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08/03/2011

Algèbre relationnelle

Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie).

L'algèbre relationnelle est une théorie mathématique proche de la théorie des ensembles qui définit des opérations qui peuvent être effectuées sur des relations - des matricescontenant un ensemble de nuplets.

Au sujet de l'algèbre relationnelle[modifier]

L'algèbre relationnelle a été inventée en 1970 par Edgar Frank Codd, le directeur de recherche du centre IBM de San José. Cet algèbre est constituée d'un ensemble d'opérations formelles sur les relations. Les opérations relationnelles permettent de créer une nouvelle relation (table) à partir d'opérations élémentaires sur d'autres tables (par exemple l'union, l'intersection, ou encore la différence).

Les principes de l'algèbre relationnelle sont beaucoup utilisés de nos jours par les SGBD pour la gestion des bases de données informatiques comme le SQL, DBase, etc.

Cependant, les bases de données relationnelles ne fonctionnent pas tout à fait selon les règles ensemblistes de l'algèbre relationnelle. En effet, si l'on ne définit pas de clé primaire, il est possible d'insérer plusieurs lignes identiques dans une table, ce qui d'un point de vue ensembliste n'a pas de sens : un élément fait partie ou ne fait pas partie d'un ensemble. Si l'on veut appliquer strictement les règles des ensembles, il faut vérifier à chaque ajout dans une table que les lignes ne sont pas déjà présentes.

Eléments du modèle relationnel[modifier]

Objets précis du modèle[modifier]

Il s'agit ici de déterminer des Domaines (i.e., type atomique) :

Numérique : entier ou réel (SQL : Int, Float, etc.).
Chaîne de caractères (SQL : Char(20), VarChar(32), etc.).
Date (SQL : DATE, TIME, YEAR, etc.).
Type énuméré.

Relation ou Table[modifier]

Une relation (au sens du modèle de Codd) est constituée de deux choses :

Un Schéma : Le format de la table. Le schéma est fixé.
Une Extension : Le contenu de la table, qui est un ensemble de n-uplets dont l'ordre n'a pas d'importance.

Exemple :

Schéma :

{Cle: INT, Nom: VarChar(20), Email: VarChar(20)}

Extension :

{
 {Cle: 1, Nom: "Edgar", Email: "edgar@xxxxx.xx"}
 {Cle: 2, Nom: "Frank", Email: "Frank@xxxxx.xx"}
 ...
}

Requêtes en Algèbre relationnelle[modifier]

Définir un ensemble d'opérations élémentaires permettant, par combinaison éventuelle, d'obtenir les résultats escomptés.

La sélection (ou restriction) :

Notation : $sigma_{F}( R ),$
Données : Une relation $R,$ et une formule $F,$ formée d'une combinaison de comparaisons et de connecteurs logiques.
Résultat : $sigma_{F}( R ) = { r in R : r,$ satisfait la condition donnée par $F },$
Équivalent SQL : WHERE

La projection :

Notation : $pi_{A}( R ),$
Données : Une relation $R,$ et un ensemble d'attributs $A,$ de $R,$ .
Résultat : $pi_{A}( R ),$ , qui est la Relation $R,$ où on ne considère que les attributs de $A,$
Équivalent SQL : SELECT

Rebaptiser :

Notation : $rho_{a/b}(R),$
Données : Une relation $R,$ et un attribut $b,$ de $R,$ .
Résultat : $rho_{a/b}(R),$ , qui est la Relation $R,$ avec $b,$ rebaptisé $a,$
Équivalent SQL : AS

Opérateurs ensemblistes[modifier]

L'algèbre relationnelle possède les opérations usuelles sur les ensembles.

Soient $R(A),$ et $S(B),$ deux relations ayant pour ensembles d'attributs respectifs $A,$ et $B,$ :

Union : $R cup S={t: t in R ou t in S},$
Intersection : $R cap S={t: t in R et t in S},$
Différence : $R-S={t: t in R et t notin S},$
Produit cartésien : $R times S={(r,s) : r in R et s in S },$
Jointure : $R bowtie S={(a,b,c):(a,b)in R et (b,c) in S },$
Division : elle prend en entrée deux relations $R(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_p),$ et $S(y_1,...,y_p),$ .

Ainsi, tout n-uplet $r in R ,$ se décompose en deux n-uplets $r=(t,s),$ ,

avec $t=(t_1, ..., t_m),$ de schéma $X={x_1, ..., x_m},$ et

$s=(s_1, ..., s_p),$ de schéma $y={y_1, ..., y_p},$ .

et retourne la table de schéma $X,$ tel que $R/S={t: forall s in S, (t,s) in R},$

La division revient à donner “tous les x tels que pour tout y ...”

Exemples[modifier]

Relations de la base exemple :

Table Touristes:

idTouriste  NomT    Ville       Sport
---------- ------- ---------  ---------
1          Marc    Paris      Ski
2          Jean    Toulouse   Tennis
3          Franc   Marseille  Football
4          Thomas  Lyon       Voile
5          Max     Paris      Golf

Table Sports:

Sport
---------
Ski
Cyclisme
Tennis
Football
Voile
Golf

Table Destinations:

idTouriste  VilleD
---------- --------
1          Cannes
2          Ibiza
4          Tokyo

Sélection :

> $sigma_{Ville = 'Paris'}(,$ Touristes $),$

idTouriste NomT    Ville      Sport
---------- ------- ---------  ---------
1          Marc    Paris      Ski
5          Max     Paris      Golf

Projection :

> $pi_{NomT, Ville}(,$ Touristes $),$

NomT    Ville      
------- --------- 
Marc    Paris
Jean    Toulouse
Franc   Marseille
Thomas  Lyon
Max     Paris

Jointure :

> Touristes $bowtie,$ Destinations

idTouriste  NomT    Ville       Sport    VilleD
---------- ------- ---------  --------- --------
1          Marc    Paris      Ski        Cannes
2          Jean    Toulouse   Tennis     Ibiza
4          Thomas  Lyon       Voile      Tokyo

Voir aussi[modifier]

La Wikiversité possède des cours sur « Algèbre relationnelle ».

Liens externes[modifier]

RAT, Software Rational Algebra Translator to SQL
(fr) Laurent Audibert, « Bases de données relationnelles » sur developpez.com

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_relationnelle

> Livres sur l'algèbre relationnelle

Sommaire

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L'algèbre al-Badi d'al-Karagi

Christophe Hebeisen

L'algèbre al-Badi d'al-Karagi.

Thèse EPFL, no 4297 (2009). Dir.: Jürg Peter Buser, Jacques Sesiano.

http://library.epfl.ch/theses/?nr=4297
DOI : 10.5075/epfl-thesis-4297

Appel aux auteurs : vous pouvez rendre votre thèse accessible sur l'Internet ; il vous suffit de remplir et nous retourner un accord de diffusion (fichier PDF).

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Texte intégral : partie 2 / Full text : part 2 ( PDF, 2.97 MB)

open access Résumés, table des matières ( PDF, 0.14 MB)

Résumés (HTML) : anglais français

Abstract

This work contains the study of the algebra called al-Badī‘ fī al-ḥisāb (literally : "the Wonderful on calculation"), written by the Persian mathematician Abu Bakr Muḥammad ibn al-Ḥusain al-Karaǧi(previously known as al-Karẖī, native from Karaǧ, Persia.

Written c. 1010 in Bagdad, this work takes an important place in history of mathematics in general. Of particular interest are the first known appearance of a theory on root extracting of algebraic polynomials, and the beginning of a tendency to get rid of illustrating formulas and the resolutions of equations with help of geometric figures, which makes it a pure algebraic text. This work of high level adresses to a public with advanced mathematic knowledge.

This algebra is, by will of the author, written in three main parts (books), containing part of Euclid's Elements (book I), a theory on root extracting of algebraic polynomials (book II), and a collection of problems on indeterminate analysis (book III). Some chapters are written hastily, while others go into the details.

We provide a complete translation of the Badī‘, based on the transcription of the manuscript 36,1 of the Vatican library Barberini Orientale by Adel Anbouba (edited in Beyrouth in 1964), as well as a glossary. This translation comes with a mathematical commentary, and includes a list of significant words used by the author. We will also relate this algebra with other prior and later works containing the same problems.

POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES

PAR

acceptée sur proposition du jury:

Prof. B. Dacorogna, président du jury

Prof. J. P. Buser, Dr J. Sesiano, directeurs de thèse

Dr B. Buffoni, rapporteur

Prof. A. Djebbar, rapporteur

Prof. J. Høyrup, rapporteur

Christophe HEBEISEN

THÈSE NO

4297 (2009)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE

PRÉSENTÉE LE 27 FÉvRIER 2009

À LA FACULTÉ DES SCIENCES DE BASE

CHAIRE DE GÉOMÉTRIE

PROGRAMME DOCTORAL EN MATHÉMATIQUES

Suisse

2009Résumé

Ce travail comporte l’étude de l’algèbre intitulée al-Bad¯ı‘ f¯ı al-h.

is¯ab (littéralement « le Merveilleux dans le calcul »), composée par le mathématicien persan Abu Bakr Muh. ammad ibn al-H. usain al-Karaˇg¯ı (précédemment

connu sous le nom de al-Karh

¯ı), originaire de Karaˇg, Perse.

Écrit vers 1010 à Bagdad, cet ouvrage tient une place importante dans

l’histoire des mathématiques en général. D’un intérêt particulier sont la première apparition connue d’une théorie sur les extractions de racines de polynômes algébriques, et le début d’une tendance à se débarrasser de la tutelle

de la géométrie dans tous les domaines (illustration de formules ou démonstrations), ce qui en fait un ouvrage purement algébrique. De par son niveau

élevé, il s’adresse à un public averti possédant déjà des connaissances approfondies en mathématiques.

Cette algèbre est, de l’aveu de l’auteur, séparée en trois parties principales

(livres), comprenant des extraits tirés des Éléments d’Euclide (livre I), une

théorie sur l’extraction de racines de polynômes algébriques (livre II), et un

recueil de problèmes d’analyse indéterminée (livre III). Si certains passages

sont écrits hâtivement, d’autres au contraire sont approfondis et détaillés.

Nous donnons une traduction complète du Bad¯ı‘, sur la base de la transcription du manuscrit 36,1 de la bibliothèque du Vatican Barberini Orientale

par Adel Anbouba (édité à Beyrouth en 1964), ainsi qu’un glossaire. Cette

traduction est accompagnée d’un commentaire mathématiques des problèmes

qui y sont exposés, et comprend aussi un lexique des principaux termes mathématiques utilisés par l’auteur. Nous ferons aussi le lien avec des ouvrages

antérieurs et ultérieurs présentant les mêmes problèmes.

Mots-clefs : al-Bad¯ı‘, al-Badi‘, al-Karaˇg¯ı, al-Karaji, Anbouba, algèbre,

mathématiques des pays de l’Islam, Éléments d’Euclide, extraction de racines

de polynômes algébriques, analyse indéterminée, équations diophantiennes.

3Abstract

This work contains the study of the algebra called al-Bad¯ı‘ f¯ı al-h.

is¯ab

(literally : "the Wonderful on calculation"), written by the Persian mathematician Abu Bakr Muh. ammad ibn al-H. usain al-Karaˇg¯ı (previously known

as al-Karh

¯ı), native from Karaˇg, Persia.

Written c. 1010 in Bagdad, this work takes an important place in history of mathematics in general. Of particular interest are the ﬁrst known

appearance of a theory on root extracting of algebraic polynomials, and the

beginning of a tendency to get rid of illustrating formulas and the resolutions

of equations with help of geometric ﬁgures, which makes it a pure algebraic

text. This work of high level adresses to a public with advanced mathematic

knowledge.

This algebra is, by will of the author, written in three main parts (books),

containing part of Euclid’s Elements (book I), a theory on root extracting of

algebraic polynomials (book II), and a collection of problems on indeterminate analysis (book III). Some chapters are written hastily, while others go

into the details.

We provide a complete translation of the Bad¯ı‘, based on the transcription

of the manuscript 36,1 of the Vatican library Barberini Orientale by Adel

Anbouba (edited in Beyrouth in 1964), as well as a glossary. This translation

comes with a mathematical commentary, and includes a list of signiﬁcant

words used by the author. We will also relate this algebra with other prior

and later works containing the same problems.

Keywords : al-Bad¯ı‘, al-Badi‘, al-Karaˇg¯ı, al-Karaji, Anbouba, algebra,

mathematics in islamic countries, Euclid’s Elements, root extraction of algebraic polynomials, indeterminate analysis, Diophantine equations.

5L’algèbre al-Bad¯ı‘ d’al-Karaˇg¯ı

Première partie

Introduction — Traduction — GlossaireTable des matières

Avertissements 11

Introduction 15

Biographie d’al-Karaˇg¯ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Œuvres d’al-Karaˇg¯ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Début de l’algèbre al-Bad¯ı‘ d’al-Karaˇg¯ı 25

Livre I : Sur les Éléments 29

1. Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2. Propositions tirées du livre VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Propositions tirées du livre VIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4. Propositions tirées du livre II et autres identités algébriques . . . 53

5. Propositions tirées du livre IX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6. Chapitre sur les nombres amiables . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7. Sur le livre X : Des grandeurs irrationnelles . . . . . . . . . . . . 81

8. De la commensurabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9. Introduction aux opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10. Multiplication des monômes . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

11. Division des monômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

12. Addition et soustraction des monômes . . . . . . . . . . . 95

13. Sur le même sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

14. Multiplication des polynômes à termes additifs . . . . . . 101

15. Multiplication des polynômes à termes soustractifs . . . . 103

16. Division par des binômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

17. Sur le même sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

18. Extraction des racines des binômes . . . . . . . . . . . . . 111

19. Extraction des racines des polynômes . . . . . . . . . . . . 117

20. Sur les cubes des grandeurs irrationnelles . . . . . . . . . 119

9Livre II : Des inconnues 121

1. Description et classiﬁcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2. Dénomination des inconnues ; élévation au carré de polynômes

algébriques carrés composés d’au plus trois termes additifs ;

extraction des racines de tels carrés . . . . . . . . . . . . . . . 125

3. Élévation au carré de trinômes algébriques à termes soustractifs ;

racines de tels carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4. Extraction de racines de polynômes algébriques à termes additifs 135

5. Cas particuliers d’extractions de racines de polynômes algébriques

à termes soustractifs ou dont les coeﬃcients sont des binômes

d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6. Extraction de racines et élévation au carré de polynômes dont

les termes sont des fractions formées de polynômes algébriques 155

Livre III : De l’analyse indéterminée 157

1. Description des équations simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

2. Binômes algébriques dont les termes ont des degrés consécutifs,

égaux à des carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3. Binômes algébriques dont les termes ont deux degrés de diﬀé-

rence, possédant au moins un terme additif carré, égaux à des

carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4. Trinômes algébriques dont les termes ont des degrés consécutifs

et possédant au moins un terme additif de degré pair carré,

égaux à des carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5. Binômes algébriques à coeﬃcients plans semblables, dont aucun

terme de degré pair n’est carré, égaux à des carrés . . . . . . . 171

6. Autres cas de binômes égaux à des carrés . . . . . . . . . . . . . 175

7. Trinômes algébriques sans terme carré, égaux à des carrés . . . . 179

8. Des questions du demandeur ; systèmes d’équations indéterminés 183

9. Sur le même sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

10. Dernier système et conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Glossaire 209

10L’algèbre al-Bad¯ı‘ d’al-Karaˇg¯ı

Deuxième partie

Commentaire — Annexes — BibliographieTable des matières

Livre I : Sur les Éléments 5

1. Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Propositions tirées du livre VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Propositions tirées du livre VIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. Propositions tirées du livre II et autres identités algébriques . . . 55

5. Propositions tirées du livre IX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6. Chapitre sur les nombres amiables . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7. Sur le livre X : Des grandeurs irrationnelles . . . . . . . . . . . . 93

8. De la commensurabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

10. Multiplication des monômes . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

11. Division des monômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

12. Addition et soustraction des monômes . . . . . . . . . . . 107

13. Sur le même sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

14. Multiplication des polynômes à termes additifs . . . . . . 113

15. Multiplication des polynômes à termes soustractifs . . . . 117

16. Division par des binômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

17. Sur le même sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

18. Extraction des racines des binômes . . . . . . . . . . . . . 129

19. Extraction des racines des polynômes . . . . . . . . . . . . 137

20. Sur les cubes des grandeurs irrationnelles . . . . . . . . . 141

Livre II : Des inconnues 145

1. Description et classiﬁcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2. Dénomination des inconnues ; élévation au carré de polynômes

algébriques carrés composés d’au plus trois termes additifs ;

extraction des racines de tels carrés . . . . . . . . . . . . . . . 147

3. Élévation au carré de trinômes algébriques à termes soustractifs ;

racines de tels carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4. Extraction de racines de polynômes algébriques à termes additifs 155

35. Cas particuliers d’extractions de racines de polynômes algébriques

à termes soustractifs ou dont les coeﬃcients sont des binômes

d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6. Extraction de racines et élévation au carré de polynômes dont

les termes sont des fractions formées de polynômes algébriques 185

Livre III : De l’analyse indéterminée 187

1. Description des équations simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

2. Binômes algébriques dont les termes ont des degrés consécutifs,

égaux à des carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

3. Binômes algébriques dont les termes ont deux degrés de diﬀé-

rence, possédant au moins un terme additif carré, égaux à des

carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4. Trinômes algébriques dont les termes ont des degrés consécutifs

et possédant au moins un terme additif de degré pair carré,

égaux à des carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5. Binômes algébriques à coeﬃcients plans semblables, dont aucun

terme de degré pair n’est carré, égaux à des carrés . . . . . . . 209

6. Autres cas de binômes égaux à des carrés . . . . . . . . . . . . . 213

7. Trinômes algébriques sans terme carré, égaux à des carrés . . . . 219

8. Des questions du demandeur ; systèmes d’équations indéterminés 225

9. Sur le même sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

10. Dernier système et conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Annexes 255

Bibliographie 259

Conclusions et perspectives 261

Remercîments 263

Curriculum vitæ 265

Source : http://library.epfl.ch/theses/?nr=4297

Algèbre linéaire

Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie).

L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des systèmes d'équations linéaires (théorie des matrices).

Histoire[modifier]

L'histoire de l'algèbre linéaire commence avec René Descartes qui le premier pose des problèmes de géométrie, comme l'intersection de deux droites, sous forme d'équation linéaire. Il établit alors un pont entre deux branches mathématiques jusqu'à présent séparées : l'algèbre et la géométrie. S'il ne définit pas la notion de base de l'algèbre linéaire qui est l'espace vectoriel, il l'utilise déjà avec succès. Après cette découverte, les progrès en algèbre linéaire vont se limiter à des études ponctuelles comme la définition et l'analyse des premières propriétés des déterminants par Jean d'Alembert.

Ce n'est qu'au xix^e siècle que l'algèbre linéaire devient une branche des mathématiques à part entière. Carl Friedrich Gauss trouve une méthode générique pour la résolution des systèmes d'équations linéaires, Marie Ennemond Camille Jordan résout définitivement le problème de la réduction d'endomorphisme. En 1843, William Rowan Hamilton (inventeur du terme vector) découvre les quaternions. En 1844, Hermann Grassmann publie un livre Die lineare Ausdehnungslehre.

Le début du xx^e siècle voit la naissance de la formalisation moderne des mathématiques. Les espaces vectoriels deviennent alors une structure générale omni-présente dans presque tous les domaines mathématiques.

Intérêt[modifier]

Sous leur forme la plus simple, les applications linéaires dans les espaces vectoriels représentent intuitivement les déplacements dans les espaces géométriques élémentaires comme la droite, le plan ou notre espace physique. Les bases de cette théorie remplacent maintenant la représentation construite par Euclide au iii^e siècle av. J.-C.. La construction moderne permet de généraliser la notion d'espace à des dimensions quelconques.

L'algèbre linéaire permet de résoudre tout un ensemble d'équations dites linéaires utilisées non seulement en mathématiques ou en mécanique, mais dans de nombreuses autres branches comme les sciences naturelles ou les sciences sociales.

Les espaces vectoriels forment aussi un outil fondamental pour les sciences de l'ingénieur et servent de base à de nombreux domaines dans la recherche opérationnelle.

Enfin, c'est un outil utilisé en mathématiques pour résoudre des problèmes aussi divers que la théorie des groupes, des anneaux ou des corps, l'analyse fonctionnelle, la géométrie différentielle ou la théorie des nombres.

Présentation élémentaire[modifier]

L'algèbre linéaire commence par l'étude de vecteurs dans les espaces cartésiens de dimension 2 et 3. Un vecteur, ici, est un segment de droite caractérisé à la fois par sa longueur (ounorme), sa direction et son sens. Les vecteurs peuvent alors être utilisés pour représenter certaines entités physiques comme des déplacements, additionnés entre eux ou encore multipliés par des scalaires (nombres), formant ainsi le premier exemple concret d'espace vectoriel.

L'algèbre linéaire moderne a été étendue pour considérer les espaces de dimension arbitraire ou infinie. Un espace vectoriel de dimension n est appelé un n-espace. La plupart des résultats obtenus dans les 2-espaces et 3-espaces peuvent être étendus aux espaces de dimensions supérieures. Bien que beaucoup de personnes ne peuvent appréhender correctement un vecteur dans un n-espace, ils sont utiles pour représenter des données. Les vecteurs étant des listes ordonnées à n composantes, on peut manipuler ces données efficacement dans cet environnement. Par exemple en économie, on peut créer et utiliser des vecteurs à huit dimensions pour représenter le produit national brut de huit pays.

Quelques théorèmes[modifier]

Tout espace vectoriel de dimension finie possède au moins une base.
Toutes les bases du même espace vectoriel de dimension finie ont un même nombre de vecteurs.
Théorème de la « base incomplète » : soit E un espace vectoriel de dimension finie, G une famille génératrice de E et L une famille libre de vecteurs de G. Alors il existe au moins une base B de E telle que L soit incluse dans B et B incluse dans G.
Tout espace vectoriel A possède un espace dual A^*; si A est de dimension finie, A^* est de même dimension.
Formule de Grassmann : Soient E et G deux sous espaces vectoriels d'un même espace vectoriel de dimension finie. On a alors :

$text{Dim} (E + G) = text{Dim} (E) + text{Dim} (G) - text{Dim} (E cap G)$

D'autres théorèmes concernent les conditions d'inversion de matrices de divers types :

matrice diagonale
bande
matrice triangulaire
à diagonale dominante (très utilisées en analyse numérique)

Un théorème intéressant à l'époque des mémoires d'ordinateurs de petite taille était qu'on pouvait travailler séparément sur des sous-ensembles (« blocs ») d'une matrice en les combinant ensuite par les mêmes règles qu'on utilise pour combiner des scalaires dans les matrices. Avec les mémoires actuelles de plusieurs gigaoctets, cette question a perdu un peu de son intérêt pratique, mais reste très prisée en théorie des nombres, pour la décomposition en produit de facteurs premiers avec le crible général de corps de nombres (GNFS)(méthode Lanczos par blocs).

Utilisations[modifier]

Les espaces vectoriels forment le support et le fondement de l'algèbre linéaire. Ils sont aussi présents dans de nombreux domaines distincts. S'il n'est pas possible d'indiquer ici tous les cas d'utilisation, on peut tout de même citer pour les principales structures objet de théories, des exemples significatifs. Leurs rôles dans de vastes théories ne traitant pas d'une structure particulière, comme celles des nombres algébriques ou de Galois peuvent aussi être évoqués.

Les espaces vectoriels utilisés sont d'une grande diversité. On y trouve les classiques espaces vectoriels de dimension deux et trois sur les nombres réels, cependant la dimension peut être quelconque, même infini. Les nombres complexes sont aussi très utilisés, ainsi que les rationnels. Il n'est pas rare qu'une partie des nombres réels ou complexes soit considéré comme un espace vectoriel rationnel. Le corps de base peut aussi contenir un nombre fini d'éléments, définissant parfois un espace vectoriel fini.

Les propriétés géométriques de la structure permettent la démonstration de nombreux théorèmes. Elles ne se limitent pas aux cas où l'espace est réel, même dans le cas de corps plus insolites comme les corps finis ou les extensions finies des rationnels, les propriétés géométriques s'avèrent parfois essentielles.

Groupe fini[modifier]

Article détaillé : Représentations d'un groupe fini.

Représentation du groupe symétrique d'ordre quatre comme groupe des rotations du cube dans un espace vectoriel de dimension trois.

La classification des groupes finis est une vaste question, encore objet de recherche. Si le groupe contient un petit nombre d'éléments, les théorèmes de Sylow peuvent suffire pour en déterminer la structure. Une méthode beaucoup plus puissante est nécessaire dans le cas général.

Georg Frobenius (1849-1917), à la suite de travaux de Richard Dedekind (1831 1916) développe une nouvelle théorie¹ en 1896. Elle se fonde sur l'idée que l'ensemble des symétries d'un espace vectoriel possède une structure de groupe. Il est toujours possible dereprésenter un groupe fini par des symétries bien choisies sur un espace vectoriel de dimension suffisante. Un groupe est ainsi incarné par des transformations géométriques simples. Une telle incarnation prend le nom de représentation d'un groupe.

Les espaces vectoriels choisis sont de dimension finie, en général sur le corps des complexes², cependant pour disposer de bonnes propriétés arithmétiques le corps peut être celui des rationnels³ ou encore utiliser des entiers algébriques comme pour la démonstration du théorème de William Burnside (1852-1927) sur les groupes résolubles⁴. Richard Brauer (1901-1977) étudie un cas très abstrait, celui des représentations sur un espace vectoriel construit à l'aide d'un corps fini⁵.

Un exemple relativement simple d'utilisation de cette théorie est donné par Burnside , avec son théorème sur les groupes de type fini et d'exposant fini⁶.

Anneau[modifier]

Article détaillé : théorie des anneaux.

Emmy Noether utilise la notion d'espace vectoriel pour étudier les anneaux portant maintenant son nom.

Un exemple célèbre d'anneau disposant aussi d'une structure d'espace vectoriel est celui des polynômes à coefficients dans un corps. Cet espace vectoriel, de dimension infinie, est largement utilisé en algèbre linéaire, à travers par exemple le polynôme minimal ou caractéristique. Le morphisme canonique entre les polynômes et les applications linéaires d'un espace vectoriel est à l'origine d'une structure d'algèbre qui est un anneau, si la multiplication externe est oubliée.

Cette méthode permet d'élucider la structure de certains anneaux. Si la caractéristique d'un anneau est soit nulle soit égale à un nombre premier, alors l'anneau est aussi un espace vectoriel sur tout sous-anneau disposant d'une structure de corps. C'est par exemple le cas du plus petit sous-anneau contenant l'unité. L'espace vectoriel ressemble à la structure développée par Grassman. Cette remarque est utilisée au début du xx^e siècle, en particulier par Emil Artin (1898 - 1962) et Emmy Noether (1882 - 1935) pour élucider cette structure dans le cas des anneaux artiniens et noethériens, qui sont des copies de sous-algèbres sur un espace vectoriel construit sur sous-anneau qui s'avère être un corps.

Un exemple est la généralisation du théorème de Joseph Wedderburn (1882 - 1948) par Artin et portant maintenant le nom d'Artin-Wedderburn. Il est important en algèbre non commutative. Ce théorème permet, par exemple, de construire le corps des quaternions à l'aide d'unereprésentation du groupe associé sur un espace vectoriel réel de dimension quatre.

Théorie de Galois[modifier]

Article détaillé : Théorie de Galois.

Un pentagone en théorie de Galois est une figure d'un espace vectoriel rationnel de dimension quatre. Le fait que la dimension soit une puissance de deux est une condition nécessaire pour uneconstruction à la règle et au compas.

La théorie de Galois contient de nombreux exemples d'espaces vectoriels. Elle consiste à étudier un corps comme un espace vectoriel sur un sous-corps. Ainsi chaque sous-corps permet de considérer la structure initiale comme un espace vectoriel particulier.

Un exemple d'application est celui des figures constructible à la règle et au compas. Ces points forment un corps disposant d'une structure d'espace vectoriel sur les nombres rationnels. Il est de dimension infinie et, pour chaque points, le plus petit sous-corps le contenant est de dimension finie égale à une puissance de deux. Un tel sous-corps est appelé une tour d'extension quadratique. Cette propriété de ces espaces vectoriel permet de résoudre d'antiques conjectures comme la duplication du cube, la trisection de l'angle ou la construction d'un polygone régulier.

L'exemple historique de la théorie est celui de la résolution d'une équation polynomiale. Le théorème d'Abel donne une condition nécessaire et suffisante de résolution par radicaux. Les espaces vectoriels utilisés ont pour éléments ceux du plus petit corps Lcontenant tous les coefficients du polynôme ainsi que ses racines et le corps sous-jacent est un sous-corps K du premier contenant tous les coefficients. Le groupe de Galois est composé des automorphismes du corps L et laissant invariant le corps K. Il correspond à un nombre fini de symétries de l'espace vectoriel. L'élément clé de la démonstration montre que l'équation est résoluble seulement si ces symétries sont diagonalisables.

Voir aussi[modifier]

Sur les autres projets Wikimédia :

« Algèbre linéaire », sur Wikiversity(communauté pédagogique libre)

Liens internes[modifier]

Références[modifier]

↑ C. W. Curtis Representation theory of finite groups, from Frobenius to Brauer Math. Intelligencer p 48-57 1992
↑ Les 11 premiers chapitres de Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions] ne concernent que les espaces vectoriels complexes
↑ W. Feit Characters of finite groups W. A. Benjamin Publ, New-York 1967
↑ William Burnside Theory of Groups of Finite Order Dover Publications 2004
↑ Richard Brauer Über die Darstellung von Gruppen in Galoisschen Feldern Act. Sci. Ind. 195 1935
↑ William Burnside On an unsettled question in the theory of discontinuous groups Quart.J.Math. 33 pages 230 à 238 1902

Liens externes[modifier]

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire

> Livres sur l'Algèbre Linéaire

Sommaire

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Algèbre de Boole (logique)

Pour les articles homonymes, voir « Algèbre de Boole ».

L'algèbre de Boole, ou calcul booléen, est la partie des mathématiques, de la logique et de l'électronique qui s'intéresse aux opérations et aux fonctions sur les variables logiques. Plus spécifiquement, l'algèbre booléenne permet d'utiliser des techniques algébriques pour traiter les expressions à deux valeurs du calcul des propositions. Elle fut initiée par le mathématicien britannique du milieu du xix^e siècle George Boole.

Aujourd'hui, l'algèbre de Boole trouve de nombreuses applications en informatique et dans la conception des circuits électroniques. Elle fut utilisée la première fois pour les circuits de commutation téléphoniques par Claude Shannon.

L'algèbre de Boole des fonctions logiques permet de modéliser des raisonnements logiques, en exprimant un « état » en fonction de conditions. Par exemple :

Communication = Émetteur ET Récepteur

Communication est « VRAI » si Émetteur actif ET Récepteur actif (c'est une fonction logique dépendant des variables Émetteur et Récepteur)

Décrocher = ( Décision de répondre ET Sonnerie ) OU décision d'appeler

Décrocher est « VRAI » si on entend la sonnerie ET que l'on décide de répondre OU si l'on décide d'appeler.

L'algèbre de Boole étant un domaine commun à trois disciplines, on rencontre des notations différentes pour désigner un même objet. Dans le reste de l'article, on indiquera les diverses notations, mais on en privilégiera une pour conserver une certaine homogénéité.

Algèbre de Boole des valeurs de vérité[modifier]

On appelle B l'ensemble constitué de deux éléments appelés valeurs de vérité {VRAI, FAUX}. Cet ensemble est aussi noté

B = {1, 0}
B = ${top , perp }$ .

On privilégiera dans la suite la notation B = {1, 0}.

Sur cet ensemble on peut définir deux lois (ou opérations ou foncteurs), les lois ET et OU et une transformation appelée complémentaire, inversion ou contraire.

Conjonction[modifier]

Articles connexes : Fonction ET et Conjonction logique.

Elle est définie de la manière suivante : a ET b est VRAI si et seulement si a est VRAI et b est VRAI. Cette loi est aussi notée

$cdot ,$
$wedge$
« & » ou « && » dans quelques langages de programmation (Perl, C, PHP...)
« AND » dans certains langages de programmation (Ada, Pascal, Python, PHP ...)
« ∧ » dans quelques notations algébriques, ou en APL
« * » (une multiplication ordinaire), pour quelques langages ne disposant pas de fonction adaptée

On privilégiera dans la suite la notation $cdot ,$ On peut construire la table de cette loi (comme une table d'addition ou de multiplication de notre enfance) mais on ne la confondra pas avec unetable de vérité.

Disjonction[modifier]

Articles connexes : Fonction OU et Disjonction logique.

Elle est définie de la manière suivante : a OU b est VRAI si et seulement si a est VRAI ou b est VRAI. (si a est vrai et que b est vrai aussi, alors a OU b est vrai.) Cette loi est aussi notée

$+ ,$
$vee$
« | » ou « || » dans quelques langages de programmation
« OR » dans certains langages de programmation
« ∨ » dans quelques notations algébriques ou en APL.
« < » très rarement.

On privilégiera dans la suite la notation $+ ,$ mais on prendra garde que cette loi n'est pas l'addition usuelle dans Z/2Z. C'est pourquoi, en mathématiques et en logique mathématique, cette notation $+ ,$ n'est pas utilisée pour désigner le "ou inclusif" : elle est réservée au "ou exclusif", opération qui (jointe au "et") fait de toute algèbre de Boole un anneau de Boole, en particulier une Z/2Z-algèbre (d'où le nom d'algèbre de Boole).

Négation[modifier]

Articles connexes : Fonction NON et Négation logique.

Le contraire de "a" est VRAI si et seulement si a est FAUX. Le contraire de a est noté

non-a
$bar{a}$
$neg (a)$
« ! » dans quelques langages de programmation (C, C++, ...)
« NOT » dans certains langages de programmation (ASM, ...)
« ~ » dans quelques notations algébriques, en APL et dans quelques langages d'interrogation de bases de données (Sql, ...).
« 1- » dans quelques langages ne disposant pas de fonction adaptée (Batch, ...) (puisque 1-0=1 et 1-1=0)

On privilégiera dans la suite la notation $bar{a}$ .

On obtient alors $bar{0}=1$ et $bar{1}=0$

Propriétés[modifier]

Associativité[modifier]

Comme avec les opérations habituelles, certaines parenthèses sont inutiles:
$(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c$
$(a . b). c = a .(b . c) = a . b . c$

Commutativité[modifier]

L'ordre est sans importance:
$a + b = b + a$
$a . b = b . a$

Distributivité[modifier]

Comme avec les opérations habituelles, il est possible de distribuer :
$a .(b + c) = a . b + a . c$
Attention : comportement différent par rapport aux opérateurs + et * habituels :
$a + (b . c) = (a + b).(a + c)$

Idempotence[modifier]

$a + a + a + [...] + a = a$
$a . a . a .[...]. a = a$

Élément neutre[modifier]

$a + 0 = a$
$a .1 = a$

Élément nul[modifier]

$0. a = 0$
$1 + a = 1$

Absorption[modifier]

$a + a . b = a$
$a .(a + b) = a$

Simplification[modifier]

$a + overline{a} . b = a + b$
$a . ( overline{a} + b ) = a . b$

Redondance[modifier]

$a . b + overline{a} . c = a . b + overline{a} . c + b . c$

Complémentarité[modifier]

$a = overline{overline{a}}$

(« La lumière est allumée » = « la lumière n'est pas non allumée »)

$a + overline{a} = 1$

(« VRAI » SI lumière_allumée OU SI lumière_non_allumée → c'est toujours le cas → vrai dans tous les cas → toujours VRAI, donc =1)

$a . overline{a} = 0$

(« VRAI » SI lumière_allumée ET SI lumière_non_allumée → impossible → faux dans tous les cas → toujours FAUX donc =0)

Structure[modifier]

On retrouve alors toutes les propriétés qui confèrent à B une structure d'algèbre de Boole

Priorité[modifier]

Pour faciliter leur compréhension, il a été décidé que ces opérations seraient soumises aux mêmes règles que les opérations « de tous les jours », la fonction ET (multiplication logique) est ainsi prioritaire par rapport à la fonction OU (somme logique) ; on peut, pour s'aider, placer des parenthèses dans les opérations.

Exemple :

a = 0; b = 1; c = 1

On cherche

a . b + c = ???

D'abord on calcule

a . b

a . b = 0.1

0.1 = 0

Puis, on calcule

0 + c

0 + c = c

c = 1

Le résultat final est donc:

a . b + c = (a . b) + c = 1

Théorème de De Morgan[modifier]

Dans les deux cas, l'expression ne sera VRAIE que si a et b sont fausses.

Dans les deux cas, l'expression ne sera FAUSSE que si a et b sont vraies.

Fonctions logiques[modifier]

Article détaillé : Fonction logique.

Mathématiquement, une fonction logique ou opérateur logique est une application de Bⁿ dans B.

En électronique, une fonction logique est une boîte noire qui reçoit en entrée un certain nombre de variables logiques et qui rend en sortie une variable logique dépendant des variables d'entrée. L'article fonction logique précise comment construire les boîtes noires de quelques fonctions fondamentales.

Une table de vérité permet de préciser l'état de la sortie en fonction des états des entrées.

On démontre que toute fonction logique peut se décrire à l'aide des trois opérations de base.

$+,$
$cdot,$
$bar{},$

On démontre aussi qu'il n'existe que $2^{2^n}$ fonctions logiques de $n$ paramètres. Il suffit en effet de considérer toutes les tables de vérités possibles, ou de considérer le développement d'une fonction de $n$ paramètres

Fonctions logiques fondamentales[modifier]

Elles sont issues des trois opérations de base et définissent alors

une fonction de B dans B : le complémentaire ou inversion
deux fonctions de B² dans B qui sont la somme (OU) et le produit (ET)

Fonctions logiques composées[modifier]

Ce sont les fonctions logiques à deux variables. Parmi celles-ci, on en dénombre certaines suffisamment intéressantes pour qu'on leur donne un nom.

Disjonction exclusive[modifier]

Équivalence[modifier]

L'équivalence (notée EQV ou XNOR) est vraie si les deux entrées ont la même valeur et fausse sinon. Elle est appelée aussi « non-(ou exclusif) » (ou encore « et inclusif » )^{[réf. nécessaire]}. Elle se compose comme suit :

$a operatorname{EQV} b = overline{(a+b)}+(a.b)$

On peut aussi dire que :

$a operatorname{EQV} b = overline{a operatorname{XOR} b}$

Il arrive que l'équivalence soit notée par le signe $Leftrightarrow$ , bien que ce choix ne soit pas recommandé compte-tenu des autres sens possibles attachés à ce signe.

Elle peut aussi être notée "==" dans certains langages (C, C++, PHP…).

Implication[modifier]

L'implication (notée IMP) s'écrit de la manière suivante :

$a operatorname{IMP} b = overline{a}+b$

Cette opération n'est pas commutative. a est une condition suffisante pour b, qui, elle, est une condition nécessaire pour a.

Mais $a operatorname{IMP} b = overline{b} operatorname{IMP} overline{a}$

Illustration : de l'affirmation

"S'il fait beau, j'irai me promener."

on peut conclure

"Si je ne vais pas me promener, il ne fait pas beau."

mais on ne peut pas en déduire

"S'il ne fait pas beau, je ne vais pas me promener."

car on ne sait pas si je n'aime pas me promener aussi sous la pluie.

Inhibition[modifier]

L'inhibition (notée INH) se compose comme suit :

$a operatorname{INH} b = a.overline{b}$

Cette opération n'est pas commutative.

Exemple de fonctions logiques à trois ou quatre variables[modifier]

Fonction logique à trois variables[modifier]

Si l'on reprend l'exemple du téléphone, on se trouve en présence de 3 variables :

a = "le téléphone sonne"
b = "on a envie de répondre"
c = "on a envie d'appeler quelqu'un"

la variable d = "on décroche" est fonction logique des 3 précédentes. On écrira que

d = a . b + c

car on décroche quand ça sonne et qu'on a envie de répondre ou quand on a envie d'appeler quelqu'un.

La table de vérité de cette fonction d est alors la suivante :

L'observation de la table montre que notre analyse première comportait une situation absurde: le téléphone sonne, on a envie d'appeler quelqu'un, mais on n'a pas envie de répondre et on décroche quand même. Cela n'est certainement pas le comportement souhaité, il est donc préférable de modifier la fonction décrocher de façon à ce qu'on obtienne le tableau suivant:

En lisant le procédé de la simplification des expressions ci-dessous, on voit que la formule de décrocher2 correspond à $d2 =bar a.c + a.b$ .

Fonction logique à quatre variables[modifier]

Un bon élève s'interroge s'il est sage de sortir un soir. Il doit décider en fonction de quatre propositions :

a = il a assez d'argent
b = il a fini ses devoirs
c = le transport en commun est en grève
d = l'auto de son père est disponible

Cet élève pourra sortir si :

il a assez d'argent, a = vrai
il a fini ses devoirs, donc b = vrai
le transport en commun n'est pas en grève, donc c = faux
ou si l'auto de son père est disponible, donc d = vrai

Donc l'expression logique de sortir en fonction de l'état des variables a, b, c et d ; et elle peut s'écrire ainsi :

Sortir = $a.b.({bar c}+d)$

Minimisation d'une expression[modifier]

Une fonction logique peut être déterminée

soit sous forme d'une expression faisant intervenir les 3 opérations ( $+,$ , $cdot,$ , $bar{},$ )
soit sous forme de sa table de vérité. Dans ce cas il sera toujours possible d'effectuer un développement pour écrire cette fonction comme une somme de produits.

Exemple: Dans l'exemple de "téléphoner2", on s'aperçoit que le résultat est à 1 quand (a, b, c) = (0, 0, 1) ou (0, 1, 1) ou (1, 1, 0) ou (1, 1, 1).

Cela permet de définir d2 par $d2 =bar a.bar b.c + bar a.b.c + a.b.bar c + a.b.c$

Il est alors intéressant de trouver une expression minimisant le nombre de termes et le nombre de lettres dans chaque terme. C'est l'objectif de certaines techniques comme la méthode de Quine-Mc Cluskey, les diagrammes de Karnaugh…

Exemple (suite) : la somme précédente peut être réduite en

$d2 =bar a.c + a.b$

par factorisation des deux premiers termes par $bar a.c$ et factorisation des deux derniers termes par $a.b ,$

Arbre d'expression[modifier]

Les expressions logiques sont souvent représentées en informatique sous forme d'arborescence. Cette dernière comporte un sommet (la racine en fait) auquel sont rattachés différents sous-arbres (ou branches). Les bifurcations sont des sommets internes. Le nombre de sous-arbres reliés à un même sommet est appelé arité. Les sommets sans issue sont appelés feuilles. Chaque sommet interne est identifié par un opérateur booléen alors que les feuilles représentent les variables qui subissent ces opérations.

Voir aussi[modifier]

Sur les autres projets Wikimédia :

« Logique séquentielle », surWikiversity (communauté pédagogique libre)
« Électronique numérique : logique », sur Wikibooks (livres pédagogiques)

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Boole_(logiq...

> Livres sur l'algèbre de Boole

Sommaire

[masquer]

Table de la loi ET
ba	0	1
0	0	0
1	0	1

Table de la loi OU
ba	0	1
0	0	1
1	1	1

Fonction

Table de vérité/Table de fonctionnement

$overline{ a + b } = overline{a} . overline{b}$

a	b	a+b	$overline{ a + b }$	$overline{ a }$	$overline{ b }$	$overline{a} . overline{b}$
0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	0
1	0	1	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0

Fonction

Table de vérité/Table de fonctionnement

$overline{ a . b } = overline{a} + overline{b}$

a	b	$a . b$	$overline{ a . b }$	$overline{ a }$	$overline{ b }$	$overline{a} + overline{b}$
0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	0	0	0	0

Table de vérité de l'inverse
a	$bar a$
0	1
1	0

Table de vérité de la somme
a	b	a $+ ,$ b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Table de vérité du produit
a	b	a $cdot ,$ b
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Table de vérité de XOR
a	b	a $oplus$ b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Table de vérité de EQV
a	b	a $Leftrightarrow$ b
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Table de vérité de IMP
a	b	a $Rightarrow$ b
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Table de vérité de INH
a	b	$a.overline{b}$
0	0	0
0	1	0
1	0	1
1	1	0

Table de vérité de décrocher
a	b	c	d
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Table de vérité de décrocher2
a	b	c	d2
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	1

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2. Puissances........................................ 11

Calcul littéral
3. Développement : distributivité...................... 13
4. Développement : identités remarquables............. 15
5. Factorisation : recherche d'un facteur commun...... 17
6. Factorisation : identités remarquables............... 19
7. Valeur d'une expression littérale.................... 21

Racines carrées
8. Racines carrées : propriétés......................... 23
9. Racines carrées : simplification...................... 25
10. Racines carrées : équation x2 = a.................... 27

Nombres entiers et rationnels
11. PGCD : définition et recherche..................... 29
12. PGCD : fractions irréductibles...................... 31
13. PGCD : résolution de problèmes................... 33

Équations et inéquations
14. Équations du premier degré : résolution............. 35
15. Équations : résolution de problèmes................. 37
16. Équations produits nuls : résolution................. 39
17. Inéquations du premier degré : résolution........... 41
18. Inéquations : résolution de problèmes............... 43

Systèmes d'équations
19. Systèmes d'équations : résolution par substitution.... 45
20. Systèmes d'équations : résolution par combinaison.. 47
21. Systèmes d'équations : résolution de problèmes. 49

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A propos de ce livre

Ce livre s'adresse à tous ceux qui rencontrent des difficultés en maths et qui ont décidé de s'accrocher.

Toutes les notions du socle commun de connaissances qu'un élève est censé avoir acquises à la fin de la 3e sont abordées.

Toutes les notions incontournables du programme de maths 3e sont traitées.
La collection «Pour les Nuls» a mis tout en oeuvre pour faciliter l'accès aux connaissances mathématiques. Finis les mots compliqués, terminées les heures passées à s'arracher les cheveux sur des problèmes de trains qui se croisent !

Vous allez enfin pouvoir découvrir les maths sous un nouveau jour.

Extrait de l'introduction

Maths 4ème pour les nuls Jean-Charles Alvado Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 02/2009

Maths 4ème pour les nulsJean-Charles Alvado

Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 02/2009

Expédié sous 4 à 8 jours

POUR COMMANDER

Tout ce qu'il faut savoir pour enfin progresser en maths !

Tu n'es pas un super champion des maths ? Pas de panique ! Avec Maths 6e pour les Nuls, tu as entre les mains un véritable cahier de révision pour étudier toutes les notions du programme et enfin les maîtriser.

Pour réussir en maths, fais confiance aux Nuls !

Avec cette méthode très progressive en quatre étapes, mets toutes les chances de ton côté :
- étape 1 : observation et compréhension
- étape 2 : rappels de cours clairs et synthétiques
- étape 3 : application sous la forme d'un exercice simple
- étape 4 : exercices d'entraînement classés par niveaux de difficulté

Termine avec les bilans pour évaluer tes progrès !

Et retrouve bien sûr tous les corrigés détaillés ainsi que les bonus de la collection « Pour les Nuls » (icônes, partie des Dix, tableau de suivi de progression).

Maths 5ème pour les nuls Yann Gélébart Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 02/2009

Maths 5ème pour les nulsYann Gélébart

Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 02/2009
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Tout ce qu'il faut savoir pour enfin progresser en maths !
Tu n'es pas un super champion des maths ? Pas de panique ! Avec Maths 5e pour les Nuls, tu as entre les mains un véritable cahier de révision pour étudier toutes les notions du programme et enfin les maîtriser.
Pour réussir en maths, fais confiance aux Nuls !
Avec cette méthode très progressive en quatre étapes, mets toutes les chances de ton côté :
- étape 1 : observation et compréhension
- étape 2 : rappels de cours clairs et synthétiques
- étape 3 : application sous la forme d'un exercice simple
- étape 4 : exercices d'entraînement classés par niveaux de difficulté
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Les années de Mathématiques 6ème 5ème 4ème 3ème Collectif Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 04/2009

Les années de Mathématiques 6ème 5ème 4ème 3èmeCollectif

Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 04/2009
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Cet ouvrage reprend l'ensemble des connaissances à maîtriser en maths sur tous les niveaux du collège (6ème, 5ème, 4ème, 3ème).

Il accompagne l'élève et lui permet à tout moment de faire le point sur une notion et de s'entraîner.

Ce titre reprend la méthode reconnue de l'Année de :
- savoir : l'essentiel du cours à mémoriser,
- savoir faire : des méthodes et des exercices pour bien comprendre
- faire : de nombreux exercices pour s'entraîner et leurs corrigés en fin d'ouvrage

Nouvelles éditions 2009 :

de nouvelles couvertures : plus colorées et plus modernes ;
de nouvelles maquettes intérieures : plus claires.

En complément des cahiers, retrouvez le nouveau site gratuit de la collection avec : des activités interactives ; des quiz et des jeux pour réviser en s'amusant ; des contenus réservés aux inscrits ; et denombreux conseils aux parents.

Maths 3ème Collectif Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 06/2010

Maths 3èmeCollectif

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Mathématiques 4ème Collectif Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 09/2007

Mathématiques 4èmeCollectif

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Sujets du brevet non-corrigés mathématiques, Edition 2005 Collectif Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 08/2004

Sujets du brevet non-corrigés mathématiques, Edition 2005Collectif

Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 08/2004
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Le guide ABC Brevet Maths 3ème , Révisions Collectif Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 06/2010

Le guide ABC Brevet Maths 3ème , RévisionsCollectif

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Oxford Cahier Objectif Brevet Maths Oxford 24x32 96 pages quadrillés Q5x5mm Cahiers petits carreaux (5/5)

OxfordCahier Objectif Brevet Maths Oxford 24x32 96 pages quadrillés Q5x5mm

Cahiers petits carreaux (5/5)

Cahier Oxford Objectif Brevet des collèges 96 pages quadrillées 5x5 épreuve de Maths. Avec des pages aide-mémoire conçues par des professeurs de collèges qui regroupent les principes et règles essentielles à retenir en vue du brevet des collèges.

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Algèbre générale , Rappels de cours, questions de réflexion, exercices d'entraînement Anne Denmat, François Héaulme, Daniel Fredon Etude (broché). Paru en 06/2000

Algèbre générale , Rappels de cours, questions de réflexion, exercices d'entraînementAnne Denmat, François Héaulme, Daniel Fredon

Etude (broché). Paru en 06/2000
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cédérom PC M Comme Maths - Algèbre 5ème Editeur : Homeworktv France

cédérom PCM Comme Maths - Algèbre 5ème

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M comme maths est un procédé breveté de cours filmés reprenant l'intégralité du programme de mathématiques de l'Education Nationale. Des professeurs qualifiés à domicile qui expliquent concrètement le cours grâce à des méthodes adaptées qui facilitent la compréhension et la mémorisation. Un concept qui permet à votre enfant de suivre, avec vous, l'année scolaire plus facilement. En utilisant la formule " one clic software " il est aisé de naviguer dans le logiciel. L'interface est un sommaire où l'utilisateur cherche sa leçon : d'un clic de souris, il est plongé dedans.

100 énigmes pour réussir en maths, 10-11 ans Jean-Luc Caron, Jacques De Vardo Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 03/2010

100 énigmes pour réussir en maths, 10-11 ansJean-Luc Caron, Jacques De Vardo

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"100 énigmes pour réussir en maths 10-11 ans" : ce petit cahier entraîne à lire et à comprendre l'énoncé d'un problème mathématique, à sélectionner les informations nécessaires, à décomposer le problème en plusieurs étapes, à vérifier ses hypothèses et à reconstituer des problèmes dont on ne connaît pas l'énoncé.

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08/03/2011

Algèbre relationnelle

Algèbre relationnelle

Au sujet de l'algèbre relationnelle[modifier]

Eléments du modèle relationnel[modifier]

Objets précis du modèle[modifier]

Relation ou Table[modifier]

Requêtes en Algèbre relationnelle[modifier]

Opérateurs ensemblistes[modifier]

Exemples[modifier]

Voir aussi[modifier]

Liens externes[modifier]

Sommaire

L'algèbre al-Badi d'al-Karagi

Algèbre linéaire

Algèbre linéaire

Histoire[modifier]

Intérêt[modifier]

Présentation élémentaire[modifier]

Quelques théorèmes[modifier]

Utilisations[modifier]

Groupe fini[modifier]

Anneau[modifier]

Théorie de Galois[modifier]

Voir aussi[modifier]

Liens internes[modifier]

Références[modifier]

Liens externes[modifier]

Sommaire

Algèbre de Boole (logique)

Algèbre de Boole (logique)

Algèbre de Boole des valeurs de vérité[modifier]

Conjonction[modifier]

Disjonction[modifier]

Négation[modifier]

Propriétés[modifier]

Associativité[modifier]

Commutativité[modifier]

Distributivité[modifier]

Idempotence[modifier]

Élément neutre[modifier]

Élément nul[modifier]

Absorption[modifier]

Simplification[modifier]

Redondance[modifier]

Complémentarité[modifier]

Structure[modifier]

Priorité[modifier]

Théorème de De Morgan[modifier]

Fonctions logiques[modifier]

Fonctions logiques fondamentales[modifier]

Fonctions logiques composées[modifier]

Disjonction exclusive[modifier]

Équivalence[modifier]

Implication[modifier]

Inhibition[modifier]

Exemple de fonctions logiques à trois ou quatre variables[modifier]

Fonction logique à trois variables[modifier]

Fonction logique à quatre variables[modifier]

Minimisation d'une expression[modifier]

Arbre d'expression[modifier]

Voir aussi[modifier]

Sommaire

Plan Brevet les fiches Mathématiques 3ème Collectif Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 03/2007

Annales Brevet Mathématiques , Sujets corrigés - Edition 2011 Collectif Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 09/2010

Math 3e s'entrainer au brevet + cd rom Novelli, Depresle livre CDROM. Paru en 03/2000