Le mystère des nombres Collectif Essai (poche). Paru en 02/2007 Livre

Le mystère des nombresCollectif

• Essai (poche). Paru en 02/2007
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  Qu'est-ce qu'un nombre ? Comment les fabrique-t-on ? D'où vient leur «déraisonnable efficacité» dans les sciences naturelles ?
  
  Les mathématiciens explorent leur large territoire à la manière d'explorateurs abordant des terres inconnues, produisant chaque année plusieurs centaines de nouveaux théorèmes en théorie des nombres !
  
  Pourtant, ces «créations de l'esprit» que sont les nombres et qui nous accompagnent depuis la plus haute Antiquité nous interrogent en profondeur. Tout d'abord, quel est leur mode d'existence ? Y a-t-il lieu de parler d'une réalité numérique ? Leur aptitude à prédire les phénomènes naturels ou à trouver de fréquentes applications dans les sciences expérimentales nous fournit-elle un élément de réponse ou une raison supplémentaire de nous poser une nouvelle question : pourquoi le monde sensible est-il structuré mathématiquement ? 
  
  Ce voyage au pays des nombres, où nous sommes guidés par les meilleurs spécialistes, est tout à la fois amusant, instructif et profond ; il nous aide à mieux discerner la nature et la puissance des nombres, à mieux comprendre aussi l'intense fascination qu'ils exercent sur l'homme depuis que celui-ci a commencé à compter.
  
  Dirigé par Laurent Mayet, rédacteur en chef des Hors Séries de Sciences et Avenir, cet ouvrage est rédigé par les plus grands spécialistes du domaine : Bruno Aubusson, Bernard Barsotti, Georges Barthélémy, Jean-Michel Besnier, Luc Brisson, Claude-Paul Bruter, Jean-Paul Delahaye, Jacques Dubucs, Pascal Encel, Miguel Espinoza, Dominique Flament, Denis Guedj, Olivier Houdé, Christian Houzel, Jean-Marc Lévy-Leblond, Jean Mosconi, Philippe Pinel, François Schmitz, Ivahn Smadja, Jean-Jacques Szczeciniarz, Jacques Vauclair, Stéphane Verhelst.
  
  Extrait du livre :
  Les nombres entiers naturels ont beau avoir accédé à la rigueur formelle de l'axiomatique abstraite, ils se présentent à notre réflexion avec le même caractère de nécessité que les choses de la réalité objective et nous les rencontrons, comme le disait Charles Hermite, à la manière dont le géographe explore les continents. Face à la résistance objective de leurs propriétés, il est difficile de ne pas supposer que les nombres font partie d'un monde qui a une vie propre, indépendante de nous. Et si ces objets sont, certes, inséparables d'actes de position et d'activités opératoires, ils n'en sont pas moins des réalités idéales qui valent en tout temps et pour tout sujet. D'où la tentation de prêter à ces objets une existence indépendante et objective qui caractérise le platonisme mathématique. Godfrey Harold Hardy en propose la définition suivante : «La réalité mathématique existe indépendamment de nous, notre fonction est de la découvrir ou de l'observer et les théorèmes que nous prouvons, que nous décrivons de manière grandiloquente comme nos "créations" sont simplement nos relevés d'observations.» En souscrivant à ce réalisme mathématique, dont il existe d'ailleurs de nombreuses variantes, nous rencontrons au moins deux problèmes.
  Le premier problème consiste à remarquer que, si les nombres sont des entités abstraites qui existent dans un monde éthéré, alors la question se pose de savoir comment nous pouvons les connaître. Habituellement, le platoniste répond en invoquant une mystérieuse faculté d'intuition intellectuelle, mais cette métaphore ne saurait être tenue pour une authentique théorie de la connaissance mathématique et, de plus, on ne voit pas le sens qu'il y a à parler d'une sorte d'intuition à propos d'entités abstraites telles que les nombres transfinis de Cantor. Une solution souvent adoptée consiste à réserver un statut particulier aux entiers naturels et à traiter les autres types de nombres comme des fictions mathématiques. En proposant une reconstruction rationnelle de tous les nombres classiques (les nombres rationnels, les nombres entiers, les nombres réels et les nombres complexes) à partir des seuls entiers naturels, Leopold Kronecker se sentait autorisé à déclarer que «Dieu a créé les entiers naturels, tout le reste est l'oeuvre de l'homme». Quant aux nombres transfinis, dits «exotiques», Jacques Dubucs avance que, dans la mesure où «l'arithmétique du transfini représente une extension conservative de l'arithmétique usuelle, il n'y a aucune raison de se sentir tenu à leur égard au moindre engagement ontologique». 
  
  Extrait de l'introduction de Laurent Mayet