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08/12/2010

Décomposition de Frobenius

Décomposition de Frobenius

On considère un K-espace vectoriel E de dimension finie et un endomorphisme u de cet espace. La décomposition de Frobenius est la décomposition de l'espace E en somme directe de sous-espaces cycliques. Cette décomposition fait apparaitre les facteurs invariants de l'endomorphisme u. Combinée avec la décomposition de Dunford (dans un ordre ou dans l'autre), on obtient la réduction de Jordan. Contrairement à ces dernières, la décomposition de Frobenius peut s'effectuer sur un corps quelconque, on ne suppose pas ici que K est algébriquement clos.

Sommaire

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Polynôme conducteur [modifier]

Soit x un vecteur de E, l'ensemble I_x={Pin K[X]mid P(u)(x)=0} est un idéal non nul de K[X], il est donc engendré par un unique polynôme normalisé πu,x appelépolynôme conducteur de u en x, ou parfois polynôme minimal local de u en x.

Sous-espace cyclique [modifier]

Soit x un vecteur de E, l'ensemble S_x={P(u)(x)mid Pin K[X]} est un sous-espace vectoriel de E stable par u appelé sous-espace u-cyclique engendré par x, ou encore clôture u-stable de x.

Soit Pin K[X], on a Pin I_x si et seulement si forall yin S_x, P(u)(y)=0. Ainsi le polynôme conducteur πu,x est le polynôme minimal de l'endomorphisme induit par u sur le sous-espace Sx.

La dimension de Sx est égale au degré du polynôme πu,x.

Vecteurs u-maximums [modifier]

Pour tout vecteur x de E, le polynôme conducteur πu,x divise le polynôme minimal πu de u. On dira que x est u-maximum lorsque πu,x = πu. La décomposition de Frobenius est basée sur les deux résultats non triviaux suivants :

  • Tout endomorphisme u admet un vecteur u-maximum.
  • Pour tout vecteur u-maximum xSx admet un supplémentaire stable.

En procédant par récurrence, on parvient alors à la :

Décomposition de Frobenius [modifier]

Il existe une suite de vecteurs x_1,x_2,dots,x_p de E telle que

  • E= S_{x_1}oplus S_{x_2}oplusdotsoplus S_{x_p}
  • pi_{u,x_p}middotsmid pi_{u,x_2}mid pi_{u,x_1}

Les polynômes pi_{u,x_i} ne dépendent pas du choix des vecteurs xi, ce sont les facteurs invariants de u. Le polynôme minimal pi_u =pi_{u,x_1} et le polynôme caractéristique chi_u=pi_{u,x_1}pi_{u,x_2}dotspi_{u,x_p}.

Deux endomorphismes sont semblables ssi ils ont les mêmes facteurs invariants.

Les endomorphismes induits par u ont des propriétés spécifiques, ce sont des endomorphismes cycliques dont il ne reste plus qu'à étudier les propriétés spécifiques.

Endomorphisme cyclique [modifier]

On dit que u est un endomorphisme cyclique ssi il existe un élément x de E tel que Sx = E.

On peut caractériser les endomorphismes cycliques de plusieurs manières : un endomorphisme u de E est cyclique si et seulement si

  • Le degré du polynôme minimal de u est égal à la dimension de E
  • Le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de u sont égaux (au signe près).
  • Un endomorphisme commute avec u si et seulement si c'est un polynôme en u.
  • Il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est une matrice compagnon. C'est alors la matrice compagnon du polynôme minimal de u.

Applications [modifier]

  • La décomposition de Frobenius permet d'étudier le commutant et le bicommutant d'un endomorphisme.
  • Elle permet aussi de démontrer élégamment le fait qu'une matrice et sa transposée sont semblables. On le démontre manuellement pour une matrice compagnon et cela suffit.

Références [modifier]

  • On pourra trouver les démonstrations ici [1].
  • J. Fresnel: Algèbre des matrices, Hermann 1997, § A 4.1, pages 139 - 141.

Voir aussi [modifier]

09:34 Publié dans Décomposition de Frobenius | Lien permanent | Commentaires (0) | |  del.icio.us | | Digg! Digg |  Facebook

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