20/11/2010
MULTIPLICATIONS PAR 9 ET PAR 11 SANS CHRONO
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MULTIPLICATIONS PAR 9 ET PAR 11 SANS CHRONO
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Source : http://www.neroucheffmichel.be/html/X9X11SChrono/x11x9.html
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A KAHUN MATHEMATICAL FRAGMENT
A KAHUN MATHEMATICAL FRAGMENTJohn A.R. Legon[Based on the author's article in Discussions in Egyptology 24 (1992), p.21-24] |
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The significance of the numbers written in hieratic in column 12 of the fragment (see fig. 1) was in fact first recognised by Moritz Cantor [4], who noticed that |
and the reading of these signs as two numbers is quite possible. The scribe has thus given a brief statement of the problem, which is to divide a quantity of 100 into 10 shares in arithmetical progression.  |
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To explain why only ten terms in the series were actually recorded, when there was enough space on the papyrus for the scribe to write down several more terms if he had wanted to, Gillings wrote: "we may surmise that he was checking his progression totals, and when he reached 100, he thought he had finished at 110. Or he may just have got tired of the interminable subtractions" [5]. In support of his theory, Gillings believed that the working in the adjacent column 11 of the text was a check multiplication for the thirteenth term of the series, and a stumbling block to the view that the series was intended to contain only ten terms. But in fact, the working is exactly of the form that we should expect for the Egyptian method of computing an arithmetical progression, when ten terms are required. This is proven by the other surviving example of a calculation of this type, in problem 64 in the Rhind Papyrus [6]. Since Cantor also failed to explain the significance of column 11, however, it is now necessary to describe how the calculation was carried out. Given a quantity of 100 which has to be divided into ten shares in arithmetical progression, these shares will have nine differences between them, and the interval between the smallest and largest of the shares will equal nine times the common difference. The largest share can be found by adding half the total interval to the average share. This calculation was performed by the scribe by multiplying half the common difference by the number of differences; and hence in column 11 of Kahun IV.3, for the common difference of "3 '6, the scribe multiplies '3 '12 by 9 with a result of 3 "3 '12. This is added to the average share which is simply 100/10 equals 10; and hence as shown at the top of column 12, the largest share will be Now to explain why the common difference of "3 '6 was selected, it will be noted that the smallest share is about equal to half the largest share; and it seems very likely that an approximation to this simple relationship was the scribe's objective. The problem was thus to distribute a quantity of 100 into 10 shares in arithmetical progression, such that the smallest share should be equal to half the largest share. The scribe seems to have realized that the smallest and largest shares then had to represent one-third and two-thirds of their sum, which should amount to twice the average share, or just 20; and that the correct values for these shares was therefore 6 "3 and 13 '3. But in this case, the common difference between the shares had to equal one-ninth of 6 "3 or "3 '18 '54, which was an awkward quantity to deal with. The calculation was made easier by rounding up the common difference to "3 '6, with slight error so far as any practical distribution was concerned. In problem 64 of the Rhind Papyrus, by way of comparison, it was required to divide 10 hekat of barley between ten men with a common difference equal to the Horus-eye fraction of '8 hekat. The largest share which resulted thus arbitrarily amounted to more than three times the smallest share. Problem 40 in the Rhind Papyrus deals with the distribution of loaves in arithmetical progression such that the two smallest shares amount to 1/7 of the three largest shares - a requirement which was apparently devised to make use of the chance property of a previously constructed progression. The Kahun fragment provides the only existing example where a distribution of shares in arithmetical progression appears to have been determined by a specific relationship between the smallest and largest shares. |
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[1]. F.Ll. Griffith, Hieratic Papyri from Kahun and Gurob, 2 vols. (London, 1897). Vol.1, 16; vol.2, pl.VIII. [2]. H. Schack-Schackenburg, ZÄS 37 (1899), 78-9; ZÄS 38 (1900), 138-9. [3]. R.J. Gillings, Mathematics in the Time of the Pharaohs, (Cambridge, Mass., 1972), 176-180. [4]. M. Cantor, 'Die mathematischen Papyrusfragmente von Kahun',Orientalistische Litteratur-Zeitung vol.1 no.10 (1898), 306-8. [5]. Gillings op.cit., 80. [6]. T.E. Peet, The Rhind Mathematical Papyrus (Liverpool, 1923), 107-8. See also G. Robins and C.C.D. Shute, The Rhind Mathematical Papyrus (London, 1987), 42-3.
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Papyrus Kahun
Papyrus Kahun
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Cet article est une ébauche concernant le mobilier archéologique et les monuments d’Égypte antique et lamédecine.
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Les papyrus de Kahun auraient été écrits vers la fin de la XIIe dynastie égyptienne. Ils reproduisent des traités plus anciens et comprennent, entre autres, un traité de gynécologie et untraité de mathématiques.
Bibliographie [modifier]
- Le livre de Sylvia Couchoud, Mathématiques Égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique (éditions Le Léopard d’Or, 1993), a peu à dire sur le contenu arithmétique des papyrus de Kahun en tant que tel ; de même celui, plus solide, de Caveing cité infra. On consultera beaucoup plus profitablement l'analyse de Annette Imhausen, Ägyptische Algorithmen. Eine Untersuchung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten (Wiesbaden, Harrassowitz, 2003), p. 33-175.
- Le tome 2 de Collier & Quirke (p. 72-96) présente la transcription, la traduction et une analyse succincte de ces papyrus mathématiques, aux soins d'A. Imhausen et James ("Jim") Ritter. A leur bibliographie p. 96, ajouter Maurice Caveing, Essai sur le savoir mathématique dans la Mésopotamie et l'Égypte ancienne (s.l., Presses Universitaires de Lille, 1993), p. 370-372.
- F. L. Griffith, Hieratic Papyri from Kahun and Gurob (Principally of the Middle Kingdom), I-II, Quaritch, London, 1898
Présentation et traduction dans le tome 1, fac-similé des textes hiéroglyphiques et copies autographes dans le tome 2
- Mark Collier, Stephen Quirke, The UCL Lahun Papyri, I-III, Archeopress, Oxford, 2002, 2004 et 2006
Lettres dans le tome 1, textes de contenu littéraire et mathématique dans le 2, documents divers dans le 3 ; textes hiéroglyphiques, transcription et traduction, avec reproduction complète des papyrus dans le CD-ROM attaché à chaque tome
- Richard Gillings, Mathematics in the Time of the Pharaohs, pages 176-180, MIT, Cambridge, Mass, 1972, (ISBN 0-486-24315-X)
- John Legon, A Kahun mathematical fragment, in Discussions in Egyptology 24 (1992), p.21-24.
- Gay Robins, Charles Shute, The Rhind Mathematical Papyrus, pages 41-43, British Museum, Dover reprint, 1987, (ISBN 0-486-26407-6).
Liens externes [modifier]
- John Legon: A Kahun Mathematic Fragment
- Math-History-List
- MathOrigins.com
- History of Egyptian fractions
- Medical Papyrus, UCL wbsite
- The Kahun Gynaecological Papyrus
- Planetmath
- Source :
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Egyptian fraction
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(view preamble | get metadata)
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Cross-references: link, connected, theory, translation, point, products, even, bodies, entire, subtraction, addition, clear, implication, algorithm, lifting, consequence, group, simple, key,Arabic numerals, Liber Abaci, Fibonacci, base, region, place, Calculus, infinite, parabola, geometric series, minor, Greek letter, alphabets, mapping, AD, order, Egyptian Mathematical Leather Roll, Hultsch-Bruins method, project, code, multiples, production, Rhind Mathematical Papyrus, algebra, degree, variable, remainder arithmetic, efficiency, Reisner Papyrus,geometry, area, length, proof, partitions, expression, integer, quotients and remainders, multiplication, division, primary, denominators, aliquot part, numerators, sides, additive, arithmetic,operations, contained, right, unit fractions, line, sound, onto, numbers, least common multiple, classes, scaling, solution, divisor, remainders, quotients, unity, foundations, closed, open,egyptian fraction, volume, series, measures, weights, numeration system, finite, term, binary, units, fractions
There are 74 references to this entry.
This is version 159 of Egyptian fraction, born on 2007-12-02, modified 2010-11-05.
Object id is 10080, canonical name is EgyptianFraction2.
Accessed 15189 times total.
Classification:
| AMS MSC: | 01A16 (History and biography :: History of mathematics and mathematicians :: Egyptian) |
| 01A20 (History and biography :: History of mathematics and mathematicians :: Greek, Roman) | |
| 01A30 (History and biography :: History of mathematics and mathematicians :: Islam ) | |
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01A35 (History and biography :: History of mathematics and mathematicians :: Medieval)
Source : http://planetmath.org/encyclopedia/EgyptianFraction2.html |
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The Rhind Mathematical Papyrus
AN366139001 © The Trustees of the British Museum Department: Ancient Egypt & Sudan Registration number: 1865,0218.3 BM/Big number: 10058 Additional IDs Bibliographic reference Object types Title (series) Description Acquisition date Exhibition History Noticed a mistake? Have some extra information about this object? Please contact us To bookmark this page select "Bookmark this page" or "Add to favourites" from the web browser menu. Source : http://www.britishmuseum.org/research/search_the_collecti...The Rhind Mathematical Papyrus
BS.10058
Strudwick N 2006 p.118
papyrus (scope note | all objects)
The Rhind Mathematical Papyrus
Materials
papyrus (scope note | all objects)
Place (findspot)
Found/Acquired Thebes, According to Budge’s original introduction to the facsimile of the papyrus, from a chamber in the ruins of a building near the Ramesseum. (all objects)
Period/Culture
Second Intermediate (all objects)
Papyrus; Hieratic text: "Rhind Mathematical Papyrus".
Inscriptions
Inscription Type: inscription
Inscription Script: hieratic
Inscription Position: both sides
Inscription Language:
Dimensions
Length: 216 centimetres (frame)
Width: 43 centimetres (frame)
Length: 199.5 centimetres (Papyrus)
Width: 32 centimetres (Papyrus)
Condition
Papyrus Survey: Condition Details: Papyrus Black ink Red ink Checked for loan to Vienna 1994 Checked for loan to Paris 1997 Checked for loan to Japan Star Objects 2004 Checked for loan to Cornwall 2008 Mount Details: Sandwich: glass Sandwich: board Frame: wood Object Priority: A Mount Priority: A Overall Condition: A Curatorial condition comment: fair
Curator's comments
Strudwick N 2006
Several documents have survived that yield some insights into the ancient Egyptians' approach to mathematics. The best-known and longest is the Rhind Mathematical Papyrus, acquired by the Scottish lawyer A.H. Rhind in Thebes in about 1858. Budge's original introduction to the facsimile of the papyrus indicates that these fragments were found in a chamber of a ruined building near the Ramesseum. The two sections in the British Museum were linked by a now missing section about 18 cm long; the original may have been cut in half by modern robbers to increase its sale value. Fragments which partly fill this gap were identified in 1922, in the collection of the New York Historical Society, which had acquired them from Edwin Smith. Smith also acquired a surgical papyrus of about the same date as the Rhind Papyrus, suggesting that these two documents could have come from a cache of early New Kingdom manuscripts.
The papyrus is probably a mathematics textbook, used by scribes (the principal literate section of the populace) to learn to solve particular mathematical problems by writing down appropriate examples. The text includes eighty-four problems: tables of divisions, multiplications, and handling of fractions; geometry, including volumes and areas; and miscellaneous problems.
The papyrus is extremely important as a historical document, since the scribe, Ahmose, dated it in year 33 of Apophis, the penultimate king of the Hyksos Fifteenth Dynasty. The other side of the papyrus mentions 'year 11' without a king's name, but with a reference to the capture of the city of Heliopolis. The late Second Intermediate Period context suggests this may refer to conflict between the Egyptians and the Hyksos before the beginning of the New Kingdom. Most scholars believe this refers to year 11 of the Theban ruler Ahmose, which would add to the evidence that Ahmose did not campaign against the Hyksos rulers until the middle or later parts of his reign.
Published: G. Robins and C. Shute, The Rhind Mathematical Papyrus : an ancient Egyptian text (BM press 1987).
A. B. Chace, The Rhind mathematical papyrus : free translation and commentary with selected photographs, transcriptions, transliterations, and literal translations (National Council of Teachers of Mathematics 1979 [reprint]).
A. Imhausen, Ägyptische Algorithmen : eine Untersuchung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten (Harrassowitz, 2003).
Pharaonen Und Fremde Catalogue (Vienna 1994): No.134
Nicholson and Shaw, Ancient Egyptian Materials and Technology (Cambridge 2000), p. 240;
N. Strudwick, Masterpieces of Ancient Egypt, London 2006, pp. 118-9.
1865
Acquisition name
Purchased from David Bremner (biographical details | all objects)
Previous owner/ex-collection Alexander Henry Rhind (all objects)
Exhibited:
21 Aug-11 Oct 2008. Truro, Royal Museum of Cornwall, 'Masters of Mathematics'.
January to May in BM as part of History of the World objects
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Papyrus de Moscou
Papyrus de Moscou
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Le papyrus de Moscou, aussi appelé papyrus Golenischev d'après le nom de son découvreur, Golenishchev, est un papyrus contenant des résultats mathématiques. Avec le papyrus Rhind, c'est un des deux fameux papyrus mathématiques égyptiens. Le papyrus mathématique de Moscou est le plus ancien, tandis que le papyrus Rhind est le plus grand. Au xxie siècle, il fait partie de la collection du musée des Beaux-Arts Pouchkine de Moscou.
D’environ 5,40 m de long et d’une largeur qui varie entre 4 et 7 cm, il comporte, selon l’étude faite en 1930 par l'orientaliste soviétique Vassili Vassilievitch Struve, 25 problèmes avec leurs solutions, dont les plus intéressants sont ceux traitant de la surface d'une demi-sphère et du volume d'une pyramide tronquée (voir géométrie dans l'Égypte antique). La paléographie du texte hiératique permet de le dater probablement de la XIe dynastie (vers -2000).
Le Papyrus de Moscou offre un exemple historique d'une étude mathématique où le système unaire a été utilisé[réf. nécessaire].
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Papyrus Rhind
Le papyrus Rhind est un célèbre papyrus de la deuxième période intermédiaire qui aurait été écrit par le scribe Ahmès. Son nom vient de l'Écossais Henry Rhind qui l'acheta en 1858 à Louxor, mais aurait été découvert sur le site de la ville de Thèbes. Au xxie siècle, il est conservé au British Museum ( à Londres). Avec le Papyrus de Moscou, il est une des sources les plus importantes concernant les mathématiques dans l'Égypte antique. Ahmès indique que son papyrus est, en partie, une copie de résultats plus anciens remontant au Moyen Empire (vers -2000). Il contient 87 problèmes résolus d'arithmétique, d'algèbre, de géométrie et d'arpentage, sur plus de 5 m de longueur et 32 cm de large. Il est rédigé enécriture hiératique.Papyrus Rhind
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Sommaire[masquer] |
Ces problèmes permettent de comprendre les techniques de multiplication et de division chez les Égyptiens. Voir Mathématiques dans l'Égypte antique#Résolutions d'équations L'arpentage, mesures des distances et les problèmes géométriques qui lui sont liés sont également abordés : aires planes (du trapèze en particulier), volumes de greniers à grains, calcul de pyramides. Les sections R57, R58, R59a et R59b, sont consacrées aux problèmes relatifs à la pente, inclinaison (terme égyptien "skd" avec un point sous le "k") d'une pyramide. Cette inclinaison, qui concerne la ligne de plus grande pente des faces, est exprimée en palmes, unité de longueur qui vaut le septième d'une coudée (voir Mathématiques dans l'Égypte antique). L'examen du contenu de ces sections montre qu'il s'agit, en palmes , de 7 fois la cotangente de l'angle que forme la ligne de plus grande pente avec l'horizontale. Pour le triangle égyptien, elle vaut (3 / 4) x 7 = 21/4 = 5 + 1/4 palmes. Comme ces quatre sections du papyrus, illustrées par un dessin de pyramide, concernent toutes la valeur de 5 + 1/4 palmes, elles attestent qu'il s'agit du triangle égyptien 3, 4, 5 dans ces problèmes de pyramides1. Le papyrus Rhind atteste donc, de façon indirecte par l'inclinaison mais incontestable par la valeur numérique donnée, que la géométrie de la pyramide utilise le triangle égyptien. La pyramide de Khéphren est construite ainsi (voir Mathématiques dans l'Égypte antique). Dans les problèmes 48 et 50, Ahmes étudie le rapport liant l'aire d'un disque à son diamètre en cherchant à ramener l'aire de la circonférence à celle d'un carré équivalent : le papyrus Rhind précise en effet une première approche de la quadrature du cercle (construction d'un carré de même aire qu'un cercle donné) : c'est le carré de côté 8d/9 où d est le diamètre du cercle. En d'autres termes, l'aire d'un cercle de diamètre 9 unités est sensiblement égal à l'aire d'un carré de 8 unités de côté. Cette égalité se traduit par : donc Cette approximation par la quadrature du cercle permit donc aux égyptiens de se passer de la constante π, constante qu'ils connurent seulement à laBasse époque et offrant des résultats moins justes qu'au problème du papyrus Rhind décrit ci-dessus.Algorithmes de multiplication et division (problèmes 1 à 23) [modifier]
Résolution d'équations par la méthode de fausse position (problèmes 24 à 34) [modifier]
Les problèmes d'arpentage (problèmes 41 à 60) [modifier]
. Ainsi, notre actuel nombre π serait le carré de 16/9, soit : π = 256/81 = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 = 3,160.Notes [modifier]
Bibliographie [modifier]
Voir aussi [modifier]
Articles connexes [modifier]
Liens externes [modifier]
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Mathématiques dans l'Égypte antique
Les mathématiques en Égypte antique étaient fondées sur un système décimal. Chaque puissance de dix était représentée par un hiéroglyphe particulier. Le zéro était inconnu. Toutes les opérations étaient ramenées à des additions. Pour exprimer des valeurs inférieures à leur étalon, les Égyptiens utilisaient un système simple de fractions unitaires. Pour déterminer la longueur d'un champ, sa surface ou encore mesurer un butin, les Égyptiens utilisaient trois systèmes de mesure différents, mais tous obéissaient aux règles décrites ci-dessus. Les rares documents mathématiques découverts à ce jour ne donnent qu'une vague idée de l'étendue des connaissances des anciens Égyptiens dans ce domaine. Toutefois, il est certain qu'ils parvenaient à proposer des résolutions de problèmes apparentés à des équations du premier et du second degré. Ils connaissaient les suites numériques et le calcul de volumes et de surfaces avait également atteint un certain degré de complexité.Mathématiques dans l'Égypte antique
Si l'on a souvent sous-estimé les connaissances scientifiques des anciens Égyptiens, c'est sans doute à cause du peu de documents dont nous disposons. Les plus anciens sont les inscriptions contenues sur les murs de quelques temples ou tombes, comme celles de la tombe de Metjen (IVe dynastie) qui montrent que les Égyptiens savaient à cette époque calculer correctement la surface d'un rectangle. Les ostraca1 apportent également quelques témoignages de l'art des mathématiques égyptiennes. Le plus remarquable est sans doute celui retrouvé à Saqqarah sur lequel figure une courbe avec abscisse et ordonnée. Daté de 2750 ans avant notre ère, il montre que dès cette première génération de bâtisseurs, les Égyptiens avaient suffisamment de connaissances mathématiques pour élaborer ce type de problème. Enfin viennent les papyri. Plus fragiles, ils ont moins résisté au temps et ceux qui sont parvenus jusqu'à nous sont, de fait, postérieur aux pyramides. Seule une poignée d'entre eux traite de mathématiques. Citons par exemple le papyrus de Berlin ou celui de Moscou, découvert en 1893 par l'égyptologue russe Vladimir Golenischev et conservé au musée des Beaux-Artsde Moscou. Daté de la fin du Moyen Empire (1850 ans av. J.-C.) et rédigé en écriture hiéroglyphique, il contient vingt-cinq problèmes mathématiques. Mais le papyrus mathématique le mieux conservé, le plus complet et le plus prestigieux est sans nul doute le papyrus Rhind, du nom de son premier propriétaire l'Écossais Alexander Henry Rhind, qui l'acheta peu après sa découverte à Thèbes en 1857. Rédigé en écriture hiératique et daté du début du xvie siècle , c'est une copie d'un document plus ancien. Il présente une suite de quatre-vingt-sept problèmes mathématiques, accompagnés de leurs solutions. Les Égyptiens de l'Antiquité utilisaient un système de numération décimal, mais dans lequel le zéro n'existait pas. Chaque ordre de grandeur (unités, dizaines, centaines, etc.) possédait un signe répété le nombre de fois nécessaire. C'était donc un système additionnel. Plusieurs systèmes coexistaient selon le type de mesure désirée. Pour mesurer des longueurs, il existait deux systèmes. Le premier était basé sur la grande coudée ou coudée royale (meh ni-sout). Cette coudée représentait la distance entre le bout du majeur et la pointe du coude et mesurait à peu près 0,5 mètre. Cette unité était très utilisée pour mesurer les largeurs, longueurs de pièces d'une construction ou des salles d'un temple, mais aussi la hauteur d'une crue. Cent coudées constituent un khet. Le deuxième système, le système oncial, était lui basé sur la coudée sacrée (meh djeser). Elle mesurait à peu près 0,7 mètre. Elle était principalement utilisée dans la décoration des tombes, temples et palais. Pour les surfaces, l'unité de mesure était l'aroure. Elle représentait un carré de 1 khet (100 coudées) de côté. On nommait coudée de terre (meh) une bande d'une coudée sur cent. L'aroure était utilisée pour mesurer des terres, et construire un cadastre précis après chaque crue. Pour mesurer des volumes, l'unité de mesure était l'hekat. Les mesures s'effectuaient grâce à un sac de cuir de vingt hekat. Les Égyptiens avaient réussi à établir une correspondance de ce système avec celui des longueurs : il y avait équivalence entre le cube de la coudée royale et trente hekat. L'hekat était utilisé pour mesurer les récoltes de grain. Pour mesurer un poids, l'unité de mesure était le deben. À l'Ancien Empire, son poids variait selon le type du produit pesé (or, cuivre...), mais au Nouvel Empire, ce système se simplifia et ne garda qu'un étalon unique (d'environ 91 grammes). De petits cylindres en pierre servaient à la mesure et matérialisaient cet étalon. Cette unité servait à mesurer l'importance d'un butin ou d'un poids de métaux précieux utilisés pour une décoration. Les scribes se servaient des premières fractions dyadiques, à savoir 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 et 1/64 pour faire des calculs. Celles-ci étaient représentées par l'Œil d'Horus, une représentation de l'œil gauche d'Horus perdu puis retrouvé. Seth le lui ôta par jalousie et le découpa en plusieurs morceaux, Thot en retrouva six morceaux (représentant les six fractions donc) mais il manquait 1/64 pour faire l'unité. Thot y ajouta alors « le liant magique » permettant à l'œil de recouvrer son unité. Les scribes opéraient donc leurs calculs en approximant 63/64 à 1. La composition de deux fractions susnommées leur permettait d'en créer de nouvelles (par exemple 1/2 et 1/4 pour avoir 3/4). Les parties du dessin, stylisées, sont utilisées comme hiéroglyphes pour noter, dans les textes sur les volumes de grains, les fractions correspondantes (voir Œil Oudjat). Dans les papyrus mathématiques, les fractions sont notées en écrivant les nombres explicitement, mais, dans les sections R37 et R38 du papyrus Rhind, qui comportent chacune des vérifications différentes, les deux dernières de R37 et la dernière de R38 sont proposées sous forme de volumes de grains en hekat et écrites dans la notation de l'œil Oudjat, de même que le calcul de R64 2. Les Égyptiens connaissaient les quatre opérations, pratiquaient le calcul fractionnaire, étaient capables de résoudre des équations du premier degré par la méthode de la fausse position et de résoudre certaines équations du second degré. Le papyrus Rhind explique comment calculer l'aire d'un cercle en utilisant une approximation fractionnaire de pi : 4x(8/9)x(8/9)=3,16. Le papyrus de Moscou, quant à lui, explique entre autres comment calculer le volume d'une pyramide tronquée et la surface d'une demi-sphère, montrant que les anciens Égyptiens avaient de bonnes connaissances en géométrie. Bien qu'aucune explication ne soit fournie par les papyrus mathématiques, le système additionnel de la numération égyptienne rend toutes naturelles les opérations d'addition et de soustraction. L'addition de deux nombres consistait à compter le nombre de symboles total correspondant à une même grandeur. Si le nombre de cette grandeur dépassait dix, le scribe remplaçait ces dix symboles par le symbole de la grandeur supérieure.Brève histoire des mathématiques dans l'Égypte antique [modifier]
Numération égyptienne [modifier]
Les unités de mesure [modifier]
Les fractions [modifier]
L'Œil d'Horus ou Œil Oudjat [modifier]
Connaissances arithmétiques [modifier]
Addition et soustraction [modifier]
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+
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nous donne
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Soit :
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Finalement, le résultat est :
|
La technique de multiplication en Égypte antique reposait sur la décomposition d'un des nombres (généralement le plus petit) en une somme et la création d'une table de puissance pour l'autre nombre. Très souvent, cette décomposition s'effectuait suivant les puissances de deux. Mais celle-ci pouvait varier en fonction de la complexité de l'opération. Le plus petit nombre pouvait ainsi être décomposé alternativement suivant les puissances de deux, les dizaines et les fractions fondamentales telles que 2/3, 1/3, 1/10 etc. La technique de division en Égypte antique reposait sur le même principe que la multiplication, en ce sens où des tables constituées de puissances de deux successives, de fractions fondamentales et de dizaines étaient utilisées pour résoudre le problème. Le carré d'une valeur appliqué au calcul d'une surface peut sans aucun problème être assimilé à une simple multiplication. Par contre, les racines carrées, dont il est assuré qu'elles furent connues des anciens Égyptiens, n'ont laissé aucun document nous permettant de comprendre la technique d'extraction opérée par eux. L'énoncé du problème mathématique du papyrus 6619 de Berlin (voir § Équations du second degré) contient la racine carrée de 1 + 1/2 + 1/16, soit 1 + 1/4 ; ainsi que la racine carrée de 100, c'est-à-dire 10. À en juger par les exemples connus d'extraction d'une racine carrée, il semble que le scribe ne connaissait que les radicaux simples, résultant en entiers ou en peu de fractions. Toutefois, l'absence d'opérations dans les problèmes traités indique que le scribe devait avoir à sa disposition des tables contenant le résultat des racines carrées usuelles. Le papyrus Kahun et le papyrus de Moscou contiennent des applications aux racines carrées, mais il est notable que le plus important papyrus mathématique, le papyrus Rhind, n'en contient aucune. Si la réputation des scribes en matière de mathématiques est, d'ordre général, inférieure à celle des Babyloniens ou des Grecs, la géométrie, au regard des prouesses techniques réalisées très tôt dans leur histoire, fut leur domaine de prédilection et il ne fait aucun doute aujourd'hui que cette science associée à l'architecture, fit la grande réputation des Égyptiens. C'est l'une des raisons pour lesquelles leur pays accueillit en pèlerinage les savants de la Grèce antique. Les égyptiens réussirent ainsi à calculer la surface d'un disque sans connaitre le nombre pi, avec une erreur de seulement 0,6%. Ils pouvaient calculer les volumes de pyramides et de cylindres et l'aire d'une sphère. certains problèmes figurant sur les papyrimathématiques du Moyen Empire préfigurent même les théorèmes de Thalès et de Pythagore. Le papyrus Rhind et le papyrus de Moscou contiennent différents problèmes que de nombreux auteurs ont assimilé à des problèmes algébriques de résolutions d'équations à une inconnue (voire deux inconnues), du premier et du second degré. Loin de faire l'unanimité, ce rapprochement met au moins l'accent sur une méthode efficace de résolution présageant l'utilisation de variables et d'inconnues. Le scribe égyptien ne pose jamais les problèmes sous forme d'équations algébriques (il ne connait pas d'opérateurs mathématiques tels que +, -, x ou %, ni la notion d'inconnue posée par une lettre telle que x). Cependant, la technique utilisée pour résoudre ces problèmes s'apparentent bien souvent aux méthodes de résolution modernes d'équations. L'inconnue dont la valeur est à déterminer est toujours désignée par la quantité ‘ḥ‘ (‘ḥ‘w au pluriel).Multiplication [modifier]
Division [modifier]
Carré et racine carrée [modifier]
Connaissances géométriques [modifier]
Résolutions d'équations [modifier]
Recherches d'une quantité (les problèmes ‘ḥ‘w) [modifier]
| Problème ‘ḥ‘ posé par le scribe | Transcription du problème en langage algébrique moderne |
| Calcul d'une quantité (‘ḥ‘) à déterminer telle que | |
| si elle est traitée 2 fois avec elle-même, il en vient 9 | X + 2X = 9 |
| Quelle est donc la quantité qui s'exprime ainsi ? | que vaut X ? |
| Tu dois faire en sorte de calculer le total de cette quantité | |
| avec sa deuxième (quantité). Le résultat est 3. | X + 2X = 3X |
| Avec ces 3 tu dois trouver 9. | 3X = 9 |
| Le résultat est 3 fois. | 9/3 = 3 |
| Vois c'est 3 qui s'exprime ainsi. | X = 3 |
| Tu trouveras cela correct | Vérification de l'énoncé avec le résultat. 3 + 2x3 = 9 |
Une seconde technique consistait à résoudre les problèmes par la méthode de la fausse position. C'est-à-dire que l'on attribuait à la quantité inconnue une valeur quelconque. Le résultat donné par cette valeur était évidemment faux, mais pouvait être corrigé par la règle de proportionnalité inhérente aux équations linéaires. C'est bien cette propriété, fondée sur une méthode empirique, qui fut utilisée ici. Une quantité (‘ḥ‘) à laquelle on ajoute ses 1/4 devient 15 (Soit X + 1/4X = 15). Première étape : une valeur aléatoire est donnée à cette quantité, en l'occurrence 4. Le scribe calcule donc 4 + 1/4x4, dont le résultat ne sera évidemment pas 15 :
| ✔ | 1 | 4 |
| ✔ | 1/4 | 1 |
|
|
||
| 1 + 1/4 | 5 | |
Le résultat est 5. Deuxième étape : le résultat n'est pas 15 mais 5. Quel est donc le rapport entre ces deux résultats ?
| ✔ | 1 | 5 |
| ✔ | 2 | 10 |
|
|
||
| 3 | 15 | |
Le rapport vaut 3. Par conséquent la relation entre notre valeur aléatoire 4 et la quantité ‘ḥ‘ vérifiant l'égalité posée dans le problème est 4x3 = ‘ḥ‘. Troisième étape : calcul de 4x3
| 1 | 3 | |
| 2 | 6 | |
| ✔ | 4 | 12 |
|
|
||
| 4 | 12 | |
Le résultat est 12. Quatrième étape : le scribe vérifie l'exactitude de sa solution par la vérification de l'égalité (soit 12 + 1/4x12 = 15)
| ✔ | 1 | 12 |
| ✔ | 1/4 | 3 |
|
|
||
| 1 + 1/4 | 15 | |
La quantité ‘ḥ‘ vaut bien 12 et ses 1/4 ajoutés à elle-même font un total de 15. Certains énoncés posent le problème de la recherche d'une ou plusieurs quantités dont la somme des carrés est connue. Le papyrus 6619 de Berlin offre un très bon exemple du type de résolution par fausse position proposé par les anciens Égyptiens, sous la forme d'un système équivalent à deux équations à deux inconnues. Le problème est de trouver les aires de deux carrés différents dont la somme est égale à l'aire d'un carré de 100 coudées², le rapport des côtés de ces deux carrés étant de 1 pour (1/2 + 1/4). Posons X la longueur du côté du petit carré, et Y la longueur du côté du grand carré. Par conséquent, l'énoncé serait traduit en langage algébrique moderne par X² + Y² = 100 et X/Y = 1/2 + 1/4. Le scribe ne différencie pas deux variables. Les côtés des deux carrés étant liés par la relation 1 pour 1/2 + 1/4, il décide d'affecter la valeur 1 au côté du plus grand carré, et 1/2 + 1/4 au côté du plus petit. C'est la méthode de la fausse position déjà étudiée ci-dessus. Il calcule donc les aires des deux carrés : (1/2 + 1/4) ² et 1². Il obtient un total de 1 + 1/2 + 1/16. L'aire totale des deux carrés est donc de 1 + 1/2 + 1/16. Il en déduit le côté du carré équivalent à cette surface en extrayant la racine carrée de 1 + 1/2 + 1/16. Il vient 1 + 1/4. Or le côté du carré de départ est 10 (racine carrée de 100 effectuée par le scribe). Le rapport de 10 sur (1 + 1/4) est de 8. Ce ratio va nous permettre de réajuster les valeurs prises par fausse position : 1 x 8 et (1/2 + 1/4) x 8, soit 8 et 6. nous avons bien 6² + 8² = 100. La surface d'un carré de 10 coudées de côté est donc équivalente à la surface totale de deux carrés dont les côtés sont respectivement de 6 et de 8 coudées. Les rares papyrus mathématiques découverts jusqu'à présent ont révélé que les Égyptiens avaient de très bonnes notions sur les suites et qu'ils savaient résoudre des problèmes à l'aide des suites arithmétiques ou géométriques. Une suite arithmétique est une suite de nombres dont chacun des termes s'obtient à partir du précédent en lui additionnant (ou en lui soustrayant) toujours la même valeur. Cette valeur est appelée en langage mathématique moderne, la raison. Par exemple, la suite {1; 3; 5; 7; 9} est une suite arithmétique de cinq termes dont la raison est 2.Équations du second degré [modifier]
Suites arithmétiques et géométriques [modifier]
Suites arithmétiques [modifier]
| 1 1/2 1/16 | ||
| 1 1/4 1/8 1/16 | ||
| 1 1/4 1/16 | ||
| 1 1/8 1/16 | ||
| 1 1/16 | ||
| 1/2 1/4 1/8 1/16 | ||
| 1/2 1/4 1/16 | ||
| 1/2 1/8 1/16 | ||
| 1/2 1/16 | ||
| 1/4 1/8 1/16 | ||
|
|
||
| 10 | ||
Le problème consiste à partager 10 héqat de blé entre 10 hommes. On peut désigner leurs parts respectives par H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 et H10. Les 10 héqat de blé représentent le total des parts à distribuer. Nommons le S. Soit N le nombre de parts. Chaque homme ne possèdera pas la même quantité d'héqat. Pris dans l'ordre, chacun obtiendra 1/8 d'héqat de plus que son prédécesseur. Soit H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8 et ainsi de suite, le dernier individu ayant la plus grande part. 1/8 représente la raison de la suite donc R = 1/8. Le scribe détermine en premier lieu la valeur moyenne de héqat que l'on distribuera à chaque homme, soit S/N = 10/10 = 1. Ensuite, il calcule le nombre de différences effectuées sur l'ensemble des 10 individus. Il y en a N-1 = 10-1, soit 9. Il vient R/2 = 1/16, puis R/2 * (N-1) = 1/16 * 9 = 1/2 + 1/16. Le plus grand terme est donné par R/2 * (N-1) + S/N = 1/2 + 1/16 + 1. On a donc les dix parts suivantes :
| H10 = 1 + 1/2 + 1/16. | ||
| H9 = H10 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/8 + 1/16 | ||
| H8 = H9 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/16 | ||
| H7 = H8 - 1/8 = 1 + 1/8 + 1/16 | ||
| H6 = H7 - 1/8 = 1 + 1/16 | ||
| H5 = H6 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 | ||
| H4 = H5 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/16 | ||
| H3 = H4 - 1/8 = 1/2 + 1/8 + 1/16 | ||
| H2 = H3 - 1/8 = 1/2 + 1/16 | ||
| H1 = H2 - 1/8 = 1/4 + 1/8 + 1/16 | ||
|
|
||
| Total = 10 | ||
Par une méthode empirique, le scribe a donc retrouvé la propriété des suites arithmétiques et appliqué les formules suivantes : puis Une suite géométrique est une suite de nombres dont chacun des termes s'obtient à partir du précédent en le multipliant toujours par la même valeur. Par exemple, la suite {1; 3; 9; 27; 81} est une suite géométrique de cinq termes dont la raison est 3. Ce type de suite fut usité, mais les documents manquent et il est impossible de se faire une idée précise quant aux connaissances que pouvaient en avoir le scribe. Les méthodes demultiplication et de division employées par les Égyptiens sont fondées sur les puissances de deux, autrement dit une suite géométrique de raison 2, et sur les fractions 1/2, 1/4, 1/8 ... c'est-à-dire une suite géométrique de raison 1/2. Par ailleurs, le papyrus Rhind nous fournit l'unique exemple de problème basé sur l'application des suites géométriques. Somme d'une suite géométrique de cinq termes, tels que le premier terme vaut 7 et le multiplicateur de chaque terme (la raison) vaut 7. Application à l'inventaire d'une maison :
Suites géométriques [modifier]
| ✔ | 1 | 2801 |
| ✔ | 2 | 5602 |
| ✔ | 4 | 11204 |
|
|
||
| 7 | 19607 | |
| Maisons | 7 | |
| Chats | 49 | |
| Souris | 343 | |
| Malt | 2401 (le scribe a noté 2301 par erreur) | |
| Héqat | 16807 | |
|
|
||
| 19607 | ||
Index des termes mathématiques égyptiens [modifier]
Notes [modifier]
Sources [modifier]
Liens internes [modifier]
Liens externes [modifier]
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2-POLYNOMES (Troisième partie : Fonctions Polynômes- Polynômes sur R et C)
2-POLYNOMES (Troisième partie : Fonctions Polynômes- Polynômes sur R et C)
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Les étudiants trouveront des notes détaillées sur le web, correspondant au cours LM125 du premier semestre.
Liens : http://www.edu.upmc.fr/maths/math1/lm125/prive/UeL/mathem...
(Nous suivons mot à mot le chapitre :http://www.edu.upmc.fr/maths/math1/lm125/prive/UeL/mathem...)
Fonctions Polynômes
Plan du cours :
A- Fonctions Polynômes
Introduction, notion de fonction polynôme
Racines d’un polynôme
Multiplicité
Polynômes scindés
Méthode de Horner
---------------------------------
B- Polynômes à coefficients réels ou complexes
Degré du polynôme dérivé
Formule de Taylor pour un polynôme à coefficients réels ou complexes
Ordre de multiplicité d'une racine
Existence de racines : Théorème de d'Alembert
Polynômes irréductibles dans C[X]
Polynômes irréductibles dans R[X]
Formule d'interpolation de Lagrange
Introduction
Les fonctions numériques de la forme
, où k est un entier positif ou nul et 
des nombres réels, sont bien connues ainsi que toutes leurs propriétés. C'est un exemple d'une situation générale qui va être exposée dans cette ressource.
Definition
Contexte :
Pour l'étude de la notion de fonction polynôme, on se place dans le contexte suivant : on considère un corps K et l’ensemble des polynômes à une indéterminée K[X]
|
Définition d'une fonction polynôme, associée à un polynôme P appartenant à K[X] Soit . x |
L'expression 
a bien un sens et est bien un élément de K.
En effet, x étant un élément de K, 
en est aussi un (le produit est une loi interne dans l'anneau K), ainsi que 
.
Exemple
Par exemple soit 
appartenant à
.
Alors
.
Racine d’un polynôme
Définitions et exemples
|
Théorème - définition : Racine d'un polynôme de Soit a un élément de K et P un élément de i. ii. Le polynôme Si l'une de ces conditions est vérifiée, on dit que a est racine de P (ou est un "zéro" de P). |
Preuve de l'équivalence : i. 
ii. :
Soit a un élément de K ; la division euclidienne dans 
de P par le polynôme 
donne :
, 
avec 
ou 
Ces deux conditions sur le reste R se traduisent par le fait que ce reste est un polynôme constant ; on note r cette constante qui est un élément de K. D'après les règles de calcul sur les fonctions polynômes, on obtient l'égalité : 
.
D'où 
. L'équivalence est alors immédiate.
Conséquence immédiate :
Il résulte clairement de la définition que tout polynôme de degré 1 admet une racine (et une seule).
Exemples :
1. Soit le polynôme de , 
. En utilisant l'une ou l'autre des conditions du théorème, il est immédiat que les réels 3 et 
sont les racines de P.
2. Soit le polynôme de , 
. Visiblement, on peut mettre X en facteur dans le polynôme P, et par conséquent le réel 0 est une racine de P.
D'autre part, un simple calcul prouve que 
. Donc 1 est une racine de P. Le polynôme P est donc divisible par 
.
Comme les polynômes X et sont premiers entre eux, le polynôme P est divisible
par 
.
|
Théorème : Si un polynôme est divisible par deux polynômes premiers entre eux, il est divisible par leur produit. La démonstration de cette propriété est basée sur la propriété de Bézout.
|
On a donc 
.
Comme le polynôme 
n'a pas de racines réelles, on a toutes les racines de P dans R.
Remarque importante
La terminologie " racine dans le corps K " est essentielle. En effet, le corps K joue un rôle fondamental. Soit par exemple le polynôme :
- Considéré comme élément de , il n'a pas de racines. Sinon il existerait un réel a tel que
, ce qui est contraire à la structure de corps ordonné de R. - Considéré comme élément de
, il a deux racines : i et 
.
On peut introduire le vocabulaire suivant :
|
Définition : Racine d'un polynôme dans un sur-corps du corps de ses coefficients Soient K et M deux corps tels que M contienne K. Soit P un élément de Si a est un élément de M tel que |
Si l'on reprend l'exemple précédent en introduisant ce vocabulaire, on peut dire que le polynôme n'a pas de racines dans R mais qu'il a deux racines dans C.
Ordre de multiplicité d’une racine
Sur les deux exemples précédents, il est possible de faire la remarque suivante : on sait d'avance que si a est une racine dans K d'un polynôme P de , le polynôme Pest divisible par , mais il peut être divisible par une puissance de strictement supérieure à 1.
C'est le cas dans l'exemple 1 mais pas dans l'exemple 2.
Cela nous conduit à l'introduction de la notion d'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme.
|
Définition de l'ordre de multiplicité d'une racine Soit a une racine dans K de P, où P est un polynôme non nul de |
Un tel entier existe bien car l'ensemble des entiers k tels que divise P est non vide ; il contient l'entier 1 puisque a est racine de P (théorème précédent), et cet ensemble est fini car majoré par le degré de P. Donc il a un plus grand élément (propriété de N).
On peut traduire cette définition de la manière suivante :
|
Corollaire Un entier n est l'ordre de multiplicité de la racine a d'un polynôme P si et seulement si il existe un polynôme Q appartenant à |
et 
.
Vocabulaire : Une racine d'ordre 1, est dite aussi racine simple.
Une racine d'ordre 2 (respectivement 3), est dite aussi racine double (respectivement racine triple).
Exemples :
· Si l'on reprend le polynôme de l'exemple 1, ,
on observe que est une racine réelle d'ordre 1, et que 3 une racine réelle d'ordre 2.
· Si l'on reprend le polynôme de l'exemple 2, 
,
on voit que 0 et 1 sont toutes les deux des racines simples de P dans R.
Il résulte du corollaire la proposition suivante :
|
Proposition Soit P un polynôme non nul de Alors il existe un polynôme Q, élément de
|
Preuve : elle est immédiate, à partir des définitions ou propriétés suivantes :
· Définition d'une racine et de son ordre de multiplicité
· Les polynômes de la forme 
et 
avec a et b distincts, k et l étant des entiers positifs, sont premiers entre eux.
· Un polynôme, divisible par des polynômes premiers entre eux deux à deux, est divisible par leur produit.
|
Corollaire (très important) Un polynôme non nul, de degré n, a au plus n racines (si l'on convient de compter une racine d'ordre r comme l'équivalent de r racines simples). |
Ceci est une conséquence immédiate de la proposition et des propriétés du degré du produit des polynômes.
Illustration : Pour un polynôme du troisième degré dans , les possibilités de racines dans K sont les suivantes :
aucune racine (par exemple 
dans 
)
une racine simple (par exemple 
dans )
trois racines simples (par exemple 
dans )
une racine simple et une racine double (par exemple 
dans )
une racine triple (par exemple 
dans )
Remarque : la démonstration du premier exemple est basée sur le fait que 
n'appartient pas à Q. La justification est tout à fait semblable à celle que l'on fait pour montrer que 
n'appartient pas à Q.
Polynômes scindés
Le cas particulier où le polynôme P satisfait à la condition de la proposition, avec un polynôme Q constant, est très intéressant. Il est abordé dans cette partie.
|
Définition : Polynôme scindé dans un corps K. Un polynôme P non nul appartenant à où |
Il est clair que le rôle joué par le corps est très important.
Par exemple, le polynôme est scindé dans R.
Quant au polynôme , il n'est pas scindé dans R mais il l'est dans C.
On a très facilement la propriété suivante :
|
Proposition Deux polynômes P et Q de |
Relations entre coefficients et racines d'un polynôme de K[X] scindé sur K
On peut trouver des relations entre les coefficients d'un polynôme scindé et ses racines.
Par exemple si l'on a un polynôme de degré 2 scindé dans , on peut l'écrire
où 
et 
sont les racines de P non nécessairement distinctes.
Alors, en effectuant les calculs on obtient : 
.
D'où les relations :
Ceci est un exemple de la situation générale qui est explicitée dans le théorème suivant.
|
Théorème : Relations entre coefficients et racines Soit
(en écrivant r fois chaque racine multiple d'ordre r). Alors pour tout p,
En particulier : |
,
Exemple : Dans le cas d'un polynôme de degré 3, scindé sur K, en notant 
ses trois racines distinctes ou non, on a :
, et
Nous ne donnerons pas la démonstration dans le cas général, Nous avons déjà vu le cas d'un polynôme de degré 2. Les formules, dans le cas d'un polynôme de degré 3 se démontrent de la même façon. Nous pouvons donner le résultat.
Si 
, on a :
Remarques sur les sommes 
La notation 
peut paraître complexe. En fait on peut l'expliciter. On prend tous les produits possibles de p racines (on note 
un tel produit en les ordonnant dans l'ordre croissant de leurs indices) et on fait la somme de tous ces produits.
Pour être sûr d'avoir tous " les produits possibles " il est nécessaire d'écrire ces produits en suivant un classement.
La méthode est explicitée sur l'exemple suivant : 
. Pour écrire 
il faut écrire tous les produits 
, avec 
. Ils sont présentés dans le tableau suivant :
La somme est obtenue en faisant la somme de tous les produits de la colonne de droite.
Les sommes sont appelées les fonctions symétriques élémentaires des racines.
Intérêt : Toute fonction symétrique des racines s'exprime à l'aide des donc des coefficients du polynôme. C'est la base de la théorie de Galois.
Fonction symétrique des racines
Soit 
une expression polynômiale par rapport aux n variables 
.
On dit que c'est une fonction symétrique si pour toute permutation s de l'ensemble 
(s est donc une bijection de dans lui-même) l'égalité suivante est satisfaite :
Exemple : 
Il ne peut être question ici de dépasser cette définition quasi intuitive car cela nécessiterait des outils mathématiques hors du cadre de cette ressource.
(ce paragraphe n’est pas au programme car nécessite la connaissance des Espaces Vectoriels –On admettra le résultat)
|
Proposition : Etude de Soit K un corps infini. Soit P est un polynôme de
Alors P est le polynôme nul. Cela signifie que l'application |
Preuve : Elle est basée sur la remarque précédente et se fait grâce à un raisonnement par l'absurde.
Supposons que le polynôme P ne soit pas nul. On peut alors considérer son degré, soit n.
Il résulte de ce qui précède que P a au plus n racines.
Or l'hypothèse faite signifie que tout élément de K est racine de P. Si K est infini, P aurait une infinité de racines, d'où la contradiction.
Comme l'application 
est linéaire, cela signifie que son noyau est réduit à zéro, et donc qu'elle est injective.
Autrement dit, lorsque K est infini, l'égalité des fonctions polynômes associées à deux polynômes équivaut à l'égalité des deux polynômes.
Conséquence sur les notations
Cela permet alors de simplifier les notations. La fonction polynôme 
peut être notée 
sans aucune ambiguïté.
C'est en particulier le cas lorsque le corps K est égal à R ou C.
Remarque : Le cas des polynômes à coefficients dans R ou dans C n'est pas étudié en détail dans cette ressource qui est consacrée aux propriétés générales.
Attention, cette propriété est fausse si le corps K n'est pas fini comme le prouve l'exemple suivant.
Soit le corps 
.
|
|
|
On a le résultat général suivant : Soit n un entier supérieur ou égal à 2. L'anneau quotient Comme 2 est un nombre premier, cela donne le résultat. |
Le corps a deux éléments qui sont notés 
et 
.
Soit P le polynôme de 
défini par : 
.
Alors 
et 
. Donc : 
. Donc la fonction polynôme est nulle ce qui n'est évidemment pas le cas du polynôme P.
Méthodes de Horner
Pour calculer la valeur prise par une fonction polynôme en un point x de K, il y a plusieurs méthodes.
Une méthode très "performante" est la méthode de Hörner.
Elle consiste à calculer 
, avec 
, en utilisant la forme suivante :
,
ce qui nécessite n multiplications et n additions, nombre d'opérations très inférieur à celui obtenu en faisant les calculs comme ils se présentent.
Pour s'en convaincre, on peut considérer l'exemple suivant :
Soit l'élément 
de et x un nombre réel.
On écrit sous la forme : 
.
Pour calculer , avec x élément de R, on a donc besoin de 3 multiplications et de 3 additions par la méthode de Hörner, mais de 5 multiplications et de 3 additions en calculant directement.
De plus, cette méthode est très facilement programmable.
Deuxième Partie : Polynômes coefficients réels ou complexes
Degré du polynôme dérivé
|
Proposition : Degré du polynôme dérivé d'un polynôme à coefficients réels ou complexes Soit P un polynôme non nul de degré n, · Si · Si |
, 
,
Cela est immédiat à partir de la définition du degré d'un polynôme et du polynôme dérivé.
Remarque importante :
La considération des degrés permet de démontrer grâce à une récurrence que si P est un polynôme de degré n, 
est le polynôme nul. On aura un résultat plus général dans la proposition suivante
Formule de Taylor pour un polynôme à coefficients réels ou complexes
Rappel sur la notation des fonctions polynômes :
On sait que dans le cas de polynômes à coefficients dans un corps infini, la fonction polynôme de K dans K, 
, est entièrement déterminée par le polynôme P. Cela permet de simplifier les notations et en particulier lorsque l'on considère des polynômes à coefficients réels ou complexes, elle pourra être notée sans aucune ambiguïté.
La formule de Taylor pour les polynômes est démontrée ici uniquement par des moyens algébriques. Elle est extrêmement utile dans l'étude des racines d'un polynôme.
|
Proposition : Formule de Taylor pour les polynômes Soit i. Si ii. Pour tout h de K, on a :
|
.
Démonstration :
i. Une démonstration par récurrence immédiate justifie la propriété.
ii. si 
est un élément de 
, l'opération de substitution d'un polynôme dans un autre permet d'écrire :
On obtient ainsi un élément de . Il existe donc des éléments 
de 
tels que 
. Soit k, 
. En dérivant k fois le polynôme 
sous la forme 
, on obtient (par une récurrence simple) 
et par conséquent, en prenant la valeur en 0 de la fonction polynôme associée, on a 
.
La formule peut aussi être formulée de la manière suivante :
Si a est un élément de K, on a 
.
Il suffit de prendre 
et de substituer à X dans l'égalité
pour obtenir ce résultat
Ordre de multiplicité d'une racine
Ce théorème permet de donner une caractérisation, très intéressante dans la pratique, de l'ordre de multiplicité d'une racine.
Rappel ordre de multiplicité
On va donner une caractérisation de l'ordre de multiplicité d'une racine, à l'aide des polynômes dérivés.
|
Théorème : Caractérisation de l'ordre de multiplicité d'une racine, à l'aide des polynômes dérivés Un élément a de K est racine d'ordre k d'un polynôme
|
La démonstration est basée sur la formule suivante déduite de la formule de Taylor pour les polynômes :
Existence de racines : Théorème de d'Alembert
Un des problèmes qui se pose concernant les racines d'un polynôme est celui de l'existence de racines. C'est un problème difficile.
Pour les polynômes à coefficients dans C, le théorème de d'Alembert répond entièrement à la question. Il est fondamental, mais sa démonstration n'est pas élémentaire.
Il en existe plusieurs, utilisant soit des propriétés d'analyse soit des propriétés algébriques, dans les deux cas puissantes et nécessitant des notions qui sont hors du niveau où est placé ce cours.
Nous l'admettrons donc.
Il va permettre de caractériser tous les polynômes irréductibles de et de .
|
Théorème de d'Alembert-Gauss Tout polynôme non constant de |
Remarque historique : Ce résultat a d'abord été énoncé par d'Alembert puis démontré beaucoup plus tard par Gauss.
|
Définition d'un corps algébriquement clos On dit qu'un corps K est algébriquement clos si et seulement si tout polynôme non constant à coefficients dans K admet au moins une racine dans K. |
Il résulte du théorème de d'Alembert que le corps C est algébriquement clos. Par contre, le corps R ne l'est pas. Revoir l'exemple de 
pour s'en convaincre.
Polynômes irréductibles dans C[X]
On suppose connues les propriétés générales des polynômes irréductibles de où K est un corps quelconque. Il n'y a pas, dans le cas général, de caractérisation des polynômes irréductibles. L'objet des deux paragraphes qui suivent est d'étudier ce problème dans les cas particuliers de et de .
Le théorème suivant résulte immédiatement du théorème de d'Alembert :
|
Théorème : Caractérisation des polynômes irréductibles dans Les polynômes irréductibles de |
En effet, soit P un polynôme à coefficients complexes de degré supérieur ou égal à 2. Il est donc non constant et, d'après le théorème de d'Alembert, il admet au moins une racine complexe a. D'après la caractérisation des racines, cela signifie qu'il est divisible par le polynôme . Il n'est donc pas irréductible.
En intégrant ce résultat dans le théorème général de factorisation des polynômes en produit de polynômes irréductibles, on obtient :
|
Théorème : Factorisation en éléments irréductibles dans Tout polynôme non constant de |
Exemple : 
avec 
.
Polynômes irréductibles dans R[X]
Le résultat de l'étude précédente permet d'obtenir la caractérisation des polynômes irréductibles sur .
L'outil essentiel, pour ce faire, est l'inclusion évidente :
En préliminaire, on établit la propriété suivante, très utile dans la pratique.
|
Proposition : Racine complexe d'un polynôme à coefficients réels Soit P un polynôme non constant à coefficients réels. On suppose que ce polynôme, considéré comme élément de Alors |
Preuve : Il est clair, comme les coefficients de P sont réels et compte tenu des propriétés de la conjugaison dans C, que pour tout x complexe
Alors la caractérisation des racines d'un polynôme et de leur ordre de multiplicité à l'aide des dérivées de ce polynôme prouve le résultat.
|
Corollaire 1 : Description des racines d'un élément de Soit P un polynôme à coefficients réels. Ses racines, dans C, sont · soit réelles · soit non réelles, conjuguées deux à deux, une racine et sa conjuguée ayant le même ordre de multiplicité. |
On en déduit un résultat très pratique :
|
Corollaire 2 Tout polynôme à coefficients réels de degré impair a au moins une racine réelle. |
Ici, il est justifié par des propriétés purement algébriques. On peut aussi le démontrer avec des outils d'analyse en étudiant les variations de la fonction polynôme associée.
Cela conduit au théorème suivant :
|
Théorème : Factorisation en facteurs irréductibles dans Soit P un polynôme non constant appartenant à où les polynômes
Une telle décomposition est unique. |
Preuve
D'après le résultat du corollaire, la décomposition en facteurs irréductibles de P, considéré comme un élément de , est de la forme
où les 
sont des nombres réels et les 
des nombres complexes non réels.
Or : 
.
On a 
; on obtient donc un nombre réel. De même, on a 
qui est aussi un nombre réel.
Donc le polynôme 
s'écrit 
avec 
et 
réels. De plus ce polynôme n'a pas de racines réelles ce que l'on peut caractériser en disant que son discriminant 
est négatif.
Ce polynôme est donc un polynôme irréductible dans (sinon il serait divisible par un polynôme de degré 1 ce qui équivaudrait à l'existence d'une racine réelle).
On obtient donc une décomposition de P en un produit de polynômes à coefficient réels, irréductibles dans :
A cause de l'unicité d'une telle décomposition, c'est la décomposition en facteurs irréductibles dans de P.
Remarque : on a l'égalité : 
.
Exemple :
Soit le polynôme 
et cherchons sa décomposition en facteurs irréductibles dans . Si on le considère comme un polynôme à coefficients complexes, il vient que i est racine de P d'ordre de multiplicité égal à 2. En effet,
, d'où 
, d'où 
Donc 
est aussi racine d'ordre 2 de 
dans C. Donc est divisible
dans par 
. Il existe donc 
dans 
tel que :
(considération de degré).
On calcule 
, soit par la méthode des coefficients indéterminés, soit par division euclidienne de par 
, et l'on obtient :
Le polynôme 
est irréductible dans (son discriminant est 
, donc strictement négatif), donc est la décomposition de en facteurs irréductibles dans .
Remarque : La décomposition en facteurs irréductibles de dans est
.
Ce théorème permet d'obtenir une description complète des polynômes irréductibles
dans :
|
Théorème : Caractérisation des polynômes irréductibles dans Les polynômes irréductibles de |
Remarque : Attention ! Une conséquence immédiate de ce résultat est qu'un polynôme à coefficients réels qui n'a pas de racine n'est pas forcément irréductible.
L'exemple suivant en est une illustration.
Exemple : Soit 
.
· Ce polynôme n'a pas de racines réelles : en effet s'il en avait une, soit a, ce réel vérifierait l'égalité 
, ce qui est absurde dans R.
· Mais ce polynôme n'est pas irréductible puisqu'il n'est pas de l'un des deux types précédents.
Donc on sait d'avance que ce polynôme est le produit de deux polynômes de degré égal à 2, sans racines réelles.
· Pour trouver sa factorisation en facteurs irréductibles, on a (au moins) trois méthodes possibles :
On peut utiliser la remarque qui vient d'être faite, l'écrire sous la forme du produit de deux polynômes de degré égal à 2 avec des coefficients indéterminés, développer et identifier les coefficients. Cela aboutit à un système linéaire qu'il faut résoudre. Cette méthode est efficace, mais lourde du point de vue des calculs.
On pourrait aussi chercher sa décomposition dans , puis regrouper les termes correspondant à des racines conjuguées (en suivant le principe de la démonstration théorique).
On peut aussi procéder de la manière suivante : on considère que c'est le début du développement du carré de la somme 
, le double produit manquant.
Alors : 
, soit 
.
C'est la décomposition cherchée.
Remarque : La décomposition en facteurs irréductibles est unique, donc tous les moyens mathématiquement corrects sont bons pour la déterminer.
Formule d'interpolation de Lagrange
Pour terminer cette ressource, nous allons donner la formule d'interpolation de Lagrange qui permet de caractériser un polynôme par la valeur de la fonction polynôme qui lui est associée en un certain nombre de points. (très utile en mathématiques appliquées pour les calculs et les approximations).
On suppose que le corps K est égal à R ou C.
|
Théorème : Formule d'interpolation de Lagrange Etant donnés n points
|
Preuve : elle se décompose en deux parties : l'unicité et l'existence.
· Unicité : S'il existait deux polynômes 
et 
satisfaisant au problème donné,
avec 
, le polynôme non nul 
, serait de degré strictement inférieur à n et aurait au moins n racines, les 
, ce qui serait absurde.
· Existence : On vérifie que le polynôme
est solution du problème posé.
Exemple : Si l'on considère le cas 
et 
, on retrouve le résultat (bien connu) que par deux points distincts il passe une et une seule droite.
Remarque :
Si tous les 
sont nuls, le seul polynôme tel que pour tout k, 
, 
est le polynôme nul (cf. la démonstration de l'unicité).
Source : http://www.ann.jussieu.fr/~berco/LM125/LM125-Lecon-4.htm
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Algorithme d'Euclide
L'algorithme d'Euclide est un algorithme permettant de déterminer le plus grand commun diviseur (P.G.C.D.) de deux entiers dont on ne connaît pas la factorisation. Il est déjà décrit dans le livre VII des Éléments d'Euclide. Dans la tradition grecque, en comprenant un nombre entier comme une longueur, un couple d'entiers comme un rectangle, leur PGCD est la longueur du côté du plus grand carré permettant de carreler entièrement ce rectangle. L'algorithme décompose ce rectangle en carrés, de plus en plus petits, par divisions euclidiennes successives, de la longueur par la largeur, puis de la largeur par le reste, jusqu'à un reste nul. Dans le rectangle de dimensions L=21 par l=15 ci-dessous, par exemple, on peut glisser un carré de côté 15 mais il reste un rectangle de côtés 15 et 6, dans lequel on peut glisser deux carrés de côté 6 mais il reste un rectangle de côtés 6 et 3 que l'on peut carreler entièrement de carrés de côté 3. Les carrés de côté 6 ou 15 peuvent aussi se carreler en carrés de côté 3. Le rectangle entier peut se carreler en carrés de côté 3. Il n'existe pas de carré plus grand permettant un tel carrelage. Cet algorithme repose sur la structure d'anneau euclidien de l'anneau L'algorithme est effectif à condition de disposer d'un algorithme effectif de division euclidienne. La possibilité de disposer d'un tel algorithme rend de nombreux autres calculs effectifs, notamment, en algèbre linéaire, le calcul de facteurs invariants.Algorithme d'Euclide
des entiers relatifs, plus particulièrement sur la propriété de division euclidienne. Il se généralise donc à bien d'autres anneaux, en particulier les anneaux de polynômes à coefficients dans un corps. L'algorithme se généralise pour permettre le calcul des coefficients de Bezout.
Sommaire[masquer] |
Puisque l'algorithme a pour objet le calcul d'un PGCD, il est possible de se restreindre aux entiers positifs, un PGCD de deux entiers relatifs étant égal au PGCD de leurs valeurs absolues. Soient deux entiers naturels a et b, dont on cherche le PGCD. Le cas où a ou b est nul ne nécessite aucun algorithme ; on l'exclut. Une suite d'entiers (an)n est définie par récurrence de pas 2, plus précisément par divisions euclidiennes successives ; la suite est initialisée par a0 = a, a1 = b, puis propagée par la règle de récurrence : tant que an+1 est non nul, an+2 est défini comme le reste de la division euclidienne de an par an+1. On commence donc par calculer le reste de la division de a par b, qu'on note r ; puis on remplace a par b, puis b par r, et on réapplique le procédé depuis le début. On obtient ainsi une suite, qui vaut 0 à un certain rang ; le PGCD cherché est le terme précédent de la suite. Il est intéressant de noter que si a < b, la première itération de la boucle a pour effet de "permuter a et b". Plus précisément : dans ce cas, la division euclidienne de a par b s'écrit a = b.0 + a donc a2 = a, si bien que la suite produite par l'algorithme appliqué au couple (a, b) commence par a, suivie de la suite produite par l'algorithme appliqué au couple (b, a). Calculons, par exemple, le PGCD de 1071 et de 1029 à l'aide de l'algorithme d'Euclide : 1071 = 1029 × 1 + 42 1029 = 42 × 24 + 21 42 = 21 × 2 + 0 Il faut prendre le dernier reste avant le zéro, donc PGCD(1071 ; 1029) = 21 Voici différents exemples d'implémentations de l'algorithme d'Euclide en programmation. Fonction PGCD(a:nombre, b:nombre):nombre ou sous forme condensée: ou en utilisant une boucle, sans rappeler la fonction dans elle-même (algorithme ressemblant plus à l'organigramme à flèche présent sur l'article): Au début, Euclide a formulé le problème de façon géométrique : comment trouver une « unité de mesure » commune pour deux longueurs de segments. Il procède par soustractions répétées de la longueur du plus court segment sur la longueur du plus long. Cela correspond à une adaptation de la méthode naïve de calcul de la division euclidienne, telle que décrite dans l'article consacré. La définition même de la suite (an) par division euclidienne montre que, pour tout n tel que an + 1 est non nul, il existe un entier qn + 2 tel que : avec de plus Soit N + 1 l'indice de ce dernier reste non nul. Il faut montrer que aN + 1 est bien le PGCD cherché. La relation précédente s'écrit donc ici aN + 1 est donc un diviseur commun de a et b que divise tout autre diviseur commun ; c'est bien le PGCD. Le théorème de Lamé stipule que le nombre d'étape de l'algorithme d'Euclide exécuté sur deux entiers est borné (supérieurement) par cinq fois le nombre de chiffres nécessaire à écrire (en base 10) le plus petit de ces deux entiers. On peut en fait être légèrement plus précis : le nombre d'étapes de l'algorithme d'Euclide exécuté sur deux entiers a et b, avec Comme le nombre de chiffres de l'écriture de b en base 10 est ln(b) / ln(10) et que la quantité De plus, cette majoration est la meilleure possible, puisqu'elle est atteinte quand a et b sont deux nombres de Fibonacci consécutifs. L'identité de Bézout assure l'existence de deux entiers u et v tels que : au + bv = aN + 1 = PGCD(a,b). L'algorithme d'Euclide convenablement adapté permet de calculer de tels coefficients. Pour cela, on introduit deux suites (un) et (vn) telles que pour tout n, on ait la relation : aun + bvn = an. Si de telles suites existent, les termes uN + 1,vN + 1 constitueront une paire de coefficients de Bezout pour a et b. On peut choisir u0 = 1,v0 = 0 puis u1 = 0,v1 = 1, puis la relation de récurrence de pas 2 entre les an montre : an + 2 = an − qn + 2an + 1 = aun + bvn − qn + 2(aun + 1 + bvn + 1) = a(un − qn + 2un + 1) + b(vn − qn + 2vn + 1) On peut ainsi définir (un) par la relation de récurrence de pas 2 : un + 2 = un − qn + 2un + 1 et l'initialisation précédente, et (vn) par vn + 2 = vn − qn + 2vn + 1 et l'initialisation précédente ; et on obtient bien la relation annoncée pour tout n. L'algorithme étendu s'implémente comme l'algorithme classique ; il suffit de rajouter des variables correspondant aux coefficients u et v à calculer, et de faire une multiplication et une soustraction supplémentaires, pour calculer chacun des deux nouveaux coefficients, à chaque étape. Les quotients successifs qui apparaissent quand l'algorithme d'Euclide est appliqué aux données a et b, sont précisément les nombres qui apparaissent dans la représentation sous forme de fraction continue de a/b. Considérons l'exemple de a = 1071 et b = 1029 utilisé ci-dessus. Voici le calcul avec les quotients soulignés (successivement 1, 24 et 2): De cela on tire : Dans l'égalité précédente, le second membre s'appelle la fraction continue ou continuée du quotient 1071/1029. On peut en déduire les 3 approximations suivantes de la fraction, classées par ordre de précision croissante : Cette méthode peut également être utilisée pour des nombres réels a et b ; comme dans le cas de deux entiers, la suite de quotients calculés représente la « décomposition en fraction continue » de a/b et fournit une suite d'approximations successives, de qualité croissante, du quotient a/b. Dans le cas où ce quotient est irrationnel, l'algorithme d'Euclide ne se termine pas et la suite des approximations obtenues est donc elle-même infinie ! nota : La décomposition en fraction continuée (et la série d'approximations successives correspondante) peut être appliquée, non seulement à un nombre réel quelconque, mais également à une fonction : cette démarche consiste à rechercher les approximants de Padé, dont on peut définir le principe comme suit : Au voisinage d'un point, le développement ensérie de Taylor d'une fonction donnée fournit un polynôme qui réalise une approximation de la fonction. Mais on peut également chercher une fraction rationnelle qui satisfasse les mêmes conditions que la partie polynomiale du développement de Taylor : l'égalité des dérivées de la fonction et de son approximation, jusqu'à un certain ordre donné. La comparaison de ces deux types de développements permet de très intéressants développements, comme la démonstration de l'irrationalité de ζ(3).Remarque préliminaire [modifier]
Description de l'algorithme [modifier]
Exemple [modifier]
Exemples d'implémentations [modifier]
Pseudocode [modifier]
Si b=0 alors
| Retourner a
Sinon
| r egal au reste de la division entière (modulo) de a par b
| Retourner PGCD(b, r)
Python [modifier]
def PGCD(a, b):
if b == 0:
return a
else:
return PGCD(b, a % b)
C [modifier]
int PGCD(int a, int b)
{
if (b == 0)
return a;
else
return PGCD(b, a % b);
}
int PGCD(int a, int b)
{
return (b) ? PGCD(b, a%b) : a;
}
int PGCD(int a, int b)
{
int r;
while ((r = a % b) != 0)
{
a = b;
b = r;
}
return b;
}
Remarque historique [modifier]
Démonstration de sa finitude et de son exactitude [modifier]
. La suite d'entiers naturels (an) est donc strictement décroissante à partir du rang 1, et donc vaut 0 à un certain rang. L'existence d'un dernier reste non nul est ainsi établie.
, qui montre que aN+ 1 divise aN. Écrivant ensuite 
, on en déduit que aN + 1 divise aussi aN − 1 ; puis, de même, et par récurrence, que aN + 1 divise tous les termes de la suite an ; en particulier les premiers termes a et b. aN + 1 est donc bien un diviseur commun de a et b. Réciproquement, tout diviseur commun de a et b divisera aussi 
, et à nouveau par récurrence, divisera tous les termes de la suite (an) ; donc en particulier aN + 1.Le théorème de Lamé [modifier]
, est borné par la partie entière de 
, où ln désigne le logarithme naturel et 
est le nombre d'or.
est inférieure à 5 (elle vaut environ 4,78497), on retrouve bien le théorème de Lamé.Algorithme étendu aux coefficients de Bézout [modifier]
Description [modifier]
Commentaires [modifier]
Fractions continues [modifier]
.
Voir aussi [modifier]
Liens externes [modifier]
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Mathématiques sur diffusion.ens.fr
mathématiques
Source : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=themes&idth...
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Probabilité dans les jeux
Les probabilités et les jeux concernent à la fois le jeu de hasard pur et le jeu de hasard raisonné. Le mathématicien Pascal est très connu pour avoir théorisé les jeux mais par la suite von Neumann (théorie des jeux) et Kolmogorov apportèrent des éléments beaucoup plus importants. En informatique, Tesauro utilisa l'observation de nombreuses parties de backgammon afin de développer un logiciel d'auto apprentissage basé sur ce jeu. Probabilité dans les jeux
09:26 Publié dans Probabilité dans les jeux | Lien permanent | Commentaires (0) | | del.icio.us | | Digg | Facebook
Variables indépendantes et identiquement distribuées
En statistique, des variables indépendantes et identiquement distribuées (iid) sont des variables aléatoires qui ont toutes la même loi de probabilité et sont mutuellement indépendantes. En inférence statistique ou en apprentissage automatique, il est très courant de supposer que le tirage des échantillons d'apprentissage sont i.i.d. C'est une condition souvent nécessaire à l'application des théorèmes les plus courants. En particulier le théorème de la limite centrale dans sa forme classique stipule que la somme de variables aléatoires tendent vers unedistribution normale quand ces variable sont i.i.d. Un exemple de tirage aléatoire i.i.d est celui du pile ou face. Chaque lancer de pièce suit la même loi de Bernoulli de paramètre p et est indépendant de ceux qui l'ont précédé ou vont lui succéder. Si p = 0.5 (pile et face ont la même chance d'apparition), et que nous avons obtenu 10 fois face lors des 10 tirages précédents, les chances d'obtenir pile et face lors du prochain tirage sont néanmoins égales. Dans l'exemple précédent, le tirage ne serait plus i.i.d : Variables indépendantes et identiquement distribuées
Exemples [modifier]
) car dans ce cas les tirages ne suivent pas la même loi. Il restent néanmoins indépendants.
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