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11/12/2010

Nombre surréel et pseudo-réel

Ne doit pas être confondu avec surréalisme.

En mathématiques, les nombres surréels sont les éléments d'un corps¹ qui inclut tous les nombres réels, ainsi que tous les ordinaux transfinis et leurs inverses, respectivement plus grands et plus petits que n'importe quel nombre réel positif.

Les nombres surréels ont été introduits par John Conway et popularisés par Donald Knuth en 1974 dans son livre Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness (Les nombres surréels : comment deux ex-étudiants se mirent aux mathématiques pures et trouvèrent le bonheur total)².

Les nombres pseudo-réels, également introduits par Knuth, sont une sur-classe des nombres surréels, construit avec des conditions plus faibles que ces derniers.

Sommaire

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Nombres surréels [modifier]

Présentation [modifier]

La construction des nombres surréels est similaire à la construction des nombres réels via les coupures de Dedekind, mais utilise le concept de récurrence transfinie. Elle repose sur la construction de nouveaux nombres représentés grâce à deux ensembles de nombres déjà construits, $L$ et $R$ (pour left et right, gauche et droite), éventuellement vides. Le nouveau nombre ainsi construit, noté $left { L | R right }$ , sera plus grand que tout nombre de $L$ et plus petit que tout nombre de $R$ , selon un ordre qui sera défini plus loin. Pour que cela soit possible, on impose une restriction sur $L$ et $R$ : il faut que chaque nombre de $L$ soit plus petit que chaque nombre de $R$ .

Définition [modifier]

Soient $L$ et $R$ deux ensembles de nombres surréels tels que :

pour tout $x in L$ et tout $y in R$ , $x le y$
$L$ et $R$ sont bien fondés

Alors, $left { L | R right }$ est un nombre surréel.

Étant donné un nombre surréel $X = left { X_L | X_R right }$ , on appelle $X L$ et $X R$ l'ensemble de gauche et l'ensemble de droite de $X$ , respectivement.

Pour éviter l'inflation d'accolades, on abrégera $left{ left{X_{L_1}, X_{L_2}, cdots right} | left{ X_{R_1},X_{R_2}, cdots right} right}$ en $left{ X_{L_1},X_{L_2},cdots | X_{R_1},X_{R_2},cdots right}$ , $left{ left{ X_L right} | emptyset right}$ en $left{ X_L | right}$ et $left{ emptyset | left{ X_R right} right}$ en $left{ | X_R right}$ .

On constate qu'il s'agit d'une définition récurrente ; ce point sera explicité plus tard.

Ordre [modifier]

Pour que la définition ci-dessus ait un sens, il est nécessaire de définir une relation binaire (notée ≤) sur les nombres surréels.

Soient deux nombres surréels $X = left { X_L | X_R right }$ et $Y = left { Y_L | Y_R right }$ . $Xle Y$ si et seulement si pour tout $xin X_L$ , on ne rencontre jamais $Yle x$ et si pour tout $yin Y_R$ , on n'a jamais $yle X$ .

Là encore, cette définition est récurrente.

Cette relation ne définit qu'un pré-ordre car elle n'est pas antisymétrique (on peut avoir $Xle Y$ et $Yle X$ sans que $X = Y$ , c'est le cas par exemple avec $left{ | right}$ et $left{ -1|1 right}$ ). Pour contourner ce problème, on définit une nouvelle relation sur les nombres surréels :

$X == Y Leftrightarrow X le Y wedge Y le X$ .

Il s'agit d'une relation d'équivalence et l'ordre induit par $le$ sur les classes d'équivalences est un ordre total, une classe d'équivalence pouvant alors être considérée comme un nombre unique.

Opérations [modifier]

On définit l'addition de deux nombres surréels par :

$X+Y = left{ X_L+Y cup X+Y_L | X_R+Y cup X+Y_R right}$

avec $A+Y = left{ a+Y / ain A right}$ et $X+B = left{ X+b / bin B right}$ .

La négation :

$-X = left{ -X_R | -X_L right}$

avec $-A = left{ -a / ain A right}$ .

Quant à la multiplication de deux nombres surréels :

$begin{matrix} XY = & left{ (X_LY+XY_L-X_LY_L) cup (X_RY+XY_R-X_RY_R) right. \ & | left. (X_LY+XY_R-X_LY_R) cup (X_RY+XY_L-X_RY_L) right} end{matrix}$

avec $AB = left{ ab / ain A wedge bin B right}$ .

Il est possible de montrer que ces opérations sont bien définies sur les nombres surréels. On peut les généraliser sans ambiguïté aux classes d'équivalence définie plus haut par :

Si $[X] = [X']$ et $[Y] = [Y']$ , alors $[X + Y] = [X' + Y']$ ,
$[ - X] = [ - X']$ et
$[X Y] = [X' Y']$ .

Finalement, on peut montrer que ces opérations sur les classes d'équivalence définissent un corps ordonné, avec la mention qu'elles ne forment pas un ensemble, mais une classe propre. Il est possible de montrer qu'il s'agit du plus grand corps ordonné, c'est-à-dire que tout corps ordonné peut y être plongé ; en particulier, ce corps est réel clos.

À partir de maintenant, on ne fera plus la distinction entre un nombre surréel et sa classe d'équivalence et on appellera directement cette dernière nombre surréel.

Construction [modifier]

On l'a vu, les deux définitions précédentes utilisent le principe de récurrence. Il est possible d'utiliser la récurrence ordinaire, mais il est plus intéressant de prendre en compte larécurrence transfinie.

Il est également nécessaire de créer un nombre surréel afin d'initier la récurrence ; $left{ | right}$ peut être défini grâce à l'ensemble vide et répond à cette fonction.

Désignons par $N n$ , pour un ordinal $n$ , l'ensemble des nombres surréels créés à l'étape $n$ de la récurrence, en prenant $N_0=left{ | right}$ . On appelle date de naissance d'un nombre surréel $X$ le plus petit ordinal $n$ tel que $X in N_n$ .

Les nombres surréels créés en un nombre fini d'étapes (par un raisonnement de récurrence ordinaire, donc) sont assimilés aux rationnels dyadiques (c'est-à-dire les nombres $p / 2 n$ où p et n sont entiers).

Exemples [modifier]

On définit de proche en proche :

Les entiers :

$0 = left{ | right}$

$1 = left{ 0 | right}$ et $-1 = left{ | 0 right}$

$2 = 1+1 = left{ left{0,1right} | right}=left{ 1 | right}$ et $-2 = left{ | -1 right}$

$cdots$

$n+1 = left{ left{0,1,cdots,nright} | right} = left{ n | right}$ .

Les nombres dyadiques :

${1 over 2} = left{ 0 | 1 right}$

${3 over 2} = left{ 1 | 2 right}$

${1 over 4} = left{ 0 | {1 over 2 } right}$

$cdots$

Les autres nombres rationnels, comme coupures entre deux ensembles de nombres dyadiques, de la même façon que les nombres irrationnels sont définis comme coupures entre rationnels.

Les infiniments grands :

$omega = left{ left{0,1,2,3,cdotsright} | right} = left{ mathbb N | right}$ qui est plus grand que n'importe quel nombre entier

$omega + 1 = left{ omega | right}$

$omega^2 = left{ left{omega, 2omega, 3omega, cdots right} | right}$

$omega^omega = left{ left{omega, omega^2, omega^3, cdots right} | right}$

Mais aussi de nouveaux objets qui ne sont pas des ordinaux, comme

$omega - 1 = left{left{0,1,2,3,cdotsright} | omega right}$

$omega - 2 = left{left{0,1,2,3,cdotsright} | omega-1 right}$

$omega/2 = left{left{0,1,2,3,cdotsright} | left{omega,omega-1,omega-2,cdots right}right}$

Les infiniments petits :

$epsilon = left{ 0 | left{1, {1 over 2}, {1 over 3}, cdots right} right}$ qui est strictement positif mais inférieur à tout $1 over n$ , pour

n

entier positif.

On peut montrer que $epsilon times omega = 1$ .

Nombres pseudo-réels [modifier]

On obtient les nombres pseudo-réels (pseudo-real numbers selon la terminologie de Knuth) au lieu des nombres surréels si on enlève la condition qu'aucun élément de l'ensemble de droite ne peut être inférieur où égal à un élément quelconque de l'ensemble de gauche. Les nombres surréels forment un sous-ensemble des nombres pseudo-réels.

Ces nombres pseudo-réels peuvent s'interpréter comme les valeurs de certains jeux. Ils sont à la base de la théorie des jeux combinatoires initiée par John Conway.

Voir aussi [modifier]

Liens externes [modifier]

(fr) Les nombres surréels - traduction en français du livre de Donald Knuth (fichier PDF)
(fr) Surréalisme mathématique Revue Pour la Science N°372 - octobre 2008 .

Bibliographie [modifier]

(en) Donald Ervin Knuth, Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness : A Mathematical Novelette, Addison-Wesley Professional (1974) - ISBN 0201038129
(en) John Horton Conway, On Numbers and Games, deuxième édition, AK Peters (2001) - ISBN 1-56881-127-6.

Notes et références [modifier]

↑ Ou plutôt d'un Corps ; l'usage de la majuscule vient de ce que ces nombres forment une classe propre (la classe des ordinaux n'est déjà pas un ensemble)
↑ Donald Ervin Knuth, Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness : A Mathematical Novelette, Addison-Wesley Professional (1974) - ISBN 0201038129

[Enrouler] v · d · m Notion de nombre
Ensembles usuels	$mathbb{N}$ Entier naturel • $mathbb{Z}$ Entier relatif • $mathbb{D}$ Nombre décimal • $mathbb{Q}$ Nombre rationnel • $mathbb{R}$ Nombre réel • $mathbb{C}$ Nombre complexe
Extensions	$mathbb{H}$ Quaternion • $mathbb{O}$ Octonion • $mathbb{S}$ Sédénion • Nombre complexe fendu • Tessarine • $mathbb{C}otimesmathbb{C},$ Nombre bicomplexe • $mathbb{MC}_n$ Nombre multicomplexe • Biquaternion • Coquaternion • Octonion fendu • Nombre hypercomplexe • $mathbb{Q}_p$ Nombre p-adique •Nombre hyperréel • Nombre superréel • Nombre dual • Droite réelle achevée • Nombre cardinal • Nombre ordinal •Nombre surréel et pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité • Nombre premier • Nombre composé • Carré parfait • Nombre parfait • Nombre positif • Nombre négatif • Fraction dyadique •Nombre irrationnel • Nombre algébrique • Nombre transcendant • Nombre imaginaire pur • Nombre de Liouville • Nombre normal •Nombre univers • Nombre constructible • Nombre réel calculable • Nombre transfini • Infiniment petit • Infiniment grand
Exemples d’importance historique	π Pi • √2 Racine carrée de deux • φ Nombre d’or • 0 Zéro • $i$ Unité imaginaire • $e$ Constante de Neper • ℵ₀ Aleph-zéro •Table de constantes mathématiques
Notions connexes	Chiffre • Numération • Fraction • Opération • Calcul • Algèbre • Arithmétique • Suite d’entiers • ∞ Infini • Chiffre significatif

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_surr%C3%A9el_et_pseud...

08/12/2010

Les métamorphoses du calcul , Une étonnante histoire de mathématiques

Les métamorphoses du calcul , Une étonnante histoire de mathématiquesGilles Dowek

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Socle même de la méthode mathématique depuis l'Antiquité grecque, la notion de démonstration s'est profondément transformée depuis le début des années soixante-dix. Plusieurs avancées mathématiques importantes, non toujours connectées les unes aux autres, remettent ainsi progressivement en cause la prééminence du raisonnement sur le calcul, pour proposer une vision plus équilibrée, dans laquelle l'un et l'autre jouent des rôles complémentaires.
Cette véritable révolution nous amène à repenser le dialogue des mathématiques avec les sciences de la nature. Elle éclaire d'une lumière nouvelle certains concepts philosophiques, comme ceux de jugement analytique et synthétique. Elle nous amène aussi à nous interroger sur les liens entre les mathématiques et l'informatique, et sur la singularité des mathématiques qui est longtemps restée l'unique science à ne pas utiliser d'instruments. Enfin, et c'est certainement le plus prometteur, elle nous laisse entrevoir de nouvelles manières de résoudre des problèmes mathématiques, qui s'affranchissent de certaines limites arbitraires que la technologie du passé a imposé à la taille des démonstrations : les mathématiques sont peut-être en train de partir à la conquête d'espaces jusqu'alors inaccessibles.

Mathématicien, logicien et informaticien, Gilles Dowek est chercheur et professeur à l'Ecole polytechnique. Auteur de plusieurs ouvrages de vulgarisation dont, au Pommier, deux «Petites Pommes du savoir» et un volume de la collection «le collège de la cité», il a obtenu en 2000 le Prix d'Alembert des lycéens de la Société Mathématique de France.
De la préhistoire des mathématiques aux mathématiques grecques

Le récit de l'histoire des mathématiques commence souvent en Grèce au Ve siècle avant notre ère, quand Pythagore, d'un côté, Thaïes et Anaximandre, de l'autre, ont fondé les deux principales branches des mathématiques antiques : l'arithmétique et la géométrie. La fondation de l'arithmétique et de la géométrie constitue, certes, une révolution majeure dans l'histoire des mathématiques. Cependant, le récit ainsi commencé occulte une période importante que l'on peut appeler la «préhistoire» des mathématiques. Les hommes n'ont, en effet, pas attendu le Ve siècle avant notre ère pour tenter de résoudre les problèmes mathématiques, surtout les problèmes mathématiques concrets, qui se posaient à eux.

Les comptables et les arpenteurs

L'une des plus anciennes traces d'activité «mathématique» consiste en une tablette trouvée en Mésopotamie qui date de 2500 avant notre ère. Elle présente le calcul du nombre de per sonnes auxquelles on peut donner 7 mesures de grain, en puisant dans un grenier qui en contient 1152000. Sans surprise, le résultat, 164571 personnes, s'obtient en divisant 1152000 par 7. Les comptables mésopotamiens savaient donc faire des divi sions, bien avant la «naissance» de l'arithmétique. Il est même vraisemblable, quoiqu'il soit difficile d'avoir des certitudes en ce domaine, que l'écriture ait été inventée précisément pour tenir des livres de comptes et que les chiffres soient, de ce fait, anté rieurs aux lettres. Même si certains ont du mal à l'admettre, nous devons probablement l'ensemble de la culture écrite à la bien peu romantique profession de comptable.

Extrait du livre :
Deux mille ans de calcul

Après l'adoption de la méthode axiomatique, le raisonnement a souvent été présenté comme l'unique outil à utiliser pour résoudre un problème mathématique. Dans le discours qu'ils ont tenu sur leur science, les mathématiciens n'ont quasiment plus accordé de place au calcul. Le calcul n'a pourtant pas disparu de la pratique mathématique : à toutes les époques, les mathématiciens ont proposé de nouveaux algorithmes pour résoudre systématiquement certains types de problèmes. L'histoire des mathématiques a donc sa part lumineuse, celle des conjectures, des théorèmes et des démonstrations, et sa part d'ombre, celle des algorithmes.

Ce chapitre est consacré à trois moments de cette histoire. Ces trois moments, qui se situent à des époques différentes, nous amèneront à discuter différentes questions.

Le premier nous amènera à nous interroger sur la manière dont peut se résoudre l'apparente contradiction entre le discours sur les mathématiques, qui accorde peu de place au calcul, et la pratique mathématique, qui lui en donne une si grande, ainsi que sur la façon dont la transition entre la préhistoire des mathématiques et les mathématiques grecques a pu s'opérer. Le deuxième nous amènera à nous interroger sur la part relative des héritages mésopotamiens et grecs dans les mathématiques médiévales. Le dernier, enfin, nous fera réfléchir sur la raison pour laquelle, alors que la géométrie de l'Antiquité était centrée sur un petit nombre de figures géométriques - le triangle, le cercle, la parabole... -, de nombreuses nouvelles figures géométriques - la chaînette, la roulette... - sont apparues au XVIIe siècle.

Dans la jungle des nombres premiers

Dans la jungle des nombres premiersJ. Derbyshire

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En 1859, le jeune mathématicien Bernhard Riemann utilise une hypothèse lui permettant de déterminer la quantité des nombres premiers inférieurs à une certaine valeur. Cette «hypothèse de Riemann» deviendra l'une des plus grandes énigmes mathématiques de tous les temps. Des bataillons de mathématiciens s'y sont attelés depuis, d'autant que l'Institut Clay, aux Etats-Unis, offre un million de dollars à qui démontrera sa validité (ou à qui la réfutera). Cet ouvrage passionnant, à la fois distrayant et sérieux, décrit le contexte historique (dans les chapitres pairs) et fournit les outils mathématiques (les chapitres impairs) pour comprendre la nature de l'hypothèse de Riemann et les enjeux de sa résolution : c'est ainsi que les systèmes de cryptographie moderne sont fondés sur l'hypothèse de Riemann, ainsi que certaines propriétés physiques du noyau atomique ! Une véritable plongée dans l'enfer des nombres premiers pour tous les passionnés des mathématiques.

Histoire des nombres

Histoire des nombresCollectif

Essai (broché). Paru en 08/2007

Qu’est-ce qu’un nombre ?Une quantité ?Dans quelles conditions et pourquoi sont-ils apparus ?Nombres entiers, premiers, réels, imaginaires, ils structurent le quotidien des hommes et répondent au désir profondément humain de rationaliser le réel. Qu’il s’agisse du négoce des marchands vénitiens ou des sondages politiques dans les campagnes présidentielles, le nombre a été et reste au centre de l’activité humaine.Du rôle des scribes mésopotamiens dans la naissance du concept de nombre à la révolution arithmétique du Moyen Âge, du théorème de Fermat à l’avènement de la technologique numérique, l’Histoire des nombres est avant tout l’histoire des hommes.

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La beauté des mathématiques

La beauté des mathématiquesDavid Ruelle

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Depuis l’Antiquité, et aujourd’hui encore, les mathématiques sont, à bien des égards, essentielles pour qui veut comprendre la nature des choses.

Est-il possible de pénétrer le monde mathématique sans études longues et arides ? Oui. Car ce qui importe, ce n’est pas de maîtriser cette science en profondeur, mais de comprendre comment l’esprit humain, et plus particulièrement le cerveau du mathématicien, se mesure à la réalité mathématique.

Un livre à la fois impertinent et distrayant, qui offre un voyage au cœur du monde des mathématiques et donne des aperçus très personnels sur quelques-uns des penseurs qui l’ont exploré.

David Ruelle, auteur de Hasard et Chaos, est membre de l’Académie des sciences et professeur de physique théorique à l’Institut des hautes études scientifiques de Bures-sur-Yvette. Ses travaux en physique mathématique, sur la théorie du chaos et sur les systèmes dynamiques lui ont valu une notoriété internationale.

Nicolas Bourbaki : histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existé

Nicolas Bourbaki : histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existéAmir D. Aczel

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Le 10 décembre 1934 à midi, dans un café situé au 63 boulevard Saint- Germain à Paris, là où aujourd’hui est installé un fast-food, André Weil, l’un des plus talentueux mathématiciens de cette époque a rassemblé cinq collègues aussi passionnés que lui. A eux six, ils représentent les universités de Strasbourg, Nancy, Rennes et Clermont- Ferrand, à eux six, ils viennent de créer le groupe Nicolas Bourbaki dont les publications vont donner un formidable coup de modernité aux mathématiques et un immense élan à l’école française.
C’est à peu près dix ans auparavant que Raoul Husson, élève à l’Ecole Normale Supérieure, invente le personnage de Nicolas Bourbaki en s’inspirant du grand Charles Bourbaki qui servit en Crimée, en Algérie, en Italie avant de devenir gouverneur militaire de Lyon.
Le premier groupe de cette société secrète est composé outre d’André Weil, d’Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, René de Possel. La guerre les séparera. Dans les années quarante le groupe s’enrichira de l’arrivée de la future médaille Field, Laurent Schwartz et du génie Alexandre Grothendieck qui dans les années 90 partit vivre en ermite dans les forêts pyrénéennes.
Et aujourd’hui encore, bien que moins rayonnant, le groupe continue à se réunir avec de nouveaux membres. Bourbaki n’a pas seulement fait progresser les mathématiques mais a aidé Lévi-Strauss à formaliser le structuralisme et a même inspiré les membres de l’Oulipo dans leur recherche. Voici son étonnante et passionnante histoire.

Hasard et complexité en mathématiques : la quête d'oméga

Hasard et complexité en mathématiques : la quête d'omégaGrégory Chaitin

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Que diriez-vous d'une balade mathématique au fin fond d'une forêt de chiffres, mêlant histoire et philosophie, physique et biologie, et qui mènerait au plus fascinant de tous, le nombre Oméga, «sorte de cauchemar pour la raison pure» ? Concentré des propriétés les plus étranges que peuvent avoir certains nombres réels, Ω est définissable, mais non calculable, incompressible et aléatoire. D'une certaine manière, il réunit les propriétés les plus extrêmes que peut posséder un réel définissable !

C'est dans les années 1970 que les mathématiques se sont enrichies de ce nombre étrange. Gregory Chaitin, son découvreur, entreprend ici de nous familiariser avec sa surprenante complexité, tout en la resituant dans l'histoire des mathématiques. Éclairant d'un jour nouveau les fameux théorèmes de Godel sur l'incomplétude des mathématiques, Ω et les théorèmes associés à la complexité algorithmique font désormais partie du bagage de tout mathématicien, logicien, informaticien ou philosophe des sciences.

Trouver un nombre non calculable qui ait une définition naturelle n'est pas un exercice facile, l'expliquer en le vulgarisant l'est encore moins. C'est là le grand mérite de cet ouvrage, unique en son genre, dont l'ambition est de rendre accessible les mathématiques pures.

GREGORY CHAITIN est un mathématicien et informaticien américain d'origine argentine. Figure internationale dans le monde des sciences, docteur honoris causa en 1995 de l'université du Maine et professeur honoraire depuis 2002 de l'université de Buenos Aires, il travaille à New York pour l'IBM Thomas J. Watson Research Center.

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Mathématiques et physique

Mathématiques et physiqueBernard Diu

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« Le livre de la nature est écrit dans la langue mathématique, et ses caractères sont des triangles, des cercles et autres figures géométriques, sans lesquels il est humainement impossible d’en comprendre le moindre mot. » Ce célèbre aphorisme de Galilée a scellé l’alliance des mathématiques et de la physique. Et pourtant, trois siècles plus tard, Einstein se montrait plus sceptique.

Dans ce livre, Bernard Diu montre que, en effet, si les mathématiques sont un instrument indispensable de la physique, elles n’en constituent pas le fondement. En multipliant les exemples, il marque la différence entre la mathématique du mathématicien et celle du physicien.

Un livre de nature à remettre en question l’enseignement de la physique dans nos écoles et des sciences en général, soumis à l’hégémonie des mathématiques.

Bernard Diu est professeur émérite à l’université Denis-Diderot-Paris-VII et chercheur au laboratoire de physique théorique des hautes énergies du Campus Jussieu. Il a publié Les atomes existent-ils vraiment ?, Traité de physique à l’usage des profanes, Les théories meurent aussi, et, avec Bénédicte Leclercq, La Physique mot à mot.

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Les systèmes complexes , Mathématiques et biologie

Les systèmes complexes , Mathématiques et biologieHervé Zwirn

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Comment les oiseaux coordonnent-ils leurs vols au long cours ? Comment nos milliards de neurones se connectent-ils pour fabriquer notre personnalité ? Pourquoi des espèces animales restent-elles stables pendant des millénaires avant de se transformer en un instant ? Pourquoi l’Union soviétique a-t-elle pu s’effondrer en quelques mois après avoir dominé l’Europe pendant plus d’un demi-siècle ? Qu’est-ce qui différencie un système complexe d’un système simple ? Comment peut-on étudier un système sans le réduire à ses constituants ? Comment peut-on décrire son fonctionnement s’il est chaotique ? Dans cette introduction qui fourmille d’exemples concrets, Hervé Zwirn décrit les mathématiques des systèmes complexes dans la vie et la société. Hervé Zwirn, polytechnicien, est directeur de recherche associé au laboratoire de mathématiques appliquées de l’École normale supérieure de Cachan et président de la société de conseil aux entreprises Eurobios.

Les énigmes mathématiques du 3ème millénaire

Les énigmes mathématiques du 3ème millénaireKeith Devlin

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Les inattendus mathématiques , Art, casse-tête, paradoxes

Les inattendus mathématiques , Art, casse-tête, paradoxesJean-Paul Delahaye

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Jacques-Louis Lions , Un mathématicien d'exception

Jacques-Louis Lions , Un mathématicien d'exceptionAmy Dahan

Biographie (broché). Paru en 11/2005

Aux États-Unis, dans le climat de guerre froide des années 1950, les mathématiques ont pris une importance stratégique, jusque-là insoupçonnée, dans de nombreux domaines (armement, nucléaire, aéronautique, conquête spatiale ou prévision météorologique). En France, la science est alors loin d’être au cœur des questions militaires et politiques : les mathématiques restent une discipline abstraite et théorique, que le prestigieux groupe Bourbaki symbolise ; et l’informatique, tant universitaire qu’industrielle, patauge. Dans ce livre, Amy Dahan Dalmedico retrace la trajectoire trop méconnue d’un mathématicien d’exception, Jacques-Louis Lions (1928-2001), qui va contribuer de façon décisive à changer ce paysage, non sans luttes ni conflits. Il élargit considérablement le champ d’intervention et d’action des mathématiques et tisse des liens étroits avec les réseaux de l’État et les partenaires industriels qui veulent imposer une modernisation technologique de la France : Commissariat à l’énergie atomique, Électricité de France, Avions Marcel Dassault, Institut français du pétrole… En nous plongeant au cœur de décisions qui façonneront cette modernisation, cette biographie se veut donc un livre d’histoire contemporaine : histoire intellectuelle et sociale d’un champ scientifique en émergence, histoire des enjeux politiques et institutionnels qui ont accompagné son développement, récit d’une activité intense à l’articulation des univers académique, industriel et politique. À l’heure où la France met en débat ses structures de recherche et d’enseignement universitaire, discute des rapports idéaux qui devraient se nouer entre recherche fondamentale, recherches appliquées et innovations, entre monde académique, monde de l’entreprise et action publique, cet exemple offre ample matière à réflexion.

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Un mathématicien aux prises avec le siècle

Un mathématicien aux prises avec le siècleLaurent Schwartz

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Evariste Galois, mathématicien humaniste et révolutionnaire

Evariste Galois, mathématicien humaniste et révolutionnaireBruno Alberro

Roman (broché). Paru en 11/2007

« Ce génie des mathématiques a également le génie… de se mettre dans les ennuis ! Républicain activiste, il connaît la prison. Amoureux dupé, il accepte un duel alors qu’il est myope…
Sa vie s’arrête à 20 ans.
Ses travaux, eux, n’ont pas fini d’impressionner. »
Avec ce roman, Bruno ALBERRO, réveille les mémoires, dénonce les complots, les arrangements politiques…
La vie bascule, pour Evariste GALOIS, pour nous aussi. Sans cet éclat de lucidité face à sa fin proche, la science n’aurait certainement pas évolué de la même manière.
Si la lettre à Auguste Chevalier d’Evariste GALOIS nous a permis de jouir des bienfaits de ses théories mathématiques, ce roman de Bruno ALBERRO me donne envie de faire revivre la vie d’Evariste GALOIS sur la scène.
On pourra sentir le vrai souffle d’un Evariste GALOIS qui revient au-delà du temps et de l’espace, dans le théâtre, même au Japon.

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Ecole d’été 2011

MODULES DE COURBES ET THEORIE DE GROMOV-WITTEN

20 juin - 8 juillet 2011

Les deux premières semaines auront comme thème les modules des courbes (première semaine) et la théorie de Gromov-Witten (deuxième semaine). Les cours seront adaptés à un public large de mathématiciens plus ou moins expérimentés venant d’horizons très divers. Ces deux semaines auront une structure similaire : au cours des après-midi pendant toute la semaine il se déroulera un seul cours principal sur le thème de la semaine. Parallèlement, dans les séances du matin, nous avons programmé trois mini-cours par semaine introduisant des sujets de recherche majeurs. Le programme des après-midi laissera le temps aux discussions, aux exercices et aux séminaires organisés par les étudiants.

Première semaine

Cours de l’après-midi : Carel FABER (tbc) et Dimitri ZVONKINE : Les espaces de modules des courbes stables.

Mini-cours du matin :
Gavril FARKAS
Ravi VAKIL
Rahul PANDHARIPANDE

Deuxième semaine

Cours de l’après-midi : Barabara FANTECHI : Théorie de Gromov-Witten

Mini-cours du matin :
Alessandro CHIODO et Yongbin RUAN
Tom COATES (tbc) et Alessio CORTI (tbc)
Davesh MAULIK

Troisième semaine

CONFERENCE SUR LA THÉORIE DE GROMOV-WITTEN

Comité scientifique : Barbara FANTECHI (SISSA), Rahul PANDHARIPANDE (Princeton), Yongbin RUAN (University of Michigan).

Lieu : Amphi Chabauty situé au rez-de-chaussée de l’Institut Fourier.

Organisateurs : Samuel Boissière (Université de Nice), Alessandro Chiodo (Université de Grenoble), Laurent Manivel (Université de Grenoble).

INFORMATIONS PRATIQUES

Cette école est financée par l’Institut Fourier, le CNRS, GRIFGA, et le projet ANR "Des nouvelles symétries pour la théorie de Gromov-Witten".

Source :

http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/Ecole-d-ete-2011.html

Théorie des nombres algébriques

Théorie des nombres algébriques

Prof. Eva Bayer Fluckiger

Christian Wuthrich

Master en Mathématiques

Semestre d'hiver 2005/6

Voici une version préliminaire d'un polycopié pour le cours. Je tiens à remercier Sébastien Nobs pour avoir pris les notes. Elles ne sont pas encore entièrement corrigées. ps - pdf

Rappels (Prerequis pour le cours) : ps - pdf

Littérature (une liste de références pour le cours) : ps - pdf

Exercices série 1 : ps - pdf; Corrigée ps - pdf

Exercices série 2 : ps - pdf; Corrigée ps - pdf

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Résumé des exercices ps - pdf

La liste complète de tous les exercices et toutes les solution ps - pdf

Lien divers :

La page de J. S. Milne contient les notes d'un cours sur la théorie des nombres algébriques.

Le cours de William Stein se trouve ici.

Le Number Theory Web et

les directories de Google contiennent beaucoup de lien vers des pages intéressantes.

Des biographies de mathématiciens.

Source : http://alg-geo.epfl.ch/cours/ant/index.html

Décomposition de Dunford

En mathématiques, la décomposition de Dunford s'inscrit dans la problématique de la réduction d'endomorphisme. Cette approche consiste à décomposer l'espace vectoriel en une somme directe de sous-espaces stables où l'expression de l'endomorphisme est plus simple.

Ce n'est pas une réduction dans le sens où elle n'est pas maximale. C'est-à-dire qu'il est parfois possible de pousser la décomposition en sous-espaces vectoriels stables plus petits.

Elle suppose comme hypothèses que l'espace vectoriel est de dimension finie et que le polynôme minimal est scindé, c'est-à-dire qu'il s'exprime comme produit de polynômes du premier degré. C'est toujours le cas si le corps est algébriquement clos, comme par exemple celui des nombres complexes. Dans le cas ou la propriété n'est pas vérifiée, alors il est possible d'étendre le corps à sa clôture algébrique, et l'espace vectoriel à ce nouveau corps et dans ce contexte d'appliquer la décomposition de Dunford. Le corps des nombres réels se voit par exemple très généralement étendre pour permettre une application de cette décomposition.

La décomposition de Dunford prouve que tout endomorphisme est la somme d'un endomorphisme diagonalisable et d'un endomorphisme nilpotent, les deux endomorphismes commutant et étant uniques.

Cette décomposition est largement appliquée. Elle permet un calcul matriciel souvent rapide. C'est néanmoins souvent sous la forme de la réduction de Jordan qu'elle est utilisée.

Sommaire

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Théorème [modifier]

Le théorème de diagonalisabilité permet de déterminer la structure de u quand il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. La décomposition de Dunford s'applique à un cas plus général.

Théorème de la décomposition de Dunford — Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E. Si u admet un polynôme minimal scindé, alors il peut s'écrire sous la forme u=d+n avec d un endomorphisme diagonalisable et n un endomorphisme nilpotent tels que d et n commutent (c'est-à-dire dn=nd). De plus d et n sont des polynômes en u et sont uniques.

Démonstration [modifier]

Via les sous-espaces caractéristiques [modifier]

Article détaillé : Sous-espace caractéristique.

L'idée initiale de cette approche est donnée par la proposition suivante, démontrée dans l'article sur les polynômes d'endomorphismes dans le paragraphe sur les polynômes minimaux :

Soit $(mu_i);$ une décomposition en facteurs de degré supérieur ou égal à 1 et premiers deux à deux du polynôme minimal $mu;$ d'un endomorphisme u. Alors la suite des noyaux $(Ker mu_i(u));$ est une décomposition de l'espace E en somme directe de sous-espaces stables par l'endomorphisme.

Or, si le polynôme minimal est scindé, il peut s'écrire sous la forme:

$mu(X)=prod_i (X-lambda_i)^{n_i};$

Si l'on note $E_i;$ le noyau de l'endomorphisme $(u-lambda_iId)^{n_i};$ , alors le paragraphe précédent nous indique que la suite $(E_i);$ forme une somme directe de l'espace E de sous-espaces non réduits à 0 et stables par l'endomorphisme. On appelle ces sous-espaces les sous-espaces caractéristiques. Nous avons alors les trois propriétés suivantes:

L'espace E est somme directe de ces sous-espaces caractéristiques.
Les sous-espaces caractéristiques sont non réduits au vecteur nul et stables par l'endomorphisme. La restriction de l'endomorphisme à $E_i;$ est la somme d'une homothétie de rapport $lambda_i ;$ et d'un endomorphisme nilpotent d'ordre $n_i;$ .
La suite des $(lambda_i) ;$ est la suite des valeurs propres (i.e. le spectre de $u$ ). Les sous-espaces propres associés sont inclus dans les sous-espaces caractéristiques.

Ces considérations permettent de démontrer la décomposition de Dunford. Elle permettent de plus de démontrer les propriétés suivantes :

Le polynôme minimal est le produit des polynômes unitaires dont le degré vaut 1 et dont la racine est une valeur propre, élevés chacun à la puissance l'indice de l'endomorphisme nilpotent associé.

Le polynôme caractéristique est le produit des polynômes unitaires dont le degré 1 et dont la racine est une valeurs propre, élevés chacun à la puissance la dimension de l'espace caractéristique associé.

Le déterminant est égal au produit des valeurs propres, élevées chacune à la puissance la dimension de l'espace caractéristique associé.

La trace est égale à la somme des valeurs propres pondérées par les dimensions des espaces caractéristiques associés.

[Dérouler]

Démonstration

Via les projecteurs [modifier]

Article détaillé : Projecteur (mathématiques).

Un résultat notoire de l'approche par les polynômes d'endomorphismes réside dans le fait que la connaissance du polynôme minimal permet de définir une algorithmique fournissant à la fois les projecteurs sur les espaces caractéristiques mais aussi la composante diagonale et nilpotente de l'endomorphisme.

La projection sur E_i parallèlement à la somme directe des autres espaces caractéristiques s'exprime comme un polynôme de l'endomorphisme u.
La composante diagonale d de l'endomorphisme u s'exprime comme un polynôme de l'endomorphisme u.
La composante nilpotente n de l'endomorphisme u s'exprime comme un polynôme de l'endomorphisme u.

[Dérouler]

Démonstration

Cas d'applications [modifier]

En dimension finie le théorème de Cayley-Hamilton assure que $χ u (u) = 0$ où $χ u$ désigne le polynôme caractéristique de u. Si $χ u$ est scindé alors u est décomposable.

C'est en particulier le cas pour tout endomorphisme d'un espace de dimension finie sur un corps algébriquement clos ( $mathbb C$ notamment).

Réduction de Jordan [modifier]

La décomposition de Dunford, combinée avec la décomposition de Frobenius permet d'obtenir la réduction de Jordan en dimension finie. En effet, d et n commutent donc les sous-espaces propres de d sont stables par n.

La restriction de n au sous-espace propre admet une matrice formée de blocs de Jordan nilpotents ce qui donne, en ajoutant $λ I p$ , des blocs de Jordan pour d+n dans une base adaptée. Ainsi on obtient une matrice diagonale par blocs formée de blocs de Jordan en utilisant l'union de ces bases.

[Enrouler] v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan •Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale •Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable •Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan •Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_de_Dunford

Décomposition de Frobenius

On considère un $K$ -espace vectoriel $E$ de dimension finie et un endomorphisme $u$ de cet espace. La décomposition de Frobenius est la décomposition de l'espace $E$ en somme directe de sous-espaces cycliques. Cette décomposition fait apparaitre les facteurs invariants de l'endomorphisme $u$ . Combinée avec la décomposition de Dunford (dans un ordre ou dans l'autre), on obtient la réduction de Jordan. Contrairement à ces dernières, la décomposition de Frobenius peut s'effectuer sur un corps quelconque, on ne suppose pas ici que $K$ est algébriquement clos.

Sommaire

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Polynôme conducteur [modifier]

Soit $x$ un vecteur de $E$ , l'ensemble $I_x={Pin K[X]mid P(u)(x)=0}$ est un idéal non nul de $K [X]$ , il est donc engendré par un unique polynôme normalisé $π u, x$ appelépolynôme conducteur de $u$ en $x$ , ou parfois polynôme minimal local de $u$ en $x$ .

Sous-espace cyclique [modifier]

Soit $x$ un vecteur de $E$ , l'ensemble $S_x={P(u)(x)mid Pin K[X]}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$ appelé sous-espace $u$ -cyclique engendré par $x$ , ou encore clôture $u$ -stable de $x$ .

Soit $Pin K[X]$ , on a $Pin I_x$ si et seulement si $forall yin S_x, P(u)(y)=0$ . Ainsi le polynôme conducteur $π u, x$ est le polynôme minimal de l'endomorphisme induit par $u$ sur le sous-espace $S x$ .

La dimension de $S x$ est égale au degré du polynôme $π u, x$ .

Vecteurs $u$ -maximums [modifier]

Pour tout vecteur $x$ de $E$ , le polynôme conducteur $π u, x$ divise le polynôme minimal $π u$ de $u$ . On dira que $x$ est $u$ -maximum lorsque $π u, x = π u$ . La décomposition de Frobenius est basée sur les deux résultats non triviaux suivants :

Tout endomorphisme $u$ admet un vecteur $u$ -maximum.
Pour tout vecteur $u$ -maximum $x$ , $S x$ admet un supplémentaire stable.

En procédant par récurrence, on parvient alors à la :

Décomposition de Frobenius [modifier]

Il existe une suite de vecteurs $x_1,x_2,dots,x_p$ de $E$ telle que

$E= S_{x_1}oplus S_{x_2}oplusdotsoplus S_{x_p}$
$pi_{u,x_p}middotsmid pi_{u,x_2}mid pi_{u,x_1}$

Les polynômes $pi_{u,x_i}$ ne dépendent pas du choix des vecteurs $x i$ , ce sont les facteurs invariants de $u$ . Le polynôme minimal $pi_u =pi_{u,x_1}$ et le polynôme caractéristique $chi_u=pi_{u,x_1}pi_{u,x_2}dotspi_{u,x_p}$ .

Deux endomorphismes sont semblables ssi ils ont les mêmes facteurs invariants.

Les endomorphismes induits par $u$ ont des propriétés spécifiques, ce sont des endomorphismes cycliques dont il ne reste plus qu'à étudier les propriétés spécifiques.

Endomorphisme cyclique [modifier]

On dit que $u$ est un endomorphisme cyclique ssi il existe un élément $x$ de $E$ tel que $S x = E$ .

On peut caractériser les endomorphismes cycliques de plusieurs manières : un endomorphisme $u$ de $E$ est cyclique si et seulement si

Le degré du polynôme minimal de $u$ est égal à la dimension de $E$
Le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de $u$ sont égaux (au signe près).
Un endomorphisme commute avec $u$ si et seulement si c'est un polynôme en $u$ .
Il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est une matrice compagnon. C'est alors la matrice compagnon du polynôme minimal de $u$ .

Applications [modifier]

La décomposition de Frobenius permet d'étudier le commutant et le bicommutant d'un endomorphisme.

Elle permet aussi de démontrer élégamment le fait qu'une matrice et sa transposée sont semblables. On le démontre manuellement pour une matrice compagnon et cela suffit.

Références [modifier]

On pourra trouver les démonstrations ici [1].

J. Fresnel: Algèbre des matrices, Hermann 1997, § A 4.1, pages 139 - 141.

Voir aussi [modifier]

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Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan •Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale •Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable •Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan •Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
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Module sur un anneau

En mathématiques, au sein des structures algébriques, « un module est à un anneau ce qu'un espace vectoriel est à un corps »¹ : pour un espace vectoriel, l'ensemble des scalairesforme un corps tandis que pour un module, cet ensemble est seulement muni d'une structure d'anneau (unitaire, mais non nécessairement commutatif). Une partie des travaux en théorie des modules consiste à retrouver les résultats spectaculaires de la théorie des espaces vectoriels, quitte pour cela à travailler avec des anneaux plus maniables, comme les anneaux principaux.

Par ailleurs, la notion de module sur un anneau généralise celle d'idéal.

Sommaire

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Comparaison avec la structure d'espace vectoriel [modifier]

Certaines propriétés vraies pour les espaces vectoriels ne sont plus vraies pour les modules. Par exemple l'existence d'une base n'y est plus assurée, et on ne peut pas nécessairement y développer de théorie de la dimension, même dans un module engendré par un nombre fini d'éléments.

Les modules ne sont pas une généralisation inutile. Ils apparaissent naturellement dans beaucoup de situations algébriques ou géométriques. Un exemple simple est un module sur l'anneau des fonctions infiniment différentiables sur un ouvert : il est naturel de ne pas pouvoir y faire de division, puisqu'il vaut mieux éviter de diviser par $0$ . De la même façon, il est naturel de considérer un module sur l'anneau des polynômes à une ou plusieurs variables.

Définitions [modifier]

Module à gauche, module à droite [modifier]

Si A est un anneau (unitaire), et (M , +) un groupe commutatif.

Si de plus, M est muni d'une loi externe $cdot$ de A × M dans M vérifiant, pour tous éléments a et b de A et x, y de M :

$a cdot(x + y) = acdot x + acdot y$ (distributivité de $cdot$ par rapport à l'addition dans M)
$(a + b) cdot x = a cdot x + b cdot x$ (distributivité de $cdot$ par rapport à l'addition dans A)

Remarque : la loi + du membre de gauche est celle de l'anneau A et la loi + du membre de droite est celle du groupe M

$(ab) cdot x = a cdot (b cdot x)$
$1 cdot x = x$

alors (M, + , $cdot$ ) est un A-module à gauche.

Ce qui a été défini ici est un A-module à gauche, car, dans la loi externe, les éléments de A sont placés à gauche. On pourra définir de même un A-module à droite.

Il est important de remarquer que les structures de module à gauche et à droite ne diffèrent pas uniquement par leur écriture : si les deux premiers axiomes sont les mêmes, le troisième s'écrit $xcdot(ba)=(xcdot b)cdot a$ . Si l'on transcrivait naïvement cette égalité en écrivant les éléments de A gauche, on obtiendrait $(ba) cdot x = a cdot (b cdot x)$ , ce qui, si A n'est pas commutatif, ne revient pas au même que l'axiome qui donne la structure de module à gauche.

Par contre, le petit raisonnement ci-dessus montre que, si l'on "inverse" la loi de A, un module à droite peut être vu comme un module à gauche. Plus précisément, notons $A o p$ l'anneau "opposé" à A, c'est-à-dire le groupe abélien A muni de la multiplication définie par $a o p b o p = b a$ , si $a o p$ et $b o p$ désignent a et b vus comme éléments de $A o p$ . Alors, si M est un A-module à gauche, M peut être vu comme un $A o p$ -module à droite, où l'action de $A o p$ est définie par $a . m = m . a o p$ .

Ceci justifie que dans la suite, on puisse se restreindre à l'étude des modules à gauche.

Exemples [modifier]

Lorsque A est un corps, on retrouve la structure habituelle de A-espace vectoriel. Dans ce cas, les éléments de A sont appelés les scalaires, les éléments de M sont appelés lesvecteurs.
A lui-même est à la fois un module à gauche et à droite.
L'ensemble des vecteurs du plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs forme un $mathbb{Z}$ -module.
Tout groupe abélien est automatiquement un $mathbb{Z}$ -module pour la loi externe définie par :

pour n > 0, $n cdot x = x + cdots + x$ avec n termes x

pour n = 0 $0 cdot x = 0$

pour n < 0, $ncdot x = -((-n) cdot x)$ l'opposé de $(-n) cdot x$

Cette loi est la seule qui munisse un groupe abélien d'une structure de $mathbb{Z}$ -module. Il y a donc équivalence entre la notion de $mathbb{Z}$ -module et celle de groupe abélien.

La structure de A-module apparaît dans celle d'algèbre sur un anneau.
Si M un groupe abélien et si f est un endomorphisme de groupe sur M, alors on peut définir la loi externe $f cdot x = f(x)$ qui confère à M une structure de End(M)-module .
Si M est un espace vectoriel, on peut faire la même chose avec des endomorphismes d'espaces vectoriels au lieu de groupes. Par exemple, l'espace vectoriel $mathbb{R}^n$ à n dimensions est un module à gauche sur $mathcal{M}_n(mathbb{R})$ via la multiplication matricielle.
Si M est un A-module à gauche, l'ensemble des applications d'un ensemble S vers M est un A-module à gauche, pour les lois $(f + g)(x) = f (x) + g (x)$ et $(rcdot f )(x)=rcdot(f(x))$
Un espace vectoriel $E$ sur un corps $mathbb K$ peut être considéré comme un module sur l'anneau principal $mathbb K[X]$ , et par ce biais la majeure partie des propriétés de l'algèbre linéaire peut être démontrée².
Cette structure de module est la suivante : étant donné $u in L_{mathbb K}(E)$ fixé, pour tout $left( p, x right) in mathbb K[X]times E$ , on pose $p.x = p(u).x in E$ , avec $p(u) in L_{mathbb K}(E)$ car cet ensemble a une structure d'algèbre sur $mathbb K$ .

Lien avec la théorie des représentations [modifier]

Le premier axiome montre que, pour $a in A$ , l'application $psi_a : x mapsto a cdot x$ est un endomorphisme du groupe $M$ . Les trois axiomes suivants traduisent quant à eux le fait que l'application $a mapsto psi_a$ est un morphisme (unitaire) de l'anneau A dans l'anneau des endomorphismes de M, noté End(M).

Réciproquement, la donnée d'un morphisme d'anneau unitaire $psi : A to End(M)$ fournit à M une structure de A-module (à gauche) via la loi $a cdot x = psi(a)(x)$ . Une structure de A-module est donc équivalente à la donnée d'un morphisme $A to End(M)$ .

Un tel morphisme A $to$ End(M) est appelé une représentation de A sur le groupe abélien M. Une représentation est dite fidèle si elle est injective. En termes de module, cela signifie que si pour tout $x in M, a cdot x = 0$ , alors a = 0.

Ceci est une généralisation de ce que l'on trouve en représentation des groupes, où l'on définit une représentation d'un groupe G vers un espace vectoriel sur un corps K comme un morphisme de l'algèbre du groupe K[G] vers End(V), autrement dit, où l'on donne une structure de K[G]-module à V.

Sous-module [modifier]

Soit E un A-module à gauche, et M une partie de E. On dit que M est un sous-module (à gauche) si les conditions suivantes sont respectées :

M est un sous-groupe de (E,+)
Pour tout $a in A, x in M, a cdot x in M$

Autrement dit, un sous-module est une partie linéairement stable.

Exemples

Un cas très important est celui des sous-modules de A en tant A-module : ils ne sont autres que les idéaux à gauche ou à droite selon le type de module choisi, de l'anneau A.
Si le module est un espace vectoriel, on parle de sous-espace vectoriel
Dans un groupe commutatif, considéré comme module sur $mathbb{Z}$ , tout sous-groupe est aussi un sous-module.

Applications linéaires [modifier]

Une application linéaire f entre deux modules M et N sur un même anneau A est une fonction qui conserve la structure de module, i.e qui vérifie :

$forall (alpha,beta) in A^2, forall (x,y) in M^2, f(alpha cdot x + beta cdot y) = alpha cdot f(x) + beta cdot f(y)$

Autrement dit, une application linéaire est un morphisme de modules. Si f est bijective, on dit de plus que f est un isomorphisme. Si les modules de départ et d'arrivée M et N sont identiques, on dit que f est un endomorphisme. Si f est à la fois un endomorphisme et un isomorphisme, on dit que c'est un automorphisme.

Le noyau d'une application linéaire f est l'ensemble des éléments x de M qui vérifient f(x) = 0. C'est un sous-module de M et il est noté Ker f. On peut également définir l'image d'une application linéaire Im f = f(M) qui est un sous-module de N.

Comme dans le cas des groupes ou des anneaux, un morphisme de A-modules $f : Mto N$ donne lieu à un isomorphisme $tilde f : M/ ker f to mathrm {im} f$ , défini par $tilde f (x+ker f) = f(x)$

Opérations sur les modules [modifier]

Produits de modules [modifier]

Si on considère une famille de module ( $M_i)_{i in I}$ sur un même anneau A, on peut munir l'ensemble produit $prod_{i in I} M_i$ d'une structure de module en définissant les lois suivantes :

Loi interne : $(x_i)_{i in I} + (y_i)_{i in I} = (x_i + y_i)_{i in I}$
Loi externe : $a cdot (x_i)_{i in I} = (a cdot x_i)_{i in I}$

Le module ainsi défini s'appelle le module produit. Les projections $p_i : (x_j)_{j in I} mapsto x_i$ sont alors des applications linéaires surjectives. Un exemple important de produit de modules est celui où tous les modules facteurs sont identiques à un même module M ; leur produit $M I$ n'est alors autre que l'ensemble des applications de I dans M.

Somme directe de modules [modifier]

Soit $(M_i)_{i in I}$ une famille de A-modules, on note leur produit $M = prod_{i in I} M_i$ . L'ensemble E des éléments de M dont toutes les composantes sauf un nombre fini sont nulles est appelé somme directe externe de la famille de modules $(M_i)_{i in I}$ et il est noté :

$E = bigoplus_{i in I} M_i$

C'est un sous-module de $prod_{i in I} M_i$ . Dans le cas où I est fini, la somme directe E et le produit M sont évidemment confondus.

Intersection et somme de sous-modules [modifier]

Si M est un module, et $(M_i)_{i in I}$ est une collection de sous-modules de M, on dit que la famille est en somme directe si :

Pour toute partie J finie de I, pour tout $(x_j)_{j in J}, sum_{j in J} x_j = 0 Rightarrow forall j in J, x_j = 0$

Dans ce cas, la somme $sum_{i in I} M_i$ , appelée somme directe interne, est isomorphe à la somme directe externe et elle est également notée $bigoplus_{i in I} M_i$ .

Propriétés de finitude [modifier]

On dit qu'un A-module est de type fini s'il est engendré sur A par un nombre fini d'éléments. On a alors $M = sum_{i=0}^n{Ax_i}$ .

On dit qu'un module est de présentation finie s'il est le quotient d'un $A n$ par un sous-module de type fini. Un module de présentation finie est en particulier de type fini. La réciproque est vraie lorsque A est noethérien. Pour un module M de présentation finie, tout homomorphisme surjectif $Lto M$ avec L de type fini admet un noyau de type fini³.

On dit qu'un A-module est libre s'il possède une base sur A (voir Module libre).

Si M est de type fini et libre, il existe alors un isomorphisme entre M et $A n$ , où n est le cardinal de la base.

Applications des modules [modifier]

Les modules sont un outil indispensable pour passer de propriétés géométriques à des propriétés fonctionnelles, ou ressemblant à des propriétés fonctionnelles. Ainsi, au lieu de voir unevariété différentiable comme une partie d'un espace concret ou abstrait, on va plutôt considérer une classe de fonctions sur cette variété et déclarer que cette classe est la classe des fonctions différentiables sur la variété -- il faudra satisfaire des conditions appropriées de compatibilité. On pourra ainsi traduire les propriétés géométriques de la variété par des propriétés algébriques de la classe de fonctions que nous avons déclarées comme fonctions différentiables.

Mieux que des fonctions, on peut considérer des champs sur une variété différentiable. Le cas le plus simple est celui des champs tangents différentiables à une variété. Pensons par exemple aux champs de vecteurs tangents à la sphère unité dans un espace de dimension $3$ . Il s'agit bien d'un module sur l'anneau des fonctions différentiables sur la sphère : si on multiplie un champ différentiable tangent à la sphère par une fonction différentiable, on trouve bien un champ différentiable. Ce module est engendré par la restriction à la sphère des projections tangentes des champs constants égaux aux vecteurs de base de l'espace - cela nous fait trois champs. Mais on peut montrer que ces trois champs ne sont pas indépendants, et on peut même montrer qu'il n'existe aucun choix de deux champs tangents qui pourraient engendrer le module des champs tangents à la sphère et différentiables. On a là l'exemple le plus simple d'un module de type fini, c'est-à-dire engendré par un nombre fini de ses éléments, mais qui ne possède pas de base.

La correspondance systématique entre objet géométrique et objet de nature fonctionnelle est dominante en géométrie algébrique. En effet, si $V$ est l'ensemble des solutions communes d'un système d'équations polynomiales en $n$ variables, on peut étudier l'ensemble des polynômes qui s'annulent sur $V$ ; ce sera un idéal de l'anneau des polynômes à $n$ variables, et donc en particulier, un module sur cet anneau. Il est possible de retrouver nombre de propriétés géométrique de $V$ en étudiant les propriétés de cet idéal: points singuliers, dimension, recherche de droites incluses dans $V$ , et ainsi de suite.

Cette faculté d'exprimer les propriétés d'objets géométriques au moyen d'espaces de fonctions sur ces objets est à la base de la géométrie non commutative: les espaces de fonctions sur des objets géométriques usuels sont des anneaux commutatifs pour la multiplication (et même souvent des algèbres, c'est-à-dire des anneaux munis également d'une structure compatible d'espace vectoriel). La démarche de la géométrie non commutative consiste à explorer ce que seraient des objets géométriques sur lesquels vivraient des "fonctions" formant un anneau ou une algèbre non commutative, et c'est pour cette raison que le cas des anneaux non commutatifs et des modules sur des anneaux non commutatifs est très important actuellement.

Notes et références [modifier]

↑ Daniel Perrin, Cours d'algèbre [détail des éditions] p. 60
↑ Patrice Tauvel, Algèbre Agrégation, Licence 3e année, Dunod, 2005 (ISBN 978-2100494125)
↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre commutative, I, §2.8

Voir aussi [modifier]

[Dérouler] v · d · m Algèbre commutative

[Dérouler] v · d · m Algèbre linéaire générale

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Module_sur_un_anneau

Propriétés métriques des droites et plans

En géométrie euclidienne, c'est-à-dire dans le plan et l'espace muni d'une distance et d'un produit scalaire, les droites et les plans possèdent des propriétés métriques permettant de les caractériser grâce à un point et un vecteur, dit normal. On peut aussi calculer la distance qui les sépare d'un point donné ou bien calculer celle qui sépare deux droites ou deux plans. On peut aussi calculer l'angle formé par deux droites ou deux plans.

Dans cet article, on a muni le plan ou l'espace d'un repère orthonormal dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées. Toute droite du plan y possède une équation du type ux + vy + h = 0 où (u , v) est différent de (0 , 0) et tout plan de l'espace possède une équation de la forme ux + vy + wz + h = 0 où (u, v, w) est différent de (0, 0, 0).

Sommaire

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La droite dans le plan euclidien [modifier]

Vecteur normal à une droite [modifier]

Soit $M (x, y)$ un point de la droite D dont une équation dans un repère orthonormal est donnée par :

$(1) qquad ux + vy + h = 0,$

et $M 0 (x 0, y 0)$ un point spécifique de D, On a :

$(2) qquad ux_0 + vy_0 + h = 0,$

En retranchant (2) à (1) on obtient :

$u(x-x_0) + v(y-y_0)= 0,$

En notant $scriptstyle overrightarrow{N},$ , le vecteur de coordonnées (u, v), on exprime (1) comme suit :

$overrightarrow{N} . overrightarrow{M_0M}=0,$

La droite d'équation $u x + v y + h = 0$ est donc orthogonale au vecteur $scriptstyle overrightarrow{N},$ . Le vecteur $scriptstyle overrightarrow{N},$ est appelé un vecteur normal à la droite D.

Droite passant par un point et orthogonale à un vecteur non nul donné [modifier]

Soit un point $M (x, y)$ et un vecteur $scriptstyle overrightarrow{N}(u,v)$ non nul. Le point M appartient à la droite D, passant par $M 0 (x 0, y 0)$ et orthogonale à $scriptstyle overrightarrow{N}$ , si et seulement si :

$overrightarrow{N} . overrightarrow{M_0M}=0$

La droite D, passant par $M 0 (x 0, y 0)$ et orthogonale à $scriptstyle overrightarrow{N}$ , a donc pour équation :

$u(x-x_0) + v(y-y_0)= 0,$

Distance algébrique d'un point $M (x, y)$ à une droite d'équation $u x + v y + h = 0$ [modifier]

Article détaillé : Distance d'un point à une droite.

Soit H la projecté de $M (x, y)$ sur D avec $overrightarrow{HM}$ orthogonal à D.

La droite perpendiculaire à D et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur $scriptstyle overrightarrow{N}(u,v)$ , on montre que la distance algébrique entre M et D est donnée par :

$d_a(H,M) = frac{ux+vy+h}sqrt{u^2 + v^2}$

En valeur absolue :

$|overrightarrow{HM}| = frac{|ux+vy+h|}sqrt{u^2 + v^2}$

Droite et pente [modifier]

Pour v non nul, la droite D d'équation $u x + v y + h = 0$ possède une équation sous la forme $m x + b = y$ avec

$m= -frac{u}{v},$

$b= -frac{h}{v},$

La pente d'une droite est le réel

$m = tan(alpha),$

L'angle α représente l'angle entre l'axe des abscisses et la droite D.

Équation normale d'une droite [modifier]

Dans le repère $scriptstyle (O, vec i, vec j)$ ,notons $scriptstyle overrightarrow{N}(cosvarphi,sinvarphi)$ un vecteur unitaire normal à la droite D, orienté de O vers D, la valeur $varphi$ représente alors l'angle $scriptstyle (vec i, overrightarrow N)$ . On note d'autre part $p$ la distance entre l'origine O du repère et la droite D.

L'équation (1) s'écrit :

$xcosvarphi+ysinvarphi-p=0$

Angles de deux droites [modifier]

Soit D et D' deux droites d'équations

$(D): ux+vy+h = 0,$

$(D'): u'x+v'y+h' = 0,$

L'angle formé par les deux droites est connu par sa tangente :

$tan(D,D')= tan(overrightarrow{N},overrightarrow{N'}) = frac{uv'-u'v}{uu'+vv'}$

La droite dans l'espace euclidien [modifier]

Distance d'un point M à une droite quelconque D de l'espace [modifier]

Article détaillé : Distance d'un point à une droite.

Cas où la droite est définie par l'intersection de deux plans [modifier]

$P_1 = u_1x+v_1y+w_1z+h_1 = 0,$

$P_2 = u_2x+v_2y+w_2z+h_2 = 0,$

le plan $Q,$ perpendiculaire à $P_1,$ appartient au faisceau de plans $P_1 + lambda P_2= 0,$

$Q,$ sera perpendiculaire à $P_1,$ pour $lambda = frac{-(u_1^2 + v_1^2+w_1^2)}{u_1u_2+v_1v_2+w_1w_2},$

Soit $H_1, H_Q, H ,$ les projections orthogonales du point $M,$ respectivement sur $P_1, Q, D,$ , on en déduit $MH^2 = MH_1^2 + MH_Q^2,$

On calculera $MH_1,$ et $MH_Q,$ comme détaillé au chapitre "Distance algébrique d'un point à un plan" ci dessous.

Cas où la droite est définie par un point $M 0$ et un vecteur $overrightarrow{V}$ non nul [modifier]

La distance $M H$ est donnée par

$MH = frac{|overrightarrow{MM_0}wedge vec V|} {|vec V|}$

Droites orthogonales à un plan [modifier]

Le plan étant défini par l'équation $u x + v y + w z + h = 0$ , les droites perpendiculaires au plan sont toutes les droites ayant comme vecteur directeur $overrightarrow{N}(u,v,w)$ . Une droite D passant par le point $M 0 (x 0, y 0, z 0)$ et perpendiculaire à $[P]: u x + v y + w z + h = 0$ a pour équations :

$frac{x-x_0}{u}=frac{y-y_0}{v}=frac{z-z_0}{w}$

dans le cas où aucun des réels, u, v, w, n'est nul.

Si un seul des des réels est nul , par exemple u= 0, le système devient :

$x=x_0 qquad frac{y-y_0}{v}=frac{z-z_0}{w}$

Si deux réels sont nuls, par exemple u=v=0, le système devient :

$x=x_0 qquad y=y_0$

Distance entre deux droites quelconque de l'espace [modifier]

Soient la droite $(D 0)$ passant par $M 0 (x 0, y 0, z 0)$ et de direction le vecteur $vec V_0(a_0,b_0,c_0)$ et $(D 1)$ la droite passant par $M 1 (x 1, y 1, z 1)$ et de direction $vec V_1(a_1,b_1,c_1)$

Si les vecteurs $vec V_0$ et $vec V_1$ sont indépendants, le volume du solide construit sur $vec {M_0M_1},vec V_0, vec V_1$ est égal à $| k |$ . Ce réel se calcule grâce au produit mixte :

$k = (vec {M_0M_1},vec V_0, vec V_1)$

L'aire de la base du solide est donnée par

$|vec W|$ tel que $vec{W} = vec{V_0} wedge vec{V_1}$

La distance entre les deux droites est alors égale à $d= frac{|k|}{|vec{W}|}$

Si les vecteurs sont colinéaires alors les deux droites sont parallèles et la distance qui les sépare correspond à la distance qui sépare le point M₁ de la droite D₀.

Le plan dans l'espace euclidien [modifier]

Vecteur orthogonal à un plan [modifier]

Soit $M (x, y, z)$ un point du plan P dont l'équation dans un repère orthonormé est donnée par :

$(1bis) qquad ux+vy+wz+h=0$

Pour $M 0 (x 0, y 0, z 0)$ un point spécifique de P on obtient :

$(2bis) qquad ux_0+vy_0+wz_0+h = 0$

En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient :

$u(x-x_0)+v(y-y_0)+w(z-z_0) = 0,$

En notant $overrightarrow{N}$ , le vecteur de coordonnées (u,, v , w), on exprime (1bis) comme suit :

$overrightarrow{N} . overrightarrow{M_0M}=0$

Le plan P d'équation $u x + v y + w z + h = 0$ est donc orthogonal au vecteur $overrightarrow{N}(u,v,w)$ et ce vecteur est appelé un vecteur normal au plan P.

Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul donné [modifier]

Soit un point $M(x,y,z),$ et un vecteur $scriptstyle overrightarrow{N}(u,v,w),$ non nul. Le point M appartient au plan P, passant par $M_0(x_0,y_0, y_0),$ et orthogonal à $scriptstyle overrightarrow{N},$ , si et seulement si :

$overrightarrow{N} . overrightarrow{M_0M}=0,$

Le plan P, passant par $M 0 (x 0, y 0, z 0)$ et orthogonal à $scriptstyle overrightarrow{N},$ , a donc pour équation : :

$u(x-x_0) + v(y-y_0) + w(z-z_0)= 0,$

Distance algébrique d'un point $M (x, y, z)$ à un plan P d'équation $u x + v y + w z + h = 0$ [modifier]

Article détaillé : Distance d'un point à un plan.

Soit H la projeté de $M (x, y, z)$ sur P avec $overrightarrow{HM}$ orthogonal à P.

La droite perpendiculaire à P et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur $scriptstyle overrightarrow{N}(u,v,w)$ , on montre que la distance algébrique entre M et P est donnée par :

$d_a(H,M) = frac{ux+vy+wz+h}sqrt{u^2 + v^2+w^2}$

En valeur absolue :

$|overrightarrow{HM}| = frac{|ux+vy+wz+h|}sqrt{u^2 + v^2+w^2}$

Angles de deux plans [modifier]

Soitent (P) et (P') deux plans d'équations

$(P) : ux+vy+wz+h = 0,$ $(P') : u'x+v'y+w'z+h' = 0,$

L'angle géométrique $(P, P')$ est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux $(overrightarrow{N},overrightarrow{N'})$

$cos(P,P') = |cos(overrightarrow{N},overrightarrow{N'})|=frac{|uu'+vv'+ww'|}{sqrt{u^2+v^2+w^2}timessqrt{u'^2+v'^2+w'^2}}$

Cas particulier : Angle de plus grande pente [modifier]

L'angle de plus grande pente est l'angle le plus grand formé entre un plan et le plan horizontal. De façon imagée on peut définir l'angle de plus grande pente comme l'angle formé entre la trajectoire d'une bille cirulant librement sur un plan et le plan horizontal.

Etant donné l'équation d'un plan horizontal :

$(P') : u'x+v'y+h' = 0,$

L'angle de plus grande pente est donné par :

$cos(P,P') = |cos(overrightarrow{N},overrightarrow{N'})|=frac{|uu'+vv'|}{sqrt{u^2+v^2+w^2}timessqrt{u'^2+v'^2}}$

Plans perpendiculaires [modifier]

Les plan (P) et (P') sont perpendiculaires si les vecteurs normaux $overrightarrow{N}$ et $overrightarrow{N'},$ sont orthogonaux. Ce qui implique

$uu'+vv'+ww' = 0,$

Équation de plan et déterminant [modifier]

Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires [modifier]

Soient un point $M 0 (x 0, y 0, z 0)$ et deux vecteurs $vec V_1$ et $vec V_2$ non colinéaires. Un point M (x, y, z) appartient au plan P passant par $M 0 (x 0, y 0, z 0)$ et de directions $vec V_1$ et $vec V_2$ si et seulement si il existe deux réels λ et μ tels que $overrightarrow{MM_0} = lambda vec V_1 + mu vec V_2$ . Cette égalité exprime que $overrightarrow{MM_0},vec V_1,vec V_2$ sont coplanaires.

Ce qui donne, en représentant le produit mixte de ces trois vecteurs sous la forme d'un déterminant :

$det(overrightarrow{MM_0},vec V_1(a_1,b_1,c_1),vec V_2(a_2,b_2,c_2))=0$

Son équation est :

$begin{vmatrix} x-x_0 & a_1 &a_2\ y-y_0 & b_1 &b_2\ z-z_0 & c_1 &c_2 end{vmatrix} = (b_1c_2 - c_1b_2)(x-x_0) + (c_1a_2 - a_1c_2)(y-y_0) + (a_1b_2 - b_1a_2)(z-z_0) = 0$

que l'on peut écrire sous la forme $u x + v y + w z + h = 0$

Plan défini par deux points et un vecteur [modifier]

Soient deux points $M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2)$ et un vecteur $vec V_1(a,b,c)$ non colinéaire à $overrightarrow{M_1M_2}$ .

Le point M appartient au plan passant par $M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2)$ et de direction $vec V_1(a,b,c)$ si et seulement si les trois vecteurs : $overrightarrow{M_1M},overrightarrow{M_2M_1},vec V$ sont coplanaires, donc :

$det(overrightarrow{M_1M},overrightarrow{M_2M_1},vec V)=0$

Son équation est :

$begin{vmatrix} x-x_1 & x_2-x_1 & a\ y-y_1 & y_2-y_1 & b\ z-z_1 & z_2-z_1 & c end{vmatrix} = 0$

Plan défini par trois points non alignés [modifier]

Soient $M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3)$ , trois points non alignés.

Par analogie avec ce qui précède, l'équation du plan passant par ces trois points est :

$begin{vmatrix} x-x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_2\ y-y_1 & y_2-y_1 & y_3-y_2\ z-z_1 & z_2-z_1 & z_3-z_2 end{vmatrix} = 0$

Annexes [modifier]

Liens internes [modifier]

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Décomposition de Dunford

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Décomposition de Frobenius

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Décomposition de Frobenius [modifier]

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Applications [modifier]

Références [modifier]

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Module sur un anneau

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Définitions [modifier]

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Exemples [modifier]

Lien avec la théorie des représentations [modifier]

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Vecteurs $u$ -maximums [modifier]

Distance algébrique d'un point $M (x, y)$ à une droite d'équation $u x + v y + h = 0$ [modifier]

Cas où la droite est définie par un point $M 0$ et un vecteur $overrightarrow{V}$ non nul [modifier]

Distance algébrique d'un point $M (x, y, z)$ à un plan P d'équation $u x + v y + w z + h = 0$ [modifier]