Propriétés métriques des droites et plans : Mathématique

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08/12/2010

Propriétés métriques des droites et plans

En géométrie euclidienne, c'est-à-dire dans le plan et l'espace muni d'une distance et d'un produit scalaire, les droites et les plans possèdent des propriétés métriques permettant de les caractériser grâce à un point et un vecteur, dit normal. On peut aussi calculer la distance qui les sépare d'un point donné ou bien calculer celle qui sépare deux droites ou deux plans. On peut aussi calculer l'angle formé par deux droites ou deux plans.

Dans cet article, on a muni le plan ou l'espace d'un repère orthonormal dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées. Toute droite du plan y possède une équation du type ux + vy + h = 0 où (u , v) est différent de (0 , 0) et tout plan de l'espace possède une équation de la forme ux + vy + wz + h = 0 où (u, v, w) est différent de (0, 0, 0).

Sommaire

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La droite dans le plan euclidien [modifier]

Vecteur normal à une droite [modifier]

Soit $M (x, y)$ un point de la droite D dont une équation dans un repère orthonormal est donnée par :

$(1) qquad ux + vy + h = 0,$

et $M 0 (x 0, y 0)$ un point spécifique de D, On a :

$(2) qquad ux_0 + vy_0 + h = 0,$

En retranchant (2) à (1) on obtient :

$u(x-x_0) + v(y-y_0)= 0,$

En notant $scriptstyle overrightarrow{N},$ , le vecteur de coordonnées (u, v), on exprime (1) comme suit :

$overrightarrow{N} . overrightarrow{M_0M}=0,$

La droite d'équation $u x + v y + h = 0$ est donc orthogonale au vecteur $scriptstyle overrightarrow{N},$ . Le vecteur $scriptstyle overrightarrow{N},$ est appelé un vecteur normal à la droite D.

Droite passant par un point et orthogonale à un vecteur non nul donné [modifier]

Soit un point $M (x, y)$ et un vecteur $scriptstyle overrightarrow{N}(u,v)$ non nul. Le point M appartient à la droite D, passant par $M 0 (x 0, y 0)$ et orthogonale à $scriptstyle overrightarrow{N}$ , si et seulement si :

$overrightarrow{N} . overrightarrow{M_0M}=0$

La droite D, passant par $M 0 (x 0, y 0)$ et orthogonale à $scriptstyle overrightarrow{N}$ , a donc pour équation :

$u(x-x_0) + v(y-y_0)= 0,$

Distance algébrique d'un point $M (x, y)$ à une droite d'équation $u x + v y + h = 0$ [modifier]

Article détaillé : Distance d'un point à une droite.

Soit H la projecté de $M (x, y)$ sur D avec $overrightarrow{HM}$ orthogonal à D.

La droite perpendiculaire à D et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur $scriptstyle overrightarrow{N}(u,v)$ , on montre que la distance algébrique entre M et D est donnée par :

$d_a(H,M) = frac{ux+vy+h}sqrt{u^2 + v^2}$

En valeur absolue :

$|overrightarrow{HM}| = frac{|ux+vy+h|}sqrt{u^2 + v^2}$

Droite et pente [modifier]

Pour v non nul, la droite D d'équation $u x + v y + h = 0$ possède une équation sous la forme $m x + b = y$ avec

$m= -frac{u}{v},$

$b= -frac{h}{v},$

La pente d'une droite est le réel

$m = tan(alpha),$

L'angle α représente l'angle entre l'axe des abscisses et la droite D.

Équation normale d'une droite [modifier]

Dans le repère $scriptstyle (O, vec i, vec j)$ ,notons $scriptstyle overrightarrow{N}(cosvarphi,sinvarphi)$ un vecteur unitaire normal à la droite D, orienté de O vers D, la valeur $varphi$ représente alors l'angle $scriptstyle (vec i, overrightarrow N)$ . On note d'autre part $p$ la distance entre l'origine O du repère et la droite D.

L'équation (1) s'écrit :

$xcosvarphi+ysinvarphi-p=0$

Angles de deux droites [modifier]

Soit D et D' deux droites d'équations

$(D): ux+vy+h = 0,$

$(D'): u'x+v'y+h' = 0,$

L'angle formé par les deux droites est connu par sa tangente :

$tan(D,D')= tan(overrightarrow{N},overrightarrow{N'}) = frac{uv'-u'v}{uu'+vv'}$

La droite dans l'espace euclidien [modifier]

Distance d'un point M à une droite quelconque D de l'espace [modifier]

Article détaillé : Distance d'un point à une droite.

Cas où la droite est définie par l'intersection de deux plans [modifier]

$P_1 = u_1x+v_1y+w_1z+h_1 = 0,$

$P_2 = u_2x+v_2y+w_2z+h_2 = 0,$

le plan $Q,$ perpendiculaire à $P_1,$ appartient au faisceau de plans $P_1 + lambda P_2= 0,$

$Q,$ sera perpendiculaire à $P_1,$ pour $lambda = frac{-(u_1^2 + v_1^2+w_1^2)}{u_1u_2+v_1v_2+w_1w_2},$

Soit $H_1, H_Q, H ,$ les projections orthogonales du point $M,$ respectivement sur $P_1, Q, D,$ , on en déduit $MH^2 = MH_1^2 + MH_Q^2,$

On calculera $MH_1,$ et $MH_Q,$ comme détaillé au chapitre "Distance algébrique d'un point à un plan" ci dessous.

Cas où la droite est définie par un point $M 0$ et un vecteur $overrightarrow{V}$ non nul [modifier]

La distance $M H$ est donnée par

$MH = frac{|overrightarrow{MM_0}wedge vec V|} {|vec V|}$

Droites orthogonales à un plan [modifier]

Le plan étant défini par l'équation $u x + v y + w z + h = 0$ , les droites perpendiculaires au plan sont toutes les droites ayant comme vecteur directeur $overrightarrow{N}(u,v,w)$ . Une droite D passant par le point $M 0 (x 0, y 0, z 0)$ et perpendiculaire à $[P]: u x + v y + w z + h = 0$ a pour équations :

$frac{x-x_0}{u}=frac{y-y_0}{v}=frac{z-z_0}{w}$

dans le cas où aucun des réels, u, v, w, n'est nul.

Si un seul des des réels est nul , par exemple u= 0, le système devient :

$x=x_0 qquad frac{y-y_0}{v}=frac{z-z_0}{w}$

Si deux réels sont nuls, par exemple u=v=0, le système devient :

$x=x_0 qquad y=y_0$

Distance entre deux droites quelconque de l'espace [modifier]

Soient la droite $(D 0)$ passant par $M 0 (x 0, y 0, z 0)$ et de direction le vecteur $vec V_0(a_0,b_0,c_0)$ et $(D 1)$ la droite passant par $M 1 (x 1, y 1, z 1)$ et de direction $vec V_1(a_1,b_1,c_1)$

Si les vecteurs $vec V_0$ et $vec V_1$ sont indépendants, le volume du solide construit sur $vec {M_0M_1},vec V_0, vec V_1$ est égal à $| k |$ . Ce réel se calcule grâce au produit mixte :

$k = (vec {M_0M_1},vec V_0, vec V_1)$

L'aire de la base du solide est donnée par

$|vec W|$ tel que $vec{W} = vec{V_0} wedge vec{V_1}$

La distance entre les deux droites est alors égale à $d= frac{|k|}{|vec{W}|}$

Si les vecteurs sont colinéaires alors les deux droites sont parallèles et la distance qui les sépare correspond à la distance qui sépare le point M₁ de la droite D₀.

Le plan dans l'espace euclidien [modifier]

Vecteur orthogonal à un plan [modifier]

Soit $M (x, y, z)$ un point du plan P dont l'équation dans un repère orthonormé est donnée par :

$(1bis) qquad ux+vy+wz+h=0$

Pour $M 0 (x 0, y 0, z 0)$ un point spécifique de P on obtient :

$(2bis) qquad ux_0+vy_0+wz_0+h = 0$

En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient :

$u(x-x_0)+v(y-y_0)+w(z-z_0) = 0,$

En notant $overrightarrow{N}$ , le vecteur de coordonnées (u,, v , w), on exprime (1bis) comme suit :

$overrightarrow{N} . overrightarrow{M_0M}=0$

Le plan P d'équation $u x + v y + w z + h = 0$ est donc orthogonal au vecteur $overrightarrow{N}(u,v,w)$ et ce vecteur est appelé un vecteur normal au plan P.

Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul donné [modifier]

Soit un point $M(x,y,z),$ et un vecteur $scriptstyle overrightarrow{N}(u,v,w),$ non nul. Le point M appartient au plan P, passant par $M_0(x_0,y_0, y_0),$ et orthogonal à $scriptstyle overrightarrow{N},$ , si et seulement si :

$overrightarrow{N} . overrightarrow{M_0M}=0,$

Le plan P, passant par $M 0 (x 0, y 0, z 0)$ et orthogonal à $scriptstyle overrightarrow{N},$ , a donc pour équation : :

$u(x-x_0) + v(y-y_0) + w(z-z_0)= 0,$

Distance algébrique d'un point $M (x, y, z)$ à un plan P d'équation $u x + v y + w z + h = 0$ [modifier]

Article détaillé : Distance d'un point à un plan.

Soit H la projeté de $M (x, y, z)$ sur P avec $overrightarrow{HM}$ orthogonal à P.

La droite perpendiculaire à P et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur $scriptstyle overrightarrow{N}(u,v,w)$ , on montre que la distance algébrique entre M et P est donnée par :

$d_a(H,M) = frac{ux+vy+wz+h}sqrt{u^2 + v^2+w^2}$

En valeur absolue :

$|overrightarrow{HM}| = frac{|ux+vy+wz+h|}sqrt{u^2 + v^2+w^2}$

Angles de deux plans [modifier]

Soitent (P) et (P') deux plans d'équations

$(P) : ux+vy+wz+h = 0,$ $(P') : u'x+v'y+w'z+h' = 0,$

L'angle géométrique $(P, P')$ est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux $(overrightarrow{N},overrightarrow{N'})$

$cos(P,P') = |cos(overrightarrow{N},overrightarrow{N'})|=frac{|uu'+vv'+ww'|}{sqrt{u^2+v^2+w^2}timessqrt{u'^2+v'^2+w'^2}}$

Cas particulier : Angle de plus grande pente [modifier]

L'angle de plus grande pente est l'angle le plus grand formé entre un plan et le plan horizontal. De façon imagée on peut définir l'angle de plus grande pente comme l'angle formé entre la trajectoire d'une bille cirulant librement sur un plan et le plan horizontal.

Etant donné l'équation d'un plan horizontal :

$(P') : u'x+v'y+h' = 0,$

L'angle de plus grande pente est donné par :

$cos(P,P') = |cos(overrightarrow{N},overrightarrow{N'})|=frac{|uu'+vv'|}{sqrt{u^2+v^2+w^2}timessqrt{u'^2+v'^2}}$

Plans perpendiculaires [modifier]

Les plan (P) et (P') sont perpendiculaires si les vecteurs normaux $overrightarrow{N}$ et $overrightarrow{N'},$ sont orthogonaux. Ce qui implique

$uu'+vv'+ww' = 0,$

Équation de plan et déterminant [modifier]

Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires [modifier]

Soient un point $M 0 (x 0, y 0, z 0)$ et deux vecteurs $vec V_1$ et $vec V_2$ non colinéaires. Un point M (x, y, z) appartient au plan P passant par $M 0 (x 0, y 0, z 0)$ et de directions $vec V_1$ et $vec V_2$ si et seulement si il existe deux réels λ et μ tels que $overrightarrow{MM_0} = lambda vec V_1 + mu vec V_2$ . Cette égalité exprime que $overrightarrow{MM_0},vec V_1,vec V_2$ sont coplanaires.

Ce qui donne, en représentant le produit mixte de ces trois vecteurs sous la forme d'un déterminant :

$det(overrightarrow{MM_0},vec V_1(a_1,b_1,c_1),vec V_2(a_2,b_2,c_2))=0$

Son équation est :

$begin{vmatrix} x-x_0 & a_1 &a_2\ y-y_0 & b_1 &b_2\ z-z_0 & c_1 &c_2 end{vmatrix} = (b_1c_2 - c_1b_2)(x-x_0) + (c_1a_2 - a_1c_2)(y-y_0) + (a_1b_2 - b_1a_2)(z-z_0) = 0$

que l'on peut écrire sous la forme $u x + v y + w z + h = 0$

Plan défini par deux points et un vecteur [modifier]

Soient deux points $M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2)$ et un vecteur $vec V_1(a,b,c)$ non colinéaire à $overrightarrow{M_1M_2}$ .

Le point M appartient au plan passant par $M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2)$ et de direction $vec V_1(a,b,c)$ si et seulement si les trois vecteurs : $overrightarrow{M_1M},overrightarrow{M_2M_1},vec V$ sont coplanaires, donc :