Petit théorème de Fermat, nombres pseudo-premiers et nombres de Carmichael

Petit théorème de Fermat, nombres pseudo-premiers et nombres de Carmichael

 

Théorie des nombres -- Divisibilité et congruence
Théorie des nombres -- Nombres premiers

 

Théorème : Soit p un nombre premier, et a un entier premier avec p. Alors a^p-1 a pour reste 1 dans la division par p : a^p-1=1 mod p

Il est alors facile, à partir du petit théorème de Fermat, de déduire un test de non-primalité : si un nombre n est donné, on choisit un nombre a premier avec n, et on calcule a^n-1 : si on ne trouve pas 1 modulo n, c'est que n n'est pas premier. Ce test est très rapide, car on calcule a^n-1 en effectuant au plus 2log n opérations. On procède en effet par élévations au carré successives : si par exemple on veut calculer 3¹², on remarque que 12=2³+2², d'où 3¹²=((3²)²)²(3²)².

 

Malheureusement, le petit théorème de Fermat n'est pas une condition nécessaire et suffisante, et il existe des entiers n non premiers pour lesquel a^n-1=1 mod n. De tels entiers sont dits pseudopremiers de base a. Par exemple,

• 341=11×31 est pseudo-premier en base 2.
• 91=7×13 est pseudo-premier en base 3.

Qu'à cela ne tienne, se dit-on. Si 341 est pseudo-premier en base 2, il ne l'est pas en base 3, et le test avec 3 dira que n est composé. Malheureusement, cela n'est pas encore suffisant, car il existe des entiers non premiers n, mais pseudo-premiers pour toute base a<n, où a ne divise pas n. Ces nombres sont appelés nombres fortement pseudo-premiers, ounombres de Carmichael. Les premiers nombres de Carmichael sont : 561, 1105, 1729, 2465, et on sait depuis 1994 qu'il en existe une infinité. Voici une caractérisation des nombres de Carmichael :

 

Théorème : n, entier non premier, est un nombre de Carmichael si, et seulement si, n =p₁×...×p_k, où p₁,...,p_k sont des nombres premiers deux à deux distincts tels que (p_i-1) divise (n-1) pour tout i de {1,2,...,k}.

On trouvera une preuve de ce théorème dans le deuxième problème du Capes 2003.

Consulter aussi...

•Biographie de Pierre de Fermat
•Théorème d'Euler

Source : http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&...