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05/12/2010

Bell Number

Bell Number

The number of ways a set of elements can be partitioned into nonempty subsets is called a Bell number and is denoted (not to be confused with the Bernoulli number, which is also commonly denoted ).

For example, there are five ways the numbers can be partitioned: , , , , and , so . (The explicit set partitions on can be enumerated using SetPartitions[n] in theMathematica package Combinatorica` .)

, and the first few Bell numbers for , 2, ... are 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, ... (Sloane's A000110). The numbers of digits in for , 1, ... are given by 1, 6, 116, 1928, 27665, ... (Sloane's A113015).

Bell numbers are implemented in Mathematica as BellB[n].

Though Bell numbers have traditionally been attributed to E. T. Bell as a result of the general theory he developed in his 1934 paper (Bell 1934), the first systematic study of Bell numbers was made by Ramanujan in chapter 3 of his second notebook approximately 25-30 years prior to Bell's work (B. C. Berndt, pers. comm., Jan. 4 and 13, 2010).

The first few prime Bell numbers occur at indices , 3, 7, 13, 42, 55, 2841, ... (Sloane's A051130), with no others less than (Weisstein, Apr. 23, 2006). These correspond to the numbers 2, 5, 877, 27644437, ... (Sloane's A051131). was proved prime by I. Larrosa Canestro in 2004 after 17 months of computation using the elliptic curve primality proving program PRIMO.

Bell numbers are closely related to Catalan numbers. The diagram above shows the constructions giving and , with line segments representing elements in the same subset and dots representing subsets containing a single element (Dickau). The integers can be defined by the sum

(1)

where is a Stirling number of the second kind, i.e., as the Stirling transform of the sequence 1, 1, 1, ....

The Bell numbers are given in terms of generalized hypergeometric functions by

(2)

(K. A. Penson, pers. comm., Jan. 14, 2007).

The Bell numbers can also be generated using the sum and recurrence relation

(3)

where is a binomial coefficient, using the formula of Comtet (1974)

(4)

for , where denotes the ceiling function. Dobiński's formula gives the th Bell number

(5)

A variation of Dobiński's formula gives

			(6)
			(7)

where is a subfactorial (Pitman 1997). Another double sum is given by

(8)

The Bell numbers are given by the generating function

			(9)
			(10)
			(11)
			(12)
			(13)
			(14)

and the exponential generating function

(15)

An amazing integral representation for was given by Cesàro (1885),

			(16)
			(17)

(Becker and Browne 1941, Callan 2005), where denotes the imaginary part of .

The Bell number is also equal to , where is a Bell polynomial.

de Bruijn (1981) gave the asymptotic formula

(18)

Lovász (1993) showed that this formula gives the asymptotic limit

(19)

where is given by

(20)

with the Lambert W-function (Graham et al. 1994, p. 493). Odlyzko (1995) gave

(21)

Touchard's congruence states

(22)

when is prime. This gives as a special case for the congruence

(23)

for prime. It has been conjectured that

(24)

gives the minimum period of (mod ). The sequence of Bell numbers ${B_1,B_2,...}$ is periodic (Levine and Dalton 1962, Lunnon et al. 1979) with periods for moduli , 2, ... given by 1, 3, 13, 12, 781, 39, 137257, 24, 39, 2343, 28531167061, 156, ... (Sloane's A054767).

The Bell numbers also have the curious property that

			(25)
			(26)

(Lenard 1992), where the product is simply a superfactorial and is a Barnes G-function, the first few of which for , 1, 2, ... are 1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... (Sloane's A000178).

REFERENCES:

Becker, H. W. and Browne, D. E. "Problem E461 and Solution." Amer. Math. Monthly 48, 701-703, 1941.

Bell, E. T. "Exponential Numbers." Amer. Math. Monthly 41, 411-419, 1934.

Blasiak, P.; Penson, K. A.; and Solomon, A. I. "Dobiński-Type Relations and the Log-Normal Distribution." J. Phys. A: Math. Gen. 36, L273-278, 2003.

Callan, D. "Cesàro's integral formula for the Bell numbers (corrected)." Oct. 3, 2005. http://www.stat.wisc.edu/~callan/papersother/cesaro/cesar....

Cesàro, M. E. "Sur une équation aux différences mêlées." Nouv. Ann. Math. 4, 36-40, 1885.

Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1974.

Conway, J. H. and Guy, R. K. In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 91-94, 1996.

de Bruijn, N. G. Asymptotic Methods in Analysis. New York: Dover, pp. 102-109, 1981.

Dickau, R. M. "Bell Number Diagrams." http://mathforum.org/advanced/robertd/bell.html.

Dickau, R. "Visualizing Combinatorial Enumeration." Mathematica in Educ. Res. 8, 11-18, 1999.

Gardner, M. "The Tinkly Temple Bells." Ch. 2 in Fractal Music, Hypercards, and More Mathematical Recreations from Scientific American Magazine.New York: W. H. Freeman, pp. 24-38, 1992.

Gould, H. W. Bell & Catalan Numbers: Research Bibliography of Two Special Number Sequences, 6th ed. Morgantown, WV: Math Monongliae, 1985.

Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

Lenard, A. In Fractal Music, Hypercards, and More Mathematical Recreations from Scientific American Magazine. (M. Gardner). New York: W. H. Freeman, pp. 35-36, 1992.

Larrosa Canestro, I. "Bell(2841) Is Prime." Feb. 13, 2004. http://groups.yahoo.com/group/primenumbers/message/14558.

Levine, J. and Dalton, R. E. "Minimum Periods, Modulo , of First Order Bell Exponential Integrals." Math. Comput. 16, 416-423, 1962.

Lovász, L. Combinatorial Problems and Exercises, 2nd ed. Amsterdam, Netherlands: North-Holland, 1993.

Lunnon, W. F.; Pleasants, P. A. B.; and Stephens, N. M. "Arithmetic Properties of Bell Numbers to a Composite Modulus, I." Acta Arith. 35, 1-16, 1979.

Odlyzko, A. M. "Asymptotic Enumeration Methods." In Handbook of Combinatorics, Vol. 2 (Ed. R. L. Graham, M. Grötschel, and L. Lovász). Cambridge, MA: MIT Press, pp. 1063-1229, 1995. http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/asymptotic.enum.pdf.

Penson, K. A.; Blasiak, P.; Duchamp, G.; Horzela, A.; and Solomon, A. I. "Hierarchical Dobiński-Type Relations via Substitution and the Moment Problem." 26 Dec 2003. http://www.arxiv.org/abs/quant-ph/0312202/.

Pitman, J. "Some Probabilistic Aspects of Set Partitions." Amer. Math. Monthly 104, 201-209, 1997.

Rota, G.-C. "The Number of Partitions of a Set." Amer. Math. Monthly 71, 498-504, 1964.

Sixdeniers, J.-M.; Penson, K. A.; and Solomon, A. I. "Extended Bell and Stirling Numbers from Hypergeometric Functions." J. Integer Sequences 4, No. 01.1.4, 2001. http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL4/SIXDENIERS/bell.html.

Sloane, N. J. A. Sequences A000110/M1484, A000178/M2049, A051130, A051131, A054767, and A113015 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Stanley, R. P. Enumerative Combinatorics, Vol. 1. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 33-34, 1999.

Stanley, R. P. Enumerative Combinatorics, Vol. 2. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 13, 1999.

Wilson, D. "Bell Number Question." math-fun@cs.arizona.edu mailing list. 16 Jul 2007.

CITE THIS AS:

Weisstein, Eric W. "Bell Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BellNumber.html

Source : http://mathworld.wolfram.com/BellNumber.html

Nombre de Bell

Pour les articles homonymes, voir Bell.

En mathématiques, le n-ième nombre de Bell, qui porte le nom de Eric Temple Bell, est le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments ou, ce qui revient au même, le nombre derelations d'équivalence sur un tel ensemble.

Sommaire

[masquer]

Premières propriétés [modifier]

Ces nombres forment la suite A000110 de l’OEIS, dont on peut calculer à la main les premiers termes :

$B_0=1,quad B_1=1,quad B_2=2,quad B_3=5,quad B_4=15,quad B_5=52,quad B_6=203,quadldots$

Pour le premier, on se convainc qu'il existe exactement une partition de l'ensemble vide : la partition vide, formée d'aucune partie. En effet ses éléments (puisqu'il n'y en a aucun) sont bien non vides et disjoints deux à deux, et de réunion vide.

Les nombres de Bell peuvent aussi se calculer de proche en proche par la relation de récurrence suivante :

$B_{n+1}=sum_{k=0}^{n}{n choose k} B_k~,$

qui peut se démontrer ainsi : ayant fixé un élément x dans un ensemble à n+1 éléments, on trie les partitions suivant le nombre k d'éléments hors de la partie contenant x. Pour chaque valeur de k de 0 à n, il faut donc choisir k éléments parmi les n éléments différents de x, puis s'en donner une partition.

Série génératrice [modifier]

Pour manipuler tous les nombres de Bell, on peut s'intéresser aux séries génératrice et génératrice exponentielle associées, qui sont respectivement :

$G(X)=sum_n B_nX^nqquadtext{et}qquad E(X)=sum_n frac{B_n}{n!}X^n=1+X+2 frac{X^2}{2!}+5 frac{X^3}{3!} + 15 frac{X^4}{4!} + ldots$

La première est par exemple¹ utilisée pour étudier les classes de congruence des $B n$ . Quant à la seconde série formelle, elle satisfait l'équation différentielle $E'(X) = e X E (X)$ : on le constate en écrivant la formule de récurrence sous la forme

$(n+1)frac{B_{n+1}}{(n+1)!}=sum_{k+l=n}frac{1}{k!}frac{B_l}{l!}~.$

On en déduit qu'elle est égale à $e^{e^X}$ à une constante multiplicative près (qu'on trouve par identification du terme constant) :

$E(X)=e^{e^X-1}~.$

L'identification des coefficients conduit à la formule de Dobinski :

$B_n=frac{1}{e}sum_{k=0}^infty frac{k^n}{k!}$

qui est le moment d'ordre n d'une loi de Poisson de paramètre 1.

D'autres propriétés [modifier]

Ils satisfont également à la congruence de Touchard : si p est un nombre premier quelconque alors

$B_{p+n}equiv B_n+B_{n+1}mod p.$

C'est une relation de congruence modulo p.

Chaque nombre de Bell est une somme des nombres de Stirling de deuxième espèce

$B_n=sum_{k=1}^n S (n, k)=sum_{k=1}^n left{begin{matrix} n k end{matrix}right}.$

Plusieurs formules asymptotiques pour les nombres de Bell sont connues ; l'une d'elles est

$B_n sim frac{1}{{sqrt n }}left[ {frac{n}{W(n)}} right]^{n + frac{1}{2}} e^{frac{n}{W(n)} - n - 1},$

où W est la fonction W de Lambert ; on obtient une approximation moins précise, mais plus commode d'emploi, à l'aide de l'encadrement $ln x - lnln x < W (x) < ln x$ ; on pourra également remarquer la similitude de l'approximation précédente avec la formule de Stirling².

Voir Aussi [modifier]

Partition d'un entier qui correspond au nombre de partitions d'un ensemble à n éléments indiscernables.

Notes et références [modifier]

↑ Daniel Barsky et Bénali Benzaghou, « Nombres de Bell et somme de factorielles », dans Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, vol. 16, 2004, p. 1-17 [ [pdf]texte intégral [archive] (page consultée le 1^er octobre 2010) ]
↑ On trouvera d'autres approximations de $B n$ sur (en) Eric W. Weisstein, Bell Numer [archive], MathWorld..

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Géométrie vivante ou L'échelle de Jacob du mathématicien

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Nombre double de Mersenne

En mathématiques, un nombre double de Mersenne est un nombre de Mersenne de la forme

$M_{M_n} = 2^{2^n-1}-1$

où n est un entier positif.

Les premiers petits nombres doubles de Mersenne sont :

$M_{M_1} = M_1 = 1,$

$M_{M_2} = M_3 = 7,$

$M_{M_3} = M_7 = 127,$

$M_{M_4} = M_{15} = 32767 = 7 times 31 times 151,$

$M_{M_5} = M_{31} = 2147483647,$

$M_{M_6} = M_{63} = 9223372036854775807 = 7^2 times 73 times 127 times 337 times 92737 times 649657,$

$M_{M_7} = M_{127} = 170141183460469231731687303715884105727,$

Un nombre double de Mersenne qui est premier est appelé un nombre premier double de Mersenne. Puisque un nombre de Mersenne $M_n,$ ne peut être premier que si n est premier (condition necessaire mais pas suffisante), (voir nombre de Mersenne pour une démonstration de ceci), un nombre double de Mersenne $M_{M_n},$ est premier seulement si $M_n,$ est premier. Les premières valeurs de n pour lesquelles ceci est vrai sont n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31. De celles-ci, $M_{M_n},$ est connu pour être premier pour n = 2, 3, 5, 7; pour n = 13, 17, 19, et 31, des facteurs explicites ont été trouvés. Si un autre nombre premier double de Mersenne est un jour trouvé, il serait presque certainement le plus grand nombre premier jamais connu.

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_double_de_Mersenne

Définitions concernant les suites aliquotes

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La fonction σ

Soit n un entier naturel.
σ(n) est la somme de tous les diviseurs de n. C’est une fonction largement étudiée en théorie des nombres.
Par exemple, σ(10) = 1 + 2 + 5 + 10 = 18

Cliquer ici pour en savoir plus sur La fonction σ.

La fonction σ'

Soit n un entier naturel.
σ'(n) est la somme des parties aliquotes de n, c'est-à-dire la somme de ses diviseurs hormis lui-même.
σ'(n) = σ(n) - n
Par exemple, σ'(10) = 1 + 2 + 5 = 8

Les suites aliquotes

Une suite aliquote s’obtient en prenant un nombre entier n de départ et en itérant à chaque étape avec la fonction σ’.
Exemple : La suite aliquote de départ 10 est la suivante : 10 → 8 → 7 → 1
En effet, σ'(10) = 8, σ'(8) = 7 et σ'(7) = 1.

Les antécédents aliquotes

Soient n et N des entiers naturels.
Si σ'(N) = n, alors N est un antécédent aliquote de n.

Deux cas sont possibles :
Soit l’entier n peut avoir 0 antécédents aliquotes : il s’agit alors d’un nombre intouchable dont Erdös a démontré qu’il en existe une infinité. Ces nombres sont référencés par Neil Sloan (suite A005114). La suite de ces nombres commence ainsi : 2, 5, 52, 88, 96, …
Soit l’entier n peut avoir un ou plusieurs antécédents aliquotes. La suite d’entiers donnant pour chaque entier naturel son nombre d’antécédents aliquotes est référencée par Neil Sloan : A048138. Elle commence ainsi : 0, 1, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2 …

Pour déterminer le nombre d’antécédents aliquotes d’un nombre entier n, il faut à priori tester des nombres entiers N compris entre 1 et (n-1)² inclus. Le lecteur comprendra pourquoi en réfléchissant 5 minutes. Mais en prenant quelques précautions, on peut se contenter de tester des entiers entre 1 et n^3/2/2.5. Cela représente un gain de temps inestimable. Nous présentons ici cette méthode de détermination du nombre d’antécédents aliquotes de chaque entier naturel compris entre 1 et le n désiré, méthode qui est pour l'instant la plus rapide que nous ayons trouvée.

Remonter une suite aliquote à l’envers :

Nous avons fait quelques tentatives pour remonter des suites aliquotes à l’envers. Cela est très intéressant, surtout dans le cas particulier des nombres impairs. En effet : si la conjecture de Goldbach est vraie, alors une des conséquences est qu'on peut remonter une suite aliquote à l'envers d’autant d’étapes que l’on veut et de manière strictement monotone ! Pour en savoir plus, cliquer ici : remonter une suite aliquote à l'envers.

Signalons encore que notre intuition nous fait sentir que les suites aliquotes qui démarrent sur un nombre intouchable semblent fondamentales, car elles ne peuvent être des parties de suites aliquotes plus longues !

Dernière modification : Septembre 2010

Source : http://www.aliquotes.com/definitions.htm

Suite aliquote

En arithmétique, une suite aliquote est une suite d'entiers dans laquelle chaque nombre est la somme des diviseurs propres¹ de son prédécesseur. Quand la suite atteint 1, elle s'arrête car 1 ne possède pas de diviseur propre.

Ainsi la suite commençant à 10 se comporte de la manière suivante :

u 0 = 10

les diviseurs propres de 10 sont 1, 2 et 5.

u 1 = 1 + 2 + 5 = 8

les diviseurs propres de 8 sont 1, 2 et 4

u 2 = 1 + 2 + 4 = 7

7 ne possède qu'un diviseur propre 1

u 3 = 1

Sommaire

[masquer]

Cas particuliers [modifier]

L'étude des suites aliquotes met en évidence les cas particuliers suivants

si $u 0$ est un nombre premier alors $u 1 = 1$ et la suite s'arrête.
si $u 0$ est un nombre parfait alors la suite est constante
si $u 0$ est un nombre amical, alors $u 1$ est son nombre amical associé et la suite boucle sur ces deux valeurs
si $u 0$ est un nombre sociable alors la suite boucle sur tous les nombres sociables associés à $u 0$

Relation de récurrence [modifier]

La suite est définie par la relation de récurrence suivante : pour tout entier n, si $u n$ est différent de 1

u n + 1 = f (u n)

où f est définie de la manière suivante : si N est un entier différent de 1 dont la décomposition en facteurs premiers est

$N= prod_{i=1}^kp_i^{alpha_i}$

$f(N)=prod_{i=1}^kfrac{p_i^{alpha_i+1}-1}{p_i-1} - N$

On remarque que f est définie par

f (N) = s (N) - N

où s est la fonction diviseur d'ordre 1

Observations et conjectures [modifier]

Toutes les suites aliquotes dont le premier terme est un nombre inférieur ou égal à 100 ont été étudiées et s'arrêtent à 1, sauf les suites constantes commençant par les nombres parfaits 6 et 28. La suite la plus longue est alors obtenue pour un premier terme égal à 30.

Une conjecture importante, due à Catalan, stipule qu'une suite aliquote, ou bien se termine à 1, ou bien finit par être constante sur un nombre parfait, ou périodique sur une famille denombres sociables.

Cette conjecture ne fait pas l'unanimité. En effet, parmi les suites dont le premier terme est un nombre inférieur ou égal à 1000, 5 suites n'ont toujours pas pu être explorées jusqu'à leur terme. Ce sont les suites commençant par 276, 552, 564, 660 et 966. Ces nombres sont appelés les« cinq de Lehmer »². Il existe de même 12 nombres (les douze de Godwin) compris entre 1000 et 2000 pour lesquels les suites aliquotes associées ne sont pas connues.

Il existe des suites aliquotes atteignant des termes astronomiques comme la suite démarrant à 3630 atteignant un nombre à 100 chiffres pour se terminer plus tard à 1³. Hendrick Lenstra a démontré que l'on pouvait toujours trouver une suite aliquote croissante sur n termes consécutifs, quelle que soit la valeur de n.

La quantité $frac{u_{n+1}}{u_n}$ a, elle aussi, été étudiée. La famille des $frac{f(N)}{N}$ n'est pas bornée mais Jean-Luc Garambois conjecture que la moyenne des $frac{f(N)}{N}$ converge vers $(π 2 - 6) / 6$ .

On peut prouver, grâce à la relation de récurrence, que la suite ne change de parité que si l'un des termes s'écrit $a 2$ ou $2 a 2$ .

Bibliographie [modifier]

Jean-Paul Delahaye, Les inattendus mathématiques, Nombres amiables et suites aliquotes

Sites internet [modifier]

www.aliquotes.com

Notes et références [modifier]

↑ Les diviseurs propres de l'entier naturel n non nul, sont les diviseurs positifs de n strictement inférieurs à n
↑ Jean-Paul Delahaye, Les inattendus mathématiques, Nombres amiables et suites aliquotes. (ISBN 2842450736)
↑ (en) Manuel Benito, Wolfgang Creyaufmüller, Juan Varona et Paul Zimmermann , Aliquot sequence 3630 ends after reaching 100 digits [archive]

Catégories : Suite d'entiers | Arithmétique élémentaire

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_aliquote

Séminaire Institut de Recherche Mathématique Avancée

Séminaire Quantique - Lundi 06-12-2010 (11:00) - Salle de séminaires IRMA
Hidekazu Furusho (Nagoya U) : Tree Hopf algebra and motivic Hopf algebra

Séminaire GT3 - Lundi 06-12-2010 (14:00) - Salle de séminaires IRMA
Albert Marden (Minnesota) : Holomorphic plumbing coordinates for Teichmüller and compactified moduli space.

ABSTRACT: Start with one or two Riemann surfaces which have
hyperbolic metrics of finite area: finitely punctured surfaces.
Classical plumbing is to choose (i) a pair of the punctures p,q, (ii) small neighborhoods
of them, and then (iii) cut the neighborhoods out and join their boundaries together,
thus creating either a handle, or
joining two surfaces together. When this process is done precisely, it depends on an
analytic parameter t. I will describe how this classical
construction has an analytic extension to become global coordinates of Teichmueller
space. And how an analytic compatification of the quotient moduli space follows. I will
show why, to carry out the proofs, one is forced to enter the seemingly unrelated world
of hyperbolic 3-manifolds.
The exposition covers part of ongoing joint work with Cliff Earle.

Séminaire Arithmétique et géométrie algébrique - Lundi 06-12-2010 (14:00) - Salle de séminaires 309
G. Christol (Jussieu) : la fonction rayon de convergence : un exemple éclairant

Le but de l'exposé est d'illustrer une conjecture récente de Baldassarri

disant que la fonction rayon de convergence d'une équation différentielle p-adique

est entièrement déterminée par ses valeurs sur un sous arbre.

Séminaire Géométrie symplectique et applications - Lundi 06-12-2010 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
Klaus Niederkruger (Université Paul Sabatier, Toulouse) : Remplissages faibles en géométrie de contact (collaboration avec P. Ghiggini et P. Massot)

De façon intuitive il faut penser à des variétés de contact comme des bords de variétés
symplectiques. Il y a plusieurs options pour les conditions de compatibilité demandées
entre la structure sur le bord et la structure à l'intérieur et on obtient en dimension
3/4 une hiérarchie des définitions :

remplissage faible, remplissage fort, remplissage exact, remplissage de Stein,

où les conditions deviennent de plus en plus restrictives.
En grandes dimensions, il semblait que la remplissabilité faible et forte étaient
équivalentes, mais c'était dû à une fausse généralisation des idées en dimension trois.
On propose une définition alternative est on montre
(1) Il y a en toute dimension des variétés de contact qui sont faiblement mais pas
fortement remplissables.
(2) Toute structure de contact peut être modifieée localement pour qu'elle ne soit même
plus faiblement remplissable.

Séminaire Calcul stochastique - Mercredi 08-12-2010 (11:00) - Salle de séminaires IRMA
Pierre Patie (Bruxelles) : Quelques résultats sur la fonctionnelle exponentielle des processus de Lévy.

La fonctionnelle exponentielle des processus de Lévy joue un rôle prépondérant dans de nombreux champs des mathématiques appliquées et a suscité un vif intérêt ces deux dernières décennies. Nous commencerons par un survol des résultats connus sur la loi de cette variable aléatoire. Ensuite, nous montrerons que, lorsque le processus de Lévy est spectralement négatif, la loi la fonctionnelle exponentielle est absolument continue avec une densité indéfiniment différentiable qui s’exprime à l'aide d’une série entière.

Séminaire Doctorants - Jeudi 09-12-2010 (16:00) - Salle de séminaires IRMA
Jean Gutt : Profondeur

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Christian Selinger (Luxembourg) : Regularized Laplacian on smooth Wasserstein space above the unit circle.

The space of probability measures on Riemannian manifolds endowed with the Wasserstein distance has recently been identified as an infinite-dimensional Riemannian manifold. Furthermore geodesic equations and second order calculus on this space have been developed. In continuity of these ideas we propose a Zeta function regularized Laplacian for the space of smooth positive densities on the unit circle and show links to the Wasserstein diffusion constructed by Sturm/von Renesse.

Groupe de travail Arithmétique et géométrie algébrique - Vendredi 10-12-2010 (13:30) - Salle de séminaires 309
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also including the semisimple case $A_1 times A_1$), the Gr"obner basis
property yields a basis of skein diagrams called ``webs". The basis webs
are defined by an interesting non-positive curvature condition.

I will discuss a new connection between these spiders and the geometric
Satake correspondence, which relates the representation category of a
simple Lie algebra to an affine building of the Langlands dual algebra.
In particular, any such building is $CAT(0)$, which seems to explain the
non-positive curvature of basis webs.

(Joint work with Joel Kamnitzer and Bruce Fontaine.)

Séminaire Equations aux dérivées partielles - Lundi 13-12-2010 (14:00) - A confirmer
Pierre Morel (Statistical and Plasma Physics Laboratory, Bruxelles) : turbulence girocinétique : diagnostiques et modèles pour sa description numérique

Attention, jour inhabituel
Seule la salle reste a etre confirmee

Séminaire Géométrie symplectique et applications - Lundi 13-12-2010 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
Juan-Carlos Alvarez-Paiva (Lille) : Inégalités isosystoliques en géométrie de contact et une question de Viterbo.

Il y a dix ans C. Viterbo demanda si le volume d'un corps convexe
$K$ dans $R^{2n}$ de capacité $pi$ est toujours supérieur ou
égal à $pi^n / n!$, le volume de la boule unitaire. Si nous prenons la capacité
de Hofer-Zehnder, le problème se réduit à estimer supérieurement l'action
d'une caractéristique fermée sur le bord $partial K$ en termes du volume
de $K$.

Le but de cet exposé est de présenter trois résultats partiels, obtenus
conjointement avec Florent Balacheff, autour de cette question.

Le premier résultat implique que la question de Viterbo a une solution
affirmative infinitésimalement :

Théorème 1. Soit $K$ un corps convexe à bord lisse dont toutes les
caractéristiques sur $partial K$ sont fermées et ont la même action. Si
$K(s)$ est une déformation lisse de $K$ telle que la capacité de
Hofer-Zehnder reste constante, alors $s = 0$ est un point critique de la
fonction volume $s mapsto {rm vol}(K(s)$.

Le deuxième résultat (beaucoup plus facile) montre que si l'estimation
entre capacité et volume est optimale pour un corps convexe $K$ à bord
lisse, alors le corps doit être très semblable à l'image symplectique
d'une boule :

Théorème 2. Si les caractéristiques de $partial K$ ne sont pas toutes
fermées avec la même action, alors on peut trouver une déformation lisse
$K(s)$ telle que la capacité de Hofer-Zehnder reste constante et pour
laquelle la dérivée de ${rm vol}(K(s))$ est négative au point $s = 0$.

Finalement, nous montrerons que pour les corps convexes dans
$mathbb{R}^4$ qui ont quelques symétries la question de Viterbo a une
réponse positive:

Théorème 3. Identifions $mathbb{R}^4$ avec l'algèbre de quaternions
$mathbb{H}$. Si un corps convexe $K subset mathbb{H}$ de capacité $pi$
est invariant par multiplication (à droite) par les quaternions unitaires
$i$ et $j$ (et donc par le groupe fini ${pm 1, pm i, pm j, pm k }$),
alors le volume de $K$ est supérieur ou égal à $pi^2/2$. En plus, si on a
l'égalité et le bord de $K$ est lisse, alors toutes les caractéristiques
sur $partial K$ sont fermées et ont la même action.

Séminaire Statistiques - Mardi 14-12-2010 (14:00) - Salle de séminaire 418
Christian Derquenne (EDF) : Analyse factorielle et classification automatique en présence de données manquantes

Séminaire Calcul stochastique - Vendredi 17-12-2010 (11:15) - Salle de séminaires IRMA
Alano Ancona (Orsay) : Critères de régularité fine (à la Dynkin) pour des opérateurs de Schrödinger.

Séminaire GT3 - Lundi 03-01-2011 (14:00) - Salle de séminaires IRMA
Constantin Vernicos (Montpellier) : Géométrie de Hilbert des polytopes convexes

Séminaire Géométrie symplectique et applications - Lundi 10-01-2011 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
Alexandru Oancea (IRMA) : A préciser

Séminaire Statistiques - Mardi 11-01-2011 (14:00) - Salle de séminaire 418
Bruno Lecoutre (Université de Rouen) : à préciser

Séminaire Equations aux dérivées partielles - Mardi 11-01-2011 (14:00) - Salle de séminaires 309
Victorita Dolean (Laboratoire Dieudonné, Université de Nice) : Methodes de preconditionnement pour des systemes d'EDPs en utilisant des outils algebriques

Le but est l'utilisation de méthodes algébriques telles que les formes
normales de Smith et les bases de Gröbner dans le
développement de nouvelles méthodes numériques pour l’étude de systèmes
d’équations aux dérivées partielles. Cet étude a pour but la combinaison des
méthodes d’algèbre constructive, de calcul formel et d'analyse numérique dans
l’étude de problèmes tels que les méthodes de décomposition de domaine (e.g.,
développement de nouveaux algorithmes symboliques-numériques et de
logiciels dédiés).

Séminaire Théorie des représentations et analyse harmonique - Jeudi 13-01-2011 (14:00) - Salle de séminaires 309
Tilmann Wurzbacher (Université de Bochum) : Paires de Howe symplectiques

Résumé: Une paire d'actions hamiltoniennes est appelée
"paire de Howe" si les fonctions collectives d'une action
forment le centralisateur des fonctions collectives de l'autre
action. Nous expliquons dans cet exposé les résultats sur la
géometrie et sur la "quantification" de telles paires.

Séminaire Calcul stochastique - Vendredi 14-01-2011 (11:15) - Salle de séminaires IRMA
Peter Imkeller (Université Humboldt, Berlin) : Titre annoncé ultérieurement.

Colloquium Mathématique - Vendredi 14-01-2011 (16:30) - Salle de conférences IRMA
Patrick Popescu-Pampu (Université de Lille) : Le zoo des singularités de surfaces complexes

Nous nous promènerons dans le zoo des singularités
de surfaces complexes, en regardant les espèces les plus
ubiquitaires, ainsi que certaines plus rares. Nous décrirons
suivant quelles visions sont rangées actuellement les espèces
dans leurs enclos, ainsi que certains aspects discrets ou continus
de leurs anatomies. L'exposé se voudra accessible aux néophytes.

Séminaire Géométrie symplectique et applications - Lundi 17-01-2011 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
Ana Rechtman (Northwestern University) : A préciser

Séminaire Statistiques - Mardi 18-01-2011 (14:00) - Salle de séminaire 418
Astrid Jullion (Arlenda, Belgique) : Adaptatifs Bayésiens P-splines modèles : application à des données provenant d’études de pharmacocinétique et de tomographie par émission de positrons

Au cours d’essais cliniques, l’évolution de la concentration d’un produit dans un organe au cours du temps fait souvent l’objet d’analyse. Différents produits et organes peuvent être considérés : on peut par exemple analyser l’évolution de la concentration d’un médicament dans le plasma au cours du temps ou encore observer l’évolution du niveau de radioactivité dans différentes régions du cerveau lors d’un scanner TEP (tomographie par émission de positrons). L’objectif de cette présentation est la modélisation de telles évolutions qui sont appelées, de façon générique, des courbes pharmacocinétiques (courbe PC).

Certaines mesures d’intérêt peuvent être dérivées de ces courbes PC. Par exemple, si l’on s’intéresse à l’évolution de la concentration d’un médicament dans le plasma, des paramètres de pharmacocinétique tels que la concentration maximale (Cmax) et l’aire sous la courbe (AUC) sont souvent analysés. Dans une étude TEP, l’occupation des récepteurs par le médicament (RO) peut être mesurée dans différentes régions du cerveau. Ces mesures cliniques peuvent être mal estimées si les courbes PC sont bruitées. Notre objectif est dès lors de fournir des outils statistiques permettant d’obtenir de meilleures estimations des mesures cliniques, à partir de courbes PC lissées.

Beaucoup d’articles traitent le problème de l’estimation des courbes PC à partir de modèles paramétriques. Dans ce cas, un modèle à compartiments est souvent utilisé pour décrire la cinétique du produit étudié. Cependant, l’utilisation de modèles paramétriques peut être problématique dans certains cas. Tout d’abord, la procédure d’estimation se base sur des algorithmes dont la convergence peut être difficile à atteindre, si l’on dispose de peu de données et/ou de données bruitées. Deuxièmement, choisir le modèle à compartiments sous-jacent peut être difficile, surtout si un nouveau médicament est à l’étude et sa cinétique encore peu connue.

La méthode proposée pour estimer les courbes PC se base sur des splines pénalisés (P-splines) en approche Bayésienne : cette méthode fournit de bons résultats en termes d’estimations de courbes PC et de mesures cliniques. De plus, cette méthode évite le choix du modèle à compartiments et s’avère plus robuste que les modèles paramétriques aux petites tailles d’échantillons et aux données bruitées.

Travailler avec une approche Bayesienne fournit également plusieurs avantages : les informations dont on dispose a priori peuvent être injectées dans les modèles et ceux-ci peuvent être généralisés et étendus à des modèles hiérarchiques. Enfin, l’incertitude des mesures cliniques peut être facilement dérivée grâce aux intervalles de crédibilité obtenus à partir des méthodes Markov Chains Monte Carlo (MCMC).

Groupe de travail IREM - Mardi 18-01-2011 (14:00) - Salle de conférences IRMA
Thomas Catherine (IREM) : Formation de formateurs

Conférence IREM - Mercredi 19-01-2011 (15:00) - Salle de conférences IRMA
Rutger Noot (IRMA) : titre non communiqué à ce jour

Séminaire Calcul stochastique - Vendredi 21-01-2011 (11:15) - Salle de séminaires IRMA
Jérémie Unterberger (Institut Élie Cartan, Nancy) : Chemins rugueux, algèbres de Hopf et renormalisation: une approche physico-algébrique du calcul stochastique fractionnaire.

L'article fondateur de L. Coutin et Z. Qian (2002) a montré la difficulté de définir l'aire de Lévy, et partant -- suivant la théorie de l'intégration due à T. Lyons, dite théorie des chemins rugueux ou rough paths -- un calcul stochastique pour le brownien fractionnaire d'indice de Hurst inférieur à 1/4. De manière générale, le problème consiste à définir les intégrales itérées de chemins -- déterministes ou aléatoires -- de faible régularité Hölder. Nous apportons en un certain sens une réponse générale à cette question grâce à une algorithmique algébrique. Nous apportons également des constructions explicites dans le cas du brownien fractionnaire, montrant que le problème s'interprète en réalité comme un problème de théorie quantique des champs et se résout en tant que tel. Celles-ci permettront sans doute en retour d'attaquer des problèmes ouverts liés au calcul stochastique et aux équations différentielles stochastiques.

Séminaire GT3 - Lundi 24-01-2011 (14:00) - Salle de séminaires IRMA
Suhyoung Choi (KAIST- Seoul) : Convex real projective n-orbifolds with radial ends and their deformations

Abstract .--- A real projective orbifold is an n-dimensional orbifold modeled on
RP^n with the group PGL(n+1, R)-action.
We concentrate on an orbifold with a compact codimension 0 submanifold
whose complement is a union of neighborhoods of ends,
diffeomorphic to (n-1)-dimensional orbifolds times intervals.
A real projective orbifold has radial ends if each of its ends is
foliated by projective geodesics concurrent to one another.
It is said to be convex if any path can be homotoped to a projective
geodesic with endpoints fixed.
A real projective structure on such an orbifold sometimes admits
deformations to parameters of inequivalent real projective structures.
We will prove the local homeomorphism between the deformation space of
real projective structures on such an orbifold
with radial ends with various conditions and the PGL(n+1, R)-character
space of the fundamental group with corresponding conditions.
We will also talk about the classification of ends, which we have not
accomplished so far.

Séminaire Géométrie symplectique et applications - Lundi 24-01-2011 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
V. Zvonilov : A préciser

Séminaire Statistiques - Mardi 25-01-2011 (13:30) - Salle de séminaire 418
Jean Pierre Gauchi (INRA) : La X-optimalité : un critère de plans d'expériences pour des modèles de régression non linéaire.

Attention, l'heure n'est pas habituelle

Séminaire Equations aux dérivées partielles - Mardi 25-01-2011 (14:00) - Salle de séminaires 309
Claus Dieter Munz (IAG, Université de Stuttgart) : A confirmer

Séminaire GT3 - Lundi 31-01-2011 (14:00) - Salle de séminaires IRMA
Gwenael Massuyeau : Invariants des variétés de dimension trois et groupe de Torelli d'une surface

Il s'agira d'un exposé de survol sur ce thème.

Séminaire Géométrie symplectique et applications - Lundi 31-01-2011 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
Cédric Bounya (IRMA) : A préciser

Séminaire Statistiques - Mardi 01-02-2011 (14:00) - Salle de séminaire 418
Abdallah Elamine (IRMA) : Régression linéaire locale pour des données fonctionnelles

Dans ce travail, on s'intéresse à la régression non paramétrique locale pour des données fonctionnelles. Tout d'abord, on propose un estimateur de l'opérateur de régression. La
construction de cet estimateur est liée à la résolution d'un problème inverse linéaire. On établit des bornes de l'erreur quadratique moyenne (EQM) de l'estimateur proposé en utilisant une méthode de décomposition classique. Cette EQM dépend de la fonction
de petite boule de probabilité du régresseur au sujet de laquelle des hypothèses de type Gamma variation sont posées.

Colloquium Mathématique - Vendredi 04-02-2011 (16:00) - Salle de conférences IRMA
Pierre Parent (Bordeaux) : à préciser

Séminaire Quantique - Lundi 07-02-2011 (11:00) - Salle de séminaires IRMA
Takuya Sakasai (Tokyo Institute of Technology) : Homology cylinders in knot theory

This is a joint work with Hiroshi Goda (Tokyo University of Agriculture and Technology).
Sutured manifolds defined by Gabai are useful objects to study knots and 3-manifolds. Homology cylinders are in an important position in the recent theory of mapping class groups of surfaces and finite-type invariants of 3-manifolds. We observe a relationship between them by focusing on sutured manifolds associated with a special class of knots which we call homologically fibered knots. Then we discuss the (non-)fiberedness problem of homologically fibered knots by using Johnson homomorphisms and clasper surgery theory.

Séminaire GT3 - Lundi 07-02-2011 (14:00) - Salle de séminaires IRMA
Chloé Perin : TBA

Séminaire Géométrie symplectique et applications - Lundi 07-02-2011 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
Lev Birbrair (Fortaleza) : Metric Properties of Complex Algebraic Surfaces

Séminaire Statistiques - Mardi 08-02-2011 (14:00) - Salle de séminaire 418
Cédric Heuchenne (HEC-Management School of the University of Liège) : à préciser

Séminaire GT3 - Lundi 14-02-2011 (14:00) - Salle de séminaires IRMA
Takuya Sakasai (Tokyo) : Lagrangian mapping class groups from group homological point of view

Abstract:
We focus on two kinds of infinite index subgroups of the mapping class
group of a surface associated with a Lagrangian submodule of the first
homology of a surface. These subgroups, called Lagrangian mapping class
groups, are known to play important roles in the interaction between
the mapping class group and finite-type invariants of
3-manifolds. We discuss these groups from group (co)homological point of view.
The results include the determination of their abelianizations,
lower bounds of the second homology and remarks on the (co)homology of higher degrees.
We also determine the second homology
of the mapping class group of a surface of genus 3.

Séminaire GT3 - Lundi 28-02-2011 (14:00) - Salle de séminaires IRMA
Yukio Matsumoto (Tokyo) : TBA

Séminaire Statistiques - Samedi 05-03-2011 (14:00) - Salle de séminaire 418
Stéphane Loisel (ISFA - Université de Lyon) : à préciser

Séminaire Géométrie symplectique et applications - Lundi 07-03-2011 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
Sheila Margherita Sandon (Université de Nantes) : A préciser

Séminaire Statistiques - Mardi 08-03-2011 (14:00) - Salle de séminaire 418
Laurent Gardes (INRIA - Université de Grenoble) : Méthode SIR Régularisée et étude d'images hyperspectrales

Cours Géométrie symplectique et applications - Lundi 14-03-2011 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
Stéphane Guillermou (Institut Fourier, Grenoble) : A préciser

Séminaire Statistiques - Mardi 22-03-2011 (14:00) - Salle de séminaire 418
Yuri Goegebeur (University of Southern Denmark) : à préciser

Séminaire Géométrie symplectique et applications - Lundi 28-03-2011 (15:30) - Salle de séminaires IRMA
Alexander Ritter (Cambridge University) : A préciser

Dernière mise à jour le 8-04-2010

Source : http://www-irma.u-strasbg.fr/article286.html

CM2 La division

CM2 - Calcul

Cours de CM2

1 - La division

Poser une division

Nous avons vu comment additionner, soustraire, ou multiplier des grands nombres. Voyons maintenant la division et prenons l'exemple de la division de 1458 par 6. On place d'abord les deux nombres dans un dessin comme ci dessous.

Avec le premier chiffre du nombre à gauche, on compte : "en 1 combien de fois 6?". Si le résultat est plus grand que 1, on divise le résultat par 6. Sinon, on se repose la même question mais en utilisant les 2 premiers chiffres du nombre à gauche, ce qui donne : "en 14 combien de 6? ". On effectue cette petite division.

En 14 il y a 2 fois 6 donc on écrit 2 dans la case de droite puis on effectue la multiplication avec le 6, on écrit le résultat sous le 14 et on effectue une soustraction.

Ensuite on abaisse le chiffre à droite du 14 et on effectue la même opération avec le nombre obtenu (25). En 25 combien de fois 6? 4 fois, 4 fois 6 = 24 et 25 - 24 = 1.

On effectue ensuite les mêmes opérations après avoir abaissé le 8.

Lorsqu'il n'y a plus de chiffre à abaisser, on peut alors lire dans la case de droite le quotient de la division et en bas dans la case de gauche le reste. Ici le quotient vaut 243 et le reste est nul.

Poser une division avec résultat décimal

Lorsque le reste de la division n'est pas nul, on peut continuer la division afin d'obtenir un résultat décimal avec autant de chiffres que l'on veut après la virgule. Par exemple pour la division suivante on trouve un quotient de 176 et un reste de 2.

Pour continuer le calcul on ajoute un zéro après le premier nombre, et on l'abaisse. On place également une virgule à droite du résultat.

Ensuite on continue le calcul aussi longtemps que l'on veut en ajoutant à chaque fois un zéro supplémentaire et en l'abaissant.

Poser une division avec des grands nombres

Il n'a pas pas de différence lorsque l'on divise par un grand nombre. Les calculs sont juste un petit peu plus difficiles à effectuer.

>>> Cours sur les conversions >>>

La division au CM2

exercices

Source : http://www.cmath.fr/CM2/calcul/cours.php

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Notes et références [modifier]

Géométrie vivante ou L'échelle de Jacob du mathématicien

Géométrie vivante ou L'échelle de Jacob du mathématicienMarcel Berger

Math 2e 00 itiner+cdrom

Math 2e 00 itiner+cdromBouvier Et Alii

LIVRE Business math

Business mathSteve Slavin

Nombre double de Mersenne

Nombre double de Mersenne

Définitions concernant les suites aliquotes

Définitions concernant les suites aliquotes

La fonction σ

La fonction σ'

Les suites aliquotes

Les antécédents aliquotes

Remonter une suite aliquote à l’envers :

Suite aliquote

Suite aliquote

Sommaire

Cas particuliers [modifier]

Relation de récurrence [modifier]

Observations et conjectures [modifier]

Bibliographie [modifier]

Sites internet [modifier]

Notes et références [modifier]

Séminaire Institut de Recherche Mathématique Avancée

CM2 La division

1 - La division

Poser une division

Poser une division avec résultat décimal

Poser une division avec des grands nombres