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Histoire des mathématiques

L’histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses régions du globe allant de la Chine à l’Amérique centrale. Jusqu'au xvii^e siècle, le développement des connaissances mathématiques s’effectue essentiellement de façon cloisonnée dans divers endroits du globe. À partir du xix^e et surtout au xx^e siècle, le foisonnement des travaux de recherche et la mondialisation des connaissances mènent plutôt à un découpage de cette histoire en fonction des domaines de mathématiques.

Sommaire

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Préhistoire [modifier]

Article détaillé : Mathématiques préhistoriques.

L'os d'Ishango datant de plus de 20 000 ans avant notre ère est généralement cité pour être la première preuve de la connaissance des premiers nombres premiers et de la multiplication^{[réf. nécessaire]}, mais cette interprétation reste sujette à discussions^{[réf. nécessaire]}. Il est dit que les mégalithes en Égypte au V^e millénaire avant notre ère ou en Angleterre au III^e millénaire incorporeraient des idées géométriques comme les cercles, les ellipses et les triplets pythagoriciens^{[réf. nécessaire]}. En 2 600 avant notre ère, les constructions égyptiennes attestent d'une connaissance précise et réfléchie de la géométrie^{[réf. nécessaire]}.

L'ethnomathématiques est un domaine de recherche à la frontière de l'anthropologie, de l'ethnologie et des mathématiques qui vise entre autres à comprendre l'essor des mathématiques dans les premières civilisations à partir des objets, instruments, peintures, et autres documents retrouvés.

De Sumer à Babylone [modifier]

Article détaillé : Mathématiques babyloniennes.

On attribue généralement le début de l'écriture à Sumer, dans le bassin du Tigre et de l'Euphrate ou Mésopotamie. Cette écriture, dite cunéiforme, naît du besoin d'organiser l'irrigation ¹et le commerce. Conjointement à la naissance de l'écriture naissent les premières mathématiques utilitaires (économie, calculs de surface). Le premier système numérique positionnel apparaît : le système sexagésimal. Pendant près de deux mille ans, les mathématiques vont se développer dans la région de Sumer, Akkad puis Babylone. Les tablettes datant de cette période sont constituées de tables numériques et de modes d'emploi. C'est ainsi qu'à Nippur (à une centaine de kilomètres de Bagdad), ont été découvertes au xix^e siècle des tablettes scolaires datant de l'époque paléo-Babylonienne (2000 av. J.-C.)². On sait donc qu'ils connaissaient les quatre opérations mais se sont lancés dans des calculs plus complexes avec une très grande précision, comme des algorithmes d'extraction de racines carrées³, racines cubiques, la résolution d'équations du second degré. Comme ils faisaient les divisions par multiplication par l'inverse, les tables d'inverse jouaient un grand rôle. On en a retrouvé avec des inverses pour des nombres à six chiffres sexagésimaux, ce qui indique une très grande précision ⁴. On a également retrouvé des tablettes sur lesquelles figurent des listes de carrés d'entier, des listes de cubes et une liste souvent interprétée comme celle de triplets pythagoriciens⁵ suggérant qu'ils connaissaient la propriété des triangles rectangles plus de 1 000 ans avant Pythagore. Des tablettes ont aussi été retrouvées décrivant des algorithmes pour résoudre des problèmes complexes ⁶.

Ils étaient capables d'utiliser des interpolations linéaires pour les calculs des valeurs intermédiaires ne figurant pas dans leurs tableaux. La période la plus riche concernant ces mathématiques est la période de Hammurabi (xviii^e siècle av. J.-C.). Vers 1000 av. J.-C., on observe un développement du calcul vers l'astronomie mathématique⁷.

Égypte [modifier]

Article détaillé : Mathématiques en Égypte antique.

Les meilleures sources sur les connaissances mathématiques en Égypte antique sont le Papyrus Rhind (seconde période intermédiaire, xx^e siècle av. J.-C.) qui développe de nombreux problèmes de géométrie, et le Papyrus de Moscou (1850 avant J.-C.) et le rouleau de cuir. À ces documents s'ajoutent trois autres papyrus et deux tablettes de bois ; le manque de documents ne permet pas d'attester ces connaissances⁸. Les Égyptiens ont utilisé les mathématiques principalement pour le calcul des salaires, la gestion des récoltes, les calculs de surface et de volume et dans leurs travaux d'irrigation et de construction (voir Sciences Égyptiennes). Ils utilisaient un système d'écriture des nombres additionnel (numération égyptienne). Ils connaissaient les quatre opérations, étaient familiers du calcul fractionnaire (basé uniquement sur les inverses d'entiers naturels) et étaient capables de résoudre des équations du premier degré par la méthode de la fausse position. Ils utilisaient une approximation fractionnaire de π⁹. Les équations ne sont pas écrites, mais elles sous-tendent les explications données.

Chine [modifier]

La source principale la plus ancienne de nos connaissances sur les mathématiques chinoises provient du manuscrit de Zhoubi Suanjing ou Les neuf chapitres sur l'art mathématique, daté du i^er siècle, mais regroupant des résultats probablement plus anciens. On y découvre que les Chinois avaient développé des méthodes de calcul et de démonstration qui leur étaient propres : arithmétique, fractions, extraction des racines carrées et cubiques, mode de calcul de l'aire du disque, volume de la pyramide et méthode du pivot de Gauss. Leur développement des algorithmes de calcul est remarquablement moderne. Mais on trouve aussi, sur des os de moutons et de bœufs, des gravures prouvant qu'ils utilisaient un système décimal positionnel (numération chinoise). Ils sont aussi à l'origine d'abaques les aidant à calculer. Les mathématiques chinoises avant notre ère sont principalement tournées vers les calculs utilitaires. Elles se développent ensuite de manière propre entre le i^er et le vii^e siècle après J.-C. puis entre le x^e et le xiii^e siècle.

Civilisations précolombiennes [modifier]

Exemple de quipu.

La civilisation maya s'étend de 2600 avant J.-C. jusqu'à 1500 ans après J.-C. avec un apogée à l'époque classique du iii^e siècle au ix^e siècle. Les mathématiques sont principalement numériques et tournées vers le comput calendaire et l'astronomie. Les Mayas utilisent un système de numération positionnel de base vingt (numération maya). Les sources mayas sont issues principalement des codex (écrits autour duxiii^e siècle). Mais ceux-ci ont été en grande majorité détruits par l'Inquisition et il ne reste de nos jours que quatre codex (celui de Dresde, deParis, de Madrid et Grolier) dont le dernier est peut-être un faux.

La civilisation Inca (1400-1530) a développé un système de numération positionnel en base 10 (donc similaire à celui utilisé aujourd'hui). Ne connaissant pas l'écriture¹⁰, ils utilisaient des quipus pour « écrire » les statistiques de l'État. Un quipu est un encordage dont les cordes présentent trois types de nœuds symbolisant respectivement l'unité, la dizaine et la centaine¹¹. Un agencement des nœuds sur une corde donne un nombre entre 1 et 999 ; les ajouts de cordes permettant de passer au millier, au million, etc.

Inde [modifier]

Article détaillé : Mathématiques indiennes.

La civilisation de la vallée de l'Indus développa un usage essentiellement pratique des mathématiques : système décimal de poids et mesures et régularité des proportions dans la confection de briques. Les sources écrites les plus anciennes concernant les mathématiques indiennes sont les sulba-sutras (de 800 av. J.-C. jusqu'à 200). Ce sont des textes religieux écrits en sanscrit réglementant la taille des autels de sacrifice. Les mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstration. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Indiens connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π et de racine carrée de deux. Vers la fin de cette période, on voit se mettre en place les neuf chiffres du système décimal.

Il faut ensuite attendre l'époque jaïniste (v^e siècle après J.-C.) pour voir naître de nouveaux textes mathématiques. Les mathématiciens de cette époque commencent une réflexion sur l'infini, développent des calculs sur des nombres de la forme $x^{1/2^n}$ qu'ils nomment première racine carrée, seconde racine carrée, troisième racine carrée. De cette époque, datent l'Aryabhata (499), du nom de son auteur, écrit en sanscrit et en vers, et les traités d'astronomie et de mathématiques de Brahmagupta (598-670) . Dans le premier, on y trouve des calculs de volume et d'aire, des calculs de sinus qui donne la valeur de la demi-corde soutenue par un arc, la série des entiers, des carrés d'entiers, des cubes d'entiers. Une grande partie de ces mathématiques sont orientées vers l'astronomie. Mais on trouve aussi des calculs de dettes et recettes où l'on voit apparaître les premières règles d'addition et de soustraction sur les nombres négatifs. Mais c'est à Brahmagupta semble-t-il que l'on doit les règles opératoires sur le zéro en tant que nombre et la règle des signes.

Grèce antique [modifier]

Article détaillé : Mathématiques de la Grèce antique.

Machine d'Anticythère, le plus anciencalculateur analogique.

À la différences des mathématiques égyptiennes et mésopotamiennes connues par des papyrus ou des tablettes d'argiles antiques remarquablement bien conservées, les mathématiques grecques ne sont pas parvenues jusqu'à nous grâce à des traces archéologiques. On les connait grâce aux copies, traductions et commentaires de leurs successeurs.

La grande nouveauté des mathématiques grecques est qu'elles quittent le domaine de l'utilitaire pour rentrer dans celui de l'abstraction. Les mathématiques deviennent une branche de la philosophie. De l'argumentation philosophique découle l'argumentation mathématique. Il ne suffit plus d'appliquer, il faut prouver et convaincre : c'est la naissance de la démonstration. L'autre aspect de ces nouvelles mathématiques concerne leur objet d'étude. Au lieu de travailler sur des méthodes, les mathématiques étudient des objets, des représentations imparfaites d'objets parfaits, on ne travaille pas sur un cercle mais sur l'idée d'un cercle.

Les grandes figures de ces nouvelles mathématiques sont Thalès (-625 – -547), Pythagore (-580 – -490) et l'école pythagoricienne, Hippocrate(-470 – -410) et l'école de Chios, Eudoxe de Cnide (-408 – -355) et l'école de Cnide, Théétète d'Athènes (-415 – -369) puis Euclide.

Il est probable que cette école grecque des mathématiques ait été influencée par les apports mésopotamiens et égyptiens. Ainsi Thalèsvoyagea en Égypte, et il a pu rapporter en Grèce des connaissances en géométrie. Il travailla sur les triangles isocèles et les triangles inscrits dans un cercle.

Selon l'école pythagoricienne, « tout est nombre ». Les deux branches d'étude privilégiées sont l'arithmétique et la géométrie. La recherche d'objets parfaits conduit les Grecs à n'accepter d'abord comme nombres que les nombres rationnels matérialisés par la notion de longueurs commensurables : deux longueurs sont commensurables s'il existe une unité dans laquelle ces deux longueurs sont entières. L'échec de cette sélection matérialisée par l'irrationalité de la racine carrée de deux les conduit à n'accepter que les nombres constructibles à la règle et au compas. Ils se heurtent alors aux trois problèmes qui vont traverser l'histoire : la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube. En arithmétique, ils mettent en place la notion de nombre pair, impair, parfait et figuré.

Cet idéalisation des nombres et le souci de les relier à des considérations géométriques est probablement lié au système de numération grecque assez peu pratique : si le système est décimal, il est additif et se prête donc assez peu facilement aux calculs numériques. En géométrie, ils étudient les polygones réguliers avec un penchant pour le pentagone régulier.

Hippocrate de Chios cherchant à résoudre le problème mis en place par Pythagore découvre la quadrature des lunules et perfectionne le principe de la démonstration en introduisant la notion de problèmes équivalents.

Eudoxe de Cnide travaille sur la théorie des proportions acceptant ainsi de manipuler des rapports de nombres irrationnels. Il est probablement à l'origine de la formalisation de laméthode d'exhaustion pour le calcul par approximations successives d'aires et de volumes.

Théétète travaille sur les polyèdres réguliers.

La synthèse la plus importante des mathématiques grecques vient des Éléments d’Euclide. Les objets géométriques doivent être définis : il ne s'agit plus d'objets imparfaits mais de l'idée parfaite des objets. Dans ses Éléments, Euclide se lance dans la première formalisation de la pensée mathématique. Il définit les objets géométriques (droites, cercles, angles), il définit l'espace par une série d'axiomes, il démontre par implication les propriétés qui en découlent et fait le lien formel entre nombre et longueur. Cet ouvrage restera dans le cursus mathématique universitaire européen jusqu'au xix^e siècle.

Après Euclide, d'autres grands noms éclairent les mathématiques grecques. Archimède qui perfectionne les méthodes d'Eudoxe, et Apollonius de Perge dont le traité sur les coniquesest considéré comme un classique de la géométrie grecque.

Dans l'antiquité tardive, les mathématiques sont représentées par l'école d'Alexandrie.

Diophante étudiera les équations dites diophantiennes, et sera appelé le "père de l'algèbre".

Civilisation islamique [modifier]

Article détaillé : mathématiques arabes.

Une page du traité de Al-Khawarizmi.

Durant la période allant de 800 à 1500 après J.C., c'est dans les régions conquises par les musulmans que se développent le plus les mathématiques. La langue arabe devient langue officielle des pays conquis. Un vaste effort de recueils et de commentaires de textes est entrepris. S'appuyant d'une part sur les mathématiques grecques, d'autre part sur les mathématiques indiennes et chinoises que leur relations commerciales leur permettent de connaître, les mathématiciens musulmans vont considérablement enrichir les mathématiques, développant l'embryon de ce qui deviendra l'algèbre, répandant le système décimal indien avec les chiffres improprement appelés chiffres arabes et développant des algorithmes de calculs. Parmi les nombreux mathématiciens musulmans, on peut citer Al-Khwarizmi et son ouvrage al-jabr. On assiste à un développement important de l'astronomie et de la trigonométrie.

Occident [modifier]

Durant le Moyen Âge [modifier]

Illustration des Éléments d'Euclide, vers 1309 - 1316.

Le rôle du Moyen Âge fut essentiel pour l'extension du domaine des nombres. C'est durant le Moyen Âge que l'application de l'algèbre au commerce amena en Orient l'usage courant des nombres irrationnels, un usage qui se transmettra ensuite à l'Europe. C'est aussi durant le Moyen Âge, mais en Europe, que pour la première fois des solutions négatives furent acceptées dans des problèmes. C'est enfin peu après la fin du Moyen Âge que l'on considéra les quantités imaginaires, qui permettaient de mettre en évidence des solutions réelles de certaines équations du troisième degré.

Durant la renaissance européenne [modifier]

Dès le xii^e siècle est entreprise en Italie une traduction des textes arabes et, par là-même, la redécouverte des textes grecs¹². Tolède, ancien centre culturel de l'Espagne musulmane, devient, suite à la Reconquista, l'un des principaux centres de traduction, grâce au travail d'intellectuels comme Gérard de Crémone ou Adélard de Bath.

L'essor économique et commercial que connaît alors l'Europe, avec l'ouverture de nouvelles routes commerciales notamment vers l'Orient musulman, permet également aux milieux marchands de se familiariser avec les techniques transmises par les Arabes. Ainsi, Léonard de Pise, avec son Liber abaci en 1202, contribue largement à faire redécouvrir les mathématiques à l'Europe. Parallèlement au développement des sciences, se concentre une activité mathématique en Allemagne, en Italie et en Pologne aux xiv^e siècle et xv^e siècle. On assiste à un développement important de l'école italienne avec Scipione del Ferro, Tartaglia, Cardan, Ferrari, Bombelli, école principalement tournée vers la résolution des équations. Cette tendance est fortement liée au développement dans les villes italiennes de l'enseignement des mathématiques non plus dans un but purement théorique tel qu'il pouvait l'être dans le Quadriviummais à des fins pratiques, notamment destinée aux marchands. Cet enseignement se diffuse dans des botteghe d'abbaco ou « écoles d'abbaques » où des maestri enseignent l'arithmétique, la géométrie et les méthodes calculatoires à de futurs marchands à travers des problèmes récréatifs, connus grâce à plusieurs « traités d'abbaque » que ces maîtres nous ont laissés¹³.

Les nombres complexes apparaissent lors des travaux de Scipione del Ferro, à l'occasion de la résolution des équations de degrés trois. Repris par Tartaglia, et publiés par Cardan, ils trouvent une première forme avec Bombelli. Ferrari résout les équations du quatrième degré.

Jusqu'à la fin du xvi^e siècle, la résolution de problèmes demeure cependant rhétorique. Le calcul symbolique apparaît en 1591 lors de la publication de l’Isagoge de François Viète avec l'introduction de notations spécifiques pour les constantes et les variables (ce travail popularisé et enrichi par Harriot, Fermat et Descartes modifiera entièrement le travail algébrique en Europe).

Au xvii^e siècle [modifier]

Article détaillé : Mathématiques en Europe au XVIIe siècle.

Les mathématiques portent leur regard sur des aspects physiques et techniques. Fils de deux pères, Isaac Newton et Gottfried Leibniz, le calcul infinitésimal fait entrer les mathématiques dans l'ère de l'analyse (dérivée, intégrale, équation différentielle).

Le xviii^e siècle [modifier]

Leonhard Euler par Emanuel Handmann.

L'univers mathématiques du début du xviii^e siècle est dominé par la figure de Leonhard Euler ¹⁴ et par ses apports tant sur les fonctions que sur la théorie des nombres, tandis que Joseph-Louis Lagrange éclaire la seconde moitié de ce siècle.

Le siècle précédent avait vu la mise en place du calcul infinitésimal ouvrant la voie au développement d'un nouveau domaine mathématique : l'analyse algébrique dans laquelle, aux opérations algébriques classiques, viennent s'ajouter deux opérations nouvelles, la différentiation et l'intégration (introductio in analysin infinitorum - Euler-1748). Le calcul infinitésimal se développe et s'applique aussi bien aux domaines physiques (mécanique, mécanique céleste, optique, cordes vibrantes) qu'aux domaines géométriques (étude de courbes et de surfaces).Leonhard Euler, dans Calculi différentialis (1755) et Institutiones calculi integralis (1770) essaie de mettre au point les règles d'utilisation des infiniment petits et développe des méthodes d'intégration et de résolution d'équations différentielles. Jean le Rond d'Alembert puis Joseph-Louis Lagrange lui emboîtent le pas. En 1797, Sylvestre-François Lacroix publie Traité du calcul différentiel et intégral qui se veut une synthèse des travaux d'analyse du xviii^e siècle. La famille Bernoulli contribue au développement de la résolution des équations différentielles.

La fonction devient un objet d'étude à part entière. On s'en sert dans des problèmes d'optimisation. On la développe en séries entières ou asymptotiques(Taylor, Stirling, Euler, Maclaurin, Lagrange), mais sans se préoccuper de leur convergence. Leonhard Euler élabore une classification des fonctions. On tente de les appliquer à des réels négatifs ou à des complexes ¹⁵.

Le théorème fondamental de l'algèbre (existence de racines éventuellement complexes à tout polynôme) resté sous forme de conjecture depuis deux siècles est remis en avant dans l'utilisation de la décomposition des fractions en éléments simples nécessaire pour le calcul intégral. Successivement, Euler (1749), le chevalier de Foncenex (1759) et Lagrange (1771) tentent des démonstrations algébriques mais se heurtent à la partie transcendante du problème (tout polynôme de degré impair sur R possède une racine réelle) qui nécessiterait l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires¹⁶.. La démonstration de D'Alembert, publiée en 1746 dans les annales de l'académie de Berlin, est la plus achevée mais présente encore quelques trous et des obscurités. Gauss, en 1799, qui critique D'Alembert sur ces points n'est d'ailleurs pas exempté des mêmes reproches. Il faut à un moment faire intervenir un résultat d'analyse fort que le siècle ne connaît pas. De plus, l'obstacle se situe dans la question des points de branchement: on retrouve ici une question déjà débattue lors de la polémique sur les logarithmes des nombres négatifs que tranchera Euler. La seconde et la troisième démonstration de Gauss ne souffrent pas de ces reproches mais on n'est plus au xviii^e siècle...

En arithmétique, Euler démontre le petit théorème de Fermat et en donne une version élargie aux nombres composés (1736-1760). Il infirme la conjecture de Fermat sur la primalité des nombres de la forme $2^{2^n}+1$ (nombre de Fermat)¹⁷. Il s'intéresse à la répartition des nombres premiers et prouve que la série des inverses des nombres premiers est divergente¹⁸. Laconjecture de Bachet (tout nombre est somme de 4 carrés au plus) est démontrée par Lagrange en 1770. C'est aussi Lagrange qui démontre en 1771 le théorème de Wilson (si p est premier, il divise (p-1)! + 1). Il développe la technique de décomposition en fractions continues et démontre l'infinité des solutions de l'équation de Pell-Fermat¹⁹. Legendre publie en 1798 sa Théorie des nombres qui rassemble un grand nombre de résultats d'arithmétique²⁰.La loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler et Legendre ne sera démontrée que le siècle suivant.

Durant ce siècle, les mathématiciens continuent de s'intéresser aux résolutions algébriques des équations. Le premier essai systématique sur la résolution des équations algébriques était l'œuvre de Tschirnhaus en 1683. Euler lui-même, dans deux essais, ne va pas au-delà de son devancier et en 1762, Bezout introduit la notion de racine de l'unité. Entre 1770 et 1772, on peut citer trois grands mémoires plus originaux : celui de Waring, celui d'Alexandre-Théophile Vandermonde (1771) sur la résolubilité par radicaux des équations $x n - 1 = 0$ (équation cyclotomique) qui est un précurseur dans l'utilisation des permutations des racines²¹ et celui de Lagrange (1770) qui rassemble toutes les méthodes de résolutions déjà tentées mais va introduire les résolvantes de Lagrange et démontrer, dans un langage où la notion de groupe n'existe pas encore, le théorème de Lagrange: l'ordre d'un sous-groupe d'un groupe fini divise l'ordre du groupe. Ces deux derniers mathématiciens mettent en évidence l'importance des racines et de leurs permutations mais il faut attendre le siècle suivant pour voir naitre la notion de groupe de permutations.

La géométrie analytique se développe et s'étend de l'étude des courbes à celle des surfaces. Euler étudie l'équation générale du second degré à trois variables et présente une classification des solutions. Alexis Clairaut étudie les courbes gauches (1729). Gabriel Cramer publie en 1750 un traité sur les courbes algébriques. La grande figure de la géométrie du XVIII^e reste Gaspard Monge²². Celui-ci développe la géométrie différentielle avec l'étude des tangentes et crée une nouvelle discipline: la géométrie descriptive. Leonhard Euler développe le calcul trigonométrique, met en place les formules de calcul de la géométrie sphérique et replace les fonctions circulaires dans l'ensemble général des fonctions, les développant en séries entières ou en produits infinis et découvrant une relation entre les fonctions circulaires et les fonctions exponentielles

Le siècle voit l'apparition de quelques théoriciens de la logique. Leonhard Euler met au point une méthode de représentation figurée des déductions syllogistiques (diagramme d'Euler), Jean-Henri Lambert travaille sur la logique des relations ²².

C'est aussi le siècle qui s'attaque aux premiers exemples de ce qui va devenir la théorie des graphes. Euler résout en 1736 le problème des ponts de Königsberg, et, en 1766, énonce le théorème des circuits eulériens: un p-graphe admet un circuit eulérien si et seulement si le nombre de ses sommets de degré impair est 0 ou 2. Il s'attaque au problème du cavalier en 1759 mais ne publie rien jusqu'en 1766. Il s'agit d'un cas particulier de graphes hamiltoniens. Le problème du cavalier est connu depuis fort longtemps. Vers 840, al-Adli ar-Rumi en donne une solution. Le poête Rudrata en parlait aussi dans le Kavyalankara, un texte indou.

Mais le siècle est fécond aussi en conjectures qui resteront des énigmes pendant plus d'un siècle : le problème de Goldbach, le problème de Waring²³, ...

Le siècle voit aussi Legendre s'échiner pendant des années sur les intégrales elliptiques. Malheureusement pour lui, même s'il fait l'admiration d'Euler en ce domaine, la solution de la question allait lui échapper au profit d'Abel.

Le xviii^e siècle est aussi celui de l'encyclopédie dans laquelle Jean le Rond d'Alembert fait un état des lieux des mathématiques de ce siècle.

Japon [modifier]

Article détaillé : Sangaku.

Durant la période Edo (1603 - 1887), au Japon, se développe une mathématique sans influence de la mathématique occidentale mais inspirée de la mathématique chinoise, travaillant sur des problèmes d'essence géométrique. Des énigmes géométriques sont posées et résolues sur des tablettes en bois appelées Sangaku.

xix^e siècle [modifier]

L'histoire mathématique du xix^e siècle est riche. Trop riche pour qu'en un essai de taille raisonnable on puisse couvrir la totalité des travaux de ce siècle. Aussi ne doit-on attendre de cette partie que les points saillants des travaux de ce siècle.

Le xix^e siècle vit apparaître plusieurs théories nouvelles et l'accomplissement des travaux entrepris au siècle précédent. Le siècle est dominé par la question de la rigueur. Celle-ci se manifeste en analyse avec Cauchy et la sommation des séries. Elle réapparaît à propos de la géométrie. Elle ne cesse de se manifester en théorie des fonctions et particulièrement sur les bases du calcul différentiel et intégral au point de voir disparaître totalement ces infiniments petits qui avaient pourtant fait le bonheur du siècle précédent. Mais plus encore, le siècle marque la fin de l'amateurisme mathématique: les mathématiques étaient jusque là surtout le fait de quelques particuliers suffisamment fortunés soit pour étudier eux-mêmes soit pour entretenir quelques génies. Au xix^e siècle, tout cela prend fin : Les mathématiciens deviennent des professionnels appointés. Le nombre de ces professionnels ne cesse de croître et avec ce nombre, les mathématiques prennent une importance jamais atteinte, comme si la société tout entière prenait enfin conscience du formidable outil. Les applications, en germe dans le siècle précédent, se développent rapidement dans tous les domaines, laissant croire que la science peut tout. D'ailleurs, certains succès sont là pour en attester. N'a-t-on pas découvert une nouvelle planète uniquement par le calcul ? N'a-t-on pas expliqué la création du système solaire ? Le domaine de la physique, science expérimentale par excellence est complètement envahi par les mathématiques: la chaleur, l'électricité, le magnétisme, la mécanique des fluides, la résistance des matériaux et l'élasticité, la cinétique chimique sont à leur tour mathématisés au point que le bon vieux cabinet de curiosité du xviii^e siècle finissant est remplacé par un tableau noir. Et le vaste champ de la science s'étend encore et encore. Certes, on ne dit plus ce presque lieu commun du xviii^e siècle que les sciences mathématiques seront bientôt achevées et qu'il faudra "fermer la mine", à la place on se met à rêver à la machine de Leibniz qui répondrait à toutes les questions. On va même jusqu'à quantifier le hasard ou l'incertain, histoire de se rassurer. Cournot veut appliquer le calcul des probabilités en matière judiciaire pour arriver à cette stupéfiante, et combien rassurante, conclusion qu'il y a moins de deux pour cent d'erreurs judiciaires ! Les mathématiques s'insinuent jusqu'à la structure intime de la matière: plusieurs théories de la lumière et les prémisses de la théorie de la relativité chez Lorentz qui complète la théorie électromagnétique de Maxwell. La tendance à la rigueur, commencée au début du xix^e siècle, ne verra son accomplissement qu'au début du xx^e siècle par la remise en cause de bien des a priori.

Joseph-Louis Lagrange	Augustin Louis Cauchy	Carl Friedrich Gauss	Bernhard Riemann
Pierre-Simon de Laplace	William Rowan Hamilton	Gottlob Frege.jpg Gottlob Frege

Revues de mathématiques [modifier]

Il existait depuis la fin du xvii^e siècle quelques académies qui publiaient leurs travaux et des résumés annuels. De plus quelques journaux avaient fleuri, tels que les Acta Eruditorumédités par Otto Mencke à Leipzig ou les commentaires de Petersbourg rendus célèbres par Euler. Mais ces journaux ou revues n'étaient pas spécialisés dans les mathématiques et accueillaient des mémoires de philosophie, d'histoire, de botanique, aussi bien que de mathématiques. Le début du XIX^e va voir apparaître des revues qui se spécialiseront dans la publication des mathématiques. Les éditeurs de ces revues sont Ferussac (pour le Bulletin général et universel des annonces et des nouvelles scientifiques), Gergonne (pour lesAnnales de mathématiques pures et appliquées), Crelle (pour le Journal für die reine und angewandte Mathematik), Liouville (pour le Journal de mathématiques pures et appliquées) pour n'en donner que quatre avant 1840. Elles seront bientôt suivies par une foule d'autres revues que chaque université un peu célèbre se plait à financer, tels les Acta Mathematicade Mittag-Leffler en 1882.

Mécanique [modifier]

Sofia Kovalevskaïa

La mécanique de Newton opère sa révolution. Utilisant le principe (variationnel) de moindre action de Maupertuis, Lagrange énonce les conditions d'optimalité du premier ordre qu'Euler avait trouvé en toute généralité et trouve ainsi les équations de la mécanique qui portent son nom. Par la suite, Hamilton, sur les pas de Lagrange, exprime ces mêmes équations sous une forme équivalente. Elles portent aussi son nom. La théorie naissante des espaces de Riemann permettra de les généraliser commodément.
Delaunay, dans un calcul extraordinaire, fait une théorie de la Lune insurpassée²⁴. Faye²⁵ s'exprime ainsi à ses funérailles (1872) : «Travail énorme, que les plus compétents jugeaient impossible avant lui, et où nous admirons à la fois la simplicité dans la méthode et la puissance dans l'application ». Il résolut de faire le calcul au 7^e ordre là où ses devanciers (Clairaut, Poisson, Lubbock, ...) s'étaient arrêtés au 5^e.
Le Verrier²⁶ appliquant la théorie newtonienne aux irrégularités d'Uranus que venait de découvrir Herschel, conjecture l'existence d'une planète encore inconnue (Neptune) dont il détermine position et masse par le calcul des perturbations.
Le mouvement d'un solide autour d'un point fixe admet trois intégrales premières algébriques et un dernier multiplicateur égal à 1. Le problème de l'intégration formelle par quadrature du mouvement nécessite une quatrième intégrale première. Celle-ci avait été découverte dans un cas particulier par Euler. La question est reprise par Lagrange, Poisson et Poinsot. Lagrange et Poisson découvrent un nouveau cas où cette quatrième intégrale est algébrique²⁷.
Les deux cas, désormais classiques, du mouvement d'Euler-Poinsot et du mouvement de Lagrange-Poisson sont complétés, en 1888, par un nouveau cas découvert par Sophie Kovalevskaïa²⁸. Poincaré avait montré qu'il ne pouvait exister de nouveau cas si l'ellipsoïde d'inertie relatif au point de suspension n'est pas de révolution²⁷.
Mach énonce un principe qui sera central dans les motivations de la relativité d'Einstein.
Malgré ses succès, la mécanique aura du mal à trouver, dans l'enseignement, une place que les mathématiques ne veulent pas lui céder²⁹ et Flaubert pourra présenter comme une idée reçue que c'est une « partie inférieure des mathématiques ».

Physique mathématique [modifier]

Euler, dont on a commencé la publication des travaux (prévus sur cinquante ans !), s'était déjà attaqué à bien des domaines : acoustique, optique, résistance des matériaux, mécanique des fluides, élasticité, mais ces domaines étaient encore naissants. C'est Fourier, dont le premier mémoire est refusé par l'Académie des sciences de Paris, qui attaque le premier la théorie de la chaleur faisant usage de ce qui va devenir les séries de Fourier. Vers la même époque, les années 1820, Fresnel s'occupe d'optique ainsi que Bessel qui va introduire lesfonctions de Bessel. La mécanique des fluides, qui en était quasiment au stade laissé par Euler et d'Alembert, le stade des fluides parfaits, fait des progrès avec Henri Navier et George Gabriel Stokes qui s'attaquent aux fluides incompressibles puis compressibles introduisant la viscosité. L'électricité, fait ses débuts sous l'influence de Gauss, d'Ohm, de Biot, de Savartet d'Ampère mais c'est surtout le génie de Maxwell qui va embrasser la théorie dans l'une des plus belles théories du siècle, la théorie électromagnétique, qui prétend unifier l'ensemble des travaux sur l'électricité, l'optique et le magnétisme. En résistance des matériaux, les progrès sont plus modestes. On peut citer notamment Barré de Saint-Venant, Yvon Villarceau,Aimé-Henry Résal et son fils Jean Résal mais il faudra attendre le siècle suivant pour que l'élasticité fasse de décisifs progrès, d'autant qu'on ignore encore bien des propriétés du béton et plus encore le béton armé. Vers la fin du siècle, on en connaît suffisamment pour que certains se lancent dans des réalisations monumentales en acier, tels Eiffel.

Théorie des nombres [modifier]

Trois grands problèmes éclaireront le siècle : la loi de réciprocité quadratique, la répartition des nombres premiers et le grand théorème de Fermat. Le xix^e siècle offre des progrès considérables sur ses trois questions grâce aux développements d'une véritable théorie prenant le nom d'arithmétique ou de théorie des nombres et s'appuyant sur des outils abstraits et sophistiqués.

En méconnaissant totalement les travaux d'Euler publiés en 1784 sur la loi de réciprocités quadratique, Legendre (1785) et Gauss (1796) la retrouvent par induction. Ce dernier finit par en donner une longue démonstration complète dans ses recherches arithmétiques. La démonstration est simplifiée dans le courant du xix^e siècle, par exemple par Zeller³⁰ en 1852 où elle ne fait que deux pages ! La loi de réciprocité quadratique est promise à un bel avenir par diverses généralisations.
Eisenstein démontre la loi de réciprocité cubique.
Depuis 1798, Legendre travaille à sa théorie des nombres. Il vient (en 1808) de démontrer le théorème de raréfaction des nombres premiers et de proposer une formule approchée pour $π(x)$ , le nombre de nombres premiers plus petit que x. Ses recherches l'ont amené à reconsidérer le crible d'Eratosthène. La formule qu'il obtient est le premier élément d'une méthode qui prendra tout son sens au siècle d'après, la méthode du crible. Par la suite, en 1830, peu avant sa mort, il énonce une conjecture selon laquelle entre n² et (n+1)² existe au moins un nombre premier. Cette conjecture reste non démontrée.
La démonstration d'Euler de l'infinitude des nombres premiers inspire Lejeune-Dirichlet qui démontre une conjecture de Legendre : il existe une infinité de nombres premiers dans toute suite arithmétique de la forme an+b si a et b sont premiers entre eux. Pour cela il invente la notion de caractère arithmétique et les séries "de Dirichlet".
La conjecture de Legendre sur la répartition des nombres premiers est appuyée par Gauss et fait l'objet des travaux de Tchebyschev en 1850. Il démontre un encadrement de $π(x)$ conforme à la conjecture et il démontre le postulat de Bertrand selon lequel il existe un nombre premier entre n et 2n. Mais la conjecture de Legendre ne sera démontrée qu'en 1896, par Hadamard et De La Vallée Poussin indépendamment.
Le résultat le plus important est le mémoire de Riemann de 1859 qui reste encore aujourd'hui le mémoire du xix^e siècle le plus souvent cité. Riemann étudie dans ce mémoire la fonction $ζ(s)$ "de Riemann". Cette fonction introduite par Euler dans son étude du problème de Mengoli est étendue aux valeurs complexe de s à l'exception de 1 qui est un pôle de résidu 1 (théorème de Dirichlet). Riemann énonce la conjecture, appelée Hypothèse de Riemann, selon laquelle tous les zéros non réels sont de partie réelle égale à 1/2. Les démonstrations de Riemann ne sont pour la plupart qu'ébauchées. Elles sont complètement démontrées, sauf la conjecture de Riemann, par Hadamard et Von Mangold, après 1892.
Le grand théorème de Fermat, qui avait déjà occupé Euler au siècle précédent est l'objet de nouvelles recherches par Dirichlet et Legendre (n=5), Dirichlet (n=14), Lamé (n=7), démonstration simplifiée par Lebesgue. Kummer démontre que le grand théorème de Fermat est vrai pour les nombres premiers réguliers en 1849. Malheureusement il existe des nombres premiers irréguliers et ils sont même en nombre infini.
Mertens démontre de nombreux résultats sur les fonctions arithmétiques et la fonction de Möbius. Il émet en 1897 une conjecture qui permettrait de démontrer l'hypothèse de Riemann. Sous sa forme forte, elle sera réfutée par Odlysko et Te Riele en 1985. La forme faible reste une énigme.

Logique [modifier]

Georg Cantor est le créateur de la théorie des ensembles

George Boole se lance dans des travaux qui vont mener à l'algèbre de Boole, à la logique symbolique et à la théorie des ensembles en voulant démontrer l'existence de Dieu. Le calcul des propositions est né. Augustus De Morgan énonce les lois qui portent son nom. La logique sort définitivement de la philosophie.
Frege pose les bases de la logique formelle et Cantor celle de la théorie des ensembles. Ni l'une ni l'autre ne sont comprises par nombre de mathématiciens et elles suscitent bien des inquiétudes. La question des fondements est posée. Elle ne sera partiellement résolue que tardivement au xx^e siècle. Déjà pointent les paradoxes, tel celui de Burali-Forti, celui de Russell, celui de Richard ou celui de Berry dans la tentative de théorie des ensembles de Frege.

Géométrie [modifier]

Gaspard Monge

Le siècle débute par l'invention de la géométrie descriptive par Gaspard Monge³¹.
Delaunay classa les surfaces de révolution de courbure moyenne constante, qui aujourd'hui portent son nom : surface de Delaunay.
Héritier des siècles précédents, le siècle va voir s'accomplir la résolution des grands problèmes grecs par la négative. La trisection de l'angle à la règle et au compas est impossible en général. Il en est de même de la quadrature du cercle et de la duplication du cube. Concernant la quadrature du cercle, le xviii^e siècle avait montré que $π$ était irrationnel. Liouville, définissant les nombres transcendants en 1844, ouvre la voie à l'étude de la transcendance dont les deux monuments du xix^e siècle restent les théorèmes d'Hermite (1872) sur la transcendance de e et de Lindemann (1881) sur celle de $π$ , rendant impossible la quadrature du cercle par la règle et le compas³² . C'est à la fin du siècle que se fait jour la conjecture, que démontrera le siècle d'après en le théorème de Gelfond-Schneider, que a et exp(a) ne peuvent être simultanément algébriques.
l'autre héritage concerne le postulat d'Euclide. Le problème avait en fait été quasi résolu par Saccheri mais celui-ci n'avait pas vu qu'il était près du but. Les travaux de Gauss sur les surfaces amènent János Bolyai et Nikolaï Lobatchevski à remettre en cause le postulat des parallèles. Ils inventent donc une nouvelle géométrie où le postulat n'est plus vrai, une géométrie non euclidienne dont Poincaré donnera un modèle. Riemann, après eux, offrira une nouvelle solution non euclidienne, avant que l'ensemble ne forme la théorie des espaces de Riemann, qui fournira au siècle suivant un cadre à la théorie de la relativité généralisée.
En généralisant la notion d'espace et de distance, Ludwig Schläfli arrive à déterminer le nombre exact de polyèdres réguliers en fonction de la dimension de l'espace³³.
Felix Klein annonce le programme d'Erlangen³⁴.
David Hilbert propose une axiomatique complète de la géométrie euclidienne en explicitant des axiomes implicites chez Euclide.

Algèbre [modifier]

Evariste Galois. Sa vie est un véritable drame. À l'instar d'Abel, il meurt jeune. Son génie est méconnu de son vivant. Ses opinions politiques le mènent en prison. Ses amours le perdent : Il meurt en conséquence d'un duel pour une "coquette".

La représentation des complexes avait occupé bien du monde : depuis Henri Dominique Truel (1786)³⁵, Caspar Wessel³⁶ (1797) en passant par Jean-Robert Argand³⁷ (1806), Mourey³⁸, pour aller à Giusto Bellavitis (1832). Hamilton, inspiré par cette représentation des complexes en a+ib, cherche à généraliser le corps des complexes. Il découvre le corps non commutatif des quaternions et par la suiteCayley découvre les octavions. Hamilton passera une grande partie de sa vie à proposer des applications de ses quaternions.
Grassmann, en 1844, développe dans "die lineale ausdenungslehre" une nouvelle voie pour les mathématiques et fonde ce qui deviendra la théorie des espaces vectoriels.
Hamilton, en 1853, démontre ce qui deviendra le théorème de Cayley-Hamilton pour la dimension 4 à propos de l'inverse d'un quaternion. C'est Cayley, en 1857, qui généralise le résultat mais ne le démontre qu'en dimension 2. Frobenius, en 1878, donne la première démonstration générale.
Les résultats de Galois et de Kummer montrent qu'une avancée majeure en théorie algébrique des nombres suppose la compréhension de structures subtiles : les anneaux d'entiers algébriques sous-jacents à des extensions algébriques. Le cas le moins complexe est celui des extensions algébriques finies et abéliennes. Il semble simple, le résultat correspond aux structures qu'avaient étudiées Gauss au début du siècle pour résoudre les problèmes de l'antiquité de construction à la règle et au compas : les extensions cyclotomiques associées au polynômes du même nom. Il faut néanmoins 50 ans et trois grands noms de l'algèbre pour en venir à bout à la fin du siècle : Kronecker,Weber et Hilbert. Il ouvre la porte à l'étude des extensions algébriques abéliennes générales, c'est-à-dire non finies. Hilbert ouvre la voie de ce chapitre des mathématiques qui représente un des plus beaux défis du siècle futur, la théorie des corps de classe. Dans la dernière année du siècle, en 1900, Richard Dedekind s'intéresse à une théorie générale des ensembles reliés entre eux par des relations. En inventant la notion de dualgruppe, il vient de faire le premier pas dans la théorie générale des structures.
Killing et Elie Cartan commencent l'étude des groupes et algèbres de Lie. La théorie des systèmes de racines prend naissance.

Probabilité et statistiques [modifier]

Legendre en 1805³⁹ 1811⁴⁰ puis Gauss en 1809⁴¹ introduisent, sur des problèmes d'astronomie, la méthode des moindres carrés, ensemble de méthodes qui deviendront fondamentales en statistiques.

Pierre-Simon de Laplace fait entrer l'analyse dans la théorie des probabilités dans sa théorie analytique des probabilités de 1812 qui restera longtemps un monument. Son livre donne une première version du théorème central limite qui ne s'applique alors que pour une variable à deux états, par exemple pile ou face mais pas un dé à 6 faces. Il faudra attendre 1901 pour en voir apparaître la première version générale par Liapounov. C'est aussi dans ce traité qu'apparaît la méthode de Laplace pour l'évaluation asymptotique de certaines intégrales.

Sous l'impulsion de Quetelet, qui ouvre en 1841 le premier bureau statistique le Conseil Supérieur de Statistique ⁴², les statistiques se développent et deviennent un domaine à part entière des mathématiques qui s'appuie sur les probabilités mais n'en font plus partie.

La théorie moderne des probabilités ne prend réellement son essor qu'avec la notion de mesure et d'ensembles mesurables qu'Émile Borel introduit en 1897.

Théorie des graphes [modifier]

La théorie, on l'a déjà dit, a été commencée par Euler dans sa résolution du problème des sept ponts de Königsberg. Elle prend une nouvelle tournure, singulière pour notre époque, quand on s'intéresse soudainement aux nœuds, au tout début des modèles atomiques.

La question de la cartographie est un vieux problème qui avait été partiellement résolu par différents procédés de projection. Dans la question de la représentation la plus respectueuse de la topographie, la question avait eu un nouvel intérêt par le théorème de l'application conforme de Riemann et les fonctions holomorphes dont on sait qu'elles conservent les angles là où la dérivée ne s'annule pas. L'habitude des cartographes de colorer les états de couleurs différentes avait montré que quatre couleurs suffisaient. Cette constatation très ancienne amène, en 1852, Francis Guthrie à énoncer la conjecture des quatre couleurs⁴³. Il faut attendre plus de vingt ans pour que Cayley s'y intéresse⁴⁴. Un avocat, Alfred Kempe, proposa en 1879 une démonstration par réduction mais que Percy John Heawood réfuta en 1890 par un contre-exemple invalidant le procédé de coloriage de Kempe. Cependant la tentative de Kempe montrait que le nombre chromatique de la sphère était au plus 5. Ce n'est que bien plus tard que la conjecture des quatre couleurs sera démontrée.

Analyse réelle [modifier]

À la fin du xviii^e siècle, faire des mathématiques consiste à écrire des égalités, parfois un peu douteuses, mais sans que cela choque le lecteur. Lacroix par exemple n'hésite pas à écrire

$1-1+1-1+... = dfrac12$

sous la seule justification du développement en série de Taylor de 1/(1+x). Les mathématiciens croient encore, pour peu de temps, que la somme infinie de fonctions continues est continue, et (pour plus longtemps) que toute fonction continue admet une dérivée...

C'est Cauchy qui met un peu d'ordre dans tout cela en montrant que la somme d'une série numérique n'est commutativement convergente que si la série est absolument convergente. Mais Cauchy, qui pourtant n'est qu'à un doigt de la notion de convergence uniforme, énonce un faux théorème de continuité d'une série de fonctions continues qu'Abel contredit par un contre-exemple du 16 janvier 1826.

C'est encore Cauchy qui se refuse à considérer la somme de séries divergentes, au contraire des mathématiciens du xviii^e siècle dont Lacroix est l'un des héritiers.
Gudermann, en 1838, utilise pour la première fois, la notion de convergence uniforme. En 1847, Stokes et Seidel définissent la notion d'une série convergeant aussi lentement que l'on veut, notion équivalente à la convergence uniforme. Mais leur réflexion n'est pas mûre. Weierstrass donne une définition de la convergence uniforme en 1841 dans un article qui ne sera publié qu'en 1894. Il revient à Cauchy de donner la première définition claire de la notion (sans le terme uniforme) en 1853. Weierstrass, de son côté, donnera par la suite les théorèmes classiques de continuité, dérivabilité, intégrabilité des séries de fonctions continues dans ses cours à partir de 1861.
Bolzano démontre le premier ce principe, implicite chez les auteurs du xviii^e siècle, qu'une fonction continue qui prend des valeurs de signes différents dans un intervalle s'y annule, ouvrant la voie à la topologie par le théorème des valeurs intermédiaires.
Karl Weierstrass donne le premier la définition de la limite d'une fonction, notion un peu floue jusque là, à partir de $η$ , $ε$ . La notion de limite supérieure, inventée par Cauchy, est expliquée clairement par Du Bois-Reymond.
En 1869, Charles Meray, professeur à l'université de Dijon, donne, le premier, une construction rigoureuse des nombres réels par les classe d'équivalence de suites de Cauchy de nombres rationnels. Georg Cantor donnera une construction analogue de $mathbb{R}$ . Karl Weierstrass construit $mathbb{R}$ à partir de la notion d'« agrégats » tandis que Richard Dedekind crée $mathbb{R}$ de la notion de coupure de l'ensemble des rationnels.
Il faut quasiment attendre le milieu du siècle pour qu'enfin on s'intéresse aux inégalités. Tchebyschev, dans sa démonstration élémentaire du postulat de Bertrand, est l'un des premiers à les utiliser.
Un peu avant, Bessel et Parseval, en s'occupant des séries trigonométriques démontrent ce qu'on appelle aujourd'hui les inégalités de Bessel-Parseval.
La grande application des séries trigonométriques reste la théorie de la chaleur de Fourier, même si ce dernier ne démontre pas la convergence des séries qu'il utilise. Il faudra attendre la fin du siècle pour que la question soit vraiment clarifiée par Fejér.
Poincaré participe au concours du roi de Suède concernant les solutions du système des trois corps⁴⁵. Dans le mémoire de Stockholm (1889), il donne le premier exemple de situation chaotique. Il s'exprime ainsi :

« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur... »

Ce n'est qu'avec regret qu'on a abandonné les séries divergentes au début du siècle sous l'impulsion de Cauchy et dans un but essentiellement de rigueur. Les séries divergentes refont, à la fin du siècle, leur apparition. Il s'agit, dans certain cas, de donner une somme à de telles séries. Le procédé de sommation de Césaro est l'un des premiers. Borel fournit le sien, plus sophistiqué. Cela va vite devenir un sujet d'étude important que le xx^e siècle va prolonger.

Analyse complexe [modifier]

La théorie des fonctions de la variable complexe, le grand sujet de tout le xix^e siècle, prend sa source dans les travaux de Cauchy, bien qu'entrevue par Poisson⁴⁶. Cauchy définit la notion d'intégrale de chemin. Il arrive ainsi à énoncer le théorème des résidus et les principales propriétés de l'intégrale "de Cauchy". et notamment la Formule intégrale de Cauchy.

Il justifie ainsi le développement en série de Taylor et trouve la formule intégrale des coefficients en dérivant sous le signe $int$ .Il démontre les inégalités "de Cauchy" qui seront intensément utilisées, dans la théorie des équations différentielles notamment.

Cauchy publie par la suite nombre d'applications de sa théorie dans des recueils d'exercices, notamment à l'évaluation d'intégrales réelles, qu'il n'hésite pas à généraliser en ce qu'on appelle aujourd'hui la valeur principale de Cauchy, un peu moins d'un siècle avant que Jacques Hadamard en ait besoin dans sa résolution des équations aux dérivées partielles par les parties finies d'Hadamard et que Laurent Schwartz n'en vienne aux distributions.

La théorie des fonctions analytiques se développe rapidement. Cauchy définit le rayon de convergence d'une série entière à partir de la formule qu'expliquera parfaitement Hadamard dans sa thèse, suite aux travaux de du Bois-Reymond qui donna une définition claire de la limite supérieure.
Ceci permet à Liouville de démontrer son théorème et d'en déduire une nouvelle et élémentaire démonstration du théorème de D'Alembert-Gauss qu'on avait eu tant de mal à démontrer au siècle avant.

À la mort de Cauchy, le flambeau est déjà passé à Riemann (Théorème de l'application conforme, intégrale de Riemann remplaçant la conception de Cauchy, ...) et Weierstrass qui éclaircira la notion de point singulier essentiel et de prolongement analytique (bien que Émile Borel ait montré par la suite que certaines des conceptions du "maître" étaient erronées).

La théorie de Cauchy vient juste à point pour résoudre enfin la question des intégrales elliptiques, théorie commencée par Legendre au siècle précédent. C'est Abel qui a l'idée de l'inversion des intégrales elliptiques et découvrit ainsi les fonctions elliptiques qu'on s'empressa d'étudier. La très belle théorie des fonctions elliptiques est enfin achevée lorsque paraissent le traité de Briot et Bouquet, théorie des fonctions elliptiques, 2^e édition, 1875 et le traité de Georges Henri Halphen en quatre volumes, interrompu par la mort de l'auteur.
Le résultat le plus difficile de la théorie reste le théorème de Picard qui précise le théorème de Weierstrass. La première démonstration, avec la fonction modulaire, est bien vite simplifiée par Émile Borel à la fin du siècle.
Le siècle s'est aussi beaucoup préoccupé de la théorie des équations différentielles et notamment de la théorie du potentiel, des fonctions harmoniques. Fuchs étudie les singularités des solutions des équations différentielles ordinaires linéaires.Émile Picard découvre le procédé d'intégration des équations différentielles par récurrence, ce qui permet de prouver l'existence et l'unicité des solutions. Cela débouchera sur l'étude des équations intégrales (Ivar Fredholm, Vito Volterra...).
Bien qu'engagée par Laplace et utilisée sporadiquement par d'autres au cours du siècle, la résolution des équations différentielles est effectuée par un électricien anglais, Oliver Heaviside, sans autre justification, en considérant l'opérateur de dérivation comme une quantité algébrique notée p. La théorie de la transformation de Laplace est née. Mais elle ne sera pleinement justifiée que par les travaux de Lerch, Carson, Bromwich, Wagner, Mellin et bien d'autres, au siècle suivant. Oltramare donnera aussi un "calcul de généralisation" basé sur une idée voisine.
Émile Borel commence l'étude des fonctions entières et définit la notion d'ordre exponentiel pour une fonction entière. Son but est d'élucider le comportement du module d'une fonction entière et notamment de montrer le lien entre le maximum du module de f sur le cercle de rayon R et les coefficients de la série de Taylor de F. Darboux montre que les coefficients de Taylor s'écrivent en fonction des singularités. D'autres, comme Charles Méray, Leau, Fabry, Lindelöf, étudient la position des points singuliers sur le cercle de convergence ou le prolongement analytique de la série de Taylor.
Poincaré définit et étudie les fonctions automorphes à partir des géométrie hyperboliques. Il laisse son nom à une représentation par un demi-plan de la géométrie hyperbolique.
Schwarz et Christoffel découvrent la transformation conforme qui porte leurs noms. Elle sera intensivement utilisée le siècle d'après par les moyens informatiques (Driscoll par exemple).
L'apothéose est atteinte par la démonstration du théorème des nombres premiers, en 1896, par Hadamard et de la Vallée Poussin indépendamment l'un de l'autre.

Perspectives [modifier]

Mais déjà le siècle est écoulé et, au congrès international de mathématique qui se tient, en cette année 1900, à Paris, David Hilbert présente une liste de 23 problèmes non résolus de première importance pour le siècle d'après. Ces problèmes couvrent une grande partie des mathématiques et vont prendre une part importante dans l'histoire mathématique du xx^e siècle.

Les livres du siècle [modifier]

Ce paragraphe donne un ensemble de livres de première importance, soit par leur contenu historiquement important soit pour la synthèse qu'ils constituent sur un domaine donné. L'ordre choisi est alphabétique sur le nom des auteurs.

Bachmann, Zahlentheorie, 5 tomes, 1892 Tome 1 Tome 2 Tome 3 Tome 4 Tome 5
Bolya, La science absolue de l'espace, 1868
Briot et Bouquet, Théorie des fonctions elliptiques, 1875
Cauchy, Le Cours d'analyse de l'École royale polytechnique : 1ère partie : Analyse algébrique, 1821
Chasles
- Les trois livres de porismes d'Euclide, 1860
- Traité de géométrie supérieure, 1852
- Traité des sections coniques, faisant suite au Traité de géométrie supérieure, 1865
Darboux, Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, 4 volumes, 1887-1896, Volume 2 Volume 3 Volume 4
Du bois-Reymond, Die Allgemeine Functionentheorie, 1882, Théorie générale des fonctions, 1887
Fourier, Théorie analytique de la chaleur, 1822
Frege, Die Grundlagen der Arithmetik, 1884, Les Fondements de l'arithmétique
Galois, Oeuvres mathématiques, 1846
Gauss, Disquisitiones arithmeticae, 1801, Recherches arithmétiques, 1807.
Goursat, Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre, 2 volumes, 1896-1898, Volume 1 Volume 2
Grassmann, Die lineare Ausdehnungslehre, 1844, La science de la grandeur extensive
Halphen, Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications, 3 volumes, 1886-1891, Volume 1 Volume 2 Volume 3
Hamilton, Lecture on quaternions, 1853
Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 1899, Les principes fondamentaux de la géométrie, 1900
Jordan
- Traité des substitutions et des équations algèbriques, 1870
- Cours d'analyse de l'école polytechnique, 1882-1883, 3 volumes. Volume 1 Volume 2 Volume 3
Felix Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (Conférences sur l'icosaèdre et les solutions de l'équation du cinquième degré), 1888
Lagrange, Leçons sur le calcul des fonctions, 1806
Laplace
- Traité de mécanique céleste, 1798-1825
- Théorie analytique des probabilités, 1812
Legendre
- Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, 2 volumes, 1825-1826
- Éléments de géométrie, ouvrage qui vient remplacer les Éléments d'Euclide.
- Théorie des nombres, 1830
Liapunov, Problème général de la stabilité et du mouvement, 1892-1893
Lobachevskii, Pangeometrie
Maxwell, Traité d'électricité et de magnétisme, 2 volumes, 1885-1887
Meray, Leçons nouvelles sur l'analyse infinitésimale et ses applications géométriques, 1894-1895
Möbius, Der barycentrische Calcul, 1827
Monge, La géométrie descriptive, an 7 = 1799
Painlevé, Leçons sur la théorie analytique des équations différentielles, 1897
Picard, Traité d'analyse, 3 volumes, 1892-1896
Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures, 2 volumes, 1822
Serret, Cours d'Algèbre supérieure, 2 volumes, 1877
Tannery et Molk, Éléments de la théorie des fonctions elliptiques, 3 volumes, 1893-1898
Tisserand, Traité de Mécanique céleste, 4 volumes, 1889-1894
Weber, Lehrbuch der Algebra, 2 volumes, 1898-1899

xx^e siècle [modifier]

Le xx^e siècle aura été un siècle extraodinairement fécond du point de vue mathématique. Trois grands théorèmes dominent tous les autres : d'une part le théorème de Gödel ; d'autre part la démonstration de la conjecture de Tanyama-Shimura qui entraîna la démonstration du grand théorème de Fermat ; enfin la démonstration des conjectures de Weil par Pierre Deligne. De nouveaux domaines de recherche sont nés ou se sont développés : les systèmes dynamiques, suite aux travaux de Poincaré, les probabilités, la topologie, la géométrie différentielle, la logique, la géométrie algébrique, suite aux travaux de Grothendieck, ...

La communauté mathématique explose [modifier]

Le métier de mathématicien a réellement commencé à se professionnaliser à la fin du xix^e siècle. Grâce à la mondialisation, aux progrès des transports, et aux moyens électroniques de communication, la recherche mathématique n'est plus localisée sur un pays ou un continent. Depuis la fin du xix^e siècle, de nombreux colloques, congrès, séminaires, se tiennent à un rythme soutenu, voire annuellement.
Hormis deux congrès qui se sont tenus au xix^e siècle, vingt et un congrès internationaux de mathématiques se sont tenus au xx^e siècle, un presque tous les quatre ans malgré les interruptions dues aux guerres mondiales.
L'apparition de l'ordinateur a sensiblement modifié les conditions de travail des mathématiciens à partir des années 1980.

Le développement mathématique a explosé depuis 1900. Au xix^e siècle, on estime qu'on publiait environ 900 mémoires par an. Actuellement plus de 15 000. Le nombre des mathématiciens est ainsi passé de quelques centaines ou milliers à plus d'un million et demi en moins d'un siècle.
On a soutenu 292 thèses d'état de mathématiques entre 1810 et 1901 en France⁴⁷. À la fin du xx^e siècle, c'est le nombre de thèses soutenues annuellement.

Algèbre [modifier]

Wedderburn est surtout connu pour avoir démontré que tout corps fini est commutatif

Leonard Dickson commence l'étude systématique des corps finis⁴⁸ et obtient la première classification des corps finis commutatifs. La structure de l'anneau des polynômes associé y est explicitée. Avec Joseph Wedderburn, en 1905, il démontre qu'il n'existe pas de corps fini non commutatif.

Mécanique [modifier]

Édouard Husson, dans sa thèse soutenue en 1906, résout définitivement le problème des intégrales premières de la mécanique classique pour le mouvement d'un solide autour d'un point fixe. Il n'y a que quatre intégrales premières possibles, la quatrième n'apparaissant que dans trois cas particuliers, le mouvement d'Euler-Poinsot, celui de Lagrange-Poisson et enfin celui de Sophie Kowaleski. L'intégration complète par quadrature est donc possible dans ces trois cas. Cependant Goriatchoff montre que l'intégration est aussi possible dans le cas de conditions initiales particulières, et un second cas est indiqué par Nicolaus Kowalevski en 1908.
La mécanique, qui n'avait que peu changé depuis Newton, devient l'objet d'études poussées. Poincaré et Einstein publient une mécanique qui ne renferme la mécanique newtonienne qu'en y faisant tendre la célérité c de la lumière vers l'infini. La transformation de Galilée laisse sa place à la transformation de Lorentz. Et une nouvelle généralisation, une théorie de la gravitation, prend le nom de théorie de la relativité générale, entre 1909 et 1916, prétendant inclure le principe de Mach.
La spéculation cosmologique prend maintenant une tournure totalement inattendue par une mathématisation sophistiquée. L'univers statique d'Einstein et celui de De Sitter sont bientôt accompagnés par des univers en évolution régis par les équations de Friedman, aidé par les recherches de Hubble et Humason qui viennent de découvrir le décalage vers le rouge. Ces progrès spectaculaires sont cependant tempérés par la découverte de la mécanique quantique. Si tout va bien de ce côté jusqu'à l'année 1924, la thèse de De Broglie remet tout en cause. Celle-ci part de l'idée de l'identité entre le principe de Fermat et le principe de moindre action de Maupertuis pour le photon, associant ainsi à une particule une onde $Ψ$ . L'école de Copenhague interprète les relations d'incertitudes d'Heisenberg comme une invitation à ne considérer l'onde $Ψ$ que comme une probabilité de présence, rompant avec un déterminisme total qui étaient l'apanage de la mécanique de Newton et dont Einstein sera le défenseur acharné dans le paradoxe Einstein-Podolski-Rosen. La mécanique d'Einstein, dont on a vérifié la concordance avec les observations, s'accorde très bien aux faits expérimentaux à grande échelle. La mécanique quantique, de son côté est la reine à l'échelle atomique et moléculaire. Et les deux mécaniques ne s'accordent pas. Les différentes tentatives d'unification sont autant d'échecs au point qu'on désespère de trouver cette théorie unitaire qui réconcilierait les deux mondes. La théorie pentadimensionnelle de Kaluza-Klein, la théorie d'Einstein de 1931, la théorie de la double solution de De Broglie, la théorie cinématique de Milne, les spéculations d'Eddington sur le nombre 137, la théorie de Bondi et Gold, ... apportent chacune une idée nouvelle mais qui ne résolvent pas le problème de l'incompatibilité des deux mécaniques. Les auteurs, surtout des physiciens, se lancent à corps perdu dans une algébrisation de leurs théories qui débouchent sur la théorie des cordes, la théorie M, ... qui sont encore loin de résoudre toutes les questions posées. La théorie unitaire, la grande unification n'est pas pour ce siècle.
Alors qu'Einstein en avait fait une de ses motivations pour proposer la relativité, Kurt Gödel montre que le principe de Mach n'est pas inscrit dans les équations de la relativité générale.

Analyse [modifier]

Le siècle commence par la thèse de Lebesgue "intégrale, longueur, aire" qui constitue vraiment le début de la théorie de la mesure. Par la suite, de nouvelles intégrales sont crées sur les traces de Lebesgue (intégrales de Denjoy, de Perron et d'Henstock, ...). La théorie de la mesure finit par rejoindre la théorie des probabilités qui est axiomatisée en 1933 par Kolmogorov.
La théorie de Lebesgue mène à l'étude des espaces $L p$ . Et sur les traces de Hilbert, Riesz (auteur du célèbre théorème de représentation qui porte son nom), Banach, les opérateurs différentiels sont étudiés. C'est l'occasion de créer la théorie des distributions, dont les prémisses avaient été données par Hadamard qui avait introduit les parties finies dans un problème d'hydrodynamique⁴⁹. S'illustrent ainsi Guelfand, Chilov, Schwartz, Vekua. L'étude des conditions de régularité des solutions des équations aux dérivées partielles permet àSergueï Sobolev et ses continuateurs de définir ses espaces de fonctions et les théorèmes de trace en fonction des propriétés géométriques du domaine.
La théorie spectrales des opérateurs linéaires, notamment auto-adjoints, opérant dans un espace de Hilbert a été commencée par David Hilbert, dans six mémoires publiés entre 1904 et 1910. Henri Weyl, de son côté fit avancer la théorie des équations différentielles singulières du second ordre. John Von Neumann développa le concept de l'espace de Hilbert abstrait entre 1927 et 1929, cadre dans lequel il commença l'étude des opérateurs auto-adjoint non bornés essentiellement pour les besoins de la théorie quantique naissante. Fréderic Riesz et M. H. Stone développèrent la théorie spectrale et l'étendirent aux opérateurs normaux non bornés. Des applications aux opérateurs différentiels et l'extension aux opérateurs semi-bornés symétriques furent l'œuvre de K. O. Friedrichs en 1934 et Krein en 1947.
En 1927, la théorie des corps ordonnables d'Artin-Schreier permet de clarifier la nécessité d'un argument d'analyse dans la preuve du théorème fondamental de l'algèbre, le théorème de D'Alembert-Gauss.
Abandonnés depuis le formalisme de Weierstrass, vers 1850, les infiniments petits de l'époque héroïque (xvii^e siècle) reprennent du service sous l'impulsion de Abraham Robinson en 1960 qui crée l'Analyse non standard. En 1970, Nelson ajoute à l'axiomatique classique de Zermelo-Fraenkel+axiome du choix (ZFC) un nouveau prédicat qui lui permet d'interpréter l'analyse non standard de Robinson dans une théorie plus facile. Les résultats démontrés dans l'analyse non standard qui s'expriment dans ZFC seul sont alors vrais dans ZFC seul.

Théorie des groupes [modifier]

La théorie des groupes occupe beaucoup de monde. Notamment les groupes finis sporadiques dont l'étude ne sera achevée que dans les années 1980. L'étude des groupes de Lie se poursuit et l'algébrisation de la physique devient un enjeu majeur.

Topologie [modifier]

Poincaré énonce en 1904 la conjecture qui porte son nom : « Considérons une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3 ». Elle sera démontrée en 2003 par Grigori Perelman.

Équations différentielles [modifier]

Dans l'étude des équations différentielles, Painlevé découvre de nouvelles transcendantes. Son étude est continuée par Gambier.
Un mémoire de Dulac⁵⁰, de 1923, contient l'énoncé qu'un champ de vecteurs X à coefficients polynomiaux du plan possède au plus un nombre fini de cycles limites (un cycle limite est une courbe intégrale analytique fermée et isolée de X) qui suscitera beaucoup de travaux complémentaires avant de devenir le théorème de Dulac. À l'instar de nombre de théorèmes "démontrés", la démonstration fut contestée dans les années 1960. Celle de Dulac comportait des "trous" mis en évidence par des contre-exemples de Ilyashenko. Le théorème de Dulac devint la conjecture de Dulac. Puis la preuve fut complétée par Jean Ecalle⁵¹ et la conjecture de Dulac retrouva son statut de théorème sous la forme "Pour tout champs de vecteurs analytique dans le plan, les cycles limites ne s'accumulent pas".

Théorie des nombres [modifier]

La thèse de Cahen (1894) avait fait l'objet de nombreuses critiques. Ce fut l'occasion de nouvelles études dans les séries de Dirichlet et la théorie des fonctions L, particulièrement parSzolem Mandelbrojt.
Robert Daniel Carmichael découvre les nombres de Carmichael en 1909. Il faut attendre 1994 pour qu'Alford, Granville et Pomerance démontrent qu'il y en a une infinité⁵². Plus précisément, ces auteurs montrent que le nombre de nombres de Carmichael inférieurs à $x$ , $C (x)$ , est minoré par $C (x) > x 2 / 7$ à partir d'un certain rang. Divers auteurs ont donné des majorations de $C (x)$ .
On s'attacha à simplifier les preuves du théorème des nombres premiers (Landau, Erdös et Selberg, ...) et celles du théorème de Picard (Borel). La fonction zêta de Riemann, dans le but de démontrer l'hypothèse de Riemann, est l'objet de très nombreuses recherches de Hardy et Littlewood, Speiser, Bohr, Hadamard, ... sans pour autant que le mystère ne soit résolu. Titchmarsh écrit en 1951 un traité sur la théorie de la fonction $ζ$ de Riemann qui reste l'un des plus complets.
Le problème de Waring est partiellement résolu par Hilbert en 1909 qui montre l'existence de g(k) tandis que Wieferich s'attaque à la détermination du plus petit g(k) pour un entier k donné. Le problème de la détermination de G(k) est commencé par Hardy et Littlewood qui énoncent même une conjecture non encore démontrée. Les majorations de G(k) données par Vinogradov ont été améliorées par Heilbronn (1936), Karatusba(1985), Wooley (1991). On connait les valeurs de G(k) pour k compris entre 2 et 20 par les travaux de Landau, Dickson, Wieferich, Hardy et Littlewood, ...Linnik donna une méthode de résolution du problème de Waring par une voie purement arithmétique en 1943, utilisant une idée de Schnirelmann.
Viggo Brun démontre en 1919 la convergence de la série des inverses des nombres premiers jumeaux, en utilisant une méthode issue du crible de Erathostène-Legendre qui restera comme le crible de Brun, inaugurant la méthode du crible moderne qui se développe principalement avec Selberg.
Une forme faible de la Conjecture de Goldbach est résolue par Vinogradov en 1936 en montrant que presque tous les nombres entiers impairs s'écrivent comme somme de trois nombres premiers.

Andrew Wiles

André Weil démontre l'hypothèse de Riemann pour les fonctions zeta locales en 1940 et énonce les conjectures qui portent son nom, qui sont démontrées dans le siècle.

Pierre Deligne en 2004. Sa démonstration d'une des conjectures d'André Weyl fut un "coup de tonnerre dans le ciel serein de la théorie des nombres"

Pierre Deligne démontre, contre toute attente, la conjecture de Weil sur les valeurs propres des endomorphismes de Frobenius en géométrie algébrique⁵³
Des travaux de Y. Hellegouarch lient dès les années 1960 le grand théorème de Fermat à l'arithmétique de courbes algébriques particulières, les courbes elliptiques, mais ce n'est qu'au milieu des années 1980, que Ken Ribet montre que démontrer la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil (ou conjecture modulaire), qui affirme un lien précis entre les fonctions modulaires et les courbes elliptiques, entraînerait le grand théorème de Fermat. Au bout de sept ans de recherches, Andrew Wiles annonce en 1993, au cours d'une série de conférences sur les courbes elliptiques et leurs représentations lors d'un colloque à Cambridge, la démonstration de la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil pour une large famille de courbes elliptiques (ce qui suffit pour le théorème de Fermat). Un problème technique retarde plusieurs mois la mise au point de la preuve, mais fin 1994, le grand théorème de Fermat est démontré. Peu après, la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil est complètement démontrée.

Graphes [modifier]

Wegener et Brendan McKay, indépendamment, montrent qu'il existe plus de 13 267 364 410 532 solutions au problème du cavalier et Ernesto Mordecki, un mathématicien uruguayen, en 2001, a majoré le nombre des solutions à 1,305.10^35.

Analyse complexe [modifier]

La première véritable preuve du théorème de l'application conforme de Riemann (1851) est donnée par Constantin Carathéodory en 1912 en utilisant les surfaces de Riemann. Elle est bientôt simplifiée par Koebe. Une autre preuve est donnée en 1922 par Fejer et Riesz, elle-même simplifiée par Ostrowski et Carathéodory.
Caratheodory énonce et démontre en 1906 un lemme qu'il appelle lemme de Schwarz. Son énoncé, bien que très simple, va se révéler extraordinairement fécond après que Pick l'ait étendu en 1916. De nombreuses autre extensions, celles de Caratheodory (1926) et de Néhari (1947) par exemple, suivront. On verra le lien entre le lemme de Schwarz et la métrique de Poincaré sous-jacente.
Bieberbach, en 1916, va émettre une conjecture généralisant le lemme de Schwarz qui ne sera définitivement résolue que par Louis de Branges de Bourcia, après près de 70 ans de recherches, en 1985.
Après la première guerre mondiale, la communauté mathématique française, qui avait perdu beaucoup de ses membres, se replia sur son sujet favori: l'analyse complexe et la théorie des fonctions analytiques dont elle était la principale instigatrice.
La théorie des fonctions entières d'ordre infini est l'œuvre de Otto Blumenthal vers 1913.
L'importance de la formule de Jensen s'affirme dans la théorie de la croissance initiée par Emile Borel⁵⁴.

Logique et théorie des ensembles [modifier]

Sur la question des fondements, les mathématiciens se disputent allègrement, et des branches apparaissent sous l'impulsion de Brouwer, de Henri Poincaré, ... Cependant la majorité de la communauté mathématique adhère à l'axiome du choix dont Kurt Gödel montrera en 1930 que, tout comme l'hypothèse du continu, il pouvait être ajouté aux axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans introduire de contradictions. En réalité, ces deux énoncés sont indépendants des autres axiomes: ce sont des propositions indécidables (Paul Cohen, 1963). Les démonstrations de non contradictions fleurissent (sous réserve de la non contradiction de la théorie des ensembles).

Dans la théorie de la démonstration, on notera les travaux d'Herbrand (1930) et de Gentzen, trop vite décédés, le premier en 1931, le second en 1945.
On s'était demandé si toute proposition vraie, dans une axiomatique donnée, pouvait être démontrée. La réponse est non. Le théorème d'incomplétude de Gödel (1931) énonce que toute théorie non contradictoire capable de formaliser l'arithmétique ne permet pas de démontrer toutes les propositions vraies. Autrement dit, il existe des tautologies indémontrables dans toute théorie capable de formaliser l'arithmétique ...
Church invente le lambda calcul et énonce sa thèse, Turing invente la machine abstraite qui porte son nom et Kleene précise la définition des fonctions récursives. La notion defonction calculable est inventée. Matiyasevich démontre qu'il n'existe pas d'algorithme qui permette de dire si une équation diophantienne est résoluble, donnant ainsi une réponse négative aux dixième problème de Hilbert⁵⁵. La théorie des automates et la théorie des langages apparaissent.
Donald Knuth publie son encyclopédie sur l'art de la programmation et crée un nouvelle discipline l'analyse d'algorithmes.

Donald Knuth

Probabilités [modifier]

La notion de mesure développée par Émile Borel en 1897 est complétée par Henri-Léon Lebesgue et sa théorie de l'intégration.⁵⁶ Cette notion d'analyse est utilisée par les probabilistes pour une définition plus rigoureuse de la probabilité et entre autres de la densité de probabilité

La première version moderne du théorème central limite est donnée par Alexandre Liapounov en 1901 ⁵⁷ et la première preuve du théorème moderne donnée par Paul Lévy en 1910.

En 1902, Andrei Markov introduit les chaînes de Markov⁵⁸ pour entreprendre une généralisation de la loi des grands nombres pour une suite d'expériences dépendant les unes des autres. Ces chaînes de Markov connaîtront de nombreuses applications, entre autres pour modéliser la diffusion ou pour l'indexation de sites web sur Google.

En 1933, la théorie des probabilités sort d'un ensemble de méthodes et d'exemples divers et devient une véritable théorie, axiomatisée parKolmogorov.

Kiyoshi Itō met en place une théorie et un lemme qui porte son nom dans les années 1940. Ceux-ci permettent de relier le calcul stochastique et les équations aux dérivées partielles faisant ainsi le lien entre analyse et probabilités. Le mathématicien Wolfgang Döblinavait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en juin 1940. Ses travaux furent envoyés à l'Académie des sciences dans un pli cacheté qui ne fut ouvert qu'en 2000.

Analyse numérique [modifier]

Richard Courant introduit les éléments finis en 1940 qui servent à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles. Cette méthode ne prendra véritablement son essor qu'avec l'informatique et des procédés de maillage performant et adaptés, ce qui n'apparaîtra pas avant les années 1980.
La méthode de Monte-Carlo se développe, sous l'impulsion de John von Neumann et Stanislas Ulam notamment, lors de la Seconde Guerre mondiale et des recherches sur la fabrication de la bombe atomique. Elles sont dénommées ainsi par allusion aux jeux de hasard pratiqués à Monte-Carlo. Ces méthodes probabilistes servent à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles, d'équations différentielles stochastiques, et d'estimations d'intégrales multiples.

Paradoxes apparents et curiosités [modifier]

Si l'acceptation de l'axiome du choix permet de démontrer l'existence de bases dans les espaces vectoriels de dimension infinie, notamment les espaces de Hilbert, cela a aussi des conséquences plus étranges, comme le paradoxe de Banach-Tarski : il existe un découpage d'une sphère parfaite en cinq morceaux tel qu'avec les morceaux on puisse reconstituer deux sphères parfaites de même diamètre que la première.
D'autres curiosités, comme le théorème du retournement de la sphère de Smale (qui utilise l'axiome du choix) sont démontrées.

Notes et références [modifier]

↑ La grande aventure de l'humanité, Arnold Toynbee, chap. 6
↑ Babylonian expedition voir ce document [archive]
↑ La tablette YBC 7289 prouve qu'ils connaissaient une valeur approchée de la racine carrée de deuxau millionième près
↑ tablettes de Nippur
↑ Par exemple, la tablette Plimpton 322
↑ Babylonian mathematics [archive]
↑ Les mathématiques et l'astronomie babyloniennes dans Les sciences exactes dans l'Antiquité de O. NEUGEBAUER
↑ Maurice Mashaal, p. 23 et p. 26.
↑ Sylvia Couchoud, Mathématiques Égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique, éditions Le Léopard d’Or, 2004, pp. 61-65.
↑ Seules les données archéologiques apportent des informations sur leur organisation.
↑ Marcia Ascher, Mathématiques d'ailleurs, Nombres, Formes et Jeux dans les sociétés traditionnelles, Éditions du Seuil, 1998.
↑ Maurice Mashaal, p. 51.
↑ Van Egmond, Warren, The Commercial Revolution and the beginnings of Western Mathematics in Renaissance Florence, 1300-1500, éd. University of Michigan UMI Dissertation Services, Ann Arbor, Michigan, États-Unis, 628 p.
↑ A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, 1986 [détail des éditions] p 199
↑ Controverse entre Leibniz et Jean Bernouilli sur les logarithmes des nombres négatifs ou imaginaires - 1712
↑ Routes et Dédales, p 251
↑ Jacques Bouveresse, Jean Itard, Émile Sallé, Histoire des mathématiques [détail des éditions] , p 52
↑ Léonard Euler, Variae observationes circa series infinitas, théorème 7, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, (1744), 160-188, ou Opera Omnia, Series 1, Volume 14, 217 - 244. Téléchargeable à [1] [archive]
↑ Histoire des mathématiques (Bouveresse, Itard, Sallé) p 52
↑ Routes et dédales, p 112
↑ Routes et dédales, p 114
↑ ^a et b Histoire des mathématiques (Bouveresse, Itard, Sallé) p 74
↑ Waring, meditationes algebricae, 1770, p203-204
↑ Charles Delaunay,Théorie du mouvement de la lune, 1860-1867, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN374745188 [archive]
↑ H. Faye, Discours aux funérailles, 1872
↑ CRAS, 10 novembre 1845, 1er juin 1846, 31 août 1846
↑ ^a et b Appell, cours de mécanique rationnelle, T2
↑ Husson, thèse, 1906
↑ Bruno Belhoste « La formation d'une technocratie. L'École polytechnique et ses élèves de la Révolution au Second Empire » p. 222. Belin, Collection Histoire de l'éducation.
↑ Nouvelle correspondance mathématique, T2, 1852
↑ Monge, Géométrie descriptive, Paris, Baudouin, An VII(1799)
↑ Pour une démonstration d'après Hurwitz voir Valiron, théorie des fonctions, Masson, Paris,1942
↑ Berger, Géométrie
↑ Hilbert, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Programm zum Eintritt in die philosophische Facultät und den Senat der k. Friedrich-Alexander-Universität zu Erlangen, 1872
↑ Cité par Cauchy et repris par H. Laurent, Théorie des résidus,1865 et par Laisant, Exposition de la méthode des équipollences [de Bellavitis], 1878
↑ Wessel, Essai sur la représentation analytique de la direction, 1797
↑ Argand, Essai sur une manière de représenter des quantités imaginaires dans les constructions géométriques,1806
↑ Mourey, La vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétenduement imaginaires, 1828
↑ Legendre,Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes, Appendice: sur la méthodes des moindres carrés,Paris,Courcier, 1805
↑ Legendre, Méthodes des moindres carrés, lu le 24 février 1811
↑ Gauss, Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium, 1809
↑ http://statbel.fgov.be/info/quetelet_fr.asp [archive], une biographie de Quételet
↑ Lettre de De Morgan à Hamilton du 23 octobre 1852
↑ dans diverses communications de 1878-1879 à la société mathématique de Londres et à la société de géographie.
↑ Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Acta Mathematica XIII, 1890,1-270
↑ un mémoire de Poisson de 1813 explique une curiosité mathématique des fonctions réelles par un contournement de la singularité réelle dans le plan complexe. On n'est qu'à un pas du théorème des résidus
↑ Estanave, Nomenclature des thèses de sciences mathématiques soutenues en France dans le courant du xix^e siècle, Paris, Gauthier-Villars, 1903
↑ Leonard Dickson, Linear Groups With an Exposition of the Galois Field Theory, 1901
↑ Hadamard, Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l'hydrodynamique, Paris, 1903
↑ Dulac, Sur les cycles limites, Bulletin de la société mathématique de France,T51,p45,1923
↑ Jean Ecalle, Introduction aux fonction analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, 1992
↑ W. R. Alford, A. Granville and C. Pomerance, There are infinitely many Carmichael numbers, Annals of Mathemtics, 140 (1994), 703-722.
↑ Pierre Deligne, La conjecture de Weil:I. Publications mathématiques de l'IHÉS n°43, Paris, 1974, 273-307.
↑ Borel,Leçons sur la théorie de la croissance,Paris, Gauthier-Villars,1910
↑ Matiiassevitch, Le dixième problème de Hilbert, son indécidabilité,Paris, Masson, 1995
↑ http://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node4.html [archive] histoire des probabilités de Borel à la seconde guerre mondiale
↑ Entre De Moivre et Laplace [archive]
↑ DicoMaths : Chaine de Markov [archive]

Voir aussi [modifier]

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Liens internes [modifier]

Histoire des sciences
Mathématiques
Chronologie de l'algèbre
Histoire de l'analyse fonctionnelle
YBC 7289 tablette d'argile babylonnienne

Liens externes [modifier]

(fr) Liens sur l'histoire des mathématiques (2)
(fr) Histoire des mathématiques à Béjaia
(fr) Dans la lettre de l'Académie des sciences"Histoire et philosophie des sciences" (pdf 2,12 Mo) - n°14 / hiver 2004: Mathématiques de la Chine ancienne
(en) Site de l'Université de St Andrews
(fr) Site recensant les étymologies des concepts mathématiques
(fr) Page de CNRS Éditions à propos de l'ouvrage La Mathématique

Bibliographie [modifier]

Karine Chemla, Guo Shuchun, Neuf Chapitres. Le Classique de la Chine ancienne et ses commentaires. Édition critique. [détail des éditions]
Jean-Paul Collette, Histoire des mathématiques, éditions du Renouveau Pédagogique Inc., Montréal, 1973.
Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres
Collectif (Michael Atiyah, Alain Connes, Freeman Dyson, Yuri I. Manin (en), David Mumford), La Mathématique, les temps et les lieux, CNRS Éditions, Paris, 2009.
Jean C. Baudet, Nouvel Abrégé d'histoire des mathématiques, Vuibert, Paris, 2002.
Sylvia Couchoud, Mathématiques Égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique, éditions Le Léopard d’Or, 2004. Le livre reproduit les hiéroglyphes, donne leur traduction et procède à un examen critique du texte.
Denis Guedj, Le théorème du perroquet.
Maurice Mashaal, « Les mathématiques », in Histoire des sciences (dir. P. de la Cotardière), pp. 19-104, [détail des éditions]

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Application identique

Application linéaire

Application lipschitzienne

Application réciproque

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Arc

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Argument de la diagonale de Cantor

Aristote

Arithmétique

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Automorphisme

Axiome

Axiomes de Peano

Axiome d'extensionnalité

Axiome de la paire

Axiome de la réunion

Axiome de remplacement

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Base (numération)

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Base naturelle des logarithmes

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Calcul des propositions

Calcul différentiel

Calcul infinitésimal

Calcul intégral

Calcul intégral (mathématiques élémentaires)

Calcul numérique

Calcul numérique d'une intégrale

Calcul propositionnel

Centre de gravité (mathématiques élémentaires)

Cercle trigonométrique

Chaînette

Changement de variable

Classe (mathématiques)

Classe suivant un sous-groupe

Clothoïde

Codage

Coefficient

Cohérence des axiomes de l'arithmétique formelle

Combinaison avec répétition

Combinatoire

Commutateur (opérateur)

Compétition de factorisation RSA

Complémentaire

Composante connexe

Composition d'applications

Conditions aux limites

Connexité (mathématiques)

Connexité par arcs

Construction à la règle et au compas

Construction des anneaux de polynômes

Construction des entiers naturels

Construction des entiers relatifs

Construction des nombres complexes

Construction des nombres rationnels

Construction des nombres réels

Construction des objets courants

Construire des tables trigonométriques

Continuité

Continuité uniforme

Contradiction

Conversion des unités

Convolution

Conway

Coordonnée

Coordonnées cartésiennes

Coordonnées polaires

Coordonnée cartésienne

Coplanaire

Corollaire

Corps

Corps (mathématiques)

Corps algébriquement clos

Corps des fractions

Correspondances et Relations

Correspondance et relation

Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée

Couple (mathématiques)

Création d'une probabilité

Crible d'Ératosthène

Crible quadratique

Critères de dispersion

Critères de position

Critère de Cauchy

Critère de divisibilité

Croissance exponentielle

Développement décimal de l'unité

Décomposition de Dunford

Décomposition en produit de facteurs premiers

Déduction naturelle

Démonstration

Démonstrations du petit théorème de Fermat

Démonstration automatique de théorèmes

Démonstration constructive

Démonstration de l'irrationalité de e

Démonstration directe

Démonstration par l'absurde

Déterminant (mathématiques)

Déterminisme

Développement décimal

Développement limité

Densité (mathématiques)

Densité (topologie)

Densité de probabilité

Dernier théorème de Fermat

Dimension d'un espace vectoriel

Dimension topologique

Diophante

Disque

Distance (mathématiques)

Distribution de Bernoulli

Distributivité

Distributivité (mathématiques élémentaires)

Droite (mathématiques)

Écrire les figures de la géométrie

Éléments d'Euclide

Élément inversible

Élément neutre

Élimination de Gauss-Jordan

Émile Borel

Épreuve de Bernoulli

Équation

Équations aux dérivées partielles

Équations différentielles

Équations diophantiennes

Équation (mathématiques élémentaires)

Équation aux dérivées partielles

Équation aux dimensions

Équation différentielle

Équation différentielle linéaire

Équation différentielle linéaire d'ordre un

Équation différentielle ordinaire

Équation du second degré

Événement (mathématiques)

Ensemble de définition

Ensemble de mesure nulle

Espace à base dénombrable

Espace localement compact

Espace localement connexe

Espace localement connexe par arcs

Espace probabilisable

Espace probabilisé

Espace séparable

Espace séparé

Espace simplement connexe

Espace topologique

Espace vectoriel

Espace vectoriel normé

Espace vectoriel topologique

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Euclide

Euclide (mathématicien)

Euclide de Mégare

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Exponentielle

Exponentielle d'une matrice

Factorisation des polynômes

Factorisation de Cholesky

Faisceau de cercles

Famille sommable

Famille (mathématiques)

Felix Hausdorff

Femmes et mathématiques

Fonction (mathématique)

Fonction (mathématiques)

Fonction (mathématiques élémentaires)

Fonction additive

Fonction analytique

Fonction arithmétique

Fonction et application

Fonction harmonique

Fonction holomorphe

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Fonction hyperbolique

Fonction identité

Fonction L

Fonction linéaire (mathématiques élémentaires)

Fonction mathématique

Fonction monotone

Fonction multiplicative

Fonction numérique

Fonction périodique

Fonction polynôme

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Fonction trigonométrique

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Forme linéaire

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Formules trigonométriques

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lettre C

lettre D

lettre E

lettre F

lettre G

lettre H

lettre I

lettre Î

?

lettre J

lettre K

lettre L

lettre M

lettre N

lettre O

lettre P

lettre Q

lettre R

lettre S

lettre T

lettre U

lettre V

lettre W

lettre Y

Yard

lettre Z

Zéro

Source : http://www.ilemaths.net/encyclopedie/definitions-TOUT.php

MULTIPLICATIONS PAR 9 ET PAR 11 SANS CHRONO

Source : http://www.neroucheffmichel.be/html/X9X11SChrono/x11x9.html

A KAHUN MATHEMATICAL FRAGMENT

John A.R. Legon

[Based on the author's article in Discussions in Egyptology 24 (1992), p.21-24]

Among the various papyri discovered by Flinders Petrie in the Middle Kingdom town of El-Lahun (Kahun) were found some fragments dealing with mathematical problems, some of which were understood at the time by F.L. Griffith [1], while others were explained by Schack-Schackenburg [2]. The problem represented by columns 11 and 12 of Kahun fragment IV.3, however, was not fully understood, and much confusion has resulted from the analysis by R.J. Gillings [3]. In the present article we will show that contrary to Gillings' view, the text contains a straightforward and complete example of the Egyptian method of calculating an arithmetical progression.

The significance of the numbers written in hieratic in column 12 of the fragment (see fig. 1) was in fact first recognised by Moritz Cantor [4], who noticed that
these numbers form the ten terms of an arithmetical progression with a common difference between the terms of 2/3 + 1/6 (or "3 '6 to use the notation of fig. 1). Cantor also realised that since the sum of the ten terms is just 100, the hieratic signs for 100 and 10 which stand at the head of column 12, probably denote this sum and the number of terms, and not the number 110 which was transcribed by Griffith. If the scribe had intended to write the number 110, then the hieratic sign for 10 would be expected to stand above the tail of the 100 sign, so that the two signs could be read together as a single value; but the tail of the 100 sign in fact only runs into the side of 10 sign because of the cramped working, viz: and the reading of these signs as two numbers is quite possible. The scribe has thus given a brief statement of the problem, which is to divide a quantity of 100 into 10 shares in arithmetical progression.

Evidently unaware of Cantor's article, however, Gillings took the transcription by Griffith at face value, and tried at some length to account for the presumed total of 110 when the terms of the series only added up to 100. Because, as he pointed out, few examples of arithmetical progressions have survived in the mathematical papyri, Gillings subjected this problem to close scrutiny, and published two distinct solutions. He initially proposed that the text represented a part of an arithmetical progression with seventeen terms, the smallest of which was equal to half the common difference while the sum of the twelve largest terms was 110; but he later suggested that the scribe had intended to construct a progression in twelve terms adding to 110 with a common difference of "3 '6.

To explain why only ten terms in the series were actually recorded, when there was enough space on the papyrus for the scribe to write down several more terms if he had wanted to, Gillings wrote: "we may surmise that he was checking his progression totals, and when he reached 100, he thought he had finished at 110. Or he may just have got tired of the interminable subtractions" [5]. In support of his theory, Gillings believed that the working in the adjacent column 11 of the text was a check multiplication for the thirteenth term of the series, and a stumbling block to the view that the series was intended to contain only ten terms. But in fact, the working is exactly of the form that we should expect for the Egyptian method of computing an arithmetical progression, when ten terms are required. This is proven by the other surviving example of a calculation of this type, in problem 64 in the Rhind Papyrus [6]. Since Cantor also failed to explain the significance of column 11, however, it is now necessary to describe how the calculation was carried out.

Given a quantity of 100 which has to be divided into ten shares in arithmetical progression, these shares will have nine differences between them, and the interval between the smallest and largest of the shares will equal nine times the common difference. The largest share can be found by adding half the total interval to the average share. This calculation was performed by the scribe by multiplying half the common difference by the number of differences; and hence in column 11 of Kahun IV.3, for the common difference of "3 '6, the scribe multiplies '3 '12 by 9 with a result of 3 "3 '12. This is added to the average share which is simply 100/10 equals 10; and hence as shown at the top of column 12, the largest share will be
(10 + 3 "3 '12) equals 13 "3 '12. From this largest share, the common difference of "3 '6 is repeatedly subtracted to give each of the lesser shares in turn, down to the smallest share of 6 '6 '12.

Now to explain why the common difference of "3 '6 was selected, it will be noted that the smallest share is about equal to half the largest share; and it seems very likely that an approximation to this simple relationship was the scribe's objective. The problem was thus to distribute a quantity of 100 into 10 shares in arithmetical progression, such that the smallest share should be equal to half the largest share. The scribe seems to have realized that the smallest and largest shares then had to represent one-third and two-thirds of their sum, which should amount to twice the average share, or just 20; and that the correct values for these shares was therefore 6 "3 and 13 '3. But in this case, the common difference between the shares had to equal one-ninth of 6 "3 or "3 '18 '54, which was an awkward quantity to deal with. The calculation was made easier by rounding up the common difference to "3 '6, with slight error so far as any practical distribution was concerned.

In problem 64 of the Rhind Papyrus, by way of comparison, it was required to divide 10 hekat of barley between ten men with a common difference equal to the Horus-eye fraction of '8 hekat. The largest share which resulted thus arbitrarily amounted to more than three times the smallest share. Problem 40 in the Rhind Papyrus deals with the distribution of loaves in arithmetical progression such that the two smallest shares amount to 1/7 of the three largest shares - a requirement which was apparently devised to make use of the chance property of a previously constructed progression. The Kahun fragment provides the only existing example where a distribution of shares in arithmetical progression appears to have been determined by a specific relationship between the smallest and largest shares.

NOTES

[1]. F.Ll. Griffith, Hieratic Papyri from Kahun and Gurob, 2 vols. (London, 1897). Vol.1, 16; vol.2, pl.VIII.

[2]. H. Schack-Schackenburg, ZÄS 37 (1899), 78-9; ZÄS 38 (1900), 138-9.

[3]. R.J. Gillings, Mathematics in the Time of the Pharaohs, (Cambridge, Mass., 1972), 176-180.

[4]. M. Cantor, 'Die mathematischen Papyrusfragmente von Kahun',Orientalistische Litteratur-Zeitung vol.1 no.10 (1898), 306-8.

[5]. Gillings op.cit., 80.

[6]. T.E. Peet, The Rhind Mathematical Papyrus (Liverpool, 1923), 107-8. See also G. Robins and C.C.D. Shute, The Rhind Mathematical Papyrus (London, 1987), 42-3.

Source : http://www.legon.demon.co.uk/kahun.htm

Papyrus Kahun

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Les papyrus de Kahun auraient été écrits vers la fin de la XII^e dynastie égyptienne. Ils reproduisent des traités plus anciens et comprennent, entre autres, un traité de gynécologie et untraité de mathématiques.

Bibliographie [modifier]

Le livre de Sylvia Couchoud, Mathématiques Égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique (éditions Le Léopard d’Or, 1993), a peu à dire sur le contenu arithmétique des papyrus de Kahun en tant que tel ; de même celui, plus solide, de Caveing cité infra. On consultera beaucoup plus profitablement l'analyse de Annette Imhausen, Ägyptische Algorithmen. Eine Untersuchung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten (Wiesbaden, Harrassowitz, 2003), p. 33-175.

Le tome 2 de Collier & Quirke (p. 72-96) présente la transcription, la traduction et une analyse succincte de ces papyrus mathématiques, aux soins d'A. Imhausen et James ("Jim") Ritter. A leur bibliographie p. 96, ajouter Maurice Caveing, Essai sur le savoir mathématique dans la Mésopotamie et l'Égypte ancienne (s.l., Presses Universitaires de Lille, 1993), p. 370-372.

F. L. Griffith, Hieratic Papyri from Kahun and Gurob (Principally of the Middle Kingdom), I-II, Quaritch, London, 1898
Présentation et traduction dans le tome 1, fac-similé des textes hiéroglyphiques et copies autographes dans le tome 2

Mark Collier, Stephen Quirke, The UCL Lahun Papyri, I-III, Archeopress, Oxford, 2002, 2004 et 2006
Lettres dans le tome 1, textes de contenu littéraire et mathématique dans le 2, documents divers dans le 3 ; textes hiéroglyphiques, transcription et traduction, avec reproduction complète des papyrus dans le CD-ROM attaché à chaque tome

Richard Gillings, Mathematics in the Time of the Pharaohs, pages 176-180, MIT, Cambridge, Mass, 1972, (ISBN 0-486-24315-X)

John Legon, A Kahun mathematical fragment, in Discussions in Egyptology 24 (1992), p.21-24.

Gay Robins, Charles Shute, The Rhind Mathematical Papyrus, pages 41-43, British Museum, Dover reprint, 1987, (ISBN 0-486-26407-6).

Liens externes [modifier]

[Dérouler] v · d · m Les sciences dans l'Égypte antique

[Dérouler] v · d · m Égypte antique

Source :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Papyri_Kahun

Egyptian fraction

(Definition)

This narrative reports fractions a/b rather than the modern LaTeX fraction form.

Prior to 2050 BCE Old Kingdom Egyptians threw away 1/64 units within a 6-term binary notation system. The cursive system was named Horus-Eye and was recorded in rational numbers following this example:

1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...

A 1/64 term was generally thrown way.

After 2050 BCE an exact finite numeration system replaced the Old Kingdom's missing 1/64 units in weights and measures systems. The Middle Kingdom finite system "healed" the rounded off binary series by writing with several methods, one was:

1 = 1/2 + 1/4 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 5 ro

another,

1 = 1/2 + 1/4 + 1/16 + 1/32 + 10 ro.

The hieratic word ro meant 1/320 of a hekat in a grain weights and measures system. Note that 5 ro meant 5/320 = 1/64.

At other times 2/64 was scaled to 10/320 such that (8 + 2)/320 = 1/40 + 1/160 allowed

1 = 1/2 + 1/4 + 1/16 + 1/32 + 1/40 + 1/160

The new finite numeration system generally scaled rational numbers to optimized, but not optimal, unit fraction series. The 1900 BCE Akhmim Wooden Tablet (AWT) scaled two volume units into the Egyptian fraction notation in a manner that allows scholars to open a long lost closed book on the foundations of Egyptian fraction mathematics.

The AWT divided (64/64), a hekat unity, by 3, 7, 10, 11 and 13 writing exact binary quotients and (5/5) scaled remainders into 1/320 unit fraction series. Each answer was proven by multiplying by the divisor returning (64/64) the initial hekat unity.

The AWT methodology documented the solution to an Old Kingdom binary round-off problem/ Ahmes used the AWT method over 40 times, scaling a 1/10 hin unit to 1/320 ro unit 29 times, as well as solving several classes of problems.

Middle Kingdom (MK) scribes scaled rational numbers to unit fraction series by a least common multiple (LCM) creating a numeration system in the AWT and other hieratic texts. The Egyptian fraction numeration system ciphered counting numbers 1:1 onto hieratic sound symbols replacing an Old Kingdom hieroglyphic many-to-one system numbers written in rounded-off binary numbers. A line was drawn over hieratic sound symbols to denote unit fractions. Carl B. Boyer reported the significance of the ciphered numeration system. Egyptian fraction series represented rational numbers in ordered unit fraction series, writing the smallest to the largest unit fraction, from left to right.

One purpose of the Egyptian fraction system involved a finite weights and measures system applied to a commodity based monetary system established by Pharaoh. One theoretical aspect of the monetary system contained Egyptian multiplication and division operations. The scribal arithmetic was undervalued by historians for over 120 years, from 1879 to 1999, by only reporting the additive aspects of the raw transliterated data.

Scribal unit fraction answers contained two sides, additive numerators, and LCM scaled reminders. Math historians, beginning with F. Hultsch in 1895, parsed aspects of the scribal aliquot part views of numerators and LCM denominators, though the unified aspects of the system remained vague for another 105 years. In 2002, the EMLR was validated containing aliquot parts of LCM denominators in an un-optimized manner. The LCM (m/m) was written as a unity becoming a multiplier that scribes used to scale rational numbers to optimized, but not optimal, unit fraction series in 2/n table tables and every day problem and answers. In 2006 the Akhmim Wooden Tablet was validated containing exact quotient and remainders within its primary division division method, an ancient fragment also documented in the RMP 2/n table the same year.

During the Old Kingdom hieroglyphic writing scribes threw away 1/64 units within a 6-term binary notation named Horus-Eye. Around 1950 BCE the Akhmim Wooden Tablet (AWT) reported a hekat unity system solving the Old Kingdom round-off problem. Corrected volume units added back missing 1/64 units. Within the corrected notation multiplication of 400-hekat, 100-hekat, 4-hekat and 1-hekat substituted two classes of hekat units, one hekat = (64/64) (defined in the AWT and RMP 47) calculated binary quotients (Q/64) and scaled Egyptian fraction remainders (5R/n)ro; and one hekat = 320 ro (in RMP 35-38).

Concerning hekat arithmetic details, the AWT discuss the hekat unity. The unity was partitioned by rational numbers. Multiplication and division answers recorded binary quotients and scaled (5R/n)ro Egyptian fraction remainders, hekat units as 1/10 (hinu), 1/64 (dja), 1/320 (ro), and other units within modifiedquotients and remainders. The secondary hekat system converted m/n to integer quotients and non-scaled Egyptian fraction remainders written as m/n "name". For example, Ahmes created 1/10 units writing m = 10 and n= 3 by using the expression 10/3 hin, meaning (3 + 1/3)hin.

The AWT's binary quotient and Egyptian fraction partitions were proven by multiplying each quotient and remainder answer by the initial divisor. The exactproof calculation returned each quotient and scaled remainder answer to an initial (64/64) unity value. The AWT proof may be the first proof recorded in Western math history. Ahmes applied the proof methid in RMP 35-38, 320 ro problems.

Length and area units (cubits, khet, setat and mh) were partitioned into 1/8 setat quotients and mh (1 cubit by 100 cubit strips) remainders. RMP 53, 54, and 55 discuss Ahmes' geometry and associated arithmetic.

The Reisner Papyrus(RP), circa 1800 BCE, defines a labor efficiency division by 10 quotient and unscaled remainder rate. The RMP's first six problems used the RP division by 10 method. The RMP is one of several texts that confirm the scribal use of a second form of quotient and remainder arithmetic. Modern historians, going beyond 1920's additive transliteration limitations, by considering meta Egyptian fractions, agree with the RP method, and other forms of meta (unified) Egyptian fraction mathematics.

A second purpose of the Egyptian fraction notation exactly solved one and two variable first degree algebra problems. Rational number answers were written into integer quotients and Egyptian fraction remainders. The Rhind Mathematical Papyrus (RMP) and the Berlin Papyrus cite several problems and solutions, each with hard-to-read intermediate steps reaching Egyptian fraction answers.

A third purpose of the Egyptian fraction notation created a commodity and metal based monetary system. The system is outlined by Mahmoud Ezzamel using modern accounting methods. Yet, Ezzamel fairly parses the four Heqanakht Papers by discussing two absentee landlords' production and management considerations of profit written in ancient Egyptian fractions.

A fourth purpose of the Egyptian fraction notation that generally converted rational numbers to optimized, but not optimal, unit fraction series. The RMP 2/n table was written by Ahmes in 1650 BCE. Translators assumed that Ahmes had intuitively used 'red auxiliary' multiples to write optimized, but not optimal, unit fraction series. When the RMP was first published in 1879, historians began the task of breaking the 2/n table code, a project that was not completed until 2005. The earliest nearly successful code breaking effort was published by F. Hultsch in 1895. With E.M. Bruins confirming Hultsch's aliquot part approach in 1944. Today F. Hultsch and E.M. Bruins are honored by the Hultsch-Bruins method.

Returning to the 1650 BCE and the Rhind Mathematical Papyrus it began with a 2/n table. A 200 year older text, the Egyptian Mathematical Leather Roll(EMLR) was a student's introduction to the 2/n table subject. A student converted 26 rational numbers to non-optimal Egyptian fraction series. The EMLR converted rational numbers such as 1/8 by using multiples 3/3, 5/5 and 25/25. Two out-of order series are also discussed on EMLR.

Several Egyptian unit fraction notations were continuously used from 2050 BCE to 1637 AD. For about 3,700 years Egyptian fraction methods unitized rational numbers in nearby Mediterranean cultures. Greeks used the hieratic numeration systems by mapping the counting numbers onto Ionian and Dorianalphabets. Unit fractions were denoted by a Greek letter followed by ', or beta' = 1/2. Greeks, and Hellenes fully used the Egyptian fraction method of converting rational numbers to Egyptian fraction series for several purposes altering Ahmes' methods in minor ways.

Archimedes followed a one-fourth geometric series tradition established by Eudoxus that found the area of parabola first by an infinite series:

4A/3 = A + A/4 + A/16 + A/64 + ...,

and by second finite Egyptian fraction proof:

4A/3 = A + A/4 + A/12

Heiberg in 1906 reported Archimedes' two-level calculus method decoded from an 1100 AD Byzantine vellum document.

Around 800 AD a major change took place in the Mediterranean region. Modern base 10 numerals diffused from India and Arab trade began to enter Europe. By 999 AD, a Catholic Pope adopted Arab mathematics with its base 10 numerals and Egyptian fraction arithmetic. By the time of Leonardo de Pisa,Fibonacci, and the 1202 AD Liber Abaci, European weights an measures were also written in Arabic numerals.

In 1585 AD, the beginning of our modern base 10 decimals, modern base 10 decimals literally erased 3,600 years of Egyptian fraction arithmetic history. By 1900 AD European and Arab scholars were unable to read medieval Egyptian fractions texts as well as the older Egyptian mathematical texts.

Ahmes' 84 problems have been slowly read by scholars after the RMP was published in 1877. The 2/n table was key to scholar research. But what method or methods did Ahmes use to create his 2/n table? Ahmes seemingly left few clues to assist scholars in decoding the 2/n table's construction method(s). Post-1877 scholars relied on intuition and personalized mathematical senses to report suspected details, often confusing the subject. Scholarly debates have correctly focused on the 2/n table and its construction methods. Yet, confirmed 2/n table threads continue to be controversial. Egyptologists, and math historians, i.e. Neugebauer, Exact Sciences in Antiquity, had inappropriately proposed that the RMP 2/n table and related Egyptian fraction methods represented forms of intellectual decline.

However, one simple RMP 2/n table construction method, multiples, was reported in 2002 that changed the debate. An advanced idea had created finite unit fraction statements. By 2006 it was shown that Egyptian fraction statements had solved an Old Kingdom infinite series round-off problem. Scholars continue to parse several theoretical fragments of a group of ancient texts by considering related arithmetic patterns. As a consequence 130 years of confusion related to Egyptian fraction arithmetic is lifting an intellectual fog.

For example, Ahmes, the RMP scribe, has gained the majority of scholarly attention since the RMP was published in 1877. Sylvester in 1891 incorrectly suggested that the greedy algorithm was present in the medieval Liber Abaci and by implication the RMP. Hultsch in 1895 began to parse Ahmes' 2/p conversion patterns by using aliquot parts. It took Bruins in 1944 to confirm Hultsch's earlier work, now known as the H-B method.

Ahmes, therefore, converted 2/p rational numbers into optimal or elegant Egyptian fraction series using a form of the H-B method. Ahmes' shorthand indicated that 2/43, and other 2/n table members, were converted to an Egyptian fraction series by selecting optimal multiples, in the 2/43 case the multiple 42. Ahmes use of the multiple 42 allowed 1/42 to become the first partition. The remaining Egyptian fraction were found by considering the divisors (aliquot parts) of 42 or (21, 14, 7, 6, 3, 2, 1). Ahmes' fragmented shorthand indicates:

2/43*42/42 = (42 + 21 + 14 + 6)/(42*43),

such that:

2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301

in clear hieratic script.

Today, 1920's additive scholarly adherents tend not to accept the H-B method, or the multiple method, as used by Egyptians, Greeks, Hellenes, Arabs, medievals and others for over 3,000 years. Yet, it is clear that the multiple method and its use of modern addition, subtraction, multiplication and division operations correctly parses 4,000 year old rational numbers conversions to Egyptian fraction series. Occam's Razor , the simplest method is likely the historical method, is slowly changing scholarly minds.

As another long term verification of Ahmes' arithmetic Fibonacci's 1202 AD Liber Abaci reports a very old style of writing multiples within the first four of seven rational number conversion methods.

Summary: Today, interdisciplinary studies groups are created by 'invitation only'. As meta aspects of ancient mathematics are randomly studied, without invitation, based on reading entire bodies of mathematical texts, great academic progress in understanding ancient mathematics will take place. Currently, common abstract mathematics themes are deposited in fragmented story lines, often transliterating a small set of the ancient records, not noticing closely related mathematical methods. Moreover, university math history and philology departments often do not professionally share common meta themes (found by parsing numerical data) even when their offices are in the same building.

Broadly considering Old Kingdom edicts several Pharaohs likely had requested exact numerical systems to control and allocate vital inventories of grain and its products including beer and bread is not often mentioned. Egyptian scribes exactly converted rational numbers to optimal or elegant unit fraction series. The Middle Kingdom innovation exactly scaled weights and measure units to two Egyptian fraction systems, one defined in the Reisner Papyrus and the second in the Akhmim Wooden Tablet.

Since 2002 AD scholarly debates have increasingly corrected Middle Kingdom foundations of Egyptian fraction mathematics. The 2050 BCE point of departure date formalized Egyptian fraction innovations within abstract arithmetic and practical weights and measures notations. Greeks and Arab scribes modified the theoretical arithmetic and weights and measures notations. Medieval scribes by Fibonacci recorded Greek and Arab versions of the oldest Egyptian fraction mathematics. For example, Sigler's 2002 translation of the 1202AD Liber Abaci includes four 1650 BCE conversion methods. Fibonacci's era used 3,000 year old Egyptian fraction conversion methods that modified an ancient multiplication context to a medieval subtraction context. Today, 20th century Egyptian fraction debates, that fragments analyzed mathematical theory and practical statements are being unified. The oldest Egyptian fraction mathematics are being connected to the medieval era in interesting ways. The largest body of ancient texts, the economic and weights and measures texts,link 1650 BCE hieratic texts to the 1202 AD Liber Abaci and common uses rational number conversions to optimized Egyptian fraction methods.

Bibliography

1: Mahmoud Ezzamel, Accounting for Private Estates and the Household in the 20th Century BC Middle Kingdom, Abacus Vol 38 pp 235-263, 2002
2: Milo Gardner, The Egyptian Mathematical Leather Roll Attested Short Term and Long Term, History of Mathematical Sciences, Hindustan Book Company, 2002.
3: Milo Gardner, An Ancient Egyptian Problem and its Innovative Solution, Ganita Bharati, MD Publications Pvt Ltd, 2006.
4: Richard Gillings, Mathematics in the Time of the Pharaohs, Dover Books, 1992.
5: T.E. Peet, Arithmetic in the Middle Kingdom, Journal Egyptian Archeology, 1923.
6: Tanja Pommerening, "Altagyptische Holmasse Metrologish neu Interpretiert" and relevant phramaceutical and medical knowledge, an abstract, Phillips-Universtat, Marburg, 8-11-2004, taken from "Die Altagyptschen Hohlmass, Buske-Verlag, 2005.
7: L.E. Sigler, Fibonacci's Liber Abaci: Leonardo Pisano's Book of Calculation, Springer, 2002.
8: Hana Vymazalova, The Wooden Tablets from Cairo:The Use of the Grain Unit HK3T in Ancient Egypt, Archiv Orientalai, Charles U Prague, 2002.

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Other names:

unit fraction series

Also defines:

rational numbers

Keywords:

Ahmes, ancient Egypt

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Cross-references: link, connected, theory, translation, point, products, even, bodies, entire, subtraction, addition, clear, implication, algorithm, lifting, consequence, group, simple, key,Arabic numerals, Liber Abaci, Fibonacci, base, region, place, Calculus, infinite, parabola, geometric series, minor, Greek letter, alphabets, mapping, AD, order, Egyptian Mathematical Leather Roll, Hultsch-Bruins method, project, code, multiples, production, Rhind Mathematical Papyrus, algebra, degree, variable, remainder arithmetic, efficiency, Reisner Papyrus,geometry, area, length, proof, partitions, expression, integer, quotients and remainders, multiplication, division, primary, denominators, aliquot part, numerators, sides, additive, arithmetic,operations, contained, right, unit fractions, line, sound, onto, numbers, least common multiple, classes, scaling, solution, divisor, remainders, quotients, unity, foundations, closed, open,egyptian fraction, volume, series, measures, weights, numeration system, finite, term, binary, units, fractions
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Object id is 10080, canonical name is EgyptianFraction2.
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Classification:

AMS MSC:	01A16 (History and biography :: History of mathematics and mathematicians :: Egyptian)
	01A20 (History and biography :: History of mathematics and mathematicians :: Greek, Roman)
	01A30 (History and biography :: History of mathematics and mathematicians :: Islam )
	01A35 (History and biography :: History of mathematics and mathematicians :: Medieval) Source : http://planetmath.org/encyclopedia/EgyptianFraction2.html

The Rhind Mathematical Papyrus

Papyrus; Hieratic text: "Rhind Mathematical Papyrus".

AN366139001

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Department: Ancient Egypt & Sudan

Registration number: 1865,0218.3

BM/Big number: 10058

Additional IDs
BS.10058

Bibliographic reference
Strudwick N 2006 p.118

Commission photography

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Object types
papyrus (scope note | all objects)

Title (series)
The Rhind Mathematical Papyrus
Materials
papyrus (scope note | all objects)
Place (findspot)
Found/Acquired Thebes, According to Budge’s original introduction to the facsimile of the papyrus, from a chamber in the ruins of a building near the Ramesseum. (all objects)
Period/Culture
Second Intermediate (all objects)

Description
Papyrus; Hieratic text: "Rhind Mathematical Papyrus".

Inscriptions
Inscription Type: inscription
Inscription Script: hieratic
Inscription Position: both sides
Inscription Language:

Dimensions
Length: 216 centimetres (frame)
Width: 43 centimetres (frame)
Length: 199.5 centimetres (Papyrus)
Width: 32 centimetres (Papyrus)

Condition
Papyrus Survey: Condition Details: Papyrus Black ink Red ink Checked for loan to Vienna 1994 Checked for loan to Paris 1997 Checked for loan to Japan Star Objects 2004 Checked for loan to Cornwall 2008 Mount Details: Sandwich: glass Sandwich: board Frame: wood Object Priority: A Mount Priority: A Overall Condition: A Curatorial condition comment: fair

Curator's comments
Strudwick N 2006
Several documents have survived that yield some insights into the ancient Egyptians' approach to mathematics. The best-known and longest is the Rhind Mathematical Papyrus, acquired by the Scottish lawyer A.H. Rhind in Thebes in about 1858. Budge's original introduction to the facsimile of the papyrus indicates that these fragments were found in a chamber of a ruined building near the Ramesseum. The two sections in the British Museum were linked by a now missing section about 18 cm long; the original may have been cut in half by modern robbers to increase its sale value. Fragments which partly fill this gap were identified in 1922, in the collection of the New York Historical Society, which had acquired them from Edwin Smith. Smith also acquired a surgical papyrus of about the same date as the Rhind Papyrus, suggesting that these two documents could have come from a cache of early New Kingdom manuscripts.

The papyrus is probably a mathematics textbook, used by scribes (the principal literate section of the populace) to learn to solve particular mathematical problems by writing down appropriate examples. The text includes eighty-four problems: tables of divisions, multiplications, and handling of fractions; geometry, including volumes and areas; and miscellaneous problems.

The papyrus is extremely important as a historical document, since the scribe, Ahmose, dated it in year 33 of Apophis, the penultimate king of the Hyksos Fifteenth Dynasty. The other side of the papyrus mentions 'year 11' without a king's name, but with a reference to the capture of the city of Heliopolis. The late Second Intermediate Period context suggests this may refer to conflict between the Egyptians and the Hyksos before the beginning of the New Kingdom. Most scholars believe this refers to year 11 of the Theban ruler Ahmose, which would add to the evidence that Ahmose did not campaign against the Hyksos rulers until the middle or later parts of his reign.

Published: G. Robins and C. Shute, The Rhind Mathematical Papyrus : an ancient Egyptian text (BM press 1987).

A. B. Chace, The Rhind mathematical papyrus : free translation and commentary with selected photographs, transcriptions, transliterations, and literal translations (National Council of Teachers of Mathematics 1979 [reprint]).

A. Imhausen, Ägyptische Algorithmen : eine Untersuchung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten (Harrassowitz, 2003).

Pharaonen Und Fremde Catalogue (Vienna 1994): No.134
Nicholson and Shaw, Ancient Egyptian Materials and Technology (Cambridge 2000), p. 240;

N. Strudwick, Masterpieces of Ancient Egypt, London 2006, pp. 118-9.

Acquisition date
1865

Acquisition name
Purchased from David Bremner (biographical details | all objects)
Previous owner/ex-collection Alexander Henry Rhind (all objects)

Exhibition History
Exhibited:

21 Aug-11 Oct 2008. Truro, Royal Museum of Cornwall, 'Masters of Mathematics'.
January to May in BM as part of History of the World objects

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Source : http://www.britishmuseum.org/research/search_the_collecti...

Papyrus de Moscou

Cet article est une ébauche concernant l'Égypte antique et les mathématiques.

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Le papyrus de Moscou, aussi appelé papyrus Golenischev d'après le nom de son découvreur, Golenishchev, est un papyrus contenant des résultats mathématiques. Avec le papyrus Rhind, c'est un des deux fameux papyrus mathématiques égyptiens. Le papyrus mathématique de Moscou est le plus ancien, tandis que le papyrus Rhind est le plus grand. Au xxi^e siècle, il fait partie de la collection du musée des Beaux-Arts Pouchkine de Moscou.

D’environ 5,40 m de long et d’une largeur qui varie entre 4 et 7 cm, il comporte, selon l’étude faite en 1930 par l'orientaliste soviétique Vassili Vassilievitch Struve, 25 problèmes avec leurs solutions, dont les plus intéressants sont ceux traitant de la surface d'une demi-sphère et du volume d'une pyramide tronquée (voir géométrie dans l'Égypte antique). La paléographie du texte hiératique permet de le dater probablement de la XI^e dynastie (vers -2000).

Le Papyrus de Moscou offre un exemple historique d'une étude mathématique où le système unaire a été utilisé^{[réf. nécessaire]}.

[Dérouler] v · d · m Les sciences dans l'Égypte antique

[Dérouler] v · d · m Égypte antique

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Papyrus_de_Moscou

Papyrus Rhind

Un extrait du papyrus Rhind.

Le papyrus Rhind est un célèbre papyrus de la deuxième période intermédiaire qui aurait été écrit par le scribe Ahmès. Son nom vient de l'Écossais Henry Rhind qui l'acheta en 1858 à Louxor, mais aurait été découvert sur le site de la ville de Thèbes. Au xxi^e siècle, il est conservé au British Museum ( à Londres). Avec le Papyrus de Moscou, il est une des sources les plus importantes concernant les mathématiques dans l'Égypte antique.

Ahmès indique que son papyrus est, en partie, une copie de résultats plus anciens remontant au Moyen Empire (vers -2000). Il contient 87 problèmes résolus d'arithmétique, d'algèbre, de géométrie et d'arpentage, sur plus de 5 m de longueur et 32 cm de large. Il est rédigé enécriture hiératique.

Sommaire

[masquer]

Algorithmes de multiplication et division (problèmes 1 à 23) [modifier]

Ces problèmes permettent de comprendre les techniques de multiplication et de division chez les Égyptiens.

Résolution d'équations par la méthode de fausse position (problèmes 24 à 34) [modifier]

Voir Mathématiques dans l'Égypte antique#Résolutions d'équations

Les problèmes d'arpentage (problèmes 41 à 60) [modifier]

L'arpentage, mesures des distances et les problèmes géométriques qui lui sont liés sont également abordés : aires planes (du trapèze en particulier), volumes de greniers à grains, calcul de pyramides.

Les sections R57, R58, R59a et R59b, sont consacrées aux problèmes relatifs à la pente, inclinaison (terme égyptien "skd" avec un point sous le "k") d'une pyramide. Cette inclinaison, qui concerne la ligne de plus grande pente des faces, est exprimée en palmes, unité de longueur qui vaut le septième d'une coudée (voir Mathématiques dans l'Égypte antique). L'examen du contenu de ces sections montre qu'il s'agit, en palmes , de 7 fois la cotangente de l'angle que forme la ligne de plus grande pente avec l'horizontale. Pour le triangle égyptien, elle vaut (3 / 4) x 7 = 21/4 = 5 + 1/4 palmes. Comme ces quatre sections du papyrus, illustrées par un dessin de pyramide, concernent toutes la valeur de 5 + 1/4 palmes, elles attestent qu'il s'agit du triangle égyptien 3, 4, 5 dans ces problèmes de pyramides¹. Le papyrus Rhind atteste donc, de façon indirecte par l'inclinaison mais incontestable par la valeur numérique donnée, que la géométrie de la pyramide utilise le triangle égyptien. La pyramide de Khéphren est construite ainsi (voir Mathématiques dans l'Égypte antique).

Le cercle de diamètre 9 a une aire voisine du carré de côté 8

Dans les problèmes 48 et 50, Ahmes étudie le rapport liant l'aire d'un disque à son diamètre en cherchant à ramener l'aire de la circonférence à celle d'un carré équivalent : le papyrus Rhind précise en effet une première approche de la quadrature du cercle (construction d'un carré de même aire qu'un cercle donné) : c'est le carré de côté 8d/9 où d est le diamètre du cercle.

En d'autres termes, l'aire d'un cercle de diamètre 9 unités est sensiblement égal à l'aire d'un carré de 8 unités de côté. Cette égalité se traduit par : $frac{pi 9^2}{4} = 8^2$

donc $pi = left(frac {8 times 2} {9}right)^2$ . Ainsi, notre actuel nombre π serait le carré de 16/9, soit : π = 256/81 = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 = 3,160.

Cette approximation par la quadrature du cercle permit donc aux égyptiens de se passer de la constante π, constante qu'ils connurent seulement à laBasse époque et offrant des résultats moins justes qu'au problème du papyrus Rhind décrit ci-dessus.

Notes [modifier]

↑ Sylvia Couchoud, Mathématiques Égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique, éditions Le Léopard d’Or, 2004, p. 79. (ISBN 2-863777-118-3).

Bibliographie [modifier]

Détail du papyrus Rhind, original 199,5 x 32 cm, British Museum, EA 10057.

Sources

August Eisenlohr, Ein mathematisches Handbuch der alten Ägypter (Papyrus Rhind des British Museum), übersetzt und erklärt, Leipzig, 1877 - 1. Bd, Commentar (en ligne) ; 2. Bd, Tafeln ; 2e éd. 1891 ; rééd. Wiesbaden, 1972 ;
Georges Daressy, Musée des Antiquities égyptiennes du Caire. Catalogue General Ostraca, Volume No. 25001-25385, 1901 ;
T. E. Peet, Arithmetic in the Middle Kingdom, J. Egyptian Arch. 9, 91-95, 1923 (éd. moderne des Papyrus Rhind) ;
Arnold Buffum Chace, The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation and Commentary with Selected Photographs, Translations, Transliterations and Literal Translations, vol. II, 1927-1929.

Études

Georges Daressy, Calculs égyptiens du Moyen Empire, Recueil de travaux relatifs à la philologie et à l'archéologie égyptienne et assyrienne XXVIII, 1906, 62–72 ;
R. Gillings, Mathematics in the Time of the Pharaohs, Boston, MA: MIT Press, pp. 202-205, 1972. (ISBN 0-262-07045-6) (épuisé) ;
Gay Robins, Charles Shute, The Rhind Mathematical Papyrus, pages 41-43, British Museum, Dover reprint, 1987, (ISBN 0-486-26407-6) ;
John A. R. Legon, A Kahun mathematical fragment, In Discussions in Egyptology 24 (1992), p.21-24 ;
Sylvia Couchoud, Mathématiques Égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique, éditions Le Léopard d’Or, 1993 ;
H. Vymazalova, The Wooden Tablets from Cairo: The Use of the Grain Unit HK3T in Ancient Egypt, Archiv Orientalai, Charles U., Prague, pp. 27-42, 2002 ;
Tanja Pommerening, Altagyptische Holmasse Metrologish neu Interpretiert and relevant phramaceutical and medical knowledge, an abstract, Phillips-Universtat, Marburg, 8-11-2004, taken from "Die Altagyptschen Hohlmass" in studien zur Altagyptischen Kulture, Beiheft, 10, Hamburg, Buske-Verlag, 2005 ;
Milo Gardener, An Ancient Egyptian Problem and its Innovative Arithmetic Solution, Ganita Bharati, 2006, Vol 28, Bulletin of the Indian Society for the History of Mathematics, MD Publications, New Delhi, pp 157-173.
Michel Guillemot, Calcul et géométrie dans l’Egypte ancienne, dans Histoire du calcul de la géométrie à l'algèbre, dir. Luc Sinègre, Paris, 2009 (ISBN 978-2-7117-2226-6) (en ligne).

Voir aussi [modifier]

Articles connexes [modifier]

Liens externes [modifier]

Le papyrus Rhind, sur le site du British Museum.
Akhmim Wooden Tablet
Papyri Kahun
Egyptian Mathematical Leather Roll
Planetmath EMLR
Planetmath Egyptian Fractions
Breaking the RMP 2/n Table Code
History of Egyptian fractions
Theoretical (expected) economic control numbers

[Dérouler] v · d · m British Museum

[Dérouler] v · d · m Les sciences dans l'Égypte antique

[Dérouler] v · d · m Égypte antique

Catégories : Antiquité égyptienne | Mathématiques dans l'Égypte antique | Papyrus | Objet conservé au British Museum | [+]

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Papyrus_Rhind

Mathématiques dans l'Égypte antique

Les mathématiques en Égypte antique étaient fondées sur un système décimal. Chaque puissance de dix était représentée par un hiéroglyphe particulier. Le zéro était inconnu. Toutes les opérations étaient ramenées à des additions. Pour exprimer des valeurs inférieures à leur étalon, les Égyptiens utilisaient un système simple de fractions unitaires.

Pour déterminer la longueur d'un champ, sa surface ou encore mesurer un butin, les Égyptiens utilisaient trois systèmes de mesure différents, mais tous obéissaient aux règles décrites ci-dessus.

Les rares documents mathématiques découverts à ce jour ne donnent qu'une vague idée de l'étendue des connaissances des anciens Égyptiens dans ce domaine. Toutefois, il est certain qu'ils parvenaient à proposer des résolutions de problèmes apparentés à des équations du premier et du second degré. Ils connaissaient les suites numériques et le calcul de volumes et de surfaces avait également atteint un certain degré de complexité.

Brève histoire des mathématiques dans l'Égypte antique [modifier]

Si l'on a souvent sous-estimé les connaissances scientifiques des anciens Égyptiens, c'est sans doute à cause du peu de documents dont nous disposons. Les plus anciens sont les inscriptions contenues sur les murs de quelques temples ou tombes, comme celles de la tombe de Metjen (IV^e dynastie) qui montrent que les Égyptiens savaient à cette époque calculer correctement la surface d'un rectangle.

Les ostraca¹ apportent également quelques témoignages de l'art des mathématiques égyptiennes. Le plus remarquable est sans doute celui retrouvé à Saqqarah sur lequel figure une courbe avec abscisse et ordonnée. Daté de 2750 ans avant notre ère, il montre que dès cette première génération de bâtisseurs, les Égyptiens avaient suffisamment de connaissances mathématiques pour élaborer ce type de problème.

Enfin viennent les papyri. Plus fragiles, ils ont moins résisté au temps et ceux qui sont parvenus jusqu'à nous sont, de fait, postérieur aux pyramides. Seule une poignée d'entre eux traite de mathématiques. Citons par exemple le papyrus de Berlin ou celui de Moscou, découvert en 1893 par l'égyptologue russe Vladimir Golenischev et conservé au musée des Beaux-Artsde Moscou. Daté de la fin du Moyen Empire (1850 ans av. J.-C.) et rédigé en écriture hiéroglyphique, il contient vingt-cinq problèmes mathématiques. Mais le papyrus mathématique le mieux conservé, le plus complet et le plus prestigieux est sans nul doute le papyrus Rhind, du nom de son premier propriétaire l'Écossais Alexander Henry Rhind, qui l'acheta peu après sa découverte à Thèbes en 1857. Rédigé en écriture hiératique et daté du début du xvi^e siècle , c'est une copie d'un document plus ancien. Il présente une suite de quatre-vingt-sept problèmes mathématiques, accompagnés de leurs solutions.

Numération égyptienne [modifier]

Article détaillé : Numération égyptienne.

Les Égyptiens de l'Antiquité utilisaient un système de numération décimal, mais dans lequel le zéro n'existait pas. Chaque ordre de grandeur (unités, dizaines, centaines, etc.) possédait un signe répété le nombre de fois nécessaire. C'était donc un système additionnel.

Les unités de mesure [modifier]

Pour obtenir une liste des unités égyptiennes, voir l'article : Unités de mesure dans l'Égypte antique.

Plusieurs systèmes coexistaient selon le type de mesure désirée.

Pour mesurer des longueurs, il existait deux systèmes. Le premier était basé sur la grande coudée ou coudée royale (meh ni-sout). Cette coudée représentait la distance entre le bout du majeur et la pointe du coude et mesurait à peu près 0,5 mètre. Cette unité était très utilisée pour mesurer les largeurs, longueurs de pièces d'une construction ou des salles d'un temple, mais aussi la hauteur d'une crue. Cent coudées constituent un khet.

Le deuxième système, le système oncial, était lui basé sur la coudée sacrée (meh djeser). Elle mesurait à peu près 0,7 mètre. Elle était principalement utilisée dans la décoration des tombes, temples et palais.

Pour les surfaces, l'unité de mesure était l'aroure. Elle représentait un carré de 1 khet (100 coudées) de côté. On nommait coudée de terre (meh) une bande d'une coudée sur cent. L'aroure était utilisée pour mesurer des terres, et construire un cadastre précis après chaque crue.

Pour mesurer des volumes, l'unité de mesure était l'hekat. Les mesures s'effectuaient grâce à un sac de cuir de vingt hekat. Les Égyptiens avaient réussi à établir une correspondance de ce système avec celui des longueurs : il y avait équivalence entre le cube de la coudée royale et trente hekat. L'hekat était utilisé pour mesurer les récoltes de grain.

Pour mesurer un poids, l'unité de mesure était le deben. À l'Ancien Empire, son poids variait selon le type du produit pesé (or, cuivre...), mais au Nouvel Empire, ce système se simplifia et ne garda qu'un étalon unique (d'environ 91 grammes). De petits cylindres en pierre servaient à la mesure et matérialisaient cet étalon. Cette unité servait à mesurer l'importance d'un butin ou d'un poids de métaux précieux utilisés pour une décoration.

Les fractions [modifier]

Article détaillé : Fraction égyptienne.

L'Œil d'Horus ou Œil Oudjat [modifier]

Pour approfondir les notations en hiéroglyphes de l'Oudjat, voir l'article : Œil Oudjat.

L'Oudjat (vue de droite à gauche).

Les scribes se servaient des premières fractions dyadiques, à savoir 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 et 1/64 pour faire des calculs. Celles-ci étaient représentées par l'Œil d'Horus, une représentation de l'œil gauche d'Horus perdu puis retrouvé.

Seth le lui ôta par jalousie et le découpa en plusieurs morceaux, Thot en retrouva six morceaux (représentant les six fractions donc) mais il manquait 1/64 pour faire l'unité. Thot y ajouta alors « le liant magique » permettant à l'œil de recouvrer son unité. Les scribes opéraient donc leurs calculs en approximant 63/64 à 1.

La composition de deux fractions susnommées leur permettait d'en créer de nouvelles (par exemple 1/2 et 1/4 pour avoir 3/4).

Les parties du dessin, stylisées, sont utilisées comme hiéroglyphes pour noter, dans les textes sur les volumes de grains, les fractions correspondantes (voir Œil Oudjat). Dans les papyrus mathématiques, les fractions sont notées en écrivant les nombres explicitement, mais, dans les sections R37 et R38 du papyrus Rhind, qui comportent chacune des vérifications différentes, les deux dernières de R37 et la dernière de R38 sont proposées sous forme de volumes de grains en hekat et écrites dans la notation de l'œil Oudjat, de même que le calcul de R64 ².

Connaissances arithmétiques [modifier]

Article détaillé : Papyrus Rhind.

Les Égyptiens connaissaient les quatre opérations, pratiquaient le calcul fractionnaire, étaient capables de résoudre des équations du premier degré par la méthode de la fausse position et de résoudre certaines équations du second degré. Le papyrus Rhind explique comment calculer l'aire d'un cercle en utilisant une approximation fractionnaire de pi : 4x(8/9)x(8/9)=3,16. Le papyrus de Moscou, quant à lui, explique entre autres comment calculer le volume d'une pyramide tronquée et la surface d'une demi-sphère, montrant que les anciens Égyptiens avaient de bonnes connaissances en géométrie.

Addition et soustraction [modifier]

Bien qu'aucune explication ne soit fournie par les papyrus mathématiques, le système additionnel de la numération égyptienne rend toutes naturelles les opérations d'addition et de soustraction.

L'addition de deux nombres consistait à compter le nombre de symboles total correspondant à une même grandeur. Si le nombre de cette grandeur dépassait dix, le scribe remplaçait ces dix symboles par le symbole de la grandeur supérieure.

Exemple: 2343 + 1671

+

nous donne

Soit :

Finalement, le résultat est :

Multiplication [modifier]

Article détaillé : Technique de la multiplication dans l'Égypte antique.

La technique de multiplication en Égypte antique reposait sur la décomposition d'un des nombres (généralement le plus petit) en une somme et la création d'une table de puissance pour l'autre nombre. Très souvent, cette décomposition s'effectuait suivant les puissances de deux. Mais celle-ci pouvait varier en fonction de la complexité de l'opération. Le plus petit nombre pouvait ainsi être décomposé alternativement suivant les puissances de deux, les dizaines et les fractions fondamentales telles que 2/3, 1/3, 1/10 etc.

Division [modifier]

Article détaillé : Technique de la division dans l'Égypte antique.

La technique de division en Égypte antique reposait sur le même principe que la multiplication, en ce sens où des tables constituées de puissances de deux successives, de fractions fondamentales et de dizaines étaient utilisées pour résoudre le problème.

Carré et racine carrée [modifier]

Le carré d'une valeur appliqué au calcul d'une surface peut sans aucun problème être assimilé à une simple multiplication. Par contre, les racines carrées, dont il est assuré qu'elles furent connues des anciens Égyptiens, n'ont laissé aucun document nous permettant de comprendre la technique d'extraction opérée par eux.

L'énoncé du problème mathématique du papyrus 6619 de Berlin (voir § Équations du second degré) contient la racine carrée de 1 + 1/2 + 1/16, soit 1 + 1/4 ; ainsi que la racine carrée de 100, c'est-à-dire 10. À en juger par les exemples connus d'extraction d'une racine carrée, il semble que le scribe ne connaissait que les radicaux simples, résultant en entiers ou en peu de fractions. Toutefois, l'absence d'opérations dans les problèmes traités indique que le scribe devait avoir à sa disposition des tables contenant le résultat des racines carrées usuelles. Le papyrus Kahun et le papyrus de Moscou contiennent des applications aux racines carrées, mais il est notable que le plus important papyrus mathématique, le papyrus Rhind, n'en contient aucune.

Connaissances géométriques [modifier]

Article détaillé : Géométrie dans l'Égypte antique.

Si la réputation des scribes en matière de mathématiques est, d'ordre général, inférieure à celle des Babyloniens ou des Grecs, la géométrie, au regard des prouesses techniques réalisées très tôt dans leur histoire, fut leur domaine de prédilection et il ne fait aucun doute aujourd'hui que cette science associée à l'architecture, fit la grande réputation des Égyptiens. C'est l'une des raisons pour lesquelles leur pays accueillit en pèlerinage les savants de la Grèce antique. Les égyptiens réussirent ainsi à calculer la surface d'un disque sans connaitre le nombre pi, avec une erreur de seulement 0,6%. Ils pouvaient calculer les volumes de pyramides et de cylindres et l'aire d'une sphère. certains problèmes figurant sur les papyrimathématiques du Moyen Empire préfigurent même les théorèmes de Thalès et de Pythagore.

Résolutions d'équations [modifier]

Le papyrus Rhind et le papyrus de Moscou contiennent différents problèmes que de nombreux auteurs ont assimilé à des problèmes algébriques de résolutions d'équations à une inconnue (voire deux inconnues), du premier et du second degré. Loin de faire l'unanimité, ce rapprochement met au moins l'accent sur une méthode efficace de résolution présageant l'utilisation de variables et d'inconnues.

Recherches d'une quantité (les problèmes ‘ḥ‘w) [modifier]

Le scribe égyptien ne pose jamais les problèmes sous forme d'équations algébriques (il ne connait pas d'opérateurs mathématiques tels que +, -, x ou %, ni la notion d'inconnue posée par une lettre telle que x). Cependant, la technique utilisée pour résoudre ces problèmes s'apparentent bien souvent aux méthodes de résolution modernes d'équations. L'inconnue dont la valeur est à déterminer est toujours désignée par la quantité ‘ḥ‘ (‘ḥ‘w au pluriel).

Exemple du problème M25 du papyrus de Moscou

Problème ‘ḥ‘ posé par le scribe	Transcription du problème en langage algébrique moderne
Calcul d'une quantité (‘ḥ‘) à déterminer telle que
si elle est traitée 2 fois avec elle-même, il en vient 9	X + 2X = 9
Quelle est donc la quantité qui s'exprime ainsi ?	que vaut X ?
Tu dois faire en sorte de calculer le total de cette quantité
avec sa deuxième (quantité). Le résultat est 3.	X + 2X = 3X
Avec ces 3 tu dois trouver 9.	3X = 9
Le résultat est 3 fois.	9/3 = 3
Vois c'est 3 qui s'exprime ainsi.	X = 3
Tu trouveras cela correct	Vérification de l'énoncé avec le résultat. 3 + 2x3 = 9

Une seconde technique consistait à résoudre les problèmes par la méthode de la fausse position. C'est-à-dire que l'on attribuait à la quantité inconnue une valeur quelconque. Le résultat donné par cette valeur était évidemment faux, mais pouvait être corrigé par la règle de proportionnalité inhérente aux équations linéaires. C'est bien cette propriété, fondée sur une méthode empirique, qui fut utilisée ici.

Exemple du problème R26 du papyrus Rhind

Une quantité (‘ḥ‘) à laquelle on ajoute ses 1/4 devient 15 (Soit X + 1/4X = 15).

Première étape : une valeur aléatoire est donnée à cette quantité, en l'occurrence 4. Le scribe calcule donc 4 + 1/4x4, dont le résultat ne sera évidemment pas 15 :

✔	1	4
✔	1/4	1

1 + 1/4	5

Le résultat est 5.

Deuxième étape : le résultat n'est pas 15 mais 5. Quel est donc le rapport entre ces deux résultats ?

✔	1	5
✔	2	10

3	15

Le rapport vaut 3. Par conséquent la relation entre notre valeur aléatoire 4 et la quantité ‘ḥ‘ vérifiant l'égalité posée dans le problème est 4x3 = ‘ḥ‘.

Troisième étape : calcul de 4x3

1	3
2	6
✔	4	12

4	12

Le résultat est 12.

Quatrième étape : le scribe vérifie l'exactitude de sa solution par la vérification de l'égalité (soit 12 + 1/4x12 = 15)

✔	1	12
✔	1/4	3

1 + 1/4	15

La quantité ‘ḥ‘ vaut bien 12 et ses 1/4 ajoutés à elle-même font un total de 15.

Équations du second degré [modifier]

Certains énoncés posent le problème de la recherche d'une ou plusieurs quantités dont la somme des carrés est connue. Le papyrus 6619 de Berlin offre un très bon exemple du type de résolution par fausse position proposé par les anciens Égyptiens, sous la forme d'un système équivalent à deux équations à deux inconnues.

Énoncé du problème

« Si on te dit : 100 coudées carrées sont divisées en deux surfaces (quantités ‘ḥ‘w dans le texte original), et 1 sur 1/2 1/4 est le rapport des côtés de la première surface (quantité) et de l'autre surface (quantité). Veuilles faire en sorte que je connaisse la quantité de ces surfaces. Le calcul de l'un des carrés est avec 1 et le calcul de l'autre est avec 1/2 1/4 de 1. Prends le 1/2 1/4 du côté de l'une des surfaces pour le côté de l'autre. Le résultat est 1/2 1/4. Multiplie le par 1/2 1/4. Le résultat est 1/2 1/16 pour l'aire de la plus petite surface. Si la quantité du côté du grand carré est 1, et que celle de l'autre est 1/2 1/4, et que tu fais la somme des deux carrés. Le résultat est 1 1/2 1/16 (le texte original contient ici une erreur puisqu'il est noté 1 1/4 1/16). Tu prends sa racine carrée. Le résultat est 1 1/4. Tu prends alors la racine carrée de 100. Le résultat est 10. Multiplie 1 1/4 pour trouver 10. Le résultat est la quantité 8 (pour le côté du grand carré). Tu feras le 1/2 1/4 de 8. Le résultat est la quantité 6 pour le côté du plus petit carré. »

Explication

Le problème est de trouver les aires de deux carrés différents dont la somme est égale à l'aire d'un carré de 100 coudées², le rapport des côtés de ces deux carrés étant de 1 pour (1/2 + 1/4).

Posons X la longueur du côté du petit carré, et Y la longueur du côté du grand carré. Par conséquent, l'énoncé serait traduit en langage algébrique moderne par X² + Y² = 100 et X/Y = 1/2 + 1/4.

Le scribe ne différencie pas deux variables. Les côtés des deux carrés étant liés par la relation 1 pour 1/2 + 1/4, il décide d'affecter la valeur 1 au côté du plus grand carré, et 1/2 + 1/4 au côté du plus petit. C'est la méthode de la fausse position déjà étudiée ci-dessus. Il calcule donc les aires des deux carrés : (1/2 + 1/4) ² et 1². Il obtient un total de 1 + 1/2 + 1/16. L'aire totale des deux carrés est donc de 1 + 1/2 + 1/16. Il en déduit le côté du carré équivalent à cette surface en extrayant la racine carrée de 1 + 1/2 + 1/16. Il vient 1 + 1/4. Or le côté du carré de départ est 10 (racine carrée de 100 effectuée par le scribe). Le rapport de 10 sur (1 + 1/4) est de 8. Ce ratio va nous permettre de réajuster les valeurs prises par fausse position : 1 x 8 et (1/2 + 1/4) x 8, soit 8 et 6. nous avons bien 6² + 8² = 100.

La surface d'un carré de 10 coudées de côté est donc équivalente à la surface totale de deux carrés dont les côtés sont respectivement de 6 et de 8 coudées.

Suites arithmétiques et géométriques [modifier]

Les rares papyrus mathématiques découverts jusqu'à présent ont révélé que les Égyptiens avaient de très bonnes notions sur les suites et qu'ils savaient résoudre des problèmes à l'aide des suites arithmétiques ou géométriques.

Suites arithmétiques [modifier]

Une suite arithmétique est une suite de nombres dont chacun des termes s'obtient à partir du précédent en lui additionnant (ou en lui soustrayant) toujours la même valeur. Cette valeur est appelée en langage mathématique moderne, la raison. Par exemple, la suite {1; 3; 5; 7; 9} est une suite arithmétique de cinq termes dont la raison est 2.

Énoncé du problème R64 du papyrus Rhind

« Exemple de répartition de parts. Si on te dit: (on a) 10 héqat de blé pour 10 hommes. Et la différence entre un homme et son voisin se monte à 1/8 de héqat de blé. La répartition moyenne est de 1 héqat. Soustrais 1 de 10, il reste 9. Prendre la moitié de la différence qui est 1/16. Les 9 fois qui valent 1/2 1/16 de héqat sont à additionner à la répartition moyenne et tu dois soustraire 1/8 de héqat par homme, chacun pris jusqu'au dernier. À faire selon ce qui doit se produire. »

1 1/2 1/16
1 1/4 1/8 1/16
1 1/4 1/16
1 1/8 1/16
1 1/16
1/2 1/4 1/8 1/16
1/2 1/4 1/16
1/2 1/8 1/16
1/2 1/16
1/4 1/8 1/16

10

Explication

Le problème consiste à partager 10 héqat de blé entre 10 hommes. On peut désigner leurs parts respectives par H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 et H10. Les 10 héqat de blé représentent le total des parts à distribuer. Nommons le S. Soit N le nombre de parts. Chaque homme ne possèdera pas la même quantité d'héqat. Pris dans l'ordre, chacun obtiendra 1/8 d'héqat de plus que son prédécesseur. Soit H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8 et ainsi de suite, le dernier individu ayant la plus grande part. 1/8 représente la raison de la suite donc R = 1/8.

Le scribe détermine en premier lieu la valeur moyenne de héqat que l'on distribuera à chaque homme, soit S/N = 10/10 = 1. Ensuite, il calcule le nombre de différences effectuées sur l'ensemble des 10 individus. Il y en a N-1 = 10-1, soit 9. Il vient R/2 = 1/16, puis R/2 * (N-1) = 1/16 * 9 = 1/2 + 1/16. Le plus grand terme est donné par R/2 * (N-1) + S/N = 1/2 + 1/16 + 1.

On a donc les dix parts suivantes :

H10 = 1 + 1/2 + 1/16.
H9 = H10 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/8 + 1/16
H8 = H9 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/16
H7 = H8 - 1/8 = 1 + 1/8 + 1/16
H6 = H7 - 1/8 = 1 + 1/16
H5 = H6 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
H4 = H5 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/16
H3 = H4 - 1/8 = 1/2 + 1/8 + 1/16
H2 = H3 - 1/8 = 1/2 + 1/16
H1 = H2 - 1/8 = 1/4 + 1/8 + 1/16

Total = 10

Par une méthode empirique, le scribe a donc retrouvé la propriété des suites arithmétiques et appliqué les formules suivantes :

$H_{N} = (S/N) + (N-1) * R/2 ,$

puis $H_{n-1} = H_n - r ,$

Suites géométriques [modifier]

Une suite géométrique est une suite de nombres dont chacun des termes s'obtient à partir du précédent en le multipliant toujours par la même valeur. Par exemple, la suite {1; 3; 9; 27; 81} est une suite géométrique de cinq termes dont la raison est 3.

Ce type de suite fut usité, mais les documents manquent et il est impossible de se faire une idée précise quant aux connaissances que pouvaient en avoir le scribe. Les méthodes demultiplication et de division employées par les Égyptiens sont fondées sur les puissances de deux, autrement dit une suite géométrique de raison 2, et sur les fractions 1/2, 1/4, 1/8 ... c'est-à-dire une suite géométrique de raison 1/2. Par ailleurs, le papyrus Rhind nous fournit l'unique exemple de problème basé sur l'application des suites géométriques.

Énoncé du problème 79 du papyrus Rhind

Somme d'une suite géométrique de cinq termes, tels que le premier terme vaut 7 et le multiplicateur de chaque terme (la raison) vaut 7. Application à l'inventaire d'une maison :

✔	1	2801
✔	2	5602
✔	4	11204

7	19607

Maisons	7
Chats	49
Souris	343
Malt	2401 (le scribe a noté 2301 par erreur)
Héqat	16807

	19607

Index des termes mathématiques égyptiens [modifier]

Notes [modifier]

↑ Fragments de céramique ou de calcaire utilisés comme brouillons par les scribes.
↑ Sylvia Couchoud, Mathématiques Égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique, p. 128, 130 et 161

Sources [modifier]

Clagett Marshall, Ancient Egyptian Science, A Source Book. Vol. 3, Ancient Egyptian Mathematics, American Philosophical Society, 1999.
Pour la reproduction des hiéroglyphes, leur traduction et un examen critique du texte des 4 papyri fondamentaux (dont le papyrus Rhind), voir Sylvia Couchoud, Mathématiques Égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique, éditions Le Léopard d’Or, 1993.
Christian Mauduit et Philippe Tchamitichian, Mathématiques, Éditions Messidor/La Farandole.
Hors série Science et Vie, Hommes, Sciences et Techniques au temps des Pharaons, décembre 1996.
Hors série La Recherche, L'univers des nombres, août 1999.

Liens internes [modifier]

Liens externes [modifier]

Brève chronologie de l'histoire des mathématiques en Égypte

[Dérouler] v · d · m Les sciences dans l'Égypte antique

[Dérouler] v · d · m Égypte antique

Catégorie : Mathématiques dans l'Égypte antique | [+]

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques_dans_l'%C...

2-POLYNOMES (Troisième partie : Fonctions Polynômes- Polynômes sur R et C)

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Les étudiants trouveront des notes détaillées sur le web, correspondant au cours LM125 du premier semestre.

Liens : http://www.edu.upmc.fr/maths/math1/lm125/prive/UeL/mathem...

(Nous suivons mot à mot le chapitre :http://www.edu.upmc.fr/maths/math1/lm125/prive/UeL/mathem...)

Fonctions Polynômes

Plan du cours :

A- Fonctions Polynômes

Introduction, notion de fonction polynôme

Racines d’un polynôme

Multiplicité

Polynômes scindés

Méthode de Horner

---------------------------------

B- Polynômes à coefficients réels ou complexes

Degré du polynôme dérivé

Formule de Taylor pour un polynôme à coefficients réels ou complexes

Ordre de multiplicité d'une racine

Existence de racines : Théorème de d'Alembert

Polynômes irréductibles dans C[X]

Polynômes irréductibles dans R[X]

Formule d'interpolation de Lagrange

Introduction

Les fonctions numériques de la forme, où k est un entier positif ou nul et des nombres réels, sont bien connues ainsi que toutes leurs propriétés. C'est un exemple d'une situation générale qui va être exposée dans cette ressource.

Definition

Contexte :

Pour l'étude de la notion de fonction polynôme, on se place dans le contexte suivant : on considère un corps K et l’ensemble des polynômes à une indéterminée K[X]

Définition d'une fonction polynôme, associée à un polynôme P appartenant à K[X]

Soit un polynôme à coefficients dans K.
On appelle fonction polynôme associée à P dans et l'on note l'application de K dans K, définie par :

. x K, P^~( x)=

L'expression a bien un sens et est bien un élément de K.
En effet, x étant un élément de K, en est aussi un (le produit est une loi interne dans l'anneau K), ainsi que .

Exemple

Par exemple soit appartenant à.
Alors.

Racine d’un polynôme

Définitions et exemples

Théorème - définition : Racine d'un polynôme de dans K.

Soit a un élément de K et P un élément de . Les deux conditions suivantes sont équivalentes :

i.

ii. Le polynôme divise P dans

Si l'une de ces conditions est vérifiée, on dit que a est racine de P (ou est un "zéro" de P).

Preuve de l'équivalence : i. ii. :

Soit a un élément de K ; la division euclidienne dans de P par le polynôme donne :

, avec ou

Ces deux conditions sur le reste R se traduisent par le fait que ce reste est un polynôme constant ; on note r cette constante qui est un élément de K. D'après les règles de calcul sur les fonctions polynômes, on obtient l'égalité : .

D'où . L'équivalence est alors immédiate.

Conséquence immédiate :
Il résulte clairement de la définition que tout polynôme de degré 1 admet une racine (et une seule).

Exemples :

1. Soit le polynôme de , . En utilisant l'une ou l'autre des conditions du théorème, il est immédiat que les réels 3 et sont les racines de P.

2. Soit le polynôme de , . Visiblement, on peut mettre X en facteur dans le polynôme P, et par conséquent le réel 0 est une racine de P.
D'autre part, un simple calcul prouve que . Donc 1 est une racine de P. Le polynôme P est donc divisible par .
Comme les polynômes X et sont premiers entre eux, le polynôme P est divisible
par .

Théorème : Si un polynôme est divisible par deux polynômes premiers entre eux, il est divisible par leur produit.

La démonstration de cette propriété est basée sur la propriété de Bézout.

On a donc .

Comme le polynôme n'a pas de racines réelles, on a toutes les racines de P dans R.

Remarque importante

La terminologie " racine dans le corps K " est essentielle. En effet, le corps K joue un rôle fondamental. Soit par exemple le polynôme :

Considéré comme élément de , il n'a pas de racines. Sinon il existerait un réel a tel que , ce qui est contraire à la structure de corps ordonné de R.
Considéré comme élément de , il a deux racines : i et .

On peut introduire le vocabulaire suivant :

Définition : Racine d'un polynôme dans un sur-corps du corps de ses coefficients

Soient K et M deux corps tels que M contienne K. Soit P un élément de .

Si a est un élément de M tel que , on dit que a est une racine de P dans M.

Si l'on reprend l'exemple précédent en introduisant ce vocabulaire, on peut dire que le polynôme n'a pas de racines dans R mais qu'il a deux racines dans C.

Ordre de multiplicité d’une racine

Sur les deux exemples précédents, il est possible de faire la remarque suivante : on sait d'avance que si a est une racine dans K d'un polynôme P de , le polynôme Pest divisible par , mais il peut être divisible par une puissance de strictement supérieure à 1.
C'est le cas dans l'exemple 1 mais pas dans l'exemple 2.

Cela nous conduit à l'introduction de la notion d'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme.

Définition de l'ordre de multiplicité d'une racine

Soit a une racine dans K de P, où P est un polynôme non nul de .
Le plus grand entier n tel que P soit divisible par est appelé l'ordre de multiplicité de la racine a dans P.

Un tel entier existe bien car l'ensemble des entiers k tels que divise P est non vide ; il contient l'entier 1 puisque a est racine de P (théorème précédent), et cet ensemble est fini car majoré par le degré de P. Donc il a un plus grand élément (propriété de N).

On peut traduire cette définition de la manière suivante :

Corollaire

Un entier n est l'ordre de multiplicité de la racine a d'un polynôme P si et seulement si il existe un polynôme Q appartenant à , vérifiant les propriétés suivantes :

et .

Vocabulaire : Une racine d'ordre 1, est dite aussi racine simple.

Une racine d'ordre 2 (respectivement 3), est dite aussi racine double (respectivement racine triple).

Exemples :

· Si l'on reprend le polynôme de l'exemple 1, ,
on observe que est une racine réelle d'ordre 1, et que 3 une racine réelle d'ordre 2.

· Si l'on reprend le polynôme de l'exemple 2, ,
on voit que 0 et 1 sont toutes les deux des racines simples de P dans R.

Il résulte du corollaire la proposition suivante :

Proposition

Soit P un polynôme non nul de et soient , m racines distinctes de P, d'ordre de multiplicité respectif .

Alors il existe un polynôme Q, élément de , n'admettant aucun des comme racines, vérifiant l'égalité :

Preuve : elle est immédiate, à partir des définitions ou propriétés suivantes :

· Définition d'une racine et de son ordre de multiplicité

· Les polynômes de la forme et avec a et b distincts, k et l étant des entiers positifs, sont premiers entre eux.

· Un polynôme, divisible par des polynômes premiers entre eux deux à deux, est divisible par leur produit.

Corollaire (très important)

Un polynôme non nul, de degré n, a au plus n racines (si l'on convient de compter une racine d'ordre r comme l'équivalent de r racines simples).

Ceci est une conséquence immédiate de la proposition et des propriétés du degré du produit des polynômes.

Illustration : Pour un polynôme du troisième degré dans , les possibilités de racines dans K sont les suivantes :

aucune racine (par exemple dans )

une racine simple (par exemple dans )

trois racines simples (par exemple dans )

une racine simple et une racine double (par exemple dans )

une racine triple (par exemple dans )

Remarque : la démonstration du premier exemple est basée sur le fait que n'appartient pas à Q. La justification est tout à fait semblable à celle que l'on fait pour montrer que n'appartient pas à Q.

Polynômes scindés

Le cas particulier où le polynôme P satisfait à la condition de la proposition, avec un polynôme Q constant, est très intéressant. Il est abordé dans cette partie.

Définition : Polynôme scindé dans un corps K.

Un polynôme P non nul appartenant à est dit scindé dans K (ou sur K) si on peut l'écrire sous la forme

où est le coefficient dominant de P, des éléments de K et des éléments de tels que avec n degré de P.

Il est clair que le rôle joué par le corps est très important.

Par exemple, le polynôme est scindé dans R.
Quant au polynôme , il n'est pas scindé dans R mais il l'est dans C.

On a très facilement la propriété suivante :

Proposition

Deux polynômes P et Q de , scindés sur K, sont premiers entre eux si et seulement si ils n'ont aucune racine commune.

Relations entre coefficients et racines d'un polynôme de K[X] scindé sur K

On peut trouver des relations entre les coefficients d'un polynôme scindé et ses racines.
Par exemple si l'on a un polynôme de degré 2 scindé dans , on peut l'écrire

où et sont les racines de P non nécessairement distinctes.
Alors, en effectuant les calculs on obtient : .
D'où les relations :

Ceci est un exemple de la situation générale qui est explicitée dans le théorème suivant.

Théorème : Relations entre coefficients et racines

Soit un élément de , avec non nul.
On suppose P scindé dans K, donc P peut être écrit sous la forme :

(en écrivant r fois chaque racine multiple d'ordre r).

Alors pour tout p, ,

En particulier :

Exemple : Dans le cas d'un polynôme de degré 3, scindé sur K, en notant ses trois racines distinctes ou non, on a :

, et

Nous ne donnerons pas la démonstration dans le cas général, Nous avons déjà vu le cas d'un polynôme de degré 2. Les formules, dans le cas d'un polynôme de degré 3 se démontrent de la même façon. Nous pouvons donner le résultat.
Si , on a :

Remarques sur les sommes

La notation peut paraître complexe. En fait on peut l'expliciter. On prend tous les produits possibles de p racines (on note un tel produit en les ordonnant dans l'ordre croissant de leurs indices) et on fait la somme de tous ces produits.
Pour être sûr d'avoir tous " les produits possibles " il est nécessaire d'écrire ces produits en suivant un classement.
La méthode est explicitée sur l'exemple suivant : . Pour écrire il faut écrire tous les produits , avec . Ils sont présentés dans le tableau suivant :

La somme est obtenue en faisant la somme de tous les produits de la colonne de droite.

Les sommes sont appelées les fonctions symétriques élémentaires des racines.

Intérêt : Toute fonction symétrique des racines s'exprime à l'aide des donc des coefficients du polynôme. C'est la base de la théorie de Galois.

Fonction symétrique des racines

Soit une expression polynômiale par rapport aux n variables .

On dit que c'est une fonction symétrique si pour toute permutation s de l'ensemble (s est donc une bijection de dans lui-même) l'égalité suivante est satisfaite :

Exemple :

Il ne peut être question ici de dépasser cette définition quasi intuitive car cela nécessiterait des outils mathématiques hors du cadre de cette ressource.

(ce paragraphe n’est pas au programme car nécessite la connaissance des Espaces Vectoriels –On admettra le résultat)

Proposition : Etude de lorsque K est infini

Soit K un corps infini. Soit P est un polynôme de tel que :

Alors P est le polynôme nul. Cela signifie que l'application est injective

Preuve : Elle est basée sur la remarque précédente et se fait grâce à un raisonnement par l'absurde.

Supposons que le polynôme P ne soit pas nul. On peut alors considérer son degré, soit n.
Il résulte de ce qui précède que P a au plus n racines.
Or l'hypothèse faite signifie que tout élément de K est racine de P. Si K est infini, P aurait une infinité de racines, d'où la contradiction.
Comme l'application est linéaire, cela signifie que son noyau est réduit à zéro, et donc qu'elle est injective.

Autrement dit, lorsque K est infini, l'égalité des fonctions polynômes associées à deux polynômes équivaut à l'égalité des deux polynômes.

Conséquence sur les notations
Cela permet alors de simplifier les notations. La fonction polynôme peut être notée sans aucune ambiguïté.
C'est en particulier le cas lorsque le corps K est égal à R ou C.

Remarque : Le cas des polynômes à coefficients dans R ou dans C n'est pas étudié en détail dans cette ressource qui est consacrée aux propriétés générales.

Attention, cette propriété est fausse si le corps K n'est pas fini comme le prouve l'exemple suivant.

Soit le corps .

On a le résultat général suivant : Soit n un entier supérieur ou égal à 2. L'anneau quotient est un corps si et seulement si l'entier n est un nombre premier.

Comme 2 est un nombre premier, cela donne le résultat.

Le corps a deux éléments qui sont notés et .
Soit P le polynôme de défini par : .
Alors et . Donc : . Donc la fonction polynôme est nulle ce qui n'est évidemment pas le cas du polynôme P.

Méthodes de Horner

Pour calculer la valeur prise par une fonction polynôme en un point x de K, il y a plusieurs méthodes.
Une méthode très "performante" est la méthode de Hörner.
Elle consiste à calculer , avec , en utilisant la forme suivante :

,

ce qui nécessite n multiplications et n additions, nombre d'opérations très inférieur à celui obtenu en faisant les calculs comme ils se présentent.
Pour s'en convaincre, on peut considérer l'exemple suivant :

Soit l'élément de et x un nombre réel.

On écrit sous la forme : .

Pour calculer , avec x élément de R, on a donc besoin de 3 multiplications et de 3 additions par la méthode de Hörner, mais de 5 multiplications et de 3 additions en calculant directement.

De plus, cette méthode est très facilement programmable.

Deuxième Partie : Polynômes coefficients réels ou complexes

Degré du polynôme dérivé

Proposition : Degré du polynôme dérivé d'un polynôme à coefficients réels ou complexes

Soit P un polynôme non nul de degré n,

· Si , ,

· Si , le degré de est égal à .

Cela est immédiat à partir de la définition du degré d'un polynôme et du polynôme dérivé.

Remarque importante :

La considération des degrés permet de démontrer grâce à une récurrence que si P est un polynôme de degré n, est le polynôme nul. On aura un résultat plus général dans la proposition suivante

Formule de Taylor pour un polynôme à coefficients réels ou complexes

Rappel sur la notation des fonctions polynômes :

On sait que dans le cas de polynômes à coefficients dans un corps infini, la fonction polynôme de K dans K, , est entièrement déterminée par le polynôme P. Cela permet de simplifier les notations et en particulier lorsque l'on considère des polynômes à coefficients réels ou complexes, elle pourra être notée sans aucune ambiguïté.

La formule de Taylor pour les polynômes est démontrée ici uniquement par des moyens algébriques. Elle est extrêmement utile dans l'étude des racines d'un polynôme.

Proposition : Formule de Taylor pour les polynômes

Soit un élément non nul de ( ou ), de degré n. Alors :

i. Si est un polynôme de degré .
Si .

ii. Pour tout h de K, on a :

Démonstration :

i. Une démonstration par récurrence immédiate justifie la propriété.

ii. si est un élément de , l'opération de substitution d'un polynôme dans un autre permet d'écrire :

On obtient ainsi un élément de . Il existe donc des éléments de tels que . Soit k, . En dérivant k fois le polynôme sous la forme , on obtient (par une récurrence simple) et par conséquent, en prenant la valeur en 0 de la fonction polynôme associée, on a .

La formule peut aussi être formulée de la manière suivante :

Si a est un élément de K, on a .

Il suffit de prendre et de substituer à X dans l'égalité
pour obtenir ce résultat

Ordre de multiplicité d'une racine

Ce théorème permet de donner une caractérisation, très intéressante dans la pratique, de l'ordre de multiplicité d'une racine.

Rappel ordre de multiplicité

On va donner une caractérisation de l'ordre de multiplicité d'une racine, à l'aide des polynômes dérivés.

Théorème : Caractérisation de l'ordre de multiplicité d'une racine, à l'aide des polynômes dérivés

Un élément a de K est racine d'ordre k d'un polynôme appartenant à
( ou ), si et seulement si :

et

La démonstration est basée sur la formule suivante déduite de la formule de Taylor pour les polynômes :

Existence de racines : Théorème de d'Alembert

Un des problèmes qui se pose concernant les racines d'un polynôme est celui de l'existence de racines. C'est un problème difficile.
Pour les polynômes à coefficients dans C, le théorème de d'Alembert répond entièrement à la question. Il est fondamental, mais sa démonstration n'est pas élémentaire.
Il en existe plusieurs, utilisant soit des propriétés d'analyse soit des propriétés algébriques, dans les deux cas puissantes et nécessitant des notions qui sont hors du niveau où est placé ce cours.

Nous l'admettrons donc.
Il va permettre de caractériser tous les polynômes irréductibles de et de .

Théorème de d'Alembert-Gauss

Tout polynôme non constant de admet au moins une racine dans C.

Remarque historique : Ce résultat a d'abord été énoncé par d'Alembert puis démontré beaucoup plus tard par Gauss.

Définition d'un corps algébriquement clos

On dit qu'un corps K est algébriquement clos si et seulement si tout polynôme non constant à coefficients dans K admet au moins une racine dans K.

Il résulte du théorème de d'Alembert que le corps C est algébriquement clos. Par contre, le corps R ne l'est pas. Revoir l'exemple de pour s'en convaincre.

Polynômes irréductibles dans C[X]

On suppose connues les propriétés générales des polynômes irréductibles de où K est un corps quelconque. Il n'y a pas, dans le cas général, de caractérisation des polynômes irréductibles. L'objet des deux paragraphes qui suivent est d'étudier ce problème dans les cas particuliers de et de .

Le théorème suivant résulte immédiatement du théorème de d'Alembert :

Théorème : Caractérisation des polynômes irréductibles dans

Les polynômes irréductibles de sont les polynômes du premier degré.

En effet, soit P un polynôme à coefficients complexes de degré supérieur ou égal à 2. Il est donc non constant et, d'après le théorème de d'Alembert, il admet au moins une racine complexe a. D'après la caractérisation des racines, cela signifie qu'il est divisible par le polynôme . Il n'est donc pas irréductible.

En intégrant ce résultat dans le théorème général de factorisation des polynômes en produit de polynômes irréductibles, on obtient :

Théorème : Factorisation en éléments irréductibles dans

Tout polynôme non constant de s'écrit d'une manière unique sous la forme
où est une constante non nulle, les sont des nombres complexes distincts deux à deux et les des entiers positifs.

Exemple : avec .

Polynômes irréductibles dans R[X]

Le résultat de l'étude précédente permet d'obtenir la caractérisation des polynômes irréductibles sur .
L'outil essentiel, pour ce faire, est l'inclusion évidente :

En préliminaire, on établit la propriété suivante, très utile dans la pratique.

Proposition : Racine complexe d'un polynôme à coefficients réels

Soit P un polynôme non constant à coefficients réels. On suppose que ce polynôme, considéré comme élément de , admet une racine a complexe et non réelle.

Alors est aussi racine de P, avec le même ordre de multiplicité.

Preuve : Il est clair, comme les coefficients de P sont réels et compte tenu des propriétés de la conjugaison dans C, que pour tout x complexe

Alors la caractérisation des racines d'un polynôme et de leur ordre de multiplicité à l'aide des dérivées de ce polynôme prouve le résultat.

Corollaire 1 : Description des racines d'un élément de

Soit P un polynôme à coefficients réels. Ses racines, dans C, sont

· soit réelles

· soit non réelles, conjuguées deux à deux, une racine et sa conjuguée ayant le même ordre de multiplicité.

On en déduit un résultat très pratique :

Corollaire 2

Tout polynôme à coefficients réels de degré impair a au moins une racine réelle.

Ici, il est justifié par des propriétés purement algébriques. On peut aussi le démontrer avec des outils d'analyse en étudiant les variations de la fonction polynôme associée.

Cela conduit au théorème suivant :

Théorème : Factorisation en facteurs irréductibles dans

Soit P un polynôme non constant appartenant à . Alors il existe des entiers strictement positifs r et s, et pour tout k compris entre 1 et r et tout l compris entre 1 et s, des réels , et et des entiers et tels que :

où les polynômes sont sans racine réelle, autrement dit tels que

Une telle décomposition est unique.

Preuve

D'après le résultat du corollaire, la décomposition en facteurs irréductibles de P, considéré comme un élément de , est de la forme

où les sont des nombres réels et les des nombres complexes non réels.

Or : .

On a ; on obtient donc un nombre réel. De même, on a qui est aussi un nombre réel.
Donc le polynôme s'écrit avec et réels. De plus ce polynôme n'a pas de racines réelles ce que l'on peut caractériser en disant que son discriminant est négatif.
Ce polynôme est donc un polynôme irréductible dans (sinon il serait divisible par un polynôme de degré 1 ce qui équivaudrait à l'existence d'une racine réelle).

On obtient donc une décomposition de P en un produit de polynômes à coefficient réels, irréductibles dans :

A cause de l'unicité d'une telle décomposition, c'est la décomposition en facteurs irréductibles dans de P.

Remarque : on a l'égalité : .

Exemple :

Soit le polynôme et cherchons sa décomposition en facteurs irréductibles dans . Si on le considère comme un polynôme à coefficients complexes, il vient que i est racine de P d'ordre de multiplicité égal à 2. En effet,

, d'où
, d'où

Donc est aussi racine d'ordre 2 de dans C. Donc est divisible
dans par . Il existe donc dans tel que :

(considération de degré).

On calcule , soit par la méthode des coefficients indéterminés, soit par division euclidienne de par , et l'on obtient :

Le polynôme est irréductible dans (son discriminant est , donc strictement négatif), donc est la décomposition de en facteurs irréductibles dans .

Remarque : La décomposition en facteurs irréductibles de dans est

.

Ce théorème permet d'obtenir une description complète des polynômes irréductibles
dans :

Théorème : Caractérisation des polynômes irréductibles dans

Les polynômes irréductibles de sont les polynômes du premier degré et les polynômes de deuxième degré sans racine réelle, autrement dit de la forme
, avec a, b, c réels tels que .

Remarque : Attention ! Une conséquence immédiate de ce résultat est qu'un polynôme à coefficients réels qui n'a pas de racine n'est pas forcément irréductible.
L'exemple suivant en est une illustration.

Exemple : Soit .

· Ce polynôme n'a pas de racines réelles : en effet s'il en avait une, soit a, ce réel vérifierait l'égalité , ce qui est absurde dans R.

· Mais ce polynôme n'est pas irréductible puisqu'il n'est pas de l'un des deux types précédents.
Donc on sait d'avance que ce polynôme est le produit de deux polynômes de degré égal à 2, sans racines réelles.

· Pour trouver sa factorisation en facteurs irréductibles, on a (au moins) trois méthodes possibles :

On peut utiliser la remarque qui vient d'être faite, l'écrire sous la forme du produit de deux polynômes de degré égal à 2 avec des coefficients indéterminés, développer et identifier les coefficients. Cela aboutit à un système linéaire qu'il faut résoudre. Cette méthode est efficace, mais lourde du point de vue des calculs.

On pourrait aussi chercher sa décomposition dans , puis regrouper les termes correspondant à des racines conjuguées (en suivant le principe de la démonstration théorique).

On peut aussi procéder de la manière suivante : on considère que c'est le début du développement du carré de la somme , le double produit manquant.
Alors : , soit .
C'est la décomposition cherchée.

Remarque : La décomposition en facteurs irréductibles est unique, donc tous les moyens mathématiquement corrects sont bons pour la déterminer.

Formule d'interpolation de Lagrange

Pour terminer cette ressource, nous allons donner la formule d'interpolation de Lagrange qui permet de caractériser un polynôme par la valeur de la fonction polynôme qui lui est associée en un certain nombre de points. (très utile en mathématiques appliquées pour les calculs et les approximations).

On suppose que le corps K est égal à R ou C.

Théorème : Formule d'interpolation de Lagrange

Etant donnés n points les étant tous distincts et les non tous nuls, il existe un seul polynôme , de degré strictement inférieur à n, tel que :

Preuve : elle se décompose en deux parties : l'unicité et l'existence.

· Unicité : S'il existait deux polynômes et satisfaisant au problème donné,
avec , le polynôme non nul , serait de degré strictement inférieur à n et aurait au moins n racines, les , ce qui serait absurde.

· Existence : On vérifie que le polynôme

est solution du problème posé.

Exemple : Si l'on considère le cas et , on retrouve le résultat (bien connu) que par deux points distincts il passe une et une seule droite.

Remarque :
Si tous les sont nuls, le seul polynôme tel que pour tout k, , est le polynôme nul (cf. la démonstration de l'unicité).

Source : http://www.ann.jussieu.fr/~berco/LM125/LM125-Lecon-4.htm

Algorithme d'Euclide

L'algorithme d'Euclide est un algorithme permettant de déterminer le plus grand commun diviseur (P.G.C.D.) de deux entiers dont on ne connaît pas la factorisation. Il est déjà décrit dans le livre VII des Éléments d'Euclide.

Dans la tradition grecque, en comprenant un nombre entier comme une longueur, un couple d'entiers comme un rectangle, leur PGCD est la longueur du côté du plus grand carré permettant de carreler entièrement ce rectangle. L'algorithme décompose ce rectangle en carrés, de plus en plus petits, par divisions euclidiennes successives, de la longueur par la largeur, puis de la largeur par le reste, jusqu'à un reste nul.

Dans le rectangle de dimensions L=21 par l=15 ci-dessous, par exemple, on peut glisser un carré de côté 15 mais il reste un rectangle de côtés 15 et 6, dans lequel on peut glisser deux carrés de côté 6 mais il reste un rectangle de côtés 6 et 3 que l'on peut carreler entièrement de carrés de côté 3. Les carrés de côté 6 ou 15 peuvent aussi se carreler en carrés de côté 3. Le rectangle entier peut se carreler en carrés de côté 3. Il n'existe pas de carré plus grand permettant un tel carrelage.

Cet algorithme repose sur la structure d'anneau euclidien de l'anneau $mathbb{Z}$ des entiers relatifs, plus particulièrement sur la propriété de division euclidienne. Il se généralise donc à bien d'autres anneaux, en particulier les anneaux de polynômes à coefficients dans un corps. L'algorithme se généralise pour permettre le calcul des coefficients de Bezout.

L'algorithme est effectif à condition de disposer d'un algorithme effectif de division euclidienne. La possibilité de disposer d'un tel algorithme rend de nombreux autres calculs effectifs, notamment, en algèbre linéaire, le calcul de facteurs invariants.

Sommaire

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Remarque préliminaire [modifier]

Puisque l'algorithme a pour objet le calcul d'un PGCD, il est possible de se restreindre aux entiers positifs, un PGCD de deux entiers relatifs étant égal au PGCD de leurs valeurs absolues.

Description de l'algorithme [modifier]

Soient deux entiers naturels a et b, dont on cherche le PGCD. Le cas où a ou b est nul ne nécessite aucun algorithme ; on l'exclut. Une suite d'entiers (a_n)_n est définie par récurrence de pas 2, plus précisément par divisions euclidiennes successives ; la suite est initialisée par a₀ = a, a₁ = b, puis propagée par la règle de récurrence : tant que a_n₊₁ est non nul, a_n₊₂ est défini comme le reste de la division euclidienne de a_n par a_n₊₁.

On commence donc par calculer le reste de la division de a par b, qu'on note r ; puis on remplace a par b, puis b par r, et on réapplique le procédé depuis le début.

On obtient ainsi une suite, qui vaut 0 à un certain rang ; le PGCD cherché est le terme précédent de la suite.

Il est intéressant de noter que si a < b, la première itération de la boucle a pour effet de "permuter a et b". Plus précisément : dans ce cas, la division euclidienne de a par b s'écrit a = b.0 + a donc a₂ = a, si bien que la suite produite par l'algorithme appliqué au couple (a, b) commence par a, suivie de la suite produite par l'algorithme appliqué au couple (b, a).

Exemple [modifier]

Calculons, par exemple, le PGCD de 1071 et de 1029 à l'aide de l'algorithme d'Euclide :

1071 = 1029 × 1 + 42

1029 = 42 × 24 + 21

42 = 21 × 2 + 0

Il faut prendre le dernier reste avant le zéro, donc PGCD(1071 ; 1029) = 21

Exemples d'implémentations [modifier]

Voici différents exemples d'implémentations de l'algorithme d'Euclide en programmation.

Pseudocode [modifier]

Fonction PGCD(a:nombre, b:nombre):nombre

Si b=0 alors
| Retourner a
Sinon
| r egal au reste de la division entière (modulo) de a par b
| Retourner PGCD(b, r)

Python [modifier]

def PGCD(a, b):
    if b == 0:
        return a
    else:
        return PGCD(b, a % b)

C [modifier]

int PGCD(int a, int b)
{
    if (b == 0)
        return a;
    else
        return PGCD(b, a % b);
}

ou sous forme condensée:

int PGCD(int a, int b)
{
    return (b) ? PGCD(b, a%b) : a;
}

ou en utilisant une boucle, sans rappeler la fonction dans elle-même (algorithme ressemblant plus à l'organigramme à flèche présent sur l'article):

int PGCD(int a, int b)
{
     int r;
     while ((r = a % b) != 0)
     {
       a = b;
       b = r;
     }
     return b;
}

Remarque historique [modifier]

Au début, Euclide a formulé le problème de façon géométrique : comment trouver une « unité de mesure » commune pour deux longueurs de segments. Il procède par soustractions répétées de la longueur du plus court segment sur la longueur du plus long. Cela correspond à une adaptation de la méthode naïve de calcul de la division euclidienne, telle que décrite dans l'article consacré.

Démonstration de sa finitude et de son exactitude [modifier]

La définition même de la suite $(a n)$ par division euclidienne montre que, pour tout $n$ tel que $a n + 1$ est non nul, il existe un entier $q n + 2$ tel que : $a_{n}=q_{n+2}times a_{n+1}+a_{n+2}$

avec de plus $0leq a_{n+2}<a_{n+1}$ . La suite d'entiers naturels $(a n)$ est donc strictement décroissante à partir du rang 1, et donc vaut 0 à un certain rang. L'existence d'un dernier reste non nul est ainsi établie.

Soit N + 1 l'indice de ce dernier reste non nul. Il faut montrer que $a N + 1$ est bien le PGCD cherché. La relation précédente s'écrit donc ici $a_N=q_{N+2}times a_{N+1}$ , qui montre que $a N + 1$ divise $a N$ . Écrivant ensuite $a_{N-1}=q_{N+1}times a_N+a_{N+1}$ , on en déduit que $a N + 1$ divise aussi $a N - 1$ ; puis, de même, et par récurrence, que $a N + 1$ divise tous les termes de la suite $a n$ ; en particulier les premiers termes $a$ et $b$ . $a N + 1$ est donc bien un diviseur commun de $a$ et $b$ . Réciproquement, tout diviseur commun de a et b divisera aussi $a_2=a-q_2times b$ , et à nouveau par récurrence, divisera tous les termes de la suite $(a n)$ ; donc en particulier $a N + 1$ .

$a N + 1$ est donc un diviseur commun de a et b que divise tout autre diviseur commun ; c'est bien le PGCD.

Le théorème de Lamé [modifier]

Le théorème de Lamé stipule que le nombre d'étape de l'algorithme d'Euclide exécuté sur deux entiers est borné (supérieurement) par cinq fois le nombre de chiffres nécessaire à écrire (en base 10) le plus petit de ces deux entiers.

On peut en fait être légèrement plus précis : le nombre d'étapes de l'algorithme d'Euclide exécuté sur deux entiers $a$ et $b$ , avec $aleq b$ , est borné par la partie entière de $ln(b)/ln(varphi)$ , où $ln$ désigne le logarithme naturel et $varphi$ est le nombre d'or.

Comme le nombre de chiffres de l'écriture de $b$ en base 10 est $ln(b) / ln(10)$ et que la quantité $ln(10)/ln(varphi)$ est inférieure à $5$ (elle vaut environ 4,78497), on retrouve bien le théorème de Lamé.

De plus, cette majoration est la meilleure possible, puisqu'elle est atteinte quand $a$ et $b$ sont deux nombres de Fibonacci consécutifs.

Algorithme étendu aux coefficients de Bézout [modifier]

Article détaillé : Algorithme d'Euclide étendu.

L'identité de Bézout assure l'existence de deux entiers u et v tels que : $a u + b v = a N + 1 = P G C D (a, b)$ . L'algorithme d'Euclide convenablement adapté permet de calculer de tels coefficients.

Description [modifier]

Pour cela, on introduit deux suites $(u n)$ et $(v n)$ telles que pour tout n, on ait la relation : $a u n + b v n = a n$ . Si de telles suites existent, les termes $u N + 1, v N + 1$ constitueront une paire de coefficients de Bezout pour a et b.

On peut choisir $u 0 = 1, v 0 = 0$ puis $u 1 = 0, v 1 = 1$ , puis la relation de récurrence de pas 2 entre les $a n$ montre :

$a n + 2 = a n - q n + 2 a n + 1 = a u n + b v n - q n + 2 (a u n + 1 + b v n + 1) = a (u n - q n + 2 u n + 1) + b (v n - q n + 2 v n + 1)$

On peut ainsi définir $(u n)$ par la relation de récurrence de pas 2 : $u n + 2 = u n - q n + 2 u n + 1$ et l'initialisation précédente, et $(v n)$ par $v n + 2 = v n - q n + 2 v n + 1$ et l'initialisation précédente ; et on obtient bien la relation annoncée pour tout n.

Commentaires [modifier]

L'algorithme étendu s'implémente comme l'algorithme classique ; il suffit de rajouter des variables correspondant aux coefficients u et v à calculer, et de faire une multiplication et une soustraction supplémentaires, pour calculer chacun des deux nouveaux coefficients, à chaque étape.

Fractions continues [modifier]

Article détaillé : fraction continue.

Les quotients successifs qui apparaissent quand l'algorithme d'Euclide est appliqué aux données a et b, sont précisément les nombres qui apparaissent dans la représentation sous forme de fraction continue de a/b. Considérons l'exemple de a = 1071 et b = 1029 utilisé ci-dessus.

Voici le calcul avec les quotients soulignés (successivement 1, 24 et 2):

1071 = 1029 × 1 + 42

1029 = 42 × 24 + 21

42 = 21 × 2 + 0

De cela on tire :

$frac{1071}{1029} = mathbf{1} + frac{1}{mathbf{24} + frac{1}{mathbf{2}}}$ .

Dans l'égalité précédente, le second membre s'appelle la fraction continue ou continuée du quotient 1071/1029.

On peut en déduire les 3 approximations suivantes de la fraction, classées par ordre de précision croissante :

$frac{1071}{1029} simeq mathbf{1} = frac{1}{1}$
$frac{1071}{1029} simeq mathbf{1} + frac{1}{mathbf{24}} = frac{25}{24}$
$frac{1071}{1029} = mathbf{1} + frac{1}{mathbf{24} + frac{1}{mathbf{2}}} = frac{51}{49}$

Cette méthode peut également être utilisée pour des nombres réels a et b ; comme dans le cas de deux entiers, la suite de quotients calculés représente la « décomposition en fraction continue » de a/b et fournit une suite d'approximations successives, de qualité croissante, du quotient a/b. Dans le cas où ce quotient est irrationnel, l'algorithme d'Euclide ne se termine pas et la suite des approximations obtenues est donc elle-même infinie !

nota : La décomposition en fraction continuée (et la série d'approximations successives correspondante) peut être appliquée, non seulement à un nombre réel quelconque, mais également à une fonction : cette démarche consiste à rechercher les approximants de Padé, dont on peut définir le principe comme suit : Au voisinage d'un point, le développement ensérie de Taylor d'une fonction donnée fournit un polynôme qui réalise une approximation de la fonction. Mais on peut également chercher une fraction rationnelle qui satisfasse les mêmes conditions que la partie polynomiale du développement de Taylor : l'égalité des dérivées de la fonction et de son approximation, jusqu'à un certain ordre donné.

La comparaison de ces deux types de développements permet de très intéressants développements, comme la démonstration de l'irrationalité de ζ(3).

Voir aussi [modifier]

Liens externes [modifier]

Calcul graphique du PGCD avec Geoplan (Java)

Catégories : Théorie algorithmique des nombres | Algorithme numérique | [+]

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_d'Euclide

mathématiques

Learning and Randomization — Nicolò Cesa-Bianchi (Università degli Studi di Milano)

À la recherche d’un noeud à polynôme trivial — Vaughan Jones (univ. Berkeley)

Étale Cohomology (Lecture 1) — Antoine Ducros (Paris VI)

Étale Cohomology (Lecture 2) — Antoine Ducros (Paris VI)

Étale Cohomology (Lecture 3) — Antoine Ducros (Paris VI)

Étale Cohomology (Lecture 4) — Antoine Ducros (Paris VI)

Étude d’un modèle de dynamique des populations — Sylvain Arlot (univ. Paris XI)

1. L’algorithme de résolution des singularités en caractéristique zéro — Edward Bierstone (Toronto)

2. L’invariant de désingularisation comme outil de calcul — Edward Bierstone (Toronto)

3. Résolution à l’exception des singularités minimales — Edward Bierstone (Toronto)

A Correlation Inequality for Nonlinear Reconstruction — Ofer Zeitouni (University of Minnesota)

A propos de ’The Dantzig selector: Statistical estimation when p is much larger than n’ de Candes et Tao — Vincent Rivoirard (univ. Paris XI)

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Accueil et présentation du colloque Origines de la vie — Marie-Christine Maurel (Paris VI)

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Alexandre Grothendieck : les catégories en action — Pierre Lochak (univ. Paris VI)

Algorithmes de chemins de régularisation — Stéphane Canu (INSA Rouen)

An Isoperimetric Inequality with Applications to Learning — Shie Mannor (McGill University)

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Apprentissage par renforcement et apprentissage statistique — Rémi Munos (Inria)

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Attractions borroméennes — Stéphane Dugowson (SupMéca)

Au-delà de l’imparfait — Jean-Yves Girard (CNRS)

Bayesian and Non-Bayesian Learning in Games — Ehud Lehrer (Tel-Aviv University)

Berkovich Spaces over Z (Lecture 1) — Jérôme Poineau (Strasbourg)

Berkovich Spaces over Z (Lecture 2) — Jérôme Poineau (Strasbourg)

Berkovich Spaces over Z (Lecture 3) — Jérôme Poineau (Strasbourg)

Boundedness vs blow-up in a chemotaxis system — Dirk Horstmann (Universität zu Köln)

Brouwer and the mathematics of the continuum — Mark van Atten (CNRS, IHPST, Paris)

Bruhat-Tits Buildings and Analytic Geometry (Lecture 1) — Bertrand Rémy (Lyon) et Amaury Thuillier(Lyon)

Bruhat-Tits Buildings and Analytic Geometry (Lecture 2) — Bertrand Rémy (Lyon) et Amaury Thuillier(Lyon)

Bruhat-Tits Buildings and Analytic Geometry (Lecture 3) — Bertrand Rémy (Lyon) et Amaury Thuillier(Lyon)

Bruhat-Tits Buildings and Analytic Geometry (Lecture 4) — Bertrand Rémy (Lyon) et Amaury Thuillier(Lyon)

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Construction de bases localisées adaptées à la géométrie – 1 — Gérard Kerkyacharian (Paris X et Paris VI)

Construction de bases localisées adaptées à la géométrie – 2 — Gérard Kerkyacharian (Paris X et Paris VI)

Construction de bases localisées adaptées à la géométrie – 3 — Gérard Kerkyacharian (Paris X et Paris VI)

Construction de bases localisées adaptées à la géométrie – 4 — Gérard Kerkyacharian (Paris X et Paris VI)

Continuum vs. discrete: Physics, Mathematics, Computing — Giuseppe Longo (CNRS)

Contreparties incongrues et relations infondées : la source géométrique de l’idéalisme transcendantal— Michel Bitbol (CREA/CNRS/Ecole polytechnique)

Détection de processus démographiques spécifiques [...] — Frédéric Austerlitz (univ. Paris XI)

Des jets aux infiniment petits : quand l’intuition se mue en rigueur — Francis Borceux (univ. Louvain)

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Des sons et des quantas — Thierry Paul (ENS)

Des symétries aux lois de conservation : dans la perspective de l’article fondamental de Noether —Yvette Kosmann-Schwarzbach (Ecole Polytechnique)

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Deterministic Calibration and Nash Equilibrium — Dean Foster (University of Pennsylvania)

Deux années du séminaire Cartan : invariant de Hopf - périodicité de Bott — Jean Lannes(mathématicien)

Discussion et synthèse du colloque Origines de la vie — Bernard Walliser (EHESS/ENPC)

Dynamics on Berkovich Spaces (Lecture 1) — Mattias Jonsson (Univ. Michigan, IHES)

Dynamics on Berkovich Spaces (Lecture 2) — Mattias Jonsson (Univ. Michigan, IHES)

Dynamics on Berkovich Spaces (Lecture 3) — Mattias Jonsson (Univ. Michigan, IHES)

Dynamics on Berkovich Spaces (Lecture 4) — Mattias Jonsson (Univ. Michigan, IHES)

Dynamics on Berkovich Spaces (Lecture 5) — Mattias Jonsson (Univ. Michigan, IHES)

Dynamiques de pensée en mathématiques : principes de preuves vs. principes de construction —Giuseppe Longo (CNRS)

Einstein’s Clocks, Poincare’s Maps — Peter Galison (univ. Harvard)

En l’honneur de Henri Cartan : a great friend, mathematician and European — Friedrich Hirzebruch(Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn)

Esquisse d’une étude comparée entre l’avènement de la perspective (en peinture) et de celui du tempérament égal (en musique) — Yves Hellegouarch (univ. Caen)

Estimation de modèles graphiques gaussiens — Nicolas Verzelen (univ. Paris XI)

Etude de distances entre essences forestières basées sur des dissimilarités entre nuages de points —Avner Bar-Hen (Paris V/SFdS)

Evolution and self-organization in mathematical models — Michèle Thieullen (Paris VI)

Exemples de raisonnements par images en algèbre et analyse — Bernard Teissier (CNRS et Institut de mathématiques, univ. Paris VII)

Exploration of Contrasting Foundational Standpoints in Category Theory — Bob Coecke (Oxford University)

Fatou, Julia, les mathématiques et la guerre ? — Michèle Audin (Strasbourg)

Faut-il introduire du hasard pour comprendre l’irrévesibilité ? — Claude Bardos (univ. Paris VII)

Figure, lettre, preuve : la pulsation mathématique au lieu de l’écriture — René Guitart (mathématicien)

Flatland, un bel endroit pour faire de l’algebre — Vaughan Jones (univ. Berkeley)

From resolution to derived categories : a tale of geometry and categories — Pierre Cartier(CNRS/IHES-Paris)

F^1 Geometry (Lecture 1) — Vladimir Berkovich (Weizmann Institute)

F^1 Geometry (Lecture 2) — Vladimir Berkovich (Weizmann Institute)

F^1 Geometry (Lecture 3) — Vladimir Berkovich (Weizmann Institute)

F^1 Geometry (Lecture 4) — Vladimir Berkovich (Weizmann Institute)

Gestes et mouvements en mathématiques (et en musique) — Gilles Dowek (Ecole Polytechnique)

Groupe de lecture ’Fléau de la dimension’ — Jean-Michel Marin (INRIA Futurs)

Henri Cartan et la théorie des faisceaux analytiques cohérents — Jean-Pierre Demailly (univ. de Grenoble I)

Herbrand and the Early Development of Proof Theory — Warren Goldfarb (Harvard)

Herbrand et le programme de Hilbert — Thierry Coquand (Göteborg)

Herbrand’s Theorem and Extractive Proof Theory — Ulrich Kohlenbach (Darmstadt)

In search of graphical models — Guido Consonni (Instituto Universitario di Studi Superiori di Pavia)

Intellectualité mathématique et intellectualité musicale : convergences et divergences (à la lumière des écrits d’Henri Poincaré et Hermann Weyl) — François Nicolas (IRCAM)

Interactions and dispersal in arid plant communities. Immune anti-tumor cytotoxic reactions. — Olivier Lejeune (univ. Dundee)

Interprétation en termes d’équations aux derivées partielles de la dynamique adaptative — Laurent Desvilettes (ENS Cachan)

Introduction à la journée d’études — Avner Bar-Hen (Paris V/SFdS) et Marion Selz (CNRS)

Introduction - Mathematical Foundations of Learning Theory — Gilles Stoltz (ENS)

Introduction du colloque Les disciplines face à leur histoire — Yves André (CNRS-ENS)

Introduction du colloque Trois corps, classique-quantique, discret-continu — Giuseppe Longo (CNRS) et Thierry Paul (ENS)

Introduction to Berkovich Analytic Spaces (Lecture 1) — Michael Temkin (Univ. Pennsylvania)

Introduction to Berkovich Analytic Spaces (Lecture 2) — Michael Temkin (Univ. Pennsylvania)

Introduction to Berkovich Analytic Spaces (Lecture 3) — Michael Temkin (Univ. Pennsylvania)

Introduction to Berkovich Analytic Spaces (Lecture 4) — Michael Temkin (Univ. Pennsylvania)

Introduction to Berkovich Analytic Spaces (Lecture 5) — Michael Temkin (Univ. Pennsylvania)

Introduction to Berkovich Analytic Spaces (Lecture 6) — Michael Temkin (Univ. Pennsylvania)

Is There Life beyond the Classification Problem? — Nicolas Vayatis (univ. Paris VI)

Iterated Regularization for High-Dimensional Data: from Boosting to Twin Boosting — Peter Bühlmann(ETH Zürich)

Jeux d’évolution, dynamique de populations et équilibres — Yannick Viossat (Stockholm School of Economics)

L’œuvre d’Alexandre Grothendieck : Une occasion pour la philosophie — Pierre Lochak (univ. Paris VI)

L’algebrisation du continu : de Boole à Sato — Pierre Cartier (CNRS/IHES-Paris)

L’enseignement des mathématiques aux littéraires — David Hernandez (ENS)

L’imagination transcendantale en mathématique — Frédéric Patras (Mathématiques, CNRS, Nice)

L’opération de mesure d’un point de vue phénoménologique — Emiliano Trizio (univ. Paris X)

L’ouvrage d’Euler sur la théorie musicale (1739) : les principaux apports théoriques — Pierre Cartier(CNRS/IHES-Paris)

La conception scientifique-philosophique de Poincaré versus la structure des descriptions de microétats — Mioara Mugur-Schächter (Cesef)

La construction de l’espace-temps : intuition et convention — Élie During (Paris X / ENSBA)

La démarche d’investigation en mathématiques — Pierre Léna (Académie des sciences)

La distribution des nombres premiers – 1 — Andrew Granville (Montréal)

La distribution des nombres premiers – 2 — Andrew Granville (Montréal)

La distribution des nombres premiers – 3 — Andrew Granville (Montréal)

La flamme et le cristal. Le vague et le continu chez Peirce et Wittgenstein — Rossella Fabbrichesi(univ. Milan)

La logique des diagrammes : médiatrice entre geste et formule ? — Guerino Mazzola (Institut für Informatik der Universität Zürich)

La logique musicale de l’écoute : une logique stoïcienne de l’assentiment ? — François Nicolas(IRCAM)

La logique, le temps et l’autre — Jean-Baptiste Joinet (univ. Paris I et univ. Paris VII-CNRS)

La maïeutique mathématique selon Poincaré et selon Grothendieck — Yves André (CNRS-ENS)

La philosophie des mathématiques — Giuseppe Longo (CNRS)

La place de Jacques Herbrand dans la théorie des nombres de l’entre-deux-guerres — Catherine Goldstein (CNRS)

La relation à leur histoire distingue-t-elle la philosophie des mathématiques ? — Norbert Schappacher(Technische Univ. Darmstadt)

La représentativité à l’INSEE — Olivier Sautory (INSEE)

La représentativité dans le cas des populations difficiles à joindres. Cas particulier des enquêtes sur les sans-domicile — Nicolas Razafindratsima (Ined) et Maryse Marpsat (INSEE)

La représentativité dans les instituts de sondage — Alain Tripier (Sereho)

La spécificité de la démarche d’investigation en mathématique — Catherine Houdement (IUFM Rouen) et Claudine Robert (univ. Joseph Fourier Grenoble)

La structuration catégoricienne comme calcul des gestes mathématiques — René Guitart(mathématicien)

La théorie des catégories : un outil d’analyse musicale aux yeux de la critique philosophique — Ralf Krömer (univ. Nancy 2)

Le concept de ‘randomness’ : aléatoire et stochastique — Marie Farge (CNRS)

Le continu et le discret dans les théories physiques — Alain Comtet (univ. Paris VI)

Le mythe de l’analyticité — Jocelyn Benoist (univ. Paris I)

Le point de vue de l’épidémiologie : représentativité ou universalité ? — Marcel Goldberg (INSERM)

Le rôle des séminaires Cartan — Jean-Pierre Serre (CNRS)

Le rôle possible de la logique musicale dans une certaine intellectualité mathématique — Guerino Mazzola (Institut für Informatik der Universität Zürich)

Le schématisme et la question des formes en sémantique — Yves-Marie Visetti (Lattice-CNRS/ENS)

Le triple du sens : postures, différences et bougés — René Guitart (mathématicien)

Learning from Dependent Observations — Ingo Steinwart (Los Alamos National Laboratory)

Les catégories : une logique de l’apparaitre ? — Hyman Bass (univ. Michigan)

Les Catégories comme mode de relexion spécifique des Mathématiques sur elles-mêmes — Jean-Jacques Szczeciniarz (univ. Paris VII)

Les catégories et le passage des frontières — Stéphane Dugowson (SupMéca)

Les EDP hamiltoniennes et les équations des ondes à la surface de l’eau - 1 — Walter Craig(McMaster, Paris VII)

Les EDP hamiltoniennes et les équations des ondes à la surface de l’eau - 2 — Walter Craig(McMaster, Paris VII)

Les EDP hamiltoniennes et les équations des ondes à la surface de l’eau - 3 — Walter Craig(McMaster, Paris VII)

Les invariants logiques et les géodésiques du monde — Giuseppe Longo (CNRS) et Thierry Paul (ENS)

Les mathématiques au sein d’une démarche d’investigation en sciences — Jean-Michel Rolando (IUFM Bonneville)

Les mathématiques comme activité discontinue dans la philosophie en France au XXe s — Pierre Cassou-Noguès (CNRS)

Les mathématiques face à leur histoire — Christian Houzel (IUFM Paris)

Les mathématiques japonaises — Annick Horiuchi (Paris VII)

Les modèles non linéaires à effets mixtes : quelques applications biostatistiques — Marc Lavielle(univ. Paris V et XI)

Les similarités dans les structures protéiques vues sous un autre angle — Joël Pothier (univ. Paris VI)

Les sous-facteurs : une théorie de Galois enrichie — Vaughan Jones (univ. Berkeley)

Les surprises de la solution équilatéral de Lagrange — Alain Chenciner (Institut de mécanique céleste)

Logic in category theory — Alberto Peruzzi (universita degli studi di Firenze)

Mécanique de Nelson, symétrie temporelle et principe de Mach — Guido Bacciagaluppi (IHPST)

Mélanges - 1 — Sébastien Gouëzel (CNRS Rennes)

Mélanges - 2 — Sébastien Gouëzel (CNRS Rennes)

Mélanges - 3 — Sébastien Gouëzel (CNRS Rennes)

Mélanges - 4 — Sébastien Gouëzel (CNRS Rennes)

Méthodes d’agrégation en classification : optimalité et applications — Guillaume Lecué (univ. Paris VI)

Méthodes de renormalisation: une optique multi-échelles pour dépasser nos points de vue subjectifs— Annick Lesne (univ. Paris VI et VII)

Méthodes statistiques de noyau en biologie — Jean-Philippe Vert (École des Mines)

Mac Lane and Carnap’s Logical Syntax of Language — Steve Awodey (Carnegie Mellon University)

Mathématiques et physique, au miroir de leurs philosophies — Thierry Paul (ENS)

Mathematical intuitions in Kant, Hilbert and Husserl — Mitsuhiro Okada (Philosophy, Keio University, Tokyo)

Mathematical methods in biology and neurobiology — Jürgen Jost (Max-Planck Institut Leipzig and IHES)

Mathesis universalis, logique de l’imagination et écriture symbolique (Descartes / Leibniz …Badiou) —David Rabouin (CNRS)

Maxiset, sélection de modèles et estimation d’images par bandelettes — Erwan Le Pennec (univ. Paris VII)

Milnor Attractors Appearing in A Class of GJ-coupled Neurons — Hiroshi Fuji (Kyoto Sangyo University)

Minimax bounds on the distortion of empirical designed vector quantizers — Andràs Antos (académie des sciences, Hongrie)

Mise en œuvre industrielle d’un composant de data mining sur les réseaux sociaux. Quelques exemples d’application — Françoise Soulié Fogelman (KXEN)

Modélisation et estimation de la dispersion du pollen de maïs à l’aide de processus de diffusion —Agnès Grimaud (INRIA)

Modèles de géométries, conjecture de Poincaré et nature de l’espace — Luciano Boi (EHESS)

Modèles dynamiques continus et discrets en physique classique — Annick Lesne (univ. Paris VI et VII)

Model Combination To Improve Over Model Selection — Yuhong Yang (University of Minnesota)

Model Theory and Analytic Geometry (Lecture 1) — François Loeser (ENS)

Model Theory and Analytic Geometry (Lecture 2) — François Loeser (ENS)

Model Theory and Analytic Geometry (Lecture 3) — François Loeser (ENS)

Model Theory and Analytic Geometry (Lecture 4) — François Loeser (ENS)

Modular Constructions of Unramified Extensions and Their Relation with a Theorem of Herbrand — Ken Ribet (UCLA)

Moindre action chez Poincaré, univocité et complétude chez Einstein — Françoise Balibar (univ. Paris VII) et Raffaella Toncelli (univ. Pise et Bruxelles)

n-Categories in the Light of Earlier Debates on Correct Generality in Category Theory — David Corfield(MPI for Biological Cybernetics)

Naissance et histoire du concept de représentativité — Emmanuel Didier (CNRS)

Noisy computations — Eugene Asarin (univ. Paris VII-CNRS)

Nous sommes tous des élèves d’Henri Cartan : souvenirs d’un magistère normalien (1950-1965) —Pierre Cartier (CNRS/IHES-Paris)

Noyau de la chaleur : fonctions theta et zeta — Serge Lang (univ. de Yale)

Objects mathématiques et objectivation — Enrico Giusti (univ. Florence)

Obtention d’inégalités oracle exactes par méthodes de prédiction séquentielle — Gilles Stoltz (ENS)

On Context-tree Prediction of Individual Sequences — Neri Merhav (Technion, I.I.T.)

On Optimal and Universal Estimators in Learning Theory — Vladimir Temlyakov (University of South Carolina)

Optimal oracle inequality for aggregation of classifiers under low noise condition — Guillaume Lecué(univ. Paris VI)

Ouverture de la journée Henri Cartan — Gabriel Ruget (ENS-Cachan et Ehess)

Ouverture du groupe de lecture Fléau de la dimension (i.e., Curse of Dimensionality) — Pascal Massart(univ. Paris XI)

Pensée, diagramme, catégories — Charles Alunni (ENS)

Penser la polarité musicale du discret et du continu *avec* les sciences — François Nicolas (IRCAM)

Periodic orbits in classical systems — Carles Simo (univ. Barcelone)

Phénomènes d’hystérésis dans les interactions entre molécules biologiques — Philippe Dumas (IBMC, Strasbourg)

Poincaré chez Duchamp. La "quatrième dimension", entre géométrie projective et topologie — Élie During (Paris X / ENSBA)

Poincaré et les quanta — Thierry Paul (ENS)

Poincaré on intuition and arithmetic : une "saine psychologie" ? — Richard Tieszen (univ. San Jose)

Pourquoi les équations aux dérivées partielles interviennent-elles en biologie ? — Hatem Zaag(Département de mathématiques et applications de l’ENS)

Problèmes d’analyse dans les sites sociaux — Rémi Kirche (Skyrock)

Problèmes de classification à coûts asymétriques — Francis Bach (Ecole des mines)

Processus de Hawkes (ou comment détecter les distances evitées ou favorisées entre mots sur l’ADN)— Patricia Reynaud-Bouret (CNRS)

Propriétés statistiques des espaces propres de l’analyse en composantes principales à noyau —Laurent Zwald (univ. Paris XI)

Qu’est-il advenu des objets mathematiques au cours du XXe siècle ? — Jean-Michel Kantor (univ. Paris VII)

Quantization as a discretization — Thierry Paul (ENS)

Quelques difficultés rencontrées lors de l’application du machine learning à des problèmes pratiques, et ce que la recherche fondamentale pourrait apporter — Olivier Bousquet (Google)

Quelques modèles mathématiques de la dynamique de populations — Nicolas Bacaër (IRD)

Quelques remarques sur l’écriture en physique, mathématiques et physique mathématique — Thierry Paul (ENS)

Régularité et chaos dans le problème à trois corps — Dominique Delande (CNRS)

Recherche de communautés dans les grands réseaux — Jean-Loup Guillaume (Paris VI)

Regularization of Kernel Methods by Decreasing the Bandwidth of the Gaussian Kernel — Jean-Philippe Vert (École des Mines)

Séance 1 - Mathématiques, physique et philosophie, une introduction — Giuseppe Longo (CNRS)

Séance 2 - Gödel : Déduction formelle et indécidabilité — Giuseppe Longo (CNRS)

Séance 3 - Poincaré : l’aléatoire comme imprédictibilité dynamique — Giuseppe Longo (CNRS)

Séance 4 - L’incomplétude en logique aujourd’hui : l’incomplétude mathématique des formalismes —Giuseppe Longo (CNRS)

Séance 5 - Einstein : Mécanique quantique et incomplétude — Giuseppe Longo (CNRS)

Séance 6 - Entre physique et biologie — Giuseppe Longo (CNRS)

Sélection de modèles par agrégation — Jean-Yves Audibert (Ecole nationale des ponts et chaussées)

Sélection de modèles par rééchantillonnage — Sylvain Arlot (univ. Paris XI)

Sélection itérative de caractéristiques en estimation de régression — Pierre Alquier (ENSAE)

Séminaire musique et mathématiques — Aldo Giorgio Gargani (univ. Pise)

Séparation d’échelles de temps pour une population structurée — Amandine Véber (ENS)

S’orienter dans la pensée mathématique: l’art des conjectures — Yves André (CNRS-ENS)

Schémas comme formes a priori de l’espace — Pierre Cartier (CNRS/IHES-Paris)

Science et littérature – Les concepts peuvent-ils faire de bons personnages de fiction ? — Denis Guedj(univ. Paris VIII)

Seconde table ronde du colloque Les disciplines face à leur histoire — Charles Alunni (ENS), Étienne Klein (CEA), Norbert Schappacher (Technische Univ. Darmstadt) et Christian Houzel (IUFM Paris)

Sequential Prediction in Stationary and Ergodic Environment — György Ottucsák (Technical University of Budapest)

Solstice d’été - Eratosthène — David Jasmin (INRP/Lamap)

Souvenirs du séminaire Cartan au quotidien — Adrien Douady (univ. Paris XI)

Sparsity in High-Dimensional Learning Problems — Vladimir Koltchinskii (Georgia Institute of Technology)

Sphères d’homotopie (Poincaré) et conjecture de géométrisation (Thurston) : une approche lautmanienne des travaux de R. Hamilton et de G. Perelman — Joël Merker (CNRS)

Statistical Analysis for Rounding Data — Zhidong Bai (National University of Singapore)

Statistical Analysis of Subspace Methods and Associated Learning Algorithms — John Shawe-Taylor(University of Southampton)

Statistique de motifs : et après ? — Stéphane Robin (INA-PG)

Suboptimality of MDL and Bayes in Classification under Misspecification — Peter Grünwald (Centrum voor Wiskunde en Informatica & Eurandom)

Sur la doctrine des individus — Vincent Jullien (univ. Nantes)

Sur les approches transcendantales de la physique mathématique — Jean Petitot (CNRS)

Table-ronde autour de la notion de Trois corps, classique-quantique, discret-continu 1/2 — Jean Petitot (CNRS), Yves-Marie Visetti (Lattice-CNRS/ENS), Thierry Paul (ENS), Carles Simo (univ. Barcelone), Dominique Delande (CNRS), Annick Lesne (univ. Paris VI et VII) et Jean-Michel Salanskis(univ. Paris X)

Table-ronde autour de la notion de Trois corps, classique-quantique, discret-continu 2/2 — François Nicolas (IRCAM), Giuseppe Longo (CNRS), Yves-Marie Visetti (Lattice-CNRS/ENS), Thierry Paul (ENS),Jean-Michel Salanskis (univ. Paris X), Andreas Buchleitner (Max Planck Institute) et Alain Chenciner(Institut de mécanique céleste)

Temps logique et temps musical — Jean-Baptiste Joinet (univ. Paris I et univ. Paris VII-CNRS)

Temps long et hasard au recouvrement quantique/classique — Thierry Paul (ENS)

Test par rééchantillonnage dans un cadre gaussien corrélé — Étienne Roquain (INRA/univ. Paris XI)

Tester l’hétérogénéité des vitesses d’évolution dans les arbres — Marie-Anne Poursat (univ. Paris XI)

Théorie des graphes et géométrisation du sens lexical — Bernard Victorri (Lattice-CNRS/ENS)

The concept of randomness in the 19th and 20th Century — Lorraine Daston (Max-Planck-Institut für Wissenschaftsgeschichte)

The Dantzig Selector: Statistical Estimation when p is Larger than n — Emmanuel Candes (California Institute of Technology)

The driven thee body coulomb problem — Andreas Buchleitner (Max Planck Institute)

The Early Stages of Category Theory (1945-1971) in philosophical perspective. — Michel Serfati (univ. Paris VII)

The Kreisel-Lawvere Debate on Categories and the Foundations of Mathematics — Jean-Pierre Marquis (univ. Montréal)

The Meyer-Vietoris Sequence over Controlled Geometric Modules — Jessica Carter (univ. Southern Denmark)

The natural numbers in toposes and constructive set theories — John Bell (univ. West Ontario)

The Role of Inverse and Direct Limits in the 1930s and 1940s — Ralf Krömer (univ. Nancy 2)

The two-dimensional Keller-Segel model after blow-up — Christian Schmeiser (univ. Vienne)

The varieties of mathematical explanation — Paolo Mancosu (univ. de Berkeley / IHPST)

Theory and Algorithms for Large Scaling Ranking Problems — Tong Zhang (Yahoo Inc.)

Time and phase-space discretization in chaotic systems: how large is 1? — Annick Lesne (univ. Paris VI et VII)

To Foundations through Applications and Back Again The Unity of the Mathematical Work and Outlook of F.W.Lawvere. — Colin McLarty (Case Western Reserve University)

Topological apes, geometrical birds and other etho-mathematical puzzles — Dominique Lestel (DEC, ENS)

Toute théorie est algébrique — René Guitart (mathématicien)

Type I and type II errors for multiple simultaneous hypothesis testing (à l’occasion du pascal Challenge) — Olivier Teytaud (Inria)

Un modèle d’environnement périodique en dynamique des populations — Grégoire Nadin (ENS)

Un peu de théorie des groupes pour les tonalités musicales — Michel Broué (Institut Henri Poincaré)

Un siècle de réflexions philosophiques sur le hasard, de Laplace à Poincaré — Pierre Cartier(CNRS/IHES-Paris)

Une approche de l’aléatoire en primaire — Claudine Schwartz (univ. Grenoble)

Une définition axiomatique et matérialiste de l’âme — Philippe Lazar (IRD)

Visions des sciences — Jean Petitot (CNRS), Giuseppe Longo (CNRS), Jean-Yves Girard (CNRS) etPierre-Louis Curien (CNRS et Paris VII)

Visites de laboratoires et animations pour la Fête de la science —

Vitesses minimales en dimension infinie dans le cadre du bruit blanc gaussien — Patricia Reynaud-Bouret (CNRS)

What is the Navier Stokes equation about ? — Luis A. Caffarelli (Docteur honoris causa de l’ENS)

Source : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=themes&idth...

Probabilité dans les jeux

Les probabilités et les jeux concernent à la fois le jeu de hasard pur et le jeu de hasard raisonné.

Le mathématicien Pascal est très connu pour avoir théorisé les jeux mais par la suite von Neumann (théorie des jeux) et Kolmogorov apportèrent des éléments beaucoup plus importants.

En informatique, Tesauro utilisa l'observation de nombreuses parties de backgammon afin de développer un logiciel d'auto apprentissage basé sur ce jeu.

[Enrouler] v · d · m Probabilités et statistiques
Statistique descriptive • Statistique inférentielle
Échantillon • Variable qualitative nominale • Variable qualitative ordinale • Variable quantitative discrète • Variable quantitative continue • Estimateurs • Variable aléatoire • Théorème central limite
Moyenne • Médiane • Variance • Écart type • Distribution normale Visualisation des données • Histogramme • Boîte à moustaches • Diagramme circulaire • Représentations graphiques de données statistiques
Test (statistique) • Test d'hypothèse • Hypothèse statistique • Hypothèse nulle • Statistiquement significatif • Valeur p • Loi de Student • Test de Student • Loi de Fisher • Test de Fisher • Loi du χ² •Test du χ² • Analyse de la variance • Régression linéaire • Corrélation • Corrélation de Spearman
Analyse des données • Statistique mathématique • Théorie des probabilités • Inégalités • Processus stochastiques • La mécanique statistique • Les statistiques et l'économie • Économétrie •Probabilité dans les jeux • Variables indépendantes et identiquement distribuées • R (logiciel)

Portail des probabilités et des statistiques

Catégorie : Probabilités | [+]

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A9_dans_les_jeux

Variables indépendantes et identiquement distribuées

En statistique, des variables indépendantes et identiquement distribuées (iid) sont des variables aléatoires qui ont toutes la même loi de probabilité et sont mutuellement indépendantes.

En inférence statistique ou en apprentissage automatique, il est très courant de supposer que le tirage des échantillons d'apprentissage sont i.i.d. C'est une condition souvent nécessaire à l'application des théorèmes les plus courants. En particulier le théorème de la limite centrale dans sa forme classique stipule que la somme de variables aléatoires tendent vers unedistribution normale quand ces variable sont i.i.d.

Exemples [modifier]

Un exemple de tirage aléatoire i.i.d est celui du pile ou face. Chaque lancer de pièce suit la même loi de Bernoulli de paramètre $p$ et est indépendant de ceux qui l'ont précédé ou vont lui succéder. Si $p = 0.5$ (pile et face ont la même chance d'apparition), et que nous avons obtenu 10 fois face lors des 10 tirages précédents, les chances d'obtenir pile et face lors du prochain tirage sont néanmoins égales.

Dans l'exemple précédent, le tirage ne serait plus i.i.d :

si on utilise alternativement deux pièces biaisées différemment ( $p_1 ne p_2$ ) car dans ce cas les tirages ne suivent pas la même loi. Il restent néanmoins indépendants.
si on choisit systématiquement la pièce ayant le plus de chance de donner face après chaque tirage pile (et que l'on prend les pièces au hasard après un tirage face), les tirages ne sont plus indépendants car conditionnées par le résultat du tirage précédent.

[Enrouler] v · d · m Probabilités et statistiques
Statistique descriptive • Statistique inférentielle
Échantillon • Variable qualitative nominale • Variable qualitative ordinale • Variable quantitative discrète • Variable quantitative continue • Estimateurs • Variable aléatoire • Théorème central limite
Moyenne • Médiane • Variance • Écart type • Distribution normale Visualisation des données • Histogramme • Boîte à moustaches • Diagramme circulaire • Représentations graphiques de données statistiques
Test (statistique) • Test d'hypothèse • Hypothèse statistique • Hypothèse nulle • Statistiquement significatif • Valeur p • Loi de Student • Test de Student • Loi de Fisher • Test de Fisher • Loi du χ² •Test du χ² • Analyse de la variance • Régression linéaire • Corrélation • Corrélation de Spearman
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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Variables_ind%C3%A9pendantes...

Théorie des probabilités

Courbes de probabilité.

La théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Les objets centraux de la théorie des probabilités sont les variables aléatoires, les processus stochastiques, et lesévénements: ils traduisent de manière abstraite des événements non déterministes ou des quantités mesurées qui peuvent parfois évoluer dans le temps d'une manière apparemment aléatoire. En tant que fondement mathématique desstatistiques, la théorie des probabilités est essentielle à la plupart des activités humaines qui nécessitent une analyse quantitative d'un grand nombre de mesures. Les méthodes de la théorie des probabilités s'appliquent également à la description de systèmes complexes dont on ne connait qu'en partie l'état, comme en mécanique statistique. Une grande découverte de la physique du vingtième siècle fut la nature probabiliste de phénomènes physiques à une échelle microscopique, décrite par la mécanique quantique.

Sommaire

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Historique [modifier]

La théorie mathématique des probabilités trouve ses origines dans l'analyse de jeux de hasard par Gerolamo Cardano au seizième siècle, et par Pierre de Fermat et Blaise Pascal au dix-septième siècle. Bien qu'un simple pile ou face ou un lancer de dés soit un événement aléatoire, en les répétant de nombreuses fois on obtient une série de résultats qui va posséder certaines propriétés statistiques, que l'on peut étudier et prévoir. Deux résultats mathématiques fondamentaux à ce propos sont la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale.

Initialement, la théorie des probabilités considérait surtout les événements discrets, et ses méthodes étaient principalement combinatoires. Mais des considérations analytiques ont forcé l'introduction de variables aléatoires continues dans la théorie. Cette idée prend tout son essor dans la théorie moderne des probabilités, dont les fondations ont été posées parAndreï Nikolaevich Kolmogorov. Kolmogorov combina la notion d'univers, introduite par Richard von Mises et la théorie de la mesure pour présenter son système d'axiomes pour la théorie des probabilités en 1933. Très vite, son approche devint la base incontestée des probabilités modernes.

Théorie des probabilités discrète [modifier]

La théorie discrète des probabilités s'occupe d'événements dans le cadre d'un univers fini ou dénombrable.

Exemples: lancer de dés, expériences avec des paquets de cartes, et marche aléatoire.

Définition classique: Initialement, la probabilité d'un événement était définie comme le nombre de cas favorables pour l'événement, divisé par le nombre total d'issues possibles à l'expérience aléatoire.

Par exemple, si l'événement est obtenir un nombre pair en lançant le dé, sa probabilité est donnée par $tfrac{3}{6}=tfrac{1}{2}$ , puisque trois faces sur six ont un nombre pair.

Définition moderne : La définition moderne commence par un ensemble appelé univers, qui correspond à l'ensemble des issues possibles à l'expérience dans la définition classique. Il est noté $Omega=left { x_1,x_2,dotsright }$ . Ensuite, on a besoin d'une fonction $f$ définie sur $Ω$ , qui va associer à chaque élément de $Ω$ sa probabilité, satisfaisant donc les propriétés suivantes :

$f(x)in[0,1]mbox{ pour tout }xin Omega$
$sum_{xin Omega} f(x) = 1$

On définit ensuite un événement comme un ensemble d'issues, c'est-à-dire un sous-ensemble de $Ω$ . La probabilité d'un évènement $E$ est alors définie de manière naturelle par :

$P(E)=sum_{xin E} f(x),$

Ainsi, la probabilité de l'univers est 1, et la probabilité de l'événement impossible (l'ensemble vide) est 0.

Pour revenir à l'exemple du lancer de dés, on peut modéliser cette expérience en se donnant un univers $Ω = {1;2;3;4;5;6}$ correspondant aux valeurs possibles du dé, et une fonction $f$ qui à chaque $iinOmega$ associe $f(i)=tfrac{1}{6}$ .

Théorie des probabilités continue [modifier]

La théorie des probabilités continue s'occupe des événements qui se produisent dans un univers continu (par exemple la droite réelle).

Définition classique: La définition classique est mise en échec lorsqu'elle est confrontée au cas continu (cf. paradoxe de Bertrand).

Définition moderne Si l'univers est la droite réelle $mathbb{R}$ , alors on admet l'existence d'une fonction appelée fonction de répartition $F,$ , qui donne $P(Xle x) = F(x),$ pour une variable aléatoire $X$ . Autrement dit, $F (x)$ retourne la probabilité que $X$ soit inférieur ou égal à $x$ .

La fonction de répartition doit satisfaire les propriétés suivantes :

$F,$ est une fonction croissante et continue à droite.
$lim_{xrightarrow -infty} F(x)=0$
$lim_{xrightarrow +infty} F(x)=1$

Si $F,$ est dérivable, alors on dit que la variable aléatoire $X$ a une densité de probabilité $f(x)=frac{dF(x)}{dx},$ .

Pour un ensemble $E subseteq mathbb{R}$ , la probabilité que la variable aléatoire $X$ soit dans $E,$ est définie comme :

$P(Xin E) = int_{xin E} dF(x),$

Si la densité de probabilité existe, on peut alors la réécrire :

$P(Xin E) = int_{xin E} f(x),dx$

Tandis que la densité de probabilité n'existe que pour les variables aléatoires continues, la fonction de répartition existe pour toute variable aléatoire (y compris les variables discrètes) à valeurs dans $mathbb{R}$ .

Ces concepts peuvent être généralisés dans les cas multidimensionnel sur $mathbb{R}^n$ et d'autres univers continus.

Principes fondamentaux [modifier]

La probabilité d'un événement donné A, $textstylemathbb{P}(A)$ , est représentée par un nombre compris entre 0 et 1. L'événement impossible a une probabilité de 0 et l'événement certain a une probabilité de 1. Il faut savoir que la réciproque n'est pas vraie. Un événement qui a une probabilité 0 peut très bien se produire dans le cas où un nombre infini d'événements différents peut se produire. Ceci est détaillé dans l'article Ensemble négligeable.

**Quelques notions ou propriétés fondamentales**
Évènement	Probabilité
probabilité de A	$mathbb{P}(A)in[0,1],$
probabilité de ne pas avoir A	$mathbb{P}(A^c)=1-mathbb{P}(A),$
probabilité d'avoir A ou B	$begin{align} mathbb{P}(Acup B) & = mathbb{P}(A)+mathbb{P}(B)-mathbb{P}(Acap B) \ end{align}$
probabilité conditionnelle de A, sachant B	$mathbb{P}(A\|B) = mathbb{P}_{B}(A)=frac{mathbb{P}(Acap B)}{mathbb{P}(B)},$
probabilité d'avoir A et B	$begin{align} mathbb{P}(Acap B) & = mathbb{P}(A\|B)mathbb{P}(B)\ & = mathbb{P}(A)mathbb{P}(B) qquadmbox{si A, B sont indépendants}\ end{align}$

$textstyle Acup B$ est la réunion de A et B. $textstyle Acap B$ est l'intersection de A et de B. $mathbb{P}(A|B)$ est appelé la probabilité conditionnelle de A sachant B. C'est la probabilité d'avoir A quand on sait que l'on a B. Par exemple, pour un dé à 6 faces la probabilité d'avoir un 2 (A) quand on sait que le résultat est pair (B) est égal à $textstylefrac{1/6}{1/2}=1/3$ car la probabilité d'avoir à la fois un 2 et un nombre pair est égal à 1/6 et la probabilité d'avoir un nombre pair est égal à 1/2. Ici on remarque que $textstyle Acap B=A$ car on a toujours un nombre pair quand on a 2.

La théorie des probabilités aujourd'hui [modifier]

Article détaillé : axiomes des probabilités.

Article détaillé : espace probabilisé.

Certaines distributions peuvent être un mélange de distributions discrètes et continues, et donc n'avoir ni densité de probabilité ni fonction de masse. La distribution de Cantor constitue un tel exemple. L'approche moderne des probabilités résout ces problèmes par l'utilisation de la théorie de la mesure pour définir un espace probabilisé et aboutir aux axiomes des probabilités développés par Kolmogorov

Un espace probabilisé comporte trois parties:

un univers $Ω$ : L'univers est l'ensemble de tous les résultats possibles de l'évenement aléatoire. Par exemple pour un dé a 6 faces l'univers est Ω ≡ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
un ensemble d'événements $mathcal{B}$ : C'est une tribu sur les événements Ω. Cet ensemble contient tous les résultats possibles de l'événement au sens large. Par exemple pour un dé à 6 faces il contient la possibilité d'avoir un 1 ou un 2: {1, 2}, la possibilité de ne rien sortir comme résultat: l'ensemble vide $textstyleemptyset$ , la possibilité de sortir n'importe quel face du dé {1, 2, 3, 4, 5, 6}. En général en probabilité on se contente de prendre la tribu borélienne. À titre d'exemple la tribu borélienne pour le résultat d'un dé à 4 faces est donné (celle pour le dé à 6 faces est encore plus grande mais suit le même principe):

{ø, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}. On remarque que cette tribu contient l'ensemble vide ø et Ω={1,2,3,4}. Ceci est le cas pour toutes les tribus.

une mesure $mathbb{P}$ : Cette mesure ou probabilité est la probabilité de réaliser l'un des éléments de $mathcal{B}$ . Cette probabilité est comprise entre 0 et 1 pour tous les éléments de $mathcal{B}$ , c'est lepremier axiome des probabilités. Par exemple pour un dé a 6 faces: la probabilité d'avoir {1} est 1/6, la probabilité de Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, tirer n'importe laquelle des 6 faces, est 1 (ceci est aussi toujours le cas, c'est le deuxième axiome des probabilités), la probabilité de l'ensemble vide ø est 0. Ceci est toujours le cas, c'est également une conséquence des axiomes des probabilités.

Dans cette optique, pour des événements deux à deux disjoints (c'est-à-dire, d'intersection deux à deux vide) A₁, A₂, A₃…, la probabilité de leur union apparaît comme la somme de leurs probabilités, ou, avec les notations mathématiques, $Pleft(A_1cup A_2cup A_3cupcdotsright) =P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+cdots.$

C'est le troisième et dernier axiome des probabilités. Par exemple, et toujours pour un dé à 6 faces, la probabilité de tirer un 1 ou un 2 $mathbb{P}({1,2})=mathbb{P}({1})+mathbb{P}({2})=2/6$

En plus de permettre une meilleure compréhension et une unification des théories discrètes et continues des probabilités, l'approche de la théorie de la mesure nous permet aussi de parler de probabilités en dehors de $mathbb{R}^n$ , notamment dans la théorie des processus stochastiques. Par exemple pour l'étude du mouvement brownien, la probabilité est définie sur un espace de fonctions.

Lois de probabilité [modifier]

Article détaillé : Loi de probabilité.

Certaines variables aléatoires sont fréquemment rencontrées en théorie des probabilités car on les retrouve dans de nombreux processus naturels ; leur loi a donc une importance particulière. Les lois discrètes les plus fréquentes sont la loi uniforme discrète, la loi de Bernoulli, ainsi que les lois binomiale, de Poisson et géométrique. Les lois uniforme continue,normale, exponentielle et gamma sont parmi les plus importantes lois continues.

Convergence de variables aléatoires [modifier]

Article détaillé : convergence de variables aléatoires.

En théorie des probabilités, il y a plusieurs notions de convergence pour les variables aléatoires. En voici une liste:

Convergence en loi: une suite de variables aléatoires $(X_n)_{ninmathbb{N}}$ converge en loi vers la variable aléatoire $X,$ si et seulement si la suite des mesures images $(mu_{X_n})_ninmathbb{N}$ converge étroitement vers la mesure image

μ X

. En particulier dans le cas réel, il faut et il suffit que les fonctions de répartition convergent simplement vers la fonction de répartition de X en tout point de continuité de cette dernière.

Convergence en probabilité: $(X_n)_{ninmathbb{N}}$ converge en probabilité vers $X,$ ssi $forall epsilon >0$ , $lim_{nrightarrowinfty}Pleft(left|X_n-Xright|geqvarepsilonright)=0$ . Cette convergence implique la convergence en loi.

Convergence presque sûre: $(X_n)_{ninmathbb{N}}$ converge presque sûrement vers $X,$ ssi $P({omega/lim_{nrightarrowinfty} X_n(omega)=X(omega)})=1$ . Elle implique la convergence en probabilité, donc la convergence en loi.

Convergence dans $mathcal{L}^1$ : $(X_n)_{ninmathbb{N}}$ converge dans $mathcal{L}^1$ vers $X,$ ssi $lim_{nrightarrowinfty}E(|X_n-X|)=0$ . Elle implique aussi la convergence en probabilité.

Le calcul stochastique [modifier]

Article détaillé : calcul stochastique.

Un processus stochastique est un processus aléatoire qui dépend du temps. Un processus stochastique est donc une fonction de deux variables : le temps et la réalisation ω d'une certaine expérience aléatoire. Quelques exemples d'utilisation des processus stochastiques incluent le mouvement brownien, les fluctuations du marché boursier, ou la reconnaissance vocale. En temps discret, ces processus sont aussi connus sous le nom de Séries temporelles et servent entre autres en économétrie.

Parmi les processus stochastiques, les chaînes de Markov constituent l'exemple le plus simple et sans doute celui qui a le plus d'applications pratiques.

Chaîne de Markov [modifier]

Article détaillé : chaîne de Markov.

Une chaîne de Markov est un processus stochastique possédant la propriété markovienne. Dans un tel processus, la prédiction du futur à partir du présent ne nécessite pas la connaissance du passé. Il suffit alors de connaître l'état de la chaîne à un instant t pour savoir comme elle évoluera au temps t+1, il n'est pas nécessaire de connaître tout le passé entre 0 et t pour prévoir l'évolution de la chaîne.

Une chaîne en temps discret est une séquence X₁, X₂, X₃, ... de variables aléatoires. La valeur X_n étant l'état du processus au moment n. Si la distribution de probabilité conditionnellede X_n+1 sur les états passés est une fonction de X_n seulement, alors de façon mathématique:

$P(X_{n+1}=x|X_0, X_1, X_2, ldots, X_n) = P(X_{n+1}=x|X_n).$

où x est un état quelconque du processus, $mathbb{P}(A|B)$ est la probabilité d'avoir A quand on sait que l'on a B par exemple ici la probabilité d'avoir une certaine valeur pour $X n + 1$ quand on connaît la valeur de $X n$ . L'identité ci-dessus est la propriété de Markov pour le cas particulier d'une chaîne en temps discret. La probabilité $P (X n + 1 = x | X n = y)$ est appelée la probabilité de transition de x à y ; c'est la probabilité d'aller de x à y au temps n et a une importance particulière pour l'étude de ces chaînes. Nous considérons ici uniquement des chaînes de Markov en temps discret mais il faut savoir qu'il existe une généralisation en temps continu.

Cette propriété de Markov s'oppose à la notion d'hystérésis où l'état actuel dépend de l'histoire et non seulement de l'état actuel. Ces chaînes de Markov ou des modèles de Markov cachés interviennent dans l'étude de la marche aléatoire et ont de nombreux champs d'application: filtre anti-spam, mouvement brownien, hypothèse ergodique, théorie de l'information,reconnaissance des formes, algorithme de Viterbi utilisé en téléphonie mobile, etc...

Trois marches aléatoires (indépendantes) isotropes sur le réseau $mathbb{Z}^2$ ; 10 000 pas.

Article détaillé : marche aléatoire.

Citons entre autres comme cas particuliers de chaînes de Markov la marche aléatoire qui sert en particulier à l'étude de la diffusion ou du jeu de pile ou face. Une marche aléatoire est une chaîne de Markov où la probabilité de transition ne dépend que de x-y. Autrement dit une chaîne de Markov où l'on a: $P (X n + 1 = x | X n = y) = f (x - y)$ .

Un jeu de pile ou face où l'on jouerait 1 à chaque lancer est un exemple de marche aléatoire. Si on a y après n lancers, $P (X n + 1 = x | X n = y) = 1 / 2$ si (x-y)=+1 ou -1 et 0 sinon. (on a une chance sur deux de gagner 1 et une chance sur deux de perdre 1)

Équations différentielles stochastiques [modifier]

Article détaillé : Équation différentielle stochastique.

Les équations différentielles stochastiques sont une forme d'équation différentielle incluant un terme de bruit blanc. Ces équations différentielles stochastiques remplacent les équations différentielles ordinaires lorsque l'aléatoire entre en jeu. Au premier ordre par exemple: $frac{dX(t)}{dt}=mu(X(t))+sigma(X(t))xi(t)$

Pour faire une analogie avec la physique, $μ(X (t))$ est la vitesse moyenne au point X(t) et $σ$ est lié au coefficient de diffusion (voir à ce propos l'exemple donné dans lemme d'Itô). Lelemme d'Itô et l'intégrale d'Itô permettent alors de passer de ces équations stochastiques à des équations aux dérivées partielles classiques ou à des équations intégrales. Par exemple en utilisant le lemme d'Itô on obtient pour la probabilité de se trouver à l'instant t au point x:

$frac{partial p(x,t)}{partial t}=frac{sigma(x)^2}{2} frac{partial^2 p (x,t)}{partial x^2} +mu(x)frac{partial p(x,t)}{partial x}$

Ce lemme est particulièrement important car il permet de faire le lien entre l'étude d'équations stochastiques et les équations aux dérivées partielles qui relèvent de l'analyse. Ce lemme permet entre autres d'obtenir les équation de Fokker-Planck en physique et de traiter le mouvement brownien par des équations aux dérivées partielles classiques ou de modéliser les cours de la bourse en Mathématiques financières.

Voir aussi [modifier]

Articles connexes [modifier]

Liens externes [modifier]

Jean-François Le Gall, Intégration, probabilités et processus aléatoires [pdf], cours de l'ENS.

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JOURNAL OF NONCOMMUTATIVE GEOMETRY

The Journal of Noncommutative Geometry covers the noncommutative world in all its aspects. It is devoted to publication of research articles which represent major advances in the area of noncommutative geometry and its applications to other fields of mathematics and theoretical physics. Topics covered include in particular:

Hochschild and cyclic cohomology
K-theory and index theory
Measure theory and topology of noncommutative spaces, operator algebras
Spectral geometry of noncommutative spaces
Noncommutative algebraic geometry
Hopf algebras and quantum groups
Foliations, groupoids, stacks, gerbes
Deformations and quantization
Noncommutative spaces in number theory and arithmetic geometry
Noncommutative geometry in physics: QFT, renormalization, gauge theory, string theory, gravity, mirror symmetry, solid state physics, statistical mechanics

The Journal of Noncommutative Geometry is covered in:
Mathematical Reviews (MR), Current Mathematical Publications (CMP), MathSciNet, Zentralblatt für Mathematik, Zentralblatt MATH Database, Science Citation Index Expanded (SCIE), CompuMath Citation Index (CMCI), Current Contents/Physical, Chemical & Earth Sciences (CC/PC&ES), ISI Alerting Services, Journal Citation Reports/Science Edition, Web of Science.

DOI: 10.4171/JNCG

Source : http://www.ems-ph.org/journals/journal.php?jrn=jncg

Documents

Ouvrages

Noncommutative Geometry [PDF] 4.1 MB
Academic Press, San Diego, CA, 1994, 661 p., ISBN 0-12-185860-X.
Noncommutative Geometry, Quantum Fields and Motives [PDF] 6.4 MB
Avec Matilde Marcolli

Preliminary version still under revision.

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Avec Max Karoubi

Disponible depuis le 10 mai 2007
Cyclic cohomology, the Novikov conjecture and hyperbolic groups [PDF] 2.7 MB
Avec Henri Moscovici

Disponible depuis le 25 avril 2007
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C* algèbres et géométrie différentielle [PDF] 1.2 MB
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Caractère multiplicatif d'un module de Fredholm [PDF] 1.6 MB
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Quantum Fields and Motives [PDF] 373 KB [PS] 355 KB
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La Pensée d'Evariste Galois et le Formalisme moderne [PDF] 259 KB [PS] 1.6 MB
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Noncommutative geometry and the standard model with neutrino mixing [PDF] 262 KB [PS] 414 KB
Type III and spectral triples [PDF] 180 KB [PS] 197 KB
Avec H. Moscovici
Gravity and the standard model with neutrino mixing [PDF] 722 KB [PS] 1.8 MB
Avec A. Chamseddine et M. Marcolli
The Weil proof and the geometry of the adeles class space [PDF] 636 KB [PS] 1.4 MB
Avec C. Consani et M. Marcolli
Quantum Gravity Boundary Terms from Spectral Action [PDF] 116 KB
Avec A. Chamseddine
Why the Standard Model [PDF] 188 KB
Avec A. Chamseddine
A Dress for SM the Beggar [PDF] 111 KB
Avec A. Chamseddine
On the spectral characterization of manifolds [PDF] 674 KB
Fun with F1 [PDF] 391 KB
Avec K. Consani, M. Marcolli
On the notion of geometry over F1 [PDF] 305 KB
Avec K. Consani
A Unitary Invariant in Riemannian Geometry [PDF] 369 KB
The Uncanny precision of the Spectral Action [PDF] 314 KB
Avec A. Chamseddine
Schemes over F1 and zeta functions [PDF] 378 KB
Avec K. Consani
The Gauss-Bonnet Theorem for the noncommutative two torus [PDF] 192 KB
Avec P. Tretkoff
Characteristic 1, entropy and the absolute point [PDF] 565 KB
Avec K. Consani
The hyperring of adele classes [PDF] 269 KB
Avec K. Consani
From monoids to hyperstructures: in search of an absolute arithmetic. [PDF] 269 KB
Avec K. Consani
The Witt construction in characteristic one and Quantization. [PDF] 351 KB
Noncommutative geometric spaces with boundary: Spectral Action [PDF] 225 KB
Avec A. Chamseddine

Articles de synthèse

Noncommutative geometry and physics [PDF] 1.4 MB [PS] 1.9 MB
A View of Mathematics [PDF] 418 KB [PS] 2.9 MB
Gelfand's 90th [PDF] 232 KB [PS] 446 KB
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Cours au Collège de France

Renormalisation (2005 - 2006)
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- Cours n°5 [PDF] 105 KB [PS] 1.0 MB
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- Cours n°8 [PDF] 142 KB [PS] 436 KB
- Cours n°9 [PDF] 182 KB [PS] 1.3 MB
Géométrie des algèbres quadratiques (2004 - 2005) [PDF] 104 KB [PS] 239 KB
Q-réseaux (2003 - 2004) [PDF] 98 KB [PS] 236 KB
Structures transverses et Crochets de Rankin-Cohen (2002 - 2003) [PDF] 89 KB [PS] 219 KB
Variétés Noncommutatives de type Sphérique (2000 - 2001) [PDF] 74 KB [PS] 189 KB
Renormalisation en théorie des champs et problème de Riemann-Hilbert (1999 - 2000) [PDF] 83 KB [PS] 206 KB
Réalisation spectrale des Zéros de Zéta (1998 - 1999) [PDF] 123 KB [PS] 208 KB
Algèbres de Hopf, Cohomologie Cyclique et Théorème de l'Indice transverse (1997 - 1998) [PS] 184 KB
Leçon inaugurale (11 janvier 1985) [PDF] 4.1 MB [PS] 5.2 MB

Autres conférences

NCG and Physics [PPT] 2.8 MB
NCG and modular forms [PPT] 4.9 MB
NCG and foliations [PDF] 168 KB [PS] 311 KB
Conférence Boltzmann [PDF] 370 KB [PS] 1.9 MB

Documents divers

La géométrie non-commutative (présentation du C.N.R.S., 2004) [PDF] 89 KB
Dossier de presse de la manifestation « Rencontre de géométrie non-commutative » (I.H.E.S., 2002) [PDF] 5.6 MB
Album photos (C.N.R.S.) [PDF] 128 KB
Interview E.M.S. [PDF] 114 KB

Source : http://www.alainconnes.org/fr/downloads.php

Professeurs disparus

Szolem Mandelbrojt

CHAIRE DE MÉCANIQUE ANALYTIQUE ET MÉCANIQUE CÉLESTE

(1938 - 1972)

Né le 20 janvier 1899 à Varsovie
Décédé le 23 septembre 1983

CARRIÈRE

1917 - 1919 : Ecole Polytechnique et Université de Varsovie

1919 - 1920 : Université de Kharkov

1923 : Equivalence de la licence de sciences mathématiques

1923 : Doctorat ès sciences mathématiques

1928 - 1929 : Chargé de cours à la faculté des sciences de Lille

1929 - 1930 : Chargé de cours à la faculté des sciences de Clermont-ferrand

1930 - 1938 : Professeur de calcul différentiel et intégral, à la faculté des sciences de Clermont-Ferrand

DISTINCTIONS HONORIFIQUES

1928 : Prix Francoeur

1933 : Prix Bordin

1938 : Prix Poncelet (Académie des sciences)

1945 : Prix Petit d’Ormoy (Académie des sciences)

1948 : Chevalier de la légion d’honneur

1960 : Grand prix des sciences mathématiques et physiques

PRINCIPAUX OUVRAGES ET ARTICLES

-Sur les séries de Taylor qui présentent des lacunes, thèse de doctorat, 1923

-La série de Taylor et son prolongement analytique, avec Hadamard, 1926

-Modern researches on the singularities of functions defined by Taylor series, 1927

-Les singularités des fonctions analytiques représentées par une série de Taylor, 1932

-Séries de Fourier et classes quasi-analytiques de fonctions, 1936

-Séries lacunaires. Exposés sur la théorie des fonctions, 1936

-La régularisation des fonctions, 1938

-Quasi-analyticity and classes of infinitely differentiable functions, 1942

-Dirichlet Series, 1944

-General theorems of closure, 1951

-Séries adhérentes. Régularisation des suites, 1952

-Composition Theorems, 1958

-Théorèmes de fermeture et théorèmes de composition (en russe), 1962

-Séries de Dirichlet, principes et méthodes, 1969

Source : http://www.college-de-france.fr/default/EN/all/ins_dis/sz...

Mathématique

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