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22/01/2011

Oh ! Les nombres ! Yakov Perelman Guide (broché). Paru en 10/2001

Oh ! Les nombres !Yakov Perelman

Guide (broché). Paru en 10/2001
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C. Pickover aime les nombres et leurs mystères, et il a une nette préférence pour les nombres entiers, ce qui explique que dans ce livre on ne rencontrera que rarement des nombres “compliqués” comme le nombre pi.
Ce livre est un recueil de 50 petits problèmes, casse-tête et découvertes étranges ou amusantes sur les nombres. Il est divisé en quatre parties de difficulté croissante. Les sujets abordés sont riches et variés, allant de jeux avec les chiffres romains à la découverte des nombres fractals. L’ouvrage comporte également des anecdotes historiques sur la vie des mathématiciens qui se sont illustrés dans la théorie des nombres.

Le mystère des nombres Collectif Essai (poche). Paru en 02/2007 Livre

Le mystère des nombresCollectif

Essai (poche). Paru en 02/2007
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Qu'est-ce qu'un nombre ? Comment les fabrique-t-on ? D'où vient leur «déraisonnable efficacité» dans les sciences naturelles ?

Les mathématiciens explorent leur large territoire à la manière d'explorateurs abordant des terres inconnues, produisant chaque année plusieurs centaines de nouveaux théorèmes en théorie des nombres !

Pourtant, ces «créations de l'esprit» que sont les nombres et qui nous accompagnent depuis la plus haute Antiquité nous interrogent en profondeur. Tout d'abord, quel est leur mode d'existence ? Y a-t-il lieu de parler d'une réalité numérique ? Leur aptitude à prédire les phénomènes naturels ou à trouver de fréquentes applications dans les sciences expérimentales nous fournit-elle un élément de réponse ou une raison supplémentaire de nous poser une nouvelle question : pourquoi le monde sensible est-il structuré mathématiquement ?

Ce voyage au pays des nombres, où nous sommes guidés par les meilleurs spécialistes, est tout à la fois amusant, instructif et profond ; il nous aide à mieux discerner la nature et la puissance des nombres, à mieux comprendre aussi l'intense fascination qu'ils exercent sur l'homme depuis que celui-ci a commencé à compter.

Dirigé par Laurent Mayet, rédacteur en chef des Hors Séries de Sciences et Avenir, cet ouvrage est rédigé par les plus grands spécialistes du domaine : Bruno Aubusson, Bernard Barsotti, Georges Barthélémy, Jean-Michel Besnier, Luc Brisson, Claude-Paul Bruter, Jean-Paul Delahaye, Jacques Dubucs, Pascal Encel, Miguel Espinoza, Dominique Flament, Denis Guedj, Olivier Houdé, Christian Houzel, Jean-Marc Lévy-Leblond, Jean Mosconi, Philippe Pinel, François Schmitz, Ivahn Smadja, Jean-Jacques Szczeciniarz, Jacques Vauclair, Stéphane Verhelst.

Extrait du livre :
Les nombres entiers naturels ont beau avoir accédé à la rigueur formelle de l'axiomatique abstraite, ils se présentent à notre réflexion avec le même caractère de nécessité que les choses de la réalité objective et nous les rencontrons, comme le disait Charles Hermite, à la manière dont le géographe explore les continents. Face à la résistance objective de leurs propriétés, il est difficile de ne pas supposer que les nombres font partie d'un monde qui a une vie propre, indépendante de nous. Et si ces objets sont, certes, inséparables d'actes de position et d'activités opératoires, ils n'en sont pas moins des réalités idéales qui valent en tout temps et pour tout sujet. D'où la tentation de prêter à ces objets une existence indépendante et objective qui caractérise le platonisme mathématique. Godfrey Harold Hardy en propose la définition suivante : «La réalité mathématique existe indépendamment de nous, notre fonction est de la découvrir ou de l'observer et les théorèmes que nous prouvons, que nous décrivons de manière grandiloquente comme nos "créations" sont simplement nos relevés d'observations.» En souscrivant à ce réalisme mathématique, dont il existe d'ailleurs de nombreuses variantes, nous rencontrons au moins deux problèmes.
Le premier problème consiste à remarquer que, si les nombres sont des entités abstraites qui existent dans un monde éthéré, alors la question se pose de savoir comment nous pouvons les connaître. Habituellement, le platoniste répond en invoquant une mystérieuse faculté d'intuition intellectuelle, mais cette métaphore ne saurait être tenue pour une authentique théorie de la connaissance mathématique et, de plus, on ne voit pas le sens qu'il y a à parler d'une sorte d'intuition à propos d'entités abstraites telles que les nombres transfinis de Cantor. Une solution souvent adoptée consiste à réserver un statut particulier aux entiers naturels et à traiter les autres types de nombres comme des fictions mathématiques. En proposant une reconstruction rationnelle de tous les nombres classiques (les nombres rationnels, les nombres entiers, les nombres réels et les nombres complexes) à partir des seuls entiers naturels, Leopold Kronecker se sentait autorisé à déclarer que «Dieu a créé les entiers naturels, tout le reste est l'oeuvre de l'homme». Quant aux nombres transfinis, dits «exotiques», Jacques Dubucs avance que, dans la mesure où «l'arithmétique du transfini représente une extension conservative de l'arithmétique usuelle, il n'y a aucune raison de se sentir tenu à leur égard au moindre engagement ontologique».

Extrait de l'introduction de Laurent Mayet

20/01/2011

Algèbre multilinéaire

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En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre linéaire. Tout comme l’algèbre linéaire est bâtie sur le concept d’un vecteur et développe la théorie desespaces vectoriels, l’algèbre multilinéaire est bâtie sur le concept d’un tenseur et développe la théorie des espaces tensoriels. Dans les applications, de nombreux types de tenseurs surviennent. La théorie se veut exhaustive et comprend un certain nombre d'espaces et l'exposé de leurs relations.

Sommaire

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Historique de l’approche vers l’algèbre multilinéaire[modifier]

L'algèbre multilinéaire a des racines variées plongeant dans ce qui a été appelé au XIXe siècle l’analyse tensorielle ou le « calcul tensoriel des champs tensoriels ». Elle s’est développée à partir de l’utilisation des tenseurs dans la géométrie différentielle, la relativité générale et dans de nombreuses branches des mathématiques appliquées. Vers le milieu du XXe siècle, l’étude des tenseurs est reformulée plus abstraitement. Le traité du groupe Bourbaki, l’Algèbre multilinéaire, est particulièrement influent — en fait le terme algèbre multilinéaire a probablement été inventé là.

Une des raisons de cette nouvelle formulation est une nouvelle aire d’application, l’algèbre homologique. Le développement de la topologie algébrique durant les années 40 donne une incitation additionnelle au développement d’un traitement purement algébrique du produit tensoriel. Le calcul des groupes homologiques du produit de deux espaces topologiques utilise le produit tensoriel ; mais c'est seulement dans les cas les plus simples, tel que celui d’un tore, que les groupes homologiques peuvent être calculés directement de cette façon (voirthéorème de Künneth). Les phénomènes topologiques, assez subtils, sont à la source d’une nouvelle réflexion sur les concepts fondamentaux du calcul tensoriel.

Le matériel à organiser est dense, incluant des idées allant jusqu’à Hermann Günther Grassmann, les idées venant de la théorie des formes différentielles qui avaient mené à lacohomologie de De Rham, ainsi qu’à des notions plus élémentaires telles que le produit extérieur qui généralise le produit vectoriel.

La description qui résulte du travail de Bourbaki, plutôt abstraite, rejette entièrement l'approche vectorielle (utilisée par exemple dans la construction des quaternions), c’est-à-dire, dans le cas général, la relation entre les espaces tensoriels et les groupes de Lie. Les mathématiciens de Bourbaki suivent au lieu de cela une approche nouvelle basée sur la théorie des catégories, dans laquelle l’approche du groupe de Lie est vue comme une description secondaire. Puisque cela mène à un traitement beaucoup plus propre, il n’y aura probablement plus de retour en arrière en termes mathématiques. (Strictement, l’approche de la propriété universelle fut invoquée ; ceci est un peu plus général que la théorie des catégories, et la relation entre les deux moyens alternatifs peut aussi être clarifiée, en même temps.)

En effet, ce qui a été fait est presque précisément pour expliquer que les espaces tensoriels sont les constructions requises dans le but de réduire les problèmes multilinéaires à des problèmes linéaires. Cette attaque purement algébrique ne transfère aucune intuition géométrique.

Le bienfait de cette formalisation est qu’en réexprimant des problèmes en termes d’algèbre multilinéaire, il y a une « meilleure solution » claire et bien définie : les contraintes que la solution exercent sont exactement celles dont on a besoin en pratique. En général il n’y a pas de besoin d’invoquer une quelconque construction ad hoc, idée géométrique ou recours pour coordonner des systèmes. Dans le jargon catégoriel-théorique, tout est entièrement naturel.

Conclusion sur l’approche abstraite[modifier]

En principe l’approche abstraite peut recouvrir tout ce qui est fait via l’approche traditionnelle. En pratique cela peut ne pas sembler si simple. D’autre part la notion de naturel est compatible avec le principe de la covariance générale de la relativité générale. Ce dernier fait affaire aux champs tensoriels (les tenseurs variant de point en point sur une variété, mais lacovariance affirme que le langage des tenseurs est essentiel à la formulation propre de la relativité générale.

Quelques décennies plus tard le point de vue plutôt abstrait venant de la théorie des catégories fut noué avec l’approche qui avait été développée dans les années 1930 par Hermann Weyl (dans son livre célébré et difficile Les groupes classiques). D’une façon cela amena la théorie à pleins bords, reliant une fois encore le contenu des points de vue anciens et nouveaux.

Contenu de l’algèbre multilinéaire[modifier]

Le contenu de l’algèbre multilinéaire a changé bien moins que la présentation, à travers les ans. Voici d’autres pages qui y sont centralement pertinentes :

Du point de vue des applications[modifier]

Consultez ces articles pour certains moyens dans lesquels les concepts de l’algèbre multilinéaire sont appliqués, dans diverses guises :

Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre bilinéaire

Espace euclidien • Espace hermitien • Forme bilinéaire • Forme quadratique • Forme sesquilinéaire • Orthogonalité • Base orthonormale • Projection orthogonale • Inégalité de Cauchy-Schwarz • Inégalité de Minkowski • Matrice positive • Matrice définie positive • Décomposition QR • Déterminant de Gram •Espace de Hilbert • Base de Hilbert • Théorème spectral • Théorème de Stampacchia • Théorème de Riesz • Théorème de Lax-Milgram • Théorème de représentation de Riesz

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[Enrouler] v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan •Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale •Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable •Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan •Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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Catégorie : Algèbre multilinéaire | [+]

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_multilin%C3%A9a...

Endomorphisme

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En mathématiques, un endomorphisme est un morphisme (ou un homomorphisme) d'un objet mathématique sur lui même. Ainsi, par exemple, un endomorphisme d'espace vectoriel Eest une application linéaire f : E → E et un endomorphisme de groupe G est un homomorphisme f : G → G, etc. En général, nous pouvons parler d'endomorphisme de n'importe quellecatégorie.

Étant donné un objet X d'une catégorie C et deux endomorphismes f et g de X (donc de type X → X), la composée de g par f notée $fcirc g$ est aussi un endomorphisme de X (elle a aussi le type X → X). Comme l'application identité de X est aussi un endomorphisme de X, nous voyons que l'ensemble de tous les endomorphismes de X forme un monoïde, noté End_C(X) ou simplement End(X) si la catégorie est connue.

Dans de nombreuses situations, il est possible d'additionner les endomorphismes, et avec la composition des applications, les endomorphismes d'un objet donné forment un anneau, appelé l'anneau des endomorphismes de l'objet. Cela est possible, par exemple, dans les catégories des groupes abéliens, des modules, et des espaces vectoriels et plus généralement dans toutes les catégories pré-additives.

Un isomorphisme est un morphisme bijectif.

Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Endomorphisme

Les mots et les maths B. Hauchecorne Essai (broché). Paru en 07/2003 Livre

Les mots et les mathsB. Hauchecorne

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Dictionnaire historique et étymologique du vocabulaire mathématiques (552 entrées)

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Réduction des endomorphismes Rached Mneimné Etude (broché). Paru en 04/2006

Réduction des endomorphismesRached Mneimné

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La réduite de Jordan et les tableaux de Young constituent le thème principal de l'ouvrage. La maîtrise de cette réduction est acquise par un retour attentif et critique sur les fondements, depuis les valeurs propres jusqu'à la géométrie des classes de similitude. L'apparente complexité du cas nilpotent est rapportée ainsi à la combinatoire élémentaire des tableaux de Young. Le chemin est alors libre vers l'apprentissage des représentations de l'algèbre de Lie des matrices d'ordre deux de trace nulle, véritable génome de la théorie des représentations des algèbres Lie semi-simples. Les liens subtils entre la réduction de Jordan et les sl_2-triplets sont alors mis à contribution pour comprendre la structure des algèbres de Lie semi-simples, leurs sous-algèbres de Cartan et les systèmes de racines qui leur sont associés. Les représentations irréductibles de dimension finie de ces algèbres de Lie sont examinées et apparaissent alors comme un développement naturel de la réduction simultanée.

Introduction à la théorie des groupes de Lie classique Rached Mneimné, Frédéric Testard (donnée non spécifiée). Paru en 10/1997 Livre

Introduction à la théorie des groupes de Lie classiqueRached Mneimné, Frédéric Testard

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Statistique théorique et appliquée , T2 Inférence statistique Pierre Dagnelie Etude (broché) Livre

Statistique théorique et appliquée , T2 Inférence statistiquePierre Dagnelie

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Nouveauté à paraître, indisponible à ce jour. Date de sortie : février 2011

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La statistique peut être définie comme étant l´ensemble des méthodes qui ont pour but de recueillir et d´analyser des données, souvent numériques, relatives à des groupes d´individus ou d´objets. Elle joue un rôle essentiel dans de très nombreuses disciplines. Tel est le cas, entre autres, pour les sciences du vivant : biologie, agronomie (au sens le plus large), écologie, etc. Les deux tomes de Statistique théorique et appliquée ont précisément pour objectif de permettre aux scientifiques de disciplines très variées, en particulier les sciences du vivant, d´utiliser au mieux les méthodes statistiques classiques, sans en négliger ni les fondements ni les limites. Le tome 1 constitue un exposé général, relativement élémentaire, de la théorie statistique. Seules les démonstrations les plus simples y sont données, de nombreuses propriétés étant introduites intuitivement. Quant au tome 2, il présente un vaste ensemble de méthodes statistiques, toujours illustrées par des exemples numériques concrets, issus de situations réelles. Les deux volumes se terminent par une série de tables et par divers index : index bibliographique (plus de 900 références bibliographiques pour ce seul tome 2), index des traductions anglaises, index des matières et index des symboles. Ils sont complétés par des exercices, accompagnés de leurs solutions, et par diverses autres informations qui sont disponibles par l´intermédiaire d´un site web (). L´utilisation des deux volumes, tantôt comme manuels, tantôt comme ouvrages de référence est précisée dans un mode d´emploi. Ce mode d´emploi définit notamment différents plans de lecture ou niveaux d´étude. Ce tome 2 commence par diverses notions préliminaires, qui ont trait au choix de l´une ou l´autre méthode statistique, aux conditions d´application de ces méthodes, au contrôle de ces conditions, et aux transformations de variables qui peuvent éventuellement être appliquées (chapitres 1 à 4). Les trois parties suivantes sont alors consacrées respectivement aux méthodes d´inférence statistique relatives aux données qualitatives (chapitres 5 et 6), aux méthodes relatives aux moyennes et à la dispersion, y compris l´analyse de la variance (chapitres 7 à 12), et aux méthodes relatives à la corrélation et la régression, y compris les modèles linéaires et l´analyse de la covariance (chapitres 13 à 17). De nouveaux remaniements ont été réalisés lors de la publication de la deuxième édition en 2006-2007. Il en est de même pour cette troisième édition. Il s´agit essentiellement d´une actualisation du texte et de la documentation, et de l´introduction d´un certain nombre de nouveaux développements.

Oncle Petros et la conjecture de Goldbach Apostolos Doxiadis Roman (broché). Paru en 01/2002 Livre

Oncle Petros et la conjecture de GoldbachApostolos Doxiadis

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Chaque famille possède sa brebis galeuse. Chez les Papachristos, il s'agit de l'oncle Petros. Est-il véritablement le grand raté de son époque, comme son frère se plaît à le souligner ? Ou est-il un mathématicien de génie spécialisé dans la théorie des nombres ? Son neveu raconte de quelle manière il est parvenu à percer le "mystère Petros", lié à une conjecture mathématique jamais démontrée et vieille de deux cent cinquante ans... Avec un suspense digne des meilleures enquêtes policières, fort d'un sujet d'une poignante originalité, Apostolos Doxiadis jongle avec les définitions, les concepts, les théorèmes, les hypothèses et les symboles d'un monde ésotérique. Cette savoureuse escapade au pays de la science rend les mathématiques infiniment plus intéressantes que les équations du second degré...

Les nombres premiers , Entre l'ordre et le chaos Gérald Tenenbaum, Michel Mendès France Essai (broché). Paru en 01/2011 Livre

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Théorie des codes , Compression, cryptage, correction J.G. Dumas, J.L. Roch, Tannier E Etude (broché). Paru en 02/2007

Théorie des codes , Compression, cryptage, correctionJ.G. Dumas, J.L. Roch, Tannier E

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La transmission d'information sous forme numérique doit répondre à des impératifs de sécurité, d'efficacité et d'intégrité. Les techniques de codage que l'on utilise pour y parvenirreposent surun socle théorique commun issu de l'algèbre linéaire…

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Algèbre , Les maths en tête. T1994 Xavier Gourdon (donnée non spécifiée). Paru en N/A

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DCG 11 Contrôle de gestion , Manuel et applications Claude Alazard, Sabine Separi Etude (broché). Paru en 08/2010

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Sommaire : Algorithmique et programmation en Sci Lab. Ensembles. Nombres complexes. Algèbre élémentaire. Matrices et systèmes. Espaces vectoriels. Algèbre linéaire. Géométrie. Généralités sur les fonctions. Généralités sur les suites. Convergence de suites. Limites d'une fonction. Continuité. Dérivation. Intégration. Développements limités. Equations différentielles. Fonctions de plusieurs variables. Généralités sur les probabilités. Variables aléatoires. Couples de variables aléatoires.

Algèbre linéaire Jacques Cellier Etude (broché). Paru en 12/2008

Algèbre linéaireJacques Cellier

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Mathématiques pour l'économie , Analyse algèbre Naïla Hayek, Jean-Pierre Leca Etude (broché). Paru en 02/2011

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Ce manuel fondamental traite l’ensemble du cours de mathématiques enseigné en 1re et 2e années de sciences économiques. Il présente à la fois l’algèbre et l’analyse de façon très pédagogique (nombreux exemples, points méthodes et exercices corrigés en fin de chaque chapitre). Cette nouvelle édition, entièrement mise à jour et remaniée, propose de nouveaux exercices et exemples.

Sommaire : Langage mathématique, mode d’emploi. Les ensembles numériques. Suites à valeur dans R. Fonctions réelles d’une variable réelle. Dérivation. Intégration. Algèbre linéaire 1. Nombres complexes. Algèbre linéaire 2. L’ensemble R2. L’ensemble Rn. Recherche d’extrema-convexité. Équations de récurrence (d’ordre un et d’ordre deux).

Introduction à l'algèbre linéaire Sophie Jallais Etude (broché). Paru en 08/2010 Livre

Introduction à l'algèbre linéaireSophie Jallais

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Cet ouvrage est un manuel d’introduction à l’algèbre linéaire à l’intention des étudiants de L1 et L2 d’économie. Afin de rendre accessible à un public de plus en plus hétérogène les bases de l’algèbre linéaire nécessaires pour faire un cursus d’économie, nous commençons par la présentation d’un problème « concret » (et déjà étudié dans le secondaire) — la résolution de systèmes d’équations linéaires —, à partir duquel nous introduisons progressivement les principaux concepts de l’algèbre linéaire (matrices, rang, espaces vectoriels, applications linéaires, déterminant, diagonalisation de matrices carrées). Au fur et à mesure, nous donnons en outre un aperçu des principales applications économiques de ces concepts (modèles inputs-output et IS-LM, programmation linéaire, analyse factorielle, matrice des variances-covariances, moindres carrés, analyse des systèmes dynamiques linéaires, optimisation…).
Ozgur Gun est maître de conférences à l'Université de Reims, à l'Université Paris 1 et à l'École Nationale Supérieure des Techniques Avancées.
Sophie Jallais est maître de conférences à l'Université Paris 1.

Microsoft Mathematics Add-In for Word and OneNote

Microsoft Mathematics Add-in for Word and OneNote makes it easy to plot graphs in 2D and 3D, calculate numerical results, solve equations or inequalities, and simplify algebraic expressions in your Word documents and OneNote notebooks.

With the Microsoft Mathematics Add-in for Word and OneNote, you can perform mathematical calculations and plot graphs in your Word documents and OneNote notebooks. The add-in also provides an extensive collection of mathematical symbols and structures to display clearly formatted mathematical expressions. You can also quickly insert commonly used expressions and math structures by using the Equation gallery.

The Microsoft Mathematics Add-in can help you with the following tasks:

Compute standard mathematical functions, such as roots and logarithms
Compute trigonometric functions, such as sine and cosine
Find derivatives and integrals, limits, and sums and products of series
Perform matrix operations, such as inverses, addition, and multiplication
Perform operations on complex numbers
Plot 2-D graphs in Cartesian and polar coordinates
Plot 3-D graphs in Cartesian, cylindrical, and spherical coordinates
Solve equations and inequalities
Calculate statistical functions, such as mode and variance, on lists of numbers
Factor polynomials or integers
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