres domaines, par exemple l'étude des équations différentielles (théorie de Galois différentielle), ou des revêtements. Autrement dit, la théorie de Galois est une branche de la théorie des corps.

Sommaire

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Fragments d'histoire [modifier]

Jusqu'au xix^e siècle, les ensembles de nombres ont paru tellement naturels que l'on ne s'est jamais préoccupé de leur donner un nom, ni même de définir avec précision leur structure¹. Cependant, avec la naissance de l'étude des nombres algébriques, il est apparu d'autres ensembles de nombres que les rationnels, les réels et les complexes. Il est devenu nécessaire de préciser la structure de corps, puis la notion d'entiers sur ce corps et enfin la notion d'anneau. C'est à l'école allemande que l'on doit le développement de ces notions. C'est Richard Dedekind qui définit pour la première fois la structure de corps (Körper en allemand)² et c'est la raison pour laquelle un corps quelconque est souvent nommé K ou $mathbb{K}$ . En 1910, Ernst Steinitz fonde la théorie axiomatique des corps. La structure de corps s'insère dans une hiérarchie comprenant le monoïde, le groupe, l'anneau, et donne lieu à la définition de l'espace vectoriel, et de l'algèbre.

Définition et exemple [modifier]

Un corps est un ensemble K muni de deux lois internes notées en général + et × vérifiant les axiomes suivants :

(K, +) forme un groupe commutatif, dont l'élément neutre est noté 0 ;
(K {0}, ×) forme un groupe multiplicatif ;
la multiplication est distributive pour l'addition (à gauche comme à droite) c’est-à-dire que

$forall (a,b,c) in K^3, quad atimes (b + c) = a times b + a times c quad hbox{et}quad (b+ c)times a = btimes a + ctimes a$

On parle alors du corps $(K, +, times)$ .

Les premiers corps étudiés étant des ensembles de nombres (rationnels, réels, complexes, algébriques), la multiplication y était commutative. C'est la raison pour laquelle, initialement, dans la définition d'un corps, la multiplication devait être commutative. Actuellement, la tendance est plutôt de ne pas exiger la commutativité de la multiplication³ ou du moins de préciser la nature des corps étudiés⁴ ; on appelle alors corps commutatif un corps dont la multiplication est commutative. Les corps non commutatifs sont parfois appelés corps gauches ou anneaux à division. Cette terminologie est inspirée de l'anglais où un corps commutatif est appelé field (champ) et un corps non nécessairement commutatif division ring(anneau à division).

Exemples de corps :

l'ensemble des nombres rationnels, $(mathbb Q, + ,times)$ est un corps commutatif ;
l'ensemble des nombres réels $(mathbb R, + ,times)$ est un corps commutatif ;
l'ensemble des complexes $(mathbb C, + ,times)$ est un corps commutatif ;
l'ensemble des quaternions $(mathbb H, + ,times)$ est un corps non commutatif ;
en arithmétique modulaire, l'ensemble $(mathbb Z/pmathbb Z, + ,times)$ , où p est un nombre premier, est un corps commutatif.

Un sous-corps d'un corps K est une partie non vide L de K, stable par $mathbb +$ et $times$ , telle que L munie des lois induites soit un corps.

Caractéristique [modifier]

Article détaillé : Caractéristique d'un anneau.

S'il existe un entier naturel n non nul tel que $1 + 1 + cdots + 1$ (avec n termes) est nul, on appelle caractéristique du corps le plus petit entier positif non nul vérifiant cette propriété. S'il n'existe pas d'entier non nul vérifiant cette propriété, on dit que le corps est de caractéristique nulle (parfois aussi grande que l'on veut).

Par exemple le corps $R$ est de caractéristique nulle alors que le corps $(mathbb Z/pmathbb Z)$ est de caractéristique p. On démontre qu'un corps possède toujours pour caractéristique soit 0 soit un nombre premier.

Corps finis [modifier]

Article détaillé : Corps fini.

Ce sont les corps dont le nombre d'éléments est fini. L'étude des corps finis est tardive dans l'étude des corps. On démontre qu'un corps fini est toujours commutatif, de cardinal égal à la puissance d'un nombre premier. Il est en fait possible de dresser la liste de tous les corps finis (à isomorphisme près).

Le plus petit corps fini est celui des booléens, dont voici les tables d'addition et de multiplication :

addition
+	0	1
0	0	1
1	1	0

multiplication
x	0	1
0	0	0
1	0	1

Les corps finis les plus connus sont les corps de congruences modulo un nombre premier comme dans le cas ci-dessus, mais il en existe une infinité d’autres, comme par exemple ceux-ci, respectivement à quatre et neuf éléments, dont nous donnons ci-dessous les « tables de Pythagore », successivement pour la première loi de composition dite « addition », puis pour la deuxième dite « multiplication ». Nous désignons dans chaque cas comme a l’élément neutre de la première loi de composition, b celui de la deuxième.

Quatre éléments :

addition
+	a	b	c	d
a	a	b	c	d
b	b	a	d	c
c	c	d	a	b
d	d	c	b	a

multiplication
x	a	b	c	d
a	a	a	a	a
b	a	b	c	d
c	a	c	d	b
d	a	d	b	c

Neuf éléments :

addition
+	a	b	c	d	e	f	g	h	i
a	a	b	c	d	e	f	g	h	i
b	b	c	a	e	f	d	h	i	g
c	c	a	b	f	d	e	i	g	h
d	d	e	f	g	h	i	a	b	c
e	e	f	d	h	i	g	b	c	a
f	f	d	e	i	g	h	c	a	b
g	g	h	i	a	b	c	d	e	f
h	h	i	g	b	c	a	e	f	d
i	i	g	h	c	a	b	f	d	e

multiplication
x	a	b	c	d	e	f	g	h	i
a	a	a	a	a	a	a	a	a	a
b	a	b	c	d	e	f	g	h	i
c	a	c	b	g	i	h	d	f	e
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Corps et anneau [modifier]

L'ensemble $(mathbb Z, +, times)$ n'est pas un corps car la plupart des éléments de $mathbb Z^*$ ne sont pas inversibles : par exemple, il n'existe pas d'entier relatif n tel que 2n = 1 donc 2 n'est pas inversible.

Plus généralement, un anneau unitaire est un ensemble A muni de deux lois + et ×, et vérifiant les axiomes suivants :

(A, +) forme un groupe commutatif dont l'élément neutre est noté 0 ;
(A-{0}, ×) forme un monoïde ;
la multiplication est distributive pour l'addition (à gauche comme à droite).

Article détaillé : Anneau (mathématiques).

Si l'anneau A est intègre, c’est-à-dire si

$forall (a,b) in A^2, quad ab=0 Rightarrow (a=0 hbox{ ou } b=0)$ ,

ou encore, $forall (a,b) in A^2, quad (ab=0 hbox{ et } aneq0) Rightarrow b=0$

l'anneau est presque un corps car il ne lui manque plus que l'inversibilité pour la multiplication.

On démontre que si l'anneau A est commutatif intègre, on peut le plonger dans son corps des fractions, qui est le plus petit corps contenant l'anneau.

Article détaillé : Corps des fractions.

Exemple : $mathbb Q$ est le corps des fractions de $mathbb Z$

Un anneau intègre (unitaire) est un corps si et seulement si {0} et A (les idéaux triviaux) sont les seuls idéaux.

Un anneau intègre (unitaire) A est un corps si et seulement si tout A-module est libre.

Corps et espace vectoriel [modifier]

Article détaillé : Espace vectoriel.

Partant du corps $R$ , il est naturel de s'intéresser à $mathbb{R}^n$ , ensemble des n-uplet de réels. On est amené à le munir d'une addition et d'une multiplication par un réel. La structure ainsi définie (une addition interne munissant l'ensemble d'une structure de groupe et une multiplication externe possédant des propriétés de distributivité et d'associativité) est appelée espace vectoriel sur $R$ . Il est alors naturel de définir ce que pourrait être un espace vectoriel sur un corps K quelconque.

Corps et équation algébrique [modifier]

L'étude des polynômes à coefficient dans un corps commutatif et la recherche de leurs racines a développé considérablement la notion de corps. Si f est un polynôme de degré n sur un corps commutatif K, l'équation f(x) = 0 est une équation algébrique dans K. Si, de plus, f est un polynôme irréductible, l'équation est dite irréductible. Lorsque n ≥ 2, trouver les solutions d'une telle équation demande de se placer dans un corps plus grand que K, une extension de corps.

Par exemple, l'équation $x 2 - 2 = 0$ est irréductible dans $mathbb Q$ mais possède des racines dans $mathbb R$ ou mieux dans $mathbb Q[sqrt 2]$ . L'équation $x 2 + 1 = 0$ ne possède pas de solution dans $mathbb R$ mais en possède dans $mathbb C$ ou mieux dans $mathbb Q[i]$ .

Un corps de rupture d'un polynôme est, par exemple, un corps minimal contenant K et une racine de f.

Le corps de décomposition de f est le plus petit corps contenant K ainsi que toutes les racines de f.

L'étude des corps de décomposition d'un polynôme et du groupe de permutations de ses racines forme la branche des mathématiques que l'on appelle la théorie de Galois.

Articles détaillés : Extension de corps, Extension algébrique et Théorie de Galois.

Propriétés [modifier]

Soit $left( mathbb{K} , + , * right)$ un corps commutatif. Alors tout polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ zéros (ou racines) dans $mathbb{K}$ .

Soit $left( mathbb{K} , + , * right)$ un corps commutatif. Alors tout sous-groupe fini de $left( mathbb{K}^* , * right)$ est un groupe cyclique.

[Dérouler]

Preuve

Autres champs d'étude [modifier]

On retrouve la théorie des corps dans l'étude de certaines fonctions comme les fonctions rationnelles ou les fonctions elliptiques.

Structures additionnelles [modifier]

Voir aussi [modifier]

La Wikiversité possède des cours sur « Corps (mathématiques) ».

Notes et références [modifier]

↑ Bourbaki place l'émergence du concept de loi de composition et de structure au XIX^e siècle chez Gauss puis l'école allemande (Éléments d'histoire des mathématiques, p. 71-74).
↑ R. Dedekind, Gesammelte mathematische Werke, d'après Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques, p. 106, réf. 79.
↑ À la suite de Nicolas Bourbaki (Algèbre, chapitre 1), Lelong-Ferrand et Arnaudiès (Algèbre) et de nombreux auteurs définissent le corps comme pouvant ne pas être commutatif.
↑ Deschamps-Warusfel (J'intègre) ou Lang (Algebra) précisent : « Dans la suite, on appellera corps un corps commutatif ».

Liens internes [modifier]

Sources [modifier]

Jacques Bouveresse, Jean Itard, Émile Sallé, Histoire des mathématiques [détail des éditions]

Lelong-Ferrand, Arnaudies, Algèbre
Petite Encyclopédie des mathématiques, Editions K Pagoulatos

[Enrouler] v · d · m Articles de mathématiques en rapport avec la théorie de Galois
Corps	Corps fini · Corps parfait · Corps de rupture · Corps de décomposition
Extension de corps	Extension algébrique · Extension quadratique · Extension simple · Extension normale · Extension séparable · Extension de Galois · Groupe de Galois ·Clôture algébrique
Articles associés	Caractéristique · Polynôme formel · Polynôme cyclotomique · Théorie de Galois · Théorème fondamental de la théorie de Galois · Théorème de l'élément primitif ·Théorie d'Iwasawa

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Catégorie : Théorie des corps | [+]

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_(math%C3%A9matiques)

01/12/2010

Analogues de la factorielle

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En mathématiques, de nombreuses fonctions analogues à la fonction factorielle ont été définies ; cette page recense les variantes les plus fréquemment rencontrées.

Sommaire

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Primorielle [modifier]

La fonction primorielle est similaire à la fonction factorielle, mais ne prend en compte que le produit des nombres premiers.

Multifactorielles [modifier]

Afin d'alléger l'écriture, une notation courante est d'utiliser plusieurs points d'exclamation pour noter une fonction multifactorielle, le produit d'un facteur sur deux (n!!), sur trois (n!!!) ou plus.

n!!, la double factorielle de n, est définie de façon récurrente par :

$n!!= left{ begin{matrix} 1,qquadquad &&mbox{si }n=0mbox{ ou }n=1; \ n((n-2)!!)&&mbox{si }nge2.qquadqquad end{matrix} right.$

Par exemple :

$3!! = 3 times 1 = 3$
$4!! = 4 times 2 = 8$
$5!! = 5 times 3 times 1 = 15$
$6!! = 6 times 4 times 2 = 48$
$7!! = 7 times 5 times 3 times 1 = 105$
$n!! = n times (n-2) times (n-4) times cdots$

Certaines identités découlent de la définition :

$n!=n!!(n-1)!! ,$

$(2n)!!=2^nn! ,$

$(2n+1)!!={(2n+1)!over(2n)!!}={(2n+1)!over2^nn!}$

$Gammaleft(n+{1over2}right)=sqrtpi{(2n-1)!!over2^n}$

Il faut faire attention de ne pas interpréter n!! comme la factorielle de n!, qui serait écrite (n!)! et est un nombre largement plus grand. Certains mathématiciens ont suggéré la notation alternative n!₂ pour la double factorielle et d'une façon similaire n!_n pour les autres multifactorielles, mais cet usage ne s'est pas répandu.

La double factorielle est la variante la plus commune, mais il est possible de définir de façon similaire la triple factorielle, etc. De façon générale, la k^e factorielle, notée n!^(k), est définie de façon récurrente par :

$n!^{(k)}= left{ begin{matrix} 1,qquadqquad &&mbox{si }0le n<k; \ n(n-k)!^{(k)},&&mbox{si }nge k.quad , end{matrix} right.$

Hyperfactorielle [modifier]

L'hyperfactorielle de n, notée H(n), est définie par :

$H(n) =prod_{k=1}^n k^k =1^1cdot2^2cdot3^3cdots(n-1)^{n-1}cdot n^n.$

Pour n = 1, 2, 3, 4,... les valeurs de H(n) sont 1, 4, 108, 27 648,... (suite A002109 de l’OEIS).

La fonction hyperfactorielle est similaire à la fonction factorielle, mais produit de plus grands nombres. Sa croissance est en revanche comparable.

Superfactorielle [modifier]

Neil Sloane et Simon Plouffe ont défini la superfactorielle en 1995 comme le produit des n premières factorielles :

$mathrm{sf}(n) =prod_{k=1}^n k! =prod_{k=1}^n k^{n-k+1} =1^ncdot2^{n-1}cdot3^{n-2}cdots(n-1)^2cdot n^1.$

Par exemple, la superfactorielle de 4 est :

$mathrm{sf}(4)=1! times 2! times 3! times 4!=288 ,$

La suite des superfactorielles débute (depuis n = 0) par :

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... voir (suite A000178 de l’OEIS)

L'idée fut étendue en 2000 par Henry Bottomley à la superduperfactorielle, produit des n premières superfactorielles, débutant (depuis n = 0) par :

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ... voir (suite A055462 de l’OEIS)

puis, par récurrence, à n'importe quelle factorielle de niveau supérieur, où la factorielle de niveau m de n est le produit des n premières factorielles de niveau m-1, c’est-à-dire, en notant $f (n, m)$ la factorielle de n de niveau m :

$mathrm{f}(n,m) = mathrm{f}(n-1,m)mathrm{f}(n,m-1) =prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 choose n-k}$

où $f(n,0) = n$ pour $n > 0$ et $f(0, m) = 1$ .

Superfactorielle (définition alternative) [modifier]

Clifford Pickover, dans son livre Keys to Infinity (1995), définit la superfactorielle de n, notée n$ ($ étant un signe factoriel ! portant un S superposé), comme :

$n$equiv begin{matrix} underbrace{ n!^{{n!}^{{cdot}^{{cdot}^{{cdot}^{n!}}}}}} \ n! end{matrix}$ ,

ou, en utilisant la notation de Knuth :

$n$=(n!)uparrowuparrow(n!) ,$ .

Les premiers éléments de la suite des superfactorielles sont :

$1$=1$

$2$=2^2=4$

$3$=6uparrowuparrow6=6^{6^{6^{6^{6^6}}}} !=8.02times 10^{6050}$

Sous-factorielle [modifier]

La fonction sous-factorielle, notée !n, sert à calculer le nombre de permutations possible de n objets distincts de manière à ce qu'aucun objet ne se trouve à sa place.

Par exemple, il existe !n façon de glisser n lettres dans n enveloppes affranchies et adressées de manière à ce qu'aucune des lettres ne soit dans la bonne enveloppe.

Il existe différentes façons de calculer la sous-factorielle

$!n = n! sum_{k=0}^n frac {(-1)^k}{k!}$

$!n = frac{Gamma (n+1, -1)}{e}$

Où $Γ$ est la fonction gamma incomplète et e la base du logarithme népérien.

$!n = left [ frac {n!}{e} right ]$

Où [x] désigne l'entier le plus proche de x

$!n = !(n-1);n + (-1)^n$

$!n = (n-1);(!(n-1)+!(n-2))$

$!n = (n-1); a_{n-2}$ avec $;a_0 = a_1 = 1$ et $a_n = n;a_{n-1} + (n-1);a_{n-2}$ suite A000255 de l’OEIS

Les premières valeurs de cette fonction sont :

!1 = 0

!2 = 1

!3 = 2

!4 = 9

!5 = 44

!6 = 265

!7 = 1854

!8 = 14833

!9 = 133496

!10 = 1334961

!11 = 14684570

!12 = 176214841

!13 = 2290792932

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Mathématiques discrètes

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Les mathématiques discrètes, parfois appelées mathématiques finies, sont l'étude des structures mathématiques fondamentalement discrètes, dans le sens où la notion de continuité n'est pas exigée ou supportée. La plupart des objets étudiés en mathématiques discrètes, si ce n'est pas la totalité, sont des ensembles dénombrables comme celui des entiers.

Les mathématiques discrètes sont devenues populaires ces dernières décennies du fait de leurs applications dans l'informatique. Les notations et les concepts des mathématiques discrètes sont utilisés pour exprimer ou étudier des problèmes et des objets en algorithmique et en programmation.

Les mathématiques discrètes incluent habituellement une partie de :

la théorie des nombres ;
la combinatoire ;
la théorie des graphes ;
la théorie de l'information ;
la théorie des langages ;
la théorie de la calculabilité et de la complexité.

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