08/12/2010
Décomposition de Dunford
En mathématiques, la décomposition de Dunford s'inscrit dans la problématique de la réduction d'endomorphisme. Cette approche consiste à décomposer l'espace vectoriel en une somme directe de sous-espaces stables où l'expression de l'endomorphisme est plus simple. Ce n'est pas une réduction dans le sens où elle n'est pas maximale. C'est-à-dire qu'il est parfois possible de pousser la décomposition en sous-espaces vectoriels stables plus petits. Elle suppose comme hypothèses que l'espace vectoriel est de dimension finie et que le polynôme minimal est scindé, c'est-à-dire qu'il s'exprime comme produit de polynômes du premier degré. C'est toujours le cas si le corps est algébriquement clos, comme par exemple celui des nombres complexes. Dans le cas ou la propriété n'est pas vérifiée, alors il est possible d'étendre le corps à sa clôture algébrique, et l'espace vectoriel à ce nouveau corps et dans ce contexte d'appliquer la décomposition de Dunford. Le corps des nombres réels se voit par exemple très généralement étendre pour permettre une application de cette décomposition. La décomposition de Dunford prouve que tout endomorphisme est la somme d'un endomorphisme diagonalisable et d'un endomorphisme nilpotent, les deux endomorphismes commutant et étant uniques. Cette décomposition est largement appliquée. Elle permet un calcul matriciel souvent rapide. C'est néanmoins souvent sous la forme de la réduction de Jordan qu'elle est utilisée.Décomposition de Dunford
Sommaire[masquer] |
Le théorème de diagonalisabilité permet de déterminer la structure de u quand il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. La décomposition de Dunford s'applique à un cas plus général. Théorème de la décomposition de Dunford — Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E. Si u admet un polynôme minimal scindé, alors il peut s'écrire sous la forme u=d+n avec d un endomorphisme diagonalisable et n un endomorphisme nilpotent tels que d et n commutent (c'est-à-dire dn=nd). De plus d et n sont des polynômes en u et sont uniques. L'idée initiale de cette approche est donnée par la proposition suivante, démontrée dans l'article sur les polynômes d'endomorphismes dans le paragraphe sur les polynômes minimaux : Or, si le polynôme minimal est scindé, il peut s'écrire sous la forme: Si l'on note le noyau de l'endomorphisme , alors le paragraphe précédent nous indique que la suite forme une somme directe de l'espace E de sous-espaces non réduits à 0 et stables par l'endomorphisme. On appelle ces sous-espaces les sous-espaces caractéristiques. Nous avons alors les trois propriétés suivantes: Ces considérations permettent de démontrer la décomposition de Dunford. Elle permettent de plus de démontrer les propriétés suivantes : Un résultat notoire de l'approche par les polynômes d'endomorphismes réside dans le fait que la connaissance du polynôme minimal permet de définir une algorithmique fournissant à la fois les projecteurs sur les espaces caractéristiques mais aussi la composante diagonale et nilpotente de l'endomorphisme. En dimension finie le théorème de Cayley-Hamilton assure que χu(u) = 0 où χu désigne le polynôme caractéristique de u. Si χu est scindé alors u est décomposable. C'est en particulier le cas pour tout endomorphisme d'un espace de dimension finie sur un corps algébriquement clos ( notamment). La décomposition de Dunford, combinée avec la décomposition de Frobenius permet d'obtenir la réduction de Jordan en dimension finie. En effet, d et n commutent donc les sous-espaces propres de d sont stables par n. La restriction de n au sous-espace propre admet une matrice formée de blocs de Jordan nilpotents ce qui donne, en ajoutant λIp, des blocs de Jordan pour d+n dans une base adaptée. Ainsi on obtient une matrice diagonale par blocs formée de blocs de Jordan en utilisant l'union de ces bases.Théorème [modifier]
Démonstration [modifier]
Via les sous-espaces caractéristiques [modifier]
Via les projecteurs [modifier]
Cas d'applications [modifier]
Réduction de Jordan [modifier]
09:42 Publié dans Décomposition de Dunford | Lien permanent | Commentaires (0) | | del.icio.us | | Digg | Facebook
Les commentaires sont fermés.