03/01/2010
Fondements des mathématiques
Fondements des mathématiques
Sur cette page:Début de livre, chapitres de logique
Simplification du calcul propositionnel
Un paradoxe de la théorie des ensembles
Début de livre, chapitres de logique
J'ai entrepris depuis septembre 2000 d'écrire un "livre" qui regroupera la plupart de mes idées sur les mathématiques. Je ne sais si je publierai un jour cela en tant que livre, actuellement c'est encore loin d'être fini, mais il y a déjà un début intéressant et c'est téléchargeable ici.Objectif: refonder les mathématiques depuis leur début. Un peu comme Bourbaki...
Au lieu de détailler un grand nombre de sujets d'une diversité comparable à celle de Bourbaki, il s'agira de se concentrer sur les bases, les notions fondamentales et générales.
Caractéristiques de cette approche:
- C'est parfaitement rigoureux, tout ce qui est démontrable est démontré depuis le début. Bourbaki avait cet objectif, sauf qu'ici d'autres objectifs s'y ajoutent, qui pourraient a priori sembler contradictoires entre eux et avec celui-ci, mais il s'avère qu'il est parfaitement possible de tous les satisfaire en même temps :
- Mener des approches originales de la plupart des sujets: la plupart des notions étaient déjà essentiellement connues par-ci, par-là, mais bon nombre d'entre elles n'avaient, à ma connaissance, pas été présentées et reliées de la manière ici proposée. Seul le texte 2 rejoint en grande partie la tradition (plus ou moins un début de cours de théorie des ensembles de première année universitaire); les suivants en demeureront éloignés.
- L'accent est mis sur l'intuition, les explications "philosophiques" et la signification profonde des choses, du monde mathématique, sans être ralenti par des développements fastidieux de règles formelles et rébarbatives c'est-à-dire qui seraient longues manquant d'intérêts dans leurs détails. Non que cela manque non plus de rigueur ou de formalisme, au contraire, mais c'est précisément le formalisme employé qui produit et concentre la signification.
- Les outils développés sont très puissants et généraux.
- Très rares sont les démonstrations faisant plus d'une demie-page, et la plupart ne font au plus que quelques lignes; tous les choix sont faits avec le plus grand soin pour un cheminement le plus court et élégant possible, sans rien de fastidieux.
Notes:
- Conventions parfois personnelles: dans ces textes, sur des sujets parfois hélas fort méconnus, j'ai été parfois amené à développer des conventions (notations, terminologie) de manière indépendante. N'hésitez pas à me signaler vos idées d'améliorations et/ou signalement d'éventuelles conventions utilisées par d'autres auteurs qui vous sembleraient adéquates. Tenez, j'envisage de rompre avec l'usage en français du mot "application" pour le remplacer par le mot "fonction" dont le sens habituel est voisin mais différent. Parce que ça sonnerait mieux (plus simple et sans incohérence avec un autre usage du mot en français) et se conformerait à l'usage anglophone "function"; et que je n'utilise pas l'autre notion habituellement appelée "fonction" (où ensemble de définition peut différer de l'ensemble de départ). Aussi, au lieu du mot "espèce" vaudrait-il mieux le mot "type", qui de fait est actuellement employé en ce sens ? Qu'en dites-vous ?
- Problèmes de conversion en html : la conversion est faite avec TtH. C'est assez pénible d'adapter les sources tex pour être opérés ainsi, et le résultat n'est pas parfait... dommage qu'il n'y ait pas mieux pour convertir du tex en html sans mettre les formules en images.
- Désolé, environ la première moitié (texte 1 jusqu'à la moitié du texte 2) est actuellement en chantier de rénovation. Revenez voir plus tard quand ce sera au point (janvier 2010 ?). En attendant vous pouvez toujours essayer de lire directement les textes 2 (à partir du milieu environ) et 3, ou encore vous pouvez lire d'autres parties de mon site: la relativité restreinte avec initiation à des notions de physique fondamentale, ou à mes textes philosophiques que j'estime aussi très intéressants (pour bousculer fortement les idées reçues et apporter un vrai progrès des connaissances philosophiques, de manière très différente de la philosophie académique momolle et consensuelle qui n'avance à rien), une sorte d'application de la pensée logique au monde où nous vivons. Si vous lisez l'anglais, j'ai aussi écrit plus récemment des textes philosophiques en anglais ici et là. Peut-être trouverez-vous même tout cela passionnant. Alors, ne partez pas déçus si vite au prétexte que ce qui suit n'est pas encore au point.
Voici d'abord le sommaire avec liens vers le contenu.
Plus bas figurent des commentaires : explication du plan, originalité de l'approche et motivations.
1. Théorie des ensembles : 31 pages pdf, ayant été rénové, relu et corrigé jusqu'à la page 15, la suite a été partiellement retravaillée et reste à mettre au point en conséquence, jusqu'aux premières sections du texte 2.
Futur sommaire:
1.2. A propos de théorie des ensembles
1.3. Notions de théorie des ensembles
1.4. Objets, méta-objets, théorie du modèle
1.5. Opérateurs et prédicats
1.6. Termes et énoncés sans variable liée
1.7. Structures définies, classes, structures partielles 1.8. Variables liées en théorie des ensembles)
1.9. Quantificateurs
(...suite à mettre au point...)
La version précédente avait été répartie en 4 pages html, non encore mises à jour.
1.2. A propos de théorie des ensembles
1.3. Variables et ensembles
1.4. Applications, relations unaires et compréhension
1.5. Le paradoxe du langage et son explication temporelle
1.6. Paradoxe de Russell et explications (notion de classe)
1.7. Ensembles finis, n-uplets, familles, produit
1.8. Opérations, relations
1.9. Construction des termes et énoncés
2. Premiers développements (17 pages pdf).
2.2. Opérations sur les ensembles; l'axiome des parties
2.3. Etude des applications
2.4. Bijections canoniques remarquables
2.5. Notions sur les relations binaires
2.6. Etude des relations d'équivalence
2.7. Axiome du choix
3. Correspondances de Galois (18 pages pdf)
3.2. Correspondances de Galois croissantes
3.3. Bornes supérieures et inférieures
3.4. Treillis complet
3.5. Théorème du point fixe
3.6. Préordre engendré par une relation
3.7. Ensembles finis
3.8. Relation d'équivalence engendrée, et autres
3.9. Relations bien-fondées
4. Langages et théories (25 pages pdf)
4.2. Langages
4.3. Structures relationnelles et morphismes
La suite n'est pas encore au point (il reste à faire insertions, réordonnements, corrections - la notation OL a été changée en OmégaL):
4.5. Magmas
4.6. Algèbres
4.7. Condensation
4.8. Théories algébriques
4.9. Propriétés diverses
4.10. Ecritures et termes
4.11. Formules de la théorie des modèles
4.12. Vérités, démonstrations et contradictions
4.13. La dynamique des théories
4.14. Définitions
4.15. La dynamique des modèles
4.16. Invariants
4.17. Constructions
5. Brouillon de la suite (extraits d'anciennes versions, n'ayant pas eu leur place dans les textes 1 à 4, vaguement réordonnés et non encore retravaillées)
Autres propriétés des ensembles finis
Cardinaux et axiomes supplémentaires
Ce que le schéma de remplacement signifie vraiment
Algèbres universelles
Puissance et logique d'ordre supérieur
Axiome du choix de la logique d'ordre supérieur
Théorème d'incomplétude
Bilan et perspectives
Simulations de dynamiques externes
Plan prévu pour après modifications futures :
5. Retour sur la théorie des ensembles: axiomes et cardinaux
On introduira notamment une axiomatisation de la théorie des ensembles comme présentée dans les numéros précédents, on discutera aussi de l'axiome de fondation et d'axiomes plus faibles que le schéma de remplacement.
6. Algèbre
abordée sous l'angle de la théorie des algèbres universelles
Notions de catégories, monoïdes...
7. Calcul tensoriel
Espaces vectoriels en dualité.
La stratégie de définition du sens des expressions tensorielles sera la suivante:
1) Cas des arbres
2) Cas où il y a plusieurs composantes connexes qui sont des arbres, à l'aide de la multiplication
3) Autres cas, à l'aide de décompositions en sommes sur des coupures qui ramènent aux cas précédents.
...
Commentaires sur le texte 1
Cela commence par une longue introduction philosophique sur les fondements des mathématiques, les limites du platonisme, la difficulté de principe à démarrer quelque part le développement des mathématiques, et le fait qu'une rigueur totale au démarrage des mathématiques serait impossible.Mais à défaut de rigueur totale, va venir l'effort soutenu d'un maximum de rigueur et d'explication philosophique.
Cela commence par une sorte de théorie philosophique des ensembles et des applications. En effet la tradition axiomatique ZF me semble très inadéquate pour démarrer les mathématiques, de sorte que je ne présente pas ZF, ni aucun système axiomatique d'ailleurs. Il ne s'agit pas pour autant de nier ZF ou de faire des choses incompatibles. Non: il s'agit uniquement de présenter les choses sous l'aspect de leur signification profonde, afin qu'elles aient pleinement un sens à ce stade et permettent d'introduire ensuite le plus naturellement possible les mathématiques "ordinaires". Et c'est justement sur la base de cette compréhension philosophique, qu'on pourra dans la suite (texte 5) expliquer pourquoi la théorie axiomatique ZF est effectivement un bon choix dans son rôle propre, à savoir, un excellent outil à l'usage des spécialistes pour formuler les questions de prouvabilité ou au contraire d'indécidabilité d'énoncés, par exemple l'hypothèse du continu.
Plusieurs pages d'explications sont consacrées à expliquer philosophiquement : qu'est-ce qu'un ensemble ? Que signifie vraiment le paradoxe de Russel (qu'il ne peut pas y avoir d'ensemble de tous les ensembles) ? que signifie vraiment la distinction des ensembles parmi les classes ? un ensemble peut-il appartenir à lui-même ? Sisi, c'est très sérieux !!! L'explication se base sur l'existence d'une temporalité propre à l'univers mathématique qu'il est impossible de figer définitivement (temporalité expliquée avec au passage l'analyse sémantique d'un énoncé paradoxal qui signifie "Cette phrase est bien définie et fausse"). La distinction des ensembles parmi les classes se résume ainsi: contrairement à un ensemble, une classe reste potentiellement capable de contenir des éléments qui n'existent pas encore. Une classe se définit en fait par la donnée d'un énoncé à une variable, qui énonce si un objet donné lui appartient ou non; ce n'est pas un vrai objet mathématique appartenant au même univers, faute de pouvoir définir formellement l'égalité entre classes par des quantificateurs bornés par des ensembles. En effet, les quantificateurs existentiels et universels doivent être restreints à des ensembles pour être interprétés (ainsi, l'égalité entre ensembles E et F s'écrit: (E ⊂ F et F ⊂ E) ). C'est cette compréhension de la distinction des ensembles parmi les classes qui permet d'expliquer le sens des axiomes.
Les objets admis comme primitifs sont donc: les éléments, les ensembles et les applications. Les couples et n-uplets sont des cas particuliers d'applications. Plus loin est introduite la notion d'opération, qui peut être vue de plusieurs manières comme cas particulier d'application, et inversement les applications sont des cas particuliers d'opérations. Les relations n-aires sont définies comme opérations à valeurs dans {vrai,faux}. Avec des termes x,y et un énoncé P on définit le terme (x,y)(P) comme valant x si P est vrai et y sinon. On justifie philosophiquement qu'on obtient bien des ensembles par les procédés: compréhension; image d'application; union (d'un ensemble d'ensembles); produit fini d'ensembles. Sont définies les chaînes de "et", celles de "ou", ainsi que les chaînes d'implications ou d'équivalences. A la fin on récapitule les règles de constructions admises des termes et énoncés.
Voir aussi ce résumé que j'ai écrit pour annoncer la mise au point de la première quarantaine de pages en décembre 2005 (que j'ai finalement encore retouchés par la suite). Voir cette discussion de forum "qu'est-ce qu'un ensemble" (novembre 2007) où je réexprime synthéthiquement mon avis sur la notion d'ensemble et la différence entre ensembles et classes, ainsi que les motivations générales de ce projet, et où vous pouvez poster vos commentaires.
Commentaires sur le texte 2
Le contenu est relativement traditionnel, mais toujours réalisé avec le plus grand soin, au-dessus de l'habitude. Seuls points particulièrement notables en comparaison de la tradition:Définition et propriétés du quantificateur d'unicité.
Exposition détaillée et commentée de l'axiome des parties, et de son statut et de sa signification exceptionnels: c'est le premier et principal postulat philosophiquement injustifié que certaines classes soient des ensembles, et ce fait est crucial car c'est de là que viennent toutes les indécidabilités des mathématiques. Ce n'est pas seulement un axiome mais aussi un enrichissement du langage de la théorie des ensembles par l'opérateur qui à tout ensemble associe l'ensemble de ses parties, sans lequel l'axiome seul serait impuissant.
Equivalence de cet "axiome" avec celui de la puissance d'ensembles.
J'ai oublié le qualificatif officiel des énoncés dont tous les quantificateurs sont bornés par des ensembles, quelqu'un pourrait-il me le rappeler ?
La traduction de toute relation entre deux ensembles en une application par fixation d'une variable, à savoir lors de la bijection canonique ℘(E×F) ≅ (℘(F))E, est notée par une flèche style vecteur; de même avec une flèche gauche pour l'autre variable.
L'axiome du choix est exposé par motif de clarification mais il ne sera pas utilisé par la suite.
Commentaires sur le texte 3
Là viennent vraiment les choses sérieuses, une grande symphonie de mathématiques formelles faites d'une succession parfaite de formules, de définitions et de théorèmes, avec tout plein d'astuces renversantes raccourcissant toutes les démonstrations. Voilà donc une occasion précoce de goûter à des "vraies mathématiques" qu'on pourrait qualifier comme de haut niveau sauf que rien n'est fastidieux et cela n'utilise rigoureusement aucun autre prérequis que le contenu des textes précédents, pas même la notion de nombre entier qui est ici absente.Mais à part ça, c'est bien gentil direz-vous, mais que diable viennent donc faire les correspondances de Galois dans un projet ayant vocation à se concentrer sur ce qui est indispensable aux mathématiques de base ?
Eh bien, même si cela peut sembler dans un premier temps être des choses compliquées en plus, il s'agit en fait d'un investissement qui sera nettement rentabilisé par la suite, en plus du fait de rendre parfaitement rigoureux tout ce qui peut l'être, à la place de certaines idées vaseuses et autres impasses habituellement commises:
- Les notions de bornes supérieures et inférieures entrent dans un cadre systématique naturel tant pour leurs définitions que leurs propriétés, qui en facilite l'usage.
- Il s'agit de structures et propriétés qui se retrouvent très souvent, notamment en algèbre et dans la notion d'espace topologique, ce qui permettra d'appliquer directement les résultats ici obtenus au lieu de les redémontrer à chaque fois comme le fait la tradition.
- La notion d'ensemble fini est définie rigoureusement et indépendemment sans dépendre de quelque axiome (en particulier, sans s'appuyer sur les nombres entiers), avec plusieurs propriétés importantes (étude qui sera complétée dans le texte 5).
- Le nécessaire pour trivialiser la démonstration du théorème de Cantor-Bernstein
- L'étude des relations bien-fondées permettra notamment dans les parties ultérieures: de formaliser la notion de terme comme système mathématique et en justifier l'interprétation; de comprendre l'énoncé de l'axiome de fondation dans l'axiomatique ZF; de justifier les définitions par récurrence; et de maîtriser plus rapidement les nombres ordinaux.
- Cela éclairera également les rapports entre fondement, dynamique et réalité dans la théorie des théories qui sera exposée au texte suivant.
Rapide historique des mathématiques
(petit ancien chapitre qui était dans le texte de maths et n'y était pas vraiment à sa place)
La recherche en mathématiques a connu une progression accélérée dans l'histoire. Depuis l'étude de la géométrie par les Grecs, des progrès importants n'ont été réalisés qu'au cours de ces derniers siècles avec par exemple l'étude de la mécanique céleste (Newtondots ) puis de l'élec-tro-magnétisme, accompagnés d'outils d'analyse mathématique, et aussi de l'algèbre (résolution d'équa-tions, nombres complexes).
La théorie des ensembles n'a été étudiée qu'au début du 20ème siècle par Cantor. C'est surtout au vingtième siècle que le développement des mathématiques et de la physique fondamentale a été explosif. En gros, les théories fondamentales de la science moderne au-delà des notions de base ont été découvertes dans la première moitié du siècle; puis, après une restructuration effectuée au milieu du siècle par le groupe Bourbaki (seulement en maths et non en physique), de très nombreux développements ont été réalisés dans la seconde moitié.
Nous savons que le monde des mathématiques est infini et que la recherche ne s'arrêtera pas. Les voies de recherche possibles sont très nombreuses, leur multiplication étant désormais principalement limitée par le nombre de mathématiciens, alors qu'ils sont toujours plus nombreux et que l'outil informatique facilite la rédaction et la diffusion des travaux de recherche.
La recherche nécessite de se spécialiser dans un domaine, puisque l'acquisition par une seule personne de toutes les connaissances actuellement disponibles en mathématiques par exemple nécessiterait quelques milliers d'années d'études (!).
Cependant, en France, l'enseignement des mathématiques dans le secondaire (collège, lycée) et jusqu'aux premières années d'université reflète très mal cette richesse et ce foisonnement~: il est constitué d'un tronc commun qui n'a pratiquement plus évolué depuis la ``réforme des mathématiques modernes'' (dont la mise en place brutale, excessive et mal préparée vers 1968 a été assez désastreuse pour un grand nombre d'élèves de cette époque, suivie en quelques années d'un retour à une situation plus équilibrée), si ce n'est dans le sens de l'appauvrissement des contenus.
La diversité et les derniers développements de la recherche en mathématiques ne s'expriment pratiquement plus qu'à partir du niveau Master (plutôt même deuxième année de Master).
Un grand nombre de mathématiciens restent en dehors de toute application aux autres sciences; certains même ont horreur de toute idée d'application, fiers de faire des mathématiques ``pures''; mais une bonne partie des domaines de recherche en mathématiques sont de près ou de loin susceptibles d'applications, notamment en Physique.
Calcul propositionnel
Constatant que je n'arrive pas (du moins actuellement) à concentrer mes efforts pour continuer assez vite la rédaction de mes textes, je me mets ici à brader quelques pistes de recherches, qui serviraient de base à la rédaction envisagée.La structure habituelle des cours de calcul propositionnel est une horreur: un langage choisi arbitrairement (symboles "implique" et "non") qui aboutit à la nécessité d'une dizaine d'axiomes de calcul propositionnel choisis on ne sait comment (combien exactement, au fait ?) pour former un système complet d'axiomes (c'est-à-dire permettant de démontrer toute formule universellement valide). S'ensuit une démonstration de ce fait (théorème de complétude du calcul propositionnel) qui prend un certain nombre de pages.
Or, tout cela est inutile, on pourrait faire beaucoup plus simple.
Il y a une manière de faire plus simple qui pendait pourtant au nez depuis longtemps, c'est la notion d'algèbre de Boole.
Qu'est-ce qu'une algèbre de Boole ? C'est un anneau idempotent (i.e. où pour tout x, on a x.x=x). Or un théorème bien connu (utilisant l'axiome du choix; ou, pour le résultat ici, il suffit d'avoir un bon ordre sur l'ensemble des variables propositionnelles) dit que dans tout anneau non nul il existe un idéal maximal, et que donc en quotientant par cet idéal on obtient un corps. L'idempotence appliquée à ce corps donne que c'est Z/2Z.
Or, cette axiomatisation de la notion d'algèbre de Boole entre dans le cadre des algèbres universelles, donc toute égalité dans un tel anneau donné par générateurs et relations se démontre par une chaîne d'égalités dont chacune est la simple utilisation d'un axiome.
Donc, si dans une algèbre de Boole donnée par générateurs et relations (donc une théorie du calcul propositionnelle), le 0 est égal au 1 (la théorie est auto-contradictoire), cela est démontrable suivant cet algorithme (et plus généralement si un élément est égal à 1, son égalité à 1 est démontrable). Sinon, l'anneau est non nul, donc il admet un morphisme dans Z/2Z (respectivement: toute proposition indémontrable a un contre-exemple).
Mais il y a encore d'autres manières de formuler les formules et les démonstrations qui collent naturellement à la nature de ce problème et qui devrait donc aboutir à des algorithmes plus puissants.
D'une part, faut-il vraiment signaler ce qui devrait aussi crever les yeux, comme algorithme capable de vérifier en temps fini si une formule donnée entre variables propositionnelles est une tautologie ou pas, il suffit de prendre une à une toutes les combinaisons possibles des valeurs des variables et de regarder si ça marche dans tous les cas. C'est du bête calcul booléen que les ordinateurs sont capables de faire à toute vitesse.
On peut rétorquer à cela que la complexité de ces calculs est exponentielle par rapport au nombre de variables, ce que je vous accorde. C'est donc bon pour des grandes formules qui répètent beaucoup les quelques mêmes variables, moins bon pour celles qui s'étendent à plus de variables, d'où l'intérêt d'un calcul formel sur les propositions.
Alors, voici comment implémenter un tel calcul de manière efficace:
Définissons une formule propositionnelle F comme étant un ensemble fondé sur les variables propositionnelles (autrement dit tel que pour tout ensemble X auquel F appartient, il existe Y dans X dont l'intersection avec X est un ensemble de variables propositionnelles) et héréditairement fini (l'union de F, de ses éléments, des éléments de ses éléments,... est fini)
(dans la suite, les symboles A,B,C désigneront de tels ensembles).
Le singleton représente le non, l'ensemble représente le "ou" entre les négations.
Ainsi, {A,B,C} signifie (non A ou non B ou non C), ou si on préfère, non(A et B et C).
{A,B,{C}} signifie: ((A et B) implique C).
On peut ajouter le vrai (V) et le faux (F) comme constantes propositionnelles, mais on peut aussi les construire comme étant: F={} (ensemble vide), V={{}}.
Ensuite, il faut introduire des règles de simplifications, chaque règle faisant passer d'une formule (en tant qu'ensemble) à une autre (un autre ensemble) plus simple qui lui est logiquement équivalente. Il me semble (à vérifier, je n'en suis pas sûr - ou bien en modifiant légèrement l'expression des règles du genre échanger A avec {A}) que la relation d'équivalence engendrée par ces règles est équivalente à: quelle que soit la succession de simplifications appliquées à partir de chacune jusqu'à ne plus pouvoir simplifier, on aboutir à la même formule.
Ces règles sont les équivalences suivantes (le symbole ~ désignant l'équivalence tautologique entre énoncés):
- tiers exclus: {{A}}~A
ce qui donne notamment les simplifications:
{{{A}},B}~{A,B}
{{{A}},A}~{A}
mais aussi avec deux:
{{{A,B}},C}~{A,B,C}
et en général, en notant u le symbole d'union, si A est un ensemble:
{{A}}uB~AuB
ce qui permet d'éliminer les singletons dans l'expression d'une formule hormis ceux des variables.
- Tout V dans un ensemble peut être éliminé (mais on peut voir ça comme cas particulier du cas précédent à cause de la construction de V). Ainsi:
{V,A}~{A}
- Tout F est absorbant:
{F,A,B,...}~{F}~V
- Règle de substitution : Tout élément d'un ensemble est substituable à V à l'intérieur de tout autre élément (ça, je suis beaucoup moins sûr que ça passe la proposition ci-dessus).
Par exemple:
{A,{A,B}}~{A,{V,B}}
{A,B,{{C,D},{D,A,{E,B,{C,D}}}}}~{A,B,{{C,D},{D,V,{E,V}}}}
à son tour simplifiable...
Remarque: je n'avais d'abord formulé la règle de substitution que comme règle d'inférence entre formules démontrées, lesquelles n'étaient considérées que comme formant liste ouverte d'ensembles où chacun de ces ensembles est substituable par V dans les autres ensembles, sans remarquer que cette liste se comporte elle-même comme un ensemble parmi les autres. Pour que ça forme un système formel complet du calcul propositionnel, j'ai été amené à formuler l'"axiome d'Aristote":
Si (A implique B) et (B implique C) alors (A implique C).
Ce qui donne (en remplaçant C par sa négation):
V~{{A,{B}},{B,C},A,C}}.
qui rendait enfin le système complet.
Mais je m'aperçois que la règle de substitution démontre l'axiome d'Aristote allègrement et rend donc son introduction inutile, sauf que je doute fort que l'équivalence de deux formules par la relation d'équivalence engendrée par ces règles (qui est en tout cas complète pour le calcul propositionnel) s'obtienne par égalités de leurs formes minimales (par simplifications) respectives (à vérifier).
Histoire de rigoler, ou de faire des cauchemars
Il y a un super paradoxe de la théorie des ensembles, mais dont je déconseille l'étude aux jeunes esprits qui risqueraient de passer des nuits blanches jusqu'à douter de la consistance des mathématiques ;-). Heureusement, la démonstration paradoxale en question étant assez ardue (et reposant sur des définitions et résultats standard omis ici), a de bonnes chances de n'être pas compris par ces esprits fragiles, en sorte de ne pas les affecter.Remarque: il y a 2 autres sujets qui explorent essentiellement le même fond paradoxal, avec à peu près les mêmes tenants et aboutissants bien que sous des aspects un peu différents par ailleurs, et, peut-on dire, complémentaires:
1) le paradoxe de Banach-Tarski
2) L'axiome de symétrie de Freiling
Voici:
Croyez-vous à l'axiome du choix ? Rappelons un de ses énoncés: tout produit d'ensembles non vides est non vide. Intuitivement, si on pense que chaque ensemble de parties d'un ensemble contient vraiment toutes les parties, même celles qu'on ne peut pas construire, alors il semble raisonnable de penser que l'axiome du choix est vrai.
Plus précisément, cela s'appuie sur l'intuition suivante: pour chacun des ensembles non vides en question, on tire "au hasard" un de ses éléments, et l'ensemble de tous ces hasards formera l'élément recherché. Bien.
Pendant qu'on y est, on peut aussi tirer au hasard un nombre réel entre 0 et 1: tirons chaque chiffre de son développement binaire au hasard, et le tour est joué. C'est d'ailleurs à celà justement qu'on reconnaît que l'ensemble R des nombres réels qu'on manipule est bien l'ensemble de "tous les réels" sans en oublier: par le fait que si on tire un nombre réel au hasard par ce procédé, on tombe effectivement dedans.
En effet, un faux ensemble des réels (un ensemble de certains réels stable par les opérations) devrait être carrément plus petit puisqu'en le translatant par un réel
qui n'est pas dedans on obtient un autre ensemble aussi gros et disjoint du premier. Donc son anomalie serait repérable par le fait qu'en tirant un réel au hasard, on n'aurait pas plus de chance de tomber dans l'un que dans l'autre, soit finalement une chance nulle. Bien.
Ensuite, un théorème déduit de l'axiome du choix dit que tout ensemble admet un bon ordre, en particulier l'ensemble des réels entre 0 et 1.
Choisissons donc un tel bon ordre o sur [0,1], et définissons l'application f de [0,1] dans lui-même défini par:
f(x)= la probabilité qu'un réel tiré au hasard dans [0,1] soit plus petit que x pour l'ordre o.
De manière évidente, f est une fonction croissante de [0,1] muni de l'ordre o vers [0,1] muni de l'ordre habituel.
Or, un théorème dit que toute fonction croissante d'un ensemble bien ordonné vers R ne croît que par discontinuités, c'est-à-dire que sa variation est la somme sur x des f(x) - (sup f(y) pour y<x) (vérifiez !)
Maintenant, posons-nous la question: si on prend deux réels x et y au hasard dans [0,1], quelle est la probabilité que x<y pour l'ordre o ?
Si on tire d'abord x puis y, on trouve 1/2(1+somme des carrés des discontinuités).
Mais si on tire y avant x...
Remarque: la construction d'un bon ordre sur [0,1] nécessite de prendre un réel dans TOUTE PARTIE non vide de [0,1], ce qui est une autre affaire que de tirer chaque décimale binaire au hasard. Mais cela ne devrait pas gêner en fait, puisqu'en restreignant le tirage aux parties P telles qu'un nombre aléatoire aura au moins une chance sur deux de tomber dedans (ainsi, si on ne tombe pas dedans la première fois il suffit de recommencer), on aboutit de toute manière à une variante du même paradoxe: cela donne un bon ordre sur une partie de [0,1] sur laquelle on a une chance sur deux de tomber. A moins que, bien qu'on ait toutes les chances de trouver un élément d'une partie P donnée à force de réessayer si à chaque fois on a une chance sur 2 de tomber dedans, le risque ici nul de ne jamais y arriver risque de devenir beaucoup plus grand, quand il s'accumule sur l'ensemble de toutes les parties P en question. Mais passons.
En fait, la convention communément admise veut que tirer un réel dans chaque partie soit possible conformément à l'axiome du choix, mais que tirer SUIVANT UNE LOI DE PROBABILITE DONNEE (à savoir ici, de manière uniforme), un nombre réel aléatoire dans [0,1] soit impossible.
Une loi de probabilité dans un tirage aléatoire étant uniquement quelque chose de défini comme approximations successives (tirer les 100 premières décimales au hasard, continuer avec les 1000 suivantes...) et non comme quelque chose d'actuellement infini.
Autres:
Le cours de théorie des ensembles de Martial Leroy est provisoirement hébergé ici.
Commentaires des textes de D.Moiseti sur la théorie des ensembles
Voir aussi un bout de mon cours d'algèbre linéaire qui n'était pas super adapté au niveau des étudiants de 2ème année ici.
Retour au site : Envol vers la physique mathématique
dont :
Relativité restreinte suivant une nouvelle approche
Géométries
09:52 Publié dans Fondements des mathématiques | Lien permanent | Commentaires (0) | Tags : fondements des mathématiques | 
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