D	L	M	M	J	V	S
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Clifford Algebras, Supersymmetry and $Z_n-$symmetries: Applications in Field Theory

(Submitted on 20 Feb 1998)

After a short introduction on Clifford algebras of polynomials, we give a general method of constructing a matrix representation. This process of linearization leads naturally to two fundamental structures: the generalized Clifford algebra (GCA) and the generalized Grassmann algebra (GGA) which are studied. Then, it is proved that if we equip the GGA with a differential structure, we obtain the $q-$deformed Heisenberg algebra or the $q-$oscillators. Finally, it is shown that the $q-$deformed Heisenberg algebra is the basic tool to define an adapted superspace leading to the extension of supersymmetry called fractional supersymmetry of order $F$ (FSUSY), $F=2$ corresponding to the usual supersymmetry. Local FSUSY in one dimension is then contructed in the world-line formalism, and an extension of the Dirac equation is obtained. In two dimensions, it turns out that FSUSY is a conformal field theory and in addition to the stress energy tensor, a supercurrent of conformal weight $1+1/F$, which generates a symmetry between the primary fields of conformal weight $(0,1, cdots, 1-1/F$), is obtained. The algebra is explicitly constructed. We also show that in $1+2$ dimensions FSUSY is a non-trivial extension of the Poincar'e algebra which generates a symmetry among fractional spin states or anyons. Unitarity of the representation is checked. Finally, we prove that, independently of the dimension, a natural classification emerges according to the decomposition of $F$ as a product of prime numbers and that FSUSY is a symmetry which closes non-linearly, and is sustained by mathematical structures that go beyond Lie or super-Lie algebras.

Comments:	LaTex, fancyheadings.sty, epsfig.sty, floatfig.sty, 106 pages, 2 figures, Habilitation Thesis (in French)
Subjects:	High Energy Physics - Theory (hep-th)
Report number:	LPT Strasbourg 97-02
Cite as:	arXiv:hep-th/9802141v1

Submission history

From: Michel Rausch [view email]
[v1] Fri, 20 Feb 1998 10:35:31 GMT (100kb)

Source : http://arxiv.org/abs/hep-th/9802141

Nombre multicomplexe

En mathématiques, les nombres multicomplexes, dont l'ensemble est noté $mathbb{M} mathbb{C}_n$ , forment une algèbre commutative de dimension n sur le corps des nombres réels, engendrée par un élément e qui satisfait $e^n = -1,$ (avec n > 1).

Un nombre multicomplexe x peut être écrit de manière unique sous la forme

$x = sum_{i = 0}^{n-1} x_i e^i,$

avec $~x_i,$ réels.

Si n= 2, on retrouve les nombres complexes.

L'algèbre obtenue est isomorphe à l'algèbre quotient $frac{mathbf{R}[X]}{(X^n+1)}$ .

Il est possible d'écrire tout nombre multicomplexe x non nul sous la forme d'une représentation exponentielle

$x = sum_{i=0}^{n-1} x_i e^i = rho exp ( sum_{i=1}^{n-1} Theta{}_i e^i )$ .

Un cas particulier des nombres multicomplexes (pour n = 4) sont les nombres bicomplexes.

Références [modifier]

G. Baley Price, An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, Marcel Dekker Inc., New York, 1991
Michel Rausch de Traubenberg, Algèbres de Clifford, Supersymétrie et Symétries Z_n: Applications en Théorie des Champs, Habilitation, Université Louis Pasteur, Strasbourg 1997 pp. 20-29.

[Enrouler] v · d · m Notion de nombre
Ensembles usuels	$mathbb{N}$ Entier naturel • $mathbb{Z}$ Entier relatif • $mathbb{D}$ Nombre décimal • $mathbb{Q}$ Nombre rationnel • $mathbb{R}$ Nombre réel • $mathbb{C}$ Nombre complexe
Extensions	$mathbb{H}$ Quaternion • $mathbb{O}$ Octonion • $mathbb{S}$ Sédénion • Nombre complexe fendu • Tessarine • $mathbb{C}otimesmathbb{C},$ Nombre bicomplexe • $mathbb{MC}_n$ Nombre multicomplexe • Biquaternion • Coquaternion • Octonion fendu • Nombre hypercomplexe • $mathbb{Q}_p$ Nombre p-adique •Nombre hyperréel • Nombre superréel • Nombre dual • Droite réelle achevée • Nombre cardinal • Nombre ordinal •Nombre surréel et pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité • Nombre premier • Nombre composé • Carré parfait • Nombre parfait • Nombre positif • Nombre négatif • Fraction dyadique •Nombre irrationnel • Nombre algébrique • Nombre transcendant • Nombre imaginaire pur • Nombre de Liouville • Nombre normal •Nombre univers • Nombre constructible • Nombre réel calculable • Nombre transfini • Infiniment petit • Infiniment grand
Exemples d’importance historique	π Pi • √2 Racine carrée de deux • φ Nombre d’or • 0 Zéro • $i$ Unité imaginaire • $e$ Constante de Neper • ℵ₀ Aleph-zéro •Table de constantes mathématiques
Notions connexes	Chiffre • Numération • Fraction • Opération • Calcul • Algèbre • Arithmétique • Suite d’entiers • ∞ Infini • Chiffre significatif

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Catégorie : Nombre hypercomplexe | [+]

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_multicomplexe

Benoît Mandelbrot

Benoît Mandelbrot
Benoît Mandelbrot, en 2007
Naissance	20 novembre 1924 Varsovie (Pologne)
Décès	14 octobre 2010 (à 85 ans) Cambridge, Massachusetts (États-Unis)
Nationalité	Franco-américain
Champs	Mathématiques, théorie de l'information
Institution	Université Yale International Business Machines (IBM)
Diplômé	École polytechnique California Institute of Technology
Célèbre pour	Ensemble de Mandelbrot Fractales
Distinctions	Médaille Franklin (1986) Prix Wolf (1993) Prix japonais (2003)
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Benoît Mandelbrot est un mathématicien franco-américain, né à Varsovie le 20 novembre 1924 et mort le 14 octobre 2010 àCambridge, dans le Massachusetts¹. Il a travaillé, au début de sa carrière, sur des applications originales de la théorie de l’information, puis développé ensuite une nouvelle classe d’objets mathématiques : les objets fractals, ou fractales.

Sommaire

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Biographie [modifier]

Mandelbrot est né à Varsovie, dans une famille juive d’origine lituanienne, d’un père revendeur de vêtements et d’une mère médecin. Son oncle Szolem Mandelbrojt était professeur de mathématiques au Collège de France. Sa famille a quitté la Pologne pour Paris afin de fuir la menace hitlérienne. C’est à Paris qu’il fut initié aux mathématiques par deux oncles. L’invasion allemande force la famille à se réfugier ensuite à Brive-la-Gaillarde, où il est aidé, pour la continuation de ses études, par le rabbin David Feuerwerker. Après avoir fréquenté le lycée Edmond-Perrier de Tulle, il poursuit ses études au lycée du Parc, à Lyon.

Années de jeunesse : un départ brillant [modifier]

Après avoir quitté l’École polytechnique (promotion 1944), où il a suivi les cours d’un spécialiste du calcul des probabilités (Paul Lévy), il s’intéresse aux phénomènes d’information, les idées de Claude Shannon étant alors en plein essor. Intrigué par la loi de Zipf, empirique et contestée, il la pose en termes de minimisation des coûts de stockage et d’utilisation des mots par l’esprit. Par élimination de la variable de coût entre les deux équations, se révèle une loi qui n’a, cette fois-ci, plus rien d’empirique : c’est la loi de Mandelbrot, dont celle de Zipf n’est qu’un cas particulier, et qui répond mieux qu’elle aux observations (expliquant en particulier le coude toujours observé dans les distributions, et non expliqué par la loi de Zipf). Ce travail lui vaut une notoriété immédiate, en particulier grâce à un ouvrage de Léon Brillouin : Science et théorie de l’information, qui aura d’ailleurs un succès bien plus grand dans sa traduction anglaise : Science and information theory (les conventions typographiques catastrophiques de l’ouvrage français n’y sont pas étrangères^{[réf. nécessaire]}).

La traversée de l'océan [modifier]

Il quitte alors la France une année, vers la Californie, mais y revient en 1949, jusqu’en 1958, époque où il retourne à nouveau aux États-Unis d’Amérique, attiré, d’après lui, par une plus grande liberté de créativité, non restreinte à une seule discipline précise. Il travaille comme chercheur chez IBM sur la transmission optimale dans les milieux bruités, tout en poursuivant son travail sur des objets étranges jusque-là assez négligés par les mathématiciens : les objets à complexité récursivement définie, comme la courbe de Von Koch, auxquels il pressent une unité. Le mathématicien Felix Hausdorff a d’ailleurs préparé le terrain en définissant pour ces objets une dimension non-entière, la dimension de Hausdorff. Quant au mathématicienGaston Julia, il a défini des objets qui ont un air de famille avec le tout.

Un nouveau paradigme [modifier]

Frontière de l’ensemble de Mandelbrot (détail).

Les inflorescences fractales d’un chou romanesco.

Il signe en 1973 dans une revue d’économie l’article Formes nouvelles du hasard dans les sciences². Cet article critique le manque d’intérêt des chercheurs de nombreuses disciplines pour les fluctuations aléatoires, se cantonnant trop à étudier les moyennes à long terme. Il cite des exemples pris dans son domaine à IBM, la transmission du signal, mais également dans des domaines inattendus : les crues du Nil, la forme des nuages, celle des fleuves.

Il arrive à la conclusion qu’il n’y a pas une forme de hasard, qui conduirait toujours à une égalisation par la loi des grands nombres. Il s’agit là d’une illusion due au fait que nous n’étudions que ces exemples en nous détournant des autres comme mal conditionnés, comme les mathématiciens se sont détournés du flocon de Koch qu’ils considéraient comme un objetmonstrueux : les sphères ou les triangles sont considérés comme des objets acceptables par les mathématiciens de l’époque, mais pas les nuages ni les arbres (du moins en tant qu’objets géométriques). Les mathématiques de cette époque restentmuettes sur les monstres. Pas étonnant dans ces conditions que les mathématiques existantes soient considérées comme ayant un immense pouvoir d’explication des phénomènes scientifiques, car nous ne considérons comme scientifiques que les phénomènes qu’elles permettent d’expliquer ! Nous sommes pris dans le piège d’un argument circulaire dont nous ne pouvons plus sortir.

Or, ajoute Mandelbrot, c’est l’essentiel des phénomènes de la nature qui obéissent à cet autre type de hasard où l’on ne peut appliquer la loi des grands nombres. Le modèle standard nous fait passer à côté de la plus grande partie de la réalité, et va jusqu’à nous empêcher même de la voir.

En 1967 il citait déjà comme exemple de cette nouvelle forme de hasard à étudier, dans son célèbre article How Long Is the Coast of Britain? (en), la côte de Grande-Bretagne, dont la longueur dépend de l’échelle à laquelle on la mesure, et qui possède une dimension de Hausdorff non-entière, comprise entre 1 et 2 : elle ne constitue à proprement parler ni un objet à une dimension, ni un objet à deux dimensions, et c’est en acceptant l’idée de dimension non-entière que nous allons pouvoir attaquer ces objets qui ont toujours échappé à notre étude : la théorie fractale est, dès cet article, officieusement lancée.

Les principes en seront publiés avec une très grande quantité d’exemples (hydrologie, structure du poumon, granulation des bétons, paradoxe d’Olbers, turbulences en mécanique des fluides, urbanisme des villes, et même trous de l’Appenzeller) dans un ouvrage qui fait depuis référence : Les Objets fractals - Forme, hasard et dimension en 1974. Il y présente au lecteur des objets jusqu’alors peu connus : flocon de Koch, éponge de Sierpinski (ou éponge de Menger, ou de Sierpinski-Menger), que les mathématiciens gardaient pudiquement dans leurs tiroirs. Tous ces exemples ont en commun ce que l’auteur nomme unehomothétie d’échelle et qu’il désignera quelques années plus tard sous le nom d’autosimilarité (self-similarity).

Le caractère novateur du livre (paru au départ en France) en fait un succès immédiat, mondial, et qui touche cette fois-ci le grand public. Les exemples de la première édition de cet ouvrage étaient tous en noir et blanc pour des raisons d’économie et de technologie des écrans. Par la suite, les fractales se révélant un outil efficace pour la synthèse d’images complexes, on n’en verra plus qu’en couleurs.

Mandelbrot a donné son nom à une famille de fractales (dites de Mandelbrot), définies par la relation de récurrence z_n+1 = z_n² + c, c étant un nombre complexe quelconque.

Son travail sur les fractales en tant que mathématicien à IBM lui a valu un Emeritus Fellowship au laboratoire de recherche T. J. Watson. Ses travaux y ont été repris par son collaborateur, Richard Voss. Il a été lauréat de la médaille Franklin en 1986.

En plus de la découverte des fractales en mathématiques, il a montré le grand nombre d’objets bien décrits par des fractales dans la nature, conduisant ainsi à de nouveaux terrains derecherche. Des fractales se retrouvent également dans des phénomènes étudiés en théorie du chaos.

Professeur à l’université Yale (1987), conférencier au Conservatoire national des arts et métiers (1994, 2000).

En 1991, Mandelbrot, systématiquement invité à tout hasard à chaque congrès portant sur les fractales, se rendit compte qu’il y en avait eu plus d’un par jour en moyenne cette année-là.

Le 23 novembre 1990, il est fait chevalier de la Légion d’honneur, et est promu officier le 1^er janvier 2006, une distinction qui lui est remise le 11 septembre 2006 par son camarade de promotion à l’École polytechnique, le sénateur Pierre Laffitte³.

La finance [modifier]

Analyse simplifiée d’un marché.

Benoît Mandelbrot est également à l’origine en 1961 d’un modèle d’évolution des cours de la bourse basée sur la géométrie fractale. Cette théorie financière a l’avantage de mieux détecter la survenue des variations extrêmes, ce que ne permet pas l’usage de l’analyse technique basée sur la théorie de Dow. D’abord reconnue pertinente, elle a été ensuite mise de côté pour cause de complexité, avant d’être réutilisée depuis la fin des années 1990, riches en turbulences financières.

En 1997, Mandelbrot propose un nouveau modèle plus précis en supprimant les sauts de Lévy par des processus où la discontinuité s’atténue sur le long terme et intègre l’effet de mémoire des fluctuations boursières. Il introduit un temps « multifractal » pour décrire les alternances de périodes calmes et agitées observées sur les marchés financiers : l’amplitude des variations peut rester indépendante d’un jour à l’autre tout en étant corrélée sur de très longues périodes de temps⁴

En 2004, il a publié Une approche fractale des marchés dans lequel il dénonce les outils mathématiques de la finance parce qu’il les juge inadaptés⁵. Cette même année, il avait demandé, sans succès, que les banques et les grandes institutions financières consacrent une petite partie de leur budget à la recherche fondamentale⁵.

Benoît Mandelbrot est en particulier très critique sur la théorie de Merton, Black et Scholes⁵ utilisée par les banques, parce que, selon lui, elle ne prend pas en compte les changements de prix instantanés et des informations essentielles⁵, faussant ainsi les moyennes.

Le récit [modifier]

En 1994, dans La Dramaturgie, Yves Lavandier affirme que la théorie fractale s’applique à merveille aux mécanismes du récit. La forme simple protagoniste-objectif-obstacles se retrouve à différentes échelles : la série, l’œuvre unitaire, l’acte logistique, l’acte dramatique, la séquence, la scène, jusqu’à certains dialogues. C’est la spécificité de chaque composant et la combinaison de milliers de formes simples qui donnent à chaque récit son caractère unique et son apparente originalité.

Bibliographie [modifier]

Les Objets fractals : forme, hasard, et dimension, trad., Flammarion, 1973.
Les Objets fractals, survol du langage fractal, Flammarion, 1975, 1984, 1989, 1995.
(en) The Fractal Geometry of Nature, Benoît Mandelbrot, 1982.
Fractales, hasard et finance, Flammarion, 1959, 1997.
(en) The (Mis)Behaviour of Markets, Benoît Mandelbrot, Profile Books, 2004.
Une approche fractale des marchés, Benoît Mandelbrot & Richard Hudson, éditions Odile Jacob, 2005.

Notes et références [modifier]

↑ (en)Benoit Mandelbrot, Mathematician, Dies at 85 [archive], New York Times, publié le 16 octobre 2010.
↑ Mandelbrot Benoît, Formes nouvelles du hasard dans les sciences, Économie appliquée, vol. 26, 1973, p. 307-319.
↑ PREX0508911D [archive].
↑ Jouer en Bourse, c’est vraiment risqué : « Le grand bluff des modèles financiers », Aurélien Prévost, Science et Vie, n^o 1068, septembre 2006, page 112.
↑ ^{a, b, c et d} Interview de Benoît Mandelbrot par Annie Kahn - « Benoît Mandelbrot : Il était inévitable que des choses très graves se produisent » [archive], Le Monde, 17 octobre 2009.

Voir aussi [modifier]

Sur les autres projets Wikimédia :

Benoît Mandelbrot sur Wikimedia Commons (ressources multimédia)
Benoît Mandelbrot sur Wikiquote(recueil de citations)

Articles connexes [modifier]

Liens externes [modifier]

(en) Page de B. Mandelbrot à l’université Yale
Conférence de Benoît Mandelbrot à l’université de tous les savoirs
(vidéo) Benoît Mandelbrot, « Benoît Mandelbrot: Les fractales et l'art de la rugosité. », Conférence TED, février 2010, anglais sous-titré français, 17 min 10 s.
(en) Cérémonie IgNobel 2008

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Beno%C3%AEt_Mandelbrot

Pour commencer...

Une fractale, qu'est-ce que c'est ?

Fractal est un mot inventé par Benoît Mandelbrot en 1974 sur la racine latine fractus qui signifie brisé. Fractal était au départ un adjectif : les objets fractals. On nomme fractale (nom féminin) une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques*.

Les fractales sont des objets qui se répètent récursivement à l'intérieur d'eux-même à plus ou moins grande échelle, et cela de façon infinie. Ces objets peuvent être obtenus à partir d'éléments simples, par des courbes ou des ensembles de points.

« Les fractales possèdent une curieuse propriété mathématique : elles présentent essentiellement la même structure à toutes les échelles. »

Field, Michael et Golubitsky, Martin,
La symétrie du chaos,
InterÉditions, 1993, p. 160.

* Le calcul stochastique est l’étude des phénomènes aléatoires dépendants du temps. À ce titre, il est une extension de la théorie des probabilités. Le domaine d’application du calcul stochastique comprend la mécanique quantique, la chimie, les mathématiques financières, et même la musique.

Le dada des scientifiques

Mathématiciens et physiciens utilisent des fonctions élaborées pour décrire des systèmes très complexes. Le vivant génère des fractales tout autour de nous : par exemple les branches des arbres ou les alvéoles du poumon.

Ces fractales peuvent être réparties en trois grandes catégories :

Les systèmes itérés de fonctions. Ceux-ci ont une règle de remplacement géométrique fixe (l'ensemble de Cantor, le tapis de Sierpinski, le triangle de Sierpinski, la courbe de Peano, le flocon de Koch).
Les fractales définies par une relation de récurrence en chaque point dans un espace (tel que le plan complexe).Des exemples de ce type sont les ensembles de Mandelbrot et le fractal de Lyapunov.
Les fractales aléatoires, générées par des processus stochastiques et non déterministes, par exemples les paysages fractals.

Les mathématiciens utilisent l'informatique pour calculer et visualiser des objets fractals. Fascinés par le résultat esthétique de ces réalisations, certains ont créé des logiciels permettant de générer des images fractales du plus bel effet.

«Depuis l'invention de Mandelbrot, les algorithmes fractals ont servi à produire des images d'une grande beauté. Peut-on parler d'art ? Les maths étant considérés comme une science, une polémique est née dans les milieux artistiques qui soutiennent que l'art doit être réservé à la créativité de l'esprit. Mais la beauté troublante des fractales, qui sont capables de produire des images décrivant une nouvelle géométrie de la nature, ouvre des perspetives et des sources de réflexion d'un nouveau type.»

Helen Kemiktsis,
http://users.hol.gr/~helen/index.files/fractales/fractales.htm

En savoir plus

Source : http://1000fractales.free.fr/site.htm

Liste de fractales par dimension de Hausdorff

Cet article est une liste de fractales, ordonnées par dimension de Hausdorff croissante.

En mathématiques, une fractale est un ensemble dont la dimension de Hausdorff (notée δ) est strictement supérieure à la dimension topologique¹.

Sommaire

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Fractales déterministes [modifier]

δ < 1 [modifier]

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Illustration	Remarques
0 ⇒ donc pas une fractale mais dim box-counting = 1	0	Nombres rationnels	La dimension de Hausdorff des ensembles dénombrables vaut toujours zéro. Ces ensembles ne peuvent être fractals. Ajoutons que la dimension "box counting" d'un tel ensemble peut être différent s'il s'agit d'un sous-ensemble dense d'une région ouverte de R. L'ensemble des nombres rationnels a ainsi une dimension box-counting de "1" car sa clôture est R¹.
Calculé	0.538	Attracteur de Feigenbaum		L'attracteur de Feigenbaum (entre les flèches) est l'ensemble des points générés par itérations successives de la fonction logistique pour le paramètre critique $scriptstyle{lambda_infty = 3.570}$ , où le doublement de périodes est infini. Remarque : cette dimension est la même pour toute fonction différentiable et unimodale².
$textstyle{frac {ln(2)} {ln(3)}}$	0,6309	Ensemble de Cantor		Construit en retirant le tiers central à chaque itération. Nulle part denseet de mesure nulle mais indénombrable. Généralisation : L'ensemble de Cantor généralisé se construit en retirant à chaque segment et à la $n e m e$ itération, le segment central de longueur $γ m$ . Sa dimension fractale vaut alors $textstyle{-frac{log(2)}{log(frac{1-gamma}{2})}}$ et peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 1. L'ensemble de Cantor usuel est construit avec $scriptstyle{gamma=1/3}$ ³.
$textstyle{frac {log(scriptstylevarphi)}{log(2)}}$	0.6942	Ensemble de Cantorasymétrique		Remarquer que la dimension n'est plus $textstyle{frac {log(2)}{log(3)}}$ ⁴. Construit en retirant le deuxième quart à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais indénombrable. $scriptstylevarphi = (1+sqrt{5})/2$ (nombre d'or).
$textstyle{frac {log(5)}{log(10)}}$	0.69897	Nombres réels avec décimales paires		Similaire à un ensemble de Cantor¹.
$textstyle{frac {ln(5)} {ln(9)}}$	0,7325	Fractale UNU		Fractale auto-descriptive construite par itérations successives du schéma suivant : u → unu (un « u ») → unuunnunu (un « u », un « n », un « u ») → etc.

1 ≤ δ < 2 [modifier]

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Illustration	Remarques
1	1.0000	Ensemble de Smith-Volterra-Cantor		Construit en retirant le quart, puis le seizième, le 64^e… central à chaque itération. N'est nulle part dense mais est indénombrable et a pour mesure de Lebesgue 1/2. Il a donc pour dimension 1.
$textstyle{2+frac {log(1/2)} {log(2)}}$	1.0000	Courbe de Takagi ou Blanc-manger		Définie sur l'intervalle unité par $textstyle{f(x) = sum_{n=0}^infty {s(2^{n}x)over 2^n}}$ , où $s (x)$ est la fonction "dents de scie". Cas particulier de la courbe de Takahi-Landsberg: $textstyle{f(x) = sum_{n=0}^infty {w^n s(2^{n}x)}}$ avec $scriptstyle{w = 1/2}$ . La dimension de Hausdorff vaut $2 + l o g (w) / l o g (2)$ . (Hunt cité par Mandelbrot ⁵ ).
calculé	1.0812	Ensemble de Julia z² + 1/4		Ensemble de Julia pour c = 1/4⁶.
Solution s de $2 \| α \| 3 s + \| α \| 4 s = 1$	1.0933	Frontière de la Fractale de Rauzy	$Rauzy fractal.png$	Représentation géométrique du système dynamique associé à la substitution de Tribonacci: $scriptstyle{1mapsto12}$ , $scriptstyle{2mapsto13}$ et $scriptstyle{3}mapsto1$ ⁷.. $α$ est l'une des deux racines complexes conjuguées de $z 3 - z 2 - z - 1 = 0$ .
$textstyle{2frac {ln(3)} {ln(7)}}$	1,12915	Île de Gosper		Baptisée par Mandelbrot (1977)⁸. Frontière de la courbe de Gosper.
Mesuré (Box counting)	1.2	Ensemble de Julia"Dendrite"		Ensemble de Julia pour c=i
$textstyle{3frac{log(varphi)}{log left(frac{3+sqrt{13}}{2}right)}}$	1.2083	Fractale du mot de Fibonacci à 60 °		Construite à partir du Mot de Fibonacci, avec un angle à 60°. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous ⁹. Avec $scriptstylevarphi = (1+sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).
1.2107	Frontière du tame twindragon		Un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille).¹⁰
$textstyle{frac{log(3)}{log(1+sqrt{2})}}$	1.2465	Frontière de la fractale du mot de Fibonacci	$Fibonacci word fractal boundary.png$	Construite à partir du Mot de Fibonacci. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous ⁹. Avec $scriptstylevarphi = (1+sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).
1,26	Attracteur de Hénon		La carte de Hénon canonique (a = 1,4 et b = 0.3) possède δ = 1,261 ± 0,003. Différents paramètres conduisent à différentes valeurs de δ
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(3)}}$	1,2619	Courbe de Koch		En juxtaposant 3 fois cette courbe en triangle on obtient le flocon de Koch et l'anti-flocon de Koch si elle est inversée.
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(3)}}$	1,2619	Frontière de la Courbe Terdragon		L-System : similaire à la courbe du dragon avec un angle de 30°. Le Fudgeflake est construit en juxtaposant 3 segments initiaux en triangle.
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(3)}}$	1,2619	Carré de Cantor		Ensemble de Cantor en deux dimensions.
calculé	1,2683	Ensemble de Julia pour z²-1		Ensemble de Julia pour c=-1¹¹.
Mesuré (box-counting)	1,3	Fractale Beryl pour k=1	$Beryl fractal.png$	Pour k=1. La fractale Béryl est définie par f(x, y)→(k(x+y), xy) avec x et y complexes et la coupe dans le plan $ν 0 = 1$ ¹²
calculé	1,3057	Baderne d'Apollonius		Voir ¹³
calculé (box-counting)	1.328	Fractale d'inversion à 5 cercles		L'ensemble limite généré itérativement via des inversions par rapport à 5 cercles tangents. Également une baderne d'Apollonius à 4 cercles de base. Voir ¹⁴
calculé	1.3934	Lapin de Douady		Ensemble de Julia pour c=-0,123+0.745i¹⁵.
Mesuré (box counting)	1,42 +/- 0,02	Fractale de Newton	$Newton fractal.png$	Frontière triple des bassins d'attraction des 3 racines complexes de l'equation $z 3 - 1 = 0$ par la méthode de Newton.
$textstyle{frac {ln(5)} {ln(3)}}$	1,4649	Fractale de Vicsek	$Box fractal.png$	Construit en substituant itérativement chaque carré par une croix de 5 carrés.
$textstyle{frac {ln(5)} {ln(3)}}$	1,4649	Courbe de Koch quadratique(type 1)		On y retrouve le motif de la fractale box (voir ci-dessus), construit différemment.
$textstyle{frac {ln(8)} {ln(4)}}$	1,5000	Courbe de Koch quadratique(type 2)		Appelée également « saucisse de Minkowski ».
$textstyle{2 -frac{log(sqrt{2})}{log(2)}}$ (supposé exact)	1.5000	une fonction de Weierstrass: $textstyle{f(x)=sum_{k=1}^infty frac {sin(2^k x)} {sqrt{2}^k}}$		La dimension de Hausdorff de la fonction de Weierstrass $scriptstyle{f : [0,1] to mathbb{R}}$ définie par $textstyle{f(x)=sum_{k=1}^infty frac {sin(b^k x)} {a^k}}$ avec $1 < a < 2$ et $b > 1$ a pour borne supérieure $scriptstyle{2 -log(a)/log(b)}$ . Il est conjecturé qu'il s'agit de la valeur exacte. Le même résultat peut être établi en utilisant, à la place de la fonction sinus, d'autres fonctions périodiques comme cosinus¹.
$textstyle{frac{logleft(frac{1+sqrt[3]{73-6sqrt{87}}+sqrt[3]{73+6sqrt{87}}}{3}right)} {log(2)}}$	1,5236	Frontière courbe du dragon		Cf. Chang & Zhang¹⁶.
$textstyle{frac{logleft(frac{1+sqrt[3]{73-6sqrt{87}}+sqrt[3]{73+6sqrt{87}}}{3}right)} {log(2)}}$	1.5236	Frontière du twindragon		Un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille).¹⁰
$textstyle{frac {ln(3)} {ln(2)}}$	1,5849	Arbre à trois branches		Chaque branche porte trois branches (ici 90 ° et 60°). La dimension fractale de l'arbre est celle des branches terminales.
$textstyle{frac {ln(3)} {ln(2)}}$	1,5849	Triangle de Sierpiński		C'est également le triangle de Pascal modulo 2.
$textstyle{frac {ln(3)} {ln(2)}}$	1,5849	Courbe de Sierpiński en pointe de flèche		Même limite que le triangle de Sierpiński (ci-dessus), mais obtenue par itérations d'une courbe unidimensionnelle.
$textstyle{frac {ln(3)} {ln(2)}}$	1,5849	Frontière de la fractale de l'équerre (T-square)	$Boundary T-Square fractal.png$
$textstyle{frac{log{varphi}}{log{sqrt[varphi]{varphi}}}}$	1,61803 = $varphi$	un dragon d'or		Construit avec deux homothéties de rapport $r$ et $r 2$ , avec $scriptstyle{r = 1 / varphi^{1/varphi}}$ . La dimension vaut $scriptstyle{varphi}$ car $scriptstyle{({r^2})^varphi+r^varphi = 1}$ . Avec $scriptstylevarphi = (1+sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).
$1 + l o g 3 (2)$	1,6309	Triangle de Pascal modulo 3		D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est $scriptstyle 1 + log_k(frac{k+1}{2})$ (Cf.Stephen Wolfram¹⁷)
$textstyle{3frac{log(varphi)}{log (1+sqrt{2})}}$	1,6379	Fractale du mot de Fibonacci	$Fibonacci fractal F23 steps.png$	Fractale basée sur le mot de Fibonacci (ou séquence du Lapin) Sloane A005614. Illustration : Fractale après F₂₃ = 28657 segments⁹.. Avec $scriptstylevarphi = (1+sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).
Solution de $scriptstyle{(1/3)^s + (1/2)^s + (2/3)^s = 1}$	1.6402	Attracteur d'un IFS avec 3similitudes de ratios 1/3, 1/2 and 2/3		Generalisation : Supposant la condition d'ensemble ouvert satisfaite, l'attracteur d'un système de fonctions itérées à $n$ simulitudes de ratio $c n$ , a pour dimension de Hausdorff s, solution de l'équation : $scriptstyle{sum_{k=1}^n c_k^s = 1}$ ¹.
$1 + l o g 5 (3)$	1,6826	Triangle de Pascal modulo 5		D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est $scriptstyle 1 + log_k(frac{k+1}{2})$ (Cf.Stephen Wolfram¹⁷)
Mesuré (box-counting)	1.7	Attracteur d'Ikeda		Pour les valeurs de paramètres a=1, b=0.9, k=0.4 et p=6 dans le système itéré d'Ikeda $scriptstyle {z_{n+1} = a + bz_n exp[i[k - p/(1 + lfloor z_n rfloor^2)]]}$ . Dérive d'un modélisastion d'interactions d'ondes planaires dans un laser. Différents paramètres entrainent differentes valeurs. ¹⁸.
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(sqrt{5})}}$	1,7227	Fractale Pinwheel	$Pinwheel fractal.png$	Construite à partir du pavage "pinwheel" de John Conway.
$textstyle{frac {ln(7)} {ln(3)}}$	1,7712	Flocon hexagonal		Construit en substituant itérativement chaque hexagone par un flocon de 7 hexagones. Sa frontière est le flocon de Koch. Contient une infinité de flocons de Koch (en positif comme en négatif).
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(2(1+cos(85^circ))}}$	1,7848	Courbe de Koch à 85 °, fractale de Cesàro		Généralisation de la courbe de Koch basée sur un angle a choisi entre 0 et 90°. La dimension fractale vaut alors $scriptstyle frac{ln(N)}{ln(2(1+cos(a))}$ . La fractale de Cesàro est basée sur ce motif.
$textstyle{frac{log{(3^{0.63}+2^{0.63})}} {log{2}}}$	1.8272	Une fractale auto-affine		Construite itérativement à partir d'une grille $scriptstyle{p times q}$ sur un carré, avec $scriptstyle{p le q}$ . Sa dimension de Hausdorff égale $scriptstyle{frac{log{left (sum_{k=1}^p n_k^a right )}} {log{p}}}$ ¹ avec $scriptstyle{a=frac{log{ p}}{log{ q}}}$ et $n k$ le nombre d'éléments dans la colonne k. LaDimension de Minkowski–Bouligand (box counting) donne une formule différente, donc une valeur souvent différente. Contrairement aux fractales auto-similaires, la dimension de Hausdorff des fractales auto-affines dépend de la position des éléments itérés et il n'existe pas de formule simple pour le cas général.
$textstyle{frac {ln(6)} {ln(1+phi)}}$	1,8617	Flocon pentagonal(pentaflake)		Construit en substituant itérativement chaque pentagone par un flocon de 6 pentagones. Ici, $φ$ est le nombre d'or et vaut $scriptstylefrac{1+sqrt{5}}{2}$
solution de $scriptstyle{6(1/3)^s+5{(1/3sqrt{3})}^s=1}$	1.8687	L'"arbre des singes"		Cette courbe apparaît sous ce nom dans "Fractal geometry of Nature" (1983) de Benoit Mandelbrot. Elle est basée sur 6 homothéties de rapport $1 / 3$ et 5 homothéties de rapport $scriptstyle{1/{3sqrt{3}}}$ ¹⁹.
$textstyle{frac {ln(8)} {ln(3)}}$	1,8928	Tapis de Sierpiński
$textstyle{frac {ln(8)} {ln(3)}}$	1,8928	Cube de Cantor		Ensemble de Cantor en trois dimensions.
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(3)}+frac {ln(2)} {ln(3)}=frac {ln(8)} {ln(3)}}$	1,8928	Produit cartésien de laCourbe de von Koch et de l'ensemble de Cantor		Généralisation : Soit FxG, le produit cartésien de deux ensembles fractals F et G. Alors $D i m H (F x G) = D i m H (F) + D i m H (G)$ .¹
Estimé	1,9340	Frontière de la fractale de Lévy		Estimé par Duvall et Keesling (1999). La fractale de Lévy en elle-même a pour dimension de Hausdorff 2.
1,974	Pavage de Penrose		Cf. Ramachandrarao, Sinha & Sanyal²⁰

δ = 2 [modifier]

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Illustration	Remarques
$2$	2	Frontière de l'ensemble de Mandelbrot		La frontière a la même dimension que l'ensemble²¹..
$2$	2	certains ensembles de Julia		Pour des valeurs de c déterminées (sur la frontière de l'ensemble de Mandelbrot), l'ensemble de Julia a pour dimension 2²²..
$2$	2	Courbe de Sierpiński		Toute courbe remplissant l'espace possède une dimension de Hausdorff δ = 2.
$2$	2	Courbe de Hilbert		Peut être étendue à trois dimensions.
$2$	2	Courbe de Peano		et une famille de courbes de construction similaire, dont les courbes de Wunderlich.
$2$	2	Courbe de Moore		Peut être étendue à 3 dimensions.
$2$	2	Courbe de Lebesgue		Contrairement aux courbes ci-dessus, celle-ci est presque partout différentiable. Un deuxième type de courbe 2D a également été défini. Cette courbe peut être étendue en 3D avec une dimension fractale de 3²³..
$textstyle{frac {ln(2)} {ln(sqrt{2})}}$	2	Courbe du dragon		Sa frontière a une dimension fractale de 1,5236 (Cf.Chang & Zhang¹⁶)
2	Courbe "Terdragon"		L-System : F→ F+F-F ; angle=120°.
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(2)}}$	2	Courbe de Peano-Gosper		Sa frontière est l'île de Gosper.
Solution de $scriptstyle{7({1/3})^s+6({1/3sqrt{3}})^s=1}$	2	Courbe remplissant le flocon de Koch		Proposée par Mandelbrot en 1982 ²⁴, elle remplit le flocon de Koch. Elle est basée sur 7 similitudes de rapport 1/3 et 6 similitudes de rapport $scriptstyle{1/3sqrt{3}}$ .
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(2)}}$	2	Tétraèdre de Sierpinski		Conséquence de sa dimension 2, sa surface reste inchangée d'itération en itération, et ce, jusqu'à l'infini. ²⁵
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(2)}}$	2	Fractale H	$H fractal2.png$	Également, l'arbre de Mandelbrot, qui a une structure similaire.
$textstyle{frac {ln(1/2)} {ln(sqrt{2}/2)}}$	2	Arbre de Pythagore		Chaque carré génère deux carrés de côté réduit de racine(2)/2.
$textstyle{frac {ln(4)} {ln(2)}}$	2	Fractale en croix grecque	$Greek cross fractal stage 4.png$	Chaque segment est substitué par une croix formée de quatre segments.

2 < δ < 3 [modifier]

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Illustration	Remarques
Mesuré	2.01 +-0.01	Attracteur de Rössler		La dimension fractale de l'attracteur de Rössler est légèrement supérieure à 2. Pour a=0,1, b=0,1, et c=14 elle est estimée entre 2,01 et 2,02. ²⁶ ²⁷.
Mesuré	2.06 +-0.01	Attracteur étrange de Lorenz		Pour les paramètres de l'attracteur: v=40, $σ$ =16 et b=4²⁸.
$textstyle{frac {ln(20)} {ln(2+phi)}}$	2,3296	Dodécaèdre fractal	$Dodecaedron fractal.jpg$	Chaque dodécaèdre est substitué par 20 dodécaèdres.²⁵
$textstyle{frac {ln(13)} {ln(3)}}$	2,33	Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 1		Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 1 (la figure illustre la deuxième itération).
2,47	Interstices des sphères d'Apollonius		Baderne d'Apollonius en trois dimensions. Modélise la mie de pain ou l'éponge. Dimension calculée par M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert²⁹.
$textstyle{frac {ln(32)} {ln(4)}}$	2,50	Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 2		Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 2 (la figure illustre la deuxième itération).
$textstyle{frac {ln(16)} {ln(3)}}$	2,5237	Hypercube de Cantor	pas de représentation possible	Ensemble de Cantor en 4 dimensions. D'une manière générale, dans un espace de dimension n, l'ensemble de Cantor a une dimension fractale égale à $scriptstyle nfrac{ln(2)}{ln(3)}$
$textstyle{frac {ln(12)} {ln(1+phi)}}$	2,5819	Icosaèdre fractal	$Icosaedron fractal.jpg$	Chaque icosaèdre est substitué par 12 icosaèdres.²⁵
$textstyle{frac {ln(6)} {ln(2)}}$	2,5849	Octaèdre fractal	$Octaedron fractal.jpg$	Chaque octaèdre est substitué par 6 octaèdres.²⁵
$textstyle{frac {log(6)} {log(2)}}$	2.5849	Surface de Koch		Chaque triangle équilatéral est remplacé par 6 triangles deux fois plus petits. Extension en 2 dimensions de la courbe de Koch.
$textstyle{frac {ln(6)} {ln(2)}}$	2,59	Fractale en croix grecque en trois dimensions		Chaque segment est substitué par une croix en trois dimensions formée de 6 segments. Extension en trois dimensions de la croix en deux dimensions.
$textstyle{frac {ln(20)} {ln(3)}}$	2,7268	Éponge de Menger		Sa surface a une dimension fractale de $scriptstyle frac{ln(12)}{ln(3)} = 2,2618$ .

δ = 3 [modifier]

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Remarques
$textstyle{frac {ln(8)} {ln(2)}}$	3	Courbe de Hilbert en trois dimensions	Courbe de Hilbert étendue à trois dimensions
$textstyle{frac {ln(8)} {ln(2)}}$	3	Courbe de Lebesgue en trois dimensions	Courbe de Lebesgue étendue à trois dimensions³⁰..
$textstyle{frac {ln(8)} {ln(2)}}$	3	Courbe de Moore en trois dimensions	Courbe de Moore étendue à trois dimensions.
$textstyle{3}$	3	Mandelbulb	Extension de l'ensemble de Mandelbrot (puissance 8) à 3 dimensions.³¹

Fractales aléatoires et naturelles [modifier]

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Illustration	Remarques
1/2	0.5	Zeros du graphe d'unefonction brownienne(Processus de Wiener)		Les zéros du graphe d'une fonction brownienne constituent un ensemble nulle part dense, de mesure de Lebesgue 0, avec une structure fractale¹³².
Solution de $E(C_1^s + C_2^s)=1$ avec $E (C 1) = 0,5$ et $E (C 2) = 0,3$	0.7499	Ensemble de Cantoraléatoire 50% / 30%		A chaque itération, la longueur de l'intervalle de gauche est définie par une variable aléatoire $C 1$ : un pourcentage variable de la longueur du segment d'origine. Idem pour l'intervalle de droite, avec pour autre variable aléatoire $C 2$ . Sa dimension de Hausdorff $s$ satisfait alors l'équation : $scriptstyle{E(C_1^s + C_2^s)=1}$ . ( $E (X)$ est l'espérance mathématique de $X$ )¹.
Mesuré	1,05	Chromosome humainn^o 22		Voir référence pour les détails de la méthode de calcul ³³.
Solution de $s + 1 = 12 * 2 - (s + 1) - 6 * 3 - (s + 1)$	1.144…	Courbe de Koch avec intervalle aléatoire		La longueur de l'intervalle médian est une variable aléatoire à distribution uniforme dans (0;1/3)¹.
mesuré	1,24	Côte de Grande-Bretagne	$Britain-fractal-coastline-combined.jpg$	Dimension fractale de la côte ouest de Grande-Bretagne, mesurée par Lewis Fry Richardson et cité par Benoît Mandelbrot³⁴.
$textstyle{frac {log(4)} {log(3)}}$	1.2619	Courbe de Koch avec orientation aléatoire		On introduit ici un élément de hasard qui n'affecte pas la dimension en choisissant aléatoirement, à chaque itération, de placer le triangle équilatéral au-dessus ou en dessous de la courbe¹.
$textstyle{frac {4}{3}}$	1,33	Frontière dumouvement brownien³⁵
$textstyle{frac {4}{3}}$	1,33	Polymère en deux dimensions	Similaire au mouvement brownien sans auto-intersection³⁶.
$textstyle{frac {4}{3}}$	1,33	Front de percolation, front de corrosion en deux dimensions		Dimension fractale du front de percolation par invasion au seuil de percolation (59,3%). C'est également la dimension fractale du front de corrosion³⁶.
1,40	Agrégat d'agrégats en deux dimensions	Des agrégats se combinent progressivement en un agrégat unique de dimension 1,4³⁶.
$textstyle{textstyle{2-frac{1}{2}}}$	1.5	Graphe d'une fonctionBrownienne(Processus de Wiener)		Graphe d'une fonction $f$ telle que, pour tout couple de réels positifs $x$ et $x + h$ , la différence de leurs images $f (x + h) - f (x)$ suit une distribution gaussienne centrée de variance = $h$ . Généralisation : Une fonction fractionnelle Brownienne d'index $α$ suit la même définition mais avec une variance = $h 2α$ , dans ce cas, la dimension de Hausdorff de son graphe = $2 - α$ ¹.
Mesuré	1,52	Côte de Norvège		Cf J. Feder ³⁷.
Mesuré	1,55	Marche aléatoire sans intersection		Marche aléatoire dans un réseau carré sans auto-intersection, avec algorithme de retour arrière pour évitement des impasses.
$textstyle{frac {5} {3}}$	1,66	Polymère en trois dimensions	Similaire au mouvement brownien dans un réseau cubique, mais sans auto-intersection³⁶.
1,70	Agrégat par diffusion en deux dimensions		En deux dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 1,70³⁶.
$textstyle{frac {log(9*0.75)} {log(3)}}$	1.7381	Percolation fractale à 75% de probabilité		Le modèle de percolation fractale est construit par le remplacement progressif de chaque carré par une grille de 3x3 dans laquelle est placée une collection aléatoire de sous-carrés, chaque sous-carré ayant une probabilité p d'être retenu. La dimension de Hausdorff "presque certaine" égale $textstyle{frac {log(9p)} {log(3)}}$ ¹.
7/4	1,75	Frontière d'un amas depercolation en deux dimensions		La frontière d'un amas de percolation peut également être simulée par une marche générant spécifiquement cette frontière ou en utilisant l'évolution de Schramm-Loewner ³⁸.
$textstyle{frac {91} {48}}$	1,8958	Amas de percolationen deux dimensions		Sous le seuil de percolation (59,3%), l'amas de percolation par invasion couvre une surface de dimension fractale 91/48³⁶,³⁹. Au-delà du seuil, l'amas est infini et 91/48 devient la dimension fractale des « clairières ».
$textstyle{frac {ln(2)} {ln(sqrt{2})}}$	2	Mouvement brownien		Modélisé par la marche aléatoire. La dimension de Hausdorff reste égale 2 dans toutes les dimensions supérieures ou égales à 2.
Mesuré	Environ 2	Distribution des amas de galaxies		Mesuré à partir des résultats 2005 du Sloan Digital Sky Survey. Voir référence ⁴⁰
$textstyle{frac {ln(13)} {ln(3)}}$	2,33	Surface du chou-fleur		Chaque branche porte environ 13 branches 3 fois plus courtes.
2,4 ± 0,2	Boule de papier froissé		Le diamètre de la boule de papier froissé, élevé à une puissance non entière comprise entre 2 et 3 est approximativement proportionnel à la surface de papier utilisé⁴¹. Les plis se forment à toutes les échelles.
2,50	Agrégat par diffusion en trois dimensions		En trois dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 2,5³⁶.
2.50	Figure de Lichtenberg		Les décharges electriques arborescentes, dites figures de Lichtenberg, croissent à la manière d'une diffusion par agrégation ³⁶.
$textstyle{3-frac{1}{2}}$	2.5	surface Brownienne		Une fonction $scriptstyle{f:mathbb{R}^2 to mathbb{R}}$ , donne l'altitude d'un point $(x, y)$ telle que, pour deux incréments positifs $h$ et $k$ , $scriptstyle{f(x+h,y+k)-f(x,y)}$ suive une distribution Gaussienne centrée de variance = $scriptstyle{sqrt{h^2+k^2}}$ . Généralisation : Une surface Brownienne fractionnelle d'index $α$ suit la même définition mais avec une variance = $scriptstyle{(h^2+k^2)^alpha}$ , dans ce cas, sadimension de Hausdorff = $3 - α$ ¹.
Mesuré	2.52	Amas de percolationen 3 dimensions		Au seuil de percolation, l'amas 3D de percolation par invasion a une dimension fractale de 2,52 environ ³⁹.
Mesuré	2.66	Brocoli⁴²
2.79	Surface du cerveauhumain⁴³
2,97	Surface pulmonaire		Le réseau d'alvéoles pulmonaires forme une surface fractale proche de 3³⁶.
Calculé	3	Corde quantique		Trajectoire d'une corde quantique dont le point représentatif dérive au hasard⁴⁴.

Voir aussi [modifier]

Références [modifier]

↑ ^{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m et n} (en) Kenneth Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Sons, Ltd., 1990 & 2003, p. (ISBN 0-470-84862-6)
↑ Dimension fractale de l'attracteur de Feigenbaum [archive]
↑ The scattering from generalized Cantor fractals [archive]
↑ Tsang, K. Y., « Dimensionality of Strange Attractors Determined Analytically [archive] », dans Phys. Rev. Lett., vol. 57, 1986, p. 1390-1393
↑ (en) Benoit Mandelbrot, Gaussian self-affinity and Fractals (ISBN 0-387-98993-5)
↑ Dimension fractale de l'ensemble de Julia pour c = 1/4 [archive]
↑ Frontière du fractal de Rauzy [archive]
↑ L'île de Gosper sur Mathworld [archive]
↑ ^a, b et c Dimension fractale de la fractale du mot de Fibonacci [archive]
↑ ^a et b On 2-reptiles in the plane, Ngai, 1999 [archive]
↑ Dimension fractale de l'ensemble de Julia z²-1 [archive]
↑ Dimension fractale de la fractale Béryl pour k=1 [archive]
↑ Dimension fractale de la baderne d'Apollonius [archive]
↑ Dimension de la fractale d'inversion à 5 cercles [archive]
↑ Dimension fractale du lapin de Douady [archive]
↑ ^a et b Dimension fractale de la courbe du dragon [archive]
↑ ^a et b Stephen Wolfram, Geometry of Binomial Coefficients (1984) [archive]
↑ Estimating Fractal dimension [archive]
↑ La courbe de l'"arbre des singes" [archive]
↑ P. Ramachandrarao, A. Sinha et D. Sanyal, On the fractal nature of Penrose tiling [1] [archive][pdf]
↑ Dimension fractale de la la frontière de l'ensemble de Mandelbrot [archive]
↑ Dimension fractale de la frontière de certains ensembles de Julia [archive]
↑ Variantes 2D et 3D de la courbe de Lebesgue [archive]
↑ "Penser les mathématiques", Editions du Seuil (1982) (ISBN 2020060612)
↑ ^{a, b, c et d} polyèdres fractals sur le site de Paul Bourke [archive]
↑ Les attracteurs étranges [archive]
↑ Fractals and the Rössler attractor [archive]
↑ The fractal dimension of the Lorenz attractor, Mc Guinness (1983) [archive]
↑ M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert, The Fractal Dimension of the Apollonian Sphere Packing[2] [archive] [pdf]
↑ Extension 3D de la courbe de Lebesgue [archive]
↑ Dimension de Haudorff du Mandelbulb [archive]
↑ Peter Mörters, Yuval Peres, Oded Schramm, "Brownian Motion", Cambridge University Press, 2010
↑ Dimension fractale du chromosome humain n°22 [archive]
↑ How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension [archive], B. Mandelbrot
↑ Gregory F. Lawler, Oded Schramm, Wendelin Werner, 2000, « The Dimension of the Planar Brownian Frontier is 4/3 [archive] », 2.
↑ ^{a, b, c, d, e, f, g, h et i} Bernard Sapoval, Universalités et fractales, Flammarion, coll. « Champs », 2001(ISBN 2-080-81466-4)
↑ Feder, J., "Fractals,", Plenum Press, New York, (1988)
↑ Hull-generating walks, Ziff, Robert M. (1989) [archive]
↑ ^a et b "Applications of percolation theory" par Muhammad Sahimi (1994) [archive]
↑ Basic properties of galaxy clustering in the light of recent results from the Sloan Digital Sky Survey [archive]
↑ (it) Filipponi, Introduzione alla fisica, 2005 (ISBN 8-808-07073-5)
↑ (en) Glenn Elert, « Fractal Dimension of Broccoli [archive] », The Physics Factbook. Consulté le 5 avril 2007
↑ Frank Grünberg, « Der Vater des Apfelmännchens [archive] », Technology Review, 2005. Consulté le 5 avril 2007
↑ Dimension de Hausdorff d'une corde quantique [archive]

Bibliographie [modifier]

Kenneth Falconer, Fractal Geometry, John Wiley & Son Ltd (mars 1990), (ISBN 0471922870)
Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman & Co (septembre 1982), (ISBN 0716711869) .
Heinz-Otto Peitgen, The Science of Fractal Images, Dietmar Saupe (éditeur), Springer Verlag (août 1988), (ISBN 0387966080)
Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann; (ISBN 0120790610)
Bernard Sapoval, Universalités et fractales, , Flammarion, collection Champs (2001), (ISBN 2080814664)

Liens internes [modifier]

Wikimedia Commons propose des documents multimédia libres sur les fractales.

Benoît Mandelbrot (biographie, et historique de sa découverte)
Art fractal
Théorie constructale
Compression fractale
Fractale
dimension de Hausdorff
Xaos

Liens externes [modifier]

Catégorie chaos et fractales de l’annuaire dmoz

Portail de la géométrie

Catégories : Fractale | Liste en rapport avec les mathématiques | [+]

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_de_fractales_par_dimen...

Ensemble de Smith-Volterra-Cantor

Après avoir retiré les intervalles noirs, les points ici en blanc forment un ensemble nulle part dense et de mesure de Lebesgue 1/2.

En mathematiques, l'ensemble de Smith–Volterra–Cantor est un exemple de points de la droite réelle qui n'est nulle part dense (en particulier qui ne contient aucun intervalle) et qui est pourtant de mesure de Lebesgue positive. L'ensemble de Smith-Volterra-Cantor est baptisé d'après les mathématiciens Henry John Stephen Smith, Vito Volterra et Georg Cantor.

Sommaire

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Construction [modifier]

De construction similaire à l'ensemble de Cantor, l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor est construit en retirant itérativement des intervalles à l'intervalle unité [0, 1].

Le processus commence en retirant le quart médian de l'intervalle [0, 1]. L'ensemble résultat est donc

$left[0, frac{3}{8}right] cup left[frac{5}{8}, 1right].$

Les étapes suivantes consistent à retirer des sous-intervalles de longueur 1/2²ⁿ du milieu des 2ⁿ⁻¹ intervalles restant. A la deuxième étape on retire donc (5/32, 7/32) and (25/32, 27/32) et l'ensemble résultat devient :

$left[0, frac{5}{32}right] cup left[frac{7}{32}, frac{3}{8}right] cup left[frac{5}{8}, frac{25}{32}right] cup left[frac{27}{32}, 1right].$

Itérant cette règle à l'infini, l'ensemble de Smith–Volterra–Cantor est l'ensemble des points qui ne seront jamais retirés. L'image suivante illustre l'ensemble initial et cinq itérations.

Propriétés [modifier]

Par construction l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor ne contient aucun intervalle. Or, durant le processus, on retire :

$sum_{n=0}^{infty} 2^n(1/2^{2n + 2}) = frac{1}{4} + frac{1}{8} + frac{1}{16} + cdots = frac{1}{2} ,$

Prouvant que l'ensemble des points restants est de mesure non nulle et égale à 1/2.

Généralisation: En retirant r_n de chaque sous-intervalle restant à l'itération n, l'ensemble résiduel aura une mesure positive si et seulement si la somme des termes de la suite est inférieure à la mesure de l'intervalle initial.

En conséquence, et bien que d'aspect fractal, la dimension de Hausdorff d'un tel ensemble aura dans tous les cas pour valeur 1.
L'ensemble de Smith-Volterra-Cantor est utilisé dans la construction de la fonction de Volterra.
L'ensemble de Smith-Volterra-Cantor est un exemple d'ensemble compact qui n'est pas mesurable au sens de Jordan.
La fonction indicatrice de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor est un exemple de fonction bornée non intégrable au sens de Riemann sur (0,1). voir intégrale de Riemann.

Voir aussi [modifier]

Liens externes [modifier]

La fonction de Volterra, entretien avec David Marius Bressoud.

Portail des mathématiques

Catégories : Théorie des ensembles | Théorie de la mesure | Fractale | [+]

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Smith-Volterra-C...

Ensemble de Cantor

En mathématiques, l'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor.

Il s'agit d'un ensemble fermé du segment $[0,1]$ , d'intérieur vide. Il sert d'exemple pour montrer qu'il existe des ensembles infinis non dénombrables mais négligeables au sens de lamesure de Lebesgue. C'est aussi le premier exemple de fractale (bien que le terme ne soit apparu qu'un siècle plus tard), et il possède une dimension non-entière (voir plus bas).

Il admet enfin une interprétation en termes de développement des réels en base 3. Pour cette raison, il est souvent noté $K 3$ .

On le construit de manière itérative à partir du segment $[0,1]$ en enlevant le tiers central ; puis on réitère l'opération sur les deux segments restants, et ainsi de suite. On peut voir les six premières itérations du procédé sur le schéma suivant :

Sommaire

[masquer]

Construction [modifier]

Construction itérative [modifier]

On dénote par $mathcal{T}$ l'opérateur « enlever le tiers central » :

$mathcal{T} : I rightarrow I_0 cup I_1 ; [a,b] mapsto left[a,a+frac{b-a}{3}right] cup left[b- frac{b-a}{3},bright].$

On note $A 0 = [0,1]$ et on définit par récurrence une suite de parties de $[0,1]$ par la relation :

$forall n in N, A_{n+1} = mathcal{T}(A_n).$

On a :

$A_1 = left[0,frac{1}{3}right] cup left[frac{2}{3},1right];$

$A_2 = left[0,frac{1}{9}right] cup left[frac{2}{9},frac{1}{3}right] cup left[frac{2}{3},frac{7}{9}right] cup left[frac{8}{9},1right];$

$A_3 = left[0,frac{1}{27}right] cup left[frac{2}{27},frac{1}{9}right] cup left[frac{2}{9},frac{7}{27}right] cup left[frac{8}{27},frac{1}{3}right] cup left[frac{2}{3},frac{19}{27}right] cup left[frac{20}{27},frac{7}{9}right] cup left[frac{8}{9},frac{25}{27}right] cup left[frac{26}{27},1right].$

Alors l'ensemble de Cantor $K 3$ est « la limite » de $A n$ quand $n$ tend vers $+infty$ :

$K = bigcap_{n in N} A_n.$

Écriture en base 3 [modifier]

On peut aussi définir l'ensemble de Cantor via l'écriture en base 3. Tout réel $x in [0,1]$ s'écrit de manière :

$x = sum_{n=1}^{infty} frac{x_n}{3^n};$

avec $x_n in { 0,1,2}$ . On écrit alors

$x = 0,x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 ldots$

Cette écriture est unique à ceci près : on peut remplacer $1000000ldots$ par $0222222ldots$ (et $2000000ldots$ par $1222222ldots$ ) à la fin d'une écriture. Si on choisit de faire cette transformation on peut alors définir $K 3$ par :

L'ensemble de Cantor est formé des réels de $[0,1]$ ayant une écriture en base 3 ne contenant que des 0 et des 2.

C'est-à-dire

$K_3 = left{ sum_{n=1}^{infty} frac{x_n}{3^n} | ,x_n in { 0,2 } right}.$

Note : donc 1/3 est dans cet ensemble, puisqu'il admet les deux écritures 0,1000… et 0,02222… en base 3. 2/3 également (0,2000… ou 0,12222…). Remarquez que parmi les nombres admettant un développement propre et un développement impropre, il n'en existe aucun dont les deux écritures vérifient la propriété demandée.

Propriétés [modifier]

L'ensemble de Cantor a de nombreuses propriétés particulières.

Mesure [modifier]

L'ensemble de Cantor est de mesure nulle, c'est-à-dire négligeable au sens de la mesure de Lebesgue.

En effet en notant $ell$ la mesure de Lebesgue sur $R$ , on a :

$ell left( [0,1] right) = 1$ ;
pour une réunion $A n$ d'intervalles : $ell left( mathcal{T}(A_n) right) = ell(A_{n+1}) = frac{2}{3} ell (A_n)$ ;

où $mathcal{T}$ est l'opérateur « ablation du tiers central » (voir premier paragraphe).

On en déduit que pour les étapes de la construction itérative ci-dessus :

$forall n in N , ell left( A_n right) = left( frac{2}{3} right)^n.$

Et comme l'ensemble de Cantor est inclus dans tous les $A n$ : $ell left( K right) = 0$ .

L'ensemble de Cantor est donc « petit » au sens de la mesure de Lebesgue.

Non-dénombrabilité [modifier]

Cependant l'ensemble de Cantor n'est pas dénombrable ; il a la puissance du continu (voir Infini).

En effet, on peut montrer que les ensembles $K 3$ et $[0,1]$ sont équipotents.

Pour cela on associe à tout élément $x=O,x_1 x_2 x_3 x_4 ldots in K_3$ écrit en base 3, l'élément $f(x)=0,x'_1 x'_2 x'_3 x'_4 ldots in [0,1]$ écrit en base 2, avec :

$x' i = 0$ si $x i = 0$ ;
$x' i = 1$ si $x i = 2$ .

Par exemple l'élément $0,0202200222000ldots$ de l'ensemble de Cantor correspondra à l'élément $0,0101100111000ldots$ du segment unité $[0,1]$ .

Il est facile de voir que cette application est surjective mais non injective (l'élément $0,1$ étant l'image de $0,0222222ldots$ comme de $0,2$ ). De l'existence d'une surjection de $K 3$ dans $[0,1]$ , par l'axiome du choix, on déduit l'existence d'une injection de $[0,1]$ dans $K 3$ , et comme l'application identité induit clairement une injection de $K 3$ dans $[0,1]$ , alors d'après lethéorème de Cantor-Bernstein, on en déduit que $K 3$ et $[0,1]$ sont équipotents. Donc l'ensemble de Cantor est aussi en bijection avec $R$ , il a la puissance du continu.

On peut aussi utiliser l'écriture en base 3. Celle-ci montre que $K 3$ est équipotent à ${0,1}^N$ .

Ainsi l'ensemble de Cantor est « grand » au sens de la théorie des ensembles.

Propriétés topologiques [modifier]

L'ensemble de Cantor est compact, et n'a que des points d'accumulation. On dit que c'est un ensemble parfait. Par ailleurs, il est d'intérieur vide,

[Dérouler]

Démonstration

L'ensemble de Cantor est également totalement discontinu c'est-à-dire que chaque singleton est sa propre composante connexe, et homéomorphe à l'espace topologique ${ 0,1 } ^{mathbb N}$ .

Enfin l'ensemble de Cantor est « universel dans la catégorie des espaces métriques compacts», autrement dit tout espace métrique compact est l'image de l'ensemble de Cantor par une application continue. Cette affirmation a des répercussions importantes en analyse fonctionnelle.

Auto-similarité [modifier]

L'image de l'ensemble de Cantor par l'homothétie h de centre 0 et de rapport 1/3 est elle-même une partie de l'ensemble de Cantor. Plus précisément

$K_3 = h left( K_3 right) cup left( h left( K_3 right) + frac{2}{3} right).$

Ainsi, $K 3$ est la réunion disjointe de deux parties qui lui sont homothétiques. C'est une manifestation de ce qu'on appelle l'auto-similarité, qui est l'une des propriétés de base desfractales.

Dimension [modifier]

En conséquence de ce qui précède, on peut calculer la dimension de Minkowski ; elle vaut log(2)/log(3), nombre réel compris entre 0 et 1. On parle parfois de dimension fractionnaire car elle n'est pas entière, même s'il ne s'agit pas davantage d'un nombre rationnel. Dans cette formule, peu importe qu'on interprète log comme logarithme naturel ou logarithme décimal. On peut aussi écrire que la dimension vaut log₃(2) (logarithme de 2 en base 3).

Cette valeur est également la dimension de Hausdorff de l'ensemble. On peut donc dire que l'ensemble de Cantor est de dimension log(2)/log(3) sans se soucier de la dimension utilisée.

Variantes [modifier]

Le carré de Cantor

Le cube de Cantor

Soit s un nombre strictement compris entre 0 et 1. Si, au lieu de couper chaque intervalle en trois et d'enlever l'intervalle central, on enlève à la n-ème étape un intervalle de longueur $s / 3 n$ au centre de chaque intervalle de la génération précédente, on obtient un ensemble de Cantor dont la mesure de Lebesgue est 1 - s. Cela permet d'obtenir un compact d'intérieur vide de mesure aussi proche de 1 que l'on veut. Le cas s = 1 redonne l'ensemble de Cantor usuel. Un procédé comparable est utilisé dans l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor.

Une autre version de l'ensemble de Cantor est le carré de Cantor. Il est construit sur le même principe général, mais basé sur un carré : on considère un carré que l'on découpe en 9 carrés de même taille, et on supprime tous les carrés n'étant pas dans un coin du carré de départ. L'ensemble est construit de façon itérative en répétant cette action sur les nouveaux carrés. Ce n'est rien d'autre que le produit cartésien $K_3 times K_3$ d'un ensemble de Cantor par lui-même.

La même construction en dimension 3 conduit au cube de Cantor, égal au produit cartésien $K_3 times K_3 times K_3$ (à ne pas confondre avec l'éponge de Menger)

Voir aussi [modifier]

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Cantor

Cantor et les infinis

Auteur :

Georg Cantor (1845-1918) - mathématicien allemand

Auteur de l'analyse: Patrick Dehornoy

Publication :

« Sur une propriété du système de tous les nombres algébriques réels », Acta Mathematica (revue de l’Institut suédois Mittag-Leffler), Tome 2, 1883, p.305-310 ; traduction de l’article de 1874 de Cantor (« Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen) par Paul Appell, relue et corrigée par Georg Cantor ; repris dans un recueil d’articles traduits en français de Georg Cantor, 1899 ( Gallica ).

Année de publication :

1874

Nombre de pages :

6

Résumé :

L’article démontre la dénombrabilité des nombres algébriques et la non-dénombrabilité des nombres réels. Il ouvre l’étude de l’infini du point de vue mathématique, marque la naissance de la théorie des ensembles – en fait une théorie de l’infini –, et porte en germe l’hypothèse du continu, premier problème de Hilbert (1900) toujours objet de recherche.

Source de numérisation :

BnF-Gallica

Georg Cantor

Pour les articles homonymes, voir Cantor.

Georg Cantor
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
Naissance	3 mars 1845 Saint-Pétersbourg (Russie)
Décès	6 janvier 1918 Halle (Allemagne)
Nationalité	Empire allemand
Champs	mathématicien
Institution	université de Halle
Diplômé	École polytechnique fédérale de Zurich, université de Berlin
Célèbre pour	théorie des ensembles
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Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg – 6 janvier 1918, Halle) est un mathématicienallemand, connu pour être le créateur de la théorie des ensembles. Il établit l'importance de la bijection entre les ensembles, définit les ensembles infinis et les ensembles bien ordonnés. Il prouva également que les nombres réels sont « plus nombreux » que les entiers naturels. En fait, le théorème de Cantor implique l'existence d'une « infinité d'infinis ». Il définit les nombres cardinaux, lesnombres ordinaux et leur arithmétique. Le travail de Cantor est d'un grand intérêt philosophique (ce dont il était parfaitement conscient) et a donné lieu à maintes interprétations et à maints débats.

Cantor a été confronté à la résistance de la part des mathématiciens de son époque, en particulier Kronecker. Poincaré, bien qu'il connût et appréciât les travaux de Cantor, avait de profondes réserves sur son maniement de l'infini en tant que totalité achevée¹. Les accès de dépressions récurrents du mathématicien, de 1884 à la fin de sa vie, ont été parfois attribués à l'attitude hostile de certains de ses contemporains, mais ces accès peuvent à présent être interprétés comme des manifestations d'un probable trouble bipolaire.

Au xxi^e siècle, la valeur des travaux de Cantor n'est pas discutée par la majorité des mathématiciens qui y voient un changement deparadigme, à l'exception d'une partie du courant constructiviste qui s'inscrit à la suite de Kronecker. Dans le but de contrer les détracteurs de Cantor, David Hilbert a affirmé : « Nul ne doit nous exclure du Paradis que Cantor a créé ».

Sommaire

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Biographie [modifier]

Enfance et études [modifier]

Georg Cantor est né le 3 mars 1845 à Saint-Pétersbourg. Son père est Georg Waldemar Cantor, un homme d'affaires danois et courtier à la bourse de St Pétersbourg ; c'est un luthérienfervent. Sa mère Maria Anna Böhm, de nationalité autrichienne, est issue d'une famille de musiciens. Catholique de naissance, elle se convertit au protestantisme au moment de son mariage.

Georg Cantor, fut élevé dans la foi luthérienne, foi qu'il conserva toute sa vie. Violoniste remarquable, il avait hérité du talent artistique et musical de sa famille maternelle.

Lorsque le père de Cantor tomba malade, la famille chercha des hivers moins glaciaux qu'à Saint Pétersbourg. Elle alla s'installer en Allemagne en 1856, d'abord à Wiesbaden, ensuite àFrancfort. En 1860, Cantor obtint un diplôme avec félicitations à la Realschule de Darmstadt, où l'on remarqua ses performances exceptionnelles en mathématiques, notamment entrigonométrie. En 1862, suivant le souhait de son père, Cantor intégra l'École polytechnique fédérale de Zurich et entama des études supérieures en mathématiques.

En 1863, à la mort de son père, Cantor préféra poursuivre ses études à l'université de Berlin. Il suivit les cours de Weierstrass, Kummer et Kronecker. Il se lia d'amitié avec Hermann Schwarz, alors étudiant. Il passa l'été à l'université de Göttingen, qui devint par la suite un grand centre de la recherche mathématique. En 1867, Berlin lui accorda le titre de Philosophiæ doctor pour une thèse portant sur la Théorie des nombres, De aequationibus secundi gradus indeterminatis.

Début de carrière [modifier]

Après avoir enseigné pendant un an dans une école de filles à Berlin, Cantor accepta en 1870 un poste à l'université de Halle, où il fit toute sa carrière. Il obtint l'habilitation requise grâce à sa thèse, puis fut promu chargé de cours en 1872.

En 1872², Cantor fit la connaissance de Richard Dedekind lors d'un voyage en Suisse. Cela devait être le point de départ d'une relation suivie qui devait jouer un rôle décisif dans le développement de la théorie des ensembles de Cantor. Leur correspondance, qui s'étale de 1872 à 1889, en est un témoignage précieux.

Heine avait posé la question de l'unicité de l'écriture d'une fonction périodique d'une variable réelle comme série de fonctions trigonométriques. Intéressé par ce problème, Cantor obtint l'unicité pour les fonctions continues. En 1872, il s'attacha à définir l'ensemble des points de discontinuité de ces fonctions, ce qui présuppose de manipuler des ensembles infinis. C'est ainsi qu'il commença à s'interroger sur l'infini. En 1874, Cantor publia ses premiers travaux sur le sujet dans le journal de Crelle, où il donna la première démonstration que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable.

Toujours en 1874, Cantor épousa Vally Guttmann. Ils auront six enfants, le dernier étant né en 1886. Malgré un modeste salaire académique, Cantor était en mesure de subvenir aux besoins de sa famille grâce à l'héritage de son père^{[réf. nécessaire]}.

Hostilités entre Cantor et Kronecker [modifier]

En 1877, Cantor soumit son dernier article au Journal de Crelle, dans lequel il démontra qu'une surface est en bijection avec une droite réelle. Kronecker, mathématicien réputé, fut en désaccord avec ce qui fondait les travaux de Cantor en théorie des ensembles. Kronecker, perçu aujourd'hui comme un pionnier du constructivisme, ne pensait pas que l'on puisse envisager un ensemble infini comme une entité : « Dieu a créé les nombres entiers ; le reste est l'œuvre de l'homme ». Kronecker pensait également qu'une preuve d'existence d'un objet mathématique satisfaisant à certaines propriétés devait donner une construction explicite d'un tel objet.

En 1879, Cantor obtint une chaire à l'université de Halle. Atteindre le plus haut rang à l'âge de 34 ans était une performance notable, mais Cantor aurait préféré avoir une chaire dans une université plus prestigieuse, en particulier à Berlin où se trouvait la meilleure université allemande. Toutefois, Kronecker se trouvait à la tête du secteur de mathématiques à Berlin jusqu'à sa mort en 1891 et il ne souhaitait pas avoir Cantor comme collègue.

En 1881, la mort d'Édouard Heine, collègue de Cantor de l'université de Halle, laissa une chaire inoccupée. À la suggestion de Cantor, l'université proposa la chaire à Dedekind, Heinrich Weber et Franz Mertens (dans cet ordre), mais tous déclinèrent l'offre. Le manque d'intérêt de la part de Dedekind est surprenant, étant donné qu'il enseignait dans une école d'ingénieur de faible niveau et portait une lourde charge administrative. Cet épisode est révélateur du manque de réputation du département de mathématiques de l'université de Halle. Albert Wangerin fut finalement nommé, mais ne se rapprocha jamais de Cantor.

Dépression [modifier]

En 1884, Cantor fut frappé de son premier accès de dépression. Selon Eric Temple Bell, sa crise proviendrait d'un sentiment d'insécurité provenant d'un conflit freudien avec son père. Selon Joseph Dauben, il est plus probable que cette crise soit causée par les attaques de Kronecker.

Cette crise émotionnelle le mena à donner des cours de philosophie, plutôt que de mathématiques. Chacune des 52 lettres que Cantor a écrites à Mittag-Leffler au cours de cette année attaquait Kronecker. Cantor se remit rapidement, mais un passage de l'une de ses lettres révèle une perte de confiance en lui-même :

« ...Je ne sais pas quand je pourrai retourner à la poursuite de mes travaux scientifiques. Pour le moment, je ne peux absolument rien faire dans ce sens et je me limite au strict nécessaire, à savoir donner des cours ; combien je voudrais être actif scientifiquement et si seulement j'avais la vivacité d'esprit nécessaire. »

Bien qu'il ait produit quelques travaux de valeur après 1884, il ne retrouva pas le haut niveau de production des années 1874 à 1884. Il proposa une réconciliation avec Kronecker, qui accepta sans réticences. Malgré tout, le désaccord philosophique et les difficultés qui les séparaient persistèrent. On a dit parfois que les accès dépressifs récurrents de Cantor avaient été déclenchés par l'opposition que lui manifestait Kronecker, or quoique les difficultés relationnelles de Cantor et les troubles de sa production mathématique fussent, c'est certain, exacerbés par sa dépression, on peut douter qu'elles en fussent la cause.

En 1888, il publia ses correspondances avec plusieurs philosophes au sujet des implications philosophiques de sa théorie des ensembles. Edmund Husserl fut un de ses collègues à Halle et un ami, entre 1886 et 1901. La réputation de Husserl s'est faite en philosophie, mais à l'époque il préparait un doctorat de mathématiques dirigé par Leo Königsberger, un étudiant de Weierstrass. Cantor écrivit aussi sur les implications théologiques de ses travaux en mathématiques ; il aurait identifié l'« infini absolu », l'infini d'une classe propre comme celle de tous les cardinaux ou de tous les ordinaux, à Dieu.³

Pensant que Francis Bacon était en fait l'auteur de pièces attribuées à Shakespeare, il entama, pendant sa période de maladie, en 1884, une étude approfondie de la littératureélisabéthaine, dans le but d'étayer cette hypothèse. Cela le conduisit à publier deux articles, en 1896 et 1897, qui exposaient ses vues.

En 1890, Cantor participa à la fondation de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung. Il en organisa la première réunion à Halle en 1891 et en fut élu président. Cela montre clairement que l'attitude de Kronecker n'a pas été fatale à sa réputation. Malgré l'animosité qu'il éprouvait pour Kronecker, Cantor l'invita à prendre la parole lors de cette réunion ; Kronecker ne put le faire, car son épouse était à ce moment-là à l'article de la mort.

Après le décès de son plus jeune fils, en 1899, Cantor souffrit d'une dépression chronique, qui l'affecta jusqu'à la fin de sa vie et pour laquelle il fut dispensé d'enseignement à plusieurs reprises et enfermé de manière répétitive en sanatorium. Cependant, il n'abandonna pas complètement les mathématiques, car il donna des conférences sur les paradoxes de la Théorie des ensembles (attribués à Burali-Forti, Russell, et Cantor lui-même) lors d'une réunion de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung, en 1903 et il assista au Congrès international des Mathématiciens de Heidelberg en 1904.

En 1903, il fut lauréat de la médaille Sylvester de la Royal Society.

Cantor prit sa retraite en 1913 ; il fut confronté à la pauvreté et souffrit même de la faim au cours de la Première Guerre mondiale. La célébration publique de ses 70 ans fut annulée à cause de la guerre et quelques mois avant la fin de celle-ci, il mourut en janvier 1918 à l'hôpital où il avait passé la dernière année de sa vie.

Travaux [modifier]

Cantor fut le fondateur de la théorie des ensembles, à partir de 1874. Avant lui, le concept d'ensemble était plutôt basique, et avait été utilisé implicitement depuis les débuts des mathématiques, depuis Aristote. Personne n'avait compris que cette théorie avait des éléments non implicites. Avant Cantor, il n'y avait en fait que les ensembles finis (qui sont aisés à comprendre) et les ensembles infinis (qui étaient plutôt sujets à discussion philosophique). En prouvant qu'il y a une infinité de tailles d'ensembles infinis, Cantor a établi que les bases de cette théorie étaient non-triviales. La théorie des ensembles joue ainsi le rôle d'une théorie fondatrice pour les mathématiques modernes, parce qu'elle interprète des propositions relatives à des objets mathématiques (par exemple, nombres et fonctions) provenant de toutes les disciplines des mathématiques (comme l'algèbre, l'analyse et la topologie) en une seule théorie, et fournit un ensemble standard d'axiomes pour les prouver ou les infirmer. Les concepts de base de celle-ci sont aujourd'hui utilisés dans toutes les disciplines des mathématiques.

Dans une de ses premières publications, Cantor prouve que l'ensemble des nombres réels contient plus de nombres que l'ensemble des entiers naturels ; ce qui montre, pour la première fois, qu'il existe des ensembles infinis de tailles différentes. Il fut aussi le premier à apprécier l'importance des correspondances un pour un (les bijections) dans la théorie des ensembles. Il utilisa ce concept pour définir les ensembles finis et infinis, subdivisant ces derniers en ensembles dénombrables et non dénombrables.

Cantor introduisit des constructions fondamentales en théorie des ensembles, comme l'ensemble composé de tous les sous-ensembles possibles de A, appelé ensemble des parties de A. Il prouva plus tard que la taille de cet ensemble est strictement supérieure à celle de A, même quand A est un ensemble infini ; ce résultat fut bientôt connu sous le nom de théorème de Cantor. Cantor développa une théorie entière (une arithmétique) des ensembles infinis, appelés cardinaux et ordinaux, qui étendait l'arithmétique des nombres naturels. Il définit une notation des nombres cardinaux à l'aide de la lettre de l'alphabet hébreu א (aleph)(convenablement indicée); pour les ordinaux, il employa la lettre grecque ω (omega). Cette notation est toujours utilisée aujourd'hui.

L'hypothèse du continu, introduite par Cantor, fut présentée par David Hilbert en premier parmi une liste de 23 problèmes ouverts lors de son célèbre exposé au Congrès International des mathématiciens de 1900 de Paris. Le travail de Cantor a aussi attiré d'autres remarques favorables que l'éloge d'Hilbert. Le philosophe américain Charles Peirce prisait la théorie des ensembles de Cantor, et, à la suite des cours magistraux de Cantor au premier congrès international des mathématiciens (à Zurich en 1897), Hurwitz et Hadamard aussi exprimèrent leur admiration. A ce congrès, Cantor renouvela son amitié et sa correspondance avec Dedekind. Depuis 1905, Cantor correspondait avec son admirateur britannique et traducteur Philip Jourdain sur l'histoire de la théorie des ensembles et sur ses idées religieuses, ce qui fut publié plus tard,comme le furent nombre de ses travaux présentés aux congrès.

Certains, comme Galilée avaient déjà remarqué qu'un ensemble infini, comme les carrés des nombres entiers, pouvait être mis en correspondance avec un ensemble infini le contenant strictement, en l'occurrence tous les entiers. Il y a d'une certaine façon « autant » de carrés de nombres entiers que de nombres entiers. Cantor est le premier à donner un sens précis à cette remarque, à l'aide de la notion de bijection qu'il introduit (sous un autre nom) à l'occasion, puis à la systématiser. Par exemple Cantor montre qu'il y a autant de nombres rationnels(ceux représentés par des fractions) que de nombres entiers. Cantor va plus loin et découvre qu'il y a plusieurs infinis, au sens où ils ne peuvent être mis en correspondance entre eux par une bijection : il montre en 1874 que la droite réelle contient plus de nombres transcendants (« beaucoup plus ») que de nombres algébriques (solutions d'équations polynomiales à coefficients rationnels) ; il découvre aussi cette année-là, à sa grande surprise ("Je le vois, mais je ne le crois pas", écrit-il à Dedekind) que l'on peut mettre en bijection la droite et le plan (autrement dit , qu'il y a "autant" de points dans un petit segment que dans l'espace entier).

Cantor introduit la notion d'ensemble infini dénombrable : un ensemble qui peut être mis en bijection avec les nombres entiers, c’est-à-dire que l'on peut, d'un certaine façon, numéroter tous ses éléments par des entiers (sans répétition mais ce n'est pas essentiel). Il montre que les ensembles des nombres entiers relatifs, des nombre rationnels, et des nombres algébriques sont tous dénombrables, mais que l'ensemble des nombres réels ne l'est pas.

Il donne une preuve élégante et très courte de ce dernier résultat en 1891, où il utilise ce qui est connu maintenant comme l'argument diagonal de Cantor, et qui a été depuis très utilisé, en particulier en logique mathématique et en théorie de la calculabilité. Il utilise cet argument pour montrer que l'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble A, appeléensemble des parties de A, a strictement plus d'éléments que A, même si A est infini, c’est-à-dire que ces deux ensembles ne peuvent être mis en bijection. Cette proposition est aujourd'hui appelée Théorème de Cantor. Elle a pour conséquence, l'existence d'une hiérarchie stricte, et elle-même infinie, d'ensembles infinis.

Pour étudier l'infini, Cantor introduit deux notions de nombres et leur arithmétique particulière (somme, produit, exponentiation). La première est celle de nombre cardinal, qui caractérise une classe d'ensembles pouvant être mis en bijection. Le plus petit nombre cardinal infini est celui des entiers naturels, le dénombrable. Le cardinal des nombres réels, ou de façon équivalent de l'ensemble des sous-ensembles des entiers naturels, est la puissance du continu. Cantor introduit la lettre hébraïque א (aleph) pour désigner les cardinaux, notation toujours en usage aujourd'hui. Ainsi le cardinal de l'ensemble des entiers naturels est noté ℵ₀ (lire aleph zéro). La puissance du continu est un cardinal forcément supérieur ou égal au cardinal suivant immédiatement le dénombrable, que l'on note ℵ₁. Cantor supposait que c'était ℵ₁, c'est l'hypothèse du continu.

La seconde est celle de nombre ordinal, qui généralise les entiers en tant qu'ils sont ordonnés. Il utilise pour cela la notion de bon ordre, qu'il introduit en 1883. Cantor note les ordinaux avec des lettres grecques, le plus petit ordinal infini, celui de l'ensemble des entiers naturels, est noté ω₀ (aujourd'hui simplement ω). Pour les nombres cardinaux il utilise en fait un ordinal en indice de la lettre ℵ.

Les dix premières productions de Cantor portaient sur la Théorie des nombres, le sujet de sa thèse. Suivant la suggestion du professeur Édouard Heine, Cantor s'oriente vers l'analyse. Heine propose à Cantor de résoudre un problème dont la solution échappait à Dirichlet, Lipschitz, Bernhard Riemann et Édouard Heine lui-même : l'unicité de la représentation d'une fonction par une série de Fourier. Cantor résout ce problème difficile en 1869. Entre 1870 et 1872, Cantor publie d'autres travaux sur les séries trigonométriques, incluant une définition des nombres irrationnels comme des suites convergentes de nombres rationnels. C'est l'une des deux constructions usuelles des nombres réels. Dedekind, avec qui Cantor s'est lié d'amitié en 1872, cite ce travail dans la publication contenant sa propre construction des nombres réels, à partir de ce que l'on appelle maintenant les coupures de Dedekind.

La publication de Cantor de 1874, "Sur une propriété caractéristique de tous réels algébriques", est celle qui marque la naissance de la Théorie des ensembles. Elle a été publiée dans leJournal de Crelle, malgré l'opposition de Kronecker et grâce au soutien de Dedekind. C'est dans celle-ci qu'il montre que les nombres réels ne sont pas dénombrables, démonstration qu'il simplifiera dans un article paru en 1891, en utilisant le célèbre argument diagonal.

La publication de 1874 montre alors que les nombres algébriques, c’est-à-dire les racines d'équations polynomiales à coefficients entiers, sont dénombrables. Les nombres réels qui ne sont pas algébriques sont dits transcendants. Liouville avait établi l'existence de nombres transcendants en 1844⁴. Cantor avait également montré que la réunion de deux ensembles dénombrables doit être dénombrable. Comme l'ensemble des nombres réels est la réunion de l'ensemble des nombres algébriques, et de l'ensemble des nombres transcendants, que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable, et que l'ensemble des nombres réels n'est pas dénombrable, l'ensemble des nombres transcendants ne peut pas l'être non plus. C'est-à-dire que non seulement il existe des nombres transcendants, mais il y a en fait une infinité, et même « autant » que de nombres réels ; « presque tous » les réels doivent être transcendants. Cantor remarque qu'ainsi, il a en particulier redémontré le théorème de Liouville selon lequel tout intervalle réel contient une infinité de nombres transcendants.

Entre 1879 et 1884, Cantor publia une série de six articles dans les Mathematische Annalen qui constituent une introduction à sa théorie des ensembles. En même temps grandissait une opposition croissante à ses idées, menée par Kronecker, qui n'admettait des concepts mathématiques que s'ils pouvaient être construits en un nombre fini d'étapes à partir des entiers, qu'ils considérait comme seuls donnés intuitivement. Pour Kronecker, la hiérarchie des infinis de Cantor était inadmissible, et accepter le concept d'infini actuel ouvrirait la porte à des paradoxes qui mettraient en danger l'édifice mathématique tout entier. Cantor découvrit également l'ensemble qui porte son nom durant cette période.

Le cinquième article de cette série, "Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre" ("Fondements d'une théorie générale des agrégats") est le plus important des six, et fut aussi publié en monographie séparée. Il contenait des réponses de Cantor à ses critiques, et montrait comment les nombres transfinis formaient une extension systématique des entiers naturels. Il commence par définir les ensembles bien ordonnés ; les nombres ordinaux sont alors introduits comme types d'ordre de ces ensembles. Cantor définit ensuite l'addition et la multiplication des ordinaux. En 1885, Cantor étendit sa théorie des types d'ordre, les ordinaux en devenant simplement un cas particulier.

En 1891, il publia un article contenant son élégant "argument diagonal" pour montrer l'existence d'un ensemble non dénombrable ; il appliqua la même idée pour prouver le théorème de Cantor : le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble A est strictement plus grand que le cardinal de A. Ceci établissait la richesse de la hiérarchie des ensembles infinis et de l'arithmétique des cardinaux et des ordinaux que Cantor avait définie. L'argument diagonal joue un rôle fondamental dans la solution du problème de l'arrêt, et dans la preuve du premierthéorème d'incomplétude de Gödel

En 1895 et 1897, Cantor publia un article en deux parties dans les Mathematische Annalen (éditées par Felix Klein) ; ce furent ses dernières contributions significatives à la théorie des ensembles. Le premier article commence par définir ensembles, sous-ensembles, etc. d'une manière qui reste largement acceptable aujourd'hui ; l'arithmétique des cardinaux et des ordinaux y est réexaminée. Cantor aurait voulu que le second article contienne une preuve de l'hypothèse du continu, mais dû se contenter d'exposer sa théorie des ensembles bien ordonnés et des ordinaux. Il essaie également de démontrer que si A et B sont des ensembles tels que A est en bijection avec un sous-ensemble de B et B en bijection avec un sous-ensemble de A, alors A et B sont équipotents ; Ernst Schröder avait énoncé ce théorème un peu auparavant, mais sa preuve, tout comme celle de Cantor, présentait des lacunes ; Felix Bernstein fournit une démonstration correcte dans sa thèse de 1898, d'où le nom actuel de théorème de Cantor–Bernstein.

Notes [modifier]

↑ Ces réserves furent reprises plus tard, par Brouwer et dans une moindre mesure Weyl. Wittgenstein avait également des objections de fond.
↑ Jean Cavaillès, préface de l'édition de la correspondance Cantor-Dedekind, reprise dans Philosophie mathématique, pp 179-185
↑ §3.2, Ignacio Jané, « The role of the absolute infinite in Cantor's conception of set », dans Erkenntnis, vol. 42, n^o 3, May 1995, p. 375-402 [ lien DOI [archive] ]
↑ http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/propos-de-le... [archive]

Bibliographie [modifier]

1872 – Über die Ausdehnung eines Satzes aus der trigonometrischen Reihen, Mathematische Annalen 5, p. 123-132 (Cantor [1932 p92-102]).
1874 – Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Journal de Crelle 77, p258-262, (Cantor [1932, p115-118]).
1878 – Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, Journal de Crelle 84, p. 242-258 (Cantor [1932, p119-133]).
1879
- a – Über einen Satz aus der Theorie der stetigen Mannigfaltigkeiten. (Cantor [1932, p134-138]).
- b – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 1. (Cantor [1932 p139-145]).
1880 – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 2. (Cantor [1932 p145-148]).
1882 – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 3. (Cantor [1932 p149-157]).
1883
- a – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 4. (Cantor [1932 p157-164)].
- b – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 5. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen (Cantor [1932 p165-208]).
  - bfr – Fondements d'une théorie générale des ensembles. Leibzig, Teubner. Trad. Milner in Cahiers pour l'Analyse 10. La formalisation, pp. 35-52, le Seuil, Paris 1969.
1884 – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 6. (Cantor [1932 p210-246]).
1887-1888 – Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten. (Cantor [1932, p378-439]).
1890 – Gesammelte Abhandlungen zur Lehre vom Transfiniten, Halle, C.E.M. Pfeffer (Cantor [1932, p370-439]).
1891 – Über eine elementare Frage zur Mannigfaltigkeitslehre, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1, p.75-78 (Cantor [1932 p278-281]).
- fr - Traduction et introd. H. Sinaceur : Sur une question élémentaire de la théorie des ensembles, in Logique et fondements des mathématiques, Anthologie (1850-1914), Paris, Payot, p. 197-203.
1895-1897 – Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Mathematische Annalen 46, p. 481-512; 49, p. 207-246 (Cantor [1932, p282-356]).
- fr - Trad. Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis. Trad F. Marotte. In Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, rééd. Gabay, Paris 2000.
1905 – Ex Oriente Lux, Gespräche eines Meisters mit seinem Schüler über wesentliche Puncte des urkundlichen Christenthums. Berichtet vom Schüler selbst. Halle: C. E. M. Pfeffer.
1932 – Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts. -88mb!, éd. par Ernst Zermelo. Presque tous les écrits de Cantor (en allemand).
Correspondance Cantor-Dedekind, Trad. J. Cavaillès. in CAVAILLÈS J., Philosophie des mathématiques. Paris, Hermann, 1962, p. 179-250.

Signalons aussi le document électronique disponible sur le site de la BNF (Lire en ligne) qui rassemble la majorité des œuvres de Cantor traduites en français : [1872], [1874], [1878], [1879], [1880], [1882], [1883a], [1883b], [1884]. Cela dit, si certaines de ces traductions ont été revues par Poincaré, d’autres sont souvent mauvaises et éparses, et sont donc à consulter avec toutes les précautions nécessaires. Voir la présentation de Pierre Dugac (de) pour plus de détails.

(en) O'Connor, J. J., and Robertson, E.F. MacTutor archive.
- Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor Biographie
- A history of set theory..

Ces deux articles sont les principales sources de la version anglaise, et donc de celle-ci.

Voir aussi [modifier]

Voir aussi sur Wikiquote lescitations « Georg Cantor ».

Wikimedia Commons propose des documents multimédia libres sur Georg Cantor.

Bibliographie [modifier]

DAUBEN J.W., Georg Cantor, His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton University Press, 1979;
GARDIES J.L. Pascal entre Eudoxe et Cantor, Paris, Vrin, 1984;
CHARRAUD N., Infini et inconscient, essai sur Georg Cantor, Paris, Economica, 1994;
BELNA J.P., Cantor, Paris, Les belles lettres, 2000;
DÉCAILLOT, A.-M., Cantor et la France. Correspondance du mathématicien allemand avec les Français à la fin du XIXe siècle, Paris, Kimé, 2008

Articles connexes [modifier]

Lien externe [modifier]

L'article de 1874 de Cantor sur la non-dénombrabilité des réels en ligne et commenté sur le site BibNum.

Portail des mathématiques

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor

Source : http://www.math.ens.fr/culturemath/video/html/Djebbar.htm

CultureMATH
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Entretien avec Ahmed Djebbar

Professeur d'Université, Université de Lille I
avec Marc Moyon, Centre d'histoire des sciences et d'épistémologie de Lille 1 et IREM de Lille

L'algèbre arabe

S’intéresser à l’algèbre classique, à savoir l’algèbre des équations, c’est plonger dans l’histoire fascinante d’une discipline née entre 813 et 833, à Bagdad, à la cour du calife al-Ma’mūn. La question des sources de l’algèbre arabe n’est pas simple. Pour y répondre, l’historien des mathématiques doit se positionner au carrefour de plusieurs traditions. Parmi celles-ci, Ahmed Djebbar évoque les mathématiques babyloniennes, grecques et indiennes. La naissance de cette discipline avec ses objets propres (nombre, racine, bien), ses intentions, ses procédures est officielle avec le traité d’algèbre d’al-Khwārizmī où pour la première fois le mot « al-jabr » est utilisé comme opération mathématique. A partir de ce traité, de nombreux mathématiciens de langue arabe non seulement d’Orient, mais aussi d’Occident musulmans l’utilisent, le commentent et le prolongent. Leurs innovations concernent des chapitres aussi importants que la résolution des systèmes d’équations, la naissance et le développement des polynômes, le problème de la résolution des cubiques.

Ahmed Djebbar esquisse les grandes étapes de cette histoire dans cet entretien avec Marc Moyon. L'enregistrement est divisé en huit séquences indépendantes d'une dizaine de minutes, qui peuvent être regardées séparément ou enchaînées. Pour aller plus loin, on pourra se reporter à l'ouvrage "L'algèbre arabe. Genèse d'un art", qu'Ahmed Djebbar vient de publier, et au dossier d'accompagnement ci-dessous.

Sommaire des vidéos

La transmission des traditions mathématiques anciennes aux savants de langue arabe : les héritages grec, indien, mésopotamien (17 min)

Al-Khwārizmī et ses intentions quant à son traité d’algèbre (12 min)

Le traité d’algèbre d’al-Khwārizmī : simple compilation des savoirs algébriques arabes ou traité novateurs ? (12 min)

Le développement de l’algèbre entre les 9° et 13° siècles : contemporains et successeurs d’al-Khwārizmī (7 min)

Les systèmes d’équations : Abū Kāmil et al-Karajī (9 min)

Les polynômes (11 min)

Les équations du troisième degré (10 min)

L’Occident musulman (14 min)

Voir les vidéos
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Documents d'accompagnement

Préface du livre "L'algèbre arabe, genèse d'un art", par Bernard Maitte

Carte

Index des noms propres cités dans les vidéos

Bibliographie générale

Publications d'Ahmed Djebbar

Iconographie commentée et petits problèmes

Préface du livre "L'algèbre arabe, genèse d'un art"

C’est avec un grand plaisir que j’ai accepté d’écrire la préface de ce beau livre « L’Algèbre arabe, genèse d’un art ». L’auteur, Ahmed Djebbar, possède en effet des qualités rares. C’est un chercheur rigoureux, à qui l’on doit d’avoir retrouvé et porté à notre connaissance nombre de manuscrits mathématiques de l’Occident musulman et qui, en grand professeur, anime une équipe de docteurs et de doctorants qu’il lance en pionnier à la découverte de l’histoire des mathématiques, du Maghreb et de l’Espagne musulmane principalement.

C’est aussi -et tous ceux qui ont suivi ses cours ou assisté à ses conférences peuvent en témoigner- un merveilleux conteur qui, tel un griot, captive, passionne, donne l’intelligence d’un contexte, d’une perspective, d’une idée à des publics variés, qu’ils soient composés d’élèves du secondaire ou de chercheurs réunis dans un colloque.

Ahmed Djebbar œuvre ainsi pour la dignité de sa culture première et pour la reconnaissance de la place éminente qu’elle occupe dans le patrimoine de l’humanité. Loin des thuriféraires de la splendeur passée, des dogmatiques de tous poils, il se sert de l’histoire pour contribuer à éclairer le présent et veut que se renforce une citoyenneté nourrie d’humanisme et de la rencontre de l’autre. On le comprend, ce qui caractérise le plus l’auteur de ce livre, c’est la générosité radieuse et accueillante.

Le livre précisément. En le lisant, le non-spécialiste du sujet que je suis ressent une curieuse impression, un peu analogue à celle de quelqu’un qui découvre les ruines d’une ville jadis florissante. La perception est saisissante. Les restes épars témoignent de la grandeur des bâtisseurs, de leur génie. Chaque élément particulier participe à l’ensemble. Mais quel rôle jouaient ces débris ? Comment prenaient-ils place. Pour quelle signification ? Ayant découvert des restes, il faut les observer, les analyser, les restituer avant que d’espérer reconstruire la partie de la quelle ils se sont détachés, comprendre leurs fonctions, émettre des thèses quant à leurs relations, à leur contextualisation.

Les témoins dont nous parle « L’Algèbre arabe » sont des manuscrits, infiniment peu nombreux par rapport à une production qui a, d’évidence, été riche et importante. Ces reliques montrent d’abord et surtout l’ampleur de notre méconnaissance. Parmi les textes qui ont été exhumés, il y a plus de manuels que de références, plus de sources secondaires que d’œuvres originales. C’est la grande force d’ Ahmed Djebbar que de restituer ces fragments, de les montrer, de les désigner, d’en dégager le sens, plutôt que de se livrer trop hâtivement à une improbable reconstruction. Cette méthode rigoureuse montre les acquis, énonce les questions ouvertes, les recherches à effectuer si l’on veut progresser dans la connaissance de l’algèbre arabe. Cet art ne naît pas de rien : c’est la force de la civilisation arabo musulmane que de s’être appropriée et nourrie de pratiques, de techniques, de procédés, de traditions, d’idée préexistants dans les civilisations rencontrées lors de son expansion. C’est sa richesse d’avoir pu faire évoluer -oh combien- un art qui n’avait pas encore la dignité de la géométrie ou de la théorie des nombres. C’est sa spécificité que d’avoir permis à des auteurs s’exprimant en langue arabe, et d’origines et de confessions diverses, de contribuer à l’épanouissement des sciences. C’est sa caractéristique, dans une aire géopolitique allant de l’Inde aux Pyrénées, de posséder une grande unité culturelle et scientifique et de voir son Orient jouer un rôle moteur dans la maturation de l’algèbre, son Occident maghrébo-andalou un rôle prééminent dans une partie de son développement et sa circulation vers les pays latins.

Les pays latins s’approprient, diversement, l’art de l’algèbre à partir du XII e siècle. Ils le poussent plus loin et ailleurs, lui donnent l’aspect que nous connaissons, celui d’une science. Cette phase d’appropriation et de dépassement se fait dans une filiation arabo musulmane assumée. Il faudra qu’au XV e et XVI e siècles des événements importants de la politique méditerranéenne (chute de Byzance, bataille de Lépante, …) interviennent pour qu’un regard nouveau soit porté par les latins sur le monde musulman. L’origine de l’algèbre sera alors gommée, ne restant présente que dans son nom. Aujourd’hui, ce regard n’est pas forcément renouvelé, ni chez le public occidental ni chez les sectateurs d’une grandeur passée magnifiée à l’excès.

On le comprend : ce petit livre est éclairant pour tous les hommes épris de culture, qu’ils soient ou non férus d’algèbre. Il est précieux aussi aux mathématiciens à qui il montre l’origine d’une partie de leur savoir. Il est indispensable aux chercheurs qui y trouveront les perspectives et les voies permettant d’orienter leurs investigations. Il pose enfin dans notre monde une question politique qui reste en filigrane. N’est-ce pas lorsqu’elles se constituent aux yeux de l’autre en s’appuyant sur la richesse de l’altérité que les civilisations prospèrent et s’épanouissent ? N’est-ce pas lorsqu’elles rejettent l’autre qu’elles régressent et se réifient ?

Bernard MAITTE,
Professeur d'Histoire de la Physique,
Université des Sciences et des Technologies de Lille

Carte

Crédit: Alain Huot (site Histoire)

Liste des mathématiciens arabes

Cet article propose une liste des mathématiciens arabes.

Sommaire

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Abdelhamid ibn Turk [modifier]

Thabit ibn Qurra [modifier]

Article détaillé : Thabit ibn Qurra.

Mathématicien et géomètre arabe du IX^e siècle. Son étude en théorie des nombres le conduit à des résultats sur les paires d'entiers amicaux. Il entreprit aussi un travail observationnel et théorique en astronomie.

Al-Batanni [modifier]

Article détaillé : Al-Battani.

Mathématicien et astronome arabe (868-929), Abu Abdallah Muhammad ibn Jabir al-Battani fit des observations précises. Il introduit aussi des formules trigonométriques :

$tan a = frac{sin a}{cos a}$ et $sec a = sqrt{1 + tan^2 a }$ .

Omar Khayyam [modifier]

Article détaillé : Omar Khayyam.

Catégorie : Mathématiques arabes | [+]

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_des_math%C3%A9maticien...

Mathématiques arabes

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Dans l'Histoire des mathématiques, on désigne par l'expression de mathématiques arabes une époque importante dans le développement de cette science. Il s'agit des contributions apportées par les mathématiciens du monde musulman, du début de la conquête au milieu du xvii^e siècle. Les textes sont essentiellement écrits en arabe, qui était une des langues des sciences et de la culture à cette époque, d'où le nom, mathématiques arabes.

Les sciences arabes, et en premier plan, les mathématiques, s'exercent à travers les califats islamiques, établis en Moyen-Orient, en Asie centrale, en Afrique du Nord, dans la péninsule ibérique, et au sud de la France au viii^e siècle.

Ils ont conservé l'héritage grec. De récentes recherches ont démontré que beaucoup d'idées, qu'on pensait apportées par les mathématiciens du XVI^e, XVII^e, ou XVIII^e siècle, furent en réalité développées par des mathématiciens grecs dont la traduction nous fut transmise en arabe quatre siècles auparavant ou par des mathématiciens arabes.

Les mathématiques grecques ont joué un rôle dominant dans les premiers développements des mathématiques arabes. Beaucoup de textes grecs ont survécu à travers leur traduction en arabe.

Les mathématiques persanes ont repris l'héritage grec.

Les mathématiques indiennes ont influencé le développement des mathématiques arabes.

Les mathématiques chinoises ont aussi eu une influence sur le développement des sciences arabes.

Sommaire

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Histoire [modifier]

En 476, la chute de Rome marque l'effondrement de l'Empire romain d'Occident. L'instabilité politique en Europe ne fut pas favorable à la recherche scientifique qui de toute façon n'était pas le fait de l'Empire romain. Parallèlement, l'islam connaît dès sa naissance au vii^e siècle une fulgurante progression. En un siècle, les territoires musulmans s'étendent d'Espagne jusqu'en Chine.

Le monde islamique a vu, vers la fin du huitième siècle, l'apparition de trois entités politiques concurrentes : Abbassides, Idrissides et Omeyyades. Ce qui a mené à l'apparition de deux séries différentes des chiffres:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 : utilisés à Fez et à Cordoue.

٠,١,٢,٣,٤,٥,٦,٧,٨,٩ : utilisés à Bagdad.

Fèz, la capitale culturelle et spirituelle du Maroc, abrite Quaraouiyine, l'établissement éducatif considéré de nos jours comme étant le plus ancien dans le monde.

Bagdad, ville créée par les califes abbassides pour servir de capitale de l'Empire, devint très vite un centre culturel avec notamment la création d'une Maison de la Sagesse sous le règne du calife Al-Mamun. Parmi les membres de cette maison, on compte le mathématicien persan Al-Khwarizmi. Deux de ses traités ont eu un impact considérable sur les mathématiques européennes au xii^e siècle. Le premier, dont seule la traduction latine a été conservée, transmet la numérotation décimale. Le second traité, Kitab fi'l-jabr wa'l-muqabala (Livre sur la restauration et la confrontation) traite de manipulations sur les équations. Le mot al-jabr a donné algèbre. Il y donne la résolution des équations du second degré, par une complétion en carrés. Le nom de ce mathématicien, latinisé en Algoritmi a donné un autre des mots les plus courants des mathématiques : l'algorithme. Cette appellation s'est ensuite généralisée à d'autres disciplines technologiques, notamment en informatique où l'on désigne par "algorithme" tout programme itératif s'exécutant tant qu'une condition logique est vérifiée.

L'algèbre, branche nouvelle des mathématiques, continuera de s'épanouir avec la civilisation islamique. Il faut retenir les noms de Abu Kamil qui emploie les irrationnels, Al-Karaji. Autre mathématicien arabe du ix^e siècle, Tabit ibn Qurra non seulement s'emploie à traduire les textes grecs, mais étudie de près les nombres amicaux.

L'astronome et mathématicien Al-Battani pose les bases de la trigonométrie moderne en employant le sinus et la tangente dans ses calculs d'astronomie, et en réalisant des tables pour les calculer.

Le premier déclin des sciences arabes commence au xii^e siècle suite à des conflits divisant le monde musulman.

Astronome et mathématicien perse, Al-Kashi a donné les 16 premières décimales de pi. Sa mort en 1430 sonne le glas des mathématiques arabes.

Certains attribuent la fin de l'ère des mathématiques arabes à la domination turque et son ambition d'orienter la recherche. Ce dernier avis est discutable.

Traductions [modifier]

De nombreux textes arabes ont été traduits en latin et ont joué un rôle important dans l'évolution des mathématiques européennes.

Grecques à arabes [modifier]

Les textes suivants, des mathématiques grecques ont été traduits en arabe, et souvent ensuite en latin :

Éléments d'Euclide par Al-Hajjaj (VIII^e siècle).
Révision des éléments par Thabit ibn Qurra.
Les Coniques d'Apollonius par Thabit ibn Qurra.
L’Almageste de Ptolémée par Thabit ibn Qurra.
La Sphère et le cylindre d'Archimède par Thabit ibn Qurra.
Sur les triangles d'Archimède par Sinan ibn Thabit.
Arithmetica de Diophante d'Alexandrie par Abu'l-Wáfa.
Le Traité sur les miroirs de Dioclès.
Les Travaux sur la mécanique de Pappus d'Alexandrie.

Sanskrit à Arabe [modifier]

Les textes suivants sont des textes sanskrit de mathématiques indiennes traduits en arabe.

Surya Siddhanta par Muhammad al-Fazari.
Le Brahma Sphuta Siddhanta par al-Fazari.
Khandakhayaka de Brahmagupta.
Aryabhatiya de Aryabhata.
Pancha Siddhanta de Varahamihira.
Le Lagu Bhaskariya de Bhaskara I.

Arabe à Latin [modifier]

Les textes arabes suivants ont été traduits en latin :

Introduction à l’Astronomie par Adélard de Bath (fl. 1116-1142).
les traités arithmétiques Liber ysagogarum Alchorismi et Astronomical Tables d’Al-Khwarizmi par Adélard de Bath.
Les tables arithmétiques d’Al-Khwarizmi par Adélard de Bath (1126).
Zij al-Sindhind Al-Khwarizmi (1126).
Liber alghoarismi de practica arismetrice, par Jean de Séville et Domingo Gundisalvo (fl. 1135-1153).
Secretum Secretorum par Jean de Séville and Domingo Gundisalvo.
De motu stellarum d’Al-Battani, contenant d’importants travaux de trigonométrie, par Platon de Tivoli (fl. 1134-1145).
Algebra (ou Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison) d’Al-Khwarizmi par Gérard de Crémone (fl. 1150-1185) et par Robert de Chester (1145).
Elementa astronomica de Jabir Ibn Aflah par Gérard de Crémone.

Chronologie [modifier]

Cette frise chronologique décrit l'évolution des mathématiques arabes.

Annexes [modifier]

Articles connexes [modifier]

Liens externes [modifier]

L'algèbre arabe: entretien avec Ahmed Djebbar

Catégorie : Mathématiques arabes | [+]

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques_arabes

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G	Géométriques	Géométrie	Grandeur Gravité	Gémâtrie
H		Hauteur Homothétie		Hindouisme Holisme Humour
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M	Matrice Multiplication	Médiane Médiatrice	Masse manquante Matière Mécanique Mesure Molécule	Mémoire Métaphysique
N	Nombre Nomenclature		Neutrino	Numérologie
O	Opération Or (Nombre d'-)		Optique	Occultisme
P	Partition Pi - 3,14 Pourcentage Premier Preuve Puissance	Plan Produit scalaire Probabilité	Parallaxe Physique moderne Pression	Pensées (citations) Pixel
Q			Quantique

R	Racine nombre Racine équation Règle de trois	Repère Rotation	Relativité Relativité d'échelle	Réductionnisme Religions
S		Série Similitude Statistiques Suite Symétrie Système d'axes	Sciences
T		Topologie Translation Transformation Triangle	Trou noir	Tarots Temps Torah
U			Unité
V		Vecteur	Vitesse	Vote
WX
YZ				Yoga Zen Zodiaque

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Sites

Grand dictionnaire terminologique

Définition et traduction anglaise

Hyperdictionary

Édition du 30/08/2010

Gérard Villemin

Théorie des nombres

Cet article ne cite pas suffisamment ses sources (mars 2010).

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Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers, qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs, et contient beaucoup de problèmes ouverts qu'il est facile de comprendre, même par les non mathématiciens. Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres occupe une place particulière en mathématiques, à la fois par ses connexions avec de nombreux autres domaines, et par la fascination qu'exercent ses énoncés. Ainsi, la citation suivante, de Jürgen Neukirch :

« La théorie des nombres occupe parmi les disciplines mathématiques une position idéalisée analogue à celle qu'occupent les mathématiques elles-mêmes parmi les autres sciences. »¹

Le terme « arithmétique » est aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres. C'est un terme assez ancien, qui n'est plus aussi populaire que par le passé. Néanmoins, le terme reste répandu — c’est-à-dire dans les noms des champs mathématiques (géométrie algébrique arithmétique, l'arithmétique des courbes et surfaces elliptiques). Ce sens du terme arithmétique ne doit pas être confondu avec la branche de logique qui étudie l'arithmétique dans le sens des systèmes formels.

La théorie des nombres peut être divisée en plusieurs champs d'étude en fonction des méthodes utilisées et des questions traitées.

Article détaillé : liste des matières de la théorie des nombres.

Les diverses branches de la théorie des nombres [modifier]

La théorie élémentaire des nombres [modifier]

Dans ce domaine, les entiers sont étudiés sans utiliser de techniques d'autres domaines des mathématiques. Les questions de divisibilité, l'algorithme d'Euclide pour calculer le plus grand commun diviseur (PGCD), la factorisation des entiers en nombres premiers, la recherche des nombres parfaits et des congruences appartiennent à ce domaine. Les affirmations typiques sont le petit théorème de Fermat et le théorème d'Euler, et par extension le théorème des restes chinois et la loi de réciprocité quadratique. Les propriétés des fonctions multiplicatives comme la fonction de Möbius et la fonction φ d'Euler sont étudiées ; ainsi que les suites d'entiers comme les factorielles et les nombres de Fibonacci.

Beaucoup de questions en théorie élémentaire des nombres apparaissent simples mais requièrent de très profondes considérations et de nouvelles approches, tels les exemples suivants :

La conjecture de Goldbach concernant l'expression des nombres pairs comme somme de deux nombres premiers,
La conjecture des nombres premiers jumeaux à propos de l'infinité des paires de nombres premiers consécutifs, et
La conjecture de Syracuse concernant une simple itération.

La théorie des équations diophantiennes a même été montrée comme étant indécidable.

Article détaillé : problèmes de Hilbert.

La théorie analytique des nombres [modifier]

La théorie analytique des nombres emploie l'outillage du calcul infinitésimal et de l'analyse complexe pour traiter des questions sur les entiers. Le théorème des nombres premiers et l'hypothèse de Riemann qui lui est reliée en sont des exemples. Le problème de Waring (c’est-à-dire : pour un nombre donné, est-il la somme de carrés, de cubes, etc.), la conjecture des nombres premiers jumeaux (trouver une infinité de paires de nombres premiers dont la différence est 2) et la conjecture de Goldbach (écrire les entiers pairs comme somme de deux nombres premiers) sont attaqués avec les méthodes d'analyse avec succès. Les preuves de la transcendance des constantes mathématiques, comme π ou e, sont aussi classées comme faisant partie de la théorie analytique des nombres. Tandis que les résultats à propos des nombres transcendants semblent être enlevés de l'étude des entiers, ils étudient réellement les valeurs possibles de polynômes à coefficients entiers évalué à, disons, e; ils sont aussi reliés fermement au champ de l'approximation diophantienne, qui recherche « de quelle façon correcte » un nombre réel donné peut être approché par un nombre rationnel.

La théorie algébrique des nombres [modifier]

Dans la théorie algébrique des nombres, le concept de nombre est étendu aux nombres algébriques qui sont les racines des polynômes avec des coefficients rationnels. Ces domaines contiennent des éléments analogues aux entiers, connus sous le nom entiers algébriques. Avec ces règles, les propriétés familières des entiers (c’est-à-dire la factorisation unique) ne sont plus les mêmes. Les vertus de l'outillage employé -- théorie de Galois, corps cohomologique, théorie des corps de classes, représentation des groupes et les fonctions L -- sont telles qu'elles permettent de retrouver un ordre partiel pour ces nouvelles classes de nombres.

Beaucoup de questions théoriques sur les nombres sont attaquées avec succès par leur étude modulo p pour tous les nombres premiers p.

Article détaillé : corps fini.

Ceci mène à la construction des nombres p-adiques ; ce champ d'étude est appelé analyse locale et résulte de la théorie algébrique des nombres.

La théorie géométrique des nombres [modifier]

Traditionnellement appelée géométrie des nombres, la théorie géométrique des nombres incorpore toutes les formes de la géométrie. Elle commence avec le théorème de Minkowski à propos de réseaux de points (treillis) dans les ensembles convexes et de recherches sur les empilement de sphères. La géométrie algébrique, et spécialement la théorie des courbes elliptiques, peuvent aussi être employées. Le célèbre Dernier théorème de Fermat fut prouvé avec ces techniques.

La théorie combinatoire des nombres [modifier]

La théorie combinatoire des nombres s'occupe des problèmes de théorie des nombres qui impliquent les idées combinatoires dans leurs formulations ou leurs solutions. Paul Erdősest le principal fondateur de cette branche de la théorie des nombres. Les sujets caractéristiques incluent le système de couverture, les problèmes à somme zéro, diverses sommes d'ensembles restreintes et des progressions arithmétiques dans l'ensemble des entiers. Les méthodes algébriques ou analytiques sont puissantes dans ce champ d'étude.

La théorie calculatoire des nombres [modifier]

Ce domaine étudie plus particulièrement les algorithmes appropriés pour la théorie des nombres. Les algorithmes déterministes et probabilistes pour les tests de primalité des nombres supposés premiers et les décompositions en produit de facteurs premiers de nombres à plusieurs centaines de chiffres ont d'importantes applications en cryptographie et est, de fait, un sujet très sensible.

Histoire de la théorie des nombres [modifier]

Civilisation védique [modifier]

Les mathématiciens de l'Inde se sont intéressés à la recherche de solutions intégrales d'équations diophantiennes depuis la période védique. L'usage géométrique le plus ancien des équations diophantiennes peut être retracé dans les Sulba Sutras, qui ont été écrits entre le viii^e et le vi^e siècle av. J.-C. Baudhayana (env. 800 avant J.-C.) trouva deux ensembles de solutions intégrales positives à un système d'équations diophantiennes, et utilisa aussi les systèmes d'équations diophantiennes à quatre inconnues. Apastamba (env. 600 avant J.-C.) utilisa les systèmes d'équations diophantiennes à cinq inconnues.

Époque jaïna [modifier]

En Inde, les mathématiciens de l'époque jaïna développèrent une théorie des nombres systématique du iv^e siècle av. J.-C. jusqu'au ii^e siècle av. J.-C. Le texte Surya Prajinapti (env. 400 avant J.-C.) classe tous les nombres en trois ensembles : énumérables, non énumérables et infini. Chacun de ces trois ensembles était divisé plus avant en trois ordres :

Légende
Ensembles	Définitions
Énumérables	le plus bas, intermédiaire et le plus haut.
Non énumérable	non énumérable proche, vraiment non énumérable et non énumérablement non énumérable.
Infini	infini proche, vraiment infini, infiniment infini.

Les mathématiciens de l'époque jaïna furent les premiers à écarter l'idée que tous les infinis sont les mêmes ou égaux. Ils reconnurent cinq types différents d'infini : infini dans une ou deux directions (une dimension), infini en surface (deux dimensions), infini partout (trois dimensions), et infini perpétuellement (dans un nombre infini de dimensions).

Le nombre énumérable le plus haut N des ouvrages jaïnas correspond au concept moderne de aleph-zéro $aleph_0$ (le nombre cardinal de l'ensemble infini des entiers 1, 2, ...), le plus petitnombre transfini cardinal. Les mathématiciens de cette époque ont défini aussi un système entier de nombres cardinaux transfinis, dans lequel notre $aleph_0$ est le plus petit.

Dans le travail sur la théorie des ensembles, deux types de nombres transfinis de base ont été distingués. Pour des raisons à la fois physiques et ontologiques, une distinction fut faite entre asmkhyata et ananata, entre infini rigidement lié et infini pauvrement lié.

Civilisation grecque [modifier]

La théorie des nombres fut une étude favorite parmi les mathématiciens grecs d'Alexandrie, Égypte à partir du iii^e siècle av. J.-C., qui eurent conscience du concept d'équation diophantienne dans de nombreux cas particuliers. Le premier mathématicien hellène à étudier ces équations fut Diophante.

Diophante a également recherché une méthode pour trouver les solution entières pour les équations indéterminées linéaires, équations pour lesquelles il manque une information suffisante pour produire un ensemble unique de réponses discrètes. L'équation $x + y = 5,$ est une telle équation. Diophante a découvert que beaucoup d'équations indéterminées peuvent être ramenées à une forme où une certaine catégorie de solutions est connue alors qu'une solution spécifique ne l'est pas.

L'époque classique en Inde [modifier]

Les équations diophantiennes furent étudiées de manière intensive par les mathématiciens indiens de la période médiévale, qui furent les premiers à chercher systématiquement des méthodes pour la détermination de solutions intégrales d'équations diophantiennes. Aryabhata (en 499) donna la première description explicite de la solution intégrale générale de l'équation diophantienne linéaire $ay + bx = c,$ , qui apparaît dans son texte Aryabhatiya. Cet algorithme kuttaka est considéré comme étant l'une des contributions les plus significatives d'Aryabhata en mathématiques pures, qui trouva les solutions d'équations diophantiennes en termes de fractions continues. La technique fut appliquée par Aryabhata pour donner les solutions intégrales d'un système d'équations diophantiennes linéaires, un problème avec d'importantes applications en astronomie. Il trouva aussi la solution générale de l'équation linéaire indéterminée en utilisant cette méthode.

Brahmagupta en 628 manipula des équations diophantiennes plus difficiles. Il utilisa la méthode chakravala pour résoudre les équations diophantiennes quadratiques, incluant des formes de l'équation de Pell-Fermat, telle que $61x^2 + 1 = y^2,$ . Son Brahma Sphuta Siddhanta fut traduit en arabe en 773 et fut traduit plus tard en Latin en 1126. L'équation $61x^2 + 1 = y^2,$ fut plus tard posée comme un problème en 1657 par le mathématicien français Pierre de Fermat. La solution générale de cette forme particulière d'équation de Pell-Fermat fut trouvée plus de 70 ans plus tard par Leonhard Euler, tandis que la solution générale de l'équation de Pell-Fermat fut trouvée plus de 100 ans plus tard par Joseph Louis Lagrange en 1767. En attendant, il y a beaucoup de siècles de cela, la solution générale de l'équation de Pell-Fermat fut enregistrée par Bhaskara II en 1150, utilisant une version modifiée de la méthode chakravala de Brahmagupta, qu'il utilisa aussi pour trouver la solution générale d'autres équations quadratiques intermédiaires indéterminées et des équations diophantiennes quadratiques. La méthode chakravala de Bhaskara pour trouver la solution générale de l'équation de Pell-Fermat était plus simple que la méthode utilisée par Lagrange 600 ans plus tard.

Bhaskara trouva aussi des solutions pour d'autres équations indéterminées quadratiques, cubique, quartique et des équations polynômiales de degré plus élevés. Narayana Panditperfectionna encore la méthode chakravala et trouva plus de solutions générales pour les autres indéterminées quadratiques ainsi que pour les équations polynômiales de degré plus élevés.

La civilisation islamique [modifier]

À partir du ix^e siècle, les mathématiciens islamiques portèrent un vif intérêt a la théorie des nombres. Le premier de ces mathématiciens fut le mathématicien arabe Thabit ibn Qurra, qui découvrit un théorème qui permettait de trouver des paires de nombres amiables, c’est-à-dire deux nombres qui sont chacun la somme des diviseurs propres de l'autre.

Au x^e siècle, Al-Baghdadi découvrit une légère variante du théorème de Thabit ibn Qurra. Al-Haitham semble avoir été le premier à tenter de classer tous les nombres parfaits pairs (nombres égaux à la somme de leurs diviseurs propres) comme ceux de la forme $2^{k-1}(2^k - 1),$ où $2^k - 1,$ est premier. Al-Haytham est aussi la première personne à avoir établi lethéorème de Wilson, concrètement que si p est premier alors $1+(p-1)!,$ est divisible par $p,$ . Le fait n'est pas éclairci s'il savait comment démontrer ce résultat. Ce théorème porte le nom de théorème de Wilson à cause d'un commentaire fait par Edward Waring en 1770 dont John Wilson avait noté le résultat. John Wilson indique à Waring qu'il ne sait pas démontrer ce résultat, Waring ne trouve pas non plus de preuve. Pourtant la première démonstration connue provient de Leibniz, qui ne juge pas utile de la publier, et Euler en avait publié une preuve.

Les nombres amiables ont joué un grand rôle dans les mathématiques islamiques. Au xiii^e siècle, le mathématicien perse Al-Farisi donna une nouvelle démonstration du théorème de Thabit ibn Qurra, introduisant de nouvelles idées concernant la décomposition et les méthodes combinatoires. Il donna aussi la paire de nombre amiables 17 296, 18 416 qui ont été attribués à Euler, mais nous savons que ceux-ci étaient connus plus tôt que Al-Farisi, peut-être même par Thabit ibn Qurra lui-même. Au xvii^e siècle, Muhammad Baqir Yazdi donna la paire de nombres amiables 9 363 584 et 9 437 056 toujours bien avant la contribution d'Euler.

Début de la théorie des nombres en Europe [modifier]

La théorie des nombres en Europe commence aux XVIe et XVIIe siècles par les travaux de Viète, Bachet de Méziriac et surtout Fermat. Au xviii^e siècle, Euler et Lagrange contribuèrent à la théorie, vers la fin du siècle, le sujet commence à prendre une forme scientifique à travers les grands travaux de Legendre (1798) et Gauss (1801). Avec ce dernier et son ouvrage, les Disquisitiones arithmeticae (1801), on peut dire que la théorie moderne des nombres commence.

Tchebychev (1850) donna des limites très utilisées pour les nombres premiers entre deux nombres donnés. Riemann (1859) conjectura que la limite de la densité des nombres premiers n'excède pas une fonction donnée (le théorème des nombres premiers), introduisit l'analyse complexe dans la théorie de la fonction ζ de Riemann, et en déduisit la formule des nombres premiers à partir de ses zéros.

L'arithmétique modulaire a réellement débuté avec les Disquisitiones arithmeticae de Gauss. Il introduisit le symbolisme suivant :

$a equiv b pmod c ;$

et explora la plus grande partie de ce domaine. Il généralise la théorie à d'autres anneaux de celui des entiers relatifs et découvre le premier ensemble d'entiers algébriques : les entiers de Gauss. Tchebychev publia en 1847 un travail en russe sur le sujet, et en France Serret le popularisa.

A côté du travail résumé précédemment, Legendre établit les premiers cas d'application loi de réciprocité quadratique. Cette loi, découverte par induction et énoncée par Euler, fut prouvée en premier par Legendre dans sa Théorie des Nombres (1798) pour des cas exceptionnels. Indépendamment d'Euler et Legendre, Gauss découvrit la loi vers 1795, et fut le premier à en donner une preuve générale. Au sujet contribuèrent aussi : Cauchy ; Dirichlet son Vorlesungen über Zahlentheorie est un classique ; Jacobi, qui introduisit le symbole de Jacobi ; Liouville, Zeller (?), Eisenstein, Kummer, et Kronecker. La théorie s'étendit pour inclure la réciprocité biquadratique et cubique, (Gauss, Jacobi qui fut le premier à prouver la loi deréciprocité cubique, et Kummer).

On doit aussi à Gauss la représentation des nombres par des formes quadratiques binaires. Cauchy, Poinsot (1845), Lebesgue (?) (1859, 1868), et notablement Hermite ont contribué à ce sujet. Dans la théorie des formes ternaires, Eisenstein a été un chef de file, et grâce à lui et aussi à H. J. S. Smith, on doit une avancée remarquable dans la théorie des formes en général. Smith donna une classification complète des formes quadratiques ternaires, et étendit les recherches de Gauss concernant les formes quadratiques réelles vers les formes complexes. Les recherches concernant la représentation des nombres par la somme de 4, 5, 6, 7, 8 carrés furent approfondies par Eisenstein et la théorie fut complétée par Smith.

Dans l'histoire de la théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat joue un rôle à part, en raison des efforts considérables, étalés sur plus de trois cents ans, des mathématiciens du monde entier pour en apporter la preuve (ou la négation). Ce théorème affirme que pour n > 2, il n'existe pas d'entiers non nuls x, y et z vérifiant :

$x^n+y^n=z^n,!$ .

Pierre de Fermat lui-même en apporta la preuve dans le cas particulier n = 4. Euler, en 1753, le démontra presque pour n = 3, introduisant dans sa preuve les nombres imaginaires. En1825, Dirichlet et Legendre démontrent le cas n = 5, en utilisant une avancée décisive de la française Sophie Germain (cf Démonstrations du dernier théorème de Fermat). Lamé résout le cas n = 7 en 1839. Ces différents cas sont résolus à l'aide de structure d'anneaux euclidien de la même nature que les entiers de Gauss, ce sont les anneau d'entiers d'Eisenstein et d'entiers de Dirichlet. Kummer en 1847 prouve le théorème lorsque l'exposant n est un nombre premier régulier, et ouvre la théorie de idéaux. À la fin du xix^e et au début du xx^e siècle, les mathématiciens délaissent le grand théorème de Fermat pour se consacrer aux fondements des mathématiques. En 1955, le japonais Taniyama émet l'hypothèse d'un lien profond entre les courbes elliptiques rationnelles et les formes modulaires, deux domaines a priori très éloignés des mathématiques. Ribet, prouvant une conjecture de Serre, montre que cetteconjecture de Shimura-Taniyama-Weil a pour conséquence le grand théorème de Fermat. C'est Andrew Wiles qui prouvera une portion suffisante de cette conjecture en 1994, avec l'aide de Richard Taylor, et apportera une réponse définitive au célèbre problème.

Parmi les derniers auteurs français se trouvent Borel, Poincaré (leurs mémoires sont nombreux et de grande valeur), Tannery, et Stieltjes. Parmi les plus grands contributeurs enAllemagne se trouvent Kronecker, Kummer, Schering, Bachmann, et Dedekind. En Autriche, le travail de Stolz Vorlesungen über allgemeine Arithmetik (1885-1886), et en Angleterre George B. Mathews, sa 'Théorie des nombres (Part I, 1892)' est l'un des plus érudits des travaux généraux. Genocchi, Sylvester, et Glaisher ont aussi participé à la théorie.

Citation [modifier]

La mathématique est la reine des sciences et la théorie des nombres est la reine des mathématiques. Gauss

Bibliographie [modifier]

Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique, PUF, 1985.

Références [modifier]

↑ Introduction à l'ouvrage Cohomology of number fields. « Die Zahlentheorie nimmt unter den mathematishen Disziplinen eine ähnlich idealisierte Stellung ein wie die Mathematik selbst unter den anderen Wissenschaften. »

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Voir aussi [modifier]

Liens externes [modifier]

Initiation à la théorie des nombres

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_nombres

Zero, One, two, Three...Infinity

The concept of zero originated in India. The concept of a number system with basis 10 was prevalent during Vedic times itself. Consider the following hymn from Atharvaveda.

Atharvaveda 5.15

(1) eka cha me dasha cha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.

(2) dve cha me vinshatishcha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.

(3) tistramcha me trinshachcha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.

(4) Chatasrashcha me chatvarinshachcha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.

(5) pancha cha me panchashachcha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.

(6) sat cha me sastishcha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.

(7) sapta cha me saptatishcha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.

(8) asta cha me ashitishcha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.

(9) nava cha me navatishcha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.

(10) dasha cha me shatam cha me apavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.

(11) shatam cha me sahasram chapavaktara osadhe. Ritajata ritavari madhu me madhula karah.

Translation:

Atharvaveda 5.15

(1) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be one and ten.

(2) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be two and twenty.

(3) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be three and thirty.

(4) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be four and forty.

(5) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be five and fifty.

(6) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be six and sixty.

(7) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be seven and seventy.

(8) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be eight and eighty.

(9) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be nine and ninety.

(10) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be ten and hundred.

(11) O companion and embodiment of universal law, grant me sweetness. May revilers be hundred and thousand.

Following words are used for numerals in this hymn:

Eka	One	Vinshati	Twenty
Dva	Two	Trinshat	Thirty
Tisra	Three	Chatvarinshat	Forty
Chatasra	Four	Panchashat	Fifty
Pancha	Five	Sasti	Sixty
Sat	Six	Saptati	Seventy
Sapta	Seven	Ashiti	Eighty
Asta	Eight	Navati	Ninty
Nava	Nine	Shata	Hundred
Dasha	Ten	Sahasra	Thousand

A mantra from Yajurveda describes numbers increasing by a factor of ten up to a trillion.

"Ima me agna istaka dhenavah santveka cha dasha cha dasha cha shatam cha shatam cha sahasram cha sahasram chayutam chayutam cha niyutam cha niyutam cha prayutam charbudam cha nyarbudam cha samudrashcha madhyam chantashcha parardhashchaita me agna ishtaka dhenavah santvamutramusminlloke." Yajurveda 17.2

"O Agni! May these bricks be cows for me. One and ten, and ten and hundred, and hundred and thousand, and thousand and ten thousand, and ten thousand and hundred thousand, and hundred thousand and million, and ten million, and hundred million, and billion, and ten billion, and hundred billion, and trillion, O Agni, may these bricks be cows for me in this world and in the other world." Yajurveda 17.2

Following words are used for numerals in this mantra:

eka = one

dasha = ten

shatam = hundred

sahasra = thousand

ayuta = ten thousand

niyuta = hundred thousand

prayuta = million

arbuda = ten million

nyarbuda = hundred million

samudra = billion

madhya = ten billion

anta = hundred billion

parardha = trillion

Our Vedic ancestors didn't stop there, but took the concept of large numbers to all the way to infinity, as evidenced by the following mantra from Yajurveda.

"Purnamadah Purnamidam Purnatpurnamudachyate.

Purnasya Purnamadaya Purnamevavashisyate." Yajurveda, Shanti Mantra

meaning,

"That is Purna, this is Purna, Purna comes out of Purna.

If Purna is subtracted from Purna, still Purna is left." Yajurveda, Peace Mantra, Chapter 40

Purna is derived from root "Pri" meaning to fill. Thus Purna means full or complete. In this verse, Purna can also be interpreted to mean infinity. Second line then yields that the result of subtracting infinity from infinity is still infinity.

Source : http://home.ica.net/~roymanju/Infinity.htm

Mathématiques indiennes

La chronologie des mathématiques indiennes s'étend de la civilisation de la vallée de l'Indus (-3300 à -1500) jusqu'à l'Inde moderne.

Parmi les impressionnantes contributions des mathématiciens indiens au développement de la discipline, la plus féconde est certainement la numération décimale de position, appuyée sur des chiffres arabo-indiens, et qui se sont imposés dans le monde entier.

Mais les Indiens ont également maîtrisé le zéro¹ , les nombres négatifs, les fonctions trigonométriques¹. Les concepts mathématiques indiens ont diffusé et ont trouvé un écho en Chineet dans les mathématiques arabes, avant de parvenir en Europe.

Les mathématiciens indiens ont également découvert les fondements de l'analyse : calcul différentiel et intégral, limites et séries, bien avant leur redécouverte en Occident.

Sommaire

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La civilisation de la vallée de l'Indus [modifier]

La civilisation de la vallée de l'Indus, remontant aux environs de l'an -3300, apporte les premiers témoignages d'une activité mathématique, sur le sous-continent indien. Les fouilles deHarappa, Mohenjo-daro et de la zone environnante ont permis de découvrir un système de poids et mesures d'une grande précision et de caractère décimal, une technologie de la briquerépondant à des recherches de proportion précises, et une sensibilité aux formes géométriques.

Les poids sont mesurés dans un système décimal, puisque le poids unité (de 28 grammes environ) se décline selon les facteurs 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, et 500. Les longueurs sont mesurées à l'aide de règles d'une grande précision. Une règle d'ivoire trouvée à Lothal porte ainsi des divisions espacées de 1,7 mm.

La confection de briques s'appuie sur des proportions fixes 4:2:1, d'une grande efficacité pratique. L'utilisation des règles pour choisir les dimensions des briques est attestée par la correspondance, sur les mêmes lieux, entre les divisions des règles, et les longueurs des briques qui en sont des multiples entiers.

Les poids de référence sont fréquemment de forme cubique, mais peuvent prendre d'autres formes géométriques : tonneaux, cônes, cylindres. On trouve également des dessins géométriques gravés qui témoignent d'une certaine familiarité avec les cercles¹.

À Lothal, un instrument de mesure des angles a également été découvert. Il avait probablement pour utilité de diviser le ciel en 8 ou 12 sections.

Mathématiques de l'époque védique (-1500 à -400) [modifier]

Article détaillé : Mathématiques védiques.

L'articulation entre la civilisation de la vallée de l'Indus et la civilisation védique est mal connue. La théorie de l'invasion aryenne y voyait initialement le résultat d'une invasion violente et subite. La grande majorité des historiens lui préfère maintenant la théorie d'une migration progressive des Aryens en provenance d'Asie centrale. Quelques-uns (souvent indiens) soutiennent en revanche le caractère autochtone des aryens et identifient les deux civilisations.

Les textes védiques sont des textes religieux écrits en sanskrit réglementant la taille des autels de sacrifice. Les mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstrations, et s'accompagnent de considérations relevant de l'astronomie et ayant également un caractère religieux. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Vedas contiennent quelques considérations mathématiques, mais la plupart sont regroupées dans les sulba-sutras, ouvrages de géométrie servant d'appendices aux Vedas.

Les Indiens de cette époque utilisent des formes polygonales simples, connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. Ils connaissent les opérations arithmétiques et considèrent des équations simples. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π (exactes jusqu'à la première, voire la deuxième décimale) et de la racine carrée de deux (jusqu'à la cinquième décimale)¹.

Vers la fin de cette période, on voit se mettre en place les neuf chiffres du système décimal. La fascination, d'origine religieuse, pour ces chiffres gigantesques, explique sans doute que les Indiens ont eu plus de facilité à appréhender l'idée d'infinité (purna, la plénitude), parallèlement à celle de zéro (śūnya, le vide), qu'ils commencent à faire entrer dans leurs opérations : ainsi dans le Yajur-Veda, quand on soustrait purna de purna il reste toujours purna ².

Mathématiques de l'époque jaïniste (-400 à 200) [modifier]

Fondée en Inde au vi^e siècle av. J.-C., le jaïnisme est une religion et une philosophie. La vision cosmologique a fortement motivé les mathématiques indiennes, et en particulier la conception de l'infini. Le monde était divisé par une limite en deçà de laquelle agissaient les êtres vivants, les dieux et les démons. Le monde supérieur était divisé en deux parties. Ces divisions se retrouvent dans les nombres : dénombrables, indénombrables et infinis.

Les mathématiques jaïnistes réfèrent à la période s'étendant jusqu'au v^e siècle, période sous laquelle la religion jaïniste était dominante. Peu de résultats scientifiques de cette période ont été conservés, mais ils sont d'une grande originalité. L'étude des mathématiques n'est plus dans un but uniquement pratique ou religieux, mais se justifie par elle-même.

Les jaïnistes introduisent les premiers concepts de cardinalité et de nombres transfinis, persuadés que tous les infinis ne sont pas égaux. En particulier, ils introduisirent un plus grand nombre dénombrable (N) qui aujourd'hui a donné aleph-zéro, le plus petit cardinal transfini.

Pingala, une école de jaïnistes, introduit le calcul matriciel et le système binaire, et utilise la suite de Fibonacci et le triangle de Pascal, autant de résultats qui seront redécouverts. Le zéro est noté par un point.

Bien que les explications données en astronomie étaient de nature religieuse (interventions systématiques de démons), leurs observations étaient précises. Dans Surya Prajnapti (400 avant notre ère) est calculée la période orbitale de la lune de 29.5161290 jours, soit une erreur de 20 minutes.

Période classique (400 à 1200) [modifier]

La période classique est souvent considérée comme l'âge d'or des mathématiques indiennes. Avec des mathématiciens tels que Aryabhata¹, Varahamihira, Brahmagupta, Mahavira etBhaskara¹, elle fut une période d'intense rayonnement en direction de l'Orient et du monde islamique.

Les avancées durant cette période eurent lieu dans le domaine des systèmes d'équations linéaires et quadratiques, de la trigonométrie, avec l'apparition des fonctions trigonométriques et des tables permettant de les calculer. De nombreux travaux portent sur des équations polynomiales de degrés divers, ou sur des problèmes d'astronomie tels que les calculs d'éclipses.

Avec Brahmagupta¹ (598-668) et son ouvrage célèbre, le Brahmasphutasiddhanta, les différentes facettes du zéro, chiffre et nombre, sont parfaitement comprises et la construction dusystème de numération décimal parachevée. Les nombres négatifs sont également introduits, ainsi que les racines carrées.

La période s'achève avec le mathématicien Bhaskara Acharya³ (1114-1185) qui écrivit plusieurs traités importants. On y trouve des équations polynomiales, des formules de trigonométrie, dont les formules d'addition. Certains auteurs font de Bhaskara un des pères de l'analyse puisqu'il introduisit plusieurs éléments relevant du calcul différentiel : nombre dérivé, différentiation et application aux extrema, et même une première forme du théorème de Rolle.^{[réf. nécessaire]} Ces percées seront reprises et amplifiées par les mathématiciens de l'école du Kerala.

L'école du Kerala (1300 à 1600) [modifier]

Une école de mathématiciens-astronomes prospéra pendant trois siècles dans la région du Kerala, dans le sud de l'Inde. Le fondateur en est Madhava de Sangamagrama (v. 1340-1425), qui partage avec Bhaskara la primauté dans l'introduction des concepts de l'analyse moderne. Les travaux de Madhava nous sont surtout connus à travers ceux de ses successeurs, mais ils montrent que le geste fondamental de l'analyse, le passage à la limite, s'est opéré.

On trouve notamment dans le Yuktibhasa, rédigé par Jyesthadeva, des développements de fonctions sous forme de séries, des approximations par séries de Taylor, des tests de convergence pour des séries numériques, des intégrations terme à terme. En conséquence, l'école du Kerala disposera d'approximations très précises de pi (onze décimales), de tables trigonométriques à neuf décimales.

L'usage de la langue locale (le malayalam) fut un obstacle à la diffusion des idées de l'école du Kerala. Il est vraisemblable que la redécouverte des bases de l'analyse en Occident se produisit sans influence indienne mais par le truchement des arabes, même si certains historiens, défendent la théorie d'une transmission par les missionnaires jésuites, eux-mêmes souvent versés en mathématiques et astronomie.

Notes et références [modifier]

↑ ^{a, b, c, d, e, f et g} (fr)En Inde, on n'est pas des dindes ! [archive] sur www.maths-rometus.org. Consulté le 18 septembre 2010.
↑ Zero, One, two, Three...Infinity [archive]
↑ (fr)BHASKARA (Bhaskaracharya), indien, 1114-1185 [archive] sur serge.mehl.free.fr. Consulté le 18 septembre 2010.

Voir aussi [modifier]

Sciences indiennes

Liens externes [modifier]

Michel Waldschmidt, Les Mathématiques en Inde
(en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Mathématiques indiennes », MacTutor History of Mathematics archive, Université de St Andrews.

Catégorie : Mathématiques indiennes | [+]

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques_indiennes

Méthode de Monte-Carlo

Pour les articles homonymes, voir Monte-Carlo (homonymie).

Le terme méthode de Monte-Carlo, ou méthode Monte-Carlo, désigne toute méthode visant à calculer une valeur numérique en utilisant des procédés aléatoires, c'est-à-dire des techniques probabilistes. Le nom de ces méthodes, qui fait allusion aux jeux de hasard pratiqués à Monte-Carlo, a été inventé en 1947 par Nicholas Metropolis¹, et publié pour la première fois en 1949 dans un article co-écrit avec Stanislas Ulam².

Les méthodes de Monte-Carlo sont particulièrement utilisées pour calculer des intégrales en dimensions plus grandes que 1 (en particulier, pour calculer des surfaces et des volumes). Elles sont également couramment utilisées en physique des particules, où des simulations probabilistes permettent d'estimer la forme d'un signal ou la sensibilité d'un détecteur. La comparaison des données mesurées à ces simulations peut permettre de mettre en évidence des caractéristiques inattendues, par exemple de nouvelles particules.

La méthode de simulation de Monte-Carlo permet aussi d'introduire une approche statistique du risque dans une décision financière. Elle consiste à isoler un certain nombre de variables-clés du projet, tels que le chiffre d'affaires ou la marge, et à leur affecter une distribution de probabilités. Pour chacun de ces facteurs, un grand nombre de tirages aléatoires est effectué dans les distributions de probabilité déterminées précédemment, afin de trouver la probabilité d'occurrence de chacun des résultats.

Le véritable développement des méthodes de Monte-Carlo s'est effectué sous l'impulsion de John von Neumann et Stanislas Ulam notamment, lors de la Seconde Guerre mondiale et des recherches sur la fabrication de la bombe atomique. Notamment, ils ont utilisé ces méthodes probabilistes pour résoudre des équations aux dérivées partielles dans le cadre de la Monte-Carlo N-Particle transport (MCNP).

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Théorie [modifier]

Nous disposons de l'expression de l'espérance mathématique d'une fonction $g$ de variable aléatoire $X$ , résultant du théorème de transfert, selon lequel

$G = E(g(X))=int_a^b g(x)f_X(x) , mbox{d}x$

où $f X$ est une fonction de densité sur le support $[a; b]$ . Il est fréquent de prendre une distribution uniforme sur $[a; b]$ :

$f_X(x) = frac{1}{b-a}$

Ceci peut être étendu aux probabilités discrètes en sommant grâce à une mesure $ν$ discrète, de type Dirac.

L'idée est de produire un échantillon $(x 1, x 2,..., x N)$ de la loi $X$ (donc d'après la densité $f X$ ) sur le support $[a; b]$ , et de calculer un nouvel estimateur dit de Monte-Carlo, à partir de cet échantillon.

La loi des grands nombres suggère de construire cet estimateur à partir de la moyenne empirique :

$tilde{g_N} = frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} g(x_i),$

qui se trouve être, par ailleurs, un estimateur sans biais de l'espérance.

Ceci est l'estimateur de Monte-Carlo. Nous voyons bien qu'en remplaçant l'échantillon par un ensemble de valeurs prises dans le support d'une intégrale, et de la fonction à intégrer, nous pouvons donc construire une approximation de sa valeur, construite statistiquement.

Cette estimation est sans-biais, dans le sens où

$E(tilde{g_N})= G = E(g(X))$

Il faut aussi quantifier la précision de cette estimation, via la variance de

$tilde{g_N}$ .

Si l'échantillon est supposé iid, cette variance est estimée à l'aide de la variance empirique

$S^2_{g(X)} = frac{1}{N} sum_{i=1}^N (g(x_i) - tilde{g_N})^2 simeq sigma_g^2$

avec

$sigma_g^2= E(g^2(X)) - E(g(X))^2 = int_{Omega} g^2(x) f_X(x) ,mbox{d} x - G^2$

Par le théorème de la limite centrale, on sait que la variable :

$Z := frac{tilde{g_N}-G}{sigma_g / sqrt{N}} equiv N ; left(0;1right)$

qui est centrée et réduite, suit approximativement la loi normale centrée réduite, ou loi de Gauss. Il est alors possible de construire des intervalles de confiance, ce qui permet d'encadrer l'erreur commise en remplaçant G par $tilde{g_N}$ . Si cette erreur est dénotée $e n$ , alors pour un niveau de risque $α$ donné, on a:

$|e_n| leq z_{1-alpha/2}frac{sigma_g}{sqrt{N}}$

avec probabilité $1 - α$ . Le réel $z 1 - α / 2$ est le quantile de la loi normale centrée réduite. Par exemple, au niveau de risque $alpha = 5 %$ , on trouve dans les tables $z 1 - α / 2 = 1,96$ et l'erreur est majorée par $1,96 sigma_g/sqrt{N}$ . Cette méthode permet donc de quantifier l'erreur commise, à condition d'estimer $σ g$ par sa contre-partie empirique

$hat{sigma}_g = sqrt{S^2_{g(X)}}.$

On voit ainsi que l'erreur est de l'ordre de $N - 1 / 2$ : par exemple, multiplier la taille de l'échantillon par 100 permet de diviser par 10 l'erreur d'estimation.

Il est à noter qu'en pratique, $hat{sigma}_g$ n'est pas connu et doit être estimé ; comme précisé plus-haut, on peut utiliser sa contre-partie empirique. Diverses méthodes, dites techniques deréduction de la variance, permettent d'améliorer la précision — ou de diminuer le temps de calcul — en remplaçant $g (X)$ par une autre variable aléatoire. Ces techniques rentrent en général dans l'une des classes suivantes : l'échantillonnage préférentiel, les variable de contrôle, la variable antithétique, la stratification (Monte-Carlo) et le conditionnement (Monte-Carlo).

Exemples [modifier]

Résolution du Problème du voyageur de commerce [modifier]

La résolution du problème du voyageur de commerce est difficile, du fait de la complexité du problème, l'emploi de méthodes d'optimisation probabilistes peut s'avérer efficace pour obtenir une approximation de la meilleure solution, en un temps plus court que pour des méthodes déterministes.

Détermination de la valeur de π (pi) [modifier]

Cette méthode est proche de l'expérience de l'aiguille de Buffon.

Soit un point $scriptstyle M$ de coordonnées $scriptstyle (x, y)$ , où $scriptstyle 0<x<1$ et $scriptstyle 0<y<1$ .

On tire aléatoirement les valeurs de $scriptstyle x$ et $scriptstyle y$ .

Si $scriptstyle x^2+y^2<1$ alors le point $scriptstyle M$ appartient au disque de centre $scriptstyle (0,0)$ de rayon 1.

La probabilité que le point $scriptstyle M$ appartienne au disque est π/4.

En faisant le rapport du nombre de points dans le disque par rapport au nombre de tirages on obtient une approximation du nombre π/4 si le nombre de tirages est grand.

représentation du calcul de la valeur de pi par rapport du nombre de points aléatoires étant contenus dans un quart de cercle, l'ensemble des possible étant un carré de côté R

Détermination de la superficie d'un lac [modifier]

Cet exemple est un classique en vulgarisation de la méthode de Monte-Carlo. Soit une zone rectangulaire ou carrée dont les côtés sont de longueur connue. Au sein de cette aire se trouve un lac dont la superficie est inconnue. Grâce aux mesures des côtés de la zone, on connaît l'aire du rectangle. Pour trouver l'aire du lac, on demande à une armée de tirer X coups de canon de manière aléatoire sur cette zone. On compte ensuite le nombre N de boulets qui sont restés sur le terrain ; on peut ainsi déterminer le nombre de boulets qui sont tombés dans le lac : X-N. Il suffit ensuite d'établir un rapport entre les valeurs :

$frac{mathrm{superficie}_{~mathrm{terrain}}}{mathrm{superficie}_{~mathrm{lac}}} = frac{X}{X-N}$

$Longrightarrow qquad mathrm{superficie}_{~mathrm{lac}} = frac{(X-N)}{X} times mathrm{superficie}_{~mathrm{terrain}}$

Par exemple, si le terrain fait 1000 m², que l'armée tire 500 boulets et que 100 projectiles sont tombés dans le lac, alors une estimation de la superficie du plan d'eau est de : 100*1000/500 = 200 m².

Estimation de la surface du lac grâce à des tirs d'artillerie aléatoires

La qualité de l'estimation s'améliore en augmentant le nombre de tirs et en s'assurant que les artilleurs ne visent pas toujours le même endroit mais couvrent bien la zone. Cette dernière remarque est à mettre en parallèle avec la qualité du générateur aléatoire qui est primordiale pour avoir de bons résultats dans la méthode de Monte-Carlo. Un générateur biaisé est comme un canon qui tire toujours au même endroit : les informations qu'il apporte sont réduites.

Application au modèle d'Ising [modifier]

Article détaillé : Modèle d'Ising.

Estimation de la valeur d'un coup au Go [modifier]

Aux Échecs, il est facile de mesurer la valeur d'une position, et donc d'un coup y menant, en comptant le nombre de pièces sur l'échiquier, en les pondérant (1 point par pion, 5 par tour...), et en ajustant la valeur trouvée par les libertés, les protections des pièces... Cela n'est pas possible au go. On a alors recours à une analyse de Monte-Carlo : on joue "au hasard" un grand nombre de parties, et on comptabilise la proportion que l'on en gagne. Cette estimation statistique peut s'affiner en biaisant le hasard en évitant les coups stupides. Voir l'article dédié.

Notes et références [modifier]

↑ Nicholas Metropolis, « The Beginning of the Monte Carlo Method », dans Los Alamos Science, n^o 15, 1987, p. 125-130 [ texte intégral [archive] ]
↑ Nicholas Metropolis et Stanislas Ulam, « The Monte Carlo Method », dans Journal of the American Statistical Association, vol. 44, n^o 247, septembre 1949, p. 335-341 [ texte intégral [archive] ].

Voir aussi [modifier]

Bibliographie [modifier]

(en) Michael Mascagni, Advanced Monte Carlo Methods I & II, Cours du ETH de Zurich (2005/2006). [pdf] Notes de cours. On pourra également consulter la page de présentation du cours, qui contient de nombreuses références disponibles au format en pdf.
(en) Werner Krauth, Introduction to Monte Carlo algorithms, Notes de cours de l'école d'été 96 à Beg Rohu (France) et Budapest.
Simon Léger, Monte Carlo pour les nuls, 2006 [pdf] [lire en ligne]
Exemple de calcul de pi en utilisant la méthode de Monte Carlo, C++
Une explication de la méthode de Monte-Carlo par le physicien Pierre Auger

Articles connexes [modifier]

Simulation informatique,
Simuler des processus se produisant à des taux connus : Méthode de Monte-Carlo cinétique.
les techniques les plus efficaces de planification de mouvement utilisent des algorithmes probabilistes.
Méthodes de réduction de la variance de l'estimateur de Monte Carlo : Importance sampling
Physique statistique
Filtre particulaire
Algorithme de Las Vegas

Codes de simulation utilisant des méthodes de Monte-Carlo

Geant4
MCNP et MCNPX

Liens externes [modifier]

(en) Un exemple de simulation Monte-Carlo clair et didactique L'exemple se base sur la fabrication d'une pièce mécanique à partir de ses composants.

Catégories : Analyse numérique | Algorithme numérique | Probabilités | Physique statistique | [+]

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo

Histoire des mathématiques

L’histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses régions du globe allant de la Chine à l’Amérique centrale. Jusqu'au xvii^e siècle, le développement des connaissances mathématiques s’effectue essentiellement de façon cloisonnée dans divers endroits du globe. À partir du xix^e et surtout au xx^e siècle, le foisonnement des travaux de recherche et la mondialisation des connaissances mènent plutôt à un découpage de cette histoire en fonction des domaines de mathématiques.

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Préhistoire [modifier]

Article détaillé : Mathématiques préhistoriques.

L'os d'Ishango datant de plus de 20 000 ans avant notre ère est généralement cité pour être la première preuve de la connaissance des premiers nombres premiers et de la multiplication^{[réf. nécessaire]}, mais cette interprétation reste sujette à discussions^{[réf. nécessaire]}. Il est dit que les mégalithes en Égypte au V^e millénaire avant notre ère ou en Angleterre au III^e millénaire incorporeraient des idées géométriques comme les cercles, les ellipses et les triplets pythagoriciens^{[réf. nécessaire]}. En 2 600 avant notre ère, les constructions égyptiennes attestent d'une connaissance précise et réfléchie de la géométrie^{[réf. nécessaire]}.

L'ethnomathématiques est un domaine de recherche à la frontière de l'anthropologie, de l'ethnologie et des mathématiques qui vise entre autres à comprendre l'essor des mathématiques dans les premières civilisations à partir des objets, instruments, peintures, et autres documents retrouvés.

De Sumer à Babylone [modifier]

Article détaillé : Mathématiques babyloniennes.

On attribue généralement le début de l'écriture à Sumer, dans le bassin du Tigre et de l'Euphrate ou Mésopotamie. Cette écriture, dite cunéiforme, naît du besoin d'organiser l'irrigation ¹et le commerce. Conjointement à la naissance de l'écriture naissent les premières mathématiques utilitaires (économie, calculs de surface). Le premier système numérique positionnel apparaît : le système sexagésimal. Pendant près de deux mille ans, les mathématiques vont se développer dans la région de Sumer, Akkad puis Babylone. Les tablettes datant de cette période sont constituées de tables numériques et de modes d'emploi. C'est ainsi qu'à Nippur (à une centaine de kilomètres de Bagdad), ont été découvertes au xix^e siècle des tablettes scolaires datant de l'époque paléo-Babylonienne (2000 av. J.-C.)². On sait donc qu'ils connaissaient les quatre opérations mais se sont lancés dans des calculs plus complexes avec une très grande précision, comme des algorithmes d'extraction de racines carrées³, racines cubiques, la résolution d'équations du second degré. Comme ils faisaient les divisions par multiplication par l'inverse, les tables d'inverse jouaient un grand rôle. On en a retrouvé avec des inverses pour des nombres à six chiffres sexagésimaux, ce qui indique une très grande précision ⁴. On a également retrouvé des tablettes sur lesquelles figurent des listes de carrés d'entier, des listes de cubes et une liste souvent interprétée comme celle de triplets pythagoriciens⁵ suggérant qu'ils connaissaient la propriété des triangles rectangles plus de 1 000 ans avant Pythagore. Des tablettes ont aussi été retrouvées décrivant des algorithmes pour résoudre des problèmes complexes ⁶.

Ils étaient capables d'utiliser des interpolations linéaires pour les calculs des valeurs intermédiaires ne figurant pas dans leurs tableaux. La période la plus riche concernant ces mathématiques est la période de Hammurabi (xviii^e siècle av. J.-C.). Vers 1000 av. J.-C., on observe un développement du calcul vers l'astronomie mathématique⁷.

Égypte [modifier]

Article détaillé : Mathématiques en Égypte antique.

Les meilleures sources sur les connaissances mathématiques en Égypte antique sont le Papyrus Rhind (seconde période intermédiaire, xx^e siècle av. J.-C.) qui développe de nombreux problèmes de géométrie, et le Papyrus de Moscou (1850 avant J.-C.) et le rouleau de cuir. À ces documents s'ajoutent trois autres papyrus et deux tablettes de bois ; le manque de documents ne permet pas d'attester ces connaissances⁸. Les Égyptiens ont utilisé les mathématiques principalement pour le calcul des salaires, la gestion des récoltes, les calculs de surface et de volume et dans leurs travaux d'irrigation et de construction (voir Sciences Égyptiennes). Ils utilisaient un système d'écriture des nombres additionnel (numération égyptienne). Ils connaissaient les quatre opérations, étaient familiers du calcul fractionnaire (basé uniquement sur les inverses d'entiers naturels) et étaient capables de résoudre des équations du premier degré par la méthode de la fausse position. Ils utilisaient une approximation fractionnaire de π⁹. Les équations ne sont pas écrites, mais elles sous-tendent les explications données.

Chine [modifier]

La source principale la plus ancienne de nos connaissances sur les mathématiques chinoises provient du manuscrit de Zhoubi Suanjing ou Les neuf chapitres sur l'art mathématique, daté du i^er siècle, mais regroupant des résultats probablement plus anciens. On y découvre que les Chinois avaient développé des méthodes de calcul et de démonstration qui leur étaient propres : arithmétique, fractions, extraction des racines carrées et cubiques, mode de calcul de l'aire du disque, volume de la pyramide et méthode du pivot de Gauss. Leur développement des algorithmes de calcul est remarquablement moderne. Mais on trouve aussi, sur des os de moutons et de bœufs, des gravures prouvant qu'ils utilisaient un système décimal positionnel (numération chinoise). Ils sont aussi à l'origine d'abaques les aidant à calculer. Les mathématiques chinoises avant notre ère sont principalement tournées vers les calculs utilitaires. Elles se développent ensuite de manière propre entre le i^er et le vii^e siècle après J.-C. puis entre le x^e et le xiii^e siècle.

Civilisations précolombiennes [modifier]

Exemple de quipu.

La civilisation maya s'étend de 2600 avant J.-C. jusqu'à 1500 ans après J.-C. avec un apogée à l'époque classique du iii^e siècle au ix^e siècle. Les mathématiques sont principalement numériques et tournées vers le comput calendaire et l'astronomie. Les Mayas utilisent un système de numération positionnel de base vingt (numération maya). Les sources mayas sont issues principalement des codex (écrits autour duxiii^e siècle). Mais ceux-ci ont été en grande majorité détruits par l'Inquisition et il ne reste de nos jours que quatre codex (celui de Dresde, deParis, de Madrid et Grolier) dont le dernier est peut-être un faux.

La civilisation Inca (1400-1530) a développé un système de numération positionnel en base 10 (donc similaire à celui utilisé aujourd'hui). Ne connaissant pas l'écriture¹⁰, ils utilisaient des quipus pour « écrire » les statistiques de l'État. Un quipu est un encordage dont les cordes présentent trois types de nœuds symbolisant respectivement l'unité, la dizaine et la centaine¹¹. Un agencement des nœuds sur une corde donne un nombre entre 1 et 999 ; les ajouts de cordes permettant de passer au millier, au million, etc.

Inde [modifier]

Article détaillé : Mathématiques indiennes.

La civilisation de la vallée de l'Indus développa un usage essentiellement pratique des mathématiques : système décimal de poids et mesures et régularité des proportions dans la confection de briques. Les sources écrites les plus anciennes concernant les mathématiques indiennes sont les sulba-sutras (de 800 av. J.-C. jusqu'à 200). Ce sont des textes religieux écrits en sanscrit réglementant la taille des autels de sacrifice. Les mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstration. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Indiens connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π et de racine carrée de deux. Vers la fin de cette période, on voit se mettre en place les neuf chiffres du système décimal.

Il faut ensuite attendre l'époque jaïniste (v^e siècle après J.-C.) pour voir naître de nouveaux textes mathématiques. Les mathématiciens de cette époque commencent une réflexion sur l'infini, développent des calculs sur des nombres de la forme $x^{1/2^n}$ qu'ils nomment première racine carrée, seconde racine carrée, troisième racine carrée. De cette époque, datent l'Aryabhata (499), du nom de son auteur, écrit en sanscrit et en vers, et les traités d'astronomie et de mathématiques de Brahmagupta (598-670) . Dans le premier, on y trouve des calculs de volume et d'aire, des calculs de sinus qui donne la valeur de la demi-corde soutenue par un arc, la série des entiers, des carrés d'entiers, des cubes d'entiers. Une grande partie de ces mathématiques sont orientées vers l'astronomie. Mais on trouve aussi des calculs de dettes et recettes où l'on voit apparaître les premières règles d'addition et de soustraction sur les nombres négatifs. Mais c'est à Brahmagupta semble-t-il que l'on doit les règles opératoires sur le zéro en tant que nombre et la règle des signes.

Grèce antique [modifier]

Article détaillé : Mathématiques de la Grèce antique.

Machine d'Anticythère, le plus anciencalculateur analogique.

À la différences des mathématiques égyptiennes et mésopotamiennes connues par des papyrus ou des tablettes d'argiles antiques remarquablement bien conservées, les mathématiques grecques ne sont pas parvenues jusqu'à nous grâce à des traces archéologiques. On les connait grâce aux copies, traductions et commentaires de leurs successeurs.

La grande nouveauté des mathématiques grecques est qu'elles quittent le domaine de l'utilitaire pour rentrer dans celui de l'abstraction. Les mathématiques deviennent une branche de la philosophie. De l'argumentation philosophique découle l'argumentation mathématique. Il ne suffit plus d'appliquer, il faut prouver et convaincre : c'est la naissance de la démonstration. L'autre aspect de ces nouvelles mathématiques concerne leur objet d'étude. Au lieu de travailler sur des méthodes, les mathématiques étudient des objets, des représentations imparfaites d'objets parfaits, on ne travaille pas sur un cercle mais sur l'idée d'un cercle.

Les grandes figures de ces nouvelles mathématiques sont Thalès (-625 – -547), Pythagore (-580 – -490) et l'école pythagoricienne, Hippocrate(-470 – -410) et l'école de Chios, Eudoxe de Cnide (-408 – -355) et l'école de Cnide, Théétète d'Athènes (-415 – -369) puis Euclide.

Il est probable que cette école grecque des mathématiques ait été influencée par les apports mésopotamiens et égyptiens. Ainsi Thalèsvoyagea en Égypte, et il a pu rapporter en Grèce des connaissances en géométrie. Il travailla sur les triangles isocèles et les triangles inscrits dans un cercle.

Selon l'école pythagoricienne, « tout est nombre ». Les deux branches d'étude privilégiées sont l'arithmétique et la géométrie. La recherche d'objets parfaits conduit les Grecs à n'accepter d'abord comme nombres que les nombres rationnels matérialisés par la notion de longueurs commensurables : deux longueurs sont commensurables s'il existe une unité dans laquelle ces deux longueurs sont entières. L'échec de cette sélection matérialisée par l'irrationalité de la racine carrée de deux les conduit à n'accepter que les nombres constructibles à la règle et au compas. Ils se heurtent alors aux trois problèmes qui vont traverser l'histoire : la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube. En arithmétique, ils mettent en place la notion de nombre pair, impair, parfait et figuré.

Cet idéalisation des nombres et le souci de les relier à des considérations géométriques est probablement lié au système de numération grecque assez peu pratique : si le système est décimal, il est additif et se prête donc assez peu facilement aux calculs numériques. En géométrie, ils étudient les polygones réguliers avec un penchant pour le pentagone régulier.

Hippocrate de Chios cherchant à résoudre le problème mis en place par Pythagore découvre la quadrature des lunules et perfectionne le principe de la démonstration en introduisant la notion de problèmes équivalents.

Eudoxe de Cnide travaille sur la théorie des proportions acceptant ainsi de manipuler des rapports de nombres irrationnels. Il est probablement à l'origine de la formalisation de laméthode d'exhaustion pour le calcul par approximations successives d'aires et de volumes.

Théétète travaille sur les polyèdres réguliers.

La synthèse la plus importante des mathématiques grecques vient des Éléments d’Euclide. Les objets géométriques doivent être définis : il ne s'agit plus d'objets imparfaits mais de l'idée parfaite des objets. Dans ses Éléments, Euclide se lance dans la première formalisation de la pensée mathématique. Il définit les objets géométriques (droites, cercles, angles), il définit l'espace par une série d'axiomes, il démontre par implication les propriétés qui en découlent et fait le lien formel entre nombre et longueur. Cet ouvrage restera dans le cursus mathématique universitaire européen jusqu'au xix^e siècle.

Après Euclide, d'autres grands noms éclairent les mathématiques grecques. Archimède qui perfectionne les méthodes d'Eudoxe, et Apollonius de Perge dont le traité sur les coniquesest considéré comme un classique de la géométrie grecque.

Dans l'antiquité tardive, les mathématiques sont représentées par l'école d'Alexandrie.

Diophante étudiera les équations dites diophantiennes, et sera appelé le "père de l'algèbre".

Civilisation islamique [modifier]

Article détaillé : mathématiques arabes.

Une page du traité de Al-Khawarizmi.

Durant la période allant de 800 à 1500 après J.C., c'est dans les régions conquises par les musulmans que se développent le plus les mathématiques. La langue arabe devient langue officielle des pays conquis. Un vaste effort de recueils et de commentaires de textes est entrepris. S'appuyant d'une part sur les mathématiques grecques, d'autre part sur les mathématiques indiennes et chinoises que leur relations commerciales leur permettent de connaître, les mathématiciens musulmans vont considérablement enrichir les mathématiques, développant l'embryon de ce qui deviendra l'algèbre, répandant le système décimal indien avec les chiffres improprement appelés chiffres arabes et développant des algorithmes de calculs. Parmi les nombreux mathématiciens musulmans, on peut citer Al-Khwarizmi et son ouvrage al-jabr. On assiste à un développement important de l'astronomie et de la trigonométrie.

Occident [modifier]

Durant le Moyen Âge [modifier]

Illustration des Éléments d'Euclide, vers 1309 - 1316.

Le rôle du Moyen Âge fut essentiel pour l'extension du domaine des nombres. C'est durant le Moyen Âge que l'application de l'algèbre au commerce amena en Orient l'usage courant des nombres irrationnels, un usage qui se transmettra ensuite à l'Europe. C'est aussi durant le Moyen Âge, mais en Europe, que pour la première fois des solutions négatives furent acceptées dans des problèmes. C'est enfin peu après la fin du Moyen Âge que l'on considéra les quantités imaginaires, qui permettaient de mettre en évidence des solutions réelles de certaines équations du troisième degré.

Durant la renaissance européenne [modifier]

Dès le xii^e siècle est entreprise en Italie une traduction des textes arabes et, par là-même, la redécouverte des textes grecs¹². Tolède, ancien centre culturel de l'Espagne musulmane, devient, suite à la Reconquista, l'un des principaux centres de traduction, grâce au travail d'intellectuels comme Gérard de Crémone ou Adélard de Bath.

L'essor économique et commercial que connaît alors l'Europe, avec l'ouverture de nouvelles routes commerciales notamment vers l'Orient musulman, permet également aux milieux marchands de se familiariser avec les techniques transmises par les Arabes. Ainsi, Léonard de Pise, avec son Liber abaci en 1202, contribue largement à faire redécouvrir les mathématiques à l'Europe. Parallèlement au développement des sciences, se concentre une activité mathématique en Allemagne, en Italie et en Pologne aux xiv^e siècle et xv^e siècle. On assiste à un développement important de l'école italienne avec Scipione del Ferro, Tartaglia, Cardan, Ferrari, Bombelli, école principalement tournée vers la résolution des équations. Cette tendance est fortement liée au développement dans les villes italiennes de l'enseignement des mathématiques non plus dans un but purement théorique tel qu'il pouvait l'être dans le Quadriviummais à des fins pratiques, notamment destinée aux marchands. Cet enseignement se diffuse dans des botteghe d'abbaco ou « écoles d'abbaques » où des maestri enseignent l'arithmétique, la géométrie et les méthodes calculatoires à de futurs marchands à travers des problèmes récréatifs, connus grâce à plusieurs « traités d'abbaque » que ces maîtres nous ont laissés¹³.

Les nombres complexes apparaissent lors des travaux de Scipione del Ferro, à l'occasion de la résolution des équations de degrés trois. Repris par Tartaglia, et publiés par Cardan, ils trouvent une première forme avec Bombelli. Ferrari résout les équations du quatrième degré.

Jusqu'à la fin du xvi^e siècle, la résolution de problèmes demeure cependant rhétorique. Le calcul symbolique apparaît en 1591 lors de la publication de l’Isagoge de François Viète avec l'introduction de notations spécifiques pour les constantes et les variables (ce travail popularisé et enrichi par Harriot, Fermat et Descartes modifiera entièrement le travail algébrique en Europe).

Au xvii^e siècle [modifier]

Article détaillé : Mathématiques en Europe au XVIIe siècle.

Les mathématiques portent leur regard sur des aspects physiques et techniques. Fils de deux pères, Isaac Newton et Gottfried Leibniz, le calcul infinitésimal fait entrer les mathématiques dans l'ère de l'analyse (dérivée, intégrale, équation différentielle).

Le xviii^e siècle [modifier]

Leonhard Euler par Emanuel Handmann.

L'univers mathématiques du début du xviii^e siècle est dominé par la figure de Leonhard Euler ¹⁴ et par ses apports tant sur les fonctions que sur la théorie des nombres, tandis que Joseph-Louis Lagrange éclaire la seconde moitié de ce siècle.

Le siècle précédent avait vu la mise en place du calcul infinitésimal ouvrant la voie au développement d'un nouveau domaine mathématique : l'analyse algébrique dans laquelle, aux opérations algébriques classiques, viennent s'ajouter deux opérations nouvelles, la différentiation et l'intégration (introductio in analysin infinitorum - Euler-1748). Le calcul infinitésimal se développe et s'applique aussi bien aux domaines physiques (mécanique, mécanique céleste, optique, cordes vibrantes) qu'aux domaines géométriques (étude de courbes et de surfaces).Leonhard Euler, dans Calculi différentialis (1755) et Institutiones calculi integralis (1770) essaie de mettre au point les règles d'utilisation des infiniment petits et développe des méthodes d'intégration et de résolution d'équations différentielles. Jean le Rond d'Alembert puis Joseph-Louis Lagrange lui emboîtent le pas. En 1797, Sylvestre-François Lacroix publie Traité du calcul différentiel et intégral qui se veut une synthèse des travaux d'analyse du xviii^e siècle. La famille Bernoulli contribue au développement de la résolution des équations différentielles.

La fonction devient un objet d'étude à part entière. On s'en sert dans des problèmes d'optimisation. On la développe en séries entières ou asymptotiques(Taylor, Stirling, Euler, Maclaurin, Lagrange), mais sans se préoccuper de leur convergence. Leonhard Euler élabore une classification des fonctions. On tente de les appliquer à des réels négatifs ou à des complexes ¹⁵.

Le théorème fondamental de l'algèbre (existence de racines éventuellement complexes à tout polynôme) resté sous forme de conjecture depuis deux siècles est remis en avant dans l'utilisation de la décomposition des fractions en éléments simples nécessaire pour le calcul intégral. Successivement, Euler (1749), le chevalier de Foncenex (1759) et Lagrange (1771) tentent des démonstrations algébriques mais se heurtent à la partie transcendante du problème (tout polynôme de degré impair sur R possède une racine réelle) qui nécessiterait l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires¹⁶.. La démonstration de D'Alembert, publiée en 1746 dans les annales de l'académie de Berlin, est la plus achevée mais présente encore quelques trous et des obscurités. Gauss, en 1799, qui critique D'Alembert sur ces points n'est d'ailleurs pas exempté des mêmes reproches. Il faut à un moment faire intervenir un résultat d'analyse fort que le siècle ne connaît pas. De plus, l'obstacle se situe dans la question des points de branchement: on retrouve ici une question déjà débattue lors de la polémique sur les logarithmes des nombres négatifs que tranchera Euler. La seconde et la troisième démonstration de Gauss ne souffrent pas de ces reproches mais on n'est plus au xviii^e siècle...

En arithmétique, Euler démontre le petit théorème de Fermat et en donne une version élargie aux nombres composés (1736-1760). Il infirme la conjecture de Fermat sur la primalité des nombres de la forme $2^{2^n}+1$ (nombre de Fermat)¹⁷. Il s'intéresse à la répartition des nombres premiers et prouve que la série des inverses des nombres premiers est divergente¹⁸. Laconjecture de Bachet (tout nombre est somme de 4 carrés au plus) est démontrée par Lagrange en 1770. C'est aussi Lagrange qui démontre en 1771 le théorème de Wilson (si p est premier, il divise (p-1)! + 1). Il développe la technique de décomposition en fractions continues et démontre l'infinité des solutions de l'équation de Pell-Fermat¹⁹. Legendre publie en 1798 sa Théorie des nombres qui rassemble un grand nombre de résultats d'arithmétique²⁰.La loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler et Legendre ne sera démontrée que le siècle suivant.

Durant ce siècle, les mathématiciens continuent de s'intéresser aux résolutions algébriques des équations. Le premier essai systématique sur la résolution des équations algébriques était l'œuvre de Tschirnhaus en 1683. Euler lui-même, dans deux essais, ne va pas au-delà de son devancier et en 1762, Bezout introduit la notion de racine de l'unité. Entre 1770 et 1772, on peut citer trois grands mémoires plus originaux : celui de Waring, celui d'Alexandre-Théophile Vandermonde (1771) sur la résolubilité par radicaux des équations $x n - 1 = 0$ (équation cyclotomique) qui est un précurseur dans l'utilisation des permutations des racines²¹ et celui de Lagrange (1770) qui rassemble toutes les méthodes de résolutions déjà tentées mais va introduire les résolvantes de Lagrange et démontrer, dans un langage où la notion de groupe n'existe pas encore, le théorème de Lagrange: l'ordre d'un sous-groupe d'un groupe fini divise l'ordre du groupe. Ces deux derniers mathématiciens mettent en évidence l'importance des racines et de leurs permutations mais il faut attendre le siècle suivant pour voir naitre la notion de groupe de permutations.

La géométrie analytique se développe et s'étend de l'étude des courbes à celle des surfaces. Euler étudie l'équation générale du second degré à trois variables et présente une classification des solutions. Alexis Clairaut étudie les courbes gauches (1729). Gabriel Cramer publie en 1750 un traité sur les courbes algébriques. La grande figure de la géométrie du XVIII^e reste Gaspard Monge²². Celui-ci développe la géométrie différentielle avec l'étude des tangentes et crée une nouvelle discipline: la géométrie descriptive. Leonhard Euler développe le calcul trigonométrique, met en place les formules de calcul de la géométrie sphérique et replace les fonctions circulaires dans l'ensemble général des fonctions, les développant en séries entières ou en produits infinis et découvrant une relation entre les fonctions circulaires et les fonctions exponentielles

Le siècle voit l'apparition de quelques théoriciens de la logique. Leonhard Euler met au point une méthode de représentation figurée des déductions syllogistiques (diagramme d'Euler), Jean-Henri Lambert travaille sur la logique des relations ²².

C'est aussi le siècle qui s'attaque aux premiers exemples de ce qui va devenir la théorie des graphes. Euler résout en 1736 le problème des ponts de Königsberg, et, en 1766, énonce le théorème des circuits eulériens: un p-graphe admet un circuit eulérien si et seulement si le nombre de ses sommets de degré impair est 0 ou 2. Il s'attaque au problème du cavalier en 1759 mais ne publie rien jusqu'en 1766. Il s'agit d'un cas particulier de graphes hamiltoniens. Le problème du cavalier est connu depuis fort longtemps. Vers 840, al-Adli ar-Rumi en donne une solution. Le poête Rudrata en parlait aussi dans le Kavyalankara, un texte indou.

Mais le siècle est fécond aussi en conjectures qui resteront des énigmes pendant plus d'un siècle : le problème de Goldbach, le problème de Waring²³, ...

Le siècle voit aussi Legendre s'échiner pendant des années sur les intégrales elliptiques. Malheureusement pour lui, même s'il fait l'admiration d'Euler en ce domaine, la solution de la question allait lui échapper au profit d'Abel.

Le xviii^e siècle est aussi celui de l'encyclopédie dans laquelle Jean le Rond d'Alembert fait un état des lieux des mathématiques de ce siècle.

Japon [modifier]

Article détaillé : Sangaku.

Durant la période Edo (1603 - 1887), au Japon, se développe une mathématique sans influence de la mathématique occidentale mais inspirée de la mathématique chinoise, travaillant sur des problèmes d'essence géométrique. Des énigmes géométriques sont posées et résolues sur des tablettes en bois appelées Sangaku.

xix^e siècle [modifier]

L'histoire mathématique du xix^e siècle est riche. Trop riche pour qu'en un essai de taille raisonnable on puisse couvrir la totalité des travaux de ce siècle. Aussi ne doit-on attendre de cette partie que les points saillants des travaux de ce siècle.

Le xix^e siècle vit apparaître plusieurs théories nouvelles et l'accomplissement des travaux entrepris au siècle précédent. Le siècle est dominé par la question de la rigueur. Celle-ci se manifeste en analyse avec Cauchy et la sommation des séries. Elle réapparaît à propos de la géométrie. Elle ne cesse de se manifester en théorie des fonctions et particulièrement sur les bases du calcul différentiel et intégral au point de voir disparaître totalement ces infiniments petits qui avaient pourtant fait le bonheur du siècle précédent. Mais plus encore, le siècle marque la fin de l'amateurisme mathématique: les mathématiques étaient jusque là surtout le fait de quelques particuliers suffisamment fortunés soit pour étudier eux-mêmes soit pour entretenir quelques génies. Au xix^e siècle, tout cela prend fin : Les mathématiciens deviennent des professionnels appointés. Le nombre de ces professionnels ne cesse de croître et avec ce nombre, les mathématiques prennent une importance jamais atteinte, comme si la société tout entière prenait enfin conscience du formidable outil. Les applications, en germe dans le siècle précédent, se développent rapidement dans tous les domaines, laissant croire que la science peut tout. D'ailleurs, certains succès sont là pour en attester. N'a-t-on pas découvert une nouvelle planète uniquement par le calcul ? N'a-t-on pas expliqué la création du système solaire ? Le domaine de la physique, science expérimentale par excellence est complètement envahi par les mathématiques: la chaleur, l'électricité, le magnétisme, la mécanique des fluides, la résistance des matériaux et l'élasticité, la cinétique chimique sont à leur tour mathématisés au point que le bon vieux cabinet de curiosité du xviii^e siècle finissant est remplacé par un tableau noir. Et le vaste champ de la science s'étend encore et encore. Certes, on ne dit plus ce presque lieu commun du xviii^e siècle que les sciences mathématiques seront bientôt achevées et qu'il faudra "fermer la mine", à la place on se met à rêver à la machine de Leibniz qui répondrait à toutes les questions. On va même jusqu'à quantifier le hasard ou l'incertain, histoire de se rassurer. Cournot veut appliquer le calcul des probabilités en matière judiciaire pour arriver à cette stupéfiante, et combien rassurante, conclusion qu'il y a moins de deux pour cent d'erreurs judiciaires ! Les mathématiques s'insinuent jusqu'à la structure intime de la matière: plusieurs théories de la lumière et les prémisses de la théorie de la relativité chez Lorentz qui complète la théorie électromagnétique de Maxwell. La tendance à la rigueur, commencée au début du xix^e siècle, ne verra son accomplissement qu'au début du xx^e siècle par la remise en cause de bien des a priori.

Joseph-Louis Lagrange	Augustin Louis Cauchy	Carl Friedrich Gauss	Bernhard Riemann
Pierre-Simon de Laplace	William Rowan Hamilton	Gottlob Frege.jpg Gottlob Frege

Revues de mathématiques [modifier]

Il existait depuis la fin du xvii^e siècle quelques académies qui publiaient leurs travaux et des résumés annuels. De plus quelques journaux avaient fleuri, tels que les Acta Eruditorumédités par Otto Mencke à Leipzig ou les commentaires de Petersbourg rendus célèbres par Euler. Mais ces journaux ou revues n'étaient pas spécialisés dans les mathématiques et accueillaient des mémoires de philosophie, d'histoire, de botanique, aussi bien que de mathématiques. Le début du XIX^e va voir apparaître des revues qui se spécialiseront dans la publication des mathématiques. Les éditeurs de ces revues sont Ferussac (pour le Bulletin général et universel des annonces et des nouvelles scientifiques), Gergonne (pour lesAnnales de mathématiques pures et appliquées), Crelle (pour le Journal für die reine und angewandte Mathematik), Liouville (pour le Journal de mathématiques pures et appliquées) pour n'en donner que quatre avant 1840. Elles seront bientôt suivies par une foule d'autres revues que chaque université un peu célèbre se plait à financer, tels les Acta Mathematicade Mittag-Leffler en 1882.

Mécanique [modifier]

Sofia Kovalevskaïa

La mécanique de Newton opère sa révolution. Utilisant le principe (variationnel) de moindre action de Maupertuis, Lagrange énonce les conditions d'optimalité du premier ordre qu'Euler avait trouvé en toute généralité et trouve ainsi les équations de la mécanique qui portent son nom. Par la suite, Hamilton, sur les pas de Lagrange, exprime ces mêmes équations sous une forme équivalente. Elles portent aussi son nom. La théorie naissante des espaces de Riemann permettra de les généraliser commodément.
Delaunay, dans un calcul extraordinaire, fait une théorie de la Lune insurpassée²⁴. Faye²⁵ s'exprime ainsi à ses funérailles (1872) : «Travail énorme, que les plus compétents jugeaient impossible avant lui, et où nous admirons à la fois la simplicité dans la méthode et la puissance dans l'application ». Il résolut de faire le calcul au 7^e ordre là où ses devanciers (Clairaut, Poisson, Lubbock, ...) s'étaient arrêtés au 5^e.
Le Verrier²⁶ appliquant la théorie newtonienne aux irrégularités d'Uranus que venait de découvrir Herschel, conjecture l'existence d'une planète encore inconnue (Neptune) dont il détermine position et masse par le calcul des perturbations.
Le mouvement d'un solide autour d'un point fixe admet trois intégrales premières algébriques et un dernier multiplicateur égal à 1. Le problème de l'intégration formelle par quadrature du mouvement nécessite une quatrième intégrale première. Celle-ci avait été découverte dans un cas particulier par Euler. La question est reprise par Lagrange, Poisson et Poinsot. Lagrange et Poisson découvrent un nouveau cas où cette quatrième intégrale est algébrique²⁷.
Les deux cas, désormais classiques, du mouvement d'Euler-Poinsot et du mouvement de Lagrange-Poisson sont complétés, en 1888, par un nouveau cas découvert par Sophie Kovalevskaïa²⁸. Poincaré avait montré qu'il ne pouvait exister de nouveau cas si l'ellipsoïde d'inertie relatif au point de suspension n'est pas de révolution²⁷.
Mach énonce un principe qui sera central dans les motivations de la relativité d'Einstein.
Malgré ses succès, la mécanique aura du mal à trouver, dans l'enseignement, une place que les mathématiques ne veulent pas lui céder²⁹ et Flaubert pourra présenter comme une idée reçue que c'est une « partie inférieure des mathématiques ».

Physique mathématique [modifier]

Euler, dont on a commencé la publication des travaux (prévus sur cinquante ans !), s'était déjà attaqué à bien des domaines : acoustique, optique, résistance des matériaux, mécanique des fluides, élasticité, mais ces domaines étaient encore naissants. C'est Fourier, dont le premier mémoire est refusé par l'Académie des sciences de Paris, qui attaque le premier la théorie de la chaleur faisant usage de ce qui va devenir les séries de Fourier. Vers la même époque, les années 1820, Fresnel s'occupe d'optique ainsi que Bessel qui va introduire lesfonctions de Bessel. La mécanique des fluides, qui en était quasiment au stade laissé par Euler et d'Alembert, le stade des fluides parfaits, fait des progrès avec Henri Navier et George Gabriel Stokes qui s'attaquent aux fluides incompressibles puis compressibles introduisant la viscosité. L'électricité, fait ses débuts sous l'influence de Gauss, d'Ohm, de Biot, de Savartet d'Ampère mais c'est surtout le génie de Maxwell qui va embrasser la théorie dans l'une des plus belles théories du siècle, la théorie électromagnétique, qui prétend unifier l'ensemble des travaux sur l'électricité, l'optique et le magnétisme. En résistance des matériaux, les progrès sont plus modestes. On peut citer notamment Barré de Saint-Venant, Yvon Villarceau,Aimé-Henry Résal et son fils Jean Résal mais il faudra attendre le siècle suivant pour que l'élasticité fasse de décisifs progrès, d'autant qu'on ignore encore bien des propriétés du béton et plus encore le béton armé. Vers la fin du siècle, on en connaît suffisamment pour que certains se lancent dans des réalisations monumentales en acier, tels Eiffel.

Théorie des nombres [modifier]

Trois grands problèmes éclaireront le siècle : la loi de réciprocité quadratique, la répartition des nombres premiers et le grand théorème de Fermat. Le xix^e siècle offre des progrès considérables sur ses trois questions grâce aux développements d'une véritable théorie prenant le nom d'arithmétique ou de théorie des nombres et s'appuyant sur des outils abstraits et sophistiqués.

En méconnaissant totalement les travaux d'Euler publiés en 1784 sur la loi de réciprocités quadratique, Legendre (1785) et Gauss (1796) la retrouvent par induction. Ce dernier finit par en donner une longue démonstration complète dans ses recherches arithmétiques. La démonstration est simplifiée dans le courant du xix^e siècle, par exemple par Zeller³⁰ en 1852 où elle ne fait que deux pages ! La loi de réciprocité quadratique est promise à un bel avenir par diverses généralisations.
Eisenstein démontre la loi de réciprocité cubique.
Depuis 1798, Legendre travaille à sa théorie des nombres. Il vient (en 1808) de démontrer le théorème de raréfaction des nombres premiers et de proposer une formule approchée pour $π(x)$ , le nombre de nombres premiers plus petit que x. Ses recherches l'ont amené à reconsidérer le crible d'Eratosthène. La formule qu'il obtient est le premier élément d'une méthode qui prendra tout son sens au siècle d'après, la méthode du crible. Par la suite, en 1830, peu avant sa mort, il énonce une conjecture selon laquelle entre n² et (n+1)² existe au moins un nombre premier. Cette conjecture reste non démontrée.
La démonstration d'Euler de l'infinitude des nombres premiers inspire Lejeune-Dirichlet qui démontre une conjecture de Legendre : il existe une infinité de nombres premiers dans toute suite arithmétique de la forme an+b si a et b sont premiers entre eux. Pour cela il invente la notion de caractère arithmétique et les séries "de Dirichlet".
La conjecture de Legendre sur la répartition des nombres premiers est appuyée par Gauss et fait l'objet des travaux de Tchebyschev en 1850. Il démontre un encadrement de $π(x)$ conforme à la conjecture et il démontre le postulat de Bertrand selon lequel il existe un nombre premier entre n et 2n. Mais la conjecture de Legendre ne sera démontrée qu'en 1896, par Hadamard et De La Vallée Poussin indépendamment.
Le résultat le plus important est le mémoire de Riemann de 1859 qui reste encore aujourd'hui le mémoire du xix^e siècle le plus souvent cité. Riemann étudie dans ce mémoire la fonction $ζ(s)$ "de Riemann". Cette fonction introduite par Euler dans son étude du problème de Mengoli est étendue aux valeurs complexe de s à l'exception de 1 qui est un pôle de résidu 1 (théorème de Dirichlet). Riemann énonce la conjecture, appelée Hypothèse de Riemann, selon laquelle tous les zéros non réels sont de partie réelle égale à 1/2. Les démonstrations de Riemann ne sont pour la plupart qu'ébauchées. Elles sont complètement démontrées, sauf la conjecture de Riemann, par Hadamard et Von Mangold, après 1892.
Le grand théorème de Fermat, qui avait déjà occupé Euler au siècle précédent est l'objet de nouvelles recherches par Dirichlet et Legendre (n=5), Dirichlet (n=14), Lamé (n=7), démonstration simplifiée par Lebesgue. Kummer démontre que le grand théorème de Fermat est vrai pour les nombres premiers réguliers en 1849. Malheureusement il existe des nombres premiers irréguliers et ils sont même en nombre infini.
Mertens démontre de nombreux résultats sur les fonctions arithmétiques et la fonction de Möbius. Il émet en 1897 une conjecture qui permettrait de démontrer l'hypothèse de Riemann. Sous sa forme forte, elle sera réfutée par Odlysko et Te Riele en 1985. La forme faible reste une énigme.

Logique [modifier]

Georg Cantor est le créateur de la théorie des ensembles

George Boole se lance dans des travaux qui vont mener à l'algèbre de Boole, à la logique symbolique et à la théorie des ensembles en voulant démontrer l'existence de Dieu. Le calcul des propositions est né. Augustus De Morgan énonce les lois qui portent son nom. La logique sort définitivement de la philosophie.
Frege pose les bases de la logique formelle et Cantor celle de la théorie des ensembles. Ni l'une ni l'autre ne sont comprises par nombre de mathématiciens et elles suscitent bien des inquiétudes. La question des fondements est posée. Elle ne sera partiellement résolue que tardivement au xx^e siècle. Déjà pointent les paradoxes, tel celui de Burali-Forti, celui de Russell, celui de Richard ou celui de Berry dans la tentative de théorie des ensembles de Frege.

Géométrie [modifier]

Gaspard Monge

Le siècle débute par l'invention de la géométrie descriptive par Gaspard Monge³¹.
Delaunay classa les surfaces de révolution de courbure moyenne constante, qui aujourd'hui portent son nom : surface de Delaunay.
Héritier des siècles précédents, le siècle va voir s'accomplir la résolution des grands problèmes grecs par la négative. La trisection de l'angle à la règle et au compas est impossible en général. Il en est de même de la quadrature du cercle et de la duplication du cube. Concernant la quadrature du cercle, le xviii^e siècle avait montré que $π$ était irrationnel. Liouville, définissant les nombres transcendants en 1844, ouvre la voie à l'étude de la transcendance dont les deux monuments du xix^e siècle restent les théorèmes d'Hermite (1872) sur la transcendance de e et de Lindemann (1881) sur celle de $π$ , rendant impossible la quadrature du cercle par la règle et le compas³² . C'est à la fin du siècle que se fait jour la conjecture, que démontrera le siècle d'après en le théorème de Gelfond-Schneider, que a et exp(a) ne peuvent être simultanément algébriques.
l'autre héritage concerne le postulat d'Euclide. Le problème avait en fait été quasi résolu par Saccheri mais celui-ci n'avait pas vu qu'il était près du but. Les travaux de Gauss sur les surfaces amènent János Bolyai et Nikolaï Lobatchevski à remettre en cause le postulat des parallèles. Ils inventent donc une nouvelle géométrie où le postulat n'est plus vrai, une géométrie non euclidienne dont Poincaré donnera un modèle. Riemann, après eux, offrira une nouvelle solution non euclidienne, avant que l'ensemble ne forme la théorie des espaces de Riemann, qui fournira au siècle suivant un cadre à la théorie de la relativité généralisée.
En généralisant la notion d'espace et de distance, Ludwig Schläfli arrive à déterminer le nombre exact de polyèdres réguliers en fonction de la dimension de l'espace³³.
Felix Klein annonce le programme d'Erlangen³⁴.
David Hilbert propose une axiomatique complète de la géométrie euclidienne en explicitant des axiomes implicites chez Euclide.

Algèbre [modifier]

Evariste Galois. Sa vie est un véritable drame. À l'instar d'Abel, il meurt jeune. Son génie est méconnu de son vivant. Ses opinions politiques le mènent en prison. Ses amours le perdent : Il meurt en conséquence d'un duel pour une "coquette".

La représentation des complexes avait occupé bien du monde : depuis Henri Dominique Truel (1786)³⁵, Caspar Wessel³⁶ (1797) en passant par Jean-Robert Argand³⁷ (1806), Mourey³⁸, pour aller à Giusto Bellavitis (1832). Hamilton, inspiré par cette représentation des complexes en a+ib, cherche à généraliser le corps des complexes. Il découvre le corps non commutatif des quaternions et par la suiteCayley découvre les octavions. Hamilton passera une grande partie de sa vie à proposer des applications de ses quaternions.
Grassmann, en 1844, développe dans "die lineale ausdenungslehre" une nouvelle voie pour les mathématiques et fonde ce qui deviendra la théorie des espaces vectoriels.
Hamilton, en 1853, démontre ce qui deviendra le théorème de Cayley-Hamilton pour la dimension 4 à propos de l'inverse d'un quaternion. C'est Cayley, en 1857, qui généralise le résultat mais ne le démontre qu'en dimension 2. Frobenius, en 1878, donne la première démonstration générale.
Les résultats de Galois et de Kummer montrent qu'une avancée majeure en théorie algébrique des nombres suppose la compréhension de structures subtiles : les anneaux d'entiers algébriques sous-jacents à des extensions algébriques. Le cas le moins complexe est celui des extensions algébriques finies et abéliennes. Il semble simple, le résultat correspond aux structures qu'avaient étudiées Gauss au début du siècle pour résoudre les problèmes de l'antiquité de construction à la règle et au compas : les extensions cyclotomiques associées au polynômes du même nom. Il faut néanmoins 50 ans et trois grands noms de l'algèbre pour en venir à bout à la fin du siècle : Kronecker,Weber et Hilbert. Il ouvre la porte à l'étude des extensions algébriques abéliennes générales, c'est-à-dire non finies. Hilbert ouvre la voie de ce chapitre des mathématiques qui représente un des plus beaux défis du siècle futur, la théorie des corps de classe. Dans la dernière année du siècle, en 1900, Richard Dedekind s'intéresse à une théorie générale des ensembles reliés entre eux par des relations. En inventant la notion de dualgruppe, il vient de faire le premier pas dans la théorie générale des structures.
Killing et Elie Cartan commencent l'étude des groupes et algèbres de Lie. La théorie des systèmes de racines prend naissance.

Probabilité et statistiques [modifier]

Legendre en 1805³⁹ 1811⁴⁰ puis Gauss en 1809⁴¹ introduisent, sur des problèmes d'astronomie, la méthode des moindres carrés, ensemble de méthodes qui deviendront fondamentales en statistiques.

Pierre-Simon de Laplace fait entrer l'analyse dans la théorie des probabilités dans sa théorie analytique des probabilités de 1812 qui restera longtemps un monument. Son livre donne une première version du théorème central limite qui ne s'applique alors que pour une variable à deux états, par exemple pile ou face mais pas un dé à 6 faces. Il faudra attendre 1901 pour en voir apparaître la première version générale par Liapounov. C'est aussi dans ce traité qu'apparaît la méthode de Laplace pour l'évaluation asymptotique de certaines intégrales.

Sous l'impulsion de Quetelet, qui ouvre en 1841 le premier bureau statistique le Conseil Supérieur de Statistique ⁴², les statistiques se développent et deviennent un domaine à part entière des mathématiques qui s'appuie sur les probabilités mais n'en font plus partie.

La théorie moderne des probabilités ne prend réellement son essor qu'avec la notion de mesure et d'ensembles mesurables qu'Émile Borel introduit en 1897.

Théorie des graphes [modifier]

La théorie, on l'a déjà dit, a été commencée par Euler dans sa résolution du problème des sept ponts de Königsberg. Elle prend une nouvelle tournure, singulière pour notre époque, quand on s'intéresse soudainement aux nœuds, au tout début des modèles atomiques.

La question de la cartographie est un vieux problème qui avait été partiellement résolu par différents procédés de projection. Dans la question de la représentation la plus respectueuse de la topographie, la question avait eu un nouvel intérêt par le théorème de l'application conforme de Riemann et les fonctions holomorphes dont on sait qu'elles conservent les angles là où la dérivée ne s'annule pas. L'habitude des cartographes de colorer les états de couleurs différentes avait montré que quatre couleurs suffisaient. Cette constatation très ancienne amène, en 1852, Francis Guthrie à énoncer la conjecture des quatre couleurs⁴³. Il faut attendre plus de vingt ans pour que Cayley s'y intéresse⁴⁴. Un avocat, Alfred Kempe, proposa en 1879 une démonstration par réduction mais que Percy John Heawood réfuta en 1890 par un contre-exemple invalidant le procédé de coloriage de Kempe. Cependant la tentative de Kempe montrait que le nombre chromatique de la sphère était au plus 5. Ce n'est que bien plus tard que la conjecture des quatre couleurs sera démontrée.

Analyse réelle [modifier]

À la fin du xviii^e siècle, faire des mathématiques consiste à écrire des égalités, parfois un peu douteuses, mais sans que cela choque le lecteur. Lacroix par exemple n'hésite pas à écrire

$1-1+1-1+... = dfrac12$

sous la seule justification du développement en série de Taylor de 1/(1+x). Les mathématiciens croient encore, pour peu de temps, que la somme infinie de fonctions continues est continue, et (pour plus longtemps) que toute fonction continue admet une dérivée...

C'est Cauchy qui met un peu d'ordre dans tout cela en montrant que la somme d'une série numérique n'est commutativement convergente que si la série est absolument convergente. Mais Cauchy, qui pourtant n'est qu'à un doigt de la notion de convergence uniforme, énonce un faux théorème de continuité d'une série de fonctions continues qu'Abel contredit par un contre-exemple du 16 janvier 1826.

C'est encore Cauchy qui se refuse à considérer la somme de séries divergentes, au contraire des mathématiciens du xviii^e siècle dont Lacroix est l'un des héritiers.
Gudermann, en 1838, utilise pour la première fois, la notion de convergence uniforme. En 1847, Stokes et Seidel définissent la notion d'une série convergeant aussi lentement que l'on veut, notion équivalente à la convergence uniforme. Mais leur réflexion n'est pas mûre. Weierstrass donne une définition de la convergence uniforme en 1841 dans un article qui ne sera publié qu'en 1894. Il revient à Cauchy de donner la première définition claire de la notion (sans le terme uniforme) en 1853. Weierstrass, de son côté, donnera par la suite les théorèmes classiques de continuité, dérivabilité, intégrabilité des séries de fonctions continues dans ses cours à partir de 1861.
Bolzano démontre le premier ce principe, implicite chez les auteurs du xviii^e siècle, qu'une fonction continue qui prend des valeurs de signes différents dans un intervalle s'y annule, ouvrant la voie à la topologie par le théorème des valeurs intermédiaires.
Karl Weierstrass donne le premier la définition de la limite d'une fonction, notion un peu floue jusque là, à partir de $η$ , $ε$ . La notion de limite supérieure, inventée par Cauchy, est expliquée clairement par Du Bois-Reymond.
En 1869, Charles Meray, professeur à l'université de Dijon, donne, le premier, une construction rigoureuse des nombres réels par les classe d'équivalence de suites de Cauchy de nombres rationnels. Georg Cantor donnera une construction analogue de $mathbb{R}$ . Karl Weierstrass construit $mathbb{R}$ à partir de la notion d'« agrégats » tandis que Richard Dedekind crée $mathbb{R}$ de la notion de coupure de l'ensemble des rationnels.
Il faut quasiment attendre le milieu du siècle pour qu'enfin on s'intéresse aux inégalités. Tchebyschev, dans sa démonstration élémentaire du postulat de Bertrand, est l'un des premiers à les utiliser.
Un peu avant, Bessel et Parseval, en s'occupant des séries trigonométriques démontrent ce qu'on appelle aujourd'hui les inégalités de Bessel-Parseval.
La grande application des séries trigonométriques reste la théorie de la chaleur de Fourier, même si ce dernier ne démontre pas la convergence des séries qu'il utilise. Il faudra attendre la fin du siècle pour que la question soit vraiment clarifiée par Fejér.
Poincaré participe au concours du roi de Suède concernant les solutions du système des trois corps⁴⁵. Dans le mémoire de Stockholm (1889), il donne le premier exemple de situation chaotique. Il s'exprime ainsi :

« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur... »

Ce n'est qu'avec regret qu'on a abandonné les séries divergentes au début du siècle sous l'impulsion de Cauchy et dans un but essentiellement de rigueur. Les séries divergentes refont, à la fin du siècle, leur apparition. Il s'agit, dans certain cas, de donner une somme à de telles séries. Le procédé de sommation de Césaro est l'un des premiers. Borel fournit le sien, plus sophistiqué. Cela va vite devenir un sujet d'étude important que le xx^e siècle va prolonger.

Analyse complexe [modifier]

La théorie des fonctions de la variable complexe, le grand sujet de tout le xix^e siècle, prend sa source dans les travaux de Cauchy, bien qu'entrevue par Poisson⁴⁶. Cauchy définit la notion d'intégrale de chemin. Il arrive ainsi à énoncer le théorème des résidus et les principales propriétés de l'intégrale "de Cauchy". et notamment la Formule intégrale de Cauchy.

Il justifie ainsi le développement en série de Taylor et trouve la formule intégrale des coefficients en dérivant sous le signe $int$ .Il démontre les inégalités "de Cauchy" qui seront intensément utilisées, dans la théorie des équations différentielles notamment.

Cauchy publie par la suite nombre d'applications de sa théorie dans des recueils d'exercices, notamment à l'évaluation d'intégrales réelles, qu'il n'hésite pas à généraliser en ce qu'on appelle aujourd'hui la valeur principale de Cauchy, un peu moins d'un siècle avant que Jacques Hadamard en ait besoin dans sa résolution des équations aux dérivées partielles par les parties finies d'Hadamard et que Laurent Schwartz n'en vienne aux distributions.

La théorie des fonctions analytiques se développe rapidement. Cauchy définit le rayon de convergence d'une série entière à partir de la formule qu'expliquera parfaitement Hadamard dans sa thèse, suite aux travaux de du Bois-Reymond qui donna une définition claire de la limite supérieure.
Ceci permet à Liouville de démontrer son théorème et d'en déduire une nouvelle et élémentaire démonstration du théorème de D'Alembert-Gauss qu'on avait eu tant de mal à démontrer au siècle avant.

À la mort de Cauchy, le flambeau est déjà passé à Riemann (Théorème de l'application conforme, intégrale de Riemann remplaçant la conception de Cauchy, ...) et Weierstrass qui éclaircira la notion de point singulier essentiel et de prolongement analytique (bien que Émile Borel ait montré par la suite que certaines des conceptions du "maître" étaient erronées).

La théorie de Cauchy vient juste à point pour résoudre enfin la question des intégrales elliptiques, théorie commencée par Legendre au siècle précédent. C'est Abel qui a l'idée de l'inversion des intégrales elliptiques et découvrit ainsi les fonctions elliptiques qu'on s'empressa d'étudier. La très belle théorie des fonctions elliptiques est enfin achevée lorsque paraissent le traité de Briot et Bouquet, théorie des fonctions elliptiques, 2^e édition, 1875 et le traité de Georges Henri Halphen en quatre volumes, interrompu par la mort de l'auteur.
Le résultat le plus difficile de la théorie reste le théorème de Picard qui précise le théorème de Weierstrass. La première démonstration, avec la fonction modulaire, est bien vite simplifiée par Émile Borel à la fin du siècle.
Le siècle s'est aussi beaucoup préoccupé de la théorie des équations différentielles et notamment de la théorie du potentiel, des fonctions harmoniques. Fuchs étudie les singularités des solutions des équations différentielles ordinaires linéaires.Émile Picard découvre le procédé d'intégration des équations différentielles par récurrence, ce qui permet de prouver l'existence et l'unicité des solutions. Cela débouchera sur l'étude des équations intégrales (Ivar Fredholm, Vito Volterra...).
Bien qu'engagée par Laplace et utilisée sporadiquement par d'autres au cours du siècle, la résolution des équations différentielles est effectuée par un électricien anglais, Oliver Heaviside, sans autre justification, en considérant l'opérateur de dérivation comme une quantité algébrique notée p. La théorie de la transformation de Laplace est née. Mais elle ne sera pleinement justifiée que par les travaux de Lerch, Carson, Bromwich, Wagner, Mellin et bien d'autres, au siècle suivant. Oltramare donnera aussi un "calcul de généralisation" basé sur une idée voisine.
Émile Borel commence l'étude des fonctions entières et définit la notion d'ordre exponentiel pour une fonction entière. Son but est d'élucider le comportement du module d'une fonction entière et notamment de montrer le lien entre le maximum du module de f sur le cercle de rayon R et les coefficients de la série de Taylor de F. Darboux montre que les coefficients de Taylor s'écrivent en fonction des singularités. D'autres, comme Charles Méray, Leau, Fabry, Lindelöf, étudient la position des points singuliers sur le cercle de convergence ou le prolongement analytique de la série de Taylor.
Poincaré définit et étudie les fonctions automorphes à partir des géométrie hyperboliques. Il laisse son nom à une représentation par un demi-plan de la géométrie hyperbolique.
Schwarz et Christoffel découvrent la transformation conforme qui porte leurs noms. Elle sera intensivement utilisée le siècle d'après par les moyens informatiques (Driscoll par exemple).
L'apothéose est atteinte par la démonstration du théorème des nombres premiers, en 1896, par Hadamard et de la Vallée Poussin indépendamment l'un de l'autre.

Perspectives [modifier]

Mais déjà le siècle est écoulé et, au congrès international de mathématique qui se tient, en cette année 1900, à Paris, David Hilbert présente une liste de 23 problèmes non résolus de première importance pour le siècle d'après. Ces problèmes couvrent une grande partie des mathématiques et vont prendre une part importante dans l'histoire mathématique du xx^e siècle.

Les livres du siècle [modifier]

Ce paragraphe donne un ensemble de livres de première importance, soit par leur contenu historiquement important soit pour la synthèse qu'ils constituent sur un domaine donné. L'ordre choisi est alphabétique sur le nom des auteurs.

Bachmann, Zahlentheorie, 5 tomes, 1892 Tome 1 Tome 2 Tome 3 Tome 4 Tome 5
Bolya, La science absolue de l'espace, 1868
Briot et Bouquet, Théorie des fonctions elliptiques, 1875
Cauchy, Le Cours d'analyse de l'École royale polytechnique : 1ère partie : Analyse algébrique, 1821
Chasles
- Les trois livres de porismes d'Euclide, 1860
- Traité de géométrie supérieure, 1852
- Traité des sections coniques, faisant suite au Traité de géométrie supérieure, 1865
Darboux, Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, 4 volumes, 1887-1896, Volume 2 Volume 3 Volume 4
Du bois-Reymond, Die Allgemeine Functionentheorie, 1882, Théorie générale des fonctions, 1887
Fourier, Théorie analytique de la chaleur, 1822
Frege, Die Grundlagen der Arithmetik, 1884, Les Fondements de l'arithmétique
Galois, Oeuvres mathématiques, 1846
Gauss, Disquisitiones arithmeticae, 1801, Recherches arithmétiques, 1807.
Goursat, Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre, 2 volumes, 1896-1898, Volume 1 Volume 2
Grassmann, Die lineare Ausdehnungslehre, 1844, La science de la grandeur extensive
Halphen, Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications, 3 volumes, 1886-1891, Volume 1 Volume 2 Volume 3
Hamilton, Lecture on quaternions, 1853
Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 1899, Les principes fondamentaux de la géométrie, 1900
Jordan
- Traité des substitutions et des équations algèbriques, 1870
- Cours d'analyse de l'école polytechnique, 1882-1883, 3 volumes. Volume 1 Volume 2 Volume 3
Felix Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (Conférences sur l'icosaèdre et les solutions de l'équation du cinquième degré), 1888
Lagrange, Leçons sur le calcul des fonctions, 1806
Laplace
- Traité de mécanique céleste, 1798-1825
- Théorie analytique des probabilités, 1812
Legendre
- Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, 2 volumes, 1825-1826
- Éléments de géométrie, ouvrage qui vient remplacer les Éléments d'Euclide.
- Théorie des nombres, 1830
Liapunov, Problème général de la stabilité et du mouvement, 1892-1893
Lobachevskii, Pangeometrie
Maxwell, Traité d'électricité et de magnétisme, 2 volumes, 1885-1887
Meray, Leçons nouvelles sur l'analyse infinitésimale et ses applications géométriques, 1894-1895
Möbius, Der barycentrische Calcul, 1827
Monge, La géométrie descriptive, an 7 = 1799
Painlevé, Leçons sur la théorie analytique des équations différentielles, 1897
Picard, Traité d'analyse, 3 volumes, 1892-1896
Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures, 2 volumes, 1822
Serret, Cours d'Algèbre supérieure, 2 volumes, 1877
Tannery et Molk, Éléments de la théorie des fonctions elliptiques, 3 volumes, 1893-1898
Tisserand, Traité de Mécanique céleste, 4 volumes, 1889-1894
Weber, Lehrbuch der Algebra, 2 volumes, 1898-1899

xx^e siècle [modifier]

Le xx^e siècle aura été un siècle extraodinairement fécond du point de vue mathématique. Trois grands théorèmes dominent tous les autres : d'une part le théorème de Gödel ; d'autre part la démonstration de la conjecture de Tanyama-Shimura qui entraîna la démonstration du grand théorème de Fermat ; enfin la démonstration des conjectures de Weil par Pierre Deligne. De nouveaux domaines de recherche sont nés ou se sont développés : les systèmes dynamiques, suite aux travaux de Poincaré, les probabilités, la topologie, la géométrie différentielle, la logique, la géométrie algébrique, suite aux travaux de Grothendieck, ...

La communauté mathématique explose [modifier]

Le métier de mathématicien a réellement commencé à se professionnaliser à la fin du xix^e siècle. Grâce à la mondialisation, aux progrès des transports, et aux moyens électroniques de communication, la recherche mathématique n'est plus localisée sur un pays ou un continent. Depuis la fin du xix^e siècle, de nombreux colloques, congrès, séminaires, se tiennent à un rythme soutenu, voire annuellement.
Hormis deux congrès qui se sont tenus au xix^e siècle, vingt et un congrès internationaux de mathématiques se sont tenus au xx^e siècle, un presque tous les quatre ans malgré les interruptions dues aux guerres mondiales.
L'apparition de l'ordinateur a sensiblement modifié les conditions de travail des mathématiciens à partir des années 1980.

Le développement mathématique a explosé depuis 1900. Au xix^e siècle, on estime qu'on publiait environ 900 mémoires par an. Actuellement plus de 15 000. Le nombre des mathématiciens est ainsi passé de quelques centaines ou milliers à plus d'un million et demi en moins d'un siècle.
On a soutenu 292 thèses d'état de mathématiques entre 1810 et 1901 en France⁴⁷. À la fin du xx^e siècle, c'est le nombre de thèses soutenues annuellement.

Algèbre [modifier]

Wedderburn est surtout connu pour avoir démontré que tout corps fini est commutatif

Leonard Dickson commence l'étude systématique des corps finis⁴⁸ et obtient la première classification des corps finis commutatifs. La structure de l'anneau des polynômes associé y est explicitée. Avec Joseph Wedderburn, en 1905, il démontre qu'il n'existe pas de corps fini non commutatif.

Mécanique [modifier]

Édouard Husson, dans sa thèse soutenue en 1906, résout définitivement le problème des intégrales premières de la mécanique classique pour le mouvement d'un solide autour d'un point fixe. Il n'y a que quatre intégrales premières possibles, la quatrième n'apparaissant que dans trois cas particuliers, le mouvement d'Euler-Poinsot, celui de Lagrange-Poisson et enfin celui de Sophie Kowaleski. L'intégration complète par quadrature est donc possible dans ces trois cas. Cependant Goriatchoff montre que l'intégration est aussi possible dans le cas de conditions initiales particulières, et un second cas est indiqué par Nicolaus Kowalevski en 1908.
La mécanique, qui n'avait que peu changé depuis Newton, devient l'objet d'études poussées. Poincaré et Einstein publient une mécanique qui ne renferme la mécanique newtonienne qu'en y faisant tendre la célérité c de la lumière vers l'infini. La transformation de Galilée laisse sa place à la transformation de Lorentz. Et une nouvelle généralisation, une théorie de la gravitation, prend le nom de théorie de la relativité générale, entre 1909 et 1916, prétendant inclure le principe de Mach.
La spéculation cosmologique prend maintenant une tournure totalement inattendue par une mathématisation sophistiquée. L'univers statique d'Einstein et celui de De Sitter sont bientôt accompagnés par des univers en évolution régis par les équations de Friedman, aidé par les recherches de Hubble et Humason qui viennent de découvrir le décalage vers le rouge. Ces progrès spectaculaires sont cependant tempérés par la découverte de la mécanique quantique. Si tout va bien de ce côté jusqu'à l'année 1924, la thèse de De Broglie remet tout en cause. Celle-ci part de l'idée de l'identité entre le principe de Fermat et le principe de moindre action de Maupertuis pour le photon, associant ainsi à une particule une onde $Ψ$ . L'école de Copenhague interprète les relations d'incertitudes d'Heisenberg comme une invitation à ne considérer l'onde $Ψ$ que comme une probabilité de présence, rompant avec un déterminisme total qui étaient l'apanage de la mécanique de Newton et dont Einstein sera le défenseur acharné dans le paradoxe Einstein-Podolski-Rosen. La mécanique d'Einstein, dont on a vérifié la concordance avec les observations, s'accorde très bien aux faits expérimentaux à grande échelle. La mécanique quantique, de son côté est la reine à l'échelle atomique et moléculaire. Et les deux mécaniques ne s'accordent pas. Les différentes tentatives d'unification sont autant d'échecs au point qu'on désespère de trouver cette théorie unitaire qui réconcilierait les deux mondes. La théorie pentadimensionnelle de Kaluza-Klein, la théorie d'Einstein de 1931, la théorie de la double solution de De Broglie, la théorie cinématique de Milne, les spéculations d'Eddington sur le nombre 137, la théorie de Bondi et Gold, ... apportent chacune une idée nouvelle mais qui ne résolvent pas le problème de l'incompatibilité des deux mécaniques. Les auteurs, surtout des physiciens, se lancent à corps perdu dans une algébrisation de leurs théories qui débouchent sur la théorie des cordes, la théorie M, ... qui sont encore loin de résoudre toutes les questions posées. La théorie unitaire, la grande unification n'est pas pour ce siècle.
Alors qu'Einstein en avait fait une de ses motivations pour proposer la relativité, Kurt Gödel montre que le principe de Mach n'est pas inscrit dans les équations de la relativité générale.

Analyse [modifier]

Le siècle commence par la thèse de Lebesgue "intégrale, longueur, aire" qui constitue vraiment le début de la théorie de la mesure. Par la suite, de nouvelles intégrales sont crées sur les traces de Lebesgue (intégrales de Denjoy, de Perron et d'Henstock, ...). La théorie de la mesure finit par rejoindre la théorie des probabilités qui est axiomatisée en 1933 par Kolmogorov.
La théorie de Lebesgue mène à l'étude des espaces $L p$ . Et sur les traces de Hilbert, Riesz (auteur du célèbre théorème de représentation qui porte son nom), Banach, les opérateurs différentiels sont étudiés. C'est l'occasion de créer la théorie des distributions, dont les prémisses avaient été données par Hadamard qui avait introduit les parties finies dans un problème d'hydrodynamique⁴⁹. S'illustrent ainsi Guelfand, Chilov, Schwartz, Vekua. L'étude des conditions de régularité des solutions des équations aux dérivées partielles permet àSergueï Sobolev et ses continuateurs de définir ses espaces de fonctions et les théorèmes de trace en fonction des propriétés géométriques du domaine.
La théorie spectrales des opérateurs linéaires, notamment auto-adjoints, opérant dans un espace de Hilbert a été commencée par David Hilbert, dans six mémoires publiés entre 1904 et 1910. Henri Weyl, de son côté fit avancer la théorie des équations différentielles singulières du second ordre. John Von Neumann développa le concept de l'espace de Hilbert abstrait entre 1927 et 1929, cadre dans lequel il commença l'étude des opérateurs auto-adjoint non bornés essentiellement pour les besoins de la théorie quantique naissante. Fréderic Riesz et M. H. Stone développèrent la théorie spectrale et l'étendirent aux opérateurs normaux non bornés. Des applications aux opérateurs différentiels et l'extension aux opérateurs semi-bornés symétriques furent l'œuvre de K. O. Friedrichs en 1934 et Krein en 1947.
En 1927, la théorie des corps ordonnables d'Artin-Schreier permet de clarifier la nécessité d'un argument d'analyse dans la preuve du théorème fondamental de l'algèbre, le théorème de D'Alembert-Gauss.
Abandonnés depuis le formalisme de Weierstrass, vers 1850, les infiniments petits de l'époque héroïque (xvii^e siècle) reprennent du service sous l'impulsion de Abraham Robinson en 1960 qui crée l'Analyse non standard. En 1970, Nelson ajoute à l'axiomatique classique de Zermelo-Fraenkel+axiome du choix (ZFC) un nouveau prédicat qui lui permet d'interpréter l'analyse non standard de Robinson dans une théorie plus facile. Les résultats démontrés dans l'analyse non standard qui s'expriment dans ZFC seul sont alors vrais dans ZFC seul.

Théorie des groupes [modifier]

La théorie des groupes occupe beaucoup de monde. Notamment les groupes finis sporadiques dont l'étude ne sera achevée que dans les années 1980. L'étude des groupes de Lie se poursuit et l'algébrisation de la physique devient un enjeu majeur.

Topologie [modifier]

Poincaré énonce en 1904 la conjecture qui porte son nom : « Considérons une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3 ». Elle sera démontrée en 2003 par Grigori Perelman.

Équations différentielles [modifier]

Dans l'étude des équations différentielles, Painlevé découvre de nouvelles transcendantes. Son étude est continuée par Gambier.
Un mémoire de Dulac⁵⁰, de 1923, contient l'énoncé qu'un champ de vecteurs X à coefficients polynomiaux du plan possède au plus un nombre fini de cycles limites (un cycle limite est une courbe intégrale analytique fermée et isolée de X) qui suscitera beaucoup de travaux complémentaires avant de devenir le théorème de Dulac. À l'instar de nombre de théorèmes "démontrés", la démonstration fut contestée dans les années 1960. Celle de Dulac comportait des "trous" mis en évidence par des contre-exemples de Ilyashenko. Le théorème de Dulac devint la conjecture de Dulac. Puis la preuve fut complétée par Jean Ecalle⁵¹ et la conjecture de Dulac retrouva son statut de théorème sous la forme "Pour tout champs de vecteurs analytique dans le plan, les cycles limites ne s'accumulent pas".

Théorie des nombres [modifier]

La thèse de Cahen (1894) avait fait l'objet de nombreuses critiques. Ce fut l'occasion de nouvelles études dans les séries de Dirichlet et la théorie des fonctions L, particulièrement parSzolem Mandelbrojt.
Robert Daniel Carmichael découvre les nombres de Carmichael en 1909. Il faut attendre 1994 pour qu'Alford, Granville et Pomerance démontrent qu'il y en a une infinité⁵². Plus précisément, ces auteurs montrent que le nombre de nombres de Carmichael inférieurs à $x$ , $C (x)$ , est minoré par $C (x) > x 2 / 7$ à partir d'un certain rang. Divers auteurs ont donné des majorations de $C (x)$ .
On s'attacha à simplifier les preuves du théorème des nombres premiers (Landau, Erdös et Selberg, ...) et celles du théorème de Picard (Borel). La fonction zêta de Riemann, dans le but de démontrer l'hypothèse de Riemann, est l'objet de très nombreuses recherches de Hardy et Littlewood, Speiser, Bohr, Hadamard, ... sans pour autant que le mystère ne soit résolu. Titchmarsh écrit en 1951 un traité sur la théorie de la fonction $ζ$ de Riemann qui reste l'un des plus complets.
Le problème de Waring est partiellement résolu par Hilbert en 1909 qui montre l'existence de g(k) tandis que Wieferich s'attaque à la détermination du plus petit g(k) pour un entier k donné. Le problème de la détermination de G(k) est commencé par Hardy et Littlewood qui énoncent même une conjecture non encore démontrée. Les majorations de G(k) données par Vinogradov ont été améliorées par Heilbronn (1936), Karatusba(1985), Wooley (1991). On connait les valeurs de G(k) pour k compris entre 2 et 20 par les travaux de Landau, Dickson, Wieferich, Hardy et Littlewood, ...Linnik donna une méthode de résolution du problème de Waring par une voie purement arithmétique en 1943, utilisant une idée de Schnirelmann.
Viggo Brun démontre en 1919 la convergence de la série des inverses des nombres premiers jumeaux, en utilisant une méthode issue du crible de Erathostène-Legendre qui restera comme le crible de Brun, inaugurant la méthode du crible moderne qui se développe principalement avec Selberg.
Une forme faible de la Conjecture de Goldbach est résolue par Vinogradov en 1936 en montrant que presque tous les nombres entiers impairs s'écrivent comme somme de trois nombres premiers.

Andrew Wiles

André Weil démontre l'hypothèse de Riemann pour les fonctions zeta locales en 1940 et énonce les conjectures qui portent son nom, qui sont démontrées dans le siècle.

Pierre Deligne en 2004. Sa démonstration d'une des conjectures d'André Weyl fut un "coup de tonnerre dans le ciel serein de la théorie des nombres"

Pierre Deligne démontre, contre toute attente, la conjecture de Weil sur les valeurs propres des endomorphismes de Frobenius en géométrie algébrique⁵³
Des travaux de Y. Hellegouarch lient dès les années 1960 le grand théorème de Fermat à l'arithmétique de courbes algébriques particulières, les courbes elliptiques, mais ce n'est qu'au milieu des années 1980, que Ken Ribet montre que démontrer la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil (ou conjecture modulaire), qui affirme un lien précis entre les fonctions modulaires et les courbes elliptiques, entraînerait le grand théorème de Fermat. Au bout de sept ans de recherches, Andrew Wiles annonce en 1993, au cours d'une série de conférences sur les courbes elliptiques et leurs représentations lors d'un colloque à Cambridge, la démonstration de la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil pour une large famille de courbes elliptiques (ce qui suffit pour le théorème de Fermat). Un problème technique retarde plusieurs mois la mise au point de la preuve, mais fin 1994, le grand théorème de Fermat est démontré. Peu après, la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil est complètement démontrée.

Graphes [modifier]

Wegener et Brendan McKay, indépendamment, montrent qu'il existe plus de 13 267 364 410 532 solutions au problème du cavalier et Ernesto Mordecki, un mathématicien uruguayen, en 2001, a majoré le nombre des solutions à 1,305.10^35.

Analyse complexe [modifier]

La première véritable preuve du théorème de l'application conforme de Riemann (1851) est donnée par Constantin Carathéodory en 1912 en utilisant les surfaces de Riemann. Elle est bientôt simplifiée par Koebe. Une autre preuve est donnée en 1922 par Fejer et Riesz, elle-même simplifiée par Ostrowski et Carathéodory.
Caratheodory énonce et démontre en 1906 un lemme qu'il appelle lemme de Schwarz. Son énoncé, bien que très simple, va se révéler extraordinairement fécond après que Pick l'ait étendu en 1916. De nombreuses autre extensions, celles de Caratheodory (1926) et de Néhari (1947) par exemple, suivront. On verra le lien entre le lemme de Schwarz et la métrique de Poincaré sous-jacente.
Bieberbach, en 1916, va émettre une conjecture généralisant le lemme de Schwarz qui ne sera définitivement résolue que par Louis de Branges de Bourcia, après près de 70 ans de recherches, en 1985.
Après la première guerre mondiale, la communauté mathématique française, qui avait perdu beaucoup de ses membres, se replia sur son sujet favori: l'analyse complexe et la théorie des fonctions analytiques dont elle était la principale instigatrice.
La théorie des fonctions entières d'ordre infini est l'œuvre de Otto Blumenthal vers 1913.
L'importance de la formule de Jensen s'affirme dans la théorie de la croissance initiée par Emile Borel⁵⁴.

Logique et théorie des ensembles [modifier]

Sur la question des fondements, les mathématiciens se disputent allègrement, et des branches apparaissent sous l'impulsion de Brouwer, de Henri Poincaré, ... Cependant la majorité de la communauté mathématique adhère à l'axiome du choix dont Kurt Gödel montrera en 1930 que, tout comme l'hypothèse du continu, il pouvait être ajouté aux axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans introduire de contradictions. En réalité, ces deux énoncés sont indépendants des autres axiomes: ce sont des propositions indécidables (Paul Cohen, 1963). Les démonstrations de non contradictions fleurissent (sous réserve de la non contradiction de la théorie des ensembles).

Dans la théorie de la démonstration, on notera les travaux d'Herbrand (1930) et de Gentzen, trop vite décédés, le premier en 1931, le second en 1945.
On s'était demandé si toute proposition vraie, dans une axiomatique donnée, pouvait être démontrée. La réponse est non. Le théorème d'incomplétude de Gödel (1931) énonce que toute théorie non contradictoire capable de formaliser l'arithmétique ne permet pas de démontrer toutes les propositions vraies. Autrement dit, il existe des tautologies indémontrables dans toute théorie capable de formaliser l'arithmétique ...
Church invente le lambda calcul et énonce sa thèse, Turing invente la machine abstraite qui porte son nom et Kleene précise la définition des fonctions récursives. La notion defonction calculable est inventée. Matiyasevich démontre qu'il n'existe pas d'algorithme qui permette de dire si une équation diophantienne est résoluble, donnant ainsi une réponse négative aux dixième problème de Hilbert⁵⁵. La théorie des automates et la théorie des langages apparaissent.
Donald Knuth publie son encyclopédie sur l'art de la programmation et crée un nouvelle discipline l'analyse d'algorithmes.

Donald Knuth

Probabilités [modifier]

La notion de mesure développée par Émile Borel en 1897 est complétée par Henri-Léon Lebesgue et sa théorie de l'intégration.⁵⁶ Cette notion d'analyse est utilisée par les probabilistes pour une définition plus rigoureuse de la probabilité et entre autres de la densité de probabilité

La première version moderne du théorème central limite est donnée par Alexandre Liapounov en 1901 ⁵⁷ et la première preuve du théorème moderne donnée par Paul Lévy en 1910.

En 1902, Andrei Markov introduit les chaînes de Markov⁵⁸ pour entreprendre une généralisation de la loi des grands nombres pour une suite d'expériences dépendant les unes des autres. Ces chaînes de Markov connaîtront de nombreuses applications, entre autres pour modéliser la diffusion ou pour l'indexation de sites web sur Google.

En 1933, la théorie des probabilités sort d'un ensemble de méthodes et d'exemples divers et devient une véritable théorie, axiomatisée parKolmogorov.

Kiyoshi Itō met en place une théorie et un lemme qui porte son nom dans les années 1940. Ceux-ci permettent de relier le calcul stochastique et les équations aux dérivées partielles faisant ainsi le lien entre analyse et probabilités. Le mathématicien Wolfgang Döblinavait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en juin 1940. Ses travaux furent envoyés à l'Académie des sciences dans un pli cacheté qui ne fut ouvert qu'en 2000.

Analyse numérique [modifier]

Richard Courant introduit les éléments finis en 1940 qui servent à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles. Cette méthode ne prendra véritablement son essor qu'avec l'informatique et des procédés de maillage performant et adaptés, ce qui n'apparaîtra pas avant les années 1980.
La méthode de Monte-Carlo se développe, sous l'impulsion de John von Neumann et Stanislas Ulam notamment, lors de la Seconde Guerre mondiale et des recherches sur la fabrication de la bombe atomique. Elles sont dénommées ainsi par allusion aux jeux de hasard pratiqués à Monte-Carlo. Ces méthodes probabilistes servent à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles, d'équations différentielles stochastiques, et d'estimations d'intégrales multiples.

Paradoxes apparents et curiosités [modifier]

Si l'acceptation de l'axiome du choix permet de démontrer l'existence de bases dans les espaces vectoriels de dimension infinie, notamment les espaces de Hilbert, cela a aussi des conséquences plus étranges, comme le paradoxe de Banach-Tarski : il existe un découpage d'une sphère parfaite en cinq morceaux tel qu'avec les morceaux on puisse reconstituer deux sphères parfaites de même diamètre que la première.
D'autres curiosités, comme le théorème du retournement de la sphère de Smale (qui utilise l'axiome du choix) sont démontrées.

Notes et références [modifier]

↑ La grande aventure de l'humanité, Arnold Toynbee, chap. 6
↑ Babylonian expedition voir ce document [archive]
↑ La tablette YBC 7289 prouve qu'ils connaissaient une valeur approchée de la racine carrée de deuxau millionième près
↑ tablettes de Nippur
↑ Par exemple, la tablette Plimpton 322
↑ Babylonian mathematics [archive]
↑ Les mathématiques et l'astronomie babyloniennes dans Les sciences exactes dans l'Antiquité de O. NEUGEBAUER
↑ Maurice Mashaal, p. 23 et p. 26.
↑ Sylvia Couchoud, Mathématiques Égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique, éditions Le Léopard d’Or, 2004, pp. 61-65.
↑ Seules les données archéologiques apportent des informations sur leur organisation.
↑ Marcia Ascher, Mathématiques d'ailleurs, Nombres, Formes et Jeux dans les sociétés traditionnelles, Éditions du Seuil, 1998.
↑ Maurice Mashaal, p. 51.
↑ Van Egmond, Warren, The Commercial Revolution and the beginnings of Western Mathematics in Renaissance Florence, 1300-1500, éd. University of Michigan UMI Dissertation Services, Ann Arbor, Michigan, États-Unis, 628 p.
↑ A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, 1986 [détail des éditions] p 199
↑ Controverse entre Leibniz et Jean Bernouilli sur les logarithmes des nombres négatifs ou imaginaires - 1712
↑ Routes et Dédales, p 251
↑ Jacques Bouveresse, Jean Itard, Émile Sallé, Histoire des mathématiques [détail des éditions] , p 52
↑ Léonard Euler, Variae observationes circa series infinitas, théorème 7, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, (1744), 160-188, ou Opera Omnia, Series 1, Volume 14, 217 - 244. Téléchargeable à [1] [archive]
↑ Histoire des mathématiques (Bouveresse, Itard, Sallé) p 52
↑ Routes et dédales, p 112
↑ Routes et dédales, p 114
↑ ^a et b Histoire des mathématiques (Bouveresse, Itard, Sallé) p 74
↑ Waring, meditationes algebricae, 1770, p203-204
↑ Charles Delaunay,Théorie du mouvement de la lune, 1860-1867, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN374745188 [archive]
↑ H. Faye, Discours aux funérailles, 1872
↑ CRAS, 10 novembre 1845, 1er juin 1846, 31 août 1846
↑ ^a et b Appell, cours de mécanique rationnelle, T2
↑ Husson, thèse, 1906
↑ Bruno Belhoste « La formation d'une technocratie. L'École polytechnique et ses élèves de la Révolution au Second Empire » p. 222. Belin, Collection Histoire de l'éducation.
↑ Nouvelle correspondance mathématique, T2, 1852
↑ Monge, Géométrie descriptive, Paris, Baudouin, An VII(1799)
↑ Pour une démonstration d'après Hurwitz voir Valiron, théorie des fonctions, Masson, Paris,1942
↑ Berger, Géométrie
↑ Hilbert, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Programm zum Eintritt in die philosophische Facultät und den Senat der k. Friedrich-Alexander-Universität zu Erlangen, 1872
↑ Cité par Cauchy et repris par H. Laurent, Théorie des résidus,1865 et par Laisant, Exposition de la méthode des équipollences [de Bellavitis], 1878
↑ Wessel, Essai sur la représentation analytique de la direction, 1797
↑ Argand, Essai sur une manière de représenter des quantités imaginaires dans les constructions géométriques,1806
↑ Mourey, La vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétenduement imaginaires, 1828
↑ Legendre,Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes, Appendice: sur la méthodes des moindres carrés,Paris,Courcier, 1805
↑ Legendre, Méthodes des moindres carrés, lu le 24 février 1811
↑ Gauss, Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium, 1809
↑ http://statbel.fgov.be/info/quetelet_fr.asp [archive], une biographie de Quételet
↑ Lettre de De Morgan à Hamilton du 23 octobre 1852
↑ dans diverses communications de 1878-1879 à la société mathématique de Londres et à la société de géographie.
↑ Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Acta Mathematica XIII, 1890,1-270
↑ un mémoire de Poisson de 1813 explique une curiosité mathématique des fonctions réelles par un contournement de la singularité réelle dans le plan complexe. On n'est qu'à un pas du théorème des résidus
↑ Estanave, Nomenclature des thèses de sciences mathématiques soutenues en France dans le courant du xix^e siècle, Paris, Gauthier-Villars, 1903
↑ Leonard Dickson, Linear Groups With an Exposition of the Galois Field Theory, 1901
↑ Hadamard, Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l'hydrodynamique, Paris, 1903
↑ Dulac, Sur les cycles limites, Bulletin de la société mathématique de France,T51,p45,1923
↑ Jean Ecalle, Introduction aux fonction analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, 1992
↑ W. R. Alford, A. Granville and C. Pomerance, There are infinitely many Carmichael numbers, Annals of Mathemtics, 140 (1994), 703-722.
↑ Pierre Deligne, La conjecture de Weil:I. Publications mathématiques de l'IHÉS n°43, Paris, 1974, 273-307.
↑ Borel,Leçons sur la théorie de la croissance,Paris, Gauthier-Villars,1910
↑ Matiiassevitch, Le dixième problème de Hilbert, son indécidabilité,Paris, Masson, 1995
↑ http://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node4.html [archive] histoire des probabilités de Borel à la seconde guerre mondiale
↑ Entre De Moivre et Laplace [archive]
↑ DicoMaths : Chaine de Markov [archive]

Voir aussi [modifier]

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Liens internes [modifier]

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Mathématiques
Chronologie de l'algèbre
Histoire de l'analyse fonctionnelle
YBC 7289 tablette d'argile babylonnienne

Liens externes [modifier]

(fr) Liens sur l'histoire des mathématiques (2)
(fr) Histoire des mathématiques à Béjaia
(fr) Dans la lettre de l'Académie des sciences"Histoire et philosophie des sciences" (pdf 2,12 Mo) - n°14 / hiver 2004: Mathématiques de la Chine ancienne
(en) Site de l'Université de St Andrews
(fr) Site recensant les étymologies des concepts mathématiques
(fr) Page de CNRS Éditions à propos de l'ouvrage La Mathématique

Bibliographie [modifier]

Karine Chemla, Guo Shuchun, Neuf Chapitres. Le Classique de la Chine ancienne et ses commentaires. Édition critique. [détail des éditions]
Jean-Paul Collette, Histoire des mathématiques, éditions du Renouveau Pédagogique Inc., Montréal, 1973.
Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres
Collectif (Michael Atiyah, Alain Connes, Freeman Dyson, Yuri I. Manin (en), David Mumford), La Mathématique, les temps et les lieux, CNRS Éditions, Paris, 2009.
Jean C. Baudet, Nouvel Abrégé d'histoire des mathématiques, Vuibert, Paris, 2002.
Sylvia Couchoud, Mathématiques Égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique, éditions Le Léopard d’Or, 2004. Le livre reproduit les hiéroglyphes, donne leur traduction et procède à un examen critique du texte.
Denis Guedj, Le théorème du perroquet.
Maurice Mashaal, « Les mathématiques », in Histoire des sciences (dir. P. de la Cotardière), pp. 19-104, [détail des éditions]

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