08/12/2010
Décomposition de Frobenius
On considère un K-espace vectoriel E de dimension finie et un endomorphisme u de cet espace. La décomposition de Frobenius est la décomposition de l'espace E en somme directe de sous-espaces cycliques. Cette décomposition fait apparaitre les facteurs invariants de l'endomorphisme u. Combinée avec la décomposition de Dunford (dans un ordre ou dans l'autre), on obtient la réduction de Jordan. Contrairement à ces dernières, la décomposition de Frobenius peut s'effectuer sur un corps quelconque, on ne suppose pas ici que K est algébriquement clos.Décomposition de Frobenius
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Soit x un vecteur de E, l'ensemble est un idéal non nul de K[X], il est donc engendré par un unique polynôme normalisé πu,x appelépolynôme conducteur de u en x, ou parfois polynôme minimal local de u en x. Soit x un vecteur de E, l'ensemble est un sous-espace vectoriel de E stable par u appelé sous-espace u-cyclique engendré par x, ou encore clôture u-stable de x. Soit , on a si et seulement si . Ainsi le polynôme conducteur πu,x est le polynôme minimal de l'endomorphisme induit par u sur le sous-espace Sx. La dimension de Sx est égale au degré du polynôme πu,x. Pour tout vecteur x de E, le polynôme conducteur πu,x divise le polynôme minimal πu de u. On dira que x est u-maximum lorsque πu,x = πu. La décomposition de Frobenius est basée sur les deux résultats non triviaux suivants : En procédant par récurrence, on parvient alors à la : Il existe une suite de vecteurs de E telle que Les polynômes ne dépendent pas du choix des vecteurs xi, ce sont les facteurs invariants de u. Le polynôme minimal et le polynôme caractéristique . Deux endomorphismes sont semblables ssi ils ont les mêmes facteurs invariants. Les endomorphismes induits par u ont des propriétés spécifiques, ce sont des endomorphismes cycliques dont il ne reste plus qu'à étudier les propriétés spécifiques. On dit que u est un endomorphisme cyclique ssi il existe un élément x de E tel que Sx = E. On peut caractériser les endomorphismes cycliques de plusieurs manières : un endomorphisme u de E est cyclique si et seulement siPolynôme conducteur [modifier]
Sous-espace cyclique [modifier]
Vecteurs u-maximums [modifier]
Décomposition de Frobenius [modifier]
Endomorphisme cyclique [modifier]
Applications [modifier]
Références [modifier]
Voir aussi [modifier]
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