Quelques informations sur les fractales

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Avertissement : la lecture de cette page est inutile si les fractales vous sont familières. Elle est fortement déconseillée aux mathématiciens, à moins qu’ils soient très indulgents pour l’aspect élémentaire et les approximations de ces explications.

Euclide et les fractales
	Euclide aurait certainement horrifié s’il avait connu les fractales, comme l’ont été beaucoup de ses successeurs, beaucoup plus proches de nous, qui ne voyaient là que des monstres mathématiques dont il convenait de se détourner ! Et pourtant... On obtient une image fractale en partant d’un objet graphique auquel on applique une certaine transformation qui ajoute un élément de complexité, puis en appliquant la même transformation au nouvel objet ainsi obtenu, ce qui accroît encore sa complexité... et en recommençant à l’infini ce processus d’itération. Bien entendu toutes les itérations n’engendrent pas des fractales. Prenons un segment de droite et effaçons-en une moitié, puis appliquons au demi-segment résultant la même opération : il est évident que pour un nombre d’itérations infini la figure tend vers un point. Rien de très passionnant. Si en revanche on prélève à ce segment son 1/3 central, puis qu’à chacun des deux segments résultants on enlève à nouveau leur 1/3 central, etc. on tend vers une figure, certes peu spectaculaire, mais dotée de propriétés mathématiques curieuses : la poussière de Cantor.
	En effet, imaginons qu’on « zoome » dans cette figure avec une loupe puis un microscope à des grossissements de plus en plus puissants. Quel que soit le grossissement on observera la même structure. On sera donc incapable, sur un détail, de décider quel est le grossissement auquel la poussière de Cantor aura été observée (dans l’illustration ci-dessus la résolution de l’écran limite l’observation des plus fins détails). Première propriété d’une image fractale : l’auto-similarité, ou invariance d’échelle.
	Légèrement plus spectaculaire est l’exemple de la « courbe » ou « flocon » de Koch. Cette « courbe » s’obtient en appliquant à chaque côté d’un triangle équilatéral une transformation un peu différente : on remplace le 1/3 central de chaque côté par 2 segments ayant la même longueur que celle qui a été prélevée. À la première itération on obtient une image proche d’une étoile de David, puis au fur et à mesure des itérations successives le résultat mime plus ou moins un flocon de neige. Là encore, à quelque grossissement qu’on examine la « courbe » on observera les mêmes détails... pour autant que le nombre d’itérations soit infini (ou, au moins, assez important).
	Ce type de courbe présente une particularité bien curieuse. La première intuition conduit à penser que, puisqu’on ajoute des détails de plus en plus petits au fur et à mesure des itérations successives, le périmètre de cette figure tend vers une valeur limite finie. En réalité, à la première itération la longueur l de chaque côté est remplacée par 4 l / 3 ; à la deuxième elle devient 16 l / 9... Autrement dit, à chaque itération la longueur est multipliée par 4 / 3, ce qui signifie que (contrairement à l’intuition première) la longueur d’une courbe de Koch tend vers l’infini pour un nombre d’itérations infini. Et pourtant cette courbe ne déborde à aucun moment des limites constituées à l’extérieur par le cercle circonscrit au triangle initial, et à l’intérieur par le cercle inscrit dans ce triangle ! Une autre propriété encore moins intuitive est relative à la dimension des objets fractals. Nous savons tous qu’un point est une figure de dimension 0 ; qu’une ligne droite est un objet de dimension 1 ; qu’une surface plane est un objet de dimension 2 ; qu’un volume est de dimension 3... qu’en est-il d’un objet fractal ? Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour exprimer la dimension d’un objet. Sans entrer dans les détails on peut penser qu’un objet bizarre comme la courbe de Koch, qui a une longueur infinie tout en n’emplissant qu’une région très limitée du plan, doit avoir des propriétés très particulières. En fait on peut démontrer que sa dimension est égale à log 4 / log 3. Presque tous les objets fractals ont des dimensions non entières. Ceci est encore moins intuitif qu’une longueur infinie.

Les nombres complexes et les fractales
	Il existe toute une série d’objets fractals curieux qu’il est possible de construire à partir d’opérations simples de la géométrie euclidienne, comme les précédents (l’image en tête de page est une variante du tamis de Sierpinski, après 4 itérations). Certains sont des figures planes, d’autres déploient leur structure dans l’espace. Mais si l’on applique le procédé d’itération à des formules même très simples, utilisant lesnombres complexes, on entre dans un monde fabuleux de formes étranges et d’une beauté parfois étonnante. Rappelons qu’un nombre complexe a la structure générale suivante :
	z = x + yi
	où x et y sont des nombres réels et i est la racine carrée de -1 (opération qui était jugée impossible par les mathématiques anciennes, puisqu’avec les nombres réels un carré est toujours positif). x est la partie réelle du nombre et y est la partie imaginaire. On peut se demander comment on peut représenter graphiquement un fonction utilisant des nombres complexes puisqu’il n’est pas possible d’associer une image mentale concrète à un nombre aussi étrange que la racine carrée de -1. Le principe qui guide la réalisation de la plupart de ces images sur un ordinateur est en réalité très simple. Quand on gradue un axe de coordonnées on peut donner à chaque division de l’axe une valeur unité conventionnelle quelconque. Si l’on dit que la valeur qu’une division vaut i on aura d’un côté de l’origine la représentation des nombres i, 2i, 3i... et de l’autre côté -i, -2i, -3i... l’axe des x représente la partie réelle du résultat du calcul ; l’axe des y représente la partie imaginaire, et la luminosité ou la couleur de chaque point est fonction du nombre d’itérations nécessaires pour que le résultat réponde à une condition donnée. Prenons une expression aussi simple que
	c est un nombre complexe quelconque fixé au départ. On fait le calcul pour chacun des points z du plan complexe (chaque point a une coordonnée x réelle et une coordonnée y imaginaire). Seulement, petit détail, au lieu de faire le calcul une seule fois pour chaque point, on recommence en donnant à z la valeur z' trouvée dans le calcul précédent et l’on recommence encore en donnant à z la valeur z' trouvée par ce nouveau calcul... En bref on effectue un nombre d’itérations théoriquement infini lors du calcul de chacun des points, ce qui peut s’écrire
	en partant d’une valeur initiale z(0) égale aux coordonnées de chaque point du plan complexe. Il est intéressant de voir vers quelle valeur tend cette fonction pour chacun des points du plan complexe. On s’aperçoit que pour beaucoup de points (c’est-à-dire de valeurs initiales de z) la fonction diverge plus ou moins rapidement (la valeur de z' s’écarte de plus en plus de la valeur initiale). Au contraire pour certains points le résultat reste définitivement enfermé dans un intervalle limité : la fonction ne diverge pas, même pour un nombre infini d’itérations. l’ensemble des points pour lesquels la fonction ne diverge pas forme un ensemble appelé ensemble de Julia rempli (la zone noire au centre de la figure ; l’ensemble de Julia stricto sensu est la frontière de cette zone). Bien entendu il existe un nombre infini d’ensembles de Julia, puisqu’on peut donner à c n’importe quelle valeur. Selon la valeur de c l’ensemble de Julia peut dessiner des figures très banales ou, au contraire, des images extraordinairement complexes et souvent très esthétiques. Point fondamental ces ensembles de Julia sont des structures fractales.
	partie réelle de c = -0.0519... partie imaginaire = 0.688...
	Dans certains cas l’ensemble de Julia est continu (ou, plus rigoureusement, connexe) comme ci-dessus, mais dans d’autres il est fragmenté (non connexe) comme ci-dessous.
	partie réelle de c = -0.577... partie imaginaire = 0.478...
	Les points pour lesquels la valeur de z diverge ne font pas partie de l’ensemble de Julia rempli : ils sont situés à l’extérieur. Mais on peut obtenir des informations complémentaires en leur affectant une luminosité ou une couleur fonction du nombre d’itérations nécessaires pour observer la divergence. En d’autres termes cette couleur est une mesure de la vitesse avec laquelle la fonction diverge pour ce point. Autour de l’ensemble proprement dit, coloré en noir ici, on observe une série d’auréoles dessinant des figures parfois très intéressantes (voir ci-dessus et ci-dessous).
	Détail d’un ensemble de Julia (x 14.57)
	Si, au lieu de donner une valeur fixe et arbitraire à c on lui affecte pour tout point du plan complexe une valeur initiale c = z(0), on obtient un objet mathématique plus complexe appelé ensemble de Mandelbrot. l’ensemble de Mandelbrot est, là encore, l’objet noir au centre de l’image.
	Remarque : contrairement aux apparences l’ensemble de Mandelbrot est connexe, mais certains détails sont si ténus qu’ils ne sont pas visibles à la résolution de l’écran.
	Si l’explication précédente ne vous a pas parue claire, en voici une autre, strictement équivalente. Au lieu de calculer la fonction en donnant une valeur constante et arbitraire à c, considérons c comme une variable à laquelle nous attribuerons successivement les valeurs correspondant aux différents points du plan complexe (heureusement sur un écran d’ordinateur le nombre de points à calculer est limité par le nombre de pixels affichés). Pour chacune de ces valeurs itérons la fonction en partant de la valeurz(0)=(0,0) et colorons chaque point c en utilisant la même recette que pour les ensembles de Julia. Nous obtenons l’ensemble de Mandelbrot. Pourquoi les deux explications sont-elles équivalentes ? Parce qu’à la première itération la valeur de z étant nulle, la valeur de z(1) est égale à0+c, c’est-à-dire c. Relisez maintenant la première explication et choisissez celle que vous préférez. Bien entendu, s’il y a une infinité d’ensembles de Julia, il n’existe qu’un seul ensemble de Mandelbrot pour la fonction
	Il y a, évidemment, une relation entre cet ensemble et les ensembles de Julia : l’ensemble de Mandelbrot est l’ensemble de tous les points cpour lesquels l’ensemble de Julia correspondant est connexe. Autrement dit, quand on prend pour c une valeur en dehors de la surface noire on obtient un ensemble de Julia « brisé ». Les ensembles de Mandelbrot et de Julia sont des objets fractals et en zoomant sur leur bordure on peut y voir, quel que soit le grossissement, des structures toujours aussi complexes et auto-similaires. c’est ainsi que l’ensemble de Mandelbrot possède à sa périphérie une multitude de ramifications qui se dilatent localement en mini-ensembles de Mandelbrot qui, à leur tour... Tous ces détails sont auto-similaires, ce qui ne veut pas dire qu’ils soient rigoureusement identiques entre eux (contrairement aux fractales plus vues plus haut, engendrées par des opérations géométriques simples). La série d’image suivante montre des grossissements de plus en plus forts révélant des mini-ensembles de Mandelbrot à la périphérie de l’ensemble central. Toutes les images, sauf la dernière, ont été traitées en niveau de bleu pour simplifier la reconnaissance des formes. Dans chacune un petit rectangle montre les limites de l’image suivante. En cliquant sur chaque image on visualise une image de taille 800x600. Le facteur d’agrandissement entre la première et la dernière image de la série est de 3 200 000 fois.
	Toutes les images peuvent être vues au format 800x600
	La fonction qui engendre les ensembles de Julia et de Mandelbrot est l’exemple le plus simple qu’on puisse trouver. Pourtant l’ensemble de Mandelbrot est considéré par certains comme l’objet mathématique le plus complexe connu. Toutes ses propriétés n’ont d’ailleurs pas encore été démontrées. On a pu établir que la dimension de sa bordure est 2, ce qui est la plus grande dimension fractale possible pour une structure de surface nulle (mais curieusement on n’a pas encore démontré que cette surface est nulle, bien que ceci paraisse intuitivement évident :Douady, communication personnelle ; 1996). Beaucoup d’amateurs d’images fractales utilisent d’autres fonctions. Certaines ne sont que des modifications plus ou moins complexes des formules de Julia et Mandelbrot ; d’autres sont totalement différentes. Le programme Fractint et d’autres programmes plus récents permettent de tester sans problème pratiquement toutes les fonctions nouvelles qu’on peut imaginer. Il reste un dernier détail : comment tester si la fonction diverge pour un point donné du plan complexe ? Je me limiterai encore aux ensembles de Julia et de Mandelbrot, mais le principe est applicable à beaucoup d’autres fonctions. Il consiste à vérifier que le module de zreste inférieur ou égal à une valeur de référence qui, pour les deux ensembles choisis comme exemple, est 2 (sur ce point nous ferons confiance aux mathématiciens). c’est la « valeur d’échappement » (bailout value en anglais). Le module d’un nombre complexe est une astuce mathématique parfaitement légitime pour se débarasser de i et retomber dans le domaine rassurant des nombres réels (au prix toutefois d’une certaine perte d’information). Si on appelle x la partie réelle et y la partie imaginaire d’un nombre complexe, le module est
	(remarquez que pour la vitesse du calcul il est plus facile de vérifier que le carré du module est <= 4, astuce utilisée par Fractint).

	Informations théoriques sur d’autres serveurs.
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	Mon album de fractales
	Dernière mise à jour : 02/10/03   Source : http://fractals.iut.u-bordeaux1.fr/jpl/jpl1.html

Cours de tests paramétriques

Descriptif du cours

Auteurs :	Peggy Cénac, Florence Muri-Majoube
Domaine :	Mathématiques :: Statistique
Niveau :	Licence	Langue :	Français

Description :	Ce cours introduit les concepts nécessaires pour développer et appliquer les tests paramétriques.
Prérequis :
Mots clefs :	test ; paramétrique ; comparaison ; moyenne ; variance ; intervalle ; de ; confiance ; niveau ; puissance
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Cours de tests paramétriques

Par Peggy Cénac, Florence Muri-Majoube 
Ce cours introduit les concepts nécessaires pour développer et appliquer les tests paramétriques.
Date d'envoi : 01-Jul-2007 17:21

Source : http://www.librecours.org/cgi-bin/course?callback=info&am...

La théorie des groupes et résolutions des équations algébriques

Descriptif du cours

Auteurs :	Serge Hublau
Domaine :	Mathématiques :: Histoire des mathématiques
Niveau :	Licence	Langue :	Français

Description :	Vulgarisation de la théorie des groupes, de la théorie de Galois et de leurs applications à la résolution par radicaux des équations polynomiales insistant sur l'aspect historique des fondements de la théorie de Galois
Prérequis :
Mots clefs :
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La théorie des groupes et résolutions des équations algébriques Par Serge Hublau  Vulgarisation de la théorie des groupes, de la théorie de Galois et de leurs applications à la résolution par radicau... Date d'envoi : 07-Dec-2004 17:04

PDF (2.20Mo) PS (3.19Mo)

Tables des matières

Du nombre au groupe
Théorie des groupes
Groupes, anneaux, corps et morphismes
Groupes cycliques
Groupes diédraux
Groupes de permutations
Les homomorphismes de Sn vers Sn-1
Vers une classification des groupes
Les groupes et la géométrie
La résolution des équations algébriques
Le mémoire de Lagrange
Disquisitiones Arithmetica de Gauss
Les mémoires d'Abel
Les écrits mathématiques de Galois
La théorie de Galois à travers des exemples
Le groupe de Galois, vu comme un critère pour déterminer la résolubilité des équations par radicaux
Annexes
Bibliographie

Source : http://www.librecours.org/cgi-bin/course?callback=info&am...

L'histoire des logarithmes

Descriptif du cours

Auteurs :	Simon Trompler
Domaine :	Mathématiques :: Histoire des mathématiques
Niveau :	Licence	Langue :	Français

Description :	Les logarithmes: histoire de leur développement.
Prérequis :
Mots clefs :	histoire ; logarithme ; log
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Documents associés

L'histoire des logarithmes Par Simon Trompler  Les logarithmes: histoire de leur développement. Date d'envoi : 12-Jan-2004 14:45

PDF (265.25ko) PS (768.18ko)

Tables des matières

Première partie: Les logarithmes. Histoire de leur développement
1. Avant Neper
2. John Napier ou Neper (1550-1617)
3. Aprés Neper
4. Les logarithmes et les courbes
5. Les logarithmes et le calcul infinitésimal
6. Les logarithmes des nombres négatifs et des imaginaires
7. l'oeuvre d'Euler
Deuxième partie: Compléments:
1. La période mésopotamienne
2. Archimède: l'Arénaire
3. John Napier (Neper)
4. L'appendiceau "constructio" de Napier
5. Les logarithmes de Huygens
6. La spirale géométrique
7. Mengoli
8. Correspondance entre Leibnitz et Bernouilli
9. Euler

 

Source : http://www.librecours.org/cgi-bin/course?callback=info&am...

Preuves formelles en Coq

par Loïc Pottier

Niveau : Master   Langue : Français

Description :

Cours d'option en DEA de mathématiques, université de Nice-Sophia Antipolis, janvier 2003. Ce cours est inspiré du cours de DEA de Gilles Dowek, et du cours de DEA de Christine Paulin-Mohring et Benjamin Werner (DEA de programmation SPL, Paris).

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Detail du cours

Tables des matières

Le langage de Coq
Les objets et la syntaxe
Les types
Les sortes
Les fonctions
Les formules logiques, leurs preuves, et l'isomorphisme de Curry-Howard
Le typage
Règles de typage informelles
Les règles du typage
Les contextes
Les jugements de typage
Les règles
Exemples
Quelques remarques sur les règles de typage des produits
Le calcul
La beta-réduction
La consistance
Logique intuitionniste et mathématiques constructives
Les définitions et la delta-réduction
La conversion
Exemple : les codages imprédicatifs
Les types inductifs
Exemples
Les entiers naturels
L'égalité de Leibniz
Raisonnement et calcul par cas : la construction Cases
La iota-réduction
Fonctions récursives : la construction Fix
Un exemple
Un exemple de récursion mutuelle
Le cas général
La iota-réduction, bis
Typage de Cases et Fix
Introduction au système Coq
Commandes élémentaires
Lancer coq depuis un shell
Obtenir le type d'un terme
Définir une constante
Obtenir la valeur d'une constante
Calculer
Fonctions récursives
Démontrer
pour tout A, A implique A
pour tout A, A implique non non A
Calcul des propositions
Calcul des prédicats
Exemples mathématiques
L'ensemble des parties est plus gros que l'ensemble

Source : http://www.librecours.org/cgi-bin/course?callback=info&am...

Modérateurs

Dimitri Ara, Romain Théret
Contact : logique AT librecours.org

Source : http://www.librecours.org/cgi-bin/domain?callback=info&am...

Méthodes mathématiques pour physiciens

Descriptif du cours

Auteurs :	Claude Aslangul
Domaine :	Physique
Niveau :	Licence	Langue :	Français

Description :	Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université Pierre et Marie Currie.
Prérequis :
Mots clefs :
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Documents associés

Fonction d'une variable complexe Par Claude Aslangul  Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université P... Date d'envoi : 21-Jan-2004 00:05	PDF (559.29ko)
Intégration des fonctions d'une variable complexe Par Claude Aslangul  Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université P... Date d'envoi : 21-Jan-2004 00:09	PDF (482.09ko)
Représentation des fonctions analytiques par des séries et théorème des résidus Par Claude Aslangul  Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université P... Date d'envoi : 21-Jan-2004 00:11	PDF (577.88ko)
Applications élémentaires du théorème des résidus Par Claude Aslangul  Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université P... Date d'envoi : 21-Jan-2004 00:13	PDF (570.91ko)
Quelques applications de la théorie des fonctions d'une variable complexe Par Claude Aslangul  Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université P... Date d'envoi : 21-Jan-2004 00:19	PDF (1.38Mo) PS (1.16Mo)
Analyse de Fourier Par Claude Aslangul  Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université P... Date d'envoi : 04-Mar-2004 22:14	PDF (744.39ko)
Transformation de Laplace Par Claude Aslangul  Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université P... Date d'envoi : 21-Mar-2004 21:11	PDF (603.43ko) PS (977.79ko)
Éléments de théorie des probabilités Par Claude Aslangul  Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université P... Date d'envoi : 09-Mai-2004 00:18	PDF (740.02ko)
Équations différentielles. Fonctions de Green Par Claude Aslangul  Cours de méthodes mathématiques et principalement d'analyse complexe dispensé en licence de physique à l'université P... Date d'envoi : 15-Mai-2004 20:10	PDF (382.16ko) PS (669.08ko)

Tables des matières

Introduction
Fonctions d'une variable complexe
Rappels des opérations élémentaires sur les nombres complexes
Fonction d'une variable complexe
Fonctions élémentaire
Intégration des fonctions d'une variable complexe
Préliminaires
Théorème de Cauchy
Généralisation au cas d'un domaine multiplement connexe
Formule de Cauchy
Dérivées d'ordre supérieur
Illustrations
Représentation des fonctions analytiques par des séries et théorème des résidus
Séries de Taylor
Séries de Laurent
Classification des singularités d'une fonction
Théorèmes de résidus
Prolongement analytique
Fonctions multiformes ; coupures ; notions de surface de Riemann
Applications élémentaires du théorème des résidus
Lemmes de Jordan
Calcul d'intégrales définies
Calcul d'intégrales de fonctions multiformes
Calcul de la somme de séries
Calcul d'intégrales impropres
Quelques applications de la théorie des fonctions d'une variable complexe
La fonction gamme d'Euler
Méthode du col
Développements asymptotiques
Un dernier exercice
Analyse de Fourier
Rappels sur les séries de Fourier
Transformation de Fourier
Propriétés asymptotiques
Généralisation en dimension quelconque
Causalité et analycité
Relations de Kramers-Kronig
Transformation de Laplace
Présentation
Définition et formule d'inversion
Propriétés de la transformée de Laplace
Propriétés asymptotiques
Quelques applications de la transformée de Laplace
Éléments de théorie des probabilités
Notion de variable aléatoire. Notion de probabilité
Axiomes. Premières conséquences
Fonction de répartition
Variables aléatoires continues
Espérances mathématiques (moyennes)
Lois de distribution courantes
Fonctions caractéristiques
Lois-limites. Théorème centrale limite
Équations différentielles. Fonctions de Green
Généralités et définitions
Conditions initiales. Conditions aux limites
Équations différentielles linéaires à coefficients constants
Équations différentielles linéaires à coefficients variables
Équations différentielles et équations aux différences
Fonctions de Green

Source : http://www.librecours.org/cgi-bin/course?callback=info&am...

Module ``Introduction à la cryptologie'' du Master M1 Informatique (2005)

• cours1
• cours2
• cours3
• cours4
• cours5
• cours6
• cours7
• cours8

•  

• Les TDs correspondants de Laurent Fousse

•  

• Partiel type
• Sujet d'examen [corrigé]

Source : http://www.loria.fr/~zimmerma/cours/

Fractales de Markus-Lyapounov

Il y a quelques années, la "Grande Fièvre de Mandelbrot" avait démarré après queScientific American (Pour la Science, en français) eut révélé quelques unes des magnifiques images obtenues par H.O. Peitgen et P.H. Richter, qui devaient plus tard être publiées dans The Beauty of Fractals (Springer-Verlag, 1986). L'histoire aurait-elle pu se répéter ? Le même Scientific American, en septembre 1991 (décembre 91 dans Pour La Science), dévoilait de nouvelles images extraordinaires, avec une recette apparemment simple pour les calculer. Vous en voyez une juste au-dessus ; sautez à la fin de cet article pour en voir d'autres. N'auriez-vous pas envie de vous y mettre ?

Il y a malheureusement un gros obstacle : en 1992, avec un 68030 à 25 Mhz, les images intéressantes en 640 x 512 réclamaient plusieurs heures de calcul, parfois plus d'une dizaine. Les Pentium et PowerPC de 1997 vont beaucoup plus vite, mais on veut maintenant davantage de résolution et les images qui restent à découvrir sont plus difficiles à calculer : il faut toujours des heures de calcul.

En un mot, ces images ne sont qu'une visualisation des exposants de Lyapounovrelatifs à une extension simple, due à Mario Markus, de la formule logistique... Peut-être avez-vous besoin de quelques explications complémentaires ? Alors lisez la suite. Vous allez rencontrer un peu de mathématiques contemporaines, mais ne craignez rien !

 

La formule logistique

La formule logistique (aussi appelée "dynamique de Verhultz") est la plus simple des formules qui décrive un système dynamique chaotique. Mais peut-être ne savez-vous pas ce qu'est un système dynamique ?

En toute généralité, c'est une notion très abstraite. Pensez à un "système" qui serait examiné à intervalles réguliers. A l'instant n, ce système serait décrit par une variable X(n) (on peut envisager des variables multidimensionnelles, c'est-à-dire des tableaux regroupant les divers paramètres caractérisant l'état du système, mais nous en resterons au cas élémentaire où X(n) est un nombre unique). On suppose que X(n) ne dépend que de l'état X(n-1) précédent, via une loi ad hoc. Le jeu consiste, à partir d'un état initial arbitraire, à appliquer cette loi indéfiniment et à voir comment évoluent les X(n) successifs. Convergent-ils vers une limite unique ? A défaut, ont-ils un comportement "régulier" quand n tend vers l'infini ? Ou bien font-ils n'importe quoi (apparemment), auquel cas on parle de "chaos" ?

La formule logistique est un essai rudimentaire pour modéliser une population animale dans une région isolée. La variable X(n) est ici le nombre d'animaux, en l'an n. L'année suivante, si le taux de croissance était constant, la population serait proportionnelle à X(n), soit

X(n+1) = R * X(n) ,

où R serait constant. Malheureusement, une telle hypothèse conduit à une explosion exponentielle de la population, insoutenable. Le taux de croissance doit diminuer quand la population croît, ne serait-ce que parce qu'il y a moins de nourriture disponible pour chaque individu. La façon la plus simple d'exprimer cette idée est de supposer que le terme R pour l'année n est de la forme

R = r * [1 - X(n) / Xmax] ,

où r et Xmax sont deux constantes, non spécifiées pour le moment. Xmax est clairement une limite supérieure pour la population ; aller au-delà conduirait à des X négatifs sans aucun sens. Le nombre r est appelé "facteur de fécondité" (plus il est grand, plus la croissance de la population d'une année sur l'autre sera grande). En posant x(n) = X(n)/Xmax, la loi d'évolution devient finalement

x(n+1) = r * x(n) * [1 - x(n)].

C'est la formule logistique. Les valeurs significatives de x sont entre 0 et 1.

L'analyse de ce "système dynamique" (c-à-d. l'étude des x(n) quand n va à l'infini, pour diverses valeurs de r) peut se faire sur la figure ci-contre. Pour chaque pixel sur l'axe des r, on a appliqué la formule logistique 200 fois, à partir de x(0) = 0.5 (en fait, cette valeur n'a pas d'importance), puis encore 300 fois, mais maintenant en inscrivant chaque fois le pixel (r,x) correspondant dans la figure. On observe qu'il n'y a qu'un seul pixel pour chaque r inférieur à 3 : cela signifie que la population converge vers une limite stable.

Chaque r entre 3 et 3.45 correspond à 2 pixels : la population oscille alors entre une valeur basse, avec nourriture abondante et forte croissance, et une valeur haute qui entraine famine et mortalité élevée. Les choses se compliquent quand on augmente encore la fécondité. D'abord, on voit que la population peut osciller entre 4 valeurs, puis 8, 16, etc. Puis, pour r > 3.57, il semble qu'il y ait une infinité de valeurs (formant des zones continues dans la figure), entre lesquelles la population semble varier au hasard. C'est le chaos.

Toutefois, le passage au chaos n'est pas définitif : on peut voir des îlots sans pixel noir, correspondant à une évolution plus régulière de la population, qui oscille à nouveau entre un petit nombre de valeurs. Vous pouvez voir ci-contre les détails d'un tel îlot de stabilité ; l'image est un agrandissement du rectangle tracé dans la figure précédente. La ressemblance entre les deux images est frappante ; cette autosimilarité est un trait commun dans les images fractales.

Les exposants de Lyapounov

Lyapounov est un mathématician russe qui vécut à cheval entre les 19ème et 20ème siècles, bien avant l'invention des calculateurs. Voici son rôle dans notre histoire.

Comme nous l'avons dit, la population modélisée par la formule logistique converge vers une valeur unique pour une fécondité assez basse (r < 3). Cette limite ne dépend pas de la valeur initiale. Si on modifie brutalement la population à un instant donné, on revient rapidement à cette limite. On observe le même comportement pour les oscillations entre plusieurs valeurs : les 2, 4, 8... valeurs formant le cycle limite ne dépendent pas de la valeur initiale et on revient toujours à ce cycle après une perturbation. Toutefois, ce retour au cycle limite est d'autant plus lent qu'on est plus proche du chaos. On parle de "stabilité", d'autant plus grande que le retour est plus rapide. Cette stabilité peut être caractérisée par un nombre, l'exposant de Lyapounov, qui est en gros l'opposé de la stabilité (l'exposant est négatif pour les évolutions stables, positif pour les régimes chaotiques).

La théorie des exposants de Lyapounov est difficile ; on en trouvera quelques mots dans Chaos et déterminisme, ouvrage collectif dirigé par A.D. Dalmenico et alias, aux Editions du Seuil, 1992. L'article dans Pour la Science ne donne que la recette (dans le cas de la formule logistique), à prendre comme une formule magique :

 

(1) Initialisation

x = x0 

Pour i=1 à INIT : x = rx(1-x)

(2) Calcul de de l'exposant

total = 0 

Pour i=1 à NLYAP : 
x = rx(1-x) 
total = total + Log|r-2rx|/Log 2 
exposant = total / NLYAP

x0 est arbitraire entre 0 and 1 ; INIT et NLYAP sont des entiers arbitraires, qui doivent être aussi grands que possibles pour que le calcul soit précis.

L'idée de Markus

Mario Markus (du Max Plank Institute for Nutrition) a imaginé des systèmes à peine plus complexes que la formule logistique, où la fécondité alternerait entre deux valeurs r1 et r2, selon une loi périodique, décrite par une chaîne de caractères faite de "1" et de "2", appelée racine. Par exemple, pour la racine "112", r prendrait successivement les valeurs r1,r1,r2, r1,r1,r2, r1,r1,r2, etc.... Selon les valeurs de r1 et r2, ces systèmes peuvent conduire à des cycles réguliers ou à des évolutions chaotiques. La stabilité ou le chaos peuvent s'étudier en calculant l'exposant de Lyapounov, via la recette donnée plus haut, avec la seule différence que r doit maintenant suivre la loi périodique prescrite.

Les images de Markus ne sont qu'une visualisation en "fausses couleurs" de l'exposant de Lyapounov avec r1 et r2 sur les axes horizontaux et verticaux, pour une racine donnée, ici "1122".

On ne s'intéresse qu'au domaine stable ; le chaos (exposants positifs) est ici rendu en bleu sombre. Quand l'exposant passe de 0 à moins l'infini, la teinte passe du clair au sombre. Au zéro (le seuil du chaos), on passe soudain du bleu sombre à une teinte claire. Bien entendu, on peut changer ces conventions de coloriage comme on veut. 

On obtient ainsi des formes étranges qui flottent dans un univers fantastique, avec un aspect 3-D frappant. Bien sûr, il faut voir ces images en plein écran pour leur rendre justice.

Le reste du jeu est le même que dans les programmes Mandelbrot classiques : on part d'une image de base, on cherche les détails prometteurs et on agrandit. Par exemple, le grand rectangle dans l'image ci-dessus mène à l'image ci-contre ; le petit rectangle conduit à l'image au début de cet article. 
Cliquez ici pour suivre un exemple de recherche dans le cas d'une racine assez complexe. 

 

 

 

 

Cette dernière image a été réutilisée par l'auteur dans la composition "Image 11". Elle a été calculée avec la racine 11212, INIT=400 et ITER=800. La récompense d'un long calcul... 

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Source : http://pagesperso-orange.fr/charles.vassallo/fr/lyap_art/...

Fondements des mathématiques

Fondements des mathématiques

Sur cette page:

Début de livre, chapitres de logique 
Simplification du calcul propositionnel
Un paradoxe de la théorie des ensembles

Début de livre, chapitres de logique

J'ai entrepris depuis septembre 2000 d'écrire un "livre" qui regroupera la plupart de mes idées sur les mathématiques. Je ne sais si je publierai un jour cela en tant que livre, actuellement c'est encore loin d'être fini, mais il y a déjà un début intéressant et c'est téléchargeable ici.

Objectif: refonder les mathématiques depuis leur début. Un peu comme Bourbaki...
Au lieu de détailler un grand nombre de sujets d'une diversité comparable à celle de Bourbaki, il s'agira de se concentrer sur les bases, les notions fondamentales et générales.
Caractéristiques de cette approche:

• C'est parfaitement rigoureux, tout ce qui est démontrable est démontré depuis le début. Bourbaki avait cet objectif, sauf qu'ici d'autres objectifs s'y ajoutent, qui pourraient a priori sembler contradictoires entre eux et avec celui-ci, mais il s'avère qu'il est parfaitement possible de tous les satisfaire en même temps :
• Mener des approches originales de la plupart des sujets: la plupart des notions étaient déjà essentiellement connues par-ci, par-là, mais bon nombre d'entre elles n'avaient, à ma connaissance, pas été présentées et reliées de la manière ici proposée. Seul le texte 2 rejoint en grande partie la tradition (plus ou moins un début de cours de théorie des ensembles de première année universitaire); les suivants en demeureront éloignés.
  
• L'accent est mis sur l'intuition, les explications "philosophiques" et la signification profonde des choses, du monde mathématique, sans être ralenti par des développements fastidieux de règles formelles et rébarbatives c'est-à-dire qui seraient longues manquant d'intérêts dans leurs détails. Non que cela manque non plus de rigueur ou de formalisme, au contraire, mais c'est précisément le formalisme employé qui produit et concentre la signification.
• Les outils développés sont très puissants et généraux.
• Très rares sont les démonstrations faisant plus d'une demie-page, et la plupart ne font au plus que quelques lignes; tous les choix sont faits avec le plus grand soin pour un cheminement le plus court et élégant possible, sans rien de fastidieux.

Annonce: J'aimerais bien continuer la mise au point et la rédaction mais je suis occupé à faire connaître mes idées de logiciel; puis une fois corrigées les premières parties ci-dessous (ainsi que d'autres textes par ailleurs) je voudrais les traduire en anglais. Je pourrais le faire moi-même mais je ne peux pas tout faire à la fois. Quelqu'un pourrait-il m'aider à cela ? En échange je pourrais offrir des cours particuliers de maths ou de physique tout niveau (dont calcul tensoriel et relativité générale). Merci beaucoup. (me contacter: trustforum at gmail.com)

Notes: 
- Conventions parfois personnelles: dans ces textes, sur des sujets parfois hélas fort méconnus, j'ai été parfois amené à développer des conventions (notations, terminologie) de manière indépendante. N'hésitez pas à me signaler vos idées d'améliorations et/ou signalement d'éventuelles conventions utilisées par d'autres auteurs qui vous sembleraient adéquates. Tenez, j'envisage de rompre avec l'usage en français du mot "application" pour le remplacer par le mot "fonction" dont le sens habituel est voisin mais différent. Parce que ça sonnerait mieux (plus simple et sans incohérence avec un autre usage du mot en français) et se conformerait à l'usage anglophone "function"; et que je n'utilise pas l'autre notion habituellement appelée "fonction" (où ensemble de définition peut différer de l'ensemble de départ). Aussi, au lieu du mot "espèce" vaudrait-il mieux le mot "type", qui de fait est actuellement employé en ce sens ? Qu'en dites-vous ?
- Problèmes de conversion en html : la conversion est faite avec TtH. C'est assez pénible d'adapter les sources tex pour être opérés ainsi, et le résultat n'est pas parfait... dommage qu'il n'y ait pas mieux pour convertir du tex en html sans mettre les formules en images.
- Désolé, environ la première moitié (texte 1 jusqu'à la moitié du texte 2) est actuellement en chantier de rénovation. Revenez voir plus tard quand ce sera au point (janvier 2010 ?). En attendant vous pouvez toujours essayer de lire directement les textes 2 (à partir du milieu environ) et 3, ou encore vous pouvez lire d'autres parties de mon site: la relativité restreinte avec initiation à des notions de physique fondamentale, ou à mes textes philosophiques que j'estime aussi très intéressants (pour bousculer fortement les idées reçues et apporter un vrai progrès des connaissances philosophiques, de manière très différente de la philosophie académique momolle et consensuelle qui n'avance à rien), une sorte d'application de la pensée logique au monde où nous vivons. Si vous lisez l'anglais, j'ai aussi écrit plus récemment des textes philosophiques en anglais ici et là. Peut-être trouverez-vous même tout cela passionnant. Alors, ne partez pas déçus si vite au prétexte que ce qui suit n'est pas encore au point.

Voici d'abord le sommaire avec liens vers le contenu.
Plus bas figurent des commentaires : explication du plan, originalité de l'approche et motivations.

1. Théorie des ensembles : 31 pages pdf, ayant été rénové, relu et corrigé jusqu'à la page 15, la suite a été partiellement retravaillée et reste à mettre au point en conséquence, jusqu'aux premières sections du texte 2.

Futur sommaire:

1.1. Qu'est-ce que la logique mathématique
1.2. A propos de théorie des ensembles
1.3. Notions de théorie des ensembles
1.4. Objets, méta-objets, théorie du modèle 
1.5. Opérateurs et prédicats
1.6. Termes et énoncés sans variable liée
1.7. Structures définies, classes, structures partielles 1.8. Variables liées en théorie des ensembles)
1.9. Quantificateurs
(...suite à mettre au point...)

La version précédente avait été répartie en 4 pages html, non encore mises à jour.

1.1. Qu'est-ce que la logique mathématique
1.2. A propos de théorie des ensembles

1.3. Variables et ensembles
1.4. Applications, relations unaires et compréhension

1.5. Le paradoxe du langage et son explication temporelle
1.6. Paradoxe de Russell et explications (notion de classe)

1.7. Ensembles finis, n-uplets, familles, produit
1.8. Opérations, relations 
1.9. Construction des termes et énoncés

2. Premiers développements (17 pages pdf). 

2.1. Quelques propriétés des quantificateurs
2.2. Opérations sur les ensembles; l'axiome des parties
2.3. Etude des applications
2.4. Bijections canoniques remarquables
2.5. Notions sur les relations binaires
2.6. Etude des relations d'équivalence
2.7. Axiome du choix

3. Correspondances de Galois (18 pages pdf)

3.1. Notions sur les ensembles ordonnés, correspondances de Galois
3.2. Correspondances de Galois croissantes
3.3. Bornes supérieures et inférieures
3.4. Treillis complet
3.5. Théorème du point fixe
3.6. Préordre engendré par une relation 
3.7. Ensembles finis
3.8. Relation d'équivalence engendrée, et autres
3.9. Relations bien-fondées

4. Langages et théories (25 pages pdf)

4.1. Les espèces
4.2. Langages
4.3. Structures relationnelles et morphismes

La suite n'est pas encore au point (il reste à faire insertions, réordonnements, corrections - la notation O_L a été changée en Oméga_L):

4.4. Théories relationnelles algébriques
4.5. Magmas
4.6. Algèbres
4.7. Condensation
4.8. Théories algébriques
4.9. Propriétés diverses
4.10. Ecritures et termes
4.11. Formules de la théorie des modèles
4.12. Vérités, démonstrations et contradictions
4.13. La dynamique des théories
4.14. Définitions
4.15. La dynamique des modèles
4.16. Invariants
4.17. Constructions

5. Brouillon de la suite (extraits d'anciennes versions, n'ayant pas eu leur place dans les textes 1 à 4, vaguement réordonnés et non encore retravaillées)

Autres propriétés des ensembles finis
Cardinaux et axiomes supplémentaires
Ce que le schéma de remplacement signifie vraiment
Algèbres universelles
Puissance et logique d'ordre supérieur 
Axiome du choix de la logique d'ordre supérieur
Théorème d'incomplétude 
Bilan et perspectives 
Simulations de dynamiques externes

Plan prévu pour après modifications futures :

5. Retour sur la théorie des ensembles: axiomes et cardinaux
On introduira notamment une axiomatisation de la théorie des ensembles comme présentée dans les numéros précédents, on discutera aussi de l'axiome de fondation et d'axiomes plus faibles que le schéma de remplacement.

6. Algèbre
abordée sous l'angle de la théorie des algèbres universelles
Notions de catégories, monoïdes...

7. Calcul tensoriel
Espaces vectoriels en dualité.
La stratégie de définition du sens des expressions tensorielles sera la suivante:
1) Cas des arbres
2) Cas où il y a plusieurs composantes connexes qui sont des arbres, à l'aide de la multiplication
3) Autres cas, à l'aide de décompositions en sommes sur des coupures qui ramènent aux cas précédents.

...

Commentaires sur le texte 1

Cela commence par une longue introduction philosophique sur les fondements des mathématiques, les limites du platonisme, la difficulté de principe à démarrer quelque part le développement des mathématiques, et le fait qu'une rigueur totale au démarrage des mathématiques serait impossible.
Mais à défaut de rigueur totale, va venir l'effort soutenu d'un maximum de rigueur et d'explication philosophique.
Cela commence par une sorte de théorie philosophique des ensembles et des applications. En effet la tradition axiomatique ZF me semble très inadéquate pour démarrer les mathématiques, de sorte que je ne présente pas ZF, ni aucun système axiomatique d'ailleurs. Il ne s'agit pas pour autant de nier ZF ou de faire des choses incompatibles. Non: il s'agit uniquement de présenter les choses sous l'aspect de leur signification profonde, afin qu'elles aient pleinement un sens à ce stade et permettent d'introduire ensuite le plus naturellement possible les mathématiques "ordinaires". Et c'est justement sur la base de cette compréhension philosophique, qu'on pourra dans la suite (texte 5) expliquer pourquoi la théorie axiomatique ZF est effectivement un bon choix dans son rôle propre, à savoir, un excellent outil à l'usage des spécialistes pour formuler les questions de prouvabilité ou au contraire d'indécidabilité d'énoncés, par exemple l'hypothèse du continu.
Plusieurs pages d'explications sont consacrées à expliquer philosophiquement : qu'est-ce qu'un ensemble ? Que signifie vraiment le paradoxe de Russel (qu'il ne peut pas y avoir d'ensemble de tous les ensembles) ? que signifie vraiment la distinction des ensembles parmi les classes ? un ensemble peut-il appartenir à lui-même ? Sisi, c'est très sérieux !!! L'explication se base sur l'existence d'une temporalité propre à l'univers mathématique qu'il est impossible de figer définitivement (temporalité expliquée avec au passage l'analyse sémantique d'un énoncé paradoxal qui signifie "Cette phrase est bien définie et fausse"). La distinction des ensembles parmi les classes se résume ainsi: contrairement à un ensemble, une classe reste potentiellement capable de contenir des éléments qui n'existent pas encore. Une classe se définit en fait par la donnée d'un énoncé à une variable, qui énonce si un objet donné lui appartient ou non; ce n'est pas un vrai objet mathématique appartenant au même univers, faute de pouvoir définir formellement l'égalité entre classes par des quantificateurs bornés par des ensembles. En effet, les quantificateurs existentiels et universels doivent être restreints à des ensembles pour être interprétés (ainsi, l'égalité entre ensembles E et F s'écrit: (E ⊂ F et F ⊂ E) ). C'est cette compréhension de la distinction des ensembles parmi les classes qui permet d'expliquer le sens des axiomes.
Les objets admis comme primitifs sont donc: les éléments, les ensembles et les applications. Les couples et n-uplets sont des cas particuliers d'applications. Plus loin est introduite la notion d'opération, qui peut être vue de plusieurs manières comme cas particulier d'application, et inversement les applications sont des cas particuliers d'opérations. Les relations n-aires sont définies comme opérations à valeurs dans {vrai,faux}. Avec des termes x,y et un énoncé P on définit le terme (x,y)(P) comme valant x si P est vrai et y sinon. On justifie philosophiquement qu'on obtient bien des ensembles par les procédés: compréhension; image d'application; union (d'un ensemble d'ensembles); produit fini d'ensembles. Sont définies les chaînes de "et", celles de "ou", ainsi que les chaînes d'implications ou d'équivalences. A la fin on récapitule les règles de constructions admises des termes et énoncés.

Voir aussi ce résumé que j'ai écrit pour annoncer la mise au point de la première quarantaine de pages en décembre 2005 (que j'ai finalement encore retouchés par la suite). Voir cette discussion de forum "qu'est-ce qu'un ensemble" (novembre 2007) où je réexprime synthéthiquement mon avis sur la notion d'ensemble et la différence entre ensembles et classes, ainsi que les motivations générales de ce projet, et où vous pouvez poster vos commentaires.

Commentaires sur le texte 2

Le contenu est relativement traditionnel, mais toujours réalisé avec le plus grand soin, au-dessus de l'habitude. Seuls points particulièrement notables en comparaison de la tradition: 
Définition et propriétés du quantificateur d'unicité.
Exposition détaillée et commentée de l'axiome des parties, et de son statut et de sa signification exceptionnels: c'est le premier et principal postulat philosophiquement injustifié que certaines classes soient des ensembles, et ce fait est crucial car c'est de là que viennent toutes les indécidabilités des mathématiques. Ce n'est pas seulement un axiome mais aussi un enrichissement du langage de la théorie des ensembles par l'opérateur qui à tout ensemble associe l'ensemble de ses parties, sans lequel l'axiome seul serait impuissant.
Equivalence de cet "axiome" avec celui de la puissance d'ensembles.
J'ai oublié le qualificatif officiel des énoncés dont tous les quantificateurs sont bornés par des ensembles, quelqu'un pourrait-il me le rappeler ?

La traduction de toute relation entre deux ensembles en une application par fixation d'une variable, à savoir lors de la bijection canonique ℘(E×F) ≅ (℘(F))^E, est notée par une flèche style vecteur; de même avec une flèche gauche pour l'autre variable.

L'axiome du choix est exposé par motif de clarification mais il ne sera pas utilisé par la suite.

Commentaires sur le texte 3

Là viennent vraiment les choses sérieuses, une grande symphonie de mathématiques formelles faites d'une succession parfaite de formules, de définitions et de théorèmes, avec tout plein d'astuces renversantes raccourcissant toutes les démonstrations. Voilà donc une occasion précoce de goûter à des "vraies mathématiques" qu'on pourrait qualifier comme de haut niveau sauf que rien n'est fastidieux et cela n'utilise rigoureusement aucun autre prérequis que le contenu des textes précédents, pas même la notion de nombre entier qui est ici absente.
Mais à part ça, c'est bien gentil direz-vous, mais que diable viennent donc faire les correspondances de Galois dans un projet ayant vocation à se concentrer sur ce qui est indispensable aux mathématiques de base ?
Eh bien, même si cela peut sembler dans un premier temps être des choses compliquées en plus, il s'agit en fait d'un investissement qui sera nettement rentabilisé par la suite, en plus du fait de rendre parfaitement rigoureux tout ce qui peut l'être, à la place de certaines idées vaseuses et autres impasses habituellement commises:
- Les notions de bornes supérieures et inférieures entrent dans un cadre systématique naturel tant pour leurs définitions que leurs propriétés, qui en facilite l'usage.
- Il s'agit de structures et propriétés qui se retrouvent très souvent, notamment en algèbre et dans la notion d'espace topologique, ce qui permettra d'appliquer directement les résultats ici obtenus au lieu de les redémontrer à chaque fois comme le fait la tradition.
- La notion d'ensemble fini est définie rigoureusement et indépendemment sans dépendre de quelque axiome (en particulier, sans s'appuyer sur les nombres entiers), avec plusieurs propriétés importantes (étude qui sera complétée dans le texte 5).
- Le nécessaire pour trivialiser la démonstration du théorème de Cantor-Bernstein
- L'étude des relations bien-fondées permettra notamment dans les parties ultérieures: de formaliser la notion de terme comme système mathématique et en justifier l'interprétation; de comprendre l'énoncé de l'axiome de fondation dans l'axiomatique ZF; de justifier les définitions par récurrence; et de maîtriser plus rapidement les nombres ordinaux.
- Cela éclairera également les rapports entre fondement, dynamique et réalité dans la théorie des théories qui sera exposée au texte suivant.

Rapide historique des mathématiques

(petit ancien chapitre qui était dans le texte de maths et n'y était pas vraiment à sa place) 
La recherche en mathématiques a connu une progression accélérée dans l'histoire. Depuis l'étude de la géométrie par les Grecs, des progrès importants n'ont été réalisés qu'au cours de ces derniers siècles avec par exemple l'étude de la mécanique céleste (Newtondots ) puis de l'élec-tro-magnétisme, accompagnés d'outils d'analyse mathématique, et aussi de l'algèbre (résolution d'équa-tions, nombres complexes).  
La théorie des ensembles n'a été étudiée qu'au début du 20ème siècle par Cantor. C'est surtout au vingtième siècle que le développement des mathématiques et de la physique fondamentale a été explosif. En gros, les théories fondamentales de la science moderne au-delà des notions de base ont été découvertes dans la première moitié du siècle; puis, après une restructuration effectuée au milieu du siècle par le groupe Bourbaki (seulement en maths et non en physique), de très nombreux développements ont été réalisés dans la seconde moitié. 

Nous savons que le monde des mathématiques est infini et que la recherche ne s'arrêtera pas. Les voies de recherche possibles sont très nombreuses, leur multiplication étant désormais principalement limitée par le nombre de mathématiciens, alors qu'ils sont toujours plus nombreux et que l'outil informatique facilite la rédaction et la diffusion des travaux de recherche.
La recherche nécessite de se spécialiser dans un domaine, puisque l'acquisition par une seule personne de toutes les connaissances actuellement disponibles en mathématiques par exemple nécessiterait quelques milliers d'années d'études (!).

Cependant, en France, l'enseignement des mathématiques dans le secondaire (collège, lycée) et jusqu'aux premières années d'université reflète très mal cette richesse et ce foisonnement~: il est constitué d'un tronc commun qui n'a pratiquement plus évolué depuis la ``réforme des mathématiques modernes'' (dont la mise en place brutale, excessive et mal préparée vers 1968 a été assez désastreuse pour un grand nombre d'élèves de cette époque, suivie en quelques années d'un retour à une situation plus équilibrée), si ce n'est dans le sens de l'appauvrissement des contenus. 
La diversité et les derniers développements de la recherche en mathématiques ne s'expriment pratiquement plus qu'à partir du niveau Master (plutôt même deuxième année de Master).

Un grand nombre de mathématiciens restent en dehors de toute application aux autres sciences; certains même ont horreur de toute idée d'application, fiers de faire des mathématiques ``pures''; mais une bonne partie des domaines de recherche en mathématiques sont de près ou de loin susceptibles d'applications, notamment en Physique.

Calcul propositionnel

Constatant que je n'arrive pas (du moins actuellement) à concentrer mes efforts pour continuer assez vite la rédaction de mes textes, je me mets ici à brader quelques pistes de recherches, qui serviraient de base à la rédaction envisagée.

La structure habituelle des cours de calcul propositionnel est une horreur: un langage choisi arbitrairement (symboles "implique" et "non") qui aboutit à la nécessité d'une dizaine d'axiomes de calcul propositionnel choisis on ne sait comment (combien exactement, au fait ?) pour former un système complet d'axiomes (c'est-à-dire permettant de démontrer toute formule universellement valide). S'ensuit une démonstration de ce fait (théorème de complétude du calcul propositionnel) qui prend un certain nombre de pages. 
Or, tout cela est inutile, on pourrait faire beaucoup plus simple.

Il y a une manière de faire plus simple qui pendait pourtant au nez depuis longtemps, c'est la notion d'algèbre de Boole. 
Qu'est-ce qu'une algèbre de Boole ? C'est un anneau idempotent (i.e. où pour tout x, on a x.x=x). Or un théorème bien connu (utilisant l'axiome du choix; ou, pour le résultat ici, il suffit d'avoir un bon ordre sur l'ensemble des variables propositionnelles) dit que dans tout anneau non nul il existe un idéal maximal, et que donc en quotientant par cet idéal on obtient un corps. L'idempotence appliquée à ce corps donne que c'est Z/2Z.

Or, cette axiomatisation de la notion d'algèbre de Boole entre dans le cadre des algèbres universelles, donc toute égalité dans un tel anneau donné par générateurs et relations se démontre par une chaîne d'égalités dont chacune est la simple utilisation d'un axiome. 
Donc, si dans une algèbre de Boole donnée par générateurs et relations (donc une théorie du calcul propositionnelle), le 0 est égal au 1 (la théorie est auto-contradictoire), cela est démontrable suivant cet algorithme (et plus généralement si un élément est égal à 1, son égalité à 1 est démontrable). Sinon, l'anneau est non nul, donc il admet un morphisme dans Z/2Z (respectivement: toute proposition indémontrable a un contre-exemple).

Mais il y a encore d'autres manières de formuler les formules et les démonstrations qui collent naturellement à la nature de ce problème et qui devrait donc aboutir à des algorithmes plus puissants. 
D'une part, faut-il vraiment signaler ce qui devrait aussi crever les yeux, comme algorithme capable de vérifier en temps fini si une formule donnée entre variables propositionnelles est une tautologie ou pas, il suffit de prendre une à une toutes les combinaisons possibles des valeurs des variables et de regarder si ça marche dans tous les cas. C'est du bête calcul booléen que les ordinateurs sont capables de faire à toute vitesse. 
On peut rétorquer à cela que la complexité de ces calculs est exponentielle par rapport au nombre de variables, ce que je vous accorde. C'est donc bon pour des grandes formules qui répètent beaucoup les quelques mêmes variables, moins bon pour celles qui s'étendent à plus de variables, d'où l'intérêt d'un calcul formel sur les propositions.

Alors, voici comment implémenter un tel calcul de manière efficace: 
Définissons une formule propositionnelle F comme étant un ensemble fondé sur les variables propositionnelles (autrement dit tel que pour tout ensemble X auquel F appartient, il existe Y dans X dont l'intersection avec X est un ensemble de variables propositionnelles) et héréditairement fini (l'union de F, de ses éléments, des éléments de ses éléments,... est fini) 
(dans la suite, les symboles A,B,C désigneront de tels ensembles). 
Le singleton représente le non, l'ensemble représente le "ou" entre les négations. 
Ainsi, {A,B,C} signifie (non A ou non B ou non C), ou si on préfère, non(A et B et C). 
{A,B,{C}} signifie: ((A et B) implique C). 
On peut ajouter le vrai (V) et le faux (F) comme constantes propositionnelles, mais on peut aussi les construire comme étant: F={} (ensemble vide), V={{}}.

Ensuite, il faut introduire des règles de simplifications, chaque règle faisant passer d'une formule (en tant qu'ensemble) à une autre (un autre ensemble) plus simple qui lui est logiquement équivalente. Il me semble (à vérifier, je n'en suis pas sûr - ou bien en modifiant légèrement l'expression des règles du genre échanger A avec {A}) que la relation d'équivalence engendrée par ces règles est équivalente à: quelle que soit la succession de simplifications appliquées à partir de chacune jusqu'à ne plus pouvoir simplifier, on aboutir à la même formule. 
Ces règles sont les équivalences suivantes (le symbole ~ désignant l'équivalence tautologique entre énoncés): 
- tiers exclus: {{A}}~A 
ce qui donne notamment les simplifications: 
{{{A}},B}~{A,B} 
{{{A}},A}~{A} 
mais aussi avec deux: 
{{{A,B}},C}~{A,B,C} 
et en général, en notant u le symbole d'union, si A est un ensemble: 
{{A}}uB~AuB 
ce qui permet d'éliminer les singletons dans l'expression d'une formule hormis ceux des variables. 
- Tout V dans un ensemble peut être éliminé (mais on peut voir ça comme cas particulier du cas précédent à cause de la construction de V). Ainsi: 
{V,A}~{A}

- Tout F est absorbant: 
{F,A,B,...}~{F}~V

- Règle de substitution : Tout élément d'un ensemble est substituable à V à l'intérieur de tout autre élément (ça, je suis beaucoup moins sûr que ça passe la proposition ci-dessus). 
Par exemple: 
{A,{A,B}}~{A,{V,B}} 
{A,B,{{C,D},{D,A,{E,B,{C,D}}}}}~{A,B,{{C,D},{D,V,{E,V}}}} 
à son tour simplifiable...

Remarque: je n'avais d'abord formulé la règle de substitution que comme règle d'inférence entre formules démontrées, lesquelles n'étaient considérées que comme formant liste ouverte d'ensembles où chacun de ces ensembles est substituable par V dans les autres ensembles, sans remarquer que cette liste se comporte elle-même comme un ensemble parmi les autres. Pour que ça forme un système formel complet du calcul propositionnel, j'ai été amené à formuler l'"axiome d'Aristote": 
Si (A implique B) et (B implique C) alors (A implique C). 
Ce qui donne (en remplaçant C par sa négation): 
V~{{A,{B}},{B,C},A,C}}. 
qui rendait enfin le système complet. 
Mais je m'aperçois que la règle de substitution démontre l'axiome d'Aristote allègrement et rend donc son introduction inutile, sauf que je doute fort que l'équivalence de deux formules par la relation d'équivalence engendrée par ces règles (qui est en tout cas complète pour le calcul propositionnel) s'obtienne par égalités de leurs formes minimales (par simplifications) respectives (à vérifier).

Histoire de rigoler, ou de faire des cauchemars

Il y a un super paradoxe de la théorie des ensembles, mais dont je déconseille l'étude aux jeunes esprits qui risqueraient de passer des nuits blanches jusqu'à douter de la consistance des mathématiques ;-). Heureusement, la démonstration paradoxale en question étant assez ardue (et reposant sur des définitions et résultats standard omis ici), a de bonnes chances de n'être pas compris par ces esprits fragiles, en sorte de ne pas les affecter.

Remarque: il y a 2 autres sujets qui explorent essentiellement le même fond paradoxal, avec à peu près les mêmes tenants et aboutissants bien que sous des aspects un peu différents par ailleurs, et, peut-on dire, complémentaires:
1)  le paradoxe de Banach-Tarski
2) L'axiome de symétrie de Freiling

Voici: 
Croyez-vous à l'axiome du choix ? Rappelons un de ses énoncés: tout produit d'ensembles non vides est non vide. Intuitivement, si on pense que chaque ensemble de parties d'un ensemble contient vraiment toutes les parties, même celles qu'on ne peut pas construire, alors il semble raisonnable de penser que l'axiome du choix est vrai. 
Plus précisément, cela s'appuie sur l'intuition suivante: pour chacun des ensembles non vides en question, on tire "au hasard" un de ses éléments, et l'ensemble de tous ces hasards formera l'élément recherché. Bien. 
Pendant qu'on y est, on peut aussi tirer au hasard un nombre réel entre 0 et 1: tirons chaque chiffre de son développement binaire au hasard, et le tour est joué. C'est d'ailleurs à celà justement qu'on reconnaît que l'ensemble R des nombres réels qu'on manipule est bien l'ensemble de "tous les réels" sans en oublier: par le fait que si on tire un nombre réel au hasard par ce procédé, on tombe effectivement dedans.

En effet, un faux ensemble des réels (un ensemble de certains réels stable par les opérations) devrait être carrément plus petit puisqu'en le translatant par un réel 
qui n'est pas dedans on obtient un autre ensemble aussi gros et disjoint du premier. Donc son anomalie serait repérable par le fait qu'en tirant un réel au hasard, on n'aurait pas plus de chance de tomber dans l'un que dans l'autre, soit finalement une chance nulle. Bien.

Ensuite, un théorème déduit de l'axiome du choix dit que tout ensemble admet un bon ordre, en particulier l'ensemble des réels entre 0 et 1. 
Choisissons donc un tel bon ordre o sur [0,1], et définissons l'application f de [0,1] dans lui-même défini par: 
f(x)= la probabilité qu'un réel tiré au hasard dans [0,1] soit plus petit que x pour l'ordre o.

De manière évidente, f est une fonction croissante de [0,1] muni de l'ordre o vers [0,1] muni de l'ordre habituel. 
Or, un théorème dit que toute fonction croissante d'un ensemble bien ordonné vers R ne croît que par discontinuités, c'est-à-dire que sa variation est la somme sur x des f(x) - (sup f(y) pour y<x) (vérifiez !) 
Maintenant, posons-nous la question: si on prend deux réels x et y au hasard dans [0,1], quelle est la probabilité que x<y pour l'ordre o ? 
Si on tire d'abord x puis y, on trouve 1/2(1+somme des carrés des discontinuités). 
Mais si on tire y avant x...

Remarque: la construction d'un bon ordre sur [0,1] nécessite de prendre un réel dans TOUTE PARTIE non vide de [0,1], ce qui est une autre affaire que de tirer chaque décimale binaire au hasard. Mais cela ne devrait pas gêner en fait, puisqu'en restreignant le tirage aux parties P telles qu'un nombre aléatoire aura au moins une chance sur deux de tomber dedans (ainsi, si on ne tombe pas dedans la première fois il suffit de recommencer), on aboutit de toute manière à une variante du même paradoxe: cela donne un bon ordre sur une partie de [0,1] sur laquelle on a une chance sur deux de tomber. A moins que, bien qu'on ait toutes les chances de trouver un élément d'une partie P donnée à force de réessayer si à chaque fois on a une chance sur 2 de tomber dedans, le risque ici nul de ne jamais y arriver risque de devenir beaucoup plus grand, quand il s'accumule sur l'ensemble de toutes les parties P en question. Mais passons.

En fait, la convention communément admise veut que tirer un réel dans chaque partie soit possible conformément à l'axiome du choix, mais que tirer SUIVANT UNE LOI DE PROBABILITE DONNEE (à savoir ici, de manière uniforme), un nombre réel aléatoire dans [0,1] soit impossible. 
Une loi de probabilité dans un tirage aléatoire étant uniquement quelque chose de défini comme approximations successives (tirer les 100 premières décimales au hasard, continuer avec les 1000 suivantes...) et non comme quelque chose d'actuellement infini.

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Autres:
Le cours de théorie des ensembles de Martial Leroy est provisoirement hébergé ici.
Commentaires des textes de D.Moiseti sur la théorie des ensembles
Voir aussi un bout de mon cours d'algèbre linéaire qui n'était pas super adapté au niveau des étudiants de 2ème année ici.

 

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Retour au site : Envol vers la physique mathématique
dont :
Relativité restreinte suivant une nouvelle approche
Géométries

Edito
Opinions diverses
M'écrire

Source : http://spoirier.lautre.net/logique.htm#prop

Séminaire d'introduction à la logique (Paris)

Page des mini-cours

Quelques mots sur le séminaire d'introduction à la logique...

Du 4 mars 2002 au 10 juin 2002, a eu lieu à  Paris 6 et  Paris 7 sur le site de Chevaleret un cours d'introduction à la logique. Les exposants étaient hormis moi,  Abderezak Ould Houcine et Julien Page .

Cette formation accélérée, destinée à des doctorants ainsi qu'à tout mathématicien intéressé, avait pour but de familiariser l'auditoire avec les principaux outils de la logique.

Ce projet était proposé dans le cadre des formations de l' Ecole Doctorale de Paris .

Je tiens à remercier Messieurs Lascar , directeur de l'équipe de logique de Paris 7 et Maday, directeur de l'école doctorale de Paris, pour leur soutien et leurs encouragements.
Des remerciements tout particulier à Jean-Pierre Ressayre et Benoît Sanchez pour leur article, à Richard Lassaigne pour ses conseils et finalement à tous les participants.
Enfin, pour finir, je tiens personnellement à remercier Houcine et Julien, pour avoir accepté de se lancer dans cette aventure et Marie, pour tout...

Pour ceux qui veulent les cours...

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Cours du lundi 4 mars 2002, exposé par Alexandre Rambaud

Théorie des modèles : 1ère partie

Cours du 4 mars :

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Cours du lundi 11 mars 2002, exposé par Julien Page

Théorie des modèles : 2ème partie

Cours du 11 mars :

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Cours du lundi 18 mars 2002, exposé par Abderezak Ould Houcine

Récursivité : 1ère partie

Cours du 18 mars :

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Cours du lundi 25 mars 2002, exposé par Alexandre Rambaud

Récursivité : 2ème partie

Cours du 25 mars :

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Cours du lundi 8 avril 2002, exposé par Julien Page

Théorie des ensembles : 1ère partie

Cours du 8 avril :

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Cours du lundi 29 avril 2002, exposé par Julien Page

Théorie des ensembles : 2ème partie

Cours du 29 avril :

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Cours du lundi 6 mai 2002, exposé par Alexandre Rambaud

Théorie des ensembles : 3ème partie

Cours du 6 mai :

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Cours du lundi 13 mai, exposé par Abderezak Ould Houcine

Récursivité : 3ème partie

Cours du 13 mai :

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Cours du lundi 27 mai, exposé par Abderezak Ould Houcine

Récursivité : 4ème partie

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Source : http://www.logique.jussieu.fr/~rambaud/archives-paris.html