Cours de 6ème - Symétrie Axiale

Symétrie Axiale

 

 

 

 

• Figures symétriques:

Définition :

Deux figures symétriques par rapport à une droite d sont superposables par
pliage autour de la droite d.

Les figures ABCDE et A'B'C'D'E' sont symétriques par rapport à la droite d. Cette droite d est appelée axe de symétrie

Propriété :
Deux figures symétriques ont les mêmes dimensions (longueurs, angles, aires).

Définition :

Une figure possède un axe de symétrie, si elle est sa propre symétrique dans la symétrie par rapport à cet axe.

La figure posséde un axe de symétrie . (axe en pointillé )

• Points symétriques:
  

Définition :

Deux points A et A' sont symétriques par rapport à une droite (d) signifie que (d) est la médiatrice du segment [AA'].

(d) est la médiatrice du segment [AA']. I est le milieu de [AA'].

 

 

 

Propriété :

Un point situé sur l'axe de symétrie (d) sera son propre symétrique.

• Propriété :

La symétrie axiale conserve les longueurs : le symétrique d'un segment par rapport à une droite est un segment de même longueur ; et les angles :le symétrique d'un angle par rapport à une droite est un angle de même mesure.

Source : http://194.2.124.18/monbru/index.html

Cours de 6ème - Fractions

Fractions

Définitions

est une écriture fractionnaire du quotient de a par b.

a est le numérateur.
b est le dénominateur.
Lorsque le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers, l'écriture fractionnaire est appelée fraction.

Fractions égales
On ne change pas un nombre en écriture fractionnaire en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul .

Soient a , b et k trois entiers , alors :

Multiplier un nombre à une fraction :

Pour multiplier un nombre à une fraction , on mutiplie ce nombre au numérateur ensuite on divise le résultat obtenu par le dénominateur .

Source :

http://194.2.124.18/monbru/index.html

Cours de 6ème - Droites parallèles et droites perpendiculaires :

Droites parallèles et droites perpendiculaires :

1. Définitions .
   
   Deux droites sécantes sont deux droites qui ont un ( seul ) point commun. Sinon, elles sont parallèles. (d) et (d') sont deux droites parallèles .
   

   Deux droites perpendiculaires sont deux droites ( sécantes ) qui forment un angle droit. (d) et (d') sont deux droites perpendiculaires .
   

2. Propriétés .
   
   Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles

   . Les droites (d) et (d') sont perpendiculaires à la droite (d1), alors les droites (d) et (d') sont parallèles .
   
   Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l'une, alors elle est perpendiculaire à l'autre .  Les droites (d) et (d') sont parallèles ,la droite (d1)est perpendiculaire à la droite (d) , alors les droites (d1) et (d') sont perpendiculaires .

   
   Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles.

   Les droites (d1) et (d2) sont parallèles à la droite (d3) , alors (d1) et (d2) sont parallèles.
   

 

source : http://194.2.124.18/monbru/index.html

Fractal Zoom Mandelbrot Corner

Vidéo

Quelques informations sur les fractales

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Avertissement : la lecture de cette page est inutile si les fractales vous sont familières. Elle est fortement déconseillée aux mathématiciens, à moins qu’ils soient très indulgents pour l’aspect élémentaire et les approximations de ces explications.

Euclide et les fractales
	Euclide aurait certainement horrifié s’il avait connu les fractales, comme l’ont été beaucoup de ses successeurs, beaucoup plus proches de nous, qui ne voyaient là que des monstres mathématiques dont il convenait de se détourner ! Et pourtant... On obtient une image fractale en partant d’un objet graphique auquel on applique une certaine transformation qui ajoute un élément de complexité, puis en appliquant la même transformation au nouvel objet ainsi obtenu, ce qui accroît encore sa complexité... et en recommençant à l’infini ce processus d’itération. Bien entendu toutes les itérations n’engendrent pas des fractales. Prenons un segment de droite et effaçons-en une moitié, puis appliquons au demi-segment résultant la même opération : il est évident que pour un nombre d’itérations infini la figure tend vers un point. Rien de très passionnant. Si en revanche on prélève à ce segment son 1/3 central, puis qu’à chacun des deux segments résultants on enlève à nouveau leur 1/3 central, etc. on tend vers une figure, certes peu spectaculaire, mais dotée de propriétés mathématiques curieuses : la poussière de Cantor.
	En effet, imaginons qu’on « zoome » dans cette figure avec une loupe puis un microscope à des grossissements de plus en plus puissants. Quel que soit le grossissement on observera la même structure. On sera donc incapable, sur un détail, de décider quel est le grossissement auquel la poussière de Cantor aura été observée (dans l’illustration ci-dessus la résolution de l’écran limite l’observation des plus fins détails). Première propriété d’une image fractale : l’auto-similarité, ou invariance d’échelle.
	Légèrement plus spectaculaire est l’exemple de la « courbe » ou « flocon » de Koch. Cette « courbe » s’obtient en appliquant à chaque côté d’un triangle équilatéral une transformation un peu différente : on remplace le 1/3 central de chaque côté par 2 segments ayant la même longueur que celle qui a été prélevée. À la première itération on obtient une image proche d’une étoile de David, puis au fur et à mesure des itérations successives le résultat mime plus ou moins un flocon de neige. Là encore, à quelque grossissement qu’on examine la « courbe » on observera les mêmes détails... pour autant que le nombre d’itérations soit infini (ou, au moins, assez important).
	Ce type de courbe présente une particularité bien curieuse. La première intuition conduit à penser que, puisqu’on ajoute des détails de plus en plus petits au fur et à mesure des itérations successives, le périmètre de cette figure tend vers une valeur limite finie. En réalité, à la première itération la longueur l de chaque côté est remplacée par 4 l / 3 ; à la deuxième elle devient 16 l / 9... Autrement dit, à chaque itération la longueur est multipliée par 4 / 3, ce qui signifie que (contrairement à l’intuition première) la longueur d’une courbe de Koch tend vers l’infini pour un nombre d’itérations infini. Et pourtant cette courbe ne déborde à aucun moment des limites constituées à l’extérieur par le cercle circonscrit au triangle initial, et à l’intérieur par le cercle inscrit dans ce triangle ! Une autre propriété encore moins intuitive est relative à la dimension des objets fractals. Nous savons tous qu’un point est une figure de dimension 0 ; qu’une ligne droite est un objet de dimension 1 ; qu’une surface plane est un objet de dimension 2 ; qu’un volume est de dimension 3... qu’en est-il d’un objet fractal ? Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour exprimer la dimension d’un objet. Sans entrer dans les détails on peut penser qu’un objet bizarre comme la courbe de Koch, qui a une longueur infinie tout en n’emplissant qu’une région très limitée du plan, doit avoir des propriétés très particulières. En fait on peut démontrer que sa dimension est égale à log 4 / log 3. Presque tous les objets fractals ont des dimensions non entières. Ceci est encore moins intuitif qu’une longueur infinie.

Les nombres complexes et les fractales
	Il existe toute une série d’objets fractals curieux qu’il est possible de construire à partir d’opérations simples de la géométrie euclidienne, comme les précédents (l’image en tête de page est une variante du tamis de Sierpinski, après 4 itérations). Certains sont des figures planes, d’autres déploient leur structure dans l’espace. Mais si l’on applique le procédé d’itération à des formules même très simples, utilisant lesnombres complexes, on entre dans un monde fabuleux de formes étranges et d’une beauté parfois étonnante. Rappelons qu’un nombre complexe a la structure générale suivante :
	z = x + yi
	où x et y sont des nombres réels et i est la racine carrée de -1 (opération qui était jugée impossible par les mathématiques anciennes, puisqu’avec les nombres réels un carré est toujours positif). x est la partie réelle du nombre et y est la partie imaginaire. On peut se demander comment on peut représenter graphiquement un fonction utilisant des nombres complexes puisqu’il n’est pas possible d’associer une image mentale concrète à un nombre aussi étrange que la racine carrée de -1. Le principe qui guide la réalisation de la plupart de ces images sur un ordinateur est en réalité très simple. Quand on gradue un axe de coordonnées on peut donner à chaque division de l’axe une valeur unité conventionnelle quelconque. Si l’on dit que la valeur qu’une division vaut i on aura d’un côté de l’origine la représentation des nombres i, 2i, 3i... et de l’autre côté -i, -2i, -3i... l’axe des x représente la partie réelle du résultat du calcul ; l’axe des y représente la partie imaginaire, et la luminosité ou la couleur de chaque point est fonction du nombre d’itérations nécessaires pour que le résultat réponde à une condition donnée. Prenons une expression aussi simple que
	c est un nombre complexe quelconque fixé au départ. On fait le calcul pour chacun des points z du plan complexe (chaque point a une coordonnée x réelle et une coordonnée y imaginaire). Seulement, petit détail, au lieu de faire le calcul une seule fois pour chaque point, on recommence en donnant à z la valeur z' trouvée dans le calcul précédent et l’on recommence encore en donnant à z la valeur z' trouvée par ce nouveau calcul... En bref on effectue un nombre d’itérations théoriquement infini lors du calcul de chacun des points, ce qui peut s’écrire
	en partant d’une valeur initiale z(0) égale aux coordonnées de chaque point du plan complexe. Il est intéressant de voir vers quelle valeur tend cette fonction pour chacun des points du plan complexe. On s’aperçoit que pour beaucoup de points (c’est-à-dire de valeurs initiales de z) la fonction diverge plus ou moins rapidement (la valeur de z' s’écarte de plus en plus de la valeur initiale). Au contraire pour certains points le résultat reste définitivement enfermé dans un intervalle limité : la fonction ne diverge pas, même pour un nombre infini d’itérations. l’ensemble des points pour lesquels la fonction ne diverge pas forme un ensemble appelé ensemble de Julia rempli (la zone noire au centre de la figure ; l’ensemble de Julia stricto sensu est la frontière de cette zone). Bien entendu il existe un nombre infini d’ensembles de Julia, puisqu’on peut donner à c n’importe quelle valeur. Selon la valeur de c l’ensemble de Julia peut dessiner des figures très banales ou, au contraire, des images extraordinairement complexes et souvent très esthétiques. Point fondamental ces ensembles de Julia sont des structures fractales.
	partie réelle de c = -0.0519... partie imaginaire = 0.688...
	Dans certains cas l’ensemble de Julia est continu (ou, plus rigoureusement, connexe) comme ci-dessus, mais dans d’autres il est fragmenté (non connexe) comme ci-dessous.
	partie réelle de c = -0.577... partie imaginaire = 0.478...
	Les points pour lesquels la valeur de z diverge ne font pas partie de l’ensemble de Julia rempli : ils sont situés à l’extérieur. Mais on peut obtenir des informations complémentaires en leur affectant une luminosité ou une couleur fonction du nombre d’itérations nécessaires pour observer la divergence. En d’autres termes cette couleur est une mesure de la vitesse avec laquelle la fonction diverge pour ce point. Autour de l’ensemble proprement dit, coloré en noir ici, on observe une série d’auréoles dessinant des figures parfois très intéressantes (voir ci-dessus et ci-dessous).
	Détail d’un ensemble de Julia (x 14.57)
	Si, au lieu de donner une valeur fixe et arbitraire à c on lui affecte pour tout point du plan complexe une valeur initiale c = z(0), on obtient un objet mathématique plus complexe appelé ensemble de Mandelbrot. l’ensemble de Mandelbrot est, là encore, l’objet noir au centre de l’image.
	Remarque : contrairement aux apparences l’ensemble de Mandelbrot est connexe, mais certains détails sont si ténus qu’ils ne sont pas visibles à la résolution de l’écran.
	Si l’explication précédente ne vous a pas parue claire, en voici une autre, strictement équivalente. Au lieu de calculer la fonction en donnant une valeur constante et arbitraire à c, considérons c comme une variable à laquelle nous attribuerons successivement les valeurs correspondant aux différents points du plan complexe (heureusement sur un écran d’ordinateur le nombre de points à calculer est limité par le nombre de pixels affichés). Pour chacune de ces valeurs itérons la fonction en partant de la valeurz(0)=(0,0) et colorons chaque point c en utilisant la même recette que pour les ensembles de Julia. Nous obtenons l’ensemble de Mandelbrot. Pourquoi les deux explications sont-elles équivalentes ? Parce qu’à la première itération la valeur de z étant nulle, la valeur de z(1) est égale à0+c, c’est-à-dire c. Relisez maintenant la première explication et choisissez celle que vous préférez. Bien entendu, s’il y a une infinité d’ensembles de Julia, il n’existe qu’un seul ensemble de Mandelbrot pour la fonction
	Il y a, évidemment, une relation entre cet ensemble et les ensembles de Julia : l’ensemble de Mandelbrot est l’ensemble de tous les points cpour lesquels l’ensemble de Julia correspondant est connexe. Autrement dit, quand on prend pour c une valeur en dehors de la surface noire on obtient un ensemble de Julia « brisé ». Les ensembles de Mandelbrot et de Julia sont des objets fractals et en zoomant sur leur bordure on peut y voir, quel que soit le grossissement, des structures toujours aussi complexes et auto-similaires. c’est ainsi que l’ensemble de Mandelbrot possède à sa périphérie une multitude de ramifications qui se dilatent localement en mini-ensembles de Mandelbrot qui, à leur tour... Tous ces détails sont auto-similaires, ce qui ne veut pas dire qu’ils soient rigoureusement identiques entre eux (contrairement aux fractales plus vues plus haut, engendrées par des opérations géométriques simples). La série d’image suivante montre des grossissements de plus en plus forts révélant des mini-ensembles de Mandelbrot à la périphérie de l’ensemble central. Toutes les images, sauf la dernière, ont été traitées en niveau de bleu pour simplifier la reconnaissance des formes. Dans chacune un petit rectangle montre les limites de l’image suivante. En cliquant sur chaque image on visualise une image de taille 800x600. Le facteur d’agrandissement entre la première et la dernière image de la série est de 3 200 000 fois.
	Toutes les images peuvent être vues au format 800x600
	La fonction qui engendre les ensembles de Julia et de Mandelbrot est l’exemple le plus simple qu’on puisse trouver. Pourtant l’ensemble de Mandelbrot est considéré par certains comme l’objet mathématique le plus complexe connu. Toutes ses propriétés n’ont d’ailleurs pas encore été démontrées. On a pu établir que la dimension de sa bordure est 2, ce qui est la plus grande dimension fractale possible pour une structure de surface nulle (mais curieusement on n’a pas encore démontré que cette surface est nulle, bien que ceci paraisse intuitivement évident :Douady, communication personnelle ; 1996). Beaucoup d’amateurs d’images fractales utilisent d’autres fonctions. Certaines ne sont que des modifications plus ou moins complexes des formules de Julia et Mandelbrot ; d’autres sont totalement différentes. Le programme Fractint et d’autres programmes plus récents permettent de tester sans problème pratiquement toutes les fonctions nouvelles qu’on peut imaginer. Il reste un dernier détail : comment tester si la fonction diverge pour un point donné du plan complexe ? Je me limiterai encore aux ensembles de Julia et de Mandelbrot, mais le principe est applicable à beaucoup d’autres fonctions. Il consiste à vérifier que le module de zreste inférieur ou égal à une valeur de référence qui, pour les deux ensembles choisis comme exemple, est 2 (sur ce point nous ferons confiance aux mathématiciens). c’est la « valeur d’échappement » (bailout value en anglais). Le module d’un nombre complexe est une astuce mathématique parfaitement légitime pour se débarasser de i et retomber dans le domaine rassurant des nombres réels (au prix toutefois d’une certaine perte d’information). Si on appelle x la partie réelle et y la partie imaginaire d’un nombre complexe, le module est
	(remarquez que pour la vitesse du calcul il est plus facile de vérifier que le carré du module est <= 4, astuce utilisée par Fractint).

	Informations théoriques sur d’autres serveurs.
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	Mon album de fractales
	Dernière mise à jour : 02/10/03   Source : http://fractals.iut.u-bordeaux1.fr/jpl/jpl1.html

Cours de tests paramétriques

Descriptif du cours

Auteurs :	Peggy Cénac, Florence Muri-Majoube
Domaine :	Mathématiques :: Statistique
Niveau :	Licence	Langue :	Français

Description :	Ce cours introduit les concepts nécessaires pour développer et appliquer les tests paramétriques.
Prérequis :
Mots clefs :	test ; paramétrique ; comparaison ; moyenne ; variance ; intervalle ; de ; confiance ; niveau ; puissance
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Cours de tests paramétriques

Par Peggy Cénac, Florence Muri-Majoube 
Ce cours introduit les concepts nécessaires pour développer et appliquer les tests paramétriques.
Date d'envoi : 01-Jul-2007 17:21

Source : http://www.librecours.org/cgi-bin/course?callback=info&am...

La théorie des groupes et résolutions des équations algébriques

Descriptif du cours

Auteurs :	Serge Hublau
Domaine :	Mathématiques :: Histoire des mathématiques
Niveau :	Licence	Langue :	Français

Description :	Vulgarisation de la théorie des groupes, de la théorie de Galois et de leurs applications à la résolution par radicaux des équations polynomiales insistant sur l'aspect historique des fondements de la théorie de Galois
Prérequis :
Mots clefs :
Commentaire :

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La théorie des groupes et résolutions des équations algébriques Par Serge Hublau  Vulgarisation de la théorie des groupes, de la théorie de Galois et de leurs applications à la résolution par radicau... Date d'envoi : 07-Dec-2004 17:04

PDF (2.20Mo) PS (3.19Mo)

Tables des matières

Du nombre au groupe
Théorie des groupes
Groupes, anneaux, corps et morphismes
Groupes cycliques
Groupes diédraux
Groupes de permutations
Les homomorphismes de Sn vers Sn-1
Vers une classification des groupes
Les groupes et la géométrie
La résolution des équations algébriques
Le mémoire de Lagrange
Disquisitiones Arithmetica de Gauss
Les mémoires d'Abel
Les écrits mathématiques de Galois
La théorie de Galois à travers des exemples
Le groupe de Galois, vu comme un critère pour déterminer la résolubilité des équations par radicaux
Annexes
Bibliographie

Source : http://www.librecours.org/cgi-bin/course?callback=info&am...

L'histoire des logarithmes

Descriptif du cours

Auteurs :	Simon Trompler
Domaine :	Mathématiques :: Histoire des mathématiques
Niveau :	Licence	Langue :	Français

Description :	Les logarithmes: histoire de leur développement.
Prérequis :
Mots clefs :	histoire ; logarithme ; log
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Documents associés

L'histoire des logarithmes Par Simon Trompler  Les logarithmes: histoire de leur développement. Date d'envoi : 12-Jan-2004 14:45

PDF (265.25ko) PS (768.18ko)

Tables des matières

Première partie: Les logarithmes. Histoire de leur développement
1. Avant Neper
2. John Napier ou Neper (1550-1617)
3. Aprés Neper
4. Les logarithmes et les courbes
5. Les logarithmes et le calcul infinitésimal
6. Les logarithmes des nombres négatifs et des imaginaires
7. l'oeuvre d'Euler
Deuxième partie: Compléments:
1. La période mésopotamienne
2. Archimède: l'Arénaire
3. John Napier (Neper)
4. L'appendiceau "constructio" de Napier
5. Les logarithmes de Huygens
6. La spirale géométrique
7. Mengoli
8. Correspondance entre Leibnitz et Bernouilli
9. Euler

 

Source : http://www.librecours.org/cgi-bin/course?callback=info&am...

Preuves formelles en Coq

par Loïc Pottier

Niveau : Master   Langue : Français

Description :

Cours d'option en DEA de mathématiques, université de Nice-Sophia Antipolis, janvier 2003. Ce cours est inspiré du cours de DEA de Gilles Dowek, et du cours de DEA de Christine Paulin-Mohring et Benjamin Werner (DEA de programmation SPL, Paris).

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Detail du cours

Tables des matières

Le langage de Coq
Les objets et la syntaxe
Les types
Les sortes
Les fonctions
Les formules logiques, leurs preuves, et l'isomorphisme de Curry-Howard
Le typage
Règles de typage informelles
Les règles du typage
Les contextes
Les jugements de typage
Les règles
Exemples
Quelques remarques sur les règles de typage des produits
Le calcul
La beta-réduction
La consistance
Logique intuitionniste et mathématiques constructives
Les définitions et la delta-réduction
La conversion
Exemple : les codages imprédicatifs
Les types inductifs
Exemples
Les entiers naturels
L'égalité de Leibniz
Raisonnement et calcul par cas : la construction Cases
La iota-réduction
Fonctions récursives : la construction Fix
Un exemple
Un exemple de récursion mutuelle
Le cas général
La iota-réduction, bis
Typage de Cases et Fix
Introduction au système Coq
Commandes élémentaires
Lancer coq depuis un shell
Obtenir le type d'un terme
Définir une constante
Obtenir la valeur d'une constante
Calculer
Fonctions récursives
Démontrer
pour tout A, A implique A
pour tout A, A implique non non A
Calcul des propositions
Calcul des prédicats
Exemples mathématiques
L'ensemble des parties est plus gros que l'ensemble

Source : http://www.librecours.org/cgi-bin/course?callback=info&am...

Modérateurs

Dimitri Ara, Romain Théret
Contact : logique AT librecours.org

Source : http://www.librecours.org/cgi-bin/domain?callback=info&am...

Méthodes mathématiques pour physiciens

Descriptif du cours

Auteurs :	Claude Aslangul
Domaine :	Physique
Niveau :	Licence	Langue :	Français

Description :	Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université Pierre et Marie Currie.
Prérequis :
Mots clefs :
Commentaire :

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Fonction d'une variable complexe Par Claude Aslangul  Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université P... Date d'envoi : 21-Jan-2004 00:05	PDF (559.29ko)
Intégration des fonctions d'une variable complexe Par Claude Aslangul  Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université P... Date d'envoi : 21-Jan-2004 00:09	PDF (482.09ko)
Représentation des fonctions analytiques par des séries et théorème des résidus Par Claude Aslangul  Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université P... Date d'envoi : 21-Jan-2004 00:11	PDF (577.88ko)
Applications élémentaires du théorème des résidus Par Claude Aslangul  Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université P... Date d'envoi : 21-Jan-2004 00:13	PDF (570.91ko)
Quelques applications de la théorie des fonctions d'une variable complexe Par Claude Aslangul  Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université P... Date d'envoi : 21-Jan-2004 00:19	PDF (1.38Mo) PS (1.16Mo)
Analyse de Fourier Par Claude Aslangul  Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université P... Date d'envoi : 04-Mar-2004 22:14	PDF (744.39ko)
Transformation de Laplace Par Claude Aslangul  Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université P... Date d'envoi : 21-Mar-2004 21:11	PDF (603.43ko) PS (977.79ko)
Éléments de théorie des probabilités Par Claude Aslangul  Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université P... Date d'envoi : 09-Mai-2004 00:18	PDF (740.02ko)
Équations différentielles. Fonctions de Green Par Claude Aslangul  Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université P... Date d'envoi : 15-Mai-2004 20:10	PDF (382.16ko) PS (669.08ko)

Tables des matières

Introduction
Fonctions d'une variable complexe
Rappels des opérations élémentaires sur les nombres complexes
Fonction d'une variable complexe
Fonctions élémentaire
Intégration des fonctions d'une variable complexe
Préliminaires
Théorème de Cauchy
Généralisation au cas d'un domaine multiplement connexe
Formule de Cauchy
Dérivées d'ordre supérieur
Illustrations
Représentation des fonctions analytiques par des séries et théorème des résidus
Séries de Taylor
Séries de Laurent
Classification des singularités d'une fonction
Théorèmes de résidus
Prolongement analytique
Fonctions multiformes ; coupures ; notions de surface de Riemann
Applications élémentaires du théorème des résidus
Lemmes de Jordan
Calcul d'intégrales définies
Calcul d'intégrales de fonctions multiformes
Calcul de la somme de séries
Calcul d'intégrales impropres
Quelques applications de la théorie des fonctions d'une variable complexe
La fonction gamme d'Euler
Méthode du col
Développements asymptotiques
Un dernier exercice
Analyse de Fourier
Rappels sur les séries de Fourier
Transformation de Fourier
Propriétés asymptotiques
Généralisation en dimension quelconque
Causalité et analycité
Relations de Kramers-Kronig
Transformation de Laplace
Présentation
Définition et formule d'inversion
Propriétés de la transformée de Laplace
Propriétés asymptotiques
Quelques applications de la transformée de Laplace
Éléments de théorie des probabilités
Notion de variable aléatoire. Notion de probabilité
Axiomes. Premières conséquences
Fonction de répartition
Variables aléatoires continues
Espérances mathématiques (moyennes)
Lois de distribution courantes
Fonctions caractéristiques
Lois-limites. Théorème centrale limite
Équations différentielles. Fonctions de Green
Généralités et définitions
Conditions initiales. Conditions aux limites
Équations différentielles linéaires à coefficients constants
Équations différentielles linéaires à coefficients variables
Équations différentielles et équations aux différences
Fonctions de Green

Source : http://www.librecours.org/cgi-bin/course?callback=info&am...

Module ``Introduction à la cryptologie'' du Master M1 Informatique (2005)

• cours1
• cours2
• cours3
• cours4
• cours5
• cours6
• cours7
• cours8

•  

• Les TDs correspondants de Laurent Fousse

•  

• Partiel type
• Sujet d'examen [corrigé]

Source : http://www.loria.fr/~zimmerma/cours/

Fractales de Markus-Lyapounov

Il y a quelques années, la "Grande Fièvre de Mandelbrot" avait démarré après queScientific American (Pour la Science, en français) eut révélé quelques unes des magnifiques images obtenues par H.O. Peitgen et P.H. Richter, qui devaient plus tard être publiées dans The Beauty of Fractals (Springer-Verlag, 1986). L'histoire aurait-elle pu se répéter ? Le même Scientific American, en septembre 1991 (décembre 91 dans Pour La Science), dévoilait de nouvelles images extraordinaires, avec une recette apparemment simple pour les calculer. Vous en voyez une juste au-dessus ; sautez à la fin de cet article pour en voir d'autres. N'auriez-vous pas envie de vous y mettre ?

Il y a malheureusement un gros obstacle : en 1992, avec un 68030 à 25 Mhz, les images intéressantes en 640 x 512 réclamaient plusieurs heures de calcul, parfois plus d'une dizaine. Les Pentium et PowerPC de 1997 vont beaucoup plus vite, mais on veut maintenant davantage de résolution et les images qui restent à découvrir sont plus difficiles à calculer : il faut toujours des heures de calcul.

En un mot, ces images ne sont qu'une visualisation des exposants de Lyapounovrelatifs à une extension simple, due à Mario Markus, de la formule logistique... Peut-être avez-vous besoin de quelques explications complémentaires ? Alors lisez la suite. Vous allez rencontrer un peu de mathématiques contemporaines, mais ne craignez rien !

 

La formule logistique

La formule logistique (aussi appelée "dynamique de Verhultz") est la plus simple des formules qui décrive un système dynamique chaotique. Mais peut-être ne savez-vous pas ce qu'est un système dynamique ?

En toute généralité, c'est une notion très abstraite. Pensez à un "système" qui serait examiné à intervalles réguliers. A l'instant n, ce système serait décrit par une variable X(n) (on peut envisager des variables multidimensionnelles, c'est-à-dire des tableaux regroupant les divers paramètres caractérisant l'état du système, mais nous en resterons au cas élémentaire où X(n) est un nombre unique). On suppose que X(n) ne dépend que de l'état X(n-1) précédent, via une loi ad hoc. Le jeu consiste, à partir d'un état initial arbitraire, à appliquer cette loi indéfiniment et à voir comment évoluent les X(n) successifs. Convergent-ils vers une limite unique ? A défaut, ont-ils un comportement "régulier" quand n tend vers l'infini ? Ou bien font-ils n'importe quoi (apparemment), auquel cas on parle de "chaos" ?

La formule logistique est un essai rudimentaire pour modéliser une population animale dans une région isolée. La variable X(n) est ici le nombre d'animaux, en l'an n. L'année suivante, si le taux de croissance était constant, la population serait proportionnelle à X(n), soit

X(n+1) = R * X(n) ,

où R serait constant. Malheureusement, une telle hypothèse conduit à une explosion exponentielle de la population, insoutenable. Le taux de croissance doit diminuer quand la population croît, ne serait-ce que parce qu'il y a moins de nourriture disponible pour chaque individu. La façon la plus simple d'exprimer cette idée est de supposer que le terme R pour l'année n est de la forme

R = r * [1 - X(n) / Xmax] ,

où r et Xmax sont deux constantes, non spécifiées pour le moment. Xmax est clairement une limite supérieure pour la population ; aller au-delà conduirait à des X négatifs sans aucun sens. Le nombre r est appelé "facteur de fécondité" (plus il est grand, plus la croissance de la population d'une année sur l'autre sera grande). En posant x(n) = X(n)/Xmax, la loi d'évolution devient finalement

x(n+1) = r * x(n) * [1 - x(n)].

C'est la formule logistique. Les valeurs significatives de x sont entre 0 et 1.

L'analyse de ce "système dynamique" (c-à-d. l'étude des x(n) quand n va à l'infini, pour diverses valeurs de r) peut se faire sur la figure ci-contre. Pour chaque pixel sur l'axe des r, on a appliqué la formule logistique 200 fois, à partir de x(0) = 0.5 (en fait, cette valeur n'a pas d'importance), puis encore 300 fois, mais maintenant en inscrivant chaque fois le pixel (r,x) correspondant dans la figure. On observe qu'il n'y a qu'un seul pixel pour chaque r inférieur à 3 : cela signifie que la population converge vers une limite stable.

Chaque r entre 3 et 3.45 correspond à 2 pixels : la population oscille alors entre une valeur basse, avec nourriture abondante et forte croissance, et une valeur haute qui entraine famine et mortalité élevée. Les choses se compliquent quand on augmente encore la fécondité. D'abord, on voit que la population peut osciller entre 4 valeurs, puis 8, 16, etc. Puis, pour r > 3.57, il semble qu'il y ait une infinité de valeurs (formant des zones continues dans la figure), entre lesquelles la population semble varier au hasard. C'est le chaos.

Toutefois, le passage au chaos n'est pas définitif : on peut voir des îlots sans pixel noir, correspondant à une évolution plus régulière de la population, qui oscille à nouveau entre un petit nombre de valeurs. Vous pouvez voir ci-contre les détails d'un tel îlot de stabilité ; l'image est un agrandissement du rectangle tracé dans la figure précédente. La ressemblance entre les deux images est frappante ; cette autosimilarité est un trait commun dans les images fractales.

Les exposants de Lyapounov

Lyapounov est un mathématician russe qui vécut à cheval entre les 19ème et 20ème siècles, bien avant l'invention des calculateurs. Voici son rôle dans notre histoire.

Comme nous l'avons dit, la population modélisée par la formule logistique converge vers une valeur unique pour une fécondité assez basse (r < 3). Cette limite ne dépend pas de la valeur initiale. Si on modifie brutalement la population à un instant donné, on revient rapidement à cette limite. On observe le même comportement pour les oscillations entre plusieurs valeurs : les 2, 4, 8... valeurs formant le cycle limite ne dépendent pas de la valeur initiale et on revient toujours à ce cycle après une perturbation. Toutefois, ce retour au cycle limite est d'autant plus lent qu'on est plus proche du chaos. On parle de "stabilité", d'autant plus grande que le retour est plus rapide. Cette stabilité peut être caractérisée par un nombre, l'exposant de Lyapounov, qui est en gros l'opposé de la stabilité (l'exposant est négatif pour les évolutions stables, positif pour les régimes chaotiques).

La théorie des exposants de Lyapounov est difficile ; on en trouvera quelques mots dans Chaos et déterminisme, ouvrage collectif dirigé par A.D. Dalmenico et alias, aux Editions du Seuil, 1992. L'article dans Pour la Science ne donne que la recette (dans le cas de la formule logistique), à prendre comme une formule magique :

 

(1) Initialisation

x = x0 

Pour i=1 à INIT : x = rx(1-x)

(2) Calcul de de l'exposant

total = 0 

Pour i=1 à NLYAP : 
x = rx(1-x) 
total = total + Log|r-2rx|/Log 2 
exposant = total / NLYAP

x0 est arbitraire entre 0 and 1 ; INIT et NLYAP sont des entiers arbitraires, qui doivent être aussi grands que possibles pour que le calcul soit précis.

L'idée de Markus

Mario Markus (du Max Plank Institute for Nutrition) a imaginé des systèmes à peine plus complexes que la formule logistique, où la fécondité alternerait entre deux valeurs r1 et r2, selon une loi périodique, décrite par une chaîne de caractères faite de "1" et de "2", appelée racine. Par exemple, pour la racine "112", r prendrait successivement les valeurs r1,r1,r2, r1,r1,r2, r1,r1,r2, etc.... Selon les valeurs de r1 et r2, ces systèmes peuvent conduire à des cycles réguliers ou à des évolutions chaotiques. La stabilité ou le chaos peuvent s'étudier en calculant l'exposant de Lyapounov, via la recette donnée plus haut, avec la seule différence que r doit maintenant suivre la loi périodique prescrite.

Les images de Markus ne sont qu'une visualisation en "fausses couleurs" de l'exposant de Lyapounov avec r1 et r2 sur les axes horizontaux et verticaux, pour une racine donnée, ici "1122".

On ne s'intéresse qu'au domaine stable ; le chaos (exposants positifs) est ici rendu en bleu sombre. Quand l'exposant passe de 0 à moins l'infini, la teinte passe du clair au sombre. Au zéro (le seuil du chaos), on passe soudain du bleu sombre à une teinte claire. Bien entendu, on peut changer ces conventions de coloriage comme on veut. 

On obtient ainsi des formes étranges qui flottent dans un univers fantastique, avec un aspect 3-D frappant. Bien sûr, il faut voir ces images en plein écran pour leur rendre justice.

Le reste du jeu est le même que dans les programmes Mandelbrot classiques : on part d'une image de base, on cherche les détails prometteurs et on agrandit. Par exemple, le grand rectangle dans l'image ci-dessus mène à l'image ci-contre ; le petit rectangle conduit à l'image au début de cet article. 
Cliquez ici pour suivre un exemple de recherche dans le cas d'une racine assez complexe. 

 

 

 

 

Cette dernière image a été réutilisée par l'auteur dans la composition "Image 11". Elle a été calculée avec la racine 11212, INIT=400 et ITER=800. La récompense d'un long calcul... 

[ Retour à la page des images ]

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Source : http://pagesperso-orange.fr/charles.vassallo/fr/lyap_art/...

Fondements des mathématiques

Fondements des mathématiques

Sur cette page:

Début de livre, chapitres de logique 
Simplification du calcul propositionnel
Un paradoxe de la théorie des ensembles

Début de livre, chapitres de logique

J'ai entrepris depuis septembre 2000 d'écrire un "livre" qui regroupera la plupart de mes idées sur les mathématiques. Je ne sais si je publierai un jour cela en tant que livre, actuellement c'est encore loin d'être fini, mais il y a déjà un début intéressant et c'est téléchargeable ici.

Objectif: refonder les mathématiques depuis leur début. Un peu comme Bourbaki...
Au lieu de détailler un grand nombre de sujets d'une diversité comparable à celle de Bourbaki, il s'agira de se concentrer sur les bases, les notions fondamentales et générales.
Caractéristiques de cette approche:

• C'est parfaitement rigoureux, tout ce qui est démontrable est démontré depuis le début. Bourbaki avait cet objectif, sauf qu'ici d'autres objectifs s'y ajoutent, qui pourraient a priori sembler contradictoires entre eux et avec celui-ci, mais il s'avère qu'il est parfaitement possible de tous les satisfaire en même temps :
• Mener des approches originales de la plupart des sujets: la plupart des notions étaient déjà essentiellement connues par-ci, par-là, mais bon nombre d'entre elles n'avaient, à ma connaissance, pas été présentées et reliées de la manière ici proposée. Seul le texte 2 rejoint en grande partie la tradition (plus ou moins un début de cours de théorie des ensembles de première année universitaire); les suivants en demeureront éloignés.
  
• L'accent est mis sur l'intuition, les explications "philosophiques" et la signification profonde des choses, du monde mathématique, sans être ralenti par des développements fastidieux de règles formelles et rébarbatives c'est-à-dire qui seraient longues manquant d'intérêts dans leurs détails. Non que cela manque non plus de rigueur ou de formalisme, au contraire, mais c'est précisément le formalisme employé qui produit et concentre la signification.
• Les outils développés sont très puissants et généraux.
• Très rares sont les démonstrations faisant plus d'une demie-page, et la plupart ne font au plus que quelques lignes; tous les choix sont faits avec le plus grand soin pour un cheminement le plus court et élégant possible, sans rien de fastidieux.

Annonce: J'aimerais bien continuer la mise au point et la rédaction mais je suis occupé à faire connaître mes idées de logiciel; puis une fois corrigées les premières parties ci-dessous (ainsi que d'autres textes par ailleurs) je voudrais les traduire en anglais. Je pourrais le faire moi-même mais je ne peux pas tout faire à la fois. Quelqu'un pourrait-il m'aider à cela ? En échange je pourrais offrir des cours particuliers de maths ou de physique tout niveau (dont calcul tensoriel et relativité générale). Merci beaucoup. (me contacter: trustforum at gmail.com)

Notes: 
- Conventions parfois personnelles: dans ces textes, sur des sujets parfois hélas fort méconnus, j'ai été parfois amené à développer des conventions (notations, terminologie) de manière indépendante. N'hésitez pas à me signaler vos idées d'améliorations et/ou signalement d'éventuelles conventions utilisées par d'autres auteurs qui vous sembleraient adéquates. Tenez, j'envisage de rompre avec l'usage en français du mot "application" pour le remplacer par le mot "fonction" dont le sens habituel est voisin mais différent. Parce que ça sonnerait mieux (plus simple et sans incohérence avec un autre usage du mot en français) et se conformerait à l'usage anglophone "function"; et que je n'utilise pas l'autre notion habituellement appelée "fonction" (où ensemble de définition peut différer de l'ensemble de départ). Aussi, au lieu du mot "espèce" vaudrait-il mieux le mot "type", qui de fait est actuellement employé en ce sens ? Qu'en dites-vous ?
- Problèmes de conversion en html : la conversion est faite avec TtH. C'est assez pénible d'adapter les sources tex pour être opérés ainsi, et le résultat n'est pas parfait... dommage qu'il n'y ait pas mieux pour convertir du tex en html sans mettre les formules en images.
- Désolé, environ la première moitié (texte 1 jusqu'à la moitié du texte 2) est actuellement en chantier de rénovation. Revenez voir plus tard quand ce sera au point (janvier 2010 ?). En attendant vous pouvez toujours essayer de lire directement les textes 2 (à partir du milieu environ) et 3, ou encore vous pouvez lire d'autres parties de mon site: la relativité restreinte avec initiation à des notions de physique fondamentale, ou à mes textes philosophiques que j'estime aussi très intéressants (pour bousculer fortement les idées reçues et apporter un vrai progrès des connaissances philosophiques, de manière très différente de la philosophie académique momolle et consensuelle qui n'avance à rien), une sorte d'application de la pensée logique au monde où nous vivons. Si vous lisez l'anglais, j'ai aussi écrit plus récemment des textes philosophiques en anglais ici et là. Peut-être trouverez-vous même tout cela passionnant. Alors, ne partez pas déçus si vite au prétexte que ce qui suit n'est pas encore au point.

Voici d'abord le sommaire avec liens vers le contenu.
Plus bas figurent des commentaires : explication du plan, originalité de l'approche et motivations.

1. Théorie des ensembles : 31 pages pdf, ayant été rénové, relu et corrigé jusqu'à la page 15, la suite a été partiellement retravaillée et reste à mettre au point en conséquence, jusqu'aux premières sections du texte 2.

Futur sommaire:

1.1. Qu'est-ce que la logique mathématique
1.2. A propos de théorie des ensembles
1.3. Notions de théorie des ensembles
1.4. Objets, méta-objets, théorie du modèle 
1.5. Opérateurs et prédicats
1.6. Termes et énoncés sans variable liée
1.7. Structures définies, classes, structures partielles 1.8. Variables liées en théorie des ensembles)
1.9. Quantificateurs
(...suite à mettre au point...)

La version précédente avait été répartie en 4 pages html, non encore mises à jour.

1.1. Qu'est-ce que la logique mathématique
1.2. A propos de théorie des ensembles

1.3. Variables et ensembles
1.4. Applications, relations unaires et compréhension

1.5. Le paradoxe du langage et son explication temporelle
1.6. Paradoxe de Russell et explications (notion de classe)

1.7. Ensembles finis, n-uplets, familles, produit
1.8. Opérations, relations 
1.9. Construction des termes et énoncés

2. Premiers développements (17 pages pdf). 

2.1. Quelques propriétés des quantificateurs
2.2. Opérations sur les ensembles; l'axiome des parties
2.3. Etude des applications
2.4. Bijections canoniques remarquables
2.5. Notions sur les relations binaires
2.6. Etude des relations d'équivalence
2.7. Axiome du choix

3. Correspondances de Galois (18 pages pdf)

3.1. Notions sur les ensembles ordonnés, correspondances de Galois
3.2. Correspondances de Galois croissantes
3.3. Bornes supérieures et inférieures
3.4. Treillis complet
3.5. Théorème du point fixe
3.6. Préordre engendré par une relation 
3.7. Ensembles finis
3.8. Relation d'équivalence engendrée, et autres
3.9. Relations bien-fondées

4. Langages et théories (25 pages pdf)

4.1. Les espèces
4.2. Langages
4.3. Structures relationnelles et morphismes

La suite n'est pas encore au point (il reste à faire insertions, réordonnements, corrections - la notation O_L a été changée en Oméga_L):

4.4. Théories relationnelles algébriques
4.5. Magmas
4.6. Algèbres
4.7. Condensation
4.8. Théories algébriques
4.9. Propriétés diverses
4.10. Ecritures et termes
4.11. Formules de la théorie des modèles
4.12. Vérités, démonstrations et contradictions
4.13. La dynamique des théories
4.14. Définitions
4.15. La dynamique des modèles
4.16. Invariants
4.17. Constructions

5. Brouillon de la suite (extraits d'anciennes versions, n'ayant pas eu leur place dans les textes 1 à 4, vaguement réordonnés et non encore retravaillées)

Autres propriétés des ensembles finis
Cardinaux et axiomes supplémentaires
Ce que le schéma de remplacement signifie vraiment
Algèbres universelles
Puissance et logique d'ordre supérieur 
Axiome du choix de la logique d'ordre supérieur
Théorème d'incomplétude 
Bilan et perspectives 
Simulations de dynamiques externes

Plan prévu pour après modifications futures :

5. Retour sur la théorie des ensembles: axiomes et cardinaux
On introduira notamment une axiomatisation de la théorie des ensembles comme présentée dans les numéros précédents, on discutera aussi de l'axiome de fondation et d'axiomes plus faibles que le schéma de remplacement.

6. Algèbre
abordée sous l'angle de la théorie des algèbres universelles
Notions de catégories, monoïdes...

7. Calcul tensoriel
Espaces vectoriels en dualité.
La stratégie de définition du sens des expressions tensorielles sera la suivante:
1) Cas des arbres
2) Cas où il y a plusieurs composantes connexes qui sont des arbres, à l'aide de la multiplication
3) Autres cas, à l'aide de décompositions en sommes sur des coupures qui ramènent aux cas précédents.

...

Commentaires sur le texte 1

Cela commence par une longue introduction philosophique sur les fondements des mathématiques, les limites du platonisme, la difficulté de principe à démarrer quelque part le développement des mathématiques, et le fait qu'une rigueur totale au démarrage des mathématiques serait impossible.
Mais à défaut de rigueur totale, va venir l'effort soutenu d'un maximum de rigueur et d'explication philosophique.
Cela commence par une sorte de théorie philosophique des ensembles et des applications. En effet la tradition axiomatique ZF me semble très inadéquate pour démarrer les mathématiques, de sorte que je ne présente pas ZF, ni aucun système axiomatique d'ailleurs. Il ne s'agit pas pour autant de nier ZF ou de faire des choses incompatibles. Non: il s'agit uniquement de présenter les choses sous l'aspect de leur signification profonde, afin qu'elles aient pleinement un sens à ce stade et permettent d'introduire ensuite le plus naturellement possible les mathématiques "ordinaires". Et c'est justement sur la base de cette compréhension philosophique, qu'on pourra dans la suite (texte 5) expliquer pourquoi la théorie axiomatique ZF est effectivement un bon choix dans son rôle propre, à savoir, un excellent outil à l'usage des spécialistes pour formuler les questions de prouvabilité ou au contraire d'indécidabilité d'énoncés, par exemple l'hypothèse du continu.
Plusieurs pages d'explications sont consacrées à expliquer philosophiquement : qu'est-ce qu'un ensemble ? Que signifie vraiment le paradoxe de Russel (qu'il ne peut pas y avoir d'ensemble de tous les ensembles) ? que signifie vraiment la distinction des ensembles parmi les classes ? un ensemble peut-il appartenir à lui-même ? Sisi, c'est très sérieux !!! L'explication se base sur l'existence d'une temporalité propre à l'univers mathématique qu'il est impossible de figer définitivement (temporalité expliquée avec au passage l'analyse sémantique d'un énoncé paradoxal qui signifie "Cette phrase est bien définie et fausse"). La distinction des ensembles parmi les classes se résume ainsi: contrairement à un ensemble, une classe reste potentiellement capable de contenir des éléments qui n'existent pas encore. Une classe se définit en fait par la donnée d'un énoncé à une variable, qui énonce si un objet donné lui appartient ou non; ce n'est pas un vrai objet mathématique appartenant au même univers, faute de pouvoir définir formellement l'égalité entre classes par des quantificateurs bornés par des ensembles. En effet, les quantificateurs existentiels et universels doivent être restreints à des ensembles pour être interprétés (ainsi, l'égalité entre ensembles E et F s'écrit: (E ⊂ F et F ⊂ E) ). C'est cette compréhension de la distinction des ensembles parmi les classes qui permet d'expliquer le sens des axiomes.
Les objets admis comme primitifs sont donc: les éléments, les ensembles et les applications. Les couples et n-uplets sont des cas particuliers d'applications. Plus loin est introduite la notion d'opération, qui peut être vue de plusieurs manières comme cas particulier d'application, et inversement les applications sont des cas particuliers d'opérations. Les relations n-aires sont définies comme opérations à valeurs dans {vrai,faux}. Avec des termes x,y et un énoncé P on définit le terme (x,y)(P) comme valant x si P est vrai et y sinon. On justifie philosophiquement qu'on obtient bien des ensembles par les procédés: compréhension; image d'application; union (d'un ensemble d'ensembles); produit fini d'ensembles. Sont définies les chaînes de "et", celles de "ou", ainsi que les chaînes d'implications ou d'équivalences. A la fin on récapitule les règles de constructions admises des termes et énoncés.

Voir aussi ce résumé que j'ai écrit pour annoncer la mise au point de la première quarantaine de pages en décembre 2005 (que j'ai finalement encore retouchés par la suite). Voir cette discussion de forum "qu'est-ce qu'un ensemble" (novembre 2007) où je réexprime synthéthiquement mon avis sur la notion d'ensemble et la différence entre ensembles et classes, ainsi que les motivations générales de ce projet, et où vous pouvez poster vos commentaires.

Commentaires sur le texte 2

Le contenu est relativement traditionnel, mais toujours réalisé avec le plus grand soin, au-dessus de l'habitude. Seuls points particulièrement notables en comparaison de la tradition: 
Définition et propriétés du quantificateur d'unicité.
Exposition détaillée et commentée de l'axiome des parties, et de son statut et de sa signification exceptionnels: c'est le premier et principal postulat philosophiquement injustifié que certaines classes soient des ensembles, et ce fait est crucial car c'est de là que viennent toutes les indécidabilités des mathématiques. Ce n'est pas seulement un axiome mais aussi un enrichissement du langage de la théorie des ensembles par l'opérateur qui à tout ensemble associe l'ensemble de ses parties, sans lequel l'axiome seul serait impuissant.
Equivalence de cet "axiome" avec celui de la puissance d'ensembles.
J'ai oublié le qualificatif officiel des énoncés dont tous les quantificateurs sont bornés par des ensembles, quelqu'un pourrait-il me le rappeler ?

La traduction de toute relation entre deux ensembles en une application par fixation d'une variable, à savoir lors de la bijection canonique ℘(E×F) ≅ (℘(F))^E, est notée par une flèche style vecteur; de même avec une flèche gauche pour l'autre variable.

L'axiome du choix est exposé par motif de clarification mais il ne sera pas utilisé par la suite.

Commentaires sur le texte 3

Là viennent vraiment les choses sérieuses, une grande symphonie de mathématiques formelles faites d'une succession parfaite de formules, de définitions et de théorèmes, avec tout plein d'astuces renversantes raccourcissant toutes les démonstrations. Voilà donc une occasion précoce de goûter à des "vraies mathématiques" qu'on pourrait qualifier comme de haut niveau sauf que rien n'est fastidieux et cela n'utilise rigoureusement aucun autre prérequis que le contenu des textes précédents, pas même la notion de nombre entier qui est ici absente.
Mais à part ça, c'est bien gentil direz-vous, mais que diable viennent donc faire les correspondances de Galois dans un projet ayant vocation à se concentrer sur ce qui est indispensable aux mathématiques de base ?
Eh bien, même si cela peut sembler dans un premier temps être des choses compliquées en plus, il s'agit en fait d'un investissement qui sera nettement rentabilisé par la suite, en plus du fait de rendre parfaitement rigoureux tout ce qui peut l'être, à la place de certaines idées vaseuses et autres impasses habituellement commises:
- Les notions de bornes supérieures et inférieures entrent dans un cadre systématique naturel tant pour leurs définitions que leurs propriétés, qui en facilite l'usage.
- Il s'agit de structures et propriétés qui se retrouvent très souvent, notamment en algèbre et dans la notion d'espace topologique, ce qui permettra d'appliquer directement les résultats ici obtenus au lieu de les redémontrer à chaque fois comme le fait la tradition.
- La notion d'ensemble fini est définie rigoureusement et indépendemment sans dépendre de quelque axiome (en particulier, sans s'appuyer sur les nombres entiers), avec plusieurs propriétés importantes (étude qui sera complétée dans le texte 5).
- Le nécessaire pour trivialiser la démonstration du théorème de Cantor-Bernstein
- L'étude des relations bien-fondées permettra notamment dans les parties ultérieures: de formaliser la notion de terme comme système mathématique et en justifier l'interprétation; de comprendre l'énoncé de l'axiome de fondation dans l'axiomatique ZF; de justifier les définitions par récurrence; et de maîtriser plus rapidement les nombres ordinaux.
- Cela éclairera également les rapports entre fondement, dynamique et réalité dans la théorie des théories qui sera exposée au texte suivant.

Rapide historique des mathématiques

(petit ancien chapitre qui était dans le texte de maths et n'y était pas vraiment à sa place) 
La recherche en mathématiques a connu une progression accélérée dans l'histoire. Depuis l'étude de la géométrie par les Grecs, des progrès importants n'ont été réalisés qu'au cours de ces derniers siècles avec par exemple l'étude de la mécanique céleste (Newtondots ) puis de l'élec-tro-magnétisme, accompagnés d'outils d'analyse mathématique, et aussi de l'algèbre (résolution d'équa-tions, nombres complexes).  
La théorie des ensembles n'a été étudiée qu'au début du 20ème siècle par Cantor. C'est surtout au vingtième siècle que le développement des mathématiques et de la physique fondamentale a été explosif. En gros, les théories fondamentales de la science moderne au-delà des notions de base ont été découvertes dans la première moitié du siècle; puis, après une restructuration effectuée au milieu du siècle par le groupe Bourbaki (seulement en maths et non en physique), de très nombreux développements ont été réalisés dans la seconde moitié. 

Nous savons que le monde des mathématiques est infini et que la recherche ne s'arrêtera pas. Les voies de recherche possibles sont très nombreuses, leur multiplication étant désormais principalement limitée par le nombre de mathématiciens, alors qu'ils sont toujours plus nombreux et que l'outil informatique facilite la rédaction et la diffusion des travaux de recherche.
La recherche nécessite de se spécialiser dans un domaine, puisque l'acquisition par une seule personne de toutes les connaissances actuellement disponibles en mathématiques par exemple nécessiterait quelques milliers d'années d'études (!).

Cependant, en France, l'enseignement des mathématiques dans le secondaire (collège, lycée) et jusqu'aux premières années d'université reflète très mal cette richesse et ce foisonnement~: il est constitué d'un tronc commun qui n'a pratiquement plus évolué depuis la ``réforme des mathématiques modernes'' (dont la mise en place brutale, excessive et mal préparée vers 1968 a été assez désastreuse pour un grand nombre d'élèves de cette époque, suivie en quelques années d'un retour à une situation plus équilibrée), si ce n'est dans le sens de l'appauvrissement des contenus. 
La diversité et les derniers développements de la recherche en mathématiques ne s'expriment pratiquement plus qu'à partir du niveau Master (plutôt même deuxième année de Master).

Un grand nombre de mathématiciens restent en dehors de toute application aux autres sciences; certains même ont horreur de toute idée d'application, fiers de faire des mathématiques ``pures''; mais une bonne partie des domaines de recherche en mathématiques sont de près ou de loin susceptibles d'applications, notamment en Physique.

Calcul propositionnel

Constatant que je n'arrive pas (du moins actuellement) à concentrer mes efforts pour continuer assez vite la rédaction de mes textes, je me mets ici à brader quelques pistes de recherches, qui serviraient de base à la rédaction envisagée.

La structure habituelle des cours de calcul propositionnel est une horreur: un langage choisi arbitrairement (symboles "implique" et "non") qui aboutit à la nécessité d'une dizaine d'axiomes de calcul propositionnel choisis on ne sait comment (combien exactement, au fait ?) pour former un système complet d'axiomes (c'est-à-dire permettant de démontrer toute formule universellement valide). S'ensuit une démonstration de ce fait (théorème de complétude du calcul propositionnel) qui prend un certain nombre de pages. 
Or, tout cela est inutile, on pourrait faire beaucoup plus simple.

Il y a une manière de faire plus simple qui pendait pourtant au nez depuis longtemps, c'est la notion d'algèbre de Boole. 
Qu'est-ce qu'une algèbre de Boole ? C'est un anneau idempotent (i.e. où pour tout x, on a x.x=x). Or un théorème bien connu (utilisant l'axiome du choix; ou, pour le résultat ici, il suffit d'avoir un bon ordre sur l'ensemble des variables propositionnelles) dit que dans tout anneau non nul il existe un idéal maximal, et que donc en quotientant par cet idéal on obtient un corps. L'idempotence appliquée à ce corps donne que c'est Z/2Z.

Or, cette axiomatisation de la notion d'algèbre de Boole entre dans le cadre des algèbres universelles, donc toute égalité dans un tel anneau donné par générateurs et relations se démontre par une chaîne d'égalités dont chacune est la simple utilisation d'un axiome. 
Donc, si dans une algèbre de Boole donnée par générateurs et relations (donc une théorie du calcul propositionnelle), le 0 est égal au 1 (la théorie est auto-contradictoire), cela est démontrable suivant cet algorithme (et plus généralement si un élément est égal à 1, son égalité à 1 est démontrable). Sinon, l'anneau est non nul, donc il admet un morphisme dans Z/2Z (respectivement: toute proposition indémontrable a un contre-exemple).

Mais il y a encore d'autres manières de formuler les formules et les démonstrations qui collent naturellement à la nature de ce problème et qui devrait donc aboutir à des algorithmes plus puissants. 
D'une part, faut-il vraiment signaler ce qui devrait aussi crever les yeux, comme algorithme capable de vérifier en temps fini si une formule donnée entre variables propositionnelles est une tautologie ou pas, il suffit de prendre une à une toutes les combinaisons possibles des valeurs des variables et de regarder si ça marche dans tous les cas. C'est du bête calcul booléen que les ordinateurs sont capables de faire à toute vitesse. 
On peut rétorquer à cela que la complexité de ces calculs est exponentielle par rapport au nombre de variables, ce que je vous accorde. C'est donc bon pour des grandes formules qui répètent beaucoup les quelques mêmes variables, moins bon pour celles qui s'étendent à plus de variables, d'où l'intérêt d'un calcul formel sur les propositions.

Alors, voici comment implémenter un tel calcul de manière efficace: 
Définissons une formule propositionnelle F comme étant un ensemble fondé sur les variables propositionnelles (autrement dit tel que pour tout ensemble X auquel F appartient, il existe Y dans X dont l'intersection avec X est un ensemble de variables propositionnelles) et héréditairement fini (l'union de F, de ses éléments, des éléments de ses éléments,... est fini) 
(dans la suite, les symboles A,B,C désigneront de tels ensembles). 
Le singleton représente le non, l'ensemble représente le "ou" entre les négations. 
Ainsi, {A,B,C} signifie (non A ou non B ou non C), ou si on préfère, non(A et B et C). 
{A,B,{C}} signifie: ((A et B) implique C). 
On peut ajouter le vrai (V) et le faux (F) comme constantes propositionnelles, mais on peut aussi les construire comme étant: F={} (ensemble vide), V={{}}.

Ensuite, il faut introduire des règles de simplifications, chaque règle faisant passer d'une formule (en tant qu'ensemble) à une autre (un autre ensemble) plus simple qui lui est logiquement équivalente. Il me semble (à vérifier, je n'en suis pas sûr - ou bien en modifiant légèrement l'expression des règles du genre échanger A avec {A}) que la relation d'équivalence engendrée par ces règles est équivalente à: quelle que soit la succession de simplifications appliquées à partir de chacune jusqu'à ne plus pouvoir simplifier, on aboutir à la même formule. 
Ces règles sont les équivalences suivantes (le symbole ~ désignant l'équivalence tautologique entre énoncés): 
- tiers exclus: {{A}}~A 
ce qui donne notamment les simplifications: 
{{{A}},B}~{A,B} 
{{{A}},A}~{A} 
mais aussi avec deux: 
{{{A,B}},C}~{A,B,C} 
et en général, en notant u le symbole d'union, si A est un ensemble: 
{{A}}uB~AuB 
ce qui permet d'éliminer les singletons dans l'expression d'une formule hormis ceux des variables. 
- Tout V dans un ensemble peut être éliminé (mais on peut voir ça comme cas particulier du cas précédent à cause de la construction de V). Ainsi: 
{V,A}~{A}

- Tout F est absorbant: 
{F,A,B,...}~{F}~V

- Règle de substitution : Tout élément d'un ensemble est substituable à V à l'intérieur de tout autre élément (ça, je suis beaucoup moins sûr que ça passe la proposition ci-dessus). 
Par exemple: 
{A,{A,B}}~{A,{V,B}} 
{A,B,{{C,D},{D,A,{E,B,{C,D}}}}}~{A,B,{{C,D},{D,V,{E,V}}}} 
à son tour simplifiable...

Remarque: je n'avais d'abord formulé la règle de substitution que comme règle d'inférence entre formules démontrées, lesquelles n'étaient considérées que comme formant liste ouverte d'ensembles où chacun de ces ensembles est substituable par V dans les autres ensembles, sans remarquer que cette liste se comporte elle-même comme un ensemble parmi les autres. Pour que ça forme un système formel complet du calcul propositionnel, j'ai été amené à formuler l'"axiome d'Aristote": 
Si (A implique B) et (B implique C) alors (A implique C). 
Ce qui donne (en remplaçant C par sa négation): 
V~{{A,{B}},{B,C},A,C}}. 
qui rendait enfin le système complet. 
Mais je m'aperçois que la règle de substitution démontre l'axiome d'Aristote allègrement et rend donc son introduction inutile, sauf que je doute fort que l'équivalence de deux formules par la relation d'équivalence engendrée par ces règles (qui est en tout cas complète pour le calcul propositionnel) s'obtienne par égalités de leurs formes minimales (par simplifications) respectives (à vérifier).

Histoire de rigoler, ou de faire des cauchemars

Il y a un super paradoxe de la théorie des ensembles, mais dont je déconseille l'étude aux jeunes esprits qui risqueraient de passer des nuits blanches jusqu'à douter de la consistance des mathématiques ;-). Heureusement, la démonstration paradoxale en question étant assez ardue (et reposant sur des définitions et résultats standard omis ici), a de bonnes chances de n'être pas compris par ces esprits fragiles, en sorte de ne pas les affecter.

Remarque: il y a 2 autres sujets qui explorent essentiellement le même fond paradoxal, avec à peu près les mêmes tenants et aboutissants bien que sous des aspects un peu différents par ailleurs, et, peut-on dire, complémentaires:
1)  le paradoxe de Banach-Tarski
2) L'axiome de symétrie de Freiling

Voici: 
Croyez-vous à l'axiome du choix ? Rappelons un de ses énoncés: tout produit d'ensembles non vides est non vide. Intuitivement, si on pense que chaque ensemble de parties d'un ensemble contient vraiment toutes les parties, même celles qu'on ne peut pas construire, alors il semble raisonnable de penser que l'axiome du choix est vrai. 
Plus précisément, cela s'appuie sur l'intuition suivante: pour chacun des ensembles non vides en question, on tire "au hasard" un de ses éléments, et l'ensemble de tous ces hasards formera l'élément recherché. Bien. 
Pendant qu'on y est, on peut aussi tirer au hasard un nombre réel entre 0 et 1: tirons chaque chiffre de son développement binaire au hasard, et le tour est joué. C'est d'ailleurs à celà justement qu'on reconnaît que l'ensemble R des nombres réels qu'on manipule est bien l'ensemble de "tous les réels" sans en oublier: par le fait que si on tire un nombre réel au hasard par ce procédé, on tombe effectivement dedans.

En effet, un faux ensemble des réels (un ensemble de certains réels stable par les opérations) devrait être carrément plus petit puisqu'en le translatant par un réel 
qui n'est pas dedans on obtient un autre ensemble aussi gros et disjoint du premier. Donc son anomalie serait repérable par le fait qu'en tirant un réel au hasard, on n'aurait pas plus de chance de tomber dans l'un que dans l'autre, soit finalement une chance nulle. Bien.

Ensuite, un théorème déduit de l'axiome du choix dit que tout ensemble admet un bon ordre, en particulier l'ensemble des réels entre 0 et 1. 
Choisissons donc un tel bon ordre o sur [0,1], et définissons l'application f de [0,1] dans lui-même défini par: 
f(x)= la probabilité qu'un réel tiré au hasard dans [0,1] soit plus petit que x pour l'ordre o.

De manière évidente, f est une fonction croissante de [0,1] muni de l'ordre o vers [0,1] muni de l'ordre habituel. 
Or, un théorème dit que toute fonction croissante d'un ensemble bien ordonné vers R ne croît que par discontinuités, c'est-à-dire que sa variation est la somme sur x des f(x) - (sup f(y) pour y<x) (vérifiez !) 
Maintenant, posons-nous la question: si on prend deux réels x et y au hasard dans [0,1], quelle est la probabilité que x<y pour l'ordre o ? 
Si on tire d'abord x puis y, on trouve 1/2(1+somme des carrés des discontinuités). 
Mais si on tire y avant x...

Remarque: la construction d'un bon ordre sur [0,1] nécessite de prendre un réel dans TOUTE PARTIE non vide de [0,1], ce qui est une autre affaire que de tirer chaque décimale binaire au hasard. Mais cela ne devrait pas gêner en fait, puisqu'en restreignant le tirage aux parties P telles qu'un nombre aléatoire aura au moins une chance sur deux de tomber dedans (ainsi, si on ne tombe pas dedans la première fois il suffit de recommencer), on aboutit de toute manière à une variante du même paradoxe: cela donne un bon ordre sur une partie de [0,1] sur laquelle on a une chance sur deux de tomber. A moins que, bien qu'on ait toutes les chances de trouver un élément d'une partie P donnée à force de réessayer si à chaque fois on a une chance sur 2 de tomber dedans, le risque ici nul de ne jamais y arriver risque de devenir beaucoup plus grand, quand il s'accumule sur l'ensemble de toutes les parties P en question. Mais passons.

En fait, la convention communément admise veut que tirer un réel dans chaque partie soit possible conformément à l'axiome du choix, mais que tirer SUIVANT UNE LOI DE PROBABILITE DONNEE (à savoir ici, de manière uniforme), un nombre réel aléatoire dans [0,1] soit impossible. 
Une loi de probabilité dans un tirage aléatoire étant uniquement quelque chose de défini comme approximations successives (tirer les 100 premières décimales au hasard, continuer avec les 1000 suivantes...) et non comme quelque chose d'actuellement infini.

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Autres:
Le cours de théorie des ensembles de Martial Leroy est provisoirement hébergé ici.
Commentaires des textes de D.Moiseti sur la théorie des ensembles
Voir aussi un bout de mon cours d'algèbre linéaire qui n'était pas super adapté au niveau des étudiants de 2ème année ici.

 

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Retour au site : Envol vers la physique mathématique
dont :
Relativité restreinte suivant une nouvelle approche
Géométries

Edito
Opinions diverses
M'écrire

Source : http://spoirier.lautre.net/logique.htm#prop

Séminaire d'introduction à la logique (Paris)

Page des mini-cours

Quelques mots sur le séminaire d'introduction à la logique...

Du 4 mars 2002 au 10 juin 2002, a eu lieu à  Paris 6 et  Paris 7 sur le site de Chevaleret un cours d'introduction à la logique. Les exposants étaient hormis moi,  Abderezak Ould Houcine et Julien Page .

Cette formation accélérée, destinée à des doctorants ainsi qu'à tout mathématicien intéressé, avait pour but de familiariser l'auditoire avec les principaux outils de la logique.

Ce projet était proposé dans le cadre des formations de l' Ecole Doctorale de Paris .

Je tiens à remercier Messieurs Lascar , directeur de l'équipe de logique de Paris 7 et Maday, directeur de l'école doctorale de Paris, pour leur soutien et leurs encouragements.
Des remerciements tout particulier à Jean-Pierre Ressayre et Benoît Sanchez pour leur article, à Richard Lassaigne pour ses conseils et finalement à tous les participants.
Enfin, pour finir, je tiens personnellement à remercier Houcine et Julien, pour avoir accepté de se lancer dans cette aventure et Marie, pour tout...

Pour ceux qui veulent les cours...

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Cours du lundi 4 mars 2002, exposé par Alexandre Rambaud

Théorie des modèles : 1ère partie

Cours du 4 mars :

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Cours du lundi 11 mars 2002, exposé par Julien Page

Théorie des modèles : 2ème partie

Cours du 11 mars :

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Cours du lundi 18 mars 2002, exposé par Abderezak Ould Houcine

Récursivité : 1ère partie

Cours du 18 mars :

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Cours du lundi 25 mars 2002, exposé par Alexandre Rambaud

Récursivité : 2ème partie

Cours du 25 mars :

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Cours du lundi 8 avril 2002, exposé par Julien Page

Théorie des ensembles : 1ère partie

Cours du 8 avril :

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Cours du lundi 29 avril 2002, exposé par Julien Page

Théorie des ensembles : 2ème partie

Cours du 29 avril :

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Cours du lundi 6 mai 2002, exposé par Alexandre Rambaud

Théorie des ensembles : 3ème partie

Cours du 6 mai :

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Cours du lundi 13 mai, exposé par Abderezak Ould Houcine

Récursivité : 3ème partie

Cours du 13 mai :

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Cours du lundi 27 mai, exposé par Abderezak Ould Houcine

Récursivité : 4ème partie

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Source : http://www.logique.jussieu.fr/~rambaud/archives-paris.html

Séminaire d'introduction à la logique

 

Page des mini-cours

Quelques mots sur le séminaire d'introduction à la logique...

Du 3 octobre 2001 au 9 janvier 2002, a eu lieu à l' Institut Fourier de Grenoble un cours d'introduction à la logique. 
Les exposants, hormis Alexandre Rambaud, étaient Benoît Mariou , Abderezak Ould Houcine , Julien Page .

Cette formation accélérée avait pour but de familiariser l'auditoire avec les principaux outils de la logique.

Ce projet était soutenu par l' Ecole Doctorale de Grenoble .

Pour plus de renseignements...

Pour ceux qui veulent les cours...

 

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Cours du mercredi 3 octobre 2001, exposé par Benoît Mariou

Théorie des modèles : 1ère partie

 

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Cours du jeudi 11 octobre 2001, exposé par Benoît Mariou

Théorie des modèles : 2ème partie

 

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Cours du mercredi 17 octobre 2001, exposé par Julien Page

Théorie des ensembles : 1ère partie

 

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Cours du mercredi 24 octobre 2001, exposé par Julien Page

Théorie des ensembles : 2ème partie

Cours intégral des 2 séances (version corrigée le 25102001) :

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Cours du mercredi 7 novembre 2001, exposé par Alexandre Rambaud

Théorie des ensembles : 3ème partie

Cours du 7 novembre :

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Cours du mercredi 14 novembre 2001, exposé par Alexandre Rambaud

Théorie des modèles : 3ème partie

Cours du 14 novembre :

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Cours du jeudi 22 novembre 2001, exposé par Benoît Mariou

Théorie des modèles : 4ème partie

Cours intégral des séances de "Théorie des modèles 1, 2 et 4" (version corrigée le 29112001) :

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Cours du mercredi 28 novembre 2001, exposé par Julien Page

Théorie des ensembles : 4ème partie

Cours du 28 novembre :

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Cours du mercredi 5 décembre 2001, exposé par Abderezak Ould Houcine

Récursivité : 1ère partie

Cours du 5 décembre :

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Cours du mercredi 12 décembre 2001, exposé par Alexandre Rambaud

Récursivité : 2ème partie

Cours du 12 décembre :

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Cours du mercredi 19 décembre 2001, exposé par Abderezak Ould Houcine

Récursivité : 3ème partie

Cours du 19 décembre :

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Cours du mercredi 9 janvier 2002, exposé par Abderezak Ould Houcine

Récursivité : 4ème partie

 

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Source : http://www.logique.jussieu.fr/~rambaud/archives-grenoble....

Petit théorème de Fermat, nombres pseudo-premiers et nombres de Carmichael

Petit théorème de Fermat, nombres pseudo-premiers et nombres de Carmichael

 

Théorie des nombres -- Divisibilité et congruence
Théorie des nombres -- Nombres premiers

 

Théorème : Soit p un nombre premier, et a un entier premier avec p. Alors a^p-1 a pour reste 1 dans la division par p : a^p-1=1 mod p

Il est alors facile, à partir du petit théorème de Fermat, de déduire un test de non-primalité : si un nombre n est donné, on choisit un nombre a premier avec n, et on calcule a^n-1 : si on ne trouve pas 1 modulo n, c'est que n n'est pas premier. Ce test est très rapide, car on calcule a^n-1 en effectuant au plus 2log n opérations. On procède en effet par élévations au carré successives : si par exemple on veut calculer 3¹², on remarque que 12=2³+2², d'où 3¹²=((3²)²)²(3²)².

 

Malheureusement, le petit théorème de Fermat n'est pas une condition nécessaire et suffisante, et il existe des entiers n non premiers pour lesquel a^n-1=1 mod n. De tels entiers sont dits pseudopremiers de base a. Par exemple,

• 341=11×31 est pseudo-premier en base 2.
• 91=7×13 est pseudo-premier en base 3.

Qu'à cela ne tienne, se dit-on. Si 341 est pseudo-premier en base 2, il ne l'est pas en base 3, et le test avec 3 dira que n est composé. Malheureusement, cela n'est pas encore suffisant, car il existe des entiers non premiers n, mais pseudo-premiers pour toute base a<n, où a ne divise pas n. Ces nombres sont appelés nombres fortement pseudo-premiers, ounombres de Carmichael. Les premiers nombres de Carmichael sont : 561, 1105, 1729, 2465, et on sait depuis 1994 qu'il en existe une infinité. Voici une caractérisation des nombres de Carmichael :

 

Théorème : n, entier non premier, est un nombre de Carmichael si, et seulement si, n =p₁×...×p_k, où p₁,...,p_k sont des nombres premiers deux à deux distincts tels que (p_i-1) divise (n-1) pour tout i de {1,2,...,k}.

On trouvera une preuve de ce théorème dans le deuxième problème du Capes 2003.

Consulter aussi...

•Biographie de Pierre de Fermat
•Théorème d'Euler

Source : http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&...

 

La distribution des nombres premiers

Organisé par : Viviane Baladi (ENS)

Nous savons que l’ensemble des nombres premiers est infini, mais que peut-on dire de leur répartition ? Combien y a-t-il de premiers jusqu’à 100 ? ou 1000 ? ou 10^6 ? ou même 10^1000 ? Nous discuterons la recherche de bonnes approximations des réponses à ces questions au travers des travaux de Gauss, Riemann et d’autres, culminant dans la preuve en 1896 du "Théorème des Nombres Premiers".
Nous pourrons alors poser d’autres questions : ces bonnes approximations peuvent-elles être améliorées ? Et qu’en est-il des premiers qui apparaissent dans d’autres suites d’entiers, par exemple les valeurs des polynômes. Pouvons-nous trouver des valeurs consécutives de polynômes qui soient des premiers (comme n^2 + n + 41 pour n = 0, 1, 2...) ? Si oui, avec quelle fréquence ? On peut imaginer d’autres "motifs" de premiers : des carrés magiques premiers, des nombres de Fibonacci premiers...
On peut aussi penser à la "distribution locale des premiers" : quelle est la grandeur possible des écarts entre les premiers ? Autrement dit, étant donné un premier p, peut-on borner supérieurement le plus petit premier supérieur à p? Pouvons-nous dire quelle est la taille moyenne de ces écarts ? Qu’en est-il des "petits écarts" : il y a seulement deux premiers qui diffèrent de 1, mais combien y en a-t-il qui diffèrent de 2 ?
Pouvons-nous distinguer rapidement et facilement les nombres premiers des nombres composés ? Qu’en est-il de la factorisation des nombres en un produit de premiers ? (Cette question est importante pour la sécurité des transactions électroniques financières.)
Les trois séances de cours aborderont toutes ces questions et bien d’autres, et présenteront plusieurs avancées récentes passionnantes sur les nombres premiers.
Référence bibliographique :
Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, 3e éd., Springer, N.Y. 2000.

Ressources en ligne

• La distribution des nombres premiers – 1 (le 27 avril 2009) — Andrew Granville
  
• La distribution des nombres premiers – 2 (le 4 mai 2009) — Andrew Granville
  
• La distribution des nombres premiers – 3 (le 18 mai 2009) — Andrew Granville
  

Organisateurs

Viviane Baladi (ENS)

En savoir plus sur le cycle...

• Notes de cours d'Andrew Granville

Source : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=cycles&idcy...

Les calculs du citoyen Haros

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Les calculs du citoyen Haros
L'apprentissage du calcul décimal

Roger Mansuy
Professeur de mathématiques et d'informatique au Lycée Louis le Grand, Paris - e-mail
Version pdf (3 p., 171 ko)

Introduction

Parmi les changements qui ont suivi la révolution française de 1789, l'introduction du système métrique en lieu et place des unités de mesures héritées de l'ancien régime a profondément modifié l'enseignement des mathématiques. Comme les nouvelles unités sont dans un rapport une puissance de 10 avec les sous-unités, il a fallu développer la pratique du calcul décimal. En effet, tous les marchands et financiers (et plus généralement toute la population non-scientifique) étaient davantage habitués à manipuler des rapports entre entiers pour les anciennes unités et il apparaît nécessaire de fournir des manuels pour diffuser quelques rudiments de manipulation des décimaux.

Le livre et son auteur

Parmi ces ouvrages pédagogiques, l'un a connu plusieurs rééditions: Introduction abrégée sur les nouvelles mesures qui doivent être introduites dans toute la République au 1er vendémiaire an 10, avec des tables de rapports et de réductions, par C.H. Haros. 

Cet ouvrage, originellement publié en l'an IX (1801) chez Firmin Didot, est en quelque sorte reconnu d'utilité publique par l'académie des sciences qui en publie un rapport élogieux. Par exemple, les académiciens Adrien-Marie Legendre et Gaspard Prony, terminent leur rapport sur l'ouvrage (lors de la séance du 21 ventôse an IX) avec le constat suivant: "le citoyen Haros est un des géomètres de la section des calculateurs du Bureau du Cadastre, où il a donné des preuves soutenues de science et de talent. Les commissaires pensent que l'ouvrage de ce citoyen dont ils viennent de rendre compte à la classe, peut-être fort utile pour propager la connoissance du nouveau système des poids et mesure, et en faciliter l'usage".
Dans ce texte, C.H. Haros annonce clairement son objectif: "Mon but est de rendre le calcul décimal familier à celui qui sait déjà mettre en pratique les quatre premières règles de l'arithmétique en nombres entiers seulement." Pour y parvenir, il commence par introduire les nouvelles unités ("origine et valeurs des nouvelles mesures, leurs rapports avec le mètre, les valeurs en mesure ancienne"), explique l'intérêt du calcul décimal et termine avec des "tables de réductions très-commodes". Le texte qui suit à la section suivante correspond aux pages 82 et suivantes et détaille la méthode de conversion d'une fraction irréductible en écriture décimale. C'est l'occasion d'illustrer un certain nombre de propriétés arithmétiques élémentaires (périodicité du développement décimal ou caractère exacte de l'écriture décimale d'une fraction). Nous avons ensuite reproduit quelques extraits des tables "très-commodes" de l'annexe pour illustrer l'algorithme d'obtention d'une écriture décimale à partir d'une fraction.
Espérons que ce texte aidera enseignants et élèves dans l'apprentissage des rationnels et de leur écriture décimale périodique.

Texte original: Règle pour évaluer une Fraction ordinaire en Décimales

Divisez le numérateur de la fraction par le dénominateur, en ajoutant successivement un zéro à chaque reste de division; vous aurez au quotient des décimales qui exprimeront la valeur exacte ou approchée de la fraction.
Par exemple, pour évaluer 3/7 en décimales, divisez le numérateur 3 par le dénominateur 7, il viendra au quotient 0 d'entiers; ajouter un zéro au dividende 3, et divisez 30 par 7, vous aurez 4 au quotient, et 2 au reste; ajoutez un zéro au reste, et continuez l'opération comme il suit:

 

 

Il est à remarquer pour le cas où le dénominateur d'une fraction irréductible est un nombre impair non divisible par 5, que tous les restes de division sont irréductibles par rapport au diviseur; car le zéro que l'on ajoute successivement à chaque reste, donne un dividende 10 fois plus grand: or, le nombre 10 n'a, d'après l'hypothèse, aucun facteur commun avec le diviseur; donc après la division le reste ne peut avoir aucun facteur commun avec le diviseur. La division étant poussée suffisamment loin, donne des restes égaux à ceux qu'un a déjà trouvés; d'où il suit que les chiffres du quotient reparoissent de nouveau, et forment une période. Cette période ne peut être composée de plus de chiffres au quotient qu'il y a d'unités moins une dans le diviseur ou dénominateur; il est des cas où le diviseur, quoique très grand, donne néanmoins une période très petite.

On conçoit en effet, qu'en poussant la division, il doit arriver de deux choses l'une, ou tous les restes seront différents, et dans ce cas leur nombre ne peut surpasser le diviseur moins un, parce que ces restes sont chacun plus petits que le diviseur; ou dans le cours de la division on trouvera un reste égal à un des précédents, alors les mêmes chiffres du quotient reparoîtront: on pourra donc dans ce cas écrire, à la suite des chiffres déjà trouvés au quotient, tel nombre de décimales qu'on voudra sans avoir la peine de continuer la division. Enfin si l'on considère les restes successifs des divisions partielles comme numérateurs, ils formeront avec le diviseur autant de fractions irréductibles qu'il y aura de chiffres dans la période, et la valeur de chacune de ces fractions exprimée en dixièmes seulement, sera égale au chiffre correspondant du quotient.

Quand le dénominateur d'une fraction irréductible est un nombre pair, et que la division ne peut se faire exactement, les chiffres du quotient ne sont qu'en partie périodique, c'est-à-dire, que l'on trouve dans le commencement de la division un ou plusieurs chiffres non-périodiques; les restes de division sont tous des nombres pairs, et par conséquent susceptibles d'être réduits avec le diviseur à des termes plus simples.

C'est d'après ces propriétés que j'ai calculé une table d'une disposition nouvelle pour évaluer une fraction irréductible dont le dénominateur ne surpasse pas 50, avec autant de décimales qu'on voudra; mon intention étoit de la pousser bien plus loin, mais aussi j'aurois augmenté considérablement le nombre de pages de cet abrégé.

Voici la manière de faire usage de la table.

On cherchera le dénominateur de la fraction donnée, en tête des colonnes, et ensuite le numérateur dans la petite colonne à gauche, on trouvera dans celle de droite, et vis-à-vis du numérateur, la valeur exacte ou approchée de la fraction ordinaire. Si cette valeur est suivie du mot abrégé ex., on aura la valeur exacte de la fraction en décimales. Si la partie décimale se trouve terminée paretc., la dernière décimale doit être répétée autant de fois qu'on voudra. Si la partie décimale est accompagnée d'une fraction ordinaire, on écrira à la suite de cette partie la valeur de cette fraction. Enfin, si l'on ne trouve aucun signe après la valeur de la fraction donnée, on prendra cette valeur telle qu'elle se trouve dans la colonne, et de suite on écrira à sa droite tous les chiffres après les virgules, que l'on trouvera en descendant le long de la colonne; arrivé à la lettre p, qui signifie période, on pourra au besoin prendre d'autres chiffres en tête de la période, en observant de ne pas dépasser le trait qui en marque la limite.

Extraits de la table

Voici quelques extraits de la table pour illustrer les explications du texte. On pourra en particulier vérifier que: 

xxxxxxxxxx

Source : http://www.dma.ens.fr/culturemath/histoire%20des%20maths/...

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La preuve cartésienne de la quadrature du cercle

Davide Crippa

Equipe REHSEIS (CNRS - Université Paris Diderot) - e-mail

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Article déposé le 8 septembre 2009. Toute reproduction pour publication ou à des fins commerciales, de la totalité ou d'une partie de l'article, devra impérativement faire l'objet d'un accord préalable avec l'éditeur (ENS Ulm). Toute reproduction à des fins privées, ou strictement pédagogiques dans le cadre limité d'une formation, de la totalité ou d'une partie de l'article, est autorisée sous réserve de la mention explicite des références éditoriales de l'article.

Version [pdf ] (17 p., 1.2 Mo).

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SOMMAIRE

1 . La question de la quadrature du cercle

2. Ad Quadrandrum Circulum

2.1 Discussion du fragment cartésien
2.2 Le commentaire d'Euler

3. Le problème de l'exactitude

3.1 Exactitude et recevabilité
3.2 Constructions point par point
3.3 Constructions génériques et spécifiques
3.4 Clavius

4. Non recevabilité de la quadrature du cercle

5. Conclusions

Bibliographie

Encart 1: Sur la démonstration de Pappus

Encart 2: La première proposition de La mesure du cercle d'Archimède

Pendant la première moitié du XVII^ème siècle le problème de savoir si la quadrature du cercle est possible, à savoir s'il est possible de construire géométriquement un carré d'aire égale à celle d'un cercle donné, restait un problème ouvert dans l'agenda des mathématiciens [13].

Il est peut être surprenant de voir que face à la prudence montrée par exemple par Marin Mersenne (1588-1648) Note_1 , l'opinion de Descartes par rapport à la possibilité de la quadrature du cercle n'admet pas d'espace pour le doute. Ainsi, dans une lettre écrite en 1638, exposant à Mersenne quels genres de problèmes sont à placer hors de la géométrie, il juge de manière tranchante que la quadrature du cercle est impossible:

 

Mais, pour les questions de Géométrie qu'ils ne peuvent soudre & croient ne pouvoir estre resolues par ma methode, qu'ils vous prometent de me proposer, je trouve que c'est un parti qui m'est desavantageux. Car premièrement, c'est contre le style des Geometres de proposer aux autres des questions qu'ils ne peuvent soudre eux memes. Puis, il y en a d'impossibles, comme la quadrature du cercle &c.; il y en a d'autres qui, bien qu'ils soient possibles, sont toutefois au delà des colonnes que j'ay posees, non à cause qu'il faut d'autres regles ou plus d'esprit, mais a cause qu'il faut plus de travail (...) il y en a qui appartiennent à l'arithmetique et non a la Geometrie, comme celles de Diophante ... Note_2

En examinant de plus près le problème, observons que la désignation d'un problème par le terme impossible demande une clarification. Des solutions à la quadrature du cercle avaient été produites depuis l'antiquité: ainsi, d'après le témoignage de Pappus dans le quatrième livre de la Collection mathématique, témoignage que Descartes connaissait dès ses débuts en mathématiques, les anciens géomètres avaient essayé de résoudre la quadrature du cercle par la construction de certaines courbes, telle que la quadratrice (dont l'introduction est généralement attribuée à Hippias, Voir Encart 1).

 

Figure 1

Figure extraite deFedericus Commandinus, editor. Pappus Alexandrini Mathematic collectiones a Federico Commandino
[8] en bibliographie

Par ailleurs, parmi les manuscrits de Descartes publiés avec le titre Excerpta ex MSS. R. Des-Cartes dans le volume Opuscola posthuma physica et mathematica (Amstelodami, ex typographiâ P. & J. Blaeu, 1701 1701) Note_3 , on peut trouver un fragment (le numéro 6), datable aux années 1625-1628, contenant une solution au problème de la quadrature du cercle, due à Descartes, et différente de celle de Pappus.

Dans cet article, je donnerai en premier lieu une reconstruction de la quadrature contenue dans le fragment 6 des Opuscula. Ensuite, je discuterai les raisons pour lesquelles Descartes n'accepta ni la solution que l'on trouve dans la Collection mathématique de Pappus, ni celle qu'il proposa lui même, comme légitimes par rapport à certains standards d'exactitude en force dans La Géométrie de 1637.

 

Ad quadrandum circulum

Discussion du fragment cartésien

Il est à noter que Descartes ne reviendra jamais sur son texte sur la quadrature du cercle au cours de sa carrière. La première référence à cette démonstration est attribuable à Leonhard Euler (1707-1783), qui lui dédie un commentaire publié en 1763 dans les comptes rendus de l'académie de St Petersburgh: Annotationes in locum quendam Cartesii ad circuli quadraturam spectantemNote_4 .

Le fragment dans lequel Descartes présente sa quadrature est bref, et il peut être cité en entier:

 

CIRCULI QUADRATIO. Ad quadrandum circulum nihil aptius invenio quam si dato quadrato bf adiungatur rectangulum cg comprehensum sub lineis ac & cb,quod sit aequale quartae parti precedentis; item rectangulum dh, factum ex lineis da, dc aequale quartae parti precedentis; & eodem modo rectangulum ei, atque alia infinita usque ad x; quae omnia simul aequanbantur tertiae parti quadrati bf. Et haec linea ax erit diameter circuli, cujus circonferentia aequalis est circumferentiae huius quadrati bf, est autem ac diameter circuli octagono, quadrato bf isoperimetro, inscripti; addiameter circuli inscripti figurae 16 laterum, ae diameter circuli inscripti figurae 32 laterum, quadrato bf isoperimetrae, & sic in infinitum Note_5 .

 

LA QUADRATURE DU CERCLE. Pour carrer le cercle, je ne trouve rien de plus apte que, étant donné un carré bf, d'ajouter le rectangle cg délimité par les lignes ac et cb, égale à la quatrième partie du précédent; et ensuite le rectangle dh, formé par les segments da, dc égale à la quatrième partie du précédent, et de la même manière d'ajouter le rectangle ei, et ajouter ainsi d'autres rectangles jusqu'à l'infini, jusqu'à atteindre le point x. Tous ensemble, ils feront la troisième partie du carré bf. Et cette ligne ax sera le diamètre du cercle, dont la circonférence est égale au périmètre de ce carré bf. D'autre part, ac est le diamètre du cercle inscrit dans l'octagone isopérimètre au carré bf, ad le diamètre inscrit à la figure de 16 côtés, ae le diamètre du cercle inscrit dans la figure de 32 côtés, isopérimètre au carré bf; et ainsi à l'infini.

 

Figure 2

 

 

Le texte se prête à être divisé en deux parties: dans la première, Descartes présente la construction d'une suite infinie des rectangles cg, dh, ei... tels que l'air de chacun soit égal à ¼ du précedent, et l'aire du premier à un quart d'un carré donné bf, pour en conclure que la somme de leurs aires équivaut à un tiers de l'aire de bf Note_6 . Dans la deuxième, il affirme que la suite de ces rectangles, construits comme sur la figure, détermine les diamètres des cercles inscrits dans les polygônes réguliers de 2ⁿ côtés (pour n ≥ 2), isopérimètres au carré de périmètre donné bf. De cette manière le segment maximal ax déterminera la mesure du diamètre du cercle inscrit dans la figure isopérimètre d'aire majeure: ax sera donc, le diamètre du cercle isopérimètre au carré bf Note_7.

Le problème de Descartes n'est ni celui de la quadrature du cercle, ni celui de la rectification de la circonférence, et il peut être resumé ainsi: étant donné la mesure de la circonférence, il est demandé de trouver son diamètre. Néanmoins, notons que Descartes donne au fragment le titre: "CIRCULI QUADRATIO" (quadrature du cercle). L'équivalence entre les deux résultats peut être établie sur la base de la première proposition du traité archimédien de la Mesure du cercle, connue parmi les mathématiciens du XVII^ème siècle Note_8 , et qu'on pourra formuler comme suit (voir Encart 2):

 

Tout cercle a même aire que le triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit ont pour longueurs respectives le rayon et la circonférence de ce cercle. Note_9 .

 

Sur la base de cette équivalence, si on connaît le rayon d'un cercle donné et la mesure de la circonférence, on peut construire une figure "rectiligne" d'aire égale à celle du cercle. Et comme le fragment de Descartes est censé offrir la mesure du rayon (ou du diamètre) à partir de celle de la circonférence, la quadrature du cercle peut être résolue par conséquent Note_10 .

Par contre, aucune indication dans le texte rend explicite la relation entre la construction des rectangles dont les aires sont en succession géométrique, et le fait que leurs bases forment la suite des diamètres, respectivement, du cercle et des polygones réguliers à 8, 16, 32, 64 côtés, sic in infinitum, isopérimètres au carré bf de départ.

Afin de donner une explication de la manière dont les deux moments de la démonstration cartésienne s'agencent, j'utiliserai le commentaire donné par Euler en 1763.

 

Le commentaire d'Euler

Au préalable Euler énonce un problème qui une fois résolu expliquera la relation entre la construction cartésienne des rectangles et la succession des diamètres des cercles inscrits dans les polygones aux côtés croissants en mesure double. Le problème peut être énoncé comme suit:

Étant donné un cercle inscrit dans un polygone régulier à n cotés, trouver un deuxième cercle, tel que, si l'on circonscrit autour de celui-ci un polygone à 2n côtés, les deux polygones seront isopérimètres.

 

Figure 3

En procédant par une analyse dans le style de la géométrie ancienne, Euler suppose le problème résolu. Ainsi, il donne la première circonférence MNE. Le cercle a pour centre C et rayon CE. Le segment EP est la moitié du côté d'un polygone regulier circonscrit à MNE. Euler construit ensuite QF, moitié du côté du deuxième polygone aux côtés doubles du premier, et CF, le rayon du cercle à déterminer. On aura par conséquent QF = ½ EP, et, puisque le cercle inscrit dans le polygone à 2n côtés est plus grand que le cercle MNE, on aura CE < CF. Soit O le milieu du segment EP, on aura donc que QO est parallèle à EF. Enfin, soit V le point d'intersection entre le rayon CQ et le coté EP. Comme V tombe entre O et E, on aura  EV < EO. Euler peut ensuite déduire les égalités :

 

et

 

La première égalité peut être déduite de la similitude entre les triangles VCE et QFC, la deuxième demande un peu plus de travail Note_11 .

A partir de ces proportions, l'égalité suivante peut être facilement déduite: CF . EF = ¼ (CP² - CE²) = ¼ EP². Puisque FQ = ½ EP, et que

Par conséquent, le produit CF . EF sera égal à:  ¼ (CP² - CE²). Le point F sera finalement défini de telle manière que le rectangle de côtés CF et EF, soit égal à un quart du carré construit sur EP.

Comme on a  EO = QF =  ½ EP, que l'angle QCF = ½  PCF, et que EP est perpendiculaire à CF, le point F pourra être trouvé comme projeté ortogonal sur CE de l'intersection entre la droite CV, bissectrice de l'angle PCE, et la médiatrice du segment EP.

Une fois résolu le premier problème, Euler démontre la construction cartésienne. Soient CE, CF, CG, CH ... les rayons des cercles inscrits, respectivement, dans un carré, un octagone, un 16-gone, le 32-gone ... isopérimètres. Considérons ensuite les segments EP, FQ, GR, HS, respectivement, demi-côtés du carré, de l'octagone, du 16-gone... . On aura, sur la base du résultat précédent: FQ = ½ EP, GR = ½ FQ = ¼ EP , HS = ½ GR =¼ FQ = 1⁄8 EP, ...  ...

 

 

Figure 4

 

On sait aussi, du problème précédent, que: CF . EF = ¼ EP² = FQ². De la même manière, on aura:

CG . FG = ¼ FQ² = ¼ CF. EF = GR² = 1⁄16 EP²

CH . GH = ¼  GR² = ¼  CG . FG = HS² = 1⁄32 EP² ,  etc.

En doublant les demi-côtés des polygones, nous pourrons définir une succession de points F, G, H, I ... tels que les rectangles construits de côtés CG, FG et CH, GH, etc. (que je noterai r(CG, FG), r(CH, GH), etc.) seront égaux à un quart des carrés respectifs de côté EP, QF, etc. (que je noterai q(EP), q(QF), etc.). De cette manière on aura:

r(CF, EF= ¼ EP²

r(CG, FG) =  1⁄16 EP²

r(CH, GH) = 1⁄32 EP²

De cette manière, la somme des rectangles correspondra à la limite de la série géométrique de raison ¼ , pour n tendant à l'infini, multipliée par l'aire du carré de côté EP: donc 1⁄3 EP², comme dans la construction cartésienne. Notons aussi que la solution du problème précédent donne une manière de construire la succession des points F, G, H, I ... à la règle et au compas. Le point Q est obtenu par intersection entre la médiatrice de EP et la bissectrice de PCE. Le point R est obtenu par intersection entre la médiatrice de QF (moitié de EP) et la bissectrice de l'angle QCE (la moitié de PCE), etc. Ainsi chaque point est construit par intersection entre la médiatrice d'un  segment de longueur PE / 2ⁿ et la bissectrice d'un angle de mesure PCE / 2ⁿ .

Je remarque que Euler tient à séparer le commentaire de la proposition cartésienne de ses développements analytiques, données dans une deuxième partie du commentaire, et que sa reconstruction du passage de Descartes ne présuppose aucune connaissance technique qui ne fusse disponible à Descartes lui-même. Il est donc possible que ce dernier ait suivi cette voie pour construire la succession de rectangles cg, dh, ei ...

Pour ce qui concerne l'ordre suivi par Descartes dans l'exposition de ses résultats, Pierre Costabel a voulu voir dans "la préférence explicite (...) pour la considération des aires le souci de justifier l'existence de la limite Cx avant même de passer à l'interprétation de cette limite comme mesure liée à un polygone régulier" Note_12 . Bien que les éléments pour conclure que Descartes puisse avoir abouti, à un certain moment de sa carrière, à une notion de passage à la limite sont insuffisants, on peut faire l'hypothèse, suggerée par Whiteside Note_13 , qu'il se soit servi de la série de raison  ¼ comme série de comparaison pour tester la convergence de la méthode des isopérimètres Note_14 . Selon cette hypothèse, Descartes aurait pu raisonner comme il suit: si l'aire de la figure formée par le carré bf et la succession des rectangles est égale à une quantité finie (notamment, 4⁄3 bf), sa base Cx sera égale à une quantité finie aussi (voir Figure 2). Comme on sait que la première condition vaut, on aura aussi la seconde, et donc, on pourra conclure que la succession des apothèmes tend vers la limite Cx, diamètre du cercle isopérimètre au carré de départ.

Le problème de l'exactitude

Exactitude et récévabilité

 

La solution d'un problème ainsi que son acceptation à l'intérieur d'une communauté mathématique ne dépendent pas seulement de l'absence d'erreurs dans le calcul ou de l'absence d'arguments fallacieux dans la structure logico argumentative: souvent, l'emploi de procédures de résolution dépend de leur recevabilité par rapport à des standards extra-mathématiques Note_15 . A ce propos,Henk Bos a montré que parmi les mathématiciens, entre XVI^ème et XVII^ème siècle, un ensemble de critères, qu'il appelle exactitude géométrique, a été au centre d'un important débât. Les points principaux de ce débât concernaient les moyens nécessaires et suffisants pour considérer un objet comme connu, accepter ou refuser une procédure de construction d'un object géométrique ou la solution d'un problème de géométrie Note_16.

Dans les mathématiques du XVII^ème siècle, le problème de l'exactitude géométrique suit une double articulation [18]: il consisterait premièrement dans la fixation de procédures admissibles pour résoudre des problèmes, qui, tout en étant formulées par l'emploi de concepts introduits dans les livres géométriques des Eléments, résistent à une solution par la règle et le compas (comme la quadrature du cercle), et deuxièmement dans la détermination des conditions d'admissibilité de ces procédures.

Dans La Géométrie de Descartes, en particulier, les deux moments de la question sont entrelacés. Comme la solution d'un problème mathématique est conçue par celui-ci en termes de construction d'un point ou d'un lieu par des courbes, sa réponse au problème de l'exactitude consiste dans la formulation d'un critère de recevabilité des courbes, à son tour fondé sur des contraintes au niveau de leur construction. Le passage suivant illustre bien les considérations précédentes:

 

Mais il est, ce me semble, très clair, que prenant comme on fait pour Géométrique ce qui est precis et exact, et pour mécanique ce qui ne l'est pas; et considérant la Geometrie comme une science, qui enseigne généralement à connoitre la mesure de tous les cors, on n'en doit pas plutot exclure les lignes les plus composées que les plus simples, pourvu qu'on les puisse imaginer etre descrites par un mouvement continu ou par plusieurs qui s'entresuivent et dont les derniers soient entièrement reglés par ceux qui les précèdent, car par ce moyen on peut toujours avoir une connaissance exacte de leur mesure Note_17 .

 

La notion de constructibilité que Descartes déploie ici pourrait etre interprétée comme la tentative de prendre les clauses constructives fixées dans les postulats d'Euclide comme base pour des constructions récursives Note_18 , aboutissant à d'autres courbes, dont le caractère effectif ne saurait pas être mis en doute. Bien évidemment, pour Descartes aussi, parmi les courbes reçues en géométrie on doit compter cercles et droites, construits à la règle et au compas. Ensuite, par ces mêmes constructions à la règle et au compas, on peut obtenir certaines configurations de droites et de cercles, qui formeront des sytèmes articulés. Si on soumet ces systèmes à des mouvements appropriés, certains de leurs points, forcés à se déplacer sur des trajectoires univoques, traceront de nouvelles courbes. Ces courbes composées seront recevables en géométrie. A leur tour, seront recevables toutes les courbes engendrées par des systèmes articulés et soumis à des mouvements qui combinent les courbes précédemment construites entre elles et avec cercles et droites. On appelera un tel critère de recevabilité, pour souligner sa continuité avec les clauses constructives euclidiennes, critère par règle et compas reitérés [17].

Mais qu'est ce que signifie être soumis à des mouvements appropriés? Une caractérisation pourrait être la suivante: un système articulé est soumis à un mouvement approprié si les propriétés géométriques de la courbe tracée par ce système ne dépendent pas des caractéristiques cinématiques du mouvement. Ainsi, la construction de la quadratrice présentée par Pappus ne pourra pas garantir l'admissibilité de cette courbe en géométrie, parce que la trajectoire du point qui trace la courbe dépend de la vitesse des axes mouvants. Il n'est donc pas étonnant que sur cette base, Descartes ne reçoive pas comme acceptable la quadrature du cercle résolue par la quadratrice.

A la différence de cette construction, pourtant, la procédure appliquée par Descartes pour sa quadrature ne demande l'application d'aucune courbe, à part les droites et les arcs de cercle impliqués dans la construction des rectangles (nous avons en fait montré que chacun d'eux peut être obtenu par des bisections successives de segments et d'angles). Il s'agit donc d'une procédure euclidienne, à la règle et au compas. Il est vrai qu'elle pourrait être jugé approximée, et donc non exacte. Néanmoins cette conclusion, bien que prima facie raisonnable, invoque une justification: pour quelle raison cette procédure ne se conforme pas au critère de recevabilité précédemment exposé?

D'autre part, tandis que ce critère établit qu'une courbe est recevable s'il existe un système articulé d'engendrement qui obéit à certains réquisits, Descartes imagine et expose, toujours dans La Géométrie, deux autres systèmes d'engendrement de courbes: la construction point par point, et celle par des cordes.

 

Constructions point par point

 

Dans cet article, je me limiterai à considérer le premier type de construction, qui est introduit premièrement en relation aux problèmes indeterminés, dans lesquels un lieu géométrique est à déterminer par des conditions, exprimées par une équation, que tous les points d'un lieu doivent satisfaire. La solution d'un problème indeterminée peut donc être construite comme Descartes l'explique:

..on peut prendre à discretion l'une des deux quantités inconnues x ou y et chercher l'autre par cete Equation .. mesme prenant successivement infinies diverses grandeurs pour la ligne y on en trouvera aussi innies pour la ligne x, et ainsi on aura une infinité de divers poins...par les moyens desquels on décrira la ligne courbe demandée... ([10], p. 313).

En d'autres termes, une construction point par point d'un lieu est obtenue en prenant un nombre arbitraire de valeurs pour l'une des deux inconnues (par exemple, y), pour se ramener ainsi à une équation à une seule inconnue (par exemple, x) qui peut être résolue géométriquement, selon les méthodes illustrées au premier et au troisième livre. Par ce processus de construction on peut déterminer un réseau formé par un nombre arbitraire de points distribués sur une courbe.

Toujours au deuxième livre, Descartes présente la construction point par point comme méthode de construction générale des courbes, sans référence au contexte du problème de Pappus. Le cas traité dans La Géométrie, est celui de la construction des ovales. Parmi les différentes manière de construire ces courbes, je décrirai la suivante:

 

Figure 5

Figure extraite de La Géométrie, Descartes, [11]  p. 352

 

Soient FG et AR deux lignes qui se croisent en A selon un angle donné. A gît entre F et G, de manière que le rapport entre AF et AG soit donné aussi (pris à discretion, observe Descartes). On pose ensuite AR = AG. Prenons le point 5, arbitrairement choisi sur AG, et traçons le cercle de centre F et rayon F5. Traçons le segment 56, perpendiculaire à AR, et ensuite le cercle de centre G et rayon R6. Les deux points d'intersection des deux cercles de rayon respectifs F5 et R6 appartiennent à l'ovale. Réitérant la même construction, en partant d'autres points arbitrairement choisis sur AG (comme 7), on peut déterminer un réseau formé par un nombre arbitraire de points distribués sur la même courbe. Ce n'est pas du tout immédiat de considérer ce procédé de construction autant exact et précis qu'un procédé de construction obtenu par un système articulé, puisque il faut vérifier, dans le cas des constructions point par point, que tous les points de la courbe ont été ainsi construits. De plus, lorsqu'il traita de ce type de construction, Descartes devait avoir à l'esprit les remarques de certains mathématiciens Note_19 qui avaient critiqué cette façon de construire une courbe parce qu'elle n'offre pas la courbe dans sa totalité, au contraire d'un acte de mouvement, qui donnerait la totalité des points d'une courbe sans laisser de trous dans son tracé.

 

Constructions génériques et spécifiques

 

Sur quel fondement Descartes s'appuie-t-il donc pour déduire la non recevabilité de la procédure de quadrature à partir de sa solution au problème de l'exactitude et en même temps la recevabilité de sa procédure de construction point par point des courbes?

Pour répondre à cette question, je commencerai par montrer qu'en traitant des constructions point par point, Descartes distingue deux façons de construire une courbe:

 

...ayant expliqué la façon de trouver une infinité de poins par ou elles [les courbes] passent, je pense avoir assés donné les moyens de les décrire. Mesme, il est a propos de remarquer qu il y a grande diference entre cete façon de trouver plusieurs poins pour tracer une ligne courbe, et celle dont on se sert pour la spirale, et ses semblables. Car par [cete] dernière on ne trouve pas indifféremment tous les points de la ligne qu'on cherche, mais seulement ceux qui peuvent être determinés par quelque mesure plus simple, que celle qui est requise pour la composer, et ainsi a proprement parler, on ne trouve pas un de ses points, c'est à dire pas un de ceux qui luy sont tellement propres qu'ils ne puissent estre trouvés que par elle Note_20 .

 

La première façon, dont la construction des ovales est un exemple permet de construire indifféremment tous les points: Henk Bos parle d'une méthode générique Note_21 ; alors que la deuxième n'offre qu'un sous-ensemble des points de la courbe, obtenus par des moyens plus simples que ceux demandés pour sa construction. Cette deuxième façon est appelée méthode spécifique, toujours par Henk Bos Note_22 .

Clavius

Descartes, tout en faisant allusion à une méthode dont on se sert pour la spirale et ses semblables, ne donne aucun exemple de construction spécifique. Par ailleurs, de nombreuses études Note_23ont montré qu'il avait probablement à l'esprit la construction point par point de la quadratrice, offerte par Christophorus Clavius (1538-1612) dans le livre VI de ses Commentaria aux d'Euclide, publiés en 1598 (le texte spécifique fut reédité dans la ElémentsGeometria practica de 1604). Voici comment la construction de la quadratrice est décrite:

quare nos Geometrice eandem lineam Quadratricem describemus hoc modo. Arcus BD in quotius partes aequales dividatur, & latus utrum AD, BC in totidem aequales partes. facillima divisio erit, si et arcus DB et utrumque latus AD, BC secetur primum bifariam, deinde utraque semissis iterum bifariam, etc., ita deinceps, quantum libuerit. Quo autem plures existerint divisiones, eo accuratius linea describebitur... Note_24 ([7], p. 321).

 

Figure 6

 

Les intersections des segments ainsi tracés formeront un réseau de points appartenant à une quadratrice. Dans ce passage, Clavius déclare offrir une construction géométrique de la quadratrice plus précise que celle présentée dans la Collection de Pappus. Il se refère, en particulier, à l'une des deux objections relatées par Pappus même et attribuées à Sporus: selon celle ci, le point d'intersection entre la quadratrice et l'axe ne peut pas être construit, puisque les deux segments en mouvement coincideront sur l'axe horizontal, et le tracé de la courbe cesserait avant de rencontrer celui-ci Note_25 .

D'après Clavius, donc, cette construction offrirait le point d'intersection entre quadratrice et axe, sans besoin de recourir à la génération de la quadratrice par combinaisons de surfaces plectoidesNote_26 , présentée dans la Collection Mathématique Note_27 . Cependant, pour construire le point d'intersection, Clavius doit recourir à une astuce. Il demande de continuer la procédure de divisions successives de l'arc et du segment jusqu'à obtenir le segment AF et l'arc BK. Ensuite, Clavius demande de construire les segments BL, BN, AM de longueur égale à AG, et de tracer les segments MN et GL. L'intersection entre les segments GL et AK donnera alors le point H, appartenant par construction à la quadratrice. Clavius demande alors de tracer le segment MP égal à GH, et ensuite, de prolonger la quadratrice jusqu'au point P, en dessous de la base AB, par la même procédure: elle coupera la base dans le point E recherché (voir Figure 6). Clavius ajoute alors que, si on a construit les segments GH, AE, MP très proches l'un à l'autre, ce point E pourra être trouvé par l'intersection entre l'arc de cercle HP (de centre A) et le segment AB. Notons que cette procédure ne construit pas le point E, mais un point assez proche. Tout en étant conscient de ce fait, Clavius considérait que cette construction approchée détermine le point de la quadratrice lorsque l'erreur n'est pas perceptible par les sens:

 

... sed quia punctum E, in latere AB, invenire geometrice non potest, cum ibi omnis sectio rectarum cesset: ut illud sine notabili errore, quiscilicet sub sensum cadat, reperiamur ... Note_28 .

 

En faveur de l'hypothèse qui considère cette discussion à la base de la distinction faite dans La Géométrie entre deux procédures de construction point par point, commençons à noter que l'étude de Clavius laissa une forte empreinte sur Descartes bien avant la composition du traité de 1637 Note_29 .

Autour de 1614-1615, Isaac Beeckman (1588-1637), avec lequel Descartes collabora entre 1618 et 1619, fait référence dans son journal au même texte de Clavius sur la quadratrice en relation au problème pratique de construction de conduits d'eau d'inclinaison croissante. Tout particulièrement, Beeckman montre que la meilleure façon de disposer des tuyaux est telle que leurs extrémités appartiennent à une quadratrice, qu'il construit par la méthode de Clavius Note_30 .

Ensuite, une lettre de 1629 adressée par Descartes à Mersenne témoigne que à cette époque le mathématicien connaissait certainement la construction point par point de la quadratrice donnée par Clavius:

 

... la ligne helice que vous ne m'avies point nommee & qui n'est pas une ligne plus receue en geometrie que celle qu'on appelle Quadratricem, pource qu'elle sert à carrer le cercle & mesme a diviser l'angle en toutes sortes de parties esgales, aussy bien que celle cy & a beaucoup d'autres usages que vous pourrés voir dans les Elemans d'Euclide commantés par Clavius. Car, encore qu'on puisse trouver une infinité de points par ou passe l'helice & la quadratrice; toutefois on ne peut pas trouver geometriquement aucun des poins qui sont necessaires pour les effaits desirés tant de l'une et tant de l'autre...

 

Ces deux évidences sont importantes afin de montrer que Descartes connaissait donc très certainement l'étude de Clavius lorsqu'il commenta, au deuxième livre de La Géométrie, les constructions point par point spécifiques. Notons qu'en 1629 Descartes écrit que parmi les points qui ne peuvent pas être trouvés géométriquement, il y a ceux nécéssaires pour les effets désirés. Comme la quadrature du cercle peut être incluse parmi les effets désirés découlants de l'emploi de la quadratrice, on peut inférer que Descartes ait voulu souligner que le point E d'intersection entre quadratrice et axe, requis afin d'établir la proportion qui donne la quadrature du cercle, ne saurait pas être constructible par la procédure de construction employée par Clavius.

Observons aussi que les deux constructions de Clavius sont étroitement liées au fragment cartésien sur la quadrature du cercle. Il suffit de les comparer pour remarquer que la procédure de construction qui donne les points de la quadratrice dans la construction offerte par Clavius donne aussi les points P, Q, R... , à partir desquels on peut construire par simple projection orthogonale: E, F, G..., bases des rectangles dont la mesure de l'aire est en progression géométrique de raison un quart. Dans les deux cas, en fait, les points sont obtenus par bissections successives d'un angle droit et de l'un des côtés du carré de départ.

 

Pourtant, le point x dans la construction cartésienne (voir Figure 2) est déterminé différemment de son analogue E dans celle de Clavius. Ce dernier détermine E en construisant, par l'application de la procédure expliquée plus haut, un point qui s'approche tellement du premier point que la distance entre les deux tombe en dessous de notre seuil de perception. Au contraire, dans le fragment de Descartes la procédure de construction du point x, diamètre du cercle de périmètre donné, ne s'arrête pas à un seuil physique de perception: la distance entre le point x et le point qui donne l'apothème du polygone régulier à 2ⁿ côtés peut toujours être raccourcie: il suffit, en théorie, de réitérer la même procédure pour obtenir l'apothème du polygone dont le nombre de côtés est le double du précédent. Pour cette raison, la quadrature du cercle cartésienne, à la différence de la construction de la quadratrice de Clavius, se fonde sur une procédure d'approximation infinie.

Derrière ces conclusions différentes, nous pouvons percevoir deux conceptions différentes de l'exactitude en géométrie. Pour Clavius, il y aurait un parallèle entre exactitude géométrique et précision pratique. Même si ce parallèle n'est jamais éclairci, on peut conclure à partir des exemples discutés que la précision obtenue dans les méthodes pratiques de dessin et de construction serait un critère suffisant pour décider de l'exactitude théorique d'un procédé ou d'une construction.

Au contraire, la notion d'exactitude que Descartes met en place, au moins dans La Géométrie de 1637, semble avoir une relation plus atténuée avec les méthodes de géométrie pratique. On peut le remarquer dans le cas des systèmes de tracement de courbes, qui bien que réalisables en pratique, restent des systèmes imaginés, mais aussi dans la distinction entre constructions point par pointgénérique ou spécifique.

 

 

Non récévabilité de la quadrature du cercle

En fait, le caractère infini du procédé d'approximation qui figure dans le fragment sur la quadrature du cercle est fondamental pour saisir la distinction entre les deux façons de construire une courbe point par point. En revenant à l'exemple des ovales (voir Figure 5), je fais remarquer que dans ce cas chaque point du lieu est obtenu comme intersection entre deux courbes géométriques, déterminées à leur tour par l'application d'une suite finie de constructions exactes, à partir d'un point choisi arbitrairement sur une droite: cette caractéristique est généralisable à toute construction point par point générique.

Au contraire, la solution cartésienne à la quadrature du cercle montre, à cause de sa quasi-équivalence avec la construction point par point de la quadratrice donnée par Clavius, que le point E, intersection entre cette courbe et la droite AB, ne peut pas être construit en un nombre fini de pas par la même procédure qui donne les points C, O, H  (Cf. Figure 6). Par conséquent, cette méthode, tout en trouvant un nombre infini de points de la quadratrice, ne trouve pas, comme Descartes le remarque, et contre l'opinion de Clavius, ce point E, nécessaire pour les effets désirés. D'où le caractèrespécifique de cette construction point par point de la quadratrice.

Conclusions

Pour conclure, revenons aux deux questions soulevées plus haut: sur quel critère Descartes s'appuie-t-il pour déduire la non recevabilité de la procédure de quadrature, et, en même temps, la recevabilité de la procédure de construction point par point générique des courbes?

Revenons au modèle d'exactitude introduit au § 3. Rappelons qu'une procédure de construction d'une courbe a été définie exacte si: (i) elle est une procédure à la règle et au compas, ou bien, (ii) elle se fonde sur des sytèmes articulés et soumis à des mouvements, qui combinent deux segments et un cercle pour construire de manière appropriée de nouvelles courbes non constructibles à la règle et au compas, ou encore (iii) elle se fonde sur des systèmes articulés et soumis à des mouvements qui combinent les courbes précédemment construites entre elles et avec des cercles et des segments.

On pourra préciser la solution cartésienne au problème de l'exactitude, en spécifiant, qu'un objet est déterminé par une procédure exacte si: (i) il s'agit d'une courbe engendrée par règle et compasréitérés; (ii) dans le cas d'un point appartenant à un lieu, s'il est construit par intersection entre deux courbes construites par règle et compas réitérés, à partir d'un point arbitrairement choisi sur une droite. Cette dernière condition est équivalente à la suivante: un point est déterminé exactement s'il peut être relié par une chaîne finie de constructions par règle et compas réitérés à un point arbitrairement choisi (comme dans l'exemple des ovales).

Sur la base de (i) et de (ii) on peut conclure que:

• si les points d'un lieu sont construits par une procédure point par point générique, alors ils sont détérminés exactement Note_31 .

• Dans le fragment sur la quadrature du cercle, le point x qui donne le diamètre du cercle isopérimètre au carré donné n'est pas déterminé exactement par la procédure de bissection successive du segment EP et de l'angle PCF (voir Figure 4).

• Il en est de même pour le point d'intersection entre quadratrice et base dans la construction point par point donnée par Clavius.

On pourra donc conclure que, par rapport à la solution cartésienne au problème de l'exactitude, comprenant un critère de recevabilité des courbes ainsi qu'un critère de détermination exacte d'un objet, ni la solution à la quadrature du cercle présentée par Pappus, ni celle offerte par Descartes dans le fragment 6 des Opuscula Posthuma seront recevables comme solutions géométriques du problème.

Notons que cette conclusion n'explique pas pourquoi Descartes considérait ce problème impossible, mais elle contribue à éclairer la signification du terme dans le contexte de la pratique cartésienne de solution de problèmes. Impossibilité donc, non pas comme absence de solution tout court, mais comme absence de solution conforme à un idéal d'exactitude, et donc, de géométricité.

1. Bibliographie

   
   
   

[1] Archimède, La Mesure du Cercle, tr. Ver Ecke, dans Archimède, Oeuvres Complètes vol I, pp. 127.

[2 ] Isaac Beeckman, Journal tenu par Isaac beeckman de 1604 à 1634/publié avec une introduction et des notes par C. de Waard. M. Nijhoff, la Haye, 1939-1953. Quatre volumes.

[3] Henk J. M. Bos, Redefining Geometrical Exactness, Sprnger, 2001.

[4] Henk J. M. Bos, On the representation of curves in Descartes' Geometry, Archive for History of Exact Sciences, 24: 295-338, 1981. 

[5 ] Carl Boyer, The History of the Calculus and Its Conceptual Development, New York, Dover, 1959.

[6] Cristophorus Clavius, editeur. Elementorum Libri XV accessit XVI de solidorum regolarium cuiuslibet intra quodlibet comparatione [...]. apud Sanctium & Soc., Romae, 1589.

[7] Cristophorus Clavius, Geometria Practica, apud Typographeo Ioannis Albini, Moguntia, 1606. 

[8] Federicus Commandinus, editor. Pappus Alexandrini Mathematic collectiones a Federico Commandino [. . . ] in latini conversae[. . . ]. apud H. Concordiam, Pisauri, 1588. 

[9] Pierre Costabel, Descartes et les mathématiques de l'infini, Historia Scientiarum 29: 1985, pp. 37-49.

[10] René Descartes, Discours de la methode [...]. Plus la Dioptrique. Les Meteores. Et la Geometrie qui sont des essaies de cette Methode. I. Maire, Leyde, 1637. 

[11] René Descartes, Oeuvres de Descartes. Vrin, Paris, 1897-1910. Editées par C. Adam and P. Tannery. 12 volumes.

[12] Leonhard Euler, Annotationes in locum quendam Cartesii ad circuli quadraturam spectantem, dans Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 8, 1763, pp. 157-168. Aussi dans: Euler, Opera Omnia: Series 1, Volume 15, pp. 1 - 15.

[13] Paolo Mancosu, Philosophy of mathematics and mathematical practice in the seventeenth century, Oxford University Press, 1996.

[14] Marin Mersenne, Les Questions Théologiques, Physiques, Morales et Mathématiques, Henry Guenon. Reédité en Questions inouies, 1634/1985. 

[15] Pappus. Pappi Alexandrini Collectionis [...]. Weidmann, Berolini, 1876-1878. 3 vols. Editées avec une traduction latine et un commentaire par F. Hultsch.13

[16] Pappus, La Collection Mathématique, Desclée de Brouwer, 1933, tr; française par Ver Eecke P.

[17] Marco Panza, Newton et les Origines de l'Analyse, Blanchard, 2005. 

[18] Marco Panza, Manuscrit, non publié.

[19] Roshdi Rashed, Descartes et le moyen âge. Actes du colloque organisé à la Sorbonne du 4 au 7 juin 1996 /par le centre d'histoire et de philosophie arabes et médiévales ..., ed. par Joel Biard et Roshdi Rashed. Paris J. Vrin, 1998. 

[20] Chikara Sasaki, Descartes' Mathematical thought, Boston Studies ib the Philosophy of Science 237. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003. 

[21] Paul Ver Ecke, Archimède, Oeuvres Complètes, 2 tomes, Vaillant Carmanne, Liège, 1960 (première édition 1921).

[22] Derek T. Whiteside, Patterns of Mathematical Thought in the later Seventeenth Century, Archive for History of Exact Sciences, Vol. 1, 3: 179-388, 1961.

Source : http://www.dma.ens.fr/culturemath/histoire%20des%20maths/...

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Le processus d'abstraction dans le développement des premières théories de la mesure

Jean-Philippe Villeneuve

Cégep de Rimouski, Rimouski, Québec, Canada - e-mail

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Article déposé le 13 novembre 2009. Toute reproduction pour publication ou à des fins commerciales, de la totalité ou d'une partie de l'article, devra impérativement faire l'objet d'un accord préalable avec l'éditeur (ENS Ulm). Toute reproduction à des fins privées, ou strictement pédagogiques dans le cadre limité d'une formation, de la totalité ou d'une partie de l'article, est autorisée sous réserve de la mention explicite des références éditoriales de l'article.

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SOMMAIRE

1. Introduction

2. Les versions calculatoires de Peano et de Jordan

3. Les travaux de Borel de 1898

4.  Une caractérisation logique de la notion de mesure
4.1 Le processus d'abstraction réfléchissante
4.2 Les notions didactiques FUGS
4.3 Les recherches philosophiques de Cavaillès

5. Retour sur les travaux de Peano et Jordan

6. L'apport de Lebesgue
6.1 Le lien entre la théorie de la mesure et la théorie de l'intégrale
6.2 La mesure extérieure

7. Le passage à la version contemporaine
7.1 La sigma-additivité
7.2 La mesure extérieure et les ensembles L-mesurables et B-mesurables
7.3 La spécialisation

8. L'abstraction versus la généralisation

9. Bibliographie

Émile Borel (1871-1956) fut le premier mathématicien à définir, avec succès, la mesure non pas comme un calcul, mais comme une liste de propriétés. Cette nouvelle façon de définir la notion de mesure s'opposa alors aux notions de P-mesure et de J-mesure proposées respectivement par Peano (1887) et par Jordan (1892) [1] .

Après avoir présenté les recherches de ces trois mathématiciens, nous étudierons le processus d'abstraction réfléchissante développé par Jean Piaget. Nous obtiendrons ainsi que le changement d'attention de la part du sujet, la reconstruction de la notion en choisissant des propriétés constitutives et la réorganisation du savoir mathématique sont des caractéristiques du processus d'abstraction. En fait, pour le cas de la notion de mesure, le changement d'attention permet de passer d'un calcul aux propriétés utilisées dans ce calcul. Or, comme nous le verrons en analysant les travaux de Peano et de Jordan, ce passage n'est pas suffisant pour faire une abstraction. Nous comparerons nos résultats aux recherches d'Aline Robert et de Jean Cavaillès.

Ensuite, nous nous intéresserons à l'intégration que fit Lebesgue en liant la théorie de la mesure à la théorie de l'intégrale. Nous pourrons aussi, en utilisant ces travaux, comparer le processus d'abstraction au processus de généralisation.

Finalement, nous montrerons que les processus d'abstraction et de généralisation ont été nécessaires pour développer les notions de la théorie contemporaine de la mesure. Nous remarquerons alors qu'une abstraction change la compréhension de la notion, ce qui n'est pas nécessairement le cas pour une généralisation. De plus, ce passage à la version contemporaine mettra en évidence une autre caractéristique du processus d'abstraction, la spécialisation des notions.

 

2. Les versions calculatoires de Peano et de Jordan

Nous retrouvons, dans les travaux de Giuseppe Peano (1858-1923) et Camille Jordan (1838-1922), deux versions calculatoires d'une mesure. Les recherches de Peano ne furent pas connues de Jordan, mais ces deux mathématiciens furent les premiers à lier, avec succès, une théorie de la mesure avec la théorie de l'intégrale.

Peano présenta ce lien dans un chapitre, intitulé Grandeurs géométriques, du livre Les applications géométriques du calcul infinitésimal publié en 1887. En fait, pour calculer l'aire d'un ensemble de points du plan, il utilisa deux suites de figures géométriques euclidiennes. La définition suivante fut proposée :

 

Définition (La P-mesure d'un ensemble) [D'après Peano 1887]

Soit E un ensemble de points de R². Alors E est P-mesurable si les deux aires suivantes sont égales :

1) L'aire intérieure est la borne supérieure des aires des polygones qui sont intérieurs à E.

2) L'aire extérieure est la borne inférieure des aires des polygones qui contiennent E dans leur intérieur.

Il présenta aussi des définitions pour R et R³ en utilisant respectivement des segments linéaires et des prismes ou des solides décomposables en prismes. Or, cette approche (géométrique) le contraint à se limiter aux ensembles de points de la ligne, du plan ou de l'espace. Par contre, il voulut généraliser sa définition de P-mesure en remplaçant les suites de polygones par des suites de magnitudes géométriques principales, mais nous y reviendrons dans la section 5.

Jordan n'eut pas ce problème d'interprétation dans Rⁿ, car il proposa, dans son article Remarques sur les intégrales définies de 1892, un quadrillage du plan ou, plus généralement, un découpage deRⁿ en n-cellules. Ce quadrillage lui permit donc d'utiliser deux suites de carrés (ou n-cellules dans le cas de Rⁿ) : ceux qui sont strictement à l'intérieur de l'ensemble (Figure 1a) et ceux qui rencontrent l'ensemble (Figure 1b). On peut ainsi calculer l'aire (ou le volume dans le cas de Rⁿ) et obtenir une approximation de l'aire intérieure et extérieure de l'ensemble.

Figure 1 : Les carrés utilisés par Jordan

Figure 1a Les carrés qui sont à l'intérieur de E

Figure 1b Les carrés qui rencontre E

 

De plus, en diminuant la longueur du côté r (comme dans la Figure 2 en passant de r₁ à r₂), on obtient des valeurs plus précises d'aire intérieure et en passant à la limite, la valeur de l'aire intérieure ou ce que Jordan appelle, l'étendue intérieure de l'ensemble.

 

 

Figure 2 : La suite P_k utilisée dans l'étendue intérieure

Quadrillage initial

Quadrillage plus fin

 

La définition proposée par Jordan est donc la suivante :

Définition (Les étendues intérieure et extérieure et la J-mesure) [D'après Jordan, 1892]

Soit E un ensemble borné de Rⁿ. Alors E est J-mesurable si l'étendue intérieure et l'étendue extérieure sont égales :

1) Soit la suite de n-cellules

telle que contient toutes les n-cellules intérieures à E pour tout k (Figure 2). Alors, l'étendue intérieure de E se calcule comme suit :

,

où V(P_k) est le volume de la n-cellule.

2) Soit la suite de n-cellules

telle que F_k contient toutes les n-cellules ayant au moins un point de la frontière. Alors, l'étendue extérieure de E se calcule comme suit :

,

où V(P_k+F_k) est le volume des deux n-cellules.

Contrairement aux travaux de Peano de 1887, Jordan présenta des preuves de ses résultats. Il démontra [2] que l'étendue intérieure et l'étendue extérieure d'un ensemble borné existent toujours et que la J-mesure satisfait les propriétés suivantes :

 

Théorème (Certaines propriétés de la J-étendue) [D'après Jordan, 1892]

1) Soit E un ensemble borné et soit E'⊂ E. Alors  c_e(E') ≤  c_i(E).

2) Soit      ,     avec n ensembles E_k disjoints deux à deux et bornés. Alors

et          

 

3) Soit E un ensemble borné et soit une suite  de décompositions de Rⁿ en ensembles J-mesurables disjoints deux à deux dont dont la largeur du quadrillage est r. Alors

avec les     .  

De plus, E est J-mesurable si

avec       où F est la frontière de E.

 

Pour démontrer ces propriétés, Jordan utilisa la même idée que celle utilisée pour démontrer l'existence des étendues intérieures et extérieures. Il a donc recherché la portée maximale de la preuve initiale. De plus, ces propriétés lui permirent d'étendre l'extension de la notion de J-mesure, c'est-à-dire de trouver le plus grand nombre d'ensembles mesurables au sens de Jordan. Cette quête de la portée maximale d'une preuve ou d'une notion est une caractéristique du processus de généralisation et non du processus d'abstraction, puisqu'on s'intéresse à augmenter l'extension de la preuve et non à trouver des propriétés qui sont effectivement à l'œuvre dans la preuve. Nous reviendrons à cette distinction.

 

3. Les travaux de Borel de 1898

Nous avons vu que Peano et Jordan ont défini une façon de calculer la P-mesure ou la J-mesure d'un ensemble de points. Borel quittera cette version calculatoire pour s'intéresser aux propriétés de la notion. En effet, il publia un livre en 1898 intitulé Leçon sur la théorie des fonctions dans lequel il consacra un chapitre sur les ensembles mesurables et un autre sur la théorie de ensembles. Il proposa la définition suivante qui inclut une propriété très importante pour la suite de la théorie de la mesure, la sigma-additivité (propriété B2) :

Définition (Les ensembles B-mesurables) [D'après Borel, 1898]

Soit E un ensemble de nombres réels inclus dans l'intervalle [0, 1]. Alors s'il est possible d'attacher un nombre m(E) positif ou nul à E ayant les propriétés suivantes, nous dirons que E est B-mesurable :

B1 : Si    ⊂ [0,1]    avec les intervalles I_k disjoints deux à deux et que

alors m(E) = s.

B2 : Si    ⊂ [0,1] , avec les E_k disjoints deux à deux et que la mesure de E_k est s_k, alors

 

B3 : Si E₁ ⊂ E₂ ⊂ [0,1] et que les mesures de E₁ et de E₂ sont respectivement s₁ et s₂, alors la mesure de l'ensemble E₁- E₂ ={x: x ∈ E₂ et x ∉ E₁} est s₁ - s₂.

 

Notons que cette définition parut si nouvelle que le mathématicien Schoenflies, qui fut chargé de la recension des travaux en analyse à la fin du 19e siècle, affirma que cette théorie n'avait aucune utilité, car il y avait trop peu d'applications; il préféra les théories calculatoires de Peano et de Jordan [3] .

En utilisant B1, B2 et plus particulière B3, Borel réussit à démontrer plusieurs résultats intéressants touchant la topologie des ensembles. Par exemple, il put construire un ensemble non dénombrable de mesure nulle, démontrer que tout ensemble dénombrable est de mesure nulle et que tout ensemble parfait et limité [4] de l'intervalle [0, 1] est mesurable [5] . Borel recherchait donc à trouver le plus de résultats possibles; il cherchait alors la portée maximale de sa définition. Bien que ce soit un processus de généralisation qui est à l'origine de cette quête, le rôle de ces nouveaux résultats est de justifierle choix des propriétés B1, B2 et B3. En effet, Borel écrit :

[On définit] les éléments nouveaux qu'on introduit, à l'aide de leurs propriétés essentielles, c'est-à-dire de celles qui sont strictement indispensables pour les raisonnements qui doivent suivre [6] .

 

Ainsi, une propriété est essentielle si elle est utilisée dans les preuves. Dans ce cas, cette propriété change de statuts : elle devient constitutive de la notion.

Ce changement dans le statut des propriétés et le passage du calcul aux propriétés de ce calcul sont des caractéristiques, non pas du processus de généralisation, mais du processus d'abstraction.

 

4. Une caractérisation logique de la notion de mesure

Nous nous intéresserons maintenant à caractériser logiquement le développement de notions mathématiques et plus particulièrement le passage de la notion de J-mesure à la notion de B-mesure. Pour ce faire, nous utiliserons les caractéristiques logiques du processus d'abstraction réfléchissante introduit par Jean Piaget comme un processus cognitif de développement de l'intelligence d'un individu. Cette version logique de l'abstraction réfléchissante sera ensuite comparée aux recherches d'Aline Robert et de Jean Cavaillès.

4.1  Le processus d'abstraction réfléchissante

Au sujet de l'abstraction réfléchissante, Jean Piaget écrit :

L'abstraction réfléchissante comporte deux moments indissociables : un « réfléchissement » au sens d'une projection sur un palier supérieur de ce qui est emprunté au palier précédent (...) et une « réflexion » au sens d'une reconstruction ou réorganisation cognitives (plus ou moins consciente ou non) de ce qui a été ainsi transféré. [7]

D’abord, le passage de la version calculatoire à la définition par propriétés illustre le passage du palier inférieur au palier supérieur, car la version calculatoire devient un cas particulier de la version par propriétés.  Ensuite, les deux moments dont parlent Piaget s’opèrent comme suit.  D’une part, certaines propriétés ont été « empruntées » à la version calculatoire pour être « réfléchies » au palier supérieur, c’est-à-dire pour devenir constitutive de la nouvelle notion.  Par exemple, la J-mesure de Jordan satisfait les propriétés constitutives de la B-mesure, mais ces propriétés, dans les travaux de Jordan, ne sont pas constitutives de la notion ni ne sont au centre des préoccupations de Jordan.  Il y a alors un changement d’attention de la part de Borel.

 

D’autre part, la nouvelle notion devient une reconstruction de la notion initiale, c’est-à-dire qu’une nouvelle définition de la notion est proposée dans laquelle certaines propriétés de la notion initiale deviennent constitutives de la nouvelle notion.  Ainsi, nous assistons à un changement dans la compréhension de la notion, car on ne voit plus la notion de la même façon : le changement d’attention a mis en évidence certaines propriétés qui forment maintenant la définition de la nouvelle notion.  De plus, les propriétés constitutives ne sont pas choisies au hasard : elles doivent être utilisées dans les applications de la notion.  Il doit donc y avoir au préalable une recherche de la plus grande extension de la notion initiale et ainsi le processus de généralisation se retrouve dans le processus d’abstraction.  La reconstruction est donc liée au choix des propriétés et implique un changement dans la compréhension de la notion.

Cette reconstruction est aussi accompagnée d'une réorganisation, c'est-à-dire que des notions jusqu'alors considérées comme disjointes sont maintenant intégrées une nouvelle notion. Dans le cas des recherches de Borel, ses applications furent limitées à la théorie des ensembles de points, mais nous verrons que Lebesgue introduira une mesure qui permettra d'intégrer la notion dans le contexte de la théorie de l'intégrale. Ajoutons que, dans certains cas, la réorganisation peut impliquer que des notions perdent leur statut. Nous en donnerons deux exemples dans la prochaine section.

Finalement, le changement d'attention de la part du sujet est nécessaire au processus d'abstraction, mais il n'est pas suffisant, car il faut que les nouvelles propriétés (celles qui sont maintenant visées par le sujet) deviennent constitutives de la nouvelle notion (reconstruction de la notion initiale) et qu'elles permettent d'intégrer de nouvelles connaissances (réorganisation du savoir mathématiques). De plus, nous assistons à un changement dans la compréhension de la notion initiale.

4.2 Les notions didactiques FUGS

Aline Robert propose dans [Robert, 1998] quatre types de notions mathématiques qui sont issues de la combinaison de quatre propriétés ou caractéristiques d'une notion mathématique (le degré de généralisation, le degré de formalisation, le caractère unificateur et la fonction). Un des objectifs de cet article est de présenter des outils didactiques d'analyse de contenus mathématiques qui sont présentement enseignés. Si on veut utiliser les recherches d'Aline Robert pour caractériser le passage des travaux de Jordan aux travaux de Borel, ou plus particulièrement, de la notion de J-mesure à la notion de B-mesure, il faut affirmer que la notion de J-mesure est une notion qui est introduite pour résoudre de nouveaux problèmes précis, en l'occurrence l'interprétation de l'intégrale de Riemann en plusieurs dimensions, alors que la notion de B-mesure est une notion généralisatrice, unificatrice et porteuse d'un nouveau formalisme. Or, ces dernières peuvent se caractériser logiquement par le processus d'abstraction réfléchissante.

D'abord, la notion de B-mesure a un degré de généralisation plus grand que la notion de J-mesure, car il y a superposition d'extensions. En fait, l'extension de la J-mesure sont les ensembles mesurables au sens de Jordan alors que l'extension de la B-mesure sont les opérateurs sur les ensembles qui sont des mesures. Ainsi, la notion J-mesure devient un cas particulier (une instance) de la notion de B-mesure. Or, pour faire une telle superposition d'extensions, il faut reconstruire la notion initiale au sens de l'abstraction réfléchissante, c'est-à-dire qu'il faut identifier des propriétés de la notion initiale qui deviennent constitutives de la nouvelle notion. Donc, cette généralisation est possible grâce à l'abstraction réfléchissante [8] .

Ensuite, l'unification de notions antérieures est aussi une caractéristique du processus d'abstraction réfléchissante. Nous avons appelé cette caractéristique : la réorganisation du savoir mathématique. Par contre, comme nous l'avons mentionné, cette réorganisation, dans les travaux de Borel, fut assez limitée.

Quant au nouveau formalisme introduit par Borel, il est aussi une caractéristique des recherches de Jordan et de Peano. Ainsi, cette caractéristique ne nous permet pas de différencier les notions de J-mesure et de B-mesure.

Nous en concluons que les caractéristiques logiques des notions FUGS sont sensiblement les mêmes que celles du processus d'abstraction réfléchissantes.

4.3 Les recherches philosophiques de Cavaillès

Alain Michel a utilisé les processus du paradigme et de thématisation de Jean Cavaillès [9] dans son livre Constitution de la théorie moderne de l'intégration [10] afin analyser le passage de la version calculatoire de l'intégrale de Lebesgue à la version axiomatique proposée par Lebesgue [11] .
Selon Michel et en utilisant notre terminologie, le paradigme permet de passer d'un cas particulier (une instance qui est donné dans l'immédiat) au cas général (la notion ou une propriété), alors que la thématisation permet d'identifier non pas la notion mais certaines propriétés. Ainsi, le paradigme produit la matière avec laquelle le thématique introduit le nouveau concept en identifiant certaines propriétés dans la matière.

Premièrement, l'introduction de la nouvelle notion ne se fait pas en identifiant ou en isolant n'importe quelle propriété : il faut choisir, comme l'a fait Borel, les propriétés qui permettent de résoudre les problèmes. Comme nous le verrons à la section suivante, certains choix de propriétés ne sont pas bons. Ainsi, le thématique satisfait une des caractéristiques de abstraction réfléchissante.

Deuxièmement, Michel utilise le paradigme comme une abstraction en affirmant que ce processus nous permet de passer d'une instance, comme d'un groupe particulier ou de intégrale de Lebesgue, à la notion de groupe ou aux propriétés de linéarité ou de positivité de l'opérateur intégrale. Or, Cavaillès l'utilise plutôt comme une généralisation [12] , car il affirme que ce processus permet de généraliser successivement la notion d'addition des nombres naturels, aux nombres rationnels puis aux nombres réels. Il y a donc ambiguïté [13] , car le paradigme réfère à deux processus totalement différents : le passage d'une instance à la notion (abstraction) et l'augmentation de l'extension d'une notion (la généralisation).

Troisièmement, le thématique satisfait aussi la caractéristique de la superposition d'extensions. En utilisant le langage philosophique de Cavaillès, « tout sens posant est en même temps sens posé d'un nouvel acte » [14] . Le nouvel acte est la nouvelle notion dont la notion initiale (le sens posant) devient une instance (le sens posé). Michel affirme « les "actes antérieurs" se trouvent (...) "prolongés", mais aussi englobés comme cas particuliers. » [15] . Cette caractéristique, comme nous l'avons mentionné à la section sur les travaux d'Aline Robert, est propre à l'abstraction réfléchissante.

Nous en concluons finalement que le paradigme est une abstraction simple ou une généralisation qui est préalable au thématique. Quant au thématique, il est une abstraction au sens de l'abstraction réfléchissante.

5. Retour sur les travaux de Peano et Jordan

Le fait de choisir des propriétés n'implique pas que la nouvelle notion est une abstraction de la notion initiale. Nous suggérons deux exemples pour illustrer cette thèse.

Peano présenta dans l'introduction du Chapitre 5 Grandeurs géométriques de son livre Les applications géométriques du calcul infinitésimal la notion de collection de magnitudes géométriques principales. Il proposa alors la définition suivante :

 

Définition (Les magnitudes géométriques principales) [D'après Peano, 1887]

Une collection de magnitudes est dite principale si pour n'importe quel couple M' et M" de magnitudes, alors

1) ou bien M' et M" sont égales, c'est-à-dire que M' et M" peuvent être superposées ou décomposées en parties qui peuvent être superposées,

2) ou bien M' et M" sont inégales, c'est-à-dire que M' et M" peuvent être décomposées en parties telles que chaque partie de M" est égale à une partie de M' et non l'inverse. Dans ce cas, on peut ajouter que M' est plus grande que M".

Les segments linéaires, les polygones et les prismes sont des exemples, suggérés par Peano, de collection de magnitudes principales. Puis, il affirma qu'il existe des collections de magnitudes pour lesquelles aucune des deux caractéristiques n'est satisfaite et que, dans ces cas, il faut « définir avec soin ce que signifie l'égalité entre deux magnitudes et ce que signifie la mesure d'une telle magnitude »[16] . Un des objectifs de ce chapitre est donc de définir la mesure des ensembles d'une collection de magnitudes géométriques non principales ou, plus simplement, de calculer la mesure d'un ensemble quelconque de points de R, de R² et de R³.

Nous avons vu que la P-mesure permet de calculer la mesure d'un ensemble de points de R, de R² et de R³ en utilisant respectivement des segments linéaires, des polygones et des prismes. Il est ainsi possible de généraliser la notion de P-mesure en remplaçant ces objets géométriques par la notion plus générale de magnitudes principales. On utiliserait alors deux suites de magnitudes principales pour calculer, par exemple, l'aire intérieure et l'aire extérieure d'un ensemble du plan.

Or, ce remplacement ne nous sera d'aucune utilité parce qu'il n'est pas possible de démontrer des propositions en utilisant ces deux propriétés [17] . Il y a donc eu identification de propriétés et reconstruction de la notion, mais défaut d'intégration, car les propriétés isolées n'ont pas pu être utilisées pour intégrer de nouvelles connaissances. La nouvelle notion fut donc abandonnée.

Jordan affirma, dans l'introduction de l'article Remarques sur les intégrales définies de 1892, que certaines propriétés des ensembles de points ont été implicitement utilisées dans les démonstrations. Il écrit:

Toutes les démonstrations reposent sur ce double postulatum, que chaque champ [18] E a une étendue déterminée; et que, si on le décompose en plusieurs parties E₁, E₂, ..., la somme des étendues de ces parties est égale à l'étendue totale. Or ces propositions sont loin d'être évidentes si on laisse à la conception du champ toute sa généralité [19] .

Jordan ne va pas plus loin dans cette tentative de trouver les propriétés essentielles et présenta, comme nous l'avons vu, seulement la version calculatoire de la mesure.

Nous obtenons donc deux notions qui sont définies par une liste de propriétés, mais qui n'ont pas permis d'intégrer de nouvelles connaissances. Elles ne sont donc pas des abstractions des notions calculatoires de mesure. Par contre, on peut noter que, dans ces deux tentatives, le cas fini de la propriété de sigma-additivité (la propriété B2 restreinte au cas fini) fut sélectionné [20] .

 

6. L'apport de Lebesgue

Nous retrouvons une abstraction et aussi une généralisation de la mesure dans les travaux de Henri Lebesgue (1875-1941) de 1902 et de 1904. Débutons par l'abstraction.

6.1 Le lien entre la théorie de la mesure et la théorie de l'intégrale

Lebesgue proposa une première liste de propriétés dans sa thèse intitulée Intégrale, longueur, aire publiée en 1902 et une seconde, dans son livre Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives de 1904. Il y a un avantage à la seconde, car il lia la théorie de la mesure avec la théorie de l'intégrale. Nous présenterons donc la seconde [21] :

 

Définition (Les ensembles L-mesurables) [D'après Lebesgue, 1904]

Soit E un ensemble borné de nombres réels. Alors s'il est possible d'attacher un nombre m(E) positif ou nul à E ayant les propriétés suivantes, nous dirons que E est L-mesurable :

L1 : m(E + a) = m(E) pour tout nombre réel a.

L2 : Si {E_n} est une suite dénombrable d'ensembles disjoints deux à deux, alors

L3 : m([0, 1]) = 1

Nous retrouvons, dans ce livre de 1904, une version axiomatique de l'intégrale, c'est-à-dire qu'un opérateur sur les fonctions est une intégrale s'il satisfait 6 propriétés ou axiomes. Lebesgue lia la définition de la mesure à la définition de l'intégrale [22] en déduisant les propriétés L1, L2 et L3 des 6 propriétés constitutives de la notion d'intégrale . En fait, pour lier la mesure à l'intégrale, il utilisa la fonction caractéristique d'un ensemble, un concept introduit par De la Vallée-Poussin [23] :

,

avec E ⊂[a,b]  et

La définition de la L-mesure est une abstraction de la version calculatoire proposée par Lebesgue. Cette version calculatoire s'appelle la mesure extérieure.

6.2 La mesure extérieure

En plus de lier la définition axiomatique [24] de la mesure à celle de l'intégrale, Lebesgue montra aussi que la mesure extérieure, soit sa version calculatoire de la mesure, satisfait les propriétés L1, L2 et L3. Voici la définition proposée en 1902 et en 1904 de la mesure extérieure :

Définition (La mesure extérieure) [D'après Lebesgue, 1902]

Soit E un ensemble borné de nombres réels. Alors la mesure extérieure de E est :

avec {I_k} une suite dénombrable d'intervalles telle que

Lebesgue définit la mesure intérieure en utilisant la mesure extérieure et non, comme le fit Jordan, en utilisant une suite d'intervalles inclus dans l'ensemble E. En effet, la mesure intérieure de l'ensemble E⊂[a,b] se calcule comme suit :

m_i(E) = m([a,b]) - m_e(E^c) , avec E^c le complémentaire de E dans l'intervalle [a, b].

Notons qu'il y a un Lemme caché dans cette démonstration, car Lebesgue supposa que

m(A) = m(A ∩ E) + m(A ∩ E^c).

Ce Lemme fut mis en évidence par Carathéodory et il deviendra une condition pour la mesurabilité au sens de Lebesgue, mais nous y reviendrons.

On obtient que la mesure extérieure de Lebesgue est une généralisation de J-mesure de Jordan, car on peut montrer que

c_i(E) ≤ m_i(E) ≤  m(E) ≤  m_e(E) ≤  c_e(E)

Donc, si un ensemble est J-mesurable alors il est L-mesurable.

De plus, ces deux notions sont calculatoires et le passage de l'une à l'autre n'a pas nécessité une étude de propriétés ni un changement d'attention de la part du sujet. Ainsi, ce passage n'est pas une abstraction.

 

7. Le passage à la version contemporaine

Nous proposons de montrer que les notions contemporaines d'espace mesurable et d'espace de mesure ont été développées en utilisant le processus d'abstraction, alors que la notion contemporaine de mesure extérieure a plutôt nécessité le processus de généralisation. Cette étude nous permettra de remarquer qu'une abstraction change la compréhension de la notion, ce qui n'est pas nécessairement le cas pour une généralisation. De plus, ce passage à la version contemporaine mettra en évidence une autre caractéristique du processus d'abstraction, la spécialisation des notions.

 

7.1 La sigma-additivité

La sigma-additivité est une propriété qui fut sélectionnée à la fois par Borel (B2) et par Lebesgue (L2). Or, cette propriété en implique deux autres qui sont constitutives des notions contemporaines en théorie de la mesure. D'une part, il faut que l'union dénombrable d'ensembles mesurables soit un ensemble mesurable. Cette propriété doit donc être constitutive de la notion d'ensemble mesurable. D'autre part, une autre propriété constitutive de la notion de la mesure est que la mesure de l'union dénombrable d'ensembles mesurables disjoints doit être égale à la somme des mesures des ensembles de l'union. Formellement, nous avons la définition contemporaine suivante :

Définition (Les sigma-algèbres et les espaces mesurables)

Une famille X de sous-ensembles d'un ensemble Ω est une sigma-algèbre si

1) ∅ ∈ X , Ω  ∈ X.

2) Si A ∈ X, alors le complémentaire de A appartient aussi à X.

3) Si (A_n) est une suite d'ensembles de X, alors l'union   

(Ω, X) est un espace mesurable.

 

Exemples

Soit Y, un ensemble quelconque. Alors les ensembles suivants sont des sigma-algèbres de Y :

a) {∅, Y}.

b) {∅, E, E^c, Y}, pour un certain ensemble E de Y.

c) L'ensemble des parties de Y est une sigma-algèbre de Y.

d) L'ensemble de Borel B est la plus petite sigma-algèbre qui contient les ouverts de Rⁿ ou plus généralement qui contient les ouverts d'un espace topologique Y.

Nous obtenons donc un ensemble dont on peut mesurer tous ses éléments et, pour les mesurer, on utilisera une fonction qui associera une valeur réelle étendue (R {- ∞, + ∞}) à chacun de ces ensembles mesurables :

 

Définition (Les espaces de mesure)

Une fonction μ à valeurs réelles étendues définie sur une sigma-algèbre X d'un ensemble Ω  est une mesure si

1) μ(0) = 0.

2) μ(A) ≥ 0, pour tout A ∈ X.

3) Si {A_n } est une suite d'ensembles de X disjoints deux à deux, alors

Dans ce cas, (Ω, X, μ) est un espace de mesure.

Exemples :

a) On peut définir une mesure sur l'espace mesurable {∅, E, E^c, Y} comme suit :

μ(∅) = 0, μ(E) = 1, μ(E^c) = 1, μ(Y) = 2

b) On peut aussi définir la mesure extérieure sur l'ensemble B.

On obtient donc que le choix des propriétés constitutives a permis de reconstruire la notion initiale de mesure en deux notions distinctes et ces nouvelles notions peuvent être intégrées à une théorie de l'intégrale. En effet, un espace de mesure peut donc être utilisé pour définir l'intégrale de Lebesgue : Soit (Ω, X, μ), un espace de mesure et soit f : X → R une fonction mesurable. Alors l'intégrale de Lebesgue se définit comme suit :

où E ∈ X et s est une fonction simple [25] telle que 0 ≤ s ≤ f.

On peut aussi considérer l'ensemble des fonctions mesurables définies sur Y dont l'intégrale de Lebesgue suivante converge :

 

Ajoutons que notre compréhension d'une mesure change, car la propriété de sigma-additivité devient deux notions différentes, alors que notre compréhension de l'intégrale de Lebesgue est conservée, puisqu'elle est toujours définie comme la borne supérieure sur les intégrales de fonctions simples. Par contre, comme les nouvelles notions mettent en évidence certaines propriétés qui étaient implicitement utilisées, on comprend mieux leur utilisation dans la définition d'intégrale et donc ces nouvelles notions abstraites permettent de mieux comprendre l'intégrale de Lebesgue. Le processus d'abstraction implique une meilleure compréhension des notions.

 

7.2 La mesure extérieure et les ensembles L-mesurables et B-mesurables

Nous allons montrer que la mesure extérieure de Lebesgue peut être généralisée pour devenir une mesure définie sur Rⁿ (ou sur B) dont la mesure des intervalles ou des n-cellules coïncide avec leur volume. En fait, la nouvelle façon de procéder est un ajustement de la technique de Jordan utilisée pour calculer la J-étendue. Rappelons que Jordan se donna un quadrillage dont les côtés des n-cellules avaient la même valeur; ensuite, il le changea pour un nouveau quadrillage plus fin. L'idée de la mesure extérieure est d'utiliser des n-cellules dont les longueurs des côtés sont différentes (Figure 3).

 

Figure 3 : Le passage de la technique de Jordan à la technique de Lebesgue

Le quadrillage proposé par Jordan

Le quadrillage proposé par Lebesgue

On retrouve donc que la nouvelle technique ajoute de la flexibilité à la technique de Jordan. La version contemporaine est une généralisation de la mesure extérieure proposée par Lebesgue, car elle conserve la définition proposée par Lebesgue comme un cas particulier.

De plus, la mesure extérieure peut être utilisée pour définir les ensembles L-mesurables. Nous avions mentionné que Lebesgue utilisa un Lemme caché lorsqu'il définit la mesure intérieure. Or, ce Lemme peut être récupéré et utilisé pour définir les ensembles L-mesurables :

 

Définition (Les ensembles L-mesurables)

Un ensemble E ⊂ Rⁿ est L-mesurable si

m_e(A)  = m_e(A ∩ E) + m_e(A ∩ E^c) , pour tout ensemble A ⊆ Rⁿ.

La mesure extérieure peut aussi être utilisée sur l'ensemble de Borel  B. On peut ainsi montrer que tous les ensembles B-mesurables sont L-mesurables, mais il existe des ensembles L-mesurables qui ne sont pas B-mesurables (L'argument est basé sur la cardinalité des ensembles). De plus, Vitali présenta en 1905 un ensemble qui n'est pas L-mesurable (il utilisa l'axiome du choix). Ces recherches de la plus grande extension et de contre-exemples sont des activités qui caractérisent le processus de généralisation : on se fixe une façon de définir ou de comprendre une notion et on recherche la plus grande extension de celle-ci.

7.3 La spécialisation

Nous avons mentionné dans la section 7.1 qu'une abstraction permet de mieux comprendre la notion, car la reconstruction met en évidence des propriétés qui étaient implicitement utilisées lors de l'application de la notion. Or, cette mise en évidence peut impliquer une spécialisation des notions mathématiques au sens d'Auguste Comte [26] lorsqu'il parle de la spécialisation du travail : chaque travailleur a une liste de tâches à accomplir différente de celle d'un autre travailleur.

En effet, nous retrouvons plusieurs études différentes ou problèmes à résoudre différents dans les travaux en analyse réelle de la fin du 19^e siècle. Il y avait, par exemple, l'étude de la continuité d'une fonction, le calcul de l'intégrale d'une fonction, l'étude de la convergence d'une suite de fonctions. Or, toutes ces études portaient sur les fonctions réelles à valeurs réelles et utilisaient la métrique « naturelle » de R, en l'occurrence d(x, y) = | y - x |.

Nous avons assisté au cours du 20^e siècle aux développements de nouvelles notions spécialisées, c'est-à-dire de nouvelles notions qui permettaient de résoudre certains (et non pas tous les) problèmes impliquant la notion initiale. Par exemple, on distingue maintenant une métrique, d'une topologie, d'une sigma-algèbre et d'une mesure. On peut ainsi considérer les nombres réels ou, plus précisément, l'espace vectoriel R comme un cas particulier d'un espace métrique, d'un espace topologique ou d'un espace de mesure [27] . Or, chacune de ces nouvelles notions ne permet pas de résoudre tous les problèmes qui peuvent être résolus dans R. Par exemple, on peut définir la continuité d'une fonction dans un espace métrique (ou topologique) et non pas dans un espace de mesure, alors qu'on peut définir la mesure d'un ensemble dans un espace de mesure et non dans un espace topologique. Ainsi, les activités dans l'espace vectoriel R se sont spécialisées et peuvent maintenant être accomplies par des notions ayant des portées d'application distinctes, donc par des notions spécialisées.

De plus, on peut montrer que ces nouvelles notions spécialisées ont été introduites par abstraction. En fait, nous avons vu que l'abstraction permet de reconstruire une notion en mettant en évidence les propriétés essentielles à cette notion. Les propriétés qui caractérisent, par exemple, une métrique sont différentes des propriétés qui caractérisent une topologie et permettent donc de résoudre des problèmes différents. Or, cette différence caractérise la spécialisation des notions et nous en concluons que le processus d'abstraction permet d'introduire des notions spécialisées.

 

8. L'abstraction versus la généralisation

Nous avons vu que le processus d'abstraction se caractérise par un changement d'attention de la part du sujet et ce changement d'attention permet d'identifier des propriétés constitutives de la nouvelle notion et d'intégrer de nouvelles connaissances.

Le changement d'attention, nécessaire pour faire une abstraction, n'est pas toujours caractérisé par le passage d'un calcul aux propriétés de ce calcul; il peut aussi être caractérisé par l'identification de la propriété qui est implicitement utilisée lorsqu'on applique la notion ou lorsqu'on fait une démonstration. Par exemple, la continuité d'une fonction en un point se définit dans un espace métrique comme suit : soit  f : (X, d_X )→ (Y, d_Y). Alors,

(∀ε ∈ R^+* )(∃δ ∈ R^+* ) (∀x ∈ X)((d_X (x, x₀) < δ ⇒ d_Y (f((x), f(x₀)) < ε)

Or, lorsqu'on définit la continuité en un point dans un espace topologique, on se rend compte qu'il n'est pas nécessaire de connaître la distance entre x et son voisinage. On attire alors notre attention sur le traitement des ouverts par l'image inverse de la fonction. On obtient ainsi la définition suivante : soit f : (X, Γ_X)→ (Y, Γ_Y). Alors,

(∀ V ⊆ Γ_Y)( f(x₀) = y₀ ∈ V ⇒ (∃ U ⊆ Γ_X)  f ^-1(V)⊆ U ).

On comprend donc mieux la notion de continuité, car on a identifié la propriété constitutive de la notion, en l'occurrence une propriété implicitement utilisée lorsqu'on applique la notion.

De plus, le processus d'abstraction s'attaque à la nature de la notion, car on tente de répondre aux questions suivantes : quelles sont les propriétés de la notion qui sont nécessaires pour résoudre « plus efficacement » le problème; quelles sont les propriétés de la notion qui sont « vraiment » utilisées lorsqu'on applique la notion.

Par contre, une des caractéristiques du processus de généralisation est la recherche de la plus grande extension d'une notion donnée. Par exemple, le passage de la notion d'étendue de Jordan à la notion de mesure extérieure de Lebesgue est une généralisation, car la seconde notion permet de calculer plus d'ensembles mesurables, tout en conservant la première comme un cas particulier. On s'intéresse alors à des questions portant sur l'extension de la notion : Est-ce que les ensembles B-mesurables sont inclus dans les ensembles L-mesurables? Est-ce que les propriétés B1 à B3 peuvent être déduites des propriétés L1 à L3? Existe-t-il des ensembles non-L-mesurables [28] ?

Cet exemple illustre aussi le cas d'une généralisation qui n'est pas une abstraction. Ainsi une abstraction implique une généralisation, mais il existe des généralisations qui ne sont pas des abstractions.

Finalement, d'un point de vue didactique, l'abstraction est un processus plus difficile, car il nécessite un changement d'attention de la part de l'élève : il faut que l'élève voit les notions autrement. De plus, il faut que l'élève passe des objets aux actions sur ces objets. Par exemple, les élèves ont de la difficulté à concevoir que les fonctions (ou les matrices) peuvent devenir des éléments d'un ensemble plus général, comme des « vecteurs » d'un espace vectoriel.

 

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Source : http://www.dma.ens.fr/culturemath/histoire%20des%20maths/...