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19/11/2010

Théorie des probabilités

Courbes de probabilité.

La théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Les objets centraux de la théorie des probabilités sont les variables aléatoires, les processus stochastiques, et lesévénements: ils traduisent de manière abstraite des événements non déterministes ou des quantités mesurées qui peuvent parfois évoluer dans le temps d'une manière apparemment aléatoire. En tant que fondement mathématique desstatistiques, la théorie des probabilités est essentielle à la plupart des activités humaines qui nécessitent une analyse quantitative d'un grand nombre de mesures. Les méthodes de la théorie des probabilités s'appliquent également à la description de systèmes complexes dont on ne connait qu'en partie l'état, comme en mécanique statistique. Une grande découverte de la physique du vingtième siècle fut la nature probabiliste de phénomènes physiques à une échelle microscopique, décrite par la mécanique quantique.

Sommaire

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Historique [modifier]

La théorie mathématique des probabilités trouve ses origines dans l'analyse de jeux de hasard par Gerolamo Cardano au seizième siècle, et par Pierre de Fermat et Blaise Pascal au dix-septième siècle. Bien qu'un simple pile ou face ou un lancer de dés soit un événement aléatoire, en les répétant de nombreuses fois on obtient une série de résultats qui va posséder certaines propriétés statistiques, que l'on peut étudier et prévoir. Deux résultats mathématiques fondamentaux à ce propos sont la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale.

Initialement, la théorie des probabilités considérait surtout les événements discrets, et ses méthodes étaient principalement combinatoires. Mais des considérations analytiques ont forcé l'introduction de variables aléatoires continues dans la théorie. Cette idée prend tout son essor dans la théorie moderne des probabilités, dont les fondations ont été posées parAndreï Nikolaevich Kolmogorov. Kolmogorov combina la notion d'univers, introduite par Richard von Mises et la théorie de la mesure pour présenter son système d'axiomes pour la théorie des probabilités en 1933. Très vite, son approche devint la base incontestée des probabilités modernes.

Théorie des probabilités discrète [modifier]

La théorie discrète des probabilités s'occupe d'événements dans le cadre d'un univers fini ou dénombrable.

Exemples: lancer de dés, expériences avec des paquets de cartes, et marche aléatoire.

Définition classique: Initialement, la probabilité d'un événement était définie comme le nombre de cas favorables pour l'événement, divisé par le nombre total d'issues possibles à l'expérience aléatoire.

Par exemple, si l'événement est obtenir un nombre pair en lançant le dé, sa probabilité est donnée par $tfrac{3}{6}=tfrac{1}{2}$ , puisque trois faces sur six ont un nombre pair.

Définition moderne : La définition moderne commence par un ensemble appelé univers, qui correspond à l'ensemble des issues possibles à l'expérience dans la définition classique. Il est noté $Omega=left { x_1,x_2,dotsright }$ . Ensuite, on a besoin d'une fonction $f$ définie sur $Ω$ , qui va associer à chaque élément de $Ω$ sa probabilité, satisfaisant donc les propriétés suivantes :

$f(x)in[0,1]mbox{ pour tout }xin Omega$
$sum_{xin Omega} f(x) = 1$

On définit ensuite un événement comme un ensemble d'issues, c'est-à-dire un sous-ensemble de $Ω$ . La probabilité d'un évènement $E$ est alors définie de manière naturelle par :

$P(E)=sum_{xin E} f(x),$

Ainsi, la probabilité de l'univers est 1, et la probabilité de l'événement impossible (l'ensemble vide) est 0.

Pour revenir à l'exemple du lancer de dés, on peut modéliser cette expérience en se donnant un univers $Ω = {1;2;3;4;5;6}$ correspondant aux valeurs possibles du dé, et une fonction $f$ qui à chaque $iinOmega$ associe $f(i)=tfrac{1}{6}$ .

Théorie des probabilités continue [modifier]

La théorie des probabilités continue s'occupe des événements qui se produisent dans un univers continu (par exemple la droite réelle).

Définition classique: La définition classique est mise en échec lorsqu'elle est confrontée au cas continu (cf. paradoxe de Bertrand).

Définition moderne Si l'univers est la droite réelle $mathbb{R}$ , alors on admet l'existence d'une fonction appelée fonction de répartition $F,$ , qui donne $P(Xle x) = F(x),$ pour une variable aléatoire $X$ . Autrement dit, $F (x)$ retourne la probabilité que $X$ soit inférieur ou égal à $x$ .

La fonction de répartition doit satisfaire les propriétés suivantes :

$F,$ est une fonction croissante et continue à droite.
$lim_{xrightarrow -infty} F(x)=0$
$lim_{xrightarrow +infty} F(x)=1$

Si $F,$ est dérivable, alors on dit que la variable aléatoire $X$ a une densité de probabilité $f(x)=frac{dF(x)}{dx},$ .

Pour un ensemble $E subseteq mathbb{R}$ , la probabilité que la variable aléatoire $X$ soit dans $E,$ est définie comme :

$P(Xin E) = int_{xin E} dF(x),$

Si la densité de probabilité existe, on peut alors la réécrire :

$P(Xin E) = int_{xin E} f(x),dx$

Tandis que la densité de probabilité n'existe que pour les variables aléatoires continues, la fonction de répartition existe pour toute variable aléatoire (y compris les variables discrètes) à valeurs dans $mathbb{R}$ .

Ces concepts peuvent être généralisés dans les cas multidimensionnel sur $mathbb{R}^n$ et d'autres univers continus.

Principes fondamentaux [modifier]

La probabilité d'un événement donné A, $textstylemathbb{P}(A)$ , est représentée par un nombre compris entre 0 et 1. L'événement impossible a une probabilité de 0 et l'événement certain a une probabilité de 1. Il faut savoir que la réciproque n'est pas vraie. Un événement qui a une probabilité 0 peut très bien se produire dans le cas où un nombre infini d'événements différents peut se produire. Ceci est détaillé dans l'article Ensemble négligeable.

**Quelques notions ou propriétés fondamentales**
Évènement	Probabilité
probabilité de A	$mathbb{P}(A)in[0,1],$
probabilité de ne pas avoir A	$mathbb{P}(A^c)=1-mathbb{P}(A),$
probabilité d'avoir A ou B	$begin{align} mathbb{P}(Acup B) & = mathbb{P}(A)+mathbb{P}(B)-mathbb{P}(Acap B) \ end{align}$
probabilité conditionnelle de A, sachant B	$mathbb{P}(A\|B) = mathbb{P}_{B}(A)=frac{mathbb{P}(Acap B)}{mathbb{P}(B)},$
probabilité d'avoir A et B	$begin{align} mathbb{P}(Acap B) & = mathbb{P}(A\|B)mathbb{P}(B)\ & = mathbb{P}(A)mathbb{P}(B) qquadmbox{si A, B sont indépendants}\ end{align}$

$textstyle Acup B$ est la réunion de A et B. $textstyle Acap B$ est l'intersection de A et de B. $mathbb{P}(A|B)$ est appelé la probabilité conditionnelle de A sachant B. C'est la probabilité d'avoir A quand on sait que l'on a B. Par exemple, pour un dé à 6 faces la probabilité d'avoir un 2 (A) quand on sait que le résultat est pair (B) est égal à $textstylefrac{1/6}{1/2}=1/3$ car la probabilité d'avoir à la fois un 2 et un nombre pair est égal à 1/6 et la probabilité d'avoir un nombre pair est égal à 1/2. Ici on remarque que $textstyle Acap B=A$ car on a toujours un nombre pair quand on a 2.

La théorie des probabilités aujourd'hui [modifier]

Article détaillé : axiomes des probabilités.

Article détaillé : espace probabilisé.

Certaines distributions peuvent être un mélange de distributions discrètes et continues, et donc n'avoir ni densité de probabilité ni fonction de masse. La distribution de Cantor constitue un tel exemple. L'approche moderne des probabilités résout ces problèmes par l'utilisation de la théorie de la mesure pour définir un espace probabilisé et aboutir aux axiomes des probabilités développés par Kolmogorov

Un espace probabilisé comporte trois parties:

un univers $Ω$ : L'univers est l'ensemble de tous les résultats possibles de l'évenement aléatoire. Par exemple pour un dé a 6 faces l'univers est Ω ≡ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
un ensemble d'événements $mathcal{B}$ : C'est une tribu sur les événements Ω. Cet ensemble contient tous les résultats possibles de l'événement au sens large. Par exemple pour un dé à 6 faces il contient la possibilité d'avoir un 1 ou un 2: {1, 2}, la possibilité de ne rien sortir comme résultat: l'ensemble vide $textstyleemptyset$ , la possibilité de sortir n'importe quel face du dé {1, 2, 3, 4, 5, 6}. En général en probabilité on se contente de prendre la tribu borélienne. À titre d'exemple la tribu borélienne pour le résultat d'un dé à 4 faces est donné (celle pour le dé à 6 faces est encore plus grande mais suit le même principe):

{ø, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}. On remarque que cette tribu contient l'ensemble vide ø et Ω={1,2,3,4}. Ceci est le cas pour toutes les tribus.

une mesure $mathbb{P}$ : Cette mesure ou probabilité est la probabilité de réaliser l'un des éléments de $mathcal{B}$ . Cette probabilité est comprise entre 0 et 1 pour tous les éléments de $mathcal{B}$ , c'est lepremier axiome des probabilités. Par exemple pour un dé a 6 faces: la probabilité d'avoir {1} est 1/6, la probabilité de Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, tirer n'importe laquelle des 6 faces, est 1 (ceci est aussi toujours le cas, c'est le deuxième axiome des probabilités), la probabilité de l'ensemble vide ø est 0. Ceci est toujours le cas, c'est également une conséquence des axiomes des probabilités.

Dans cette optique, pour des événements deux à deux disjoints (c'est-à-dire, d'intersection deux à deux vide) A₁, A₂, A₃…, la probabilité de leur union apparaît comme la somme de leurs probabilités, ou, avec les notations mathématiques, $Pleft(A_1cup A_2cup A_3cupcdotsright) =P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+cdots.$

C'est le troisième et dernier axiome des probabilités. Par exemple, et toujours pour un dé à 6 faces, la probabilité de tirer un 1 ou un 2 $mathbb{P}({1,2})=mathbb{P}({1})+mathbb{P}({2})=2/6$

En plus de permettre une meilleure compréhension et une unification des théories discrètes et continues des probabilités, l'approche de la théorie de la mesure nous permet aussi de parler de probabilités en dehors de $mathbb{R}^n$ , notamment dans la théorie des processus stochastiques. Par exemple pour l'étude du mouvement brownien, la probabilité est définie sur un espace de fonctions.

Lois de probabilité [modifier]

Article détaillé : Loi de probabilité.

Certaines variables aléatoires sont fréquemment rencontrées en théorie des probabilités car on les retrouve dans de nombreux processus naturels ; leur loi a donc une importance particulière. Les lois discrètes les plus fréquentes sont la loi uniforme discrète, la loi de Bernoulli, ainsi que les lois binomiale, de Poisson et géométrique. Les lois uniforme continue,normale, exponentielle et gamma sont parmi les plus importantes lois continues.

Convergence de variables aléatoires [modifier]

Article détaillé : convergence de variables aléatoires.

En théorie des probabilités, il y a plusieurs notions de convergence pour les variables aléatoires. En voici une liste:

Convergence en loi: une suite de variables aléatoires $(X_n)_{ninmathbb{N}}$ converge en loi vers la variable aléatoire $X,$ si et seulement si la suite des mesures images $(mu_{X_n})_ninmathbb{N}$ converge étroitement vers la mesure image

μ X

. En particulier dans le cas réel, il faut et il suffit que les fonctions de répartition convergent simplement vers la fonction de répartition de X en tout point de continuité de cette dernière.

Convergence en probabilité: $(X_n)_{ninmathbb{N}}$ converge en probabilité vers $X,$ ssi $forall epsilon >0$ , $lim_{nrightarrowinfty}Pleft(left|X_n-Xright|geqvarepsilonright)=0$ . Cette convergence implique la convergence en loi.

Convergence presque sûre: $(X_n)_{ninmathbb{N}}$ converge presque sûrement vers $X,$ ssi $P({omega/lim_{nrightarrowinfty} X_n(omega)=X(omega)})=1$ . Elle implique la convergence en probabilité, donc la convergence en loi.

Convergence dans $mathcal{L}^1$ : $(X_n)_{ninmathbb{N}}$ converge dans $mathcal{L}^1$ vers $X,$ ssi $lim_{nrightarrowinfty}E(|X_n-X|)=0$ . Elle implique aussi la convergence en probabilité.

Le calcul stochastique [modifier]

Article détaillé : calcul stochastique.

Un processus stochastique est un processus aléatoire qui dépend du temps. Un processus stochastique est donc une fonction de deux variables : le temps et la réalisation ω d'une certaine expérience aléatoire. Quelques exemples d'utilisation des processus stochastiques incluent le mouvement brownien, les fluctuations du marché boursier, ou la reconnaissance vocale. En temps discret, ces processus sont aussi connus sous le nom de Séries temporelles et servent entre autres en économétrie.

Parmi les processus stochastiques, les chaînes de Markov constituent l'exemple le plus simple et sans doute celui qui a le plus d'applications pratiques.

Chaîne de Markov [modifier]

Article détaillé : chaîne de Markov.

Une chaîne de Markov est un processus stochastique possédant la propriété markovienne. Dans un tel processus, la prédiction du futur à partir du présent ne nécessite pas la connaissance du passé. Il suffit alors de connaître l'état de la chaîne à un instant t pour savoir comme elle évoluera au temps t+1, il n'est pas nécessaire de connaître tout le passé entre 0 et t pour prévoir l'évolution de la chaîne.

Une chaîne en temps discret est une séquence X₁, X₂, X₃, ... de variables aléatoires. La valeur X_n étant l'état du processus au moment n. Si la distribution de probabilité conditionnellede X_n+1 sur les états passés est une fonction de X_n seulement, alors de façon mathématique:

$P(X_{n+1}=x|X_0, X_1, X_2, ldots, X_n) = P(X_{n+1}=x|X_n).$

où x est un état quelconque du processus, $mathbb{P}(A|B)$ est la probabilité d'avoir A quand on sait que l'on a B par exemple ici la probabilité d'avoir une certaine valeur pour $X n + 1$ quand on connaît la valeur de $X n$ . L'identité ci-dessus est la propriété de Markov pour le cas particulier d'une chaîne en temps discret. La probabilité $P (X n + 1 = x | X n = y)$ est appelée la probabilité de transition de x à y ; c'est la probabilité d'aller de x à y au temps n et a une importance particulière pour l'étude de ces chaînes. Nous considérons ici uniquement des chaînes de Markov en temps discret mais il faut savoir qu'il existe une généralisation en temps continu.

Cette propriété de Markov s'oppose à la notion d'hystérésis où l'état actuel dépend de l'histoire et non seulement de l'état actuel. Ces chaînes de Markov ou des modèles de Markov cachés interviennent dans l'étude de la marche aléatoire et ont de nombreux champs d'application: filtre anti-spam, mouvement brownien, hypothèse ergodique, théorie de l'information,reconnaissance des formes, algorithme de Viterbi utilisé en téléphonie mobile, etc...

Trois marches aléatoires (indépendantes) isotropes sur le réseau $mathbb{Z}^2$ ; 10 000 pas.

Article détaillé : marche aléatoire.

Citons entre autres comme cas particuliers de chaînes de Markov la marche aléatoire qui sert en particulier à l'étude de la diffusion ou du jeu de pile ou face. Une marche aléatoire est une chaîne de Markov où la probabilité de transition ne dépend que de x-y. Autrement dit une chaîne de Markov où l'on a: $P (X n + 1 = x | X n = y) = f (x - y)$ .

Un jeu de pile ou face où l'on jouerait 1 à chaque lancer est un exemple de marche aléatoire. Si on a y après n lancers, $P (X n + 1 = x | X n = y) = 1 / 2$ si (x-y)=+1 ou -1 et 0 sinon. (on a une chance sur deux de gagner 1 et une chance sur deux de perdre 1)

Équations différentielles stochastiques [modifier]

Article détaillé : Équation différentielle stochastique.

Les équations différentielles stochastiques sont une forme d'équation différentielle incluant un terme de bruit blanc. Ces équations différentielles stochastiques remplacent les équations différentielles ordinaires lorsque l'aléatoire entre en jeu. Au premier ordre par exemple: $frac{dX(t)}{dt}=mu(X(t))+sigma(X(t))xi(t)$

Pour faire une analogie avec la physique, $μ(X (t))$ est la vitesse moyenne au point X(t) et $σ$ est lié au coefficient de diffusion (voir à ce propos l'exemple donné dans lemme d'Itô). Lelemme d'Itô et l'intégrale d'Itô permettent alors de passer de ces équations stochastiques à des équations aux dérivées partielles classiques ou à des équations intégrales. Par exemple en utilisant le lemme d'Itô on obtient pour la probabilité de se trouver à l'instant t au point x:

$frac{partial p(x,t)}{partial t}=frac{sigma(x)^2}{2} frac{partial^2 p (x,t)}{partial x^2} +mu(x)frac{partial p(x,t)}{partial x}$

Ce lemme est particulièrement important car il permet de faire le lien entre l'étude d'équations stochastiques et les équations aux dérivées partielles qui relèvent de l'analyse. Ce lemme permet entre autres d'obtenir les équation de Fokker-Planck en physique et de traiter le mouvement brownien par des équations aux dérivées partielles classiques ou de modéliser les cours de la bourse en Mathématiques financières.

Voir aussi [modifier]

Liens externes [modifier]

Jean-François Le Gall, Intégration, probabilités et processus aléatoires [pdf], cours de l'ENS.

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JOURNAL OF NONCOMMUTATIVE GEOMETRY

The Journal of Noncommutative Geometry covers the noncommutative world in all its aspects. It is devoted to publication of research articles which represent major advances in the area of noncommutative geometry and its applications to other fields of mathematics and theoretical physics. Topics covered include in particular:

Hochschild and cyclic cohomology
K-theory and index theory
Measure theory and topology of noncommutative spaces, operator algebras
Spectral geometry of noncommutative spaces
Noncommutative algebraic geometry
Hopf algebras and quantum groups
Foliations, groupoids, stacks, gerbes
Deformations and quantization
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Noncommutative geometry in physics: QFT, renormalization, gauge theory, string theory, gravity, mirror symmetry, solid state physics, statistical mechanics

The Journal of Noncommutative Geometry is covered in:
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DOI: 10.4171/JNCG

Source : http://www.ems-ph.org/journals/journal.php?jrn=jncg

Documents d'Alain Connes

Documents

Ouvrages

Noncommutative Geometry [PDF] 4.1 MB
Academic Press, San Diego, CA, 1994, 661 p., ISBN 0-12-185860-X.
Noncommutative Geometry, Quantum Fields and Motives [PDF] 6.4 MB
Avec Matilde Marcolli

Preliminary version still under revision.

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Avec A. Chamseddine
Schemes over F1 and zeta functions [PDF] 378 KB
Avec K. Consani
The Gauss-Bonnet Theorem for the noncommutative two torus [PDF] 192 KB
Avec P. Tretkoff
Characteristic 1, entropy and the absolute point [PDF] 565 KB
Avec K. Consani
The hyperring of adele classes [PDF] 269 KB
Avec K. Consani
From monoids to hyperstructures: in search of an absolute arithmetic. [PDF] 269 KB
Avec K. Consani
The Witt construction in characteristic one and Quantization. [PDF] 351 KB
Noncommutative geometric spaces with boundary: Spectral Action [PDF] 225 KB
Avec A. Chamseddine

Articles de synthèse

Noncommutative geometry and physics [PDF] 1.4 MB [PS] 1.9 MB
A View of Mathematics [PDF] 418 KB [PS] 2.9 MB
Gelfand's 90th [PDF] 232 KB [PS] 446 KB
Renormalisation et symétries galoisiennes [PDF] 312 KB [PS] 1.2 MB

Cours au Collège de France

Renormalisation (2005 - 2006)
- Cours n°1 [PDF] 257 KB [PS] 2.2 MB
- Cours n°2 [PDF] 156 KB [PS] 728 KB
- Cours n°3 [PDF] 144 KB [PS] 857 KB
- Cours n°4 [PDF] 94 KB [PS] 1.5 MB
- Cours n°5 [PDF] 105 KB [PS] 1.0 MB
- Cours n°6 [PDF] 107 KB [PS] 201 KB
- Cours n°7 [PDF] 109 KB [PS] 275 KB
- Cours n°8 [PDF] 142 KB [PS] 436 KB
- Cours n°9 [PDF] 182 KB [PS] 1.3 MB
Géométrie des algèbres quadratiques (2004 - 2005) [PDF] 104 KB [PS] 239 KB
Q-réseaux (2003 - 2004) [PDF] 98 KB [PS] 236 KB
Structures transverses et Crochets de Rankin-Cohen (2002 - 2003) [PDF] 89 KB [PS] 219 KB
Variétés Noncommutatives de type Sphérique (2000 - 2001) [PDF] 74 KB [PS] 189 KB
Renormalisation en théorie des champs et problème de Riemann-Hilbert (1999 - 2000) [PDF] 83 KB [PS] 206 KB
Réalisation spectrale des Zéros de Zéta (1998 - 1999) [PDF] 123 KB [PS] 208 KB
Algèbres de Hopf, Cohomologie Cyclique et Théorème de l'Indice transverse (1997 - 1998) [PS] 184 KB
Leçon inaugurale (11 janvier 1985) [PDF] 4.1 MB [PS] 5.2 MB

Autres conférences

NCG and Physics [PPT] 2.8 MB
NCG and modular forms [PPT] 4.9 MB
NCG and foliations [PDF] 168 KB [PS] 311 KB
Conférence Boltzmann [PDF] 370 KB [PS] 1.9 MB

Documents divers

La géométrie non-commutative (présentation du C.N.R.S., 2004) [PDF] 89 KB
Dossier de presse de la manifestation « Rencontre de géométrie non-commutative » (I.H.E.S., 2002) [PDF] 5.6 MB
Album photos (C.N.R.S.) [PDF] 128 KB
Interview E.M.S. [PDF] 114 KB

Source : http://www.alainconnes.org/fr/downloads.php

Szolem Mandelbrojt Collège de France

Professeurs disparus

Szolem Mandelbrojt

CHAIRE DE MÉCANIQUE ANALYTIQUE ET MÉCANIQUE CÉLESTE

(1938 - 1972)

Né le 20 janvier 1899 à Varsovie
Décédé le 23 septembre 1983

CARRIÈRE

1917 - 1919 : Ecole Polytechnique et Université de Varsovie

1919 - 1920 : Université de Kharkov

1923 : Equivalence de la licence de sciences mathématiques

1923 : Doctorat ès sciences mathématiques

1928 - 1929 : Chargé de cours à la faculté des sciences de Lille

1929 - 1930 : Chargé de cours à la faculté des sciences de Clermont-ferrand

1930 - 1938 : Professeur de calcul différentiel et intégral, à la faculté des sciences de Clermont-Ferrand

DISTINCTIONS HONORIFIQUES

1928 : Prix Francoeur

1933 : Prix Bordin

1938 : Prix Poncelet (Académie des sciences)

1945 : Prix Petit d’Ormoy (Académie des sciences)

1948 : Chevalier de la légion d’honneur

1960 : Grand prix des sciences mathématiques et physiques

PRINCIPAUX OUVRAGES ET ARTICLES

-Sur les séries de Taylor qui présentent des lacunes, thèse de doctorat, 1923

-La série de Taylor et son prolongement analytique, avec Hadamard, 1926

-Modern researches on the singularities of functions defined by Taylor series, 1927

-Les singularités des fonctions analytiques représentées par une série de Taylor, 1932

-Séries de Fourier et classes quasi-analytiques de fonctions, 1936

-Séries lacunaires. Exposés sur la théorie des fonctions, 1936

-La régularisation des fonctions, 1938

-Quasi-analyticity and classes of infinitely differentiable functions, 1942

-Dirichlet Series, 1944

-General theorems of closure, 1951

-Séries adhérentes. Régularisation des suites, 1952

-Composition Theorems, 1958

-Théorèmes de fermeture et théorèmes de composition (en russe), 1962

-Séries de Dirichlet, principes et méthodes, 1969

Source : http://www.college-de-france.fr/default/EN/all/ins_dis/sz...

Szolem Mandelbrojt

Szolem Mandelbrojt, né à Varsovie le 20 janvier 1899 et mort à Paris le 23 septembre 1983 est un mathématicien français d'origine polonaise. Il est membre fondateur du groupeBourbaki.

Il est titulaire de la chaire de mathématique et mécanique au Collège de France de 1938 à 1972. Il est élu membre de l'Académie des sciences en 1972.

Szolem Mandelbrojt est l'oncle de Benoît Mandelbrot.

Biographie [modifier]

Dernier né d’une famille nombreuse, ses frères et sœurs, notamment Calel, de quinze ans son aîné, jouent un rôle important dans son éducation. Sa sœur Fanny ainsi que Calel accompagné de sa femme Bertha et de ses deux fils Benoît, futur inventeur des fractales, et Léon le rejoindront en France peu avant la guerre.

À Varsovie il s’initie aux mathématiques par la lecture de René Baire, Émile Borel, Georg Cantor et surtout Jacques Hadamard, puis il passe l’année scolaire 1919 à Kharkov où il est l’auditeur unique des cours de Serge Bernstein.

Arrivé en France en 1920, il partage un deux pièces avec Georges Politzer, fréquente les philosophes Jean Wahl, Norbert Guterman, les poètes Pierre Morhange, Max Jacob, mais avant tout il suit les cours de Picard, de Lebesgue, et surtout les séminaires et leçons au Collège de France de Jacques Hadamard. Il se lance alors seul dans la théorie du prolongement analytique des séries de Taylor et soutient, encouragé par Paul Montel, sa thèse en 1923.

Il est naturalisé Français en 1926.

Il succède au Collège de France à Jacques Hadamard en 1938, après avoir été chargé de cours à l’Université de Lille puis professeur à l’Université de Clermont-Ferrand.

Membre fondateur du groupe Bourbaki, il s’en écarte pendant la guerre pour continuer à se consacrer à l’analyse mathématique (voir « souvenirs à bâtons rompus… »).

Mobilisé en septembre 1939, il décline le classement en « affectation spéciale », qui lui est proposé en tant que professeur au Collège de France, et sert dans une unité combattante.

Immédiatement après l’armistice du 22 juin 1940, il est invité à enseigner au Rice Institute à Houston. Il obtient de Vichy un visa de sortie grâce à son service dans une unité combattante et il se rend à Houston avec sa femme Gladys et leur fils Jacques.

Après avoir offert ses services dès 1942 aux Forces françaises libres, il est révoqué du Collège de France en 1942. En 1944-45, il est membre de la mission scientifique française auprès des Forces Françaises Libres à Londres créée par Louis Rapkine.

Réintégré à la Libération, il reprend son enseignement au Collège de France en 1945.

Officier de la Légion d’Honneur, il a obtenu de nombreux prix et distinctions.

Il a formé de nombreux mathématiciens, notamment à Clermont-Ferrand le polonais Gorny, puis à Paris les Français Jean-Pierre Kahane, Paul Malliavin, les Israéliens Shmuel Agmon etYitzhak Katznelson, l’Indien U.N.Singh

Anecdote : en 1947 Szolem Mandelbrojt organise un congrès d'analyse harmonique à Nancy, et invite Norbert Wiener C'est à la suite de ce congrès qu'est apparu le néologismeCybernétique

On pourra avoir une introduction à son œuvre mathématique qui comprend environ 200 articles et plusieurs livres, dans Szolem Mandelbrojt, SELECTA, Gauthier-Villars, 1981.

Il a exposé ses idées générales et ses sentiments sur les mathématiques et la création mathématique dans une conférence au Collège Philosophique « Pourquoi je fais des mathématiques » Revue de métaphysique et de morale, 57, n^o 4, pages 422-429 (octobre-décembre 1952).

On pourra également consulter pour sa biographie, ses idées et une description, entre autres, de la vie mathématique d’avant guerre… « Souvenirs à bâtons rompus de Szolem Mandelbrojt recueillis en 1970 et préparés par Benoît Mandelbrot », Cahier du séminaire d’histoire des mathématiques, 6 (1985), pages 1-40.

Liens externes [modifier]

Portail des mathématiques

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Szolem_Mandelbrojt

Numdam

NUMDAM Source : http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?j=SB

Séminaire Bourbaki

1948-2002

tome 1 (1948-1951)	tome 23 (1980-1981)
tome 2 (1951-1954)	tome 24 (1981-1982)
tome 3 (1954-1956)	tome 25 (1982-1983)
tome 4 (1956-1958)	tome 26 (1983-1984)
tome 5 (1958-1960)	tome 27 (1984-1985)
tome 6 (1960-1961)	tome 28 (1985-1986)
tome 7 (1961-1962)	tome 29 (1986-1987)
tome 8 (1962-1964)	tome 30 (1987-1988)
tome 9 (1964-1966)	tome 31 (1988-1989)
tome 10 (1966-1968)	tome 32 (1989-1990)
tome 11 (1968-1969)	tome 33 (1990-1991)
tome 12 (1969-1970)	tome 34 (1991-1992)
tome 13 (1970-1971)	tome 35 (1992-1993)
tome 14 (1971-1972)	tome 36 (1993-1994)
tome 15 (1972-1973)	tome 37 (1994-1995)
tome 16 (1973-1974)	tome 38 (1995-1996)
tome 17 (1974-1975)	tome 39 (1996-1997)
tome 18 (1975-1976)	tome 40 (1997-1998)
tome 19 (1976-1977)	tome 41 (1998-1999)
tome 20 (1977-1978)	tome 42 (1999-2000)
tome 21 (1978-1979)	tome 43 (2000-2001)
tome 22 (1979-1980)	tome 44 (2001-2002)

Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki

L'Association des Collaborateurs de Nicolas Bourbaki a été créée en 1935.

Ses membres fondateurs sont : Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, Charles Ehresmann, René de Possel, Szolem Mandelbrojt, André Weil.

Ses activités principales sont :

La rédaction des Éléments de Mathématique

L'organisation d'un Séminaire :

- Programme (pdf) et résumés (pdf) des exposés du séminaire du 13 novembre 2010; - Textes des exposés de la session de juin 2009
: - Programme des séminaires précédents depuis novembre 1996; - Date des prochains séminaires; - Éditeurs du Séminaire depuis sa création.; - Ici le fichier de style bourbaki.cls, recommandé pour la saisie des exposés du séminaire.; - Ici la documentation de ce style: bourdoc.tex, bourdoc.dvi, bourdoc.ps.

Un séminaire de Physique, le Séminaire Poincaré, a été créé en 2001 sur le modèle du Séminaire Bourbaki

Source : http://www.bourbaki.ens.fr/

Nicolas Bourbaki

Pour les articles homonymes, voir Bourbaki.

Nicolas Bourbaki est un mathématicien imaginaire, sous le nom duquel un groupe de mathématiciens francophones, formé en 1935 à Besse-et-Saint-Anastaise (Besse-en-Chandesse à l'époque) en Auvergne sous l'impulsion d'André Weil, a commencé à écrire et éditer des textes mathématiques à la fin des années 1930. L'objectif premier était la rédaction d'un traité d'analyse. Le groupe s'est constitué en association, l'Association des amis de Nicolas Bourbaki, le 30 août 1952. Sa composition a évolué avec un renouvellement constant de générations.

Sous le nom Nicolas Bourbaki fut publiée une présentation cohérente des mathématiques, appuyée sur la notion de structure, dans une série d'ouvrages sous le titre Éléments de mathématique. Cette œuvre est à ce jour inachevée. Elle a eu une influence sur l'enseignement des mathématiques et sur l'évolution des mathématiques du xx^e siècle. Toutefois, elle connaît de nombreuses critiques : incompatibilité^{[réf. nécessaire]} entre le formalisme retenu et la théorie des catégories, style trop rigoureux^{[réf. nécessaire]}, manque d'exemples, incompréhension des étudiants, etc.

L'activité du groupe cependant a dépassé la rédaction d'ouvrages, par exemple avec l'organisation des séminaires Bourbaki.

Explications sur la biographie imaginaire [modifier]

Bourbaki [modifier]

Le nom de famille Bourbaki était le nom emprunté par Raoul Husson en 1923 lors d'un canular, alors qu'il était élève en troisième année de l'École normale supérieure. Il s'était donné l'apparence d'un mathématicien barbu du nom du professeur Holmgren pour donner une fausse conférence, volontairement incompréhensible et avec des raisonnements subtilement faux¹. L'objectif aurait été la démonstration d'un prétendu « théorème de Bourbaki ». Cette histoire amusa tellement le groupe, que le nom « Bourbaki » fut choisi.

Le choix de ce nom par Husson connaît trois explications possibles :

Bourbaki vient du général Charles Bourbaki sous lequel avaient servi des élèves normaliens durant la guerre de 1870. Ce nom lui aurait été emprunté, par souvenir ;
Bourbaki est le nom d'un furet curieux et intelligent dans un roman d'Octave Mirbeau, Le Journal d'une femme de chambre (1900). Cette seconde explication a été proposée par le mathématicien Sterling K. Berberian en 1980, mais n'a été confirmée par les propos d'aucun membre du groupe ;
Pour une autre hypothèse, voir : François Laubie, « A Mathematician called Bourbaki », The Mathematical Intelligencer, n^o 29, 2007, p. 7-8.

Le nom Bourbaki a été arrêté en juillet 1935 lors du congrès fondateur de Besse-en-Chandesse.

Extrait d'une lettre² de Jean Dieudonné à la rédaction du Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques :

« [Le nom de Bourbaki] est effectivement une idée de Weil. À Aligarh, il s'était lié avec un mathématicien hindou D. Kosambi, lequel avait une querelle avec un de ses collègues dont, je ne sais pas le nom. Weil lui suggéra pour faire « perdre la face » à son adversaire de publier un article où il ferait référence à un mémoire imaginaire que l'autre évidemment ne connaîtrait pas et en serait humilié. L'article est effectivement paru sous le titre : On a generalization of the second theorem of Bourbaki, Bull. Acad. Sci. Allahabad, vol. 1., 1931-1932, p. 145-147. [...] Ce dernier a été dûment analysé dans Jahrbuch, tome. 58, 1932, p. 734, par Schouten³. Il est dit en effet qu'un mathématicien russe du nom de D. Bourbaki aurait publié un théorème sur les dérivées covariantes que Kosambi généralise dans l'article ; Kosambi disait dans l'article que le mémoire lui aurait été signalé par A. Weil, mais Schouten a cru que c'était une erreur de nom et a dit dans son compte-rendu que c'était H. Weyl qui aurait signalé le mémoire russe à Kosambi, et il ajoute qu'il ne sait pas dans quel périodique a paru le mémoire. »

Prénom [modifier]

Le prénom Nicolas a été choisi par Éveline de Possel⁴ à la fin de 1935⁵, afin que puisse être communiquée une fausse note biographique à l'académie des sciences.

Toutefois, la mention N. Bourbaki, dans les premiers écrits publiés sous ce nom, ne renvoie pas à l'initiale de Nicolas. N était écrit tant que le nom du professeur était inconnu⁶.

Depuis les débuts, les Éléments de mathématique sont publiés sous le nom de N. Bourbaki. Le seul ouvrage publié sous le nom de Nicolas Bourbaki se trouve être les Éléments d'histoire des mathématiques. On remarquera que si le mathématicien N. Bourbaki parle de « mathématique », l'historien Nicolas Bourbaki parle des mathématiques.

Poldévie [modifier]

Article détaillé : Poldévie.

En 1935, dans une lettre à Élie Cartan, Weil introduit N. Bourbaki comme un professeur de Poldévie, pays imaginaire d'Europe centrale. D'après Maurice Mashaal, ce risque pris fut une nécessité pour pouvoir publier des travaux sous ce pseudonyme. Une prétendue nation poldève avait déjà été évoquée en 1929 par le journaliste d'Action française Alain Mellet pour mystifier les députés républicains de gauche⁷.

Le nom Poldévie est resté. Il est notamment mentionné comme le lieu de travail de Nicolas Bourbaki dans la Notice sur la vie et l'œuvre de Nicolas Bourbaki.

Histoire de Bourbaki [modifier]

Origines [modifier]

Théorie des ensembles, premier tome des Éléments de mathématique, 1970, chez Herman.

Le groupe Bourbaki s'est constitué dans un contexte où une génération de mathématiciens potentiels avait été décimée par la Première Guerre mondiale. Les jeunes normaliens qui constituèrent le groupe se trouvaient donc sans prédécesseurs immédiats au sein de l'Université, sauf Gaston Julia, et avaient pour interlocuteurs des chercheurs du xix^e siècle (Élie Cartan, Henri Lebesgue, Jacques Hadamard⁸, Picard, Goursat). La critique de Bourbaki portait sur :

l'émiettement des mathématiques en spécialités étanches ;
la pré-éminence d'une analyse foisonnante mais manquant de rigueur ;
l'ignorance (explicable en partie par le contexte politique) de branches actives à l'étranger, particulièrement l'algèbre développée en Allemagne.

À l'origine, au début de leurs prises de fonction à l'université de Strasbourg, Henri Cartan et André Weil se retrouvent à devoir enseigner l'intégration et le calcul différentiel. Ils sont alors peu satisfaits des traités disponibles, en particulier du Traité d'analyse d'Édouard Goursatqu'ils utilisent pour leur cours.

Leur vient alors l'idée de réunir des amis, également anciens camarades de l'École normale supérieure de la rue d'Ulm (sauf Szolem Mandelbrojt), avec la volonté de rédiger un tel traité les satisfaisant. Le groupe d'amis, les membres fondateurs de ce qui deviendra Bourbaki, est à cette époque composé d'André Weil⁹ et Jean Delsarte (promotion 1922), d'Henri Cartan, Jean Coulomb et René de Possel (promotion 1923), Jean Dieudonné et Charles Ehresmann (promotion 1924), Claude Chevalley (promotion 1926) et Szolem Mandelbrojt.

Parmi les règles qui organisent ce groupe secret de mathématiciens, il est décidé qu'à l'âge de 50 ans, tout membre de Bourbaki devra céder sa place aux jeunes générations. Pour l'anecdote, André Weil, à l'occasion de la fête d'anniversaire des 50 ans de Dieudonné, fit lire au groupe Bourbaki une lettre où il annonçait son retrait du groupe, car il avait lui-même dépassé l'âge limite. Cet éclat (chose à laquelle on peut s'attendre de la part de Weil) eut son effet mais les cinquantenaires traînèrent un peu les pieds pour partir.

La première réunion de travail a lieu dans un café du quartier latin¹⁰ en décembre 1934. En juillet de l'année suivante, le groupe se retrouve pour la première fois à Besse-en-Chandesse. Ils pensent alors que trois ans seront suffisants pour mener l'entreprise à son terme. En fait, le premier chapitre nécessitera quatre ans de travail et, très rapidement, c'est un traité sur la mathématique qui devient le projet du groupe : les Éléments de mathématique, œuvre collective publiée sous le pseudonyme de N. Bourbaki. L'ampleur de la tâche fait qu'elle se poursuit encore...

L'âge d'or de Bourbaki [modifier]

Le premier volume des Éléments de mathématique à être publié, en 1939, fut le Fascicule de résultats de la Théorie des ensembles. La publication des volumes suivants ne respecta pas l'ordre du traité (Théorie des ensembles, Algèbre, Topologie générale, ...).

Même si Nicolas Bourbaki n'est pas mort aujourd'hui, on considère que l'influence de Bourbaki a été la plus importante dans les années 1960-70. À cette époque, son importance était telle que les choix réalisés par Bourbaki ont influencé toute la recherche française en mathématiques, et peut-être même l'enseignement à travers la réforme Lichnerowicz^{[réf. nécessaire]}.

Nicolas Bourbaki totalise 5 médailles Fields (la plus importante récompense en mathématiques) à travers Laurent Schwartz (1950), Jean-Pierre Serre (1954), Alexandre Grothendieck(1966), Alain Connes (1982) et Jean-Christophe Yoccoz (1994).

La mort de Bourbaki [modifier]

Dans la lignée dadaïste de sa naissance, le faire-part de décès suivant fut publié pour annoncer la « mort » de Nicolas Bourbaki :

« Les familles Cantor, Hilbert, Noether ; les familles Cartan, Chevalley, Dieudonné, Weil ; les familles Bruhat, Dixmier, Samuel, Schwartz ; les familles Cartier,Grothendieck, Malgrange, Serre ; les familles Demazure, Douady, Giraud, Verdier ; les familles filtrantes à droite et les épimorphismes strictes, mesdemoiselles Adèle et Idèle ;
ont la douleur de vous faire part du décès de M. Nicolas Bourbaki, leur père, frère, fils, petit-fils arrière-petit-fils et petit-cousin respectivement pieusement décédé le11 novembre 1968, jour anniversaire de la victoire, en son domicile de Nancago. La crémation aura lieu le samedi 23 novembre 1968 à 15 heures au cimetière des fonctions aléatoires, métro Markov et Gödel.
On se réunira devant le bar « aux produits directs », carrefour des résolutions projectives, anciennement place Koszul.

Selon les vœux du défunt, une messe sera célébrée en l'église Notre-Dame des problèmes universels, par son éminence le Cardinal Aleph 1 en présence des représentants de toutes les classes d'équivalence et des corps algébriquement clos constitués. Une minute de silence sera observée par les élèves des Écoles normales supérieures et des classes de Chern.
Car Dieu est le compactifié d'Alexandroff de l'univers, Grothendieck IV, 22. »

Héritage et influence [modifier]

En mathématique [modifier]

Ce que les mathématiques doivent à Bourbaki est essentiellement :

un style, une façon d'écrire les mathématiques ;
la vulgarisation en France des symboles ∀ et ∃ (l'un venant de Gentzen et l'autre de Peano) ;
la vulgarisation du symbole ∅ introduit par André Weil et Claude Chevalley¹¹ ;
l'utilisation des symboles ⇐, ⇒ et ⇔ en logique ;
la vulgarisation du lemme de Zorn ;
la notion de structure ;
la vulgarisation du symbole $otimes$ pour désigner le produit tensoriel et l'introduction du terme « algèbre multilinéaire » ;
les termes partition, surjectif, injectif, boule, noethérien, artinien, factoriel ;
les notions de « filtre » et d'« ultrafiltre » ;
le terme « forme sesquilinéaire »¹²
l'introduction des termes « chambre » et « appartement » en théorie des immeubles de Tits et l'introduction des BN-paires en théorie des groupes de Lie¹³ ;
une certaine attention à l'histoire des mathématiques développée dans quelques « notes » accompagnant la parution des Éléments¹⁴.

On est redevable à Bourbaki d'un travail de clarification des concepts, de précision dans la formulation, d'une recherche — parfois aride — de structure, de classification systématique et exhaustive des mathématiques.

Dans d'autres disciplines [modifier]

En littérature, l'Oulipo copie indéniablement la « méthode » Bourbaki de travail collectif et de mise en évidence systémique des structures profondes de la création littéraire. À noter qu'un membre important de l'Oulipo, Jacques Roubaud est un mathématicien qui a été très marqué par Bourbaki. C'est par exemple lui qui a écrit l'avis de décès de Bourbaki, sous forme de canular.

Le structuralisme lacanien ou celui de Lévi-Strauss en ethnologie, à la même époque, dénote d'une quête de structures fondamentales dont on peut débattre s'il s'agit de l'influence de Bourbaki ou d'un certain « air du temps »¹⁵.

Le philosophe des sciences Jules Vuillemin fut influencé par Bourbaki (La philosophie de l'algèbre).

Note critique

Il est inutile d'imaginer un groupe qui ait influencé les autres groupes. André Weil (1906) est sensiblement de la même génération qu'André Breton (1896), Jacques Lacan (1900), ouClaude Lévi-Strauss (1908). Tous ces groupes avaient atteint leur apogée en 1964.

Une rencontre s'est opérée géographiquement au mois de janvier 1964 lorsque le directeur de l'École normale, Robert Flacelière a mis à la disposition de Jacques Lacan une salle dans les locaux de son école. (Séminaire Livre XI, Les Quatre concepts fondamentaux de la psychanalyse).

D'un côté Jacques Lacan souhaitait la venue des mathématiciens pour formuler les structures algébriques et topologiques qu'il considérait à l'œuvre dans la psychanalyse ; de l'autre lesmathématiciens voyaient là, peut-être avec un certain amusement, une application concrète des mathématiques fondamentales.

C'est sensiblement à cette époque que le groupe Bourbaki fit paraître la Théorie des ensembles dont Lacan fit un très grand usage.

Ce qui distinguerait le groupe des mathématiciens des autres groupes, ce serait son côté fermé et réservé aux mathématiciens de haut niveau de l'École normale supérieure, alors que le structuralisme prétendrait intéresser tous les praticiens des sciences humaines : littérature, politique, psychanalyse, ethnologie, linguistique.

Il y a bien sûr un point commun, qui est le retour aux sources, la recherche des fondements et la rupture épistémologique.

Mais les deux groupes sont néanmoins restés sur leur quant-à-soi.

Mathématiciens ayant appartenu à Bourbaki [modifier]

Membres fondateurs [modifier]

Membres non-fondateurs [modifier]

Membres actuels [modifier]

Les noms des membres actuels de Bourbaki sont tenus secrets.

Références [modifier]

Notes [modifier]

↑ Maurice Mashaal, p. 25.
↑ [pdf] Jean Dieudonné, « Lettre à la rédaction », dans Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques, tome 7, 1986, p. 221-222. [archive]
↑ Jahrbuch, tome. 58, 1932, p. 734. [archive]
↑ Éveline de Possel se remarie peu après avec André Weil.
↑ André Weil, Souvenirs d'apprentissage, Birkhaüser, 1991, p. 106.
↑ Maurice Mashaal, p. 29.
↑ Dans un article au ton canularesque, Michèle Audin soutient que dès 1910 des normaliens montèrent une mystification qui roulait sur une prétendue nation poldève. ([pdf] Michèle Audin, « La vérité sur la Poldévie » [archive], 2009, en ligne sur le site de l'université de Strasbourg). Elle donne pour référence André Weil, Souvenirs d’apprentissage, Vita Mathematica, vol. 6, Birkhäuser, Basel, 1991, p. 106 sq (passage commençant par : « Vers 1910, à ce que dit l’histoire, des normaliens ramassèrent dans les cafés de Montparnasse des individus d’origine variée dont ils firent, moyennant quelques apéritifs, des représentants de la nation poldève. »). Elle cite aussi L. Beaulieu (« Jeux d’esprit et jeux de mémoire chez N. Bourbaki, in La Mise en mémoire de la science », in Pour une ethnographie historique des rites commémoratifs, P. Abir-Am (dir.), Éditions des Archives contemporaines, Paris, 1998, p. 75–123), qui attribue l'invention de la Poldévie à Alain Mellet et ajoute dans une note de bas de page « que, d’après Weil, il y aurait eu quelque chose en 1910 ». Elle indique au sujet d'André Weil (§ 3. Documents, p. 9) : « Ajoutons qu’André Weil est entré à l’ens en 1922 ; nul doute que la relation d’événements qui se sont produits douze ans auparavant ait pu se perpétuer jusqu’à lui. »
↑ Le séminaire d'Hadamard au Collège de France était alors le seul en France où les jeunes mathématiciens pouvaient entendre et faire des exposés sur les mathématiques « vivantes ».
↑ Il est le frère de la philosophe Simone Weil.
↑ « Le Petit Cluny », boulevard Saint-Michel.
↑ Les deux auteurs en revendiquent la paternité.
↑ Algèbre, chapitre IX : Formes sesquilinéaires et formes quadratiques, 1959.
↑ Groupes et algèbre de Lie, chapitres 4, 5 et 6, 1968
↑ Ces notes ont été rassemblés en un volume intitulé Éléments d'histoire des mathématiques et signé Nicolas Bourbaki.
↑ Aubin 1997

Bibliographie [modifier]

Frédéric Patras, La Pensée mathématique contemporaine, coll. « Science, histoire et société », P.U.F., 2001 ; 2^e éd. 2002.
Michèle Chouchan, Nicolas Bourbaki Faits et légendes, Édition du choix, 1995 (ISBN 2-909028-18-6).
Maurice Mashaal, Bourbaki, une société secrète de mathématiciens, Pour la science, 2002 (ISBN 2-84245-046-9).
(en) David Aubin, « The Withering Immortality of Nicolas Bourbaki: A Cultural Connector at the Confluence of Mathematics », Science in Context, n^o 10, 1997, p. 297-342, [pdf].
(en) François Laubie, « A Mathematician called Bourbaki », The Mathematical Intelligencer, n^o 29, 2007, p. 7-8.
Amir D. Aczel, Nicolas Bourbaki, Histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existé, édition JC Lattès, 2009.
Michèle Audin, La Vérité sur la Poldévie, 2009 .

Liens [modifier]

Liens internes [modifier]

Liens externes [modifier]

Portail des mathématiques

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki

Augustin-Louis Cauchy - Œuvres complètes, série 1, tome 1

Augustin-Louis Cauchy - Œuvres complètes, série 1, tome 1

Avertissement p.v-vii
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Avertissement p.4-4
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Théorie de la propagation des ondes à la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indéfinie p.5-318
Mémoires présentés par divers savants à l'Académie royale des sciences de l'Institut de France et imprimés par son ordre. Sciences mathématiques et physiques. Tome I, imprimé par autorisation du Roi à l'Imprimerie royale; 1827
Table des matières | Texte intégral PDF (Gallica)

Mémoire sur les intégrales définies p.319-506
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Source : http://portail.mathdoc.fr/cgi-bin/oetoc?id=OE_CAUCHY_1_1

Augustin Louis Cauchy

Pour les articles homonymes, voir Cauchy.

Augustin Louis Cauchy
Cauchy vers 1840. Lithographie de Zéphirin Belliard d'après une peinture de Jean Roller.
Naissance	21 août 1789 Paris (France)
Décès	23 mai 1857 (à 67 ans) Sceaux (Hauts-de-Seine) (France)
Nationalité	Français
Champs	Mathématicien
Institution	École polytechnique
Diplômé	École polytechnique, École nationale des ponts et chaussées
Célèbre pour	Séries (critère de Cauchy), analyse complexe, Algèbre (théorème de Cauchy)
Distinctions	Académie des sciences Son nom est sur la Liste des soixante-douze noms de savants inscrits sur la tour Eiffel
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Augustin Louis, baron Cauchy, né à Paris le 21 août 1789 et mort à Sceaux (Hauts-de-Seine) le 23 mai 1857, est unmathématicien français, membre de l’Académie des sciences et professeur à l’École polytechnique. Catholique fervent, il est le fondateur de nombreuses œuvres charitables, dont l’Œuvre des Écoles d’Orient. Royaliste légitimiste, il s’exila volontairement lors de l'avènement de Louis-Philippe, après les Trois Glorieuses. Sa position politique et religieuse lui valut nombre d’oppositions.

Il fut l'un des mathématiciens les plus prolifiques, quoique devancé par Leonhard Euler, avec près de 800 parutions et sept ouvrages ; sa recherche couvre l’ensemble des domaines mathématiques de l’époque. On lui doit notamment en analyse l’introduction des fonctions holomorphes et des critères de convergence des séries et des séries entières. Ses travaux sur lespermutations furent précurseurs de la théorie des groupes. En optique, on lui doit des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.

Son œuvre a fortement influencé le développement des mathématiques au xix^e siècle. La négligence dont fit preuve Cauchy envers les travaux d'Évariste Galois et de Niels Abel, perdant leurs manuscrits, a cependant entaché son prestige.

Biographie [modifier]

Augustin Louis, baron Cauchy

Pierre-Simon de Laplace

Né le 21 août 1789 à Paris, Augustin Louis Cauchy est le fils aîné de Louis François Cauchy(1760-1848) et de Marie-Madeleine Desestre (1767- 1839)¹. Son père fut premier commis du Lieutenant général de police de Paris Louis Thiroux de Crosne en 1789 ; suite à l’exécution de ce dernier en avril 1794, Louis François se retira à Arcueil pour fuir la dénonciation et la Terreur. Sa famille subit néanmoins la loi du maximum et connut la famine. Il retourna occuper des postes administratifs divers en juillet² et fut nommé secrétaire général du Sénat conservateur le1^er janvier 1800. Il obtint un appartement de fonction au palais du Luxembourg sous l'Empire. Il fut proche du ministre de l’Intérieur et mathématicien Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) et du sénateur et mathématicien Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).

Augustin Louis reçoit une première éducation chrétienne de son père ; il apprend le latin, la littérature et la science. Il fréquente ensuite l’École centrale du Panthéon et se voit décerner en1803 et en 1804 divers prix dans les épreuves littéraires du Concours général³. Il fréquente le lycée Napoléon et a notamment pour professeur Jacques Binet. À 16 ans, en 1805, il est reçu deuxième au concours l'École polytechnique, pour lequel il est interrogé par Jean-Baptiste Biot. Des amis de la famille, Berthollet, Lagrange, et Laplace, l'ont soutenu durant ses études secondaires.

Sous le Premier Empire [modifier]

Il est reçu premier au corps prestigieux de l'École nationale des ponts et chaussées en 1807. Devenu aspirant ingénieur, il est appelé à participer à la construction du canal de l'Ourcq puis du pont de Saint-Cloud. L’ingénierie apparaissait alors comme le domaine naturel d’application des mathématiques. Le 18 janvier 1810, il est nommé pour s’occuper du chantier du port de Cherbourg, qui devait devenir une position militaire stratégique du Premier Empire. Cauchy quitte ce poste en mars. Pendant son séjour à Cherbourg, il commence ses premiers travaux en mathématiques durant son temps libre, indépendamment des institutions académiques. Après qu’un premier écrit est égaré par Gaspard de Prony(1755-1839)⁴, il publie, encouragé par Lagrange, ses deux premiers mémoires, portant sur les polyèdres, en février 1811 et en janvier 1812. Il donne aussi des heures officieuses d’enseignement pour préparer des étudiants aux examens d’entrée, et se passionne pour l’histoire naturelle⁵.

Siméon Denis Poisson

Durant une grave maladie (dont les causes peuvent être attribuées à un surmenage⁶ ou aux séquelles de la famine qu’il connut durant son enfance), il retourne en automne 1812 à Paris, et prend quelques mois de congés. Après qu'un poste de professeur-adjoint lui est refusé, il est appelé par son ancien professeur Pierre-Simon Girard à participer de nouveau en mars 1813 au chantier de l'Ourcq. À cette époque, sous l’influence de Lagrange et de Laplace, il exprime le souhait d’abandonner ses travaux d’ingénieur pour se consacrer aux mathématiques⁷. Deux demandes auprès de l'Académie des sciences, appelée alors l'Institut, furent appuyées par Laplace et Siméon Denis Poisson(1741-1840), en mai 1813 et en novembre 1814 après la mort de Lagrange et de Lévêque, mais furent toutes deux rejetées⁸. Cauchy reçoit temporairement un poste à la Société philomathique en décembre 1814. En 1816, il remporte le prix des mathématiques pour des travaux sur la propagation des ondes.

Membre de la La Congrégation depuis ses études à Polytechnique⁹, Cauchy peut bénéficier de l'importance que prend ce mouvement dès le début de la Seconde Restauration. Il devient professeur assistant à l’École polytechnique en novembre 1815, puis professeur d'analyse et de mécanique en décembre. Suite à une ordonnance du 21 mars 1816 rétablissant les Académies, il intègre l'académie des sciences sous nomination royale, parallèlement au renvoi d'importants mathématiciens connus pour leurs positions républicaines et libérales, Lazare Carnot(1753-1823) et Gaspard Monge (1746-1818)¹⁰. Cauchy est durement accusé par ses pairs : « Il accepta sans hésiter, non par intérêt, jamais il ne fut sensible à un motif pareil, mais par conviction¹¹. »

En 1818, il épouse Aloïse de Bure¹², avec laquelle il aura deux filles, Alicia (1819) et Mathilde (1823).

Il donne chaque année à l'École polytechnique un cours d'analyse jusqu'en 1830. Ses collègues, François Arago (1786-1853) et Alexis Thérèse Petit 1791-1820) contestent l'insuffisance supposée de ses cours d'analyse, tandis certains élèves en critiquent la surcharge horaire¹³. Invité à les rédiger, il publie divers traités durant cette période : une première partie des notes de cours sous le titre Analyse algébrique en 1821 ; puis les notes complètes sous le titre Leçons sur le calcul différentiel en 1829, sans tenir compte des exigences de ses collègues et du ministère.

Exil [modifier]

À l'issue des Trois glorieuses (juillet 1830), son cléricalisme revendiqué et sa position antilibérale le contraignent à l'exil. En effet, royaliste dévoué à Charles X, il refuse de prêter serment au nouveau roi Louis-Philippe comme l'exige la loi du 30 août 1830. En conséquence, il perd son poste à l’École polytechnique en novembre. À cause de son attachement à la dynastie des Bourbons et par réaction au soutien des étudiants de l’École polytechnique à la Révolution, Cauchy s'exile volontairement à Fribourg en Suisse en septembre 1830, sa femme et ses enfants restant à Paris¹⁴. Il tente vainement d'y fonder une Académie où les savants émigrés pourraient enseigner¹⁵. Sur invitation du roi de Piémont, Charles-Albert, il occupe la chaire nouvellement créée de physique sublime à l'université de Turin en janvier 1832. Il effectue un voyage à Rome et est reçu par le pape Grégoire XVI. Après l’enlèvement de son frère cadet Amédée Cauchy à 26 ans, Augustin fait deux voyages consécutifs à Paris.

Refusant de rentrer en France malgré les demandes réitérées de sa famille, il accepte l’invitation du roi en exil Charles X de devenir le précepteur du duc de Bordeaux Henri d'Artois(1820-1883). Il est choisi pour ses connaissances scientifiques et son attachement à la religion. Il s’installe en 1833 à Prague, bientôt rejoint par sa femme en 1834. Devenu membre de l’Académie de Prague, il séjourne en 1835 à Toeplitz, puis en 1836 à Budweitz, Kirchberg, et Gloritz. En remerciement pour son dévouement, Charles X le crée baron en 1839.

Retour en France [modifier]

Il regagne Paris fin 1838, souhaitant rester politiquement neutre, et reprend sa place à l'Académie. Toutefois, il ne récupère pas son poste d’enseignant à l’École polytechnique. Alors qu'il avait peu publié durant son séjour en Allemagne, il publie près d’un article par semaine de 1839 à février 1848, excepté en 1844. En novembre 1839, il est élu pour succéder àGaspard de Prony au Bureau des longitudes. Mais, parce qu'il refuse de prêter serment, sa nomination est officiellement rejetée par le gouvernement en 1843. Il rend l’affaire publique en décembre. La même année, il est candidat à la chaire de mathématiques du Collège de France, laissée vacante après la mort de Lacroix (1765-1843), qu'il se voit refuser au profit ducomte Libri.

L’insurrection en février 1848 conduit à la suppression temporaire du serment politique. Après la fuite du comte Libri pour poursuites judiciaires pour vols et vente illégale de livres, Cauchy postule à nouveau à la chaire de mathématiques du Collège de France, mais se retire au profit de Joseph Liouville (1809-1882), finalement élu en janvier 1851. En 1849, Cauchy devient, à la suite d'Urbain Le Verrier (1811-1877), titulaire de la chaire d'astronomie mathématique à la Faculté des sciences de Paris. Victor Puiseux, un de ses amis et élèves, lui succèdera à sa mort. Il prend aussi une chaire à la Sorbonne.

Cauchy refuse de prêter serment à Napoléon III (1808-1873), en 1852. Il n'en est cependant pas moins maintenu dans ses fonctions, grâce à l'intervention d’Hippolyte Fortoul (1811-1856)¹⁶.

En 1857, Cauchy est impliqué dans des querelles à propos de la mécanique. Le 23 mai vers 4 h du matin heure locale, il meurt d'un rhume dans la maison familiale de sa femme à Sceaux. Il est enterré au cimetière de Sceaux¹⁷. Son dernier vœu fut que son œuvre fasse l'objet d'une publication intégrale¹⁸.

Position [modifier]

Engagement religieux [modifier]

Franz Joseph Gall

Catholique convaincu, proche des Jésuites, Augustin Cauchy s’engagea dans une confrérie, la Congrégation, lors de ses études. Il fut critiqué dès son séjour à Cherbourg pour son usage de prier matin et soir : « On dit que ma dévotion me fera tourner la tête¹⁹. » De retour à Paris, il utilisa à plusieurs reprises sa position à l’Académie pour promouvoir sa pensée. Il défendait notamment ouvertement le créationnisme. En1824, il condamna les recherches en neurologie de Franz Joseph Gall (1758-1828). Sa prise de position, considérée comme non scientifique, fut fortement condamnée dans la presse écrite par Stendhal (1783-1842) dans deux articles successifs.

Il éprouvait une antipathie pour les idées libérales issues du xviii^e siècle et s’engagea pour la liberté d’enseignement en défendant les écolesjésuites dès son retour en France en 1838. Supprimées en 1772 et rétablies sous la Restauration, elles furent remises en cause sous la Monarchie de Juillet. Engagé aux côtés de Xavier de Ravignan, prêtre de Notre-Dame, Cauchy fit appel à l’Institut : « Catholique, je ne peux rester indifférent aux intérêts de la religion ; géomètre, je ne peux rester indifférent aux intérêts de la Science. […] Vous ne considérez pas comme des ennemis de la civilisation, ceux-là même qui ont éclairé et civilisé tant de peuples divers²⁰. » Pierre-Antoine Berryer (1790-1868),Charles de Montalembert (1810-1870) et de Vatisménil le soutinrent dans sa démarche. Il est probable que les raisons pour lesquelles il ne put entrer au Collège de France en 1843 soient son engagement aux côtés des jésuites et la forte opposition du comte Libri²¹. Seuls certains établissements des jésuites furent finalement fermés en 1845. L’affaire prit fin en 1848 : la Deuxième République assura l’indépendance de l’enseignement.

Cauchy fonda diverses œuvres catholiques :

Il apporta un soutien actif dès 1838 à la Société de Saint-Vincent-de-Paul, œuvre catholique fondée en 1833 pour apporter une aide aux démunis.
Il fonda en 1842 l’Institut catholique, ou Centre du Luxembourg, dont il présida la section scientifique.
Il proposa en 1843 un opuscule sur la prévention des crimes envoyé à Alexis de Tocqueville (1805-1859).
Sur une demande signée par l’Institut fut fondée en 1846 l’œuvre d’Irlande visant à combattre la famine en Irlande.
En 1854, il fonda l’œuvre pour l’observation du dimanche, demandant la fermeture des commerces le dimanche.
En 1855, Cauchy est l’un des fondateurs de l’œuvre des Écoles d’Orient, dont l’objectif est de consolider l’émancipation par l’éducation, dont Lenormant et Cauchy devinrent les vice-présidents et dont le premier président fut le contre-amiral Mathieu, collègue de Cauchy au Bureau des longitudes.

Engagement politique [modifier]

Cauchy est un monarchiste antilibéral. Il utilisa sa position à l'Académie pour promouvoir la pensée royaliste²², et s’exila volontairement en 1830 pour s’opposer au nouveau régime. Il considérait la dynastie des Bourbons comme « les soutiens de la religion et de la civilisation chrétienne, les défenseurs des idées et des principes auxquels il avait voué de bonne heure son âme et son cœur²³. »

Son engagement politique lui valut de fortes oppositions au sein de l'Institut, puis de l'Académie, venant notamment de Poinsot ou d'Arago. Cependant, Arago apporta son soutien en1839 à Cauchy pour sa candidature au Bureau des longitudes²⁴. Il connut aussi des oppositions avec les ministères, par son refus réitéré de prêter un serment de fidélité à chaque nouveau régime.

Position scientifique [modifier]

Le génie de Cauchy fut reconnu dès son plus jeune âge. Dès 1801, Lagrange eut ce commentaire : « Vous voyez ce petit homme, eh bien ! Il nous remplacera tous tant que nous sommes de géomètres²⁵. » La prédominance de Cauchy en sciences s’explique par la multitude de ses domaines d’études : ses travaux « embrassent à peu près toutes les branches des sciences mathématiques, depuis la théorie des nombres et la géométrie pure jusqu’à l’astronomie et l’optique²⁶. »

Bien que ses talents de mathématicien aient été applaudis, les faveurs dont il bénéficia durant la Seconde Restauration ne furent pas appréciées. Critiquant ouvertement Laplace et Poisson, il connut rapidement des conflits avec ses anciens appuis à qui il devait ses premières publications. Ses rapports avec Poisson se dégradèrent avec le temps et une rivalité entre eux s’installa. Ses votes à l’Académie étaient considérés comme orientés. Malgré l’influence de Cauchy sur les nouvelles générations, ses dernières années furent obscurcies par une querelle de priorité en mécanique, où il refusa de reconnaître son erreur.

En tant que membre de l’Académie, Cauchy devait lire et corriger les articles envoyés. Il commit une négligence envers les travaux de Niels Henrik Abel (1802-1829) et d'Évariste Galois(1811-1832). Son avis sur le mémoire d'Abel tarda et le rapport fourni en juin 1829 fut finalement défavorable ; les recherches de Galois lui avaient été soumises en mai et n'eurent aucune réponse. Une telle attitude lui a été violemment reprochée. Dans sa biographie, Valson donne une explication : « On doit l’excuser de n’avoir pas toujours eu le temps de s’occuper des publications d’autrui, quand il n’a pas trouvé dans le cours de sa propre vie le loisir nécessaire pour relier et classer ses travaux personnels²⁷. »

Travaux [modifier]

L’ensemble des travaux de Cauchy furent publiés de 1882 à 1974 chez Gauthier-Villars, dans les Œuvres complètes en 27 tomes qui rassemblent environ 800 articles couvrant l’analyse, l’algèbre, la mécanique et les probabilités²⁸. Lors de la préparation de ses cours et conférences, Cauchy réfléchit sur les fondements de l’analyse et introduisit des définitions rigoureuses de notions seulement intuitivement utilisées avant lui²⁹. Une partie importante de ses travaux concerne l’introduction des fonctions holomorphes et les séries convergentes³⁰.

Analyse [modifier]

Avant les travaux de Cauchy en analyse, les séries et séries de fonctions étaient couramment utilisées dans les calculs, sans le développement d'un formalisme précis et cela conduisait à des erreurs fréquentes, car les mathématiciens ne se posaient pas de question sur l'éventuelle divergence des séries utilisées, comme l'a remarqué Cauchy. Dans son Cours d’Analyse, il définit rigoureusement la convergence des séries et étudie en particulier les séries à termes positifs : les sommes partielles convergent si et seulement si elles sont bornées. Il donne des résultats de comparaison de séries. Il déduit de la convergence des séries trigonométriques un critère de convergence qui porte aujourd’hui son nom, le critère de Cauchy : si la limite supérieure de la suite $| a n | 1 / n$ est strictement inférieure à 1, la série de terme général $a n$ converge. Intéressé par les séries entières (appelées alors séries de puissances), il met en évidence l'existence d'un rayon de convergence (qu’il appelle cercle de convergence), et en donne une méthode de calcul, conséquence de son critère de convergence. Il démontre que sous certaines hypothèses, le produit des sommes de deux séries convergentes peut s’obtenir comme la somme d’une série, appelée par la suite produit de Cauchy. Il en donne une version pour les séries entières.

Une fonction régulière était à tort considérée comme la somme de sa série de Maclaurin : autrement dit, on pensait à tort qu'une fonction indéfiniment dérivable était déterminée par la suite de ses dérivées successives en un point. En 1822, Cauchy relève deux problèmes : d’une part, le rayon de convergence de cette série entière peut être nul, et d’autre part, sur l’intersection des domaines de définition, la fonction et la somme de sa série de Maclaurin ne sont pas nécessairement égales. Cependant des solutions d’équations différentielles linéaires avaient été exprimées sous forme de séries entières sans aucune justification. Après avoir exhibé des exemples de fonctions plates, Cauchy s’intéresse de près audéveloppement de Taylor, et évalue le reste sous forme de la détermination principale. Il donne ainsi des conditions suffisantes pour obtenir des réponses positives aux questions soulevées.

Toujours dans son Cours d’Analyse, il énonce et démontre le théorème des valeurs intermédiaires³¹, démonstration déjà finalisée par Bolzano en 1817 à partir du critère de Cauchy pour la convergence des suites³². Chez Cauchy, la notion première est celle de quantité variable. C'est à partir de cette notion que sont définies les notions de limite et d'infiniment petit. Ensuite Cauchy définit la continuité à l'aide des infiniment petits : d'un accroissement infiniment petit de x résulte un accroissement infiniment petit de y. Il précise les notions de limite ; et formalise en termes de limites la continuité et la dérivabilité. Il est arrêté dans ses travaux par une nuance qu'il ne perçoit pas : la différence entre convergence simple et convergence uniforme³³. Pourtant, la convergence simple (convergence d'une suite de fonctions en chaque point d'évaluation) n'est pas une condition suffisante pour préserver la continuité par passage à la limite. Il est le premier à donner une définition sérieuse de l’intégration. Il définit l’intégrale d’une fonction d’une variable réelle sur un intervalle comme une limite d’une suite de sommes de Riemann prises sur une suite croissante de subdivisions de l’intervalle considéré. Sa définition permet d'obtenir une théorie de l’intégration pour les fonctions continues. Dans son Analyse algébrique, il définit les logarithmes et les exponentielles comme uniques fonctions continues vérifiant respectivement les équations fonctionnelles $f (x + y) = f (x) f (y)$ et $f (x y) = f (x) + f (y)$ . Bien qu'il se soit efforcé de donner des bases rigoureuses à l'analyse, il ne s'est pas interrogé sur l’existence du corps des nombres réels, établie plus tard parGeorg Cantor.

Dans son cours de Polytechnique, Leçon de calcul différentiel et intégral, il apporte clarté et rigueur aux résolutions des équations différentielles linéaire d'ordre un ³⁴ et s'intéressa aux équations au dérivées partielles (théorème de Cauchy-Lipschitz).

Analyse complexe [modifier]

On doit à Cauchy l'introduction des fondements de l'analyse complexe. Sous l’influence de Laplace, il présente dans le mémoire Sur les intégrales définies (1814) la première écriture des équations de Cauchy-Riemann comme condition d'analyticité pour une fonction d'une variable complexe. Dans cet article, il s’intéresse à l’intégration d’une fonction analytique d’une variable complexe sur le contour d’un rectangle, donne la définition de résidu, et fournit un premier calcul de résidu. Dans Sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires(1825), il donne la première définition d'intégrale curviligne, démontre l'invariance par homotopie (formulée en termes d'analyse), et énonce précisément le théorème des résidus pour les fonctions analytiques comme outil pour le calcul d'intégrales.

En 1831, Cauchy propose une expression du nombre de racines complexes d’un polynôme dans une région du plan complexe. Si F et P sont des polynômes, il démontre :

$int_{partial U}F(z).frac{P'(z)}{P(z)}dz= sum F(z_i),$

où l'intégrale est prise sur le contour du domaine U, et où la somme porte sur les racines de P appartenant au domaine U.

Durant son séjour à Turin, il déduit de la formule de Cauchy précédemment énoncée une expression des coefficients de la série de Taylor d'une fonction analytique d'une variable complexe comme intégrales. Il en déduit les inégalités dites de Cauchy et des résultats sur la convergence des fonctions analytiques d’une variable complexe. Ses travaux seront publiés en 1838 et poursuivis par Laurent, qui fournit comme généralisation des séries entières les séries de Laurent.

Vers 1845, Cauchy s'inspire des travaux des mathématiciens allemands sur les nombres imaginaires, et en particulier l'écriture trigonométrique. Il repousse dans un premier temps cet aspect géométrique pour ensuite l'utiliser dans ses propres travaux. Il définit la notion de dérivée d'une fonction d'une variable complexe ; il établit ensuite l'équivalence entre dérivabilité et analyticité, fondant ainsi la définition des fonctions holomorphes. Tous ses résultats précédents sur le sujet concernent les fonctions holomorphes ; la formule de Cauchy devint un outil central dans l’étude des fonctions holomorphes, et il étudie alors à nouveau les équations de Cauchy-Riemann.

Algèbre [modifier]

Lagrange avait démontré que la résolution d’une équation algébrique générale de degré n passe par l’introduction d’une équation intermédiaire : sa résolvante dont le degré est le nombre de fonctions à n variables obtenues par permutation des variables dans l’expression d’une fonction polynomiale. Ce nombre est un diviseur de $n!$ : ce résultat est aujourd’hui vu comme une conséquence de l’actuel théorème de Lagrange. En 1813, Cauchy améliore cette estimation et démontre que ce nombre est supérieur au plus petit diviseur premier de n. Son résultat fut généralisé ensuite en l’actuel théorème de Cauchy.

Il fut le premier à réaliser une étude des permutations comme des objets (appelés alors substitutions). Il introduit les écritures encore utilisées aujourd’hui pour noter les permutations ; il définit le produit, l’ordre, et établit l’existence et l’unicité de la décomposition des permutations en produit de cycles (substitutions circulaires) à supports disjoints. Les travaux de Cauchy et de Lagrange sur le sujet sont considérés comme précurseurs de la théorie des groupes. Cependant, Cauchy ne connaissait pas la théorie des groupes et donna sans le savoir une première étude du groupe symétrique.

En algèbre linéaire, il écrivit un traité sur le déterminant³⁵ contenant l'essentiel des propriétés de cette application. Il étudia la diagonalisation des endomorphismes symétriques réels et qu'il démontra en dimension deux et trois³⁶ et dans le cas où le polynôme caractéristique ne possède aucune racine multiple³⁷. Enfin, il formalisa la notion de polynôme caractéristique³⁸.

Géométrie [modifier]

Le dodécaèdre, un polyèdre régulier convexe

En 1811, il s’intéresse dans son premier mémoire à l’égalité de polyèdres convexes dont les faces sont égales. Il propose une démonstration du théorème de Descartes-Euler, concernant les nombres de sommets, de faces et d'arêtes d'un polyèdre convexe. Sa preuve consiste à projeter le polyèdre en un graphe planaire suivant ce qui est aujourd’hui appelé une projection stéréographique. Cependant, Cauchy commit une erreur, en ne faisant pas d’hypothèse claire sur les polyèdres étudiés.

Dans son second mémoire en 1812, il donna des formules pour calculer les angles diédraux.

Mécanique et optique [modifier]

En mécanique, Cauchy proposa pour décrire la matière d’opposer à la continuité de la matière un système de points matériels dont les mouvements sont continus. Selon Cauchy, les forces entre ces particules doivent devenir négligeables sur les distances estimables. Cauchy énonça des lois sur les variations de tension, de condensation et de dilatation. Il fit une étude sur l’élasticité des corps.

S’intéressant à la variation des molécules d’éther, Cauchy établit les équations de propagation de la lumière en 1829. Il établit les modes depolarisation des ondes planes, mises en évidence par des travaux antérieurs de Fresnel. S’intéressant aux conditions limites au niveau d’une interface, Cauchy démontra les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière. Il retrouva les résultats de Brewster sur la variation de l’angle de polarisation lors d’une réflexion ou d’une réfraction. Enfin, il démontra l’existence d’ondes évanescentes, vérifiée expérimentalement par Jasmin.

Sous l’influence de Coriolis, Cauchy étudia la dispersion de la lumière. Ses travaux sur les ombres rejetèrent une des objections à la théorie ondulatoire de la lumière. Il mit en évidence le phénomène de diffraction.

En astronomie, sa recherche sur les séries lui permit de réviser la théorie des perturbations mise en place par Lagrange, Laplace, et Poisson pour étudier la stabilité du système solaire. Cauchy s’intéressa de plus près aux calculs astronomiques à partir de son élection au Bureau des Longitudes en 1839. En 1842, il proposa des méthodes de calculs de primitives d’expressions rationnelles en cosinus et sinus ; ces méthodes furent motivées par le développement de la fonction perturbative. En 1845, le mémoire de Le Verrier sur la planète Pallasest vérifié en quelques heures par Cauchy.

Probabilités [modifier]

Les travaux de Cauchy sur le principe du minimax permirent de développer la théorie de la décision statistique. En 1853, il étudia, via leurs fonctions caractéristiques, une famille de distributions paires répondant à un problème variationnel³⁹, parmi lesquelles figurent la loi normale et la loi de Cauchy, découverte par Poisson. Faisant usage des fonctions caractéristiques, il publia une démonstration du théorème central limite.

Principales publications [modifier]

Cours d'analyse (1821)
Leçons sur les applications du calcul infinitésimal à la géométrie (1826)
Exercices de mathématiques (1827)
Œuvres complètes (28 volumes, 1882-1974)

Mémoires

Théorie des ondes
Mémoires sur la polarisation de la lumière

Théorie des nombres

Hommages [modifier]

Son nom est inscrit sur la tour Eiffel ;
Une rue porte son nom dans le 15e arrondissement de Paris.

Notes et références [modifier]

↑ Valson, Tome I, pp. 3-5.
↑ Bruno Belhoste, Cauchy, un mathématicien légitimiste au XIXe siècle [détail des éditions] , p. 14-15.
↑ Valson, Tome I, pp. 19-20.
↑ Valson, Tome I, p. 43.
↑ Valson, Tome I, pp. 27-31.
↑ Bruno Belhoste, Cauchy, un mathématicien légitimiste au XIXe siècle [détail des éditions] , p. 33.
↑ Valson, Tome I, p. 42.
↑ Bruno Belhoste, Cauchy, un mathématicien légitimiste au XIXe siècle [détail des éditions] , pp. 47-53.
↑ Bruno Belhoste, Cauchy, un mathématicien légitimiste au XIXe siècle [détail des éditions] , pp. 59-62
↑ Jacques Bouveresse, Jean Itard, Émile Sallé, Histoire des mathématiques [détail des éditions] , p 164, biographie de Cauchy
↑ Lettre de Biot à de Falloux. Le Correspondant, 1857.
↑ Valson, Tome I, pp. 67-69
↑ Bruno Belhoste, Cauchy, un mathématicien légitimiste au XIXe siècle [détail des éditions] , p. 78.
↑ Bruno Belhoste, Cauchy, un mathématicien légitimiste au XIXe siècle [détail des éditions] , p. 124.
↑ (en) Bruno Belhoste, Augustin-Louis Cauchy: A Biography [détail des éditions] , p. 149-150.
↑ Bruno Belhoste, Cauchy, un mathématicien légitimiste au XIXe siècle [détail des éditions] , pp. 207-208.
↑ Valson, Tome I, p. 267.
↑ Bruno Belhoste, Cauchy, un mathématicien légitimiste au XIXe siècle [détail des éditions] , p. 213.
↑ Lettre de Cauchy à sa mère, rapportée dans Valson, Tome I, p. 38.
↑ Valson, Tome I, pp. 108-121.
↑ (en) Bruno Belhoste, Augustin-Louis Cauchy: A Biography [détail des éditions] , pp. 184-187.
↑ Bruno Belhoste, p. 114.
↑ Valson, Tome I, p. 71.
↑ Bruno Belhoste, p. 157.
↑ Valson, Tome I, p. 20.
↑ Valson, Tome II, Introduction.
↑ Valson, Tome I, p. 251.
↑ (en) Bruno Belhoste, Augustin-Louis Cauchy: A Biography [détail des éditions] , chaps. 6, 7 et 12.
↑ Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900 [détail des éditions] , vol. 1, pp. 341-344
↑ Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900 [détail des éditions] , vol. 1, pp. 141-149.
↑ Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques [détail des éditions], p. 193.
↑ M. Guillemot, Bolzano et la démonstration du théorème des valeurs intermédiaires, in La démonstration mathématique dans l'histoire, Irem de Lyon, ISBN 2906943207 p 106
↑ Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques [détail des éditions], p. 257.
↑ Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques [détail des éditions], p. 81.
↑ Cauchy Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et des signes contraires par suite des transpositions opérées entre les variables qu'elles renferment adressé en1812 et publié dans le Journal de l'Ecole Polytechnique, XVIIe Cahier, Tome X, Paris 1815 lire sur Gallica [archive]
↑ Augustin Louis Cauchy, Mémoire sur l’équation qui a pour racines les moments d’inertie principaux d’un corps solide et sur diverses équations du même genre Mémoires de l'Académie des sciences, t. IX, p. 111; présenté en 1826 et publié en 1830
↑ Augustin Louis Cauchy L’équation qui a pour racines les moments d’inertie principaux d’un corps solide, et sur diverses équations du même genre Mem. Acad. des Sci. Paris 1830
↑ Augustin Louis Cauchy Méthode générale propre à fournir les équations de condition relatives aux limites des corps dans les problèmes de physique mathématique Comptes rendus Acad. Sci. 8 Paris pp 79-81 1940 lu en 1939
↑ Sur les résultats moyens d’observations de même nature, et sur les résultats les plus probables, 1853.

Bibliographie [modifier]

Claude-Alphonse Valson, La vie et les travaux du Baron Cauchy, Paris, Gauthier-Villars, 1868
Bruno Belhoste, Cauchy, un mathématicien légitimiste au XIXe siècle [détail des éditions]

(en) Bruno Belhoste, Augustin-Louis Cauchy: A Biography [détail des éditions]

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