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21/11/2010

Lemme des noyaux

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_des_noyaux

Lemme des noyaux

En algèbre linéaire, le lemme des noyaux est un résultat sur la réduction des endomorphismes. Dans un espace vectoriel E sur un corps K, si un opérateur u de E est annulé par un polynôme P(X) à coefficients dans K, alors ce lemme prévoit une décomposition de E comme somme directe de sous-espaces vectoriels stables par u. Ces derniers se définissent comme noyaux de polynômes en u, les projecteurs associés étant eux-mêmes des polynômes en u.

La démonstration traduit l'identité de Bezout portant sur les polynômes à des sous-espaces vectoriels. Résultat fondamental, le lemme des noyaux conduit à la décomposition de Dunford puis à la décomposition de Jordan. Plus modestement, le lemme des noyaux montre qu'un opérateur u est diagonalisable s'il est annulé par un polynôme à racines simples.

Sommaire

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Enoncé [modifier]

Lemme des noyaux — Soit E un espace vectoriel sur un corps K et soit f un endomorphisme de E. Si P_1,ldots,P_n in K[X] (avec  n in N^*) sont premiers entre eux deux à deux, alors les sous-espaces vectoriels Vi = ker(Pi(f)) (où 1 leq i leq n) sont en somme directe et

bigoplus_{i=1}^n ker left[ P_i(f) right] = ker left[ left( prod_{i=1}^n P_i right)(f) right].

De plus, la projection sur Vi parallèlement à bigoplus_{jneq i} V_j est Qi(f) pour un polynôme Qi.

Démonstration [modifier]

Réduction au cas n = 2 [modifier]

On montre d'abord par récurrence sur n que si le lemme est vrai pour n = 2, il est vrai pour tout n. Il n'y a rien à montrer pour le cas n = 1 (la projection mentionnée est l'identité, qui estQ(f) avec Q le polynôme constant 1). Si n > 2 on pose Q=P_1P_2cdots P_{n-1} alors textstyleprod_{i=1}^n P_i=QP_n et Q est premier avec Pn (car d'après le théorème de Bachet-Bézoutchacun des facteurs Pi de Q est inversible modulo Pn, et leur produit Q l'est donc aussi). Alors le cas n = 2 dit que ker (QP_n)(f)=ker Q(f) oplus ker P_n(f), avec les projections correspondantes données par des polynômes en l'endomorphisme f; l'hypothèse de récurrence permet de décomposer ker Q(f), commer somme directe des ker P_i(f),pour i=1,ldots,n-1, et les projections de ker Q(f), sur ces facteurs se composent avec celle sur ker Q(f), pour donner des projections requises ker (QP_n)(f)toker P_i(f).

Le cas n = 2 [modifier]

On voit sans problème que l'espace V = ker(P1P2)(f) contient les espaces V_i=ker P_i(f), pour i = 1,2, et donc aussi leur somme; il s'agit de montrer que la somme V1 + V2 est directe et égale à V tout entier (avec des projections polynômes en f,). D'après le théorème de Bachet-Bézout, il existe Q_1,Q_2 in K[X] tel que P1Q1 + P2Q2 = 1, et par conséquent (P1Q1 + P2Q2)(f) = idE (l'application identité de E). Notons

pi_i=(P_jQ_j)(f)mid_V,inmathrm{End}(V)qquad mathrm{ograve{u} }~{i,j}={1,2},

donc pi_1+pi_2=mathrm{id}_V, et pi_1(V_2)=pi_2(V_1)={0},.

Pour voir que la somme V1 + V2 est directe, on considère x in V_1 cap V_2. On a x=pi_1(x)+pi_2(x)=0,, et la somme est directe.

Pour voir que V1 + V2 = V on considère x in V. On a x=pi_1(x)+pi_2(x), avec pi_1(x)in V_1, car

P_1(f)(pi_1(x))=(P_1P_2Q_2)(f)(x)=(Q_2P_1P_2)(f)(x)=Q_2(f)(0)=0,,

et on a pi_2(x)in V_2, pour des raisons similaires. On conclut que vin V_1+V_2 et donc V = V1 + V2.

Finalement, les projections de V=V_1oplus V_2 sur les facteurs sont pi_1, et pi_2,: on a déjà vu que l'image de pi_i, est contenue dans Vi, et qu'il s'annule sur l'autre facteur, donc il reste à voir que pi_i, est l'identité sur Vi. Pour xin V_i on a x=pi_1(x)+pi_2(x)=pi_i(x),, donc c'est vérifié.

Applications [modifier]

Le lemme des noyaux sert pour la réduction des endomorphismes. Par exemple :

Réduction à une forme diagonale par blocs — Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K et soit f un endomorphisme de E. Soit Pin K[X] unpolynôme annulateur de f (par exemple son polynôme minimal, ou son polynôme caractéristique d'après le théorème de Cayley-Hamilton) et prod_{i=1}^n P_i^{m_i} la factorisation de Pavec les polynômes Pi irréductibles et distincts. Alors il existe une base mathcal{B} de E et des matrices A_i in mathbf{M}_{n_i}(K) telles que

mathrm{Mat}_mathcal{B}(f)=begin{pmatrix} A_1 & 0 & dots & 0 \ 0 & A_2 & dots & 0 \ vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & 0 & dots & A_n end{pmatrix};

où n_i=dim ker P_i^{m_i}(f) (en fait la partie de mathcal{B} correspondant au bloc Ai est une base de ker P_i^{m_i}(f)), et P_i^{m_i}(A_i)=0.

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Théorème d'Abel (analyse)

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Théorème d'Abel (analyse)

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème d'Abel.

Le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, est un outil central de l'étude des séries entières.

Théorème — Soit textstyle f(x)= sum_{n geqslant 0} a_n x^n une série entière (à coefficients complexes) de rayon de convergence égal à R.

Si textstylesum_{ngeqslant 0} a_n R^n converge, alors :

lim_{xto R^-} f(x) =  sum_{n geqslant 0} a_nR^n.

Remarque : dans le cas où la série sum_{n geqslant 0} a_n R^n est absolument convergente, le résultat est trivial, il n'y a donc pas lieu d'invoquer ce théorème.

En effet, sous cette condition, sum_{n geqslant 0} a_n x^n converge normalement donc uniformément sur [0, R] ; on retrouve immédiatement :

lim_{x to R^-} sum_{n=0}^{infty} a_n x^n = sum_{n=0}^{infty} lim_{x to R^-}(a_n x^n) =  sum_{n=0}^{infty} a_n R^n

 

Exemple (1) :
Soit textstyle f(x)= sum_{n geqslant 1} frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = ln (1+x). Comme textstylesum_{n geqslant 1} frac{(-1)^{n+1}}{n} converge (d'après le critère de convergence des séries alternées), on en déduit que :lim_{x to 1^-} f(x) = ln 2 = sum_{n geqslant 1} frac{(-1)^{n+1}}{n}
Exemple (2) :
Soit textstyle g(x)= sum_{n geqslant 0} frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = arctan (x). Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que textstylesum_{n geqslant 0} frac{(-1)^n}{2n+1} converge, d'où :lim_{x to 1^-} g(x) = arctan (1) = frac{pi}{4} = sum_{n geqslant 0} frac{(-1)^n}{2n+1}

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Sommation par parties

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_d'Abel

Sommation par parties

(Redirigé depuis Lemme d'Abel)

La sommation par parties est l'équivalent pour les séries de l'intégration par parties. On l'appelle également transformation d'Abel ou sommation d'Abel ou lemme d'Abel.

Sommaire

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Énoncé [modifier]

Soient deux suites (a_n)_{ninN} et (b_n)_{ninN}. Si l'on pose

forall NinN, S_N = sum_{n=0}^N a_n b_n~text{et}~forall ninN, B_n = sum_{k=0}^n b_k~,

alors

forall NinN, S_N = a_N B_N - sum_{n=0}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n)~.

Cette opération, qui transforme l'expression de la série à étudier, est utile pour prouver certains critères de convergence de SN.

Similitude avec l'intégration par parties [modifier]

La formule de l'intégration s'écrit : int_a^b f(x) g'(x),dx = left[ f(x) g(x) right]_{a}^{b} - int_a^b  f'(x) g(x),dx
Si on laisse de côté les conditions aux limites, on s'aperçoit que l'intégration par parties consiste à intégrer une des deux fonctions présentes dans l'intégrale initiale (g' , devient g ,) et à dériver l'autre (f , devient f' ,).

La sommation par parties consiste en une opération analogue dans le domaine discret, puisque l'une des deux séries est sommée (b_n , devient B_n ,) et l'autre est différenciée (a_n , devienta_{n+1} - a_n ,).

On peut considérer la formule sommatoire d'Abel comme une généralisation de ces deux formules.

Applications [modifier]

On se place par la suite dans le cas où a_N b_N rightarrow 0, car sinon on sait que (S_N), est grossièrement divergente.

Si (B_n) , est bornée par un réel M et que  sum_{nge0}(a_{n+1} - a_n) est une série absolument convergente, alors la série (S_N), est convergente.

|S_N| le |a_N B_N| + sum_{n=0}^{N-1} |B_n| |a_{n+1}-a_n|

La somme de la série vérifie par ailleurs l'inégalité :  S = sum_{n=0}^infty a_n b_n le M sum_{n=0}^infty |a_{n+1}-a_n|

Exemples [modifier]

  1. a_n = frac{1}{n+1} et b_n = (-1)^n ,
    |B_n| le 1 et |a_{n+1}-a_n| = frac{1}{(n+1)(n+2)} le frac{1}{n^2}
    On sait que la série  sum_0^infty frac{1}{n^2} converge (voir fonction zêta de Riemann), donc les conditions exposées ci-dessus sont toutes réunies.
     S = 1 - frac{1}{2} + frac{1}{3} - frac{1}{4} + ... converge.
    NB: Cet exemple peut également être prouvé grâce au critère de convergence des séries alternées.
  2. a_n = frac{1}{n} et b_n = sin(n) ,
    (Nous ne définissons ici la somme qu'à partir du rang n=1 au lieu de n=0, mais cela n'affecte en rien l'existence de la limite de la série.)
    Comme précédemment  sum_{n=1}^infty (frac{1}{n+1} - frac{1}{n}) converge absolument, et sum_{k=1}^n sin(k) est bornée d'après l'expression du noyau de Dirichlet.
    Par conséquent sum_{n=1}^infty frac{sin(n)}{n} converge.
  3. La sommation par parties sert dans la preuve du théorème d'Abel.

Voir aussi [modifier]

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20/11/2010

Lambda-calcul

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Lambda-calcul

Lambda-calcul

« La notion de λ-définissabilité fut la première de ce qui est accepté maintenant comme l'équivalent exact des descriptions mathématiques pour lesquelles des algorithmes existent. »

— Stephen Kleenein « Origins of Recursive Function Theory », IEEE Annals of the History of Computing, 1981, vol. 3, n°1, p. 52


Le lambda-calcul (ou λ-calcul) est un système formel inventé par Alonzo Church dans les années 1930, qui fonde les concepts de fonction et d'application. Il a été le premier formalisme utilisé pour définir et caractériser les fonctions récursives et donc il a une grande importance dans la théorie de la calculabilité, à l'égal des machines de Turing et du modèle de Herbrand-Gödel. Il a depuis été appliqué comme langage de programmation théorique et comme métalangage pour la démonstration formelle assistée par ordinateur. Le lambda-calcul peut être ou non typé.

Le lambda-calcul est apparenté à la logique combinatoire de Haskell Curry.

Sommaire

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Syntaxe [modifier]

Le lambda calcul définit des entités syntaxiques que l'on appelle des lambda-termes (ou parfois aussi des lambda expressions) et qui se rangent en trois catégories :

  • les variables : xy... sont des lambda-termes ;
  • les applications : u v est un lambda-terme si u et v sont des lambda-termes ;
  • les abstractions : λ x.v est un lambda-terme si x est une variable et v un lambda-terme.

L’application peut être vue ainsi : si u est une fonction et si v est son argument, alors u v est le résultat de l'application à v de la fonction u.

L’abstraction λ x.v peut être interprétée comme la formalisation de la fonction qui, à x, associe v, où v contient en général des occurrences de x.

Ainsi, la fonction1 f qui prend en paramètre le lambda-terme x et lui ajoute 2 (c'est-à-dire en notation mathématique courante la fonction f: x ↦ x+2) sera dénotée en lambda-calcul par l'expression λ x.x+2. L'application de cette fonction au nombre 3 s'écrit (λ x.x+2)3 et s'« évalue » (ou se normalise) en l'expression 3+2.

Notations, conventions et concepts [modifier]

Parenthésage [modifier]

Pour délimiter les applications, on utilise des parenthèses, mais une utilisation trop abondante de parenthèses peut conduire à des expressions illisibles, donc pour raccourcir et clarifier les expressions, on supprime des parenthèses ; ainsi x1 x2 ... xn est équivalent à ((x1 x2) ... xn).

Il y a en fait deux conventions :

  • Association à gauche, l'expression ((M0 M1) (M2M3)) s'écrit M0 M1 (M2M3). Quand une application s'applique à une autre application, on ne met de parenthèse que sur l'application de droite. Formellement, la grammaire du lambda calcul parenthésé est alors
Λ ::= Var | λ var Λ | Λ (Λ)
  • Parenthésage du terme de tête, l'expression ((M0 M1) (M2M3)) s'écrit (M0) M1 (M2) M3. Un terme entre parenthèses est le premier d'une suite d'applications. Ainsi les arguments d'un terme sont facilement identifiables. Formellement, la grammaire du lambda-calcul parenthésé est alors
Λ ::= Var | λ var Λ | ΛΛ |Λ (Λ)

Curryfication [modifier]

Un lambda-terme ne prend qu'un seul argument, mais Shönfinkel et Curry ont introduit la curryfication et montré qu'on peut ainsi contourner cette restriction de la façon suivante : la fonction qui au couple (xy) associe u est considérée comme une fonction qui, à x, associe une fonction qui, à y, associe u. Elle est donc notée : λx.(λy.u). Cela s'écrit aussi λx.λy.u ouλxλy.u ou tout simplement λxy.u. Par exemple, la fonction qui, au couple (xy) associe x+y sera notée λx.λy.x+y ou plus simplement λxy.x+y.

Variables libres et variables liées [modifier]

Dans les expressions mathématiques en général et dans le lambda calcul en particulier, il y a deux catégories de variables : les variables libres et les variables liées (ou muettes). En lambda-calcul, une variable est liée2 par un λ. Une variable liée a une portée3 et cette portée est locale ; de plus, on peut renommer une variable liée sans changer la signification globale de l'expression entière où elle figure. Une variable qui n'est pas liée est dite libre.

Variables liées en mathématiques [modifier]

Par exemple dans int_a^b {x + y~dy}x est libre, mais y est liée (par le dy). Ceci est la même expression que int_a^b {x + z~dz} car y était un nom local, tout comme l'est z. Par contre int_a^b {z + y~dy} ne correspond pas à la même expression car le z est libre.

Tout comme l'intégrale lie la variable d'intégration, le λ lie la variable qui le suit.

Exemples: Dans λx.xy, la variable x est lié et la variable y libre. On peut récrire ce terme en λt.ty.

λxyzt.z(xt)ab(zsy) est équivalent à λwjit. i(wt)ab(isj)

Définition formelle des variables libres en lambda-calcul [modifier]

On définit l'ensemble VL(t) des variables libres d'un terme t par récurrence :

  • si x est une variable alors VL(x) = {x}
  • si u et v sont des lambda-termes alors VL(u v) = VL(u) ∪ VL(v)
  • si x est une variable et u un lambda-terme alors VL(λx.u) = VL(u) {x}

Si un lambda-terme n'a pas de variables libres, on dit qu'il est clos (ou fermé) on dit aussi que ce lambda-terme est un combinateur (d'après le concept apparenté de logique combinatoire).

Substitution et α-conversion [modifier]

L'outil le plus important pour le lambda-calcul est la substitution qui permet de remplacer, dans un terme, une variable par un terme. Ce mécanisme est à la base de la réduction qui est le mécanisme fondamental de l'évaluation des expressions donc du « calcul » des lambda-termes.

La substitution dans un lambda terme t d'une variable x par un terme u est notée t[x := u]. Il faut prendre quelques précautions pour définir correctement la substitution afin d'éviter le phénomène de capture de variable qui pourrait, si l'on n'y prend pas garde, rendre liée une variable qui était libre avant que la substitution n'ait lieu. Par exemple, si u contient la variable libre y et si x apparaît dans t comme occurrence d'un sous terme de la forme λy.v, le phénomène de capture pourrait apparaître. L'opération t[x := u] s'appelle la substitution dans t de xpar u et se définit par récurrence sur t :

  • si t est une variable alors t[x := u]=u si x=t et t sinon
  • si t = v w alors t[x := u] = v[x := u] w[x := u]
  • si t = λy.v alors t[x := u] = λy.(v[x := u]) si x≠y et t sinon

Remarque : dans le dernier cas on fera attention à ce que y ne soit pas une variable libre de u. En effet, elle serait alors « capturée » par le lambda externe. Si c'est le cas on renommey et toutes ses occurrences dans v par une variable z qui n'apparaît ni dans t ni dans u.

L'α-conversion identifie λy.v et λz.v[y := z]. Deux lambda-termes qui ne diffèrent que par un renommage (sans capture) de leurs variables liées sont dits α-convertibles. L'α-conversion est une relation d'équivalence entre lambda-termes.

Exemples :

  • (λx.xy)[y := a] = λx.xa
  • (λx.xy)[y := x] = λz.zx (et non λ x.xx, qui est totalement différent, cf remarque ci-dessus)

Remarque : l'α-conversion doit être définie avec précaution avant la substitution. Ainsi dans le terme λx.λy.xyλz.z, on ne pourra pas renommer brutalement x en y (on obtiendraitλy.λy.yyλz.z) par contre on peut renommer x en z.

Définie ainsi la substitution est un mécanisme externe au lambda-calcul, on dit aussi qu'il fait partie de la méta-théorie. A noter que certains travaux visent à introduire la substitution comme un mécanisme interne au lambda-calcul, conduisant à ce qu'on appelle les calculs de substitutions explicites.

Réductions [modifier]

Une manière de voir les termes du lambda-calcul consiste à les concevoir comme des arbres ayant des nœuds binaires (les applications), des nœuds unaires (les λ-abstractions) et des feuilles (les variables). Les réductions4 ont pour but de modifier les termes, ou les arbres si on les voit ainsi ; par exemple, la réduction de (λx.xx)(λy.y) donne (λy.y)(λy.y).

On appelle rédex un terme de la forme (λx.u) v . On définit la bêta-contraction (ou β-contraction) de (λx.u) v comme u[x := v]; on dit qu'un terme C[u] se réduit5 en C[u'] si u est un redex qui se β-contracte en u', on écrit alors C[u]C[u'], la relation → est appelée réduction.

Exemple de réduction :

(λx.xy)a donne (xy)[x := a] = ay .

On note →* la fermeture réflexive transitive6 de la relation → de réduction et =β sa fermeture réflexive symétrique et transitive (appelée bêta-conversion ou bêta-équivalence).

La β-conversion permet de faire une "marche arrière" à partir d'un terme. Cela permet, par exemple, de retrouver le terme avant une β-réduction. Passer de x à (λy.y)x .

On peut écrire M =β M' si ∃ N1, ..., Np tels que M = N1, M'=Np et Ni→ Ni+1 ou Ni+1→ Ni .

Cela signifie que dans une conversion on peut appliquer des réductions ou des relations inverses des réductions (appelées expansions).

On définit également une autre opération, appelée êta-réduction (ou son inverse la êta-expansion), définie ainsi : λx.ux →η u, lorsque x n'apparait pas libre dans u. En effet, ux s'interprète comme l'image de x par la fonction u. Ainsi, λx.ux s'interprète alors comme la fonction qui, à x, associe l'image de x par u, donc comme la fonction u elle-même.

Enfin, si on s'est donné des primitives, on peut fixer leur comportement calculatoire au moyen des règles de delta-réduction. Par exemple, si on s'est donné les entiers et + comme termes supplémentaires, les tables d'addition serviront de delta-règles. Comme les primitives sont par définition complètement étrangères au lambda-calcul, leurs règles de calcul peuvent a priori adopter n'importe quelle forme. Toutefois, si on veut étendre les propriétés mentionnées ci-dessous au cas d'un calcul avec des primitives, on est amené à faire quelques hypothèses sur les règles ajoutées.

La normalisation : notion de calcul [modifier]

Le calcul associé à un lambda-terme est la suite de réductions qu'il engendre. Le terme est la description du calcul et la forme normale du terme7 (si elle existe) en est le résultat.

Un lambda-terme t est dit en forme normale si aucune bêta-contraction ne peut lui être appliquée, c'est-à-dire si t ne contient aucun rédex. Ou encore, s'il n'existe aucun lambda-terme utel que t → u.

Exemple: λx.y(λz.z(yz)) .

On dit qu'un lambda-terme t est normalisable s'il existe un terme u tel que t =β u. Un tel u est appelé la forme normale de t.

On dit qu'un lambda-terme t est fortement normalisable si toutes les réductions à partir de t sont finies.

Exemples:

  • Posons Δ ≡ λx.xx . L'exemple par excellence de lambda-terme non fortement normalisable est obtenu en appliquant ce terme à lui même, autrement dit:
Ω = (λx.xx)(λx.xx) = ΔΔ
Le lambda terme Ω n'est pas fortement normalisable car sa réduction boucle indéfiniment sur elle-même.
(λx.xx)(λx.xx) → (λx.xx)(λx.xx).
  • (λx.x)((λy.y)z) est un lambda-terme fortement normalisable.
  • (λx.y)(ΔΔ) est normalisable et sa forme normale est y, mais il n'est pas fortement normalisable.
  • (λx.xxx)(λx.xxx) → (λx.xxx)(λx.xxx)(λx.xxx) → (λx.xxx)(λx.xxx)(λx.xxx)(λx.xxx) → ... crée des termes de plus en plus grand.

Si un terme est fortement normalisable, alors il est normalisable.

Théorème de Church-Rosser : soient t et u deux termes tels que t =β u. Il existe un terme v tel que t →* v et u →* v.

Théorème du losange (ou de confluence) : soient tu1 et u2 des lambda-termes tels que t →* u1 et t →* u2. Alors il existe un lambda-terme v tel que u1 →* v et u2 →* v.

Grâce au Théorème de Church-Rosser on peut facilement montrer l'unicité de la forme normale ainsi que la cohérence du lambda-calcul (c’est-à-dire qu'il existe au moins deux termes distincts non bêta-convertibles).

Différents lambda-calculs [modifier]

Sur la syntaxe et la réduction du lambda-calcul on peut adapter différents calculs en restreignant plus ou moins la classe des termes. On peut ainsi distinguer deux grandes classes de lambda-calculs : le lambda-calcul non typé et les lambda-calculs typés. Les types sont des annotations des termes qui ont pour but de ne garder que les termes qui sont normalisables, éventuellement en adoptant une stratégie de réduction. On espère8 ainsi avoir un lambda-calcul qui satisfait les propriétés de Church-Rosser et de normalisation.

La correspondance de Curry-Howard relie un lambda calcul typé à une système de déduction naturelle. Elle énonce qu'un type correspond à une proposition et un terme correspond à une preuve, et réciproquement.

Le lambda-calcul non typé [modifier]

Des codages simulent les objets usuels de l'informatique dont les entiers naturels, les fonctions récursives et les machines de Turing. Réciproquement le lambda-calcul peut être simulé par une machine de Turing. Grâce à la thèse de Church on en déduit que le lambda-calcul est un modèle universel de calcul.

Les booléens [modifier]

Dans la partie Syntaxe, nous avons vu qu'il est pratique de définir des primitives. C'est ce que nous allons faire ici.

vrai = λab.a
faux = λab.b

Ceci n'est que la définition d'un codage, et l'on pourrait en définir d'autres.

Nous remarquons que :

vrai x y →* x

et que :

faux x y →* y

Nous pouvons alors définir un lambda-terme représentant l'alternative: if-then-else. C'est une fonction à trois arguments, un booléen b et deux lambda termes u et v, qui retourne le premier si le booléen est vrai et le second sinon.

ifthenelse = λbuv.(b u v)


Notre fonction est bien vérifiée:

ifthenelse vrai x y = (λbuv.(b u v)) vrai x y
ifthenelse vrai x y → (λuv.(vrai u v)) x y
ifthenelse vrai x y →* (vrai x y)
ifthenelse vrai x y →* ( (λxy.x) x y)
ifthenelse vrai x y →* x


On verra de la même manière que

ifthenelse faux x y →* y

À partir de là nous avons aussi un lambda-terme pour les opérations booléennes classiques :

non = λb.ifthenelse b faux vrai
et = λab.ifthenelse a b faux (ou bien λab.ifthenelse a b a)
ou = λab.ifthenelse a vrai b (ou bien λab.ifthenelse a a b)

Les entiers [modifier]

Le codage des entiers qui suit s'appelle les entiers de Church du nom de leur concepteur. On pose :

0 = λfx.x
1 = λfx.f x
2 = λfx.f (f x)
3 = λfx.f (f (f x))

et d'une manière générale :

n = λfx.f (f (...(f x)...)) = λfx.f nx avec f itérée n fois.

Ainsi, l'entier n est vu comme la fonctionnelle, qui au couple ≺f, x≻, associe n(x).

Quelques fonctions [modifier]

Il y a deux manières de coder la fonction successeur, soit en ajoutant un f en tête, soit en queue. Au départ nous avons n = λfx.f n x et nous voulons λfx.f n+1 x. Il faut pouvoir rajouter unf soit au début des f « sous » les lambdas soit à la fin.

  • Si nous choisissons de le mettre en tête, il faut pouvoir entrer « sous » les lambdas. Pour cela, si n est notre entier, on forme d'abord n f x, ce qui donne n x. En mettant un f en tête, on obtient : f (n f x) → f(f n x) = f n+1 x. Il suffit alors de compléter l'entête pour reconstruire un entier de Church : λfx.f (n f x) = λfx.f n+1 x (nous aurions bien sûr pu prendre d'autres noms de variables que f et x à l'étape précédente et donc nous aurions gardé ces noms ici). Enfin pour avoir la « fonction » successeur il faut bien entendu prendre un entier en paramètre, donc rajouter un lambda. Nous obtenons λnfx.f(n f x). Le lecteur pourra vérifier que (λnfx.f(n f x)) 3 = 4, avec 3 = λfx.f(f(f x))) et 4 = λfx.f(f(f(f x)))).
  • Si par contre nous voulions mettre le f en queue, il suffit d'appliquer n f x non pas à x, mais à f x, à savoir n f (f x), ce qui se réduit à fn (f x) = fn+1 x. On n'a plus qu'à refaire l'emballage comme dans le cas précédent et on obtient λnfx.n f (f x). La même vérification pourra être faite.

Les autres fonctions sont construites avec le même principe. Par exemple l'addition en « concaténant » les deux lambda-termes : λnpfx.n f (p f x).

Pour coder la multiplication, on utilise le f pour « propager » une fonction sur tout le terme : λnpf.n (p f)

L'exponentielle n'est pas triviale contrairement à ce que son écriture laisse penser, et lors de la réduction on est obligé de renommer les variables : λnp.p n

Le prédécesseur et la soustraction ne sont pas simples non plus. On en reparlera plus loin.

On peut définir le test à 0 ainsi : if0thenelse = λnab.n (λx.b) a, ou bien en utilisant les booléens λn.n (λx.faux) vrai.

Les itérateurs [modifier]

Définissons d'abord une fonction d'itération sur les entiers : itère = λnuv.n u v

v est le cas de base et u une fonction. Si n est nul, on calcule v, sinon on calcule n(v).

Par exemple l'addition qui provient des équations suivantes

  • add(0, p) = p
  • add(n+1, p) = (n+p) + 1

peut être définie comme suit. Le cas de base v est le nombre p, et la fonction u est la fonction successeur. Le lambda-terme correspondant au calcul de la somme est donc :

add = λnp.itère n successeur p

On remarquera que add n p →* n successeur p.

Les couples [modifier]

On peut coder des couples par c = λz.z a b où a est le premier élément et b le deuxième. On notera ce couple (a, b). Pour accéder aux deux parties on utilise π1 = λc.c (λab.a) et π2 = λc.c (λab.b). On reconnaîtra les booléens vrai et faux dans ces expressions et on laissera le soin au lecteur de réduire π1(λz.z a b) en a.

Les listes [modifier]

On peut remarquer qu'un entier est une liste dont on ne regarde pas les éléments, en ne considérant donc que la longueur. En rajoutant une information correspondant aux éléments, on peut construire les listes d'une manière analogue aux entiers : [a1 ; ... ; an] = λgy. g a1 (... (g an y)...). Ainsi :

[] = λgy.y
[a1] = λgy.g a1 y
[a1 ; a2] = λgy.g a1 (g a2 y)
Les itérateurs sur les listes [modifier]

De la même manière qu'on a introduit une itération sur les entiers on introduit une itération sur les listes. la fonction liste_it se définit par λlxm.l x m comme pour les entiers. Le concept est à peu près le même mais il y a des petites nuances. Nous allons voir par un exemple.

exemple : La longueur d'une liste est définie par

  • longueur ([]) = 0
  • longueur (x :: l) = 1 + longueur l

x :: l est la liste de tête x et de queue l (notation ML). La fonction longueur appliquée sur une liste l se code par :

λl.liste_it l (λym.add (λfx.f x) m) (λfx.x)

ou tout simplement

λl.l (λym.add 1 m) 0

Les arbres binaires [modifier]

Le principe de construction des entiers, des couples et des listes se généralise aux arbres binaires :

  • constructeur de feuille : feuille = λngy.y n
  • constructeur de nœud : nœud = λbcgy.g (b g y) (c g y) (avec b et c des arbres binaires)
  • itérateur : arbre_it = λaxm.a x m

Un arbre est soit une feuille, soit un nœud. Dans ce modèle, aucune information n'est stockée au niveau des nœuds, les données (ou clés) sont conservées au niveau des feuilles uniquement. On peut alors définir la fonction qui calcule le nombre de feuilles d'un arbre : nb_feuilles = λa.arbre_it a (λbc.add b c) (λn.1), ou plus simplement: nb_feuilles = λa.a add (λn.1)

Le prédécesseur [modifier]

Pour définir le prédécesseur sur les entiers de Church, il faut utiliser les couples. L'idée est de reconstruire le prédécesseur par itération : pred = λn.π1 (itère n (λc.(π2 c, successeur (π2c))) (0,0)). Puisque le prédécesseur sur les entiers naturels n'est pas défini en 0, afin de définir une fonction totale, on a ici adopté la convention qu'il vaut 0.

On vérifie par exemple que pred 3 →* π1 (itère 3 (λc.(π2 c, successeur (π2 c))) (0,0)) →* π1 (2,3) →* 2.

On en déduit que la soustraction est définissable par : sub = λnp.itère p pred n avec la convention que si p est plus grand que n, alors sub n p vaut 0.

La récursion [modifier]

En combinant prédécesseur et itérateur, on obtient un récurseur. Celui-ci se distingue de l'itérateur par le fait que la fonction qui est passée en argument a accès au prédécesseur.

rec = λnfx.π1 (n (λc.(f (π2 c) (π1 c), successeur (π2 c))) (x, 0))

Combinateur de point fixe [modifier]

Un combinateur de point fixe permet de construire pour chaque F, une solution à l'équation X = F X . Ceci est pratique pour programmer des fonctions qui ne s'expriment pas simplement par itération, telle que le pgcd, et c'est surtout nécessaire pour programmer des fonctions partielles.

Le combinateur de point de fixe le plus simple, dû à Curry, est : Y = λf.(λx.f(x x))(λx.f(x x))

On vérifie que Y g =_beta g(Y g) quel que soit g. Grâce au combinateur de point fixe, on peut par exemple définir une fonction qui prend en argument une fonction et teste si cette fonction argument renvoie vrai pour au moins un entier: teste_annulation = λg.Y (λfn.ou (g n) (f (successeur n))) 0.

Par exemple, si on définit la suite alternée des booléens vrai et faux : alterne = λn.itère n non faux, alors, on vérifie que : teste_annulation alterne →* ou (alterne 0) (Y (λfn.ou (alterne n) (f successeur n)) (successeur 0)) →* ou (alterne 1) (Y (λfn.ou (alterne n) (f successeur n)) (successeur 1)) →* vrai.

On peut aussi définir le pgcd : pgcd = Y (λfnp.if0thenelse (sub p n) (if0thenelse (sub n p) p (f p (sub n p))) (f n (sub p n))).

Connexion avec les fonctions partielles récursives [modifier]

Le récurseur et le point fixe sont des ingrédients clés permettant de montrer que toute fonction partielle récursive est définissable en λ-calcul lorsque les entiers sont interprétés par les entiers de Church. Réciproquement, les λ-termes peuvent être codés par des entiers et la réduction des λ-termes est définissable comme une fonction (partielle) récursive. Le λ-calcul est donc un modèle de la calculabilité.

Le lambda-calcul simplement typé [modifier]

On annote les termes par des expressions que l'on appelle des types ; pour cela on fournit un moyen de donner un type à un terme, si ce moyen réussit on dit que le terme est bien typé. Outre le fait que cela donne une indication sur ce que « fait » la fonction, par exemple, elle transforme les objets d'un certain type en des objets d'un autre type, cela permet de garantir la normalisation forte, c'est-à-dire que pour tous les termes, toutes les réductions aboutissent à une forme normale (qui est unique pour chaque terme de départ). Autrement dit, tous les calculs menés dans ce contexte terminent. Les types simples sont construits comme les types des fonctions, de fonctions de fonctions, des fonctions de fonctions de fonctions vers les fonctions etc. Quoiqu'il puisse paraitre, le pouvoir expressif de ce calcul est très limité (ainsi, l'exponentielle ne peut y être définie, ni même la fonction nrightarrow 2^n).

Plus formellement, les types simples sont construits de la manière suivante:

  • un type de base ι (si on a des primitives, on peut aussi se donner plusieurs types de bases, comme les entiers, les booléens, les caractères, etc. mais cela n'a pas d'incidence au niveau de la théorie).
  • si τ1 et τ2 sont des types, tau_1rightarrowtau_2 est un type.

Intuitivement, le second cas représente le type des fonctions acceptant un élément de type τ1 et renvoyant un élément de type τ2.

Un contexte Γ est un ensemble de paires de la forme (x,τ) où x est une variable et τ un type. Un jugement de typage est un triplet Gammavdash t:tau (on dit alors que t est bien typé dans Γ), défini récursivement par:

  • si (x,tau)inGamma, alors Gammavdash x:tau.
  • si Gammacup (x,tau_1)vdash u:tau_2, alors Gammavdash lambda x!:!tau_1.u,:,tau_1rightarrowtau_2.
  • si Gammavdash u:tau_1rightarrowtau_2 et Gammavdash v:tau_1, alors Gammavdash u v:tau_2

Si on a ajouté des constantes au lambda calcul, il faut leur donner un type (via Γ).

Les lambda-calculs typés d'ordres supérieurs [modifier]

Le lambda-calcul simplement typé est trop restrictif pour exprimer toutes les fonctions calculables dont on a besoin en mathématiques et donc dans un programme informatique. Un moyen de dépasser l'expressivité du lambda-calcul simplement typé consiste à autoriser des variables de type et à quantifier sur elles, comme cela est fait dans le système F ou lecalcul des constructions. Le Système T de Gödel qui fusionne la récursion primitive et le lambda-calcul simplement typé offre aussi, au prix d'un enrichissement, un système plus expressif. Dans ce système, on peut coder, grâce à l'ordre supérieur, de nouveaux algorithmes comme la fonction d'Ackermann qui est non primitive récursive.

Notes [modifier]

  1.  Cette explication semble introduire des constantes entières et des opérations, comme + et *, mais il n'en est rien, car ces concepts peuvent être décrits par des lambda termes spécifiques dont ils ne sont que des abréviations.
  2.  En mathématiques, les variables sont liées par ∀ ou par ∃ ou par ∫ ... dx.
  3.  La portée est la partie de l'expression où la variable a la même signification.
  4.  Attention « réduction » ne veut pas dire que la taille diminue !
  5.  C[ ] est appelé un contexte.
  6.  De nombreux auteurs notent cette relation ↠.
  7.  Le terme issu de la réduction à partir duquel on ne peut plus réduire.
  8.  Espoir fondé en général, mais encore faut-il le démontrer !

Bibliographie [modifier]

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Alexandre-Théophile Vandermonde

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Alexandre-Th%C3%A9ophile_Van...

Alexandre-Théophile Vandermonde

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Alexandre-Théophile Vandermonde (parfois appelé Alexis-Théophile), né à Paris le 28 février 1735 et mort à Paris le 1er janvier 1796, est un mathématicien français. Il fut aussiéconomistemusicien et chimiste, travaillant notamment avec Étienne Bézout et Antoine Lavoisier. Son nom est maintenant surtout associé à un déterminant.

Il commence à faire des mathématiques en 1770. Son Mémoire sur la résolution des équations (1771), qui préfigure la théorie de Galois, porte sur les fonctions symétriques et la solution des polynômes cyclotomiques. Dans les Remarques sur des problèmes de situation (1771), il étudie le problème du cavalier. Son Mémoire sur des irrationnelles de différens ordres avec une application au cercle (1772) porte sur la combinatoire, et son Mémoire sur l'élimination (1772) sur les fondations de la théorie des déterminants. Ces communications, présentées à l'Académie des sciences, constituent toute son œuvre mathématique. Le déterminant de Vandermonde n'y apparaît pas explicitement.

En 1771, il devient membre de l'Académie des sciences. En janvier 1792, il devient membre de la Société patriotique du Luxembourg, créée par Jean-Nicolas Pache, avec Gaspard MongeJean Henri Hassenfratz et Jean-Baptiste Marie Meusnier de La Place.

A partir de 1794, Vandermonde sera membre du Conservatoire national des arts et métiers, examinateur au concours d'entrée de l'École polytechnique, professeur à l'École normale supérieure.

Vandermonde a donné son nom à la société secrète des élèves du Conservatoire national des arts et métiers fondée sur le modèle de celle de Yale University.

Article connexe [modifier]

Liens externes [modifier]

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Théorie des graphes

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_graphes

Théorie des graphes

Page d'aide sur les redirections Pour la notion mathématique utilisée en Théorie des ensembles, voir Graphe d'une fonction.

La théorie des graphes est une théorie informatique et mathématique. Les algorithmes élaborés pour résoudre des problèmes concernant les objets de cette théorie ont de nombreuses applications dans tous les domaines liés à la notion de réseau (réseau socialréseau informatiqueTélécom…) et dans bien d'autres domaines (e.g. génétique) tant le concept de graphe, à peu près équivalent à celui de relation binaire (à ne pas confondre donc avec graphe d'une fonction), est général. De grands théorèmes difficiles, comme le Théorème des quatre couleurs et le Théorème des graphes parfaits, ont contribué à asseoir cette matière auprès des mathématiciens, et les questions qu'elle laisse ouvertes, comme la Conjecture d'Hadwiger, en font une branche vivace des Mathématiques discrètes.

Sommaire

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Définition de graphe et vocabulaire [modifier]

Article détaillé : Lexique en théorie des graphes.

Intuitivement, un graphe est un ensemble de points, dont certaines paires sont directement reliées par un lien. Ces liens peuvent être orientés, c'est-à-dire qu'un lien entre deux points uet v relie soit u vers v, soit v vers u : dans ce cas, le graphe est dit orienté. Sinon, les liens sont symétriques, et le graphe est non-orienté.

Dans la littérature récente de la théorie des graphes, les points sont appelés les sommets (en référence aux polyèdres) ou les nœuds (en références à la loi des nœuds). Les liens sont appelés arêtes dans les graphes non-orienté et arcs dans un graphe orienté.

L'ensemble des sommets est le plus souvent noté V, tandis que E désigne l'ensemble des arêtes. Dans le cas général, un graphe peut avoir des arêtes multiples, c'est-à-dire que plusieurs arêtes différentes relient la même paire de points. De plus, un lien peut être une boucle, c'est-à-dire ne relier qu'un point à lui-même. Un graphe est simple si il n'a ni liens multiples ni boucles, il peut alors être défini simplement par un couple G = (V,E), où E est un ensemble de paires d'éléments de V. Dans le cas d'un graphe simple orienté, E est un ensemble de couples d'éléments de V. Notons qu'un graphe sans arête multiple peut être représenté par une relation binaire, qui est symétrique si le graphe est non-orienté.

Pour définir un graphe général, il faut une fonction d'incidence γ qui associe à chaque arête une paire de sommets (ou un couple en cas orienté). Ainsi, un graphe est un triplet G = (V,E,γ) avec gamma : E rightarrow V times V. Toutefois l'usage veut que l'on note simplement G = (V,E), sachant que ce n'est parfaitement rigoureux que pour les graphes simples.

Origines [modifier]

Un article du mathématicien suisse Leonhard Euler, présenté à l'Académie de Saint Pétersbourg en 1735 puis publié en 1741, traitait du problème des sept ponts de KönigsbergA 1, ainsi que schématisé ci-dessous. Le problème consistait à trouver une promenade à partir d'un point donné qui fasse revenir à ce point en passant une fois et une seule par chacun des sept ponts de la ville de Königsberg. Un chemin passant par toute arête exactement une fois fut nommé chemin eulérien, ou circuit eulérien s'il finit là où il a commencé. Par extension, un graphe admettant un circuit eulérien est dit graphe eulérien, ce qui constitue donc le premier cas de propriété d'un graphe. Euler avait formulé1 qu'un graphe n'est eulérien que si chaque sommet a un nombre pair d'arêtes. L'usage est de s'y référer comme théorème d'Euler, bien que la preuve n'y ait été apportée que 130 ans plus tard par le mathématicien allemand Carl HierholzerA 2. Un problème similaire consiste à passer par chaque sommet exactement une fois, et fut d'abord résolu avec le cas particulier d'un cavalier devant visiter chaque case d'un échiquier par le théoricien d'échec arabe Al-Adli dans son ouvrage Kitab ash-shatranj paru vers 840 et perdu depuisA 3. Ce problème du cavalier fut étudié plus en détails au xviiie sièclepar les mathématiciens français Alexandre-Théophile VandermondeA 4Pierre de Rémond de Montfort et Abraham de Moivre; le mathématicien britannique Thomas Kirkman étudia le problème plus général du parcours où on ne peut passer par un sommet qu'une fois, mais un tel parcours prit finalement le nom de chemin hamiltonien d'après le mathématicien irlandaisWilliam Rowan Hamilton, et bien que ce dernier n'en ait étudié qu'un cas particulierA 5. On accorde donc à Euler l'origine de la théorie des graphes parce qu'il fut le premier à proposer un traitement mathématique de la question, suivi par Vandermonde.

 

Konigsberg bridges.png → 7 bridges.svg → Konigsburg graph.svg

Liste des arbres à 2, 3 et 4 sommets.

Au milieu du XIXe siècle, le mathématicien britannique Arthur Cayley s'intéressa aux arbres, qui sont un type particulier de graphe n'ayant pas de cycle, i.e. dans lequel il est impossible de revenir à un point de départ sans faire le chemin inverse. En particulier, il étudia le nombre d'arbres à n sommetsA 6 et montra qu'il en existe n^{n-2},. Ceci constitua « une des plus belles formules en combinatoire énumérative »A 7, domaine consistant à compter le nombre d'éléments dans un ensemble fini, et ouvrit aussi la voie à l'énumération de graphes ayant certaines propriétés. Ce champ de recherche fut véritablement initié par le mathématicien hongrois George PólyaA 8, qui publia un théorème d'énumération en 1937A 9, et le mathématicien hollandais Nicolaas Govert de Bruijn. Les travaux de Cayley, tout comme ceux de Polya, présentaient des applications à la chimie et le mathématicien anglais James Joseph Sylvester, co-auteur de Cayley, introduisit en 1878 le terme de "graphe" basé sur la chimie :

« Il peut ne pas être entièrement sans intérêt pour les lecteurs de Nature d'être au courant d'une analogie qui m'a récemment fortement impressionné entre des branches de la connaissance humaine apparemment aussi dissemblables que la chimie et l'algèbre moderne. […] Chaque invariant et covariant devient donc exprimable par un graphe précisément identique à un diagramme Kékuléan ou chemicograph.A 10 »
Équivalence entre les régions d'une carte et un graphe pour le théorème des quatre couleurs.

Un des problèmes les plus connus de théorie des graphes vient de la coloration de graphe, où le but est de déterminer combien de couleurs différentes suffisent pour colorer entièrement un graphe de telle façon qu'aucun sommet n'ait la même couleur que ses voisins. En 1852, le mathématicien sud-africain Francis Guthrie énonça le problème des quatre couleurs par une discussion à son frère, qui demandera à son professeur Auguste De Morgan si toute carte peut être coloriée avec quatre couleurs de façon à ce que des pays voisins aient des couleurs différentes. De Morgan envoya d'abord une lettre au mathématicien irlandais William Rowan Hamilton, qui n'était pas intéressé, puis le mathématicien anglais Alfred Kempe publia une preuve erronéeA 11 dans l’American Journal of Mathematics, qui venait d'être fondé par Sylvester. L'étude de ce problème entraîna de nombreux développements en théorie des graphes, par Peter Guthrie TaitPercy John Heawood,Frank Ramsey et Hugo Hadwiger.

Les problèmes de factorisation de graphe émergèrent ainsi à la fin du XIXe siècle en s'intéressant aux sous-graphes couvrants, c'est-à-dire aux graphes contenants tous les sommets mais seulement une partie des arêtes. Un sous-graphe couvrant est appelé un k-facteur si chacun de ses sommets a k arêtes et les premiers théorèmes furent donnés par Julius PetersenA 12; par exemple, il montra qu'un graphe peut être séparé en 2-facteurs si et seulement si tous les sommets ont un nombre pair d'arêtes (mais il fallut attendre 50 ans pour que Bäbler traite le cas impairA 13). Les travaux de Ramsey sur la coloration, et en particulier les résultats du mathématicien hongrois Pal Turan, permirent le développement de la théorie des graphes extrémaux s'intéressant aux graphes atteignant le maximum d'une quantité particulière (par exemple le nombre d'arêtes) avec des contraintes donnéesA 14, telles que l'absence de certains sous-graphes.

Dans la seconde moitié du xxe siècle, le mathématicien français Claude Berge contribue au développement de la théorie des graphes par ses contributions sur les graphes parfaitsA 15 et l'introduction du terme d’hypergraphe (suite à la remarque de Jean-Marie Pla l'ayant utilisé dans un séminaire) avec un monographeA 16 sur le sujet. Son ouvrage d'introduction à la théorie des graphesA 17 proposa également une alternative originale, consistant plus en une promenade personnelle qu'une description complète. Il marquera également la recherche française en ce domaine, par la création conjointe avec Marcel-Paul Schützenberger d'un séminaire hebdomadaire à l'Institut Henri Poincaré, des réunions le lundi à la Maison des Sciences de l'Homme, et la direction de l'équipe Combinatoire de Paris.

Flots dans les réseaux [modifier]

Représentation du flot dans un graphe, indiquant pour chaque arête le flot a qui la traverse et sa capacité maximale b, sous la forme a/b.
Coupe dans un graphe, avec la source set le puits t'.
Exemple d'application des flots réseaux pour le mouvement d'un fluide dans un réseau hydraulique.

Les Allemands Franz Ernst Neumann et Jacobi, respectivement physicien et mathématicien, fondèrent en 1834 une série de séminaires. Le physicien allemand Gustav Kirchhoff était un des étudiants participant au séminaire entre 1843 et 1846, et il étendit le travail de Georg Ohmpour établir en 1845 les Lois de Kirchhoff exprimant la conservation de l'énergie et de la charge dans un circuit électrique. En particulier, sa loi des nœuds stipule que la somme des intensités des courants entrant dans un nœud est égale à celle qui en sort. Un circuit électrique peut se voir comme un graphe, dans lequel les sommets sont les nœuds du circuit, et les arêtes correspondent aux connexions physiques entre ces nœuds. Pour modéliser les courants traversant le circuit, on considère que chaque arête peut-être traversée par un flot. Ceci offre de nombreuses analogies, par exemple à l'écoulement d'un liquide comme l'eau à travers un réseau de canauxB 1, ou la circulation dans un réseau routier. Comme stipulé par la loi des nœuds, le flot à un sommet est conservé, ou identique à l'entrée comme à la sortie; par exemple, l'eau qui entre dans un canal ne disparaît pas et le canal n'en fabrique pas, donc il y a autant d'eau en sortie qu'en entrée. De plus, une arête a une limite de capacité, tout comme un canal peut transporter une certaine quantité maximale d'eau. Si l'on ajoute que le flot démarre à un certain sommet (la source) et qu'il se termine à un autre (le puits), on obtient alors les principes fondamentaux de l'étude des flots dans un graphe.

Si on considère que la source est un champ pétrolifère et que le puits est la raffinerie où on l'écoule, alors on souhaite régler les vannes de façon à avoir le meilleur débit possible de la source vers le puits. En d'autres mots, on cherche à avoir une utilisation aussi efficace que possible de la capacité de chacune des arêtes, ce qui est le problème de flot maximum. Supposons que l'on « coupe » le graphe en deux parties, telle que la source est dans l'une et le puits est dans l'autre. Chaque flot doit passer entre les deux parties, et est donc limité par la capacité maximale qu'une partie peut envoyer à l'autre. Trouver la coupe avec la plus petite capacité indique donc l'endroit où le réseau est le plus limité, ce qui revient à établir le flot maximal qui peut le traverserB 2. Ce théorème est appelé flot-max/coupe-min et fut établi en 1956.

L’étude des flots réseaux se généralise de plusieurs façons. La recherche d'un maximum, ici dans le cas du flot, est un problème d'optimisation, qui est la branche des mathématiques consistant à optimiser (i.e. trouver un minimum ou maximum) une fonction sous certaines contraintes. Un flot réseau est soumis à trois contraintesB 3 : la limite de capacité sur chaque arête, la création d'un flot non nul entre la source et le puits (i.e. la source crée un flot), et l'égalité du flot en entrée/sortie pour tout sommet autre que la source et les puits (i.e.ils ne consomment ni ne génèrent une partie du flot). Ces contraintes étant linéaires, le problème d'un flot réseau fait partie de laprogrammation linéaire. Il est également possible de rajouter d'autres variables au problème pour prendre en compte davantage de situations : on peut ainsi avoir plusieurs sources et puits, une capacité minimale sur chaque arête, un coût lorsqu'on utilise une arête, ou une amplification du flot passant par une arête.

Introduction de probabilités [modifier]

Schéma d'une transition de phase, ayant l'allure typique rencontrée dans le cas d'un graphe aléatoire.

Jusqu'au milieu du XXe siècle, l'algorithme construisant un graphe n'avait rien d'aléatoire : tant que les paramètres fournis à l'algorithme ne changeaient pas, alors le graphe qu'il construisait était toujours le même. Une certaine dose d'aléatoire fut alors introduite, et les algorithmes devinrent ainsi probabilistes. Le mathématicien d'origine russe Anatol Rapoport eut d'abord cette idée en 1957C 1 mais elle fut proposée indépendamment deux ans après, de façon plus formelle, par les mathématiciens hongrois Paul Erdős et Alfréd RényiC 2. Ceux-ci se demandèrent à quoi ressemble un graphe « typique » avec n sommets et m arêtes. Ils souhaitaient ainsi savoir quelles propriétés pouvaient être trouvées avec n sommets, et m arêtes créées au hasard. Une quantité fixe m n'étant pas pratique pour répondre à cette questionC 3, il fut décidé que chaque arête existerait avec une probabilité p. Ceci fut le début de la théorie des graphes aléatoires, où l'on considère un nombre de sommets n assez grand, et l'on s'intéresse à la probabilité p suffisante pour que le graphe ait une certaine propriété.

Abstraction d'une pierre par une grille de 50 x 50. Seuls les canaux sont représentés.
Exemples de graphes aléatoires
 (1/3)
20 sommets et probabilité 0.1
La distribution du degré donne la quantité de sommets par nombre de connexions (par exemple, il y a 30 sommets ayant 25 voisins, où 30 est en ordonnée et25 en abscisse). Le graphe aléatoire d'Erdős et Rényi engendre une distribution normale.

Erdős et Rényi découvrirent que le graphe n'évoluait pas de façon linéaire mais qu'il y avait au contraire une probabilité critique p après laquelle il changeait de façon radicale. Ce comportement est bien connu en physique : si l'on observe un verre d'eau que l'on met dans un congélateur, il ne se change pas progressivement en glace mais plutôt brutalement lorsque la température passe en dessous de 0°C. L'eau avait deux phases (liquide et glace) et passe de l'une à l'autre par un phénomène nommé transition de phase, la transition étant rapide autour d'un point critique qui est dans ce cas la température de 0°C. Pour nombre de propriétés observées, les graphes aléatoires fonctionnent de la même manièreC 4 : il existe une probabilité critique p_c, en dessous de laquelle ils se trouvent dans une phase sous-critique, et au-dessus de laquelle ils passent en phase sur-critique. Dans le cas d'un graphe aléatoire, la probabilité que l'on observe la propriété nous intéressant est faible en phase sous-critique mais devient très forte (i.e. quasi-certitude) en phase sur-critique; le tracé de la probabilité d'avoir la propriété en fonction de p a donc une allure bien particulière, simplifiée dans le schéma à droite.

Au-delà du vocabulaire commun des phases, la théorie des graphes aléatoires se retrouve enphysique statistique sous la forme de la théorie de la percolationC 5. Cette dernière visait à l'origine à étudier l'écoulement d'un fluide à travers un matériau poreux. Par exemple, si l'on immerge une pierre ponce dans un seau rempli d'eauC 6, on s'intéresse à la façon dont l'eau va s'écouler dans la pierre. Pour modéliser ce problème, on se concentre sur les paramètres importants : l'âge ou la couleur de la pierre n'importe pas, tandis que les ouvertures ou 'canaux' dans lesquels peut circuler l'eau sont primordiaux. L'abstraction la plus simple est de voir une pierre comme une grille, où chaque canal existe avec une probabilité p. On retrouve ainsi le modèle du graphe aléatoire, mais avec une contrainte spatiale : un arc ne peut exister entre deux sommets que s'ils sont voisins dans la grille. Cependant, cette contrainte peut-être levée pour établir une équivalence entre la théorie des graphes et celle de la percolation. Tout d'abord, un graphe de n sommets peut être représenté par une grille avec n dimensions; puisqu'on s'intéresse au cas où n est assez grand, c'est-à-dire n rightarrow infty ,, ceci établit une équivalence avec la percolation en dimension infinie. De plus, il existe une dimension critique d_c , telle que le résultat ne dépend plus de la dimension dès que celle-ci atteint d_c ,; on pense que cette dimension critique est 6, mais elle n'a pu être prouvéeC 7 que pour 19.

De nombreux modèles ont été proposés depuis le début des années 2000 pour retrouver des phénomènes observés dans des graphes tels que celui représentant les connexions entre des acteurs de Hollywood (obtenu par IMDb) ou des parties du Web. En 1999, Albert-Laszlo Barabasi et Réka Albert expliquèrent qu'un de ces phénomènes « est une conséquence de deux mécanismes : le réseau grandit continuellement avec l'ajout de nouveaux sommets, et les nouveaux sommets s'attachent avec certaines préférences à d'autres qui sont déjà bien en place »C 8. Une certaine confusion s'installa autour de leur modèle : s'il permet effectivement d'obtenir le phénomène souhaité, il n'est pas le seul modèle arrivant à ce résultat et on ne peut donc pas conclure en voyant le phénomène qu'il résulte d'un processus d'attachement préférentiel. Les phénomènes de petit monde et de libre d'échelle, pour lesquels de très nombreux modèles ont été proposés, peuvent être réalisés simplement par des graphes aléatoiresC 9 : la technique de Michael Molley et Bruce ReedC 10 permet d'obtenir l'effet de libre d'échelle, tandis que celle de Li, Leonard et Loguinov conduit au petit-mondeC 11.

Représentations et invariants [modifier]

Étiquetage et morphismes [modifier]

Formellement un graphe est étiqueté : chaque sommet ou arête appartient à un ensemble, donc porte une étiquette. Typiquement, les graphes sont étiquetés par des nombres entiers, mais une étiquette peut en fait appartenir à n'importe quel ensemble : ensemble de couleurs, ensemble de mots, ensemble des réels. Les exemples ci-contre montrent des graphes étiquetés par des entiers et par des lettres. L'étiquetage d'un graphe peut-être conçu de façon à donner des informations utiles pour des problèmes comme le routage : partant d'un sommet u, on veut arriver à un sommet v, c'est-à-dire que l'on souhaite acheminer une information de u à v. Selon la façon dont les sommets sont étiquetés, les étiquettes que portent uet v peuvent nous permettre de trouver facilement un chemin. Par exemple, dans le graphe de Kautz où la distance maximale entre deux sommets est D, imaginons que l'on soit à un sommet étiqueté (x1,x2,...,xD) et que l'on souhaite aller à (y1,y2,...,yD) : il suffit de décaler l'étiquette en introduisant la destinationD 1, ce qui donne le chemin (x_1,x_2,...,x_D) to (x_2,...,x_D,y_1) to (x_3,...,x_D,y_1,y_2) to ... to (x_D,...,y_{D-1},y_D) to (y_1,...,y_D). Ce chemin se lit de la façon suivante : si on se trouve au sommet étiqueté (x1,x2,...,xD) alors on va vers le voisin portant l'étiquette (x2,...,xD,y1), et ainsi de suite.

On se retrouve cependant face à un problème : si on regarde plus haut l'illustration de la liste des arbres à 2, 3 et 4 sommets, beaucoup d'entre eux ont exactement la même structuremais un étiquetage différent (donné ici par des couleurs). Pour étudier uniquement la structure, il faut donc un outil permettant d'ignorer l'étiquetage, c'est-à-dire de donner une équivalence structurelle. Pour cela, on introduit la notion de morphisme. Un morphisme de graphesD 2, ou homomorphisme de graphe, est une application entre deux graphes qui respecte la structure des graphes. Autrement dit l'image du graphe G dans H doit respecter les relations d'adjacences présentes dans G. Plus précisément, si G et H sont deux graphes, une application f: G to H est un morphisme de graphe si f = (fV,fE) où f_V:V_G to V_H transforme les sommets de G en ceux de H, et f_E:E_G to E_H les arêtes de G en celles de H en respectant la contrainte suivante : s'il existe une arête e_{uv} in E(G) entre deux sommets de G alors il doit y avoir une arête e_{f_V(u),f_V(v)} in E(H)entre les deux sommets correspondants de H. On dit de l'homomorphisme f qu'il est une injection (respectivement surjection) si ses deux fonctions fV et fE sont injectives (respectivement surjectives); si elles sont à la fois injectives et surjectives, c'est-à-dire bijectives, alors f est un isomorphisme. Si deux graphes sont isomorphes, alors ils ont la même structure : peu importe la façon dont ils sont dessinés ou étiquetés, il est possible de déplacer les sommets ou de changer les étiquettes pour que l'un soit la copie conforme de l'autre, ainsi qu'illustré ci-dessous. On désigne alors par graphe non étiqueté la classe d'équivalence d'un graphe pour la relation d'isomorphisme. Deux graphes isomorphes seront alors considérés comme égaux si on les considère en tant que graphes non étiquetés.

Graphe GGraphe HIsomorphisme
entre G et H
Graph isomorphism a.svg Graph isomorphism b.svg ƒ(a) = 1

ƒ(b) = 6

ƒ(c) = 8

ƒ(d) = 3

ƒ(g) = 5

ƒ(h) = 2

ƒ(i) = 4

ƒ(j) = 7

Le mot graphe peut désigner, selon les contextes, un graphe étiqueté ou non étiqueté. Quand on parle du graphe du web, les étiquettes sont des URL et ont un sens. Le mot est utilisé pour désigner un graphe étiqueté. À l'opposé le graphe de Petersen est toujours considéré à isomorphisme près, donc non étiqueté, seules ses propriétés structurelles étant intéressantes.

Graphes et algèbre linéaire [modifier]

Tout graphe G = (V,E) peut être représenté par une matrice. Les relations entre arêtes et sommets, appelées les relations d'incidence, sont toutes représentées par la matrice d'incidence du graphe. Les relations d'adjacences (si deux sommets sont reliés par une arête ils sont adjacents) sont représentés par sa matrice d'adjacence. Elle est définie par


a_{ij}=left{begin{array}{rl} 	1 & mbox{si } (v_i,v_j)in E \         0 & mbox{sinon.} end{array}right.

GrapheReprésentation par une matrice d'adjacenceReprésentation par une matrice laplacienne (non normalisée)
6n-graf.svg begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\ end{pmatrix} begin{pmatrix}  2 & -1 &  0 &  0 & -1 &  0\ -1 &  3 & -1 &  0 & -1 &  0\  0 & -1 &  2 & -1 &  0 &  0\  0 &  0 & -1 &  3 & -1 & -1\ -1 & -1 &  0 & -1 &  3 &  0\  0 &  0 &  0 & -1 &  0 &  1\ end{pmatrix}

De nombreuses informations d'un graphe peuvent-être représentées par une matrice. Par exemple, la matrice des degrés D est une matrice diagonale où les éléments Dii correspondent au nombre de connexions du sommet i, c'est-à-dire à son degré. En utilisant cette matrice et la précédente, on peut également définir la matrice laplacienne L = D − A; on obtient sa forme normalisée L' par L' = D − 1 / 2LD − 1 / 2 = I − D − 1 / 2AD − 1 / 2, où I dénote la matrice identité, ou on peut aussi l'obtenir directement par chacun de ses éléments :

ell_{i,j}:= begin{cases} 1 & mbox{si} i = j mbox{et} deg(v_i) neq 0\ -frac{1}{sqrt{deg(v_i)deg(v_j)}} & mbox{si} i neq j mbox{et} v_i text{ est adjacent a } v_j \ 0 & text{sinon}. end{cases}

Ces représentations dépendent de la façon dont les sommets du graphe sont étiquetés. Imaginons que l'on garde la même structure que dans l'exemple ci-dessus et que l'on inverse les étiquettes 1 et 6 : on inverse alors les colonnes 1 et 6 de la matrice d'adjacence. Il existe en revanche des quantités qui ne dépendent pas de la façon dont on étiquette les sommets, tels que le degré minimal/maximal/moyen du graphe. Ces quantités sont des invariants du graphe : elles ne changent pas selon la numérotation. Tandis qu'une matrice d'adjacence ou laplacienne varie, son spectre, c'est-à-dire l'ensemble de ses valeurs propres lambda_0 le lambda_1 le cdots le lambda_{n-1}, est un invariant. L'étude du rapport entre les spectres et les propriétés d'un graphe est le sujet de la théorie spectrale des graphesD 3; parmi les rapports intéressants, le spectre donne des renseignements sur le nombre chromatique, le nombre de composantes connexes et les cycles du graphe.

Décompositions arborescentes et en branches [modifier]

Décomposition arborescente à 6 sommets d'un graphe à 8 sommets. Chaque nœud de la décomposition contient au plus trois sommets du graphe original, et la profondeur de cette décomposition est donc 2.

Les graphes permettant de représenter de nombreuses situations, il existe de nombreux algorithmes (i.e. programmes) les utilisant. Lacomplexité d'un algorithme consiste essentiellement à savoir, pour un problème donné, combien de temps est nécessaire pour le résoudre et quel est l'espace machine que cela va utiliser. Certaines représentations de graphes permettent d'obtenir de meilleures performances, c'est-à-dire que le problème est résolu plus rapidement ou en occupant moins d'espace. Dans certains cas, un problème NP-complet (classe la plus ardue) sur une représentation d'un graphe peut être résolu en temps polynomial (classe simple) avec une autre représentation; l'idée n'est pas qu'il suffit de regarder le graphe différemment pour résoudre le problème plus vite, mais que l'on « paye » pour le transformer et que l'on « économise » alors pour résoudre le problème. Une telle transformation est la décomposition arborescente proposée par les mathématiciensRobertson et Seymour dans leur série Graph Minors D 4. Intuitivement, une décomposition arborescente représente le graphe d'origine G par un arbre, où chaque sommet correspond à un sous-ensemble des sommets de G, avec quelques contraintes. Formellement, pour un graphe donné G = (V,E), sa décomposition arborescente est (f,T) où T est un arbre et f une fonction associant à chaque sommet p in T un ensemble de sommets f(p) subset V(G). Trois contraintes doivent être satisfaites :

  • cup_{p in V(T)} f(p) = V(G)La décomposition n'oublie aucun sommet du graphe d'origine.
  • forall e_{uv} in E(G), exists p in V(T) tel que u in f(p), v in f(p).
  • forall p, q, r in V(T) si q est sur le chemin de p à r alors f(p) cap f(r) subseteq f(q)Si l'on prend l'intersection des sommets abstraits par deux nœuds de l'arbre, alors cette intersection doit être contenue dans un sommet intermédiaire. Sur l'exemple ci-contre, l'intersection de {A,B,C} et {C,D,E} est {C} qui est bien contenue dans le sommet intermédiaire {C,B,E}.

La largeur arborescente tw(G) d'une décomposition (f,T) d'un graphe G est max_{p in V(T)}|f(p)| - 1, c'est-à-dire la taille du plus grand ensemble représenté par un sommet moins 1; on peut la voir comme l'abstraction maximale : pour un sommet de l'arbre, jusqu'à combien de sommets du graphe représente-t-on ? Construire la décomposition arborescente d'un graphe quelconque avec la plus petite largeur arborescente est un problème NP-durD 5. Cependant, cela peut-être fait rapidement pour certains graphesD 6, ou approximéeD 7 pour d'autres tels les graphes planaires (i.e. pouvant être dessinés sans croiser deux arêtes).

Exemple d'un arbre, ayant 1 comme racine, {2,4,5,7} comme nœuds internes et{3,6,8,9,10,11,12} comme feuilles.

Robertson et Seymour développèrent également le concept de décomposition en branches. Pour la comprendre, il faut introduire davantage de vocabulaire sur un arbre. Dans les graphes, un arbre est dessiné "à l'envers" : on démarre de la racine en haut, et on descend jusqu'à atteindre les feuilles en bas; tout sommet n'étant pas une feuille est appelé un 'nœud interne'. La décomposition en branches résulte en un arbre dans lequel tout nœud interne a exactement trois voisins (comme sur l'exemple ci-contre), et où chaque feuille représente une arête du graphe d'origine. La profondeur minimale de la décomposition d'un graphe G est notée bw(G), et on a la relation bw(G) le tw(G) + 1 le lfloor frac{3 times bw(G)}{2} rfloor. De même que pour la décomposition arborescente, il est NP-dur de construire une décomposition en branches avec bw(G) minimal pour un graphe quelconque; dans ce cas, cette construction est réalisable pour un graphe planaireD 8.

Ces représentations sont utilisées sur des problèmes NP-complets par des techniques de programmation dynamique, qui prennent généralement un temps exponentiel en bw(G) ou tw(G). Un tel problème est par exemple l'ensemble dominant : on veut savoir s'il y a un sous-ensemble D de sommets de taille au plus k tel qu'un sommet n'étant pas dans D y soit relié par une arête. Si le graphe est planaire, cette technique permet de résoudre le problèmeD 9 en temps O(2^{3 times log_4(3l(H))} times E|H| + n^3).

Aspect algorithmique [modifier]

Structures de données [modifier]

La façon dont le graphe est représenté en tant que objet mathématique a été exposée dans la section précédente. Dans l'aspect algorithmique de la théorie des graphes, on cherche à concevoir un processus efficace pour traiter un problème faisant intervenir un graphe. Les principaux critères d'efficacités d'un processus sont le temps nécessaire avant d'obtenir la réponse, et l'espace que le processus consomme dans son travail. La façon dont on représente le graphe influence la performance en temps et en espace : par exemple, si l'on veut connaître l'existence d'une arête entre deux sommets, la matrice d'adjacence permettra d'obtenir un résultat immédiatement, ce que l'on appelle en θ(1). En revanche, une opération de base telle que trouver le voisin d'un sommet est en O(n) sur une matrice d'adjacence : dans le pire des cas, il faudra scanner la totalité de la colonne pour s'apercevoir qu'il n'y a pas de voisin. Une autre structure de données est la liste d'adjacences, consistant en un tableau dont l'entrée i donne la liste des voisins du sommet i : sur une telle structure, trouver un voisin se fait en θ(1) tandis que l'existence d'une arête est en O(n). Ainsi, au niveau du temps, le choix de la structure dépend des opérations de base que l'on souhaite optimiser.

Un graphe étiqueté et sa représentation par liste d'adjacence ci-contre.

Représentation par liste d'adjacence du graphe ci-contre:
0 adjacent à 0,1,2,3
1 adjacent à 0
2 adjacent à 0,3,4
3 adjacent à 0,2
4 adjacent à 2

De même, l'espace qu'une structure consomme dépend du type de graphe considéré : un raccourci abusif consiste à dire qu'une liste d'adjacences consomme moins d'espace qu'une matrice car celle-ci sera creuse, mais cela prend par exemple plus d'espace pour stocker un graphe aléatoire avec les listes qu'avec une matrice; dans le cas général, une matrice utilise un espace θ(n2) et les listes utilisent theta(m cdot log n) donc si le graphe est dense alors m peut-être suffisamment grand pour qu'une matrice consomme moins d'espace, et si le graphe est peu dense alors les listes consommeront moins d'espace. Des modifications simples d'une structure de données peuvent permettre d'avoir un gain appréciable : par exemple, dans une représentation partiellement complémentée d'une liste, un bit spécial indique si la liste est celle des voisins présents ou manquants; cette technique permet d'avoir des algorithmes linéaires sur le complément d'un graphe E 1.

Tandis que ces structures sont locales, il existe aussi des structures de données distribuées. Le principe de ces structures est de concevoir un schéma d'étiquetage tel que, pour deux sommets x et y, on puisse répondre à une question comme « quelle est la distance entre x et y » uniquement en utilisant les étiquettes de ces nœuds; une telle utilisation des étiquettes a été vue en section 4.1 avec le graphe de Kautz où l'on peut déduire le chemin entre deux sommets uniquement grâce à leur étiquette, et la longueur de ce chemin nous donne la distance. Un étiquetage est efficace s'il permet de répondre à une question donnée uniquement en utilisant deux étiquettes, tout en minimisant le nombre maximum de bits d'une étiquetteE 2. Outre la distance, une question type peut-être de tester l'adjacence, c'est-à-dire de savoir si deux sommets sont voisins; notons que cela se ramène également au cas particulier d'une distance 1. Le premier exemple d'étiquetage efficace pour tester l'adjacence fut proposé dans le cas des arbres, et chaque étiquette est constituée de deux parties de log n bits : la première partie identifie le sommet, et un nombre allant jusqu'à n nécessite log n bits pour être codé, tandis que la seconde partie identifie le parent de ce sommet; pour tester l'adjacence, on utilise le fait que deux sommets sont voisins dans un arbre si et seulement si l'un est le parent de l'autreE 3.

Sous-graphes utiles : séparateurs, spanners et arbres de Steiner [modifier]

L'efficacité d'un schéma d'étiquetage est lié à la taille des séparateurs du graphe.

Définition — un séparateur S est un sous-ensemble de sommet qui « sépare » les sommets du graphe en deux composants A1 et A2 tel que A_1 cup A_2 cup S = V et il n'y a pas d'arêtes entre des sommets de A1 et A2.

Illustration d'un séparateur
 (1/3)
Étant donné un graphe avec un ensemble de sommets V, ...

Si un graphe a des séparateurs de taille r(n), alors on peut par exemple concevoir des étiquettes de O(r(n) cdot log^2n) bits pour la distance; ceci permet directement d'en déduire l'étiquetage pour des graphes dont on connaît la taille des séparateurs, tels un graphe planaire où le séparateur est de taille r(n) = sqrt{n}E 4. Enfin, il ne faut pas considérer que la taille de l'étiquetage mais également le temps nécessaire, étant donnés deux étiquettes, pour effectuer le décodage répondant à la question (i.e. quelle est la distance ? sont-ils voisins ?).

Réduction de données [modifier]

De nombreux problèmes sur les graphes sont NP-complets, c'est-à-dire durs à résoudre. Cependant, cette dureté est inégale : certaines parties du problème peuvent être particulièrement dures, et en constituent ainsi le cœur, tandis que d'autres sont assez faciles à gérer. Ainsi, avant d'exécuter un algorithme sur un problème qui peut-être dur, il est préférable de passer du temps à réduire ce problème pour ne plus avoir à considérer que son cœur.

Notions connexes [modifier]

Notes [modifier]

  1.  Au regard des mathématiques modernes, la formulation d'Euler est une conjecture puisque le résultat est énoncé sans preuve. Cependant, les mathématiques en son temps ne présentaient pas la même rigueur : tandis que conjecturer un résultat signifie maintenant que l'on renonce à le démontrer, pour Euler l'absence d'une preuve peut signifier que celle-ci n'était pas considérée utile.

Références [modifier]

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  2.  (en) Kevin Wayne - Diaporama présentant l'équivalence entre la coupe minimale et le flot maximal [archive]. Support d'étude pour le livre Algorithm Design [archive] de Jon Kleinberg et Éva Tardos, Addison Wesley, 2005.
  3.  (en) John W. Chinneck - Practical optimization: a gentle introduction [archive], chapitre 10, 2001
D - Représentations
  1.  (fr) J-C. Bermond, P. Fraigniaud, A. Germa, M-C. Heydemann, E. Lazard, P. Michallon, A. Raspaud, D. Sotteau, M. Syska et D. Trystram - Communications dans les réseaux de processeurs,Masson, 1994, (ISBN 2225844100). Paru sous le pseudonyme Jean de Rumeur.
  2.  (en) Pavol Hell et Jaroslav Nesetril - Graphs and Homomorphisms, Oxford University Press, 2004,(ISBN 0198528175).
  3.  (en)Fan R. K. Chung - Spectral Graph Theory, Regional Conference Series in Mathematics, numéro 92, publié par l'American Mathematical Society, 1997.
  4.  (en) Neil Robertson et Paul D. Seymour - Graph Minors II Algorithmic Aspects of Tree-Width,Journal of Algorithms, volume 7 numéro 3, 1983.
  5.  (en) S. Arnborg, D.G. Corneil et A. Proskurowski - Complexity of finding embedding in a k-tree.SIAM Journal on Discrete Mathematics, volume 8, pages 277-284, 1987.
  6.  (en) Hans L. Bodlaender - A linear time algorithm for finding tree-decomposition of small treewidth,SIAM journal on Computing, volume 25, pages 1305-1317, 1996.
  7.  (en) Paul D. Seymour et R. Thomas - Call routing and the ratcatcher, Combinatorica, volume 14, numéro 2, pages 217-241, 1994
  8.  (en) Q.P. Gu et H. Tamaki, Optimal branch decomposition of planar graphs in O(n3) time,proceedings of the 32nd International Colloquium on Automata, Languages, and Programming, Springer-Verlag LNCS 3580, pages 373-384, 2005.
  9.  Pour les notations et techniques, voir (en) Qianping Gu - Tree/Branch Decompositions and Their Applications [archive], notes de cours à l'Université Simon Fraser.
E - Aspect algorithmique
  1.  [pdf] (en) Elias Dahlhaus, Jens Gustedt et Ross M. McConnell - Partially complemented representations of digraphs [archive]Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, volume 5, numéro 1, pages 147-168, 2002.
  2.  (en) Stephen Alstrup et Theis Rauhe - Small Induced-Universal Graphs and Compact Implicit Graph Representations, Proceedings of the 43rd annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, pages 53-62, 2002.
  3.  (en) Sampath Kannan, Moni Naor, et Steven Rudich - Implicit Representation of Graphs, SIAM J. on Discrete Math., volume 5, pages 596-603, 1992.
  4.  (en) Cyril Gavoille, David Peleg, Stéphane Pérennes et Ran Razb - Distance labeling in graphs,Journal of Algorithms, volume 53, pages 85-112, 2004.

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Intégrale de chemin

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_chemin

Intégrale de chemin

Une intégrale de chemin (« path integral » en anglais) est une intégrale fonctionnelle, c'est-à-dire que l'intégrant est une fonctionnelle et que la somme est prise sur des fonctions, et non sur des nombres réels (ou complexes) comme pour les intégrales ordinaires. On a donc ici affaire à une intégrale en dimension infinie. Ainsi, on distinguera soigneusement l'intégrale de chemin (intégrale fonctionnelle) d'une intégrale ordinaire calculée sur un chemin de l'espace physique, que les mathématiciens appellent intégrale curviligne 1.

C'est Richard Feynman qui a introduit les intégrales de chemin en physique dans sa thèse, soutenue en mai 1942, portant sur la formulation de la mécanique quantique basée sur lelagrangien 2. En raison de la Seconde Guerre mondiale, ces résultats ne seront publiés qu'en 1948 3. Cet outil mathématique s'est rapidement imposé en physique théorique avec sa généralisation à la théorie quantique des champs, permettant notamment une quantification des théories de jauge non-abéliennes plus simple que la procédure de quantification canonique.

Par ailleurs, le mathématicien Mark Kac a ensuite développé un concept similaire pour la description théorique du mouvement brownien, s'inspirant de résultats obtenus par Norbert Wiener dans les années 1920. On parle dans ce cas de la formule de Feynman-Kac, qui est une intégrale pour la mesure de Wiener.4

Sommaire

 [masquer]

Genèse du concept d'intégrale de chemin [modifier]

Alors qu'il est étudiant de 3e cycle sous la direction de Wheeler à l'université de Princeton, le jeune Feynman cherche une méthode de quantification basée sur le lagrangien pour pouvoir décrire un système ne possédant pas nécessairement d'hamiltonien. Sa motivation première est de quantifier la nouvelle formulation de l'électrodynamique classique basée sur l'action à distance qu'il vient juste de développer avec Wheeler5.

Au printemps de 1941, il rencontre Herbert Jehle, alors visiteur à Princeton, qui lui indique lors d'une soirée à la Nassau Tavern l'existence d'un article de Dirac qui discute précisément la quantification à partir du lagrangien 6. Jehle précise à Feynman que cette formulation permet une approche relativiste covariante bien plus aisée que celle basée sur le hamiltonien. Le lendemain, les deux physiciens se rendent à la bibliothèque pour étudier l'article de Dirac. Ils y lisent notamment la phrase suivante : pour deux instants t, et t + epsilon, voisins, l'amplitude de transition élémentaire :

 < q_2(t + epsilon) | q_1(t) > , est analogue à exp ( i S[q]/hbar ),

Dans cette formule, la grandeur S[q(t)], est l'action classique :

S[q_2(t + epsilon) ,q_1(t)]  =  int_{t}^{t + epsilon} L(q,dot{q})   dt  =  L left( q_1, frac{q_2-q_1}{epsilon} right)  epsilon,

Afin de comprendre ce que Dirac veux dire par analogue, Feynman étudie le cas d'une particule non relativiste de masse m, pour laquelle le lagrangien s'écrit :

 L(q,dot{q})  =  frac{m}{2} dot{q}^2   -    V(q)

On sait que :

< q_2 | psi(t+epsilon) >  =  psi(q_2,t + epsilon) =  int dq_1 ,  < q_2(t + epsilon) | q_1(t) > , < q_1 | psi(t) >

Feynman suppose alors une relation de proportionnalité  :

psi(q_2,t + epsilon)  =  A  int dq_1 , exp , left( , i  , frac{S[q(t)]}{hbar} , right)   psi(q_1,t)

où A, est une constante inconnue. En présence de Jehle, Feynman démontre que cette équation implique que psi(q,t), obéit à l'équation de Schrödinger :

left[ , -  frac{hbar^2}{2m}  frac{partial^2 ~~}{partial q^2}  +  V(q) ,  right]  psi(q,t)  =  i , hbar  frac{partial ~~}{partial t}psi(q,t)

à la condition que la constante inconnue A soit égale à :

A  =  sqrt{frac{m}{2pi hbar i t}}

À l'automne 1946, lors du bicentenaire de l'université de Princeton, Feynman rencontra Dirac et le bref échange suivant eut lieu:

- Feynman : « Saviez-vous que ces deux grandeurs étaient proportionnelles ? »
- Dirac : « Elles le sont ? »
- Feynman : « Oui. »
- Dirac : « Oh ! C'est intéressant. »

Cette réponse laconique mettra un point final à la discussion ... Pour plus de détails historiques, on lira avec profit l'article de Schweber 7.

Rappels sur le propagateur de l'équation de Schrödinger [modifier]

Pour simplifier les notations, on se restreint ci-dessous au cas d'une seule dimension d'espace. Les résultats s'étendent sans difficulté à un nombre quelconque de dimensions.

Définition [modifier]

Considérons une particule de masse m, non relativiste, décrite en mécanique quantique par une fonction d'onde. Supposons que l'on se donne la condition initiale  psi(q_0,t_0), à un instant initial  t_0 , fixé. Alors, la fonction d'onde à un instant ultérieur t_1 > t_0,, solution de l'équation de Schrödinger, est donnée par l'équation intégrale :

 psi(q_1,t_1)  =  int dq_0  K(q_1,t_1|q_0,t_0)   psi(q_0,t_0)

où K(q_1,t_1|q_0,t_0), est le propagateur de la particule :

{K(q_1,t_1|q_0,t_0)  =  <q_1 |e^{-ihat{H} (t_1-t_0) /hbar} |q_0 >}

hat{H} est l'opérateur hamiltonien de la particule.

Équation de Chapman-Kolmogorov [modifier]

Rappelons que, si t_2 > t_1 > t_0,, le propagateur obéit à l'équation de Chapman-Kolmogorov :

 K(q_2,t_2|q_0,t_0)   =  int dq_1  K(q_2,t_2|q_1,t_1)  K(q_1,t_1|q_0,t_0)

Cette relation va nous permettre de trouver l'expression du propagateur en termes d'une intégrale de chemin.

Expression du propagateur en termes d'intégrale de chemin [modifier]

Cherchons l'expression du propagateur K(q_f,t_f|q_i,t_i), entre l'instant initial t_i, et l'instant final t_f,.

Application de l'équation de Chapman-Kolmogorov [modifier]

On découpe l'intervalle de temps Delta t = t_f - t_i, en N, intervalles de temps élémentaires de durée epsilon, en introduisant les N + 1, instants :

t_k  =  t_0  + k  epsilon , qquad k  =  0,  dots ,  N

avec t_0 = t_i, et t_N = t_f,. Il y a donc N - 1, instants intermédiaires t_k, entre l'instant initial t_0, et l'instant final t_N,. Pour que les intervalles de temps aient une durée epsilon = t_{k+1} - t_k, élémentaire, la limite N to + infty, est sous-entendue.

L'application de l'équation de Chapman-Kolmogorov une première fois permet d'écrire :

K(q_N,t_N|q_0,t_0)  =  int dq_{N-1}  K(q_N,t_N|q_{N-1},t_{N-1})  K(q_{N-1},t_{N-1}|q_0,t_0)

puis, en l'appliquant une deuxième fois :

K(q_N,t_N|q_0,t_0)  =  int dq_{N-1} dq_{N-2}  K(q_N,t_N|q_{N-1},t_{N-1})  K(q_{N-1},t_{N-1}|q_{N-2},t_{N-2})  K(q_{N-2},t_{N-2}|q_0,t_0)

et ainsi de suite. On obtient au final après N - 1, applications aux N - 1, temps intermédiaires8 :

K(q_N,t_N|q_0,t_0)  =  int left[ , prod_{k=1}^{N-1} dq_k , right]  K(q_N,t_N|q_{N-1},t_{N-1}) times dots times K(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k}) times  dots times  K(q_{1},t_{1}|q_0,t_0)

On est ainsi amené à considérer le propagateur élémentaire :

K(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k})   =  < q_{k+1} |e^{-ihat{H} epsilon /hbar} | q_k >

Propagateur élémentaire : formule de Feynman-Dirac [modifier]

Pour une particule de masse m, non relativiste à une dimension dans un potentiel, dont l'opérateur Hamiltonien s'écrit :

hat{H}  =  hat{H}_0  +  V(hat{q})

et le propagateur élémentaire s'écrit :

K(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k})   =  < q_{k+1} |e^{-i , [ , hat{H}_0 + V(hat{q}) , ] , epsilon /hbar} | q_k >

On utilise la formule de Trotter-Kato :

e^{t(hat{A} + hat{B})}  =  lim_{n to infty}  left[  e^{hat{A}t/n}   times   e^{hat{B}t/n}  right]^n

Cette formule n'est pas triviale, car les opérateurs hat{A}, et hat{B}, ne commutent en général pas ! On obtient ici :

K(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k})   =  < q_{k+1} | e^{-iepsilon hat{H}_0/ hbar}  times  e^{-iepsilon V(hat{q})/ hbar} | q_k >

On peut sortir l'exponentielle contenant le potentiel qui ne dépend que de la position :

K(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k})   =  < q_{k+1} | e^{-iepsilon hat{H}_0/ hbar} | q_k >  times  e^{-iepsilon V(q_k)/ hbar}

L'élément de matrice restant est le propagateur de la particule libre, donc on peut finalement écrire l'expression :

K(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k})   =  K_0(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k})  times  e^{-iepsilon V(q_k)/ hbar}

Or l'expression du propagateur libre est connue exactement :

K_0(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k})  =  sqrt{frac{m}{2 pi i  hbar epsilon}}  exp left( frac{ + i m(q_{k+1}-q_k)^2}{2 hbar epsilon}  right)

On remarque que l'argument de l'exponentielle peut se réécrire en termes d'une expression discrètisée de la vitesse :

dot{q}_k  =  frac{(q_{k+1}-q_k)}{epsilon}

comme :

K_0(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k})  =  sqrt{frac{m}{2 pi i  hbar epsilon}}  exp left( frac{+ i m dot{q}_k^2 epsilon}{2 hbar} right)

On en déduit que le propagateur élémentaire s'écrit :

K(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k})   =    sqrt{frac{m}{2 pi i  hbar epsilon}}  exp left( frac{+ i m dot{q}_k^2 epsilon}{2 hbar} right) times  exp left( frac{- i epsilon V(q_k)}{hbar} right)

Les arguments des deux exponentielles étant maintenant des nombres complexes, on peut écrire sans difficultés :

K(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k})   =    sqrt{frac{m}{2 pi i  hbar epsilon}}  exp left( frac{+ i m dot{q}_k^2 epsilon}{2 hbar}  -  i epsilon frac{V(q_k)}{hbar} right)

soit encore :

K(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k})   =    sqrt{frac{m}{2 pi i  hbar epsilon}}  exp left[ + frac{i}{hbar}  left( frac{m}{2} dot{q}_k^2   -    V(q_k) right)  epsilon  right]

Le terme entre parenthèse représente le Lagrangien de la particule :

 L(q_k,dot{q}_k)  =  frac{m}{2} dot{q}_k^2   -    V(q_k)

d'où la formule de Feynman-Dirac pour le propagateur élémentaire :

K(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k})   =    sqrt{frac{m}{2 pi i  hbar epsilon}}  exp left[ + frac{i}{hbar}   L(q_k,dot{q}_k)  epsilon  right]

Intégrale de chemin [modifier]

On injecte l'expression de Feynman-Dirac dans la formule générale :

K(q_N,t_N|q_0,t_0)  =  int left[ , prod_{k=1}^{N-1} dq_k , right]  K(q_N,t_N|q_{N-1},t_{N-1}) times dots times K(q_{k+1},t_{k+1}|q_{k},t_{k}) times  dots times  K(q_{1},t_{1}|q_0,t_0)

Il vient :

K(q_N,t_N|q_0,t_0)  =  left( , frac{m}{2 pi i  hbar epsilon} , right)^{N/2}  int left[ , prod_{k=1}^{N-1} dq_k , right]    exp left[ + frac{i}{hbar}   L(q_{N-1},dot{q}_{N-1})  epsilon  right] times dots times exp left[ + frac{i}{hbar}   L(q_k,dot{q}_k)  epsilon  right] times  dots times exp left[ + frac{i}{hbar}   L(q_0,dot{q}_0)  epsilon  right]

L'argument des exponentielles étant des nombres complexes, on peut écrire :

K(q_N,t_N|q_0,t_0)  =  left( , frac{m}{2 pi i  hbar epsilon} , right)^{N/2}  int left[ , prod_{k=1}^{N-1} dq_k , right]    exp left[ + frac{i}{hbar}  left[ ,  L(q_{N-1},dot{q}_{N-1}) +  dots  +  L(q_k,dot{q}_k) + dots + L(q_0,dot{q}_0) , right]  epsilon  right]

On reconnait dans l'argument de l'exponentielle une discrétisation de l'action classique :

lim_{Ntoinfty} sum_{k=1}^{N-1} L(q_k,dot{q}_k) epsilon  =  int_{t_0}^{t_N} L(q(t),dot{q}(t)) dt  =  S left[ , q(t) , right]

On en déduit avec Feynman l'expression du propagateur comme intégrale fonctionnelle sur tous les chemins continus :

K(q_N,t_N|q_0,t_0)  =   int mathcal{D}q(t)  textrm{e}^{ + frac{i , S left[ , q(t) , right]}{hbar}}

avec la mesure formelle9 :

mathcal{D}q(t)  =  lim_{Ntoinfty} left( , frac{m}{2 pi i  hbar epsilon} , right)^{N/2}  left[ , prod_{k=1}^{N-1} dq_k , right]

Interprétation [modifier]

La formule de Feynman  :

K(q_f,t_f|q_i,t_i)  =   int mathcal{D}q(t)  textrm{e}^{ + frac{i , S left[ , q(t) , right]}{hbar}}

admet l'interprétation suivante : pour calculer l'amplitude de transition du point initial q_i, à l'instant t_i, vers le point final q_f, à l'instant tf, il faut considèrer tous les chemins continus10 q(t),vérifiants les conditions aux limites : q(t_i) = q_i, et q(t_f) = q_f,. Chaque chemin se voit attribuer un « poids » complexe de module unité : exp ( i S[q(t)]/hbar ),, où S[q(t)], est l'action classique calculée sur ce chemin. On « somme » alors cette infinité non dénombrable de poids complexes, et on obtient in fine l'amplitude de transition désirée.

Cette interprétation est l'œuvre de Feynman seul, Dirac n'ayant pas franchi le pas. Elle est implicite dans sa thèse de 1942, et explicite dans la publication de 1948.

Limite semi-classique [modifier]

Dans la limite où l'action du système est beaucoup plus grande que hbar, on peut utiliser un développement du type semi classique, où y est une petite perturbation de la trajectoire classique xcx = xc + y

Considérons un Lagrangien standard:

mathcal{L}[x,dot{x}]= frac{mdot{x}^{2}}{2}- V(x)

On écrit alors l'action sous la forme suivante, en se limitant au deuxième ordre:

 S[x] approx S[x_{c}]+ int_{t_{i}}^{t_{f}}dt underbrace{frac{delta S}{delta x(t)}|_{x_{c}}}_{=0} y(t) +  frac{1}{2} int_{t_{i}}^{t_{f}}dt_{1} dt_{2} frac{delta^{2} S}{delta x(t_{1})delta x(t_{2}) }|_{x_{c}}y(t_{1})y(t_{2})Longrightarrow

S[x]approx S[x_{c}]+ frac{1}{2} int_{t_{i}}^{t_{f}}dt (m dot{y}^{2} - V''(x_{c}) y^{2})

on peut donc approximer le propagateur:

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i}) approx e^{i S[x_{c}]/ hbar} int mathcal{D}[y] e^{i int_{t_{i}}^{t_{f}}dt (m dot{y}^{2} - V''(x_{c}) y^{2})/2hbar}

une intégration par partie de l'exposant ramène à une forme Gaussienne:

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})approx e^{i S[x_{c}]/ hbar} int mathcal{D}[y] e^{i int_{t_{i}}^{t_{f}}dt (y[-m frac{d^{2}}{dt^{2}} - V''(x_{c}] y)/2hbar}

Définissons l'opérateur   hat{O}= -m frac{d^{2}}{dt^{2}} - V''(x_{c})

les règles de calcul des intégrales Gaussiennes fournissent:

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i}) approx cste cdot sqrt{frac{1}{Det (hat{O})}}cdot e^{i S[x_{c}]/ hbar}

Considérons maintenant la fonction Ψ(t) définie comme suit:

 hat{O} Psi= (-m frac{d^{2}}{dt^{2}} - V''(x_{c})) Psi=0

avec les conditions de bords:

Ψ(ti) = 0

Ψ'(ti) = 1

On peut alors montrer que:

Det(hat{O}) = cste cdot Psi(t_{f})

ce qui nous donne pour l'approximation du propagateur:

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i}) approx sqrt{frac{A}{Psi(t_{f})}}cdot e^{i S[x_{c}]/ hbar}

on détermine la constante A à partir du propagateur de la particule libre:

K_{fp}(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=sqrt{frac{m}{2pi i hbar (t_{f}-t_{i})}} e^{i S[x_{c}]/ hbar}

dans le cas de la particule libre, la fonction Ψ qui satisfait les conditions exposées plus haut est Ψ(t) = t − ti, ce qui nous donne immédiatement une expression pour A. On obtient finalement l'approximation dite semi-classique du propagateur:

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i}) approx sqrt{frac{m}{2 pi i hbar Psi(t_{f})}}cdot e^{i S[x_{c}]/ hbar}

cette approximation est puissante, et peut même donner parfois un résultat exact, comme par exemple dans le cas où le potentiel est celui d'un oscillateur harmonique de fréquence ω. Dans ce cas, la fonction Ψ doit satisfaire, en plus des conditions de bord:

(-m frac{d^{2}}{dt^{2}} - m omega^{2} ) Psi=0 Longrightarrow Psi(t)=frac{sin omega (t-t_{i})}{omega}

et on obtient l'expression exacte du propagateur de l'oscillateur harmonique, par l'approximation semi-classique:

K_{ho}(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i}) = sqrt{frac{m omega}{2 pi i hbar sin omega(t_{f}-t_{i})}}cdot e^{i S[x_{c}]/ hbar}

avec l'action classique de l'oscillateur harmonique:

 S_{cl}[x]= int_{t_{i}}^{t_{f}} dt mathcal{L}[x,dot{x}] = frac{momega}{2}left[(x_{f}^{2}+x_{i}^{2})cotomega (t_{f}-t_{i})-frac{2x_{i}x_{f}}{sinomega (t_{f}-t_{i})}right]

à noter une autre formulation équivalente de l'approximation semi-classique, dite de Van Vleck-Pauli-Morette, qui découle directement de la précédente:

K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})_{sc} = sqrt{-frac{1}{2 pi i hbar}frac{partial ^{2} S_{cl}}{partial x_{i} partial x_{f}}}cdot e^{i S_{cl}/ hbar}

Bibliographie [modifier]

Textes historiques [modifier]

  • Richard P. Feynman ; The principle of least action in quantum mechanics, thèse de l'université de Princeton. Cette thèse vient d'être publiée par Laurie M. Brown (cf. ci-dessous).
  • Richard P. Feynman ; Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Cet article est reproduit dans : Julian Schwinger (ed) ;Selected papers on quantum electrodynamics, Dover Publications, Inc. (1958) (ISBN 0-486-60444-6).
  • PAM Dirac ; The lagrangian in quantum mechanics, Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3(1) (1932) 64. Cet article est reproduit dans : Julian Schwinger (ed) ; Selected papers on quantum electrodynamics, Dover Publications, Inc. (1958) (ISBN 0-486-60444-6).
  • Laurie M. Brown (Editor) ; Feynman's thesis: a new approach to quantum theory, World Scientific (2005),(ISBN 981-256-380-6). Contient la thèse originale de Feynman, ainsi que les deux articles précédents.

Ouvrages de références [modifier]

  • Jean Zinn-Justin ; Intégrale de chemin en mécanique quantique : Introduction, Collection savoirs actuels, E.D.P. Sciences/C.N.R.S. Editions (2003), (ISBN 2-86883-660-7). Excellente introduction au sujet, ce livre est le fruit de nombreuses années d'enseignement au Magistère Interuniversiataire de Physique de l'E.N.S.
  • Claude Cohen-Tannoudji ; Compléments de mécanique quantique, (1966). Cours donné en 1966 par le prix Nobel 1997 (Collège de France, Paris). Aborde la formulation Lagrangienne de la mécanique quantique, et l'utilisation des fonctions de Green. Notes de cours rédigées en 1966 par Serge Haroche (Collège de France, Paris).
  • Richard P. Feynman and André R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, New York: McGraw-Hill (1965), (ISBN 0-07-020650-3).
  • Larry S. Schulman ; Techniques & Applications of Path Integration, Jonh Wiley & Sons (New York-1981), ISBN . Réédité par Dover Publications, Inc. (2005), (ISBN 0-486-44528-3). Une autre référence, un peu plus moderne que la précédente.
  • Christian Grosche & Frank Steiner; Handbook of Feynman Path Integrals, Springer Tracts in Modern Physics 145, Springer-Verlag (1998), (ISBN 3-540-57135-3).
  • Philippe A. Martin ; L'intégrale fonctionnelle ; Presses Polytechniques Universitaires Romandes (1996), (ISBN 2-88074-331-1).
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  • Martin Veltman ; Diagrammatica, CambridgeLNP
  • Lewis H. Ryder ; Quantum Field Theory (Cambridge University Press, 1985), (ISBN 0-521-33859-X).
  • R.J. Rivers ; Path Integrals Methods in Quantum Field Theory, Cambridge University Press (1987), (ISBN 0-521-25979-7).
  • Hagen KleinertPath Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2004), (ISBN 981-238-107-4). (Disponible aussi en ligne au format pdf).
  • Christian Grosche  ; An introduction into the Feynman path integral, cours donné au Quantenfeldtheorie und deren Anwendung in der Elementarteilchen- und Festkörperphysik, Universität Leipzig, 16-26 November 1992. Texte complet disponible sur l'ArXiv : hep-th/9302097.
  • Sanjeev Seahra ; Path Integrals in Quantum Field Theory, notes du cours Quantum Field Theory donné en 2000 par Eric Poisson à l'University of Waterloo (Canada). Texte complet disponible au format pdf.
  • Richard MacKenzie ; Path integral methods and applications, cours donné aux Rencontres du Vietnam: VIth Vietnam School of Physics, Vung Tau, Vietnam, 27 December 1999 - 8 January 2000. Texte complet disponible sur l'ArXiv : quant-ph/0004090.
  • Gert Roepstorff ; Path Integral Approach to Quantum Physics, Springer-Verlag (1994), (ISBN 3-540-55213-8).

Approche mathématiquement rigoureuse [modifier]

  • S. Albeverio & R. Hoegh-Krohn. ; Mathematical Theory of Feynman Path Integral, Lecture Notes in Mathematics 523, Springer-Verlag (1976), ISBN .
  • James Glimm et Arthur Jaffe Quantum Physics: a Functional Integral Point of View, New York: Springer-Verlag (1981), (ISBN 0-387-90562-6).
  • Gerald W. Johnson and Michel L. Lapidus ; The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press (2002), (ISBN 0-19-851572-3).
  • Etingof, Pavel ; Geometry and Quantum Field Theory, M.I.T. OpenCourseWare (2002). Ce cours en ligne, conçu pour les mathématiciens, est une introduction rigoureuse à la théorie quantique des champs via les intégrales fonctionnelles.
  • Cécile DeWitt-Morette ; Feynman's path integral - Definition without limiting procedure, Communication in Mathematical Physics 28(1) (1972) pp. 47–67. Texte complet disponible sur : Euclide Project.
  • Pierre Cartier & Cécile DeWitt-Morette ; A new perspective on functional integration, Journal of Mathematical Physics 36 (1995) pp. 2137-2340. Texte complet disponible sur l'ArXiv :funct-an/9602005.
  • Pierre Cartier ; L'intégrale de chemin de Feynman : d'une vue intuitive à un cadre rigoureux, dans : Leçons de mathématiques d'aujourd'hui, Collection Le sel et le fer, Cassini (2000) pp.27-59 (ISBN 2-84225-007-9).
  • Alain Connes & Dirk Kreimer : Communication in Mathematical Physics 210 (2000)1. 249-273
  • Alain Connes & Marcolli : Communication in Mathematical Physics 216 (2001),1, 215-241
  • Alain Connes ; page personnelle, articles 137, 148, 155, 157, 158, 162, 165, 167.

Notes et références [modifier]

  1.  Les physiciens qualifient l'intégrale curviligne d'un champ de vecteur de circulation (par exemple, le travail d'une force.)
  2.  Richard P. Feynman ; The principle of least action in quantum mechanics, thèse de l'université de Princeton. Cette thèse vient d'être publiée dans Laurie M. Brown (Editor) ; Feynman's thesis: a new approach to quantum theory, World Scientific (2005),(ISBN 981-256-380-6).
  3.  Richard P. Feynman ; Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Cet article est reproduit dans : Julian Schwinger (ed) ; Selected papers on quantum electrodynamics, Dover Publications, Inc. (1958) (ISBN 0-486-60444-6), ainsi que dans : Laurie M. Brown (Editor) ; Feynman's thesis: a new approach to quantum theory, World Scientific (2005),(ISBN 981-256-380-6).
  4.  Il existe clairement un lien formel entre les deux types d'intégrales de chemins - Feynman et Wiener -, car alors que l'équation de Schrödinger d'une particule massive non relativiste libre s'écrit :  - frac{hbar^2}{2m}  Delta psi(vec{r},t)  =  i hbar  frac{partial psi(vec{r},t)}{partial t}  où ψ est la fonction d'onde quantique, l'équation de la diffusion dans l'espace pour la densité de probabilité P s'écrit :  D  Delta P(vec{r},tau)  =  frac{partial P(vec{r},tau)}{partial tau} On voit clairement qu'il suffit de poser : D = - hbar/2m  pour le coefficient de diffusion, et : t = iτ pour le temps pour transformer l'équation de Schrödinger en équation de la diffusion. Or, il se trouve que l'intégrale de chemin de Wiener - pour l'équation de la diffusion - est plus facile à définir mathématiquement rigoureusement que celle de Feynman - pour l'équation de Schrödinger. Certains auteurs ont donc proposé de définir l'intégrale de Feynman à partir de la mesure de Wiener en faisant un prolongement analytique pour les temps imaginaires.
  5.  Cette théorie ne sera publiée qu'en 1945 : John Archibald Wheeler & Richard P. Feynman ; Review of Modern Physics 17 (1945) 157.
  6.  PAM Dirac ; The lagrangian in quantum mechanics, Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3(1) (1932) 64. Cet article est reproduit dans : Julian Schwinger (ed) ; Selected papers on quantum electrodynamics, Dover Publications, Inc. (1958) (ISBN 0-486-60444-6), ainsi que dans : Laurie M. Brown (Editor) ; Feynman's thesis: a new approach to quantum theory, World Scientific (2005),(ISBN 981-256-380-6).
  7.  Silvian S. Schweber ; Feynman's visualization of space-time processes, Review of Modern Physics 58(2) (1986) 449-508.
  8.  Cette équation avait été écrite par Dirac dans son article de 1933.
  9.  Un gros problème dans cette définition est que cette "mesure formelle" n'est pas une vraie mesure au sens rigoureux du mathématicien. Pour une définition rigoureuse de l'intégrale de Feynman, consulter les traités - souvent très techniques - de la bibliographie.
  10.  L'analogie avec le mouvement Brownien montre que les chemins qui contribuent de façon significative à l'intégrale de Feynman sont continus, mais non différentiables. Plus précisément, ce sont des chemins Lipchitziens d'exposants 1/2.

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Mouvement brownien

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Mouvement_brownien

Mouvement brownien

Mouvement brownien d'une particule.

Le mouvement brownien, ou processus de Wiener est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une « grosse » particule immergée dans un fluide et qui n'est soumise à aucune autre interaction que des chocs avec les « petites » molécules du fluide environnant. Il en résulte un mouvement très irrégulier de la grosse particule, qui a été décrit pour la première fois en 1827 par le botaniste Robert Brown en observant des mouvements de particules à l'intérieur de grains de pollen de Clarkia pulchella (une espèce de fleur sauvage nord-américaine), puis de diverses autres plantes1.

La description physique la plus élémentaire du phénomène est la suivante :

  • entre deux chocs, la grosse particule se déplace en ligne droite avec une vitesse constante ;
  • la grosse particule est accélérée lorsqu'elle rencontre une molécule de fluide ou une paroi.

Ce mouvement permet de décrire avec succès le comportement thermodynamique des gaz (théorie cinétique des gaz), ainsi que le phénomène de diffusion. Il est aussi très utilisé dans des modèles de mathématiques financières.

Sommaire

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Aspects historiques [modifier]

Brown aperçut dans le fluide situé à l’intérieur des grains de pollen (le mouvement brownien n'a pas été observé sur les grains de pollen eux-mêmes comme souvent mentionné), de très petites particules agitées de mouvements apparemment chaotiques. Ceux-ci ne pouvaient s’expliquer par des écoulements, ni par aucun autre phénomène physique connu. Dans un premier temps, Brown les attribua donc à une activité vitale. L'explication correcte du phénomène viendra plus tard.

Brown n'est pas exactement le premier à avoir fait cette observation. Il signale lui-même que plusieurs auteurs avaient suggéré l’existence d’un tel mouvement (en lien avec les théoriesvitalistes de l'époque). Parmi ceux-ci, certains l’avaient effectivement décrit. On peut mentionner en particulier l’abbé John Turberville Needham (1713-1781), célèbre à son époque pour sa grande maîtrise du microscope.

La réalité des observations de Brown a été discutée tout au long du XXe siècle. Compte tenu de la médiocre qualité de l'optique dont il disposait, certains ont contesté qu'il ait pu voir véritablement le mouvement brownien, qui intéresse des particules de quelques micromètres au plus. Les expériences ont été refaites par l’Anglais Brian Ford au début des années 1990, avec le matériel employé par Brown et dans les conditions les plus semblables possibles 2. Le mouvement a bien été observé dans ces conditions, ce qui valide les observations de Brown.

Rudiments mathématiques [modifier]

Notion de processus stochastique [modifier]

La difficulté de modélisation du mouvement brownien réside dans le fait que ce mouvement est aléatoire et que statistiquement, le déplacement est nul : il n'y a pas de mouvement d'ensemble, contrairement à un vent ou un courant. Plus précisément :

  • à un instant donné, la somme vectorielle des vitesses de toutes les particules s'annule (il n'y a pas de mouvement d'ensemble) ;
  • si l'on suit une particule donnée au cours du temps, le barycentre de sa trajectoire est son point de départ, elle « virevolte » autour du même point.

Il est difficile dans ces conditions de caractériser le mouvement. La solution fut trouvée par Louis Bachelier, et présentée dans sa thèse soutenue le 29 mars 1900. Il démontra que ce qui caractérise le mouvement, ce n'est pas la moyenne arithmétique des positions <X> mais la moyenne quadratique sqrt{langle , X^2 , rangle  } : si x(t) est la distance de la particule à sa position de départ à l'instant t, alors :

langle , X^2(t)  rangle  =  frac{1}{t} int_{ 0}^{t} x^2(tau)  d tau

On démontre que le déplacement quadratique moyen est proportionnel au temps3 :

 langle , X^2(t)  rangle  =  2 , d , D , t

où d est la dimension du mouvement (linéaire, plan, spatial), D le coefficient de diffusion, et t le temps écoulé.

Définition mathématique [modifier]

On peut définir de façon formelle un mouvement brownien: c'est un processus stochastique (B_t)_{(t ge 0)} dont les accroissements disjoints sont indépendants et tels que Bt + s − Bt suit une loi normale de moyenne nulle et de variance s.

Cette définition permet de démontrer des propriétés du mouvement brownien, comme par exemple sa continuité (presque sure), le fait que presque surement, la trajectoire n'est différentiable nulle part, et de nombreuses autres propriétés.

On pourrait également définir le mouvement brownien par rapport à sa variation quadratique moyenne. Cette définition, classiquement appelée théorème de Levy, donne la caractérisation suivante: un processus stochastique à trajectoires continues dont la variation quadratique est t est un mouvement brownien. Ceci se traduit mathématiquement par le fait que pour une filtration donnée, (B_t)_{(t ge 0)} et (B_t^2-t)_{(t ge 0)} sont des martingales.

Formule d'Einstein [modifier]

La formule précédente permet de calculer le coefficient de diffusion d'un couple particule-fluide. En connaissant les caractéristiques de la particule diffusante ou du fluide, on peut en déduire les caractéristiques de l'autre. En connaissant les caractéristiques des deux, on peut évaluer le nombre d'Avogadro à l'aide de la formule d'Einstein (1905) :

D = frac{mathcal{R}}{6 pi mathcal{N}_A} cdot frac{T}{eta r},

où T, est la températureeta, la viscosité du fluide, r, le rayon de la particule, mathcal{R}, la constante des gaz parfaits et mathcal{N}_A, le nombre d'Avogadro : le physicien Jean Perrin évalua ce dernier nombre en 1908 grâce à cette formule.

Considérations énergétiques [modifier]

La quantité d'énergie mise en œuvre par le mouvement brownien est négligeable à l'échelle macroscopique. On ne peut pas en tirer de l'énergie pour réaliser un mouvement perpétuel de seconde espèce, et violer ainsi le deuxième principe de la thermodynamique.

Toutefois, il a été démontré que certains processus biologiques à l'échelle cellulaire peuvent orienter le mouvement brownien afin d'en soutirer de l'énergie 4.Cette transformation ne contrevient pas au deuxième principe de la thermodynamique tant et aussi longtemps qu'un échange de rayonnement peut maintenir la température du milieu donc la vitesse moyenne des particules. Il faut aussi considérer que la dissipation de ce mouvement brownien sous forme d'énergie utilisable engendre une croissance de l'entropie globale du système (ou de l'univers).

Quelques modélisations dans un espace euclidien [modifier]

Équation de Langevin (1908) [modifier]

Article détaillé : Équation de Langevin.

Dans l'approche de Langevin5, la grosse particule brownienne de masse m animée à l'instant t d'une vitesse v(t) est soumise à deux forces :

  • une force de frottement fluide du type f , = , - , k , v, où k est une constante positive ;
  • un bruit blanc gaussien η(t)

Bruit blanc gaussien :

Un bruit blanc gaussien η(t) est un processus stochastique de moyenne nulle  :

langle , eta(t) , rangle  =  0

et totalement décorrélé dans le temps ; sa fonction de corrélation à deux points vaut en effet :

langle , eta(t_1)  eta(t_2) , rangle  =  Gamma  delta(t_1-t_2)

Dans cette formule, Γ est une constante positive, et δ(t) est la distribution de Dirac.

Dans ces deux formules, la moyenne est prise sur toutes les réalisations possibles du bruit blanc gaussien. On peut formaliser ceci en introduisant une intégrale fonctionnelle, encore appelée intégrale de chemin d'après Feynman, définie pour la mesure gaussienne dite « mesure de Wiener »6. Ainsi, on écrit :

langle , eta(t_1)  eta(t_2) , rangle  =  int left[ , mathcal{D}eta(t) , right]  eta(t_1)  eta(t_2)  textrm{e}^{ - frac{1}{2 Gamma} int_{t_1}^{t_2}dot{eta}^2(tau) d tau}

où dot{eta} est la dérivée de η par rapport au temps t.

Le principe fondamental de la dynamique de Newton conduit à l'équation stochastique de Langevin :

 m , frac{dv(t)}{dt}  =  - , k , v(t)  +  eta(t)

Processus d’Ornstein-Uhlenbeck [modifier]

Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck est un processus stochastique décrivant (entre autres) la vitesse d'une particule dans un fluide, en dimension 1.

On le définit comme étant la solution Xt de l'équation différentielle stochastique suivante : dX_t=sqrt2dB_t-X_tdt, où Bt est un mouvement brownien standard, et avec X0 une variable aléatoire donnée. Le terme dBt traduit les nombreux chocs aléatoires subis par la particule, alors que le terme − Xtdt représente la force de frottement subie par la particule.

La formule d'Itô appliquée au processus etXt nous donne : d({e^t}X_t)={e^t}{X_t}dt+{e^t}(sqrt{2}{dB_t}-{X_t}dt)={e^t}sqrt{2}{dB_t}, soit, sous forme intégrale : X_t={X_0}e^{-t}+sqrt{2}e^{-t}int_0^t{e^s}dB_s

Par exemple, si X0 vaut presque sûrement x, la loi de Xt est une loi gaussienne de moyenne xe − t et de variance 1 − e − 2t, ce qui converge en loi quand t tend vers l'infini vers la loi gaussienne centrée réduite.

Marches aléatoires [modifier]

Article détaillé : Marche aléatoire.

On peut aussi utiliser un modèle de marche aléatoire (ou au hasard), où le mouvement se fait par sauts discrets entre positions définies (on a alors des mouvements en ligne droite entre deux positions), comme par exemple dans le cas de la diffusion dans les solides. Si les xi sont les positions successives d'une particule, alors on a après n sauts :

langle , X^2_n  rangle  =  frac{1}{n}  sum_{i = 1}^n  x_i^2

Marche aléatoire à une dimension d'espace (Exemple) [modifier]

Considérons la marche aléatoire d'une particule sur l'axe Ox. On suppose que cette particule effectue des sauts de longueur a entre deux positions contigües situées sur le réseau :  {, n , a  , n in mathbb{Z} , } de maille a sur l'axe, chaque saut ayant une durée τ.

Il faut encore se donner un nombre p tel que : 0 < p < 1. L'interprétation physique de ce paramètre est la suivante :

  • p représente la probabilité que la particule fasse un saut vers la droite à chaque instant ;
  • q = 1 - p représente la probabilité que la particule fasse un saut vers la gauche à chaque instant.

Le cas du mouvement brownien correspond à faire l'hypothèse d'isotropie spatiale. Toutes les directions de l'espace physique étant a priori équivalentes, on pose l'équiprobabilité :

p  =  q  =  frac{1}{2}

La figure ci-dessous montre un exemple typique de résultat : on trace les positions successives x(k) de la particule aux instants k, partant de la condition initiale x(0)=0.

Marche au hasard.jpg

Probabilités de transition conditionnelle [modifier]

On définit la probabilité de transition conditionnelle :

P(n|m,s)  =  P(na|ma, stau)

comme étant la probabilité de trouver la particule au site ma à l'instant sτ sachant qu'elle était au site na à l'instant initial 0.

L'hypothèse d'isotropie conduit à écrire la loi d'évolution de cette probabilité de transition conditionnelle :

 

P(n|m,s+1)  =  frac{1}{2}  left[  P(n|m+1,s)  +  P(n|m-1,s)   right]

On en déduit la relation suivante :

P(n|m,s+1) , - , P(n|m,s)  =  frac{1}{2}  left[  P(n|m+1,s) , + , P(n|m-1,s) , - , 2  P(n|m,s)  right]

Convergence vers le mouvement brownien. Équation de Fokker-Planck [modifier]

Prenons la limite continue de l'équation précédente lorsque les paramètres :

  • tau  to  0
  • a  to  0

On verra à la fin du calcul que la combinaison a2 / 2τ doit en fait rester constante dans cette limite continue.

Il vient, en réintroduisant le paramètre adéquat pour faire un développement limité :

P(n|m,(s+1)tau)  -  P(n|m,stau)  =  tau  frac{partial P(n|m,stau)}{partial t}   +  O(tau^2)

D'autre part, on peut écrire :

P(n|(mpm 1)a,s)  =  P(n|ma,s) , pm , a  frac{partial P(n|ma,s)}{partial x} , + , frac{a^2}{2}  frac{partial^2 P(n|ma,s)}{partial x^2} , + , O(a^3)

de telle sorte que le crochet se réduise à :

P(n|m+1,s) , + , P(n|m-1,s) , - , 2  P(n|m,s)  =  a^2  frac{partial^2 P(n|ma,s)}{partial x^2} , + , O(a^3)

On en déduit l'équation de Fokker-Planck :

tau  frac{partial P(x_0|x,t)}{partial t}  =  frac{a^2}{2}  frac{partial^2 P(x_0|x,t)}{partial x^2}

qu'on peut réécrire :

 

frac{partial P(x_0|x,t)}{partial t}  =  D  frac{partial^2 P(x_0|x,t)}{partial x^2}

en introduisant le coefficient de diffusion :

D  =  frac{a^2}{2tau}

Solution de l'équation de Fokker-Planck [modifier]

En plus de l'équation de Fokker-Planck, la densité de probabilité de transition conditionnelle P(x0 | x,t) doit vérifier les deux conditions supplémentaires suivantes :

  • la normalisation des probabilités totales :
forall  t  >  0  , quad int_{-infty}^{+infty} dx  P(x_0|x,t)  =  1
  • la condition initiale :
lim_{t to 0}  P(x_0|x,t)  =  delta(x - x_0)

où δ(x) est la distribution de Dirac.

La densité de probabilité de transition conditionnelle P(x0 | x,t) est donc essentiellement une fonction de Green de l'équation de Fokker-Planck. On peut démontrer qu'elle s'écrit explicitement :

P(x_0|x,t) =  frac{1}{sqrt{4 pi D t}}  exp , left[  -  frac{(x-x_0)^2}{4 D t}  right]

Moments de la distribution :

Posons x0 = 0 pour simplifier. La densité de probabilité de transition conditionnelle P0(x,t) = P(0 | x,t) permet le calcul des divers moments :

langle ,  x^n(t)   rangle  =  int_{-infty}^{+infty} dx  x^n  P_0(x,t)

La fonction P0 étant paire, tous les moments d'ordre impair sont nuls. On peut facilement calculer tous les moments d'ordre pair en posant :

alpha  =  frac{1}{4 D t}

et en écrivant que :

langle ,  x^n(t)   rangle  =  sqrt{frac{alpha}{pi}}  int_{-infty}^{+infty} dx  x^{2n}  mathrm{e}^{- alpha x^2}   =  (-1)^n  sqrt{frac{alpha}{pi}}  frac{d^n~}{d alpha^n}  left[ , int_{-infty}^{+infty} dx  mathrm{e}^{- alpha x^2} , right]

On obtient explicitement :

langle ,  x^n(t)   rangle  =  (-1)^n  sqrt{frac{alpha}{pi}}  frac{d^n~}{d alpha^n}  left[ , sqrt{frac{pi}{alpha}} , right]  =  (-1)^n  sqrt{alpha}  frac{d^n~}{d alpha^n}  left[ , frac{1}{sqrt{alpha}} , right]

On retrouve notamment pour le moment d'ordre deux :

langle ,  x^2(t)   rangle  =  - , sqrt{alpha} , frac{d~}{d alpha} , left[ , frac{1}{sqrt{alpha}} , right]  =  (- , sqrt{alpha}) , times , left( - , frac{1}{2alpha^{3/2}} right)  =  frac{1}{2 alpha}  =  2 D t

 

Mouvement brownien sur une variété riemannienne [modifier]

On appelle mouvement brownien sur une variété riemannienne V le processus stochastique continu markovien dont le semigroupe de transition à un paramètre est engendré par 1/2 , Delta_V, où ΔV est l'opérateur de Laplace-Beltrami sur la variété V.

Annexes [modifier]

Bibliographie [modifier]

Aspects historiques
  • Jean PerrinMouvement brownien et réalité moléculaire, Annales de Chimie et de Physique 19 (8e série), (1909), 5-104. Possibilité de consulter et de télécharger le texte complet au format pdf depuis le site Gallica de la BNF.
  • Jean PerrinLes atomes, (1913) Éditions Félix Alcan, Paris, [détail des éditions]
  • Albert EinsteinInvestigations on the Theory of the Brownian Movement, Dover Publications, Inc. (1985), ISBN 0-486-60304-0. Réédition des articles originaux d'Einstein sur la théorie du mouvement brownien.
Mouvement brownien dans l'espace euclidien
  • Bertrand Duplantier ; Le mouvement brownien, Séminaire Poincaré : Einstein, 1905-2005 (Paris, 8 avril 2005). Texte complet disponible ici.
  • Bernard Derrida et Eric Brunet, Le mouvement brownien et le théorème de fluctuation-dissipation, dans : Michèle Leduc & Michel Le Bellac (éditeurs) ; Einstein aujourd'hui, EDP Sciences (Janvier 2005), ISBN 2-86883-768-9.
  • Jean-François Le Gall, Intégration, Probabilités et Processus Aléatoires, cours du Magistère de mathématiques de l'ENS (2005). Le dernier chapitre (14) est une introduction au mouvement brownien. Format pdf.
  • Jean-François Le Gall, Mouvement brownien et calcul stochastique, cours de DEA donné à l'université Paris 6 (1996 et 1997). Format pdf.
  • Jean-François Le Gall, Mouvement brownien, processus de branchement et superprocessus, cours de DEA donné à l'université Paris 6 (1994). Format pdf.
  • Paul LévyProcessus stochastiques et mouvement brownien, Gauthier-Villars (2e édition - 1965). Réédité par Jacques Gabay (1992), ISBN 2-87647-091-8.
  • Mark Kac, Random Walk and the Theory of Brownian Motion, American Mathematical Monthly 54(7) (1947), 369-391. Texte au format pdf.
  • Mark Kac, Integration in Function Space and some of Its Applications, Lezioni Fermiane, Accademia Nazionale dei Lincei, Scuola Normale Superiore, Pisa, Italy (1980). Texte au format pdf.
  • Edward Nelson, Dynamical Theories of Brownian Motion, Princeton University Press (1967). Texte au format pdf.
  • Patrick Roger, Probabilités, statistique et processus stochastiques, Pearson Education France (2004).
Mouvement brownien sur une variété riemannienne
  • Elton P. Hsu ; Stochastic Analysis on Manifolds, American Mathematical Society (janvier 2002), ISBN 0-8218-0802-8.
  • Elton P. Hsu ; A Brief Introduction to Brownian Motion on a Riemannian Manifold, (2003). Cours donné à Kyoto, disponible au format pdf.
  • Mark A. Pinsky ; Isotropic transport process on a Riemannian manifold, Transaction of the American Mathematical Society 218 (1976), 353-360.
  • Mark A. Pinsky ; Can You Feel the Shape of a Manifold with Brownian Motion ?, Expositiones Mathematicae 2 (1984), 263-271.
  • Nicolas Th. Varopoulos ; Brownian motion and random walks on manifoldsAnnales de l'Institut Fourier 34(2) (1984), 243-269. Texte disponible au format pdf.
  • Alexander Grigor'yan ; Analytic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds, Bulletin of the American Mathematical Society 36(2) (1999), 135-249. Texte en ligne.

Notes et références [modifier]

  1.  Robert Brown ; A brief account of microscopical observations made in the months of June, July and August, 1827, on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies., Philosophical Magazine 4 (1828), 161-173. Fac-similé disponible au format pdf [archive].
  2.  Brian J. Ford ; Brownian movement in Clarkia pollen: a reprise of the first observations, The Microscope, 40 (4): 235-241, 1992 Reproduction en ligne de l'article [archive]
  3.  Pour un mouvement rectiligne régulier, c'est le déplacement x(t) qui serait proportionnel au temps.
  4.  (PESKIN C. S. (1); ODELL G. M.;OSTER G. F.;Biophysical journal (Biophys. j.)ISSN 0006-3495, CODEN BIOJAU; 1993, vol. 65, no1, pp. 316-324 (42 ref.);Cellular motions and thermal fluctuations : the Brownian ratchet) [archive]
  5.  Paul Langevin, « Sur la théorie du mouvement brownien », Comptes-rendus de l'Académie des Sciences 146 (1908), 530-532. Lire en ligne sur Gallica [archive]
  6.  Cf. e.g. : Mark Kac ; Integration in Function Space and some of Its Applications, Lezioni Fermiane, Accademia Nazionale dei Lincei, Scuola Normale Superiore, Pisa, Italy (1980). Texte au formatpdf [archive].

Voir aussi [modifier]

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Mathématiques financières

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Mathématiques financières

Les mathématiques financières sont une branche des mathématiques appliquées ayant pour but la modélisation, la quantification et la compréhension des phénomènes régissant lesmarchés financiers. Elles utilisent principalement des outils issus de l'actualisation, de la théorie des probabilités, du calcul stochastique, des statistiques et du calcul différentiel.

L'actualisation et l'utilisation des probabilités remontent à plusieurs siècles. Toutefois, il est considéré que la théorie moderne des marchés financiers remonte au MEDAF et à l'étude du problème d'évaluation des options dans les années 1950-1970.

Sommaire

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Nature aléatoire des marchés [modifier]

L'observation empirique du cours des actifs financiers montre que ceux-ci ne sont pas déterminés de façon certaine par leur histoire. En effet, les nombreuses opérations d'achat ou de vente ne sont pas prévisibles, font souvent intervenir des éléments n'appartenant pas à l'historique et modifient le cours de l'actif. Celui-ci est donc souvent représenté par un processus chaotiqueBenoit Mandelbrot a établi par des considérations statistiques qu'un modèle aléatoire ordinaire, par exemple gaussien, ne pouvait convenir. L'aléa reste cependant souvent modélisé par un mouvement brownien1, bien que des modèles plus élaborés (par exemple, le modèle de Bates) tiennent compte de la non-continuité des cours (présence de sauts dus à des chocs boursiers), ou de la non-symétrie des mouvements à la baisse et à la hausse.

Hypothèse de non arbitrage [modifier]

L'une des hypothèses fondamentales des modèles usuels est qu'il n'existe aucune stratégie financière permettant, pour un coût initial nul, d'acquérir une richesse certaine dans une date future. Cette hypothèse est appelée absence d'opportunités d'arbitrage. Elle est justifiée théoriquement par l'unicité des prix caractérisant un marché en concurrence pure et parfaite. Pratiquement, il existe des arbitrages qui disparaissent très rapidement du fait de l'existence d'arbitragistes, acteurs sur les marchés dont le rôle est de détecter ce type d'opportunités et d'en profiter. Ceux-ci créent alors une force qui tend à faire évoluer le prix de l'actif vers son prix de non-arbitrage.

Hypothèse de complétude des marchés [modifier]

Une autre hypothèse, beaucoup plus remise en question, est que tout flux à venir peut être répliqué exactement, et quel que soit l'état du monde, par un portefeuille d'autres actifs bien choisis. Les modèles ne comprenant pas les hypothèses de non arbitrage et de complétude des marchés sont dits modèles de marchés imparfaits.

Probabilité risque-neutre [modifier]

Une des conséquences des hypothèses de non arbitrage et de complétude des marchés est l'existence et l'unicité à équivalence près d'une mesure de probabilité dite probabilité martingale ou « probabilité risque-neutre » telle que le processus des prix actualisés des actifs ayant une source de risque commune est une martingale sous cette probabilité. Cette probabilité peut s'interpréter comme celle qui régirait le processus de prix des sous-jacents de ces actifs si l'espérance du taux de rendement de ceux-ci était le taux d'intérêt sans risque (d'où le terme risque-neutre: aucune prime n'est attribuée à la prise de risque).

Un processus stochastique est une martingale par rapport à un ensemble d'information si son espérance en date t conditionnelle à l'information disponible en date s < t est égale à la valeur du processus en date s, c'est-à-dire qu'un processus A(u) est une martingale si l'espérance conditionnelle de A(t) par rapport a la filtration F(s) est A(s) (i.e : mathbb{E}left[A_t|mathcal{F}_sright]=A_s).

Le problème d'évaluation des produits dérivés [modifier]

L'évaluation (on dit aussi pricing ou, à tort, « valorisation » qui signifie « augmenter la valeur ») des produits dérivés se ramène souvent au calcul du prix aujourd'hui d'un actif dont on ne connaît le prix qu'à une date future. Il se ramène donc au calcul d'une espérance conditionelle. Le modèle Black-Scholes est un exemple de solution analytique au problème d'évaluation des options d'achat (call) ou de vente (put) d'un actif sous jacent. Dans le cas d'un call, le problème s'écrit :

C(t) = E^Qleft(left.e^{-int_{t}^T r(s)ds}cdot(S_T - K)_+right| F_{t}right),

où St est le cours de l'actif, K est le prix d'exercice (ou Strike), r(s) est le taux d'intérêt instantané sans risque à la date s, t est la date « d'aujourd'hui », T est la maturité de l'option, c’est-à-dire la date à laquelle la décision d'exercice peut être prise.

La formule de Black et Scholes est un exemple de solution analytique à ce problème, sous des hypothèses restrictives sur la dynamique du sous-jacent. Voir aussi option.

Une obligation convertible peut s'évaluer comme un lot comprenant une option d'achat et une obligation classique.

Taux d'intérêt et dérivés de taux d'intérêt [modifier]

Les modèles simples supposent que le taux d'intérêt, c'est-à-dire le loyer de l'argent est constant. Cette hypothèse est centrale, car sous l'hypothèse d'absence d'opportunités d'arbitrage, un portefeuille non risqué rapporte ce taux d'intérêt. Or cette approximation n'est évidemment plus admissible dès que le cours de l'actif est essentiellement lié au niveau du taux d'intérêt (par exemple, le cours des obligations à taux variable, des swaptions...) ne peuvent être expliqués par un modèle à taux d'intérêt fixe.

On modélisera donc le taux d'intérêt par un processus aléatoire, auquel on demandera:

  • d'être au mieux compatible avec l'ensemble des courbes des taux observables
  • d'avoir des propriétés réalistes, comme de ne pas autoriser des taux négatifs, de rendre compte de l'effet de retour à la moyenne (mean reversion), ...

Les travaux de Vasicek ont permis d'exhiber un processus, dérivé du processus d'Ornstein-Uhlenbeck, cohérent, dont le loyer de l'argent ne dépend que du taux instantané (overnight) mais autorisant des taux négatifs. Des modèles plus élaborés (processus CIR, ...), faisant partie de la famille dite des modèles affines de taux court, ont permis de remédier à cette lacune, mais ne satisfont pas vraiment les spécialistes du fait de la difficulté d'interprétation financière des paramètres de diffusion et de leur incapacité à épouser exactement la courbe des taux zéro-coupon spot. HeathJarrow et Morton ont proposé une famille de modèles cohérents, dont la dynamique ne dépend que d'une fonction facilement interprétable (la volatilité du taux forward), et capables de rendre compte de n'importe quelle courbe de taux donnée. Des modèles dits de marché (BGM ou Libor Forward) connaissent un certain succès dans l'explication du prix des caps et des floors.

Toutefois, à la différence du marché des dérivés d'options où le modèle de Black et Scholes, plus ou moins arrangé pour le débarrasser de ses imperfections (volatilité constante, taux d'intérêt constant, ...) occupe une place prépondérante, aucun modèle de taux ne fait l'unanimité des spécialistes. Les taux d'intérêts sont en effet soumis à des pressions exogènes très importantes, qui rendent caduques très rapidement toutes les calibrations possibles. À l'heure actuelle, les publications et les recherches à ce sujet sont abondantes.

Dérivés de crédit [modifier]

Les dérivés de crédit sont des produits dérivés dont les flux dépendent d'événements de crédits intervenant sur un sous-jacent. Ces produits servent à prévenir la dégradation de la qualité de signature d'une contrepartie, c'est-à-dire son aptitude à assumer ses obligations de paiement ("CDS"'ou Credit default swap, "CLN" ou "Credit linked Notes"). Ils peuvent servir également à améliorer la qualité de signature d'une partie d'un panier d'actifs ("CDOs" ou "Collateralized debt obligations" ).

Dérivés climatiques [modifier]

Article détaillé : Dérivé climatique.

Les dérivés climatiques sont des produits financiers dont les flux dépendent d'un événement totalement indépendant de la structure des marchés financiers, lié à un événement climatique. Par exemple, un produit peut assurer à son détenteur une rente dans le cas où la température relevée en un lieu fixé par contrat dépasse ou reste en dessous d'une température de référence considérée comme normale. Ces produits — récents — ont pour vocation de permettre à des entreprises touristiques ou agricoles de se prémunir contre des aléas climatiques. Ils s'apparentent donc à des produits d'assurance, négociés directement sur les marchés financiers.

Notes et références [modifier]

Voir aussi [modifier]

Articles connexes [modifier]

Liens externes [modifier]

Bibliographie [modifier]

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Nombre superréel

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_superr%C3%A9el

Nombre superréel

En mathématiques, les nombres superréels comprennent une catégorie plus inclusive que les nombres hyperréels.

Supposons que X soit un espace de Tychonoff, aussi appelé un espace T_{3,5},, et C(X) une algèbre des fonctions continues à valeurs réelles sur X. Supposons que P soit un idéal premierdans C(X). Alors, l'anneau quotient A = C(X)/P est par définition un domaine intégral qui est une algèbre réelle et qui peut être vue comme totalement ordonnée. Le corps quotient F de A est un corps superréel si F contient strictement les nombres réels Bbb{R}, c’est-à-dire que F n'est pas isomorphe à l'ordre de Bbb{R}, bien qu'ils peuvent être isomorphes en tant que corps.

Si l'idéal premier P est un idéal maximal, alors F est un corps de nombres hyperréels.

La terminologie est due à Dales et Woodin.

Références [modifier]

  • H. Garth Dales and W. Hugh Woodin : Super-Real Fields, Clarendon Press, 1996.
  • L. Gillman and M. Jerison : Rings of Continuous Functions, Van Nostrand, 1960.

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Paul Erdõs' papers



1929:

  • 1929-01 P. Erdõs: A magasabb rendû számtani sorokról Köz. Mat. Lapok (1929) 187--189; (New) 



    1932:

  • 1932-01 P. Erdõs: Beweis eines Satzes von Tschebyschef (in German), Acta Litt. Sci. Szeged 5 (1932), 194--198; Zentralblatt 4,101. 

  • 1932-02 P. Erdõs: Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása (Generalization of an elementary number-theoretic theorem of Kürschák, in Hungarian), Mat. Fiz. Lapok 39 (1932), 17--24;Zentralblatt 7,103. 



    1934:

  • 1934-01 P. Erdõs: A theorem of Sylvester and Schur, J. London Math. Soc. 9 (1934), 282--288; Zentralblatt 10,103. 

  • 1934-02 P. Erdõs: Bizonyos számtani sorok törzsszámairól (On primes in some arithmetic progressions, in Hungarian), Bölcsészdoktori értekezés , Sárospatak, 1934, 1--20. 

  • 1934-03 P. Erdõs, P. Turán: On a problem in the elementary theory of numbers, Amer. Math. Monthly 41 (1934), 608--611; Zentralblatt 10,294. 

  • 1934-04 P. Erdõs: On the density of the abundant numbers, J. London Math. Soc. 9 (1934), 278--282; Zentralblatt 10,103. 

  • 1934-05 P. Erdõs, G. Szekeres: Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem (in German), Acta Litt. Sci. Szeged 7 (1934), 95--102;Zentralblatt 10,294. 



    1935:

  • 1935-01 P. Erdõs, G. Szekeres: A combinatorial problem in geometry, Compositio Math. 2 (1935), 463--470; Zentralblatt 12,270. 

  • 1935-02 P. Erdõs, P. Turán: Ein zahlentheoretischer Satz (in German), Mitt. Forsch.-Inst. Math. Mech. Univ. Tomsk 1 (1935), 101--103; Zentralblatt 12,12. 

  • 1935-03 P. Erdõs: Note on consecutive abundant numbers, J. London Math. Soc. 10 (1935), 128--131; Zentralblatt 12,11. 

  • 1935-04 P. Erdõs: Note on sequences of integers no one of which is divisible by any other, J. London Math. Soc. 10 (1935), 126--128; Zentralblatt 12,52. 

  • 1935-05 P. Erdõs: On primitive abundant numbers, J. London Math. Soc. 10 (1935), 49--58; Zentralblatt 10,391. 

  • 1935-06 P. Erdõs: On the density of some sequences of numbers, J. London Math. Soc. 10 (1935), 120--125; Zentralblatt 12,10. 

  • 1935-07 P. Erdõs: On the difference of consecutive primes, Quart. J. Math., Oxford Ser. 6 (1935), 124--128; Zentralblatt 12,11. 

  • 1935-08 P. Erdõs: On the normal number of prime factors of $p-1$ and some related problems concerning Euler's $varphi$-function, Quart. J. Math., Oxford Ser. 6 (1935), 205--213; Zentralblatt12,149. 

  • 1935-09 P. Erdõs: The representation of an integer as the sum of the square of a prime and of a square-free integer, J. London Math. Soc. 10 (1935), 243--245; Zentralblatt 13,104. 

  • 1935-10 P. Erdõs: Über die Primzahlen gewisser arithmetischer Reihen (in German), Math. Z. 39 (1935), 473--491; Zentralblatt 10,293. 

  • 1935-11 P. Erdõs, P. Turán: Über die Vereinfachung eines Landauschen Satzes (in German), Mitt. Forsch.-Inst. Math. Mech. Univ. Tomsk 1 (1935), 144--147; Zentralblatt 13,6. 



    1936:

  • 1936-01 P. Erdõs: A generalization of a theorem of Besicovitch, J. London. Math. Soc. 11 (1936), 92--98; Zentralblatt 14,11. 

  • 1936-02 P. Erdõs: Note on some additive properties of integers, Publ. de Congr`es International des Math. , Oslo, 1936, 1--2. 

  • 1936-03 P. Erdõs: On a problem of Chowla and some related problems, Proc. Cambridge Philos. Soc. 32 (1936), 530--540; Zentralblatt 15,246. 

  • 1936-04 H. Davenport, P. Erdõs: On sequences of positive integers, Acta Arith. 2 (1936), 147--151; Zentralblatt 15,100. 

  • 1936-05 P. Erdõs, P. Turán: On some sequences of integers, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261--264; Zentralblatt 15,152. 

  • 1936-06 P. Erdõs: On the arithmetical density of the sum of two sequences one of which forms a basis for the integers, Acta Arith. 1 (1936), 197--200; Zentralblatt 13,150. 

  • 1936-07 P. Erdõs: On the integers which are the totient of a product of three primes, Quart. J. Math., Oxford Ser. 7 (1936), 16--19; Zentralblatt 13,246. 

  • 1936-08 P. Erdõs: On the integers which are the totient of a product of two primes, Quart. J. Math., Oxford Ser. 7 (1936), 227--229; Zentralblatt 15,5. 

  • 1936-09 P. Erdõs: On the representation of an integer as the sum of $k$ $k$th powers, J. London Math. Soc. 11 (1936), 133--136; Zentralblatt 13,390. 

  • 1936-10 P. Erdõs, E. Feldheim: Sur le mode de convergence pour l'interpolation de Lagrange (in French), C. R. Acad. Sci. Paris 203 (1936), 913--915; Zentralblatt 15,252. 

  • 1936-11 P. Erdõs, T. Gallai, E. Vázsonyi: Végtelen gráfok Euler vonalairól (On Euler lines of infinite graphs, in Hungarian), Mat. Fiz. Lapok 43 (1936), 129--140 (T. Grünwald [=; E. Weiszfeld [=);Zentralblatt 15,178. 



    1937:

  • 1937-01 P. Erdõs, V. Jarník: Eine Bemerkung über lineare Kongruenzen (in German), Acta Arith. 2 (1937), 214--220; Zentralblatt 18,6. 

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  • 1937-03 P. Erdõs, J. Gillis: Note on the transfinite diameter, J. London Math. Soc. 12 (1937), 185--192; Zentralblatt 17,115. 

  • 1937-04 P. Erdõs, P. Turán: On interpolation, I. Quadrature and mean convergence in the Lagrange interpolation, Ann. of Math. (2) 38 (1937), 142--155; Zentralblatt 16,106. 

  • 1937-05 P. Erdõs: On the density of some sequences of numbers, II., J. London Math. Soc. 12 (1937), 7--11; Zentralblatt 16,12. 

  • 1937-06 P. Erdõs: On the easier Waring problem for powers of primes, I., Proc. Cambridge Philos. Soc. 33 (1937), 6--12; Zentralblatt 16,102. 

  • [1937-7] 1937-07 A P. Erdõs: On the sum and difference of squares of primes, J. London Math. Soc. 12 (1937), 133--136; Zentralblatt 16,201. 

  • 1937-08 P. Erdõs: On the sum and difference of squares of primes, II., J. London Math. Soc. 12 (1937), 168--171; Zentralblatt 17,103. 

  • 1937-09 P. Erdõs, R. Obláth: Über diophantische Gleichungen der Form $n! = x^p pm y^p$ und $n! pm m! = x^p$ (in German), Acta Litt. Sci. Szeged 8 (1937), 241--255; Zentralblatt 17,4. 





    1938:

  • 1938-01 P. Erdõs, G. Grünwald: Note on an elementary problem of interpolation, Bull. Amer. Math. Soc. 44 (1938), 515--518; Zentralblatt 19,111. 

  • 1938-02 P. Erdõs, Zhao Ke: Note on the Euclidean algorithm, J. London Math. Soc. 13 (1938), 3--8 (Chao Ko [=); Zentralblatt 18,106. 

  • 1938-03 P. Erdõs: On additive properties of squares of primes, I., Nederl. Akad. Wetensch., Proc. 41 (1938), 37--41; Zentralblatt 23,9. 

  • 1938-04 P. Erdõs, Zhao Ke: On definite quadratic forms which are not the sum of two definite or semi-definite forms, Acta Arith. 3 (1938), 102--122 (Chao Ko [=); Zentralblatt 19,151. (SM) 

  • 1938-05 P. Erdõs, B. A. Lengyel: On fundamental functions of Lagrangean interpolation, Bull. Amer. Math. Soc. 44 (1938), 828--834; Zentralblatt 20,12. 

  • 1938-06 P. Erdõs, P. Turán: On interpolation, II. On the distribution of the fundamental points of Lagrange and Hermite interpolation, Ann. of Math. (2) 39 (1938), 703--724; Zentralblatt 19,404. 

  • 1938-07 P. Erdõs: On sequences of integers no one of which divides the product of two others and on some related problems, Mitt. Forsch.-Inst. Math. Mech. Univ. Tomsk 2 (1938), 74--82;Zentralblatt 20,5. 

  • 1938-08 P. Erdõs: On the asymptotic density of the sum of two sequences one of which forms a basis for the integers, II., Trav. Inst. Math. Tbilissi 3 (1938), 217--223; Zentralblatt 19,104. 

  • 1938-09 P. Erdõs: On the density of some sequences of numbers, III., J. London Math. Soc. 13 (1938), 119--127; Zentralblatt 18,293. 

  • 1938-10 P. Erdõs, K. Mahler: On the number of integers which can be represented by a binary form, J. London Math. Soc. 13 (1938), 134--139; Zentralblatt 18,344. 

  • 1938-11 P. Erdõs, Zhao Ke: Some results on definite quadratic forms, J. London Math. Soc. 13 (1938), 217--224 (Chao Ko [=); Zentralblatt 19,151. 

  • 1938-12 P. Erdõs, G. Grünwald: Über die arithmetischen Mittelwerte der Lagrangeschen Interpolationspolynome (in German), Studia Math. 7 (1938), 82--95; Zentralblatt 18,118. 

  • 1938-13 P. Erdõs: Über die Reihe $sum {1 over p}$ (in German), Dummy Über die Reihe $sum {1 over p}$ (in German), {it Mathematica, Zutphen B} 7 (1938), 1--2; Zentralblatt 18,343. 

  • 1938-14 P. Erdõs, G. Grünwald: Über einen Faber'schen Satz (in German), Ann. of Math. (2) 39 (1938), 257--261; Zentralblatt 18,397. 

  • 1938-15 P. Erdõs, T. Gallai, E. Vázsonyi: Über Euler-Linien unendlicher Graphen (in German), J. Math. Phys. Mass. Inst. Tech. 17 (1938), 59--75 (T. Grünwald [=;; Zentralblatt 19,236. 



    1939:

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  • 1939-05 P. Erdõs: On a family of symmetric Bernoulli convolutions, Amer. J. Math. 61 (1939), 974--976 MR1,52a; Zentralblatt 22,354. 

  • [1939-6] 1939-07x P. Erdõs, T. Gallai: On polynomials with only real roots, Ann. of Math. (2) 40 (1939), 537--548 (T. Grünwald =[) MR1,1g; Zentralblatt 21,395. 

  • 1939-07 H. Davenport, P. Erdõs: On sums of positive integral $k$th powers, Ann. of Math. (2) 40 (1939), 533--536 ( MR1,5d; Zentralblatt 21,207. 

  • 1939-08 P. Erdõs: On the easier Waring problem for powers of primes, II., Proc. Cambridge Philos. Soc. 35 (1939), 149--165; Zentralblatt 21,106. 

  • 1939-09 P. Erdõs, M. Kac: On the Gaussian law of errors in the theory of additive functions, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 25 (1939), 206--207; Zentralblatt 21,207. 

  • 1939-10 P. Erdõs: On the integers of the form $x^k + y^k$, J. London Math. Soc. 14 (1939), 250--254 MR 1,42b; Zentralblatt 26,297. 

  • 1939-11 P. Erdõs: On the smoothness of the asymptotic distribution of additive arithmetical functions, Amer. J. Math. 61 (1939), 722--725 MR1,41a; Zentralblatt 22,10. 

  • 1939-12 P. Erdõs, K. Mahler: Some arithmetical properties of the convergents of a continued fraction, J. London Math. Soc. 14 (1939), 12--18; Zentralblatt 20,294. 



    1940:

  • 1940-01 P. Erdõs, A. Wintner: Additive functions and almost periodicity $(B^2)$, Amer. J. Math. 62 (1940), 635--645 ( MR2,41f; Zentralblatt 24,16. 

  • 1940-02 P. Erdõs: Note on some elementary properties of polynomials, Bull. Amer. Math. Soc. 46 (1940), 954--958 MR2,242b; Zentralblatt 24,306. 

  • 1940-03 P. Erdõs: On a conjecture of Steinhaus, Univ. Nac. Tucumán. Revista A. 1 (1940), 217--220 MR 2,360c; Zentralblatt 25,158. 

  • 1940-04 P. Erdõs: On extremal properties of the derivatives of polynomials, Ann. of Math. (2) 41 (1940), 310--313 MR1,323g; Zentralblatt 24,4. 

  • 1940-05 P. Erdõs, P. Turán: On interpolation, III. Interpolatory theory of polynomials, Ann. of Math. (2) 41 (1940), 510--553 ( MR1,333e; Zentralblatt 24,391. 

  • 1940-06 P. Erdõs: On the distribution of normal point groups, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 26 (1940), 294--297 MR1,333f; Zentralblatt 63,Index. 

  • 1940-07 P. Erdõs: On the smoothness properties of a family of Bernoulli convolutions, Amer. J. Math. 62 (1940), 180--186 MR 1,139e; Zentralblatt 22,354. 

  • 1940-08 P. Erdõs, P. Turán: On the uniformly-dense distribution of certain sequences of points, Ann. of Math. (2) 41 (1940), 162--173 ( MR1,217c; Zentralblatt 23,22. 

  • 1940-09 P. Erdõs, M. Kac, E. R. van Kampen, A. Wintner: Ramanujan sums and almost periodic functions, Studia Math. 9 (1940), 43--53 ( MR3,69f; Zentralblatt 63,Index. 

  • 1940-10 P. Erdõs: The difference of consecutive primes, Duke Math. J. 6 (1940), 438--441 MR1,292h; Zentralblatt 23,298. 

  • 1940-11 P. Erdõs: The dimension of the rational points in Hilbert space, Ann. of Math. (2) 41 (1940), 734--736 MR2,178a; Zentralblatt 25,187. 

  • 1940-12 P. Erdõs, M. Kac: The Gaussian law of errors in the theory of additive number theoretic functions, Amer. J. Math. 62 (1940), 738--742 ( MR2,42c; Zentralblatt 24,102. 



    1941:

  • 1941-01 P. Erdõs, P. Turán: On a problem of Sidon in additive number theory and on some related problems, J. London Math. Soc. 16 (1941), 212--215 ( MR3,270e; Zentralblatt 61,73. 

  • 1941-02 P. Erdõs: On divergence properties of the Lagrange interpolation parabolas, Ann. of Math. (2) 42 (1941), 309--315 MR2,283d; Zentralblatt 24,307. 

  • 1941-03 P. Erdõs: On some asymptotic formulas in the theory of the ``factorisatio numerorum", Ann. of Math. (2) 42 (1941), 989--993 MR3,165b; Zentralblatt 61,79. 

  • 1941-04 P. Erdõs, J. Lehner: The distribution of the number of summands in the partitions of a positive integer, Duke Math. J. 8 (1941), 335--345 ( MR 3,69a; Zentralblatt 25,107. 



    1942:

  • 1942-01 P. Erdõs, G. Szegõ: On a problem of I. Schur, Ann. of Math. (2) 43 (1942), 451--470 ( MR4,41d; Zentralblatt 60,55. 

  • 1942-02 P. Erdõs: On an elementary proof of some asymptotic formulas in the theory of partitions, Ann. of Math. (2) 43 (1942), 437--450 MR4,36a; Zentralblatt 61,79. 

  • 1942-03 P. Erdõs: On the asymptotic density of the sum of two sequences, Ann. of Math. (2) 43 (1942), 65--68 MR 3,165c. 

  • 1942-04 P. Erdõs: On the law of the iterated logarithm, Ann. of Math. (2) 43 (1942), 419--436 MR4,16j; Zentralblatt 63,Index. 

  • 1942-05 P. Erdõs: On the uniform distribution of the roots of certain polynomials, Ann. of Math. (2) 43 (1942), 59--64 MR3,236a; Zentralblatt 60,55. 

  • 1942-06 P. Erdõs: Some set-theoretical properties of graphs, Univ. Nac. Tucumán. Revista A. 3 (1942), 363--367 MR5, 151d; Zentralblatt 63,Index. 



    1943:

  • 1943-01 P. Erdõs: A note on Farey series, Quart. J. Math., Oxford Ser. 14 (1943), 82--85 MR5,236b; Zentralblatt 61,128. 

  • 1943-02 J. A. Clarkson, P. Erdõs: Approximation by polynomials, Duke Math. J. 10 (1943), 5--11 ( MR4,196e; Zentralblatt 63,Index. 

  • 1943-03 P. Erdõs: Corrections to two of my papers, Ann. of Math. (2) 44 (1943), 647--651 MR5,172c and 5,180d; Zentralblatt 61,79 and 63,Index. 

  • 1943-04 P. Erdõs, A. Tarski: On families of mutually exclusive sets, Ann. of Math. (2) 44 (1943), 315--329; Zentralblatt 60,126. 

  • 1943-05 P. Erdõs, S. Kakutani: On non-denumerable graphs, Bull. Amer. Math. Soc. 49 (1943), 457--461 ( MR4,249f; Zentralblatt 63,Index. 

  • 1943-06 P. Erdõs: On some convergence properties in the interpolation polynomials, Ann. of Math. (2) 44 (1943), 330--337 MR4,273e; Zentralblatt 63,Index. 

  • 1943-07 P. Erdõs: On the convergence of trigonometric series, J. Math. Phys. Mass. Inst. Tech. 22 (1943), 37--39 MR4,271e; Zentralblatt 60,178. 

  • 1943-08 P. Erdõs: Some remarks on set theory, Ann. of Math. (2) 44 (1943), 643--646 MR5,173c; Zentralblatt 60,131. 



    1944:

  • 1944-01 L. Alaoglu, P. Erdõs: A conjecture in elementary number theory, Bull. Amer. Math. Soc. 50 (1944), 881--882 ( MR6,117b; Zentralblatt 61,78. 

  • 1944-02 P. Erdõs: Addendum. On a problem of Sidon in additive number theory and on some related problems [ J. London Math. Soc. 16 (1941), 212--215], {it J. London Math. Soc.} {bf 19} (1944), 208 MR7,242f; Zentralblatt 61,73. 

  • 1944-03 L. Alaoglu, P. Erdõs: On highly composite and similar numbers, Trans. Amer. Math. Soc. 56 (1944), 448--469 ( MR6,117c; Zentralblatt 61,79. 

  • 1944-04 P. Erdõs: On highly composite numbers, J. London Math. Soc. 19 (1944), 130--133 MR7,145d; Zentralblatt 61,79. 

  • 1944-05 P. Erdõs: On the maximum of the fundamental functions of the ultraspherical polynomials, Ann. of Math. (2) 45 (1944), 335--339 MR5,264e; Zentralblatt 63,Index. 

  • 1944-06 P. Erdõs: Some remarks on connected sets, Bull. Amer. Math. Soc. 50 (1944), 442--446 MR6,43a; Zentralblatt 61,401. 



    1945:

  • 1945-01 N. H. Anning, P. Erdõs: Integral distances, Bull. Amer. Math. Soc. 51 (1945), 598--600 ( MR7,164a; Zentralblatt 63,Index. 

  • [1945-2] 1945-02 P. Erdõs: Integral distances, Bull. Amer. Math. Soc. 51 (1945), 996 MR7,164b; Zentralblatt 63,Index. 

  • 1945-03 P. Erdõs: Note on the converse of Fabry's gap theorem, Trans. Amer. Math. Soc. 57 (1945), 102--104 MR6,148f; Zentralblatt 60,203. 

  • 1945-04 P. Erdõs: On a lemma of Littlewood and Offord, Bull. Amer. Math. Soc. 51 (1945), 898--902 MR7,309j; Zentralblatt 63,Index. 

  • 1945-05 P. Erdõs, I. Niven: On certain variations of the harmonic series, Bull. Amer. Math. Soc. 51 (1945), 433--436 ( MR7,11i; Zentralblatt 61,129. 

  • 1945-06 P. Erdõs: On the least primitive root of a prime $p$, Bull. Amer. Math. Soc. 51 (1945), 131--132 MR6,170b; Zentralblatt 61,66. 

  • 1945-07 P. Erdõs, A. H. Stone: Some remarks on almost periodic transformations, Bull. Amer. Math. Soc. 51 (1945), 126--130 ( MR6,165b; Zentralblatt 63,Index. 

  • 1945-08 P. Erdõs: Some remarks on Euler's $varphi$-function and some related problems, Bull. Amer. Math. Soc. 51 (1945), 540--544 MR7,49f; Zentralblatt 61,80. 

  • 1945-09 P. Erdõs: Some remarks on the measurability of certain sets, Bull. Amer. Math. Soc. 51 (1945), 728--731 MR7,197f; Zentralblatt 63,Index. 



    1946:

  • 1946-01 A. H. Copeland, P. Erdõs: Note on normal numbers, Bull. Amer. Math. Soc. 52 (1946), 857--860 ( MR8,194b; Zentralblatt 63,Index. 

  • 1946-02 P. Erdõs, M. Kac: On certain limit theorems of the theory of probability, Bull. Amer. Math. Soc. 52 (1946), 292--302 ( MR7,459b; Zentralblatt 63,Index. 

  • 1946-03 P. Erdõs: On sets of distances of $n$ points, Amer. Math. Monthly 53 (1946), 248--250 MR7,471c; Zentralblatt 60,348. 

  • 1946-04 P. Erdõs: On some asymptotic formulas in the theory of partitions, Bull. Amer. Math. Soc. 52 (1946), 185--188 MR7,273i; Zentralblatt 61,79. 

  • 1946-05 P. Erdõs: On the coefficients of the cyclotomic polynomial, Bull. Amer. Math. Soc. 52 (1946), 179--184 MR7,242e; Zentralblatt 61,18. 

  • 1946-06 P. Erdõs: On the distribution function of additive functions, Ann. of Math. (2) 47 (1946), 1--20 MR7,416c; Zentralblatt 61,79. 

  • 1946-07 P. Erdõs: On the Hausdorff dimension of some sets in Euclidean space, Bull. Amer. Math. Soc. 52 (1946), 107--109 MR7,377a; Zentralblatt 63,Index. 

  • 1946-08 P. Erdõs, A. H. Stone: On the structure of linear graphs, Bull. Amer. Math. Soc. 52 (1946), 1087--1091 ( MR8,333b; Zentralblatt 63,Index. 

  • 1946-09 P. Erdõs, I. Kaplansky: Sequences of plus and minus, Scripta Math. 12 (1946), 73--75 ( MR8,126i; Zentralblatt 60,29. 

  • 1946-10 P. Erdõs, I. Niven: Some properties of partial sums of the harmonic series, Bull. Amer. Math. Soc. 52 (1946), 248--251 ( MR7,413e; Zentralblatt 61,65. 

  • 1946-11 P. Erdõs: Some remarks about additive and multiplicative functions, Bull. Amer. Math. Soc. 52 (1946), 527--537 MR7,507g; Zentralblatt 61,79. 

  • 1946-12 P. Erdõs, I. Kaplansky: The asymptotic number of Latin rectangles, Amer. J. Math. 68 (1946), 230--236 ( MR7,407b; Zentralblatt 60,28. 

  • 1946-13 P. Erdõs, I. Niven: The $alpha + beta$ hypothesis and related problems, Amer. Math. Monthly 53 (1946), 314--317 ( MR7,507f. 

  • 1946-14 P. Erdõs, P. C. Rosenbloom: Toeplitz methods which sum a given sequence, Bull. Amer. Math. Soc. 52 (1946), 463--464 ( MR8,146i; Zentralblatt 61,121. 



    1947:

  • 1947-01 P. Erdõs, G. Piranian: A note on transforms of unbounded sequences, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 787--790 ( MR9,234b; Zentralblatt 31,294. 

  • 1947-02 P. Erdõs, H. Fried: On the connection between gaps in power series and the roots of their partial sums, Trans. Amer. Math. Soc. 62 (1947), 53--61 ( MR9,84f; Zentralblatt 32,65. 

  • 1947-03 K.-L. Chung, P. Erdõs: On the lower limit of sums of independent random variables, Ann. of Math. (2) 48 (1947), 1003--1013 ( MR9,292f; Zentralblatt 29,152. 

  • 1947-04 P. Erdõs, M. Kac: On the number of positive sums of independent random variables, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 1011--1020 ( MR9,292g; Zentralblatt 32,35. 

  • 1947-05 P. Erdõs, G. Piranian: Over-convergence on the circle of convergence, Duke Math. J. 14 (1947), 647--658 ( MR9,232e; Zentralblatt 30,152. 

  • 1947-06 P. Erdõs: Some asymptotic formulas for multiplicative functions, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 536--544 MR9,12d; Zentralblatt 37,311. 

  • 1947-07 P. Erdõs: Some remarks and corrections to one of my papers, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 761--763 MR9,12e. 

  • 1947-08 P. Erdõs: Some remarks on polynomials, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 1169--1176 MR9,281g; Zentralblatt 32,386. 

  • 1947-09 P. Erdõs: Some remarks on the theory of graphs, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 292--294 MR8,479d; Zentralblatt 32,192. 



    1948:

  • 1948-01 N. G. de Bruijn, P. Erdõs: On a combinatorial problem, Nederl. Akad. Wetensch., Proc. 51 (1948), 1277--1279 = {it Indag. Math.} {bf 10} (1948), 421--423 ( MR10,424a; Zentralblatt32,244. 

  • 1948-02 P. Erdõs, P. Turán: On a problem in the theory of uniform distribution, I., Nederl. Akad. Wetensch., Proc. 51 (1948), 1146--1154 = {it Indag. Math.} {bf 10} (1948), 370--478 (MR10,372c; Zentralblatt 31,254. 

  • 1948-03 P. Erdõs, P. Turán: On a problem in the theory of uniform distribution, II., Nederl. Akad. Wetensch., Proc. 51 (1948), 1262--1269 = {it Indag. Math.} {bf 10} (1948), 406--413 (MR10,372d; Zentralblatt 32,16. 

  • 1948-04 P. Erdõs: On arithmetical properties of Lambert series, J. Indian Math. Soc. (N.S.) 12 (1948), 63--66 MR10,594c; Zentralblatt 32,17. 

  • 1948-05 P. Erdõs, P. Turán: On some new questions on the distribution on prime numbers, Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), 371--378 ( MR9,498k; Zentralblatt 32,269. 

  • 1948-06 P. Erdõs: On the density of some sequences of integers, Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), 685--692 MR10,105b; Zentralblatt 32,13. 

  • 1948-07 P. Erdõs: On the difference of consecutive primes, Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), 885--889 MR10,235b; Zentralblatt 32,269. 

  • 1948-08 P. Erdõs: On the integers having exactly $k$ prime factors, Ann. of Math. (2) 49 (1948), 53--66 MR9,333b; Zentralblatt 30,296. 

  • 1948-09 P. Erdõs, I. S. Gál: On the representation of $1,2,ldots, N$ by differences, Nederl. Akad. Wetensch., Proc. 51 (1948), 1155--1158 = {it Indag. Math.} {bf 10} (1949), 379--382 (MR11,14a; Zentralblatt 32,13. 

  • 1948-10 P. Erdõs, I. Niven: On the roots of a polynomial and its derivative, Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), 184--190 ( MR9,582g; Zentralblatt 32,248. 

  • 1948-11 P. Erdõs: Some asymptotic formulas in number theory, J. Indian Math. Soc. (N.S.) 12 (1948), 75--78 MR10,594d; Zentralblatt 41,368. 

  • 1948-12 P. Erdõs: Some remarks on Diophantine approximations, J. Indian Math. Soc. (N.S.) 12 (1948), 67--74 MR10,513b; Zentralblatt 32,16. 

  • 1948-13 R. P. Boas, Jr., R. C. Buck, P. Erdõs: The set on which an entire function is small, Amer. J. Math. 70 (1948), 400--402 ( MR9,577a; Zentralblatt 36,46. 



    1949:

  • 1949-01 P. Erdõs, W. Feller, H. Pollard: A property of power series with positive coefficients, Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949), 201--204 ( MR10,367d; Zentralblatt 32,278. 

  • 1949-02 P. Erdõs: On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 35 (1949), 374--384 MR10,595c;Zentralblatt 34,314. 

  • 1949-03 P. Erdõs: On a Tauberian theorem connected with the new proof of the prime number theorem, J. Indian Math. Soc. (N.S.) 13 (1949), 131--144 MR11,420a; Zentralblatt 34,315. 

  • 1949-04 P. Erdõs: On a theorem of Hsu and Robbins, Ann. Math. Statistics 20 (1949), 286--291 MR11,40f; Zentralblatt 33,290. 

  • 1949-05 P. Erdõs: On some applications of Brun's method, Acta Univ. Szeged. Sect. Sci. Math. 13 (1949), 57--63 MR10,684c; Zentralblatt 34,24. 

  • 1949-06 P. Erdõs: On the coefficients of the cyclotomic polynomial, Portugaliae Math. 8 (1949), 63--71 MR12,11f; Zentralblatt 38,10. 

  • 1949-07 P. Erdõs: On the converse of Fermat's theorem, Amer. Math. Monthly 56 (1949), 623--624 MR11,331g; Zentralblatt 33,250. 

  • 1949-08 P. Erdõs: On the number of terms of the square of a polynomial, Nieuw Arch. Wiskunde (2) 23 (1949), 63--65 MR10,354b; Zentralblatt 32,2. 

  • 1949-09 P. Erdõs: On the strong law of large numbers, Trans. Amer. Math. Soc. 67 (1949), 51--56 MR11,375c; Zentralblatt 34,72. 

  • 1949-10 P. Erdõs, J. F. Koksma: On the uniform distribution modulo 1 of lacunary sequences, Nederl. Akad. Wetensch., Proc. 52 (1949), 264--273 = {it Indag. Math.} {bf 11} (1949), 79--88 ( MR11,14b; Zentralblatt 33,165. 

  • 1949-11 P. Erdõs, J. F. Koksma: On the uniform distribution modulo 1 of sequences $(f(n,theta))$, Nederl. Akad. Wetensch., Proc. 52 (1949), 851--854 = {it Indag. Math.} {bf 11} (1949), 299--302 ( MR 11,331f; Zentralblatt 35,321. 

  • 1949-12 P. Erdõs: Problems and results on the differences of consecutive primes, Publ. Math. Debrecen 1 (1949), 33--37 MR11,84a; Zentralblatt 33,163. 

  • 1949-13 N. G. de Bruijn, P. Erdõs: Sequences of points on a circle, Nederl. Akad. Wetensch., Proc. 52 (1949), 14--17 = {it Indag. Math.} {bf 11} (1949), 46--49 ( MR 11,423i; Zentralblatt31,348. 

  • 1949-14 P. Erdõs: Supplementary note, J. Indian Math. Soc. (N.S.) 13 (1949), 145--147 MR11,420b; Zentralblatt 34,315. 



    1950:

  • 1950-01 P. Erdõs, R. Rado: A combinatorial theorem, J. London Math. Soc. 25 (1950), 249--255 ( MR12,322f; Zentralblatt 38,153. 

  • 1950-02 P. Erdõs: Az ${1over x_1} + {1over x_2} +cdots + {1over x_n} = {aover b}$ egyenlet egész számú megoldásairól (On a Diophantine equation, in Hungarian), J. London Math. Soc. Az ${1over x_1} + {1over x_2} +cdots + {1over x_n} = {aover b}$ egyenlet egész számú megoldásairól (On a Diophantine equation, in Hungarian), {it Mat. Lapok} 1 (1950), 192--210 MR13,280b. 

  • 1950-03 P. Erdõs, G. Piranian: Convergence fields of row-finite and row-infinite Toeplitz transformations, Proc. Amer. Math. Soc. 1 (1950), 397--401 ( MR12,92a; Zentralblatt 37,327. 

  • 1950-04 A. Dvoretzky, P. Erdõs, S. Kakutani: Double points of paths of Brownian motion in $n$-space, Acta Sci. Math. Szeged 12 (1950), Leopoldo Fejer et Frederico Riesz LXX annos natis dedicatus, Pars B, 75--81 ( MR11,671e; Zentralblatt 36,90. 

  • 1950-05 P. Erdõs: On a problem in elementary number theory, Math. Student 17 (1949), 32--33, 1950 MR11,642d; Zentralblatt 36,23. 

  • 1950-06 P. Erdõs: On almost primes, Amer. Math. Monthly 57 (1950), 404--407 MR12,80i; Zentralblatt 38,181. 

  • 1950-07 P. Erdõs: On integers of the form $2^k + p$ and some related problems, Summa Brasil. Math. 2 (1950), 113--123 MR13,437i; Zentralblatt 41,368. 

  • 1950-08 P. Erdõs, P. Turán: On the distribution of roots of polynomials, Ann. of Math. (2) 51 (1950), 105--119 ( MR11,431b; Zentralblatt 36,15. 

  • 1950-09 P. Erdõs: Remark on my paper ``On a theorem of Hsu and Robbins'' [ Ann. Math. Statistics 20 (1949), 286--291], {it Ann. Math. Statistics} {bf 21} (1950), 138 MR11,375b; Zentralblatt35,214. 

  • 1950-10 P. T. Bateman, S. Chowla, P. Erdõs: Remarks on the size of $L(1,chi)$, Publ. Math. Debrecen 1 (1950), 165--182 ( MR12,244b; Zentralblatt 36,307. 

  • 1950-11 P. Erdõs, F. Herzog, G. Piranian: Schlicht gap series whose convergence on the unit circle is uniform but not absolute, Proc. Internat. Congr. Math. 1 (1950) ( . 

  • 1950-12 P. Erdõs, A. Rényi: Some problems and results on consecutive primes, Simon Stevin 27 (1950), 115--125 ( MR11,644d; Zentralblatt 38,182. 

  • 1950-13 P. Erdõs: Some remarks on set theory, Proc. Amer. Math. Soc. 1 (1950), 127--141 MR12,14c; Zentralblatt 39,49. 

  • 1950-14 P. Erdõs: Some theorems and remarks on interpolation, Acta Sci. Math. Szeged 12 (1950), Leopoldo Fejer et Frederico Riesz LXX annos natis dedicatus, Pars A, 11--17 MR12,164c;Zentralblatt 37,177. 



    1951:

  • 1951-01 N. G. de Bruijn, P. Erdõs: A colour problem for infinite graphs and a problem in the theory of relations, Procc 54 = {it Indag. Math.} {bf 13} (1951), 369--373 ( MR13,763g; Zentralblatt44,382. 

  • 1951-02 S. Chowla, P. Erdõs: A theorem on the distribution of the values of $L$-functions, J. Indian Math. Soc. (N.S.) 15 (1951), 11--18 ( MR13,439a; Zentralblatt 43,46. 

  • 1951-03 P. T. Bateman, P. Erdõs: Geometrical extrema suggested by a lemma of Besicovitch, Amer. Math. Monthly 58 (1951), 306--314 ( MR12,851a; Zentralblatt 43,162. 

  • 1951-04 P. Erdõs: On a conjecture of Klee, Amer. Math. Monthly 58 (1951), 98--101 MR12,674h; Zentralblatt 42,275. 

  • 1951-05 P. Erdõs: On a diophantine equation, J. London Math. Soc. 26 (1951), 176--178 MR12,804d; Zentralblatt 43,43. 

  • 1951-06 P. Erdõs: On a theorem of Raa dström, Proc. Amer. Math. Soc. 2 (1951), 205--206 MR12,815b; Zentralblatt 42,311. 

  • 1951-07 H. Davenport, P. Erdõs: On sequences of positive integers, J. Indian Math. Soc. (N.S.) 15 (1951), 19--24 ( MR13,326c; Zentralblatt 43,49. 

  • 1951-08 P. Erdõs: On some problems of Bellman and a theorem of Romanoff, J. Chinese Math. Soc. (N.S.) (1951), 409--421 MR17,238e. 

  • 1951-09 P. Erdõs, H. N. Shapiro: On the changes of sign of a certain error function, Canadian J. Math. 3 (1951), 375--385 ( MR13,535i; Zentralblatt 44,39. 

  • 1951-10 K.-L. Chung, P. Erdõs: Probability limit theorems assuming only the first moment, I., Mem. Amer. Math. Soc. (1951) no. 6, 19 pp. ( MR12,722g; Zentralblatt 42,376. 

  • 1951-11 P. Erdõs, F. Herzog, G. Piranian: Schlicht Taylor series whose convergence on the unit circle is uniform but not absolute, Pacific J. Math. 1 (1951), 75--82 ( MR13,335d; Zentralblatt 43,80. 

  • 1951-12 N. G. de Bruijn, P. Erdõs: Some linear and some quadratic recursion formulas, I., Procc 54 = {it Indag. Math.} {bf 13} (1951), 374--382 ( MR13,836f; Zentralblatt 44,60. 

  • 1951-13 P. Erdõs: Some problems and results in elementary number theory, Publ. Math. Debrecen 2 (1951), 103--109 MR13,627a; Zentralblatt 44,36. 

  • 1951-14 A. Dvoretzky, P. Erdõs: Some problems on random walk in space, Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 1950 , pp. 353--367, University of California Press, Berkeley and Los Angeles, 1951 ( MR13,852b; Zentralblatt 44,140. 



    1952:

  • 1952-01 P. Erdõs: A theorem on the Riemann integral, Procc 55 = {it Indag. Math.} {bf 14} (1952), 142--144 MR 13,830e; Zentralblatt 47,62. 

  • 1952-02 P. Erdõs, R. Rado: Combinatorial theorems on classifications of subsets of a given set, Proc. London Math. Soc. (3) 2 (1952), 417--439 ( MR16,455d; Zentralblatt 48,282. 

  • 1952-03 P. Erdõs: Egy kongruenciarendszerekrõl szóló problémáról (On a problem concerning congruence-systems, in Hungarian), Mat. Lapok 4 (1952), 122--128 MR17,14d. 

  • 1952-04 H. Davenport, P. Erdõs: Note on normal decimals, Canadian J. Math. 4 (1952), 58--63 ( MR13,825g; Zentralblatt 46,49. 

  • 1952-05 P. Erdõs: On a Tauberian theorem for Euler summability, Acad. Serbe Sci. Publ. Inst. Math. 4 (1952), 51--56 MR14,265g; Zentralblatt 47,301. 

  • 1952-06 K.-L. Chung, P. Erdõs: On the application of the Borel-Cantelli lemma, Trans. Amer. Math. Soc. 72 (1952), 179--186 ( MR13,567b; Zentralblatt 46,352. 

  • 1952-07 P. Erdõs: On the greatest prime factor of $prod^x_{k=1} f(k)$, Trans. Amer. Math. Soc. On the greatest prime factor of $prod^x_{k=1} f(k)$, {it J. London Math. Soc.} 27 (1952), 379--384 MR13,914a; Zentralblatt 46,41. 

  • 1952-08 P. Erdõs: On the sum $sum^x_{k=1} d(f(k))$, Trans. Amer. Math. Soc. On the sum $sum^x_{k=1} d(f(k))$, {it J. London Math. Soc.} 27 (1952), 7--15 MR13,438f; Zentralblatt 46,41. 

  • 1952-09 P. Erdõs: On the uniform but not absolute convergence of power series with gaps, Ann. Soc. Polon. Math. 25 (1952), 162--168 MR15,417a; Zentralblatt 48,310. 

  • 1952-10 N. G. de Bruijn, P. Erdõs: Some linear and some quadratic recursion formulas, II., Procc 55 = {it Indag. Math.} {bf 14} (1952), 152--163 ( MR13,836g; Zentralblatt 47,63. 

  • 1952-11 H. Davenport, P. Erdõs: The distribution of quadratic and higher residues, Publ. Math. Debrecen 2 (1952), 252--265 ( MR14,1063h; Zentralblatt 50,43. 

  • 1952-12 P. Erdõs, L. Mirsky: The distribution of values of the divisor function $d(n)$, Proc. London Math. Soc. (3) 2 (1952), 257--271 ( MR14,249e; Zentralblatt 47,46. 



    1953:

  • 1953-01 P. Erdõs, R. Rado: A problem on ordered sets, J. London Math. Soc. 28 (1953), 426--438 ( MR15,410b; Zentralblatt 51,40. 

  • 1953-02 P. Erdõs: Arithmetical properties of polynomials, J. London Math. Soc. 28 (1953), 416--425 MR15,104f; Zentralblatt 51,277. 

  • 1953-03 P. Erdõs, G. A. Hunt: Changes of sign of sums of random variables, Pacific. J. Math. 3 (1953), 673--687 ( MR15,444e; Zentralblatt 51,103. 

  • 1953-04 P. Erdõs: On a conjecture of Hammersley, J. London Math. Soc. 28 (1953), 232--236 MR14,726f; Zentralblatt 50,270. 

  • 1953-05 N. G. de Bruijn, P. Erdõs: On a recursion formula and on some Tauberian theorems, J. Research Nat. Bur. Standards 50 (1953), 161--164 ( MR14,973e; Zentralblatt 53,369. 

  • 1953-06 P. Erdõs, E. G. Straus: On linear independence of sequences in a Banach space, Pacific J. Math. 3 (1953), 689--694 ( MR15,437d; Zentralblatt 53,80. 

  • 1953-07 F. Bagemihl, P. Erdõs, W. Seidel: Sur quelques propriétés fronti`eres des fonctions holomorphes définies par certains produits dans le cercle-unité (in French), Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.(3) 70(1953), 135--147 ( MR15,412g; Zentralblatt 53,238. 

  • 1953-08 P. Erdõs, C. A. Rogers: The covering of $n$-dimensional space by spheres, J. London Math. Soc. 28 (1953), 287--293 ( MR14,1066b; Zentralblatt 50,389. 



    1954:

  • 1954-01 P. Erdõs, A. J. Macintyre: Integral functions with gap power series, Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 10 (1954), 62--70 ( MR16,579a; Zentralblatt 58,63. 

  • 1954-02 F. Bagemihl, P. Erdõs: Intersections of prescribed power, type, or measure, Fund. Math. 41 (1954), 57--67 ( MR16,20f; Zentralblatt 56,50. 

  • 1954-03 A. Dvoretzky, P. Erdõs, S. Kakutani: Multiple points of paths of Brownian motion in the plane, Bull. Res. Council Israel 3 (1954), 364--371 ( MR16,725b. 

  • 1954-04 P. Erdõs: On a problem of Sidon in additive number theory, Acta Sci. Math. Szeged 15 (1954), 255--259 MR16,336c; Zentralblatt 57,39. 

  • 1954-05 P. Erdõs, F. Herzog, G. Piranian: On Taylor series of functions regular in Gaier regions, Arch. Math. 5 (1954), 39--52 ( MR15,946b; Zentralblatt 55,68. 

  • 1954-06 F. Bagemihl, P. Erdõs: Rearrangements of $C_1$-summable series, Acta Math. 92 (1954), 35--53 ( MR16,583c; Zentralblatt 56,282. 

  • 1954-07 P. Erdõs, F. Herzog, G. Piranian: Sets of divergence of Taylor series and of trigonometric series, Math. Scand. 2 (1954), 262--266 ( MR16,691d; Zentralblatt 57,58. 

  • 1954-08 P. Erdõs: Some remarks on set theory, III., Michigan Math. J. 2 (1954), 51--57 MR16,20e; Zentralblatt 56,51. 

  • 1954-09 P. Erdõs: Some results on additive number theory, Proc. Amer. Math. Soc. 5 (1954), 847--853 MR16,336b; Zentralblatt 56,270. 

  • 1954-10 N. C. Ankeny, P. Erdõs: The insolubility of classes of diophantine equations, Amer. J. Math. 76 (1954), 488--496 ( MR15,934a; Zentralblatt 56,35. 

  • 1954-11 P. Erdõs, I. Niven: The number of multinomial coefficients, Amer. Math. Monthly 61 (1954), 37--39 ( MR15,387e. 



    1955:

  • 1955-01 P. Erdõs, L. Gillman, M. Henriksen: An isomorphism theorem for real-closed fields, Ann. of Math. (2) 61 (1955), 542--554 ( MR16,993e; Zentralblatt 65,23. 

  • 1955-02 P. Erdõs, M. Golomb: Functions which are symmetric about several points, Nieuw Arch. Wisk. (3) 3 (1955), 13--19 ( MR16,931e; Zentralblatt 64,121. 

  • 1955-03 P. Erdõs: On amicable numbers, Publ. Math. Debrecen 4 (1955), 108--111 MR16,998h; Zentralblatt 65,27. 

  • 1955-04 P. Erdõs: On consecutive integers, Nieuw Arch. Wisk. (3) 3 (1955), 124--128 MR17,461f; Zentralblatt 65,276. 

  • 1955-05 A. Dvoretzky, P. Erdõs: On power series diverging everywhere on the circle of convergence, Michigan Math. J. 3 (1955), 31--35 ( MR17,138e; Zentralblatt 73,62. 

  • 1955-06 P. Erdõs, I. S. Gál: On the law of the iterated logarithm, I., Procc 58 = {it Indag. Math.} {bf 17} (1955), 65--76 ( MR16,1016g; Zentralblatt 68,54. 

  • 1955-07 P. Erdõs, I. S. Gál: On the law of the iterated logarithm, II., Procc 58 = {it Indag. Math.} {bf 17} (1955), 77--84 ( MR16,1016g; Zentralblatt 68,54. 

  • 1955-08 P. Erdõs: On the product of consecutive integers, III., Procc 58 = {it Indag. Math.} {bf 17} (1955), 85--90 MR16,797d; Zentralblatt 68,37. 

  • 1955-09 P. Erdõs, P. Turán: On the role of the Lebesgue functions in the theory of the Lagrange interpolation, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 6 (1955), 47--66 ( MR17,148b; Zentralblatt 64,301. 

  • 1955-10 P. Erdõs, J. C. Oxtoby: Partitions of the plane into sets having positive measure in every non-null measurable product set, Trans. Amer. Math. Soc. 79 (1955), 91--102 ( MR17,352f;Zentralblatt 66,298. 

  • 1955-11 P. Erdõs, F. Herzog, G. Piranian: Polynomials whose zeros lie on the unit circle, Duke Math. J. 22 (1955), 347--351 ( MR16,1093c; Zentralblatt 68,58. 

  • 1955-12 P. Erdõs: Some problems on the distribution of prime numbers, Teoria dei numeri, Math. Congr. Varenna, 1954 , 8 pp., 1955; Zentralblatt 67,275. 

  • 1955-13 P. Erdõs: Some remarks on number theory (in Hebrew), Riveon Lematematika 9 (1955), 45--48 MR17,460d. 

  • 1955-14 P. Erdõs: Some remarks on set theory, IV., Michigan Math. J. 2 (1953--54), 169--173 (1955) MR16,682a; Zentralblatt 58,45. 

  • 1955-15 P. Erdõs: Some theorems on graphs (in Hebrew), Riveon Lematematika 9 (1955), 13--17 MR18,408c. 

  • 1955-16 P. Erdõs, H. N. Shapiro: The existence of a distribution function for an error term related to the Euler function, Canad. J. Math. 7 (1955), 63--76 ( MR16,448f; Zentralblatt 67,276. 

  • 1955-17 P. Erdõs: Über die Anzahl der Lösungen von $[p-1, q-1] le x$. (Aus einem Brief von P. Erdõs an K. Prachar.) (in German), Monatsh. Math. 59 (1955), 318--319 MR17,461g; Zentralblatt67,23. 



    1956:

  • 1956-01 D. A. Darling, P. Erdõs: A limit theorem for the maximum of normalized sums of independent random variables, Duke Math. J. 23 (1956), 143--156 ( MR17,635c; Zentralblatt 70,138. 

  • 1956-02 P. Erdõs, R. Rado: A partition calculus in set theory, Bull. Amer. Math. Soc. 62 (1956), 427--489 ( MR18,458a; Zentralblatt 71,51. 

  • 1956-03 P. Erdõs: Megjegyzések a Matematikai Lapok két feladatához (Remarks on two problems of the Matematikai Lapok, in Hungarian, Russian and English summaries), Mat. Lapok 7 (1956), 10--17 MR20 #4534; Zentralblatt 75,31. 

  • 1956-04 P. Erdõs: Megjegyzések Kõváry Tamás egy dolgozatához (Remarks on a paper of T. Kõváry, in Hungarian), Mat. Lapok 7 (1956), 214--217 MR20 #4645. 

  • 1956-05 P. T. Bateman, P. Erdõs: Monotonicity of partition functions, Mathematika 3 (1956), 1--14 ( MR18,195a; Zentralblatt 74,35. 

  • 1956-06 P. Erdõs: On a high-indices theorem in Borel summability, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 7 (1956), 265--281 MR19,135g; Zentralblatt 74,46. 

  • 1956-07 P. Erdõs, W. H. J. Fuchs: On a problem of additive number theory, J. London Math. Soc. 31 (1956), 67--73 ( MR17,586d; Zentralblatt 70,41. 

  • 1956-08 P. Erdõs: On additive arithmetical functions and applications of probability to number theory, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954, Amsterdam, vol. III , pp. 13--19, Erven P. Noordhoff N. V., Groningen; North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1956 MR19,393d; Zentralblatt 73,267. 

  • 1956-09 P. Erdõs: On perfect and multiply perfect numbers, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 42 (1956), 253--258 MR18,563b; Zentralblatt 72,275. 

  • 1956-10 P. Erdõs: On pseudoprimes and Carmichael numbers, Publ. Math. Debrecen 4 (1956), 201--206 MR18,18e; Zentralblatt 74,271. 

  • 1956-11 P. Erdõs, A. Rényi: On some combinatorial problems, Publ. Math. Debrecen 4 (1956), 398--405 ( MR18,3c; Zentralblatt 70,11. 

  • 1956-12 P. Erdõs, T. Kõvári: On the maximum modulus of entire functions, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 7 (1956), 305--317 ( MR18,884a; Zentralblatt 72,74. 

  • 1956-13 P. Erdõs, A. C. Offord: On the number of real roots of a random algebraic equation, Proc. London Math. Soc. (3) 6 (1956), 139--160 ( MR17,500f; Zentralblatt 70,17. 

  • 1956-14 P. Erdõs, A. Rényi: On the number of zeros of successive derivatives of analytic functions, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 7 (1956), 125--144 ( MR18,201b; Zentralblatt 70,296. 

  • 1956-15 P. T. Bateman, P. Erdõs: Partitions into primes, Publ. Math. Debrecen 4 (1956), 198--200 ( MR18,15c; Zentralblatt 73,31. 

  • 1956-16 P. Erdõs, L. Fejes Tóth: Pontok elhelyezése egy tartományban (The distribution of points in a region, in Hungarian), Magyar Tud. Akad. Mat. Fiz. Oszt. Közl. 6 (1956), 185--190 ( MR20 #1953; Zentralblatt 75,177. 

  • 1956-17 P. Erdõs: Problems and results in additive number theory, Colloque sur la Théorie des Nombres, Bruxelles, 1955 , pp. 127--137, George Thone, Li`ege; Masson and Cie, Paris, 1956MR18,18a; Zentralblatt 73,31. 

  • 1956-18 P. Erdõs, G. Fodor: Some remarks on set theory, V., Acta Sci. Math. Szeged 17 (1956), 250--260 ( MR18,711a; Zentralblatt 72,41. 

  • 1956-19 P. Erdõs, J. Karamata: Sur la majorabilité $C$ des suites de nombres réels (in French), Acad. Serbe. Sci. Publ. Inst. Math. 10 (1956), 37--52 ( MR18,478e; Zentralblatt 75,47. 

  • 1956-20 P. Erdõs: Über arithmetische Eigenschaften der Substitutionswerte eines Polynoms für ganzzahlige Werte des Arguments (in German), Revue Math. Pures et Appl. 1 (1956), 189--194. 



    1957:

  • 1957-01 P. Erdõs, A. Rényi: A probabilistic approach to problems of diophantine approximation, Illinois J. Math. 1 (1957), 303--315 ( MR19,636d; Zentralblatt 99,39. 

  • 1957-02 P. Erdõs: Einige Bemerkungen zur Arbeit von A. Stöhr: ``Gelöste und ungelöste Fragen über Basen der natürlichen Zahlenreihe'' (in German), J. Reine Angew. Math. 197 (1957), 216--219MR19,122b; Zentralblatt 77,263. 

  • 1957-03 P. Erdõs: Néhány geometriai problémáról (On some geometrical problems, in Hungarian), Mat. Lapok 8 (1957), 86--92 MR20 #6056; Zentralblatt 102,370. 

  • 1957-04 P. Erdõs, S. Kakutani: On a perfect set, Colloq. Math. 4 (1957), 195--196 ( MR19,734e; Zentralblatt 77,271. 

  • 1957-05 P. Erdõs: On the distribution function of additive arithmetical functions and on some related problems, Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 27 (1957), 45--49 MR20 #7004; Zentralblatt 81,42. 

  • 1957-06 P. Erdõs: On the growth of the cyclotomic polynomial in the interval $(0,1)$, Proc. Glasgow Math. Assoc. 3 (1957), 102--104 MR19,1039d; Zentralblatt 81,17. 

  • 1957-07 P. Erdõs: On the irrationality of certain series, Procc 60 = {it Indag. Math.} {bf 19} (1957), 212--219 MR19,252e; Zentralblatt 79,74. 

  • 1957-08 P. Erdõs, H. N. Shapiro: On the least primitive root of a prime, Pacific J. Math. 7 (1957), 861--865 ( MR20 #3830; Zentralblatt 79,63. 

  • 1957-09 P. Erdõs, A. Rényi: On the number of zeros of successive derivatives of entire functions of finite order, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 8 (1957), 223--225 ( MR19,539d; Zentralblatt 78,263. 

  • 1957-10 P. Erdõs, S. J. Taylor: On the set of points of convergence of a lacunary trigonometric series and the equidistribution properties of related sequences, Proc. London Math. Soc. 7 (1957), 598--615 ( MR19,1050b; Zentralblatt 111,268. 

  • 1957-11 P. Erdõs: Remarks on a theorem of Ramsey, Bull. Res. Council Israel, Sect. F 7F (1957/1958), 21--24 MR21 #3347; Zentralblatt 88,157. 

  • 1957-12 P. Erdõs, G. Fodor: Some remarks on set theory, VI., Acta Sci. Math. Szeged 18 (1957), 243--260 ( MR19,1152a; Zentralblatt 78,42. 

  • 1957-13 P. Erdõs: Some unsolved problems, Michigan Math. J. 4 (1957), 291--300 MR20 #5157; Zentralblatt 81,1. 

  • 1957-14 P. Erdõs, S. Marcus: Sur la décomposition de l'espace Euclidien en ensembles homog`enes (in French), Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 8 (1957), 443--452 ( MR20 #1958; Zentralblatt79,78. 

  • 1957-15 A. Dvoretzky, P. Erdõs, S. Kakutani, S. J. Taylor: Triple points of Brownian paths in 3-space, Proc. Cambridge Philos. Soc. 53 (1957), 856--862 ( MR20 #1364; Zentralblatt 208,441. 

  • 1957-16 P. Erdõs: Über eine Art von Lakunarit„t (in German), Colloq. Math. 5 (1957), 6--7 MR19,1160a; Zentralblatt 81,39. 

  • 1957-17 P. Erdõs: Über eine Fragestellung von Gaier und Meyer-König (in German), Jber. Deutsch. Math. Verein. 60 (1957), Abt. 1, 89--92 MR19,1045b; Zentralblatt 78,261. 



    1958:

  • 1958-01 P. Erdõs: Asymptotic formulas for some arithmetical functions, Canad. Math. Bull. 1 (1958), 149--153 MR21 #30; Zentralblatt 85,34. 

  • 1958-02 P. Erdõs: Concerning approximation with nodes, Colloq. Math. 6 (1958), 25--27 MR21 #2142; Zentralblatt 85,52. 

  • 1958-03 P. Erdõs: Elõadó körúton Kanadában (in Hungarian), Magyar Tudomány 3, 8--9 (1958), 335--341. 

  • 1958-04 P. Erdõs, I. Vincze: Konvex, zárt síkgörbék megközelítésérõl (Über die Ann„herung geschlossener, konvexer Kurven = Approximation of convex, closed curves, in Hungarian), Mat. Lapok 9(1958), 19--36 ( MR20 #6070; Zentralblatt 91,354. 

  • 1958-05 P. Erdõs, F. Herzog, G. Piranian: Metric properties of polynomials, J. Analyse Math. 6 (1958), 125--148 ( MR21 #123; Zentralblatt 88,253. 

  • 1958-06 P. Erdõs: On an elementary problem in number theory, Canad. Math. Bull. 1 (1958), 5--8 MR20 #1654; Zentralblatt 83,37. 

  • 1958-07 P. Erdõs, A. Rényi, P. Szüsz: On Engel's and Sylvester's series, Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math. 1 (1958), 7--32, ( MR21 #1288; Zentralblatt 107,270. 

  • 1958-08 P. Erdõs, E. Jabotinsky: On sequences of integers generated by a sieving process, I., Procc 61 = {it Indag. Math.} {bf 20} (1958), 115--123 ( MR21 #2628; Zentralblatt 80,263. 

  • 1958-09 P. Erdõs, E. Jabotinsky: On sequences of integers generated by a sieving process, II., Procc 61 = {it Indag. Math.} {bf 20} (1958), 124--128 ( MR21 #2628; Zentralblatt 80,263. 

  • 1958-10 P. Erdõs, K. Urbanik: On sets which are measured by multiples of irrational numbers, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astr. Phys. 6 (1958), 743--748; Zentralblatt 84,45. 

  • 1958-11 P. Erdõs, A. Rényi: On singular radii of power series, mta 3 (1958), 159--169 ( MR21 #5011; Zentralblatt 89,49. 

  • 1958-12 P. Erdõs, A. Hajnal: On the structure of set-mappings, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 9 (1958), 111--131 ( MR20 #1630; Zentralblatt 102,284. 

  • 1958-13 A. Dvoretzky, P. Erdõs, S. Kakutani: Points of multiplicity $bf c$ of plane Brownian paths, Bull. Res. Council Israel, Sect. F 7F (1958), 175--180 ( MR23 #A3594. 

  • 1958-14 P. Erdõs: Problems and results on the theory of interpolation, I., Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 9 (1958), 381--388 MR21 #423; Zentralblatt 83,290. 

  • 1958-15 P. Erdõs, P. Szüsz, P. Turán: Remarks on the theory of diophantine approximation, Colloq. Math. 6 (1958), 119--126 ( MR21 #1290; Zentralblatt 87,43. 

  • 1958-16 P. Erdõs: Solution of two problems of Jankowska, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astr. Phys. 6 (1958), 545--547 MR20 #7003; Zentralblatt 83,37. 

  • 1958-17 P. Erdõs: Some remarks on a paper of McCarthy, Canad. Math. Bull. 1 (1958), 71--75 MR20 #3093; Zentralblatt 81,270. 

  • 1958-18 P. Erdõs: Some remarks on Euler's $varphi$ function, Acta Arith. 4 (1958), 10--19 MR22 #1539; Zentralblatt 81,42. 

  • 1958-19 P. Erdõs: Sur certaines séries `a valeur irrationnelle (in French), Enseignement Math. (2) 4 (1958), 93--100 MR20 #5187; Zentralblatt 80,33. 

  • 1958-20 P. Erdõs, G. Piranian: The topologization of a sequence space by Toeplitz matrices, Michigan Math. J. 5, 139--148 ( MR21 #812; Zentralblatt 84,54. 



    1959:

  • 1959-01 P. Erdõs: A remark on the iteration of entire functions, Riveon Lematematika 13 (1959), 13--16 MR22 #111. 

  • 1959-02 P. Erdõs, R. Rado: A theorem on partial well-ordering of sets of vectors, J. London Math. Soc. 34 (1959), 222--224 ( MR21 #2604; Zentralblatt 85,38. 

  • 1959-03 P. Erdõs: About an estimation problem of Zahorski, Colloq. Math. 7 (1959/1960), 167--170 MR22 #3919; Zentralblatt 106,277. 

  • 1959-04 A. Dvoretzky, P. Erdõs: Divergence of random power series, Michigan Math. J. 6 (1959), 343--347 ( MR22 #97; Zentralblatt 95,122. 

  • 1959-05 P. Erdõs, J. Surányi: Egy additív számelméleti probléma (On a problem in additive number theory = Über ein Problem aus der additiven Zahlentheorie, in Hungarian, Russian and German summaries), Mat. Lapok 10 (1959), 284--290 ( MR23 #A3122; Zentralblatt 100,272. 

  • 1959-06 P. Erdõs: Graph theory and probability, Canad. J. Math. 11 (1959), 34--38 MR21 #876; Zentralblatt 84,396. 

  • 1959-07 P. Erdõs, J. Surányi: Megjegyzések egy versenyfeladathoz (Remarks to a problem = Bemerkungen zu einer Aufgabe eines mathematischen Wettbewerbs, in Hungarian, Russian and German summaries), Mat. Lapok 10 (1959), 39--48 ( MR26 #2388; Zentralblatt 93,257. 

  • 1959-08 P. Erdõs, P. Scherk: On a question of additive number theory, Acta Arith. 5 (1958), 45--55, 1959 ( MR21 #2631; Zentralblatt 83,39. 

  • 1959-09 P. Erdõs, A. Rényi: On Cantor's series with convergent $sum 1/q_n$, Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math. 2 (1959), 93--109 ( MR23 #A3710; Zentralblatt 95,265. 

  • 1959-10 P. Erdõs, T. Gallai: On maximal paths and circuits of graphs, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 10 (1959), 337--356 (unbound insert) ( MR22 #5591; Zentralblatt 90,394. 

  • 1959-11 P. Erdõs, A. Rényi: On random graphs, I., Publ. Math. Debrecen 6 (1959), 290--297 ( MR22 #10924; Zentralblatt 92,157. 

  • 1959-12 P. Erdõs: On random interpolation, J. Austral. Math. Soc. 1 (1959/1961), 129--133 MR22 #3912; Zentralblatt 108,57. 

  • 1959-13 P. Erdõs, A. Rényi: On the central limit theorem for samples from a finite population, mta 4 (1959), 49--61, ( MR21 #6019; Zentralblatt 86,340. 

  • 1959-14 J. H. H. Chalk, P. Erdõs: On the distribution of primitive lattice points in the plane, Canad. Math. Bull. 2 (1959), 91--96 ( MR21 #4145; Zentralblatt 88,257. 

  • 1959-15 K.-L. Chung, P. Erdõs, T. Sirao: On the Lipschitz's condition for Brownian motion, J. Math. Soc. Japan 11 (1959), 263--274 ( MR22 #12602; Zentralblatt 91,133. 

  • 1959-16 P. Erdõs, G. G. Lorentz: On the probability that $n$ and $g(n)$ are relatively prime, Acta Arith. 5 (1958), 35--44, 1959 ( MR21 #37; Zentralblatt 85,31. 

  • 1959-17 P. Erdõs, G. Szekeres: On the product $prod^n_{k=1} (1-z^{a_k})$, Acta Arith. On the product $prod^n_{k=1} (1-z^{a_k})$, {it Acad. Serbe Sci. Publ. Inst. Math.} 13 (1959), 29--34 (MR23 #A3721; Zentralblatt 97,33. 

  • 1959-18 P. Erdõs, G. Fodor, A. Hajnal: On the structure of inner set mappings, Acta Sci. Math. Szeged 20 (1959), 81--90 ( MR21 #3334; Zentralblatt 94,32. 

  • 1959-19 P. Erdõs, R. Rado: Partition relations connected with the chromatic number of graphs, J. London Math. Soc. 34 (1959), 63--72 ( MR21 #652; Zentralblatt 84,197. 

  • 1959-20 P. Erdõs: Remarks on number theory, I. On primitive $alpha$-abundant numbers, Acta Arith. 5 (1958), 25--33, 1959 MR21 #24; Zentralblatt 83,263. 

  • 1959-21 P. Erdõs: Remarks on number theory, II. Some problems on the $sigma$ function, Acta Arith. 5 (1959), 171--177 MR21 #6348; Zentralblatt 92,46. 

  • 1959-22 P. Erdõs, G. Piranian: Sequences of linear fractional transformations, Michigan Math. J. 6 (1959), 205--209 ( MR22 #114; Zentralblatt 87,45. 

  • 1959-23 Y. N. Dowker, P. Erdõs: Some examples in ergodic theory, Proc. London Math. Soc. (3) 9 (1959), 227--241 ( MR21 #1374; Zentralblatt 84,341. 

  • 1959-24 P. Erdõs, A. Rényi: Some further statistical properties of the digits in Cantor's series, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 10 (1959), 21--29 (unbound insert) ( MR21 #6356; Zentralblatt 88,258. 

  • 1959-22 P. Erdõs: Some remarks on prime factors of integers, Canad. J. Math. 11 (1959), 161--167 MR21 #3387; Zentralblatt 92,43. 

  • 1959-20 P. Erdõs: Some results on diophantine approximation, Acta Arith. 5 (1959), 359--369 MR22 #12091; Zentralblatt 97,35. 

  • 1959-21 P. Erdõs: Über einige Probleme der additiven Zahlentheorie (in German), Sammelband zu Ehren des 250. Geburtstages Leonhard Eulers , pp. 116--119, Akademie--Verlag, Berlin, 1959 MR31 #1240; Zentralblatt 105,266. 



    1960:

  • 1960-01 P. Erdõs, R. Rado: A construction of graphs without triangles having pre-assigned order and chromatic number, J. London Math. Soc. 35 (1960), 445--448 ( MR25 #3853; Zentralblatt97,164. 

  • 1960-02 P. Erdõs, A. Rényi: Additive properties of random sequences of positive integers, Acta Arith. 6 (1960), 83--110 ( MR22 #10970; Zentralblatt 91,44. 

  • 1960-03 P. Erdõs, A. Schinzel*: Distributions of the values of some arithmetical functions, Acta Arith. 6 (1960/1961), 473--485 ( MR23 #A3706; Zentralblatt 104,272. 


    *** Remark: Prof. Schinzel has pointed out that this paper contained some error and that was rectified by Kevin Ford. The corrected version will also be posted soon. (It can be found in Schinzel' ``Selecta'')
  • 1960-04 P. Erdõs, R. Rado: Intersection theorems for systems of sets, J. London Math. Soc. 35 (1960), 85--90 ( MR22 #2554; Zentralblatt 103,279. 

  • 1960-05 P. Erdõs: Megjegyzések a Matematikai Lapok két problémájához (Remarks on two problems, in Hungarian), Mat. Lapok 11 (1960), 26--32 MR23 #A863; Zentralblatt 100,272. 

  • [1960-6] 1960-06 P. Erdõs: Ob odnom asimptoticheskom neravenstve v teorii tschisel (An asymptotic inequality in the theory of numbers, in Russian), Vestnik Leningrad. Univ. 15 (1960) no. 13, 41--49MR23 #A3720; Zentralblatt 104,268. 

  • 1960-07 P. Erdõs, E. Jabotinsky: On analytic iteration, J. Analyse Math. 8 (1960/1961), 361--376 ( MR23 #A3240; Zentralblatt 126,88. 

  • 1960-08 P. Erdõs: On sets of distances of $n$ points in Euclidean space, mta 5 (1960), 165--169 MR25 #A4420; Zentralblatt 94,168. 

  • 1960-09 P. Erdõs, G. Szekeres: On some extremum problems in elementary geometry, Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math. 3--4 (1960/1961), 53--62 ( MR24 #A3560; Zentralblatt 103,155.

  • 1960-10 P. Erdõs, A. Rényi: On the evolution of random graphs, mta 5 (1960), 17--61 ( MR23 #A2338; Zentralblatt 103,163. 

  • 1960-11 S. Chowla, P. Erdõs, E. G. Straus: On the maximum number of pairwise orthogonal Latin squares of a given order, Canad. J. Math. 12 (1960), 204--208 ( MR23 #A70; Zentralblatt 93,320. 

  • 1960-12 P. Erdõs: Remarks and corrections to my paper ``Some remarks on a paper of McCarthy'' [ Canad. Math. Bull. 1 (1958), 71--75], {it Canad. Math. Bull.} {bf 3} (1960), 127--129 MR24 #A1238; Zentralblatt 93,51. 

  • 1960-13 P. Erdõs: Remarks on number theory, III. On addition chains, Acta Arith. 6 (1960), 77--81 MR22 #12085; Zentralblatt 219.10064. 

  • 1960-14 P. Erdõs, G. Piranian: Restricted cluster sets, Math. Nachr. 22 (1960), 155--158 ( MR23 #A1041; Zentralblatt 113,55. 

  • 1960-15 P. Erdõs, C. A. Rogers, S. J. Taylor: Scales of functions, J. Austral. Math. Soc. 1 (1960), 396--418 (; Zentralblatt 158,50. 

  • 1960-16 P. Erdõs, S. J. Taylor: Some intersection properties of random walk paths, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 11 (1960), 231--248 ( MR23 #A3595; Zentralblatt 96,333. 

  • 1960-17 P. Erdõs, S. J. Taylor: Some problems concerning the structure of random walk paths, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 11 (1960), 137--162 (unbound insert) ( MR22 #12599; Zentralblatt91,133. 

  • 1960-18 P. Erdõs, A. Hajnal: Some remarks on set theory, VII., Acta Sci. Math. (Szeged) 21 (1960), 154--163 ( MR24 #A3071; Zentralblatt 102,285. 

  • 1960-19 P. Erdõs, A. Hajnal: Some remarks on set theory, VIII., Michigan Math. J. 7 (1960), 187--191 ( MR22 #6718; Zentralblatt 95,39. 

  • 1960-20 P. Erdõs: Über die kleinste quadratfreie Zahl einer arithmetischen Reihe (in German), Monatsh. Math. 64 (1960), 314--316 MR22 #9476; Zentralblatt 97,28. 

  • [1960-21] 1960-21 P. Erdõs, J. Surányi: Válogatott fejezetek a számelméletböl (Selected chapters from number theory, in Hungarian), Tankonyvkiado Vallalat , Budapest, 1960, 250 pp. ( MR28 #5022;Zentralblatt 95,29. 



    1961:

  • 1961-01 P. Erdõs: A problem about prime numbers and the random walk, II., Illinois J. Math. 5 (1961), 352--353 MR22 #12080; Zentralblatt 98,324. 

  • 1961-02 P. Erdõs, P. Turán: An extremal problem in the theory of interpolation, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 12 (1961), 221--234 ( MR26 #4093; Zentralblatt 98,271. 

  • 1961-03 P. Erdõs, G. Szegõ: Correction to ``On a problem of I. Schur'' [ Ann. of Math. (2) 43 (1942), 451--470], {it Ann. of Math. (2)} {bf 74} (1961), 628 ( MR24 #1341; Zentralblatt 99,251. 

  • 1961-04 P. Erdõs, C. A. Rogers: Covering space with convex bodies, Acta Arith. 7 (1961/1962), 281--285 ( MR26 #6863; Zentralblatt 213,58. 

  • 1960-05 P. Erdõs, T. Gallai: Gráfok elõírt fokú pontokkal (Graphs with points of prescribed degrees = Graphen mit Punkten vorgeschriebenen Grades, in Hungarian), Mat. Lapok 11 (1961), 264--274;Zentralblatt 103,397. 

  • 1961-06 P. Erdõs: Graph theory and probability, II., Canad. J. Math. 13 (1961), 346--352 MR22 #10925; Zentralblatt 97,391. 

  • 1961-07 P. Erdõs, Zhao Ke, R. Rado: Intersection theorems for systems of finite sets, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 12 (1961), 313--320 (Chao Ko [=; MR25 #3839; Zentralblatt 100,19. 

  • 1961-08 A. Dvoretzky, P. Erdõs, S. Kakutani: Nonincrease everywhere of the Brownian motion process, Proc. 4th Berkeley Sympos. Math. Statist. and Prob., Vol. II , pp. 103--116, Univ. California Press, Berkeley, 1961 ( MR24 #A2448; Zentralblatt 111,150. 

  • 1961-09 P. Erdõs, A. Rényi: On a classical problem of probability theory, mta 6 (1961), 215--220 ( MR27 #794; Zentralblatt 102,352. 

  • 1961-10 P. Erdõs: On a problem of G. Golomb, J. Austral. Math. Soc. 2 (1961/1962), 1--8 MR23 #A864; Zentralblatt 100,271. 

  • 1961-11 P. Erdõs, A. Hajnal: On a property of families of sets, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 12 (1961), 87--123 ( MR27 #50; Zentralblatt 201,328. 

  • 1961-12 P. Erdõs, E. Specker: On a theorem in the theory of relations and a solution of a problem of Knaster, Colloq. Math. 8 (1961), 19--21 ( MR24 #A49; Zentralblatt 97,42. 

  • 1961-13 P. Erdõs: On Note 2921, Math. Gaz. 45 (1961), 39; Zentralblatt 127,267. 

  • 1961-14 P. Erdõs, A. Tarski: On some problems involving inaccessible cardinals, Essays on the foundations of mathematics , pp. 50--82, Magnes Press, Hebrew Univ., Jerusalem, 1961 ( MR29 #4695;Zentralblatt 212,325. 

  • 1961-15 P. Erdõs, A. Rényi: On the evolution of random graphs, Bull. Inst. Internat. Statist. 38 (1961) no. 4, 343--347 ( MR26 #5564; Zentralblatt 106,120. 

  • 1961-16 P. Erdõs, S. J. Taylor: On the Hausdorff measure of Brownian paths in the plane, Proc. Cambridge Philos. Soc. 57 (1961), 209--222 ( MR23 #A4186; Zentralblatt 101,112. 

  • 1961-17 P. Erdõs, T. Gallai: On the minimal number of vertices representing the edges of a graph, mta 6 (1961), 181--203 ( MR26 #1878; Zentralblatt 101,410. 

  • 1961-18 P. Erdõs: On the representation of large integers as sums of distinct summands taken from a fixed set, Acta Arith. 7 (1961/1962), 345--354 MR26 #2387; Zentralblatt 106,38. 

  • 1961-19 P. Erdõs, A. Rényi: On the strength of connectedness of a random graph, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 12 (1961), 261--267 ( MR24 #A54; Zentralblatt 103,163. 

  • 1961-20 P. Erdõs: Problems and results on the theory of interpolation, II., Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 12 (1961), 235--244 MR26 #2779; Zentralblatt 98,41. 

  • 1961-21 P. Erdõs, K. Prachar: S„tze und Probleme über $p_k/k$ (in German), Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 25 (1961/1962), 251--256 ( MR25 #3901; Zentralblatt 107,266. 

  • 1961-22 P. Erdõs: Some unsolved problems, mta 6 (1961), 221--254 MR31 #2106; Zentralblatt 100,20. 

  • 1961-23 P. Erdõs: Számelméleti megjegyzések, I. (Remarks on number theory, I., in Hungarian), Mat. Lapok 12 (1961), 10--17 MR26 #2410; Zentralblatt 154,294. 

  • 1961-24 P. Erdõs: Számelméleti megjegyzések, II. Az Euler-féle $varphi$-függvény néhány tulajdonságáról (Some remarks on number theory, II., in Hungarian), Mat. Lapok 12 (1961), 161--169 MR26 #2411; Zentralblatt 154,294. 

  • 1961-25 P. Erdõs, A. Ginzburg, A. Ziv: Theorem in the additive number theory, Bull. Res. Council Israel 10 (1961) ( . 

  • 1961-26 P. Erdõs: útiélmények Moszkva-Peking-Singapore (in Hungarian), Magyar Tudomány 8--9 (1968), 193--197. 

  • 1961-27 P. Erdõs: Über einige Probleme der additiven Zahlentheorie, J. Reine Angew. Math. 206 (1961), 61--66 MR24 #A707; Zentralblatt 114,263. 



    1962:

  • 1962-01 P. Erdõs: An inequality for the maximum of trigonometric polynomials, Ann. Polon. Math. 12 (1962), 151--154 MR25 #5330; Zentralblatt 106,277. 

  • 1962-02 P. Erdõs: Applications of probability to combinatorial problems, Colloq. on Combinatorial Methods in Probability Theory (Aarhus, 1962) , pp. 90--92, Matemisk Institut, Aarhus Universitet, Aarhus, 1962; Zentralblatt 142,251. 

  • 1962-03 P. Erdõs: Beantwortung einer Frage von E. Teuffel (in German), Elem. Math. 17 (1962), 107--108; Zentralblatt 106,33. 

  • 1962-04 B. Bollobás, P. Erdõs: Gráfelméleti szélsõértékekre vonatkozó problémákról (Extremal problems in graph theory, in Hungarian), Mat. Lapok 13 (1962), 143--152 ( MR26 #3036; Zentralblatt117,412. 

  • 1962-05 P. Erdõs: Néhány elemi geometriai problémáról (On some problems in elementary geometry, Hungarian), Köz. Mat. Lapok 24/5 (1962), 1--9. 

  • 1962-06 P. Erdõs, A. Hajnal: On a classification of denumerable order types and an application to the partition calculus, Fund. Math. 51 (1962/1963), 117--129 ( MR25 #5000; Zentralblatt 111,11. 

  • 1962-07 P. Erdõs, A. Rényi: On a problem of A. Zygmund, Studies in mathematical analysis and related topics , pp. 110--116, Stanford Univ. Press, Stanford, California, 1962 ( MR26 #2586;Zentralblatt 171,316. 

  • 1962-08 P. Erdõs: On a problem of Sierpi'nski, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (8) 33 (1962), 122--124 MR27 #93; Zentralblatt 111,47. 

  • 1962-09 P. Erdõs: On a theorem of Rademacher-Turán, Illinois J. Math. 6 (1962), 122--127 MR25 #1111; Zentralblatt 99,394. 

  • 1962-10 P. Erdõs: On circuits and subgraphs of chromatic graphs, Mathematika 9 (1962), 170--175 MR26 #3035; Zentralblatt 109,165. 

  • 1962-11 P. Erdõs, H. Hanani: On $C_1$-summability of series, Michigan Math. J. 9 (1962), 1--14 ( MR25 #362; Zentralblatt 111,261. 

  • 1962-12 P. Erdõs: On the integers relatively prime to $n$ and on a number-theoretic function considered by Jacobsthal, Math. Scand. 10 (1962), 163--170 MR26 #3651; Zentralblatt 202,330. 

  • 1962-13 P. Erdõs, L. Pósa: On the maximal number of disjoint circuits of a graph, Publ. Math. Debrecen 9 (1962), 3--12 ( MR27 #743; Zentralblatt 133,167. 

  • 1962-14 P. Erdõs: On the number of complete subgraphs contained in certain graphs, mta 7 (1962), 459--464 MR27 #1937; Zentralblatt 116,12. 

  • 1962-15 P. Erdõs, A. Hajnal: On the topological product of discrete $lambda$-compact spaces, General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra (Proc. Sympos., Prague, 1961) , pp. 148--151, Academic Press, New York; Publ. House Czech. Acad. Sci., Prague, 1962 ( MR26 #6927; Zentralblatt 114,141. 

  • 1962-16 P. Erdõs: On trigonometric sums with gaps, mta 7 (1962), 37--42 MR26 #2797; Zentralblatt 116,47. 

  • 1962-17 P. Erdõs: Remarks on a paper of Pósa, mta 7 (1962), 227--229 MR32 #2348; Zentralblatt 114,400. 

  • 1962-18 P. Erdõs: Representations of real numbers as sums and products of Liouville numbers, Michigan Math. J. 9 (1962), 59--60 MR24 #A3134; Zentralblatt 114,263. 

  • 1962-19 J. Czipszer, P. Erdõs, A. Hajnal: Some extremal problems on infinite graphs (Summary in Russian), mta 7 (1962), 441--457 ( MR27 #744; Zentralblatt 114,13. 

  • 1962-20 P. Erdõs, A. Hajnal: Some remarks concerning our paper ``On the structure of set mappings'' [ Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 9 (1958), 111--131]. Non-existence of a two-valued $sigma$-measure for the first uncountable inaccessible cardinal, {it Acta Math. Acad. Sci. Hungar.} {bf 13} (1962), 223--226 ( MR25 #5001; Zentralblatt 134,16. 

  • 1962-21 P. Erdõs: Some remarks on the functions $varphi$ and $sigma$, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astr. Phys. 10 (1962), 617--619 MR26 #3652; Zentralblatt 106,40. 

  • 1962-22 P. Erdõs: Számelméleti megjegyzések, III. Néhány additív számelméleti problémáról (some remarks on number theory, III., in Hungarian), Mat. Lapok 13 (1962), 28--38 MR26 #2412;Zentralblatt 123,255. 

  • 1962-23 P. Erdõs: Számelméleti megjegyzések, IV. Extremális problémák a számelméletben, I. (Remarks on number theory, IV. Extremal problems in number theory, I., in Hungarian), Mat. Lapok 13(1962), 228--255 MR33 #4020; Zentralblatt 127,22. 

  • 1962-24 P. Erdõs, C. A. Rogers: The construction of certain graphs, Canad. J. Math. 14 (1962), 702--707 ( MR25 #5010; Zentralblatt 194,253. 

  • 1962-25 P. Erdõs: Über ein Extremalproblem in der Graphentheorie (in German), Arch. Math. 13 (1962), 222--227 MR25 #2974; Zentralblatt 105,175. 

  • 1962-26 P. Erdõs: Verchu niakoy geometritchesky zadatchy (On some geometric problems, in Bulgarian), Fiz.-Mat. Spis. Bu ulgar. Akad. Nauk. 5(38) (1962), 205--212 MR31 #2648. 



    1963:

  • 1963-01 H. Davenport, P. Erdõs: A theorem on uniform distribution, mta 8 (1963), 3--11 ( MR29 #4750; Zentralblatt 122,59. 

  • 1963-02 P. Erdõs, J. Neveu, A. Rényi: An elementary inequality between the probabilities of events, Math. Scand. 13 (1963), 99--104 ( MR29 #4075; Zentralblatt 129,314. 

  • 1963-03 P. Erdõs, H. Kestelman, C. A. Rogers: An intersection property of sets with positive measure, Colloq. Math. 11 (1963), 75--80 ( MR28 #2182; Zentralblatt 122,299. 

  • 1963-04 P. Erdõs, A. Rényi: Asymmetric graphs, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 14 (1963), 295--315 ( MR27 #6258; Zentralblatt 118,189. 

  • 1963-05 P. Erdõs, A. Rényi: Egy gráfelméleti problémáról (On a problem in the theory of graphs, in Hungarian), mta 7 (1962), 623--641, 1963 ( MR33 #1246; Zentralblatt 131,210. 

  • 1963-06 P. Erdõs: On a combinatorial problem, Nordisk Mat. Tidskr. 11 (1963), 5--10, 40 MR26 #6061; Zentralblatt 116,11. 

  • 1963-07 P. Erdõs, H. Hanani: On a limit theorem in combinatorial analysis, Publ. Math. Debrecen 10 (1963), 10--13 ( MR29 #3394; Zentralblatt 122,248. 

  • 1963-08 P. Erdõs: On a problem in graph theory, Math. Gaz. 47 (1963), 220--223 MR28 #2536; Zentralblatt 117,174. 

  • 1963-09 P. Erdõs: On some properties of Hamel bases, Colloq. Math. 10 (1963), 267--269 MR28 #4068; Zentralblatt 123,320. 

  • 1963-10 G. A. Dirac, P. Erdõs: On the maximal number of independent circuits in a graph, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 14 (1963), 79--94 ( MR26 #5563; Zentralblatt 122,249. 

  • 1963-11 P. Erdõs: On the structure of linear graphs, Israel J. Math. 1 (1963), 156--160 MR28 #4533. 

  • 1963-12 P. Erdõs, A. Rényi: On two problems of information theory, mta 8 (1963), 229--243 ( MR29 #3268; Zentralblatt 119,340. 

  • 1963-13 H. Davenport, P. Erdõs, W. J. LeVeque: On Weyl's criterion for uniform distribution, Michigan Math. J. 10 (1963), 311--314 ( MR27 #3618; Zentralblatt 119,282. 

  • 1963-14 P. Erdõs: Quelques probl`emes de théorie des nombres (in French), Monographies de l'Enseignement Mathématique, No. 6 , pp. 81--135, L'Enseignement Mathématique, Université, Geneva, 1963 MR28 #2070; Zentralblatt 117,29. 

  • 1963-15 P. Erdõs: Ramsey és Van der Waerden tételével kapcsolatos kombinatorikai kérdésekrõl (On combinatorial questions connected with a theorem of Ramsey and van der Waerden, in HungarianMat. Lapok 14 (1963), 29--37 MR34 #7409; Zentralblatt 115,10. 

  • 1963-16 P. Erdõs, H. Sachs: Regul"are Graphen gegebener Taillenweite mit minimaler Knotenzahl (in German), Wiss. Z. Martin-Luther-Univ. Halle-Wittenberg Math.-Natur. Reihe 12 (1963), 251--257 (MR29 #2797; Zentralblatt 116,150. 

  • 1963-17 P. Erdõs, A. Rényi: Remarks on a problem of Obreanu, Canad. Math. Bull. 6 (1963), 267--273 ( MR31 #2528; Zentralblatt 121,296. 

  • 1963-18 P. Erdõs, S. Stein: Sums of distinct unit fractions, Proc. Amer. Math. Soc. 14 (1963), 126--131 ( MR26 #71; Zentralblatt 115,265. 

  • 1963-19 P. Erdõs, S. J. Taylor: The Hausdorff measure of the intersection of sets of positive Lebesgue measure, Mathematika 10 (1963), 1--9 ( MR27 #3765; Zentralblatt 141,55. 

  • 1963-20 P. Erdõs, P. Kelly: The minimal regular graph containing a given graph, Amer. Math. Monthly 70 (1963), 1074--1075 (. 

  • 1963-21 P. Erdõs: Megjegyzések a ,,Néhány elemi geometriai problémáról'' címû cikkhez Köz. Mat. Lapok (1963) 1--2. 



    1964:

  • 1964-01 F. Bagemihl, P. Erdõs: A problem concerning the zeros of a certain kind of holomorphic function in the unit disk, J. Reine Angew. Math. 214/215 (1964), 340--344 ( MR31 #3580; Zentralblatt131,75. 

  • 1964-02 P. Erdõs, A. Hajnal, J. W. Moon: A problem in graph theory, Amer. Math. Monthly 71 (1964), 1107--1110 ( MR30 #577; Zentralblatt 126,394. 

  • 1964-03 P. Erdõs, L. Moser: A problem on tournaments, Canad. Math. Bull. 7 (1964), 351--356 ( MR29 #4046; Zentralblatt 129,347. 

  • 1964-04 P. Erdõs: An interpolation problem associated with the continuum hypothesis, Michigan Math. J. 11 (1964), 9--10 MR29 #5744; Zentralblatt 121,258. 

  • 1964-05 P. Erdõs, A. E. Ingham: Arithmetical Tauberian theorems, Acta Arith. 9 (1964), 341--356 ( MR31 #1228; Zentralblatt 127,271. 

  • 1964-06 P. Erdõs: Extremal problems in graph theory, Theory of Graphs and its Applications (Proc. Sympos. Smolenice, 1963) , pp. 29--36, Publ. House Czech. Acad. Sci., Prague, 1964 MR31 #4735; Zentralblatt 161,205. 

  • 1964-07 P. Erdõs, G. Piranian: Laconicity and redundancy of Toeplitz matrices, Math. Z. 83 (1964), 381--394 ( MR29 #1471; Zentralblatt 129,42. 

  • 1964-08 P. Erdõs: On a combinatorial problem, II., Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 15 (1964), 445--447 MR29 #4700; Zentralblatt 201,337. 

  • 1964-09 P. Erdõs, A. Ginzburg: On a combinatorial problem in Latin squares, mta 8 (1963), 407--411, 1964 ( MR29 #2197; Zentralblatt 125,282. 

  • 1964-10 P. Erdõs: On a problem in elementary number theory and a combinatorial problem, Math. Comp. 18 (1964), 644--646 MR30 #1087; Zentralblatt 127,22. 

  • 1964-11 P. Erdõs: On an extremal problem in graph theory, Colloq. Math. 13 (1964/1965), 251--254 MR31 #3353; Zentralblatt 137,181. 

  • 1964-12 P. Erdõs, A. Hajnal: On complete topological subgraphs of certain graphs, Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math. 7 (1964), 143--149 ( MR30 #3460; Zentralblatt 125,405. 

  • 1964-13 P. Erdõs: On extremal problems of graphs and generalized graphs, Israel J. Math. 2 (1964), 183--190 MR32 #1134; Zentralblatt 129,399. 

  • 1964-14 P. Erdõs, A. Rényi: On random matrices, mta 8 (1964), 455--461 ( MR29 #4769; Zentralblatt 133,260. 

  • 1964-15 P. Erdõs: On some applications of probability to analysis and number theory, J. London Math. Soc. 39 (1964), 692--696 MR30 #1997; Zentralblatt 125,86. 

  • 1964-16 P. Erdõs: On some divisibility properties of ${2nchoose n}$, J. London Math. Soc. On some divisibility properties of ${2nchoose n}$, {it Canad. Math. Bull.} 7 (1964), 513--518 MR30 #52; Zentralblatt 125,23. 

  • 1964-17 P. Erdõs, J. W. Moon: On subgraphs of the complete bipartite graph, Canad. Math. Bull. 7 (1964), 35--39 ( MR28 #1612; Zentralblatt 122,419. 

  • 1964-18 P. Erdõs, H. Heilbronn: On the addition of residue classes mod $p$, Acta Arith. 9 (1964), 149--159 ( MR29 #3463; Zentralblatt 156,48. 

  • 1964-19 P. Erdõs, E. G. Straus: On the irrationality of certain Ahmes series, J. Indian Math. Soc. (N.S.) 27 (1964), 129--133 ( MR31 #124; Zentralblatt 131,49. 

  • 1964-20 P. Erdõs: On the multiplicative representation of integers, Israel J. Math. 2 (1964), 251--261 MR31 #5847; Zentralblatt 146,53. 

  • 1964-21 P. Erdõs: On the number of triangles contained in certain graphs, Canad. Math. Bull. 7 (1964), 53--56 MR28 #2537; Zentralblatt 121,403. 

  • 1964-22 P. Erdõs, L. Moser: On the representation of directed graphs as unions of orderings, mta 9 (1964), 125--132 ( MR29 #5756; Zentralblatt 136,449. 

  • 1964-23 P. Erdõs: On two problems of S. Marcus concerning functions with the Darboux property, Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 9 (1964), 803--804 MR31 #5944; Zentralblatt 128,279. 

  • 1964-24 P. Erdõs: Problems and results on diophantine approximations, Compositio Math. 16 (1964), 52--65 MR31 #3382; Zentralblatt 131,48. 

  • 1964-25 P. Erdõs, T. Gallai: Solution of a problem of Dirac, Theory of Graphs and its Applications (Proc. Sympos. Smolenice, 1963) , pp. 167--168, Publ. House Czech. Acad. Sci., Prague, 1964;Zentralblatt 161,433. 

  • 1964-26 P. Erdõs: Some applications of probability to graph theory and combinatorial problems, Theory of Graphs and its Applications (Proc. Sympos. Smolenice, 1963) , pp. 133--136, Publ. House Czech. Acad. Sci., Prague, 1964 MR30 #3459; Zentralblatt 161,433. 

  • 1964-27 P. Erdõs: Some remarks on Ramsey's theorem, Canad. Math. Bull. 7 (1964), 619--622 MR30 #576; Zentralblatt 129,401. 

  • 1964-28 P. Erdõs, A. Hajnal: Some remarks on set theory, IX. Combinatorial problems in measure theory and set theory, Michigan Math. J. 11 (1964), 107--127 ( MR30 #1940; Zentralblatt 199,23. 

  • 1964-29 P. Erdõs, B. Gordon, L. A. Rubel, E. G. Straus: Tauberian theorems for sum sets, Acta Arith. 9 (1964), 177--189 ( MR29 #3417; Zentralblatt 135,100. 

  • 1964-30 P. Erdõs, L. Few, C. A. Rogers: The amount of overlapping in partial coverings of space by equal spheres, Mathematika 12 (1964), 171--184 ( MR31 #664; Zentralblatt 127,276. 

  • 1964-31 P. Erdõs, C. A. Rogers: The star number of coverings of space with convex bodies, Acta Arith. 9 (1964), 41--45 ( MR29 #5165; Zentralblatt 132,32. 



    1965:

  • 1965-01 P. Erdõs: A problem on independent $r$-tuples, Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math. 8 (1965), 93--95 MR41 #5223; Zentralblatt 136,213. 

  • 1965-02 P. Erdõs: Extremal problems in number theory, Proc. Sympos. Pure Math., Vol. VIII , pp. 181--191, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1965 MR30 #4740; Zentralblatt 144,281. 

  • 1965-03 P. Erdõs, H. S. Shapiro, A. L. Shields: Large and small subspaces of Hilbert space, Michigan Math. J. 12 (1965), 169--178 ( MR31 #2607; Zentralblatt 132,349. 

  • 1965-04 P. Erdõs: On a problem of Sierpi'nski (Extract from a letter to W. Sierpi'nski), Acta Arith. 11 (1965), 189--192 MR32 #5620; Zentralblatt 129,28. 

  • 1965-05 P. Erdõs, L. Pósa: On independent circuits contained in a graph, Canad. J. Math. 17 (1965), 347--352 ( MR31 #86; Zentralblatt 129,399. 

  • 1965-06 P. Erdõs, J. W. Moon: On sets of consistent arcs in a tournament, Canad. Math. Bull. 8 (1965), 269--271 ( MR32 #57; Zentralblatt 137,433. 

  • 1965-07 P. Erdõs: On some extremal problems in graph theory, Israel J. Math. 3 (1965), 113--116 MR32 #7443; Zentralblatt 134,434. 

  • 1965-08 P. Erdõs, P. Turán: On some problems of a statistical group-theory, I., Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 4 (1965), 175--186 ( MR32 #2465; Zentralblatt 137,256. 

  • 1965-09 P. Erdõs, F. Harary, W. T. Tutte: On the dimension of a graph, Mathematika 12 (1965), 118--122 ( MR32 #5537; Zentralblatt 151,332. 

  • 1965-10 P. Erdõs: On the distribution of divisors of integers in the residue classes (mod $d$), Bull. Soc. Math. Gr`ece (N.S.) 6 I (1965), fasc. 1, 27--36 MR34 #7474; Zentralblatt 133,299. 

  • 1965-11 I. Csiszár, P. Erdõs: On the function $g(t) =limsup_{t to infty} (f(x+t)-f(x))$, Bull. Soc. Math. Gr`ece (N.S.) On the function $g(t) =limsup_{t to infty} (f(x+t)-f(x))$, {it mta} 9 (1965), 603--606; Zentralblatt 133,304. 

  • 1965-12 P. Erdõs, A. Rényi: On the mean value of nonnegative multiplicative number-theoretical functions, Michigan Math. J. 12 (1965), 321--338 ( MR34 #2537; Zentralblatt 131,43. 

  • 1965-13 P. Erdõs, A. Sharma: On Tchebycheff quadrature, Canad. J. Math. 17 (1965), 652--658 ( MR31 #3774; Zentralblatt 156,71. 

  • 1965-14 P. Erdõs, A. Hajnal, R. Rado: Partition relations for cardinal numbers, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 16 (1965), 93--196 ( MR34 #2475; Zentralblatt 158,266. 

  • 1965-15 P. Erdõs, A. Rényi: Probabilistic methods in group theory, J. Analyse Math. 14 (1965), 127--138 ( MR34 #2690; Zentralblatt 247.20045. 

  • 1965-16 P. Erdõs: Remarks on a theorem of Zygmund, Proc. London Math. Soc. (3) 14a (1965), 81--85 MR31 #5031; Zentralblatt 148,54. 

  • 1965-17 P. Erdõs: Some recent advances and current problems in number theory, Lectures on Modern Mathematics, Vol. III , pp. 196--244, Wiley, New York, 1965 MR31 #2191; Zentralblatt132,284. 

  • 1965-18 P. Erdõs: Some remarks on number theory, Israel J. Math. 3 (1965), 6--12 MR32 #1181; Zentralblatt 131,39. 

  • 1965-19 J. Aczél, P. Erdõs: The non-existence of a Hamel-basis and the general solution of Cauchy's functional equation for non-negative numbers, Publ. Math. Debrecen 12 (1965), 259--263 ( MR32 #4022; Zentralblatt 151,210. 



    1966:

  • 1966-01 P. Erdõs, M. Simonovits: A limit theorem in graph theory, Studia Sci. Math. Hungar. 1 (1966), 51--57 ( MR34 #5702; Zentralblatt 178,273. 

  • 1966-02 P. Erdõs, B. Volkmann: Additive Gruppen mit vorgegebener Hausdorffscher Dimension (in German), J. Reine Angew. Math. 221 (1966), 203--208 ( MR32 #4238; Zentralblatt 135,102. 

  • 1966-03 P. Erdõs: An example concerning open everywhere discontinuous functions, Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 11 (1966), 621--622 MR33 #5796; Zentralblatt 163,299. 

  • 1966-04 P. Erdõs, E. H"artter: Konstruktion von nichtperiodischen Minimalbasen mit der Dichte $1 over 2$ für die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen (in German), J. Reine Angew. Math. 221(1966), 44--47 ( MR32 #7533; Zentralblatt 135,97. 

  • 1966-05 P. Erdõs, A. Hajnal: On a problem of B. Jónsson, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astr. Phys. 14 (1966), 19--23 ( MR35 #64; Zentralblatt 171,265. 

  • 1966-06 P. Erdõs, A. Rényi, V. T. Sós: On a problem of graph theory, Studia Sci. Math. Hungar. 1 (1966), 215--235 ( MR36 #6310; Zentralblatt 144,233. 

  • 1966-07 P. Erdõs, A. Hajnal: On chromatic number of graphs and set-systems, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 17 (1966), 61--99 ( MR33 #1247; Zentralblatt 151,337. 

  • 1966-08 P. Erdõs: On cliques in graphs, Israel J. Math. 4 (1966), 233--234 MR34 #5700; Zentralblatt 163,182. 

  • 1966-09 P. Erdõs, A. Sárközy, E. Szemerédi: On divisibility properties of sequences of integers, Studia Sci. Math. Hungar. 1 (1966), 431--435 ( MR34 #4233; Zentralblatt 146,271. 

  • 1966-10 P. Erdõs: On some applications of probability methods to function theory and on some extremal properties of polynomials, Contemporary Problems in Theory Anal. Functions (Internat. Conf., Erevan, 1965) (Russian) , pp. 359--362, Izdat. ``Nauka'', Moscow, 1966 MR34 #6034; Zentralblatt 174,366. 

  • 1966-11 P. Erdõs: On some properties of prime factors of integers, Nagoya Math. J. 27 (1966), 617--623 MR34 #4220; Zentralblatt 151,35. 

  • 1966-12 P. Erdõs, A. Hajnal, E. C. Milner: On the complete subgraphs of graphs defined by systems of sets, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 17 (1966), 159--229 ( MR36 #6298; Zentralblatt 151,337.

  • 1966-13 P. Erdõs: On the construction of certain graphs, J. Combinatorial Theory 1 (1966), 149--153 MR34 #5701; Zentralblatt 144,454. 

  • 1966-14 P. Erdõs: On the difference of consecutive terms of sequences defined by divisibility properties, Acta Arith. 12 (1966/1967), 175--182 MR34 #7488; Zentralblatt 147,26. 

  • 1966-15 P. Erdõs, A. Sárközy, E. Szemerédi: On the divisibility properties of sequences of integers, I., Acta Arith. 11 (1966), 411--418 ( MR34 #5791; Zentralblatt 146,271. 

  • 1966-16 P. Erdõs, A. Rényi: On the existence of a factor of degree one of a connected random graph, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 17 (1966), 359--368 ( MR34 #85; Zentralblatt 203,569. 

  • 1966-17 P. Erdõs, J. H. van Lint: On the number of positive integers $le x$ and free of prime factors $>y$, Simon Stevin 40 (1966/1967), 73--76 ( MR35 #2836; Zentralblatt 146,53. 

  • 1966-18 P. Erdõs, A. Sárközy, E. Szemerédi: On the solvability of the equations $[a_i, a_j] = a_r$ and $(a'_i, a'_j)=a'_r$ in sequences of positive density, J. Math. Anal. Appl. 15 (1966), 60--64 (MR33 #4035; Zentralblatt 151,35. 

  • 1966-19 P. Erdõs, M. Makkai: Some remarks on set theory, X., Studia Sci. Math. Hungar. 1 (1966), 157--159 ( MR35 #70; Zentralblatt 199,23. 

  • 1966-20 P. Erdõs: Számelméleti megjegyzések, V. Extremális problémák a számelméletben, II. (Remarks on number theory, V. Extremal problems in number theory, II., in Hungarian), Mat. Lapok 17(1966), 135--155 MR36 #133; Zentralblatt 146,272. 

  • 1966-21 P. Erdõs, A. W. Goodman, L. Pósa: The representation of a graph by set intersections, Canad. J. Math. 18 (1966), 106--112 ( MR32 #4034; Zentralblatt 137,432. 



    1967:

  • 1967-01 P. Erdõs, P. Turán: A statisztikus csoportelmélet egyes problémáiról (Certain problems of statistical group theory, in Hungarian), Magyar Tud. Akad. Mat. Fiz. Oszt. Közl. 17 (1967), 51--57 (MR35 #6744; Zentralblatt 146,254. 

  • 1967-02 P. Erdõs: Applications of probabilistic methods to graph theory, A Seminar on Graph Theory , pp. 60--64, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1967 MR36 #68; Zentralblatt 159,541. 

  • 1967-03 P. Erdõs: Asymptotische Untersuchungen über die Anzahl der Teiler von $n$ (in German), Math. Ann. 169 (1967), 230--238 MR34 #5771; Zentralblatt 149,288. 

  • 1967-04 P. Erdõs, G. Piranian: Essential Hausdorff cores of sequences, J. Indian Math. Soc. (N.S.) 30 (1966), 93--115, 1967 ( MR36 #5560; Zentralblatt 148,289. 

  • 1967-05 P. Erdõs: Extremal problems in graph theory, A Seminar on Graph Theory , pp. 54--59, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1967 MR36 #6311; Zentralblatt 159,541. 

  • 1967-06 P. Erdõs: Gráfok páros körüljárású részgráfjairól (On even subgraphs of graphs, in Hungarian), Mat. Lapok 18 (1967), 283--288 MR39 #95; Zentralblatt 193,243. 

  • 1967-07 P. Erdõs, A. Hajnal: Kromatikus gráfokról (On chromatic graphs, in Hungarian), Mat. Lapok 18 (1967), 1--4 ( MR37 #2635; Zentralblatt 152,412. 

  • 1967-08 P. Erdõs, A. Sárközy, E. Szemerédi: O rozreshymost'y niekotorych urevnienych v plotnych posledovatiel'nostyach tzelych tshysel (On the solvability of certain equations in the dense sequences of integers, in Dokl. Akad. Nauk SSSR 176 (1967), 541--544 (Russian) [English translation in {it Soviet Math. Dokl.} {bf 8} (1967), 1160--1164] ( MR37 #2716; Zentralblatt 159,60. 

  • 1967-09 P. Erdõs, A. Sárközy, E. Szemerédi: On a theorem of Behrend, J. Austral. Math. Soc. 7 (1967), 9--16 ( MR35 #148; Zentralblatt 146,271. 

  • 1967-10 P. Erdõs, A. Sárközy, E. Szemerédi: On an extremal problem concerning primitive sequences, J. London Math. Soc. 42 (1967), 484--488 ( MR36 #1412; Zentralblatt 166,51. 

  • 1967-11 P. Erdõs, A. Hajnal: On decomposition of graphs, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 18 (1967), 359--377 ( MR36 #6309; Zentralblatt 169,266. 

  • 1967-12 P. Erdõs, S. Hartman: On sequences of distances of a sequence, Colloq. Math. 17 (1967), 191--193 ( MR36 #2584; Zentralblatt 161,47. 

  • 1967-13 P. Erdõs: On some applications of graph theory to geometry, Canad. J. Math. 19 (1967), 968--971 MR36 #2520; Zentralblatt 161,206. 

  • 1967-14 P. Erdõs, P. Turán: On some problems of a statistical group-theory, II., Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 18 (1967), 151--164 ( MR34 #7624; Zentralblatt 189,313. 

  • 1967-15 P. Erdõs, P. Turán: On some problems of a statistical group-theory, III., Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 18 (1967), 309--320 ( MR35 #6743; Zentralblatt 235.20003. 

  • 1967-16 P. Erdõs: On the boundedness and unboundedness of polynomials, J. Analyse Math. 19 (1967), 135--148 MR36 #4216; Zentralblatt 186,379. 

  • 1967-17 P. Erdõs, A. Sárközy, E. Szemerédi: On the divisibility properties of sequences of integers, II., Acta Arith. 14 (1967/1968), 1--12 ( MR37 #2717; Zentralblatt 186,80. 

  • 1967-18 J. Clunie, P. Erdõs: On the partial sums of power series, Proc. Roy. Irish Acad. Sect. A 65 (1967), 113--123 ( MR36 #5314. 

  • 1967-19 P. Erdõs, R. Rado: Partition relations and transitivity domains of binary relations, J. London Math. Soc. 42 (1967), 624--633 ( MR36 #1335; Zentralblatt 204,9. 

  • 1967-20 P. Erdõs: Problems and results on the convergence and divergence properties of the Lagrange interpolation polynomials and some extremal problems, Mathematica (Cluj) 10 (33) (1967), 65--73MR38 #1437; Zentralblatt 159,356. 

  • 1967-21 P. Erdõs, J. L. Selfridge: Some problems on the prime factors of consecutive integers, Illinois J. Math. 11 (1967), 428--430 ( MR37 #5144; Zentralblatt 149,289. 

  • 1967-22 P. Erdõs: Some recent results on extremal problems in graph theory. Results, Theory of Graphs (Internat. Sympos., Rome, 1966) , pp. 117--123 (English), pp. 124--130 (French), Gordon and Breach, New York; Dunod, Paris, 1967 MR37 #2634; Zentralblatt 187,210. 

  • 1967-23 P. Erdõs: Some remarks on chromatic graphs, Colloq. Math. 16 (1967), 253--256 MR35 #1504; Zentralblatt 156,223. 

  • 1967-24 P. Erdõs: Some remarks on number theory, II., Israel J. Math. 5 (1967), 57--64 MR35 #2851; Zentralblatt 147,302. 

  • 1967-25 P. Erdõs: Some remarks on the iterates of the $varphi$ and $sigma$ functions, Colloq. Math. 17 (1967), 195--202 MR36 #2573; Zentralblatt 173,39. 

  • 1967-26 P. Erdõs, P. Kelly: The minimal regular graph containing a given graph, A Seminar on Graph Theory , pp. 65--69, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1967 ( MR36 #6312; Zentralblatt159,541. 



    1968:

  • 1968-01 P. Erdõs, A. Hajnal: Egy kombinatorikus problémáról (On a combinatorial problem, in Hungarian, English summary), Mat. Lapok 19 (1968), 345--348 ( MR39 #5378; Zentralblatt 179,28. 

  • 1968-02 P. Erdõs: Hilbert térben levõ ponthalmazok néhány geometriai és halmazelméleti tulajdonságáról (Geometrical and set-theoretical properties of subsets of Hilbert space, in Hungarian, Mat. Lapok19 (1968), 255--258 MR40 #708; Zentralblatt 182,331. 

  • 1968-03 P. Erdõs, E. Szemerédi: On a problem of P. Erdõs and S. Stein, Acta Arith. 15 (1968), 85--90 ( MR38 #3218; Zentralblatt 186,79. 

  • 1968-04 P. Erdõs, A. Hajnal: On chromatic number of infinite graphs, Theory of Graphs (Proc. Colloq., Tihany, 1966) , pp. 83--98, Academic Press, New York, 1968 ( MR41 #8294; Zentralblatt164,248. 

  • 1968-05 P. Erdõs, D. J. Kleitman: On coloring graphs to maximize the proportion of multicolored $k$-edges, J. Combinatorial Theory 5 (1968), 164--169 ( MR37 #3956; Zentralblatt 167,223. 

  • 1968-06 P. Erdõs, S. Ulam: On equations with sets as unknowns, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 60 (1968), 1189--1195 ( MR38 #3152; Zentralblatt 162,20. 

  • 1968-07 P. Erdõs, A. Rényi: On random matrices, II., Studia Sci. Math. Hungar. 3 (1968), 459--464 ( MR39 #5389; Zentralblatt 174,41. 

  • 1968-08 P. Erdõs, A. Hajnal, E. C. Milner: On sets of almost disjoint subsets of a set, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 19 (1968), 209--218 ( MR37 #84; Zentralblatt 174,18. 

  • 1968-09 P. Erdõs: On some applications of graph theory to number theoretic problems, Publ. Ramanujan Inst. No. 1 (1968/1969), 131--136 MR42 #4520; Zentralblatt 208,56. 

  • 1968-10 P. Erdõs: On some new inequalities concerning extremal properties of graphs, Theory of Graphs (Proc. Colloq., Tihany, 1966) , pp. 77--81, Academic Press, New York, 1968 MR38 #1026;Zentralblatt 161,433. 

  • 1968-11 P. Erdõs, P. Turán: On some problems of a statistical group-theory, IV., Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 19 (1968), 413--435 ( MR38 #1156; Zentralblatt 235.20004. 

  • 1968-12 P. Erdõs: On the distribution of prime divisors (Short communication), Aequationes Math. 1 (1968), 208--209. 

  • 1968-13 D. A. Darling, P. Erdõs: On the recurrence of a certain chain, Proc. Amer. Math. Soc. 19 (1968), 336--338 ( MR36 #6012; Zentralblatt 164,475. 

  • 1968-14 P. Erdõs, A. Sárközy, E. Szemerédi: On the solvability of certain equations in sequences of positive upper logarithmic density, J. London Math. Soc. 43 (1968), 71--78 ( MR37 #183;Zentralblatt 155,88. 

  • 1968-15 P. Erdõs: Problems, Theory of Graphs (Proc. Colloq., Tihany, 1966) , pp. 361--362, Academic Press, New York, 1968 MR 38 #1016 (for entire book); Zentralblatt 155,2 (for entire book). 

  • 1968-16 P. Erdõs, A. Rényi: Some remarks on the large sieve of Yu. V. Linnik, Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math. 11 (1968), 3--13 ( MR39 #2318; Zentralblatt 207,359. 

  • 1968-17 P. Erdõs, E. G. Straus: Über eine geometrische Frage von Fejes-Tóth (in German), Elem. Math. 23 (1968), 11--14 ( MR37 #2068; Zentralblatt 158,406. 



    1969:

  • 1969-01 P. Erdõs, A. Hajnal, E. C. Milner: A problem on well ordered sets, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 20 (1969), 323--329 ( MR41 #5222; Zentralblatt 193,308. 

  • 1969-02 P. Erdõs, R. Rado: Intersection theorems for systems of sets, II., J. London Math. Soc. 44 (1969), 467--479 ( MR39 #6757; Zentralblatt 172,296. 

  • 1969-03 P. Erdõs: On a combinatorial problem, III., Canad. Math. Bull. 12 (1969), 413--416 MR40 #2551; Zentralblatt 199,318. 

  • 1969-04 P. Erdõs, A. Rényi: On random entire functions, Zastos. Mat. 10 (1969), 47--55 ( MR39 #5794; Zentralblatt 256.30025. 

  • 1969-05 P. Erdõs, A. Sárközy, E. Szemerédi: On some extremal properties of sequences of integers, Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math. 12 (1969), 131--135 ( MR41 #5326; Zentralblatt188,345. 

  • 1969-06 J. Dénes, P. Erdõs, P. Turán: On some statistical properties of the alternating group of degree $n$, Enseignement Math. (2) 15 (1969), 89--99 ( MR40 #214; Zentralblatt 186,42. 

  • 1969-07 P. Erdõs: On the distribution of prime divisors, Aequationes Math. 2 (1969), 177--183 MR39 #5495; Zentralblatt 174,81. 

  • 1969-08 P. Erdõs, I. Kátai: On the growth of $d_k(n)$, Fibonacci Quart. 7 (1969), 267--274 ( MR40 #5559; Zentralblatt 188,81. 

  • 1969-09 P. Erdõs: On the irrationality of certain series, Math. Student 36 (1968), 222--226, 1969 MR41 #6787; Zentralblatt 198,67. 

  • 1969-10 P. Erdõs: On the number of complete subgraphs and circuits contained in graphs, v Casopis Pv est. Mat. 94 (1969), 290--296 MR40 #5474; Zentralblatt 177,525. 

  • 1969-11 P. Erdõs, I. Kátai: On the sum $sum d_4(n)$, Acta Sci. Math. (Szeged) 30 (1969), 313--324 ( MR41 #162; Zentralblatt 186,358. 

  • 1969-12 P. Erdõs: On the sum $sum^x_{n=1} d[d(n)]$, Acta Sci. Math. (Szeged) On the sum $sum^x_{n=1} d[d(n)]$, {it Math. Student} 36 (1968), 227--229, 1969 MR41 #6802; Zentralblatt198,67. 

  • 1969-13 P. Erdõs: Problems and results in chromatic graph theory, Proof Techniques in Graph Theory (Proc. Second Ann Arbor Graph Theory Conf., Ann Arbor, Mich., 1968) , pp. 27--35, Academic Press, New York, 1969 MR40 #5494; Zentralblatt 194,251. 

  • 1969-14 P. Erdõs: Some applications of graph theory to number theory, The Many Facets of Graph Theory (Proc. Conf., Western Mich. Univ., Kalamazoo, Mich., 1968) , pp. 77--82, Springer, Berlin, 1969 MR40 #4149; Zentralblatt 187,210. 

  • 1969-15 P. D. T. A. Elliott, P. Erdõs: Some matching theorems, J. Indian Math. Soc. (N. S.) 32 (1968), 215--219, 1969 ( MR44 #103; Zentralblatt 194,254. 

  • 1969-16 P. Erdõs: Über die in Graphen enthaltenen saturierten planaren Graphen (in German), Math. Nachr. 40 (1969), 13--17 MR42 #5851; Zentralblatt 194,254. 

  • 1969-17 P. Erdõs, A. Sárközy, E. Szemerédi: Über Folgen ganzer Zahlen (in German), Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau) , pp. 77--86, Plenum, New York, 1969 (MR41 #8372; Zentralblatt 208,314. 



    1970:

  • 1970-01 P. Erdõs, L. Moser: An extremal problem in graph theory, J. Austral. Math. Soc. 11 (1970), 42--47 ( MR42 #5831; Zentralblatt 187,210. 

  • 1970-02 P. Erdõs, M. Herzog, J. Schönheim: An extremal problem on the set of noncoprime divisors of a number, Israel J. Math. 8 (1970), 408--412 ( MR43 #178; Zentralblatt 217,307. 

  • 1970-03 P. Erdõs, R. K. Guy: Distinct distances between lattice points, Elem. Math. 25 (1970), 121--123 ( MR43 #7406; Zentralblatt 222.10053. 

  • 1970-04 P. Erdõs, D. J. Kleitman: Extremal problems among subsets of a set, Proc. Second Chapel Hill Conf. on Combinatorial Mathematics and its Applications (Univ. North Carolina, Chapel Hill, N.C., 1970) , pp. 146--170, Univ. North Carolina, Chapel Hill, N.C., 1970 ( MR42 #1667; Zentralblatt 215,330. 

  • 1970-05 P. Erdõs, E. G. Straus: Nonaveraging sets, II., Combinatorial theory and its applications, II (Proc. Colloq., Balatonfüred, 1969) , pp. 405--411, North-Holland, Amsterdam, 1970 ( MR47 #4804; Zentralblatt 216,15. 

  • 1970-06 P. Erdõs: On a lemma of Hajnal-Folkman, Combinatorial theory and its applications, I (Proc. Colloq., Balatonfüred, 1969) , pp. 311--316, North-Holland, Amsterdam, 1970 MR45 #6655;Zentralblatt 209,280. 

  • 1970-07 P. Erdõs, A. Rényi: On a new law of large numbers, J. Analyse Math. 23 (1970), 103--111 ( MR42 #6907; Zentralblatt 225.60015. 

  • 1970-08 P. Erdõs, J. Komlós: On a problem of Moser, Combinatorial theory and its applications, I (Proc. Colloq., Balatonfüred, 1969) , pp. 365--367, North-Holland, Amsterdam, 1970 ( MR45 #6636; Zentralblatt 215,330. 

  • 1970-09 P. Erdõs, A. Sárközy, E. Szemerédi: On divisibility properties of sequences of integers, Number Theory (Colloq., János Bolyai Math. Soc., Debrecen, 1968) , pp. 35--49, North Holland, Amsterdam, 1970 ( MR43 #4790; Zentralblatt 212,397. 

  • 1970-10 P. Erdõs: On sets of distances of $n$ points, Amer. Math. Monthly 77 (1970), 739--740. 

  • 1970-11 P. Erdõs, A. Rényi: On some applications of probability methods to additive number theoretic problems, Contributions to Ergodic Theory and Probability (Proc. Conf., Ohio State Univ., Columbus, Ohio, 1970), Lecture Notes in Math., 160 , pp. 37--44, Springer, Berlin, 1970 ( MR43 #1938; Zentralblatt 209,354. 

  • 1970-12 P. Erdõs: On the distribution of the convergents of almost all real numbers, J. Number Theory 2 (1970), 425--441 MR42 #5941; Zentralblatt 205,349. 

  • 1970-13 P. Erdõs, A. Sárközy: On the divisibility properties of sequences of integers, Proc. London Math. Soc. (3) 21 (1970), 97--101 ( MR42 #222; Zentralblatt 201,51. 

  • 1970-14 P. Erdõs, J. Schönheim: On the set of non pairwise coprime divisors of a number, Combinatorial theory and its applications, I (Proc. Colloq., Balatonfüred, 1969) , pp. 369--376, North-Holland, Amsterdam, 1970 ( MR47 #1620; Zentralblatt 222.05007. 

  • 1970-15 P. Erdõs, A. H. Stone: On the sum of two Borel sets, Proc. Amer. Math. Soc. 25 (1970), 304--306 ( MR41 #5578; Zentralblatt 192,403. 

  • 1970-16 P. Erdõs, A. Hajnal: Problems and results in finite and infinite combinatorial analysis, Ann. New York Acad. Sci. 175 (1970), 115--124 ( MR41 #8276; Zentralblatt 236.05120. 

  • 1970-17 P. Erdõs: Problems in combinatorial set theory, Combinatorial Structures and their Applications (Proc. Calgary Internat. Conf., Calgary, Alta. 1969) , pp. 97--100, Gordon and Breach, New York, 1970 MR41 #8241; Zentralblatt 251.04004. 

  • 1970-18 P. Erdõs, L. Gerencsér, A. Máté: Problems of graph theory concerning optimal design, Combinatorial theory and its applications, I (Proc. Colloq., Balatonfüred, 1969) , pp. 317--325, North-Holland, Amsterdam, 1970 ( MR48 #170; Zentralblatt 209,280. 

  • 1970-19 P. Erdõs, A. Hajnal, E. C. Milner: Set mappings and polarized partition relations, Combinatorial theory and its applications, I (Proc. Colloq., Balatonfüred, 1969) , pp. 327--363, North-Holland, Amsterdam, 1970 ( MR45 #8585; Zentralblatt 215,329. 

  • 1970-20 P. Erdõs: Some applications of graph theory to number theory, Proc. Second Chapel Hill Conf. on Combinatorial Mathematics and its Applications (Univ. North Carolina, Chapel Hill, N.C., 1970) , pp. 136--145, Univ. North Carolina, Chapel Hill, N.C., 1970 MR42 #1748; Zentralblatt 214,306. 

  • 1970-21 P. Erdõs: Some extremal problems in combinatorial number theory, Mathematical Essays Dedicated to A. J. Macintyre , pp. 123--133, Ohio Univ. Press, Athens, Ohio, 1970 MR43 #1942;Zentralblatt 214,306. 

  • 1970-22 P. Erdõs, M. Simonovits: Some extremal problems in graph theory, Combinatorial theory and its applications, I (Proc. Colloq., Balatonfüred, 1969) , pp. 377--390, North-Holland, Amsterdam, 1970 ( MR46 #84; Zentralblatt 209,280. 

  • 1970-23 P. Erdõs: Some problems in additive number theory, Amer. Math. Monthly 77 (1970), 619--621 MR42 #3040. 

  • 1970-24 P. Erdõs, V. T. Sós: Some remarks on Ramsey's and Turán's theorem, Combinatorial theory and its applications, II (Proc. Colloq., Balatonfüred, 1969) , pp. 395--404, North-Holland, Amsterdam, 1970 ( MR45 #8560; Zentralblatt 209,280. 

  • 1970-25 P. Erdõs, A. Hajnal: Some results and problems on certain polarized partitions, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 21 (1970), 369--392 ( MR43 #7357; Zentralblatt 214,27. 

  • 1970-25 P. Erdõs: Some Unsolved Problems, Creation in Mathematics , 1970 



    1971:

  • 1971-01 P. Erdõs, M. Simonovits: An extremal graph problem, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 22 (1971/72), 275--282 ( MR45 #1790; Zentralblatt 234.05118. 

  • 1971-02 P. Erdõs: Child prodigies, Proceedings of the Washington State University Conference on Number Theory (Pullman, Wash., 1971) , pp. 1--12, Dept. Math., Washington State Univ., Pullman, Wash., 1971 MR47 #4754; Zentralblatt 242.01017. 

  • 1971-03 P. Erdõs, J. L. Selfridge: Complete prime subsets of consecutive integers, Proceedings of the Manitoba Conference on Numerical Mathematics (Univ. Manitoba, Winnipeg, Man., 1971) , pp. 1--14, Dept. Comput. Sci., Univ. Manitoba, Winnipeg, Man., 1971 ( MR49 #2597; Zentralblatt 267.10054. 

  • 1971-04 J. Bosák, P. Erdõs, A. Rosa: Decompositions of complete graphs into factors with diameter two, Mat. v Casopis Sloven. Akad. Vied 21 (1971), 14--28 ( MR48 #165; Zentralblatt 213,510. 

  • 1971-05 P. Erdõs, J. H. Spencer: Imbalances in $k$-colorations, Networks 1 (1971/72), 379--385 ( MR45 #8573; Zentralblatt 248.05114. 

  • 1971-06 P. Erdõs, I. Kátai: Non complete sums of multiplicative functions, Period. Math. Hungar. 1 (1971) no. 3, 209--212 ( MR44 #6625; Zentralblatt 227.10005. 

  • 1971-07 P. Erdõs, D. J. Kleitman: On collections of subsets containing no 4-member Boolean algebra, Proc. Amer. Math. Soc. 28 (1971), 87--90 ( MR42 #5807; Zentralblatt 214,28. 

  • 1971-08 P. Erdõs, A. Meir, V. T. Sós, P. Turán: On some applications of graph theory, II., Studies in Pure Mathematics (Presented to Richard Rado) , pp. 89--99, Academic Press, London, 1971 (MR44 #3887; Zentralblatt 218.52005. 

  • 1971-09 P. Erdõs: On some extremal problems on $r$-graphs, Discrete Math. 1 (1971/72) no. 1, 1--6 MR45 #6656; Zentralblatt 211,270. 

  • 1971-10 P. Erdõs, P. Turán: On some general problems in the theory of partitions, I., Acta Arith. 18 (1971), 53--62 ( MR44 #6636; Zentralblatt 217,322. 

  • 1971-11 P. Erdõs, P. Turán: On some problems of a statistical group theory, V., Period. Math. Hungar. 1 (1971) no. 1, 5--13 ( MR44 #6638; Zentralblatt 223.10005. 

  • 1971-12 P. Erdõs, P. Turán: On some problems of a statistical group theory, VI., J. Indian Math. Soc. (N.S.) 34 (1970) no. 3--4, 175--192, 1971 ( MR58 #21974; Zentralblatt 235.10008. 

  • 1971-13 P. Erdõs: On the application of combinatorial analysis to number theory, geometry and analysis, Actes du Congr`es International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 3 , pp. 201--210, Gauthier-Villars, Paris, 1971 MR54 #7278; Zentralblatt 231.05003. 

  • 1971-14 P. Erdõs: On the sum $sum_{d|2^n-1} d^{-1}$, Actes du Congr`es International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 3 On the sum $sum_{d|2^n-1} d^{-1}$, {it Israel J. Math.} 9(1971), 43--48 MR42 #4508; Zentralblatt 209,343. 

  • 1971-15 P. Erdõs, A. Hajnal: Ordinary partition relations for ordinal numbers, Period. Math. Hungar. 1 (1971) no. 3, 171--185 ( MR 45 #8531; Zentralblatt 257.04004. 

  • 1971-16 P. Erdõs, E. C. Milner, R. Rado: Partition relations for $eta_{alpha}$-sets, Period. Math. Hungar. Partition relations for $eta_{alpha}$-sets, {it J. London Math. Soc. (2)} 3 (1971), 193--204 ( MR43 #60; Zentralblatt 212,22. 

  • 1971-17 P. Erdõs, A. Hajnal, E. C. Milner: Polarized partition relations for ordinal numbers, Studies in Pure Mathematics (Presented to Richard Rado) , pp. 63--87, Academic Press, London, 1971 (MR43 #3123; Zentralblatt 228.04002. 

  • 1971-18 P. Erdõs: Problems and results in combinatorial analysis, Combinatorics (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIX, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1968) , pp. 77--89, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1971 MR55 #5450; Zentralblatt 231.05002. 

  • 1971-19 P. Erdõs, R. J. McEliece, H. Taylor: Ramsey bounds for graph products, Pacific J. Math. 37 (1971), 45--46 ( MR46 #3376; Zentralblatt 207,228 and 213,262. 

  • 1971-20 P. Erdõs, G. B. Purdy: Some extremal problems in geometry, J. Combinatorial Theory Ser. A 10 (1971), 246--252 ( MR43 #1045; Zentralblatt 219.05006. 

  • 1971-21 P. Erdõs, E. G. Straus: Some number theoretic results, Pacific J. Math. 36 (1971), 635--646 ( MR43 #7413; Zentralblatt 216,322. 

  • 1971-22 P. Erdõs, S. Ulam: Some probabilistic remarks on Fermat's last theorem, Rocky Mountain J. Math. 1 (1971), 613--616 ( MR44 #2724; Zentralblatt 228.10035. 

  • 1971-23 P. Erdõs: Some problems in number theory, Computers in number theory (Proc. Atlas Sympos., Oxford, 1969) , pp. 405--414, Academic Press, London, 1971; Zentralblatt 217,31. 

  • 1971-24 P. Erdõs, J. L. Selfridge: Some problems on the prime factors of consecutive integers, II., Proceedings of the Washington State University Conference on Number Theory (Pullman, Wash., 1971), pp. 13--21, Dept. Math., Washington State Univ., Pullman, Wash., 1971 ( MR47 #6625; Zentralblatt 228.10028. 

  • 1971-25 P. Erdõs: Some unsolved problems in graph theory and combinatorial analysis, Combinatorial Mathematics and its Applications (Proc. Conf., Oxford, 1969) , pp. 97--109, Academic Press, London, 1971 MR43 #3125; Zentralblatt 221.05051. 

  • 1971-26 P. Erdõs: Topics in combinatorial analysis, Proceedings of the Second Louisiana Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing (Louisiana State Univ., Baton Rouge, 1971) , pp. 2--20, Louisiana State University, Baton Rouge, LA, 1971 MR 47 #4750 (for entire conference proceedings); Zentralblatt 289.05001. 

  • 1971-27 P. Erdõs: Turán Pál gráf tételérõl (On the graph theorem of Turán, in Hungarian), Mat. Lapok 21 (1970), 249--251, 1971 MR46 #7090; Zentralblatt 231.05110. 

  • 1971-28 P. Erdõs, A. Hajnal: Unsolved problems in set theory, Axiomatic Set Theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif,. 1967) , pp. 17--48, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1971 ( MR43 #6101; Zentralblatt 228.04001. 



    1972:

  • 1972-01 P. Erdõs, C. Ryavec: A characterization of finitely monotonic additive functions, J. London Math. Soc. (2) 5 (1972), 362--367 ( MR48 #8362; Zentralblatt 238.10002. 

  • 1972-02 V. Chvátal, P. Erdõs: A note on Hamiltonian circuits, Discrete Math. 2 (1972), 111--113 ( MR45 #6654; Zentralblatt 233.05123. 

  • 1972-03 P. Erdõs, E. C. Milner: A theorem in the partition calculus, Canad. Math. Bull. 15 (1972), 501--505 ( MR48 #10819; Zentralblatt 271.04003. 

  • 1972-04 P. Erdõs, J. H. Spencer: ErdÕs és Hajnal egy problémájáról (On a certain problem of ErdÕs and Hajnal, in Hungarian, English summary), Mat. Lapok 22 (1971), 1--2, 1972 ( MR48 #112;Zentralblatt 247.05007. 

  • 1972-05 P. Erdõs: Extremal problems in number theory, Proceedings of the Number Theory Conference (Univ. Colorado, Boulder, Colo., 1972) , pp. 80--86, Univ. Colorado, Boulder, Colo., 1972MR52 #13713; Zentralblatt 325.10001. 

  • 1972-06 P. Erdõs, R. L. Graham: On a linear diophantine problem of Frobenius, Acta Arith. 21 (1972), 399--408 ( MR47 #127; Zentralblatt 246.10010. 

  • 1972-07 P. Erdõs: On a problem of Grünbaum, Canad. Math. Bull. 15 (1972), 23--25 MR47 #5709; Zentralblatt 233.05017. 

  • 1972-08 P. Erdõs, E. Szemerédi: On a Ramsey type theorem, Collection of articles dedicated to the memory of Alfréd Rényi, I., Period. Math. Hungar. 2 (1972), 295--299 ( MR48 #3793; Zentralblatt242.05122. 

  • 1972-09 P. Erdõs, S. Shelah: On problems of Moser and Hanson, Graph theory and applications (Proc. Conf., Western Michigan Univ., Kalamazoo, Mich., 1972; dedicated to the memory of J. W. T. Youngs), Lecture Notes in Math., 303 , pp. 75--79, Springer, Berlin, 1972 ( MR49 #2415; Zentralblatt 249.05004. 

  • 1972-10 P. Erdõs, A. Hajnal: On Ramsey like theorems. Problems and results, Combinatorics (Proc. Conf. Combinatorial Math., Math. Inst., Oxford, 1972) , pp. 123--140, Inst. Math. Appl., Southend-on-Sea, 1972 ( MR49 #2405; Zentralblatt 469.05001 (for entire book). 

  • 1972-11 P. Erdõs, A. Meir, V. T. Sós, P. Turán: On some applications of graph theory, I., Discrete Math. 2 (1972) no. 3, 207--228 ( MR46 #5053; Zentralblatt 236.05119. 

  • 1972-12 P. Erdõs, A. Meir, V. T. Sós, P. Turán: On some applications of graph theory, III., Canad. Math. Bull. 15 (1972), 27--32 ( MR50 #4393; Zentralblatt 232.05003. 

  • 1972-13 P. Erdõs, P. Turán: On some problems of a statistical group theory, VII., Collection of articles dedicated to the memory of Alfréd Rényi, I., Period. Math. Hungar. 2 (1972), 149--163 ( MR56 #5470; Zentralblatt 247.20008. 

  • 1972-14 P. Erdõs, R. L. Graham: On sums of Fibonacci numbers, Fibonacci Quart. 10 (1972), 249--254 ( MR46 #5228; Zentralblatt 235.10006. 

  • 1972-15 P. Erdõs: On the distribution of the roots of orthogonal polynomials, Proceedings of the Conference on the Constructive Theory of Functions (Approximation Theory) (Budapest, 1969) , pp. 145--150, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1972 MR53 #13987; Zentralblatt 234.33014. 

  • 1972-16 P. Erdõs: On the fundamental problem of mathematics, Amer. Math. Monthly 79 (1972), 149--150; Zentralblatt 231.00006. 

  • 1972-17 P. Erdõs, M. V. Subbarao: On the iterates of some arithmetic functions, The theory of arithmetic functions (Proc. Conf., Western Michigan Univ., Kalamazoo, Mich. 1971), Lecture Notes in Math., 251 , pp. 119--125, Springer, Berlin, 1972 ( MR48 #11012; Zentralblatt 228.10033. 

  • 1972-18 R. Entringer, P. Erdõs: On the number of unique subgraphs of a graph, J. Combinatorial Theory Ser. B 13 (1972), 112--115 ( MR47 #6539; Zentralblatt 241.05111. 

  • 1972-19 P. Erdõs, A. Hajnal, E. C. Milner: Partition relations for $eta_{alpha}$ and for $aleph_{alpha}$-saturated models, J. Combinatorial Theory Ser. B Partition relations for $eta_{alpha}$ and for $aleph_{alpha}$-saturated models, {it Theory of sets and topology (in honour of Felix Hausdorff, 1868--1942)}, pp. 95--108, VEB Deutsch. Verlag Wissensch., Berlin, 1972 ( MR49 #7143;Zentralblatt 277.04006. 

  • 1972-20 V. Chvátal, P. Erdõs, Z. Hedrlín}: Ramsey's theorem and self-complementary graphs, Discrete Math. 3 (1972), 301--304 ( MR47 #1674; Zentralblatt 244.05114. 

  • 1972-21 P. Erdõs, S. Shelah: Separability properties of almost-disjoint families of sets, Israel J. Math. 12 (1972), 207--214 ( MR47 #8312; Zentralblatt 246.05002. 

  • 1972-22 P. Erdõs, A. Hajnal, E. C. Milner: Simple one-point extensions of tournaments, Mathematika 19 (1972), 57--62 ( MR52 #2947; Zentralblatt 242.05113. 

  • 1972-23 P. Erdõs: Some problems on consecutive prime numbers, Mathematika 19 (1972), 91--95 MR47 #4949; Zentralblatt 245.10032. 

  • 1972-24 P. Erdõs, E. Fried, A. Hajnal, E. C. Milner: Some remarks on simple tournaments, Algebra Universalis 2 (1972), 238--245 ( MR46 #5161; Zentralblatt 267.05104. 

  • 1972-25 R. B. Eggleton, P. Erdõs: Two combinatorial problems in group theory, Acta Arith. 21 (1972), 111--116 ( MR46 #3643; Zentralblatt 248.20068. 



    1973:

  • 1973-01 P. Erdõs, E. Netanyahu: A remark on polynomials and the transfinite diameter, Israel J. Math. 14 (1973), 23--25 ( MR47 #7006; Zentralblatt 259.30004. 

  • 1973-02 P. Erdõs, M. S. Klamkin: A triangle inequality, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. Fiz. No. 412--460 (1973), 117--118 ( MR48 #4208; Zentralblatt 278.50008. 

  • 1973-03 P. Erdõs, A. Hajnal, A. Máté: Chain conditions on set mappings and free sets, Acta Sci. Math. (Szeged) 34 (1973), 69--79 ( MR47 #6492; Zentralblatt 274.04005. 

  • 1973-04 P. Erdõs, A. Meir, V. T. Sós, P. Turán: Corrigendum: ``On some applications of graph theory, I.'' [ Discrete Math. 2 (1972) no. 3, 207--228], {it Discrete Math.} {bf 4} (1973), 90 ( MR46 #7093; Zentralblatt 245.05130. 

  • 1973-05 P. Erdõs, R. K. Guy: Crossing number problem, Amer. Math. Monthly 80 (1973), 52--58 ( MR52 #2894; Zentralblatt 264.05109. 

  • 1973-06 P. Erdõs, H. Minc: Diagonals of nonnegative matrices, Linear and Multilinear Algebra 1 (1973) no. 2, 89--95 ( MR48 #2164; Zentralblatt 277.15011. 

  • 1973-07 P. Erdõs, L. Lovász, A. Simmons, E. G. Straus: Dissection of graphs of planar point sets, A survey of combinatorial theory (Proc. Internat. Sympos., Colorado State Univ., Fort Collins, Colo., 1971) , pp. 139--149, North-Holland, Amsterdam, 1973 ( MR51 #241; Zentralblatt 258.05112. 

  • 1973-08 P. Erdõs, R. L. Graham, P. Montgomery, B. L. Rothschild, J. H. Spencer, E. G. Straus: Euclidean Ramsey theorems, I., J. Combinatorial Theory Ser. A 14 (1973), 341--363 ( MR47 #4825;Zentralblatt 276.05001. 

  • 1973-09 W. G. Brown, P. Erdõs, M. Simonovits: Extremal problems for directed graphs, J. Combinatorial Theory Ser. B 15 (1973), 77--93 ( MR52 #7952; Zentralblatt 257.05112 and 253.05124. 

  • 1973-10 P. Erdõs, J. L. Selfridge: On a combinatorial game, J. Combinatorial Theory Ser. A 14 (1973), 298--301 ( MR48 #5655; Zentralblatt 293.05004. 

  • 1973-11 P. Erdõs, P. E. O'Neil: On a generalization of Ramsey numbers, Discrete Math. 4 (1973), 29--35 ( MR46 #8849; Zentralblatt 249.05003. 

  • 1973-12 P. Erdõs, M. Simonovits: On a valence problem in extremal graph theory, Discrete Math. 5 (1973), 323--334 ( MR49 #7175; Zentralblatt 268.05121. 

  • 1973-13 P. Erdõs, A. Hajnal, B. L. Rothschild: ``On chromatic number of graphs and set-systems'' by Erdõs and Hajnal [ Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 17 (1966), 61--99], {it Cambridge Summer School in Mathematical Logic (Cambridge, England, 1971), Lecture Notes in Math., 337}, pp. 531--538, Springer, Berlin, 1973 ( MR52 #7949; Zentralblatt 289.04002. 

  • 1973-14 P. Erdõs, J. Komlós: On the capacity of graphs, Collection of articles dedicated to the memory of Alfréd Rényi, II., Period. Math. Hungar. 3 (1973), 125--133 ( MR49 #126; Zentralblatt245.05112. 

  • 1973-15 W. G. Brown, P. Erdõs, V. T. Sós: On the existence of triangulated spheres in 3-graphs, and related problems, Period. Math. Hungar. 3 (1973) no. 3--4, 221--228 ( MR48 #2003;Zentralblatt 269.05111. 

  • 1973-16 P. Erdõs, I. Z. Ruzsa, A. Sárközy: On the number of solutions of $f(n)=a$ for additive functions, Collection of articles dedicated to Carl Ludwig Siegel on the occasion of his seventy-fifth birthday, I., Acta Arith. 24 (1973), 1--9 ( MR48 #11013; Zentralblatt 261.10007. 

  • 1973-17 P. Erdõs, E. Szemerédi: On the number of solutions of $m=sum^k_{i=1} chi^k_i$, Acta Arith. On the number of solutions of $m=sum^k_{i=1} chi^k_i$, {it Analytic number theory (Proc. Symp. Pure Math., Vol. XXIV, St. Louis Univ., St. Louis, Mo., 1972)}, pp. 83--90, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1973, 83--90 ( MR49 #2529; Zentralblatt 264.10016. 

  • 1973-18 B. Bollobás, P. Erdõs: On the structure of edge graphs, Bull. London Math. Soc. 5 (1973), 317--321 ( MR49 #129; Zentralblatt 277.05135. 

  • 1973-19 P. Erdõs, R. R. Hall: On the values of Euler's $varphi$-function, Acta Arith. 22 (1973), 201--206 ( MR53 #13143; Zentralblatt 252.10007. 

  • 1973-20 P. Erdõs, B. Grünbaum: Osculation vertices in arrangements of curves, Geometriae Dedicata 1 (1973) no. 3, 322--333 ( MR47 #5705; Zentralblatt 257.52016. 

  • 1973-21 P. Erdõs: Problems and results on combinatorial number theory, A survey of combinatorial theory (Proc. Internat. Sympos., Colorado State Univ., Fort Collins, Colo., 1971) , pp. 117--138, North-Holland, Amsterdam, 1973 MR50 #12957; Zentralblatt 263.10001. 

  • 1973-22 J. A. Bondy, P. Erdõs: Ramsey numbers for cycles in graphs, J. Combinatorial Theory Ser. B 14 (1973), 46--54 ( MR47 #6540; Zentralblatt 248.05127. 

  • 1973-23 P. Erdõs, A. R. Reddy: Rational approximation to certain entire functions in $[0,+infty)$, Bull. Amer. Math. Soc. 79 (1973), 992--993 ( MR49 #3390; Zentralblatt 272.41007. 

  • 1973-24 P. Erdõs: Résultats et probl`emes en théorie des nombres (in French), Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/73), Théorie des nombres, Fasc. 2, Exp. No. 24 , 7 pp., Secrétariat Mathematique, Paris, 1973 MR53 #243; Zentralblatt 319.10002. 

  • 1973-25 W. G. Brown, P. Erdõs, V. T. Sós: Some extremal problems on $r$-graphs, New directions in the theory of graphs (Proc. Third Ann Arbor Conf., Univ. Michigan, Ann Arbor, Mich., 1971) , pp. 53--63, Academic Press, New York, 1973 ( MR50 #4376; Zentralblatt 258.05132. 

  • 1973-26 R. Entringer, P. Erdõs, C. C. Harner: Some extremal properties concerning transitivity in graphs, Period. Math. Hungar. 3 (1973) no. 3--4, 275--279 ( MR48 #169; Zentralblatt 263.05108. 

  • 1973-27 P. Erdõs: Über die Zahlen der form $sigma (n)-n$ und $n-varphi (n)$ (in German), Elem. Math. 28 (1973), 83--86 MR49 #2502; Zentralblatt 272.10003. 

  • 1973-28 L. Bankoff, P. Erdõs, M. S. Klamkin: The asymmetric propeller, Math. Mag. 46 (1973), 270--272 ( MR48 #7099; Zentralblatt 274.50006. 

  • 1973-29 P. Erdõs: Über die Anzahl der Primfaktoren von ${nchoose k}$ (in German), Math. Mag. Über die Anzahl der Primfaktoren von ${nchoose k}$ (in German), {it Arch. Math. (Basel)} 24(1973), 53--56 MR47 #8422; Zentralblatt 251.10010. 

  • [1973-30] 1973-30 P. Erdõs:  The art of counting: Selected writings , edited by Joel Spencer and with a dedication by Richard Rado, Mathematicians of Our Time, Vol. 5, xxiii+742 pp., MIT Press, Cambridge, Mass.-London, 1973 MR58 #27144; Zentralblatt 287.01028. 



    1974:

  • 1974-01 E. F. Ecklund, Jr., P. Erdõs, J. L. Selfridge: A new function associated with the prime factors of ${n choose k}$, The art of counting: Selected writings A new function associated with the prime factors of ${n choose k}$, {it Math. Comp.} 28 (1974), 647--649 ( MR49 #2501; Zentralblatt 279.10034. 

  • 1974-02 P. Erdõs, J. Galambos: Asymptotic distribution of normalized arithmetical functions, Proc. Amer. Math. Soc. 46 (1974), 1--8 ( MR50 #9828; Zentralblatt 287.10048 and 275.10028. 

  • 1974-03 P. Erdõs, R. C. Vaughan: Bounds for the $r$-th coefficients of cyclotomic polynomials, J. London Math. Soc. (2) 8 (1974), 393--400 ( MR50 #9835; Zentralblatt 295.10014. 

  • 1974-04 P. Erdõs, A. R. Reddy: Chebyshev rational approximation to entire functions in $[0, +infty)$, Mathematical Structures (papers dedicated to Professor L. Iliev's 60th anniversary) , pp. 225--234, Sofia, 1974; Zentralblatt 269.41014. 

  • 1974-05 B. Bollobás, P. Erdõs, E. G. Straus: Complete subgraphs of chromatic graphs and hypergraphs, Utilitas Math. 6 (1974), 343--347 ( MR52 #162; Zentralblatt 333.05116. 

  • 1974-06 P. Erdõs, B. Grünbaum: Correction to: ``Osculation vertices in arrangements of curves'' [ Geometriae Dedicata 1 (1973), 322--333], {it Geometriae Dedicata} {bf 3} (1974), 130 ( MR48 #12240. 

  • 1974-07 P. Erdõs, E. C. Milner: Corrigendum: ``A theorem in the partition calculus'' [ Canad. Math. Bull. 15 (1972), 501--505], {it Canad. Math. Bull.} {bf 17} (1974), 305 ( MR50 #12734;Zentralblatt 289.04001. 

  • 1974-08 P. Erdõs, D. J. Newman: Exhausting an area with discs, Proc. Amer. Math. Soc. 45 (1974), 305--308 ( MR50 #8307; Zentralblatt 298.52010. 

  • 1974-09 P. Erdõs, D. J. Kleitman: Extremal problems among subsets of a set, Discrete Math. 8 (1974), 281--294 ( MR48 #10821; Zentralblatt 281.04002. 

  • 1974-10 P. Erdõs: Extremal problems on graphs and hypergraphs, Hypergraph Seminar (Proc. First Working Sem., Ohio State Univ., Columbus, Ohio, 1972; dedicated to Arnold Ross), Lecture Notes in Math., 411 , pp. 75--84, Springer, Berlin, 1974 MR50 #12800; Zentralblatt 301.05123. 

  • 1974-11 P. Erdõs, E. C. Milner, R. Rado: Intersection theorems for systems of sets, III., Collection of articles dedicated to the memory of Hanna Neumann, IX., J. Austral. Math. Soc. 18 (1974), 22--40 ( MR51 #169; Zentralblatt 331.04002. 

  • 1974-12 P. Erdõs: On abundant-like numbers, Canad. Math. Bull. 17 (1974), 599--602 MR52 #8013; Zentralblatt 312.10003. 

  • 1974-13 P. Erdõs, G. Freud: On orthogonal polynomials with regularly distributed zeros, Proc. London Math. Soc. (3) 29 (1974), 521--537 ( MR54 #8134; Zentralblatt 294.33006. 

  • 1974-14 S. L. G. Choi, P. Erdõs: On products of integers, Collection of articles dedicated to K. Mahler on the occasion of his seventieth birthday, J. Number Theory 6 (1974), 416--421 ( MR51 #12740; Zentralblatt 294.10029. 

  • 1974-15 P. Erdõs, R. K. Guy, J. W. Moon: On refining partitions, J. London Math. Soc. (2) 9 (1974/75), 565--570 ( MR50 #12752; Zentralblatt 312.05008. 

  • 1974-16 P. Erdõs, J. W. Moon: On sets of consistent arcs in a tournament (in Russian), Teor. Graf. Pokryt. Ukladki Turniry , ( pp. 160--162, 1974; Zentralblatt 289.05114. 

  • 1974-17 P. Erdõs, A. Hajnal, S. Shelah: On some general properties of chromatic numbers, Topics in topology (Proc. Colloq., Keszthely, 1972); Colloq. Math. Soc. János Bolyai, Vol. 8 , pp. 243--255, North-Holland, Amsterdam, 1974 ( MR50 #9662; Zentralblatt 299.02083. 

  • 1974-18 B. Andrásfai, P. Erdõs, V. T. Sós: On the connection between chromatic number, maximal clique and minimal degree of a graph, Discrete Math. 8 (1974), 205--218 ( MR49 #4831;Zentralblatt 284.05106. 

  • 1974-19 P. Erdõs: On the distribution of numbers of the form $sigma (n)/n$ and on some related questions, Pacific J. Math. 52 (1974), 59--65 MR50 #7079; Zentralblatt 291.10040. 

  • 1974-20 P. Erdõs, R. R. Hall: On the distribution of values of certain divisor functions, J. Number Theory 6 (1974), 52--63 ( MR49 #2606; Zentralblatt 274.10043. 

  • 1974-21 P. Erdõs: On the existence of a factor of degree one of a connected random graph (Translation of ... into Russian), Teor. Graf. Pokryt. Ukladki Turniry , pp. 12--23, 1974; Zentralblatt289.05128. 

  • 1974-22 P. Erdõs, E. G. Straus: On the irrationality of certain series, Pacific J. Math. 55 (1974), 85--92 ( MR51 #3067; Zentralblatt 294.10024 and 279.10026. 

  • 1974-23 H. L. Abbott, P. Erdõs, D. Hanson: On the number of times an integer occurs as a binomial coefficient, Amer. Math. Monthly 81 (1974), 256--261 ( MR49 #65; Zentralblatt 276.05005. 

  • 1974-24 S. J. Benkoski, P. Erdõs: On weird and pseudoperfect numbers, Math. Comp. 28 (1974), 617--623 ( MR50 #228; Zentralblatt 279.10005. 

  • 1974-25 P. Erdõs, D. J. Kleitman, J. H. Spencer: Probabilistic methods in combinatorics, Probability and Mathematical Statistics, Vol. 17 , 106 pp., Academic Press [A subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1974 ( MR52 #2895; Zentralblatt 308.05001. Also translated into Russian, along with a translation of ErdÕs's paper ``Extremal problems among subsets of a set'' [{it Discrete Math.} 8 (1974), 281--294 (], Izdat. ``Mir'', Moscow, 1976, 131 pp.mr54 #2470. 

  • 1974-26 P. Erdõs: Remark on a theorem of Lindström, J. Combinatorial Theory Ser. A 17 (1974), 129--130 MR49 #7144; Zentralblatt 285.05004. 

  • 1974-27 P. Erdõs: Remarks on some problems in number theory, Papers presented at the Fifth Balkan Mathematical Congress (Belgrade, 1974), Math. Balkanica 4 (1974), 197--202 MR55 #2715;Zentralblatt 313.10045. 

  • 1974-28 P. Erdõs, R. R. Hall: Some distribution problems concerning the divisors of integers, Acta Arith. 26 (1974/75), 175--188 ( MR50 #7070; Zentralblatt 292.10027 and 272.10021. 

  • 1974-29 P. D. T. A. Elliott, P. Erdõs: Some matching theorems (Translation of 65.15 into Russian), Teor. Graf. Pokryt. Ukladki Turniry , pp. 7--11, ( 1974; Zentralblatt 289.05124. 

  • 1974-30 P. Erdõs: Some new applications of probability methods to combinatorial analysis and graph theory, Proceedings of the Fifth Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing (Florida Atlantic Univ., Boca Raton, Fla., 1974) , pp. 39--51, {it Congress. Numer. X}, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1974 MR51 #275; Zentralblatt 312.05126. 

  • 1974-31 P. Erdõs: Some problems in graph theory, Hypergraph Seminar (Proc. First Working Sem., Ohio State Univ., Columbus, Ohio, 1972; dedicated to Arnold Ross), Lecture Notes in Math., 411 , pp. 187--190, Springer, Berlin, 1974 MR52 #193; Zentralblatt 297.05133. 

  • 1974-32 P. Erdõs, P. Ney: Some problems on random intervals and annihilating particles, Ann. Probability 2 (1974), 828--839 ( MR51 #9270; Zentralblatt 297.60052. 

  • 1974-33 P. Erdõs, A. Hajnal: Some remarks on set theory, XI., Collection of articles dedicated to Andrzej Mostowski on the occasion of his sixtieth birthday, III., Fund. Math. 81 (1974), 261--265 (MR50 #114; Zentralblatt 285.04002. 

  • 1974-34 P. Erdõs, S. K. Zaremba: The arithmetic function $sum_{d|n} log d/d$, Collection of articles dedicated to Stanislaw Golab on his 70th birthday, II., Fund. Math. The arithmetic function $sum_{d|n} log d/d$, Collection of articles dedicated to Stanislaw Golab on his 70th birthday, II., {it Demonstratio Math.} 6 (1973), 575--579, 1974 ( MR50 #4513; Zentralblatt 287.10005. 

  • 1974-35 R. Bonnet, P. Erdõs: The chromatic index of an infinite complete hypergraph: a partition theorem, Hypergraph Seminar (Proc. First Working Sem., Ohio State Univ., Columbus, Ohio, 1972; dedicated to Arnold Ross), Lecture Notes in Math., 411 , pp. 54--60, Springer, Berlin, 1974 ( MR51 #10145; Zentralblatt 311.05113. 

  • 1974-36 P. Erdõs, A. Hajnal: Unsolved and solved problems in set theory, Proceedings of the Tarski Symposium (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXV, Univ. California, Berkeley, Calif., 1971) , pp. 269--287, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1974 ( MR50 #9590; Zentralblatt 334.04003. 

  • 1974-37 J. M. Ash, P. Erdõs, L. A. Rubel: Very slowly varying functions, Aequationes Math. 10 (1974), 1--9 ( MR48 #8698; Zentralblatt 273.26001. 

  • 1974-38 P. Erdõs: On the scarcity of simple groups, Science and Human Progress, Prof. D. D. Kosambi Commemoration Volume/ , pp. 229--232, Popular Prakashan, Bombay, 1974. 



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  • 1975-02 P. Erdõs, A. R. Reddy: A note on rational approximation, Period. Math. Hungar. 6 (1975) no. 3, 241--244 ( MR52 #11418; Zentralblatt 307.41008 and 273.41012. 

  • 1975-03 G. J. Babu, P. Erdõs, K. Ramachandra: An asymptotic formula in additive number theory, Acta Arith. 28 (1975/76) no. 4, 405--412 ( MR53 #7974; Zentralblatt 315.10042 and 278.10047. 

  • 1975-04 B. Bollobás, P. Erdõs: An extremal problem of graphs with diameter 2, Math. Mag. 48 (1975), 281--283; Zentralblatt 353.05045. 

  • 1975-05 P. Erdõs, M. Simonovits, V. T. Sós: Anti-Ramsey theorems, Infinite and finite sets (Colloq., Keszthely, 1973; dedicated to P. ErdÕs on his 60th birthday), Vol. II; Colloq. Math. Soc. János Bolyai, Vol. 10 , pp. 633--643, North-Holland, Amsterdam, 1975 ( MR52 #164; Zentralblatt 316.05111. 

  • 1975-06 J. D. Bovey, P. Erdõs, I. Niven: Conditions for a zero sum modulo $n$, Canad. Math. Bull. 18 (1975), 27--29 ( MR52 #13714; Zentralblatt 314.10040. 

  • 1975-07 P. Erdõs: Consecutive integers, Eureka, The Archimedeans' Journal 38 (1975/76), 3--8. 

  • 1975-08 P. Erdõs, T. K. Sheng: Distribution of rational points on the real line, J. Austral. Math. Soc. 20 (1975), 124--128 ( MR52 #309; Zentralblatt 307.10020. 

  • 1975-09 P. Erdõs, J. Schönheim: Edge decompositions of the complete graph into copies of a connected subgraph, Proceedings of the Conference on Algebraic Aspects of Combinatorics (Univ. Toronto, Toronto, Ont., 1975), Congress. Numer. XIII , pp. 271--278, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1975 ( MR52 #10501; Zentralblatt 323.05130. 

  • 1975-10 P. Erdõs, G. J. Rieger: Ein Nachtrag über befreundete Zahlen (in German), J. Reine Angew. Math. 273 (1975), 220 ( MR51 #412; Zentralblatt 298.10004. 

  • 1975-11 P. Erdõs, R. L. Graham, P. Montgomery, B. L. Rothschild, J. H. Spencer, E. G. Straus: Euclidean Ramsey theorems, II., Infinite and finite sets (Colloq., Keszthely, 1973; dedicated to P. ErdÕs on his 60th birthday), Vol. I; Colloq. Math. Soc. János Bolyai, Vol. 10 , pp. 529--557, North-Holland, Amsterdam, 1975 ( MR52 #2935; Zentralblatt 313.05002. 

  • 1975-12 P. Erdõs, R. L. Graham, P. Montgomery, B. L. Rothschild, J. H. Spencer, E. G. Straus: Euclidean Ramsey theorems, III., Infinite and finite sets (Colloq., Keszthely, 1973; dedicated to P. ErdÕs on his 60th birthday), Vol. I; Colloq. Math. Soc. János Bolyai, Vol. 10 , pp. 559--583, North-Holland, Amsterdam, 1975 ( MR52 #2936; Zentralblatt 313.05002. 

  • 1975-13 M. Deza, P. Erdõs: Extensions de quelques théor`emes de densité (in French), Séminaire Delange-Pisot-Poitou (16e année: 1974/75), Théorie des Nombres, Fasc. I, Exp. No. 8 , 2 pp., Secrétariat Mathematique, Paris, 1975; Zentralblatt 316.10037. 

  • 1975-14 M. Deza, P. Erdõs: Extension de quelques théor`emes sur les densités de séries d' éleménts de $N$ `a des séries de sous-ensembles finis de $N$ (in French, English summary), Discrete Math.12 (1975) no. 4, 295--308 ( MR55 #5569; Zentralblatt 308.05004. 

  • 1975-15 P. Erdõs, N. Sauer, J. Schaer, J. H. Spencer: Factorizing the complete graph into factors with large star number, J. Combinatorial Theory Ser. B. 18 (1975), 180--183 ( MR51 #276;Zentralblatt 295.05116 and 279.05122. 

  • 1975-16 P. Erdõs, E. G. Straus: How abelian is a finite group?, Linear and Multilinear Algebra 3 (1975/76) no. 4, 307--312 ( MR53 #10933; Zentralblatt 335.20011. 

  • 1975-17 P. Erdõs, M. B. Nathanson: Maximal asymptotic nonbases, Proc. Amer. Math. Soc. 48 (1975), 57--60 ( MR50 #9831; Zentralblatt 296.10031. 

  • 1975-18 P. Erdõs: Méthodes probabilistes en théorie des nombres (in French), Séminaire Delange-Pisot-Poitou (15e année: 1973/74), Théorie des nombres, Fasc. 1, Exp. No. 1 , 4 pp., Secrétariat Mathematique, Paris, 1975 MR53 #13154; Zentralblatt 329.10042. 

  • 1975-19 B. Bollobás, P. Erdõs, E. Szemerédi: On complete subgraphs of $r$-chromatic graphs, Discrete Math. 13 (1975), 97--107 ( MR52 #10470; Zentralblatt 306.05121. 

  • 1975-20 S. A. Burr, P. Erdõs, L. Lovász: On graphs of Ramsey type, Proceedings of the Sixth Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing (Florida Atlantic Univ., Boca Raton, Fla., 1975), Congress. Numer. XIV , p. 643, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1975 (; Zentralblatt 338.05115. (There is also a longer version!) 

  • 1975-21 P. Erdõs, S. H. Hechler: On maximal almost-disjoint families over singular cardinals, Infinite and finite sets (Colloq., Keszthely, 1973; dedicated to P. ErdÕs on his 60th birthday), Vol. I; Colloq. Math. Soc. János Bolyai, Vol. 10 , pp. 597--604, North-Holland, Amsterdam, 1975 ( MR51 #12530; Zentralblatt 326.02050. 

  • 1975-22 P. Erdõs, R. L. Graham: On packing squares with equal squares, J. Combinatorial Theory Ser. A. 19 (1975), 119--123 ( MR51 #6595; Zentralblatt 324.05018. 

  • 1975-23 P. Erdõs, R. L. Graham: On partition theorems for finite graphs, Infinite and finite sets (Colloq., Keszthely, 1973; dedicated to P. ErdÕs on his 60th birthday), Vol. I; Colloq. Math. Soc. János Bolyai, Vol. 10 , pp. 515--527, North-Holland, Amsterdam, 1975 ( MR51 #10159; Zentralblatt 324.05124. 

  • 1975-24 P. Erdõs, F. Galvin, A. Hajnal: On set-systems having large chromatic number and not containing prescribed subsystems, Infinite and finite sets (Colloq., Keszthely, 1973; dedicated to P. ErdÕs on his 60th birthday), Vol. I; Colloq. Math. Soc. János Bolyai, Vol. 10 , pp. 425--513, North-Holland, Amsterdam, 1975 ( MR53 #2727; Zentralblatt 324.04005. 

  • 1975-25 P. Erdõs: On some problems of elementary and combinatorial geometry, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 103 (1975), 99--108 MR54 #113; Zentralblatt 303.52006. 

  • 1975-26 S. A. Burr, P. Erdõs: On the magnitude of generalized Ramsey numbers for graphs, Infinite and finite sets (Colloq., Keszthely, 1973; dedicated to P. ErdÕs on his 60th birthday), Vol. I; Colloq. Math. Soc. János Bolyai, Vol. 10 , pp. 215--240, North-Holland, Amsterdam, 1975 ( MR51 #7918; Zentralblatt 316.05110. 

  • 1975-27 P. Erdõs, R. L. Graham, I. Z. Ruzsa, E. G. Straus: On the prime factors of $(2nchoose n)$, Collection of articles dedicated to Derrick Henry Lehmer on the occasion of his seventieth birthday,Math. Comp. 29 (1975), 83--92 ( MR51 #5523; Zentralblatt 296.10008. 

  • 1975-28 B. Bollobás, P. Erdõs, M. Simonovits: On the structure of edge graphs, II., J. London Math. Soc. (2) 12 (1975/76) no. 2, 219--224 ( MR58 #1805; Zentralblatt 318.05110. 

  • 1975-29 P. Erdõs, M. B. Nathanson: Oscillations of bases for the natural numbers, Proc. Amer. Math. Soc. 53 (1975), 253--258 ( MR52 #5612; Zentralblatt 319.10066. 

  • 1975-30 P. Erdõs: Problems and results in combinatorial number theory, Journées Arithmétiques de Bordeaux (Conf., Univ. Bordeaux, Bordeaux, 1974), Astérisque, Nos. 24--25 , pp. 295--310, Soc. Math. France, Paris, 1975 MR51 #10275; Zentralblatt 305.10050. 

  • 1975-31 P. Erdõs: Problems and results on Diophantine approximations, II., Répartition modulo 1 (Actes Colloq., Marseille-Luminy, 1974), Lecture Notes in Math., 475 , pp. 89--99, Springer, Berlin, 1975 MR54 #265; Zentralblatt 308.10019. 

  • 1975-32 P. Erdõs: Problems and results on finite and infinite combinatorial analysis, Infinite and finite sets (Colloq., Keszthely, 1973; dedicated to P. ErdÕs on his 60th birthday), Vol. I; Colloq. Math. Soc. János Bolyai, Vol. 10 , pp. 403--424, North-Holland, Amsterdam, 1975 MR52 #10438; Zentralblatt 361.05038. 

  • 1975-33 P. Erdõs: Problems and results on finite and infinite graphs, Recent advances in graph theory (Proc. Second Czechoslovak Sympos., Prague, 1974) , pp. 183--192 (loose errata), Academia, Prague, 1975 MR52 #10500; Zentralblatt 347.05116. 

  • 1975-34 P. Erdõs, L. Lovász: Problems and results on 3-chromatic hypergraphs and some related questions, Infinite and finite sets (Colloq., Keszthely, 1973; dedicated to P. ErdÕs on his 60th birthday), Vol. II; Colloq. Math. Soc. János Bolyai, Vol. 10 , pp. 609--627, North-Holland, Amsterdam, 1975 ( MR52 #2938; Zentralblatt 315.05117. 

  • 1975-35 S. A. Burr, P. Erdõs, J. H. Spencer: Ramsey theorems for multiple copies of graphs, Trans. Amer. Math. Soc. 209 (1975), 87--99 ( MR53 #13015; Zentralblatt 302.05105 and 273.05111. 

  • 1975-36 P. Erdõs, A. R. Reddy: Rational approximation on the positive real axis, Proc. London Math. Soc (3) 31 (1975) no. 4, 439--456 ( MR53 #821; Zentralblatt 347.41009. 

  • 1975-37 P. Erdõs, J.-L. Nicolas: Répartition des nombres superabondants (in French, English summary), Bull. Soc. Math. France 103 (1975) no. 1, 65--90 ( MR54 #257; Zentralblatt 306.10025. 

  • 1975-38 P. Erdõs, J.-L. Nicolas: Répartition des nombres superabondants (in French), Séminaire Delange-Pisot-Poitou (15e année: 1973/74), Théorie des nombres, Fasc. 1, Exp. No. 5 , 18 pp., Secrétariat Mathematique, Paris, 1975 ( MR53 #303; Zentralblatt 321.10036. 

  • 1975-39 S. L. G. Choi, P. Erdõs, E. Szemerédi: Some additive and multiplicative problems in number theory, Collection of articles in memory of Juriui Vladimiroviv c Linnik, Acta Arith. 27 (1975), 37--50 ( MR51 #5540; Zentralblatt 303.10057. 

  • 1975-40 P. Erdõs, G. B. Purdy: Some extremal problems in geometry, III., Proceedings of the Sixth Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing (Florida Atlantic Univ., Boca Raton, Fla., 1975), Congress. Numer. XIV , pp. 291--308, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1975 ( MR52 #13650; Zentralblatt 328.05018. 

  • 1975-41 P. Erdõs: Some problems on elementary geometry, Austral. Math. Soc. Gaz. 2 (1975), 2--3; Zentralblatt 429.05032. 

  • 1975-42 P. Erdõs: Some recent progress on extremal problems in graph theory, Proceedings of the Sixth Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing (Florida Atlantic Univ., Boca Raton, Fla., 1975), Congress. Numer. XIV , pp. 3--14, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1975 MR52 #13488; Zentralblatt 323.05126. 

  • 1975-43 R. O. Davies, P. Erdõs: Splitting almost-disjoint collections of sets into subcollections admitting almost-transversals, Infinite and finite sets (Colloq., Keszthely, 1973; dedicated to P. ErdÕs on his 60th birthday), Vol. I; Colloq. Math. Soc. János Bolyai, Vol. 10 , pp. 307--322, North-Holland, Amsterdam, 1975 ( MR51 #5318; Zentralblatt 304.04003. 

  • 1975-44 P. Erdõs, A. Hajnal, L. Pósa: Strong embeddings of graphs into colored graphs, Infinite and finite sets (Colloq., Keszthely, 1973; dedicated to P. ErdÕs on his 60th birthday), Vol. I; Colloq. Math. Soc. János Bolyai, Vol. 10 , pp. 585--595, North-Holland, Amsterdam, 1975 ( MR52 #2937; Zentralblatt 312.05123. 

  • 1975-45 M. N. Bleicher, P. Erdõs: The number of distinct subsums of $sum^N_1, 1/i$, Collection of articles dedicated to Derrick Henry Lehmer on the occasion of his seventieth birthday, Math. Comp.29 (1975), 29--42 ( MR51 #3041; Zentralblatt 298.10012. 

  • 1975-46 P. Erdõs, J. L. Selfridge: The product of consecutive integers is never a power, Illinois J. Math. 19 (1975), 292--301 ( MR51 #12692; Zentralblatt 295.10017. 

  • 1975-47 P. Erdõs, P. Révész: Varga Tamás egy problémájáról (On a problem of T. Varga, in Hungarian), Mat. Lapok 24 (1973), 273--282, 1975; Zentralblatt 373.60035. 

  • [1975-48] 1975-25a P. Erdõs: On the Irrationality of Certain Series To be checked-identified? 

  • [1975-49] P. Erdõs: To be checked-identified? 



    1976:

  • 1976-01 P. Erdõs, M. Magidor: A note on regular methods of summability and the Banach-Saks property, Proc. Amer. Math. Soc. 59 (1976) no. 2, 232--234 ( MR55 #3601; Zentralblatt 355.40007. 

  • 1976-02 B. Bollobás, P. Erdõs: Alternating Hamiltonian cycles, Israel J. Math. 23 (1976) no. 2, 126--131 ( MR54 #128; Zentralblatt 325.05114. 

  • 1976-03 P. Erdõs, D. J. Kleitman, B. L. Rothschild: Asymptotic enumeration of $K_n$-free graphs (Italian summary), Colloquio Internazionale sulle Teorie Combinatorie (Rome, 1973), Tomo II, Atti dei Convegni Lincei, No. 17 , pp. 19--27, Accad. Naz. Lincei, Rome, 1976 ( MR57 #2984; Zentralblatt 358.05027. 

  • 1976-04 P. Erdõs: Bemerkungen zu einer Aufgabe in den Elementen [ Elem. Math. 26 (1971), 43, by G. Jaeschke] (in German), {it Arch. Math. (Basel)} {bf 27} (1976) no. 2, 159--163 MR53 #7969;Zentralblatt 328.10004. 

  • 1976-05 B. Bollobás, P. Erdõs: Cliques in random graphs, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 80 (1976) no. 3, 419--427 ( MR58 #16408; Zentralblatt 344.05155. 

  • 1976-06 R. B. Eggleton, P. Erdõs, J. L. Selfridge: Computation of sequences maximizing least common multiples, Proceedings of the Fifth Manitoba Conference on Numerical Mathematics (Univ. Manitoba, Winnipeg, Man., 1975), Congress Numer. XVI , pp. 293--303, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1976 ( MR54 #5106; Zentralblatt 332.10002. 

  • 1976-07 P. Erdõs, L. B. Richmond: Concerning periodicity in the asymptotic behaviour of partition functions, J. Austral. Math. Soc. Ser. A 21 (1976) no. 4, 447--456 ( MR53 #10748; Zentralblatt326.10042. 

  • 1976-08 P. Erdõs, D. Preiss: Decomposition of spheres in Hilbert spaces, Comment. Math. Univ. Carolinae 17 (1976) no. 4, 791--795 ( MR58 #330; Zentralblatt 346.05106. 

  • 1976-09 M. N. Bleicher, P. Erdõs: Denominators of Egyptian fractions, J. Number Theory 8 (1976), 157--168 ( MR53 #7925; Zentralblatt 328.10010. 

  • 1976-10 M. N. Bleicher, P. Erdõs: Denominators of Egyptian fractions, II., Illinois J. Math. 20 (1976) no. 4, 598--613 ( MR54 #7359; Zentralblatt 336.10007. 

  • 1976-11 P. Erdõs, R. R. Hall: Distinct values of Euler's $varphi$-function, Mathematika 23 (1976) no. 1, 1--3 ( MR54 #2603; Zentralblatt 329.10036. 

  • 1976-12 P. Erdõs: Extremal problems on polynomials, Approximation theory, II. (Proc. Internat. Sympos., Univ. Texas, Austin, Tex., 1976) , pp. 347--355, Academic Press, New York, 1976 MR57 #16548; Zentralblatt 354.41003. 

  • 1976-13 S. A. Burr, P. Erdõs: Extremal Ramsey theory for graphs, Utilitas Math. 9 (1976), 247--258 ( MR55 #2633; Zentralblatt 333.05119. 

  • 1976-14 P. Erdõs, E. C. Milner, R. Rado: Families of sets whose pairwise intersections have prescribed cardinals or order types, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 80 (1976) no. 2, 215--221 ( MR54 #2469; Zentralblatt 337.04004. 

  • 1976-15 P. Erdõs, R. J. Faudree, C. C. Rousseau, R. H. Schelp: Generalized Ramsey theory for multiple colors, J. Combinatorial Theory Ser. B 20 (1976) no. 3, 250--264 ( MR54 #5030; Zentralblatt329.05116. 

  • 1976-16 P. Erdõs, J.-L. Nicolas: Méthodes probabilistes et combinatoires en théorie des nombres, Bull. Sci. Math. (2) 100 (1976) no. 4, 301--320 ( MR58 #21998; Zentralblatt 343.10037. 

  • 1976-17 P. Erdõs, A. R. Reddy: Müntz's theorem and rational approximation, J. Approximation Theory 17 (1976) no. 4, 393--394 ( MR54 #13399; Zentralblatt 352.41013. 

  • 1976-18 P. Erdõs, E. Szemerédi: On a problem of Graham, Publ. Math. Debrecen 23 (1976) no. 1--2, 123--127 ( MR54 #12609; Zentralblatt 349.10046. 

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  • 1976-28 P. Erdõs, T. N. Shorey: On the greatest prime factor of $2^p -1$ for a prime $p$ and other expressions, Acta Arith. 30 (1976) no. 3, 257--265 ( MR54 #7402; Zentralblatt 333.10026 and 296.10021. 

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  • 1976-30 P. Erdõs, R. L. Graham: On the prime factors of ${nchoose k}$, Fibonacci Quart. 14 (1976) no. 4, 348--352 ( MR54 #10118; Zentralblatt 354.10010. Missing PDF, to be supplied 

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  • 1976-39 P. Erdõs: Problems and results on number theoretic properties of consecutive integers and related questions, Proceedings of the Fifth Manitoba Conference on Numerical Mathematics (Univ. Manitoba, Winnipeg, Man., 1975), Congress. Numer. XVI , pp. 25--44, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1976 MR54 #10138; Zentralblatt 337.10001. 

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  • 1976-41 P. Erdõs, A. R. Reddy: Rational approximation, Advances in Math. 21 (1976) no. 1, 78--109 ( MR53 #13938; Zentralblatt 334.30019. 

  • 1976-42 B. Bollobás, D. E. Daykin, P. Erdõs: Sets of independent edges of a hypergraph, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 27 (1976) no. 105, 25--32 ( MR54 #159; Zentralblatt 337.05135. 

  • 1976-43 P. Erdõs, G. B. Purdy: Some extremal problems in geometry, IV., Proceedings of the Seventh Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing (Louisiana State Univ., Baton Rouge, La., 1976), Congress. Numer. XVII , pp. 307--322, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1976 ( MR55 #10292; Zentralblatt 345.52007. 

  • 1976-44 P. Erdõs: Some problems and results on the irrationality of the sum of infinite series, J. Math. Sci. 10 (1975), 1--7, 1976 MR80k:10029; Zentralblatt 372.10023. 

  • 1976-45 P. Erdõs: Some recent problems and results in graph theory, combinatorics and number theory, Proceedings of the Seventh Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing (Louisiana State Univ., Baton Rouge, La., 1976), Congress. Numer. XVII , pp. 3--14, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1976 MR54 #10023; Zentralblatt 352.05024. 

  • 1976-46 C. C. Chen, D. E. Daykin, P. Erdõs: Subgraphs with all colours in a line-coloured graph, Proceedings of the Fifth British Combinatorial Conference (Univ. Aberdeen, Aberdeen, 1975), Congress. Numer. XV , pp. 101--112, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1976 ( MR53 #183; Zentralblatt 344.05118. 

  • 1976-47 P. Erdõs, R. D. Mauldin: The nonexistence of certain invariant measures, Proc. Amer. Math. Soc. 59 (1976) no. 2, 321--322 ( MR54 #516; Zentralblatt 361.28013. 

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  • 1976-49 P. Erdõs: Problems and results on consecutive integers, Publ. Math. Debrecen 23 (1976) no. 3--4, 271--282 MR56 #11931; Zentralblatt 353.10032. Missing 



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  • 1977-05 P. Erdõs, D. J. Newman: Bases for sets of integers, J. Number Theory 9 (1977) no. 4, 420--425 ( MR56 #11941; Zentralblatt 359.10045. 

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  • 1977-08 P. Erdõs, A. R. Reddy: Corrigendum: ``Rational approximation on the positive real axis'' [ Proc. London Math. Soc. (3) 31 (1975) no. 4, 439--456], {it Proc. London Math. Soc. (3)} {bf 35} (1977) no. 2, 290 ( MR57 #6969; Zentralblatt 353.41005. 

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  • 1980-16 P. Erdõs, M. B. Nathanson: Minimal asymptotic bases for the natural numbers, J. Number Theory 12 (1980) no. 2, 154--159 ( MR81i:10069; Zentralblatt 426.10057. 

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  • 1980-22 P. Erdõs, R. L. Graham: On bases with an exact order, Acta Arith. 37 (1980), 201--207 ( MR82e:10093; Zentralblatt 443.10036. 

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  • 1980-24 P. Erdõs, P. Vértesi: On the almost everywhere divergence of Lagrange interpolation polynomials for arbitrary systems of nodes, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 36 (1980) no. 1--2, 71--89 (MR82e:41006a; Zentralblatt 463.41002. 

  • 1980-25 P. Erdõs, M. Simonovits: On the chromatic number of geometric graphs, Ars Combin. 9 (1980), 229--246 ( MR82c:05048; Zentralblatt 466.05031. 

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  • 1980-27 P. Erdõs, R. R. Hall: On the Möbius function, J. Reine Angew. Math. 315 (1980), 121--126 ( MR82c:10065; Zentralblatt 419.10006. 

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  • 1980-29 P. Erdõs, I. Z. Ruzsa: On the small sieve, I. Sifting by primes, J. Number Theory 12 (1980) no. 3, 385--394 ( MR81k:10075; Zentralblatt 435.10028. 

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  • 1980-32 P. Erdõs, V. T. Sós: Problems and results on Ramsey-Turán type theorems (preliminary report), Proceedings of the West Coast Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing (Humboldt State Univ., Arcata, Calif., 1979), Congress. Numer. XXVI , pp. 17--23, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1980 ( MR82a:05055; Zentralblatt 463.05050. 

  • 1980-33 P. Erdõs: Proof of a conjecture of Offord, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 86 (1980) no. 1--2, 103--106 MR82d:05009; Zentralblatt 432.10003. 

  • 1980-34 S. A. Burr, P. Erdõs, R. J. Faudree, C. C. Rousseau, R. H. Schelp: Ramsey-minimal graphs for the pair star, connected graph, Studia Sci. Math. Hungar. 15 (1980) no. 1--3, 265--273 (MR84b:05072; Zentralblatt 502.05042 and 438.05046. 

  • 1980-35 L. Babai, P. Erdõs, S. M. Selkow: Random graph isomorphism, SIAM J. Comput. 9 (1980) no. 3, 628--635 ( MR83c:68071; Zentralblatt 454.05038. 

  • 1980-36 P. Erdõs, E. G. Straus: Remarks on the differences between consecutive primes, Elem. Math. 35 (1980) no. 5, 115--118 ( MR84a:10052; Zentralblatt 435.10025. 

  • 1980-37 P. Erdõs, F. Harary, M. Klawe: Residually complete graphs, Combinatorial mathematics, optimal designs and their applications (Proc. Sympos. Combin. Math. and Optimal Design, Colorado State Univ., Fort Ann. Discrete Math. 6 (1980), 117--123 ( MR82c:05058; Zentralblatt 451.05040. 

  • 1980-38 P. Erdõs, R. D. Mauldin: Rotations of the circle, Measure theory, Oberwolfach 1979 (Proc. Conf., Oberwolfach, 1979), Lecture Notes in Math., 794 , pp. 53--56, Springer, Berlin, 1980 (MR81k:28019; Zentralblatt 472.28009. 

  • 1980-39 P. Erdõs: Some applications of Ramsey's theorem to additive number theory, Europ. J. Combin. 1 (1980) no. 1, 43--46 MR82a:10067; Zentralblatt 442.10037. 

  • 1980-40 P. Erdõs, A. Sárközy: Some asymptotic formulas on generalized divisor functions, IV., Studia Sci. Math. Hungar. 15 (1980) no. 4, 467--479 ( MR84m:10038c; Zentralblatt 512.10037. 

  • 1980-41 P. Erdõs: Some combinational problems in geometry, Geometry and differential geometry (Proc. Conf., Univ. Haifa, Haifa, 1979), Lecture Notes in Math., 792 , pp. 46--53, Springer, Berlin, 1980 MR82d:51002; Zentralblatt 428.05008. 

  • 1980-42 P. Erdõs: Some notes on Turán's mathematical work, J. Approx. Theory 29 (1980) no. 1, 2--5 MR82f:01091; Zentralblatt 444.01024. 

  • 1980-43 P. Erdõs: Some personal reminiscences of the mathematical work of Paul Turán, Acta Arith. 37 (1980), 4--8 MR82f:01090a; Zentralblatt 438.10001 and 368.10004. 

  • 1980-44 P. Erdõs, J.-L. Nicolas: Sur la fonction ``nombre de facteurs premiers de $n$'' (On the function ``number of prime factors of $n$'', in French), Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 20e année: 1978/1979. Théorie des nombres, Fasc. 2, Exp. No. 32 , 19 pp., Secrétariat Math., Paris, 1980 ( MR83a:10074a; Zentralblatt 422.10035. 

  • 1980-45 P. Erdõs, S. S. Wagstaff, Jr.: The fractional parts of the Bernoulli numbers, Illinois J. Math. 24 (1980) no. 1, 104--112 ( MR81c:10064; Zentralblatt 449.10010 and 405.10011. 

  • 1980-46 P. Erdõs, R. R. Hall: Values of the divisor function on short intervals, J. Number Theory 12 (1980) no. 2, 176--187 ( MR81j:10064; Zentralblatt 435.10027. 



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  • 1981-02 S. A. Burr, P. Erdõs: Completeness properties of perturbed sequences, J. Number Theory 13 (1981) no. 4, 446--455 ( MR83f:10055; Zentralblatt 469.10037. 

  • 1981-03 P. Erdõs, P. Vértesi: Correction of some misprints in our paper: ``On almost everywhere divergence of Lagrange interpolatory polynomials for arbitrary system of nodes'' [ Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 36 (1980) no. 1--2, 71--89], {it Acta Math. Acad. Sci. Hungar.} {bf 38} (1981) no. 1--4, 263 ( MR82e:41006b; Zentralblatt 463.41003 and 486.41003. 

  • 1981-04 P. Erdõs, S. Schuster: Existence of complementary graphs with specified independence numbers, The theory and applications of graphs (Kalamazoo, Mich., 1980) , pp. 343--349, Wiley, New York, 1981 ( MR82m:05080; Zentralblatt 479.05054. 

  • 1981-05 D. Boes, R. Darst, P. Erdõs: Fat, symmetric, irrational Cantor sets, Amer. Math. Monthly 88 (1981) no. 5, 340--341 ( MR83i:26003; Zentralblatt 468.26003. 

  • 1981-06 P. Erdõs, B. Smith: Finite abelian group cohesion, Israel J. Math. 39 (1981) no. 3, 177--185 ( MR82m:20057; Zentralblatt 464.20034. 

  • 1981-07 P. Erdõs, J.-L. Nicolas: Grandes valeurs d'une fonction liée au produit d'entiers consécutifs, Publ. Math. Orsay 81.01] (1981), 30--34; Zentralblatt 446.10033. 

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  • 1981-09 P. Erdõs: Many old and on some new problems of mine in number theory, Proceedings of the Tenth Manitoba Conference on Numerical Mathematics and Computing, Vol. I (Winnipeg, Man., 19Congr. Numer. 30 (1981), 3--27 MR82m:10003; Zentralblatt 515.10002. 

  • 1981-10 F. R. K. Chung, P. Erdõs, R. L. Graham: Minimal decompositions of graphs into mutually isomorphic subgraphs, Combinatorica 1 (1981), 13--24 ( MR82j:05071; Zentralblatt 491.05049. 

  • 1981-11 H. G. Diamond, P. Erdõs: On sharp elementary prime number estimates, Enseign. Math. (2) 26 (1980) no. 3--4, 313--321, 1981 ( MR83i:10055; Zentralblatt 453.10007. 

  • 1981-12 G. Elekes, P. Erdõs, A. Hajnal: On some partition properties of families of sets, Studia Sci. Math. Hungar. 13 (1978) no. 1--2, 151--155, 1981 ( MR84h:03110; Zentralblatt 474.04002. 

  • 1981-13 P. Erdõs: On some problems in number theory, Séminaire Delange-Pisot-Poitou, Paris, 1979--80, Prog. Math. 12 (1981), 71--75; Zentralblatt 448.10003. 

  • 1981-14 P. Erdõs, P. Vértesi: On the almost everywhere divergence of Lagrange interpolation, Approximation and function spaces (Gda'nsk, 1979) , pp. 270--278, North-Holland, Amsterdam-New York, 1981 ( MR84d:41002; Zentralblatt 491.41001. 

  • 1981-15 P. Z. Chinn, F. R. K. Chung, P. Erdõs, R. L. Graham: On the bandwidths of a graph and its complement, The theory and application of graphs (Kalamazoo, Mich., 1980) , pp. 243--253, Wiley, New York, 1981 ( MR83j:05043; Zentralblatt 467.05038. 

  • 1981-16 P. Erdõs: On the combinatorial problems which I would most like to see solved, Combinatorica 1 (1981) no. 1, 25--42 MR82k:05001; Zentralblatt 486.05001. 

  • 1981-17 P. Erdõs, S. Fajtlowicz: On the conjecture of Hajós, Combinatorica 1 (1981) no. 2, 141--143 ( MR83d:05042; Zentralblatt 504.05052. 

  • 1981-18 P. Erdõs, P. Vértesi: On the Lebesgue function of interpolation, Functional analysis and approximation (Oberwolfach, 1980), Internat. Ser. Numer. Math., 60 , pp. 299--309, Birkh„user, Basel-Boston, Mass., 1981 ( MR83k:41002; Zentralblatt 499.41004. 

  • 1981-19 M. Ajtai, P. Erdõs, J. Komlós, E. Szemerédi: On Turán's theorem for sparse graphs, Combinatorica 1 (1981) no. 4, 313--317 ( MR83d:05052; Zentralblatt 491.05038. 

  • 1981-20 P. Erdõs: Problems and results in graph theory, The theory and application of graphs (Kalamazoo, Mich., 1980) , pp. 331--341, Wiley, New York, 1981 MR83c:05112; Zentralblatt463.05036. 

  • 1981-21 P. Erdõs: Problems and results in number theory, Recent progress in analytic number theory, Vol. 1 (Durham, 1979) , pp. 1--13, Academic Press, London-New York, 1981 MR84j:10001;Zentralblatt459.10002. 

  • 1981-22 P. Erdõs: Problems and results on finite and infinite combinatorial analysis, II., Enseign. Math. (2) 27 (1981) no. 1--2, 163--176 MR83c:04006a; Zentralblatt 459.05003. 

  • 1981-23 S. A. Burr, P. Erdõs, R. J. Faudree, C. C. Rousseau, R. H. Schelp: Ramsey-minimal graphs for matchings, The theory and application of graphs (Kalamazoo, Mich., 1980) , pp. 159--168, Wiley, New York, 1981 ( MR83c:05092; Zentralblatt 469.05048. 

  • 1981-24 S. A. Burr, P. Erdõs, R. J. Faudree, C. C. Rousseau, R. H. Schelp: Ramsey-minimal graphs for star-forests, Discrete Math. 33 (1981) no. 3, 227--237 ( MR83e:05084; Zentralblatt456.05046. 

  • 1981-25 J.-M. De Koninck, P. Erdõs, A. Ivi'c: Reciprocals of certain large additive functions, Canad. Math. Bull. 24 (1981) no. 2, 225--231 ( MR82k:10053; Zentralblatt 463.10032. 

  • 1981-26 P. Erdõs, V. Faber, J. A. Larson: Sets of natural numbers of positive density and cylindric set algebras of dimension 2, Algebra Universalis 12 (1981) no. 1, 81--92 ( MR82h:03069;Zentralblatt473.03057. 

  • 1981-27 P. Erdõs: Solved and unsolved problems in combinatorics and combinatorial number theory, Proceedings of the Twelfth Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory and CompuCongr. Numer. 32 (1981), 49--62 MR84i:10011; Zentralblatt 486.05002. 

  • 1981-28 P. Erdõs, K. Kunen, R. D. Mauldin: Some additive properties of sets of real numbers, Fund. Math. 113 (1981) no. 3, 187--199 ( MR85f:04003; Zentralblatt 482.28001. 

  • 1981-29 P. Erdõs: Some applications of graph theory and combinatorial methods to number theory and geometry, Algebraic methods in graph theory, Vol. I, II (Szeged, 1978), Colloq. Math. Soc. János Bolyai, 25 , pp. 137--148, North-Holland, Amsterdam-New York, 1981 MR83g:05001; Zentralblatt 472.10001. 

  • 1981-30 P. Erdõs, G. Mills: Some bounds for the Ramsey-Paris-Harrington numbers, J. Comb. Theory Ser. A 30 (1981) no. 1, 53--70 ( MR84c:03099; Zentralblatt 471.05045. 

  • 1981-31 P. Erdõs: Some extremal problems on divisibility properties of sequences of integers, Fibonacci Quart. 19 (1981) no. 3, 208--213 MR82i:10077; Zentralblatt 469.10036. 

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  • 1981-33 P. Erdõs: Some problems and results on additive and multiplicative number theory, Analytic number theory (Proc. Conf., Temple Univ., Phila., 1980), Lecture Notes in Math., 899 , pp. 171--182, Springer, Berlin-New York, 1981 MR84c:10048; Zentralblatt 472.10002. 

  • 1981-34 P. Erdõs, J.-L. Nicolas: Sur la fonction: nombre de facteurs premiers de $N$ (in French), Enseign. Math (2) 27 (1981) no. 1--2, 3--27 ( MR83a:10074b; Zentralblatt 466.10037. 

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  • 1982-06 P. Erdõs, R. J. Faudree, C. C. Rousseau, R. H. Schelp: Graph with certain families of spanning trees, J. Combin. Theory Ser. B 32 (1982) no. 2, 162--170 ( MR84c:05071; Zentralblatt478.05076 and 465.05058. 

  • 1982-07 F. R. K. Chung, P. Erdõs, R. L. Graham: Minimal decompositions of hypergraphs into mutually isomorphic subhypergraphs, J. Combin. Theory Ser. A 32 (1982) no. 2, 241--251 (MR83j:05057; Zentralblatt 493.05048. 

  • 1982-08 P. Erdõs: Miscellaneous problems in number theory, Proceedings of the Eleventh Manitoba Conference on Numerical Mathematics and Computing (Winnipeg, Man., 1981), Congr. Numer. 34(1982), 25--45 MR84f:10002; Zentralblatt 563.10002. 

  • 1982-09 P. Erdõs, G. B. Purdy, E. G. Straus: On a problem in combinatorial geometry, Discrete Math. 40 (1982) no. 1, 45--52 ( MR84g:52015; Zentralblatt 501.52009. 

  • 1982-10 P. Erdõs, A. Sárközy: On a problem of R. R. Hall (in Hungarian, English summary) Mat. Lapok 30 (1978/82) no. 1--3, 23--31 ( MR86e:11090; Zentralblatt 542.10040. 

  • 1982-11 P. Erdõs, A. Hajnal, E. Szemerédi: On almost bipartite large chromatic graphs, Annals of Discrete Math. 12 (1982), {it Theory and practice of combinatorics, North-Holland Math. Stud., 60}, pp. 117--123, North-Holland, Amsterdam, New York, 1982 ( MR86j:05060; Zentralblatt 501.05033. 

  • 1982-12 L. Babai, F. R. K. Chung, P. Erdõs, R. L. Graham, J. H. Spencer: On graphs which contain all sparse graphs, Annals of Discrete Math. 12 (1982), {it Theory and practice of combinatorics, North-Holland Math. Stud., 60}, pp. 21--26, North-Holland, Amsterdam-New York, 1982 ( MR86m:05057; Zentralblatt 495.05035. 

  • 1982-13 P. Erdõs, J. A. Larson: On pairwise balanced block designs with the sizes of blocks as uniform as possible, Annals of Discrete Math. 15 (1982), {it Algebraic and geometric combinatorics, North-Holland Math. Stud., 65}, pp. 129--134, North-Holland, Amsterdam-New York, 1982 ( MR85m:05012; Zentralblatt 499.05014. 

  • 1982-14 P. Erdõs: On prime factors of binomial coefficients, II. (in Hungarian), Mat. Lapok 30 (1978/82) no. 4, 307--316 MR85f:11012; Zentralblatt 541.10002. 

  • 1982-15 P. Erdõs, V. T. Sós: On Ramsey-Turán type theorems for hypergraphs, Combinatorica 2 (1982) no. 3, 289--295 ( MR85d:05185; Zentralblatt 511.05049. 

  • 1982-14 P. Erdõs: On some unusual nonconventional problems in additive number theory (in Hungarian), Mat. Lapok 30 (1978/82) no. 1--3, 9--14 MR85c:11093; Zentralblatt 542.10011. 

  • 1982-15 P. Erdõs, A. Ivi'c: On sums involving reciprocals of certain arithmetical functions, Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.) 32(46) (1982), 49--56 ( MR85g:11083; Zentralblatt 506.10035. 

  • 1982-18 P. Erdõs, I. Vincze: On the approximation of convex, closed plane curves by multifocal ellipses, Essays in statistical science, J. Appl. Probab. Spec. Vol. 19 {it A} (1982) or {it Z. Phys. C.} {bf 10} (1981) no. 2, 89--96 ( MR83a:52006; Zentralblatt 483.51010. 

  • 1982-19 P. Erdõs, J. H. van Lint: On the average ratio of the smallest and largest prime divisor of $n$, Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 44 (1982) no. 2, 127--132 ( MR83m:10075; Zentralblatt489.10041. 

  • 1982-20 P. Erdõs: On the covering of the vertices of a graph by cliques, J. Math. Res. Exposition 2 (1982) no. 1, 93--96 MR84b:05058; Zentralblatt 485.05052. 

  • 1982-21 P. Erdõs, V. T. Sós: On Turán-Ramsey type theorems, II., Studia Sci. Math. Hungar. 14 (1979) no. 1--3, 27--36, 1982 ( MR84j:05081; Zentralblatt 487.05054. 

  • 1982-22 P. Erdõs: Personal reminiscences and remarks on the mathematical work of Tibor Gallai, Combinatorica 2 (1982) no. 3, 207--212 MR84e:01073; Zentralblatt 505.01012. 

  • 1982-23 P. Erdõs: Problems and results on block designs and set systems, Proceedings of the thirteenth Southeastern conference on combinatorics, graph theory and computing (Boca Raton, Fla. Congr. Numer. 35 (1982), 3--16 MR84m:05014; Zentralblatt 517.05018. 

  • 1982-24 P. Erdõs: Problems and results on finite and infinite combinatorial analysis, II., Logic and algorithmic (Zürich, 1980), Monograph. Enseign. Math. , pp. 131--144, Univ. Gen`eve, Geneva, 1982MR83c:04006b; Zentralblatt 477.05012. 

  • 1982-25 P. Erdõs, V. Faber, F. Jones: Projective $(2n, n, lambda, 1)$-designs, J. Statistical Planning and Inference 7 (1982/83) no. 2, 181--191 ( MR85f:05017; Zentralblatt 496.05009. 

  • 1982-26 S. A. Burr, P. Erdõs, R. J. Faudree, C. C. Rousseau, R. H. Schelp: Ramsey-minimal graphs for forests, Discrete Math. 38 (1982) no. 1, 23--32 ( MR84h:05091; Zentralblatt 489.05039. 

  • 1982-27 P. Erdõs, R. J. Faudree, C. C. Rousseau, R. H. Schelp: Ramsey numbers for brooms, Proceedings of the thirteenth Southeastern conference on combinatorics, graph theory and computing (Boca Raton, Fla., 1982), Congr. Numer. 35 (1982), 283--293 ( MR84m:05056; Zentralblatt 513.05038. 

  • 1982-28 S. A. Burr, P. Erdõs, R. J. Faudree, C. C. Rousseau, R. H. Schelp: Ramsey numbers for the pair sparse graph--path or cycle. Trans. Amer. Math. Soc. 269 (1982) no. 2, 501--512 (MR83c:05093; Zentralblatt 543.05047. 

  • 1982-29 L. Babai, P. Erdõs: Representation of group elements as short products, Annals of Discrete Math. 12 (1982), {it Theory and practice of combinatorics, North-Holland Math. Stud., 60}, pp. 27--30, North-Holland, Amsterdam, New York, 1982 ( MR87a:20027. 

  • 1982-30 P. Erdõs, A. Sárközy: Some asymptotic formulas on generalized divisor functions, II., J. Number Theory 15 (1982) no. 1, 115--136 ( MR84m:10038a; Zentralblatt 488.10043. 

  • 1982-31 P. Erdõs, A. Sárközy: Some asymptotic formulas on generalized divisor functions, III., Acta Arith. 41 (1982) no. 4, 395--411 ( MR84m:10038b; Zentralblatt 492.10037. 

  • 1982-32 P. Erdõs: Some new problems and results in number theory, Number theory (Mysore, 1981), Lecture Notes in Math., 938 , pp. 50--74, Springer, Berlin-New York, 1982 MR84g:10002;Zentralblatt 484.10001. 

  • 1982-33 P. Erdõs: Some of my favourite problems which recently have been solved, Proceedings of the International Mathematical Conference, Singapore 1981 (Singapore, 1981), North-Holland Math. Stud., 74 , pp. 59--79, North-Holland, Amsterdam-New York, 1982 MR84f:10003. 

  • 1982-34 P. Erdõs: Some problems on additive number theory, Annals of Discrete Math. 12 (1982), {it Theory and practice of combinatorics, North-Holland Math. Stud., 60}, pp. 113--116, North-Holland, Amsterdam, New York, 1982 MR86k:11055; Zentralblatt 491.10044. 

  • 1982-35 R. Duke, P. Erdõs: Subgraphs in which each pair of edges lies in a short common cycle, Proceedings of the thirteenth Southeastern conference on combinatorics, graph theory and computing (BoCongr. Numer. 35 (1982), 253--260 ( MR85d:05183; Zentralblatt 515.05048. 



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  • 1983-03 P. Erdõs: Combinatorial problems in geometry, Math. Chronicle 12 (1983), 35--54 MR84i:52014; Zentralblatt 537.51017. 

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  • 1983-05 P. Erdõs, R. C. Mullin, V. T. Sós, D. Stinson: Finite linear spaces and projective planes, Discrete Math. 47 (1983) no. 1, 49--62 ( MR84k:05026; Zentralblatt 521.51005. 

  • 1983-06 S. A. Burr, P. Erdõs: Generalizations of a Ramsey-theoretic result of Chvátal, J. Graph Theory 7 (1983) no. 1, 39--51 ( MR84d:05125; Zentralblatt 513.05040. 

  • 1983-07 P. Erdõs, R. Silverman, A. Stein: Intersection properties of families containing sets of nearly the same size, Ars Combin. 15 (1983), 247--259 ( MR84j:05032; Zentralblatt 521.05004. 

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  • 1983-09 P. Erdõs, A. Hajnal, V. T. Sós, E. Szemerédi: More results on Ramsey-Turán type problems, Combinatorica 3 (1983) no. 1, 69--81 ( MR85b:05129; Zentralblatt 526.05031. 

  • 1983-10 P. Erdõs, V. T. Sós: On a generalization of Turán's graph-theorem, Studies in pure mathematics, To the memory of Paul Turán , pp. 181--185, Birkh„user, Basel-Boston, Mass., 1983 (MR86m:05058; Zentralblatt 518.05044. 

  • 1983-11 E. R. Canfield, P. Erdõs, C. Pomerance: On a problem of Oppenheim concerning ``factorisatio numerorum'', J. Number Theory 17 (1983) no. 1, 1--28 ( MR85j:11012; Zentralblatt513.10043. 

  • 1983-12 P. Erdõs, J. Pach: On a quasi-Ramsey problem, J. Graph Theory 7 (1983) no. 1, 137--147 ( MR84d:05127; Zentralblatt 511.05047. 

  • 1983-13 P. Erdõs, A. Sárközy: On almost divisibility properties of sequences of integers, I., Acta Math. Hungar. 41 (1983) no. 3--4, 309--324 ( MR85b:11075; Zentralblatt 523.10023. 

  • 1983-14 P. Erdõs, R. Laskar: On maximum chordal subgraph, Proceedings of the fourteenth Southeastern conference on combinatorics, graph theory and computing (Boca Raton, Fla., 1983), Congr. Numer. 39 (1983), 367--373 ( MR85i:05132; Zentralblatt 534.05037. 

  • 1983-15 P. Erdõs: On some of my conjectures in number theory and combinatorics, Proceedings of the fourteenth Southeastern conference on combinatorics, graph theory and computing (Boca RatCongr. Numer. 39 (1983), 3--19 MR85j:11004; Zentralblatt 539.05001. 

  • 1983-16 P. Erdõs, M. Szalay: On some problems of J. Dénes and P. Turán, Studies in pure mathematics, To the memory of Paul Turán , pp. 187--212, Birkh„user, Basel-Boston, Mass., 1983 (MR87g:11131; Zentralblatt 523.10029. 

  • 1983-17 P. Erdõs, J. Nev setv ril, V. Rödl: On some problems related to partitions of edges of a graph, Graphs and other combinatorial topics (Prague, 1982), Teubner-Texte Math., 59 , pp. 54--63, Teubner, Leipzig, 1983 ( cmp737 014; Zentralblatt 522.05070. 

  • 1983-18 P. Erdõs, E. Szemerédi: On sums and products of integers, Studies in pure mathematics, To the memory of Paul Turán , pp. 213--218, Birkh„user, Basel-Boston, Mass., 1983 ( MR86m:11011;Zentralblatt 526.10011. 

  • 1983-19 J. Brillhart, P. Erdõs, P. Morton: On sums of Rudin-Shapiro coefficients, II., Pacific J. Math. 107 (1983) no. 1, 39--69 ( MR85i:11080; Zentralblatt 505.10029 and 469.10034. 

  • 1983-20 F. R. K. Chung, P. Erdõs, J. H. Spencer: On the decomposition of graphs into complete bipartite subgraphs, Studies in pure mathematics, To the memory of Paul Turán , pp. 95--101, Birkh„user, Basel-Boston, Mass., 1983 ( MR87k:05097; Zentralblatt 531.05042. 

  • 1983-21 F. R. K. Chung, P. Erdõs: On unavoidable graphs, Combinatorica 3 (1983) no. 2, 167--176 ( MR85a:05047; Zentralblatt 527.05042. 

  • 1983-22 P. Erdõs, B. L. Rothschild, E. G. Straus: Polychromatic Euclidean Ramsey theorems, J. Geom. 20 (1983) no. 1, 28--35 ( MR85d:05073; Zentralblatt 541.05010. 

  • 1983-23 P. Erdõs: Preface. Personal reminiscences, Studies in pure mathematics, To the memory of Paul Turán , pp. 11--12, Birkh„user, Basel-Boston, Mass., 1983 MR87f:01042a; Zentralblatt515.01012. 

  • 1983-24 P. Erdõs: Problems and results on polynomials and interpolation, Functions, series, operators, Vol. I, II (Budapest, 1980), Colloq. Math. Soc. János Bolyai, 35 , pp. 485--495, North-Holland, Amsterdam-New York, 1983 MR85i:30071; Zentralblatt 556.41002. 

  • 1983-25 P. Erdõs, V. Faber, F. Jones: Projective $(2n, n, lambda, 1)$-designs, J. Statist. Plann. Inference 7 (1982/83) no. 2, 181--191 ( MR85f:05017; Zentralblatt 496.05009. 

  • 1983-26 P. Erdõs, A. Sárközy: Some asymptotic formulas on generalized divisor functions, I., Studies in pure mathematics, To the memory of Paul Turán , pp. 165--179, Birkh„user, Basel-Boston, Mass., 1983 ( MR87b:11092; Zentralblatt 517.10048. 

  • 1983-27 U. Dudley, P. Erdõs: Some remarks and problems in number theory related to the work of Euler, Math. Mag. 56 (1983) no. 5, 292--298 ( MR86a:01018; Zentralblatt 526.01014. 

  • 1983-28 P. Erdõs, M. Simonovits: Supersaturated graphs and hypergraphs, Combinatorica 3 (1983) no. 2, 181--192 ( MR85e:05125; Zentralblatt 529.05027. 

  • 1983-29 P. Erdõs, G. Tenenbaum: Sur les diviseurs consécutifs d'un entier (The consecutive divisors of an integer, in French, English summary), Bull. Soc. Math. France 111 (1983) no. 2, 125--145 (MR86a:11037; Zentralblatt 526.10036. 

  • 1983-30 P. Erdõs, Z. Füredi: The greatest angle among $n$ points in the $d-$dimensional Euclidean space, Annals of Discrete Math. 17 (1983), {it Combinatorial mathematics (Marseille-Luminy, 1981), North-Holland Math. Stud., 75}, pp. 275--283, North-Holland, Amsterdam-New York, 1983 ( MR87g:52018; Zentralblatt 534.52007. 

  • 1983-31 P. Erdõs, Z. Palka: Trees in random graphs, Discrete Math. 46 (1983) no. 2, 145--150 ( MR84i:05103; Zentralblatt 535.05049. 



    1984:

  • 1984-01 P. Erdõs, Z. Palka: Addendum to: ``Trees in random graphs'' [ Discrete Math. 46 (1983) no. 2, 145--150], {it Discrete Math.} {bf 48} (1984) no. 2--3, 331 ( MR85b:05151; Zentralblatt546.05052. 

  • 1984-02 P. Erdõs: Bemerkungen über König's Einfluss auf Arbeiten über unendliche Graphen To be identified/checked? 

  • 1984-03 J. E. Baumgartner, P. Erdõs, D. Higgs: Cross-cuts in the power set of an infinite set, Order 1 (1984) no. 2, 139--145 ( MR85m:04002; Zentralblatt 559.04009. 

  • 1984-04 P. Erdõs, M. Simonovits: Cube-supersaturated graphs and related problems, Progress in graph theory (Waterloo, Ont., 1982) , pp. 203--218, Academic Press, Toronto, ON, 1984 (MR86b:05041; Zentralblatt 565.05042. 

  • 1984-05 P. Erdõs, N. Hindman: Enumeration of intersecting families, Discrete Math. 48 (1984) no. 1, 61--65 ( MR85h:05007; Zentralblatt 529.05044. 

  • 1984-06 P. Erdõs: Extremal problems in number theory, combinatorics and geometry, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Warsaw, 1983) , pp. 51--70, PWN, Warsaw, 1984 MR87a:11001; Zentralblatt 563.10003. 

  • 1984-07 W. G. Brown, P. Erdõs, M. Simonovits: Inverse extremal digraph problems, Finite and infinite sets, Vol. I, II (Eger, 1981), Colloq. Math. Soc. János Bolyai, 37 , pp. 119--156, North-Holland, Amsterdam-New York, 1984 ( MR87f:05087; Zentralblatt 569.05023. 

  • 1984-08 F. R. K. Chung, P. Erdõs, R. L. Graham: Minimal decomposition of all graphs with equinumerous vertices and edges into mutually isomorphic subgraphs, Finite and infinite sets, Vol. I, II (Eger, 1981), Colloq. Math. Soc. János Bolyai, 37 , pp. 171--179, North-Holland, Amsterdam-New York, 1984 ( MR87b:05071; Zentralblatt 565.05040. 

  • 1984-09 R. Duke, P. Erdõs, V. Rödl: More results on subgraphs with many short cycles, Proceedings of the fifteenth Southeastern conference on combinatorics, graph theory and computing (Baton Rouge, La., 1984 Congr. Numer. 43 (1984), 295--300 ( MR86f:05079; Zentralblatt 559.05038. 

  • 1984-10 P. Erdõs, R. Freud: On disjoint sets of differences, J. Number Theory 18 (1984) no. 1, 99--109 ( MR85g:11018; Zentralblatt 544.10060. 

  • 1984-11 P. Erdõs: On some problems in graph theory, combinatorial analysis and combinatorial number theory, Graph theory and combinatorics (Cambridge, 1983) , pp. 1--17, Academic Press, London-New York, 1984 MR86e:05001; Zentralblatt 546.05002. 

  • 1984-12 P. Erdõs, R. L. Hemminger, D. A. Holton, B. D. McKay: On the chessmaster problem, Progress in graph theory (Waterloo, Ont., 1982) , pp. 532--536, Academic Press, Toronto, ON, 1984 (MR 85k:05005 (for entire book); Zentralblatt 546.00007 (for entire book). 

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  • 1989-06 N. Alon, P. Erdõs: Disjoint edges in geometric graphs, Discrete Comput. Geom. 4 (1989) no. 4, 287--290 ( MR90c:05112; Zentralblatt 692.05037. 

  • 1989-07 P. Erdõs, R. J. Faudree, A. Gyárfás, R. H. Schelp: Domination in colored complete graphs, J. Graph Theory 13 (1989) no. 6, 713--718 ( MR90i:05049; Zentralblatt 708.05057. 

  • 1989-08 P. Erdõs, J.-L. Nicolas: Grandes valeurs de fonctions liées aux divisieurs premiers consécutifs d'un entier (Large values of functions associated with the consecutive prime divisors of an integer,Théorie des nombres (Quebec, PQ, 1987) , pp. 169--200, de Gruyter, Berlin-New York, 1989 ( MR90i:11098; Zentralblatt 683.10035. 

  • [1989-9] 1989-09 P. Erdõs, P. M. Gruber, J. Hammer: Lattice points, Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics 39, Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the United States with John Wiley & Sons, Inc., New York, 1989, viii+184 pp., ISBN 0-582-01478-6 and 0-470-21154-7 ( MR90g:11081; Zentralblatt 683.10025. 

  • 1989-10 S. A. Burr, P. Erdõs, R. L. Graham, V. T. Sós: Maximal anti-Ramsey graphs and the strong chromatic number, J. Graph Theory 13 (1989) no. 3, 263--282 ( MR90c:05146; Zentralblatt682.05046. 

  • 1989-11 P. Erdõs, J. H. Spencer: Monochromatic sumsets, J. Combin. Theory Ser. A 50 (1989) no. 1, 162--163 ( MR89j:05008; Zentralblatt 666.10036. 

  • 1989-12 P. Erdõs, R. J. Faudree, C. C. Rousseau, R. H. Schelp: Multipartite graph--tree Ramsey numbers, Graph theory and its applications: East and West (Jinan, 1986), Ann. New York Acad. Sci., 576 , pp. 146--154, New York Acad. Sci., New York, 1989 ( MR92d:05107; Zentralblatt 792.05103. 

  • 1989-13 K. Alladi, P. Erdõs, J. D. Vaaler: Multiplicative functions and small divisors, II., J. Number Theory 31 (1989) no. 2, 183--190 ( MR90h:11090; Zentralblatt 664.10025. 

  • 1989-14 P. Erdõs, A. Sárközy, V. T. Sós: On a conjecture of Roth and some related problems, I., Irregularities of partitions (FertÕd, 1986), Algorithms Combin.: Study Res. Texts, 8 , pp. 47--59, Springer, Berlin-New York, 1989 ( MR90d:11017; Zentralblatt 689.10061. 

  • 1989-15 P. Erdõs, P. Vértesi: On certain saturation problems, Acta Math. Hungar. 53 (1989) no. 1--2, 197--203 ( MR90c:41049; Zentralblatt 682.41031. 

  • 1989-16 P. Erdõs, A. Kroó, J. Szabados: On convergent interpolatory polynomials, J. Approx. Theory 58 (1989) no. 2, 232--241 ( MR90k:41003; Zentralblatt 692.41004. 

  • 1989-17 P. Erdõs, J.-L. Nicolas: On functions connected with prime divisors of an integer, Number theory and applications (Banff, AB, 1988), NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C: Math. Phys. Sci., 265 , pp. 381--391, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1989 ( MR92i:11096; Zentralblatt 687.10031. 

  • 1989-18 L. Caccetta, P. Erdõs, K. Vijayan: On graphs with adjacent vertices of large degree, J. Combin. Math. Combin. Comput. 5 (1989), 217--222 ( MR90f:05075; Zentralblatt 674.05040. 

  • 1989-19 P. Erdõs: On some aspects of my work with Gabriel Dirac, Graph theory in memory of G. A. Dirac (Sandbjerg, 1985), Ann. Discrete Math., 41 , pp. 111--116, North-Holland, Amsterdam-New York, 1989 MR90b:01072; Zentralblatt 664.01008. 

  • [1989-20] 1989-20 P. Erdõs: On some problems and results in elementary number theory (Chinese summary), Sichuan Daxue Xuebao 26 (1989), Special Issue, 1--6 MR91f:11001; Zentralblatt709.11001. 

  • 1989-21 S. A. Burr, P. Erdõs, R. J. Faudree, R. H. Schelp: On the difference between consecutive Ramsey numbers, Utilitas Math. 35 (1989), 115--118 ( MR90c:05147; Zentralblatt 678.05039. 

  • 1989-22 P. Erdõs, L. Lovász, K. Vesztergombi: On the graph of large distances, Discrete Comput. Geom. 4 (1989) no. 6, 541--549 ( MR90i:05048; Zentralblatt 694.05031. 

  • 1989-23 P. Erdõs, A. Ivi'c: On the iterates of the enumerating function of finite abelian groups, Bull. Acad. Serbe Sci. Arts Cl. Sci. Math. Natur. No. 17 (1989), 13--22 ( MR92e:11098; Zentralblatt695.10040. 

  • 1989-24 P. Erdõs, A. Hajnal: On the number of distinct induced subgraphs of a graph, Graph theory and combinatorics (Cambridge, 1988), Discrete Math. 75 (1989) no. 1--3, 145--154 (MR90g:05099; Zentralblatt 668.05037. 

  • 1989-25 P. Erdõs, J.-L. Nicolas, A. Sárközy: On the number of partitions of $n$ without a given subsum, I., Graph theory and combinatorics (Cambridge, 1988), Discrete Math. 75 (1989) no. 1--3, 155--166 ( MR90e:11151; Zentralblatt 673.05007. 

  • 1989-26 P. Erdõs, J.-L. Nicolas, M. Szalay: Partitions into parts which are unequal and large, Number theory (Ulm, 1987), Lecture Notes in Math., 1380 , pp. 19--30, Springer, New York-Berlin, 1989 (MR90g:11140; Zentralblatt 679.10013. 

  • 1989-27 P. Erdõs: Problems and results on extremal problems in number theory, geometry, and combinatorics, Proceedings of the 7th Fischland Colloquium, I (Wustrow, 1988), Rostock. Math. Kolloq. , No. 38 (1989), 6--14 MR91d:05088; Zentralblatt 718.11001. 

  • 1989-28 P. Erdõs, J. Pach, R. Pollack, Zs. Tuza: Radius, diameter, and minimum degree, J. Combin. Theory Ser. B 47 (1989) no. 1, 73--79 ( MR90f:05077; Zentralblatt 686.05029. 

  • 1989-29 P. Erdõs: Ramanujan and I, Number theory, Madras 1987, Lecture Notes in Math., 1395 , pp. 1--20, Springer, Berlin-New York, 1989 MR91a:11003; Zentralblatt 685.10002. 

  • [1989-30] 1989-30 P. Erdõs, A. Hajnal: Ramsey-type theorems, Combinatorics and complexity (Chicago, IL, 1987), Discrete Appl. Math. 25 (1989) no. 1--2, 37--52 ( MR90m:05091; Zentralblatt715.05052. 

  • 1989-31 P. Erdõs, A. B. Evans: Representations of graphs and orthogonal Latin square graphs, J. Graph Theory 13 (1989) no. 5, 593--595 ( MR90g:05049; Zentralblatt 691.05053. 

  • 1989-32 S. A. Burr, P. Erdõs, R. J. Faudree, C. C. Rousseau, R. H. Schelp: Some complete bipartite graph--tree Ramsey numbers, Graph theory in memory of G. A. Dirac (Sandbjerg, 1985), Ann. Discrete Math., 41 , pp. 79--89, North-Holland, Amsterdam-New York, 1989 ( MR90d:05166; Zentralblatt 672.05063. 

  • 1989-33 P. Erdõs: Some old and new problems on additive and combinatorial number theory, Combinatorial Mathematics: Proceedings of the Third International Conference (New York, 1985), Ann. New York Acad. Sci., 555 , pp. 181--186, New York Acad. Sci., New York, 1989 MR90i:11016; Zentralblatt 709.11002. 

  • 1989-34 P. Erdõs: Some personal and mathematical reminiscences of Kurt Mahler, Austral. Math. Soc. Gaz. 16 (1989) no. 1, 1--2 MR90c:01068; Zentralblatt 673.01015. 

  • 1989-35 P. Erdõs: Some problems and results on combinatorial number theory, Graph theory and its applications: East and West (Jinan, 1986), Ann. New York Acad. Sci., 576 , pp. 132--145, New York Acad. Sci., New York, 1989 MR92g:11011; Zentralblatt 790.11015. 

  • 1989-36 P. Erdõs, G. Tenenbaum: Sur les densités de certaines suites d'entiers (On the densities of certain sequences of integers, in French), Proc. London Math. Soc. (3) 59 (1989) no. 3, 417--438 (MR90h:11087; Zentralblatt 694.10040. 

  • 1989-37 P. Erdõs, G. Tenenbaum: Sur les fonctions arithmétiques liées aux diviseurs consécutifs (On arithmetical functions associated with consecutive divisors, in French), J. Number Theory 31 (1989) no. 3, 285--311 ( MR90i:11103; Zentralblatt 676.10030. 

  • 1989-38 P. Erdõs, A. Gyárfás, E. T. Ordman, Y. Zalcstein: The size of chordal, interval and threshold subgraphs, Combinatorica 9 (1989) no. 3, 245--253 ( MR90i:05047; Zentralblatt 738.05051. 

  • 1989-39 Y. Alavi, P. Erdõs, P. J. Malde, A. J. Schwenk, C. Thomassen: Tight bounds on the chromatic sum of a connected graph, J. Graph Theory 13 (1989) no. 3, 353--357 ( MR90h:05054;Zentralblatt 677.05028. 

  • 1989-40 P. Erdõs: A Collection of Open Problems ( 89.33-as könyvbÕl. ) {it Combinatorial Mathematics: Proceedings of the Third International Conference (New York, 1985), Ann. New York Acad. Sci., 555}, pp. 429--434, New York Acad. Sci., New York, 1989 % MR90i:11016; Zentralblatt 709.11002. 



    1990:

  • [1990-1] 
  •  

    Source : http://www.math-inst.hu/~p_erdos/Erdos.html

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    Frank Nelson Cole Prize in Number Theory

    Frank Nelson Cole Prize in Number Theory

    This prize (and the Frank Nelson Cole Prize in Algebra ) was founded in honor of Professor Frank Nelson Cole on the occasion of his retirement as Secretary of the American Mathematical Society after twenty-five years of service and as Editor-in-Chief of the Bulletin for twenty-one years. The original fund was donated by Professor Cole from moneys presented to him on his retirement, and was augmented by contributions from members of the Society.  The fund was later doubled by his son, Charles A. Cole. The prize is for a notable paper in number theory published during the preceding six years.  To be eligible, the author should be a member of the American Mathematical Society or the paper should have been published in a recognized North American journal.  Currently, the US$5,000 prize is awarded every three years.

    Next award:  January 2011.

    Sixteenth award, 2008:  To Manjul Bhargava for his revolutionary work on higher composition laws.

    Fifteenth award, 2005 :  To Peter Sarnak for his fundamental contributions to number theory and in particular his book Random Matrices, Frobenius Eigenvalues and Monodromy, written jointly with his Princeton colleague Nicholas Katz.

    Fourteenth award, 2002 : To Henryk Iwaniec for his fundamental contributions to analytic number theory, and to Richard Taylor for several outstanding advances in algebraic number theory. 

    Thirteenth, 1997 : To Andrew J. Wiles for his work on the Shimura-Taniyama conjecture and Fermat's Last Theorem, published in Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem, Ann. of Math. 141 (1995), 443-551.

    Twelfth award, 1992: To Karl Rubin for his work in the area of elliptic curves and Iwasawa Theory with particular reference to his papers Tate-Shafarevich groups and L-functions of elliptic curves with complex multiplicationand The "main conjectures" of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields and to Paul Vojta for his work on Diophantine problems with particular reference to his paper Siegel's theorem in the compact case.

    Eleventh award, 1987: To Dorian M. Goldfeld for his paper, Gauss's class number problem for imaginary quadratic fields, Bulletin of the American Mathematical Society, volume 13, (1985), pp. 23-37; and to Benedict H. Gross and Don B. Zagier for their paper, Heegner points and derivatives of L-Series, Inventiones Mathematicae, volume 84 (1986), pp. 225-320.

    Tenth award, 1982: To Robert P. Langlands for pioneering work on automorphic forms, Eisenstein series and product formulas, particularly for his paper Base change for GL(2), Annals of Mathematics Studies, volume 96, Princeton University Press, 1980; and to Barry Mazur for outstanding work on elliptic curves and Abelian varieties, especially on rational points of finite order, and his paper Modular curves and the Eisenstein ideal, Publications Mathematiques de l'Institut des Hautes Etudes Scientifiques, volume 47 (1977), pp. 33-186.

    Ninth award, 1977: To Goro Shimura for his two papers, Class fields over real quadratic fields and Heche operators, Annals of Mathematics, Series 2, volume 95 (1972), pp. 130-190; and On modular forms of half integral weight, Annals of Mathematics, Series 2, volume 97 (1973), pp. 440-481.

    Eighth award, 1972: To Wolfgang M. Schmidt for the following papers: On simultaneous approximation of two algebraic numbers by rationals, Acta Mathematica (Uppsala), volume 119 (1967), pp. 27-50; T-numbers do exist, Symposia Mathematica, volume IV, Academic Press, 1970, pp. 1-26; Simultaneous approximation to algebraic numbers by rationals, Acta Mathematica (Uppsala), volume 125 (1970), pp. 189-201; On Mahler's T-numbers, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, volume 20, American Mathematical Society, 1971, pp. 275-286.

    Seventh award, 1967: To James B. Ax and Simon B. Kochen for a series of three joint papers, Diophantine problems over local fields. I, II, III, American Journal of Mathematics, volume 87 (1965), pp. 605-630, 631-648, and Annals of Mathematics, Series 2, volume 83 (1966), pp. 437-456.

    Sixth award, 1962: To Kenkichi Iwasawa for his paper, Gamma extensions of number fields, Bulletin of the American Mathematical Society, volume 65 (1959), pp. 183-226; and to Bernard M. Dwork for his paper, On the rationality of the zeta function of an algebraic variety, American Journal of Mathematics, volume 82 (1960), pp. 631-648.

    Fifth award, 1956: To John T. Tate for his paper, The higher dimensional cohomology groups of class field theory, Annals of Mathematics, Series 2, volume 56 (1952), pp. 294-297.

    Fourth award, 1951: To Paul Erdös for his many papers in the theory of numbers, and in particular for his paper,On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem, Proceedings of the National Academy of Sciences, volume 35 (1949), pp. 374-385.

    Third award, 1946: To H. B. Mann for his paper, A proof of the fundamental theorem on the density of sums of sets of positive integers, Annals of Mathematics, Series 2, volume 43 (1942), pp. 523-527.

    Second award, 1941: To Claude Chevalley for his paper, La théorie du corps de classes, Annals of Mathematics, Series 2, volume 41 (1940), pp. 394-418.

    First award, 1931: To H. S. Vandiver for his several papers on Fermat's last theorem published in the Transactions of the American Mathematical Society and in the Annals of Mathematics during the preceding five years, with special reference to a paper entitled On Fermat's last theorem, Transactions of the American Mathematical Society, volume 31 (1929), pp. 613-642.

    Source : http://www.ams.org/profession/prizes-awards/ams-prizes/co...

    Prix Frank Nelson Cole

    Prix Frank Nelson Cole

    Le prix Frank Nelson Cole, ou plus simplement prix Cole, fait partie des récompenses décernées par l'American Mathematical Society (AMS). Le prix Cole est en réalité double : un des prix couronne une contribution remarquable en algèbre, tandis qu'un second prix distingue une contribution remarquable en théorie des nombres. Le prix est ainsi nommé en l'honneur du mathématicien américain Frank Nelson Cole (1861–1926), par ailleurs membre de l'AMS pendant plus de vingt-cinq ans.

    Bien que l'éligibilité au prix ne soit pas strictement fondée sur la nationalité, il est toutefois nécessaire que les futurs lauréats soient membres de l'AMS et publient leurs travaux de recherche mathématiques dans les plus importantes revues scientifiques américaines.

    Le premier prix Cole en algèbre a été remis en 1928 à Leonard Eugene Dickson pour son livre Algebren und ihre Zahlentheorie (Orell Füssli, Zürich et Leipzig, 1927), tandis que le premier prix relatif à des recherches sur la théorie des nombres a été remis en 1931 à Harry Vandiver pour un article traitant du dernier théorème de Fermat.

    Lauréats de la catégorie « algèbre » [modifier]

    Lauréats de la catégorie « théorie des nombres » [modifier]

    Liens externes [modifier]

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    The Erdös Number Project

     

    The Erdös Number Project

    This is the website for the Erdös Number Project, which studies research collaboration among mathematicians.

    This site is maintained by Jerry Grossman at Oakland University, with the collaboration of Patrick Ion (ion@ams.org) at Mathematical Reviews and Rodrigo De Castro(rdcastro@matematicas.unal.edu.co) at the Universidad Nacional de Colombia, Bogota.  Please address all comments, additions, and corrections to Jerry at grossman@oakland.edu.

    Erdös numbers have been a part of the folklore of mathematiciansthroughout the world for many years.  For an introduction to our project, a description of what Erdös numbers are, what they can be used for, who cares, and so on, choose the “What’s It All About?” link below.  To find out who Paul Erdös is, look at this biography at the MacTutor History of Mathematics Archive, or choose the “Information about Paul Erdös” link below.  Some useful information can also be found in this Wikipedia article, which may or may not be totally accurate.


    WHAT’S INSIDE:

    • What’s It All About?: General overview, including our (admittedly arbitrary) rules for what counts as a research collaboration.
    • The Data: Lists of all of Paul Erdös’s coauthors and their respective coauthors, organized in various ways.  There are also links to websites of or about Erdös’s coauthors.
    • Facts about Erdös Numbers and Collaborations: Statistical descriptions of Erdös number data, a file of the subgraph induced by Erdös coauthors, Erdös number record holders, facts about collaboration in mathematical research and the collaboration graph, including some information about publishing habits of mathematicians (for example, the median number of papers is 2, and the mean is about 7).  This subpage has loads of information about the collaboration graph and Erdös numbers, including the distribution of Erdös numbers (they range up to 13, but the average is less than 5, and almost everyone with a finite Erdös number has a number less than 8) and “Erdös numbers of the second kind”.
    • Research on Collaboration: Papers on collaboration in scientific research, collaboration graphs and other small world graphs, and Erdös numbers.  A lot of research is currently being done by various scientists on collaboration graphs and related topics.
    • Related Concepts: Six degrees of separation, the Kevin Bacon game, Small Worlds, academic genealogy, Hank Aaron, graph theory.

    SPECIAL NOTES:

    We have finished updating the lists of Erdös coauthors.

    There are about 1100 new people with Erdös number 2, compared to three years ago.


    NOTES: The data shown on this site are based primarily on all items appearing in MatchSciNet through mid-2010.  The next update will probably occur around 2015.  If you have any additions or corrections to our lists, PLEASE send them.  New coauthorships that appear in MathSciNet will be included at the next update, but if you know of other new coauthors, please contact Jerry Grossman.

    If you are an Erdös coauthor, I would really appreciate your sending me a complete list of your coauthors (with full names).

    One thing we’d really like to do is give more accurate information on some of the old coauthors’ status — whether they are still alive.  Look at the list of coauthors arranged by date of first paper with Erdös to see, in chronological order, those we don’t know about (if there is no asterisk, then we assume the person is still alive, except as noted in the addenda file).  If anyone has any information that one or more of these are deceased (or, as Paul Erdös  would say, “has left”), please let us know.  (We know some are alive; please report only those that have passed on, and report only Erdös coauthors, since there is no way we could extend this convention to those with Erdös number 2.)     
     
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    This page was last updated on October 20, 2010 (but subpages may have been updated more recently).
    However, the lists of coauthors and the various other statistics on this site are updated about once every three years.  The current version was posted on October 20, 2010 and includes all information listed in MathSciNet through mid-2010.  The next update will probably occur around 2015.
    Source : http://www.oakland.edu/enp/

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    Paul Erdős

    Paul Erdős

    (Redirigé depuis Paul Erdös)
    Paul Erdős, 1992

    Paul Erdős (Erdős Pál /ˈɛrdøːʃ paːl/ en hongrois), né le 26 mars 1913 à Budapest (Hongrie) et décédé le 20 septembre 1996 à Varsovie(Pologne), est un mathématicien hongrois célèbre pour son excentricité, le nombre de ses publications scientifiques (environ 1500) et de ses collaborateurs. Son œuvre prolifique a donné naissance au concept de nombre d'Erdős représentant le degré de séparation entre le mathématicien hongrois, la centaine de collaborateurs directs, coauteurs d'articles, de nombre 1, indirects, de nombre 2, etc.

    Sommaire

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    Biographie [modifier]

    La vie de Paul Erdős a été tout entière consacrée à ses travaux de recherche. Vivant dans un grand dénuement (il n’avait pas de femme, pas d’emploi, pas même une maison pour l’attacher quelque part ; il vivait avec une vieille valise et un sac plastique orange de supermarché ; la seule possession qui comptait pour lui était son petit calepin1), il est un chercheur très prolifique, toutes disciplines confondues, avec plus de 1 500 articles de recherche publiés. En particulier, nombre de ces articles visait à étudier ses domaines de prédilection (théorie des graphes,théorie des nombrescombinatoire) sous des angles différents, et à améliorer sans cesse l'élégance des démonstrations. Parmi ses contributions, le développement de la théorie de Ramsey et de l'application de la méthode probabiliste en particulier se distinguent.

    Âgé d'un an lorsque survient la Première Guerre mondiale, Erdős voit son père capturé par l'armée russe. Sa mère, redoutant de ne pouvoir veiller sur ses enfants hors du foyer, préfère dès lors engager un précepteur. Toutefois, elle-même étant professeur de mathématiques, elle lui transmet le goût de cette discipline, ce qui amènera le jeune Erdős à s'intéresser très tôt à des problèmes mathématiques.

    Ayant obtenu sa thèse de mathématiques en Hongrie en 1934, il est contraint par ses origines juives à s'exiler dans un premier temps à l'université de Manchester puis aux États-Unis. Il travaille à l'université de Princeton, puis est ensuite invité par Ulam à l'université James Madison. C'est à cette époque qu'il parvient, avec le mathématicien Atle Selberg, à établir une preuve élégante du théorème des nombres premiers. Mais Selberg publie seul le document, et obtient la médaille Fields l'année suivante2.

    Installé à l'université Purdue en Indiana, Erdős est invité à rejoindre le programme de développement de la bombe atomique américaine en 1943, mais sa candeur le fait échouer lors des entretiens. Ce n'est qu'en 1948 qu'il peut retourner en Hongrie pour retrouver sa famille revenue de déportation. Quelques années plus tard, en 1950, le maccarthysme bat son plein aux États-Unis et il est accusé de communisme. En conséquence, il n'est plus autorisé à circuler aux États-Unis. Il est fait membre étranger de la Royal Society en 1989.

    Installé durant les années 1960 en Israël, Erdős ne peut à nouveau fouler le sol américain qu'en 1963. Il entreprend dès lors une carrière de chercheur et professeur itinérant, et finit par décéder dans sa chambre d'hôtel à l'âge de 83 ans.

    Anecdotes [modifier]

    • Le caractère particulièrement prolifique d'Erdős amena la création du « nombre d'Erdős », signalant le degré de collaboration d'un chercheur avec Erdős. Ce dernier a par définition le nombre 0. Les mathématiciens ayant publié un papier de recherche cosigné par lui ont pour nombre d'Erdős 1. Les chercheurs ayant publié avec ces derniers ont un nombre d'Erdős de 2 (comme Albert Einstein), et ainsi de suite par récurrence. Les personnes qui n'ont jamais écrit d'article mathématique, de même que celles n'ayant pas de coauteur qui soit relié à Erdős de la manière décrite ci-dessus, ont un nombre d'Erdős égal à l'infini. En 2008, le plus grand nombre d'Erdős connu d'un mathématicien en activité était 133.
    • Lorsque Hardy et Erdős se rencontrèrent, Hardy avait 57 ans et sentait ses capacités mathématiques diminuer. Il aimait dire que les mathématiques appartiennent à la jeunesse :« Galois est mort à vingt et un ans, Abel à vingt-sept […]. Riemann à quarante […]. Je ne connais pas d'exemple d'un progrès majeur en mathématiques dû à un homme de plus de cinquante ans. » Erdős, qui n'avait que 21 ans, était trop jeune pour savoir qu'il deviendrait l'un des plus célèbres contre-exemples de cette opinion de Hardy.
    • Erdős continua de voyager et de donner des conférences jusqu'à sa mort. Interrogé sur son désir de continuer à faire des mathématiques malgré son grand âge, il répondit : « Les premiers signes de la sénilité sont quand un homme oublie ses théorèmes. Le deuxième signe, c'est quand il oublie de fermer sa braguette. Le troisième, c'est quand il oublie de l'ouvrir ! » (D'après Paul Hoffman1, Erdős citait ici son ami Stanislaw Ulam, qui serait l'auteur du mot.)
    • Pour le débarrasser de sa dépendance aux amphétamines, qui avait pris naissance à la mort de sa mère en 1971, le directeur de la section mathématique des laboratoires Bell avait parié 500 dollars avec lui qu'il n'arriverait pas à cesser d'en consommer pendant un mois. Après quelques semaines, Erdős revint trouver Graham et l'avertit : « Graham, avant, lorsque je regardais une feuille blanche, mon esprit était plein d'idées. Aujourd'hui, tout ce que je vois c'est une feuille blanche. » Erdős gagna le pari, mais se plaignit ensuite de ce que Graham avait retardé d'un mois les progrès des mathématiques...
    • Paul Erdős entendit un jour que les géologues estimaient l'âge de la Terre à quatre milliards et demi d'années. Se souvenant que, dans sa jeunesse, on n’en attribuait à la planète que deux milliards, il donna pour titre à une conférence autobiographique : Mes Deux Premiers Milliards d'années et demi en mathématiques
    • Au jour de ses soixante ans, Paul Erdős décida de signer toutes ses lettres par Paul Erdős L.D. (« L.D. » pour living dead, « mort vivant »).
    • La conversation d'Erdős était plutôt ésotérique. Ses amis le comprenaient parfaitement lorsqu'il affirmait s'être « fort bien remis de la grippe que le S.F. a cru bon de lui envoyer »(« S.F. » pour Suprême Fasciste, c'est-à-dire Dieu), ou encore que l'« epsilon de Charles a encore grandi » (epsilon, lettre grecque employée pour désigner une quantité infime, désigne un enfant).
    • Une des courtes nouvelles de Sonates de bar de l'oulipien Hervé Le Tellier est un hommage à Paul Erdős, que l'écrivain avait rencontré peu avant sa mort.
    • Une des maximes favorites de Erdős était : « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution ».
    • Une autre phrase célèbre souvent attribuée incorrectement à Erdős, mais provenant en réalité d'Alfréd Rényi : « un mathématicien est une machine qui transforme le café en théorèmes ».

    Notes et références [modifier]

    1. ↑ a et b Paul Hoffman, Paul Erdös : 1913-1996 : l'homme qui n'aimait que les nombres, Éditions Belin, 2000
    2.  (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Paul Erdős [archive] », MacTutor History of Mathematics archiveUniversité de St Andrews.
    3.  « Facts about Erdös Numbers and the Collaboration Graph » [archive], Oakland University, 22 avril 2008.

    Voir aussi [modifier]

    Bibliographie [modifier]

    Paul Hoffman, Paul Erdös : 1913-1996 : l'homme qui n'aimait que les nombres, Éditions Belin, 2000 (ISBN 2-7011-2539-1)

    Articles connexes [modifier]

    Liens externes [modifier]

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    Nombre de Liouville

    Nombre de Liouville

    En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, un nombre de Liouville est un nombre réel x avec la propriété suivante : pour tout nombre entier positif n, il existe des entiers p et q avec q > 1, et tels que

    0 < |x - frac{p}{q}| < frac{1}{q^n},.

    Un nombre de Liouville peut ainsi être approché « de manière très fine » par une suite de nombres rationnels. En 1844, Joseph Liouville montra que tous les nombres vérifiant l'inégalité ci-dessus sont transcendants, établissant ainsi pour la première fois l'existence de tels nombres.

    Sommaire

     [masquer]

    Irrationalité des nombres de Liouville [modifier]

    Remarquons d'abord que si x est un nombre de Liouville, pour tout nombre entier positif n, il existe alors un nombre infini de paires d'entiers (p,q) obéissant à l'inégalité ci-dessus : il suffit en effet de prendre des couples (p,q) associés à des entiers m égaux à kn , ils fournissent k couples (pq^{i-1}, q^i)_{iin {1,cdots, k}} associés à n car

    0 < |x - frac{pq^{i-1}}{q^i}|= |x - frac{p}{q}|< frac{1}{q^m}, leq frac{1}{(q^i)^n},.


    Il est relativement facile de démontrer que si x est un nombre de Liouville, alors x est un nombre irrationnel. Supposons le contraire ; alors il existe des entiers cd avec x = frac{c}{d},. Soit nun entier positif tel que 2^{n-1} > d,. Alors, il existerait deux entiers p et q tels que

    0 < |x - frac{p}{q}| < frac{1}{q^n},.

    La première partie de l'inégalité prouve que frac{p}{q} ne frac{c}{d},, donc

    |x - frac{p}{q}| = |frac{c}{d} - frac{p}{q}| ge frac{1}{dq} > frac{1}{2^{n-1} q} ge frac{1}{q^n},

    ce qui contredit la définition .

    Constante de Liouville [modifier]

    La constante de Liouville est le réel défini par

     c = sum_{j=1}^infty 10^{-j!} = 0,110001000000000000000001000....


    La constante de Liouville est un nombre de Liouville ; si nous définissons p_n, et q_n, comme suit :

    p_n = sum_{j=1}^n 10^{(n! - j!)}; quad q_n = 10^{n!}

    alors, pour tous les entiers positifs n, nous avons

    |c - p_n/q_n| = sum_{j=n+1}^infty 10^{-j!} = 10^{-(n+1)!} + 10^{-(n+2)!} + cdots < 10^{-(n!n)} = 1/{q_n}^n

    La constante de Liouville est le premier exemple de nombre réel dont on a prouvé la transcendance. La fraction continue est l'outil auquel pense Liouville pour construire des nombres de Liouville et donc transcendants. L'article associé présente un autre exemple de cette nature, illustrant la méthode préconisée par le mathématicien.

    Mesure irrationnelle d'un réel [modifier]

    La mesure irrationnelle d'un nombre réel x mesure la manière d'approcher un nombre par des rationnels. À la place de n'importe quel n permis pour la puissance de q, nous trouvons la borne supérieure de l'ensemble de nombres réels mu, tels que la propriété

    0 < |x - frac{p}{q}| < frac{1}{q^{mu}},

    soit satisfaite par un nombre infini de paires d'entiers (pq) avec q > 0. Pour toute valeur mu, inférieure à cette borne supérieure, l'ensemble de tous les rationnels frac{p}{q}, satisfaisant l'inégalité ci-dessus est une approximation fine de x; réciproquement, si mu, est plus grand que la borne supérieure, alors il n'existe pas de telles suites qui convergent finement vers x.

    Les nombres de Liouville sont précisément les nombres ayant une mesure irrationnelle infinie.

    Transcendance des nombres de Liouville [modifier]

    En 1844Joseph Liouville montra que les nombres avec cette propriété ne sont pas seulement irrationnels, mais sont toujours transcendants (voir la démonstration ci-dessous). Il utilisa ce résultat pour fournir le premier exemple explicite de nombre transcendant : la constante de Liouville définie plus haut.

    En revanche, bien que chaque nombre de Liouville soit transcendant, tout nombre transcendant n'est pas un nombre de Liouville. Il a été démontré que pi, est transcendant, mais pas un nombre de Liouville.

    La démonstration procède en établissant premièrement la propriété des nombres algébriques irrationnels. Cette propriété dit essentiellement que les nombres algébriques irrationnels ne peuvent pas être approchés correctement par les nombres rationnels. Un nombre de Liouville est irrationnel mais n'a pas cette propriété, donc il ne peut pas être algébrique et doit être transcendant. Le lemme suivant est connu habituellement comme le théorème de Liouville sur l'approximation diophantienne, car il existe plusieurs autres résultats connus comme théorèmes de Liouville.

    Lemme : Si alpha, est un nombre irrationnel qui est la racine d'un polynôme f de degré n > 1 à coefficients entiers, alors il existe un nombre réel A > 0 tel que, pour tous les entiers pq, avec q > 0,

    |alpha - frac{p}{q}| > frac{A}{q^n},.

    Démonstration de l'assertion [modifier]

    Comme conséquence de ce lemme, soit x un nombre de Liouville ; comme noté dans le texte de l'article, x est alors irrationnel. Si x est algébrique, alors par le lemme, il existe un certain entier n et un certain réel positif A tel que pour tous les pq

    |x - frac{p}{q}| > frac{A}{q^n},.

    Soit r un entier positif tel que frac{1}{(2^r)} le A,. Soit m = r + n, alors, puisque x est un nombre de Liouville, il existe des entiers ab > 1 tel que

    |x - frac{a}{b}| < frac{1}{b^m} = frac{1}{b^{r+n}} = frac{1}{(b^r b^n)} le frac{1}{(2^r b^n)} le frac{A}{b^n} ,

    ce qui contredit le lemme ; par conséquent x n'est pas algébrique, et est ainsi transcendant.

    Théorème d'Erdös [modifier]

    Paul Erdös a démontré1 en 1962 que tout nombre réel pouvait s'écrire comme somme et comme produit de deux nombres de Liouville.

    Annexes [modifier]

    Notes et références [modifier]

    1.  Une démonstration de ce théorème est accessible dans le projet Euclide ici [archive]

    Voir aussi [modifier]

    Lien externe [modifier]

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    Suite d'entiers

    Suite d'entiers

    En mathématiques, une suite d'entiers peut être précisée explicitement en donnant une formule pour ses n-ièmes termes, ou implicitement en donnant une relation entre ses termes. Par exemple, la suite 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... (la suite de Fibonacci) est formée en commençant avec 0 et 1, puis en additionnant deux termes consécutifs pour obtenir le suivant : c'est une définition implicite. La suite 0, 3, 8, 15, ... est formée en se fondant sur la formule n^2-1, pour le n-ième terme : c'est une définition explicite.

    Des suites d'entiers qui ont leurs propres noms sont :

    Une suite d'entiers est une suite calculable, s'il existe un algorithme qui, pour un n donné, calcule an, pour tout n > 0. Une suite d'entiers est une suite définissable, s'il existe un certain énoncé P(x) qui est vrai pour cette suite d'entiers x et faux pour toutes les autres suites d'entiers. L'ensemble des suites d'entiers calculables et définissables est dénombrable, avec les suites calculables d'un sous-ensemble propre des suites définissables. L'ensemble de toutes les suites d'entiers est non-dénombrable ; ainsi, la plupart des suites d'entiers ne sont pas dénombrables et ne peuvent pas être définies.

    Voir aussi [modifier]

     

     

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    Tessarine

    Tessarine

    En mathématiques, les tessarines sont une idée introduite par James Cockle en 1848. La notion inclut à la fois les nombres complexes ordinaires et les nombres complexes fendus. Une tessarine t peut être décrite comme une matrice 2 x 2

    begin{pmatrix} w & z \ z & wend{pmatrix},

    où w et z peuvent être des quaternions quelconques. Si w et z sont des nombres complexes, on obtient les nombres bicomplexes.

    Sommaire

     [masquer]

    Isomorphismes avec les autres systèmes de nombres [modifier]

    Nombres complexes [modifier]

    Lorsque z = 0, alors t correspond à un nombre complexe ordinaire, qui est w lui-même.

    Nombres complexes fendus [modifier]

    Lorsque w et z sont tous deux des nombres réels, alors t correspond à un nombre complexe fenduw + j z. La tessarine particulière

    j = begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0end{pmatrix}

    possède la propriété suivante : Son produit matriciel au carré est la matrice identité. Cette propriété a conduit Cockle à appeler la tessarine j un "nouvel imaginaire en algèbre". L'importance de l'anneau commutatif et associative de toutes les tessarines semble avoir eu moins d'importance que cette tessarine particulière ainsi que le plan qu'elle crée au-delà de la ligne réelle.

    Quaternions coniques, nombres bicomplexes [modifier]

    Lorsque w et z sont à la fois des nombres complexes

    w =~a + ib,

    z =~c + id,

    (a, b, c, d réels) alors l'algèbre t est isomorphe aux quaternions coniques a + bi + c varepsilon + d i_0,, de base { 1,~i,~varepsilon ,~i_0 },, avec les identités suivantes :

    1 = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1end{pmatrix} qquad i =begin{pmatrix} i & 0 \ 0 & iend{pmatrix} qquad varepsilon =begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0end{pmatrix} qquad i_0 =begin{pmatrix} 0 & i \ i & 0end{pmatrix}

    Ils sont aussi isomorphes aux nombres bicomplexes (à partir des nombres multicomplexes) de base { 1,~i_1, i_2, j } si une identité :

    1 = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1end{pmatrix} qquad i_1 =begin{pmatrix} i & 0 \ 0 & iend{pmatrix} qquad i_2 =begin{pmatrix} 0 & i \ i & 0end{pmatrix} qquad j =begin{pmatrix} 0 & -1 \ -1 & 0end{pmatrix}

    À noter que j dans les nombres bicomplexes est identifié avec le signe opposé de j à partir de ci-dessus.

    Octonions coniques / sédénions coniques [modifier]

    Lorsque w et z sont à la fois des quaternions (de base { 1,~i_1,~i_2,~i_3 },), alors l'algèbre t est isomorphe aux octonions coniques ; permettant les octonions pour w et z (de base { 1,~i_1, ..., ~i_7 },), l'algèbre résultante est identique aux sédénions coniques.[réf. nécessaire]

    Propriétés algébriques [modifier]

    Les tessarines, lorsque w et z sont des nombres complexes, forment un anneau commutatif et associatif (différent des quaternions qui ne constituent pas un anneau commutatif). Ils permettent aussi les puissances, les racines et les logarithmes de j = varepsilon,, qui est une racine non réelle de 1. Ils ne forment pas un corps à cause des éléments idempotents

    begin{pmatrix} z & pm z \ pm z & z end{pmatrix} = z (1 pm j) = z (1 pm varepsilon),

    qui ont leur déterminant / module égale à 0 et par conséquent ne peuvent pas être inversés multiplicativement. De plus, l'arithmétique contient des diviseurs de zéro

    begin{pmatrix} z & z \  z & z end{pmatrix} begin{pmatrix} z & -z \  -z & z end{pmatrix} = z^2 (1 + j )(1 - j) = z^2 (1 + varepsilon )(1 - varepsilon) = 0.

    Les quaternions forment un anneau inversible sans diviseurs de zéro, et peut aussi être représenté par des matrices de forme 2 x 2.

    Références [modifier]

    • James Cockle dans le London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine, series 3
      • 1848 On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra, 33:435-9.
      • 1849 On a New Imaginary in Algebra 34:37-47.
      • 1849 On the Symbols of Algebra and on the Theory of Tessarines 34:406-10.
      • 1850 On Impossible Équations, on Impossible Quantities and on Tessarines 37:281-3.
      • 1850 On the True Amplitude of a Tessarine 38:290-2.

    13:52 Publié dans Tessarine | Lien permanent | Commentaires (0) | |  del.icio.us | | Digg! Digg |  Facebook

    Nombre complexe fendu

    Nombre complexe fendu

    En mathématiques, les nombres complexes fendus sont une extension des nombres réels définis de manière analogue aux nombres complexes (usuels). La différence-clef entre les deux est que la multiplication des nombres complexes (usuels) respecte la norme euclidienne standard (carrée) :

    x^2 + y^2, sur mathbb{R}^2,

    alors que la multiplication des nombres complexes fendus, quant à elle, respecte la norme de Minkowski ou norme lorentzienne (carrée)

     x^2 - y^2 ,

    Les nombres complexes fendus ont beaucoup d'autres noms, voir la section des synonymes ci-dessous.

    Un espace vectoriel réel à deux dimensions muni du produit interne de Minkowski est appelé un espace de Minkowski de dimension 1+1, souvent noté mathbb{R}^{1,1}, . Tout comme la géométrie euclidienne du plan euclidien mathbb{R}^2, peut être décrite avec les nombres complexes, la géométrie lorentzienne du plan de Minkowski mathbb{R}^{1,1}, peut être décrite avec les nombres complexes fendus.

    Le nom fendu provient du fait que les signatures de la forme (p,p) sont appelées signatures fendues. En d'autre mots, les nombres complexes fendus sont similaires aux nombres complexes mais dans la signature fendue (1,1).

    Sommaire

     [masquer]

    Définition [modifier]

    Un nombre complexe fendu est de la forme :

    z =  x + j.y,

    où x et y sont des nombres réels et la quantité j définie par (voir les Tessarines) :

    j^2 = +1,

    L'ensemble de tous ces z est appelé le plan complexe fendu. L'addition et la multiplication des nombres complexes fendus sont définies par

    (x + j.y) + (u + j.v) = (x + u) + j.(y + v),
    (x + j.y)(u + j.v) = (xu + yv) + j.(xv + yu),

    Cette multiplication est commutativeassociative et distributive sur l'addition.

    Conjugué, norme, et produit interne [modifier]

    Comme pour les nombres complexes, on peut définir la notion de conjugué complexe fendu. Si

    z = x + j.y,,

    le conjugué de z est défini par

    z^* = x - j.y,.

    Le conjugué satisfait les propriétés similaires du conjugué complexe usuel :

    (z + w)^* = z^* + w^*,
    (zw)^* = z^*w^*,
    (z^*)^* = z,

    Ces trois propriétés impliquent que le conjugué complexe fendu est un automorphisme d'ordre 2.

    La norme carrée (ou forme quadratique) d'un nombre complexe fendu z = x + j.y, est donnée par

    lVert z rVert = z z^* = z^* z = x^2 - y^2,.

    Cette norme n'est pas définie positivement mais possède plutôt une métrique (1,1). Une propriété importante de cette norme est qu'elle est préservée par la multiplication complexe fendue :

    lVert z w rVert = lVert z rVert lVert w rVert

    Le produit interne associé (1,1) est donné par

    <z, w> = Re(zw^*) = Re(z^*w) = xu - yv,

    où z = x + j.y, et w = u + j.v, et

     lVert z rVert = langle z, z rangle

    Les nombres complexes fendus z et w sont dits orthogonaux hyperboliques si <zw> = 0.

    Un nombre complexe fendu est inversible si et seulement si sa norme est différente de zéro (lVert z rVert ne 0 ). L'inverse d'un tel élément est donné par

     z^{-1} = z^* / lVert z rVert

    Les nombres complexes fendus qui ne sont pas inversibles sont appelés éléments nuls. Ceux-ci sont tous de la forme (a pm j.a), pour un certain nombre réel a.

    La base diagonale [modifier]

    Il existe deux éléments idempotents non-triviaux donnés par e = frac{(1 - j)}{2}, et e^* = frac{(1 + j)}{2}, (c'est-à-dire que ee = e, et e^*e^* = e^*,). Ces deux éléments sont nuls :

    lVert e rVert = lVert e^* rVert = e^* e = 0

    Il est souvent commode d'utiliser e et e* comme une base alternative pour le plan complexe fendu. Cette base est appelée la base diagonale ou base nulle. Le nombre complexe fendu zpeut être écrit dans la base nulle sous la forme

    z = x + j.y = (x - y)e + (x + y)e^*,

    Si nous notons le nombre

    z = ae + be^*, pour les nombres réels a et b par (a,b) alors la multiplication complexe fendue est donnée par
    (a_1,b_1)(a_2,b_2) = (a_1a_2,b_1b_2),.

    Dans cette base, il devient clair que les nombres complexes fendus sont isomorphes à la somme directe mathbb{R} oplus mathbb{R}, avec l'addition et la multiplication définie ci-dessus.

    Le conjugué complexe fendu dans la base diagonale est donné par

    (a,b)^* = (b,a),

    et la norme par

    lVert (a,b) rVert = ab

    Géométrie [modifier]

    L'ensemble des points z tels que z : lVert z rVert = a^2, est une hyperbole pour tout a de mathbb{R} différent de zéro. L'hyperbole est constitué d'une branche gauche et droite passant par a et - a. Le cas a = 1 est appelé l'hyperbole unité. L'hyperbole conjuguée est donnée par

    z : lVert z rVert = - a^2,

    avec une branche supérieure et inférieure passant par ja et - ja. L'hyperbole et l'hyperbole conjuguée sont séparée par deux asymptotes diagonales qui forment l'ensemble des éléments nuls :

    z : lVert z rVert = 0,

    Ces deux droites (parfois appelées le cône nul) sont perpendiculaires et ont des pentes de pm 1,.

    L'analogue de la formule d'Euler pour les nombres complexes fendus est

    e^{(j.theta)} = cosh(theta) + j.sinh(theta),

    Ceci peut être déduit du développement en série de puissances utilisant le fait que cosh a seulement des puissances paires tandis que sinh a des puissances impaires. Pour toutes les valeurs réelles de l'angle hyperbolique theta,, le nombre complexe fendu lambda = e^{(j.theta)}, est de norme 1 et est lié à la branche droite de l'hyperbole unité.

    Puisque lambda, est de norme 1, en multipliant tout nombre complexe fendu z par lambda,, la norme de z est préservée et représente une rotation hyperbolique (aussi appelée une transformation de Lorentz). En multipliant par lambda, la structure géométrique est préservée, prenant les hyperboles par elles-mêmes et le cône nul par lui-même.

    L'ensemble de toutes les transformations du plan complexe fendu qui préserve la norme (ou de manière équivalente, le produit interne) forme un groupe appelé le groupe orthogonal généralisé O(1,1). Ce groupe est constitué des rotations hyperboliques - qui forme un sous-groupe noté SO^+(1,1), - combiné avec quatre réflexions discrètes données par

    zmapstopm z et zmapstopm z^{*}.

    L'application exponentielle

    exp : mathbb{R} rightarrow SO^+(1,1),

    qui associe theta, à la rotation par e^{(j.theta)}, est un isomorphisme de groupe puisque la formule usuelle des exponentielles s'applique :

    e^{j(theta+phi)} = e^{jtheta}e^{jphi},

    Propriétés algébriques [modifier]

    En termes d'algèbre générale, les nombres complexes fendus peuvent être décrits comme le quotient de l'anneau polynomial mathbb{R}[x], par l'idéal généré par le polynôme formel X^2 - 1,,

    mathbb{R}[x]/(x^2 - 1),.

    L'image de x dans l'ensemble-quotient est l'unité imaginaire j. Avec cette description, il est clair que les nombres complexes fendus forment un anneau commutatif de caractéristique 0. De plus, si nous définissons une multiplication scalaire de manière évidente, les nombres complexes fendus forment une algèbre associative et commutative sur les nombres réels de dimension deux. L'algèbre n'est pas un corps puisque les éléments nuls ne sont pas inversibles. En fait, tous les éléments nuls différents de zéro sont des diviseurs de zéro. Puisque l'addition et la multiplication sont des opérations continues en respectant la topologie usuelle du plan, les nombres complexes fendus forment un anneau topologique.

    Les nombres complexes fendus ne forment pas une algèbre normée dans le sens usuel du mot puisque la « norme » n'est pas définie positivement. Néanmoins, si on étend la définition pour inclure les normes de signature générale, ils forment une telle algèbre. Ceci s'ensuit du fait suivant

    lVert zw rVert = lVert z rVert lVert w rVert,

    Pour un exposé sur les algèbres normées de signatures générales, voir la référence par Harvey.

    Les nombres complexes fendus sont un cas particulier d'une algèbre de Clifford. Nommément, ils forment une algèbre de Clifford sur un espace vectoriel à une dimension avec une forme quadratique définie négativement. Comparer ceci avec les nombres complexes qui forment une algèbre de Clifford sur un espace vectoriel à une dimension avec une forme quadratique définie positivement. (NB : certains auteurs permutent les signes dans la définition d'une algèbre de Clifford ce qui interchangera le sens de définie positivement et de définie négativement).

    Représentations matricielles [modifier]

    Comme dans le cas des nombres complexes (usuels), on peut facilement représenter les nombres complexes fendus par les matrices. Le nombre complexe fendu

    z = x + j.y = 1.x + j.y,

    peut être représenté par la matrice

    z mapsto begin{bmatrix}x & y \ y & xend{bmatrix}

    car

    1 mapsto begin{bmatrix}1 & 0 \ 0 & 1end{bmatrix}

    et

    j mapsto begin{bmatrix}0 & 1 \ 1 & 0end{bmatrix}

    L'addition et la multiplication des nombres complexes fendus sont alors donnés par l'addition et la multiplication matricielle. La norme de z est donnée par le déterminant de la matrice correspondante. La conjugaison complexe fendue correspond à la multiplication des deux côtés par la matrice

    C = begin{bmatrix}1 & 0 \ 0 & -1end{bmatrix}

    La rotation hyperbolique par e^{(j.theta)}, correspond à la multiplication par la matrice

    begin{bmatrix}coshtheta & sinhtheta \ sinhtheta & coshthetaend{bmatrix}

    En travaillant dans la base diagonale, cela nous conduit à la représentation matricielle diagonale

    z mapsto begin{bmatrix}x - y & 0 \ 0 & x + yend{bmatrix}

    Les rotations hyperboliques dans cette base correspond à la multiplication par

    begin{bmatrix}e^{-theta} & 0 \ 0 & e^{theta}end{bmatrix}

    qui montre qu'elles sont des applications encadrantes.

    Histoire [modifier]

    L'usage des nombres complexes fendus remonte à 1848 lorsque James Cockle exposa ses TessarinesWilliam Kingdon Clifford utilisa les nombres complexes fendus pour représenter les sommes de spins en 1882. Clifford appela les éléments « motors ».

    Dans le vingtième siècle, les nombres complexes fendus devinrent une plateforme commune pour décrire les transformations de Lorentz de la relativité restreinte, dans un espace-temps plat car un changement de vitesse entre des cadres de référence est élégamment exprimé par une rotation hyperbolique.

    En 1935, J.C. Vignaux et A. Duranona y Vedia développèrent l'algèbre et la théorie des fonctions géométriques complexes fendues dans quatre articles dans Contribucion a las Ciencias Fisicas y Matematicas, Universidad Nacional de La Plata, Republica Argentina (en espagnol).

    Plus récemment, le plan des nombres complexes fendus a été exploité pour exprimer des idées mathématiques, des requêtes et des fonctions. C'est un pont important entre une structure comme le plan complexe ordinaire et le caractère exotique des créations modernes.

    Synonymes [modifier]

    • (Réel) Tessarines James Cockle 1848
    • (Algébrique) motors W.K. Clifford 1882
    • numeros complejos hiperbolicos J.C. Vignaux 1935
    • double nombres I.M. Yaglom 1965 et Hazewinkle 1990
    • anormal-complex Zahlen W. Benz 1973
    • nombres perplexes P. Fjelstad 1986
    • nombres de Lorentz F.R. Harvey 1990
    • nombres complexes hyperboliques G. Sobczyk 1995
    • nombres complexes fendus B. Rosenfeld 1997

    Voir aussi [modifier]

    Références et liens externes [modifier]

    • Benz, W. (1973)Vorlesungen uber Geometrie der Algebren, Springer
    • Cockle, James (1848) « A New Imaginary in Algebra », London-Edinburgh-Dublin Philosophical Magazine (3) 33:345-9.
    • Fjelstadt, P. (1986)"Extending Special Relativity with Perplex Numbers", American Journal of Physics 54:416.
    • F. Reese Harvey. Spinors and calibrations. Academic Press, San Diego. 1990. ISBN 0-12-329650-1. Contains a description of normed algebras in indefinite signature, including the Lorentz numbers.
    • Hazewinkle, M. (1990) editor Encyclopaedia of Mathematics Soviet/AMS/Kluyer, Dordrect.
    • Literature review: The Motor Plane D
    • Rosenfeld, B. (1997) Geometry of Lie Groups Kluwer Academic Pub.
    • Clifford, W.K., Mathematical Works (1882) edited by A.W.Tucker, pp.392-4, « Further Notes on Biquaternions »
    • Vignaux, J.(1935) « Sobre el número complejo hiperbólico y su relación con la geometría de Borel », Contribución al Estudio de las Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad Nacional de la Plata, República Argentina.

     

    13:49 Publié dans Nombre complexe fendu | Lien permanent | Commentaires (0) | |  del.icio.us | | Digg! Digg |  Facebook