Construction de Z à partir de N

 

En supposant connues les propriétés élémentaires de l'ensemble  et de l'addition des entiers naturels, nous allons donner une construction rigoureuse de  et de l'addition des entiers relatifs. Dans cette construction,  apparaîtra sous forme d'un quotient de  par une relation d'équivalence. Ce paragraphe est aussi l'occasion de rappeler les notions de relation d'équivalence et d'ensemble quotient, notions centrales pour le reste du cours.

Définition Soit  un ensemble. Une relation sur  est un ensemble  de couples d'éléments de . On écrit  au lieu de . Une relation est une relation d'équivalence si elle est

a)

réflexive (i.e. pour tout , on a )

b)

symétrique (i.e. on a équivalence entre  et  quels que soient )

c)

transitive (i.e. les conditions  et  impliquent que  quels que soient )

 

 

Exemples 1 [1)] Soit  l'ensemble des villes de France. On définit une relation  sur  en déclarant que  signifie que  et  se trouvent dans la même région. Il est facile de vérifier qu'il s'agit d'une relation d'équivalence.

[2)] Soit  et définissons  par

 

 

Par exemple, on a  et . La réflexivité et la symétrie de  résultent de la commutativité de l'addition des entiers positifs. Montrons que  est transitive. En effet, par définition, les conditions  et  équivalent aux équations 

En rajoutant la première à la seconde on obtient

 

 

ou encore

 

 

Or on sait que la loi d'addition sur  est régulière c'est-à-dire qu'une égalité  implique  quels que soient . Il s'ensuit que c'est-à-dire que . Notons que dans cette démonstration, nous avons utilisé l'associativité, la commutativité et la régularité des entiers naturels.

 

Définition Soit  un ensemble et  une relation d'équivalence sur . Pour , on pose

 

 

et on appelle classe d'équivalence de  par rapport à  cette partie de . Par définition, l'ensemble  est formé des classes    d'éléments . On appelle le quotient de  par la relation d'équivalence . On définit l'application quotient (=la projection canonique)  par  . Une partie de est un système de représentants pour  si elle contient un élément de chaque classe d'équivalence et un seul.

 

 

Exemples 2 [1)] Dans l'exemple des villes de France (voir ci-dessus) la classe d'équivalence d'une ville  est formée de toutes les villes qui se trouvent dans la même région que . En particulier deux classes  et  sont égales ssi  et  se trouvent dans la même région. Les éléments de  sont des ensembles de villes, deux villes étant regroupé dans un même ensemble ssi elles se trouvent dans la même région. On a donc une bijection

 

régions de France la région où se trouve v

 

Il existe beaucoup de systèmes de représentants. Par exemple, l'ensemble  formé des capitales des régions en est un. L'ensemble  formé des villes les plus éloignées de la capitale dans leur région en est un autre.

[2)] Dans le cas de l'exemple  et de la relation  introduite ci-dessus on vérifie que  si et seulement si l'une des deux conditions suivantes est remplie

• il existe  tel que  et 
• il existe  tel que  et .

Ainsi, deux éléments appartiennent à une même classe d'équivalence si on peut passer de l'un à l'autre en ajoutant un même entier naturel aux deux coordonnées. Les classes sont donc des `parties diagonales' du plan  :

 

 

Il y a beaucoup de systèmes de représentants. Par exemple

 

 

en est un. On définit l'ensemble  (  axiomatique) comme étant l'ensemble quotient .

 

Lemme [Propriété universelle de ] Soit  un ensemble,  une relation d'équivalence sur  et  une application constante sur les classes d'équivalence par rapport à  (c'est-á-dire qu'on a  à chaque fois que ). Alors il existe une application  et une seule telle que. Réciproquement, toute application de la forme  est constante sur les classes d'équivalence.

 

 

 

 

Remarque 3 Le lemme signifie que la règle  définit une application  si et seulement si on a  quels que soient  vérifiant .

 

 

 

Démonstration. On pose . Il s'agit de vérifier que  est indépendant du représantant  de la classe . Or si  en est un autre, c'est-à-dire que, alors par définition, on a  et donc . 

 

 

Exemple 4 Il existe une application  et une seule telle que . En effet, si  alors  et donc . L'application  est bijective : En effet, elle est surjective car si , on a  si  et  si . Elle est injective car si on a , alors  c'est-à-dire que  et que .

 

Lemme [Addition sur ] Il existe une application

 

 

et une seule telle que

 

 

 

 

Démonstration. Il s'agit de montrer que  si  et . Nous laissons au lecteur le soin de cette vérification.

Définition Un groupe est un couple  formé d'un ensemble  et d'une application

 

 

appelée la loi du groupe telle que

a)

la loi  est associative (i.e. on a  quels que soient )

b)

la loi  admet un élément neutre (i.e. il existe  tel que  quel que soit )

c)

tout élément  de  admet un inverse  pour la loi  (i.e. on a )

Un groupe  est commutatif si on a  quels que soient .

 

 

Exemple 5 [1)] Si les conditons a) et b) sont vérifiées, alors l'élément neutre  est unique. En effet, soient  et  deux éléments neutres. Alors on a  (car est neutre) et  (car  est neutre) et donc .

[2)] Si les conditions a), b) et c) sont vérifiées, l'élément inverse  de la conditon c) est unique. En effet, supposons que  et  sont deux éléments inverses à . Alors on a

 

 

On note  l'élement inverse de .

 

 

 

Exemple 6 [1)] Le couple  vérifie a) et b) (pour ) mais non pas c) car l'équation  n'admet pas de solution  si .

[2)] Le couple  est un groupe. En effet, on vérifie facilement l'associativité. L'élément neutre est la classe de . L'inverse de la classe de  est la classe de  ! En effet, nous avons

 

 

 

Lemme [Propriété universelle de ] Soit  l'application

 

 

On a  et si  est une autre application de  vers un groupe telle que , alors il existe une application  et une seule telle que a)  et b)  quels que soient .

 

 

Remarque 7 On peut interpréter ce lemme en disant que  (et donc ) est le groupe universel contenant .

 

 

 

Démonstration. Il est immédiat que  est additive. Supposons donnée une application  comme dans l'énoncé. Définissons  par. Montrons que  induit une application , Supposons que  et donc que . Alors pour montrer que

 

 

il suffit de montrer que

 

 

En utilisant que  nous sommes ramenés à montrer que

 

 

ce qui est clair car  et . Montrons l'unicité de . En effet, si  et  vérifient les hypothèses, nous avons

 

 

En outre, si , alors  et  sont tous les deux inverses de  où . Donc . Comme les  et les , , forment un système de représentants des classes d'équivalence par rapport à , il s'ensuit que . 

Source : http://www.les-mathematiques.net/b/a/d/node2.php3

Propriétés de l'intégrale de Riemann

Propriétés de l'intégrale de Riemann

Proposition Pour , on a

 

 

En particulier, on a

 

 

Démonstration L'inégalité  est conséquence immédiate de la définition de  resp. . Pour montrer , il suffit de prendre .

Théorème [de Chasles] Soit . Alors,

 

 

et on a la relation de Chasles :

 

 

Démonstration Pour tout , on a évidemment  et . Ceci entraîne. Le même s'applique à . Ainsi l'intégrabilité sur  et  implique celle sur , et la relation de Chasles. Réciproquement, tout  qui contient  se décompose en  avec , et on a les mêmes relations pour les sommes de Darboux. Pour passer à  et , on peut toujours supposer , quitte à l'ajouter, sans perte de généralité. On en déduit le théorème. (Exercice: détailler cette démonstration.)

Définition Pour , on définit

 

 

et pour , . 

Remarque Avec ces conventions, la relation de Chasles est valable quel que soit l'ordre de  (par exemple aussi pour ). C'est en effet la principale motivation pour ces définitions, ce qui laisse deviner l'utilité et importance de cette relation dans les applications. 
Il convient d'être très vigilant concernant cette généralisation lorsqu'on utilise des inégalités (telles que celles de la Prop. ), qui ne sont généralement valables que pour.

Proposition est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel des fonctions de  dans , et ,  est une forme linéaire sur . Autrement dit,  et surtout

 

 

et

 

 

Démonstration Les sommes de Darboux ne sont pas linéaires (car  et  ne sont pas additives). Passons donc par les sommes de Riemann, dont la linéarité,, est évidente, ce qui donne, par passage à la limite , le résultat souhaité. (Exercice: détailler ceci...)

Proposition Pour , (), on a:

			(1)
			(2)
	et		(3)

 

Démonstration (1):  et . 
(2): . 

(3): on a , avec le (2) donc  et .

Remarque La réciproque du (1) est évidemment fausse,  n'implique pas . (Contre-exemple:  sur .)

Remarque Dans le cas , , on a que  est l'aire de l'épigraphe

 

 

Théorème [de la moyenne] Soit  (fonction continue de ). Alors

 

 

Démonstration étant continue, on a

 

 

D'après l'éq. ,

 

 

D'après le thm. des valeurs intermédiaires appliqué à  (continue) entre  et , on a  (ou ) tel que

 

Source : http://www.les-mathematiques.net/a/d/a/node3.php3

Intégrale de Riemann

Intégrale de Riemann

Le programme ne précise pas si la définition de l'intégrale de Riemann doit figurer dans le cours. Certains collègues commencent ce cours directement avec la définition de la primitive d'une fonction, et  Ainsi, le théorème fondamental de l'analyse, qui établit le lien entre l'intégration et la dérivation, devient trivial.

A mon avis, ce cours est quand même l'occasion ou jamais de définir l'intégrale de Riemann. Même si on passe sur les détails, on peut donner les trois définitions de ce premier chapitre et évoquer l'interprétation géométrique qui est très liée à la définition des sommes de Darboux.

 

Subdivisions et sommes de Darboux

Définition Une subdivision d'ordre  d'un intervalle  est une partie finie  telle que

 

 

On notera  l'ensemble des subdivisions de . 

Exemple [subdivision équidistante] Lorsque  avec , on parle de la subdivision équidistante d'ordre  de ; on la note parfois . Le nombre  est le pas (uniforme) de cette subdivision.

Définition La somme de Darboux inférieure resp. supérieure de  relativement à une subdivision sont définies par

 

resp.

 

où  est la longueur du  sous-intervalle . 

Les sommes de Darboux sont des réels bien définis ssi la fonction  est bornée, .

Sauf mention du contraire, dans tout ce qui suit, les fonctions considérées seront toujours bornées sur l'intervalle en question, sans que celà soit nécessairement dit explicitement.

Remarque Etudier l'interprétation géométrique des sommes de Darboux comme aire des rectangles de base , encadrant l'épigraphe de  de en-dessous resp. au-dessus.

 

 

 

Exercice Montrer qu'en ajoutant un point  (entre  et ) à , la somme de Darboux inférieure (resp. supérieure) croît (resp. décroît). En déduire qu'on a

 

et

 

Utiliser le résultat précédent et la subdivision pour montrer que

 

 

Solution .

Remarque Lorsque  pour , on dit que  est plus fine que . (C'est une relation d'ordre partiel sur .)

 

Fonctions Riemann-intégrables, intégrale de Riemann

Définition La fonction  est Riemann-intégrable sur  ssi les deux nombres

 

 

coïncident ; ce nombre est alors appellé l'intégrale de Riemann de  sur  (ou de  à ), et noté . 
L'ensemble des fonctions Riemann-intégrables sur  est noté . 

Remarque L'existence de  et  est évidente: il suffit de constater que les ensembles  et  sont non-vides (prendre ) et majorés resp. minorés d'après l'exercice précédent. On peut aussi montrer que  et  sont atteints lorsque le pas de la subdivision,  tend vers zéro. La taille de ce pas induit la structure d'une base de filtre sur , permettant de considérer la limite de et  en .

Remarque Revenir sur l'interprétation géométrique de  et , en considérant la limite de subdivisions de plus en plus fines.

Remarque La ``variable d'intégration''  dans  est une ``variable muette'', elle peut être remplacée par n'importe quelle autre variable (qui n'intervient pas déjà ailleurs dans la même formule).

Donnons encore une propsition d'ordre plutôt technique, avant d'énoncer une condition d'intégrabilité suffisante dans tous les cas que nous allons rencontrer.

Proposition (Critère d'intégrabilité de Riemann.) Une fonction  est Riemann-intégrable sur  ssi pour tout  il existe une subdivision  telle que.

Démonstration Par déf. de  et ,  et . Avec , il vient que . Donc si , on a la subdivision souhaitée. Réciproquement, si une telle subdivision existe pour tout , alors  et  coïncident évidemment.

Théorème Toute fonction monotone ou continue sur un intervalle  est Riemann-intégrable.

Démonstration Si  est monotone, le  et  est atteint au bord de chaque sous-intervalle . On a donc. Il suffit donc de choisir le pas de la subdivision assez petit, , pour que ceci soit inférieur à un  donné, d'où l'intégrabilité d'après le critère de Riemann. 
Pour une fonction continue, la démonstration est admise dans le cadre de ce cours. A titre indicatif:  est à remplacer par , où sont les points de l'intervalle fermé et borné  en lesquels la fonction continue  atteint son maximum et minimum. On utilise maintenant le fait qu'une fonction continue sur  y est uniformément continue, pour  donné il existe  (indépendant du point ) tel que. Donc, pour , on a . Ceci devient aussi petit que voulu, car on peut prendre des subdivisions équidistantes pour lesquelles , il suffit donc de prendre  assez petit. 
Pour montrer qu'une fonction continue est uniformément continue sur un intervalle borné , on peut utiliser que l'ensemble des boules ouvertes  telles que, est un recouvrement ouvert de , dont on peut extraire un recouvrement fini d'après le théorème de Heine-Borel. Le minimum de ces  correspond au  de l'uniforme continuité (au pire pour  au lieu de ). 
(Pour une démonstration du théorème de Heine-Borel, voir ailleurs...)

Corollaire De même, une fonction (bornée!) continue sauf en un nombre fini de points, ou monotone sur chaque sous-intervalle d'une partition finie de , est Riemann-intégrable. (On peut en effet utiliser l'additivité des sommes de Darboux,  pour  qui entraîne celle de  et de même pour .)

Remarque [fonction de Dirichlet] La fonction de Dirichlet,

 

 

n'est pas Riemann-intégrable, car on a

 

 

En effet, sur chaque  il existe un point irrationnel, donc , mais aussi un point rationnel, d'où . Ainsi  et est somme des longeurs des sous-intervalles et donc égale à .

Remarque Le pas uniforme des subdivisions équidistantes simplifie beaucoup l'expression des sommes de Darboux (exercice!). 
On peut montrer que pour , on a

 

 

La réciproque est vraie si  est continue.

 

Sommes de Riemann

Les sommes de Darboux ne sont pas très utiles pour le calcul effectif d'une intégrale, par exemple à l'aide d'un ordinateur, car il est en général assez difficile de trouver les inf et sup sur les sous-intervalles. On considère plutôt

 

ou 

 

Plus généralement:

Définition Si  vérifie , on appelle  une subdivision pointée et

 

 

la somme de Riemann associée à la subdivision pointée . Si on pose de plus , on a

 

 

c'est de là que vient la notation . 

Théorème Si , alors les sommes de Riemann tendent vers , independamment du choix des , lorsque la subdivision devient de plus en plus fine.

Démonstration Par définition, il est évident que . Soit  et  tel que . Alors on a aussi, quel que soit le choix des , et a fortiori pour tout . D'où le résultat.

Si  est continue,  atteint son minimum et maximum sur chaque  en un certain  et . On obtient donc les sommes de Darboux comme cas particulier des sommes de Riemann, en associant à chaque  des points  tels que .

En particulier, lorsque la fonction est monotone, par exemple croissante, sur un sous-intervalle , alors  et . Les sommes de Riemann  et  données en début de ce paragraphe coïncident donc avec les sommes de Darboux inférieure et supérieure pour une fonction croissante.

 

Source : http://www.les-mathematiques.net/a/d/a/node2.php3#SECTION...