Glossaire de topologie

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Ceci est un glossaire de quelques termes utilisés en topologie.

Ce glossaire est divisé en deux parties. La première traite des concepts généraux, et la seconde liste différents types d'espaces topologiques. Dans ce glossaire, tous les espaces sont supposés topologiques.

Sommaire

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• 1 Généralités
  • 1.1 A
  • 1.2 B
  • 1.3 C
  • 1.4 D
  • 1.5 E
  • 1.6 F
  • 1.7 G
  • 1.8 H
  • 1.9 I
  • 1.10 K
  • 1.11 L
  • 1.12 M
  • 1.13 N
  • 1.14 O
  • 1.15 P
  • 1.16 Q
  • 1.17 R
  • 1.18 S
  • 1.19 T
  • 1.20 U
  • 1.21 V
• 2 Propriétés d'espaces topologiques
  • 2.1 Axiomes de séparation
  • 2.2 Axiomes de recouvrement
  • 2.3 Connexité

Généralités [modifier]

A [modifier]

Accessible : voir l'axiome de séparation T₁.

Adhérence

L'adhérence ou fermeture d'une partie d'un espace topologique est le plus petit fermé contenant celle-ci. Un point est dit adhérent à une partie s'il appartient à son adhérence.

Voir aussi Valeur d'adhérence.

B [modifier]

Base ou base d'ouverts

Une base d'un espace topologique est un ensemble d'ouverts dont les réunions sont tous les ouverts de la topologie. En particulier, une base d'ouverts est une base de voisinages.

Un espace est dit à base dénombrable s'il admet une base d'ouverts dénombrable.

Base de voisinages : voir Système fondamental de voisinages.

Boule

Dans un espace métrique, la boule ouverte (respectivement fermée) de centre x et de rayon r (réel strictement positif) est l'ensemble des points situés à une distance de xstrictement inférieure (respectivement inférieure ou égale) à r.

Dans un espace vectoriel normé, la boule unité (ouverte ou fermée) est la boule (ouverte ou fermée) de centre 0 et de rayon 1.

C [modifier]

Cauchy : voir Suite de Cauchy.

Compact : voir les axiomes de recouvrement.

Complet

Un espace métrique est dit complet si toute suite de Cauchy est convergente.

Complètement de Hausdorff : voir l'axiome de séparation T_2½.

Complètement normal : voir l'axiome de séparation T₅.

Complètement régulier : voir l'axiome de séparation T_3½.

Composante connexe

La composante connexe d'un point est la plus grande partie connexe de l'espace contenant ce point. C'est l'union de toutes les parties connexes contenant ce point.

Connexe, connexe par arcs : voir les notions de connexité.

Continu

Une application entre espaces topologiques est dite continue lorsque l'image réciproque de chaque ouvert est un ouvert.

Contractile : voir les notions de connexité.

Convergent

Une suite dans un espace séparé est dite convergente s'il existe un point (appelé limite de la suite) dont chaque voisinage contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

D [modifier]

Dense

Une partie dense d'un espace topologique est une partie dont l'adhérence est l'espace tout entier.

Dérivé

L'ensemble dérivé P' d'un partie P d'un espace topologique est l'ensemble de ses points d'accumulation.

Discontinu

Une application entre espaces topologiques est dite discontinue si elle n'est pas continue.

Voir aussi Totalement discontinu.

Discret

Un espace topologique est dit discret si toutes ses parties sont des ouverts. En particulier, il est totalement discontinu.

Distance

Une distance sur un ensemble E est une application  satisfaisant les propriétés suivantes :

1. la symétrie : pour tout couple (x, y) d'éléments de E, d(x,y) = d(y,x) ;
2. la séparation : pour tout couple (x, y) d'éléments de E, d(x,y) = 0 si et seulement si x = y ;
3. l'inégalité triangulaire : pour tout triplet (x, y, z) d'éléments de E, .

E [modifier]

Engendrée : voir Topologie engendrée.

Espace de Fréchet

1. Un espace de Fréchet est un espace topologique satisfaisant l'axiome de séparation T₁.
2. Certains espaces vectoriels topologiques sont aussi dits de Fréchet.

Espace de Hausdorff : voir l'axiome de séparation T₂.

Espace de Kolmogorov : voir l'axiome de séparation T₀.

Espace de Tychonoff : voir l'axiome de séparation T_3½.

Espace métrique

Un espace métrique est un couple (E,d), où E est un ensemble, et d une distance sur E. Voir aussi métrisable.

Espace polonais

Un espace polonais est un espace séparable et métrisable par une distance pour laquelle il est complet.

Espace topologique

Un espace topologique est un ensemble E muni d'une topologie.

F [modifier]

Faiblement normal : voir les axiomes de séparation.

Fermé

1. Une partie d'un espace topologique est dite fermée lorsque son complémentaire est un ouvert.
   L'ensemble vide et l'espace sont donc des fermés. L'union de deux fermés est un fermé et l'intersection d'une famille quelconque de fermés est un fermé.
2. En géométrie, une courbe est dite fermée lorsqu'elle est périodique.

Fermeture : voir Adhérence.

Filtre : Un filtre sur un ensemble E est un ensemble non vide de parties non vides de E qui est stable par sur-parties et intersections finies. Dans un espace topologique, les voisinages d'un point forment un filtre.

Fin

Une topologie est plus fine qu'une autre sur le même ensemble si tout ouvert pour la deuxième est ouvert pour la première.

Fonctionnellement séparés

Deux parties A et B d'un espace topologique X sont dites fonctionnellement séparées lorsqu'il existe une fonction continue f : X → [0,1] telle que f_|A=0 et f_|B = 1.

Fréchet : voir l'axiome de séparation T₁, ou le type d'espace vectoriel topologique dit de Fréchet.

Frontière

La frontière d'une partie d'un espace topologique est le complémentaire de son intérieur dans son adhérence, autrement dit l'ensemble des points qui sont adhérents à la fois à cette partie et à son complémentaire. C'est un fermé.

Fσ : Une partie d'un espace topologique est un Fσ si c'est une réunion dénombrables de fermés.

G [modifier]

G_δ : Une partie d'un espace topologique est un G_δ si c'est une intersection dénombrables d'ouverts.

Grossière : voir Topologie grossière.

H [modifier]

Hausdorff : : voir l'axiome de séparation T₂ ou Séparé.

Homéomorphisme

Un homéomorphisme entre deux espaces est une bijection continue à réciproque continue. Deux espaces entre lesquels il existe un homéomorphisme sont dits homéomorphes.

Homogène

Un espace est dit homogène si le groupe des automorphismes agit transitivement, autrement dit si pour tout couple de points il existe un homéomorphisme de l'espace sur lui-même qui envoie le premier point sur le deuxième. Tous les groupes topologiques, en particulier les espaces vectoriels topologiques, sont des espaces homogènes.

Homotopie

Une homotopie entre deux applications continues  est une application continue  telle que . Les applications f et g sont alors dites homotopes.

I [modifier]

Induite : voir Topologie induite.

Intérieur

L'intérieur d'une partie d'un espace topologique est la réunion de tous les ouverts contenus dans cette partie. C'est donc le plus grand ouvert contenu dans cette partie, ou le complémentaire de l'adhérence de son complémentaire. Un point est intérieur à une partie si et seulement si cette partie est un voisinage du point.

Isolé : voir Point isolé.

K [modifier]

Kolmogorov : voir l'axiome de séparation T₀ ou Espace de Kolmogorov.

L [modifier]

Limite

La limite d'une suite convergente est son unique valeur d'adhérence.

Lindelöf : voir l'axiome de recouvrement Espace de Lindelöf.

Localement : voir Propriété locale.

• Localement compact : voir les axiomes de recouvrement.
• Localement connexe ou localement connexe par arcs : voir les notions de connexité.
• Localement fini

Une famille de parties d'un espace topologique est dite localement finie lorsque chaque point possède un voisinage qui ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments de la famille. Une famille dénombrablement localement finie est une union dénombrable de familles localement finies.

• Localement métrisable

Un espace est dit localement métrisable lorsque chaque point admet un voisinage métrisable.

M [modifier]

Maigre

Une partie d'un espace topologique est dite maigre lorsqu'elle est contenue dans une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide.

Métrique : voir Espace métrique.

Métrisable

Un espace est dit métrisable lorsqu'il peut être muni d'une distance dont les boules forment une base d'ouverts. Un espace métrisable est nécessairement paracompact etparfaitement normal. Voir les conditions de métrisabilité.

Moins fine : voir Topologie moins fine.

N [modifier]

Normal : voir les axiomes de séparation.

O [modifier]

Ouvert

Un ouvert est un élément d'une topologie.

Un recouvrement est dit ouvert lorsque tous ses éléments sont des ouverts.

Une application entre espaces topologiques est dite ouverte lorsque l'image de chaque ouvert est un ouvert.

P [modifier]

Paracompact : voir les axiomes de recouvrement.

Parfait

Un ensemble parfait d'un espace topologique est une partie fermée sans point isolé.

Parfaitement normal : voir les axiomes de séparation.

Partition de l'unité

Une partition de l'unité sur un espace topologique est un ensemble de fonctions continues à valeurs dans [0,1] tel que chaque point possède un voisinage sur lequel seul un nombre fini de ces fonctions ne sont pas constamment nulles et la somme des restrictions de celles-ci est constante égale à 1.

Plus fine : voir Topologie plus fine.

Point d'accumulation

Si A est une partie d'un espace topologique, un point d'accumulation de A est un point x dont tout voisinage contient un point de A distinct de x. Autrement dit, un point x est un point d'accumulation de A si et seulement s'il est adhérent à A − {x}.

Point isolé

Dans un espace séparé, un point isolé d'une partie A est un point x de A pour lequel il existe un voisinage qui ne rencontre A qu'au point x. Autrement dit, c'est un point de A qui n'est pas point d'accumulation de A.

Polonais : voir Espace polonais.

Prébase

Une prébase d'une topologie est un ensemble d'ouverts dont l'ensemble des intersections finies constitue une base.

Produit : voir Topologie produit.

Q [modifier]

Quasi-compact : voir les axiomes de recouvrement.

Quotient

Voir Topologie quotient.

R [modifier]

Raffinement

Un raffinement d'un recouvrement  est un recouvrement dont chaque élément est inclus dans un élément de .

Rare

Une partie d'un espace topologique est dite rare ou nulle part dense lorsque son adhérence est d'intérieur vide, c'est-à-dire lorsque le complémentaire de son adhérence est dense.

Recouvrement

Un recouvrement d'un espace topologique est une famille de parties dont l'union est l'espace tout entier. Un recouvrement est dit ouvert lorsque tous ses éléments sont des ouverts.

Relativement compact

Une partie d'un espace topologique est dite relativement compacte lorsque son adhérence est compacte.

Régulier : voir l'axiome de séparation T₃.

S [modifier]

Séparable

Un espace séparable est un espace qui admet une partie dense dénombrable.

Un espace séparé n'est pas nécessairement séparable et réciproquement.

Séparant

Une famille d'applications continues entre deux espaces topologiques X et Y est dite séparante si tout couple de points distincts dans X a des images séparées dans Y par au moins l'une de ces applications.

L'espace X est alors nécessairement séparé.

Séparé : voir l'axiome de séparation T₂.

Simplement connexe : voir les notions de connexité.

Sous-recouvrement

Un sous-recouvrement d'un recouvrement K est une partie de K qui est aussi un recouvrement.

Système fondamental de voisinages

Un système fondamental de voisinages d'un point est un ensemble  de voisinages de ce point tel que tout autre voisinage de ce point contient un élément de .

Suite de Cauchy

Dans un espace métrique, une suite de Cauchy est une suite de points telle que pour tout réel strictement positif a il existe un rang de la suite à partir duquel la distance entre deux images quelconques de la suite est toujours inférieure à a.

T [modifier]

T₀, T₁, T₂, T_2½, T₃, T_3½, T₄, T₅ : voir les axiomes de séparation.

Topologie

Une topologie sur un ensemble E est un ensemble T de parties de E tel que :

1. l'ensemble E lui-même et l'ensemble vide sont des éléments de T ;
2. la réunion de toute famille d'éléments de T est un élément de T ;
3. l'intersection de deux éléments de T est un élément de T.

Les éléments de T sont appelés les ouverts de cette topologie.

Topologie discrète

La topologie discrète sur un ensemble E est la topologie dont les ouverts sont toutes les parties de E. C'est la plus fine de toutes les topologies sur E.

Topologie engendrée

La topologie engendrée par un ensemble  de parties d'un ensemble est celle dont les ouverts sont les réunions quelconques d'intersections finies d'éléments de . L'ensemble constitue une prébase de la topologie engendrée.

Topologie grossière

La topologie grossière sur un ensemble E est la topologie dont les seuls ouverts sont l'ensemble vide et l'ensemble E. C'est la moins fine de toutes les topologies sur E.

Topologie induite

La topologie induite sur une partie A d'un espace topologique E est l'ensemble des intersections de A avec les ouverts de E. C'est la topologie la moins fine sur A rendant continue l'injection canonique de A dans E.

Topologie moins fine

Soient T, T' deux topologies sur le même ensemble E. La topologie T est moins fine que la topologie T' si tout ouvert de T est ouvert de T'. Cela équivaut à la continuité de l'application identique de (E,T') dans (E,T).

Topologie plus fine

Soient T, T' deux topologies sur le même ensemble E. La topologie T est plus fine que la topologie T' si tout ouvert de T' est ouvert de T. Cela équivaut à la continuité de l'application identique de (E,T) dans (E,T').

Topologie produit

La topologie produit sur un produit quelconque d'espaces topologiques  est la topologie engendrée par les  où un nombre fini d'éléments U_i sont des ouverts des espaces topologiques correspondants et les autres sont les espaces E_i correspondants.

C'est la topologie la moins fine rendant continues toutes les projections .

Topologie quotient

Si E est un espace topologique et  une relation d'équivalence sur E, la topologie quotient sur l'ensemble quotient  est l'ensemble des parties de  dont lespréimages sont des ouverts de E. C'est la topologie la plus fine rendant continue la projection canonique, qui à tout élément de E associe sa classe d'équivalence..

Topologique : voir Espace topologique.

Totalement discontinu : voir les notions de connexité.

Tychonoff : voir l'axiome de séparation T_3½ ou Complètement régulier.

U [modifier]

Uniformisable : dont la topologie est induite par une structure d'espace uniforme ; voir l'axiome de séparation T_3½ ou Complètement régulier.

V [modifier]

Valeur d'adhérence

Une valeur d'adhérence d'une suite de points d'un espace topologique est un point dont tout voisinage contient une infinité de termes de la suite. Si tout point admet une base dénombrable de voisinages, une valeur d'adhérence est la limite d'une sous-suite.

Voisinage

Un voisinage d'une partie A d'un espace topologique est un ensemble contenant un ouvert contenant lui-même A. En particulier, un voisinage ouvert de A est simplement un ouvert contenant A. Un voisinage d'un point p est un voisinage du singleton {p}.

Propriétés d'espaces topologiques [modifier]

Les espaces topologiques peuvent être qualifiés de différentes manières en termes de séparation, de recouvrements ou de connexité.

Axiomes de séparation [modifier]

Article détaillé : Axiome de séparation (topologie).

Certains des termes employés ici peuvent avoir été définis autrement dans la littérature ancienne (voir l'histoire des axiomes de séparation).

T₀ ou de Kolmogorov : dans lequel pour tout couple de points distincts, il existe un voisinage de l'un qui ne contient pas l'autre.

T₁ ou accessible ou de Fréchet : dont tous les singletons sont fermés.

T₂ ou de Hausdorff ou séparé : dans lequel deux points distincts admettent toujours des voisinages disjoints.

T_2½ ou complètement de Hausdorff : dans lequel deux points distincts admettent toujours des voisinage fermés disjoints.

Régulier : séparé et dont tout point admet une base de voisinages fermés.

Complètement régulier ou de Tychonoff : séparé et uniformisable, ou encore : sous-espace d'un compact.

Faiblement normal : complètement régulier et dans lequel deux ouverts disjoints quelconques ont deux voisinages fermés disjoints dont l'un est à base dénombrable.

Normal : séparé et dans lequel deux fermés disjoints quelconques possèdent toujours des voisinages disjoints. Le lemme d'Urysohn garantit alors que ces deux fermés sontfonctionnellement séparés.

Complètement normal : dont tout sous-espace est normal.

Parfaitement normal : séparé et dont tout fermé est le lieu d'annulation d'une fonction continue réelle.

Axiomes de recouvrement [modifier]

Les axiomes de recouvrement traitent de l'existence de raffinements ou de sous-recouvrements particuliers pour un recouvrement quelconque de l'espace considéré.

Paracompact : espace séparé dont tout recouvrement ouvert admet un raffinement localement fini.

Lindelöf : dont tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement dénombrable.

Quasi-compact : dont tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini.

Compact : quasi-compact et séparé.

Le terme compact est utilisé en anglais pour décrire un quasi-compact. Le risque de confusion peut alors amener à préciser « compact Hausdorff » pour désigner l'acception française.

Voir aussi Relativement compact.

σ-compact ou sigma-compact : recouvert par une famille dénombrable de parties compactes.

Localement compact : séparé, et dont chaque point admet un système fondamental de voisinages compacts.

Séquentiellement compact : dans lequel toute suite admet au moins une valeur d'adhérence.

Connexité [modifier]

Les hypothèses de connexité décrivent la cohésion de l'espace ou de certains voisinages, ou l'existence de déformations (homotopies) entre certaines applications continues vers l'espace considéré.

Connexe : qui n'est pas l'union disjointe de deux ouverts non vides.

Voir aussi Composante connexe.

Localement connexe : dont chaque point admet un système fondamental de voisinages connexes.

Totalement discontinu : dont les seules parties connexes sont les singletons.

Connexe par arcs : dont tout couple de points (x,y) est relié par un chemin (ou arc), c'est-à-dire une application continue  telle que p(0) = x et p(1) = y.

Un espace connexe par arcs est connexe.

Localement connexe par arcs : dont chaque point admet un système fondamental de voisinages connexes par arcs.

Un espace localement connexe par arcs est connexe si et seulement s’il est connexe par arcs.

Simplement connexe : connexe par arcs et dans lequel toute application continue  est homotope à une application constante.

Contractile : pour lequel l'application identité de X est homotope à une application constante.

Les espaces contractiles sont toujours simplement connexes.

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Transformation géométrique

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* Transformation géométrique A Affinité (mathématiques) Antidéplacement Antirotation Application affine Application projective Autosimilaire C Chiralité D Dilatation (géométrie) Dispositif de Peaucellier Déplacement (géométrie) F Fonction homographique G Groupe diédral H Homologie (transformation géométrique) Homothétie

H (suite) Homothétie (mathématiques élémentaires) I Inversion (géométrie) Isométrie Isométrie affine M Mouvement hélicoïdal P Pipeline 3D Q Quaternions et rotation dans l'espace R Rastérisation Réflexion (mathématiques) Rotation affine Rotation dans l'espace Rotation impropre Rotation plane Rotation vectorielle Roto-inversion

R (suite) Roto-réflexion Réflexion glissée S Similitude (géométrie) Symétrie Symétrie (transformation géométrique) Symétrie axiale Symétrie centrale Symétrisation de Steiner T Transformation conforme Transformation de Möbius Transformation par polaires réciproques Translation (géométrie) Transvection Triangles semblables V Vissage

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Transformation géométrique

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On appelle transformation géométrique, toute bijection d'une partie d'un ensemble géométrique dans lui-même.

On peut tenter une ou des classifications de ces transformations.

D'abord selon la dimension de l'ensemble géométrique ; on distinguera donc principalement les transformations planes et les transformations dans l'espace.

On peut aussi classer les transformations d'après leurs éléments conservés :

• les déplacements, conservant les distances et les angles orientés
• les isométries, conservant les distances, et les angles
• les similitudes, conservant les rapports de distances
• les transformations affines, conservant le parallélisme
• les transformations homographiques, conservant les droites

Chacune de ces classes contient la précédente.

• les inversions, conservant l'ensemble des droites et des cercles dans le cas plan, ou transformations de Moebius, conservant l'ensemble des plans et des sphères, en dimension 3.

image de départ	isométrie	similitude

transformation affine	transformation homographique	inversions

• les transformations bidifférentiables ou difféomorphismes sont les transformations qui sont affines au premier ordre ; elles contiennent les précédentes comme cas particuliers, mais aussi :

• les transformations conformes ou anticonformes, conservant les angles, qui sont, au premier ordre, des similitudes

• les transformations équivalentes ou équiaréales, conservant les aires dans le cas plan, ou les volumes dans le cas 3D, qui sont, au premier ordre, des transformations affines de déterminant 1

Et enfin, englobant les précédentes :

• les transformations bicontinues ou homéomorphismes, conservant les voisinages des points

transformation conforme	transformation équivalente	difféomorphisme	homéomorphisme

On crée alors des groupes et des sous-groupes de transformations.

L'étude de la géométrie est en grande partie l'étude de ces transformations.

Classification non exhaustive des transformations selon leur degré de complexité [modifier]

• Les réflexions selon une droite (dans le plan ou l'espace) ou selon un plan (dans l'espace)
• Les symétries centrales
• les translations
• les rotations de centre C (dans le plan) ou d'axe (D) dans l'espace

Les réflexions, symétries, translations, rotations sont des exemples d'isométries du plan ou de l'espace. Certaines conservent les angles orientés et sont alors appelées desdéplacements. L'ensemble des déplacements forme un groupe.

• les homothéties

Les homothéties et les isométries sont des exemples de similitudes du plan ou de l'espace. On démontre même que ces transformations engendrent l'ensemble des similitudes. Les similitudes conservant les angles orientés forment un groupe appelé le groupe des similitudes directes.

• les affinités

Les affinités et les similitudes sont des exemples de transformations affines du plan ou de l'espace. On démontre même que ces transformations engendrent l'ensemble des transformations affines.

Il existe aussi des transformations qui ne sont pas définies dans le plan ou l'espace tout entier. Parmi celles-ci on peut citer les inversions, les homologies qui sont des transformations homographiques

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H (suite) Homothétie (mathématiques élémentaires) I Inversion (géométrie) Isométrie Isométrie affine M Mouvement hélicoïdal P Pipeline 3D Q Quaternions et rotation dans l'espace R Rastérisation Réflexion (mathématiques) Rotation affine Rotation dans l'espace Rotation impropre Rotation plane Rotation vectorielle Roto-inversion

R (suite) Roto-réflexion Réflexion glissée S Similitude (géométrie) Symétrie Symétrie (transformation géométrique) Symétrie axiale Symétrie centrale Symétrisation de Steiner T Transformation conforme Transformation de Möbius Transformation par polaires réciproques Translation (géométrie) Transvection Triangles semblables V Vissage

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R (suite) Roto-réflexion Réflexion glissée S Similitude (géométrie) Symétrie Symétrie (transformation géométrique) Symétrie axiale Symétrie centrale Symétrisation de Steiner T Transformation conforme Transformation de Möbius Transformation par polaires réciproques Translation (géométrie) Transvection Triangles semblables V Vissage

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Groupe diédral

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Symétrie bidimensionnelle D₄

En mathématiques, le groupe diédral noté D_n, pour , ou parfois D_2n, est un groupe d'ordre 2n qui s'interprète notamment comme le groupe des isométries du plan conservant un polygone régulier à n côtés. Le groupe est constitué de n éléments correspondant aux rotationset n autres correspondant aux réflexions. Le groupe D₁ est le groupe cyclique d'ordre 2, noté C₂ ; le groupe D₂ est le groupe de Klein à quatre éléments. Parmi les groupes diédraux D_n, ce sont les deux seuls à être abéliens.

Sommaire

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• 1 Présentation et définitions équivalentes
• 2 Interprétation géométrique
• 3 Graphe de cycle
• 4 Propriétés
• 5 Représentations
• 6 Groupe diédral infini
• 7 Groupe diédral généralisé
• 8 Bibliographie
• 9 Notes et références

Présentation et définitions équivalentes [modifier]

Le groupe D_n peut être défini par la suite exacte scindée suivante :

où C_n est un groupe cyclique d'ordre n, C₂ est cyclique d'ordre 2, la section étant donnée par l'action d'un relevé σ du générateur de C₂, sur un générateur τ du groupe cyclique d'ordre n :

στσ ^{− 1} = τ ^{− 1}

Ce groupe est donc produit semi-direct de C_n par C₂ suivant le morphisme ψ, où l'unité de C₂ agit sur C_n comme l'application identique et l'autre élément de C₂ agit sur C_n par inversion. Explicitement:

.

Une présentation est alors :

Plus explicitement les générateurs sont des σ, τ et les relations qu'ils vérifient sont de la forme :

.

On peut ainsi dresser une liste complète des éléments du groupe :

Une présentation alternative, où μ = τσ dans le système de générateurs de la présentation précédente, est :

Plus explicitement les générateurs sont des σ, μ et les relations qu'ils vérifient sont de la forme :

.

On voit ainsi que le groupe diédral admet un système de deux générateurs distincts tous deux d'ordre 2. Les groupes diédraux sont les seuls groupes finis possédant cette propriété¹.

Le groupe diédral d'ordre 2n peut aussi être vu comme le groupe d'automorphisme du graphe constitué seulement d'un cycle avec n sommets (si n ≥ 3).

Interprétation géométrique [modifier]

On peut définir de la façon suivante une représentation du groupe diédral D_n :

avec  et . Cette représentation est en fait à valeurs dans le groupe .

On reconnaît que la matrice φ(τ) est une matrice de rotation d'angle , et la matrice φ(σ) une matrice de réflexion. Ces transformations laissent effectivement invariant le polygone régulier centré en l'origine à n côtés.

Graphe de cycle [modifier]

Les graphes de cycles de groupes diédraux sont constitués d'un cycle à n éléments et de cycles à 2 éléments. Le sommet sombre dans les graphes de cycle ci-dessous de divers groupes diédraux représente l'élément identité, et les autres sommets sont les autres éléments du groupe. Un cycle est constitué des puissances successives de l'un ou l'autre élément connecté à l'élément identité.

 

D2	D3	D4	D5	D6	D7

Propriétés [modifier]

Le sous-ensemble des rotations  est un sous-groupe normal.

Certaines propriétés des groupes diédraux D_n avec n ≥ 3 dépendent de la parité de n. Elles peuvent souvent facilement être déduites de la représentation géométrique de ce groupe.

• Le centre de D_n est constitué seulement de l'identité si n est impair, mais si n est pair le centre a deux éléments : l'identité et l'élément τ^{n / 2}.
• Pour n impair, le groupe D_2n est isomorphe au produit direct de D_n et d'un groupe cyclique d'ordre 2. Cet isomorphisme est donné par :

où D_2n est l'ensemble de départ D_n*C₂ celui d'arrivée, h et ε étant définis modulo 2, et k modulo n. Les générateurs des groupes diédraux sont choisis comme dans la première partie de l'article.

• Toutes les réflexions sont conjuguées les unes les autres dans le cas où n est impair, mais elles sont contenues dans deux classes de conjugaison si n est pair.
• Si m divise n, alors D_n a n / m sous-groupes de type D_m, et un sous-groupe cyclique C_m. Par conséquent, le nombre total de sous-groupes de D_n (n ≥ 1), est égal à d (n) + σ (n), oùd (n) est le nombre de diviseurs positifs de n et σ (n) est la somme des diviseurs positifs de n (voir liste des petits groupes pour les cas n ≤ 8)

Représentations [modifier]

Si n est impair, le groupe D_n admet 2 représentations irréductibles complexes de degré 1 :

En revanche, si n est pair, il existe 4 représentations irréductibles de degré 1 :

Les autres représentations irréductibles sont toutes de degré 2 ; elles sont en nombre  si n est impair, respectivement  si n est pair. On peut les définir comme suit :

où ω désigne une racine primitive n^e de l'unité, et h parcourt les entiers compris entre 1 et n-1. On peut vérifier que deux telles représentations sont isomorphes seulement pour h₁ et h₂vérifiant h₁+h₂=n. On obtient alors le nombre annoncé de représentations irréductibles de degré 2 non isomorphes, et donc toutes les représentations irréductible du groupe diédral, par la formule liant le nombre de représentations irréductibles à l'ordre du groupe.

Groupe diédral infini [modifier]

En plus des groupes diédraux finis, on trouve le groupe diédral infini D_∞.

Tout groupe diédral est généré par une rotation r et une réflexion. Si la rotation est un multiple rationnel d’une rotation totale, alors il existe un entier n tel que rⁿ soit l’identité, et on est en présence d’un groupe diédral fini d’ordre 2n. Mais si la rotation n’est pas un multiple rationnel d’une rotation totale, alors il n’existe pas de tel n et le groupe résultant a un nombre infinid’éléments ; on le note D_∞. Il admet pour présentation

et est isomorphe au produit semi-direct de Z par C₂, ainsi qu’au produit libre C₂ * C₂. Il s’agit de l’automorphisme de groupes du graphe constitué d’un chemin infini vers les deux extrémités. De façon équivalente, il s’agit du groupe des isométries de Z.

Groupe diédral généralisé [modifier]

Pour tout groupe abélien H, le groupe diédral généralisé de H, noté Dih(H), est le produit semi-direct de H par C₂, l'action de C₂ sur H étant l'inversion, i.e.

où φ(0) est l'application identité et φ(1) l'inversion des éléments.

On obtient ainsi, si H et C₂ sont tous deux notés additivement :

(h₁, 0) * (h₂, t₂) = (h₁ + h₂, t₂)

(h₁, 1) * (h₂, t₂) = (h₁ − h₂, 1 + t₂)

pour tous h₁, h₂ dans H et t₂ dans C₂.

(Si C₂ est noté multiplicativement, ces deux formules se résument en (h₁, t₁) * (h₂, t₂) = (h₁ + t₁h₂, t₁t₂) .)

Le sous-groupe de Dih(H) constitué des éléments de la forme (h, 0) est un sous-groupe normal d'indice 2, isomorphe à H. Quant aux éléments de la forme (h, 1), chacun est son propre inverse.

Les classes de conjugaison sont

• les ensembles {(h,0 ), (−h,0 )}
• les ensembles {(h + k + k, 1) | k dans H }

Ainsi, pour tout sous-groupe M de H, les éléments correspondants (m,0) forment aussi un sous-groupe normal de Dih(H) isomorphe à M, et l'on a :

Dih(H) / M = Dih ( H / M )

Exemples :

• D_n = Dih(C_n).
  • Si n est pair il y a deux ensembles de la forme {(h + k + k, 1) | k dans H }, et chacun d'eux engendre un sous-groupe normal isomorphe à D_n/2. Ce sont deux sous-groupes du groupe des isométries d'un n-gone régulier, isomorphes mais distincts : tous deux contiennent les mêmes rotations, mais dans l'un des deux sous-groupes, chaque réflexion fixe deux des sommets, tandis que dans l'autre, les réflexions ne fixent aucun sommet.
  • Si n est impair il n'y a qu'un ensemble de la forme {(h + k + k, 1) | k dans H }.
• D_∞ = Dih(Z) ; il y a deux ensembles de la forme {(h + k + k, 1) | k dans H }, et chacun d'eux engendre un sous-groupe isomorphe à D_∞. Ce sont deux sous-groupes du groupe des isométries de Z, isomorphes mais distincts : tous deux contiennent les mêmes translations (par les entiers pairs), mais dans l'un des deux sous-groupes, chaque réflexion a un point fixe entier (son centre), tandis que dans l'autre, les réflexions sont sans point fixe entier (leurs centres sont des demi-entiers).
• Dih(S¹) est isomorphe au groupe orthogonal O(2,R) des isométries du plan euclidien qui fixent l'origine ou de façon équivalente, au groupe des isométries du cercle. Les rotations forment le groupe SO(2,R), isomorphe au groupe additif R/Z, et également isomorphe au groupe multiplicatif S¹ égal au cercle unité (constitué des nombres complexes de module 1). Dans ce dernier cas, l'une des réflexions (qui, avec les rotations, engendre tout le groupe), est la conjugaison complexe. Les sous-groupes normaux propres ne contiennent que des rotations. Les sous-groupes normaux discrets sont, pour chaque entier n, un sous-groupe cyclique d'ordre n, et les quotients sont isomorphes au même groupe Dih(S¹).
• Dih(Rⁿ ) est le groupe des translations et symétries centrales de Rⁿ (qui, si n > 1 n'épuisent pas toutes les isométries).
• Dih(H) pour n'importe quel sous-groupe de Rⁿ, par exemple un groupe discret ; dans ce cas, s'il agit dans les n directions, c'est un réseau.
  • Les sous-groupes discrets de Dih(R² ) qui contiennent des translations dans une seule direction sont les groupes de frise de types ∞∞ et 22∞.
  • Ceux qui contiennent des translations dans deux directions sont les groupes de papier peint (en) de types p1 et p2.
  • Les sous-groupes discrets de Dih(R³ ) qui contiennent des translations dans trois directions sont les groupes d'espace de systèmes réticulaires tricliniques.

Dih(H) est abélien si et seulement si le produit semi-direct est direct, c'est-à-dire si et seulement si chaque élément de H est son propre inverse, i.e. H est un 2-groupe abélien élémentaire : Dih(C₂^k) = C₂^k+1.

Bibliographie [modifier]

• Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions]
• Algèbre générale, Bernard Charles et denis Allouch, PUF, Paris 1984

Notes et références [modifier]

1. ↑ J. J. Rotman, An introduction to the Theory of Groups, 4^e éd., tirage de 1999, théor. 3.32, p. 68.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dihedral group » (voir la liste des auteurs)

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_di%C3%A9dral

Groupe de Weyl

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En mathématiques, et en particulier dans la théorie des algèbres de Lie, le groupe de Weyl d'un système de racines  est le sous-groupe du groupe d'isométries du système de racines engendré par les réflexions orthogonales par rapport aux hyperplans orthogonaux aux racines.

Exemple [modifier]

Le système de racines de  est constitué des sommets d'un hexagone régulier centré à l'origine. Le groupe complet des symétries de ce système de racines est par conséquent legroupe diédral d'ordre 12. Le groupe de Weyl est engendré par les réflexions à travers les droites bissectant les paires de côtés opposés de l'hexagone ; c'est le groupe diédral d'ordre 6.

Le groupe de Weyl d'un groupe de Lie semi-simple, d'une algèbre de Lie semi-simple, d'un groupe algébrique linéaire semi-simple, etc. est le groupe de Weyl du système de racines de ce groupe ou de cette algèbre.

Les chambres de Weyl [modifier]

Enlever les hyperplans définis par les racines de  découpe l'espace euclidien en un nombre fini de régions ouvertes, appelées les chambres de Weyl. Celles-ci sont permutées par l'action sur le groupe de Weyl, et un théorème établit que cette action est simplement transitive. En particulier, le nombre de chambres de Weyl est égal à l'ordre du groupe de Weyl. Tout vecteur v différent de zéro divise l'espace euclidien en deux demi-espaces bordant l'hyperplan  orthogonal à v, nommés  et . Si v appartient à une certaine chambre de Weyl, aucune racine ne se trouve dans , donc chaque racine se trouve dans  ou , et si  se trouve dans l'un d'eux, alors  se trouve dans l'autre. Ainsi,  constitué d'exactement la moitié des racines de . Bien sûr,  dépend de v, mais il ne change pas si v reste dans la même chambre de Weyl.

La base du système de racine qui respecte le choix de  est l'ensemble des racines simples dans , i.e., les racines qui ne peuvent pas être écrites comme une somme de deux racines dans . Ainsi, les chambres de Weyl, l'ensemble  et la base en déterminent un autre, et le groupe de Weyl agit simplement transitivement dans chaque cas. L'illustration suivante montre les six chambres de Weyl d'un système de racines , un choix de v, l'hyperplan  (indiqué par une droite en pointillé) et les racines positives , , et . La base dans ce cas est (}.

Les groupes de Coxeter [modifier]

Les groupes de Weyl sont des exemples des groupes de Coxeter. Ceci signifie qu'ils ont une sorte particulière de présentation dans laquelle chaque générateur  est d'ordre deux, et les relations autres que  sont de la forme . Les générateurs sont les réflexions données par les racines simples et  est 2, 3, 4 ou 6 dépendant si les racines i et jfont un angle de 90, 120, 135 ou 150 degrés, i.e., si dans le Diagramme de Dynkin, elles ne sont pas connectées, connectées avec une arête simple, connectées par une double arête ou connectées par une triple arête. La longueur d'un élément du groupe de Weyl est la longueur du mot le plus court représentant cet élément en termes de ces générateurs standards.

Si G est un groupe algébrique linéaire semisimple sur un corps algébriquement clos (plus généralement un groupe déployé), et T est un tore maximal, le normalisateur N de T contient Tcomme sous-groupe d'indice fini et le groupe de Weyl W de G est isomorphe à N/T. Si B est un sous-groupe de Borel de G, i.e. un sous-groupe connexe résoluble maximal choisi pour contenir T, alors nous obtenons une décomposition de Bruhat

ce qui provoque la décomposition de la variété de drapeaux G/B en cellules de Schubert (voir Grassmannienne).

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Weyl

Forme de Killing

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Dans la théorie des algèbres de Lie, la forme de Killing est une forme bilinéaire symétrique naturellement associée à toute algèbre de Lie. Elle reflète un certain nombre de propriétés des algèbres de Lie (semi-simplicité, résolubilité…).

Définition [modifier]

Soit g une K-algèbre de Lie, où K désigne un corps (commutatif). La représentation adjointe définit pour tout vecteur x de g un endomorphisme K-linéaire ad(x) du K-espace vectoriel g :

ad(x)(y) = [x,y]

Si g est de dimension finie, il existe une forme bilinéaire symétrique B définie par :

où Tr désigne l'opérateur trace. Cette forme est appelée forme de Killing de g.

La forme de Killing est l'unique forme bilinéaire symétrique sur g, invariante sous l'action des automorphismes de la K-algèbre de Lie g et vérifiant l'identité remarquable :

.

Curieusement, la forme de Killing a été définie par Henri Cartan, tandis que la matrice de Cartan a été définie par Wilhelm Killing (en).

Voir aussi [modifier]

Tenseur de Killing

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Forme_de_Killing

Algèbre enveloppante

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Cet article est une ébauche concernant l'algèbre. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En mathématiques, on peut construire l'algèbre enveloppante U(L) d'une algèbre de Lie L. Il s'agit une algèbre associative unitaire qui permet de rendre compte de la plupart des propriétés de L.

Si A est une algèbre associative sur un corps K, on peut facilement la munir d'une structure d'algèbre de Lie, en posant [x,y]=xy-yx. On note l'algèbre de Lie ainsi obtenue A_L.

La construction d'une algèbre enveloppante répond au problème réciproque : à partir d'une algèbre de Lie, on construit une algèbre associative dont le commutateur correspond au crochet dont on était parti.

Construction [modifier]

Soit L une algèbre de Lie sur un corps K. Soit T(L) l'algèbre tensorielle de L. On construit U(L) à partir de T(L) en imposant les relations .

Plus formellement, on note I l'idéal bilatère engendré par les . U(L) est alors le quotient de T(L) par l'idéal I. L'injection canonique de L dans T(L) fournit alors un morphisme .

Propriété universelle [modifier]

On peut caractériser l'algèbre enveloppante de L par la propriété universelle suivante : U(L) est l'unique algèbre assocative telle que pour toute K-algèbre associative A et tout morphisme d'algèbre de Lie , il existe un unique morphisme d'algèbre associative  tel que .

Autres propriétés [modifier]

• L'intérêt premier de la construction de l'algèbre enveloppante est que toute représentation d'une algèbre de Lie L peut être vue comme un module sur U(L). Formellement, il y a uneéquivalence de catégories entre les représentations de L et les U(L)-modules.

• Le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt permet de mieux comprendre la structure de l'algèbre enveloppante. Un corollaire important de ce théorème est que l'application ι définie ci-dessus est injective.

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_enveloppante

Crochet de Lie

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Cet article ne cite pas suffisamment ses sources (août 2007). Si vous connaissez le thème traité, merci d'indiquer les passages à sourcer avec {{Référence souhaitée}} ou, mieux, incluez les références utiles en les liant aux notes de bas de page. (Modifier l'article)

Le crochet de Lie est une loi de composition interne [,] sur un espace vectoriel V, qui lui confère une structure d'algèbre de Lie. Le commutateur [u,v]=uv-vu de deux endomorphismesen constitue un des exemples les plus simples.

Le nom de crochet de Lie, ou simplement crochet, est souvent employé pour le crochet de Lie de deux champs de vecteurs sur une variété différentielle.

Sommaire

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• 1 Définition générale
• 2 Crochet de Lie de deux champs de vecteurs
• 3 Bibliographie
• 4 Voir aussi

Définition générale [modifier]

Article détaillé : algèbre de Lie.

Soit un espace vectoriel V sur un corps . Un crochet de Lie est une loi de composition interne sur V (c'est-à-dire que le crochet de Lie de deux vecteurs est encore un vecteur : ), vérifiant les propriétés suivantes :

1. Bilinéarité :
   • 
   • .
2. L'application bilinéaire [.,.] est alternée : 
3. Identité de Jacobi : .

Remarques

Un crochet de Lie vérifie :

• l'antisymétrie : .

L'antisymétrie implique [x,x] = 0 pour tout corps pour lequel  (corps de caractéristique différente de deux).

Si on combine la bilinéarité avec l'antisymétrie [λx + x',y] = − [y,λx + x'] on peut ne vérifier la linéarité que sur une seule composante:[λx + x',y] = λ[x,y] + [x',y].

Muni d'un crochet de Lie, un espace vectoriel devient une algèbre de Lie.

Crochet de Lie de deux champs de vecteurs [modifier]

Article détaillé : dérivée de Lie.

Soit V une variété différentielle et X et Y deux champs de vecteurs sur V. On note X . f la dérivée de la fonction f dans la direction du champ X. Le crochet de Lie de X et Y est l'unique champ de vecteur, noté [X,Y], tel que, pour toute fonction f indéfiniment dérivable,

On montre en effet qu'un champ de vecteurs Z peut être caractérisé par la façon dont il dérive les applications. On vérifie en outre que l'application [,] définit bien un crochet de Lie sur les champs de vecteurs. Voir pour les démonstrations l'article dérivée de Lie.

Lorsque deux champs de vecteurs ont un crochet nul, on dit qu'ils commutent.

Bibliographie [modifier]

• Alain Bouvier, Michel George, François Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, Presses Universitaires de France, 1979.

Voir aussi [modifier]

• Algèbre de Lie
• Groupe de Lie

[Dérouler]

v · d · m

Opérations binaires

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Crochet_de_Lie