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03/01/2010

Quelques informations sur les fractales

Avertissement : la lecture de cette page est inutile si les fractales vous sont familières. Elle est fortement déconseillée aux mathématiciens, à moins qu’ils soient très indulgents pour l’aspect élémentaire et les approximations de ces explications.

Euclide et les fractales
	Euclide aurait certainement horrifié s’il avait connu les fractales, comme l’ont été beaucoup de ses successeurs, beaucoup plus proches de nous, qui ne voyaient là que des monstres mathématiques dont il convenait de se détourner ! Et pourtant... On obtient une image fractale en partant d’un objet graphique auquel on applique une certaine transformation qui ajoute un élément de complexité, puis en appliquant la même transformation au nouvel objet ainsi obtenu, ce qui accroît encore sa complexité... et en recommençant à l’infini ce processus d’itération. Bien entendu toutes les itérations n’engendrent pas des fractales. Prenons un segment de droite et effaçons-en une moitié, puis appliquons au demi-segment résultant la même opération : il est évident que pour un nombre d’itérations infini la figure tend vers un point. Rien de très passionnant. Si en revanche on prélève à ce segment son 1/3 central, puis qu’à chacun des deux segments résultants on enlève à nouveau leur 1/3 central, etc. on tend vers une figure, certes peu spectaculaire, mais dotée de propriétés mathématiques curieuses : la poussière de Cantor.

	En effet, imaginons qu’on « zoome » dans cette figure avec une loupe puis un microscope à des grossissements de plus en plus puissants. Quel que soit le grossissement on observera la même structure. On sera donc incapable, sur un détail, de décider quel est le grossissement auquel la poussière de Cantor aura été observée (dans l’illustration ci-dessus la résolution de l’écran limite l’observation des plus fins détails). Première propriété d’une image fractale : l’auto-similarité, ou invariance d’échelle.

	Légèrement plus spectaculaire est l’exemple de la « courbe » ou « flocon » de Koch. Cette « courbe » s’obtient en appliquant à chaque côté d’un triangle équilatéral une transformation un peu différente : on remplace le 1/3 central de chaque côté par 2 segments ayant la même longueur que celle qui a été prélevée. À la première itération on obtient une image proche d’une étoile de David, puis au fur et à mesure des itérations successives le résultat mime plus ou moins un flocon de neige. Là encore, à quelque grossissement qu’on examine la « courbe » on observera les mêmes détails... pour autant que le nombre d’itérations soit infini (ou, au moins, assez important).

	Ce type de courbe présente une particularité bien curieuse. La première intuition conduit à penser que, puisqu’on ajoute des détails de plus en plus petits au fur et à mesure des itérations successives, le périmètre de cette figure tend vers une valeur limite finie. En réalité, à la première itération la longueur l de chaque côté est remplacée par 4 l / 3 ; à la deuxième elle devient 16 l / 9... Autrement dit, à chaque itération la longueur est multipliée par 4 / 3, ce qui signifie que (contrairement à l’intuition première) la longueur d’une courbe de Koch tend vers l’infini pour un nombre d’itérations infini. Et pourtant cette courbe ne déborde à aucun moment des limites constituées à l’extérieur par le cercle circonscrit au triangle initial, et à l’intérieur par le cercle inscrit dans ce triangle ! Une autre propriété encore moins intuitive est relative à la dimension des objets fractals. Nous savons tous qu’un point est une figure de dimension 0 ; qu’une ligne droite est un objet de dimension 1 ; qu’une surface plane est un objet de dimension 2 ; qu’un volume est de dimension 3... qu’en est-il d’un objet fractal ? Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour exprimer la dimension d’un objet. Sans entrer dans les détails on peut penser qu’un objet bizarre comme la courbe de Koch, qui a une longueur infinie tout en n’emplissant qu’une région très limitée du plan, doit avoir des propriétés très particulières. En fait on peut démontrer que sa dimension est égale à *log 4 / log 3. Presque tous les objets fractals ont des dimensions non entières.* Ceci est encore moins intuitif qu’une longueur infinie.

Les nombres complexes et les fractales
	Il existe toute une série d’objets fractals curieux qu’il est possible de construire à partir d’opérations simples de la géométrie euclidienne, comme les précédents (l’image en tête de page est une variante du tamis de Sierpinski, après 4 itérations). Certains sont des figures planes, d’autres déploient leur structure dans l’espace. Mais si l’on applique le procédé d’itération à des formules même très simples, utilisant lesnombres complexes, on entre dans un monde fabuleux de formes étranges et d’une beauté parfois étonnante. Rappelons qu’un nombre complexe a la structure générale suivante :
	z = x + yi
	où x et y sont des nombres réels et i est la racine carrée de -1 (opération qui était jugée impossible par les mathématiques anciennes, puisqu’avec les nombres réels un carré est toujours positif). x est la partie réelle du nombre et y est la partie imaginaire. On peut se demander comment on peut représenter graphiquement un fonction utilisant des nombres complexes puisqu’il n’est pas possible d’associer une image mentale concrète à un nombre aussi étrange que la racine carrée de -1. Le principe qui guide la réalisation de la plupart de ces images sur un ordinateur est en réalité très simple. Quand on gradue un axe de coordonnées on peut donner à chaque division de l’axe une valeur unité conventionnelle quelconque. Si l’on dit que la valeur qu’une division vaut i on aura d’un côté de l’origine la représentation des nombres i, 2i, 3i... et de l’autre côté -i, -2i, -3i... l’axe des x représente la partie réelle du résultat du calcul ; l’axe des y représente la partie imaginaire, et la luminosité ou la couleur de chaque point est fonction du nombre d’itérations nécessaires pour que le résultat réponde à une condition donnée. Prenons une expression aussi simple que

	c est un nombre complexe quelconque fixé au départ. On fait le calcul pour chacun des points z du plan complexe (chaque point a une coordonnée x réelle et une coordonnée y imaginaire). Seulement, petit détail, au lieu de faire le calcul une seule fois pour chaque point, on recommence en donnant à z la valeur z' trouvée dans le calcul précédent et l’on recommence encore en donnant à z la valeur z' trouvée par ce nouveau calcul... En bref on effectue un nombre d’itérations théoriquement infini lors du calcul de chacun des points, ce qui peut s’écrire

	en partant d’une valeur initiale z₍₀₎ égale aux coordonnées de chaque point du plan complexe. Il est intéressant de voir vers quelle valeur tend cette fonction pour chacun des points du plan complexe. On s’aperçoit que pour beaucoup de points (c’est-à-dire de valeurs initiales de z) la fonction diverge plus ou moins rapidement (la valeur de z' s’écarte de plus en plus de la valeur initiale). Au contraire pour certains points le résultat reste définitivement enfermé dans un intervalle limité : la fonction ne diverge pas, même pour un nombre infini d’itérations. l’ensemble des points pour lesquels la fonction ne diverge pas forme un ensemble appelé ensemble de Julia rempli (la zone noire au centre de la figure ; l’ensemble de Julia stricto sensu est la frontière de cette zone). Bien entendu il existe un nombre infini d’ensembles de Julia, puisqu’on peut donner à c n’importe quelle valeur. Selon la valeur de c l’ensemble de Julia peut dessiner des figures très banales ou, au contraire, des images extraordinairement complexes et souvent très esthétiques. Point fondamental ces ensembles de Julia sont des structures fractales.
	partie réelle de c = -0.0519... partie imaginaire = 0.688...
	Dans certains cas l’ensemble de Julia est continu (ou, plus rigoureusement, connexe) comme ci-dessus, mais dans d’autres il est fragmenté (non connexe) comme ci-dessous.
	partie réelle de c = -0.577... partie imaginaire = 0.478...
	Les points pour lesquels la valeur de z diverge ne font pas partie de l’ensemble de Julia rempli : ils sont situés à l’extérieur. Mais on peut obtenir des informations complémentaires en leur affectant une luminosité ou une couleur fonction du nombre d’itérations nécessaires pour observer la divergence. En d’autres termes cette couleur est une mesure de la vitesse avec laquelle la fonction diverge pour ce point. Autour de l’ensemble proprement dit, coloré en noir ici, on observe une série d’auréoles dessinant des figures parfois très intéressantes (voir ci-dessus et ci-dessous).
	Détail d’un ensemble de Julia (x 14.57)
	Si, au lieu de donner une valeur fixe et arbitraire à c on lui affecte pour tout point du plan complexe une valeur initiale c = z₍₀₎, on obtient un objet mathématique plus complexe appelé ensemble de Mandelbrot. l’ensemble de Mandelbrot est, là encore, l’objet noir au centre de l’image.
	Remarque : contrairement aux apparences l’ensemble de Mandelbrot est connexe, mais certains détails sont si ténus qu’ils ne sont pas visibles à la résolution de l’écran.
	Si l’explication précédente ne vous a pas parue claire, en voici une autre, strictement équivalente. Au lieu de calculer la fonction en donnant une valeur constante et arbitraire à c, considérons c comme une variable à laquelle nous attribuerons successivement les valeurs correspondant aux différents points du plan complexe (heureusement sur un écran d’ordinateur le nombre de points à calculer est limité par le nombre de pixels affichés). Pour chacune de ces valeurs itérons la fonction en partant de la valeurz₍₀₎=(0,0) et colorons chaque point c en utilisant la même recette que pour les ensembles de Julia. Nous obtenons l’ensemble de Mandelbrot. Pourquoi les deux explications sont-elles équivalentes ? Parce qu’à la première itération la valeur de z étant nulle, la valeur de z₍₁₎ est égale à0+c, c’est-à-dire c. Relisez maintenant la première explication et choisissez celle que vous préférez. Bien entendu, s’il y a une infinité d’ensembles de Julia, il n’existe qu’un seul ensemble de Mandelbrot pour la fonction

	Il y a, évidemment, une relation entre cet ensemble et les ensembles de Julia : l’ensemble de Mandelbrot est l’ensemble de tous les points cpour lesquels l’ensemble de Julia correspondant est connexe. Autrement dit, quand on prend pour c une valeur en dehors de la surface noire on obtient un ensemble de Julia « brisé ». Les ensembles de Mandelbrot et de Julia sont des objets fractals et en zoomant sur leur bordure on peut y voir, quel que soit le grossissement, des structures toujours aussi complexes et auto-similaires. c’est ainsi que l’ensemble de Mandelbrot possède à sa périphérie une multitude de ramifications qui se dilatent localement en mini-ensembles de Mandelbrot qui, à leur tour... Tous ces détails sont auto-similaires, ce qui ne veut pas dire qu’ils soient rigoureusement identiques entre eux (contrairement aux fractales plus vues plus haut, engendrées par des opérations géométriques simples). La série d’image suivante montre des grossissements de plus en plus forts révélant des mini-ensembles de Mandelbrot à la périphérie de l’ensemble central. Toutes les images, sauf la dernière, ont été traitées en niveau de bleu pour simplifier la reconnaissance des formes. Dans chacune un petit rectangle montre les limites de l’image suivante. En cliquant sur chaque image on visualise une image de taille 800x600. Le facteur d’agrandissement entre la première et la dernière image de la série est de 3 200 000 fois.
	Toutes les images peuvent être vues au format 800x600
	La fonction qui engendre les ensembles de Julia et de Mandelbrot est l’exemple le plus simple qu’on puisse trouver. Pourtant l’ensemble de Mandelbrot est considéré par certains comme l’objet mathématique le plus complexe connu. Toutes ses propriétés n’ont d’ailleurs pas encore été démontrées. On a pu établir que la dimension de sa bordure est 2, ce qui est la plus grande dimension fractale possible pour une structure de surface nulle (mais curieusement on n’a pas encore démontré que cette surface est nulle, bien que ceci paraisse intuitivement évident :Douady, communication personnelle ; 1996). Beaucoup d’amateurs d’images fractales utilisent d’autres fonctions. Certaines ne sont que des modifications plus ou moins complexes des formules de Julia et Mandelbrot ; d’autres sont totalement différentes. Le programme Fractint et d’autres programmes plus récents permettent de tester sans problème pratiquement toutes les fonctions nouvelles qu’on peut imaginer. Il reste un dernier détail : *comment tester si la fonction diverge pour un point donné du plan complexe ?* Je me limiterai encore aux ensembles de Julia et de Mandelbrot, mais le principe est applicable à beaucoup d’autres fonctions. Il consiste à vérifier que le module de zreste inférieur ou égal à une valeur de référence qui, pour les deux ensembles choisis comme exemple, est 2 (sur ce point nous ferons confiance aux mathématiciens). c’est la « valeur d’échappement » (bailout value en anglais). Le module d’un nombre complexe est une astuce mathématique parfaitement légitime pour se débarasser de i et retomber dans le domaine rassurant des nombres réels (au prix toutefois d’une certaine perte d’information). Si on appelle x la partie réelle et y la partie imaginaire d’un nombre complexe, le module est

	(remarquez que pour la vitesse du calcul il est plus facile de vérifier que le carré du module est <= 4, astuce utilisée par Fractint).

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	Dernière mise à jour : 02/10/03 Source : http://fractals.iut.u-bordeaux1.fr/jpl/jpl1.html